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★ (No Subject) / 数学苦手
この問題についてです。
No.74875 - 2021/05/24(Mon) 00:10:27
☆ Re: / 数学苦手
このような考え方でいいですか？
No.74876 - 2021/05/24(Mon) 00:11:20
☆ Re: / ヨッシー
>いいですか？
の判断をする材料が十分でありません。

４つ描いてある図の２つは間違ってますし。
No.74878 - 2021/05/24(Mon) 06:22:17
☆ Re: / 数学苦手
これってAもBも動かしたパターンを考えた方がいいですか？
No.74882 - 2021/05/24(Mon) 10:07:32
☆ Re: / ヨッシー
動かすことが目的ではなく、ＡとＢがどういう向きに
くっついているかを調べるのが目的ですので、どう動かすかは
ケースバイケースです。

例えば、１や５は動かさなくてもダメとわかります。
No.74883 - 2021/05/24(Mon) 10:13:26
☆ Re: / 数学苦手
何故動かさないでダメと分かるのか教えて欲しい出す。例えば1だとこのような感じで考えました
No.74884 - 2021/05/24(Mon) 10:21:32
☆ Re: / 数学苦手
失礼しました。訂正です。
No.74885 - 2021/05/24(Mon) 10:28:31
☆ Re: / ヨッシー
逆に、ＡとＢがどんな位置関係ならＯＫと思いますか？
No.74886 - 2021/05/24(Mon) 10:33:29
☆ Re: / 数学苦手
一つ目のBの向きが多分間違えたので直しました
No.74887 - 2021/05/24(Mon) 10:35:39
☆ Re: / ヨッシー
>逆に、ＡとＢがどんな位置関係ならＯＫと思いますか？
まず、質問に答えましょう。

そうでないと、ムダな訂正を繰り返すばかりです。
No.74888 - 2021/05/24(Mon) 11:08:03
☆ Re: / 数学苦手
隣あって接してます
No.74889 - 2021/05/24(Mon) 11:10:11
☆ Re: / 数学苦手
無駄かもしれませんが書いてみました
No.74890 - 2021/05/24(Mon) 11:23:22
☆ Re: / 数学苦手
問題で問われている図を展開図にしたらAは逆さ、Bはそのままです
No.74891 - 2021/05/24(Mon) 11:26:01
☆ Re: / ヨッシー
>隣あって接してます
四面体はどの２面も接しているので、そんなのは当たり前です。
「どのように」接していますか？

ついでに言うと、２ も動かさなくてもダメとわかります。
No.74893 - 2021/05/24(Mon) 11:41:52
☆ Re: / 数学苦手
Aが左側、Bが右側ですか？見れば分かるので違いますかね、、
No.74896 - 2021/05/24(Mon) 12:41:14
☆ Re: / ヨッシー
この図の１～９で、正しいのはどれですか？
複数あります。
No.74897 - 2021/05/24(Mon) 12:51:37
☆ Re: / 数学苦手
6や7は空きがあるのでダメだと思うのですが…
No.74898 - 2021/05/24(Mon) 13:22:14
☆ Re: / ヨッシー
ＡとＢの接し方の話をしています。
No.74899 - 2021/05/24(Mon) 13:57:21
☆ Re: / 数学苦手
ちょっと脱線しますが最初当たりに送ったやつを訂正しました。
No.74901 - 2021/05/24(Mon) 14:36:32
☆ Re: / 数学苦手
どちらにしよ合わない感じでした
No.74902 - 2021/05/24(Mon) 14:37:19
☆ Re: / 数学苦手
8と9に関しては問題で問われている図ですから、正しいかどうか比較する対象ではないのでしょうか？
No.74911 - 2021/05/24(Mon) 16:34:02
☆ Re: / 数学苦手
4が合ってそうな気もしましたが3ですね
No.74914 - 2021/05/24(Mon) 18:16:42
☆ Re: / 数学苦手
4は下にAがあるのでひっくり返さないといけないのでしょうがイメージが難しいです
No.74922 - 2021/05/24(Mon) 18:57:06
☆ Re: / ヨッシー
図の丸をした図って、元の四面体を、↓こんなふうに広げた図でしょうか？

No.74925 - 2021/05/24(Mon) 19:03:03
☆ Re: / ヨッシー
>この図の１～９で、正しいのはどれですか？
この問題ですが、３は正解の一つです。
あと２つあります。

先程も書いたように、ＡとＢのつながりだけを見るのであって、
他の２面は切り離して考えてください。
No.74930 - 2021/05/24(Mon) 19:24:07
☆ Re: / 数学苦手
そうです！広げたものです。
No.74933 - 2021/05/24(Mon) 20:11:31
☆ Re: / 数学苦手
正解は3だったんですよ。解説は僕が図に書き込んでいるような状態しか書いてなくて(^◇^;)
No.74935 - 2021/05/24(Mon) 20:23:33
☆ Re: / らすかる
> 正解は3だったんですよ
元の問題の答えのことを言っているのでしたら、正解は3ではありません。
No.74936 - 2021/05/24(Mon) 20:42:55
☆ Re: / ヨッシー
>>↓こんなふうに広げた図でしょうか？
>そうです！広げたものです。
裏からも字が見える材質なんですか？

