ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 大学二年、広義積分 / haruka

次の広義積分が収束する場合は収束することを示し、発散する場合は発散することを示すという問題が分からないため、教えて頂きたいです。

(１)∫[0→π]1/(1-cosx)dx
(２)∫[0→∞]x/((e^x)-1)dx

その直前の問題でcosxとe^xについてのマクローリン展開を求める問題が出ていたので(そちらは大丈夫でした)、それを利用するのかとも思いましたが全く分かりません…

ぜひよろしくお願い致します。

No.65095 - 2020/05/09(Sat) 12:50:42

☆ Re: 大学二年、広義積分 / 関数電卓

(2)
　1/(e^x－1)＝e^(－x)/(1－e^(－x))＝Σ[1,∞]e^(－nx)
より
　与式＝∫[0,∞]xΣ[1,∞]e^(－nx)dx
Σ と ∫ を交換して，
　　　＝Σ∫xe^(－nx)dx＝Σ{－∂/∂n∫e^(－nx)dx}＝Σ{－∂/∂n(1/n)}
　　　＝Σ[1,∞](1/n^2)
　　　＝π^2/6

No.65102 - 2020/05/09(Sat) 15:34:01

☆ Re: 大学二年、広義積分 / らすかる

(1)
x＞0のときcosx＞1-x^2/2から1/(1-cosx)＞2/x^2となり
∫[0～π](2/x^2)dxが発散するので、発散。

(2)
x＞0のときe^x＞1+x+x^2/2+x^3/6からx/(e^x-1)＜1/(1+x/2+x^2/6)となり
∫[0～∞]{1/(1+x/2+x^2/6)}dxが収束するので、収束。

No.65103 - 2020/05/09(Sat) 15:43:28

☆ Re: 大学二年、広義積分 / 通りすがり

> (2)
> Σ と ∫ を交換して，
広義積分の収束すらわかってない状態で、このような交換が出来るのはなぜですか？

No.65104 - 2020/05/09(Sat) 17:40:25

☆ Re: 大学二年、広義積分 / 関数電卓

　f_k(x)＝Σ[1,k]xe^(－nx)
とおくと，lim[k→∞]f_k(x) は x≧0 で f(x)＝x/(e^x－1) に一様収束するので，Σ と ∫ の交換が出来ます。そのことに触れなかったのは不手際でした。

No.65112 - 2020/05/09(Sat) 22:46:16

☆ Re: 大学二年、広義積分 / 通りすがり

非有界区間での積分で、一様収束するなら極限と交換が出来るという定理はないと思います。

No.65113 - 2020/05/09(Sat) 23:13:42

★ 通過領域 / Ran

円　x^2+y^2-2ax-4ay+10a-10=0で、aが1≦a≦2の範囲を通過するときの領域をDとする。

⑴この面積をもとめよ。
⑵C(3.6)として、P(s,t)がD内を動くとき、OP^2+CP^2の最小値と最大値をもとめよ。

と言う問題がわかりません
よろしかお願いします

No.65092 - 2020/05/09(Sat) 10:07:14

☆ Re: 通過領域 / らすかる

(1)
図を描くと、円はaによらず(3,1)と(-1,3)を通ることがわかる
よって求める領域の面積は
(a) 円(x-1)^2+(y-2)^2=5の内部かつ円(x-2)^2+(y-4)^2=10の外部
(b) 円(x-1)^2+(y-2)^2=5の外部かつ円(x-2)^2+(y-4)^2=10の内部
の二つを合わせたもの、つまり
(円(x-1)^2+(y-2)^2≦5の面積)+(円(x-2)^2+(y-4)^2≦10の面積)
-2(2円の共通部分の面積)です。
円(x-1)^2+(y-2)^2≦5の面積は5π
円(x-2)^2+(y-4)^2≦10の面積は10π
2円の共通部分は(3,1)と(-1,3)を結ぶ線分で二つの領域に分けると
上側は円(x-1)^2+(y-2)^2≦5のちょうど半分なので5π/2
下側は円(x-2)^2+(y-4)^2≦10の中心角90°の弧と弦ではさまれる部分なので
10π÷4-(√10)^2/2=5π/2-5
よって求める面積は
5π+10π-2(5π/2+5π/2-5)=5π+10
となります。

