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★ 証明 / 山田
（ａ＾2＋ｂ＾2）（Ｃ＾2＋ｄ＾2）＝（ａｃ＋ｂｄ）＾2＋（ａｄ−ｂｃ）＾2は証明できましたが


次の２つの整数の平方の和で表される数の全体からなる集合をＡとしX、ｙがＡの要素であるとき積ＸｙもＡであることを証明せよ

がわかりません
どうかお願いします
No.8627 - 2009/10/29(Thu) 15:40:13
☆ Re: 証明 / らすかる
上の式で証明になっているのでは？
No.8628 - 2009/10/29(Thu) 16:15:49
☆ Re: 証明 / 山田
上の式をどう利用すればよいのでしょうか

すいませんがよろしくお願いします
No.8629 - 2009/10/29(Thu) 16:23:34
☆ Re: 証明 / らすかる
利用も何も、そのままですが。
X=a^2+b^2∈A
y=c^2+d^2∈A
とすると
Xy=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2∈A
No.8630 - 2009/10/29(Thu) 16:38:55
★ 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
等式x^2f'(x)ーf(x)=x^3+ax^2+bxを満たす整式ｆ（ｘ）について、以下の問いに答えよ。ただしa,b定数

（１）ｆ（ｘ）はｘの何次式か？

とあり、回答では両辺を係数比較しています。係数比較（同次の項の係数が全て等しい）をしてよいのは恒等式、係数比較してダメなのは方程式、というのは知っています。

問題文には「等式」としか書かれていないのになぜ
恒等式として扱っているのでしょうか？

また、これもまた意味が分からないのですが
タイトルにはf'(x)の入った方程式とあります。
これは恒等式の間違いですか？

ご教授お願いします。
No.8621 - 2009/10/29(Thu) 11:47:17
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / X
方程式と聞くと、何らかの値を求めるものと捉えていると思いますが
問題の
x^2f'(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx (A)
は値ではなく、関数f(x)を求めるための方程式です。
(f(x)についての微分方程式です。)
しかしながら、ここではf(x)を整式の範囲に限定していますので
f(x)をそのように置けば(A)はxについての恒等式となります。
No.8623 - 2009/10/29(Thu) 13:06:25
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
問題文には「等式」としか書かれていないのになぜ
恒等式として扱っているのでしょうか

の質問に対してここではf(x)を整式の範囲に限定していますので
f(x)をそのように置けば(A)はxについての恒等式となります。

とありきとますが、何を言ってるのか正直分かりません。
整式というのはこの場合ｘ＾２などといったように指数部分が整数からなるｘの式のことですよね。それが何の関係があるのでしょうか。
No.8626 - 2009/10/29(Thu) 14:47:10
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ast
まず "方程式" と書かれているのは x についての話ではなく「未知函数 "f" に関しての方程式」であるという意味, 二つの整式 f, g が "整式として等しい" というのは f(x) = g(x) が "x についての恒等式となっている" という意味です. したがって「整式についての等式」と言った時点で x については恒等式をかんがえていることになります.

# 本当は整式が等しいというのは各次数の係数がそれぞれ等しいことをいうのですが
# 有理数や実数や複素数の範囲で係数を考える限りは x の恒等式ということと同値です
No.8631 - 2009/10/29(Thu) 20:28:05
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
「整式についての等式」と言った時点で x については恒等式をかんがえていることになります.

とありますが、例えば

x^2-x+-1=-x^2
の両辺は整式でこの式は等式ですが
ｘについての恒等式ではありませんよね？
（ｘ＝−１を両辺に代入すると違う値になります。）
No.8636 - 2009/10/30(Fri) 19:43:19
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ast
はい, それは未知数 x についての等式ですが, 未知函数についての等式ではありません. そこには未知の函数が存在しませんので, それによって函数についての方程式を考えることはできません. もちろん,
> x についての恒等式ではありませんよね?
> (x = −1 を両辺に代入すると違う値になります。)
というのは, x^2 − x − 1 と −x^2 が "整式としては等しくない" ということの理由にはなります. もとの問題では x ではなく f を決定するのだという目的および整式が相等しいとはどういうことかをきちんと理解し, それが x にある特定の値を代入した場合のみ成立する等式ではないということを意識できる必要があります.
No.8637 - 2009/10/30(Fri) 19:56:23
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
何を言っているのか結局分かりません。
もうすこし知識をつけてから出直してこようと思います。
No.8639 - 2009/10/30(Fri) 20:22:09
★ (No Subject) / 積分定数
y=e^xとx軸で囲まれるx=-1からx=1までの面積をDとする、傾きeで定点(a,0)を通る直線でDを２等分するときaの値はいくらになるでしょうか？　　どうかよろしくおねがいします
No.8619 - 2009/10/29(Thu) 01:06:49
☆ Re: / ヨッシー
Ｄ＝∫-11ｅxdx
　＝[ｅx]-11
　＝ｅ−1/ｅ

