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★ 数１です / あつき
答えはわかっているのですが(３)の解き方をお願いします。

ｘについての２つの方程式

　　　ｘ^2−３ｘ＋２ｋ＝０…?@
　　　５ｘ−３ｋ＝３ｘ−２ｋ…?A　
がある。ただし、kは定数である。

(１)ｋ＝−１のとき、方程式?@の解を求めよ。

(２)ｋ≠０とする。方程式?Aの解が方程式?@を満たすとき、
　　ｋの値を求めよ。

(３)(２)のとき、方程式?Aの解をαとする。ｘ＝α、x＝α＋４が
　　ともに不等式　３｜x−p｜＋｜x｜≦１０…?B
　　を満たすような整数pの値をすべて求めよ。

　　*?Bの式に記しています縦棒は絶対値を表しています


　　答え (１)２/３±√１７(解き方もわかっています)

(２)k＝−２(解き方もわかっています)

　　　　　(３)p＝1、２
　　　　　　(解き方がわかりませんので教えてください)

　　　　　　　　　　　よろしくお願いします。

No.8691 - 2009/11/01(Sun) 21:08:26
☆ Re: 数１です / X
(2)の結果と(2)式より
5α-3・(-2)=3α-2・(-2)
∴α=-1
これにより(3)式は
x=α=-1のとき
3|-1-p|+1≦10 (4)
x=α+4=3のとき
3|3-p|+3≦10 (5)
(4)(5)を連立して解き、まずpの値の範囲を求めましょう.
No.8692 - 2009/11/01(Sun) 21:22:12
☆ Re: 数１です / あつき
教えていただきましたおかげでよくわかりました
どうも有難うございました。
No.8698 - 2009/11/01(Sun) 22:08:30
★ 矩形中の傾いた矩形 / あらじい
指定された矩形（Ａ）の中に傾いた矩形（Ｂ）が有るのですが、Ｂの短辺のみが与えられたとき、Ｂの長辺の最大値は、どのようにして求めたらよいでしょうか？
４０年に工学部を卒業した６２歳のじじいより、お願い致します。
No.8690 - 2009/11/01(Sun) 20:31:43
☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / rtz
・Aの長辺、短辺の長さ
・Aに対するBの傾きの角度
がなければ分かりません。

Bの短辺の長さのみで一般化というのは
面倒な上に長引くと思います。
No.8694 - 2009/11/01(Sun) 21:29:01
☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / らすかる
Bの短辺の他にAの辺しか与えられていない場合は、
どうも４次方程式を解かなければならないようですね。
No.8706 - 2009/11/02(Mon) 00:09:42
☆ Re: 矩形中の傾いた矩形 / あらじい
rtz様、ラスカル様
ご返事有難うございました。
なかなかやっかいなのですね。
ＣＡＤで適当に作図して実用値で済ませることに
致します。
どうもありがとうございました！
No.8714 - 2009/11/02(Mon) 11:20:55
★ 媒介変数表示の積分 / けん
x=2cost+cos2t
y=2sint-sin2t
(0≦t≦2π)
で表される曲線Cが囲む部分の面積を求めよ。
という問題で
t=0〜2π/3までとt=2π/3〜πで関数の形が変化するので
∫(-3/2から3)ydx-∫(-3/2から-1)ydxという式を立てたのですが、これをｔの積分に置換すると
∫(2π/3から0)f(t)dt-∫(2π/3からπ)f(t)dt
となり∫f(t)をF(t)とおくと
F(0)-F(2π/3)-(F(π)-F(2π/3))=F(0)-F(π)
で計算すると値がπとなり明らかおかしいのですが...
どこでおかしくなったのでしょうか？？
No.8688 - 2009/11/01(Sun) 18:33:09
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀
0≦t≦2π
なのでその答えの2倍になります。
No.8693 - 2009/11/01(Sun) 21:23:14
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / けん
対称性から２倍するのはわかります
今まで積分の問題を経験してきて
F(0)-F(2π/3)-(F(π)-F(2π/3))=F(0)-F(π)
となるパターンは初めてで
F(0)-F(2π/3)-(F(2π/3)-F(π))=F(0)-2F(2π/3)+F(π)
となるのが普通だと思ってきたので
違和感があるんですけど
No.8697 - 2009/11/01(Sun) 21:58:06
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀
いろんな問題を解けば違和感はなくなるかと思います。

今回の問題はそのように出来るということ以外、私は分かりません。すみません。
No.8699 - 2009/11/01(Sun) 22:13:49
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / けん
それだと結局
πから0までf(t)を積分することと同値なので変だと思ったのですが
No.8700 - 2009/11/01(Sun) 22:50:11
☆ Re: 媒介変数表示の積分 / 雀
念のためですが、f(t)のグラフは元のグラフではないです。
No.8705 - 2009/11/02(Mon) 00:06:43
★ 三次関数 / ひ-こ


