ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高3です / ぴーたろー

aを定数とし、関数f(x)について次の条件を考える
f(x)=x∫(0→1){f(t)-a}^2dt
(1)a=4/3のとき、条件を満たす関数f(x)を全て求めよ。
(2)条件を満たす関数f(x)が存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
(3)条件を満たす関数f(x)がただ1つ存在するような定数aの値と関数f(x)を求めよ。

(1)はf(x)=x+5/3と出ました
（2）以降お願いします。

No.77006 - 2021/07/27(Tue) 09:58:54

☆ Re: 高3です / ast

# 方針: (1) が解けるなら a を未知定数のまま残しても (1) と同じ論法で f(x) は求まるはず.

条件式中の積分は x に関係しない定数 (ただし a には依存する) になるので, 定石どおりに m(a):=∫[0,1] (f(t)-a)^2 dt と置くと f(x)=m(a)x と書けるから m(a) が決まれば f(x) も決まり逆もまた然り.
またこのとき, もとの条件式は f(x) = x ∫[0,1] (m(a)t-a)^2 dt = x(a^2-a*m(a)+m(a)^2/3), したがって m(a)=a^2-a*m(a)+m(a)^2/3 だから m(a)= ((3a+3)±√(-3a^2+18a+9))/2.
　(1) a=4/3 のとき m(4/3)= (7±√(83/3))/2.
　(2) √(-3a^2+18a+9) が実数であるような a の範囲 3-2√3 < a < 3+2√3 で f(x)= (((3a+3)±√(-3a^2+18a+9))/2)x は存在する.
　(3) 同様に √(-3a^2+18a+9) が 0 となる a=3±2√3 で m(a) は一意, したがって f(x) も一意.

# あ, 質問者さんのコメントの「(1)はf(x)=x+5/3と出ました」と一致しなかったので
# 何か思い違いしたかもしれないけど, チェックするの面倒なのでそのまま投稿しますね……

No.77010 - 2021/07/27(Tue) 12:51:26

☆ Re: 高3です / IT

astさんの　
　＞(1) a=4/3 のとき m(4/3)= (7±√(83/3))/2　
は、合っているようです。
＞質問者さんのコメントの「(1)はf(x)=x+5/3と出ました」
は、あり得ないですね。
f(x)=x×定数でないとおかしいですね。

No.77024 - 2021/07/27(Tue) 21:09:53

★ (No Subject) / 大学2年生

こちらの問題なのですが、最後、任意定数はC>0の制限がつくべきではないですか？

No.77005 - 2021/07/27(Tue) 09:47:24

☆ Re: / 大学2年生

C≧0でした。つまりC<0は不適ではないか？という疑問です。

No.77008 - 2021/07/27(Tue) 10:06:45

☆ Re: / 関数電卓

古い本で恐縮ですが，私の手許にある『微分方程式入門』(古屋茂，サイエンス社;1970）には
「任意定数と言っても全く任意でないこともある。ある区間の任意の値をとりうるような場合にも任意定数と言うことにする。」
とあります。
あまり些末なことに気を煩わせなくて良いですよ，と言うことだと思います。

No.77014 - 2021/07/27(Tue) 15:29:19

☆ Re: / 大学2年生

なるほど。ほとんどの教材で任意定数の扱いが雑でモヤモヤしていたのですが、スッキリしました。ありがとうございます。

No.77021 - 2021/07/27(Tue) 18:08:18

★ 計算について/社会人 / 高橋

下記の計算式をどう出せば良いのかわからないのでご教授いただきたいです。
問題集などの計算ではないので少し分かりにくいかもしれません。。

前提：
トラック１台の積み込みにかかる時間：12分
トラック１台の積み下ろしにかかる時間：15分
トラックの輸送時間：1:30(固定)
着車バース：トラックから積み下ろし、積み込みができる箇所
積み下ろしの終了時間:9:30(固定）

９時30分までにトラックからの積み下ろしを完了させる必要があるのですが、トラックの台数、着車バース(積み込み時と積み下ろし時に使用する場所それぞれ）の数は変動します。

その場合に何時にトラックの積み込みを開始、何時までに終わらせる必要があるのかを出したいのですが、着車バースの数によってトラックの待機時間も考慮して算出したいのですが可能でしょうか。添付の緑の数値は変動、黄色い部分に数式を入れたいと考えています。