定点(a,0) が原点(0,0) であるとすると、この直線は、
(1,e) で、ｙ＝ｅx に接し、図の青の部分は、
ｅ/2 であるので、Ｄの半分より大きいです。


よって、直線は、もう少し右にあり、２等分した片方は、
直角三角形になります。その、直角をはさむ２辺は
　1-a, e(1-a)
であるので、面積は e(1-a)2
これがＤの半分になればいいので、
　2e(1-a)2＝ｅ−1/ｅ
　(1-a)2＝1/2−1/2ｅ2
　a＝１−√{1/2−1/2ｅ2}
となります。
No.8632 - 2009/10/29(Thu) 23:10:03
★ (No Subject) / いんてぐらる
定積分
∫（0,π）dx/2+sinx
不定積分
∫dx/x√(x-1)
の２つをお願いします
No.8618 - 2009/10/29(Thu) 00:08:57
☆ Re: / X
(2問目)
√(x-1)=tと置くと
x=t^2+1
dx=2tdt
∴∫dx/{x√(x-1)}=2∫dt/(t^2+1)
=2arctant+C
=2arctan√(x-1)+C
(C:積分定数)
No.8622 - 2009/10/29(Thu) 12:57:39
★ 高３ / パシフィスタ
∫1/√(a^2-x^2)dx

∫1/(x^2+a^2)dx

∫√(a^2-x^2)dx

のアーク（サインの逆関数がアークサインとかいうあのアークです）を使った解き方を教えてください。

どれか一つ教えていたただければ
残りは自力でやれるかもしれません。

学校では余り詳しく教えてもらえなかったので
この掲示板を利用させてもらいました。

どうかよろしくお願いします。
No.8617 - 2009/10/29(Thu) 00:05:30
☆ Re: 高３ / X
逆関数の微分を使うことにより
(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
(arctanx)'=1/(1+x^2)
∴
∫dx/√(1-x^2)=arcsinx+C (A)
∫dx/(1+x^2)=arctanx+C (B)
(C:積分定数)
注)arccosx=-arcsinx+π/2の関係があります。

１，２問目は(A)(B)が利用できるように問題の積分の変数を
適当に置換します。
例えば１問目だとx=atと置いて…。

３問目について。
１，２問目と同様に置換をし、部分積分を使って(A)(B)が
使える形に変形するのも一つの方法ですが、
x=asint (C)
と置いて積分を計算し、(C)より
t=arcsin(x/a)
とできることから変数をxに戻す、といった方針のほうが
簡単かもしれません。
No.8624 - 2009/10/29(Thu) 13:31:23
★ 一Ａ？ / ふぇふぇ
放物線ｙ＝ｘ＾２＋３上にあり　定点（０、a）
に最も近い点Ｐの座標を求めよ

２）a＞３を満たす定数
とする定点（０、a）を中心とする円のうち
領域ｙ以上ｘ＾２＋３に含まれる半径最大の円の半径ｒをもとめよ


をおねがいします
No.8616 - 2009/10/28(Wed) 23:48:11
☆ Re: 一Ａ？ / X
1問目)
問題の放物線上の点(t,t^2+3)と定点(0,a)との間の距離の
２乗をf(t)と置くと
f(t)=t^2+(t^2+3-a)^2
=t^4+(7-2a)t^2+(3-a)^2
={t^2-(a-7/2)}^2+(3-a)^2-(a-7/2)^2
={t^2-(a-7/2)}^2+a-13/4
後は
f(t)≧0
となるようにしなければならないことに注意して
(i)a-7/2≧0かつa-13/4≧0のとき
(ii)a-7/2<0かつa-13/4≧0のとき
(iii)a-13/4<0のとき
の場合分けでf(t)が最小になるときのaの値を求めます。
2問目)
1問目の結果を使います。
No.8625 - 2009/10/29(Thu) 13:45:17
★ 色んなやり方がありそうですが・・・ / ぽんた
xy平面状に定点A(-1,0),B(1,0)と動点Pがある。
Pは領域ｙ＞０にあり、
条件　
　　　∠PBA−∠PAB＝60°
を満たしながら動くものとする。点Pの?I座標が最小となるときの点Pの座標をもとめよ。

僕はベクトルでやってみましたが、計算でつぶれました。
どうやったらいいでしょうか？
できれば色んな解き方をさぐりたいです
おねがいします
No.8615 - 2009/10/28(Wed) 21:33:00
☆ Re: 色んなやり方がありそうですが・・・ / 豆
PAとｙ軸の交点をCとすると、∠CAB=∠CBAなので、
∠PBC=60°で一定ですね。
y軸上でCを上下させたらPはどう動きますか？
No.8620 - 2009/10/29(Thu) 11:02:26
★ 対数と不等式 / Ｔｏｍ
（１）１でない正の実数ｘ，ｙで、
　　　log[２]ｘｙ＝ａ　
log[２]ｘ・log[２]ｙ＝ｂとおくと
ｂ＝ａ＾３＋（１／２）ａ＾２ーａ　，ａ＞０が成り立つ

log[２]ｘ／ｙ　が最大になるとき
log[２]ｘは？


?A３次関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾３＋ｘ＾２と正の定数ａがある

ｆ（ｘ＋２ａ）＜ｆ（ｘ＋ａ）＋ｆ（ａ）を満たす整数ｘ
が−１だけであるときａの範囲は？



お願いします。
No.8607 - 2009/10/28(Wed) 04:19:25
☆ Re: 対数と不等式 / ヨッシー
(1) は問題文をそのまま書いていただけますか？
log[２]ｘ　（２が底の対数）
の書き方はこのままで良いです。
No.8610 - 2009/10/28(Wed) 11:46:17
☆ すいませんでした / Ｔｏｍ
ともに１でない正の実数ｘ，ｙについて、
　　　log[２]ｘｙ＝ａ　
log[２]ｘ・log[２]ｙ＝ｂとおくとき
ｂ＝ａ＾３＋（１／２）ａ＾２ーａ　
ａ＞０が成り立つとする

