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★ 二項係数 / しがない高校生
こちらの(3)を教えてください！
No.75081 - 2021/05/28(Fri) 08:06:28
☆ Re: 二項係数 / ヨッシー
(3)
(1) より
　(2n+1)Ｃ0＋(2n+1)Ｃ1＋…＋(2n+1)Ｃ(2n+1)＝2^(2n+1)
左辺を
　{(2n+1)Ｃ0＋…＋(2n+1)Ｃn}＋{(2n+1)Ｃ(n+1)＋…＋(2n+1)Ｃ(2n+1)}
のように分けると、
　(2n+1)Ｃ0＝(2n+1)Ｃ(2n+1)
　(2n+1)Ｃ1＝(2n+1)Ｃ(2n)
　　・・・
　(2n+1)Ｃn＝(2n+1)Ｃ(n+1)
から、左右の｛・・・｝の値は等しくなります。
よって、
　(2n+1)Ｃ0＋(2n+1)Ｃ1＋…＋(2n+1)Ｃn＝2^(2n+1)÷2＝2^(2n)
No.75082 - 2021/05/28(Fri) 08:15:19
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題についてです。
No.75075 - 2021/05/28(Fri) 00:38:14
☆ Re: / 数学苦手
頂点の部分は理解できました。ところで、この問題で対応っていうのは三角形PRSの線分ABが三角形P'R'Qの線分A◯と繋がるということですか？
No.75076 - 2021/05/28(Fri) 00:41:05
☆ Re: / ヨッシー
問題文の「対応する」は「一致する」という意味です。
No.75080 - 2021/05/28(Fri) 06:11:41
★ 行列 / 出水
1番下がの(x y)の求めかたと内積の求め方が分からないのですが、
どうやって解いたらいいですか？
No.75074 - 2021/05/28(Fri) 00:36:10
☆ Re: 行列 / IT
> 1番下がの(x y)の求めかたと内積の求め方が分からないのですが、
1番下がの(x y)の求め方とは？
No.75077 - 2021/05/28(Fri) 06:02:16
☆ Re: 行列 / ヨッシー
(x,y) は求めなくても良いですね。

ａ＝(x,y)、ｂ＝(X,Y) とおくと、
内積の公式
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
より
　cosθ＝ａ・ｂ/|ａ||ｂ|
ここで、
　ａ・ｂ＝(x,y)・(xcosα−ysinα，xsinα＋ycosα)
　＝(x^2＋y^2)cosα
|ａ|と|ｂ|は既にわかっているので、
cosθが計算出来ます。
θは0≦θ≦π ですが、αはそうとは限らないので、
そこのところは注意しましょう。
No.75079 - 2021/05/28(Fri) 06:03:12
☆ Re: 行列 / 出水
ありがとうございます。
計算してみたところ、cosθ=cosαとなったのですがここでθ=αとしてしまったら変ですよね。
No.75086 - 2021/05/28(Fri) 13:54:42
☆ Re: 行列 / ヨッシー
それが、
>αはそうとは限らないので、
の部分ですね。