結局
>ＡとＢがどんな位置関係ならＯＫと思いますか？
に尽きます。

>正解は3だったんですよ。
そんなテキストは捨てるべきです。
No.74939 - 2021/05/24(Mon) 21:02:33
☆ Re: / GandB
　問答をくどくど繰り返すより、1から5の図を拡大して切り抜いて、実際に正四面体を作ったほうが手っ取り早いと思う。
No.74948 - 2021/05/24(Mon) 21:50:28
☆ Re: / 数学苦手
すみません。他のことでバタバタしてました。4でした。3か4かまでは分かりましたがなかなか難しいです。
No.74953 - 2021/05/24(Mon) 23:06:13
☆ Re: / 数学苦手
見間違いです。あと解説を今パッと見ただけですが簡潔すぎて分からず、、です
No.74954 - 2021/05/24(Mon) 23:07:13
☆ Re: / 数学苦手
こんな感じで僕にとっては少し分かりづらい感じでした
No.74961 - 2021/05/25(Tue) 00:24:19
☆ Re: / 数学苦手
あ、あれですね。あのー僕、赤丸の3が正解だと思って3といいましたが問題では4でした。一つ番号ずれてますね
No.74962 - 2021/05/25(Tue) 00:28:55
☆ Re: / 数学苦手
とりあえずこういった問題の場合は苦手なので、AとBと英数字が書かれてますから、それをくっつけれるパターンで考えていく、Aの方がBにくっつきに行くパターン、Bの方がAにくっつきに行くパターンで考えていくのがセオリーなんですね。
No.74963 - 2021/05/25(Tue) 00:31:55
☆ Re: / らすかる
それがセオリーかどうかはわかりませんが、面のつながり方だけで考える方法もあります。
1はAの右隣の面が無地なので正しくない
2と5はBの左隣の面が無地なので正しくない
3はBの左下の頂点を共有する他の2面が無地なので正しくない
（元の立体でBの左下の頂点はAの面と無地の面が共有している）
4はAの右下の頂点とBの左下の頂点がくっついていて
Aの左下の頂点とBの右下の頂点が離れているので正しい
よって4。
No.74964 - 2021/05/25(Tue) 01:37:07
☆ Re: / ヨッシー
その解説は、全くその通りで、
「Ａ，Ｂの文字が与えられた正四面体のような位置関係になる」
に尽きます。

私は当初から
>ＡとＢがどんな位置関係
のことしか聞いていません。
（いまだに明確な回答をもらっていませんが）
No.74965 - 2021/05/25(Tue) 04:55:14
☆ Re: / 数学苦手
面の説明ありがとうございます。なるほど。そうですね。展開前の図もAの右下とBの左下の頂点が重なってますものね。3番はAとBの英数字の向きを考えても、A右下、B左下の頂点と重なってますもなね。
この問題の場合は表向きでABが見えてますから、分かりやすいですね。
No.74987 - 2021/05/25(Tue) 18:00:04
☆ Re: / 数学苦手
次の問題から頂点を使うような単元なので、頂点は使わないのかなと短絡的に考えてましたがこの問題は使えるのですね。
No.74989 - 2021/05/25(Tue) 18:58:35
★ 微分 / 開
y’のプラスマイナスはどうやって調べたらいいですか？
y''まで微分すると分からなくなります…
No.74873 - 2021/05/23(Sun) 23:39:20
☆ Re: 微分 / X
xの不等式である
y'≧0
を解いてxの値の範囲をまず求めます。
求められたxの値の範囲を
0≦x≦2π
から除いた範囲が
y'＜0
となるxの値の範囲です。
No.74921 - 2021/05/24(Mon) 18:55:42
☆ Re: 微分 / 開
助かります！！解けそうです！
No.74934 - 2021/05/24(Mon) 20:23:22
★ 物理 / たいが
物理なんですけど、どなたか解法教えていただけませんか。
No.74872 - 2021/05/23(Sun) 23:33:04
☆ Re: 物理 / 関数電卓
丸投げではなく，ご自身の解をできたところまで書いてみられよ。
No.74874 - 2021/05/23(Sun) 23:59:52
☆ Re: 物理 / GandB
　これ、質問の(1)から(4)を見る限り、円錐ばね振り子の典型的な基本問題と思ったんだけど、支点の高さhとばねのなす角度が与えられていないから、実際の計算はかなりめんどくさい。

　質問者がせめて運動方程式だけでも立てていればと回答があったのにと惜しまれる（笑）。
No.75343 - 2021/06/02(Wed) 17:39:04
★ ロシア農民の掛け算 / 紙コップ
「ロシア農民の掛け算」についてです。
画像の(a)はできたのですが、(b)のロシア農民の掛け算を帰納法を使って証明する問題が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.74870 - 2021/05/23(Sun) 22:50:08
☆ Re: ロシア農民の掛け算 / 紙コップ
解決しました！
No.74880 - 2021/05/24(Mon) 07:05:43
★ 確率 / kmk
確率の問題を教えてください！

１から５までの数字が１つずつ書かれた計５枚のカードが２セットある。これをＰとＱの２人が１セットずつ持ち、１枚ずつ好きなカードを出していく。ただし、１度出したカードはもとに戻さない。

Ｑ）３枚目に出した２人のカードが一致する確率はどれだけか。

Ａ）Ｐが出したカードと同じカードをＱが出す確率は５枚の中の１枚なので１／５。これは何枚目のカードでも同じ確率になる。

➢え？出したカードは戻さないので、１／５×１／４×１／３じゃないんですか？？
No.74865 - 2021/05/23(Sun) 21:07:11
☆ Re: 確率 / IT
> ➢え？出したカードは戻さないので、１／５×１／４×１／３じゃないんですか？？

