[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 一次不等式 / みやゆう
次のXに関する不等式や連立不等式を解け。ただしaは定数とする。
ｘ−a≦3
2x＋1＞a
　この問題の解説なのですが、　　

?@　A+3＞A-1/2の時　　　➁a+3≦a-1/2の時

の二つに場合分けが解説で書かれているのですが、なぜこの二つの場合分けになるのでしょうか？
ちなみに/は分数を表しています。
No.76598 - 2021/07/11(Sun) 19:00:05
☆ Re: 一次不等式 / IT
解答・解説を見ても分からないということなので、より簡単な問題を解いて、なぜそうなるのかを理解されるのが良いかと思います。下記の類題（基本問題）(1)〜(4)を解いてみてください。
数直線を描いてみるのも有効だと思います。

次のxに関する連立不等式を解け。ただしb,cは定数とする。
(1) x≦2 かつ x＞1
(2) x≦2 かつ x＞2
(3) x≦2 かつ x＞3
(4) x≦b かつ x＞c
No.76599 - 2021/07/11(Sun) 19:37:19
★ 複素 / けいくん
複素解析コーシーの積分表示の積分値を求める問題です
この問題の解答と解説を教えてください。
答えがなく、答えを見て理解したいのでよろしくお願いします。
No.76597 - 2021/07/11(Sun) 17:45:57
★ 複素解析 / けいくん
この問題の解答と解説を教えてください。
答えがなく、答えを見て理解したいのでよろしくお願いします。
No.76596 - 2021/07/11(Sun) 17:43:48
★ コーシーの積分表示 / けいくん
この問題の解答と解説を教えてください。
答えがなく、答えを見て理解したいのでよろしくお願いします。
No.76595 - 2021/07/11(Sun) 17:41:50
☆ Re: コーシーの積分表示 / 関数電卓
> 答えを見て理解したい
ならば
お手持ちの教科書に
　(1)の積分値＝2πi×(z＝πでの留数値）
　(z＝πでの留数の値)＝ (z−π)f(z) に z＝π を代入して e^π
であることは載っていますよね。
留数計算が不安ならば， 助っ人 がいますよ。近頃は，文法を知らなくても，日本語で書けば結構やってくれる。
No.76600 - 2021/07/11(Sun) 20:13:16
★ 不等式 / 変態中学生
この問題が分かりません。
1と2です。
No.76592 - 2021/07/11(Sun) 15:35:07
☆ Re: 不等式 / 変態中学生
画質が悪いんで。
No.76593 - 2021/07/11(Sun) 15:36:22
☆ Re: 不等式 / X
１．
問題の不等式を上から順に(A)(B)とします。
(A)より
x≦3
(B)より
p-2≦x
よって連立不等式(A)(B)の解に整数が
含まれるためには、解が
p-2≦x≦3 (C)
の形にならなければならず、更に(C)に
含まれる4つの整数xは
x=3,2,1,0
よって整数pについて
p-2=0
これより
p=2

２．
問題の不等式を上から順に(A)(B)とします。
(A)より
7/2≦x
(B)より
x＜3a
よって連立不等式(A)(B)の解に整数が
含まれるためには、解が
7/2≦x＜3a (C)
の形にならなければならず、
更に(C)に含まれる整数xが4,5のみ
となるためには
5＜3a≦6
これを解いてaの値の範囲は
5/3＜a≦2
No.76594 - 2021/07/11(Sun) 16:26:23
★ 線形代数 / yuya
x(0でない)を二次元ベクトル、Pを正則行列と定義しているのですが、この形の関数に何か名前はありますか？どなたか教えてください。
No.76590 - 2021/07/11(Sun) 09:39:54
★ 計算 / re
この式を計算したいのですが、サイトを使うときどのように打ち込めばいいか分からないです。どうすればいいですか。
No.76584 - 2021/07/10(Sat) 23:18:17
☆ Re: 計算 / re
どの計算サイトを使えばよいかも分からないです。
No.76585 - 2021/07/10(Sat) 23:19:58
☆ Re: 計算 / らすかる
例えばWolframAlphaなら
limit (sum sqrt(-k^2+2k+n^2-1)/n^2,k=1 to n) as n->inf
のように打ち込めばよいはずですが、残念ながら（少なくとも無料では）解は出ないようです。
No.76586 - 2021/07/11(Sun) 03:29:50
☆ Re: 計算 / IT
グラフソフト　grapes でn=200 までやってみました。
減少しながらπ/4 に収束しそうです。
No.76587 - 2021/07/11(Sun) 05:45:16
☆ Re: 計算 / IT
(1/n)Σ√(1-((k-1)/n)^2)の形になるので区分求積で行けますね。
No.76588 - 2021/07/11(Sun) 05:50:24
☆ Re: 計算 / re
π/4の値を出そうと思って考えたのですが、上手く行ったならよかったです。ありがとうございます。
No.76589 - 2021/07/11(Sun) 07:39:15
★ 不等式の証明 / simple is best
こんにちは。
何卒宜しくお願い致します。
以下問題
No.76559 - 2021/07/10(Sat) 10:58:44
☆ Re: 不等式の証明 / X
以下の通りです。

