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★ 増減 / aki
すみませんがもう1題お願いします…
http://t.upup.be/?vbW5lOHXs3
についてですが正方形の右下の点に注目して、その点と、Y=logxの正方形と交わる点との距離をf(t)としf(t)=log(1＋r)t−(1−r)tとおきました。
ここからrによる場合わけで考える際、まず0t=1/1−rで極大をとることがわかりました。この極大値が≧0であるのが条件になるらしいのですが、それが理解できません。
極小値≧0ならわかるのですが…



また簡単なことをお聞きしますが、
y=log(1＋r)tのtによる微分は1/(1＋r)t ではないのはなぜでしょうか？
y=log2xの微分は1/2xのような気がしたのですが…

どうかお願いします…
No.6902 - 2009/07/25(Sat) 14:47:34
☆ Re: 増減 / angel
問題そのものについては、読めなかったのでノーコメントです。
log の微分に関しては、

f(x)=log(ax) (a≠0) とする時、
・f'(x)=a・(1/ax)=1/x　( 合成関数の微分 (f(ax))'=a・f'(ax) )
また、a>0 であれば
・f(x)=log(ax)=logx+loga → f'(x)=1/x ( loga は定数のため影響なし )
でも示せます。
No.6906 - 2009/07/25(Sat) 15:57:13
☆ Re: 増減 / aki
問題は
正の実数r t に対し 点(t､t)を中心とし一辺が2trの正方形をSとする
ただしSの各辺はx軸またはy軸に平行
このとき正方形Sと曲線y=logxが共有点をもつようなtか存在するためのrの条件を求めよ

です

再三ご迷惑おかけしごめんなさい。
No.6909 - 2009/07/25(Sat) 16:36:29
☆ Re: 増減 / angel
この問題で調べたいことは、

・正方形の右下の頂点が、y=logx のグラフに関して、原点の逆側( 要するに右下 ) にくることがあるような r の条件
　※解答では左右上下の表現は使えませんので念のため

となっていることに注目。
そのような条件を満たす r ならば、
　log((1+r)t)-(1-r)t≧0
となる t が存在していることになりますし、逆に満たさない r ならば、不等式を満たす t が存在しないことになります。

ということで、改めて
　tの不等式 f(t)=log((1+r)t)-(1-r)t≧0 が解を持つ
という問題として見直すと、f(t)のグラフは r＜1 であれば ／＼ のような形を描きますから、極大値=最大値が0以上、という条件になります。
※最大値が0未満の場合、全ての t で f(t)＜0 なので、f(t)≧0 は解を持たない
No.6918 - 2009/07/26(Sun) 01:17:40
☆ Re: 増減 / aki
まず右下という表現は使えないということですが、正方形の右下の点というのも使ってはいけないのでしょうか？また、その点が原点と逆側にくるような…という表現がいまいちぴんときません。どういうことか教えて下さい(>_<)

わかりました、私は全てのtで成立つことを考えてしまっていたようです。満たすtがとにかく一つでも存在するには極大値が少なくとも≧0でなければ一つも満たすtが存在しなくなるのですね。

微分のはなし
わかりました、ではlog2xの微分も元々1/xが答えでしたでしょうか？
No.6934 - 2009/07/26(Sun) 13:11:07
☆ Re: 増減 / angel
しまった。正方形の頂点で「右下」を使っていましたね。
正解としては、
・グラフを描いて、その図中で頂点に名前を付けて、その付けた名前を使う
・「x座標が大きく、かつy座標が小さい方の頂点」といった表現にする
・座標 ((1+r)t,(1-r)t) のみで説明する
のどれかですね。
解説の時であれば、分かり易い方が良いので、上下左右をつい使ってしまうのですが、解答を書くときには「まぎれがない」「曖昧でない」といった所が重要ですから。ひょっとしたら、「右下」とかでも減点されないかもしれませんがね。

「原点と逆側にくる」という表現については、添付の図を見て下さい。こういう状態になるような r,t を調べているわけなので、この時、件の頂点と原点は、曲線 y=logx に関して逆(反対)、ということです。
※敢えて文章で表現しなくとも、「頂点が、領域 y≦logx に存在する」で良いのですがね。

＞ ではlog2xの微分も元々1/xが答えでしたでしょうか？
そうです。(log2x)' = 1/x です。
No.6953 - 2009/07/26(Sun) 22:32:32
☆ Re: 増減 / aki
なるほどよくわかりました！
わざわざ図までつけてくださり感謝です。ありがとうございました！
No.6973 - 2009/07/27(Mon) 19:51:47
☆ Re: 増減 / aki
なるほどよくわかりました！
わざわざ図までつけてくださり感謝です。ありがとうございました！
No.6974 - 2009/07/27(Mon) 19:51:49
★ (No Subject) / ゆう
等式sinA＝sinBcosCが成り立っているとき、△ABCはどのような三角形か。

