連投すみません。(1)の解答解説をお願いします。
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No.75198 - 2021/05/30(Sun) 14:07:27
| ☆ Re: / X | | | 中間変数を何に選ぶかで式変形の難度が変わります。
OA=OB=OC=t
とし、△ABCを底面としたときの四面体OABCの高さをh
します。
このとき、四面体OABCの体積をVとすると
V=(1/3)・(1/2)x・{(x√3)/2}・h
=(1/12)(√3)hx^2 (A)
又、△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理により
2R=x/sin(π/3)
∴R=x/√3
となるのでOA,R,hに対応する辺でできる直角三角形
において三平方の定理により
t^2=h^2+R^2
=h^2+(1/3)x^2 (B)
さて、△AOBの面積をSとすると、四面体OABCを
問題の半径1の内接球の中心を頂点とした
４つの四面体に分割することにより
V=(1/3)S・1・3+(1/3)・(1/2)x・{(x√3)/2}・1
=S+(1/12)(√3)(x^2) (C)
S=(1/2)x√{t^2-(1/4)x^2} (D)
(B)(D)より
S=(1/2)x√{h^2+(1/12)x^2}
これと(A)(C)により
(1/12)(√3)hx^2=(1/2)x√{h^2+(1/12)x^2}+(1/12)(√3)(x^2) (E)
(E)をhの方程式として解き、結果を(A)に代入する方針で解いていきます。
(E)より
(√3)hx^2=6x√{h^2+(1/12)x^2}+(√3)(x^2)
条件よりx＞0ゆえ、x≠0に注意すると、
(√3)hx=6√{h^2+(1/12)x^2}+(√3)x
(h-1)x√3=6√{h^2+(1/12)x^2}
3{(h-1)x}^2=36{h^2+(1/12)x^2}
{(h-1)x}^2=12h^2+x^2
(h^2-2h)x^2=12h^2
条件よりh＞0ゆえ、h≠0に注意すると、
(h-2)x^2=12h
∴h=(2x^2)/(x^2-12)
これを(A)に代入して
V=(1/6)(√3)(x^4)/(x^2-12)
注)
ちなみにtとxについての方程式を立ててtについて解く方針では
次数が上がり過ぎたので、途中で挫折しました。
(どこかで計算間違いをしていた可能性はありますが。)
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No.75205 - 2021/05/30(Sun) 17:40:04 |
| ☆ Re: / 関数電卓 | | | 下の左図のように各点を定める。
L, M, N は AB, BC, CA の中点，P, Q, R, S は OL, OM, ON,CL と内接球の接点，D は球の中心である。
また，右図は，左図を底面上 △OLC の垂直方向から見たものである。
OP＝y, LS＝z とおくと，OD＝√(y^2＋1), OS＝√(y^2＋1)＋1
△OPD∽△OSL より，y：1＝√(y^2＋1)＋1：z ∴ yz＝√(y^2＋1)＋1
∴ (yz−1)^2＝y^2＋1，整理して y＝2z/(z^2−1)
∴√(y^2＋1)＝√{(2z/(z^2−1)^2＋1}＝(z^2＋1)/(z^2−1)
よって，高さ OS＝(Z^2＋1)/(z^2−1)＋1＝2z^2/(z^2−1)
LB＝x/2 のとき z＝LS＝(√3/6)x だから
高さ OS＝2((√3/2)x)^2/{(√3/2)x)^2−1}＝2x^2/(x^2−12)
体積 O-ABC＝(1/3)△ABC･OS＝(1/3)(√3/4)x^2･2x^2/(x^2−12)＝(√3/6)x^4/(x^2−12)
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No.75226 - 2021/05/30(Sun) 21:38:49 |
| ☆ Re: / 関数電卓 | | | (2)がカットされていますが，おそらく
「(2) 体積を最小にする x を求めよ。」
でしょう。
V＝(√3/6)x^4/(x^2−12)＝(√3/6)(x^2＋12＋144/(x^2−12))
(√3/6)(x^2−12＋144/(x^2−12)＋24)
≧(√3/6)(2√144＋24)＝8√3
等号は x^2−12＝144/(x^2−12) すなわち x＝2√6 のとき成立。
このとき，z＝√2, y＝2√2, OA＝2√6 となり，四面体が 正四面体 のときである。
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No.75230 - 2021/05/30(Sun) 22:13:04 |
| ☆ Re: / 関数電卓 | | | 右側の図の LS のところが間違っていました。再掲します。
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No.75233 - 2021/05/30(Sun) 22:44:21 |
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