はじめまして 。

全くわからないので ‥^^;
良かったら教えてください。


点(a、b)から曲線y=x^3-xへ異なる3本の接線が引けるとする。このような点
(a、b)の存在する範囲を求めよ 。



です 。




No.8674 - 2009/11/01(Sun) 11:47:17
☆ Re: 三次関数 / rtz
どこぞで書いたものをはりつけますか(やや改良版)。
ブームなんでしょうかこの問題は。


点(t,f(t))における接線の方程式はy=f'(t)(x-t)+f(t)
これがP(a,b)を通るとすると、f'(t)(a-t)+f(t)-b=0
(これはtに関する3次方程式)

点(a,b)からy=f(x)に対し接線が3本引ける。
⇔先ほどの3次方程式f'(t)(a-t)+f(t)-b=0が3つの相異なる実数解を持つ。
(要は、それぞれ異なる3つのtが接点のx座標であり、
Pを通るので、条件を満たす接線が3本ということ)

あとは3次方程式が3つの相異なる実数解を持つ条件を考えればいいでしょう。
No.8678 - 2009/11/01(Sun) 15:20:34
☆ Re: 三次関数 / ひ


3つの解をもつ条件がわかりません 。

2t^3-3at^2+a+b=0 となって
どう解いたらいいか
わかりません
No.8713 - 2009/11/02(Mon) 11:12:10
☆ Re: 三次関数 / ヨッシー

図形的に理解するなら、３次関数のグラフを図のように変曲点で
２つに分けたとき、左図の点々の部分は、青の部分に１本の接線が
引ける領域、斜線の部分は、青の部分に２本の接線が引ける領域です。
右図は赤の部分について、青と同様です。

青の部分に向けて２本、赤の部分に向けて１本引ければ接線は３本です。
赤に２本、青に１本でも同じです。
No.8751 - 2009/11/06(Fri) 11:40:22
★ 確率です / さやえんどう
確率の問題でも場合の数と同様に同じ色の玉は区別が無いものとして扱わなければならない、とならっていたのですが
私が買った問題集に
確率の問題においては
同じ色の玉や同じ数字のカードや人などの区別の有無は同様に確からしいのであれば自分の都合のいいように決めてよい。（ただしその際に分母と分子を同じ基準で考えるということを忘れないようにすること！）

とあるのですがこれは本当でしょうか？
どなたかよろしくおねがいします。
No.8657 - 2009/10/31(Sat) 14:34:09
☆ Re: 確率です / ヨッシー
本当です。
「同様に確からしいのであれば」というところがポイントで、
その条件を満たす限り、区別してもしなくても確率は同じです。

雑な例ですが、赤玉３個（ＡＢＣとします）、青玉３個（ＤＥＦとします）
がある時、
１個選んで、赤である確率
　区別あり：玉の取り方は６通り、赤は３通りなので、確率１／２
　区別なし：赤か青かの２通り、赤は１通りなので、確率１／２
これは、赤を取るのと青を取るのが同様に確からしいのでどちらも同じです。

これが、赤３個、青２個だとそうはいきません。

また、赤３個、青３個でも、２個取って、赤赤の確率
　区別あり：玉の取り方は 6Ｃ2＝15（通り）　そのうち赤赤は 3Ｃ2＝3（通り）　確率は 1/5
　区別なし：赤赤、赤青、青青の３通りのうちの1つなので確率１／３（誤り）
これは、赤赤、赤青、青青の出方が３，９，３ と同様に確からしくないので、
区別なしの考え方では正しく計算できません。

上の例のように、確率は、すべて区別して扱うのが基本ですが、
「区別が無いものとして扱わなければならない」とは妙ですね。
No.8658 - 2009/10/31(Sat) 15:01:06
☆ Re: 確率です / さやえんどう
そうなんですか！とても助かりますｗ

ところで、
これは、赤赤、赤青、青青の出方が３，９，３ と同様に確からしくないので、
区別なしの考え方では正しく計算できません。

とありますが、一般に、その同様に確からしいかどうかを求めるにはまず区別して数えてみるということですか？
No.8661 - 2009/10/31(Sat) 15:18:04
☆ Re: 確率です / ヨッシー
同様に確からしいことを調べるために、区別して数えるのなら、
最初から区別して確率を求めた方が早いので、区別して確率を出す
ことの方が多いと思います。
No.8667 - 2009/10/31(Sat) 18:38:35
★ お願いします / ゆり

2問あるのですが ‥ 。
お願いします。

[A]

幅1の細長いテープのすみBを、かどがテープのふちに重なるように折り返し、重なった点をB'とする。
折り目をP、Q とした時、次の問いに答えよ


1)?猶QB=θとしたとき、PQの長さをθを用いて表せ。

2)PQの最小値を求めよ



‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥


[B]
△ABCの周上を動く点Pがある。
ある時刻にPが△ABCの頂点の１つにいるとき、1秒後には他の2つの頂点のいずれかにそれぞれ確率1/2で移動している。最初、Pが頂点にいるとする。


Pがn秒後にAにいる確率を求めよ。但しnは0以上の整数とする。



No.8656 - 2009/10/31(Sat) 14:20:56
☆ Re: お願いします / ヨッシー
［Ａ］

こういうことでしょうか？
たぶん違うと思いますが（これでは解けないので）

［Ｂ］
最初、Ｐはどこにいますか？
No.8659 - 2009/10/31(Sat) 15:15:16
☆ Re: お願いします / ゆり

あ ‥ すみません 。


図の方は、上の角(B'の上)のがくっつくんです。


┏━━━━━━━━
┃／　＼
│　　　＼　
└────━━━━

こんな感じ ‥ と言って
伝わるでしょうか ?

