ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 二項係数 / りん

nを自然数、p,q,rはp+q+r=nを満たす0以上n以下の整数とするとき、
nCp×nCq×nCrの最大値を求めよ。
なんとなくp=q=r=n/3付近の時に最大になりそうな気がするのですが、
うまく示せません。教えてください。

No.80797 - 2022/02/08(Tue) 16:55:16

☆ Re: 二項係数 / GM

nＣm × nＣmとnＣm+k × nＣm-kの大小を比較するため
nＣm × nＣm/(nＣm+k × nＣm-k)の計算を行います
表記上
nＣm = n!/((n-m)!m!)
nＣm+k = n!/((n-m-k)!(m+k)!)
nＣm-k = n!/((n-m+k)!(m-k)!)
とします

nＣm × nＣm/(nＣm+k × nＣm-k)
=(n-m-k)!(m+k)!(n-m+k)!(m-k)!/((n-m)!m!(n-m)!m!)
=(m+k)・・・(m+1)(n-m+k)・・・(n-m+1)/((n-m)・・・(n-m-k+1)m・・・(m-k+1))
これは
(m+k)・・・(m+1)/(m・・・(m-k+1))
と
(n-m+k)・・・(n-m+1)/((n-m)・・・(n-m-k+1))
の積になっていて両方とも1より大きい

次にnＣm+1 × nＣmとnＣm+1+k × nＣm-kの大小を比較するため
nＣm+1 × nＣm/(nＣm+1 +k × nＣm-k)の計算を行います
上と同様に
nＣm+1 × nＣm/(nＣm+1+k × nＣm-k)
=(n-m-1-k)!(m+1+k)!(n-m+k)!(m-k)!/((n-m-1)!(m+1)!(n-m)!m!)
=(m+1+k)・・・(m+1)(n-m+k)・・・(n-m)/((n-m)・・・(n-m-k)(m+1)・・・(m-k+1))
これは
(m+1+k)・・・(m+1)/((m+1)・・・(m-k+1))
と
(n-m+k)・・・(n-m)/((n-m)・・・(n-m-k))
の積になっていて両方とも1より大きい

以上の考察からnＣp×nＣq×nＣrをなるべく大きくするには
p,q,rのお互いの差を0に、できなければ1にすればよいということになります
nが3の倍数であればすべて等しくとれてその差を0にできます
3の倍数でない場合は差が1以下になるようにとります

りんさんの予想がないともっと面倒になるでしょうね

No.80859 - 2022/02/10(Thu) 17:52:07

☆ Re: 二項係数 / りん

ありがとうございます。
p、q、rの差が小さくなれば良い事を示せれば良いのですね。
理解できました。

No.80864 - 2022/02/11(Fri) 01:30:14

★ 点線や記号の有無と向き / ふぶ

小学5年です。

問題)
半径3cmで、中心角120°のおうぎ形があります。このおうぎ形に、きちんとはまるひし形をかきなさい。

こちらの写真は解答として大丈夫でしょうか。模範解答と向きが違う、中の点線、記号なしですが。

No.80795 - 2022/02/08(Tue) 16:07:59

☆ Re: 点線や記号の有無と向き / X

作図の跡が残っていれば、向きが問題になることは
ありません。

No.80798 - 2022/02/08(Tue) 17:25:17

★ 至急お願いします / 太郎

工夫して解けと言われました

No.80787 - 2022/02/07(Mon) 22:17:37

☆ Re: 至急お願いします / ヨッシー

(ａ－ｂ)(ａ＋ｂ)＝ａ²－ｂ²
を３回使います。
もちろん
　(ｘ³－２ｙ²)(ｘ³＋２ｙ²)＝ｘ⁶－４ｙ⁴
のような応用形も視野に入れないといけませんよ。

No.80789 - 2022/02/07(Mon) 22:23:37

☆ Re: 至急お願いします / 太郎

途中式お願いしてもいいですか？

No.80790 - 2022/02/07(Mon) 22:36:03

☆ Re: 至急お願いします / ヨッシー

(ｘ－１)(ｘ＋１)(ｘ²＋１)(ｘ⁴＋１)
の中で、
(ａ－ｂ)(ａ＋ｂ)＝ａ²－ｂ²
が使えるのはどこですか？
また、それを使って、式を変形するとどうなりますか？

