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★ 負の数まで拡張された分配法則について / くわくうぃくぅくぇくぉ
負の数まで拡張した
a×(b+c)=ab+acや
(b+c)×a=ba+caの証明はできますか？

かけ算はかけられる数をかける数分たすので、前者でいうaや後者で言う(b+c)が負の数の場合も使えることは分かるのですが、
前者の(b+c)や後者のaが負の数の場合、負の数分たすと言われてもイメージがわきません。
No.74277 - 2021/05/04(Tue) 14:55:47
★ 商の微分法 / タカダ
y=√x　/ (x^2　-2x) という式を微分すると
y'=(2x　-3x^2)/(2√x(x^2 -2x)^2) になるらしいのですが、途中式が分かりません。商の微分法を使って
y'=(x^2　-2x　-2x^(3/2)　+2x^(1/2) )/ (2√x(x^2 -2x)^2)まではできたのですが、
(x^2　-2x　-2x^(3/2)　+2x^(1/2) )がどうやったら
(2x　-3x^2)になるのか教えてください。よろしくお願いします。
No.74271 - 2021/05/04(Tue) 13:22:16
☆ Re: 商の微分法 / らすかる
分子分母に2√xを掛けたとき、
分子第1項の (1/2)x^(-1/2)(x^2-2x) が x^2-2x になるところは正しいですが、
分子第2項の -x^(1/2)(2x-2) に 2√x を掛け忘れています。
No.74276 - 2021/05/04(Tue) 14:33:34
☆ Re: 商の微分法 / タカダ
> 分子分母に2√xを掛けたとき、
> 分子第1項の (1/2)x^(-1/2)(x^2-2x) が x^2-2x になるところは正しいですが、
> 分子第2項の -x^(1/2)(2x-2) に 2√x を掛け忘れています。

分子分母に２√xをかけているのではなくて、(1/2)x^(-1/2)を
1/(2√x)に書き直しただけなので、分子第二項に２√xをかける必要はないと思うのですが、このやり方は間違っていますか？
No.74282 - 2021/05/04(Tue) 18:10:48
☆ Re: 商の微分法 / らすかる
はい、間違っています。
分子の片方だけに掛かっているものを分母に移動することはできません。
例えば
{(1/2)4+3}/5
で同じことをやると
{(1/2)4+3}/5={4+3}/(2×5)=7/10
となりますが、正しくは
{(1/2)4+3}/5={2+3}/5=1
なので違いますね。
間違えないように、きちんと「分子分母に○を掛ける」のように考えた方がいいです。
No.74284 - 2021/05/04(Tue) 18:43:54
☆ Re: 商の微分法 / タカダ
分かりました！先生に聞いても教えてもらえなかったので、らすかるさんに教えて頂くことが出来てよかったです。ありがとうございました！
No.74290 - 2021/05/04(Tue) 19:19:49
★ (No Subject) / りつ
三角形ABCにおいて、∠B＝30°,∠C＝45°,AB=2√2とする。三角形ABCの外接円の中心Oと直線BCとの距離をhとするとき、h^2の値を求めなさい。

∠A=105°,AC=OB=OC=√2のところまで分かりましたが、続きが分りません。よろしくお願いします。
No.74268 - 2021/05/04(Tue) 12:33:02
☆ Re: / IT
線分BCの長さを求めて
△OBCの面積を２通りの計算方法で求めて比較すれば良いのでは？
（もっと速い方法があるかも知れません）
No.74270 - 2021/05/04(Tue) 13:07:59
☆ Re: / りつ
すみません。
BCと三角形OBCの面積の求め方が分かりません。
No.74272 - 2021/05/04(Tue) 13:29:06
☆ Re: / IT
> AC=OB=OC=√2のところまで分かりましたが、
どうやって求めましたか、図を載せてみてください。
No.74273 - 2021/05/04(Tue) 13:37:39
☆ Re: / りつ
よろしくお願いします。
No.74274 - 2021/05/04(Tue) 14:00:17
☆ Re: / IT
AC=OB=OC=√2　ではなくて　=2 ですね？

AからBCに垂線AHを引いて、BH,CHを求めます。
∠COBを求めます。
　CO をO側に延長してCOとOBが成す角を考えても良いです。

△OBC＝(1/2)BC×h
△OBC＝(1/2)OC×OB(sin∠COB ) です。

（別解）∠BCO＝15°を使えば、sin15°を求めることに帰着できます。
No.74275 - 2021/05/04(Tue) 14:14:39
☆ Re: / らすかる
別解
ITさんが書かれたようにBCを求めたら、三平方の定理により
h^2=OB^2-(BC/2)^2なのでh^2が求められますね。
No.74278 - 2021/05/04(Tue) 15:13:35
☆ Re: / IT
らすかるさんの方法が簡明ですね。
No.74279 - 2021/05/04(Tue) 15:25:41
☆ Re: / りつ
らすかる様、分かりやすい回答ありがとうございます。

追伸、IT様

計算してのですが、答えが合いません。
どこが間違っいるのか教えて頂けると助かります。
No.74280 - 2021/05/04(Tue) 15:49:04
☆ Re: / IT
正解はいくらですか？
分母を有理化してありませんか？
No.74281 - 2021/05/04(Tue) 16:07:50
☆ Re: / りつ
最後に有理化していませんでした。
2-√3になり、答えが合いました。

丁寧に教えて頂き、ありがとうございます。
No.74283 - 2021/05/04(Tue) 18:28:20
★ 必要条件と必要十分条件の答え方 / ｋｙｏ
こんにちは。