すみません ‥
わかりにくくて ‥ 。




あ ‥ 、 最初はAにいます
No.8664 - 2009/10/31(Sat) 17:36:55
☆ Re: お願いします / ゆり

あ ‥ すみません 。


図の方は、上の角(B'の上)のがくっつくんです。

　　　　B'
A　┏━━━━━━━━
　┃／　＼
P　│　　　＼　
B　└────━━━━
　　　　　　Q

こんな感じ ‥ と言って
伝わるでしょうか ?

すみません ‥
わかりにくくて ‥ 。




あ ‥ 、 最初はAにいます






No.8665 - 2009/10/31(Sat) 17:38:39
☆ Re: お願いします / ヨッシー
では、点ＰはＡＢ上（点Ａを含む）にあると限定して考えます。
θの範囲は　０＜θ≦π/4 です。

Ｂ’から、ＢＱに垂線をおろし、ＢＱとの交点をＨとします。
　ＢＱ＝Ｂ’Ｑ＝1/sin2θ
　ＰＢ＝ＰＢ’＝ＢＱtanθ＝tanθ/sin2θ
△ＰＢＱにおける三平方の定理より
　ＰＱ2＝ＢＱ2＋ＰＢ2
　　＝(1＋tan2θ)/sin22θ
　　＝1/cos2θsin22θ
０＜θ≦π/4 では cos2θ＞０ sin22θ＞０ であるので
　ＰＱ＝1/cosθsin2θ＝1/2(sinθ-sin3θ)
ｘ＝sinθとし、f(x)＝ｘ−ｘ3 とおくと、
　f'(x)＝１−３ｘ2
より、ｘ＝1/√3 で、f(x) は極大で、０＜θ≦π/4 に相当する
０＜ｘ≦1/√2 で最大となります。
　ＰＱ＝1/{2f(x)}
であるので、f(x) が最大の時、ＰＱは最小になり、その長さは
　1/{2f(1/√3)}＝3√3/4
No.8669 - 2009/10/31(Sat) 20:55:48
☆ Re: お願いします / ヨッシー
[B] です。
Ｐがｎ秒後にＡにいる確率をＰn とすると、
ｎ秒後にＢまたはＣにいる確率は、１−Ｐnです。
ただし、Ｐ0＝１です。
ｎ＋１秒後には、Ｐがｎ秒後にＢまたはＣにいたときに、
その１／２の確率でＡにいるので、
　Ｐn+1＝(１−Ｐn)/2
という関係があります。変形して
　Ｐn+1−1/3＝(-1/2)(Ｐn−1/3)
Ｑn＝Ｐn−1/3 とおくと、
Ｑn は初項-1/3、公比-1/2 の等比数列となり、
　Ｑn＝(-1/3)(-1/2)n-1
よって、
　Ｐn＝(-1/3)(-1/2)n-1＋1/3
No.8670 - 2009/10/31(Sat) 21:03:28
☆ Re: お願いします / ゆり

丁寧にありがとうございます★
最初の問題の方の、
最後の最小値の求め方がよくわからないのですが ‥
No.8673 - 2009/11/01(Sun) 11:14:13
★ メネラウスの定理 / たっくん
メネラウスの定理が使えないときってあるんですか？
あるとしたら、どんな状況のときなんでしょうか？
以前、垂直が絡んだときにって聞いた気がするんですが・・・
教えてください。
No.8651 - 2009/10/31(Sat) 00:06:38
☆ Re: メネラウスの定理 / ヨッシー
三角形を直線が横切っているような状態で、その直線が
三角形のどの辺とも平行でなく、どの頂点も通らないのであれば、
いつでも使えると思います。
No.8652 - 2009/10/31(Sat) 00:11:11
☆ Re: メネラウスの定理 / たっくん
つまり、三角形のある辺と平行だったり、頂点を直線が通ると使えないということでしょうか？
No.8653 - 2009/10/31(Sat) 00:43:07
☆ Re: メネラウスの定理 / rtz
平行なら相似が使えますね。

直線が頂点→内部→対辺を通る場合は、
特別なときには各々定理が使える場合もあります。
一般的な場合なら高校での三角比までお預けです。

直線が頂点を通るだけで内部を通らないなら関係ないですね。
(もっとも、接弦定理など、ないわけではありませんが)
No.8655 - 2009/10/31(Sat) 02:33:55
★ よろしくお願いします / たく
座標平面内に３点A(-1,-1,-1),B(1,1,0),C(8,2,2)がある。また、A,Cと点D（５、ｙ、ｚ）の３点は一直線上になる。点Cから直線ABに垂線をおろし直線ABの交点をHとする。