よろしくお願いします!
No.6901 - 2009/07/25(Sat) 14:47:05
☆ Re: / rtz
左辺AをB,Cで表し、加法定理で展開して以下略。
No.6903 - 2009/07/25(Sat) 15:01:24
☆ Re: / angel
以下にあげた性質を使った色々な方法があるので、必ず自分で試行錯誤して解きましょう。

※以下、A,B,C,X,Y,Z は角度、a,b,c,x,y,z は辺の長さを表します。

・三角形の性質
　A+B+C=180° ( 半分にすれば、A/2+B/2+C/2=90°)
　x=y ⇔ X=Y … 三角形は二等辺三角形
　　特に a=b=c ⇔ A=B=C=60° … 三角形は正三角形
　x^2+y^2=z^2 ⇔ Z=90°… 三角形は直角三角形
　　更に x=y なら、X=Y=45°… 三角形は直角二等辺三角形

・三角比の性質
　sin(180°-X)=sinX, cos(180°-X)=-cosX
　sin(90°-X)=cosX, cos(90°-X)=sinX
　sinX ＞ 0, -1＜cosX＜1, sinX=1 ⇔ cosX=0 ⇔ X=90°( 0＜X＜180°のため )
　sinX=sinY ⇔ X=Y または X+Y=180°, cosX=cosY ⇔ X=Y ( 0＜X,Y＜180°のため )
　
・加法定理
　sin(X+Y)=sinXcosY+cosXsinY, sin(X-Y)=sinXcosY-cosXsinY
　cos(X+Y)=cosXcosY-sinXsinY, cos(X-Y)=cosXcosY+sinXsinY

・加法定理の応用(積和・和積)
　2sinXcosY=sin(X+Y)+sin(X-Y)
　2cosXcosY=cos(X+Y)+cos(X-Y), 2sinXsinY=cos(X-Y)-cos(X+Y)
　sin2X+sin2Y=sin((X+Y)+(X-Y))+sin((X+Y)-(X-Y)=2sin(X+Y)cos(X-Y)
　sin2X-sin2Y=…=2cos(X+Y)sin(X-Y)
　cos2X+cos2Y=cos((X+Y)+(X-Y))=2cos(X+Y)cos(X-Y)
　cos2X-cos2Y=…=-2sin(X+Y)sin(X-Y)

・正弦定理
　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r　( r は外接円の半径 )
　⇔ a=2r・sinA, b=2r・sinB, c=2r・sinC
　⇔ sinA=a/(2r), sinB=b/(2r), sinC=c/(2r)

・余弦定理
　a^2+b^2-c^2-2ab・cosC=b^2+c^2-a^2-2bc・cosA=c^2+a^2-b^2-2ca・cosB=0
　⇔ cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc), cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca), cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
No.6904 - 2009/07/25(Sat) 15:25:13
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!詳しく書いていただきありがとうございました。
No.6911 - 2009/07/25(Sat) 17:37:11
★ 微分 / aki
こんにちは。
質問をお願いします。
サイズを下げてみました。どうでしょうか？
http://y.upup.be/?3PJkOL7Wby

の(2)を自分では
http://p.upup.be/?HiSdbxFGOW
のようにといてみましたが答えが合わないです。どこが間違えているのでしょうか？
教えて下さい。
No.6900 - 2009/07/25(Sat) 14:31:55
☆ Re: 微分 / angel
取り敢えず文字が分かりません。
縦横が違うのはご愛嬌としても、文字がかすれたり割れたりして写っているので読めないのです。( 虫眼鏡で拡大してもどうにもなるものではないし… )

まだしも、以前のような大きな画像の方が良いです。
もっと言えば、写真で見易く文字を写すのは原則として難しいので、文章として入力して頂いた方が良いです。
※ひょっとして、投稿内容をPCから確認する環境がない…とか?
No.6905 - 2009/07/25(Sat) 15:50:27
☆ Re: 微分 / aki
問題は
f(−x)=f(x)＋2x
f(x)'=1
f(1)=0
を満たすとき
lim[x→1]f(x)＋f(−x)−2/x−1の値を求めよ

自分の解答は取り直して見ました、まただめなら申し訳ありません
http://r.upup.be/?p8b0FdrHNC

はいパソコンがかなり前にばぐって原因もわからず対処もできず、買うしかないように思われます。
ごめんなさい
No.6908 - 2009/07/25(Sat) 16:31:31
☆ Re: 微分 / angel
了解です。パソコンが使えないと辛いですね…。

ミスは小さなもので、
　lim[x→1] 2(f(x)-f(1))/(x-1) +2
　= 2f'(1)+2
とすべきところを、f'(1)に2をかけるのを忘れているせいでしょう。
No.6910 - 2009/07/25(Sat) 16:54:38
☆ Re: 微分 / aki
本当ですね！
ばかです…