最初の１／５は何を計算していますか？　次の×１／４は？

１枚目、２枚目は一致する必要はありませんよ。

簡単のため、３枚２組のカード程度で考えてみるといいかも知れません。　
No.74867 - 2021/05/23(Sun) 21:28:22
☆ Re: 確率 / kmk
そうですよね～

１／５と１／４って何を意味してたんでしょう。
自分でも意味わからないこと聞いていました。

おっしゃるとおり、３枚２組で考えると・・・お互いに手持ちが３枚で１／３となるような・・・答えが違うので間違っているのでしょうけど・・・
No.74869 - 2021/05/23(Sun) 22:43:06
☆ Re: 確率 / IT
> おっしゃるとおり、３枚２組で考えると・・・お互いに手持ちが３枚で１／３となるような・・・答えが違うので間違っているのでしょうけど・・・

それで合っています。
条件が異なるので、答えが異なってもおかしくありません。

心配なら、具体的に確認してみることも有効です。

例えば、Pが（１，２、３）の順に出す確率は１/3!=1/6
そのときQの３枚目のカードがPと同じ３であるのは
（１、２、３）（２，１、３）の２とおりなので
確率は２／６＝１／３

Ｐの出し方６通りについて、それぞれ同じことが言えるので
３枚目に出した２人のカードが一致する確率は
(1/6)×(1/3)×６＝1/3

ですが、普通こんなめんどくさい計算はせずに、その解答A）のような考え方をします。
No.74879 - 2021/05/24(Mon) 06:48:23
☆ Re: 確率 / kmk
答えが、１／５だけじゃなくて１／３でもいいってことでしょうか？

学校を卒業し社会人になって●十年・・・頭が全然ついてこないです・・・
No.74956 - 2021/05/24(Mon) 23:13:44
☆ Re: 確率 / IT
繰り返しになりますが、質問された元の問題と私が出した問題は「問題が異なるので、答えも異なる」ということです。
No.74971 - 2021/05/25(Tue) 07:05:28
☆ Re: 確率 / kmk
ITさんが出された問題は、３枚目に出した２人のカードのことだと思っていました。

全然嚙み合ってなかったみたいですね。

３枚目だから、枚数が２枚減って、１／３・・・という話ではなかったんでしょうか？(;^_^
No.75006 - 2021/05/25(Tue) 22:05:34
☆ Re: 確率 / IT
いろいろ書くと、かえって混乱させるようなので止めておきます。　
疑問があるならもう一度No.74867から読み直して下さい。
No.75032 - 2021/05/26(Wed) 20:25:01
☆ Re: 確率 / kmk
お返事ありがとうございました。
No.75070 - 2021/05/27(Thu) 21:11:27
★ 背理法を使ってnが偶数であることの証明 / カズ
すみません、前回Q1とQ2を質問して、Q1とQ2を別々の所で教えていただきたいので、すみませんがQ１はこちらにお願いします。
（Q２の答えは前回の所にこれからも書いてください）

Q１

「整数 n について，n＾2 が偶数ならば，n は偶数であることを示せ．」
は対偶を使って証明することが多いですが、以下のように背理法で証明を書いてみました。これは正しいですか。誤りがあれば教えてください。

【証明】
n が偶数でないつまり奇数とする。
n が奇数なので、n = 2k + 1 (k は整数) とおく。
n＾2 = (2k + 1)＾2
= 4k＾2 + 4k + 1
= 2 (2k＾2 + 2k) + 1

2k＾2 + 2k は整数なので、n＾2 = 2 (2k＾2 + 2k) + 1 は奇数となる。
これは　n^2が偶数であるこに矛盾する。
したがって、n＾2 が偶数ならば，n は偶数である。
No.74852 - 2021/05/23(Sun) 18:03:17
☆ Re: 背理法を使ってnが偶数であることの証明 / 黄桃
私は、この書き方では、何を仮定してどう矛盾したのかが不明確だと思います。
そのため、傍目には背理法を理解できてない可能性があるようにも見えます。
ただ、答案レベルならこのままでも許してもらえるかもしれません（疑わしきは罰せず＝理解していて略して書いたかもしれない）。そういう意味では正しいかもしれません。

背理法で示すのであれば、最初は

「すべての整数 n について，n＾2 が偶数ならば，n は偶数である」ではない、と仮定する。すなわち、
「n＾2 が偶数、かつ，n は偶数ではない」を満たす整数nがあったとする。

と明確すべきだと思います（少なくとも2行目は背理法の仮定だから明記すべき）。

＃「自分が理解していること」と、「自分が理解していることを他人にわかってもらうこと」は異なることです。
No.74877 - 2021/05/24(Mon) 00:25:59
☆ Re: 背理法を使ってnが偶数であることの証明 / カズ
「すべての整数 n について，n＾2 が偶数ならば，n は偶数である」ではない、と仮定する。すなわち、
「n＾2 が偶数、かつ，n は偶数ではない」を満たす整数nがあったとする。
↑
私はわかっていません。

「ｐならばｑ」ではないと仮定して、すなわち、
「ｐであり、かつｑではない」になるのかがわかりません。
「ならば」を「かつ」にしているのもわかりません。

また、集合PとQでない部分を考えて矛盾がどの部分か、
矛盾したら、集合Pが集合Qに含まれる（？）
など集合での説明も理解できていません。
教えてください。
No.74908 - 2021/05/24(Mon) 16:11:58
☆ Re: 背理法を使ってnが偶数であることの証明 / 黄桃
＃それなら、最初に「正しいです」と答えたら、それで済んだのでしょうか？ちょっとひねくれてますね。

