ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ 連立微分方程式を微分演算子を用いて回答 / asada

連立微分方程式を微分演算子を用いて回答する問題です

No.80403 - 2022/01/19(Wed) 11:12:04

☆ Re: 連立微分方程式を微分演算子を用いて回答 / キャルちゃんprpr

y=[y1,y2]、A=[[4,-1],[5,-2]]とおいて、Aの対角化を
P^{-1}AP=[[-1,0],[0,3]]=:Uとする。
z=P^{-1}yとおくと
z'=Uz+[-exp(t),5exp(t)]
よって
(d/dt){exp(-tU)z}=[-exp(2t),5exp(-2t)]
なので、
exp(-tU)z=∫[-exp(2t),5exp(-2t)]dt+[c1,c2]
ここからyに戻すと出ます。
Derivative operator使ってるのでこれでいいかと^^

No.80437 - 2022/01/22(Sat) 06:12:17

★ 空間ベクトル / 空間

座標空間の原点をOとし、2点A(1,2,-2),B(-1,5,3)を取る。点Aを通り→OA(ベクトルOA)と垂直な平面をαとするとき、αに関して点Bと対象な点Cの座標を求めよ。

という問題なのですが、
平面αの方程式はx+2y-2z=9
BCの中点(-1+t,5+2t,3-2t)とおくとこれがαにのるのでt=2/3
Cは(-1+2t,5+4t,3-4t)=(1/3,23/3,1/3)

と求めたのですが、模範解答は
BCの中点をHとすると→BHは→BAの→OAの上への正射影ベクトルであるから、→BH=((→BA・→OA)/|→OA|^2)→OA=(2,4,-4)
よって→OC=→OB+2→BH=(3,13,-5)
つまりC=(3,13,-5)

となっていました。自分の答のどこが間違っているのかわかりません。よろしくお願いします。

No.80402 - 2022/01/19(Wed) 11:01:23

☆ Re: 空間ベクトル / ast

> 自分の答のどこが間違っているのかわかりません。
特に問題はないように見えます.

可能性として, 模範解答は |→OA|^2 を誤って |→OA| として計算してしまっているのでは?
# 模範解答を (検討するのでなく) 鵜呑みにしてしまってはこういう類いの罠に嵌ることはままあります.
# ただまあ, 模範解答の作成者にも鵜呑みにせよという意図はそもそもないないことと思うし,
# 模範解答の「模範」たるところは, 「解答にあたって検討すべきものを検討すべきと認識することが
# できるようにすることにある」と意識する所から始めるべきなのでしょうね (自戒を込めて

No.80405 - 2022/01/19(Wed) 11:41:04

☆ Re: 空間ベクトル / 空間

あ、そこでしたか…模解に釣られてしまいました。ありがとうございます！

No.80406 - 2022/01/19(Wed) 11:56:52

★ 大至急お願いします / 山田

aの6乗＋5aの3乗－6
因数分解です

No.80396 - 2022/01/18(Tue) 23:03:51

☆ Re: 大至急お願いします / 数学雑魚

※a^6をtとおきます

a^6+5a^3-6
=t^2+5t-6
=(t-1)(t+6)
※t=a^3と先ほどおいたので元に戻します。
=(a^3-1)(a^3+6)
=(a-1)(a^2+a+1)(a^3+6)

見辛かったら申し訳ありません。

No.80397 - 2022/01/19(Wed) 00:50:41

☆ Re: 大至急お願いします / 数学雑魚

> ※a^6をtとおきます
>
すみません、a^3をtです。
大変失礼致しました。

No.80399 - 2022/01/19(Wed) 10:09:17

★ (No Subject) / 複素数

複素数の問題です。(2)の計算過程と結果をお願い致します。

No.80394 - 2022/01/18(Tue) 22:10:04

☆ Re: / ヨッシー

(2)
両辺に 1－z を掛けると
　ω(1－z)＝１－z^61
ｚ＝cos（3π/4)＋ｉsin(3π/4) なので、ド・モアブルの定理より
　z^61＝cos（183π/4)＋ｉsin(183π/4)
　　　＝cos（3π/4)＋ｉsin(3π/4)
　　　＝ｚ
よって、
　ω＝ｚ/(1－z)
を計算すれば求められます。