ありがとうございました。

angelさんにはいつも感謝してます。
No.6912 - 2009/07/25(Sat) 18:49:55
★ 水の問題 / 明
高さa，半径2aの円筒形のふたのない容器がある

底面が水平になるように容器を置き，内部に水を満たした

次に容器を静かに45度傾けた

このとき容器に残っている水の水面の面積を求めよ

という問題です



どこから手をつけていいかわかりません
軸を導入しないと面積は出せないと思うのですが切り口がわかりません

ヒントを頂けるとうれしいです
No.6898 - 2009/07/25(Sat) 11:06:30
☆ Re: 水の問題 / angel
先に状況と図形の形を把握した方が良いと思います。

ある平面図形の影が長く伸びていると見るか、柱体を斜めに切った断面図と見るか、イメージはそれぞれですが、極々単純に考えて、長方形同士なら面積が 1/cosθ になるわけです。
※図形としては、横幅そのままに、縦だけを 1/cosθ倍にしたもの

これは、今回のような曲線を含んだ図形でも同じ。( 積分の考え方として、細かく短冊状に区切れば… )

なので、今回求める面積は、( 円の一部分÷cos45°) となります。

なお、この形は楕円の一部になります。( 円を引き伸ばせば楕円になる )
イメージがわかないならば、方程式を元にゴリゴリ計算してもいけます。
※傾ける前の円柱の側面は x^2+y^2=4a^2, 0≦z≦2a とおけるので、y軸を軸に45°傾けると、1/2・(X-Z)^2+Y^2=4a^2, 0≦(X+Z)/√2≦2a という図形に移ります。平面 Z=-a/√2 で切断すれば、楕円(の一部)を示す方程式が現れます
No.6899 - 2009/07/25(Sat) 13:36:19
★ 図形 / 桜　高3
こんにちは。
いつもありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

半径４の円に内接する四角形ABCDがあり、AB=2,BC=7,∠BCD=90°である。

AD=?
CD=?
cos∠ABC=?
AC=?
四角形ABCDのS=?
sin∠AEB=?
という設問がまずあって
私がわからないのは

最後の問題の
sin∠ABE=?
AE:EC=?
の2つです。

なぜSin∠ABE=AD/BDなのでしょうか

ありがとうございます。
よろしくお願いいたします。
No.6890 - 2009/07/24(Fri) 19:32:36
☆ Re: 図形 / 雀
Eはどこでしょうか？
No.6891 - 2009/07/24(Fri) 21:37:33
☆ Re: 図形 / 桜　高3
すみませんです。
Eは対角線ACとBDの交点でした。
No.6892 - 2009/07/24(Fri) 21:41:27
☆ Re: 図形 / ヨッシー
ＢＤが直径であり、△ＡＢＤは∠Ａ＝90°の直角三角形だからですね。
∠ＡＢＥを∠ＡＢＤと書いた方がわかりやすいでしょう。
No.6893 - 2009/07/24(Fri) 23:19:45
☆ Re: 図形 / 桜　高3
ありがとうございます(^^)

初めてこのとき方を見たんですが、
AD/BDでsin∠ABEが出るのは公式ですか？？
No.6894 - 2009/07/24(Fri) 23:26:16
☆ Re: 図形 / 七
横から失礼します。

> 初めてこのとき方を見たんですが、
> AD/BDでsin∠ABEが出るのは公式ですか？？

はじめに三角比を習ったとき正弦はこう習ったはずです。
No.6895 - 2009/07/25(Sat) 06:49:43
☆ Re: 図形 / 桜　高3
みなさん。本当にありがとうございました☆
おかげさまで解けました！！
うれしいです☆

ありがとうございます。
No.6897 - 2009/07/25(Sat) 08:34:52
★ (No Subject) / ゆう
F＝-a^2-2ab+b^2+4b+34とおくときすべてのbに対してF>0となるａの値の範囲を求めよ。

お願いします。
No.6885 - 2009/07/24(Fri) 10:07:31
☆ Re: / ヨッシー
ｂで整理すると、
Ｆ＝b^2＋2(2-a)b−a^2＋34
のように、ｂの２次式になります。ｂとＦのグラフを描くと、
b^2 の係数が正なので、下に凸のグラフになります。
こういう関数が、常にＦ＞０になるための必要十分条件は、
(判別式)＜０ ですから、
　D/4＝(2-a)^2−(−a^2＋34)
　　＝2a^2−4a−30＝2(x+3)(x-5)＜０
より　-3＜ａ＜5
No.6888 - 2009/07/24(Fri) 13:14:00
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!
分かりやすく教えていただきありがとうございます!
No.6896 - 2009/07/25(Sat) 08:01:19
★ 解に文字を含む不等式 / 花崎

おはようございます!数|の範囲なのですが、
二次不等式x^2-(a+1)x+a<0 (a≠1)の解が整数を2個含むように、定数aの値の範囲を定めよ。という問題で、
まず二次不等式を因数分解して
(x-1)(x-a)<0
そして(?T)a>1のとき(?U)a<1のときに場合わけして
(?T)のとき1どなたかご指導宜しくお願いします。
No.6882 - 2009/07/24(Fri) 09:55:18
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
上の記事は、

