『校庭に生徒を集めたら人数が 2n+1 人だった。各々、任意に相手を選んで、
二人一組で勝負がつくまでジャンケンを行い、負けた生徒は、相手を探せずに、
勝負し損ねた一人を伴って教室に戻る。
このとき、
[i] 勝負に勝って校庭に残ったメンバーの組み合わせは何通り考え得るか？
[ii] [i]の結果が奇数だった場合、残ったメンバーの人数は偶数か奇数か？
[iii] [ii]の結果が奇数だった場合、偶数になるまで、同様の試行を繰り返せば、
結局、最後まで校庭に留まれる生徒の人数は何人か？必要なら n を使って表せ。』
学校の宿題です。解法を教えてください。m(_ _)m
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No.75845 - 2021/06/19(Sat) 00:06:08
| ☆ Re: 場合の数 / IT | | | [i] 勝負に勝って校庭に残ったメンバーの人数は何人か分かりますか？
2n+1の生徒全員が平等ですから、校庭に残ったメンバーの組み合わせは何通りか、分かります。
[ii][iii] は、けっこう難しいですね。
C(2n+1,n) が奇数になるnの条件を調べることになると思います。
パスカルの三角形を偶数は0、奇数は1という記法で書いていくと、規則性が見えてくると思います。
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No.75851 - 2021/06/19(Sat) 06:22:45 |
| ☆ Re: 場合の数 / IT | | | パスカルの三角形（偶:0,奇:1 表記）
１ １ １
２ １ ０ １
３ １ １ １ １
４ １ ０ ０ ０ １
５ １ １ ０ ０ １ １
６ １ ０ １ ０ １ ０ １
７ １ １ １ １ １ １ １ １
８１ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １
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No.75853 - 2021/06/19(Sat) 07:26:11 |
| ☆ Re: 場合の数 / 高校三年生 | | | IT さん、回答ありがとうございます。
「パスカルの三角形」でC(2n+1,n) が奇数になるnの条件を、
自分なりに調べたところ、
n = 2^k - 1 [k = 1,2,3,・・・]
と推理できました。しかし、答案の書き方がよく分かりません。
「数学的帰納法」を使うにしても、例えば、
「以下、パスカルの三角形を作図し続けると・・・」
みたいな論証方法で減点されないのでしょうか？
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No.75858 - 2021/06/19(Sat) 09:51:18 |
| ☆ Re: 場合の数 / IT | | | > 「パスカルの三角形」でC(2n+1,n) が奇数になるnの条件を、
> 自分なりに調べたところ、
>
> n = 2^k - 1 [k = 1,2,3,・・・]
>
> と推理できました。
合っています。
>しかし、答案の書き方がよく分かりません。
> 「数学的帰納法」を使うにしても、例えば、
>
> 「以下、パスカルの三角形を作図し続けると・・・」
>
> みたいな論証方法で減点されないのでしょうか？
満点ではないと思いますが、自分で実験して考えることが大切だと思います。
きちんとした議論は下記の１〜４枚目を読むとあります。
二項係数のある性質(松坂和夫)
http://hermes-ir.lib.hit-u.ac.jp/hermes/ir/re/9464/HNshizen0001400750.pdf
過去の東大入試などでも、Ｃ(n,m) の偶奇性を使った問題が出ていますので「パスカルの三角形の性質」「二項係数の偶奇性」などで検索すると良いです。
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No.75863 - 2021/06/19(Sat) 11:27:37 |
| ☆ Re: 場合の数 / 高校三年生 | | | IT さん、回答ありがとうございます。
>二項係数のある性質(松坂和夫)
>http://hermes-ir.lib.hit-u.ac.jp/hermes/ir/re/9464/HNshizen0001400750.pdf
拝読いたします。
>過去の東大入試などでも、Ｃ(n,m) の偶奇性を使った問題が
>出ていますので「パスカルの三角形の性質」「二項係数の偶奇性」
>などで検索すると良いです。
調べてみます。
いろいろお世話になりました。m(_ _)m
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No.75865 - 2021/06/19(Sat) 11:53:08 |
| ☆ Re: 場合の数 / IT | | | パスカルの三角形を使って、C(2n+1,n) が奇数になる必要条件を考える。（一部直観的ですが）
自然数k について
C(2^k,0)=C(2^k,2^k)=1であり
その他のC(2^k,1),C(2^k,2),C(2^k.3),..C(2^k,(2^k)-1) は、すべて２の倍数が示せる。
（よくある問題です。(2^k)!,m!,((2^k)-m))! の２の指数を比較します。）
ここで、パスカルの三角形で左端の１が下の行の斜め右下に伝わることを考えると
2^k ＜2n+1＜2^(k+1)で、C(2n+1,n) が奇数となるのは、最短で,2n+1=2^(k+1)-1 のときである。
したがって、C(2n+1,n) が奇数になるためには、n=(2^k)-1 (kは自然数)が必要条件である。
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No.75868 - 2021/06/19(Sat) 14:53:28 |
| ☆ Re: 場合の数 / 高校三年生 | | | >ここで、パスカルの三角形で左端の１が下の行の斜め右下に伝わることを考えると
>2^k ＜2n+1＜2^(k+1)で、C(2n+1,n) が奇数となるのは、最短で,2n+1=2^(k+1)-1 のときである。
なるほど。
「奇数」の波が両端から一項ずつ伝播していくようなイメージですね？
代数学でなく幾何学で攻めるとは！おみそれしました。m(_ _)m
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No.75871 - 2021/06/19(Sat) 17:02:00 |
| ☆ Re: 場合の数 / IT | | | そうですね、より論理的にはC(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r) を使って示すことになりますね。
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No.75872 - 2021/06/19(Sat) 17:29:24 |
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