ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 既約分数 / エイドリアン

nを自然数とします。0以上1以下の既約分数のうち、
nを分母で割ったものの小数部分が0.5以上である
という条件をみたすものは全部で何個ありますか?

No.80806 - 2022/02/08(Tue) 21:32:02

☆ Re: 既約分数 / IT

問題文は、原文どおりですか？

既約分数は0≦p/q≦1で nを分母で割ったものとは n/q ということですか？　

それとも　既約分数はn/q で　0.5≦n/q＜1 ということですか？

あるいは、これら以外の解釈？

No.80807 - 2022/02/08(Tue) 22:06:56

☆ Re: 既約分数 / エイドリアン

> 既約分数は0≦p/q≦1で nを分母で割ったものとは n/q ということですか？　

その通りです。

No.80819 - 2022/02/08(Tue) 23:04:11

☆ Re: 既約分数 / IT

元の問題がそういう問題なのですか？
それとも問題を解く途中で出てきた問題ですか？

No.80861 - 2022/02/10(Thu) 20:04:13

☆ Re: 既約分数 / エイドリアン

元の問題がこの問題なのです。。。

お願いします

No.80862 - 2022/02/10(Thu) 22:48:31

☆ Re: 既約分数 / IT

規則性がないかと思いましたが
ｎ＝1,2,3,...,13まで実験しました。13まではn^2 になりますね。

例えばn=5 のとき
　n/q の小数部が0.5以上となるのは、q=2,3 n+1≦q≦2n
　それぞれのqが分母になる正の既約分数の個数は
　1,2,2,6,4,6,4 計　25=5^2個
　
偶然ではなさそうなので,
整数論で出てくるオイラー関数の性質などから一般のnについて計算できるかも知れませんが難しそうですね。

出典は何ですか？　どいうレベルの問題ですか？

No.80877 - 2022/02/12(Sat) 15:48:22

☆ Re: 既約分数 / IT

下記に解答を書き込みました。
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=80942

No.80952 - 2022/02/16(Wed) 20:51:33

☆ Re: 既約分数 / エイドリアン

ありがとうございました。
大変よく理解できました。

No.81098 - 2022/03/04(Fri) 12:25:41

★ (No Subject) / そらと

小4です。中1の予習をしていて、方程式の仕組みやパターンがよくわかりません。だれか教えてください!!🖕

No.80802 - 2022/02/08(Tue) 20:39:44

☆ Re: / ヨッシー

こちらの第１０回あたりから見てみて、
どの辺でつまづきますか？
ひょっとして、全部わかる、とか言われたら、ちょっと考えます。

No.80803 - 2022/02/08(Tue) 20:50:59

☆ Re: / そらと

ここのは全部わかります。

No.80804 - 2022/02/08(Tue) 21:17:31

☆ Re: / IT

横から失礼します。
どんなテキストを使っていて、どこのどんなことが、良く分からないのですか？　
もう少し具体的に例を示してみてください。

No.80805 - 2022/02/08(Tue) 21:29:42

☆ Re: / そらと

友達のお兄ちゃんからコピーさせてもらった中1の啓林館の教科書とワークを使っています。

No.80810 - 2022/02/08(Tue) 22:15:49

☆ Re: / IT

どこのどんなことが、良く分からないのですか？　
具体的に例を示してみてください。

No.80812 - 2022/02/08(Tue) 22:30:43

☆ Re: / そらと

『「a中学校の生徒数は380人で、全員運動部か文化部のどちらか1つに所属している。文化部に所属している人数が運動部に所属している人数の60%より44人多い時、文化部に所属している人数をx人として次の問いに答えなさい」
?@運動部に所属している人数をxを使った式で表しなさい。
?A「運動部に所属している人数の60%より44人多い時」より、文化部に所属している人数をxを使った式で表しなさい。
?B文化部に所属しているのは何人か。』
の?Aや?Bのような問題がわかりません。