おはようございます!数|の範囲なのですが、
二次不等式x^2-(a+1)x+a<0 (a≠1)の解が整数を2個含むように、定数aの値の範囲を定めよ。という問題で、
まず二次不等式を因数分解して
(x-1)(x-a)<0
そして(?T)a>1のとき(?U)a<1のときに場合わけして
(?T)のとき1＜x＜aまではわかったのですが、次が解答では3＜a≦4となっていたのですが、なぜこのようなaの範囲になるのかが分かりません。
どなたかご指導宜しくお願いします。

と書いてあります。
No.6883 - 2009/07/24(Fri) 10:00:15
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
さて、回答ですが、
１＜ｘ＜ａ の範囲内に、整数であるｘが２個含まれるように
ａの範囲を決めよ。という問題でした。
１＜ｘ＜ａ に含まれる整数としては、ｘ＝１ はダメなので、
ｘ＝２、ｘ＝３ の２つが含まれるようにします。

ａ＝３ だと、不等式の解は、
　１＜ｘ＜３
となり、ｘ＝３ が含まれません。ａが３より、少しでも大きければ、
　１＜ｘ＜ａ
に、３は含まれます。次に、ａ＝４ だと
　１＜ｘ＜４
となり、ｘ＝４ は含まれません。ａ が４より、少しでも大きければ、
ｘ＝４ が含まれてしまいます。

以上より、ａは３は含まず３より大きく、４を含んで４より小さい
値であれば良いことになり、
　３＜ａ≦４
が（Ｉ）のときのａの範囲となります。
No.6884 - 2009/07/24(Fri) 10:06:39
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / 花崎

詳しいご説明ありがとうございます!

しかしまた質問失礼します。
１＜ｘ＜ａ に含まれる整数として、ｘ＝１ はダメなのはわかったのですが、そうするとなぜｘ＝２、ｘ＝３ となるのかがわかりませんでした。
２や３以外の整数は考えられないのでしょうか？
No.6886 - 2009/07/24(Fri) 10:15:03
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / ヨッシー
１＜ｘ＜ａ　で、左端は１に確定しています。
こういう状態で、２をすっ飛ばして、３や４が含まれる
ということはあり得ません。
No.6887 - 2009/07/24(Fri) 13:07:42
☆ Re: 解に文字を含む不等式 / 花崎

なるほど!
理解できました。
本当に助かりました。
ありがとうございました!
No.6889 - 2009/07/24(Fri) 15:59:46
★ (No Subject) / ゆう
因数分解で
(x^2+x+2)(x^2+5x+2)+3x^2
がわかりません。

よろしくお願いします!
No.6877 - 2009/07/23(Thu) 23:23:24
☆ Re: / ヨッシー
Ａ＝x^2+x+2 とおくと、
(与式)＝Ａ(Ａ+4x)＋3x^2
　＝Ａ^2＋4xＡ＋3x^2
　＝(Ａ＋x)(Ａ＋3x)
　＝(x^2+2x+2)(x^2+4x+2)
有理数ならここまでです。
No.6878 - 2009/07/24(Fri) 05:15:48
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!
ありがとうございました!
No.6879 - 2009/07/24(Fri) 08:05:13
☆ Re: / ヨッシー
件名は必ず入れてください　(T_T)
No.6881 - 2009/07/24(Fri) 08:50:32
★ 逆関数 / きょうこ
以下の逆関数を求めよ。
y=f(x)=log { x+√(x^2+1) }

【自分の考え】
0＜x+√(x^2+1)＜∞より、f(x)値域は実数全体。
y＝log { x+√(x^2+1) }
⇔x+√(x^2+1)＝e^y
⇔√(x^2+1)＝e^y -x
⇔x^2+1＝e^2y -2xe^y +x^2 , e^y -x＞0（両辺を2乗した）
⇔x＝(e^2y -1)/2e^y , x＜e^y
⇔x＝(e^2y -1)/2e^y

したがって
y^-1＝(e^2x -1)/2e^x

正しいでしょうか。特に、2乗したときの同値変形が気になります。
No.6873 - 2009/07/23(Thu) 07:22:48
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
２乗を戻したときに、
x^2+1＝e^2y -2xe^y +x^2 → √(x^2+1)＝x - e^y
の可能性は、ありませんので、問題ないと思います。

ただし、f-1(x) という書き方はしますが、
ｙ-1 とはあまり書きませんね。
1/y の意味になってしまいます。
No.6874 - 2009/07/23(Thu) 08:17:25
★ (No Subject) / 小次郎
４点A,B,C,Pの間に次のような関係があるとき、APベクトルをABベクトルとACベクトルを用いて表せ。