No.80792 - 2022/02/07(Mon) 23:51:32

★ (No Subject) / みの中1

この方程式の意味がわかりません!!明日がテストなんです!!なるべく早めに解説お願いします。

No.80785 - 2022/02/07(Mon) 20:07:02

☆ Re: / ヨッシー

最初の変形は、「両辺を2πで割る」です。
次は、分母に360 がありますので、
とりあえず「両辺に360を掛ける」をしてみましょう。
本当は一発で答えに行き着く方法がありますが、
それはもっと慣れてからです。

No.80788 - 2022/02/07(Mon) 22:20:37

☆ Re: / みの中1

その1発で答えに行き着く方法も今後
のために教えてもらっていいですか？

No.80791 - 2022/02/07(Mon) 22:42:06

☆ Re: / ヨッシー

「両辺に360を掛ける」をすると、式はどうなりますか？
また、その次はどうしますか？

No.80793 - 2022/02/07(Mon) 23:52:42

★ (No Subject) / なっちゃん

この問題の(2)の解き方を教えてください。

No.80781 - 2022/02/07(Mon) 14:17:12

☆ Re: / ヨッシー

(1) が出来たなら水面がどの位置まで来るかということはわかっているものとします。
４点ＧＦＨＣで、正四面体が出来ますが、これと同じものを
△ＢＥＦ、△ＢＣＤ、△ＤＥＨにくっつけて、四面体ＡＢＤＥを
切り取ると、１辺40cm の正四面体が出来ます。
その四面体の高さの1/4 の位置に水面があり、
残り 3/4 がＧからの距離となります。

No.80782 - 2022/02/07(Mon) 14:40:49

☆ Re: / なっちゃん

ありがとうございます。また利用させていただきます。

No.80784 - 2022/02/07(Mon) 15:25:07

★ 整数 / 刷新

3と3n+7が互いに素であることより
n ^4が3n+7の倍数⇔(3n) ^4が3n+7の倍数

これってどういうことですかね？分かりやすく説明して下さいませんかm(_ _)m

No.80779 - 2022/02/07(Mon) 13:09:43

☆ Re: 整数 / ヨッシー

n^4が3n+7の倍数⇒(3n)^4が3n+7の倍数
こちらは自明ですね？

(3n)^4が3n+7の倍数⇒n^4が3n+7の倍数
について、
(3n)^4＝3^4・n^4 であり、
n^4が3n+7の倍数でないならば、3n+7 の１以外の約数の
少なくとも１つが、3^4 の約数になっていないと
(3n)^4が3n+7の倍数になりません。
ところがその約数は、3、3^2、3^3、3^4 のいずれかなので、
3と3n+7が互いに素であることに反します。
よって、n^4が3n+7の倍数でなければならないのです。

No.80780 - 2022/02/07(Mon) 13:47:12

☆ Re: 整数 / 刷新

なるほど！ありがとうございます！

No.80783 - 2022/02/07(Mon) 15:16:32

★ 高校入試問題 / うさぎ

(3)がわかりません。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.80773 - 2022/02/07(Mon) 11:08:59

☆ Re: 高校入試問題 / うさぎ

間違えました。(2)です。

No.80774 - 2022/02/07(Mon) 11:10:03

☆ Re: 高校入試問題 / ヨッシー

ＰＱとＡＮの交点をＲとすると、
ＡＲ⊥ＰＱ　ＡＲは二等辺三角形ＡＰＱの中線
ＡＲ⊥ＭＲ　ＭＲは正三角形ＡＭＮの中線
よって、台形ＱＢＣＰを含む平面と、ＡＲは垂直となります。
台形ＱＢＣＰを底面とすると、
底面は　上底３，下底６，高さ(MR=)3√3 なので、面積 27√3/2
高さＡＲ＝３　であるので、求める体積は 27√3/2　・・・答え

