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★ 数学?T / ぽちゃぽん
別々に有理化したら6分の√15になってしまいました…　 明日テストなのに…至急助けてくださいぃ（泣） No.58466 - 2019/05/23(Thu) 01:09:32 ☆ Re: 数学?T / らすかる 普通の通分です。 1/a-1/b=b/(ab)-a/(ab)=(b-a)/(ab) No.58467 - 2019/05/23(Thu) 01:45:40

★ ⑵からお願いします！ / もも
⑵のやり方教えてください！！ お願いします！ No.58459 - 2019/05/22(Wed) 21:55:07 ☆ Re: ⑵からお願いします！ / まうゆ まずPの座標をx=aでおきC上の点の座標をx=bとおき接線を求める。次にその接線にPを代入する。やることは等式が成り立つようなbが1つになるようなaを求めること 因数分解し2次式をfとすると(b-2で割れる)条件はfがb=2で重解 ,fが虚数解をもつ No.58465 - 2019/05/22(Wed) 23:46:26

★ (No Subject) / ゆい橋
写真の計算の仕方なのですが、はてなしてあるところのやり方がわかりません。 詳しく教えてください！ No.58457 - 2019/05/22(Wed) 21:05:56 ☆ Re: / ヨッシー (2) より 　p^2＝14−q これを (1) の2カ所の p^2 に代入して、 　58−7{(14−q)＋q}＋(14−q)q＝0 展開して 　58−98＋14q−q^2＝0 整理して 　q^2−14q＋40＝0 となります。 　 No.58458 - 2019/05/22(Wed) 21:12:35

★ 整数 / 9の倍数

{1} xy=x+y (x≦y) をとくと、(x,y) = (2,2) {2} xyz=x+y+z (x≦y≦z) をとくと、(x,y,z)=(1,2,3) 問題はここで終わっていたが、 {3} xyzp=x+y+z+p (x≦y≦z≦p) をとくと、(x,y,z,p)=(1,1,1,4) {4} xyzpq=x+y+z+p+q (x≦y≦z≦p≦q)をとくと、(x,y,z,p)=(1,1,1,2,5),(1,1,1,3,3),(1,1,2,2,2) … 予想 {n} x[1]x[2]x[3] …x[n] =x[1]+x[2]+ …x[n] (x[1]≦x[2]≦…≦x[n] ) を満たすx[k]は存在しそうだ。 質問 これは高校範囲で示せますか？ 色々考えても[ {k} と{k+1} の関係性( 結局わからずじまいです)や座標平面上におくなど) 結論が出ませんでした。 No.58453 - 2019/05/22(Wed) 19:09:41 ☆ Re: 整数 / 9の倍数 {3}{4}は自分で解いたので、答えは間違っているかもしれません。 No.58454 - 2019/05/22(Wed) 19:11:08 ☆ Re: 整数 / 9の倍数 {1}~{3}では5次=1次だから 原理的に解けるはずというふうに考えて、答えを求めてきました。 ex) xyzpq=x+y+z+p+q 1= 1/yzpq+1/xzpq+1/xypq+1/xyzq+1/1/xyzp これより 1≦5/x^4 よってx=1 yzpq=1+y+z+p+q 1/yzpq=1/1/zpq+1/ypq+1/yzq+1/yzp+1/yzpq 1<= 4/y^2+ 1/y^4 これよりy=1 … No.58455 - 2019/05/22(Wed) 19:17:37 ☆ Re: 整数 / らすかる n≧3のとき x[1]=x[2]=x[3]=…=x[n-2]=1とおくと x[n-1]x[n]=n-2+x[n-1]+x[n] x[n-1]x[n]-x[n-1]-x[n]+1=n-1 (x[n-1]-1)(x[n]-1)=n-1 解の一つは x[n-1]-1=1,x[n]-1=n-1 すなわちx[n-1]=2,x[n]=n よって x[1]=x[2]=x[3]=…=x[n-2]=1, x[n-1]=2, x[n]=n とすれば(左辺)=(右辺)=2nとなりますので、解は必ず存在します。 No.58456 - 2019/05/22(Wed) 20:21:15 ☆ Re: 整数 / 9の倍数 ラスカルさん ありがとうございます。 これ以上の解の追求はできなさそうですね。 規則を見つけようとしましたが、自分はこれ以上できませんでした。 No.58462 - 2019/05/22(Wed) 23:29:27 ☆ Re: 整数 / 9の倍数 解の個数の追及までできたら、興味深かったのですが… No.58463 - 2019/05/22(Wed) 23:33:36 ☆ Re: 整数 / らすかる ↓ここにあるように「未解決問題」の中に入っているようですから、 解の個数の追及は困難だと思います。 http://oeis.org/A033178 No.58468 - 2019/05/23(Thu) 01:58:29 ☆ Re: 整数 / 9の倍数 らすかるさん 難しい問題だったのですね。 大学生になってから、もう一度考えてみます。 ありがとうございました No.58565 - 2019/05/26(Sun) 19:39:28