(2)
OP^2+CP^2=kとおくと
OP^2=s^2+t^2
CP^2=(s-3)^2+(t-6)^2なので
2s^2-6s+9+2t^2-12t+36=k
整理して
(s-3/2)^2+(t-3)^2=(2k-45)/4
つまり中心(3/2,3)半径√(2k-45)/2の円
最小は円(x-1)^2+(y-2)^2=5の内側に内接するときなので、
すべての円の中心がy=2x上にあるからy=2xと(x-1)^2+(y-2)^2=5の
交点を求めることで接点は(2,4)、半径は√5/2とわかり
√(2k-45)/2=√5/2からk=25
最大は円(x-2)^2+(y-4)^2=10の外側に内接するときで、
同様にy=2xと(x-2)^2+(y-4)^2=10の交点を求めることで
接点は(2+√2,4+2√2)、半径は√5/2+√10とわかり
√(2k-45)/2=√5/2+√10からk=45+10√2
従って
OP^2+CP^2の最小値はP(2,4)のときで25
OP^2+CP^2の最大値はP(2+√2,4+√2)のときで45+10√2

No.65100 - 2020/05/09(Sat) 15:17:08

★ 不等式と領域 / Qちゃん

実数x、yが

(x⌒2)/2-1/2≦y≦(x⌒2)/4

を満たしながら変化する。負でない定数mをとるとき、mx+yの最小値をmを用いて表せ。

z=mx+yとおきます。zが最小になるのは(-√2,1/2)を通るときか、y=(x⌒2)/2-1/2と接するときであると考えました。前者の場合、z=1/2-√2m、後者の場合、z=-(m⌒2)/2-1/2です。

-(m⌒2)/2-1/2≦1/2-√2mを計算すると、(m-√2)⌒2≧0となりますので、常に-(m⌒2)/2-1/2の方が最小値になると思ったのですが、答えは0≦m≦√2のとき-(m⌒2)/2-1/2で、m≧√2のときは1/2-√2mとなってます。答えの方が間違えているように思えるのですが、私はどこを考え違いしているのでしょうか？

No.65087 - 2020/05/09(Sat) 08:19:49

☆ Re: 不等式と領域 / ヨッシー

>zが最小になるのは(-√2,1/2)を通るとき
これが誤りで、
zが最小になるのは(＋√2,1/2)を通るとき
です。

No.65088 - 2020/05/09(Sat) 08:35:49

☆ Re: 不等式と領域 / らすかる

例えばm=2のとき、確かに-m^2/2-1/2の方が小さいですが、
それは点(-2,3/2)でy=x^2/2-1/2に接するときの値です。
でも(-2,3/2)は条件の不等式を満たしませんので不適です。
つまり「-m^2/2-1/2と1/2-(√2)mの小さい方」という考え方ではダメで、
接点が(-√2,1/2)より左になる場合は1/2-(√2)m、
そうでないとき-m^2/2-1/2としなければいけないということです。

No.65089 - 2020/05/09(Sat) 08:37:53

☆ Re: 不等式と領域 / らすかる

＞ヨッシーさん
そこは間違っていないと思います。
m＞0のとき(-√2)m+(1/2)＜(√2)m+(1/2)ですから
+√2の方は最小値になりませんね。

No.65090 - 2020/05/09(Sat) 08:46:51

☆ Re: 不等式と領域 / Qちゃん

回答してくださりありがとうございます。

x、yが不等式を満たすことから、xは-√2≦x≦√2でなければならないことから、z=mx+yとy=-(x⌒2)/2-1/2からyを消去したxの二次方程式は-√2≦x≦√2で重解を持たなければならないという理解でよろしいでしょうか？

No.65110 - 2020/05/09(Sat) 20:33:25

☆ Re: 不等式と領域 / らすかる

はい、それでOKです。

No.65111 - 2020/05/09(Sat) 21:48:47

☆ Re: 不等式と領域 / ヨッシー

傾きは　－ｍ　でしたね。
失礼しました。

No.65114 - 2020/05/09(Sat) 23:27:22

☆ Re: 不等式と領域 / Qちゃん

ありがとうございました。今回も助かりました。

No.65167 - 2020/05/11(Mon) 13:02:30

★ (No Subject) / ハレ

4枚のカードA,B,C,Dを並べて文字列を作る。はじめA,B,C,Dがこの順に並んでいる。この最初の文字列から無作為にいずれか2枚を選んで位置を入れ替え異なる文字列を作る層さえお行う

?@操作を2回行うとき異なる文字列の並べ方は何通りか
?A操作を3回行うとき異なる文字列の並べ方は何通りか

解説
?@操作を2回行うとき異なる文字列はABCD,CABD,DACB,BCAD,BDCA,BADC,DBAC,CDAB,CBDA,DCBA,ADBC,ACDBの12通りである

?A操作を3回行うとき異なる文字列は?@より少なくとも12通りある。?@の12通りをグループＡとすると1回の操作でグループＡの文字列がグループＡの文字列になるものは存在しない
したがって操作を3回行った時異なる文字列の並び方は12通り