No.80776 - 2022/02/07(Mon) 11:30:20

☆ Re: 高校入試問題 / うさぎ

ありがとうございます！

No.80778 - 2022/02/07(Mon) 12:05:31

★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

おはようございます。

宜しくお願い致します。

以下問題と質問

No.80763 - 2022/02/06(Sun) 09:28:59

☆ Re: 無限等比数列の極限 / X

以下、K・Aさんのようにa[n]、b[n]と置いたとします。

この問題の場合は、a[n],b[n]の形状から
十分大きなnに対し
a[n]b[n]＞c[n]
(但しlim[n→∞]c[n]=∞は既知)
となるようなc[n]が用意できるということ
が分かるからです。
c[n]としては
c[n]=a[n]{(-3/4)^1+1}=(1/4)a[n]
とすればよく
a[n]b[n]＞(1/4)a[n] (A)

ここでn→∞のとき
(1/4)a[n]→∞
∴(A)より
a[n]b[n]→∞

No.80766 - 2022/02/06(Sun) 10:50:18

☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

今帰ってきました

返信が遅くなり申し訳ありません。

これから、頂いた回答を理解してみます

X様

No.80768 - 2022/02/06(Sun) 13:09:57

今日は、
考え疲れちゃいました

明日、ご返信致します。

申し訳ございません。

No.80769 - 2022/02/06(Sun) 19:01:23

返信が遅くなり申し訳ございません。

疲れてずっと眠っていました

早速ですが

以下のように考えてみました

ご教授よろしくお願いいたします。

No.80824 - 2022/02/09(Wed) 09:12:57

☆ Re: 無限等比数列の極限 / X

それで問題ありません。

No.80835 - 2022/02/09(Wed) 19:00:34

★ (No Subject) / ラコステ

数直線上に動点Pが最初原点上にあるとする。k=1,2,…に対してサイコロを振って、n回目に１２が出るとPは正の方向に1/2 ^k、３4が出ると負の方向に1/2 ^k、５６が出ると動かない。n回目のPの位置をPnとするとき、
（1）Pn＞0 (2)Pn＞1/2 (3)mをn未満の正の整数として1/2 ^m<Pn
それぞれの確率を求めよ.

(1)は1/3 (2)は1/9でいいですか？間違ってたら最初から教えていただきたいです

No.80760 - 2022/02/05(Sat) 23:42:07

☆ Re: / ヨッシー

>(1)は1/3 (2)は1/9でいいですか？
いいです。

No.80761 - 2022/02/05(Sat) 23:53:32

★ 3^a+4^b+5^c=6^d / りん

a,b,c,d:自然数
3^a+4^b+5^c=6^d
を満たす自然数(a,b,c,d)の組は？
(a,b,c,d)=(3,1,1,2),(3,3,3,3)は見つかったのですが
これ以外にあるのでしょうか？
一般解はあるのでしょうか？

No.80755 - 2022/02/05(Sat) 02:13:05

☆ Re: 3^a+4^b+5^c=6^d / らすかる

全く答えにはなっていませんが、
とりあえずa,b,c,d≦6000の範囲では他にありませんでした。
また、a,b,c,dが非負整数の場合は(0,1,0,1)もあります。

No.80764 - 2022/02/06(Sun) 09:58:06

☆ Re: 3^a+4^b+5^c=6^d / りん

調べていただきありがとうございました。

No.80772 - 2022/02/06(Sun) 20:01:57

★ 不等式 / りん

a,b：0≦a<bを満たす定数

f(x)=(2d-a-b)x+d^2-abのとき
（１）x≧1で常にf(x)≧0となるようなdの値をa,bを用いて表せ。
（２）x≧1で常にf(x)≦0となるようなdの値をa,bを用いて表せ。

