問題 ：自作問題
質問者：社会人
レベル：概ね高校数学ぐらいまでで
/*==========================*/
c,dを任意の自然数とします。
今
関数(整式)fa(c,d)=(30c-19)(30d-19)-1
という式を考えると
fa(c,d)は30の倍数ですが
fa(c,d)で表せない30の倍数が
無限に存在する事を示したいです。
どうやって示せばよいでしょうか？
解き方のコツなどありましたらそれもご教授ください。
よろしくお願いします。
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No.75877 - 2021/06/19(Sat) 19:36:43
| ☆ Re: 整式の問題 / 関数電卓 | | | > c,dを任意の自然数とします。
任意の 整数 ではなく，自然数 なのですか？
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No.75884 - 2021/06/19(Sat) 20:58:20 |
| ☆ Re: 整式の問題 / CEGIPO | | | > > c,dを任意の自然数とします。
> 任意の 整数 ではなく，自然数 なのですか？
はい。自然数です。
書き忘れていましたが
３０の倍数を考えるのも自然数の範囲ででお願いします。
（※ちなみに任意の整数の場合と自然数の場合では
様子が異なるのでしょうか？
イマイチ状況がよく視えないです。）
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No.75907 - 2021/06/20(Sun) 08:24:20 |
| ☆ Re: 整式の問題 / 関数電卓 | | | 門外漢が下手なことをいわない方が良いのですが…
fa(c,d)＝30{30cd−19(c＋d)＋12}
で
N(c,d)＝30cd−19(c＋d)＋12
と置くと
N(c＋1,d)−N(c,d)＝30d−19 ←とびとび
N(c,d＋1)−N(c,d)＝30c−19 ←とびとび
だから，N(c,d) は全ての自然数を表さない
よって，fa(c,d) で表せない 30 の倍数が無数に存在する（了）
で良いかと安易に思っていたのですが… ←自信なし！
> 整数
間を埋める可能性が増えるか(？)と単純に思ったのですが，関係なかったですね！？
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No.75908 - 2021/06/20(Sun) 09:53:28 |
| ☆ Re: 整式の問題 / IT | | | 関数電卓さん
N(c＋1,d-1)−N(c,d) などだと、30d−19などよりは、差が小さくなることがあるのでは？
どこからか差が１にできるかは不明ですが
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No.75917 - 2021/06/20(Sun) 13:19:47 |
| ☆ Re: 整式の問題 / CEGIPO | | | > 門外漢が下手なことをいわない方が良いのですが…
> fa(c,d)＝30{30cd−19(c＋d)＋12}
> で
> N(c,d)＝30cd−19(c＋d)＋12
> と置くと
> N(c＋1,d)−N(c,d)＝30d−19 ←とびとび
> N(c,d＋1)−N(c,d)＝30c−19 ←とびとび
> だから，N(c,d) は全ての自然数を表さない
> よって，fa(c,d) で表せない 30 の倍数が無数に存在する（了）
> ...