?Aの解説がよくわかりません…
疑問?@
なんで?@の12通りをグループＡとすると1回の操作でグループＡの文字列がグループＡの文字列になるものは存在しないと言い切れるのでしょうか。確かにすべての場合を書き出せば確実にこれが正しいかどうか言い切れますが12×4Ｃ2通りの場合を書き出すって絶対無理…。

疑問?A
したがって操作を3回行った時異なる文字列の並び方は12通り
って4枚のカードの並べ方の総数-グループＡに含まれるカードの並び方の総数＝24－12＝12通りって意味なのでしょうか？

No.65084 - 2020/05/09(Sat) 03:49:26

☆ Re: / IT

疑問?@について
大学で群論を習っておられるのなら置換群の性質として
置換が偶置換と奇置換に分かれることから言えることですが
高校数学（大学入試まで）であれば、おっしゃるとおり、そんなに簡単に言えない気がします。

（４つの要素の置換の場合、うまくグループ分けして説明すれば、一般的な場合よりは簡単に説明できるかも知れませんが）

出典は何ですか？

下記などが参考になります。
https://mathtrain.jp/permutation

No.65085 - 2020/05/09(Sat) 05:40:21

☆ Re: / ハレ

この問題2017年の立命館大学の入試問題(文系）なんですが赤本の解説にはこう書いてありました。?@の疑問は大学の数学の知識がないと無理っていうならこの問題どう解けばいいのでしょうか。あと疑問?Aに関しての私の解釈はあっているのでしょうか？間違っているのでしょうか？

No.65091 - 2020/05/09(Sat) 09:58:37

☆ Re: / IT

疑問?A
>したがって操作を3回行った時異なる文字列の並び方は12通り
って
>4枚のカードの並べ方の総数-グループＡに含まれるカードの並び方の総数＝24－12＝12通りって意味なのでしょうか？

もう少し丁寧に書くと、
4枚のカードの並べ方の総数≧グループＡに含まれるカードの並び方の総数+操作を3回行った時異なる文字列の並び方の総数
∴　24-12≧操作を3回行った時異なる文字列の並び方の総数

一方、　操作を3回行った時異なる文字列の並び方の総数≧12
よって、操作を3回行った時異なる文字列の並び方の総数＝12

No.65094 - 2020/05/09(Sat) 11:22:17

☆ Re: / 黄桃

その解答は無理があるように思います。
（?@より少なくとも12通り、の根拠も曖昧。3回目の操作によって数が減る可能性がないことはそれほど明らかではないし、おっしゃるように2回目と3回目は全部異なるというのを根拠なく断定している）
文系の数学なら、きちんと（上手に）数えられるか、がポイントなのでしょう。
答だけ要求される問題なら、この解答のように「多分こう」でも合ってればそれでいいかもしれませんが、模範解答としてはまずそうです。

12x4C2通りの場合をチェックするのが確実です。例えば、次のように考えてはどうでしょうか。

?@で、最初がABCDの場合に2回操作したらどうなるかのリストが
ABCD,CABD,DACB,BCAD,BDCA,BADC,DBAC,CDAB,CBDA,DCBA,ADBC,ACDB　(*)
と分かっている

では、最初がABCDでなく、例えば、BACD だったら、同じように2回操作すると（Aと思ってたのをB, Bと思ってたのをAとみればいいので）、(*)でA,Bを入れ替えたものにすればいい。
つまり、BACD から2回操作したものは(*)でA,Bを入れ替えたものだから、
BACD, CBAD, DBCA, ACBD, ADCB, ABDC, DABC, CDBA, CADB, DCBA, BDAC, BCDA
になる。これをアルファベット順に並べ替えると
ABDC, ACBD, ADCB, BACD, BCDA, BDAC, CADB, CBAD, CDBA, DABC, DBCA, DCBA (**)
となる。 (**)はABCDから最初にA,Bを入れかえ、その後2回の操作をした合計3回の操作をした結果のすべてである。

同じことを4個から2個取る残りの組合せの場合について調べればいい。新しいのがでてくるかどうかだけ調べればいいので、A,Cを入れ替える場合は (*)でA,Cを入れ替えたもの、
CBAD, ACBD,...　
を順に見ていって新しいリスト(**)にあるかどうかチェックするだけで済む（チェックしやすいように(**)は辞書順に並べた）。