No.80401 - 2022/01/19(Wed) 10:32:49

★ 連立不等式の整数解の条件(高一) / 数学雑魚

画像の問題の(2)が分かりません。

解に整数がちょうど含まれるという問いですが
今回xの範囲がx≧-2なのでx=-2、-1、0の３つになるところまでは分かりました。

しかしなぜ
0＜a+2≦1になるのか分かりません。
0≦a+2＜1ではだめなのでしょうか？

0を含んでも整数の解は3つですよね？
1も含んだら整数の解が4つになりませんか？

低レベルな質問で申し訳ありませんが、
ご解説の程宜しくお願い致します。

No.80387 - 2022/01/18(Tue) 21:34:03

☆ Re: 連立不等式の整数解の条件(高一) / IT

(2) a＞-4のとき ...　-2≦x＜a+2
は、分かりますか？

No.80388 - 2022/01/18(Tue) 21:38:29

☆ Re: 連立不等式の整数解の条件(高一) / 数学雑魚

> (2) a＞-4 ...　-2≦x＜a+2
> は、分かりますか？

はい、わかります！

No.80389 - 2022/01/18(Tue) 21:41:43

☆ Re: 連立不等式の整数解の条件(高一) / IT

a+2＝0のとき、　-2≦x＜a+2　は、どうなりますか？　その整数解はどうなりますか？

No.80390 - 2022/01/18(Tue) 21:47:40

☆ Re: 連立不等式の整数解の条件(高一) / 数学雑魚

> a＝0のとき、　-2≦x＜a+2　は、どうなりますか？　その整数解はどうなりますか？

-2≦x＜2で
-2、-1、0、1の４つになります

No.80391 - 2022/01/18(Tue) 21:52:59

☆ Re: 連立不等式の整数解の条件(高一) / IT

書き間違いました。
a+2＝0のとき、　-2≦x＜a+2　は、どうなりますか？　その整数解はどうなりますか？

a+2＝1のときはどうですか？

No.80393 - 2022/01/18(Tue) 22:06:04

☆ Re: 連立不等式の整数解の条件(高一) / 数学雑魚

> a+2＝0のとき、　-2≦x＜a+2　は、どうなりますか？　その整数解はどうなりますか？

a=-2で-2≦x＜0になり
整数解は-2、-1の２つになります。

> a+2＝1のときはどうですか？

a=-1で-2≦x＜1になり
整数解は-2、-1、0の３つになります。

教えていただきありがとうございます。
丁寧に教えていただいたお陰でやっと分かりました…
夜遅くにありがとうございますm(__)m

No.80395 - 2022/01/18(Tue) 22:42:27

★ 微積分2 / イチマニア

式の立て方が分からず、問題を解くことが出来ません。解説して頂けると幸いです。

No.80385 - 2022/01/18(Tue) 19:16:26

★ 微積分2 / イチマニア

あ

No.80384 - 2022/01/18(Tue) 19:13:45

★ 線形代数 / キリンさん

V=R^3の時、ベクトル空間Vの部分空間W1,W2に対して、
dim(w1+w2)＜dimW1+dimW2
および、dim(w1+w2)=dimW1+dimW2
となるものをそれぞれ構成し、理由も述べよ
ただし、W1+W2={w1+w2|w1∈W1,w2∈W2}である
という問題が分かりません。よろしくお願いします。

No.80383 - 2022/01/18(Tue) 18:40:14

☆ Re: 線形代数 / キャルちゃんprpr

すぐに分かると思いますが、W1,W2の一方がもう一方の部分空間だったらW1+W2の次元は増えませんよね。
単純にW1=W2とするとdimW1＞0ならdim(W1+W2)=dimW1＜dimW1+dimW2ですね^^
またすぐ分かると思いますが、部分空間の関係になければ＝もなりますよね^^
W1をy=z=0の空間、W2をz=x=0の空間とするとW1+W2はxy平面なので、＝ですね^^

No.80438 - 2022/01/22(Sat) 07:15:55

★ (No Subject) / あすか

恥ずかしい質問ですが、画像の不等式の解き方が分かりません。どうやって解けばよかったか記憶があいまいで分からないです。よろしくお願いします。

No.80378 - 2022/01/18(Tue) 15:15:31

☆ Re: / ヨッシー

これは、
　Ａ＜154－２Ａ
　154－２Ａ＜23＋Ａ
の２つの不等式が連立しているものです。

　Ａ＜154－２Ａ
移項して、
　３Ａ＜154
　Ａ＜154/3≒51.333　・・・(1)

　154－２Ａ＜23＋Ａ
移項して
　131＜３Ａ
　43.666≒131/3＜Ａ　・・・(2)