★ 高校数学 / やー
教えてください No.58449 - 2019/05/22(Wed) 01:31:26 ☆ Re: 高校数学 / らすかる 問題は全部が見えるようにしましょう。 この写真では問題が確定できませんが、もし問題が 「0≦θ＜2πのとき，次の方程式を解け。」 ならば、 sin(x)=-√3/2を満たすxは…,-(2/3)π,-(1/3)π,(4/3)π,(5/3)π,…であり 0≦θ＜2πから -(1/3)π≦θ-π/3＜(5/3)πなので θ-π/3=-(1/3)π,(4/3)π ∴θ=0,(5/3)π No.58451 - 2019/05/22(Wed) 04:13:32

★ お願いします / アデノウイルス
これ教えてください極限の問題です No.58448 - 2019/05/22(Wed) 00:35:35 ☆ Re: お願いします / らすかる lim[x→∞]{(x-1)log(logx/x)}/(xlogx-x+1) =lim[x→∞]{(x-1)/x・log(logx/x)/logx}/{1-1/logx+1/(xlogx)} =lim[x→∞]{(1-1/x)・(log(logx)-logx)/logx}/{1-1/logx+1/(xlogx)} =lim[x→∞]{(1-1/x)・(log(logx)/logx-1)}/{1-1/logx+1/(xlogx)} =(1-0)・(0-1)/(1-0+0) =-1 となりますね。 No.58450 - 2019/05/22(Wed) 04:05:07

★ これどうやるんですか？ / 松前

教えてくださいお願いします No.58447 - 2019/05/22(Wed) 00:34:29 ☆ Re: これどうやるんですか？ / らすかる (補題) f(x)={e^x-e^(-x)}/2とおくと f(0)=0, f'(x)={e^x+e^(-x)}/2≧1（等号はx=0のとき）なので x＞0でf(x)＞x よってx＞0において {e^x-e^(-x)}/2=f(x)＞x e^x-e^(-x)＞2x e^(2x)-1＞2xe^x (e^(2x)-1)/(2x)＞e^x e^x-(e^(2x)-1)/(2x)＜0 x=t/2とおいてe^(t/2)-(e^t-1)/t＜0 (本題) t＞0として f(x)=e^x-{(e^t-1)/t}x-1とおくとf(0)=f(t)=0 f'(x)=e^x-(e^t-1)/tから x＜log((e^t-1)/t)のときf'(x)＜0すなわちf(x)は減少、 x＞log((e^t-1)/t)のときf'(x)＞0すなわちf(x)は増加で、 f(x)はx=log((e^t-1)/t)のとき最小値をとる。 これより 0＜log((e^t-1)/t)＜t … (1) f'(t/2)=e^(t/2)-(e^t-1)/t＜0　（∵補題より） なのでt/2＜log((e^t-1)/t) これと(1)を合わせて t/2＜log((e^t-1)/t)＜t ∴1/2＜(1/t)log((e^t-1)/t)＜1 # より簡単な方法があるかも知れません。 No.58452 - 2019/05/22(Wed) 10:38:13 ☆ Re: これどうやるんですか？ / ＩＴ （別解） x>0 のとき　元の不等式は　xe^(x/2)＜e^x-1＜xe^x と同値 それぞれ差をとって　微分して評価します。 f(x)=e^x-1-xe^(x/2)とおくと 　f(0)=0 f'(x)=e^x-e^(x/2)-(x/2)e^(x/2)=(e^(x/2))(e^(x/2)-1-x/2) f'(0)=0 h(x)=e^(x/2)-1-x/2 とおくと　h(0)=0 h'(x)=(1/2)(e^(x/2)-1)>0 ( x>0で ) 　よって　x>0 で　h(x)＞0　よって　f'(x)＞0　 　よって　x>0 で　f(x)＞0 g(x)=xe^x-(e^x-1)とおくと　g(0)=0 g'(x)=xe^x > 0 (x>0 で） 　よって　x>0 のとき　g(x)>0 No.58464 - 2019/05/22(Wed) 23:40:38