命題と条件が区別できてないように思います。これらを使い分けると混乱しそうなので、ここでは集合P,集合Qは考えず、命題だけで説明します。この考え方が理解できれば、真理集合P,Qと「ならば」を使った条件文との関係も同じように理解できると信じます。

最初にいくつか確認をしておきます。

(1) P,Qを命題とするとき、「PならばQ」が真になる（正しいといえる）のは Pが偽（誤り）であるか、Qが真である（正しい）とき、と約束します。
つまり「PならばQ」は「Pでないか、または、Qである」という意味だと約束します
（日常生活とはちょっと違いますが、数学の世界ではこう決めます。物騒な例ですが、英語で If you move, you will be killed と Don't move or you will be killed が同じ、という感じです）

(2) 「nは偶数」というのは命題ではありません。nがなんだかわからないと真偽が決まらないからです。
「2は偶数」とか「9は偶数」とかは命題です。真偽が決まるからです。

(3) 高校数学の世界では、「n^2が偶数　ならば n は偶数」は命題です。
これは、正確には「すべての整数nについて、n^2が偶数　ならば n は偶数である」という意味です。
つまり、nにどんな整数（nが整数なのか自然数なのか実数なのかは問題によって変わるかもしれませんが、ここでは整数）を入れても n^2が偶数 ならば nは偶数が正しい、ということです。
もっといえば、「１が偶数ならば1は偶数である」「4が偶数ならば2は偶数である」「9が偶数ならば3は偶数である」...「0が偶数ならば0は偶数である」「1が偶数ならば-1は偶数である」…　が全部正しい、ときだけ
「すべての整数nについて、n^2が偶数　ならば n は偶数である」
が正しい、ということです。これなら命題になります。

ここから背理法の証明に進みましょう。
背理法の原理自体は、次のような感じです（厳密には違うかもしれませんが）。
命題Aを証明するときに Aは命題だから正しいか、正しくないかのどちらか。仮に正しくないとすると、矛盾するから、正しくないということはありえない。だからAは正しい。

＃Aが犯人なら犯行時に現場にいたはずだ。しかし犯行時Aはまったく違う場所にいた。
＃同じ人が違う場所に同時に存在することはできないからAは犯人ではない。

背理法では、最初に証明したいことの否定を仮定しますから、まず、証明したいことの否定、をきちんとかかなければなりません。

(4)全部が正しい、ということの否定は、1つ（かそれ以上）正しくないものがある、ということです（みんな戻った、の否定は、だれも戻ってない、ではなくて、戻ってない人がいる、です）。
だから、「すべての整数nについて、n^2が偶数　ならば n は偶数である」の否定は
(*)「１が偶数ならば1は偶数である」「4が偶数ならば2は偶数である」「9が偶数ならば3は偶数である」...「0が偶数ならば0は偶数である」「1が偶数ならば-1は偶数である」…　
の（少なくとも）どれか1つは正しくない、ということです。

(5)どれかはわかりませんが、その正しくない数にnという名前をつけておくと、
「n^2が偶数ならばnは偶数である」が正しくない、
が言えます（単に「nは偶数」と書いたら命題にはならないといいましたが、ここでは、(*)のうちのどれか正しくないものにnという名前をつけたので、nは特定の数を表しており真偽がきまる命題なのです）。
(1)より、これは『「n^2が偶数でない、または、nが偶数である」ではない』です。「AまたはB」というのも数学の世界では、両方、もしくはどちらか一方が正しい時に正しくなります。一方だけとは限りません。
だから、「AまたはB」でない、ということは AでもBでもない、つまり、Aでない、かつ、Bでない、です。
したがって、今の場合
「n^2が偶数、かつ、nが偶数でない」となるような整数nがある、
を仮定することから始まるのです。
No.74960 - 2021/05/25(Tue) 00:01:35
☆ Re: 背理法を使ってnが偶数であることの証明 / カズ
(1)(5)がわかりません。

特に「PならばQ」が真になる（正しいといえる）のは Pが偽（誤り）であるか、Qが真である（正しい）がわかりません。

「Pが偽（誤り）である」がでてくることがさっぱりわかりません。
No.75027 - 2021/05/26(Wed) 17:28:05
★ 確率変数、ボレル / mm
すいません、件名を入れ忘れていたので再送します。
証明のしかたを教えてください。
字が読みづらく申し訳ありません。
No.74851 - 2021/05/23(Sun) 17:58:37
★ (No Subject) / aiko
⑶がわかりませんよろしくお願いします！
No.74845 - 2021/05/23(Sun) 17:50:33
☆ Re: / X
以下の通りです。

y'={1/(2√x)}/(1+x)=1/{2(1+x)√x}
No.74860 - 2021/05/23(Sun) 20:33:22
☆ Re: / aiko
途中過程がしりたくて……すいません、適当でもいいんでか途中書いてくれると嬉しいです。
No.74868 - 2021/05/23(Sun) 21:38:39
☆ Re: / GandB
　途中過程も何も

　　(ArcTan(x))' = 1/(1+x^2)