PAベクトル＋２PBベクトル＋３PCベクトル＝０ベクトル

すみません以前にも質問したかもしれないのですが、この問題の解答解説をおねがいします！！
No.6872 - 2009/07/23(Thu) 01:25:58
☆ Re: / ヨッシー
ＰＡ＝−ＡＰ
ＰＢ＝ＡＢ−ＡＰ
ＰＣ＝ＡＣ−ＡＰ
と置き換えて、ＡＰ＝　の形に整理します。
No.6875 - 2009/07/23(Thu) 08:19:12
☆ Re: / 小次郎
なるほど！！

ありがとうございます。
No.6915 - 2009/07/25(Sat) 22:52:49
★ 積分 / みほ
∫（sin＾２x）（cos＾２x）dx

（sin＾２x）（cos＾２x）=(sinx*cosx)^2
=｛1／２（sin２x）}^2
=（1／４）sin＾２２ｘ
　　　　　　　　　　　　= １／8（１−cos４ｘ）


読みにくくなってしまってすみません・・・・・。
式の２行目は１／４のサイン２乗の２ｘという意味です。


式の１行目までは理解できるのですが、２行目への変換ができません。
たぶん、倍角・半角の公式を利用するんですよね？
解説お願いします。
No.6865 - 2009/07/22(Wed) 21:22:39
☆ Re: 積分 / X
２倍角の公式より
sin2x=2sinxcosx
∴sinxcosx=(1/2)sinx
となります。
又、半角の公式により
(sin2x)^2={sin((4x)/2)}^2
=(1-cos4x)/2
となります。
No.6868 - 2009/07/22(Wed) 22:52:17
☆ (No Subject) / みほ
解説ありがとうございます！！！
さっそくやってみます。
No.6920 - 2009/07/26(Sun) 06:11:15
★ 度々すみません / jannk
行列Ａで表される座標平面上の点の移動(行列Ａの表す１次変換)をｆとする。
(１)ｆによって点Ｐ(２，１)が点Ｐ'(５，８)に移され、点Ｑ　　(１，２)が点Ｑ'(４，７)に移される。このときの行列Ａ　　を求めよ。
(２)Ｒ(ｘ1，ｙ1)，Ｓ(ｘ2，ｙ2)を任意の異なる2点とする。　　(１)のｆによってＲ，ＳはそれぞれＲ’，Ｓ’に移され　　るとする。このとき，線分ＲＳは線分Ｒ’Ｓ’に移され　　ることを示せ。
(３)Ｏを原点とする。(１)のｆによって△ＯＰＱの内部は△　　ＯＰ’Ｑ’の内部の点に移される事を示せ。

という問題です。(１)はでたのですが(２)(３)が全くわかりません。。お願いします。。
No.6863 - 2009/07/22(Wed) 19:10:15
☆ Re: 度々すみません / angel
(2)は(3)のヒントになっています。
先に、ベクトルの話の中であったと思いますが、
　点X が 線分AB上にある
　⇔ ↑OX=t↑OA+(1-t)↑OB で 0≦t≦1 なる t が存在する
を思い出しましょう。
※「↑OX=s↑OA+t↑OB で 0≦s≦1, 0≦t≦1, s+t=1 となる s,t の組が存在する」でも良いです。

(2) 線分RS上の点をXとし、Xの移った先を R',S'を使って表してみましょう

(3) △OPQ の内部の点を Y とし、OY を延長すると線分PQと交わります。この点を X としてみます。
ここで逆の見方をすると、△OPQの内部の点Y というのは、「線分PQ上のある点X に関して、線分OX上にある点」と言う事ができます。
そうすると、(2)の話を拡張することで(3)も示すことができます。
No.6866 - 2009/07/22(Wed) 22:03:07
☆ Re: 度々すみません / jannk
そうすると(２)はどうなりますか！？？
詳しくお願いします。
ベクトルの話はわかりますがどう使ったらいいか分かりません。。。
No.6869 - 2009/07/22(Wed) 22:55:31
☆ Re: 度々すみません / angel
一次変換の最も重要な性質として、
　f(αｕ+βｖ)=αf(ｕ)+βf(ｖ)　　( ｕ,ｖはベクトル )
なので、
　↑OX=t↑OR+(1-t)↑OS
　f(↑OR)=↑OR'
　f(↑OS)=↑OS'
で、X が X' に移る、つまり f(↑OX)=↑OX' であれば
　↑OX'=f(↑OX)
　=f(t↑OR+(1-t)↑OS)
　=tf(↑OR)+(1-t)f(↑OS)
　=t↑OR'+(1-t)↑OS'
…なので、ほとんどこのままで答えになります。上で挙げた線分の条件を組み合わせて、X' が線分 R'S'上にあることを説明してください。
No.6870 - 2009/07/22(Wed) 23:12:47
☆ Re: 度々すみません / jannk
(２)は
ｘ'=t↑OR'+(1-t)↑OS'
となって線分R'S'上に移るとなったんですが、(３)がわかりません…教えてください．。
No.6876 - 2009/07/23(Thu) 22:01:57
☆ Re: 度々すみません / ヨッシー
線分ＰＱ上の点は
　ｔＯＰ＋(１−ｔ)ＯＱ　(0≦ｔ≦1)
で表されるんでしたね？では、それを、０倍から１倍までの
範囲で縮めてやれば、△ＯＰＱの内部の点に行き着くでしょう。
つまり、
　ｓ{ｔＯＰ＋(１−ｔ)ＯＱ}　(0≦ｓ≦１，0≦ｔ≦1)
です。普通は、
　ｓＯＰ＋ｔＯＱ　(0≦ｓ，0≦ｔ，0≦ｓ＋ｔ≦1）
と表します。