問題を答える時に必要十分条件か必要条件で答えるのかわからないので教えてください。


【Q1】
2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つとき，定数aの範囲を求めよ。

「〜を持つとき（定数aの範囲を求めよ）」は十分条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。


[解答]
「異なる2つの実数解」または「1つの実数解」を持つから判別式D≧0
D/4=a^2-1≧0
a≦-1,1≦a


【Q2】
2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つような，定数aの範囲を求めよ。

「〜を持つような（定数aの範囲を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。


[解答]
異なる2つの実数解を持つから判別式D＞0
D/4=a^2-1＞0
a＜-1,1＜a


【Q3】
どんな問題でも「〜を持つような（定数aの範囲を求めよ）」「次の条件を満たすとき（定数aの値を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。
No.74258 - 2021/05/04(Tue) 08:59:18
☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / IT
> 【Q3】
> どんな問題でも「〜を持つような（定数aの範囲を求めよ）」「次の条件を満たすとき（定数aの値を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。

そう思います。
この例題の場合は
　必要条件でよいなら　a≠0でも答えになります。
　十分条件でよいなら　a＝2だけでも答えになります。

もちろん「定数aの値を１つ求めよ」だと１つでいいと思いますが、

> 【Q1】
> 2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つとき，定数aの範囲を求めよ。
>
> 「〜を持つとき（定数aの範囲を求めよ）」は十分条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。
>
>
> [解答]
> 「異なる2つの実数解」または「1つの実数解」を持つから判別式D≧0
> D/4=a^2-1≧0
> a≦-1,1≦a
これは「必要条件」であり「十分条件」になってません。
異なる2つの実数解を持つための必要十分条件であるa＜-1,1＜a　とすべきだと思います。
　
> 【Q2】
> 2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つような，定数aの範囲を求めよ。
>
> 「〜を持つような（定数aの範囲を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。
>
> [解答]
> 異なる2つの実数解を持つから判別式D＞0
> D/4=a^2-1＞0
> a＜-1,1＜a
合っていると思います。

なお、途中、「⇔、よって、ゆえに、∴」などでつないだ方が良いと思います。必要十分条件（同値）であることを明確にする記号は⇔だとおもいますが、この程度の問題ならどれでもいいかなと思います。
No.74259 - 2021/05/04(Tue) 09:13:24
☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / ｋｙｏ
（すみません返信を押したつもりでしたが、返信になっていませんでした）

【Q3】
どんな問題でも「〜を持つような（定数aの範囲を求めよ）」「次の条件を満たすとき（定数aの値を求めよ）」は必要十分条件を答えるのですか。

必要条件でよいなら　a≠0でも答えになります。

a≠0で正しいですか？

a≠0（例えばa=1/2）⇒2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つ
にならないと思います（x^2+1=0で異なる2つの虚数解）がどうですか。


すみません。

【Q1】は以下のようにして下さい。

2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つとき，定数aの範囲を求めよ。

「〜を持つとき（定数aの範囲を求めよ）」と問題に書いてあった場合は必要条件を答えるのですか。以下の解答で正しいですか。


[解答（必要条件と判断した場合）]
「異なる2つの実数解」または「1つの実数解」を持つから判別式D≧0
D/4=a^2-1≧0
a≦-1,1≦a
No.74261 - 2021/05/04(Tue) 10:03:22
☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / IT
＞a≠0で正しいですか？
a≠0は、２次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つための「必要条件」の一例です。

「必要条件を求めよ」という解釈ならa≠0も必要条件ですから答えの一つになります。
それでは（「必要条件を求めよ」という解釈では）、問題としておかしいのではないかということです。

＞a≠0（例えばa=1/2）⇒2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つ
＞にならないと思いますがどうですか。
そのとおりです。
a≠0は、２次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つための「必要条件」ですが「十分条件」ではないからです。

「必要条件」の意味を誤解しておられませんか？
No.74264 - 2021/05/04(Tue) 10:09:11
☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / ｋｙｏ
私がわかっていなかったようです。
考え直しました。多分以下のことで正しいですよね。

2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つ（つまりa＜-1,1＜a）⇒a≠0

よって　a≠0は必要条件（十分条件ではない）ですね。

ちなみに、必要条件でよいなら　a≠0でも答えになりましたが、

2次方程式x^2+2ax+1=0が異なる2つの実数解を持つ（つまりa＜-1,1＜a）⇒a≠1/3
だから、必要条件で良いなら　a≠1/3でも答えになりすよね。
No.74265 - 2021/05/04(Tue) 11:14:24
☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / IT
そうですね。
No.74266 - 2021/05/04(Tue) 11:18:20
☆ Re: 必要条件と必要十分条件の答え方 / ｋｙｏ
ありがとうございました。
また，機会があれば教えて下さい。
No.74269 - 2021/05/04(Tue) 12:43:35
★ 環について / meow
環Rは零環でないとする．このとき，Rの単元は零因子にならないことを示せ．

という問題についてなのですが，自分は以下のように考えました．

環Rは零環ではないので1≠0
x∈Rに対して，xy=yx=1となるy∈Rが存在するとき，
xy=1≠0, yx=1≠0より， xは零因子にはならない．

これで良いでしょうか．
環について勉強中でこれで良いのかわかりません．
No.74256 - 2021/05/04(Tue) 02:11:15
☆ Re: 環について / IT
零因子の定義を確認してください。
xy=yx=1となるy 以外のz（≠0）についても
　xz＝0,zx=0となることがないことを　示す必要があるのでは？