さえわかっていたらすぐだけど。くどく書けば

　　y = ArcTan(t), t = √x = x^(1/2)
　　dy/dx = (dy/dt)(dt/dx)
　　　　　= {1/(1+t^2)}(1/2)x^(-1/2)
　　　　　= {1/(1+x)}(1/2√x)
　　　　　= 1/{2(1+x)√x}
No.74871 - 2021/05/23(Sun) 23:08:05
★ 証明 / aiko
これの答えを教えてください。
No.74839 - 2021/05/23(Sun) 16:14:25
☆ Re: 証明 / ヨッシー
公式
　tan(π/2－x)＝１/tanｘ
を使って、
　tan(π/2－tan-1ｘ)＝1/tan(tan-1ｘ)＝1/x　・・・(i)
ｘ＞０、1/x＞０ より
　0＜tan-1ｘ＜π/2
　0＜tan-1(1/x)＜π/2
よって、(i) より
　π/2－tan-1ｘ＝tan-1(1/x)
　tan-1ｘ＋tan-1(1/x)＝π/2
を得ます。
No.74841 - 2021/05/23(Sun) 16:47:58
☆ Re: 証明 / aiko
なるほど！ありがとうございます😭
No.74846 - 2021/05/23(Sun) 17:50:51
★ 逆関数 / aiko
これって、逆関数なんですけど、
⑴とかだったら、x=sinyのyに0いれたらいいんですか？？それでもxに0ですか？？
No.74838 - 2021/05/23(Sun) 16:13:36
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
(1) はｘもｙも０で、ややこしいので、
(2)か(3)で考えた方が良いのではないでしょうか？
No.74840 - 2021/05/23(Sun) 16:20:14
☆ Re: 逆関数 / aiko
答えが0だけなのっておかしい気がするんですよね、範囲指定もないのに、y=nπ nは整数
じゃないのなかなーって思ってしまします
No.74844 - 2021/05/23(Sun) 17:49:37
☆ Re: 逆関数 / IT
sin^-1,cos^-1 の定義のところで、範囲指定があると思いますが。
No.74848 - 2021/05/23(Sun) 17:52:26
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
ｙ＝sin-1ｘ　は　－π/2≦ｙ≦π/2
ｙ＝cos-1ｘ　は　０≦ｙ≦π
で答えるのが普通です。
No.74849 - 2021/05/23(Sun) 17:53:23
★ 積分 / カロン
これらの問題が分からないので解く手順を含めて教えていただきたいです。
No.74837 - 2021/05/23(Sun) 13:33:58
☆ Re: 積分 / X
最近の書式は右極限を"↓"で表現するのですね。

?@
sinx=tと置くと
I[7]=∫[0→1]logtdt=lim[ε↓0]{[tlogt][ε→1]-∫[ε→1]dt}
=-1 ((∵)第一項に(A)を使います。)

?A
8-2x=t
と置くと
I[7]=-(1/2)∫[8→0]dt/t^(1/3)
=(1/2)∫[0→8]dt/t^(1/3)
=lim[ε↓0](1/2)[(3/2)t^(2/3)][ε→8]
=3
となり、有限の値として存在します。

?B
e^x=tと置くと
I[7]=∫[0→∞]dt/(t^2+3t+2)
=∫[0→∞]{1/(t+1)-1/(t+2)}dt
=lim[ε→∞][log(t+1)-log(t+2)][0→ε]
=lim[ε→∞]{log{(ε+1)/(ε+2)}+log2}
=log2

?C
全て被積分関数の不定積分を容易に計算できるので
ご自分でどうぞ。
こちらの計算では収束するのは
I[0],I[2]
となりました。

?D
(i)α＝-1のとき
∫[16→∞]{x^(-α)}dx=lim[ε→∞](logε-log16)
∴発散
(ii)α≠-1のとき
∫[16→∞]{x^(-α)}dx=lim[ε→∞]{1/(1-α)}{ε^(1-α)-16^(1-α)}
となるので収束するには
1-α＜0
∴1＜α

ということで(A)となります。
No.74863 - 2021/05/23(Sun) 20:59:32
☆ Re: 積分 / 関数電卓
?Bは
∫[0→∞]dt/(t^2＋3t＋2)＝∫[0→∞]{1/(t+1)-1/(t+2)}dt
No.74866 - 2021/05/23(Sun) 21:19:47
☆ Re: 積分 / カロン
理解できました。ありがとうございます。
No.74900 - 2021/05/24(Mon) 14:13:38
☆ Re: 積分 / X
＞＞関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞カロンさんへ
ごめんなさい。関数電卓さんの仰る通りです。
No.74863を直接修正しましたので再度ご覧下さい。
No.74924 - 2021/05/24(Mon) 18:59:35
★ 背理法の証明 / カズ
証明で質問があります。教えてください。

Q１

「整数 n について，n＾2 が偶数ならば，n は偶数であることを示せ．」
は対偶を使って証明することが多いですが、以下の背理法で証明できますか。

【証明】
n が偶数でないつまり奇数とする。
n が奇数なので、n = 2k + 1 (k は整数) とおく。
n＾2 = (2k + 1)＾2
= 4k＾2 + 4k + 1
= 2 (2k＾2 + 2k) + 1

2k＾2 + 2k は整数なので、n＾2 = 2 (2k＾2 + 2k) + 1 は奇数となる。
n^2が偶数であるこに矛盾する。
n＾2 が偶数ならば，n は偶数である。

Q2

「√2が無理数であることを示せ」の背理法の証明で、
ｐとqは互いに素として、計算すると
ｐとｑが偶数で互いに素にならないことで矛盾を使った証明は理解しているのですが、
以下の方法ではだめですか。
だめな理由も教えてください。