最終的には新しいものは出てこず、(**)だけなので、答は12通り。

＃答だけ書く形式なら、２つか３つやった段階でもう新しいのはでてこないので、これで全部と推測し、12通りとしてしまうでしょう。

No.65097 - 2020/05/09(Sat) 13:59:50

★ 数3の極限 / s

a<0でlim[n→∞](1/n!)a^n=0を示したいです。
証明）
(iii)a<0のとき

　(1/n!)a^n=(1/n!)×(-a)^n×(-1)^n
　ここで0<-aであるから(i)(a>0の時は示せました)より
lim[n→∞](1/n!)×(-a)^n=0
よってlim[n→∞](1/n!)×(-a)^n×(-1)^n
　　　　=lim[n→∞](1/n!)a^n=0

最後のよって以下が怪しいです。
(-1)^nは振動してしまうので無視できない気がするのですが
どのようにしたら0に収束することを言えるのでしょうか？
回答よろしくお願いします。

No.65078 - 2020/05/09(Sat) 01:25:38

☆ Re: 数3の極限 / らすかる

怪しくはないですが、

> よってlim[n→∞](1/n!)×(-a)^n×(-1)^n
> 　　　　=lim[n→∞](1/n!)a^n=0
は
> よってlim[n→∞](1/n!)a^n
> 　　　　=lim[n→∞](1/n!)×(-a)^n×(-1)^n=0
とすべきでしょう。

0×1も0×-1も0ですから問題ありません。

No.65081 - 2020/05/09(Sat) 02:27:27

☆ Re: 数3の極限 / s

返信ありがとうございます。
そうすると、nが整数の時は0に収束するのですね。
もし、nが任意の実数をとる時は虚数単位iが出てくると思うのですがその場合の極限はどうなるのでしょうか？

No.65082 - 2020/05/09(Sat) 02:38:20

☆ Re: 数3の極限 / らすかる

絶対値が0に収束すれば元の値も0に収束しますので、同じです。

No.65083 - 2020/05/09(Sat) 03:05:38

☆ Re: 数3の極限 / s

ありがとうございます
納得しました

No.65101 - 2020/05/09(Sat) 15:23:23

★ 独立性と相関関係 / ドンキー

2つのつぼA、Bに3つのボールを投げ入れる。
つぼAに入ったボールの数をX、ボールの入っているつぼの数をYとする。このとき、X、Yの同時確率分布関数を求めよ。またX、Yの独立性と相関関係はどうなっているか？

答　同時分布略　独立でないが、無関係である

略解にはX=0,Y=1について載っていて
P(X=0,Y=1)=1/8
P(X=0)=1/8
P(Y=1)=1/4
とあります。
しかしいくら計算してもこれになりません。
起こる事象としては(A,B)でAに入ったボールの数とBに入ったボールの数を表すことにすると
(0.0)
(0.1)
(1.0)
(1.1)
(2,0)
(0,2)
(1.2)
(2.1)
(3.0)
(0.3)
の10通りなので
P(X=0,Y=1)=6/10
P(X=0)=4/10
P(Y=1)=6/10
となると思うのですが、計算が合いません。
ちなみにこれで共分散を計算すると0にならないので無関係であることも言えません。
ご指摘お願いします。

No.65059 - 2020/05/08(Fri) 15:54:39

☆ Re: 独立性と相関関係 / IT

３つのボールはそれぞれAまたはBのつぼのどちらかに入る。
その確率は、等しいという前提だと思います。
P(X=0,Y=1)　は、３つともBに入る確率なので　(1/2)^3=1/8 です。

No.65062 - 2020/05/08(Fri) 18:58:55

☆ Re: 独立性と相関関係 / ドンキー

返信ありがとうございます。

どうも腑に落ちませんね。

> ３つのボールはそれぞれAまたはBのつぼのどちらかに入る。
> その確率は、等しいという前提だと思います。

両方外れる（つまり、(0,0)になる）ことはないということですね。
その考えで行くと最終的状態は
(3.0)(2.1)(1.2)(0.3)
であるが、(2.1)は
(1.0)→(2.0)→(2,1)
(1,0)→(2,0)→(2,1)
(0,1)→(1,1)→(2,1)
となるから3通りある、ということですかね？
確率は式で書くと　3_C_1*(1/2)^3=3/8

これだと
P(X=0,Y=1)=#{(3,0)}/8=1/8
P(X=0)=#{(3,0)}/8=1/8
P(Y=1)=#{(3,0),(0,3)}/8=1/4
ということですか。

正直全く腑に落ちないので、同種の問題が出ても解ける気がしません。

No.65072 - 2020/05/08(Fri) 22:42:20

☆ Re: 独立性と相関関係 / 通りすがり

確率の問題なのに、確率を考えないで場合分けをすることが良くないですね。
～通りだからといって確率が計算できるのは、すべての場合分けが同じ確率でないといけません。
問題文も誤解を招くような記述なのは、良くないと思いますが。