xの前の係数が負と正で分けそうな気がしますが
わからないです。教えて下さい。

No.80750 - 2022/02/04(Fri) 20:25:24

☆ Re: 不等式 / IT

(1)f(1)≧0　かつ　(2d-a-b)≧0 をdについて解けばいいのでは？
(2) も、ほとんど同様

No.80751 - 2022/02/04(Fri) 20:56:42

☆ Re: 不等式 / りん

やっぱりそうですよね。
違うと言われたので不安になっていました。
ありがとうございました。

No.80752 - 2022/02/04(Fri) 22:07:53

☆ Re: 不等式 / IT

違うと言った人に、もう少し詳しく教えてもらえばいいのでは？

No.80753 - 2022/02/04(Fri) 22:34:48

☆ Re: 不等式 / りん

分かりました

No.80754 - 2022/02/05(Sat) 02:11:57

★ (No Subject) / さん

どなたかお願い致します。
ちなみに答えは最小:5-√19
最大:5+√19
です。

No.80742 - 2022/02/04(Fri) 14:50:47

☆ Re: / ヨッシー

平面ｚ＝１での断面を考えると、図のように、ＣはＳの内部にあります。
よって、Ｃ上で原点から一番遠い点が、Ｓ上の点から一番近く、また一番遠くなります。
Ｃ上の点(3,3,1)（図の●）を通る直線がＳと交わる点は
　(±15/√19,±15/√19,±5/√19) (複号同順)
ですので、
　(－15/√19,－15/√19,－5/√19)　から　(3,3,1) までの距離　5＋√19　が最大値
　(15/√19,15/√19,5/√19)　から　(3,3,1) までの距離　5－√19　が最小値
となります。

No.80743 - 2022/02/04(Fri) 15:22:00

★ (No Subject) / Hayay

1辺の長さが４cmの正四面体ABCDにおいて辺AB,AC,AD,BC,BD,CDの中点をそれぞれE、F、G、H、I、Jとする。この時、次の問に答えなさい。

（１）E、F、G、H、Iを頂点とする正八面体を、三点AHJを通る平面で切る時、頂点Fを含む方の体積を求めなさい。（因みに切り口の面積は3√11/4cm^2で、この問題自体の答えは√２/2cm^3です。）

どなたか分かる方、解説お願い致します。

No.80739 - 2022/02/03(Thu) 23:45:36

☆ Re: / らすかる

EFの中点をK、FGの中点をLとすれば、
体積を求める立体は四角錐F-HJLKです。
△FKLは正三角形なのでFK=KL=LF=1
△CHJも正三角形なのでCH=HJ=JC=2
またKH=LJ=(1/2)AH=√3
よって底面は上底1、下底2、残りの2辺√3の等脚台形となり、
高さは√{(√3)^2-(1/2)^2}=√(3-1/4)=√11/2と求まりますので
面積は(1+2)×(√11/2)÷2=3√11/4です。
Fから底面までの距離を考えるには、HJの中点をMとして△ACMを考えます。
CM=(√3/2)CH=√3で正四面体ABCDの高さは4√6/3なので
△ACMの面積は√3×4√6/3÷2=2√2です。
CM=√11なのでCから直線AMに下した垂線の長さは2√2×2÷√11=4√22/11です。
FはACの中点なので、Fから直線AMに下した垂線の長さは2√22/11となります。
従って求める立体の体積は
(3√11/4)×(2√22/11)×(1/3)=√2/2
となります。
# 単位は省略しました。

No.80741 - 2022/02/04(Fri) 00:41:20

★ 長さ指定の多角形の対角線の数の求め方 / ふぶ

問題) 1辺の長さが5cmの正六角形の対角線の中で、長さが10cmの対角線は何本ありますか

この問題は一回図形と対角線を書いて、長さが当てはまる対角線を数える形で求めるのでしょうか。

多角形の対角線の数の求め方の公式は使用しませんよね？

この問題の解き方を教えてください。

No.80733 - 2022/02/03(Thu) 13:29:29

☆ Re: 長さ指定の多角形の対角線の数の求め方 / ヨッシー

図形を描いて数える、で十分でしょう。
確認のため、
　対角線の数：6×(6－3)÷2＝9（本）
上の図で、△を作る３つの対角線、▽を作る３つの対角線
直径をなす３つの対角線で、合計が確かに９本になる、
という確認に使うならＯＫです。

No.80734 - 2022/02/03(Thu) 14:13:44

☆ Re: 長さ指定の多角形の対角線の数の求め方 / けんけんぱ

実際に図を書く/書かないは別にして、その対角線は直径になるのでその数を数えることになります。
>多角形の対角線の数の求め方の公式は使用しませんよね？
それでもいいでしょうが、いちにいさん、これで終わりますけど。

No.80736 - 2022/02/03(Thu) 14:16:46