関数電卓さん、試行錯誤ありがとうございます。
自分でも考えてみたのですが、、、
多分上記の方法では上手くいかないと思います。
（30c-19,30d-19が１以外の特定の自然数の倍数には
なり得ないから。と言う事でしょうか？）
実際には同様の類似式計１０個についても同じように
その整式で表せない「補集合」が無限個の要素を含む、
事を言いたいのですが。
上式に限らずこの「ある整式で表せ「・ない・」」補集合の要素は無限にあるか？という問題で随分手こずってます。
コツさえ見つければ芋づる式に解けると思うのですが。。。
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No.75918 - 2021/06/20(Sun) 13:23:20 |
| ☆ Re: 整式の問題 / IT | | | そもそも、元の命題の真偽は不明ということですか？
N(c,d)＝30cd−19(c＋d)＋12 で
N(c,d+1)-N(c,d)=30c-19 なので
N(1,d+1)-N(1,d)＝11
N(2,d+1)-N(2,d)＝41
N(3,d+1)-N(3,d)＝71
公差が11,41,71,111,..と30ずつ大きくなりながら無数の等差数列がプロットされて行くので、
問題の形式で表せない、いくらでも大きな自然数が存在する。というのは正しくても簡単には示せないかもしれません。
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No.75920 - 2021/06/20(Sun) 13:49:31 |
| ☆ Re: 整式の問題 / CEGIPO | | | > そもそも、元の命題の真偽は不明ということですか？
>
> N(c,d)＝30cd−19(c＋d)＋12 で
> N(c,d+1)-N(c,d)=30c-19 なので
> N(1,d+1)-N(1,d)＝11
> N(2,d+1)-N(2,d)＝41
> N(3,d+1)-N(3,d)＝71
>
> 公差が11,41,71,111,..と30ずつ大きくなりながら無数の等差数列がプロットされて行くので、
> 問題の形式で表せない、いくらでも大きな自然数が存在する。というのは正しくても簡単には示せないかもしれません。
ITさん、コメントありがとうございます。
本問の元の命題の真偽は不明です。
...というかこの問題は元々
「双子素数が無限組あるかどうか？」
と言う問題から派生しています。
(30c-19)(30d-19)-1
と残り9式というのは
f1(a,b)=6ab-a-b
f2(a,b)=6ab+a-b
f3(a,b)=6ab+a+b
とおいて(a,b:自然数)
その内、5の倍数になる式全て
f1(5c1-3,5d1-3)
=5/30*{(30*c1-19)(30*d1-19)-1}
他9式（略）
を抜き出したものです。
10式全てで表せない5の倍数が無数に存在する。
と言う事がもし言えると十分条件として
双子素数が無限に存在する事が言える。
と言う魂胆で、ではまず1式切り出して
必要条件から示せないかな？と思ったのですが
それ自体も簡単に解ける問題ではないのですね。
うーん。。もう一度作戦を考えてみます。
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No.75923 - 2021/06/20(Sun) 16:18:24 |
| ☆ Re: 整式の問題 / WIZ | | | 何年も前から、この方針で双子素数問題に取り組まれているCEGIPOさんの熱意には脱帽です。
さて、少し気になる点があるのでコメントいたします。
> 10式全てで表せない5の倍数が無数に存在する。
> と言う事がもし言えると十分条件として
> 双子素数が無限に存在する事が言える。
A := 「10式全てで表せない5の倍数が無数に存在する。」
B :=「双子素数が無限に存在する」
・・・と定義すると、A が真ならば B はその十分条件ということですか?
つまり、B ⇒ A が真であるとCEGIPOさんは考えている?
そして、本スレの質問は A が真であることの証明を教えてくれということですよね?
仮に B ⇒ A が真かつ A も真だとしても、B が真とは言えないのではないですか?
それとも「A が真ならば B はその必要条件」の書き間違いですか?
|
No.75931 - 2021/06/20(Sun) 18:18:27 |
| ☆ Re: 整式の問題 / 黄桃 | | | 元の命題自体は真です。
高校の範囲は越えますが、ディリクレの算術級数定理から明らかです。
(30c-19)(30d-19)-1=30k
とおけば、
30k+1=(30c-19)(30d-19)
で、ディリクレの算術級数定理より、左辺の形の素数は無限にあります。
そのような素数pについては 30c-19=1 となるようなcは(もちろんdも)存在しないので、p-1(=30k)は f(c,d) の形で表せません。
♯頑張れば30k+1型の素数が無限にあることは初等的に証明できるかもしれませんが、試してません。
＃＃初等的に双子素数問題が解けるならずっと昔に解決している、と思います。
|
No.75933 - 2021/06/20(Sun) 22:12:47 |
| ☆ Re: 整式の問題 / CEGIPO | | | > 何年も前から、この方針で双子素数問題に取り組まれているCEGIPOさんの熱意には脱帽です。
> さて、少し気になる点があるのでコメントいたします。
>
> > 10式全てで表せない5の倍数が無数に存在する。
> > と言う事がもし言えると十分条件として
> > 双子素数が無限に存在する事が言える。
>
> A := 「10式全てで表せない5の倍数が無数に存在する。」
> B :=「双子素数が無限に存在する」
>
> ・・・と定義すると、A が真ならば B はその十分条件ということですか?