ご教授のほどよろしくお願いいたします。

No.76994 - 2021/07/26(Mon) 15:07:54

☆ Re: 計算について/社会人 / 高橋

着車バースが説明不足だったので補足させていただきます。

着車バースの数＝一回で積み下ろし/積み込みができるトラックの台数となります。
着車バースが１箇所のみの場合は、積み込みの場合は1台目が12分かけて積み込みを終わったのちに、２台目が積み込みを開始できます。2箇所の場合は2台同時に積み込みができるとなります。

No.76995 - 2021/07/26(Mon) 15:11:14

☆ Re: 計算について/社会人 / ヨッシー

ピッタリ計算通りに行くかはわかりませんが、
積み込み側の着車バース÷１２　と　積み下ろし側の着車バース数÷15
を比べて、小さい方が能力がないことになります。

積み込み側に能力がない場合、積み込み側は
　9:30－0:15－1:30＝7:45　・・・　積み込み終了時間
に、最終便が出るようにしないといけなく、それより前は、フル稼働にしないといけません。
　roundup(ドラック台数÷着車バース数) × 12 を積み込み最終時間から引いたものが
積み込み開始時間となります。
一方、積み下ろし側は、
　roundup(トラック台数÷着車バース数) × 15 を 9:30 から引いたもの
または、
　積み込み開始時間＋0:12＋1:30
が、積み下ろし開始時間となります。
前者は、トラックが来ても、待たせておける場合、後者は、トラックが来たら、すぐに下ろして
帰す場合です。前者のほうが開始時間は遅いです。

一方、積み下ろし側に能力がない場合、
　roundup(トラック台数÷着車バース数) × 15 を 9:30 から引いたもの
が、積み下ろし開始時間となります。
　積み下ろし開始時間－1:30－0:12　・・・積み込み開始時間
に着手する必要があり、
　積み込み開始時間＋roundup(ドラック台数÷着車バース数) × 12
または
　9:30－0:15－1:30＝7:45
が積み込み終了時間となります。
前者は、トラックが来ても、待たせておける場合、後者は、トラックが来たら、すぐに下ろして
帰す場合です。前者のほうが終了時間は早いです。

No.76996 - 2021/07/26(Mon) 17:05:12

☆ Re: 計算について/社会人 / ヨッシー

roundup は整数位への切り上げを表します。

No.76997 - 2021/07/26(Mon) 17:05:55

☆ Re: 計算について/社会人 / 高橋

ヨッシー様

ありがとうございます！すごく綺麗に計算できました！！

ずっと計算が合わず悩んでいたので、本当に助かります。

ありがとうございました！

No.76998 - 2021/07/26(Mon) 18:05:46

★ 積分 / 積分

力学授業の中で出てきたものなのですが、3行目から5行目の式変換がわかりません。
∫(1/v)dv が log(v(t)/v(t-t0)) に対応しているように見えるのですが、
∫(1/v)dv=logvだと思うので辻褄があわず何が何だかよく分かりません。
どなたか解決していただけないでしょうか。

No.76981 - 2021/07/26(Mon) 03:12:27

☆ Re: 積分 / ヨッシー

一言で言うと、時刻ｔ0 からｔまでの定積分を意味していると思われます。

－∫dt(b/m)＝∫(1/v)dv
を積分して、
　－(b/m)t＝log(v)＋Ｃ　（Ｃは積分定数)
ですが、
　Ｃ＝－log(v0)－(b/m)t0　（v0 はt=t0のときのv(t)の値)
として、時刻t0 のときに０になるようにして、そこからの
距離だか速度だか何かわかりませんが、ある物理量をｔで
表しているものと思われます。

No.76984 - 2021/07/26(Mon) 05:57:12

☆ Re: 積分 / 大学一年

気づきませんでした......。
ありがとうございます。

No.77012 - 2021/07/27(Tue) 15:11:25

★ テイラー展開 / 大学一年

R(t)ベクトルのテイラー展開にx(t)ベクトルをかけるとx成分のテイラー展開になるというのがどうしてか分かりません。
R(t)ベクトルにx(t)ベクトルをかけるとx成分になるということですか？
どうしてそうなるのかわからないので教えてください。よろしくお願いします。