【証明】
√2が有理数であると仮定する。
このとき、互いに素な正の整数 p、qを用いて
√2=q/p
とおける。

両辺を2乗して
2=q^2/p^2
つまり
2=（q/p)^2

右辺のq/pは自然数ではない（分数）ので、（q/p)^2も自然数でない（分数）となる。
ところが左辺2は自然数で、左辺（自然数）＝右辺（自然数でない）となり矛盾する。
よって√2が無理数である
No.74832 - 2021/05/23(Sun) 10:45:36
☆ Re: 背理法の証明 / IT
Q2
> 右辺のq/pは自然数ではない（分数）ので、（q/p)^2も自然数でない（分数）となる。

q/pは自然数ではない. はなぜ言えますか？
p=1 のとき　q/pは自然数です。

q/pは自然数ではないので、(q/p)^2も自然数でない.はなぜ言えますか？
√２は自然数でないですが、(√２)^2 は自然数です。
No.74834 - 2021/05/23(Sun) 11:32:06
☆ Re: 背理法の証明 / カズ
2=（q/p)^2よりp=1,q=2　だから
矛盾が生じないので、
√2が有理数であると仮定したのは正しい。
よって、√2が有理数である。

「√2が無理数であることことを示せ」なのに結果が反対になりました。
どこが誤りですか？
No.74835 - 2021/05/23(Sun) 11:40:39
☆ Re: 背理法の証明 / IT
> 2=（q/p)^2よりp=1,q=2　だから
> 矛盾が生じないので、
・・・
> どこが誤りですか？

１行目からおかしいです。もう一度、見直してみてください。
No.74836 - 2021/05/23(Sun) 12:37:09
☆ Re: 背理法の証明 / カズ
【証明】
√2が有理数であると仮定する。
このとき、互いに素な正の整数 p、qを用いて
√2=q/p
とおける。

両辺を2乗して
2=q^2/p^2
つまり
2=（q/p)^2

2=（q/p)^2よりp=1,q=2　だから
両辺とも自然数で矛盾が生じないので、
√2が有理数であると仮定したのは正しい。
よって、√2が有理数である。


私は、(わかっていませんが）以下のように

2=（q/p)^2よりp=1,q=2で、
両辺とも自然数で矛盾が生じないので、√2が有理数であると仮定したのは正しい。
よって、√2が有理数である。

が正しいと思って、√２は有理数（正解は√２は無理数）になってしまうのですが、
なぜこれはだめなのですか。
No.74847 - 2021/05/23(Sun) 17:52:22
☆ Re: 背理法の証明 / IT
> 2=（q/p)^2よりp=1,q=2　だから
> 矛盾が生じないので、
・・・
> どこが誤りですか？
p=1,q=2 のとき、
（q/p)^2 の値はどうなりますか？
　2=（q/p)^2を満たしますか？
No.74850 - 2021/05/23(Sun) 17:56:21
☆ Re: 背理法の証明 / カズ
確かにｐ＝１，q=2では
2=（q/p)^2
にならず、私の勘違いでした。

続けて質問ですが、

√2=q/p
より、両辺を2乗して
2=q^2/p^2
つまり
2=（q/p)×（q/p)
ｐ、ｑが互いに素な自然数のとき、
2=（q/p)×（q/p)にならないので、
ｐ、ｑが互いに素な自然数であることに矛盾する。
よって√2は無理数である。

これはなぜ誤りですか。
No.74853 - 2021/05/23(Sun) 18:27:01
☆ Re: 背理法の証明 / IT
> ｐ、ｑが互いに素な自然数のとき、
> 2=（q/p)×（q/p)にならないので、

言っていることは、正しいですが、なぜそう言えるかを説明する必要があります。
No.74854 - 2021/05/23(Sun) 19:15:44
☆ Re: 背理法の証明 / カズ
確かに、
ｐ、ｑが互いに素な自然数のとき、
2=（q/p)×（q/p)にならない
理由を説明しにくいですね。

だから、
2=（q/p)＾2から
2p＾2＝q^2を使って、qが偶数などの方法を使ったのですね。
わかりました。ありがとうございます。

もし可能であればQ１の質問も答えてください。
No.74856 - 2021/05/23(Sun) 20:10:45
★ 関数 / 高専
この問題の解答解説を教えてください
調和関数であることは示せたので、正則関数を求めるやり方が聞きたいです
コーシーリーマンを使うこともなんとなくわかっています
No.74828 - 2021/05/22(Sat) 20:00:34
☆ Re: 関数 / X
添付写真に書き込まれた?@?Aを使います。

?@より
v=2xy+f(x)
(f(x)はxのみの任意関数)
これを?Aに代入すると
2y+f'(x)=2y
∴f'(x)=0
f(x)=C
(Cは任意定数)
∴v=2xy+C
ということで求める正則関数は
w=x^2-y^2+i(2xy+C)
(但し、Cは任意定数、z=x+iy)
No.74830 - 2021/05/22(Sat) 20:23:10
☆ Re: 関数 / 高専
v=2xy+f(x)を?Aに代入すると2y+f'(x)=2yになるっていうことがわからないんで、詳しく教えてくださいm(_ _)m
どのように代入しているのでしょうか？
No.74842 - 2021/05/23(Sun) 17:31:34
☆ Re: 関数 / X
＞＞v=2xy+f(x)
より
v_x=2y+f'(x)
だからです。
No.74862 - 2021/05/23(Sun) 20:40:22
★ 関数 / 高専
212、214の解答と解説を教えてください
214のwをz＝の形に変えてから始めること以外は全くわかりません
No.74827 - 2021/05/22(Sat) 19:53:45
☆ Re: 関数 / IT
212　x,y をそれぞれzとzの共役複素数z~ で表すとどうなりますか？