簡単に表すなら
　θ＝acos(cosα)
ですかね。
それとも、αは　0≦α＜2π に限ると逆に決めてしまって、
　θ＝π−|π−α|
とするかです。
No.75087 - 2021/05/28(Fri) 15:11:19
☆ Re: 行列 / 出水
参考になります。ところでθ＝acos(cosα)のaはなんですか？
No.75088 - 2021/05/28(Fri) 15:49:14
☆ Re: 行列 / ヨッシー
arccos（アークコサイン）をさらに略して acos で、
cos の逆関数、値域は 0以上π以下です。
例）acos(1/2)＝π/3,
　　acos(cos(7π/4))＝acos(1/√2)＝π/4
No.75089 - 2021/05/28(Fri) 15:58:05
☆ Re: 行列 / 出水
よく分かりました！ほんとうにありがとうございます。助かりました……！
No.75090 - 2021/05/28(Fri) 16:07:17
★ 解析 / 大学生
関数u(x,y) = e^x(xcosy-ysiny)が調和関数であることを調べたいのですがx、yそれぞれの2回微分のやり方がわかりません。
1回ずつ教えてください
No.75071 - 2021/05/27(Thu) 21:30:53
☆ Re: 解析 / 関数電卓
積の微分公式でコツコツ計算するだけですよ。添え字 x は１回偏微分。
　ux＝e^x(xcosy−ysiny)＋e^x･cosy
　uxx＝e^x(xcosy−ysiny)＋2e^x･cosy …(1)
　uy＝e^x(−xsiny−siny−ycosy)
　uyy＝e^x(−xcosy−cosy−cosy＋ysiny) …(2)
(1)＋(2)：uxx＋uyy＝0
よって，u(x,y) は調和関数である。　[証了]
No.75073 - 2021/05/27(Thu) 21:53:47
☆ Re: 解析 / 大学生
uyの先の微分がわかりませんm(_ _)m
どこをどう微分するかまだ書いていただけませんか？
No.75146 - 2021/05/29(Sat) 21:49:24
☆ Re: 解析 / 大学生
誤字すみません
積の微分です
No.75147 - 2021/05/29(Sat) 21:50:45
☆ Re: 解析 / 関数電卓
　uy＝e^x(−xsiny−siny−ycosy) の ( ) の中の
第1項を y で微分して，−xcosy
第2項を y で微分して，−cosy
第3項を y で微分して，−cosy＋ysiny
で(2)式になります。
No.75180 - 2021/05/30(Sun) 10:55:57
★ 数学B / パスタ
写真の赤で括ったところの式変換がわかりません！
No.75068 - 2021/05/27(Thu) 20:35:27
☆ Re: 数学B / IT
１行目は、初項１、公比３、項数ｎの等比数列の和の公式を使っています。教科書で確認してください。

１行目から２行目は、共通因子３^n で括っています。
No.75069 - 2021/05/27(Thu) 20:50:53
★ 解析学 / 大学生
画像の問題の解答解説を教えてください。
No.75067 - 2021/05/27(Thu) 20:22:03
☆ Re: 解析学 / 関数電卓
(1)
与式より iz＝(e^(iw)＋e^(−iw))/(e^(iw)−e^(−iw))＝(e^(2iw)−1)/(e^(2iw)＋1)
∴ iz(e^(2iw)＋1)＝(e^(2iw)−1)
∴ e^(2iw)(1−iz)＝1＋iz，e^(2iw)＝(1＋iz)/(1−iz)＝(i−z)/(i＋z)
∴ 2iw＝log((i−z)/(i＋z)
∴ w＝(−i/2)log((i−z)/(i＋z))＝(i/2)log((i＋z)/(i−z))＝tan-1z　[証了]
(2)
(1)より tan-1z＝(i/2)(log(i＋z)−log(i−z)) の両辺を z で微分し，
　(tan-1z))’＝(i/2)(1/(i＋z)＋1/(i−z))＝(i/2)(2i/(i＋z)(i−z))＝1/(1＋z^2)　[証了]
No.75072 - 2021/05/27(Thu) 21:32:45
★ (No Subject) / マーブル
高校数学です。解き方が分からないので、教えて欲しいです、、

f(x)は区間[a,b]で連続な関数とする。
f(a)>a^2 かつ f(b)<b^2 の時、曲線y=f(x)とy=x^2はa<x<ｂの範囲で必ず交わることを示せ。
No.75063 - 2021/05/27(Thu) 17:47:35
☆ Re: / X
g(x)=f(x)-x^2
と置くと条件から
g(a)＞0,g(b)＜0
∴中間値の定理により、区間[a,b]において
方程式g(x)=0は少なくとも一つの解を持つ
ので問題の命題は成立します。
No.75064 - 2021/05/27(Thu) 18:19:34
★ 合成関数の微分 / koseii
一変数関数w＝f(Z)とz＝x＾２＋y＾2の合成関数w＝f (x^2+y^2)について
(1)導関数Wx、Wyをf’＝df/dzを用いて表せ
(2)YWx-XWyを計算せよ
(3)Y^2Wxx-2XYWxy+X^2Wyyを計算せよ

この三問の説明解答お願いします
No.75062 - 2021/05/27(Thu) 17:25:14
☆ Re: 合成関数の微分 / X
(1)
Wx=f'(∂/∂x)(x^2+y^2)
=2xf'
Wy=f'(∂/∂y)(x^2+y^2)
=2yf'

