ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ 集合と論理について教えてください / ノリス

　自分は現在B1の理工系学生です。単純な問題なのですが答えが出せずに困っています。教えていただきたいのは「集合が先か論理が先か」という問題です。
　個人的には集合によって論理を決定したほうが明快な気がするのですが・・・。その場合何か問題が生じるのでしょうか？それとも論理と集合は同等な関係にあるのでしょうか？解説をぜひお願いします。

No.5179 - 2009/02/13(Fri) 01:10:27

★ (No Subject) / syo

半径８の円Oの内部の点Pを通る弦ABについて、PA・PB＝28であるとき、線分OPの長さを求めよ。

解説お願いします。

No.5178 - 2009/02/13(Fri) 00:20:05

☆ Re: / らすかる

ABの中点をMとすると
OP^2=OM^2+PM^2
=(OA^2-AM^2)+(AM-AP)^2
=OA^2+AP^2-2AM・AP
=OA^2+AP^2-AB・AP
=OA^2-AP・(AB-AP)
=OA^2-AP・BP
=8^2-28
=36
∴OP=6

No.5180 - 2009/02/13(Fri) 02:27:28

☆ Re: / ToDa

OとPを通る弦(すなわち直径)を描いて、方べきの定理を持ち出してみるという手もありますね。

No.5181 - 2009/02/13(Fri) 02:56:31

☆ Re: / syo

ほうべきも使えるんですね！わかりました！

No.5182 - 2009/02/13(Fri) 06:27:34

★ (No Subject) / ｆだｓ

☆ Re: / ヨッシー引用
ｙ＝ａ^x のグラフで、傾きが１の点で、ｙ＝ｘと接する時を
調べます。
ｙ＝ａ^x をｘで微分して
　ｙ'＝(ａ^x)logａ＝１
より、
　ａ^x＝1/logａ
　ｘ＝loga(1/logａ)
このとき、ｙ＝ｘとｙ＝ａ^x よりが接するとき
　loga(1/logａ)＝ａ^{loga(1/logａ)
}
これを解いて、
　ａ＝ｅ^(1/e)
よって、
　ａ≧ｅ^(1/e)
において、不等式a^x≧ｘが任意の正の実数ｘに対して成り
立つ。

No.5115 - 2009/02/08(Sun) 18:39:58

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: NEW / ｆだｓ引用
すみませんＯＴＺ

これを解いてがわかりません；；；；；；

No.5175 - 2009/02/12(Thu) 18:10:46

☆ Re: / ヨッシー

ｂ＝logａとおくと、
　loga(1/logａ)＝log(1/ｂ)/ｂ
　ａ^{loga(1/logａ)}＝１/ｂ
より、
　log(1/ｂ)＝１
　１/ｂ＝ｅ
　ｂ＝logａ＝1/e
よって、
　ａ＝ｅ^(1/e)
となります。

No.5176 - 2009/02/12(Thu) 20:09:16

☆ Re: / ｆだｓ

ありがとうございます

No.5183 - 2009/02/13(Fri) 18:21:33

★ 重積分 / 絢香

重積分の下のような問題のとき、
どのようにxの範囲とyの範囲を求めるのですか??

(1)3y^2-xy D:y≦2x、y≧2^2
(2)　　x D:0≦x+y≦1、0≦x-y≦1
(3)(x^2)y D:0≦x≦y≦1

範囲は
(1)∫(0～4)∫(2x^2～2x) 3y^2-xy dydx
(2)∫(0～1/2)∫(0～x) x dydx
(3)∫(0～1)∫(0～y) (x^2)y dxdy
となるようなのですが、考え方がよくわかりません。
詳しい解説をお願いします!!

また、下の問題のように積分の順序を変えて計算するとき、
どのようにxとyの範囲を求めるのですか？

(4)∫0～3 ∫0～(2-(2x/3)) (1-(x+y)/3)dydx

範囲は、入れ替えると
(4)∫(0～2)∫(0～3-(3/2)y) (1-(x+y)/3)dydx
となるようなのですが、
考え方を詳しく教えてください!!

No.5173 - 2009/02/12(Thu) 02:01:24

★ 文章問題　他 / ひろ

(1)ある数を17で割ると余りが15になりました。同じ数を19で割ると、商は17で割った時と同じになり、あまりは3でした。ある数はいくつですか。

(2)直角三角形ABCがあります。
∠A=90°　AB=6 AC=8 BC=10
辺ABを辺BCに折り曲げると、∠AはBCに対して直角です。
折曲がったAC上の角をDとする。
折り曲げったACを∠Aを中心に折り曲げます。
その時できた三角形のBCDの面積はいくつか。

イメージするのが難しいかもしれませんが、宜しくおねがいします。

No.5165 - 2009/02/11(Wed) 23:13:32

☆ Re: 文章問題　他 / ヨッシー

(1)
商をｘとおくと、
　１７ｘ＋１５＝１９ｘ＋３
答え　１１７

(2)