(1)(2) を併せたのが上の解答の式です。

No.80379 - 2022/01/18(Tue) 15:27:34

☆ Re: / あすか

なるほど！ありがとうございました！！

No.80436 - 2022/01/21(Fri) 22:11:07

★ 2重積分 / 大学生

この問題の(1)(5)(6)の解答解説を教えてください。
昨日も質問させていただきましたが、2、3、4は解けました

No.80375 - 2022/01/18(Tue) 12:24:57

☆ Re: 2重積分 / 大学生

これです

No.80376 - 2022/01/18(Tue) 12:25:23

☆ Re: 2重積分 / X

(1)
x+y=t
x-y=u
と置きましょう。

(6)
極座標に変換するように見えますが
それだとうまくいきません。
x=arcosθ
y=brsinθ
と置きましょう。

No.80381 - 2022/01/18(Tue) 18:13:21

☆ Re: 2重積分 / X

(5)
x=u
y=uv
と置くと
D={(u,v)|1≦u≦2,0≦uv≦u}
={(u,v)|1≦u≦2,0≦v≦1}
でヤコビヤンをJとすると
J=det[M{(1,0),(v,u)}]
=u
Dにおいてu＞0に注意すると
∴(与式)=∫[u:1→2]∫[v:0→1]{u/{u^2+(uv)^2}}dvdu
=…

No.80382 - 2022/01/18(Tue) 18:37:04

★ たぶん正弦定理？ / 幾何

正弦定理を使っている問題の後の課題なので多分正弦定理を使うのだと思うのですが、解けないです。ご教授ください。

No.80374 - 2022/01/18(Tue) 11:52:56

☆ Re: たぶん正弦定理？ / 幾何

考え方だけでもいいので誰かご教授いただけませんでしょうか。宜しくお願い致します。

No.80443 - 2022/01/22(Sat) 15:27:22

★ (No Subject) / 複素数

複素数の問題です。計算過程と結果をお願い致します。

No.80373 - 2022/01/18(Tue) 09:42:00

☆ Re: / X

w=(iz-2i)/(z-i)
より
(z-i)w=iz-2i
(w-i)z=iw-2i
∴z=(iw-2i)/(w-i)
これを
|z-i|=1
に代入すると
|(iw-2i)/(w-i)-i|=1
これより
|(iw-2i)-i(w-i)|=|w-i|
|w-i|=|-1-2i|
|w-i|=√5
∴移される図形は
円 |z-i|=√5

No.80414 - 2022/01/19(Wed) 18:43:14

★ (No Subject) / 初等幾何

鋭角三角形OABにおいて、A,Bをそれぞれ対辺に関して対称に移動した点をD,Cとする。ABとCDが平行ならば、OA=OBを示せ。
という問題で、元の問題はOCベクトル、ODベクトルをそれぞれOAベクトルとOBベクトルで表して示すような誘導がついていました。
これを初等幾何で示すことはできるでしょうか？
点の名前は図の通りでお願いします。

No.80370 - 2022/01/18(Tue) 01:16:19

☆ Re: / らすかる

A,BからCDに垂線AP,BQを下すとAP=BQ(∵AB//CD)
条件からCA=AB=BDなので直角三角形APCと直角三角形BQDは
斜辺と他の一辺が等しく、合同。
よって∠CAB=∠CAP+90°=∠DBQ+90°=∠ABD
条件から∠OAC=∠OAB、∠OBD=∠OBAなので
∠OAB=(1/2)∠CAB=(1/2)∠ABD=∠OBA
よって△OABはOA=OBの二等辺三角形なので、OA=OB。

# 「CA=AB=BDとAB//CDから四角形ABDCは等脚台形」として
# 等脚台形の性質を使ってよければもっと簡単になります。

No.80371 - 2022/01/18(Tue) 05:07:32

☆ Re: / 初等幾何

垂線を下ろす発想ができませんでした...
鮮やかな証明ありがとうございます！

No.80377 - 2022/01/18(Tue) 12:29:48

★ (No Subject) / ねこ

１枚の硬貨を投げるとき、表が出れば得点は10点とし、裏が出れば得点は－５点とする。これを20回繰り返すとき、得られる得点の標準偏差を求めよ。
解き方が分かりません(´;ω;｀)