１）ｙ、ｚの値を求めよ。
２）Hの座標を求めよ
３）３点A,B,Cが定める平面状に点Eがある。線分EHは直線ABに垂直で、線分CHと長さが等しい。このとき点Eの座標を求めよ。ただし、EとCは異なる点である。

４）直線AB上を動く点Pに対して二本の線分CP,PDの長さの和をLとする。Lの最小値とそのときの点Pの座標を求めよ。

この問題で２）までは解けたのですが、３）４）にかなり疑問があります。

まず３）でEの座標が具体的にも止まること自体に疑問があります。というのはABに垂直でCHと同じ長さを満たすEは無限にあると思うからです。（直線ABに平行でCを通る直線をｍ、ABに関してCと対称な直線をｍ’とするとEはｍ’上の全ての点で題意を満たすと思います）
４）にも関連しますが要するにEがCの直線ABに関する点対称な点ではなく線対称な点と決め付けていることが疑問なのです。

とはいっても３）は点対称とみなしてもベクトルHE＝ベクトルCHを使えば機械的に解けます。しかし４）は回答の図はEは線対称な点としてかかれており、またそうしないと解けないような気がします。どういうことなんでしょうか。よろしくお願いします。
No.8646 - 2009/10/31(Sat) 00:02:19
☆ Re: よろしくお願いします / 雀
すみません、直線をｍ’がどこを示すのか分からなかったですが、点Eは３点A,B,Cが定める平面上にある点なので一つに決まるのでないでしょうか？
No.8647 - 2009/10/31(Sat) 00:03:07
☆ Re: よろしくお願いします / rtz
EH＝CHですよ。
CやEを除くmやm'上の点は直線ABからの距離がCHと等しくはなりますが、
Hとの距離は等しくなりません。
No.8648 - 2009/10/31(Sat) 00:03:48
☆ Re: よろしくお願いします / たく
ABに関するCの対称点をZとするとZを通りABに平行な直線がｍ’です
No.8649 - 2009/10/31(Sat) 00:04:32
☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー
この記事への回答は、ご遠慮ください。
No.8650 - 2009/10/31(Sat) 00:06:35
★ 不等式 / バナマン
実数x,y,zが　x^2+y^2+z^2≦1
x+y+z≧1
x=y＜z

をみたして変化するとき、y+zのとりうる値の範囲を求めよ。

文系数学の問題ですがアプローチがわからないのでぜひ教えてください。
No.8634 - 2009/10/30(Fri) 17:34:48
☆ Re: 不等式 / 七
x=y＜z
ならなぜ3文字必要なのでしょうね？
No.8635 - 2009/10/30(Fri) 19:28:11
☆ Re: 不等式 / バナマン
xを消去して、

2y^2+z^2≦1
2y+z≧1
y＜z

まで進めました。ただ、2y^2+z^2≦1のグラフがわかりません。
No.8643 - 2009/10/30(Fri) 22:45:44
☆ Re: 不等式 / 七
> xを消去して、
>
> 2y^2+z^2≦1
> 2y+z≧1
> y＜z
>
> まで進めました。ただ、2y^2+z^2≦1のグラフがわかりません。
2y^2+z^2＝1　は楕円の方程式です。数学Cの範囲ですが文系であれば習ってないかもしれませんね。
どこの問題ですか？
No.8644 - 2009/10/30(Fri) 23:22:19
☆ Re: 不等式 / バナマン
楕円の方程式ですか。
問題の出展はわかりませんが、とにかく文系範囲で解ける問題らしいです。
No.8645 - 2009/10/30(Fri) 23:44:03
☆ Re: 不等式 / 七
文系範囲といっても
数3、数Cまで要求する大学もありますが…。
どういう経緯でこの問題をやっているのですか？
解答はついていないのですか？
No.8654 - 2009/10/31(Sat) 02:17:21
☆ Re: 不等式 / バナマン
数学の教員に出された問題です。
解答はもらってないです。

数３、数Cは使わず、整数問題として解けるとのことです。
No.8660 - 2009/10/31(Sat) 15:15:30
☆ Re: 不等式 / 雀
横から失礼致します。
整数問題として解く方法とは違いますが、

2y^2+z^2≦1
2y+z≧1
y＜z
から
z=(√2)tと置けばいけるかと思います。
No.8662 - 2009/10/31(Sat) 15:40:37
☆ Re: 不等式 / 七
整数問題ですか。一番苦手な分野だな。
実数の問題への応用ということですか。
ちょっと思いつかないですね。
他の人に任せます。
No.8668 - 2009/10/31(Sat) 20:31:47
☆ Re: 不等式 / バナマン
なるほど。氷解しました。

お二人ともありがとうございました。
No.8671 - 2009/10/31(Sat) 23:33:07
★ 証明 / 山田
（ａ＾2＋ｂ＾2）（Ｃ＾2＋ｄ＾2）＝（ａｃ＋ｂｄ）＾2＋（ａｄ−ｂｃ）＾2は証明できましたが