★ xの範囲 / 太田
実数xについての不等式x-1≧√3-xを解く場合、 ルート内は0以上より3-x≧0と書かれているのですが、ルート内が0未満で虚数になるといけないのでしょうか？ No.58440 - 2019/05/21(Tue) 13:33:32 ☆ Re: xの範囲 / まうゆ 虚数と実数の大小関係は定義されていないので 不等式を満たすためには実数でないといけません No.58441 - 2019/05/21(Tue) 13:43:00

★ 集合位相 / 初学者

A^cでAの補集合を表すとします。 (∪（ｋ∈N)｛1/k})^c＝∩（ｋ∈N)｛（−∞,1/k)または（1/k,∞）｝＝∩（ｋ∈N)（−∞,1/k)または∩（ｋ∈N)（1/k,∞）としましたが、答えと合いません。 どうすればよいのですか？ No.58438 - 2019/05/21(Tue) 13:05:46 ☆ Re: 集合位相 / ast # 補集合を考えるときには全体集合を明示しないと意味がないので, # 以下, 実数直線全体を全体集合としているものと勝手に解釈して答えます まず, [∩_(k∈N)(−∞,1/k)]∪[∩_(k∈N)(1/k,∞)] = (−∞,0]∪(1,∞) であることを注意しておきます. 求める補集合の意味を考えると, それは実数直線から 1/k の形をした可算個の点を除外したものです. さらに 1/k は k に対して単調減少 (つまり, 逆順で順番に並んでいる) なので, ((−∞,0]や(1,∞)以外にも) (1/(k+1),k) の形の区間がすべて求める補集合に属しなければならないことはすぐに見当が付くと思います. 例えば k=1,2 のみの場合で見ても [(−∞,1)∪(1,∞)]∩[(−∞,1/2)∪(1/2,∞)] =[(−∞,1)∩(−∞,1/2)]∪[(−∞,1)∩(1/2,∞)]∪ 　[(1,∞)∩(−∞,1/2)]∪[(1,∞)∩(1/2,∞)] = (-∞,1/2)∪(1/2,1)∪∅∪(1,∞) になりますから, (1/2,1) のような区間が検討対象であることは納得できるはずです. 結局 > ∩（ｋ∈N)｛（−∞,1/k)または（1/k,∞）｝＝∩（ｋ∈N)（−∞,1/k)または∩（ｋ∈N)（1/k,∞） は正しくなくて, これを直すには 　　∪_[I⊂N][[∩_{i∈I}(−∞,1/i)]∩[∩_{j∈I'}(1/j,∞)]] (I' は N における I の補集合とする) のように (−∞,1/i) の形の区間と (1/j,∞) の形の区間の任意の組み合わせでの共通区間をすべて検討する必要があるということになります. もう少し詳しく検討すれば, 1/k の単調性から I に依って以下の何れかの場合になっていることが言えます： 　 [i] I に最大値 M=M(I) があるとき I' に最小値 m=m(I') があって m = M+1 がなりたつ. このとき 　∩_{i∈I}(−∞,1/i) = (−∞,1/M), 　∩_{j∈I'}(1/j,∞) = (1/m,∞) = (1/(M+1),∞) で, これらの共通部分は (1/(M+1),1/M). 　　[ii] それ以外のとき 　∩_{i∈I}(−∞,1/i) = (−∞,0], 　∩_{j∈I'}(1/j,∞) = (1,∞) なので, 全ての場合を尽くせば (−∞,0]∪[∪_{M∈N} (1/(M+1),1/M)]∪(1,∞) になるはずです. No.58442 - 2019/05/21(Tue) 17:04:01 ☆ Re: 集合位相 / 初学者 ありがとうございます 結構大変なのですね 紙に書いて検討し直す必要がありそうです No.58443 - 2019/05/21(Tue) 19:20:25 ☆ Re: 集合位相 / ast おそらく出題意図としては - 実数直線から可算個の点 1/k を除外したもの - 1/k は順番にとびとびに現れる から直ちに (−∞,0]∪[∪_{k∈N}(1/(k+1),1/k)]∪(1,∞) と答えればよい, という感じなのではと推測します. No.58444 - 2019/05/21(Tue) 19:28:32 ☆ Re: 集合位相 / 初学者 もともとはA=｛0,1,1/2,1/3,,｝が閉集合であることを示せという問題でこの補集合が開集合であることを示そうとしてこのような問題が生じました。 ほかの言い換え、Aの任意の元の近傍がAと交わることを示した方が楽ですかね？ No.58445 - 2019/05/21(Tue) 19:38:47 ☆ Re: 集合位相 / ast 既に述べたように「A^c = (−∞,0)∪{∪_{k∈N}(1/(k+1),1/k)}∪(1,∞) は開集合だから A は閉集合である」で解答として十分なのではないでしょうか. # No.58442の説明が長くなったのは ∩_{k∈N} [I_k∪J_k] の形からの展開を # なるべくきちんと書くとどうなるかを述べたからで, それ自体は必須ではないと思います. # (説明の内容自体は (a+b)^n の展開と対比して考えると理解しやすいかもしれません.) # 展開後は包含関係や交わらない組合せが多いので, 工夫すれば説明ももう少し短くなる気はしますが. > Aの任意の元の近傍がAと交わることを示した方が楽ですかね？ 楽かどうかは個人の感覚によるところが大きいと思いますし, 質問者さんがそちらの方が楽に示せると思われるなら, そのほうがよいかもしれませんね. # A の集積点は 0 のみであり, # A が点列閉であることは明らかだと思いますし. No.58461 - 2019/05/22(Wed) 23:24:43 ☆ Re: 集合位相 / 初学者 ありがとうございます 無事解決しました No.58519 - 2019/05/24(Fri) 16:15:10