0≦|a+b|
∴証明すべき不等式は
|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2 (A)
と同値です。
ということで(A)を証明します。
(左辺)-(右辺)=(|a|+|b|)^2-(a+b)^2
=(a^2+2|ab|+b^2)-(a^2+2ab+b^2)
=2(|ab|-ab)≧0
(不等号の下の等号はa,bが同符号のときに成立)
No.76562 - 2021/07/10(Sat) 12:22:59
☆ Re: 不等式の証明 / Y
simple is best さんの質問の目的は？　
自分で解けているけど他の解答も教えてもらいたいなら、自分の解答を提示して質問されるのが良いと思います。

それとも最初の質問者simple is best さんとそれ以降の投稿者simple is best さんは別人ですか？
（76563〜76565 が消えてしまったので上記は意味不明になりましたね。）
No.76567 - 2021/07/10(Sat) 13:08:43
☆ Re: 不等式の証明 / simple is best
それならばYさんも

先ずはこの問題をどう考えるか表記したのちレスするのが道義というものではないでしょうか。
No.76569 - 2021/07/10(Sat) 13:27:11
☆ Re: 不等式の証明 / ヨッシー
道義かどうかは私が決めます。

というわけで、しばらく黙っててもらえますか？
No.76573 - 2021/07/10(Sat) 15:08:22
☆ Re: 不等式の証明 / ast
というかkitanoって昔からずっとこんなんなのに, いまだに相手にする人がいること自体を私は不思議に思ってる.
No.76574 - 2021/07/10(Sat) 15:36:39
☆ Re: 不等式の証明 / ヨッシー
>astさん
あ、そうなんですね。

これとかこれとかこれの頃は普通の感じでしたが、
これを見たら思い出しました。
No.76577 - 2021/07/10(Sat) 16:06:59
☆ Re: 不等式の証明 / 関数電卓
御意(ぎょい)！
No.76579 - 2021/07/10(Sat) 16:30:13
★ 不等式の証明 / simple is best
こんにちは。

宜しくお願い致します。

以下
問題
No.76557 - 2021/07/10(Sat) 10:25:30
☆ Re: 不等式の証明 / simple is best
ヨッシー様

以下、スルー出来ない面々

☆ Re: 整数解 / ヨッシー 引用
確かに微妙ですね。
というか、見落とす可能性がありますね。
まぁ、うまくやってください。＞＞解く方々


コロナで政的な大人の在り方が問われる今、間違っているものを間違っていると指摘できる大人の態度が必要です、

あなた様もどうか数学の面々でそのような姿勢をもたれますようお祈りいたします
No.76560 - 2021/07/10(Sat) 11:22:21
☆ Re: 不等式の証明 / simple is best
正しい道は誰でも歩めます
しかし、正しく良い道を歩くのはとても困難です

数学の指導者とは後者で無ければなりません

今後の貴方様の御提言とさせて頂きます
No.76561 - 2021/07/10(Sat) 11:31:06
☆ Re: 不等式の証明 / ヨッシー
すみません。
誤って、記事を削除してしまいました。
以下の回答は。76557 と 76560 の間にあるものとして
ご認識ください。