次の２つの整数の平方の和で表される数の全体からなる集合をＡとしX、ｙがＡの要素であるとき積ＸｙもＡであることを証明せよ

がわかりません
どうかお願いします
No.8627 - 2009/10/29(Thu) 15:40:13
☆ Re: 証明 / らすかる
上の式で証明になっているのでは？
No.8628 - 2009/10/29(Thu) 16:15:49
☆ Re: 証明 / 山田
上の式をどう利用すればよいのでしょうか

すいませんがよろしくお願いします
No.8629 - 2009/10/29(Thu) 16:23:34
☆ Re: 証明 / らすかる
利用も何も、そのままですが。
X=a^2+b^2∈A
y=c^2+d^2∈A
とすると
Xy=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2∈A
No.8630 - 2009/10/29(Thu) 16:38:55
★ 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
等式x^2f'(x)ーf(x)=x^3+ax^2+bxを満たす整式ｆ（ｘ）について、以下の問いに答えよ。ただしa,b定数

（１）ｆ（ｘ）はｘの何次式か？

とあり、回答では両辺を係数比較しています。係数比較（同次の項の係数が全て等しい）をしてよいのは恒等式、係数比較してダメなのは方程式、というのは知っています。

問題文には「等式」としか書かれていないのになぜ
恒等式として扱っているのでしょうか？

また、これもまた意味が分からないのですが
タイトルにはf'(x)の入った方程式とあります。
これは恒等式の間違いですか？

ご教授お願いします。
No.8621 - 2009/10/29(Thu) 11:47:17
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / X
方程式と聞くと、何らかの値を求めるものと捉えていると思いますが
問題の
x^2f'(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx (A)
は値ではなく、関数f(x)を求めるための方程式です。
(f(x)についての微分方程式です。)
しかしながら、ここではf(x)を整式の範囲に限定していますので
f(x)をそのように置けば(A)はxについての恒等式となります。
No.8623 - 2009/10/29(Thu) 13:06:25
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
問題文には「等式」としか書かれていないのになぜ
恒等式として扱っているのでしょうか

の質問に対してここではf(x)を整式の範囲に限定していますので
f(x)をそのように置けば(A)はxについての恒等式となります。

とありきとますが、何を言ってるのか正直分かりません。
整式というのはこの場合ｘ＾２などといったように指数部分が整数からなるｘの式のことですよね。それが何の関係があるのでしょうか。
No.8626 - 2009/10/29(Thu) 14:47:10
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ast
まず "方程式" と書かれているのは x についての話ではなく「未知函数 "f" に関しての方程式」であるという意味, 二つの整式 f, g が "整式として等しい" というのは f(x) = g(x) が "x についての恒等式となっている" という意味です. したがって「整式についての等式」と言った時点で x については恒等式をかんがえていることになります.

# 本当は整式が等しいというのは各次数の係数がそれぞれ等しいことをいうのですが
# 有理数や実数や複素数の範囲で係数を考える限りは x の恒等式ということと同値です
No.8631 - 2009/10/29(Thu) 20:28:05
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
「整式についての等式」と言った時点で x については恒等式をかんがえていることになります.

とありますが、例えば

x^2-x+-1=-x^2
の両辺は整式でこの式は等式ですが
ｘについての恒等式ではありませんよね？
（ｘ＝−１を両辺に代入すると違う値になります。）
No.8636 - 2009/10/30(Fri) 19:43:19
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ast
はい, それは未知数 x についての等式ですが, 未知函数についての等式ではありません. そこには未知の函数が存在しませんので, それによって函数についての方程式を考えることはできません. もちろん,
> x についての恒等式ではありませんよね?
> (x = −1 を両辺に代入すると違う値になります。)
というのは, x^2 − x − 1 と −x^2 が "整式としては等しくない" ということの理由にはなります. もとの問題では x ではなく f を決定するのだという目的および整式が相等しいとはどういうことかをきちんと理解し, それが x にある特定の値を代入した場合のみ成立する等式ではないということを意識できる必要があります.
No.8637 - 2009/10/30(Fri) 19:56:23
☆ Re: 問題の間違いでしょうか・・・・？ / ともや
何を言っているのか結局分かりません。
もうすこし知識をつけてから出直してこようと思います。
No.8639 - 2009/10/30(Fri) 20:22:09
★ (No Subject) / 積分定数
y=e^xとx軸で囲まれるx=-1からx=1までの面積をDとする、傾きeで定点(a,0)を通る直線でDを２等分するときaの値はいくらになるでしょうか？　　どうかよろしくおねがいします
No.8619 - 2009/10/29(Thu) 01:06:49
☆ Re: / ヨッシー
Ｄ＝∫-11ｅxdx
　＝[ｅx]-11
　＝ｅ−1/ｅ