?@F=（log[２]ｘ／ｙ）＾２をａの関数として表すと
Ｆ＝？
これは　−４ａ＾３−ａ＾２＋４ａ　となりました

?AＦ≧０だから　ａがとりうる範囲は？

これも０＜ａ≦（√６５−１）／８　となりました

?BＦが最大のときのａ,ｂは？

ａ＝１／２　　ｂ＝−１／４　となりできました。

?Clog[２]（ｘ／ｙ）　が最大になるとき
log[２]ｘは？
これだけ出来ませんでした
No.8611 - 2009/10/28(Wed) 12:00:47
☆ Re: 対数と不等式 / ヨッシー
(2) です。
f(x+2a)＝x^3＋6x^2a＋12xa^2＋8a^3＋x^2＋4ax＋4a^2
f(x+a)＝x^3＋3x^2a＋3xa^2＋a^3＋x^2＋2ax＋a^2
より
　f(x+2a)−f(x+a)−f(a)
　　＝3x^2a＋9xa^2＋7a^3＋2ax＋3a^2−a^3−a^2
　　＝3ax^2＋(9a^2＋2a)x＋6a^3＋2a^2＜０
となりますので、a＞０ で両辺を割って
　g(x)＝3x^2＋(9a＋2)x＋6a^2＋2a
とおくと、条件を満たすには、g(-2)≧0, g(-1)＜0, g(0)≧0
となれば良いです。
　g(-2)＝6a^2−16a＋8≧0
　　2(3a-2)(a-2)≧0　より　a≦3/2 または 2≦a
　g(-1)＝6a^2−7a＋1＜0
　　(6a-1)(a-1)＜0　より　1/6＜a＜1
　g(0)＝6a^2＋2a≧0
　　2a(3a+1)≧0　より　a≦-1/3 または　0≦a
以上より　1/6＜a＜1
No.8612 - 2009/10/28(Wed) 12:22:42
☆ Re: 対数と不等式 / ヨッシー
Ｆが最大値Ｆmax をとるとき、
log[２]（ｘ／ｙ）の最大が　√Fmax で、最小が −√Fmax になります。

log[２](x/y)＝√Ｆmax となるｘ、ｙが見つかったとすると、
log[２](y/x) が−√Ｆmax になります。

方針としては、Ｆmax を与えるのは、a=1/2 ですから、
このときのｘ、ｙ を求め、ｘ＞ｙ となる方が答えです。

log[2]x＝Ｘ、log[2]y＝Ｙ とおくと、
　Ｘ＋Ｙ＝ａ、ＸＹ＝ｂ であるので、
Ｘ＋Ｙ＝1/2、ＸＹ＝-1/4 となるＸ，Ｙ を見つけることになります。
解と係数の関係より、Ｘ，Ｙは、
　x^2−x/2−1/4＝０
の解であり、それらは、ｘ＝(1±√5)/4 であるので、
Ｘ＝log[2]ｘ＝(1+√5)/4 となります。

ちなみに、問題文の再掲をお願いしたのは、
・・・
ａ＞０が成り立つとする
の「とする」がないため、事実なのか仮定なのか
わからなかったためです。
No.8613 - 2009/10/28(Wed) 12:52:05
☆ Re: 対数と不等式 / Ｔｏｍ
ありがとうございます。
No.8633 - 2009/10/30(Fri) 15:32:40
★ 数列 / さば
ａ1＝−１８
ａｎ+１＝５／４＋５


の一般項ａｎと
初項から第ｎ項までのSｎをお願いします。
No.8599 - 2009/10/27(Tue) 20:21:50
☆ Re: 数列 / さば
すいません５／４ａｎです
No.8600 - 2009/10/27(Tue) 20:45:29
☆ Re: 数列 / 雀
a[n+1]=(5/4)a[n]+5
⇔
a[n+1]+20=(5/4){a[n]+20}

a[n]+20をb[n]と置けば

b[n+1]=(5/4)b[n]
これは公比5/4の等比数列なので････
No.8602 - 2009/10/27(Tue) 22:32:23
☆ Re: 数列 / さば
申し訳ありません
答えを確かめたいので教えてください
No.8604 - 2009/10/27(Tue) 23:55:33
☆ Re: 数列 / rtz
ならばあなたの考えた過程と結果を書けば済むのでは？
No.8606 - 2009/10/28(Wed) 03:36:59
★ グラフ / みな
曲線｜X＾2＋１｜＋ｙ＝２ｙ〉０の概形をかけがわかりません。


お願いします。
No.8583 - 2009/10/26(Mon) 17:13:57
☆ Re: グラフ / みな
ｙ〉０という意味です
No.8585 - 2009/10/26(Mon) 17:38:23
☆ Re: グラフ / らすかる
|x^2+1|+y=2y＞0 ですか？