(2)
(1)の結果より
yWx-xWy=0

(3)
(1)の結果から
Wxx=(∂/∂x)(2xf')=f'+2x(∂/∂x)f'
=f'+(4x^2)f"
同様にして
Wyy=f'+(4y^2)f"
又
Wxy=(∂/∂y)(2xf')=4xyf"
∴(与式)={f'+(4x^2)f"}y^2-2xy・4xyf"+{f'+(4y^2)f"}x^2
=(x^2+y^2)f'
No.75065 - 2021/05/27(Thu) 18:26:17
★ 至急 / 山本光世
至急、途中計算と解答を教えていただきたいです。
宜しくお願いいたします。
No.75060 - 2021/05/27(Thu) 16:49:42
★ 解き方を教えてください / うさまる
高校数学です。解き方がわからないので、教えて欲しいです。

f(x)=√(2x+3), g(x)=1/x 定義域はともに0<x<3/2とする。
?@不等式f(x)<g(x)を解け
　?Ah(x)=(g⚪︎f)(x)とする。h(x)の逆関数h^-1(x)およびその定義域と値域を求めよ
No.75059 - 2021/05/27(Thu) 16:26:47
☆ Re: 解き方を教えてください / X
?@
f(x),g(x)の定義域に注意すると、問題の不等式の
両辺を二乗しても大小関係は変わらず
2x+3＜1/x^2
2x^3+3x^2＜1
2x^3+3x^2-1＜0
x^3+x^3+(-1)^3-3・x・x・(-1)＜0
(x+x-1)(x^2+x^2+1+x+x-x^2)＜0
(2x-1)(x^2+2x+1)＜0
(2x-1)(x+1)^2＜0
これと定義域とを合わせて
0＜x＜1/2

?A
条件から
h(x)=√(2/x+3)
ここで
0＜x＜3/2 (A)
より
2/3＜1/x
2/3＜1/x+3
∴√(2/3)＜h(x) (B)
(A)においてh(x)は単調減少であることに
注意すると、(A)(B)から
h^(-1)(x)の定義域は
√(2/3)＜x
h^(-1)(x)の値域は
0＜h^(-1)(x)＜3/2
No.75061 - 2021/05/27(Thu) 17:12:22
★ 回路 / 可能であれば...
すみません、数学から若干離れてるのと考えてた末残り1時間ちょっとになってしまいましたので可能であれば教えていただけますか。
No.75057 - 2021/05/27(Thu) 15:32:43
☆ Re: 回路 / 可能であれば...
すみません、ぎりぎり解決しました。
No.75058 - 2021/05/27(Thu) 15:58:41
★ 因数分解について / アイス
高校生です。未熟な質問ですみません。

たとえばx^2-xを因数分解せよ。という問題で、(x-√x)(x+√x)を答えとするのはどのような事情から間違いとされるのでしょうか。

このような問題では「有理数同士の演算で許されるのと同様の操作しか文字xに対して行ってはいけない」というような暗黙の了解があるのでしょうか？

あるいは、文字については1乗を最小単位として考える(√xのような1乗より小さいものは考えない)のでしょうか？
No.75054 - 2021/05/27(Thu) 13:13:44
☆ Re: 因数分解について / IT
おおむね後者ですが、