ここまでは描けましたが、合ってますか？

No.5167 - 2009/02/11(Wed) 23:22:22

☆ Re: 文章問題　他 / ひろ

ヨッシーさん、ありがとうございます。
あっています。どうしてCD=5と出たのですか。

No.5170 - 2009/02/12(Thu) 00:15:38

☆ Re: 文章問題　他 / らすかる

Aを折り返した先をA'とすると △ABC∽△A'DC なので A'C：CD=AC：BC=4：5 です。

No.5171 - 2009/02/12(Thu) 00:33:57

☆ Re: 文章問題　他 / ひろ

らすかるさま
ありがとうございます。
よく見るとその通りでした。失礼しました。

No.5177 - 2009/02/12(Thu) 22:01:06

★ (No Subject) / ｆだｓ

区分求積法で

右端型と左端型の見分け方がわかりません

おしえてください

No.5162 - 2009/02/11(Wed) 22:05:28

☆ Re: / ヨッシー

見分ける必要もないと思いますが、
Σの範囲の最初が、左端の値なら左端型、
Σの範囲の最後が、右端の値なら右端型です。
こちらをどうぞ。

No.5168 - 2009/02/11(Wed) 23:26:07

★ 場合の数 / Kay(高1女子)

〔問題〕
10人の生徒から、図書、放送、保健委員を２人ずつ選ぶ。１人３役は不可、１人２役までは兼任可として、全部で何通りの選び方があるか答えよ。

上の問題ですが、複雑でわかりません。よろしくお願いします。

No.5160 - 2009/02/11(Wed) 18:15:37

☆ Re: 場合の数 / らすかる

2役を兼任する人が3人の場合
　「図書＋放送」「放送＋保健」「保健＋図書」の3人を選ぶので、10P3通り
2役を兼任する人が2人の場合で同じ2役を兼任する場合
　兼任する役の選び方が3通り、人の選び方が10C2×8C2通り
2役を兼任する人が2人の場合で異なる2役を兼任する場合
　兼任する役の選び方が3通り、人の選び方が10P4通り
2役を兼任する人が1人の場合
　兼任する役の選び方が3通り、人の選び方が10C2×8P3通り
2役を兼任する人がいない場合
　人の選び方が10C2×8C2×6C2通り
計 83880通り

No.5161 - 2009/02/11(Wed) 19:14:36

★ (No Subject) / 魑魅魍魎

xについての方程式px^2+{(p^2)-q}x-(2p-q-1)=0が解をもち、すべての解の実部が負となるような実数の組(p,q)の範囲をpq平面状に図示せよ

という問題なのですが
最初にp=0,q≠0の場合のとき -1が分かりました。

次にp≠0の場合のとき
判別式D=0
判別式D>0
判別式D<0
をそれぞれ考えました。

判別式D=0のとき
D={(p^2)-q}^2+4p(2p-q-1)=0

x=(-p^2+q)/p が負になるには
(-p^2+q)/p <0 ⇒　p(-p^2+q)<0
から
p<0のとき　-p^2+q>0 ･･････(1)
p>0のとき -p^2+q<0　･･････(2)
と求まりました。

ここから質問なのですが　もしD=0のときだけ図示しようとしたとき,先ほど求めた条件式(1)(2)は
D={(p^2)-q}^2+4p(2p-q-1)=0の場合なので
Dの式をq=の形にして、qのグラフを調べてから図示するという手順になるのでしょうか？

No.5153 - 2009/02/11(Wed) 02:53:17

☆ Re: / 魑魅魍魎

すみません、関係ないところですが訂正です＞＜

最初にp=0,q≠0の場合のとき -1が分かりました。
の部分は
最初にp=0,q≠0の場合のとき -1<q<0が分かりました。
でした。

No.5154 - 2009/02/11(Wed) 02:56:55

☆ Re: / 豆

１．細かいことですが、p=0、q≠0の場合のとき
　と書くと、p=0、q=0の場合の記述が必要なので、
　p=0のとき、とすべきでしょう

２．質問の答えにはなりませんが、答えを出すためなら、
Dによる、場合分けは不要です。
2根をα、βとした場合、どんな根の場合でも
α+β＜0　かつ　αβ＞0
が題意を満たす必要十分条件となります。

No.5156 - 2009/02/11(Wed) 09:22:22

☆ Re: / 魑魅魍魎

豆さんどうもありがとうございました！

> １．細かいことですが、p=0、q≠0の場合のとき
> 　と書くと、p=0、q=0の場合の記述が必要なので、
> 　p=0のとき、とすべきでしょう
わかりました！！

> ２．質問の答えにはなりませんが、答えを出すためなら、
> Dによる、場合分けは不要です。
> 2根をα、βとした場合、どんな根の場合でも
> α+β＜0　かつ　αβ＞0
> が題意を満たす必要十分条件となります。

この問題ではDによる場合分けが不要ということでしょうか？
あと、もし問題がすべての解ではなくて、実数解だったら
Dのグラフが必要になってくるのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.5157 - 2009/02/11(Wed) 14:26:45