# 〉は不等号ではありません。
No.8586 - 2009/10/26(Mon) 17:54:43
☆ Re: グラフ / みな
＝２



ｙ＞０です
No.8588 - 2009/10/26(Mon) 20:34:28
☆ Re: グラフ / ヨッシー
うーむ。問題の意図がよくわかりません。
ｘ^2＋１ はｘが実数であれば常に正なので、
絶対値は意味が無く
　ｘ＾2＋１＋ｙ＝２
　ｙ＝−ｘ^2＋１
ですね？(-1,0)(0,1)(1,0) を結んだ上に凸のグラフになります。
ｙ＞０ はｘ軸より上(第1，2象限)ってことですかね？

何の問題ですか？
問題集・・・ではなさそうですが。
No.8590 - 2009/10/26(Mon) 21:41:31
☆ Re: グラフ / みな
すいません

｜X＾2−１｜でした
No.8591 - 2009/10/26(Mon) 21:58:48
☆ Re: グラフ / ヨッシー
｜ｘ2−１｜＋ｙ＝２
であれば、
-1≦ｘ≦1 において、
　−ｘ2＋１＋ｙ＝２
　ｙ＝ｘ2＋１
ｘ＜−１　または　ｘ＞１ において
　ｘ2−１＋ｙ＝２
　ｙ＝−ｘ2＋３
なので、

このようなグラフになります。
これと、ｙ＞０ との関係は自分で解釈してください。
No.8592 - 2009/10/26(Mon) 22:14:39
☆ Re: グラフ / みな
ありがとうございます。

できれば
続きの直線Ｌ：ｙ＝ｍX＋ｍー１（ｍは正の定数）
がこの曲線と−１＜X＜１の部分で接するときの接点の座標またｍの値もよろしくお願いします。
No.8593 - 2009/10/26(Mon) 22:20:03
☆ Re: グラフ / ヨッシー
ｙ＝ｍｘ＋ｍ−１＝ｍ（ｘ＋１）−１
なので、この直線は、ｍの値によらず、(-1,-1) を通ります。
No.8594 - 2009/10/27(Tue) 08:18:40
★ 確率 / かな
３個のサイコロを同時に振るとする。


出る目の最大値をＭ
最小値をｍとする。
Ｍーｍ＝ｋとなる確率Ｐk（０≦ｋ≦５）を求めよ。ただし
ｋ≧２の計算には次の事項を用いてよい


出る目の数はｍ、ｍ＋ｋの２種類のみの場合とｍ、ｍ＋ｋ、ｍ＋ｉ（１≦ｉ≦ｋー1）の３種類のいずれかである。


１≦ｍ≦6−ｋである。


お願いします。
No.8579 - 2009/10/25(Sun) 22:26:09
☆ Re: 確率 / ヨッシー
すべての目の出方は６×６×６＝２１６(通り)なので、
それぞれの場合の数が出れば、２１６で割れば確率になります。

ｋ＝０　１から６の６通り
ｋ＝１　１と２の出方が　112,121,211,122,212,221 の6通り、
　これが、２と３，３と４，４と５，５と６についても同じだけ存在するので
　5×6＝30(通り)
ｋ＝２　数字が２種類の場合、１と３，２と４，３と５，４と６の
　４通りに対して６通りの出方があるので、４×６＝２４(通り)
　数字が３種類の場合　123,234,345,456 の４通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、４×６＝２４(通り)
　あわせて　４８通り
ｋ＝３　数字が２種類の場合　１と４，２と５，３と６の
　３通りに対して６通りの出方があるので、３×６＝１８(通り)
　数字が３種類の場合、124,134,235,245,346,356 の６通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、６×６＝３６(通り)
　あわせて　５４通り
Ｋ＝４　数字が２種類の場合　１と５，２と６の
　２通りに対して６通りの出方があるので、２×６＝１２(通り)
　数字が３種類の場合、125,135,145,236,246,256　の６通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、６×６＝３６(通り)
　あわせて　４８通り
Ｋ＝５　数字が２種類の場合　１と６の
　１通りに対して６通りの出方があるので、１×６＝６(通り)
　数字が３種類の場合、126,136,146,156　の４通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、４×６＝２４(通り)
　あわせて　３０通り
No.8580 - 2009/10/25(Sun) 23:06:32
☆ Re: 確率 / かな
ありがとうございます。
助かりました。
No.8581 - 2009/10/25(Sun) 23:13:24
★ 微分の問題？ / mina
高校2年です
曲線C:y=x^3-3x^2と点ｐ(p､0）がある。ただし０≦p≦3である。
（１）点P(p､0)から曲線Cに三本の接線がひけるようなpの値の範囲を求めよ
（２）（１）のとき３つの接点のうちx座標が最大のものをAとする。pが動くとき点Aのx座標のとり得る値の範囲を求めよ

という問題がわかりません・・・
解説お願いします
No.8576 - 2009/10/25(Sun) 21:00:43
☆ Re: 微分の問題？ / rtz
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=9496
で書いたとおりですので控えていただくようお願いいたします。
No.8577 - 2009/10/25(Sun) 21:47:54
☆ Re: 微分の問題？ / ヨッシー
まぁ、自分の努力で掲示板の過去問を探るのは自由です。
ここにあるか、青木さんのところかは忘れました。
No.8578 - 2009/10/25(Sun) 22:20:33
★ ベクトル / ゆりか