＜ここから＞
(1) a≦b≦c のとき
　(右辺)−(左辺)＝c-a+c-b+a-b＝2(c-b)≧0
(2) a≦c≦b のとき
　(右辺)−(左辺)＝c-a+b-c+a-b＝0≧0
(3) b≦a≦c のとき
　(右辺)−(左辺)＝c-a+c-b+b-a＝2(c-a)≧0
(4) b≦c≦a のとき
　(右辺)−(左辺)＝a-c+c-b+b-a＝0≧0
(5) c≦a≦b のとき
　(右辺)−(左辺)＝a-c+b-c+a-b＝2(a-c)≧0
(6) c≦b≦a のとき
　(右辺)−(左辺)＝a-c+b-c+b-a＝2(b-c)≧0
よって、あらゆる場合において、
　|a-b|≦|a-c|＋|b-c|
が成り立つ。等号成立は
　a≦c≦b または b≦c≦a
のとき。
＜ここまで＞
No.76566 - 2021/07/10(Sat) 13:07:11
★ 大学・基礎数学・複素数 / あ
この問題の解き方がわかりません。よろしくお願いします
z=cosθ＋isinθとしてwに代入してみましたが、答えの結果が得られませんでした。
No.76553 - 2021/07/10(Sat) 03:04:50
☆ Re: 大学・基礎数学・複素数 / あ
答えは以下の通りです
No.76554 - 2021/07/10(Sat) 03:05:18
☆ Re: 大学・基礎数学・複素数 / ast
> z=cosθ＋isinθとしてwに代入
という方針で十分やれる (変なテクニックや難解な概念は特段必要ない) と思いますけど.
> 答えの結果が得られません
という実際の内容がどういう状態になってるのか分からないけど, (1)と(2)の答え見れば結果が w=(2+2cos(θ))*cos(θ) + (2+2cos(θ))*i*sin(θ) にならないといけないことは分かるはずなので, 途中式をそれと見比べながら整理できそうにはないですか?

# 計算自体は w も |w| もそれぞれ2,3行程度で書ける内容と思いますので,
# 少なくとも現時点ではこちらからお見せするのは私は止めておきます
## (ほかの方が書かれるのを妨げる意図はありません).
No.76556 - 2021/07/10(Sat) 08:00:42
☆ Re: 大学・基礎数学・複素数 / 編入受験生
方針もなく、とりあえず代入すると混乱するし計算ミスしやすいです。
そこでまず、代入する前に簡単な形に変形できないか考えるようにします。代入すると基本計算は複雑になるので、なるべく簡単な形にしてから代入するかできることならz = cosθ+isinθとおいて代入する方法は使いたくありません。
計算が煩雑になるので。
それはどんな簡単な問題でもそのように考えるべきです。

今回の場合は、|w| = |(1+z)^2| = |1+z|^2 = (1+z)￣(1+z)
= (1+z)(￣1+￣z) = (1+z)(1+￣z) = 1 + ￣z + z + z￣z
= 2 + z + 1/z
ただし、|z|^2 = z￣z = 1と、￣z = 1/zを用いた。
あとは、z = cosθ+isinθ,1/z = cos(-θ)+isin(-θ)
= cosθ-isinθ (ド・モアブルの定理を用いた)を代入して、
|w| = 2(1+cosθ)

|w| = 2(1+cosθ), arg w = θということは、
w = 2(1+cosθ)(cosθ+isinθ)と確定できるわけです。
あとは、w = (1+z)^2を展開して、zにcosθ+isinθと代入して、実部と虚部を比較して等しいことを示せば十分です。
ただ、計算がうまくいかないならこの事実を述べるだけで十分だと思います。