No.80814 - 2022/02/08(Tue) 22:39:26

☆ Re: / IT

> ここのは全部わかります。
17,18,19 も分かるのですか？

No.80816 - 2022/02/08(Tue) 22:49:36

☆ Re: / そらと

いえ、10はさっきわかったけど今17、18、19見て、あまりわからなかったです。

No.80820 - 2022/02/08(Tue) 23:04:43

☆ Re: / ヨッシー

方程式のコツは、色々考えずに、書かれているとおりに式を作ることです。
式を作ったら、あとは解くだけの機械的な作業になります。

上の問題の場合、
全員380人で文化部がｘ人なので,運動部は 380－ｘ人です。
運動部の60%＋44人が文化部の人数なので、
　(380－ｘ)×0.6　・・・運動部の60%
　　＋44　＝　ｘ　44人を足すと文化部の人数
つまり、
　(380－ｘ)×0.6＋44＝ｘ
という式が出来ます。
あとは解くだけです。

No.80822 - 2022/02/09(Wed) 00:51:30

★ (No Subject) / ぴ

問3でnーmー1がどう言った意味を表しているかがわからないです。
解説をお願いします。

No.80799 - 2022/02/08(Tue) 19:35:04

☆ Re: / ぴ

問題です。

No.80800 - 2022/02/08(Tue) 19:35:39

☆ Re: / ヨッシー

右のページで、ｎ－ｍ－１がどのように使われているかを
見てみないと何とも言えません。

No.80801 - 2022/02/08(Tue) 20:24:08

☆ Re: / ぴ

お願いします

No.80829 - 2022/02/09(Wed) 14:48:15

☆ Re: / ヨッシー

問１で P(4, 2) を考えるときに、
３回目までで、赤が２回出る確率 P(3, 2) に、
３回目までには２回出てない場合を足しましたね？
そのときに、３回の色の出方として、２回目は白、３回目は赤、１回目は何でも良いとしました。
同様に P(n, m) を考えるときに、
n-1 回目までで、赤がｍ回出る確率 P(n-1,m) に
n-1回目までにはｍ回出ていない場合を足すのですが、
そのときの n-1回の出方は、n-m回目は白、n-m+1回目からn-1回目までのm-1回
は連続して赤、それ以前の n-m-1 回は何でも良い
とすると、P(4, 2) のときと同じように行けそうです。
ところが、n-m-1≧m だったら、「それ以前の n-m-1 回は何でも良い」と言っていられなくなります。
場合分けをして、１回目からn-m-1回目までに赤がｍ回出ない場合を数えないといけません。
ちょうど、P(5, 2) を考えるのに、４回目までに赤が２回でない場合として
３回めが白、４回目が赤、としても、１回目２回目が何でも良いわけではないのと同じです。
そのため、n-m-1＜m を確認する必要があります。

No.80830 - 2022/02/09(Wed) 16:41:08

☆ Re: / ぴ

ありがとうございます

No.80841 - 2022/02/10(Thu) 05:54:09

★ 二項係数 / りん

nを自然数、p,q,rはp+q+r=nを満たす0以上n以下の整数とするとき、
nCp×nCq×nCrの最大値を求めよ。
なんとなくp=q=r=n/3付近の時に最大になりそうな気がするのですが、
うまく示せません。教えてください。

No.80797 - 2022/02/08(Tue) 16:55:16

☆ Re: 二項係数 / GM

nＣm × nＣmとnＣm+k × nＣm-kの大小を比較するため
nＣm × nＣm/(nＣm+k × nＣm-k)の計算を行います
表記上
nＣm = n!/((n-m)!m!)
nＣm+k = n!/((n-m-k)!(m+k)!)
nＣm-k = n!/((n-m+k)!(m-k)!)
とします

nＣm × nＣm/(nＣm+k × nＣm-k)
=(n-m-k)!(m+k)!(n-m+k)!(m-k)!/((n-m)!m!(n-m)!m!)
=(m+k)・・・(m+1)(n-m+k)・・・(n-m+1)/((n-m)・・・(n-m-k+1)m・・・(m-k+1))
これは
(m+k)・・・(m+1)/(m・・・(m-k+1))
と
(n-m+k)・・・(n-m+1)/((n-m)・・・(n-m-k+1))
の積になっていて両方とも1より大きい