またまた質問失礼します。


Oを原点とする座標空間に
2点 A(2、-3、-2)
B(3、-1、-3) がある 。

Oを通り、
ベクトル(-1、2、3) に
平行な直線をlとし、
Aからlに下ろした
垂線の足をHとする 。


1) Hの座標を求めよ
2) lは平面ABHに垂直であることを示せ
3) Pをl上の点とする。
四面体POABの体積が7となるようなPの座標を求めよ



教えてください。

お願いします。
No.8573 - 2009/10/25(Sun) 15:22:02
☆ Re: ベクトル / 七
1）Hはｌ上の点ですからHの位置ベクトル(座標)は実数kを用いて
k(-1,2,3）と表すことができます。
AHベクトルと（-1,2,3）が垂直ですから
（内積）＝0
でｋを求めることはできませんか？
2）AH⊥ｌですから
もうひとつAB⊥ｌまたはBH⊥ｌを示せばいいと思います。
3）四面体OABHの体積を求めて７より小さければAHの延長上にPを考えてOABH+PABH=7になるようにPを定めればよいし、7より大きければ線分AH上にPを考えてOABH-PABH=7になるように、
７であればP=Hとすればいいのでは？

以上思いついたままを書いてみました。
No.8574 - 2009/10/25(Sun) 16:31:39
☆ Re: ベクトル / 七
点Pは前のレスの逆の方向にも考えなければなりませんでしたね。
No.8575 - 2009/10/25(Sun) 17:15:14
☆ Re: ベクトル / ゆりか

ありがとうございました★

助かりました^^
No.8582 - 2009/10/26(Mon) 15:53:32
☆ Re: ベクトル / ゆりか

すみません 。
3)もっと詳しく
教えてください。
No.8584 - 2009/10/26(Mon) 17:32:35
☆ Re: ベクトル / 七
A(2、-3、-2)
B(3、-1、-3)
[OB]をOBベクトル、|OB|をその大きさ　というふうに書きあらわします。
[AH]＝k(-1,2,3)−(2,-3,-2) これと（-1,2,3）が垂直ですから
{k(-1,2,3−(2,-3,-2)}・(-1,2,3)＝0
14k−(−14)＝0、よってk＝−1
したがってH(1,-2,-3), |OH|＝√14,
[HA]=(1,-1,1), |HA|^2=3,
[HB]=(2,1,0), |HB|^2=5, [HA]・[HB]＝1
したがって△HAB＝(1/2)√(3・5−1^2)＝(1/2)√14
四面体O-HAB＝(1/3)・(1/2)√14・√14＝7/3
…
よって|OP|＝3|OH|であればよいから
[OP]＝±3[OH]＝±3(1,-2,-3)
よってP(3,-6,-9)またはP(-3,6,9)
No.8595 - 2009/10/27(Tue) 08:35:19
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
七さんの No.8574 の記事の 3) にある２箇所の AH は OH の
書き間違いでしょう。

四面体ＨＯＡＢにおいて、△ＡＢＨを底面とすると、ＯＨが高さになります。
一方、四面体ＨＰＡＢにおいて、△ＡＢＨを底面とすると、ＰＨが高さになります。
よって、四面体ＰＯＡＢの体積は、
　△ＡＢＨ×(ＯＨ±ＰＨ)÷３
で求められます。複合は、ＰがＨよりもＯに近い位置にあるなら負、
遠ければ正です。（ＰがＨと同じ側にある場合）

別の方法として、Ｐの座標を(-k,2k,3k) とおくと、
平面ＯＡＢの式は ｘ＋ｚ＝０ (ｙは任意)　であり、
△ＯＡＢの面積は、7√2/2 なので、Ｐまでの高さが 6√2 であれば、
体積７になるので、平面までの距離の公式より
　|-k+3k|/√2＝6√2
より、ｋを求めます。
No.8596 - 2009/10/27(Tue) 08:50:54
☆ Re: ベクトル / 七
> 七さんの No.8574 の記事の 3) にある２箇所の AH は OH の
> 書き間違いでしょう。

そのとおりです。混乱させてしまったようですね。すみません。

ついでに
ヨッシーさんの
> △ＯＡＢの面積は、7√2/2 なので、Ｐまでの高さが 6√2 であれば、…
の部分は
「Ｐまでの高さが 3√2…」
ですよね。
No.8597 - 2009/10/27(Tue) 09:12:29
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
あ、そうです。
３を掛けるだけで良かったのでした。
三角錐のときのクセで、６を掛けてしまいました。

その下の式も、当然、
　|-k+3k|/√2＝3√2
です。
No.8598 - 2009/10/27(Tue) 14:09:26
☆ Re: ベクトル / ゆりか


わかりました !