数１の教科書の「数と式」の「因数分解」のところ（最初の方にあると思います）に書いてありますので確認してください。
No.75066 - 2021/05/27(Thu) 20:02:11
★ (No Subject) / aiko
模範解答を教えてください。
No.75053 - 2021/05/27(Thu) 13:07:03
☆ Re: / ヨッシー
△ＡＤＦと△ＥＣＦにおいて
　条件より　ＡＤ＝ＣＥ
　∠ＦＡＤ＝∠ＦＥＣ
　∠ＡＤＦ＝∠ＥＣＦ　（いずれも、平行線に交わる直線の錯角）
以上より
　△ＡＤＦ≡△ＥＣＦ
　ＣＦ＝ＤＦ
となり、点Ｆは辺ＣＤの中点となる。
No.75055 - 2021/05/27(Thu) 13:16:42
☆ Re: / aiko
あざす！！！ありがとうございます！
No.75092 - 2021/05/28(Fri) 17:21:35
★ 漸化式と極限 / キリンさん
α＝12で合ってますか？4は違いますよね？
No.75051 - 2021/05/27(Thu) 10:35:56
☆ Re: 漸化式と極限 / ヨッシー
６から始まって単調増加なら４は違いますね。
初期値が４より大きいと１２
４のときのみ４
４より小さいと√内が負になります。
No.75056 - 2021/05/27(Thu) 13:22:46
★ 連続性 / キリンさん
ごちゃごちゃして分かりません。よろしくお願いします*_ _)
No.75046 - 2021/05/27(Thu) 01:27:34
☆ Re: 連続性 / らすかる
x=0のときe^sinx=1＜2=2cosx
x=π/2のときe^sinx=e＞0=2cosx
なのでy=e^sinxのグラフとy=2cosxのグラフは(0,π/2)のどこかで交わる。
よって与式は実数解をもつ。
No.75047 - 2021/05/27(Thu) 05:37:34
☆ Re: 連続性 / キリンさん
らすかるさん、ありがとうございますっ。
No.75050 - 2021/05/27(Thu) 09:16:21
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題についてです。
No.75041 - 2021/05/27(Thu) 00:34:15
☆ Re: / 数学苦手
このように解いてみましたが全くの間違いでしょうか？
No.75042 - 2021/05/27(Thu) 00:34:53
☆ Re: / ヨッシー
悪くないと思いますよ。
No.75045 - 2021/05/27(Thu) 00:44:40
★ 合成関数 / 藤沢
sinxや1/xは合成関数とみることができますか？
No.75034 - 2021/05/26(Wed) 21:20:03
☆ Re: 合成関数 / ヨッシー
意味があるかは別にして、ｕ＝ｘ を挟めば合成関数になります
　ｙ＝sinｕ，ｕ＝ｘ
　ｙ＝１／ｕ，ｕ＝ｘ
など。
No.75043 - 2021/05/27(Thu) 00:38:19
☆ Re: 合成関数 / 藤沢
わかりました
ありがとうございますっ！
No.75044 - 2021/05/27(Thu) 00:39:45
★ (No Subject) / aiko
何にも見えてきません。
まず、Bを新しい文字(efgh)表すことから止めたほうがいいんですかね、でもほかに置き方もわからないし…、助けたいただきたいです。
お願いします
No.75023 - 2021/05/26(Wed) 14:15:54
☆ Re: / aiko
こんな感じで考えてました
No.75024 - 2021/05/26(Wed) 14:16:17
☆ Re: / ヨッシー
ヒントにあるように、Ｂを
0 1
0 0
と置いたり、
0 0
1 0
と置いたときに、
　ＡＢ＝ＢＡ
から、Ａの成分のいくつかが決まる、または成分同士の
関係が見えてくるはずです。

同じ端末を使っている baskets という人が(1)は出来た、と言ってましたけど。
No.75026 - 2021/05/26(Wed) 14:28:25
★ 線形代数 / baskets
すいません(((

この一般化したやつが、Anの逆関数=
1/(n-2)
-1 1 1 … 1
1 -1 1 … 1
…
1 1 1 …-1

だと思ったんですけど、A4の逆関数と求めることができず、困っています。あってますか？？
あと、一般化するのって、帰納法で証明したらいいんですかね？？

No.75019 - 2021/05/26(Wed) 13:40:10
☆ Re: 線形代数 / baskets
あ、違う、なんというか、
A4=1/3×
-2 1 1 1
1 -2 1 1
1 1 -2 1
1 1 1 -2


ですか？？これどのように一般化したらいいんでしょうか
No.75020 - 2021/05/26(Wed) 13:52:14
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
Ａ2-1＝1/1×
0 1
1 0
Ａ3-1＝1/2×
-1 1 1
1 -1 1
1 1 -1
Ａ4-1＝1/3×
-2 1 1 1
1 -2 1 1
1 1 -2 1
1 1 1 -2
ここまでで規則が見えてきませんか？
対角成分とそれ以外で考えましょう。

帰納法では多分無理なので、
Ａn に Ａn-1 を実際に掛けてみて、単位行列に
なることを示すのが良いでしょう。
No.75021 - 2021/05/26(Wed) 13:59:30
☆ Re: 線形代数 / baskets
えっと、じゃあ、
一般化したらAnの逆行列は
1/(n-1)×
-(n-1) 1 1
1 -(n-1) 1
1 1 -(n-1)
…