w = 2(1+cosθ)(cosθ+isinθ)
No.76605 - 2021/07/12(Mon) 11:38:57
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題は台形の平行な脚の部分ができるのを見つけますか？
No.76550 - 2021/07/10(Sat) 01:23:00
☆ Re: / 数学苦手
あ、足は平行じゃないです。平行な部分を除く脚の部分ができるように図形を移動させるみたいな感じで解くのでしょうか。
No.76551 - 2021/07/10(Sat) 01:24:05
☆ Re: / ヨッシー
ウ−ク を通る線で展開図を切り離すと、それぞれで四角錐が出来ます。
まず、ア−イを含む側で作った四角錐で、アイに平行なのはどの辺か？
そこに、もう一方の四角錐をくっつけたときに、上で見つけた辺に重なるのはどれか？
を順に見ていきます。
No.76555 - 2021/07/10(Sat) 06:11:06
☆ Re: / 数学苦手
三角錐でなくて、、四角錐…？
No.76570 - 2021/07/10(Sat) 13:35:25
☆ Re: / ヨッシー
正八面体を辺に沿って二等分すると、四角錐(底面は正方形)になります。
それのことです。
No.76572 - 2021/07/10(Sat) 14:58:00
☆ Re: / 数学苦手
底面平行四辺形になるイメージしかできないです、、
No.76575 - 2021/07/10(Sat) 15:37:36
☆ Re: / 数学苦手
ウークで切り離すから4枚で1つの形、もう4枚でもう1つの形ですよね？
No.76576 - 2021/07/10(Sat) 15:45:00
☆ Re: / 数学苦手
https://youtu.be/w1Fj6BlS9UA
こんな感じで考えたらいいんでしょうか。
No.76578 - 2021/07/10(Sat) 16:11:28
☆ Re: / ヨッシー
動画の方は、立体図でＡ〜Ｆが与えられているのを展開図に
書いていくのに対し、こちらは展開図のア〜クを立体図に
書いていく作業になります。
No.76580 - 2021/07/10(Sat) 17:31:00
☆ Re: / 数学苦手
アから引いていく対角線の長い方、イから引いていく対角線の長い方で考えていくようです。向かいの向かいは一致するので、イから線を引いた場合、イ、ウ、オは一致して、アから線を引いた場合、クがアの向かいで、カがクの向かいで、アの向かいの向かいでアとカが一致するそうです
No.76619 - 2021/07/12(Mon) 20:31:24
☆ Re: / 数学苦手
イから線を引っ張った場合の発言が足りませんでした。イの向かいは記号がふられてないですから、キとクになるんですかね？
No.76620 - 2021/07/12(Mon) 20:34:25
★ 数学できない / 数学できません
1)f(1)=k
2)f(x+y)=f(x)+f(y)
3)連続関数である
問)この3条件を満たす関数が2つ以上存在することを仮定して矛盾を導きなさい。次の定理を用いても構わない　定理:どんなに小さな開区間も、有理数を元とする。

この問の入り方も解き方もわからないです。助けてください。
No.76544 - 2021/07/09(Fri) 22:38:08
☆ Re: 数学できない / IT
(概略）
３条件を満たす２つの関数f,g があったと仮定する。

ある実数aについて　f(a)≠g(a)。
f,g の連続性と（定理:どんなに小さな開区間も、有理数を元とする。）から
　aのある近傍(aを含む開区間) に有理数m/n(≠0） があってf(m/n)≠g(m/n)

f,gの線形性 …2) から
　(n/m)f(m/n)=(n/m)mf(1/n)=nf(1/n)=f(1)=k
　(n/m)g(m/n)=g(1)=k

矛盾ｽﾙ｡
　
No.76545 - 2021/07/09(Fri) 23:02:01
☆ Re: 数学できない / 関数電卓
この関数方程式の 解き方 です。
No.76547 - 2021/07/09(Fri) 23:53:07
★ (No Subject) / 数学苦手
これ分かりますか？解き方が分かりません
No.76540 - 2021/07/09(Fri) 20:36:52
☆ Re: / ヨッシー
前も書きましたが、実際に紙を切って作ってみる！！
この手の経験が圧倒的に足りていないと思われます。