丁寧にありがとうございました^^


No.8608 - 2009/10/28(Wed) 09:57:31
★ 極限の計算 / Kay(高２女子)
関数の極限の計算です。
模範解答では、x=-t とおいて、lim_[t→∞]f(x) となるように変形しています。


x=-tなどとおかずに、そのまま計算すると、
lim_[x→-∞]{√(x^2+1)+x}
=lim_[x→-∞][{√(x^2+1)+x}{√(x^2+1)-x}/{√(x^2+1)-x}]
=lim_[x→-∞][x^2+1-x^2/{√(x^2+1)-x}]
=lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
=lim_[x→-∞][(1/x)/{√(1+1/x^2)-1}]
となります、
ここで、分子が、lim_[x→-∞](1/x)=0　ですから、
分数全体としても、0 と考えました。

すると、与式=0 となります。
しかし、このとき、分母lim_[x→-∞]{√(1+1/x^2)-1} も0 になってしまうので、分数として成り立ちません。

やはり、模範解答のように、いったん置き換えなければならないでしょうか。

よろしくお願いします。













x→−∞のときに、例えばlim(x→=-t　
No.8570 - 2009/10/25(Sun) 13:17:58
☆ Re: 極限の計算 / 雀
lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
ここの時点で1/∞なので次の式変形はいらないかと思います。



＞=lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
＞=lim_[x→-∞][(1/x)/{√(1+1/x^2)-1}]
ここの式変形ですが、

√{(x^2)+1}
=√{x^2(1+1/(x^2))}
={√(x^2)}{√{(1+1/(x^2))}
x<0より
=-x{√{(1+1/(x^2))}
になるので
lim[x→-∞]1/{√{(x^2)+1)-x}
=lim[x→-∞](-1/x)/{√(1+1/x^2)+1}
となります。
No.8571 - 2009/10/25(Sun) 14:35:59
☆ Re: 極限の計算 / Kay(高２女子)
大変分かり易く簡潔な説明ありがとうございます。
lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
ここの時点で1/∞なので、ここで終わってしまって大丈夫ですね。

また、以下の部分も一々納得して読み込みました。
＞=lim_[x→-∞][1/{√(x^2+1)-x}]
＞=lim_[x→-∞][(1/x)/{√(1+1/x^2)-1}]
ここの式変形ですが、

√{(x^2)+1}
=√{x^2(1+1/(x^2))}
={√(x^2)}{√{(1+1/(x^2))}
x<0より
=-x{√{(1+1/(x^2))}
になるので
lim[x→-∞]1/{√{(x^2)+1)-x}
=lim[x→-∞](-1/x)/{√(1+1/x^2)+1}
No.8587 - 2009/10/26(Mon) 20:30:41
★ (No Subject) / 匿名
ディオファンスで検索してみたら全く同じ問題が出ていました。
ありがとうございます。
No.8569 - 2009/10/25(Sun) 11:04:22
★ 分数とXを使った年齢算の問題です / 匿名
こんばんは、はじめまして。

ディオファンストは６分の１を少年として過ごし、その後、一生の１２分の１たってからひげを伸ばした。
さらに、一生の７分の１たって結婚し、５年後に子供が生まれた。この子供は父の一生半分だけ生き、父より４年前にこの世を去った。このとき、ディオファンストは何歳まで生きたか求めよ。
と言う問題なのですがどうやって解けばいいのか分かりません。
どなたかいましたらご指導をお願いします。
No.8566 - 2009/10/24(Sat) 23:20:12
☆ Re: 分数とXを使った年齢算の問題です / rtz
パズルの本に載るほど有名なので、
そのままディオファントスで検索した方が早いでしょう。
No.8567 - 2009/10/25(Sun) 01:42:55
☆ Re: 分数とXを使った年齢算の問題です / ヨッシー
Google の「もしかして」で引っかかるかと思いましたが、
ダメでした。

正確に、ディオファントス　で検索しましょう。
(rtz さんの綴りが正しいです)
No.8568 - 2009/10/25(Sun) 07:28:43
☆ Re: 分数とXを使った年齢算の問題です / rtz
今、字綴りの間違いに気付きました…。
No.8572 - 2009/10/25(Sun) 15:13:39
★ 数学Ｃ / 立花

今晩は!

数Cの2次曲線の範囲で、
円 x^2＋(y+3)^2=4に外接し、直線y=1に接する円の中心Pの軌跡の方程式を求めよ。
というものなのですが、どこから手をつけていいのかもわかりません…。

どなたかご指導宜しくお願いします。
No.8564 - 2009/10/24(Sat) 22:04:11
☆ Re: 数学Ｃ / rtz
同心円同士が外接⇔2円の中心間の距離が、それぞれの半径の和に等しい
を利用します。

中心座標を文字で置く際、半径と中心のy座標の関係も注意しましょう。
No.8565 - 2009/10/24(Sat) 22:14:02
★ 逆関数の問題です / kakimoto
※f(x)はfと書かせてもらいます。

　f=tan^(-1)Xのとき
　
〈1〉(X^(2)+1)f'=1 を示せ
〈2〉(X^(2)+1)f^(n+1)+2nXf^(n)+n(n-1)f^(n-1)=0 を示せ
〈3〉f^(n) を求めよ