☆ Re: / 豆

＞この問題ではDによる場合分けが不要ということでしょうか？
はい、そうです。
因みにα+βの正負、αβの正負、計4つの組み合わせで、
実根、虚根の場合にどういう根の条件になっているかこの際
見てみたら如何ですか？
勿論、虚根の場合はα+β=2Re(α)、αβ=|α|^2＞0というのを意識して。

＞あと、もし問題がすべての解ではなくて、実数解だったら
＞Dのグラフが必要になってくるのでしょうか？
そうなりますね。そうすると、最初の質問のように、厄介なのじゃ
ないでしょうか？　チェックはしていませんが。
逆に大変だからそんな問題は、出題されないと思いますよ。
Dの場合分けが不要というのが、この問題の肝だと思います。

No.5158 - 2009/02/11(Wed) 15:47:09

☆ Re: / 魑魅魍魎

理解できました！！！
豆さん本当にどうもありがとうございました！！

No.5159 - 2009/02/11(Wed) 15:59:57

★ 問題の本質 / Jez-z

2つの袋A,Bの中にはそれぞれ、1,2,3…,nの数が１つずつ書かれたn枚のカードがある。（ｎ≧2)
それぞれの袋からカードを1枚ずつ取り出し、その数を記録して袋に戻さない操作を2回繰り返す。
1回目に記録されたA,Bのカードの数をそれぞれa1,b1
２回目に記録されたＡ，Ｂのカードの数をそれぞれa2,b2
とする。

このとき、a2=b2となる確率を求めよ（答1/n)

以下に質問を書きます。
自分はa1、ｂ1の取り方によってつまり、１回目の取り方に応じて、２回目の取り方は制限される（依存する）ので場合分けをして求めるのが筋だと思い、そのように場合分けをして上の答を得られました。ところが、本問に限って言えば次のような解答も許されるようなのです。
１回目にとりだすカードは無視してもよい(a2,b2)はn^2通り、そのうちa2=b2を満たすものはn通りある。よって
答は1/n

ここで、改めて思うこと（考えさせられること）は
「なぜ、１回目に取り出すのと同じようにして考えられるのか（つまり、a1=b1となる確率も1/nだということです）その問題のいわば「本質」に迫りたいのです。逆に、そのように考えてもよい（１回目に取り出すカードは無視してよい）と考えられるだけの根拠が題意の条件設定にあるはずだ！！！と思い、自分でもよく問題文を読み直してみたのですが、解決にいたることができませんでした。

長文になりましたが、以上の文に自分がこの問題と真摯に向き合っているということが伝われば幸いです。
ご指導の程よろしくお願い申し上げます。

No.5148 - 2009/02/10(Tue) 22:40:44

☆ Re: 問題の本質 / ToDa

2つの袋A,Bの中にはそれぞれ、1,2,3…,nの数が１つずつ書かれたn枚のカードがある。(n≧2)
袋からカードを2枚同時に取り出し、横一列に左から並べる。これをA,Bの袋どちらに対しても行う。

(1)このとき、Aから取り出したカードの列のうち左にあるものの数と、Bから取り出したカードの列のうち左にあるものの数が一致する確率を求めよ。

以上の問題と、ご質問にあった問題の本質的な違いはあるでしょうか？

そして応用編。

(2)このとき、Aから取り出したカードの列のうち右にあるものの数と、Bから取り出したカードの列のうち右にあるものの数が一致する確率を求めよ。
(3)このとき、Aから取り出したカードの列のうち右にあるものの数と、Bから取り出したカードの列のうち左にあるものの数が一致する確率を求めよ。

No.5150 - 2009/02/11(Wed) 01:06:46

☆ Re: 問題の本質 / ヨッシー

Ａのカードを
a1,a2,a3,a4,・・・an
と並べて、そこに、Ｂのカードを
b1,b2,b3,b4,・・・bn
と並べたものを対応させて、
a2=b2 となる確率を考えるのと同じです。
b2 のところには、1～n のいずれかが同じ確率で来ます。
ですから、a2=b2 となるのは 1/n である。
でどうでしょう？

No.5151 - 2009/02/11(Wed) 01:07:05

☆ Re: 問題の本質 / DANDY　U

逆に「２回目には出やすいカードと出にくいカードがあるのか」と考えれば、何回目でもどの数字をとりだす確率も同じとなりますね。

No.5155 - 2009/02/11(Wed) 08:14:47

☆ Re: 問題の本質 / Jez-z

御三方ともありがとうございます。理解が深まりました。

No.5164 - 2009/02/11(Wed) 23:00:29

☆ Re: 問題の本質 / Jez-z

考え方は理解できたのですが、計算で１点ヨッシーさんに聞きたいことがあります。
基本的に確率を求めるには（場合の数）/（総事象）でも止まりますよね？したがって、
〉〉b2 のところには、1～n のいずれかが同じ確率で来ます。ですから、a2=b2 となるのは 1/n である。
のところは自分は頭の中でn/n^2と考えたのですが、もし、ヨッシーさんの頭の中で考えてることと違っていたら教えてほしいのですが・・・（というのも、場合の数の計算では許されない考え方（計算方法）でも確率だから許される計算って色いろありますよね？自分はその手の「読み換え」が苦手で理解が鈍いので、ヨッシーさんのそれはその種の類かとも思い、一応質問させていただきました）