（分からなければ、まず、z,z~をx,y で表します。）

そのx,y を直線の方程式のx,y に代入します。
No.74829 - 2021/05/22(Sat) 20:22:31
★ 質問です。 / 数学
画像の因数分解が分かりません。よろしくお願いします。
No.74812 - 2021/05/21(Fri) 00:44:36
☆ Re: 質問です。 / らすかる
普通の意味の因数分解（有理数範囲での因数分解）はできないと思います。
No.74813 - 2021/05/21(Fri) 02:30:07
☆ Re: 質問です。 / 数学
ありがとうございます。有理数の範囲では出来ないですよね。
何かを足したり引いたりすればできるみたいなヒントを先生にもらったのですが、、、、
No.74819 - 2021/05/21(Fri) 14:14:02
☆ Re: 質問です。 / ヨッシー
ということは、何かを足さないと出来ないと言うことを
知ってて出したのですね？
それはあまりに失礼ですよ。
No.74821 - 2021/05/21(Fri) 18:50:46
★ ベクトル / 開
点(1,3)を起点としてベクトルt(1,2)をt=-2,1について図に描け。
とあるのですが、(-2,-4)と(1,2)を通る直線を書けばいいんですか？
No.74811 - 2021/05/21(Fri) 00:19:20
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
>点(1,3)を起点
とあるので、始点を(1,3)、終点を(1,3) から (-2,-4)進んだ点
および (1,2) 進んだ点とするベクトルを描くのだと思います。
No.74818 - 2021/05/21(Fri) 13:39:35
☆ Re: ベクトル / 開
ありがとうございます！
No.74820 - 2021/05/21(Fri) 15:39:42
★ (No Subject) / ⊿
数?Tの絶対値の問題についてです。
|π-3|+|π-4|の答えが1になるというのが分かりません。π=3.14なのでπ-3＞0、π-4＜0ということは理解できたのですが、||の中身の-を+に変えられない理由が解説を見てもあまり納得できず…教えて下さると有難いです。
No.74810 - 2021/05/21(Fri) 00:04:23
☆ Re: / IT
> ||の中身の-を+に変えられない理由
||の中身の-を+に変えられる、変えられないとは　どういう意味ですか？

π-4＜0　なので　|π-4|＝-π+4 であり、||の中身のｰが+に変わります。
No.74814 - 2021/05/21(Fri) 05:17:26
★ (No Subject) / 数学
この問題が分かりません。円弧とサイクロイドの違いも分からないです。
No.74803 - 2021/05/20(Thu) 21:19:23
☆ Re: / ヨッシー
こちらのように、円があるものに沿って転がるとき
円周上の一点が描く図形がサイクロイドです。

円弧は文字通り円周の一部です、
１．３．４．がそれに当たります。

半円の中心は必ず直線部分ができるので、５．も違います。
No.74804 - 2021/05/20(Thu) 22:24:12
☆ Re: / 数学苦手
この問題の図のPから下に接したもの、その接した箇所から2段目の先端箇所にいったもの、2段目の先端箇所から下まで接する手前で途切れたもの。この3つの線全てサイクロイドということですね。

もし、この問題と同じ階段のような場所で1、3、4が転がったイメージを書いてみました。汚くてすみません。5番の形は前の方の問題に同じものがありました。
No.74806 - 2021/05/20(Thu) 22:55:36
☆ Re: / 数学苦手
正直、頭の中で考えても分からなかったです(⌒-⌒; )馬鹿なので
No.74807 - 2021/05/20(Thu) 22:56:14
☆ Re: / 数学苦手
?@の場合なんかだと空中で点があって凸凹になってたりとかしてますね。それがあればサイクロイドではないと分かりました。
?B?Cはサイクロイドかどうかより見た感じで違うかなと…
No.74808 - 2021/05/20(Thu) 23:21:34
★ (No Subject) / simple is best
私の答案です

正しいですか 他によい考え方はありますかあ

教えてください。

何卒宜しくお願い致します。

問題と私の答案
https://imgur.com/a/sIWDDZG
No.74801 - 2021/05/20(Thu) 20:42:33
☆ Re: / ヨッシー
だいたい同じですが、途中の内積は座標を使いました。

図のようにＡ，Ｂ，Ｃ，Ｐをおいて、θは 0≦θ≦π/3 を考えれば十分です。

Ｔ^2 を考えるまでは同じで、
　ＰＡ・ＰＢ＝ＰＡ・ＰＢ/cos∠ＡＰＢ
において、
　cos∠ＡＰＢ＝cos(π/3)＝1/2
　ＰＡ・ＰＢ＝(-1-cosθ, -sinθ)・(1/2－cosθ, √3/2－sinθ)
　　＝(-1-cosθ)(1/2－cosθ)＋sinθ(sinθ－√3/2)
　　＝cos^2θ＋(1/2)cosθ－1/2＋sin^2θ－(√3/2)sinθ
　　＝1/2＋(1/2)cosθ－(√3/2)sinθ
以上より
　ＰＡ・ＰＢ＝1＋cosθ－(√3)sinθ
同様に
　ＰＡ・ＰＣ＝1＋cosθ＋(√3)sinθ
また
　ＰＢ・ＰＣ＝(1/2－cosθ, √3/2－sinθ)・(1/2－cosθ, －√3/2－sinθ)
　　＝(1/2－cosθ)^2＋(√3/2－sinθ)(－√3/2－sinθ)
　　＝1/4－cosθ＋cos^2θ＋sin^2θ－3/4
　　＝1/2－cosθ
より
　ＰＢ・ＰＣ＝ＰＢ・ＰＣ/cos∠ＢＰＣ
　　＝２cosθ－1