No.76979 - 2021/07/26(Mon) 00:57:48

☆ Re: テイラー展開 / 編入受験生

ベクトルのテイラー展開っていうのはようは、
各成分についてのテイラー展開をまとめて表記してるというだけのはなし。
だから、e_x = (1,0,0)との内積を取れば,yとz成分が消えて,
x成分だけ残るというだけのことです。

No.76982 - 2021/07/26(Mon) 03:46:12

☆ Re: テイラー展開 / 大学一年

ありがとうございます！

No.77011 - 2021/07/27(Tue) 15:09:09

★ 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中

問題
放物線Y^2=4Xと焦点を共有して、頂点がこの曲線の上にあり、軸がY軸に平行な放物線の方程式を求めよ。

解答
放物線Y^2=4Xと焦点は　点(1,0)です。
また放物線の軸がY軸に平行ですので、この軸は直線 X=1 です。

この文の放物線の軸がY軸と平行だから軸はX=1というところが理解できておりません。お手数ですが教えていただけますでしょうか。
宜しくお願い致します。

No.76977 - 2021/07/25(Sun) 23:32:28

☆ Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / ヨッシー

青が求める放物線（の１つ）です。
軸はｙ軸に平行であり、点（１，０）を通るので、
その式は　ｘ＝１　です。

No.76978 - 2021/07/25(Sun) 23:48:52

☆ Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中

ヨッシーさん、返答ありがとうございます。
2行目に書かれている「点(1,0)を通る」というのが、
なぜ決まるのかが分からないのですが、
教えていただけますでしょうか。
宜しくお願い致します。

No.76985 - 2021/07/26(Mon) 07:09:54

☆ Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / らすかる

焦点は軸上にあるからです。

No.76987 - 2021/07/26(Mon) 08:26:48

☆ Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中

らすかるさん、返答ありがとうございます。
焦点について理解がまだ不十分でした。
放物線では、焦点が必ず軸上にあると認識して大丈夫でしょうか。

No.76990 - 2021/07/26(Mon) 12:51:29

☆ Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / らすかる

大丈夫です。
焦点がどういう点であるか調べると、軸上以外はあり得ないことがわかると思います。

No.76991 - 2021/07/26(Mon) 12:56:15

☆ Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中

ありがとうございます。
早速調べてみます。

No.76993 - 2021/07/26(Mon) 13:23:33

★ (No Subject) / 数学苦手

こちらの問題について質問です。

No.76972 - 2021/07/25(Sun) 22:00:39

☆ Re: / 数学苦手

接している面が4cm2あるのは
裏表も入れているからですか？

No.76973 - 2021/07/25(Sun) 22:02:04

☆ Re: / ヨッシー

接している面の面積が 4cm² である理由は？
というご質問であれば、
　１辺が2cm の正方形だから
です。

No.76975 - 2021/07/25(Sun) 22:31:15

☆ Re: / 数学苦手

切り口の中に含まれている面で、接している面ですよね

No.76992 - 2021/07/26(Mon) 13:08:00

☆ Re: / 数学苦手

4cm平方で、6面あるという部分が分からないです。

No.76999 - 2021/07/26(Mon) 18:11:22

☆ Re: / 数学苦手

この色の部分ですよね？ここの裏表のぶんで6面ですね！

No.77000 - 2021/07/26(Mon) 19:08:30

★ 中学数学の問題について教えてください / みしぇる

初めて質問させて頂きます。宜しくお願い致します。
高校入試問題に取り組んでいますが（現在中3）、以下の問題の（2）がわかりません。
答えは17/5センチです。解説をお願いてきますか。

No.76968 - 2021/07/25(Sun) 21:09:07

☆ Re: 中学数学の問題について教えてください / ヨッシー

(1)

△ＡＢＧと△ＡＣＤにおいて、
　ＡＢ＝ＡＣ　・・・(i)
ＡＤに立つ円周角より
　∠ＡＢＧ＝∠ＡＣＤ　・・・(ii)
ＢＤ//ＣＦにおける錯角より
　∠ＢＧＦ＝∠ＣＦＧ
四角形ＡＦＣＤは円に内接するので、
　∠ＡＤＣ＝180°－∠ＣＦＧ
また
　∠ＡＧＢ＝180°－∠ＢＧＦ
よって、
　∠ＡＤＣ＝∠ＡＧＢ
必然的に
　∠ＢＡＧ＝∠ＣＡＤ　・・・(iii)
(i)(ii)(iii)より一辺両端角相等より
　△ＡＢＧ≡△ＡＣＤ　(証明終わり)