（書いておられることを使って示せると思います。）
No.74257 - 2021/05/04(Tue) 02:47:21
☆ Re: 環について / meow
ITさん回答ありがとうございます．

x∈Rに対して，xy=yx=1となるy≠0∈Rが存在するとき，
xy=1≠0, yx=1≠0より， xは零因子にはならない．

理由　:
もしx=0の場合，
0y=(0+0)y=0y+0y
Rは加法群で逆元が存在し，0yを両辺から引くと，
0=0y+0
0=0y
同様に
0=y0

いろいろと混乱してきてしまいました...
No.74307 - 2021/05/04(Tue) 23:36:12
☆ Re: 環について / IT
>
> xy=1≠0, yx=1≠0より， xは零因子にはならない．
>
> 理由　:
> もしx=0の場合，
そもそも「零因子」の定義を正しく理解しておられないのではないかと思います。
テキストで「零因子」の定義を確認してください。
No.74311 - 2021/05/05(Wed) 01:10:58
★ (No Subject) / りな
f(x)=(1/4)^x+x-2/3とする。
方程式f(x)=0が区間(-1,2)において少なくとも2つの実数解を持つことを示せ。

答えまでの過程を教えて欲しいです。
まず、判別式で計算する前のところまでがたどり着けません。
x乗とxが混在している式から判別式で計算する時の式までもっていけません。
よろしくお願いします。
No.74252 - 2021/05/04(Tue) 00:25:14
☆ Re: / らすかる
f(x)=(1/4)^x+x-2/3 だと実数解を持ちませんので、多分
f(x)=(1/4)^x+(x-2)/3 の間違いですね。
そうだとすると
f(0)=1/3
f(1)=-1/12
f(2)=1/16
ですから0＜x＜1に1個以上、1＜x＜2に1個以上あります。
判別式は関係ないと思います。
No.74253 - 2021/05/04(Tue) 01:07:08
☆ Re: / りな
すいません、f(x)=(1/4)^x+x-3/2の間違いでした。
この式ですと実数解は持つでしょうか。
No.74254 - 2021/05/04(Tue) 01:44:36
☆ Re: / らすかる
上記に書いたのと同様に、
具体的にf(-1),f(0),f(1),f(2)を計算してみれば
実数解が二つ以上あることがわかると思います。
No.74255 - 2021/05/04(Tue) 01:47:41
☆ Re: / りな
分かりました。難しく考えてしまったようです。ありがとうございました。
No.74267 - 2021/05/04(Tue) 12:15:56
★ (No Subject) / りつ
S,A,Y,A,M,A,S,Iのアルファベット8文字を一列に並べるとき、2つのSの間に必ずAが入り、それ以外の文字が入らない場合は何通りあるか求めなさい。

答えは、504通りです。

・私は、SAAASを一つと考え、残りのアルファベットとの順列を求めればよい(SAAASの順列も考える)と思いましたが、答えが合いません。よろしくお願いします。
No.74244 - 2021/05/03(Mon) 16:16:40
☆ Re: / IT
> 2つのSの間に必ずAが入り、それ以外の文字が入らない
SAS,SAAS,SAAAS の場合があると思います。

> (SAAASの順列も考える)
どういう意味ですか？

> ・・・答えが合いません
いくらになりましたか？
No.74245 - 2021/05/03(Mon) 16:34:04
☆ Re: / りつ
> (SAAASの順列も考える)
(SAAAS)YMIの順列が4×3×2×1＝24通り
SAAASの順列は、Sの順列が2×1＝2通り,Aの順列が3×2×1＝6通り

よって、24×2×6=288通りとなりました。


No.74249 - 2021/05/03(Mon) 17:34:19
☆ Re: / IT
> ・・・
> よって、24×2×6=288通りとなりました。
この問題の場合、２つのS同志、３つのA同志は区別せず、
(SAAAS）を含む順列は、全体で4×3×2×1＝24通り　だけになると思います。
No.74250 - 2021/05/03(Mon) 17:38:52
☆ Re: / りつ
答えが合いました！
ありがとうございます。
No.74251 - 2021/05/03(Mon) 18:22:36
★ (No Subject) / りつ
0°≦θ≦180°とする。tanθ=√5のとき、
sinθ＋cosθ/sinθ-cosθの答えを求めなさい。

答えは、3＋√5/2なのですが、答えまでの過程が分かりません。よろしくお願いします。
No.74235 - 2021/05/03(Mon) 14:12:03
☆ Re: / IT
(sinθ＋cosθ)/(sinθ-cosθ)

分母と分子をcosθで割ります。
sinθ/cosθ＝tanθ＝√5　を代入します。
分母を有理化します。
No.74236 - 2021/05/03(Mon) 14:18:22
☆ Re: / ホトトギス
問題文書く時は分かりやすく書いてね。今回の場合は分子と分母が見にくいから。

(sinθ＋cosθ)/(sinθ-cosθ)でしょ。

数?Tで出てくる三角関数の重要３公式
(1)(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
(2)sinθ=cosθtanθ
(3)1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2

まずtanθ=√5だから、θは0°,90°,180°にはなり得ないよね。sinθとかcosθが0にならないかは確認した方がいい。

あとは公式を使って調理していくだけ。

公式(2)を使うと、
(cosθtanθ+cosθ)/(cosθtanθ-cosθ)

cosθは0でないから、分母分子をcosθで割ると
(tanθ+1)/(tanθ-1)

tanθ=√5なので、
(√5+1)/(√5-1)

分母を有理化すると、
(6+2√5)/4

分母分子を2で割ると
(3+√5)/2

以上
No.74237 - 2021/05/03(Mon) 14:22:30
☆ Re: / りつ
IT様、ホトトギス様、分かりやすい回答ありがとうございます。

追伸：ホトトギス様、これからは、問題文を書くときは気を付けて書きます。アドバイス、ありがとうございます。
No.74243 - 2021/05/03(Mon) 15:54:52
★ (No Subject) / りゅーくん
R2 で定義された2変数関数 f(x,y)=(x+2y)^e^(2x+y) について
偏導関数 fx, fy , fxx, fxy, fyx, fyy を求めよ。