こちらをご覧ください。
No.6880 - 2009/07/24(Fri) 08:46:57
★ 極限の問題です / 高3
次の極限値を求めよ。ただし，cはc≠0を満たす定数である。
lim｢x→∞](sin√(x＋c)−sin√x)

すいませんが教えてください?ｫ
No.6862 - 2009/07/22(Wed) 19:00:35
☆ Re: 極限の問題です / angel
三角関数は振動するものですから、極限を持つとすると、sin0 の形とか、0×sin(何か) もしくは 0×cos(何か) になる例が多いです。
今回もそうなります。

sin - sin の形を、和積の公式で sin と cos の積に書き換えましょう。
そうすると、sin((√(x+c)-√x)/2) という形が出てきます。
sin の中身を変形させると、
　√(x+c)-√x
　= (√(x+c)-√x)(√(x+c)+√x)/(√(x+c)+√x)
　= c/(√(x+c)+√x)
　→ 0　( x→+∞ )
という、0 に収束する形になりますから、sin((√(x+c)-√x)/2) も 0 に収束します。
最終的に、(0に収束する形)×cos(何か) の形なので、全体として 0 に収束します。
No.6867 - 2009/07/22(Wed) 22:14:57
★ 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / 涼流
またまたお邪魔します。考えてみたのですが全くわかりません;(恐らく(1), (2)はできましたが...)

問. 3つの実数x, y, zに就いて、x + y + z = 3 …… #1, x^2 + y^2 + z^2 = 27 …… #2を満たすとき次の問に答えよ。
(1) xy + yz + zxの値を求めよ。
略(xy + yz + zx = -9)

(2) (1)を用いてx, yが実数である条件からzの取り得る値の範囲を求めよ。
略(-3 ≦ z ≦ 5)

(3)この連立方程式の整数解を求めよ。
x^2 + y^2 + z^2 = (x + y)^2 - 2xy + z^2
= (x + y)^2 - 2y・(3 - y - z) + z^2 (∵#1)
= (x + y)^2 + 2y^2 + 2yz - 6y + z^2 = 27 (∵#2)
より、
(x + y)^2 = 27 - 2y^2 - 2yz + 6y - z^2
として右辺が完全平方式となればよいと思い、考えてみましたがどうしてもパターンが多すぎてできません……。

どうか方針をご教授願いします。
No.6852 - 2009/07/21(Tue) 21:07:52
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / angel
あまり上手い方法を思いつかないのですが…
とりあえず、

　x+y=3-z の辺々を平方したもの
　x^2+y^2+z^2=27 の辺々を2倍したもの

の差を取れば、(x-y)^2 = -3(z^2-2z-15) という式が導けます。
あとは整数という条件で、ある程度絞れると思います。
No.6855 - 2009/07/21(Tue) 21:43:43
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / angel
お風呂に入って考え直してみた…
直接 x^2+y^2+z^2=27 を調べた方が早かった…

平方数を3で割った余りは 0 ( 3の倍数 ) か 1 ( 3の倍数でない )
ということは、x,y,z は全て3の倍数か、全て3で割り切れない。

1. 全て3の倍数の場合
　6^2=36 が混じると 27 をオーバーするので、9+9+9 の組み合わせのみ

2. 全て3で割り切れない場合
　5^2=25 が混じると、25+1+1 の組み合わせ
　混じらない場合、4^2+4^2 では 27 オーバー、4^2+2^2+2^2 では 27 に届かず。結局、25+1+1 のみ
No.6858 - 2009/07/21(Tue) 23:14:15
☆ Re: 3元2次連立(不定?)方程式の整数解 / 涼流
早急な解答、ありがとうございます。参考になりました!
一概に式変形して求めるだけではないのですね^^

3つを足したとき、27(3の倍数)となるのは、3つとも3の倍数か、3つとも1余る数という発想は思いつきませんでした;