定点(a,0) が原点(0,0) であるとすると、この直線は、
(1,e) で、ｙ＝ｅx に接し、図の青の部分は、
ｅ/2 であるので、Ｄの半分より大きいです。


よって、直線は、もう少し右にあり、２等分した片方は、
直角三角形になります。その、直角をはさむ２辺は
　1-a, e(1-a)
であるので、面積は e(1-a)2
これがＤの半分になればいいので、
　2e(1-a)2＝ｅ−1/ｅ
　(1-a)2＝1/2−1/2ｅ2
　a＝１−√{1/2−1/2ｅ2}
となります。
No.8632 - 2009/10/29(Thu) 23:10:03
★ (No Subject) / いんてぐらる
定積分
∫（0,π）dx/2+sinx
不定積分
∫dx/x√(x-1)
の２つをお願いします
No.8618 - 2009/10/29(Thu) 00:08:57
☆ Re: / X
(2問目)
√(x-1)=tと置くと
x=t^2+1
dx=2tdt
∴∫dx/{x√(x-1)}=2∫dt/(t^2+1)
=2arctant+C
=2arctan√(x-1)+C
(C:積分定数)
No.8622 - 2009/10/29(Thu) 12:57:39
★ 高３ / パシフィスタ
∫1/√(a^2-x^2)dx

∫1/(x^2+a^2)dx

∫√(a^2-x^2)dx

のアーク（サインの逆関数がアークサインとかいうあのアークです）を使った解き方を教えてください。

どれか一つ教えていたただければ
残りは自力でやれるかもしれません。

学校では余り詳しく教えてもらえなかったので
この掲示板を利用させてもらいました。

どうかよろしくお願いします。
No.8617 - 2009/10/29(Thu) 00:05:30
☆ Re: 高３ / X
逆関数の微分を使うことにより
(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
(arctanx)'=1/(1+x^2)
∴
∫dx/√(1-x^2)=arcsinx+C (A)
∫dx/(1+x^2)=arctanx+C (B)
(C:積分定数)
注)arccosx=-arcsinx+π/2の関係があります。

１，２問目は(A)(B)が利用できるように問題の積分の変数を
適当に置換します。
例えば１問目だとx=atと置いて…。

３問目について。
１，２問目と同様に置換をし、部分積分を使って(A)(B)が
使える形に変形するのも一つの方法ですが、
x=asint (C)
と置いて積分を計算し、(C)より
t=arcsin(x/a)
とできることから変数をxに戻す、といった方針のほうが
簡単かもしれません。
No.8624 - 2009/10/29(Thu) 13:31:23
★ 一Ａ？ / ふぇふぇ
放物線ｙ＝ｘ＾２＋３上にあり　定点（０、a）
に最も近い点Ｐの座標を求めよ

２）a＞３を満たす定数
とする定点（０、a）を中心とする円のうち
領域ｙ以上ｘ＾２＋３に含まれる半径最大の円の半径ｒをもとめよ


をおねがいします
No.8616 - 2009/10/28(Wed) 23:48:11
☆ Re: 一Ａ？ / X
1問目)
問題の放物線上の点(t,t^2+3)と定点(0,a)との間の距離の
２乗をf(t)と置くと
f(t)=t^2+(t^2+3-a)^2
=t^4+(7-2a)t^2+(3-a)^2
={t^2-(a-7/2)}^2+(3-a)^2-(a-7/2)^2
={t^2-(a-7/2)}^2+a-13/4
後は
f(t)≧0
となるようにしなければならないことに注意して
(i)a-7/2≧0かつa-13/4≧0のとき
(ii)a-7/2<0かつa-13/4≧0のとき
(iii)a-13/4<0のとき
の場合分けでf(t)が最小になるときのaの値を求めます。
2問目)
1問目の結果を使います。
No.8625 - 2009/10/29(Thu) 13:45:17
★ 色んなやり方がありそうですが・・・ / ぽんた
xy平面状に定点A(-1,0),B(1,0)と動点Pがある。
Pは領域ｙ＞０にあり、
条件　
　　　∠PBA−∠PAB＝60°
を満たしながら動くものとする。点Pの?I座標が最小となるときの点Pの座標をもとめよ。

僕はベクトルでやってみましたが、計算でつぶれました。
どうやったらいいでしょうか？
できれば色んな解き方をさぐりたいです
おねがいします
No.8615 - 2009/10/28(Wed) 21:33:00
☆ Re: 色んなやり方がありそうですが・・・ / 豆
PAとｙ軸の交点をCとすると、∠CAB=∠CBAなので、
∠PBC=60°で一定ですね。
y軸上でCを上下させたらPはどう動きますか？
No.8620 - 2009/10/29(Thu) 11:02:26
★ 対数と不等式 / Ｔｏｍ
（１）１でない正の実数ｘ，ｙで、
　　　log[２]ｘｙ＝ａ　
log[２]ｘ・log[２]ｙ＝ｂとおくと
ｂ＝ａ＾３＋（１／２）ａ＾２ーａ　，ａ＞０が成り立つ