という問題なんですけど結果のみで良いので、わかる方お願いします！
No.74231 - 2021/05/03(Mon) 11:54:04
☆ Re: / GandB
　たとえば fy なら wolframa へ行って
　　D[(x+2y)^e^(2x+y),y]
No.74232 - 2021/05/03(Mon) 12:31:31
★ (No Subject) / あんこ
R^2⊃A= {(x,y)｜1＜x＜2,1＜y＜3} ∪ {(x,y)｜2＜x＜3,1＜y＜2}
このとき、

?@Aをxy平面に図示せよ
?AR^2∋P=(5/2,5/2)について、PはAの内点・外点・境界点のうちどれか。証明をつけて答えよ。
?BAの内部、外部、境界をxy平面に図示せよ。内部の図、外部の図、境界の図をそれぞれ別に描く こと。証明はしなくてよい。
?CAは開集合かそうでないか。また閉集合かそうでないか。それぞれ証明をつけて述べよ。 (1)はなんとなくできました。(2)は完全に外の点だなと思うのですが、証明の仕方がわかりません。また開集合とかどういう事かわかりません。どなたか得意な方お願いします
No.74220 - 2021/05/03(Mon) 02:29:29
☆ Re: / IT
(1) Aの図は手書きでもいいので、出来れば写して載せられるといいと思います。
(2)
・内点、外点の定義はどうなっていますか？
・また点Pを(1)の図にプロットされるといいです。
No.74221 - 2021/05/03(Mon) 07:42:45
☆ Re: / あんこ
ご返信ありがとうございます！
(1)は写真のような感じだと思います汚くてすみません。

内点、外点、境界点の定義とはどんなものですか？
調べたら以下のように出てきました。
)A の内点全体の集合を A の内部 (interior) (または開核) といい，Ai (または A◦) で表す:
Ai :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A}⊂A.
(2) A の外点全体の集合を A の外部 (exterior) といい，Ae で表す:
Ae :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂Ac}=(Ac)i ⊂Ac.
(3) A の境界点全体の集合を A の境界 (frontier, boundary) といい，Af (または Ab) で表す:
Af :={x∈Rn |∀ε>0に対して，B(x;ε)∩A̸=∅かつB(x;ε)∩Ac ̸=∅}.
No.74222 - 2021/05/03(Mon) 08:34:57
☆ Re: / IT
Aの図は良いと思います。（どの境界線が含まれるかどうかの記述は要ると思いますが）

> 内点、外点、境界点の定義とはどんなものですか？
> 調べたら以下のように出てきました。
> )A の内点全体の集合を A の内部 (interior) (または開核) といい，Ai (または A◦) で表す:
お使いの授業のテキストなどで調べられたのですか？　

では、「内点」の定義を書きだすとどうなりますか？　記号式ではなくて、日本語で書き下してみてください。

PをAの図に描いてください。
No.74223 - 2021/05/03(Mon) 08:45:03
☆ Re: / あんこ

集合Aの内点は必ずAの要素であるみたいな感じですか？

あと点Pはここですか？
No.74224 - 2021/05/03(Mon) 09:29:25
☆ Re: / IT
>> 「内点」の定義を書きだすとどうなりますか？　記号式ではなくて、日本語で書き下してみてください。

> 集合Aの内点は必ずAの要素であるみたいな感じですか？
違います。私が聞いているのは、「内点」の定義です。
x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A
が理解できてないようです。だとするとこの問題を解くのは難しいと思います。

B(x;ε)は、どんなものか分かりますか？
テキストに「内点」やB(x;ε)について　図解で定義や説明がしてないですか？

授業を受けておられて、それに関連した出題だと思いますので、授業で使われたテキストや授業で示された定義を理解し、それを基にして考える必要があります。

>
> あと点Pはここですか？

そうですね。
No.74225 - 2021/05/03(Mon) 09:37:05
☆ Re: / あんこ
0より大きいε(限りなく小さな数)があって、

BはAの部分集合、という意味でしょうか？
No.74226 - 2021/05/03(Mon) 09:58:20
☆ Re: / IT
> 0より大きいε(限りなく小さな数)があって、
> BはAの部分集合、という意味でしょうか？
「限りなく小さな数」というものはありません（少なくともこの議論の中では）
0より大きいある実数εがあって
　B(x;ε)⊂A 　すなわちB(x;ε) はA の部分集合 となる。

B(x;ε)は、どんな集合ですか？
これは、考えることではなくて、テキスト（か講義ノート）に書いてあることを確認するだけです。テキストはないのですか？
No.74227 - 2021/05/03(Mon) 10:05:19
☆ Re: / あんこ
B(x ; ε)
xからの距離が εより小さい点全体からなる集合

でしょうか？
No.74228 - 2021/05/03(Mon) 10:23:40
☆ Re: / IT
> B(x ; ε)
> xからの距離が εより小さい点全体からなる集合
> でしょうか？
合っています。

では、整理すると
・集合Aの「内点」の定義はどう書けますか？
・集合Aの「外点」の定義はどう書けますか？
・点Pが集合Aの「外点」であることを示すには、何を示せば良いですか？
・図に　B(P;0.2) を描いてみてください。
No.74229 - 2021/05/03(Mon) 10:39:50
☆ Re: / あんこ
内点の定義
x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A
0より大きいある実数εがあって　　
xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の部分集合 となる。

外点の定義
Ae :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂Ac}
0より大きいある実数εがあって、xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の補集合 となる。

点pが外点と示すにはAからの距離を示すか、補集合だと示すのか
でしょうか？？
No.74230 - 2021/05/03(Mon) 11:09:47
☆ Re: / IT
> 外点の定義
> 0より大きいある実数εがあって、xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の補集合 となる。
集合B(x;ε)はA の補集合とは限りません。
集合B(x;ε)はAの補集合に含まれる。（Aの補集合の部分集合である。）です。