確率1/2でAに入る。確率1/2でBにはいるとしましょう。

(a.b)はAにa個、Bにb個入った状態とすると、
1回目投げ終わったところで
(1,0): 確率1/2
(0,1): 確率1/2
です。
2回目を投げると、
(1,0)→(2,0): 確率1/4
(1,0)→(1,1): 確率1/4
(0,1)→(1,1): 確率1/4
(0,1)→(0,2): 確率1/4
です。つまり、2回投げた結果け考えると、
(2,0): 確率1/4
(1,1): 確率1/2
(0,2): 確率1/4
を意味します。（3通りに場合分けされているからといって、確率が1/3ずつにはなっていません。）
3回目を投げると、
(2,0)→(3,0): 確率1/8
(2,0)→(2,1): 確率1/8
(1,1)→(2,1): 確率1/4
(1,1)→(1,2): 確率1/4
(0,2)→(1,2): 確率1/8
(0,2)→(0,3): 確率1/8
となるので、3回投げ終わった状態だと
(3,0): 確率1/8
(2,1): 確率3/8
(1,2): 確率3/8
(0,3): 確率1/8
です。

この場合は、Aに入る確率とBに入る確率が同じなので、全部列挙すれば、
(1,0)→(2,0)→(3,0)
(1,0)→(2,0)→(2,1)
(1,0)→(1,1)→(2,1)
(1,0)→(1,1)→(1,2)
(0,1)→(1,1)→(2,1)
(0,1)→(1,1)→(1,2)
(0,1)→(0,2)→(1,2)
(0,1)→(0,2)→(0,3)
全て確率は1/8となって、例えば(2,1)になる確率は3/8などと数えて計算できます。

No.65076 - 2020/05/09(Sat) 00:26:52

☆ Re: 独立性と相関関係 / ドンキー

返信ありがとうございます。

> 問題文も誤解を招くような記述なのは、良くないと思いますが。

問題文は原文となります。

今回の場合は「投げ入れる」だったので、
（1）つぼAに入る
（2）つぼBに入る
（3）どちらのつぼにも入らない
というのがあると考えたのですが、略解では（3）の場合は怒らないとしているのですね。

確かに私の誤解が招いたミスではありますが、それでも腑に落ちないですね・・・
問題文に「ボールはどちらかのつぼに入るものとする」などと書いておいてほしいものです。

問題に文句を言っても仕方ないので、この問題はこれで解決できたということにします。

ご指摘の通りに計算して同時分布を求めて計算した結果は、答えと同じになりました。

No.65099 - 2020/05/09(Sat) 14:40:45

☆ Re: 独立性と相関関係 / IT

> 今回の場合は「投げ入れる」だったので、
> （1）つぼAに入る
> （2）つぼBに入る
> （3）どちらのつぼにも入らない
> というのがあると考えたのですが、略解では（3）の場合は怒らないとしているのですね。
>
> 確かに私の誤解が招いたミスではありますが、それでも腑に落ちないですね・・・
> 問題文に「ボールはどちらかのつぼに入るものとする」などと書いておいてほしいものです。

おっしゃるとおりだと思います。
私も最初（略解を見る前）は、つぼに入らない場合もあると考えました。
いずれにしても、それぞれのつぼに入る確率・どちらにも入らない確率を明記しないとダメですね。

No.65107 - 2020/05/09(Sat) 18:49:53

★ (No Subject) / あい

この問題の答えを教えてください。

No.65047 - 2020/05/08(Fri) 12:29:45

☆ Re: / あい

これです

No.65048 - 2020/05/08(Fri) 12:30:18

☆ Re: / X

(1)
Cの方程式から
y'=3x^2+a (A)
∴C上の点(t,t^3+at)における接線の方程式は
y=(3t^2+a)(x-t)+t^3+at
∴これが点Pを通るとすると
-3p=(3t^2+a)(p-t)+t^3+at
整理して
2t^3-3pt^2-(a+3)p=0 (B)
よって題意を満たすためには
任意のp＞0に対し、tの3次方程式(B)が
実数解を二つのみ持てばよい
ことが分かります。
ここで
f(t)=2t^3-3pt^2-(a+3)p
と置くと
f'(t)=6t^2-6pt
=6t(t-p)
∴f(t)は
t=0で極大、t=pで極小
となるので題意を満たすためには
f(0)=0又はf(p)=0
つまり
-(a+3)p=0 (C)
又は
2p^3-3p^3-(a+3)p=0 (D)
(C)のとき
a=-3
(D)のとき
p^3+(a+3)p=0
p(p^2+a+3)=0
∴題意を満たすaの値は存在しません。
以上から求めるaの値は
a=-3