〈2〉はライプニッツの公式というのを使って解くと聞きましたがライプニッツの公式というのも理解できていないので教えて下さい。
　よろしくお願いします。
No.8551 - 2009/10/23(Fri) 13:37:31
☆ Re: 逆関数の問題です / ヨッシー
ライプニッツの公式は二項定理に似ています。
関数の積で表される関数　h(x)＝f(x)g(x) があるとします。

h'(x)＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)
h"(x)＝f"(x)g(x)＋２f'(x)g'(x)＋f(x)g"(x)
　・・・
h(n)(x)＝f(n)g(x)＋nＣ1f(n-1)g'(x)＋・・・nＣrf(n-r)(x)g(r)(x)＋・・・＋nＣn-1f'(x)g(n-1)＋nＣnf(x)g(n)(x)
というものです。
No.8552 - 2009/10/23(Fri) 14:43:34
☆ Re: 逆関数の問題です / ヨッシー
(1)
　y=f(x)＝tan-1ｘ
とおくと、
　ｘ＝tanｙ
逆関数の微分より
　dy/dx＝1/(dx/dy)
　dx/dy＝(cos2ｙ＋sin2ｙ))/cos2ｙ
　　＝１＋tan2ｙ
　　＝１＋ｘ2
であるので、
　dy/dx＝1/(１＋ｘ2)
これより、dy/dx＝f'(x) とおくと、
　f'(x)＝1/(１＋ｘ2)
　(ｘ2＋１)f'(x)＝１

(2)
h(x)＝f'(x)(x2+1) とおきます。これを、ｎ回微分すると、
ライプニッツの公式より
　h(n)＝f(n+1)(x)(x2+1)＋nＣ1(x2+1)’f(n)(x)＋nＣ2(x2+1)”f(n-1)(x)＋nＣ3(x2+1)(3)f(n-2)(x)・・・
となりますが、第４項以降は、(x2+1)(k) （k=3,4,5・・・n）が０になるので、結局、
　h(n)＝f(n+1)(x)(x2+1)＋nＣ1(x2+1)’f(n)(x)＋nＣ2(x2+1)”f(n-1)(x)
　　＝f(n+1)(x)(x2+1)＋n・2x・f(n)(x)＋n(n-1)/2・2・f(n-1)(x)
　　＝(x2+1)f(n+1)(x)＋2nxf(n)(x)＋n(n-1)f(n-1)(x)
となります。
No.8554 - 2009/10/23(Fri) 15:15:56
☆ Re: 逆関数の問題です / kakimoto
ヨッシーさんありがとうございます。

　完璧からはほど遠いですがライプニッツの公式が何となくつかめた気がします。
　
〈3〉は解けそうなので頑張ります。
No.8562 - 2009/10/24(Sat) 11:42:39
★ どこかの中学入試の問題です / ゆき
次の問題の問２の考え方がしっくりきません。ただ単にずらして考えるしか方法はないのでしょうか？
問１は４種類だと思うのですが、問２はどこまでを言うのかよくわからず…。とりあえずわかる範囲で書き出してみたら、14種類はできました。それ以上あるのか、または違うのか、合ってるのかもわからないのですが、良い考え方がありましたら教えてください。
No.8542 - 2009/10/22(Thu) 22:13:28
☆ Re: どこかの中学入試の問題です / らすかる
多分、あり得る組合せを一つずつ当てはめて作っていって、
同じ形になったら削除する、という
試行錯誤しかないと思います。
私も書き並べてみたら４種類と１４種類になりました。
No.8545 - 2009/10/22(Thu) 23:59:27
★ 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ
著作権の観点から問題を掲載する事は違法との事ですが、試験基準日から日が経ちましたので問題を掲載させて頂きます。もし、問題がある様でしたら即刻削除させて頂きます。
2つの3次方程式(x-1){x^2+(a+3)x+3}=0---?@
x^3+(a+4)x^2+4x+b=0---?Aがある。但しa,bは実数の定数とする。
(1)x=2iが?Aの解である時、?@の解がすべて実数であり?@,?Aがただ1つの共通な解をもつとする。このときaの値、および?@と?Aに共通な解を求めよ。

模範解答ではaの存在範囲を求めたあとbをaで表し
(b=4a+16)その値を?Aに代入その式---?A'がx=2i,-2iを解に持つので?A’はx^2+4で割り切れる。
よって?A'⇔(x+a+4)(x^2+4)=0これより実数解はx=-a-4に定まる。として解いていっています。

僕はこの手の定石、共通解をαとおいて?@に代入。
α=1,-(a+3)±√(a^2+6a-3) /2
(i)α=1の時a=-5（不適)
ここでα=-(a+3)+√(a^2+6a-3) /2---?Bを代入するのは酷なので?Aにおいて根と係数の関係よりαとmの関係を導き
?Bとの連立方程式で解きました。

ここで質問なのですが、よく高次方程式の問題で与えられた高次方程式を思いも寄らぬ式（丁度割り切れる式）で割り正解に到達する模範解答を見るのですが、その様な発想は理不尽ではありませんか？
共通解＝αと置く方針で解けない問題はありますか？
No.8536 - 2009/10/22(Thu) 21:21:58
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ast
お書きになられている内容からは, 模範解答は素直に因数定理を利用して余分な因子を取り除いて話を整理することができているというふうに窺えるため, 一体ハオさんはどの辺りを「思いもよらぬ」・「理不尽」と評されているのかがどうもピンと来ません (むしろハオさんの実力からすると思いもよらないということは考えにくい).

お手間をとらせることになって申し訳ないのですが, 因数定理を利用すれば上手くいきそうだ, 因数定理を利用したらどうやらうまくいった, という発想や論理展開のどの辺が理不尽と感じるのかもう少し詳しく説明していただけませんか?

