高校の数学?Vの内容で区分求積法の問題で質問です。
なぜ私の解答ではいけないのか教えてください。
【問題】
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))を求めよ。
【私の解答】
t = 2k-1とおく。
kが１からn までのとき
tは1から2n-1 までだから、
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
＝ lim＜n→∞＞Σ＜t=1〜2ｎ-1＞１/(n+ｔ)
＝ lim＜n→∞＞1/n×Σ＜t=1〜2ｎ-1＞１/(1+ｔ/n)
長方形の面積でt=1から2n-1をt=1からt=2nまでを求め、その後t=2nの場合を除けばよいから
ｘ＝ t/nだから
a = lim＜n→∞＞1/n×Σ＜t=1〜2ｎ＞１/(1+ｔ/n)-lim＜n→∞＞1/n×1/(1+2n/n)
= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜t=1〜2ｎ＞１/(1+ｔ/n)-lim＜n→∞＞1/n×1/(1+3)
= ∫＜０〜２＞１/(1+x)dx-lim＜n→∞＞1/n×1/(1+3)
= [log(1+x)]＜0~2> -0
= log３ ← これは誤りらしいです。正解は以下のように1/2 log３です。
【正解】
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k-０.５)/n)
ｈ= k-0.5とおく
kが１から n までのとき
ｈは1からn-0.5 までだから、
h/nつまりｘ＝h/nは1/(2n)〜１−1/(2n)まで変化する。
ｎ→∞のとき、1/(2n)→０ １−1/(2n)→０だから
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k-０.５)/n)
= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜h=1~2＞１/(1+2×h/n)
= ∫＜０〜１＞１/(1+2x)dx
= 1/2[log(1+2x)]＜0~１>
=1/2 log３
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No.87020 - 2023/12/26(Tue) 19:31:18
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK | | | 高校数学の「数学?Vの区分求積法」が文字が変換されないようでした。「数学３の区分求積法」にしてください。
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No.87021 - 2023/12/26(Tue) 19:35:17 |
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / IT | | | kが１からn までのとき
tは1から2n-1 までだから
a ＝ lim＜n→∞＞Σ＜t=1〜2ｎ-1＞１/(n+ｔ) の
＜t=1〜2ｎ-1＞は、間違いです。
ｔの値は奇数しかとりません。
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No.87022 - 2023/12/26(Tue) 20:19:42 |
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK | | | 確かにｔ＝２ｋ−１のように置き換えると、ｔの値は奇数しかとりませんので、誤りが納得できました。
勝手に置き換えると、自然数だったのに、奇数になるなど、値で過不足がでて答えが誤ることになるのですね。
Ｑ１
では、置換積分でも、ｔ＝２ｋ−１のように置き換えると、値で過不足がでて答えが誤ることになりそうですが、
なぜ置換積分ではｔ＝２ｋ−１のように置き換えていいのですか。
例えば、∫＜0~1>(２ｋ−１）ｄｋの計算を
ｔ＝２ｋ−１とおいて
∫＜0~1>(２ｋ−１）ｄｋ ＝ ∫＜-1~1>t(1/2)ｄt のように計算しますが、
Σのように、自然数だったのに、奇数になるなど、値で過不足がでててきても（？）計算してよいのはなぜですか？
Ｑ２
【正解】で
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
= lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k-０.５)/n)
を変形して
lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k-０.５)/n)＝
＝lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k/n)-1/n)
一番の右のー1/nはn→∞のとき、ー1/n→０だから
lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k/n)-1/n)
＝lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k/n)-０)
＝lim＜n→∞＞1/n×Σ＜k=1〜ｎ＞１/(1+2×(k/n)
= ∫＜０〜１＞１/(1+2x)dx
のようにしてもよいですか。
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No.87023 - 2023/12/26(Tue) 22:12:15 |
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / IT | | | 極限の取り扱いは、センシティブなので、高校レベルで分かり易くかつ正確に回答する自信がありません。
どなたかお願いします。
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No.87024 - 2023/12/26(Tue) 23:08:14 |
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / ast | | | その"【正解】" って本当に模範解答か? さすがに h まわりの記述がデタラメすぎる (私が採点者だったらこれが誰かの答案として出て来たら不正解にしてる) と思うが…….
# 仮に誰かが何かおかしな改変を加えていると仮定しても, 誤字とかちょっと直せば模範解答になるような記述とも思えない.
どう考えても通常の模範解答なら, (実質的な理由は IT さんの No.87022 の話と同じ根拠で) 「a=∫[0,2]dx/(1+x) - ∫[0,1]dx/(1+2x) (=log(3)/2)」とするだけだと思うが.
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No.87025 - 2023/12/26(Tue) 23:08:48 |
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK | | | a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
から「a=∫[0,2]dx/(1+x) - ∫[0,1]dx/(1+2x) (=log(3)/2)」
になる理由を教えてください。
【正解】" って本当に模範解答？
模範解答であるかわかりませんが、解説として以下のところに書いてありました。
https://www.youtube.com/watch?v=rID1u5GsiUE
で10:00 あたりにあります。
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No.87027 - 2023/12/26(Tue) 23:49:12 |
| ☆ Re: 数学IIIの区分求積法 / ast | | | > になる理由を教えてください。
MK さんのもとの答案の方針で, IT さんの指摘された部分を直せば (その式を結論とする) 模範解答になる, と指摘したつもりです. なのでとくに加えるべき説明はこちらからは無いだろうといまのところは考えています.