No.5166 - 2009/02/11(Wed) 23:16:30

☆ Re: 問題の本質 / ヨッシー

n/n^2 でも良いのですが、その方法って、
a2,b2 の組み合わせが n^2 通りあるうちの、一致するのが
　a2=b2=1,a2=b2=2,a2=b2=3・・・,a2=b2=n
のｎ通り、という考え方ですよね？
a2,b2 の組み合わせを、他の数と関係なく、独立して取り出せる
かどうかが、この質問のポイントですので、最初からそれを前提に
した式を持ってくるのは違和感があります。

私の考えたのは、
a1,a2,a3,a4,・・・an
を並べたら、これだけについて確率を求める考え方です。
極端な話、a1,a2,a3・・・の並びは
　1，2，3・・・,n
に限定しても良いくらいです。

場合の数は、総数を調べる問題ですが、確率は、起こりやすさを
調べるので、同等に起こることが明らかな場合は、省略しても
良いのです。
この場合は、
　1,2,3,・・・n
と並べても、
　1,4,5,・・・3
と並べても起こり方は同じだというのが根本にあります。

No.5169 - 2009/02/11(Wed) 23:36:22

☆ Re: 問題の本質 / Jez-z

上手く言葉で言い表せないのですが、ヨッシーさんの考えはつまりこういうことですか？↓
「b2 のところには、1～n のいずれかが等確率でくることができるので、そのうちの１つを選ぶと考えて1/n」

上のレスでもう少し説明してほしいことが…
“a1,a2,a3,a4,・・・an
を並べたら、これだけについて確率を”とありますが、これは“b2が値としてとり得る確率”のようなものを指すのですよね？
あと、“同等に起こることが明らかな場合は、省略しても
良いのです。”というのは、“全事象をとるということを省略する”という意味に解してよろしいでしょうか？
最後に、“起こり方は同じだというのが根本に”の“起こり方は”というのはこれも“b2が値としてとり得る確率（1/n)”を意味しているのでしょうか？

No.5172 - 2009/02/12(Thu) 00:40:12

☆ Re: 問題の本質 / ヨッシー

“b2が値としてとり得る確率”は、微妙な表現ですが、
「b2 が取り得るそれぞれの値の確からしさ」がどの数も
同じとして計算した、「b2 に、a2 と同じ数が来る確率」
ですね。

例えば、n=4 とします。
Ａから取りだした順が　１，２，３，４だったとします。
この場合ポイントは、Ｂの２番目に２が来るかどうかです。
総数で計算すると、全並べ方４！＝２４のうちの、２番目に
２が来る　３！＝６の確率なので、１／４です。
これを、
Ｂの２番目に１，２，３，４のいずれが来るのも同じ
確からしさなので、確率は１／４と出来る
というのが、「同等に起こることが明らかな場合」のその１。
さらに、
Ａからの取り出し方は、１，２，３，４以外にも、２３通り
ありますが、いずれの場合も、上と同じことが言えるので、
全体としての確率も、１／４であると言える、
というのが、「同等に起こることが明らかな場合」のその２です。

DANDY　U さんの言われていることと同じですが、「どの数が
特に出やすいと言うことはない」＝「同様に確からしい」と
いうのが根底にあります。

No.5174 - 2009/02/12(Thu) 10:12:31

☆ Re: 問題の本質 / Jez-z

ヨッシーさんありがとうございます。
よく復習しておきます＾＾」

No.5187 - 2009/02/13(Fri) 23:46:40

★ 中学３年 / かな

この掲示板では数学しか扱っていないのは分かっているのですが、入試が迫っていてどうしても苦手な理科にみなさんの力をお借りしたいと思い投稿しました。
解答・解説お願いします。
（１）～地震の問題～初期微動継続時間が震央から離れた地点ほど長くなるのはどうしてでか？その理由を簡潔に書きなさい。
（２）～植物の問題～イヌワラビは一年を通じて花が咲くのを観察することができません。しかし、ある時期に葉の裏側に茶色のものがたくさんできていました。イヌワラビは葉の裏側にできた何によってなかまを増やしましか？その名称を書きなさい。

お願いします。

No.5144 - 2009/02/10(Tue) 12:08:04

☆ Re: 中学３年 / ヨッシー

(1)
初期微動というのは縦揺れ(Ｎ波)が到達してから、
横揺れ(Ｓ波)が到達するまでの時間ですね。
Ｎ波の方が、Ｓ波よりも進む速さが速いことを考えれば、
両者の到達時間の差と、震央からの距離の関係が説明できるでしょう。
(2)
種子じゃなくて・・・

No.5145 - 2009/02/10(Tue) 13:32:38

☆ Re: 中学３年 / にょろ

ワラビはシダ植物なので胞子で繁殖したと思います。

No.5152 - 2009/02/11(Wed) 01:58:18

★ 重積分 / 凛

次の領域で関数x^2+y^2の重積分を求めよ。

(１)0≦r≦2acosθ
(２)0≦r≦a(1+cosθ)