数学は閃きではなくて経験です。
No.76541 - 2021/07/09(Fri) 21:02:35
☆ Re: / 関数電卓
余計なお世話ですが，実際にやってみると↓のようになるようですよ。結構楽しい！ ぜひ!!
No.76543 - 2021/07/09(Fri) 21:32:35
☆ Re: / 数学苦手
あ、そんな感じで考えるのですね！ありがとうございます。助かります
No.76546 - 2021/07/09(Fri) 23:38:54
☆ Re: / 関数電卓
他人(ひと)がやったものを眺めて感心しているだけでは，数学の力は絶対につきませんよ！
自分の手と目で確かめる!!
No.76548 - 2021/07/09(Fri) 23:59:36
☆ Re: / 数学苦手
同じ感覚で離れてるやつ同士ってことですね！
No.76549 - 2021/07/10(Sat) 01:21:16
☆ Re: / 数学苦手
ちょっと明日やってみます。
No.76552 - 2021/07/10(Sat) 01:38:42
☆ Re: / 数学苦手
自分なりに考えてみました
No.76582 - 2021/07/10(Sat) 19:17:33
☆ Re: / ヨッシー
なんか、当たり前のようにウとキが同じマスに書かれていますが、
それを求める問題ですから。
No.76583 - 2021/07/10(Sat) 19:27:45
★ 微積分 / anonymous
(3)の範囲についての質問なのですが、x=rcosθ,y=rsinθとするのか、x=1/2+rcosθ,y=rsinθとして媒介変数表示すればいいのか、どちらが正しいでしょうか？

もし可能であれば、(3)の模範解答を作成して頂きたいです。
よろしくお願い致します。
No.76533 - 2021/07/09(Fri) 15:35:44
☆ Re: 微積分 / ast
もっとふつうに
　∫_[0,1] x e^(x^2) {∫_[0,√(x-x^2)] y e^(y^2) dy} dx
とかでいいのでは?
# ちゃんとは検討していない.
No.76534 - 2021/07/09(Fri) 16:18:10
☆ Re: 微積分 / X
前者の変換だと以下の通りです。


x=rcosθ,y=rsinθ
と置くと、
D={(r,θ)|0≦θ≦π/2,0≦r≦cosθ}
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→cosθ](r^3){e^(r^2)}sinθcosθdrdθ
ここで
r^2=t
と置くと
rdr=(1/2)dt
で
(与式)=(1/2)∫[θ:0→π/2]{∫[t:0→(cosθ)^2](te^t)dt}sinθcosθdθ
=(1/2)∫[θ:0→π/2]{[te^t][t:0→(cosθ)^2]-∫[t:0→(cosθ)^2]e^tdt}sinθcosθdθ
=(1/2)∫[θ:0→π/2]{1-{1-(cosθ)^2}e^{(cosθ)^2}}sinθcosθdθ
=(1/2)∫[θ:0→π/2]sinθcosθdθ-(1/2)∫[θ:0→π/2]{1-(cosθ)^2}e^{(cosθ)^2}}sinθcosθdθ
=(1/4)∫[θ:0→π/2]sin2θdθ-(1/2)∫[θ:0→π/2]{1-(cosθ)^2}e^{(cosθ)^2}}sinθcosθdθ
=1/4-(1/2)∫[θ:0→π/2]{1-(cosθ)^2}e^{(cosθ)^2}}sinθcosθdθ
ここで
(cosθ)^2=u
と置くと
sinθcosθdθ=-(1/2)du
で
(与式)=1/4+(1/4)∫[u:1→0](1-u)(e^u)du
=1/4+(1/4)[(1-u)(e^u)][u:1→0]+(1/4)∫[u:1→0](e^u)du
=1/4+(1/4)(1+1-e)
=(3-e)/4


…と解きましたが、astさんの方針の方が簡単ですね。
No.76535 - 2021/07/09(Fri) 16:26:45
☆ Re: 微積分 / 関数電卓
ast さんの方法で計算すると，結果は
　(3−e)/4
となるのですが…。 y の積分，x の積分
No.76539 - 2021/07/09(Fri) 20:00:26
☆ Re: 微積分 / X
＞＞関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞anonymousさんへ
ごめんなさい。関数電卓さんの仰る通りです。
No.76535を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.76542 - 2021/07/09(Fri) 21:26:52
★ 電磁界理論 / いの
画像にある問題の2番が分かりません。
分かる方教えてください。お願い致します。
No.76531 - 2021/07/09(Fri) 14:51:03
☆ Re: 電磁界理論 / 関数電卓
ここ の後半，[命題10.2] にあります。
No.76536 - 2021/07/09(Fri) 16:36:48
☆ Re: 電磁界理論 / いの
ありがとうございます！
No.76538 - 2021/07/09(Fri) 18:41:19
★ 解答お願いします / なおき
上の式から下の式に変形したいんですが、まず、
rdrΔθで割っていけばいいと思うのですが、カッコの中が消去できません。どうすればいいですか？
No.76528 - 2021/07/09(Fri) 11:43:05
☆ Re: 解答お願いします / なおき
下の式の一番左の項の分子のrは小さいです。σのrです
No.76530 - 2021/07/09(Fri) 13:38:59
☆ Re: 解答お願いします / ast
> カッコの中が消去できません。
どの括弧の中のどの式 (あるいはどの項) のことを言っていますか……??
# 下の式のうち t(-σ_θ)/r - 2μσ_z は上の式の後ろ2項から (「r dr Δθで割って」) 出るのは自明
# なので残りの項をどう導出するかという趣旨?