# 基本的に指導要領を逸脱することができない受験数学では,
# 因数分解が可能であるか複二次式のように
# 本質的に二次以下の簡単な式に帰着して考えることができるもの以外の
# 高次方程式を扱うことが実質的に禁止されています.
# ゆえに, そのような帰着を志向するのはむしろ自然なものといえませんか.
No.8544 - 2009/10/22(Thu) 23:33:58
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ
astさん、態々有難う御座います。正直申しますと、相手にされないのでは？と心配でした。

因数定理を利用する方針はとても高貴な解答であると僕自身思います。次数を下げるというのはとても大切な考え方であるとも思います。しかし、コレ又Benesse関係の問題で
P(x)=x^3-x^2+(2-4a^2)x+5a(aは正の定数)がある。
(1)x=1+iの時のP(x)の値をaを用いて表せ。
という問題がありました。

僕は計算ゴリ押しで解きました。然程煩雑な計算には思えなかったので。
しかし解答では、P(x)をx^2-2x+2で割ると
P(x)=(x^2-2x+2)(x+1)+(2-4a^2)x+5a-2
ところでx=1+iの時x^2-2x+2=0なので
P(1+i)=(2-4a^2)(1+i)+5a-2
と概要はこの通りです。
しかし、僕の洞察力が至らないのかx^2-2x+2で割る理由も分かりません。しかし何か問題作成者の頭だけに帰結している様にとても感じました。それ以来高次方程式は定石だけで解くようになってしまいました。
No.8555 - 2009/10/23(Fri) 17:22:56
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ToDa
例えば、剰余定理や因数定理を習う際の基本的な練習問題で

多項式P(x)について、P(x)を(x-2)で割ると余りは1で、(x-3)で割ると余りは2であるという。
このとき、P(x)を(x^2-5x+6)で割った余りを求めよ。

といった問題がよくあります。で、これまた基本的な解答例としては、
P(x)を(x^2-5x+6)(=(x-2)(x-3))で割った商をQ(x)とすると、
P(x)=(x-2)(x-3)Q(x) + ax + bのように置けるから…

といった感じで、次数を下げるようになっています。こんな感じで次数下げの威力を知るわけです。

で、

:P(x)=x^3-x^2+(2-4a^2)x+5a(aは正の定数)がある。
:(1)x=1+iの時のP(x)の値をaを用いて表せ。

この問題の場合、直接代入してはならないと言われているわけでもないので、別にそうやって解いてもいいのですが、それだと時間が掛かるしミスもするでしょう。そういうわけで、何か別の方法はないかと考えます。少なくとも、出題者は私たちの処理能力や忍耐強さを試しているわけではないのだろうと私なら考えます。

そして、次数を下げたらよさそうだと考えるのですが、じゃあ何で割ってみようかということで、{x-(1+i)}を因数に持つ二次式を引っ張り出すことになるのですが、その二次式に複素数が含まれたままだと割り算の段階でパニックに陥ってしまうので、実数係数のものを考えれば都合がよいわけです。

……などという事を考えた末に、{x-(1+i)}{x-(1-i)}=x^2-2x+2が出てくるのはさほど不自然でもないと思うのですが、どうでしょうか。
No.8556 - 2009/10/23(Fri) 18:03:17
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / phaos
i を消そうと思って
x = 1 + i
x - 1 = i
(x - 1)^2 = i^2
x^2 - 2x + 1 = -1
x^2 -2x + 2 = 0
と考えているんではないのだろうか。
結果としては ToDa さんと同じ事になるのだが。
No.8557 - 2009/10/23(Fri) 18:20:32
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ
成程です。僕の考えが至らなかった様です。
今後は上記の事を頭に入れたうえで問題に当たってみようと思います。
No.8558 - 2009/10/23(Fri) 18:29:24
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ast
既に解決済みの状況で蛇足になりますが,

ToDa さんがお書きになっていることと本質的に同じことなのですが, P(x) が x の多項式で x = α のときの P(α) を求めよといわれたときに, 剰余定理 "P(x) を x − α で割ったときの余りは P(α)" を思いつくようにはなっておいたほうがよいと思います. 剰余定理は割る多項式を高次にしたバージョンもあって, それは例えば "P(x)=Q(x)(x − α) + R(x) と書けるならば P(α) = R(α) となる" というような形に述べることができます.

また, phaos さんの仰ることと重なるかもしれませんが, 受験数学で扱う無理数や複素数は必ず "整数係数の二次の多項式" の根として得られるものばかりなので (特に複素数は自身の共軛複素数との和・積が実数になるため必然的にそうなります), このような代入を必要とする作業の中で複雑な多項式を "二次式で割る" という操作は受験数学の世界では王道といっても言い過ぎではないくらいの定石ではないかと感じます. まあ, たとえば 1 の虚立方根 ω などだと x^2 + x + 1 の根と考えるよりは ω^3 = 1 のほうが簡素な式なので使い勝手が良かったりはしますが.
No.8560 - 2009/10/23(Fri) 20:45:35
☆ Re: 高2進研模試(7月)の問題 / ハオ
astさん、蛇足などとは思いません程の的を得たアドバイス有難う御座います。明日は模試なので頑張ります。
No.8561 - 2009/10/23(Fri) 21:30:24
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