(１)→0≦r^2≦2arcosθ　r^2=x^2+y^2となるのはわかりますが、θの範囲をどうやって求めるのかわかりません。

(２)→(１)と同様です。

詳しい解説をお願いします。

No.5137 - 2009/02/09(Mon) 23:27:55

☆ Re: 重積分 / angel

∬(x^2+y^2)dxdy は、∬r^3drdθ と変形できるため、
(∵x^2+y^2=r^2, dxdy=rdrdθ)
後は θの範囲ですが、

(1) θの取り得る全体の範囲としては、0≦2acosθ を元に -π/2≦θ≦π/2
(2) 0≦a(1+cosθ) を元に考えると、任意のθで不等式が成り立っている、つまり任意のθの値を取り得る、ということで 0≦θ≦2π
※(1)は、0≦θ≦π/2, 3π/2≦θ≦2πでも良いですけど、-π/2≦θ≦π/2 とまとめた方が分かりやすい

No.5141 - 2009/02/10(Tue) 03:18:17

☆ Re: 重積分 / 凜

詳しく教えていただいてありがとうございます!!

No.5142 - 2009/02/10(Tue) 10:43:41

☆ Re: 重積分 / 凜

すいません｡｡
(2)って
0≦a(1+cosθ)
0≦1+cosθ
cosθ≧-1
で
θ=π､-π

にはならないんですか??

No.5143 - 2009/02/10(Tue) 11:03:54

★ 三角関数の問題 / TDJ

｜sinθ+sin２θ+sin３θ｜≦ksinθ
０°＜θ＜１８０°をみたすθに対して、上記の不等式が
成り立つような定数Kの最小値を求めよ。（K＝６）

解き方が分かりません。解説をお願いします。

No.5134 - 2009/02/09(Mon) 23:07:48

☆ Re: 三角関数の問題 / rtz

恐らく
普通に2,3倍角の公式でばらし、両辺sinθ(＞0)で割って、cosθに関して平方完成、
が一番早いかと思います。

No.5139 - 2009/02/10(Tue) 01:26:42

★ 間違いのご指摘を… / Jez-z

自分では間違い（答と異なるのでそう判断）に気づかないので、どなたか修正してもらえませんか？以下に問題、および自分の解答を書きます。

問題:nを2以上の整数とする。n個の整数の集合Anを
　　An={1,2,…,2^(n-2),2^(n-1)}と定める。
　　Anに属する異なる２数の積をすべてつくり、それらの和をSnとする。Snを求めよ。

解答：Snを以下に具体的に書き下ろす

　　　1・2+1・2^2+1・2^3+・・・+1・2^(n-1)
+2・2^2+2・2^3+・・・・・・+2・2^(n-1)
・・・・・・
+2^(k-1)・2^k+・・・・・・+2^(k-1)・2^(n-1)
・・・・・・
(ただし、k=1,2,・・・,n-1)

より、とりあえず、次の和をとる
2^(k-1)・2^k+・・・・・・+2^(k-1)・2^(n-1)
＝2^n・n^(k-1)-2・4^(k-1)
したがって、
Sn=?煤mk=1→n-1］(2^n・n^(k-1)-2・4^(k-1))
=2^n{(2^(n-1)-1}-(1/3){4^n-4} （答）

よろしくご指導ください。

No.5132 - 2009/02/09(Mon) 21:51:53

☆ Re: 間違いのご指摘を… / ヨッシー

途中、n^(k-1) になっているのは、2^(k-1) だとして
Ｓn=?納k=1→n-1](2^n・2^(k-1)-2・4^(k-1))
において、
　??(2^n・2^(k-1))＝2^n{(2^(n-1)-1}
ですが、
　??(2・4^(k-1))＝(1/3){4^n-2}
になるはずです。

別の解き方としては、
　(a+b+c)^2＝2(ab+bc+ca)＋(a^2+b^2+c^2)
であることを利用して、
　(1+2+4+・・・+2^(n-1))^2－(1^2＋2^2＋4^2＋・・・＋2^(2n-2))
を計算して２で割ると求められます。

No.5133 - 2009/02/09(Mon) 22:39:47

☆ Re: 間違いのご指摘を… / Jez-z

訂正。確かに間違ってました。以下に修正です
2^(k-1)・2^k+・・・・・・+2^(k-1)・2^(n-1)
＝2^n・2n^(k-1)-2・4^(k-1)

ちなみに、答えは
Sn=(1/3)(4^n-3・2^n+2)
なのですが、ヨッシーさんの示されたのと若干異なりますよね？
※自分が一般に考えた（kを持ち出してきた和の）式は間違っているのでしょうか…？

No.5136 - 2009/02/09(Mon) 23:19:00

☆ Re: 間違いのご指摘を… / ヨッシー

2^n・2n^(k-1)-2・4^(k-1) は
2^n・2^(k-1)-2・4^(k-1)　ですね。

??(2・4^(k-1))＝(1/3){4^n-2}
ではなく、
??(2・4^(k-1))＝(1/3){2^(n-1)-2}
でした。
これで、Sn=(1/3)(4^n-3・2^n+2) になるはず。