No.80369 - 2022/01/18(Tue) 00:48:17

☆ Re: / X

20回の試行のうち、表がk回出たときの得点は
10k-5(20-k)=15k-100
∴得点を確率変数Xに取り、
Xの期待値をE[X]
Xの分散をV[X]
とすると、
V[X]=E[X^2]-(E[X])^2
=Σ[k=0～20]{(15k-100)^2}(20Ck)(1/2^20)
-{Σ[k=0～20](15k-100)(20Ck)(1/2^20)}^2 (P)

ここで二項定理により
Σ[k=0～20](20Ck)x^k=(x+1)^20 (A)
(A)の両辺をxで微分すると
Σ[k=1～20]k(20Ck)x^(k-1)=20(x+1)^19 (B)
(B)の両辺をxで微分すると
Σ[k=2～20]k(k-1)(20Ck)x^(k-2)=19・20(x+1)^18 (C)
(A)(B)(C)にx=1を代入するとそれぞれ
Σ[k=0～20]20Ck=2^20 (A)'
Σ[k=1～20]k(20Ck)=20・2^19 (B)'
Σ[k=2～20]k(k-1)(20Ck)=19・20・2^18 (C)'
(B)'より
Σ[k=0～20]k(20Ck)=20・2^19 (B)"
(C)'より
Σ[k=0～20]k(k-1)(20Ck)=19・20・2^18
Σ[k=0～20](k^2-k)(20Ck)=19・20・2^18
これと(B)"から
Σ[k=0～20](k^2)(20Ck)-20・2^19=19・20・2^18
∴Σ[k=0～20](k^2)(20Ck)=21・20・2^18 (C)"

(A)'(B)"(C)"(P)から
V[X]=Σ[k=0～20](225k^2-3000k+10000)(20Ck)(1/2^20)
-{Σ[k=0～20](15k-100)(20Ck)(1/2^20)}^2
=(225・21・20・2^18-3000・20・2^19+10000・2^20)(1/2^20)
-{(15・20・2^19-100・2^20)(1/2^20)}^2
=(225・21・20/4-3000・20/2+10000)-(15・20/2-100)^2
=(225・21・5-3000・10+10000)-(150-100)^2
=(225・105-20000)-50^2
=(22500+1125-20000)-50^2
=1125
∴Xの標準偏差をσとすると
σ=√V[X]=15√5

No.80386 - 2022/01/18(Tue) 20:56:20

★ (No Subject) / 複素数

e^(111πi/6)=e^(3π/6)となる理由を教えて下さい。

No.80364 - 2022/01/17(Mon) 22:52:07

☆ Re: / 大西

e^(ix)=cosx+isinx
e^(i(x+2nπ))=cos(x+2nπ)+isin(x+2nπ)=cosx+isinx=e^(ix)
(n:整数)より
e^(ix)=e^(ix+2nπi)
n=9,x=3π/6とおくと
e^(111πi/6)=e^(3πi/6)成り立ちます。

No.80367 - 2022/01/17(Mon) 23:33:30

★ 2重積分 / 大学生

この問題の解答解説を教えてください。
一応自分では解いてみようとしましたがよくわかりませんでした。

No.80362 - 2022/01/17(Mon) 21:51:50

★ 負でない整数の組数2 / 大西

m,n：2以上の自然数、x_1,x_2,…,x_nを0以上m以下の整数とし、S=x_1+x_2+…+x_nとする。

（１）S=2mとなるような(x_1,x_2,…,x_n)の組数を求めよ。
（２）S=3mとなるような(x_1,x_2,…,x_n)の組数を求めよ。

（１）は、x_1,x_2,…,x_nを0以上m以下の制限をなくした場合の(x_1,x_2,…,x_n)の組数から、
x_k＞mとなる場合の組数を引けば良いので、
x_i=y_i(i≠k）、y_k=x_k-m-1とおいて、
y_1+y_2+…+y_n=m-1を満たす0以上m以下の(y_1,y_2,…,y_n)の組数を求めればよい。

C[n,k]=n!/(k!*(n-k)!)と書くことにすると、x_kの選び方はn通りあるので、
C[2m+n-1,n-1]-n*C[m+n-2,n-1]

（２）は、x_1,x_2,…,x_nを0以上m以下の制限をなくした場合の(x_1,x_2,…,x_n)の組数から、
「x_k＞2m」…[A]または、「x_p＞mかつx_q＞m」…[B]となる場合の組数を引けば良いので、

[A]のとき
（１）と同じでn*C[m+n-2,n-1]