(2)
∠ＡＢＨ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＦＢより
　△ＡＢＨ∽△ＡＦＢ
ＡＧ＝ＡＤ＝３　より　ＡＦ＝１０　であるので
相似比は　ＡＢ：ＡＦ＝４：５
よって、
　ＡＨ＝ＡＢ×4/5＝32/5
　ＧＨ＝ＡＨ－ＡＧ＝32/5－3＝17/5

No.76974 - 2021/07/25(Sun) 22:22:13

☆ Re: 中学数学の問題について教えてください / みしぇる

ヨッシー様、
お忙しいところ、ご丁寧な解説をありがとうございました！よくわかりました！！

No.76986 - 2021/07/26(Mon) 07:57:40

★ 数列 / かずううう

途中式も含めて答え教えて欲しいです

No.76962 - 2021/07/25(Sun) 19:39:19

☆ Re: 数列 / ヨッシー

このレベル以上の問題に限り解けないのか、
数学的帰納法全般にわたり解けないのかわかりませんので、
的確な回答ができません。

この単元の初期の部分で、これなら解けるという
数学的帰納法の問題および解答を上げてもらえますか？

No.76965 - 2021/07/25(Sun) 20:17:09

☆ Re: 数列 / はな

1番下の問題のn＝k＋1の時がわからないです

No.76970 - 2021/07/25(Sun) 21:37:16

☆ Re: 数列 / ヨッシー

　1・2＋2・3＋・・・＋(2n-1)・2n＝(1/3)n(n+1)(4n-1)　・・・(a)
n=1 のとき
　(左辺)＝1・2＝2
　(右辺)＝(1/3)1・2・3＝2
より、(a)は成り立つ。
n=k のとき (a) が成り立つとき、つまり
　1・2＋2・3＋・・・＋(2k-1)・2k＝(1/3)k(k+1)(4k-1)
であるとき、n=k+1 のときを考えると、
　1・2＋2・3＋・・・＋(2k-1)・2k＋(2k+1)(2k+2)
　　＝(1/3)k(k+1)(4k-1)＋(2k+1)(2k+2)
　　＝(1/3)(k+1)(4k^2-k)＋(1/3)(k+1)(12k+6)
　　＝(1/3)(k+1)(4k^2+11k+6)
　　＝(1/3)(k+1)(k+2)(4k+3)
　　＝(1/3)(k+1){(k+1)+1}{4(k+1)-1}
となり、n=k+1 のときも、(a) が成り立つ。
以上より、任意の自然数ｎに対して(a) は成り立つ。

No.76976 - 2021/07/25(Sun) 22:49:11

★ 集合の濃度 / りこ

この集合の濃度が自然数全体の集合の濃度と等しいか実数全体の集合の濃度と等しいか教えて下さい。

No.76955 - 2021/07/25(Sun) 17:56:30

☆ Re: 集合の濃度 / りこ

画像を貼り忘れました。すみません。

No.76956 - 2021/07/25(Sun) 17:57:50

☆ Re: 集合の濃度 / IT

「ベルンシュタインの定理」は、既知ですか？

No.76959 - 2021/07/25(Sun) 19:13:34

☆ 集合の濃度 / りこ

ベルンシュタインの定理は習いました。
全単射をどのように構成すれば良いかわかりません。

No.76960 - 2021/07/25(Sun) 19:21:27

☆ Re: 集合の濃度 / IT

ベルンシュタインの定理を使っていいなら、全単射を具体的に構成しなくても、
その集合から実数全体の集合への単射と逆向きの単射を構成できればいいと思います。

ベルンシュタインの定理を確認してください。

No.76961 - 2021/07/25(Sun) 19:32:11

☆ Re: 集合の濃度 / りこ

ありがとうございます。確認します！

No.76966 - 2021/07/25(Sun) 20:24:11

☆ Re: 集合の濃度 / IT

具体的な全単射を構成するなら

例えばRから{x∈R:x＜0}ヘの全単射g(x)を構成して
xが自然数でないときはf(x)=g(x)とし、
xが自然数のとき
　奇数のときは、自然数に順に対応させ
　偶数のときは、{x∈R:x＜0}の空いた穴を順に埋めます。

f(1)=1とし、空いた穴をf(2)=g(1) で埋める。
その穴をf(4)=g(2) で埋める。
f(3)=2とし、その穴をf(6)=g(3)で埋める。
f(5)=3とし、・・・