No.5138 - 2009/02/09(Mon) 23:30:06

☆ Re: 間違いのご指摘を… / Jez-z

ありがとうございます。

No.5147 - 2009/02/10(Tue) 22:21:59

★ (No Subject) / コウ

４点Ａ(0,0)Ｂ(1,0)Ｃ(1,1)Ｄ(0,1)を頂点とする正方形の周上において、Ａから出発して、コインを１回投げるごとに、表ならば時計回りに１進み、裏ならば反時計回りに２進むとき、７回投げたあと、Ｃの位置にくる確率

簡単な問題だと思うんですが、出した答えとマークの桁が合わないのでお願いいたします

No.5128 - 2009/02/09(Mon) 19:25:40

☆ Re: / ヨッシー

１または－２を合わせて７つ足して、
-14, -10, -6, -2, 2
となる確率ですね。
表裏の出方は２^7＝128(通り)
７回裏が出て-14 になるのは、7Ｃ7＝１通り。
３回裏、４回表が出て、-2 になるのは　7Ｃ3＝35通り。
これ以外に７回でＣに来るのはなく、
　36/128＝9/32
ですよね？

No.5129 - 2009/02/09(Mon) 19:46:38

☆ Re: (No Subject) / コウ

裏が７回を見落としてました…なんてことだ…

でも、分母が２の？乗になるのはわかってたんで適当に32とマークしておいたのでなんとかボーダーは超えそうです><

ありがとうございました!

No.5130 - 2009/02/09(Mon) 21:08:07

★ 微分の応用 / NnNn

x>0に対し次の不等式を示せ。

(1)√(x+1)<(x/2)+1

(2)logx≦x-1

解き方がわかりません｡
詳しい解説お願いします｡

No.5123 - 2009/02/08(Sun) 23:43:30

☆ Re: 微分の応用 / ヨッシー

(1)
f(x)＝(x/2)＋1－√(x+1)　とおくと、
　f'(x)＝1/2－1/{2√(x+1)}
であり、ｘ＞０のとき、2√(x+1)＞2 であるので、
　f'(x)＞０
となり、f(x) は、ｘ＞０で単調増加。
　f(0)＝０
より、ｘ＞０で、f(x)＞０　となり、
　√(x+1)＜(x/2)+1
が成り立ちます。

(2)
f(x)＝ｘ－１－logｘとおくと、
　f'(x)＝１－１／ｘ
０＜ｘ＜１で f'(x)＜０
ｘ＝１で f'(x)＝０
１＜ｘで f'(x)＞０であるので、f(x) は、ｘ＝１で最小。
f(1)＝０よりｘ＞０において f(x)＞０
よって、logx≦x-1 が成り立ちます。

No.5127 - 2009/02/09(Mon) 10:29:06

★ (No Subject) / syo

△ABCの内心をI、角A内の傍心をDとするとき角IBDの大きさをもとめよ。　わからないです・・。よろしくお願いします。

No.5121 - 2009/02/08(Sun) 22:40:22

☆ Re: / ヨッシー

内心、傍心がどのように作図されるかを知っていれば、
図より明らかですね。

No.5122 - 2009/02/08(Sun) 23:08:23

☆ Re: / syo

わかりました　ありがとうございます

No.5149 - 2009/02/11(Wed) 00:23:38

★ 模試について / 高1

今回の模試の大門3で以下の様な問題がありました。
実数xとyは等式y^4+2y^2 x+x^2+y^2-x=0を満たす。
(2)xの値の範囲を求めよ。という問題です。
(1)ではyの値の範囲を求め、答えは-√2/4≦y≦√2/4が得られました。
(2)で僕は、F(x)= y^4+2y^2 x+x^2+y^2-x　と置きxについて整理し平方完成をしてF(x)=｛x+(2y^2-1)/2｝^2+ (8y^2-1)/4を導きました。F(x)をy軸xをx軸にとってグラフを書くと、頂点(- (2y^2-1)/2, (8y^2-1)/4)となりますよね。
ここで,(1)で出したyの値の範囲よりF(y)=- (2y^2-1)/2として- (2y^2-1)/2の範囲、即ちF(x)の頂点の取りうる値(x方向)の範囲を出し、結果が3/8≦F(y)≦1/2となりました。（ここで僕は焦ってこれを解としてしまいましたが・・・）また,F(y’)= (8y^2-1)/4)とおいて同様にしてF(x)の頂点の取りうる値（y軸方向）の範囲を出しその結果が0≦F(y’)≦-1/4となりました。以上より、F(x)の頂点の範囲が定まった事になったはずです。その範囲の中でF(x)=0となる最小のxと最大のxを求めればxの取り得る値の範囲を求めた事になりますよね？グラフを書けば一目瞭然ですがF(x)=0即ちグラフがx軸と接する値が最小となるのは先程求めた範囲の中ではF(y)=3/8 F(y’)=-1/4 の時であります。言い換えると(x-3/8)^2 -1/4=0の時のxの値が最小でありx=-1/8 7/8であり,勿論適するのはx=-1/8 又、同様にして最大となるのはF(y)=1/2 F(y’)=-1/4であり、言い換えると(x-1/2)^2 -1/4=0の時の0の値でx=0,1で勿論適するのはx=1である。
以上より求めるxの値の範囲は－1/8≦x≦1である。と僕の理論ではなる訳ですが解答は0≦x≦1でした。
僕の考えの何処に欠陥があるかご指摘願います。