とりあえず設定がふわふわと曖昧過ぎてこのままでは正確な回答は望むべくもないと思いますが, 想像するに dσ_r, dr, Δθ, dt は何らかの無限小で, 適当な近似 (sin(x)/x ≒ 1) が成立したり基準とする無限小 (この場合多分 dr) と比べて高位の無限小になる項を「無視」したりすると下の式になるといった話なのでしょう?
# こういう問題設定まで (自分できちんと認識したうえで) ハッキリさせないと質問として成立しません.

結局, 全部展開して整理しながら, どの項がどういう理由で無視できるのか考えろ, という方向性での回答になるのではないかと.
# 基本的には無限小同士の「比」になる所を除いて「無限小=0」で処理すればいいだけのはずだが.
No.76532 - 2021/07/09(Fri) 15:24:34
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題ですが1と3が同じになってしまいました。何がいけませんか？
No.76522 - 2021/07/08(Thu) 23:14:30
☆ Re: / らすかる
1は5の右側に4、下側に2
3は5の下側に4、左側に2
なので同じではないですね。
No.76525 - 2021/07/09(Fri) 01:37:58
☆ Re: / 数学苦手
3番の5が傾いてるのに気づきませんでした。失礼しました
No.76527 - 2021/07/09(Fri) 10:56:27
★ ロピタルです / みそ
Limx→0+ (atan(x))^x

大1です、よろしくお願いします
No.76519 - 2021/07/08(Thu) 20:11:54
☆ Re: ロピタルです / X
以下の通りです。

x＞0において
(arctanx)^x=e^{xlog(arctanx)}
ここでロピタルの定理により
lim[x→+0]xlog(arctanx)=lim[x→+0]-{-log(arctanx)}/(1/x)
=lim[x→+0]-(x^2)/{(1+x^2)(arctanx)}
=lim[x→+0]-2x/(2xarctanx+1)
=0
∴(与式)=1
No.76520 - 2021/07/08(Thu) 20:41:18
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題の解き方が分かりませんでした。教えて頂けると嬉しいです。
No.76517 - 2021/07/08(Thu) 18:24:08
☆ Re: / ヨッシー
右上に点Ｐが正方形にくっつくまでの図を描かれていますが、
次に点Ｐが正方形にくっつくのはどこか？さらにその次は？
と考えるだけで、だいぶ絞れると思いますよ。
No.76518 - 2021/07/08(Thu) 18:29:35
☆ Re: / 数学苦手
2分の√3というのがあるためわからないです(--;)
No.76521 - 2021/07/08(Thu) 23:08:13
☆ Re: / 数学苦手
およそ4.7なんで、1辺につき4回転と考えたらいいのでしょうか。
No.76523 - 2021/07/08(Thu) 23:59:56
☆ Re: / 数学苦手
四捨五入はしない方がいいのですかね、、(--;)
No.76524 - 2021/07/09(Fri) 00:04:36
☆ Re: / ヨッシー
> 2分の√3というのがあるためわからないです(--;)

そんなものはどこにもありませんよ。
No.76526 - 2021/07/09(Fri) 08:53:24
☆ Re: / 数学苦手
2分の3でした
No.76529 - 2021/07/09(Fri) 13:35:55
☆ Re: / 数学苦手
2分の3Πr+2分の3Πr=2分の6πで約分して3πrですものね
No.76747 - 2021/07/18(Sun) 10:22:29
★ 確率論です。 / フィー
わからないのでお願いします
No.76516 - 2021/07/08(Thu) 16:57:52
全22730件 [ ページ : << 1 ... 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 ... 1137 >> ]