log[２]ｘ／ｙ　が最大になるとき
log[２]ｘは？


?A３次関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾３＋ｘ＾２と正の定数ａがある

ｆ（ｘ＋２ａ）＜ｆ（ｘ＋ａ）＋ｆ（ａ）を満たす整数ｘ
が−１だけであるときａの範囲は？



お願いします。
No.8607 - 2009/10/28(Wed) 04:19:25
☆ Re: 対数と不等式 / ヨッシー
(1) は問題文をそのまま書いていただけますか？
log[２]ｘ　（２が底の対数）
の書き方はこのままで良いです。
No.8610 - 2009/10/28(Wed) 11:46:17
☆ すいませんでした / Ｔｏｍ
ともに１でない正の実数ｘ，ｙについて、
　　　log[２]ｘｙ＝ａ　
log[２]ｘ・log[２]ｙ＝ｂとおくとき
ｂ＝ａ＾３＋（１／２）ａ＾２ーａ　
ａ＞０が成り立つとする

?@F=（log[２]ｘ／ｙ）＾２をａの関数として表すと
Ｆ＝？
これは　−４ａ＾３−ａ＾２＋４ａ　となりました

?AＦ≧０だから　ａがとりうる範囲は？

これも０＜ａ≦（√６５−１）／８　となりました

?BＦが最大のときのａ,ｂは？

ａ＝１／２　　ｂ＝−１／４　となりできました。

?Clog[２]（ｘ／ｙ）　が最大になるとき
log[２]ｘは？
これだけ出来ませんでした
No.8611 - 2009/10/28(Wed) 12:00:47
☆ Re: 対数と不等式 / ヨッシー
(2) です。
f(x+2a)＝x^3＋6x^2a＋12xa^2＋8a^3＋x^2＋4ax＋4a^2
f(x+a)＝x^3＋3x^2a＋3xa^2＋a^3＋x^2＋2ax＋a^2
より
　f(x+2a)−f(x+a)−f(a)
　　＝3x^2a＋9xa^2＋7a^3＋2ax＋3a^2−a^3−a^2
　　＝3ax^2＋(9a^2＋2a)x＋6a^3＋2a^2＜０
となりますので、a＞０ で両辺を割って
　g(x)＝3x^2＋(9a＋2)x＋6a^2＋2a
とおくと、条件を満たすには、g(-2)≧0, g(-1)＜0, g(0)≧0
となれば良いです。
　g(-2)＝6a^2−16a＋8≧0
　　2(3a-2)(a-2)≧0　より　a≦3/2 または 2≦a
　g(-1)＝6a^2−7a＋1＜0
　　(6a-1)(a-1)＜0　より　1/6＜a＜1
　g(0)＝6a^2＋2a≧0
　　2a(3a+1)≧0　より　a≦-1/3 または　0≦a
以上より　1/6＜a＜1
No.8612 - 2009/10/28(Wed) 12:22:42
☆ Re: 対数と不等式 / ヨッシー
Ｆが最大値Ｆmax をとるとき、
log[２]（ｘ／ｙ）の最大が　√Fmax で、最小が −√Fmax になります。

log[２](x/y)＝√Ｆmax となるｘ、ｙが見つかったとすると、
log[２](y/x) が−√Ｆmax になります。

方針としては、Ｆmax を与えるのは、a=1/2 ですから、
このときのｘ、ｙ を求め、ｘ＞ｙ となる方が答えです。

log[2]x＝Ｘ、log[2]y＝Ｙ とおくと、
　Ｘ＋Ｙ＝ａ、ＸＹ＝ｂ であるので、
Ｘ＋Ｙ＝1/2、ＸＹ＝-1/4 となるＸ，Ｙ を見つけることになります。
解と係数の関係より、Ｘ，Ｙは、
　x^2−x/2−1/4＝０
の解であり、それらは、ｘ＝(1±√5)/4 であるので、
Ｘ＝log[2]ｘ＝(1+√5)/4 となります。

ちなみに、問題文の再掲をお願いしたのは、
・・・
ａ＞０が成り立つとする
の「とする」がないため、事実なのか仮定なのか
わからなかったためです。
No.8613 - 2009/10/28(Wed) 12:52:05
☆ Re: 対数と不等式 / Ｔｏｍ
ありがとうございます。
No.8633 - 2009/10/30(Fri) 15:32:40
★ 数列 / さば
ａ1＝−１８
ａｎ+１＝５／４＋５


の一般項ａｎと
初項から第ｎ項までのSｎをお願いします。
No.8599 - 2009/10/27(Tue) 20:21:50
☆ Re: 数列 / さば
すいません５／４ａｎです
No.8600 - 2009/10/27(Tue) 20:45:29
☆ Re: 数列 / 雀
a[n+1]=(5/4)a[n]+5
⇔
a[n+1]+20=(5/4){a[n]+20}

a[n]+20をb[n]と置けば

b[n+1]=(5/4)b[n]
これは公比5/4の等比数列なので････
No.8602 - 2009/10/27(Tue) 22:32:23
☆ Re: 数列 / さば
申し訳ありません
答えを確かめたいので教えてください
No.8604 - 2009/10/27(Tue) 23:55:33
☆ Re: 数列 / rtz
ならばあなたの考えた過程と結果を書けば済むのでは？
No.8606 - 2009/10/28(Wed) 03:36:59
★ グラフ / みな
曲線｜X＾2＋１｜＋ｙ＝２ｙ〉０の概形をかけがわかりません。