>
> 点pが外点と示すにはAからの距離を示すか、補集合だと示すのか
> でしょうか？？
あるε>0を見つけて　B(P;ε)⊂Ac　であることを示すのです。

B(P;0.2)は、描いて見ましたか？
No.74233 - 2021/05/03(Mon) 13:23:45
☆ Re: / あんこ
なるほど、ありがとうございます！

0.2はどこからきたんですか？
No.74238 - 2021/05/03(Mon) 14:44:50
☆ Re: / IT
> 0.2はどこからきたんですか？
B(P;ε)⊂Ac　であるためには、
　εは、0より大きく0.5 以下なら　いくらでもいいです。

なぜかは、B(P;0.2)　B(P;0.5) などを描いて見ると分かると思います。（手と目と頭を動かして考えましょう）
No.74239 - 2021/05/03(Mon) 14:55:46
☆ Re: / あんこ

そういう考え方なのですね！
難しいなあ

円で書けば良いですか？
Aに接しない円ができるので合っていますか？
No.74240 - 2021/05/03(Mon) 14:58:51
☆ Re: / IT
> 円で書けば良いですか？
もちろんそうです。

> Aに接しない円ができるので合っていますか？
そうですね。（おおむねそういうことで合っています）
No.74241 - 2021/05/03(Mon) 15:22:54
☆ Re: / あんこ

円がかけたのですが、
p(2,5)を中心とする半径0.2の円の内部をPとして、
P=｛(x,y)｜(x-2)^2+(y-5)^2<0.2｝
このP上の任意の点が、Aに含まれるかどうかを調べるような形で良いですか？
No.74246 - 2021/05/03(Mon) 16:39:56
☆ Re: / IT
そうですね。
No.74247 - 2021/05/03(Mon) 16:42:37
☆ Re: / あんこ
沢山聞いてすみませんでした。
ありがとうございました
No.74248 - 2021/05/03(Mon) 17:05:45
★ (No Subject) / いい
写像f:R^2→R^2, g: R^2→R^2をf(x,y)=(4x+2y,x-5y), g(x,y)=(2y^2,-3x) とする。 また、R^2⊃A= {(x,y)｜2x-y+3=0,}とする。このとき、

( 1 ) g⚪fを求めよ
( 2 )gは全射か。また、単射か。それぞれ証明せよ。
( 3 ) f^-1は全単射である。f^-1を求めよ。
( 4 )A,f(A),g(A)をそれぞれ図示せよ。

( 1 ) g⚪fは(2x^2-20xy+50y^2,-12x-6y) であっていますか？
あと、(2)以降はわかりません。よろしくお願いします
No.74210 - 2021/05/02(Sun) 22:29:38
☆ Re: / ヨッシー
(1) はそれで合っています。
(2)
全射でない：ｘ＜０の領域に移らないため。
単射でない：(0,1),(0,-1) ともに、(2,0) に移るため。
(3)
(X,Y)＝(4x+2y,x-5y) とおき、x,y について解くと
　x＝(5X+2Y)/22, ｙ＝(X-4Y)/22
よって、
　f-1(x,y)＝(5x/22＋y/11, x/22−2y/11)
(4)
f によって、移った先の点を(x,y) とすると、元の点は
　(5x/22＋y/11, x/22−2y/11)
であるので、2x-y+3=0 に代入して
　2(5x/22＋y/11)−(x/22−2y/11)＋3＝0
　9x＋8y＋66＝0
Ａ上の点を (t, 2t+3) とおいて、g を施すと移り先(X, Y)は
　(X, Y)＝(2(2t+3)^2, -3t)
ｔを消去すると
　X＝2(-2Y/3＋3)^2
　　＝(2/9)(-2Y＋9)^2

No.74215 - 2021/05/03(Mon) 01:02:58
☆ Re: / いい
ありがとうございます！！
よくわかりました！！
No.74219 - 2021/05/03(Mon) 02:03:42
★ 式の項についてです / くわくうぃくぅくぇくぉ
私は中学一年生の項の問題をと言いてるときに思いました。
-10＋(+4)-(-5)+5-4の項を全て答えなさいと問われた場合
まずすべて加法に直して
(-10)＋4＋5＋5＋(−4)となり
全ての項を答えるとなると＋5が二つ出てきます。
この場合−10、+4、＋5、＋5、−4
が答えでよいのでしょうか？
今まですべての項の絶対値が違う物しか見てこなかったのでっ不安になりました
No.74205 - 2021/05/02(Sun) 20:20:23
☆ Re: 式の項についてです / IT
> この場合−10、+4、＋5、＋5、−4
> が答えでよいのでしょうか？

良いと思います。
No.74206 - 2021/05/02(Sun) 20:49:24
★ 線形代数 / あ
初めてこちらを利用させて頂くものなのですが、数学が分からなくて困ってます。
A=「1 -1
1 1」で単位円をy=axで移す時どのような図形になるのかという問題です。「cost-sint
cost+sint」と計算したんですがここから分かりません。お時間よろしければ助けて頂けないでしょうか？
No.74195 - 2021/05/02(Sun) 18:40:14
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
行列Ａと、直線ｙ＝ａｘ の関係は何ですか？

問題文を、正確に書いてもらえますか？
No.74197 - 2021/05/02(Sun) 19:08:13
☆ Re: 線形代数 / あ
すみません。y=AxでAは(2,2)型行列です。
A=「1 -1
　　1 1」です。
No.74198 - 2021/05/02(Sun) 19:38:22
☆ Re: 線形代数 / IT
いくつかやり方がありますが、
> 「cost-sint,cost+sint」と計算したんですがここから分かりません。
そこからなら　cost＝○、sint=△　の形にして