> つまり、B ⇒ A が真であるとCEGIPOさんは考えている?
> そして、本スレの質問は A が真であることの証明を教えてくれということですよね?
> 仮に B ⇒ A が真かつ A も真だとしても、B が真とは言えないのではないですか?
> それとも「A が真ならば B はその必要条件」の書き間違いですか?
あれ？なんかおかしな書き方してしまいましたかね。
あらためて説明すると
式は省略してましたが１０式というのは
f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかで表わせる数の内
５の倍数であるものを全て洗い出したものです（多分）。
そしてそれらの式のいずれでも表せない自然数が無限に
存在するのであればそれらは結局
f1(a,b)=6ab-a-b,
f2(a,b)=6ab+a-b,
f3(a,b)=6ab+a+b
のいずれでも表せない数なのですから
１０式のいずれでも表せない５の倍数が
無限に存在すればそれはつまり双子素数の生成数n
（(6n-1,6n+1)を双子素数とするn）ですから
「双子素数は無限に存在する」
事が言える。つまりそれは「双子素数は無限に存在する」
ための十分条件になっている（全ての双子素数に
ついて言及しなくてもよい）。。。
と書いたつもりだったのですがおかしかったですかね？
/////
※１０式載せておきますね。
(但し、f1(a,b)とf3(a,b)はa,bの対称式になっているため
事実上重複する一部式を省略して１０式だけとしています。)
★f1(5c1-3,5d1-3)
=6(5c1-3)(5d1-3)-(5c1-3)-(5d1-3)
=6(25c1d1-15c1-15d1+9)-5c1-5d1+6
=5(30c1d1-18c1-18d1+12)-5c1-5d1
=5(30c1d1-19c1-19d1+12)
=5{(√30*c1-19/√30)(√30*d1-19/√30)-361/30+360/30}
=5{1/30*(30*c1-19)(30*d1-19)-1/30}
=5/30*{(30*c1-19)(30*d1-19)-1}
★f1(5c2-1,5d2-2)
=6(5c2-1)(5d2-2)-(5c2-1)-(5d2-2)
=6(25c2d2-10c2-5d2+2)-5c2-5d2+3
=5(30c2d2-12c2-6d2+3)-5c2-5d2
=5(30c2d2-13c2-7d2+3)
=5{(√30*c2-7/√30)(√30*d2-13/√30)-91/30+90/30}
=5{1/30*(30*c2-7)(30*d2-13)-1/30}
=5/30*{(30*c2-7)(30*d2-13)-1}
★f1(5c4,5d4)
=6(5c4)(5d4)-(5c4)-(5d4)
=5(30c4d4-c4-d4)
=5{(√30*c4-1/√30)(√30*d4-1/√30)-1/30}
=5{1/30*(30*c4-1)(30*d4-1)-1/30}
=5/30*{(30*c4-1)(30*d4-1)-1}
/*------------------------------------*/
★f2(5c1-2,5d1-4)
=6(5c1-2)(5d1-4)+(5c1-2)-(5d1-4)
=6(25c1d1-20c1-10d1+8)+5c1-5d1+2
=5(30c1d1-24c1-12d1+10)+5c1-5d1
=5(30c1d1-23c1-13d1+10)
=5{(√30*c1-13/√30)(√30*d1-23/√30)-299/30+300/30}
=5{1/30*(30*c1-13)(30*d1-23)+1/30}
=5/30*{(30*c1-13)(30*d1-23)+1}
★f2(5c2-1,5d2-3)
=6(5c2-1)(5d2-3)+(5c2-1)-(5d2-3)
=6(25c2d2-15c2-5d2+3)+5c2-5d2+2
=5(30c2d2-18c2-6d2+4)+5c2-5d2
=5(30c2d2-17c2-7d2+4)
=5{(√30*c2-7/√30)(√30*d2-17/√30)-119/30+120/30}
=5{1/30*(30*c2-7)(30*d2-17)+1/30}
=5/30*{(30*c2-7)(30*d2-17)+1}
★f2(5c3-3,5d3-2)
=6(5c3-3)(5d3-2)+(5c3-3)-(5d3-2)
=6(25c3d3-10c3-15d3+6)+5c3-5d3-1
=5(30c3d3-12c3-18d3+7)+5c3-5d3