以上より
　ＰＡ・ＰＢ＋ＰＢ・ＰＣ＋ＰＣ・ＰＡ＝4cosθ＋1
よって、
　Ｔ^2＝6＋2(4cosθ＋1)＝8cosθ＋8
　θ＝0 でＴ^2の最大値16で、Ｔの最大値は４
　θ＝π/3 でＴ^2の最小値12で、Ｔの最小値は2√3
No.74823 - 2021/05/22(Sat) 07:10:53
☆ Re: / simple is best
今回もありがとうございました。
No.74826 - 2021/05/22(Sat) 18:59:15
★ 数?V極限 / 雪太郎
数?Vの極限の問題です。難しくて困っています。どのように解けばよいのか解法を教えていただけるとありがたいです。
No.74800 - 2021/05/20(Thu) 20:28:26
☆ Re: 数?V極限 / IT
f(x)が縮小写像の場合は、その数列が収束することは、「バナッハの不動点定理」「縮小写像の不動点定理」などという定理で大学の初年級の微積分の教科書などに載っています。

f(x)が縮小写像であることを示せればいいと思うのですが
縮小写像
　0＜K＜1があって　|f(x)-f(y)｜≦K|x-y|
とは少し条件が違ってますね。
No.74805 - 2021/05/20(Thu) 22:25:49
☆ Re: 数?V極限 / IT
(fの条件２）x,y∈[0,1]に対して、x≠y ⇒　|f(x)-f(y)|＜|x-y|

（元の問題の解法）
h(x)=f(x)-x とおくと h(x) は連続で,h(0)=f(0)≧0、h(1)=f(1)-1≦0なので
中間値の定理によって　h(a)=0 となるa∈[0,1]が少なくとも１つ存在する。
このときf(a)=a (#　a はf(x)の「不動点」です。)
このようなaは１つしか存在しない。
（２つあるとf(a)-f(b)=a-bとなり(fの条件２）に反します）

＃以下は、全面的に直しました。＃

d(x)=|h(x)| とおく。d(x)は連続関数。

d(x[n])は、非増加数列で0以上なので収束する。
lim(n→∞)d(x[n])=βとする。

[0,1]は有界閉集合なので{x[n]}は、[0,1]内に収束する部分列{x[n[k]]}を持つ。
　（大学レベルだと思います。）
lim(k→∞)x[n[k]]=zとする。z ∈[0,1]
lim(k→∞)x[n[k]+1]=lim(k→∞)f(x[n[k]])=f(z) (∵fは連続）

d(x)は連続関数なので
　lim(k→∞)d(x[n[k]])=d(z)=β
　lim(k→∞)d(x[n[k]+1])=d(f(z))=β
∴d(z)=d(f(z))=β
すなわち|z-f(z)|=|f(z)-f(f(z))|
(fの条件２）から、z=f(z) ∴β＝0
∴z=a

よって、{x[n[k]]},{x[n[k]+1]}はともにaに収束する。
したがって、{x[n[k]+2]},{x[n[k]+3]},...もすべてaに収束することが言える。

すなわち{x[n]}はaに収束する。

#「Edelsteinの不動点定理」と呼ばれるものです。
（数3の範囲で厳密に示すのは無理かなと思います）

# y=x とy=f(x) のグラフを描いて見ると分かり安いと思います。
# x[1]=x のx とそうでない一般のxの区別が分かりにくいので,x[1] として表記しています。
No.74824 - 2021/05/22(Sat) 07:30:42
☆ Re: 数?V極限 / IT
（数３レベルの証明の流れにしてみました。細かいところは自分で補足してください。）

h(x)=f(x)-x とおくと h(x) は連続で,h(0)=f(0)≧0、h(1)=f(1)-1≦0なので
中間値の定理によって　h(a)=0 となるa∈[0,1]が少なくとも１つ存在する。
このときf(a)=a
このようなaは１つしか存在しない。
（２つあるとf(a)-f(b)=a-bとなり(fの条件２）に反します）
x[1]=a　のとき,任意の自然数nについてx[n]=a となる。

x[1]≠a　のとき任意の自然数nについてx[n]≠aなので、
　ｆの条件から|x[n+1]-a|=|f(x[n])-f(a)|＜|x[n]-a|
　d(x)=|x-a|とおく、
　d(x[n])は、減少数列で0より大きいので収束する。
　lim(n→∞)d(x[n])=δとおく。（δ≧0）

　{x[n]} を、x[n]＜a の部分列と、x[n]＞aの部分列に分けて考えると、少なくとも一方は無限個の項がある。
　x[n]＜a の部分列の項が無限個あったとする。
　その部分列を{x[n[k]]}とする。

　{x[n[k]]}は、増加数列で　x[n[k]]＜aなので収束する。
　lim(k→∞)x[n[k]]=zとおく。z ∈[0,a]。
　lim(k→∞)x[n[k]+1]=lim(k→∞)f(x[n[k]])=f(z) (∵fは連続）

d(x)は連続関数なので
　lim(k→∞)d(x[n[k]])=d(z)=δ
　lim(k→∞)d(x[n[k]+1])=d(f(z))=δ
∴d(z)=d(f(z))=δ
すなわち|z-a|=|f(z)-a|=|f(z)-f(a)|
(fの条件２）から、z=a

よって、{x[n[k]]},{x[n[k]+1]}はともにaに収束する。
したがって、{x[n[k]+2]},{x[n[k]+3]},...もすべてaに収束することが言える。

すなわち{x[n]}はaに収束する。

x[n]＞aなる部分列の項が無限個ある場合も同様。
No.74833 - 2021/05/23(Sun) 11:25:24
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