> 以下のところ
予想はしてたがゴミのような動画だった…… (変な動画がサジェストされるようになったりしたら嫌だなぁ
# 動画の投降者自身が「(h まわりの話は) 答案に書くな」と言ってることから正しい解説でないことは
# わかって述べてるのだろうという点はまだ良心があるほうかもしれないところかもしれんが
# その理由が「書かなければ採点者を誤魔化せる」というバッドノウハウな時点で擁護する気は失せた.
## 院生時代にTAで採点側を経験した友人同士で「バレバレだよなあ」と盛り上がったのを思い出す…….
## (「たとえ間違ったことは書いて無くても, 肝心の根拠が書いてない」とかだと本当にすぐにわかる.
## あと, 「何も書かないよりはましだろう」も実際は「書けば書くほどわかってないことを喧伝するようなもの」だったりはあるある話だった.)
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No.87033 - 2023/12/27(Wed) 01:26:29 |
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK | | | すみません。まだわかっていないのですが、
a = lim＜n→∞＞Σ＜k=1〜ｎ＞１/(n+(2k-1))
から「a=∫[0,2]dx/(1+x) - ∫[0,1]dx/(1+2x) (=log(3)/2)」
になる理由を教えてください。
また、Q1とQ2も教えてください。
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No.87035 - 2023/12/27(Wed) 11:25:58 |
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK | | | すみません。Σの前に1/nが入っていませんでした。
（入力ミスに気が付いて考えてくださっている方もいると思いますが）Σの前に1/nを入れて説明をお願い致します。
Q3
Q2の類題で私が勝手に考えた問題で以下の解答も可能であれば教えてください。
【問題】
ｐ = lim＜n→∞＞(1/n)Σ＜k=３〜(ｎ＋５)＞１/((k/n)+(2/n))を求めよ。
n→∞のとき 2/n→０だから
ｐ = lim＜n→∞＞(1/n)Σ＜k=３〜(ｎ＋５)＞１/((k/n)+(2/n))
= lim＜n→∞＞(1/n)Σ＜k=３〜(ｎ＋５)＞１/((k/n)+０)
で計算していいのですか。
また、k=３〜(ｎ＋５)のとき
k/nは3/n~(n+5)/nだから
n→∞のとき、3/n→０、 (n+5)/n→０なので
k/nは0~1だから、面積を考えると
ｐ = lim＜n→∞＞(1/n)Σ＜k=３〜(ｎ＋５)＞１/((k/n)+(2/n))
＝∫＜０〜１＞(1/(x+0))dx
＝∫＜０〜１＞(1/x)dx
=log1-log0
=0-?
誤りを直していただけると助かります。
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No.87037 - 2023/12/27(Wed) 12:08:16 |
| ☆ Re: 数学IIIの区分求積法 / ast | | | > まだわかっていない
やっぱり IT さんの指摘された内容をどこか曲解している可能性がたかそうですね.
# 必要なもの: "1 から 2n までの間のすべての奇数に関する和",
# に対して, "1 から 2n までのすべての自然数に関する和" では余分なものをたくさん足しすぎている (→足し過ぎた分はすべて除かなければならない)
# という事態を要約する文として
# > 自然数だったのに、奇数になる
# とはふつうは言いませんでしょう (なのでなにかしら引っかかる感じはしていた).
> で計算していいのですか。
Q3 ならば
Σ_[k=3,…,n+5] 1/(k+2) = Σ_[k=3,…,n+5] 1/k + (誤差)
と書けば明示的に
(誤差)=1/(n+6)+1/(n+7)-1/3-1/4
だから (誤差)/n → 0 は明らかで, それゆえに「していい」と判断できます. Q2 も同様のことを確認しなければいいかわるいか決められません (が, 誤差を明示的な式で表すのは困難でしょう, それでも挟み撃ちやイプシロンデルタ論法はこのような「定量的」な根拠を示すのに十分強力な武器なので, それでうまく処理できる可能性は考えてもいいはずです).
>n→∞のとき、3/n→０、 (n+5)/n→０なので
>k/nは0~1だから、
あいかわらず端点のきめ方が異常(ここが変なのは動画すら斜め読みしかしてないせい?)ですが……
p=∫_[0,1] dx/x = lim_[ε↓0] ∫_[ε,1]dx/x
が広義積分で高校範囲外であることを除けば
∫_[ε,1]dx/x → ∞ (as ε↓0)
と
Σ_[k=3,…,n+5] 1/(k+2) → ∞ (as n→∞)
は矛盾しませんので直すところはありません.
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No.87051 - 2023/12/27(Wed) 18:30:31 |
| ☆ Re: 数学?Vの区分求積法 / MK | | | 長い質問に答えていただきありがとうございました。
皆さんの丁寧な説明で理解できました。
他にQ3の質問にも答えていただきありがとうございました。
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No.87054 - 2023/12/27(Wed) 22:18:40 |
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