(2)
(1)の結果から問題の二本の接線の
Cとの接点のx座標をtとすると
2t^3-3pt^2=0
∴t=0,3p/2
∴(A)より題意を満たすためには
-3{3(3p/2)^2-3}=-1
これより
(3p/2)^2-1=1/9
(3p/2)^2=10/9
∴p=(2/9)√10

No.65051 - 2020/05/08(Fri) 12:47:30

☆ Re: / あい

p^3+(a+3)p=0
p(p^2+a+3)=0
∴題意を満たすaの値は存在しません。

をみたすaはどうして存在しないのですか？
a=-p^2-3はダメなのでしょうか？

No.65055 - 2020/05/08(Fri) 14:28:12

☆ Re: / X

条件からaはpによらない値でなければいけません。
ですので
a=-p^2-3
は不適です。

No.65058 - 2020/05/08(Fri) 14:59:49

☆ Re: / あい

なるほど！ありがとうございました！

No.65061 - 2020/05/08(Fri) 16:55:26

★ (No Subject) / あい

この問題の答えを教えてください。

答えだけでもいいです、(できたら考え方も)

No.65046 - 2020/05/08(Fri) 12:27:52

☆ Re: / ヨッシー

(1)
１辺が直径となる２点を選ぶと、残り18個の点いずれを選んでも
直角三角形になるので、直径１本につき、直角三角形は18個できます。
直径は　Ｐ0Ｐ10、Ｐ1Ｐ11、Ｐ2Ｐ12・・・Ｐ9Ｐ19 の10本あるので、
　10×18＝180（個）
(2)
ある点と、その点から時計回りにｎ個（ｎ＝２～９）進んだ点を結び、
元の点から１～n-1個進んだ点を結ぶと鈍角三角形ができます。
ある点がＰ0 とすると、
　ｎ＝２のとき：Ｐ0Ｐ2Ｐ1
　ｎ＝３のとき：Ｐ0Ｐ3Ｐ1、Ｐ0Ｐ3Ｐ2
　ｎ＝４のとき：Ｐ0Ｐ4Ｐ1、Ｐ0Ｐ4Ｐ2、Ｐ0Ｐ4Ｐ3
　　・・・
　ｎ＝９のとき：Ｐ0Ｐ9Ｐ1、・・・、Ｐ0Ｐ9Ｐ8
の合計　１＋２＋３＋・・・＋８＝３６（個）の鈍角三角形ができます。
ある点がＰ1～Ｐ19 のときも同様に36個ずつの鈍角三角形ができるので、
　20×36＝720（個）
(3)
(2) の例で挙げた
　ｎ＝２のとき：Ｐ0Ｐ2Ｐ1
　ｎ＝３のとき：Ｐ0Ｐ3Ｐ1、Ｐ0Ｐ3Ｐ2
　ｎ＝４のとき：Ｐ0Ｐ4Ｐ1、Ｐ0Ｐ4Ｐ2、Ｐ0Ｐ4Ｐ3
　　・・・
　ｎ＝９のとき：Ｐ0Ｐ9Ｐ1、・・・、Ｐ0Ｐ9Ｐ8
の、Ｐ0Ｐ3Ｐ1 とＰ0Ｐ3Ｐ2、Ｐ0Ｐ4Ｐ1 とＰ0Ｐ4Ｐ3、Ｐ0Ｐ9Ｐ1 とＰ0Ｐ9Ｐ8 などは
合同な三角形なので、
　ｎ＝２のとき１個
　ｎ＝３のとき１個
　ｎ＝４のとき２個
　ｎ＝５のとき２個
　　・・・
　ｎ＝９のとき４個
の合同でない鈍角三角形ができるので、
　１＋１＋２＋２＋・・・＋４＝２（１＋２＋３＋４）＝２０（個）

No.65053 - 2020/05/08(Fri) 13:29:38

☆ Re: / あい

⑵って、

20C3(すべての三角形)-180(直角三角形) をに2で割ったものではないんですか？？

鋭角三角形と鈍角三角形が同じ確率になる勘がするのですが…。

No.65128 - 2020/05/10(Sun) 14:48:23

☆ Re: / ヨッシー

図は、ある辺を１つ決め、残り18個の点の内
　鈍角三角形を○、直角三角形を●、鋭角三角形を×
で示したものです。

鈍角三角形のほうが断然多いのがわかります。

No.65158 - 2020/05/11(Mon) 05:49:14

★ 解説を見ても、なぜこのような立式になるのかがわかりませんでした。 / 田中隆

大学生です。算数、数学が、とても苦手でです。
下記問題と解説を添付します。解説を更にわかりやすく解説して頂きたいです。
なぜこの計算式になるか、ご教示頂けますと幸いです。