次にnＣm+1 × nＣmとnＣm+1+k × nＣm-kの大小を比較するため
nＣm+1 × nＣm/(nＣm+1 +k × nＣm-k)の計算を行います
上と同様に
nＣm+1 × nＣm/(nＣm+1+k × nＣm-k)
=(n-m-1-k)!(m+1+k)!(n-m+k)!(m-k)!/((n-m-1)!(m+1)!(n-m)!m!)
=(m+1+k)・・・(m+1)(n-m+k)・・・(n-m)/((n-m)・・・(n-m-k)(m+1)・・・(m-k+1))
これは
(m+1+k)・・・(m+1)/((m+1)・・・(m-k+1))
と
(n-m+k)・・・(n-m)/((n-m)・・・(n-m-k))
の積になっていて両方とも1より大きい

以上の考察からnＣp×nＣq×nＣrをなるべく大きくするには
p,q,rのお互いの差を0に、できなければ1にすればよいということになります
nが3の倍数であればすべて等しくとれてその差を0にできます
3の倍数でない場合は差が1以下になるようにとります

りんさんの予想がないともっと面倒になるでしょうね

No.80859 - 2022/02/10(Thu) 17:52:07

☆ Re: 二項係数 / りん

ありがとうございます。
p、q、rの差が小さくなれば良い事を示せれば良いのですね。
理解できました。

No.80864 - 2022/02/11(Fri) 01:30:14

★ 点線や記号の有無と向き / ふぶ

小学5年です。

問題)
半径3cmで、中心角120°のおうぎ形があります。このおうぎ形に、きちんとはまるひし形をかきなさい。

こちらの写真は解答として大丈夫でしょうか。模範解答と向きが違う、中の点線、記号なしですが。

No.80795 - 2022/02/08(Tue) 16:07:59

☆ Re: 点線や記号の有無と向き / X

作図の跡が残っていれば、向きが問題になることは
ありません。

No.80798 - 2022/02/08(Tue) 17:25:17

★ 至急お願いします / 太郎

工夫して解けと言われました

No.80787 - 2022/02/07(Mon) 22:17:37

☆ Re: 至急お願いします / ヨッシー

(ａ－ｂ)(ａ＋ｂ)＝ａ²－ｂ²
を３回使います。
もちろん
　(ｘ³－２ｙ²)(ｘ³＋２ｙ²)＝ｘ⁶－４ｙ⁴
のような応用形も視野に入れないといけませんよ。

No.80789 - 2022/02/07(Mon) 22:23:37

☆ Re: 至急お願いします / 太郎

途中式お願いしてもいいですか？

No.80790 - 2022/02/07(Mon) 22:36:03

☆ Re: 至急お願いします / ヨッシー

(ｘ－１)(ｘ＋１)(ｘ²＋１)(ｘ⁴＋１)
の中で、
(ａ－ｂ)(ａ＋ｂ)＝ａ²－ｂ²
が使えるのはどこですか？
また、それを使って、式を変形するとどうなりますか？

No.80792 - 2022/02/07(Mon) 23:51:32

★ (No Subject) / みの中1

この方程式の意味がわかりません!!明日がテストなんです!!なるべく早めに解説お願いします。

No.80785 - 2022/02/07(Mon) 20:07:02

☆ Re: / ヨッシー

最初の変形は、「両辺を2πで割る」です。
次は、分母に360 がありますので、
とりあえず「両辺に360を掛ける」をしてみましょう。
本当は一発で答えに行き着く方法がありますが、
それはもっと慣れてからです。

No.80788 - 2022/02/07(Mon) 22:20:37

☆ Re: / みの中1

その1発で答えに行き着く方法も今後
のために教えてもらっていいですか？

No.80791 - 2022/02/07(Mon) 22:42:06

☆ Re: / ヨッシー

「両辺に360を掛ける」をすると、式はどうなりますか？
また、その次はどうしますか？

No.80793 - 2022/02/07(Mon) 23:52:42

★ (No Subject) / なっちゃん

この問題の(2)の解き方を教えてください。

No.80781 - 2022/02/07(Mon) 14:17:12

☆ Re: / ヨッシー

(1) が出来たなら水面がどの位置まで来るかということはわかっているものとします。
４点ＧＦＨＣで、正四面体が出来ますが、これと同じものを
△ＢＥＦ、△ＢＣＤ、△ＤＥＨにくっつけて、四面体ＡＢＤＥを
切り取ると、１辺40cm の正四面体が出来ます。
その四面体の高さの1/4 の位置に水面があり、
残り 3/4 がＧからの距離となります。