(cost)^2+(sint)^2=1 を使うか、
三角関数の合成公式を使って　acos(t+θ),asin(t+θ) の形にする　のでしょうか。

まず、単位円上のいくつかの具体的な点がどこに移るかを調べると見通しが良いかも知れません。
No.74201 - 2021/05/02(Sun) 20:02:17
☆ Re: 線形代数 / あ
ヨッシーさん、ITさん、お忙しい中丁寧なお返事ありがとうございます。漸く理解に至った次第です。がんばります。
No.74204 - 2021/05/02(Sun) 20:16:13
★ 積分の応用 / あ
この問題の一番核となるのはどこですか？
No.74180 - 2021/05/02(Sun) 13:50:55
☆ Re: 積分の応用 / GandB
　ベクトル値関数
　　r↑(t) = (x(t),y(t))
は一般に平面曲線を表し、パラメータ t に時刻という物理的意味を持たせると r'↑(t) は速度になることかな（笑）。
No.74184 - 2021/05/02(Sun) 16:43:40
★ 鳩の巣原理 / 橋本
大学入試範囲の鳩の巣原理を使う問題ありますか。
No.74179 - 2021/05/02(Sun) 13:47:35
☆ Re: 鳩の巣原理 / GandB
　大学入試問題かどうかわからんけど
https://blog.goo.ne.jp/eric_henderson/e/b3c403b239775ecf404fc199fb11e8a2
あたりはどうかな。
No.74196 - 2021/05/02(Sun) 19:04:16
★ ルートの式変形 / Ru
どっちの式変形が間違っていますか。
No.74175 - 2021/05/02(Sun) 13:34:59
☆ Re: ルートの式変形 / Ru
こっちです
No.74178 - 2021/05/02(Sun) 13:37:34
☆ Re: ルートの式変形 / X
上側ですね。
√{(x+1)(x-1)(x+1)^2}
=√(x+1)√(x-1)√{(x+1)^2}
と変形した時点で
0≦x+1
の前提条件が付きますので
√{(x+1)^2}=x+1
となり絶対値をつける意味がありません。
No.74181 - 2021/05/02(Sun) 15:20:07
☆ Re: ルートの式変形 / IT
x＜-１,x=-1, −１＜x＜1,x≧1　に分けてみると

与式=√(x−1)√(x＋1)(x＋1) では？　
（√-1=i,i^2=-1 も考えるとして）
No.74183 - 2021/05/02(Sun) 15:52:57
☆ Re: ルートの式変形 / らすかる
どちらも定義域が変わってしまってまずいと思います。
変形するなら
√{(x-1)(x+1)^3}=√{(x-1)(x+1)}√{(x+1)^2}
=|x+1|√(x^2-1)
こうでしょう。
No.74192 - 2021/05/02(Sun) 18:06:48
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題についてです。
No.74172 - 2021/05/02(Sun) 13:29:20
☆ Re: / 数学苦手
3つの1組が4つある?@は分かりました。?A、?B、?Cは違うものが1つ混ざっていて、それは自動で決まるから4P2なのでしょうか？
No.74173 - 2021/05/02(Sun) 13:32:25
☆ Re: / 数学苦手
Pの右側にくる数字が表しているのは⚪×△などの種類？ですかね
No.74174 - 2021/05/02(Sun) 13:34:35
☆ Re: / 数学苦手
〇〇△と〇〇×は同じということでしょうか。
No.74176 - 2021/05/02(Sun) 13:36:06
☆ Re: / 数学苦手
いつでもいいので教えて頂きたいです。
No.74177 - 2021/05/02(Sun) 13:36:54
☆ Re: / 数学苦手
あ、×の場所は自動には決まらないですね。2つのマルが同じ色で自動に決まるでした。〇の場所に仮に赤が入るとすれば×の場所には3色分の組み合わせがあるので、同じ色3色の4通りに3を掛けるという感じですか？
No.74188 - 2021/05/02(Sun) 17:30:21
☆ Re: / 数学苦手
3枚選ぶのは連続動作なので掛け算するのでしょうか？
No.74189 - 2021/05/02(Sun) 17:34:11
☆ Re: / ヨッシー
4Ｐ2 の意味は何ですか？

この問題での意味ではなく、一般に言われている意味です。
No.74194 - 2021/05/02(Sun) 18:26:23
☆ Re: / 数学苦手
4個から2個を並べるですね
No.74199 - 2021/05/02(Sun) 19:54:05
☆ Re: / 数学苦手
4P2は計算すると4×3となり、同じ色3色4通りに3をかけると同じ意味になるのですね。だから、固定される場所に注目して並べるか取り出すか文章から考えて、残りの変わる1つの場所はスルーして式を立てたらいいのですね
No.74202 - 2021/05/02(Sun) 20:08:49
☆ Re: / ヨッシー
「4個から2個を並べる」で正解ですが、それが
4×3 で計算出来ることを説明してみてください。

また、赤、白、黄、青の４色から２色を選んで並べるときの
１２通りを、
　赤白、黄青　・・・
のように１２組書き上げてください。
No.74208 - 2021/05/02(Sun) 20:59:34
☆ Re: / 数学苦手
書き出してみました。頭が疲れてきたので輪をかけて汚くてすみません。
No.74212 - 2021/05/02(Sun) 23:04:20
☆ Re: / 数学苦手
証明はまず、4種類ある色の中から1種類を2つ選ぶ。これが4通り。
それから次に残りの3種類の中から1種類を選ぶ連続動作だから4×3ですか？
No.74213 - 2021/05/02(Sun) 23:10:56
☆ Re: / ヨッシー
ですから、疑問文で返しなさんなって。
合ってるんですから。
ちなみに、証明ではなく説明です。
また、連続動作という言い方を最近はするんですかね？

さて、その上の書き上げも合っています。
この時点で、74202 の記事の
>同じ色3色4通りに3をかける
が根拠のないこととわかるでしょう。
「同じ色3色」とは?@のことだと思いますが、?@と?A?B?Cは
関係ありません。