お願いします。
No.8583 - 2009/10/26(Mon) 17:13:57
☆ Re: グラフ / みな
ｙ〉０という意味です
No.8585 - 2009/10/26(Mon) 17:38:23
☆ Re: グラフ / らすかる
|x^2+1|+y=2y＞0 ですか？

# 〉は不等号ではありません。
No.8586 - 2009/10/26(Mon) 17:54:43
☆ Re: グラフ / みな
＝２



ｙ＞０です
No.8588 - 2009/10/26(Mon) 20:34:28
☆ Re: グラフ / ヨッシー
うーむ。問題の意図がよくわかりません。
ｘ^2＋１ はｘが実数であれば常に正なので、
絶対値は意味が無く
　ｘ＾2＋１＋ｙ＝２
　ｙ＝−ｘ^2＋１
ですね？(-1,0)(0,1)(1,0) を結んだ上に凸のグラフになります。
ｙ＞０ はｘ軸より上(第1，2象限)ってことですかね？

何の問題ですか？
問題集・・・ではなさそうですが。
No.8590 - 2009/10/26(Mon) 21:41:31
☆ Re: グラフ / みな
すいません

｜X＾2−１｜でした
No.8591 - 2009/10/26(Mon) 21:58:48
☆ Re: グラフ / ヨッシー
｜ｘ2−１｜＋ｙ＝２
であれば、
-1≦ｘ≦1 において、
　−ｘ2＋１＋ｙ＝２
　ｙ＝ｘ2＋１
ｘ＜−１　または　ｘ＞１ において
　ｘ2−１＋ｙ＝２
　ｙ＝−ｘ2＋３
なので、

このようなグラフになります。
これと、ｙ＞０ との関係は自分で解釈してください。
No.8592 - 2009/10/26(Mon) 22:14:39
☆ Re: グラフ / みな
ありがとうございます。

できれば
続きの直線Ｌ：ｙ＝ｍX＋ｍー１（ｍは正の定数）
がこの曲線と−１＜X＜１の部分で接するときの接点の座標またｍの値もよろしくお願いします。
No.8593 - 2009/10/26(Mon) 22:20:03
☆ Re: グラフ / ヨッシー
ｙ＝ｍｘ＋ｍ−１＝ｍ（ｘ＋１）−１
なので、この直線は、ｍの値によらず、(-1,-1) を通ります。
No.8594 - 2009/10/27(Tue) 08:18:40
★ 確率 / かな
３個のサイコロを同時に振るとする。


出る目の最大値をＭ
最小値をｍとする。
Ｍーｍ＝ｋとなる確率Ｐk（０≦ｋ≦５）を求めよ。ただし
ｋ≧２の計算には次の事項を用いてよい


出る目の数はｍ、ｍ＋ｋの２種類のみの場合とｍ、ｍ＋ｋ、ｍ＋ｉ（１≦ｉ≦ｋー1）の３種類のいずれかである。


１≦ｍ≦6−ｋである。


お願いします。
No.8579 - 2009/10/25(Sun) 22:26:09
☆ Re: 確率 / ヨッシー
すべての目の出方は６×６×６＝２１６(通り)なので、
それぞれの場合の数が出れば、２１６で割れば確率になります。

ｋ＝０　１から６の６通り
ｋ＝１　１と２の出方が　112,121,211,122,212,221 の6通り、
　これが、２と３，３と４，４と５，５と６についても同じだけ存在するので
　5×6＝30(通り)
ｋ＝２　数字が２種類の場合、１と３，２と４，３と５，４と６の
　４通りに対して６通りの出方があるので、４×６＝２４(通り)
　数字が３種類の場合　123,234,345,456 の４通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、４×６＝２４(通り)
　あわせて　４８通り
ｋ＝３　数字が２種類の場合　１と４，２と５，３と６の
　３通りに対して６通りの出方があるので、３×６＝１８(通り)
　数字が３種類の場合、124,134,235,245,346,356 の６通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、６×６＝３６(通り)
　あわせて　５４通り
Ｋ＝４　数字が２種類の場合　１と５，２と６の
　２通りに対して６通りの出方があるので、２×６＝１２(通り)
　数字が３種類の場合、125,135,145,236,246,256　の６通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、６×６＝３６(通り)
　あわせて　４８通り
Ｋ＝５　数字が２種類の場合　１と６の
　１通りに対して６通りの出方があるので、１×６＝６(通り)
　数字が３種類の場合、126,136,146,156　の４通りの目に対して、
　目の出方は３！＝６(通り)で、４×６＝２４(通り)
　あわせて　３０通り
No.8580 - 2009/10/25(Sun) 23:06:32
☆ Re: 確率 / かな
ありがとうございます。
助かりました。
No.8581 - 2009/10/25(Sun) 23:13:24
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