No.80782 - 2022/02/07(Mon) 14:40:49

☆ Re: / なっちゃん

ありがとうございます。また利用させていただきます。

No.80784 - 2022/02/07(Mon) 15:25:07

★ 整数 / 刷新

3と3n+7が互いに素であることより
n ^4が3n+7の倍数⇔(3n) ^4が3n+7の倍数

これってどういうことですかね？分かりやすく説明して下さいませんかm(_ _)m

No.80779 - 2022/02/07(Mon) 13:09:43

☆ Re: 整数 / ヨッシー

n^4が3n+7の倍数⇒(3n)^4が3n+7の倍数
こちらは自明ですね？

(3n)^4が3n+7の倍数⇒n^4が3n+7の倍数
について、
(3n)^4＝3^4・n^4 であり、
n^4が3n+7の倍数でないならば、3n+7 の１以外の約数の
少なくとも１つが、3^4 の約数になっていないと
(3n)^4が3n+7の倍数になりません。
ところがその約数は、3、3^2、3^3、3^4 のいずれかなので、
3と3n+7が互いに素であることに反します。
よって、n^4が3n+7の倍数でなければならないのです。

No.80780 - 2022/02/07(Mon) 13:47:12

☆ Re: 整数 / 刷新

なるほど！ありがとうございます！

No.80783 - 2022/02/07(Mon) 15:16:32

★ 高校入試問題 / うさぎ

(3)がわかりません。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.80773 - 2022/02/07(Mon) 11:08:59

☆ Re: 高校入試問題 / うさぎ

間違えました。(2)です。

No.80774 - 2022/02/07(Mon) 11:10:03

☆ Re: 高校入試問題 / ヨッシー

ＰＱとＡＮの交点をＲとすると、
ＡＲ⊥ＰＱ　ＡＲは二等辺三角形ＡＰＱの中線
ＡＲ⊥ＭＲ　ＭＲは正三角形ＡＭＮの中線
よって、台形ＱＢＣＰを含む平面と、ＡＲは垂直となります。
台形ＱＢＣＰを底面とすると、
底面は　上底３，下底６，高さ(MR=)3√3 なので、面積 27√3/2
高さＡＲ＝３　であるので、求める体積は 27√3/2　・・・答え

No.80776 - 2022/02/07(Mon) 11:30:20

☆ Re: 高校入試問題 / うさぎ

ありがとうございます！

No.80778 - 2022/02/07(Mon) 12:05:31

★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

おはようございます。

宜しくお願い致します。

以下問題と質問

No.80763 - 2022/02/06(Sun) 09:28:59

☆ Re: 無限等比数列の極限 / X

以下、K・Aさんのようにa[n]、b[n]と置いたとします。

この問題の場合は、a[n],b[n]の形状から
十分大きなnに対し
a[n]b[n]＞c[n]
(但しlim[n→∞]c[n]=∞は既知)
となるようなc[n]が用意できるということ
が分かるからです。
c[n]としては
c[n]=a[n]{(-3/4)^1+1}=(1/4)a[n]
とすればよく
a[n]b[n]＞(1/4)a[n] (A)