的なことを仮定(？)して、それから、かけてみて、Eになったから、これでただしい的な説明をしたらいいですか？？
No.75022 - 2021/05/26(Wed) 14:13:49
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
方針はそれでいいですが、
一般式がちょっと違いますね。
No.75025 - 2021/05/26(Wed) 14:18:37
☆ Re: 線形代数 / baskets
ありがとうございました！
No.75052 - 2021/05/27(Thu) 13:04:18
★ 大学数学・微積 / 大学生
lim [n→∞]an=∞ならばlim[n→∞]a1+a2+…an/n=∞を示せ
この証明がわかりません。
任意のn>NとM>0に対してaN +1…an>M(n-N)となるところまではわかるのですがここからの展開を教えていただきたいです
No.75018 - 2021/05/26(Wed) 12:30:38
☆ Re: 大学数学・微積 / IT
> lim [n→∞]an=∞ならばlim[n→∞]a1+a2+…an/n=∞を示せ
lim[n→∞](a1+a2+…+an)/n ですか？　かっこは適切に使ってください。

> 任意のn>NとM>0に対してaN +1…an>M(n-N)となるところまではわかるのですが
意味不明です。
　N、Mは何ですか？、+1…anは何ですか？
　どうやって言えますか？　
これが使えると考えている（？）のはなぜですか？　ヒントでもあるのですか？

添え字は[]などを付けた方が紛れがないです。

a[N+1]+a[N+2}+...+a[n] などとする
No.75031 - 2021/05/26(Wed) 19:43:43
☆ Re: 大学数学・微積 / 大学生
式の表現が間違っていてすみません。
lim [n→∞]anが正の無限大に発散する時の定義として、任意の自然数M>0と、任意の自然数nに対して、ある自然数Nが存在してn>Nを満たす時、an>Mである。
と習ったのでこれを使うのだろうと考えました。
No.75033 - 2021/05/26(Wed) 21:15:40
☆ Re: 大学数学・微積 / IT
ていねいに書き直してみてください。
No.75036 - 2021/05/26(Wed) 21:32:12
☆ Re: 大学数学・微積 / 大学生
数列 {an}n∈N に対して数列 {bn}n∈N を
bn := n/1(a1 +a2 +···+an)
で定める。 lim an = ∞ となるときlim bn = ∞ であることを証明せよ。
何度もすみません。これでいかがでしょうか。.
No.75037 - 2021/05/26(Wed) 22:54:13
☆ Re: 大学数学・微積 / 大学生
>訂正します。　 bn := 1/n(a1 +a2 +···+an) でした
No.75038 - 2021/05/26(Wed) 22:59:56
☆ Re: 大学数学・微積 / IT
> 任意のn>NとM>0に対してaN +1…an>M(n-N)となるところまではわかるのですが

これもていねいに書いて欲しかったのですが。
No.75039 - 2021/05/26(Wed) 23:03:22
☆ Re: 大学数学・微積 / 大学生
lim[n→∞]an＝∞より、任意の自然数nに対してある自然数Nが存在し、n>Ｎならどんな自然数Mをとっても　an>Mが成立する。
よって
aN+1+…+an>M(n-N)が成り立つので、bn>1/n(a1+…+aN)+M(n-Ｎ)/n
これでいかがでしょうか。
No.75040 - 2021/05/26(Wed) 23:20:29
☆ Re: 大学数学・微積 / IT
> lim[n→∞]an＝∞より、任意の自然数nに対してある自然数Nが存在し、n>Ｎならどんな自然数Mをとっても　an>Mが成立する。
気持ちは分かりますが間違っていると思います。

MによってNが決まりますので　
「どんな自然数Mをとっても、ある自然数Ｎが存在し
　　n>Ｎなら　an>Mが成立する。」などとすべきだと思います。ＮをＮ(M) と明記することもあります。
テキストを確認してください。

bn>(1/n)(a1+…+aN)+M(n-Ｎ)/n
あるいは　bn>(a1+…+aN)/n + M(n-Ｎ)/n などと書くべきです。（添え字に[]を付けるのはおいといても）

後はnをさらに大きくして
　(a1+…+aN)/n の絶対値を（Mと比較して）十分小さくする。
　M(n-Ｎ)/n　を　大きくする。（例えばM/2 より大きくする）
No.75049 - 2021/05/27(Thu) 07:33:41
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