No.5119 - 2009/02/08(Sun) 22:24:30

☆ Re: 模試について / らすかる

問題点とは別のことですが、
　F(x)=y^4+2y^2 x+x^2+y^2-x
としたのに
　F(y)=-(2y^2-1)/2
とするのはまずいです。
　F(x)=y^4+2y^2 x+x^2+y^2-x
と定義したら、F(y)はそのxにyを代入したものになります。
また、F(y')=(8y^2-1)/4 という式はy'が右辺に出てきませんのでおかしいです。
このような場合は、
　F(x)=y^4+2y^2 x+x^2+y^2-x
　G(y)=-(2y^2-1)/2
　H(y)=(8y^2-1)/4
のように関数名を変える必要があります。

さて、本題ですが
「F(y)=3/8, F(y')=-1/4 の時」
というのが誤りです。
(8y^2-1)/4=-1/4 となるのはy=0の場合であり、
このとき(2y^2-1)/2は3/8になりません。
つまり F(y)=3/8 と F(y')=-1/4 が同時に成立することはありませんので
(x-3/8)^2-1/4=0 のxの範囲を考えても意味がありません。

No.5124 - 2009/02/09(Mon) 01:32:53

☆ Re: 模試について / ヨッシー

で、どうやって解くかですが、
基本的には(1)と同じです。
(って(1)をどうやって解いたかによりますが)

(1) が、ｘの２次方程式の判別式≧0 だったのを、
(2) は、ｙ^2 の２次方程式なので、ｙ^2≧0 　の範囲に
　解を１つ以上持つようにします。

No.5126 - 2009/02/09(Mon) 08:44:03

☆ Re: 模試について / 高1

ラスカルさんヨッシーさん、有難う御座いました。
つまり、僕の考えたやり方ではそもそも答えは導けないと言う事ですか？部分点も貰えないと思いますか？
方針は良いと思ったのですが、何故誤りが出てきてしまったのでしょうか？もし宜しければ詳しくお聞かせください。
質問ばかりですいません。

No.5146 - 2009/02/10(Tue) 13:50:32

★ 存在条件 / Jez-z

4辺の長さが2、残りの２辺の長さがaの四面体が存在するためのaの条件を求めよ。

aの場所により2通りに分けて考えましたが
「a<4またはa>1」では間違いですよね？
（三角形の成立条件で上を求めたのですが）

自分の何がいけないのでしょう？使う道具は三角形の成立条件以外に考えられないのですが・・・

よろしくご指導願います。

No.5113 - 2009/02/08(Sun) 17:48:46

☆ Re: 存在条件 / rtz

まず、それが正しいとして、
正確には「0＜a＜4またはa＞1」でしょうから、
それならば両方あわせて「a＞0」がJez-zさんの解答になります。

が、やはりそれでは足りません。
なぜかというと、1個1個の三角形が成り立っても、
立体として成り立つかは分からない為です。

考えやすいのは
長さaの2辺が端点の一方を共有しているときでしょうか。
(AB＝BC＝CA＝AD＝2としておきます)
この場合、底面に1辺2の正三角形ABCがあって、残りの長さ2の辺の端Dが、
BCの中点を通りBCに垂直な平面内をくるくる回るのは分かりますか？
(長さaの2辺BD、CDとBC＝2が二等辺三角形をなす)
これでaの範囲が分かりますね。

同様にAB＝AC＝2＝DB＝DCの場合も考えてみましょう。

No.5114 - 2009/02/08(Sun) 18:11:05

☆ Re: 存在条件 / Jez-z

rtzさんのおっしゃる四面体は正確に再現することができました。

しかし、一点腑に落ちないのが、
「Dが、BCの中点を通りBCに垂直な平面内をくるくる回る」
ということです。Dは固定されている点だと思っていたのですが・・・それと、このことから何が言えるのかを考えてみたのですが、それもわかりませんでした。

以上の2点の疑問点について言及願います。。

No.5116 - 2009/02/08(Sun) 19:20:35

☆ Re: 存在条件 / rtz

あぁ、aが変わればDの位置が変わる、という意味です。
Dの動きうる範囲が「BCの中点を通りBCに垂直な平面内」だということです。

よって
a²＝BD²
＝BM²＋MD²(MはBCの中点)
＝MD²＋1
から、aの大小はMのDからの距離と連動しますので、
最小なのは、Dが△ABCと同一平面で、Aを挟んでBC側にあるとき、
最大なのは、Dが△ABCと同一平面で、Aを挟んでBC側と反対側にあるときです。
もちろん、これらのときは四面体にはなりませんから、
≦ではなく＜になりますが。