★ 教えてください / アデノウイルス

お願いします No.58433 - 2019/05/20(Mon) 23:47:34 ☆ Re: 教えてください / まうゆ (3)anの定義より0<=x<=1→0<=1-x^2<=1つまり(1-x^2)^(n/2)< (1-x^2)^((n-1)/2)　(1)より(n*a(n-2))/(n+1)<a(n-1)→(n+1)/ (n+2)<an/a(n-1)<1(上の式)まる１➀はさみうちする (4)(2)よりa(n-1)=π/(2(n+1)an)➀に代入して中辺が(an)^2になるように変形それにnをかけてルートをとると ((πn)/(2(n+2)))^(1/2)<n^(1/2)an<((πn)/(2(n+1)))^(1/2) はさみうちで(π/2)^(1/2)となる No.58434 - 2019/05/21(Tue) 10:37:33 ☆ Re: 教えてください / アデノウイルス (1)のanの表し方と(2)も教えて欲しいです、、、 No.58446 - 2019/05/21(Tue) 23:00:58 ☆ Re: 教えてください / まうゆ (1)a1=π/4　an=∫(1-x^2)^(n/2)dx=∫(x´)(1x^2)^(n/2)dx= [x(1-x^2)^(n/2)]-∫x*(n/2)(1-x^2)^((n-2)/2)*(-2x)dx= n∫x^2*(1-x^2)^((n-2)/2)dx=n∫(-(1-x^2)+1)*(1-x^2)^ ((n-2)/2)dx=-n(an)+n(an-2)　よってan=(n/(n+1))*(an-2) (2)(1)式より(an)=(n/(n+1))*(an-2)　(an-1)倍　(an)(an-1)= (n/(n+1))*(an-1)(an-2)=(n/(n+1))((n-1)/n))*(an-1)(an-2) =・・・=(2/(n+1))*(a1)(a0)=π/(2(n+1))　(a0=1) No.58460 - 2019/05/22(Wed) 22:55:21 ☆ Re: 教えてください / まうゆ 6行目の(n/(n+1))((n-1)/n))*(an-1)(an-2)のan-1はan-2でした。 No.58469 - 2019/05/23(Thu) 07:38:14 ☆ Re: 教えてください / まうゆ 訂正も間違えました 6行目の(n/(n+1))((n-1)/n))*(an-1)(an-2)のan-1はan-2でなく an-3です No.58470 - 2019/05/23(Thu) 08:13:31