ある会社の従業員は、部門Xまたは部門Yのいずれかに属し、部門Xには部門Yの 2倍以上の従業員がいます。（算術）平均給与は、部門Xの従業員が25,000 ドル、部門Yの従業員が35,000ドルです。次のうちどれが会社の全従業員の平均給与となり得るでしょうか？

そのような金額をすべて記入してください。

(A) $26,000
(B) $28,000
(C) $29,000
(D) $30,000
(E) $31,000
(F) $32,000
(G) $34,000

解説

平均給与は（2/3）×（25,000ドル）+（1/3）×（35,000ドル）= 28,333ドル以下になるはずですから、答えは(A)と(B)です。すぐに立式かつ計算できた方はそれで良いと思います（より難しい問題にチャレンジしましょう）。

もし立式できなかったとしても、以下の考えで答えとなり得るのは(A) (B) (C)だとわかります。部門Xには、部門Yに比べて2倍の従業員がいるということですから、平均給与は35,000ドルより25,000ドルに近いことが分かります。この情報に基づき、30,000ドル以上の選択肢は消去できます。

(C)を削除するには結局立式が必要ですが、1/2の確率（(C)を選ぶか選ばないか）で正解できることになります。どうしても時間が足りなくなってしまった場合はこのように直感に頼ることも必要です。

No.65041 - 2020/05/08(Fri) 08:39:00

☆ Re: 解説を見ても、なぜこのような立式になるのかがわかりませんでした。 / ヨッシー

まず、部門Ｘの人数が、部門Ｙのちょうど２倍の時を考えましょう。
２人と１人でも良いし、４人と２人でも、１０人と５人でも良いですが、２パターンぐらい選んで計算してみましょう。
例えば、２人と１人の場合と、１６人と８人の場合を選んでみます。

２人と１人の場合
　部門Ｘの給与の合計：25,000×2＝50,000
　部門Ｙの給与の合計：35,000×1＝35,000
　全員の給与の合計：50,000＋35,000＝85,000
　全体の平均：85,000÷3＝28,333
１６人と８人の場合
　部門Ｘの給与の合計：25,000×16＝400,000
　部門Ｙの給与の合計：35,000×8＝280,000
　全員の給与の合計：400,000＋280,000＝680,000
　全体の平均：680,000÷24＝28,333
これらを、計算を１つ１つ答えを出さずに、一気に答えまで持っていくと
２人と１人の場合
　{(25,000×2)＋(35,000×1)}÷3
　＝(25,000×2/3)＋(35,000×1/3)
１６人と８人の場合
　{(25,000×16)＋(35,000×8)}÷24
　＝(25,000×16/24)＋(35,000×8/24)
　＝(25,000×2/3)＋(35,000×1/3)
となり、すべて、
　(25,000×2/3)＋(35,000×1/3)
で表されることがわかります。

実際は、部門Ｘ(給料 25,000)の人がもう少し増える場合があるので、平均は、28,333 よりも、もう少し減る可能性があります。

No.65042 - 2020/05/08(Fri) 09:39:06

☆ Re: 解説を見ても、なぜこのような立式になるのかがわかりませんでした。 / 田中隆

> まず、部門Ｘの人数が、部門Ｙのちょうど２倍の時を考えましょう。
> ２人と１人でも良いし、４人と２人でも、１０人と５人でも良いですが、２パターンぐらい選んで計算してみましょう。
> 例えば、２人と１人の場合と、１６人と８人の場合を選んでみます。
>
> ２人と１人の場合
> 　部門Ｘの給与の合計：25,000×2＝50,000
> 　部門Ｙの給与の合計：35,000×1＝35,000
> 　全員の給与の合計：50,000＋35,000＝85,000
> 　全体の平均：85,000÷3＝28,333
> １６人と８人の場合
> 　部門Ｘの給与の合計：25,000×16＝400,000
> 　部門Ｙの給与の合計：35,000×8＝280,000
> 　全員の給与の合計：400,000＋280,000＝680,000
> 　全体の平均：680,000÷24＝28,333
> これらを、計算を１つ１つ答えを出さずに、一気に答えまで持っていくと
> ２人と１人の場合
> 　{(25,000×2)＋(35,000×1)}÷3
> 　＝(25,000×2/3)＋(35,000×1/3)
> １６人と８人の場合
> 　{(25,000×16)＋(35,000×8)}÷24
> 　＝(25,000×16/24)＋(35,000×8/24)
> 　＝(25,000×2/3)＋(35,000×1/3)
> となり、すべて、
> 　(25,000×2/3)＋(35,000×1/3)
> で表されることがわかります。
>
> 実際は、部門Ｘ(給料 25,000)の人がもう少し増える場合があるので、平均は、28,333 よりも、もう少し減る可能性があります。