書き上げてもらった中の１番目（赤、白）の
左の色を?Aの○、右の色を?Aの×に当てはめて
赤赤白　という並びが出来ます。
これが?Aの並べ方の１つで、書き上げた残りの１１通り
についても　赤赤黄、赤赤青　・・・　青青黄　のように
?Aの並べ方を作ることが出来ます。
つまり、?Aの並べ方と「４つの色から２色を選んで並べる」のとは
完全に対応します。
?B?Cも同様です。

ここまで理解出来ていれば、?Dは言うまでもないでしょう。
No.74214 - 2021/05/02(Sun) 23:37:34
☆ Re: / 数学苦手
ありがとうございます。助かりました。
No.74217 - 2021/05/03(Mon) 01:32:15
☆ Re: / 数学苦手
続けてやる動作は掛け算でやると数学苦手な人向けの参考書に載っていました。例外パターンがあるかもしれないので、僕はなんとも言えません。
No.74218 - 2021/05/03(Mon) 01:38:33
★ 幾何学 / やまんば
大学の授業がオンラインで始まったのですが、解説もほどほどに課題がたくさん出ており困っています。どなたかお願いします

R^2上の次の3つの距離関数を考える。
R^2∋p=(x,y),q= (x‘ ,y‘ )について
d0(p,q)=max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝
d1(p,q)= ｜x-x‘｜+｜y-y‘｜
d2はユークリッド距離
このとき、
(1)R^2∋p= (2 , 5 ) ,q= ( 1 , -2 )について、p,q間の距離をd0,d1,d2のそれぞれについて求めよ。
( 2 ) R^2∋p= (2 , 5 )について、A= {r ∋ R^2｜d0(p,r)＞ 1 }なる集合Aをxy平面上に図示せよ。
( 3 ) d1の距離を用いた距離空間(R^2, d1 )において、点列［pk］k∋Nを以下のように定めると、［pk］k∋Nは収束することをε-N論法で示せ。
pk=(4+(-1)^k・(1/k),5-(-1)^k・(1/k^2))

よろしくお願いいたします。
No.74149 - 2021/05/02(Sun) 08:59:41
☆ Re: 幾何学 / IT
(1) そこに書いてあるd0,d1,d2 の定義にしたがって　計算等をするだけですが、それぞれどこが不明ですか？
No.74151 - 2021/05/02(Sun) 09:42:32
☆ Re: 幾何学 / やまんば
ご返信ありがとうございます。
(1)は√(2-1)²+(5-(-2) )²) = √50

で合っていますか？
No.74152 - 2021/05/02(Sun) 09:50:18
☆ Re: 幾何学 / IT
それは　d2(p,q) ですね。
d2((2,5),(1,-2))=√(2-1)²+(5-(-2) )²) = √50は合っていると思います。√50=5√2 としても良いかも。

残りのd0(p,q)と,d1(p,q) はどうなりますか？
No.74153 - 2021/05/02(Sun) 09:56:22
☆ Re: 幾何学 / やまんば
d0(p,q)=max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝のmaxの意味がわからないのですが、
d1(p,q)= ｜x-x‘｜+｜y-y‘｜は
(2-1)+(5-(-2))=8
であっていますか？
No.74155 - 2021/05/02(Sun) 10:18:05
☆ Re: 幾何学 / IT
> d0(p,q)=max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝のmaxの意味がわからないのですが、

max{a,b} はa,b の大きい方の値です。（等しい場合はその値）
例えばmax{1,2}=2,max{3,3}=3,max{-3,2}=2

> d1(p,q)= ｜x-x‘｜+｜y-y‘｜は
> (2-1)+(5-(-2))=8
> であっていますか？
値は合っていますが、途中式で絶対値記号を付けておくべきと思います。
No.74156 - 2021/05/02(Sun) 10:28:27
☆ Re: 幾何学 / やまんば

とてもわかりやすいです、本当ありがとうございます！
では、d0は7と言うことになりますか？
No.74157 - 2021/05/02(Sun) 10:36:00
☆ Re: 幾何学 / IT
>d0は7と言うことになりますか？
そうですね。

(2) は､r＝(x,y) として　d0(p,r) を定義から式に表し
d0(p,r)＞ 1 となるための x,y の条件を求めます。
出来るところまでやって載せてください。

(3) ε-N論法 の例題を習っておられると思うので、載せてみてください。

[pk] は、(4,5) に収束すると見当がつきます。
d1(pk,(4,5)) を出来るところまで計算で簡単にしてください。
No.74158 - 2021/05/02(Sun) 10:48:55
☆ Re: 幾何学 / IT
オンライン授業たいへんですね。

適当な紙のテキストや問題集を手元において取り組まれることをお勧めします。
（データで配信されているなら印刷する。先生推奨の市販本があればそれを購入、なければ、講義の進め方や出題の傾向を見てネットや書店で探す。）
また画面や頭の中だけで考えるのは効率が悪いのでできるだけ手書きして考えることをお勧めします。
No.74161 - 2021/05/02(Sun) 11:31:36
☆ Re: 幾何学 / やまんば
(2)は(2,5)を中心とした、半径1となる円ですか？
d0(p,r)はどういう意味なのか教えてもらえますか？無知ですみません。

(3)はまだ問題などは解いておらず
定義は教えて頂きました
limn→∞an=αlim n→∞ an = α
であることを次のように定義する。

∀ϵ>0,∃N∈ℕ,s.t. n≥N⇒|an−α|<ϵ
この式について見方を変えてみる。上記の論理式を満たすように、「ϵに対してNを対応付けることができる」と考えよう。すると、条件を満たすようなものをN(ϵ)というように関数のような形で書くことができるので、n≥N(ϵ)⇒|an−α|<ϵ
というように捉えることができる。
No.74164 - 2021/05/02(Sun) 11:46:27
☆ Re: 幾何学 / IT
> (2)は(2,5)を中心とした、半径1となる円ですか？
> d0(p,r)はどういう意味なのか教えてもらえますか？無知ですみません。
R^2∋p=(x,y),q= (x‘ ,y‘ )について
d0(p,q)=max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝

で　q をr に置き換えただけです。ｒ＝(x',y') とすると。
（r=(x,y) でもいいですが定義に合わせるためｒ＝(x',y')とおきます）

したがってd0(p,r)=max｛｜2-x‘｜,｜5-y‘｜｝
求める条件は、max｛｜2-x‘｜,｜5-y‘｜｝＞１です。　
　　（不等号の向きを間違えていましたので修正しました。）
No.74165 - 2021/05/02(Sun) 11:56:02
☆ Re: 幾何学 / IT
(3)
定義だけ示して、例題なしで　いきなり出題ですか？
少し不親切ですね。　

さて、「アルキメデスの定理（原理）」は習いましたか？
No.74166 - 2021/05/02(Sun) 12:00:38
☆ Re: 幾何学 / やまんば
ありがとうございます！
では、A= {r ∋ R^2｜d0(p,r)＞ 1 }というのは
(2,5)から1だけ大きい範囲を取れば良いという事になりますか？
間違ってたらすみません、

アルキメデスの定理はテキストを読みなさいとしじがありました
任意の正数a、b∈Rに対して、適当なn∈Rをとると、a < nb　
とすることができる、というものですよね
No.74168 - 2021/05/02(Sun) 12:19:10
☆ Re: 幾何学 / IT
> では、A= {r ∋ R^2｜d0(p,r)＞ 1 }というのは
> (2,5)から1だけ大きい範囲を取れば良いという事になりますか？

違います。
d0(p,r)の定義の式にp=(2,5)、ｒ＝(x,y) をあてはめて、式を書いて計算していってください。 途中も書いてください。
No.74170 - 2021/05/02(Sun) 12:51:36
☆ Re: 幾何学 / やまんば

2-x+5-y＞１

y=-x+6の上側の範囲という事になりますか？
No.74186 - 2021/05/02(Sun) 17:02:27
☆ Re: 幾何学 / IT
ちがいます。
d0(p,r)の定義式から途中計算も書いてみてください。
No.74187 - 2021/05/02(Sun) 17:10:33
☆ Re: 幾何学 / IT
（3）　記法は、授業の記法に直してください。
（略解）
[p[k]] は、q=(4,5) に収束する。

（証明）
d1(p[k],(4,5))=|-(-1)^k・(1/k)|+|(-1)^k・(1/k^2)|
=(1/k)+(1/k^2)≦2/k

任意の正数εに対して、2/ε＜N となる自然数Nがとれる。（∵アルキメデスの定理）
このとき　ε＞2/N
したがって
　k≧Nのとき　d1(p[k],(4,5))=(1/k)+(1/k^2)≦2/k≦2/N＜ε
No.74190 - 2021/05/02(Sun) 17:34:43
☆ Re: 幾何学 / やまんば
> ちがいます。
> d0(p,r)の定義式から途中計算も書いてみてください。

d0(p,r)= max｛｜x-x‘｜+｜y-y‘｜｝>1は

d0(p,r)= max｛｜2-x‘｜+｜5-y‘｜｝>1

これの大きい方が、1以上であれば良いという事でしょうか？
とすれば、x‘<1、y>4 というような範囲でしょうか？
まとを得ていなければすみません。
(3)ありがとうございます！自分でもやってみます
No.74200 - 2021/05/02(Sun) 19:59:01
☆ Re: 幾何学 / IT
> d0(p,r)= max｛｜x-x‘｜+｜y-y‘｜｝>1は
>
> d0(p,r)= max｛｜2-x‘｜+｜5-y‘｜｝>1
>
> これの大きい方が、1以上であれば良いという事でしょうか？
> とすれば、x‘<1、y>4 というような範囲でしょうか？

maxの中の記号は + ではないですね。
d0(p,r)= max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝>1
d0(p,r)= max｛｜2-x‘｜,｜5-y‘｜｝>1

ですから
｜2-x‘｜>1 　または､｜5-y‘｜>1 　ですね｡
(ｘ'<1 または ｘ'>3 ) または(y'<4または y'>6 ) になります。
No.74203 - 2021/05/02(Sun) 20:11:46
★ 急ぎなのでもう一度質問させていただきます / 高専
複素関数の問題で w＝(az +b)/(cz +d)より、0＝b/d、1-i＝(a +b)/(c +d)、1＝(ia+b)/(ic +d)をきれいにすると最終的にどうなりますか？ 過程も教えてください
No.74138 - 2021/05/01(Sat) 20:16:46
☆ Re: 急ぎなのでもう一度質問させていただきます / IT
元の質疑応答に続けられるのが良いと思います。
Xさんがほとんど回答しておられると思います。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=74119
No.74141 - 2021/05/01(Sat) 21:03:44
☆ Re: 急ぎなのでもう一度質問させていただきます / 高専
気長に待ちたいと思います
No.74143 - 2021/05/01(Sat) 21:44:31
★ 複素関数 / 高専
複素関数の問題でe^iを求めよという問題なのですが、答えは何になりますか？
No.74128 - 2021/05/01(Sat) 17:58:47
☆ Re: 複素関数 / ヨッシー
ｅ^(iθ)＝cosθ＋ｉsinθ
のθが１になったものですね。
No.74129 - 2021/05/01(Sat) 18:00:37
☆ Re: 複素関数 / 高専
あまり綺麗な形にはなりませんよね
No.74130 - 2021/05/01(Sat) 18:05:39
☆ Re: 複素関数 / ヨッシー
たとえば、(1/2)＋(√3/2)ｉ のような形を期待されているなら、
そうはなりません。
No.74135 - 2021/05/01(Sat) 18:54:38
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