★ (No Subject) / ピアノ
この場を借りてお尋ねします。 (3)の考え方を教えてください。 No.58426 - 2019/05/20(Mon) 22:02:28 ☆ Re: / X 求める距離は図のグラフと時間軸で囲まれた領域 の面積に等しくなりますので {150[s]+(100[s]-40[s])}・20[m/s]・(1/2) =2100[m] となります。 No.58430 - 2019/05/20(Mon) 22:44:44

★ これお願いします！ / もも
これわからないのでお願いします！！ No.58425 - 2019/05/20(Mon) 22:00:04 ☆ Re: これお願いします！ / X 変数を置き換えましょう。 2^x=t と置くと、 -1＜x＜1 より 1/2＜t＜2 (A) 一方 2^x+a+b・2^(-x)＞0 より t+a+b/t＞0 ∴(A)より t^2+at+b＞0 (B) よって問題は(A)において(B)を満たすための a,bについての条件を求めることに帰着します。 No.58429 - 2019/05/20(Mon) 22:40:36

★ これ教えてください / アデノウイルス

お願いします No.58422 - 2019/05/20(Mon) 21:30:50 ☆ Re: これ教えてください / らすかる 2(a[n])^3+3n(a[n])^2-3(n+1)=0 2a[n]+3n-3(n+1)/(a[n])^2=0 a[n]-(3/2){1/(a[n])^2}=(3/2)n{1/(a[n])^2-1} 1＜a[n]＜2から-1/2＜(左辺)＜13/8 1＜a[n]から(右辺)＜0 従って-1/2＜(右辺)＜0 -1/2＜(3/2)n{1/(a[n])^2-1}＜0 -1＜3n{1/(a[n])^2-1}＜0 3n-1＜3n/(a[n])^2＜3n (3n-1)/3n＜1/(a[n])^2＜1 1-1/3n＜1/(a[n])^2＜1 lim[n→∞](1-1/3n)≦lim[n→∞]{1/(a[n])^2}≦lim[n→∞]1 1≦lim[n→∞]{1/(a[n])^2}≦1 ∴lim[n→∞]{1/(a[n])^2}=1なので、lim[n→∞]a[n]=1（∵1＜a[n]＜2） No.58427 - 2019/05/20(Mon) 22:19:43