ありがとうございます！
非常に分かりやすい解説で助かりました！

No.65223 - 2020/05/12(Tue) 22:51:53

★ 体積 / ふゆ

3点a(2,1,0)b(2,-1,0),c(1,0,1)を頂点とする三角形の板をz軸の周りに一回転させた時に板が通過する点全体の作る立体の体積を求めよ。

解説頂けると嬉しいです。

No.65037 - 2020/05/08(Fri) 03:18:18

☆ Re: 体積 / らすかる

外側(z軸から最も遠いところ)は(1,0,1)と(2,1,0)をつないだ線分を回転したもの
内側(z軸に最も近いところ)は(1,0,1)と(2,0,0)をつないだ線分を回転したもの
z軸から(1,0,1)までの距離は1
z軸から(2,1,0)までの距離は√5
z軸から(2,0,0)までの距離は2
なので
上底半径1、下底半径√5、高さ1の円錐台の体積から
上底半径1、下底半径2、高さ1の円錐台の体積を引けばよい。
よって求める体積は
{(1+√5+5)-(1+2+4)}(π/3)=(√5-1)π/3

# 円錐台の体積の公式 (r1^2+r1r2+r2^2)πh/3 を使いました。

No.65038 - 2020/05/08(Fri) 05:38:50

☆ Re: 体積 / ふゆ

ありがとうございます！
問題ではそのように解答しても問題ないでしょうか？
また自分はz=tで切断した時の板の交点の座標を求めてから、最長距離と最短距離を考えて断面積を求め、積分すると答えがπ/3になったのですがどこがおかしいでしょうか？

No.65052 - 2020/05/08(Fri) 12:54:00

☆ Re: 体積 / らすかる

> 問題ではそのように解答しても問題ないでしょうか？
基本的には問題ないはずですが、
積分の学習途中であって積分の練習として出された問題の場合は
期待されている解き方でないのでNGとなるかも知れません。

> また自分はz=tで切断した時の板の交点の座標を求めてから、最長距離と最短距離を
> 考えて断面積を求め、積分すると答えがπ/3になったのですがどこがおかしいでしょうか？
計算式を書いてみて下さい。
答えだけ書いてどこがおかしいかと聞かれても誰にもわかりません。
また、私の答えが間違っている可能性もあります。

No.65057 - 2020/05/08(Fri) 14:34:48

★ サイコロの確率の問題 / たっちゃん

3年の女子高生です。
次のサイコロの確率の問題の解法を、どなたか教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

サイコロを4個同時に振り、任意の出目2つ選び、その和から作れる数の組み合わせををxとyとする（x≦y）。
（例；出目が「1」「2」「3」「4」の場合、「1」「2」と「3」「4」で3と7、「1」「3」と「2」「4」で4と6、「1」「4」と「2」「3」で5と5より、（x,y）=（3,7）,（4,6）,（5,5））

（1）（x,y）=（2，3）が含まれる場合の数を求めよ。

（2）x=2となる場合が含まれる場合の数を求めよ。

（3）xまたはyが、2または3または4となる場合が含まれる場合の中で、xが2、xまたはyが3、xまたはｙが4となる場合が含まれる場合の、それぞれの期待値を求めよ。

No.65029 - 2020/05/07(Thu) 23:10:21

☆ Re: サイコロの確率の問題 / IT

＞（1）（x,y）=（2，3）が含まれる組み合わせの数を求めよ。

「組み合わせの数」という表現は問題に書いてあるとおりですか？　私の読解力不足かもしれませんが意味が不明確のような気がします。

出典は何ですか？

No.65031 - 2020/05/07(Thu) 23:44:51

☆ Re: サイコロの確率の問題 / たっちゃん

すいません、学校で出されたので問題文違ってるかもしれません。。。
場合の数だったと思うので修正しました、よろしくお願いします。

No.65032 - 2020/05/07(Thu) 23:56:30

☆ Re: サイコロの確率の問題 / IT

（１）　2=1+1,3=1+2 なので
サイコロの出方は、１が３つで２が１つなので
４個から１個選ぶ４通り。

（２）も（１）と同じようにできます。自分で出来るところまでやってみてください。（問題文で「場合」の使い方がおかしい気がしますが）

（３）　問題の意味が良く分かりません。出題を正しく写しておられますか？

No.65033 - 2020/05/08(Fri) 00:00:00

☆ Re: サイコロの確率の問題 / たっちゃん

同じようにやったら（３）までできました！
問題文わかりにくくてすみません。。。
ありがとうございました。

No.65040 - 2020/05/08(Fri) 08:18:52