ここでn→∞のとき
(1/4)a[n]→∞
∴(A)より
a[n]b[n]→∞

No.80766 - 2022/02/06(Sun) 10:50:18

☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

今帰ってきました

返信が遅くなり申し訳ありません。

これから、頂いた回答を理解してみます

X様

No.80768 - 2022/02/06(Sun) 13:09:57

今日は、
考え疲れちゃいました

明日、ご返信致します。

申し訳ございません。

No.80769 - 2022/02/06(Sun) 19:01:23

返信が遅くなり申し訳ございません。

疲れてずっと眠っていました

早速ですが

以下のように考えてみました

ご教授よろしくお願いいたします。

No.80824 - 2022/02/09(Wed) 09:12:57

☆ Re: 無限等比数列の極限 / X

それで問題ありません。

No.80835 - 2022/02/09(Wed) 19:00:34

★ (No Subject) / ラコステ

数直線上に動点Pが最初原点上にあるとする。k=1,2,…に対してサイコロを振って、n回目に１２が出るとPは正の方向に1/2 ^k、３4が出ると負の方向に1/2 ^k、５６が出ると動かない。n回目のPの位置をPnとするとき、
（1）Pn＞0 (2)Pn＞1/2 (3)mをn未満の正の整数として1/2 ^m<Pn
それぞれの確率を求めよ.

(1)は1/3 (2)は1/9でいいですか？間違ってたら最初から教えていただきたいです

No.80760 - 2022/02/05(Sat) 23:42:07

☆ Re: / ヨッシー

>(1)は1/3 (2)は1/9でいいですか？
いいです。

No.80761 - 2022/02/05(Sat) 23:53:32

★ 3^a+4^b+5^c=6^d / りん

a,b,c,d:自然数
3^a+4^b+5^c=6^d
を満たす自然数(a,b,c,d)の組は？
(a,b,c,d)=(3,1,1,2),(3,3,3,3)は見つかったのですが
これ以外にあるのでしょうか？
一般解はあるのでしょうか？

No.80755 - 2022/02/05(Sat) 02:13:05

☆ Re: 3^a+4^b+5^c=6^d / らすかる

全く答えにはなっていませんが、
とりあえずa,b,c,d≦6000の範囲では他にありませんでした。
また、a,b,c,dが非負整数の場合は(0,1,0,1)もあります。

No.80764 - 2022/02/06(Sun) 09:58:06

☆ Re: 3^a+4^b+5^c=6^d / りん

調べていただきありがとうございました。

No.80772 - 2022/02/06(Sun) 20:01:57

★ 不等式 / りん

a,b：0≦a<bを満たす定数

f(x)=(2d-a-b)x+d^2-abのとき
（１）x≧1で常にf(x)≧0となるようなdの値をa,bを用いて表せ。
（２）x≧1で常にf(x)≦0となるようなdの値をa,bを用いて表せ。

xの前の係数が負と正で分けそうな気がしますが
わからないです。教えて下さい。

No.80750 - 2022/02/04(Fri) 20:25:24

☆ Re: 不等式 / IT

(1)f(1)≧0　かつ　(2d-a-b)≧0 をdについて解けばいいのでは？
(2) も、ほとんど同様

No.80751 - 2022/02/04(Fri) 20:56:42

☆ Re: 不等式 / りん

やっぱりそうですよね。
違うと言われたので不安になっていました。
ありがとうございました。

No.80752 - 2022/02/04(Fri) 22:07:53

☆ Re: 不等式 / IT

違うと言った人に、もう少し詳しく教えてもらえばいいのでは？

No.80753 - 2022/02/04(Fri) 22:34:48

☆ Re: 不等式 / りん

分かりました

No.80754 - 2022/02/05(Sat) 02:11:57

★ (No Subject) / さん

どなたかお願い致します。
ちなみに答えは最小:5-√19
最大:5+√19
です。

No.80742 - 2022/02/04(Fri) 14:50:47

☆ Re: / ヨッシー

平面ｚ＝１での断面を考えると、図のように、ＣはＳの内部にあります。
よって、Ｃ上で原点から一番遠い点が、Ｓ上の点から一番近く、また一番遠くなります。
Ｃ上の点(3,3,1)（図の●）を通る直線がＳと交わる点は
　(±15/√19,±15/√19,±5/√19) (複号同順)
ですので、
　(－15/√19,－15/√19,－5/√19)　から　(3,3,1) までの距離　5＋√19　が最大値
　(15/√19,15/√19,5/√19)　から　(3,3,1) までの距離　5－√19　が最小値
となります。

No.80743 - 2022/02/04(Fri) 15:22:00