★ (No Subject) / 9の倍数

“9の倍数” を ”9で割り切れない小数 ” で割った答えが整数ならば、 その割った値は 9で割り切れることを示せ。 No.58404 - 2019/05/20(Mon) 19:25:14 ☆ Re: / らすかる 「“9の倍数” を ”9で割り切れない小数 ” で割った」のならば 「割った値」は”9で割り切れない小数 ”ですから、 9で割り切れません。 従って問題が正しくありません。 No.58406 - 2019/05/20(Mon) 19:41:04 ☆ Re: / 9の倍数 この問題(3) が間違っているということでしょうか？ No.58407 - 2019/05/20(Mon) 19:50:42 ☆ Re: / らすかる いいえ、その写真は正しいです。 「割った値」は9で割り切れませんが、 「答え」は9で割り切れます。 No.58410 - 2019/05/20(Mon) 19:53:21 ☆ Re: / 9の倍数 すいません、理解できていません。 もう少し詳しく教えていただけますか？ No.58412 - 2019/05/20(Mon) 20:00:51 ☆ Re: / らすかる A÷B=C のとき Aは「割られる数」、Bは「割る数」（＝割った値）、Cは「商」（＝答え） ですから「割った値」と「答え」は別のものを指しています。 (9の倍数)を(9で割り切れない小数)で割った答えが(整数)ならば、 「割った値」は(9で割り切れない小数)を指していて、 「答え」は(整数)を指しています。 従って「割った値」は9で割り切れず、「答え」は9で割り切れます。 本題ですが、 (9で割り切れない数)と(9で割り切れない数)の積は9で割り切れず、 (9で割り切れない数)と(9で割り切れる数)の積は9で割り切れます。 よって、もし (9の倍数)÷(9で割り切れない数)=(9で割り切れない数) だとすると、 (9で割り切れない数)×(9で割り切れない数)=(9の倍数) となっておかしいですから、 (9の倍数)÷(9で割り切れない数)=(9で割り切れる数) でなければなりません。 No.58413 - 2019/05/20(Mon) 20:05:37 ☆ Re: / 9の倍数 らすかるさん ありがとうございます。 その証明は理解できたのですが、 9(9の倍数) ➗ 0.3 ( 9 で割り切れない小数) = 30 (9で割り切れない小数)となりませんか？ No.58414 - 2019/05/20(Mon) 20:20:52 ☆ Re: / らすかる あれ、そうですね。ごめんなさい、うっかりしていました。 (9で割り切れない数)と(9で割り切れない数)の積が9で割り切れることがありますね。 となると写真の解説は正しくないですね。 9を一つ3に変えて 「9の倍数を、3で割り切れない小数で割った答えが整数ならば、 　その答えは9で割り切れます。」 に変えれば正しいですね。 No.58415 - 2019/05/20(Mon) 20:29:19 ☆ Re: / 9の倍数 となると、この問題は高校生には解けないということで良いでしょうか？(問題とは3番の問題のことです。)のことです。 No.58416 - 2019/05/20(Mon) 20:35:11 ☆ Re: / 9の倍数 らすかるさん すいません 入れ違いです。 9の倍数を、3で割り切れない小数で割った答えが整数ならば、 　その答えは9で割り切れる。」 これはどのように導くのでしょうか？ No.58417 - 2019/05/20(Mon) 20:36:47 ☆ Re: / らすかる 前に書いた誤った証明と全く同じ手順で示せます。 (3で割り切れない数)と(9で割り切れない数)の積は9で割り切れず、 (3で割り切れない数)と(9で割り切れる数)の積は9で割り切れます。 よって、もし (9の倍数)÷(3で割り切れない数)=(9で割り切れない数) だとすると、 (3で割り切れない数)×(9で割り切れない数)=(9の倍数) となっておかしいですから、 (9の倍数)÷(3で割り切れない数)=(9で割り切れる数) でなければなりません。 それから、もしこの規則がない、あるいは知らない場合でも 「高校生には解けない」ことにはなりません。 1□.6の□には0〜9の10個しか入りませんので、 10通り試せば小学生でも解けます。 No.58418 - 2019/05/20(Mon) 20:44:17 ☆ Re: / 9の倍数 ありがとうございます。 たしかに小学生でも解けますね。 何度も申し訳ないのですが、 とすると、ラスカルさんが最初に導いた9の倍数の証明の間違っている点はどこにあるのでしょうか？ No.58419 - 2019/05/20(Mon) 20:49:12 ☆ Re: / らすかる > (9で割り切れない数)と(9で割り切れない数)の積は9で割り切れず、 この行です。 反例： 3×3=9 No.58420 - 2019/05/20(Mon) 20:50:21 ☆ Re: / 9の倍数 ありがとうございました😊 もう一度自分でも考え直してみます。 今の時代にも誤植があるのですね。 No.58421 - 2019/05/20(Mon) 20:53:52 ☆ Re: / ＩＴ もちろん誤植も多々ありますが、今回のは誤植ではなくて　著者の勘違いと校正（内容チェック）不足ですね。　 No.58432 - 2019/05/20(Mon) 23:27:41