もっとも、AB＝AC＝2＝DB＝DCの場合を先に考察するなら、
a＞0はすぐ言えますので、上の最小の方は考えなくてもいいのですが。

No.5117 - 2009/02/08(Sun) 19:59:24

☆ Re: 存在条件 / Jez-z

なるほど！つまり求めるべきもうひとつの条件は
三角形DMAが成立する条件を求めることですね！

あと、これは細かいことかも知れませんが
「MのDからの距離と連動」というのは線分MDの長さが変化するということでよろしいでしょうか？
あと、「Dが△ABCと同一平面で、Aを挟んでBC側にあるとき」
というのはDが直線BCを境界としてAを含む平面ＡＢＣ上にあるということでよろしいですか？
同様に、「Dが△ABCと同一平面で、Aを挟んでBC側と反対側にある」というのはDが直線BCを境界としてAを含まない平面ABC上にあるということでよろしいでしょうか？
しかし、これらは三角形BDCをＢＣを回転軸として回転させたもののうち、たまたま頂点Ｄが平面ABC上に存在したときの（極端な）２つの例を議論したに過ぎず、別にaを固定して考えれば、最大・最小もないような気がするのですが・・・

お願いします_(_^_)_

No.5118 - 2009/02/08(Sun) 21:33:08

☆ Re: 存在条件 / rtz

http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=639
細かい位置関係を図にしてみました。

△ABCはxy平面(薄黄色)上にあって、
Dはxz平面内の円(xz平面であることが多少分かりにくいですが赤い円)上を動けます。

このとき先ほどの通りa²＝DM²＋1ですから、
DMが大きく(小さく)なればaも大きく(小さく)なります。
DMが最大になるのはDがD'のときで、最小になるのはD"のときです。
当然これでは四面体にならないので、
つまり、D"M²＋1＜a²＜D'M²＋1です。

No.5120 - 2009/02/08(Sun) 22:35:11

☆ Re: 存在条件 / Jez-z

rtzさん、丁寧な説明ありがとうございます。おかげで疑問が解消されました＾＾！

No.5131 - 2009/02/09(Mon) 21:39:09

★ (No Subject) / のびた

　高校受験レベルの問題を解いていて、気がついたことについての質問です。よろしくお願いします。

　図（きたなくてごめんなさい）のように、△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとしたとき、証明はできませんが AB:BC=BD:CD になりそうです。
　AB:BC=BD:CDとなる証明をよろしくお願いします。
　
　また、三等分以上としたときにはどうなるかとも思います。

No.5108 - 2009/02/08(Sun) 12:45:18

☆ Re: / のびた

AB:AC=BD:CD　でした・・・
すみません

No.5109 - 2009/02/08(Sun) 12:46:39

☆ Re: / ヨッシー

これは、いわゆる角の二等分線の定理ですね。
こちらをご覧下さい。

３等分線の時は、決まった比にはならないと思います。

No.5110 - 2009/02/08(Sun) 14:37:00

☆ Re: / DANDY　U

【三角関数の面積の公式を使ったこのような証明も】
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝α　とおくと
△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝(1/2)AB*AD*sinα：(1/2)AC*AD*sinα
＝ＡＢ：ＡＣ　・・・（イ）
△ＡＢＤと△ＡＣＤの底辺をそれぞれBD,CDとすると、高さは等しくなるから
△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝ＢＤ：ＣＤ　・・・（ロ）
(イ)(ロ)より　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ　　

No.5112 - 2009/02/08(Sun) 16:14:45

☆ Re: / のびた

どうもありがとうございました・・・m(_ _)m

No.5125 - 2009/02/09(Mon) 07:22:20

★ 文章題 / ひろ

続けてすみません。
(3)ゆたかくんとお姉さんが家から2.8ｋｍ離れたデパートへ買い物に行きました。お姉さんはゆたかくんより１０分送れて出発し、２０分早くデパートにつくように自転車で出かけました。
ゆたかくんは１０分で700ｍ進みます。
お姉さんが自転車で進む速さは時速何ｋｍですか。

宜しくお願いします。

No.5104 - 2009/02/07(Sat) 22:40:38

☆ Re: 文章題 / roro

●お姉さんが出発してからデパートへ着くまでの時間を考えます。

単位の整理：2.8(km)→2800(m)

ゆたかくんが出発してからデパートへ着くまでの時間
「10(分)で、700(m)進む」ので、
・・・2800÷700＝4　、10×4＝40(分)

お姉さんが出発してからデパートへ着くまでの時間
「ゆたかくんより10(分)送れて出発し、20(分)早くデパートにつく」ので
・・・40－10－20＝10(分)

お姉さんが自転車で進む速さ
「10(分)で、2.8(km)進んだ」ので、60(分)、つまり1(時間)だと
・・・2.8×6＝16.8(km)

お姉さんが自転車で進む速さは、時速16.8(km)

No.5107 - 2009/02/08(Sun) 02:19:31

☆ Re: 文章題 / ひろ

roroさま
詳しく教えていただき、有難うございました。
また教えてください。

No.5111 - 2009/02/08(Sun) 15:18:44

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