=5(30c3d3-11c3-19d3+7)
=5{(√30*c3-19/√30)(√30*d3-11/√30)-209/30+210/30}
=5{1/30*(30*c3-19)(30*d3-11)+1/30}
=5/30*{(30*c3-19)(30*d3-11)+1}
★f2(5c4,5d4)
=6(5c4)(5d4)+(5c4)-(5d4)
=5(30c4d4+c4-d4)
=5{(√30*c4-1/√30)(√30*d4+1/√30)+1/30}
=5{1/30*(30*c4-1)(30*d4+1)+1/30}
=5/30*{(30*c4-1)(30*d4+1)+1}
/*------------------------------------*/
★f3(5c1-3,5d1-4)
=6(5c1-3)(5d1-4)+(5c1-3)+(5d1-4)
=6(25c1d1-20c1-15d1+12)+5c1+5d1-7
=5(30c1d1-24c1-18d1+13)+5c1+5d1
=5(30c1d1-23c1-17d1+13)
=5{(√30*c1-17/√30)(√30*d1-23/√30)-391/30+390/30}
=5{1/30*(30*c1-17)(30*d1-23)-1/30}
=5/30*{(30*c1-17)(30*d1-23)-1}
★f3(5c3-2,5d3-2)
=6(5c3-2)(5d3-2)+(5c3-2)+(5d3-2)
=6(25c3d3-10c3-10d3+4)+5c3+5d3-4
=5(30c3d3-12c3-12d3+4)+5c3+5d3
=5(30c3d3-11c3-11d3+4)
=5{(√30*c3-11/√30)(√30*d3-11/√30)-121/30+120/30}
=5{1/30*(30*c3-11)(30*d3-11)-1/30}
=5/30*{(30*c3-11)(30*d3-11)-1}
★f3(5c4,5d4)
=6(5c4)(5d4)+(5c4)+(5d4)
=5(30c4d4+c4+d4)
=5{(√30*c4+1/√30)(√30*d4+1/√30)-1/30}
=5{1/30*(30*c4+1)(30*d4+1)-1/30}
=5/30*{(30*c4+1)(30*d4+1)-1}
/*------------------------------------*/
|
No.75956 - 2021/06/21(Mon) 17:10:14 |
| ☆ Re: 整式の問題 / CEGIPO | | | > 元の命題自体は真です。
> 高校の範囲は越えますが、ディリクレの算術級数定理から明らかです。
>
> (30c-19)(30d-19)-1=30k
> とおけば、
> 30k+1=(30c-19)(30d-19)
> で、ディリクレの算術級数定理より、左辺の形の素数は無限にあります。
> そのような素数pについては 30c-19=1 となるようなcは(もちろんdも)存在しないので、p-1(=30k)は f(c,d) の形で表せません。
>
> ♯頑張れば30k+1型の素数が無限にあることは初等的に証明できるかもしれませんが、試してません。
> ＃＃初等的に双子素数問題が解けるならずっと昔に解決している、と思います。
黄桃さん、回答ありがとうございます。
「ディリクレの算術級数定理」というものがあるのですね。
覚えておきます。（あとで検索してみよう）
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No.75964 - 2021/06/21(Mon) 20:54:58 |
| ☆ Re: 整式の問題 / CEGIPO | | | ちょっと修正です。
> あれ？なんかおかしな書き方してしまいましたかね。
>
> あらためて説明すると
> 式は省略してましたが１０式というのは
> f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかで表わせる数の内
> ５の倍数であるものを全て洗い出したものです（多分）。
> そしてそれらの式のいずれでも表せない=自然数=→5の倍数(少し修正)が無限に
> 存在するのであれば...
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No.75988 - 2021/06/22(Tue) 06:08:54 |
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