今後もお世話になるかも知れませんが、よろしくお願いします^^
No.6864 - 2009/07/22(Wed) 20:55:38
★ 順列 / 123
（1、2、…、n）の順列の偶順列と奇順列はどちらもn！／2個あることを示せ。
感覚ではわかるのですがきちんと証明ができません..
よろしくお願いします。
No.6851 - 2009/07/21(Tue) 20:52:15
☆ Re: 順列 / ヨッシー
並べ方は全部でｎ！通りあります。
ある並べ方と、その最初の２つ(最後の２つなどでも良い)
を入れ替えたものは、ｎ！/２ 組存在して、
一方が偶順列なら、他方は奇順列なので、
それぞれ　ｎ！/２個ずつある。
No.6860 - 2009/07/22(Wed) 08:48:34
★ 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
xの定義域Sを次のように定める。
-1≦x≦(3a+1)/2 (ただし-1≦a≦-1/3)、(3a-1)/2≦x≦(3a+1)/2 (ただし-1/3≦a≦1/3)、(3a-1)/2≦x≦1 (ただし1/3≦a≦1)
xの関数f(x)=x^2-2ax+2a^2+4の、定義域Sにおける最大値と最小値を求めなさい。

f(x)=(x-a)^2+a^4+4なので軸はx=a。
定義域に文字が含まれていて、しかもその文字が軸になっていて、軸と定義域の位置関係が分からないです。
どんなふうに考えて解くのか教えてください。お願いします。
No.6849 - 2009/07/21(Tue) 17:20:20
☆ Re: 2次関数の最大最小 / angel
位置関係がわからなければ…
グラフを描けば良いではないですか。

というわけで描いてみました。
横軸が a ( -1≦a≦1 )、縦軸が S の範囲ということで x、
赤線のグラフが S の下限、青が S の上限、灰色のグラフが放物線の軸 ( x=a ) を表します。

こうしてみると、軸の部分は必ずSに含まれるので、f(x) の最小値は f(a) と分かります。
最大値は…、というと、軸から最も離れたところの値ですから、a≧0 の場合は S の上限で、a<0 の場合は S の下限で、ということになります。
No.6853 - 2009/07/21(Tue) 21:10:53
☆ Re: 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
解答ありがとうございます。

『位置関係がわからなければ…グラフを描けば良いではないですか。』

こういう考え方は初めてなんですが、これはどの辺で習うことなんでしょうか(一応数Bまでは終わってます)?
とくに水平軸をa軸に、鉛直軸をx軸に充てられていますが、これは全く見たことがないです。調べてみたけど見つからないです。どうしてこういう軸の取り方をされているのですか？
No.6859 - 2009/07/22(Wed) 05:34:35
☆ Re: 2次関数の最大最小 / ヨッシー
ａの値によって、ｘの範囲がどう変わるかをみたいので、
ａとｘのグラフになります。

>これはどの辺で習うことなんでしょうか
小学校で、比例のグラフを描いたとき
中学校で、一次関数のグラフを描いたとき
の知識の応用ですね。

もちろん、a=-1 のとき、a=-2/3 のとき、a=-1/2 のとき a=-1/3 のとき・・・
のように、調べていっても出来ますが、グラフのように
いろんな情報を一度に与えてはくれません。
ここでいう情報の主なものは、
　ｘ＝ａ は必ず、定義域に含まれること
　ａ＜０ では、Ｓの下限、ａ＞０では上限の方が軸より遠いこと
です。
No.6861 - 2009/07/22(Wed) 09:16:27
☆ Re: 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
よくわかりました。ありがとうございました。
No.6871 - 2009/07/22(Wed) 23:38:57
★ ベクトル / 小次郎
簡単な質問ばかりですみません・・・・

三角形ABCの頂点A、Cの座標がA(3,2,1) C(2,6,-1)その重心Gの座標が(3,2,-1)である。

(1)点Bの座標　　B(4,-2,-3)

(2)四辺形ABCDが平行四辺形となるような点Dの座標
　　　D(1,10,3)

(3)線分CAを１：３に内分する点Pの座標。

(4)点P(9/4,5,-1/2)に関して点Cの対称点Qの座標を求めよ。

(1)(2)は解けたのですが(3)(4)の解法がわかりません・・
特に(4)の「点Pに関して」の意味がわからないです。

すみませんがおねがいします！！
No.6846 - 2009/07/21(Tue) 14:17:52
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
(3)
こちらの内分点の公式によります。
ここには、直線と平面の式しかありませんが、空間も同じ
考え方です。

(4) 「点Ｐに対して対称」「点Ｐをはさんで対称」
と書けばわかりますか？
さらに、「点ＰはＣＱの中点」と書くと・・・。
(1) よりも、簡単ですよ。
No.6850 - 2009/07/21(Tue) 18:26:20
☆ Re: ベクトル / 小次郎
ありがとうございます！！
考え方を少し変えただけでこんなにも簡単になるとは・・・