これを繰り返す。

グラフを描いてみるとイメージしやすいと思います。

No.76967 - 2021/07/25(Sun) 21:04:09

★ (No Subject) / なみ

2^26 mod53
の求め方と答えを教えてください。

No.76953 - 2021/07/25(Sun) 17:09:39

☆ Re: / IT

フェルマーの小定理は、既習ですか？

フェルマーの小定理を使えば容易です。

フェルマーの小定理を使わないなら、
　2^26=(2^13)^2=8192^2なので
　8192 を53で割った余りを計算し、それを2乗したものを53で割った余りを計算する。
などでしょうか。

No.76954 - 2021/07/25(Sun) 17:33:48

☆ Re: / 編入受験生

> 2^26 mod53
> の求め方と答えを教えてください。

2^10 = 1024から,53で割った余りは17,
2^6 = 64から,53で割った余りは11.
よって 2^10 ≡ 17 mod 53かつ2^6 ≡ 11 mod 53.
ここで、合同式の性質(a ≡ b mod nとc ≡ d mod nが成り立つとき, ac ≡ bd mod nが成立)から,
2^10×2^10×2^6 = 2^26 ≡ 17^2×11 mod 53.
17^2×11 = 289×11 = 3179より53で割ると,
3179 = 53×60 - 1 = 53×59 + 52より余りは52である.

No.76957 - 2021/07/25(Sun) 18:08:31

★ 代数学 / ぱぴおか

この問題がわかりません！
わかる方ご教授お願いします(･_･;

No.76947 - 2021/07/25(Sun) 14:31:14

☆ Re: 代数学 / IT

ζ、ζの2 乗、３乗、ｎ乗、....２４乗は、それぞれどんな複素数ですか？
複素平面上にプロットしてみてください。

No.76948 - 2021/07/25(Sun) 15:27:46

☆ Re: 代数学 / ぱぴおか

ITさん
複素平面上にプロットしたんですが、あってますか？
そこからどうしたら良いのでしょうか？

あと、位数と部分群Cの大きさがよくわかってません…

No.76949 - 2021/07/25(Sun) 15:45:32

☆ Re: 代数学 / IT

> ITさん
> 複素平面上にプロットしたんですが、あってますか？
合ってます。

> そこからどうしたら良いのでしょうか？
部分群Cの元は、それら24個の元がすべてです。

>
> あと、位数と部分群Cの大きさがよくわかってません…
群Cの元ζ^mの位数が24 である。とはどういうことか、テキストで確認してください。

No.76951 - 2021/07/25(Sun) 16:12:45

★ (No Subject) / 編入受験生

１辺が１の正方形の面を持った自動塗りロボットを考える.
このロボットは、正方形の面を塗りたい面に接触しながら動くことで、
ペンキで色を塗っていく機械である.
しかしこの機械は左右上下にしか動くことができず,
またどの方向に動くかは完全にランダムである.
以下の問いに答えよ.

１辺が１の正方形の面Ｓを持つ機械Ｃの面のいずれか頂点を原点となるように,また面Ｓの直行する二つの辺のいずれかがx軸と平行となるように座標平面上におく.
機械Cはx軸の正方向,負方向,y軸の正方向,負方向のいずれかに１秒あたり1動くものとし,
機械Cの面Sと接触している面は瞬時に色が塗られるものし,
色は決して消えることはないものとする.
さらに,どの方向も同じ確率(1/4)で動くものとする.

このときどんな大きい実数Rにたいしても,十分時間がたてば,機械Cで塗られた面積の期待値はR×Rよりも大きくなるか？
すなわち,
t秒後に機械Cが塗る面積の期待値をE(t)とする.
tを十分大きくすれば, どんな大きい実数Rに対しても,
E > R×Rとなるか？

No.76944 - 2021/07/25(Sun) 05:00:49