★ (No Subject) / あらら

74のかっこ2です。これってどうやって3分の1ってわかったんですか？解説よろしくお願いします No.58401 - 2019/05/20(Mon) 18:48:18 ☆ Re: / あらら 答えです No.58402 - 2019/05/20(Mon) 18:49:06 ☆ Re: / ＩＴ f(0)=-1,f(1)>0 なのでf(x)=0 の解が0<x<1に少なくとも１つはあります。 また、一般に a[0],a[1],...,a[n]が整数のとき、 a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+...+a[n]=0 が有理数p/q(既約分数）を解にもてば qはa[0]の約数、pはa[n]の約数　である。 　※証明は方程式にx=p/qを代入しq^n を掛ければ出来ます。 したがって、f(x)=0が0<x<1に有理数解を持つなら　1/3 であることが分かります。 そこで実際f(1/3)を計算すると＝0となります。 No.58405 - 2019/05/20(Mon) 19:37:42

★ (No Subject) / 名前

f⁡( x)= x^4+ x^3+ x^2- 2 とする． (1)　関数 f ⁡(x ) の増減と凹凸を調べ，グラフの概形をかけ． (2)　曲線 y =f⁡( x) と，傾き t の直線 y =t⁢x とで囲まれる図形の面積を S ⁡(t ) とする．導関数 S ′⁡( t) を， f⁡( x)= t⁢x の 2 つの実数解 α ⁡(t )， β⁡ (t ) を用いて表せ．ただし， α⁡( t)< β⁡( t) とする． (3)　 S⁡( t) を最小にする t を求めよ． (2)でS ′⁡( t)＝1/2(β^2(t )−α^2⁡(t ) )となりました。 (1)よりα⁡( t)<０<β⁡( t)なのでα⁡( t)＋β⁡( t)＝０で最小になりそうなのですが、α⁡( t)＋β⁡( t)をｔで表しづらく、S⁡( t)の増減がつかみにくいです。 α⁡( t)＋β⁡( t)＝０で最小になる説明部分をご教授願います。 No.58399 - 2019/05/20(Mon) 15:00:45 ☆ Re: / X まずy=f(x)のグラフとy=txのグラフの概形から α(t),β(t)がいずれもtに関して単調増加 となっていることと lim[t→-∞]α(t)=-∞ lim[t→-∞]β(t)=0 lim[t→∞]α(t)=0 lim[t→∞]β(t)=∞ となることはよろしいですか？ このことから α(t)+β(t)はtに関し単調増加 であり、又 lim[t→∞]{α(t)+β(t)}=∞ lim[t→-∞]{α(t)+β(t)}=-∞ 以上から中間値の定理によりα(t)+β(t)は α(t)+β(t)=0 なるtをただ一つ持つことが分かります。 このtをTとすると t＜Tのときα(t)+β(t)＜0 T≦tのときα(t)+β(t)≧0 となります。 No.58403 - 2019/05/20(Mon) 18:51:57 ☆ Re: / らすかる 「α(t)+β(t)=0で最小になる」理由は… (1/2){(β(t))^2-(α(t))^2} =(1/2){β(t)+α(t)}{β(t)-α(t)} であり (1/2)と{β(t)-α(t)}は常に正ですから S'(t)の符号は{β(t)+α(t)}の符号と一致します。 よってS'(t)はα(t)+β(t)＜0で負、α(t)+β(t)＞0で正となり、 S(t)はα(t)+β(t)＜0で減少、α(t)+β(t)＞0で増加となりますので、 最小となるのはα(t)+β(t)=0の時です。 No.58408 - 2019/05/20(Mon) 19:51:53 ☆ Re: / 名前 らすかる様 おっしゃる通りα(t)+β(t)＝０の前後でＳ(ｔ)の増減が変わりますが、ｔに伴い負から正へ変化していれば最小になり、正から負へ変化していれば最大になります。 無論、直線の傾きを正や負の方向へ垂直に近づければ面積はいくらでも大きくできるので後者はありえません。 とはいえこれを根拠にするには感覚的なのが悩ましいところです。 α(t)+β(t)をｔで表しにくいことが難点です。 No.58424 - 2019/05/20(Mon) 21:52:20 ☆ Re: / らすかる 私が書いた「最小となるのはα(t)+β(t)=0の時」(ただしα(t)+β(t)=0となるtが存在すれば) （ここではα(t)+β(t)=0の時に必ず最小になるとはいっていません） と「S(t)はα(t)+β(t)＜0で減少、α(t)+β(t)＞0で増加」 と、Xさんの「α(t)+β(t)は狭義単調増加でα(t)+β(t)=0となるtは一つ」 を合わせれば、感覚的でなく厳密に「α(t)+β(t)=0の時に最小」と言えますね。 No.58428 - 2019/05/20(Mon) 22:25:38 ☆ Re: / 名前 わかりました。 ありがとうございました。 No.58431 - 2019/05/20(Mon) 22:59:36