これからもよろしくお願いします。
No.6857 - 2009/07/21(Tue) 22:27:19
★ (No Subject) / ふゆ
ユークリッドの互除法を視覚的に表現すると長方形を敷き詰める最大の正方形タイルを探す作業をしているみたいなのですが、よく分かりせん。どうか教えてください。
No.6840 - 2009/07/20(Mon) 01:22:25
☆ Re: / rtz
http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/gojyo.html
参照のこと。
No.6841 - 2009/07/20(Mon) 02:05:26
★ ベクトル / 小次郎
Ｏを原点とする座標平面上に４点A(3,k) B(1,5) C(4,2) D(s,3)がある。

四辺形ＡＢＣＤが平行四辺形となるようにｋ、ｓの値を求めよ。

お願いします！！
No.6832 - 2009/07/19(Sun) 17:18:37
☆ Re: ベクトル / angel
いや、ベクトルを持ち出すまでもなく。
平行四辺形の性質「対角線は互いに他を二等分する」早い話が、対角線AC, BDの中点が一致することを用いて、k,s を求めてください。
No.6833 - 2009/07/19(Sun) 17:33:11
☆ Re: ベクトル / ハオ
ベクトルを用いて考える方法も提示しておきますが、無視されて頂いても構いません。
平行四辺形となるのはAB→=DC→となる時。
この時さらに条件が必要です。それはAB→とAD→が平行ではない事です。
もし平行ならば、４点ABCDは一直線上になってしまいます。
No.6835 - 2009/07/19(Sun) 17:41:11
☆ Re: ベクトル / 小次郎
> いや、ベクトルを持ち出すまでもなく。
> 平行四辺形の性質「対角線は互いに他を二等分する」早い話が、対角線AC, BDの中点が一致することを用いて、k,s を求めてください。


すいません。その解法ですらわからないのです・・・・

解法を記載していただけるとうれしいです。
No.6838 - 2009/07/19(Sun) 23:43:19
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
A(3,k) と C(4,2) の中点は (7/2, (k+2)/2)
B(1,5) と D(s,3) の中点は ((1+s)/2, 4)
で、これらが一致。
です。
No.6842 - 2009/07/20(Mon) 06:40:53
☆ Re: ベクトル / 小次郎
ありがとうございました！！
No.6845 - 2009/07/21(Tue) 00:24:59
★ 未知の方程式と定点の関係について / ハオ
本件の前に少しヨッシーさんに疑問なのですが、今日ここに来てみたら背景に[件名は必ずいれてください。]という表示が無数にあるのですが一体これは何でしょうか？僕の責任でしょうか？それとも皆の背景にもこの様な事が書いてあるのでしょうか？もし、僕だけであった場合は、申し訳ありません。

ところで、本題ですが今日授業で、
xy平面上に放物線C:y=x^2 +5/4と直線L:y=mx+m(mは実数の定数)がありCとLは異なる2点P,Qで交わっている.
(1)線分PQの中点をM,点Mを通りy軸に平行な直線とCとの交点をNとする。三角形PQNの面積が1となるときのmの値を求めよ。
という問題があったのですが、この問題は2点PQが第一象限で交わるのか、第一象限と第二象限の二つの場所で交わるのかで場合分けしなければならないと考えましたが、
解法では直線Lは定点(-1.0)を通るので二点PQは第一象限にある。と記載されていました。
ここで疑問なのですが、直線の方程式がどの様な場合は定点を通ると気づくのでしょうか？
例えばy=mx+mの様にxの係数と切片が同じ値の場合は定点を通るの様に教えて頂けると幸いです。
No.6830 - 2009/07/19(Sun) 16:50:54
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / angel
「mの取る値に関わらず、直線がある定点を通る」というところに注目。端的に言うと、m の恒等式が現れるわけです。

y=mx+m を m についてまとめれば (x+1)m-y=0
これが恒等式になるのは、(x,y)=(-1,0) ということ。

　(x,y)=(-1,0)の時、mに関する恒等式になる
　⇔ (x,y)=(-1,0) の時、mの値に関わらず方程式が成立する
　⇔ mの値に関わらず、方程式の示すグラフは(-1,0)を通る

この手の話は良く出るので、常に注目しておくと良いでしょう。
※いつもいつも役に立つわけではないですが。
No.6834 - 2009/07/19(Sun) 17:38:03
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / ヨッシー
はい、その壁紙は、今日から貼っています。
誰それのせいということではなく、件名を書いてもらった方が、
整理がしやすいので、お願いをしています。

上の方の注釈に書いても良かったのですが、インパクトが薄いので、
このようにしました。

他の皆さんも、ご協力ください。
No.6837 - 2009/07/19(Sun) 22:14:39
☆ Re: 未知の方程式と定点の関係について / ハオ
angelさん、どうも有難う御座います。恒等式の考えをすっかり忘れていました。数学って感慨深いというか美しいですね。

ヨッシーさん、御返答有難う御座います。とてもインパクトがあります。
No.6843 - 2009/07/20(Mon) 08:47:40
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