[B]のとき
x_i=y_i(i≠p,i≠q,p≠q）、y_p=x_p-m-1,y_q=x_q-m-1とおいて、
y_1+y_2+…+y_n=m-2を満たす0以上m以下の(y_1,y_2,…,y_n)の組数を求めればよい。
C[n,2]*C[m+n-3,n-1]

全体から[A]と[B]を引いて

C[3m+n-1,n-1]-n*C[m+n-2,n-1]-C[n,2]*C[m+n-3,n-1]

としたのですが、（２）は数値を入れて確認すると合っていそうなのですが、
（３）は値を入れてみると答えが違いそうです。
何か考え方がおかしいのでしょうか？

No.80359 - 2022/01/17(Mon) 19:02:17

☆ Re: 負でない整数の組数2 / IT

(3) とは？

No.80361 - 2022/01/17(Mon) 20:24:05

☆ Re: 負でない整数の組数2 / 大西

（２）⇒（１）
（３）⇒（２）
の間違いでした。

（１）は数値を入れて確認すると合っていそうなのですが、
（２）は値を入れてみると答えが違いそうです。

No.80363 - 2022/01/17(Mon) 21:57:12

☆ Re: 負でない整数の組数2 / IT

> （２）は値を入れてみると答えが違いそうです。

たしかに合いませんね。
簡単な m=2,n=3 の場合で　何が考慮漏れか考えたらどうですか？

3m=6
全体は
　(6,0,0) 3通り
　(5,1,0) 6通り
　(4,2,0) 6通り
　(4,1,1) 3通り
　(3,3,0) 3通り
　(3,2,1) 6通り
　(2,2,2) 1通り　計28 通り

除外すべきものは、
条件を満たすのは(2,2,2) 1通りなので、それ以外。
[A],[B] では除外しきれてない。

No.80365 - 2022/01/17(Mon) 22:55:11

☆ Re: 負でない整数の組数2 / 大西

>　(6,0,0) 3通り
>　(5,1,0) 6通り
>　(4,2,0) 6通り
>　(4,1,1) 3通り
>　(3,3,0) 3通り
>　(3,2,1) 6通り
>　(2,2,2) 1通り　計28 通り
>
>除外すべきものは？

下の1通り以外はすべて除外しないといけないですね。
[A]は除外できていると思うのですが、[B]が何か足りていない
気がしています。

No.80366 - 2022/01/17(Mon) 23:23:54

☆ Re: 負でない整数の組数2 / IT

除外すべきものとして、１つだけmより大となる場合もあるのでは？　上の例でいえば(3,2,1) など

No.80368 - 2022/01/18(Tue) 00:09:02

☆ Re: 負でない整数の組数2 / 大西

全体から「x_k＞m」を引いて「x_p＞mかつx_q＞m」を加えれば良いのでしょうか？

全体から[A]をやめて[B]と（１）で出て来たn*C[m+n-2,n-1]をn*C[2m+n-2,n-1]に変えたものを引いたら合っているような気がします。

No.80372 - 2022/01/18(Tue) 07:47:28

☆ Re: 負でない整数の組数2 / IT

> 全体から「x_k＞m」を引いて「x_p＞mかつx_q＞m」を加えれば良いのでしょうか？

そうですね、条件を満たさないのは、
　ちょうど１つの項がmより大きい場合と、
　ちょうど２つの項がmより大きい場合
です。
例えば　x_1＞mかつx_2＞m は、x_1＞mとx_2＞mでダブって引かれますから戻さないといけませんね。

No.80380 - 2022/01/18(Tue) 17:50:19

☆ Re: 負でない整数の組数2 / 大西

S=4m,5m・・・でも同じ方法で求められますね。
包除原理みたいな感じですね。

ありがとうございました。

No.80392 - 2022/01/18(Tue) 21:59:26

★ 放物線の定義 / 放物線

放物線C:y=1/4x^2の焦点Fの座標は(0,1)であり、準線の方程式はy=-1である。
正の定数aに対して、C上の点(a,1/4a^2)をPとし、点PにおけるCの接線をl(エル)とする。
(1) lの方程式はy=1/2ax-1/4a^2
(2) lと直線x=aのなす角をαとするとき、cosα=
直線lとx軸の正方向のなす角をθとして、α+θ=2/πから変形して出す。
また、直線FPとlのなす角をβとするとき、tanβ=
ただし、0≦α≦π/2,0≦β≦π/2とする。

(質問) 放物線の性質からβ=αであるから
tanβ=tanαと答えに書いてあったのですが、
これは角の二等分線を使ったのでしょうか？それとも違いますか？ご教授いただければ幸いです。