★ 整数問題 / ran
1+3+3^2+3^3+……+3^98＜3^99を証明せよ。 という問題です。 答えがなくて困ってます！ ある程度でもいいので、よろしくお願いします。 No.58396 - 2019/05/20(Mon) 13:09:38 ☆ Re: 整数問題 / らすかる 普通にやれば 1+3+3^2+3^3+…+3^98 = (3^99-1)/2 ＜ 3^99 No.58397 - 2019/05/20(Mon) 14:26:37 ☆ Re: 整数問題 / GandB 　過去の質問を見た感じでは、等比数列の和は当然知っているはずだけど。 No.58398 - 2019/05/20(Mon) 14:52:52 ☆ Re: 整数問題 / ran 本当だ…… すみません！ありがとうございます。 精進します。 No.58423 - 2019/05/20(Mon) 21:34:28

★ 集合と関数 / ran

この問題を見てください！ 私が疑問に思ったのは⑵です。 私の考えでは、二次関数や三次関数において、実数の集合を定義域とするならば、地域も実数全体になると思うのですが、これ違うらしいです。 解説では、そのままf(x)を二次関数とすると、fはAに含まれないとあります。 なんででしょうか？？ 二次関数の図を書いてみたら、永遠に上にいったり下にいきますよね？？ わかりません。よろしくお願いします。 No.58392 - 2019/05/19(Sun) 23:41:10 ☆ Re: 集合と関数 / ran ちなみに答えです No.58393 - 2019/05/19(Sun) 23:42:01 ☆ Re: 集合と関数 / ＩＴ > 解説では、そのままf(x)を二次関数とすると、fはAに含まれないとあります。 > なんででしょうか？？ > 二次関数の図を書いてみたら、永遠に上にいったり下にいきますよね？？ > > わかりません。よろしくお願いします。 例えば　f(x)=x^2 は任意の実数xについて　f(x)≧0ですから f(x)=x^2 は、集合Ａに含まれません。 No.58394 - 2019/05/19(Sun) 23:56:59

★ (No Subject) / GOLD
下線部を引いたところが何故そうなるのかわかりません。 どなたか教えていただけますか？ modにおいて、法が違うかけ算もできるのですか？ No.58389 - 2019/05/19(Sun) 18:28:08 ☆ Re: / ＩＴ 整数ｎを12で割った余りで分類して、3,4 で割った余りが　それぞれどうなるか表を作って調べる方法もあります。 そのテキストもこの方法を使っているのではないでしょうか？ ０,１,２,３,４,５,６,７,８,９,10,11　…12で割った余り ０,１,２,０,１,２,０,１,２,０,１,２　…３で割った余り ０,１,２,３,０,１,２,３,０,１,２,３　…４で割った余り > modにおいて、法が違うかけ算もできるのですか？ どういう意味か正確には分かりませんが、出来ないと思います。 No.58390 - 2019/05/19(Sun) 19:02:57

★ 中2 確率 / りさ

AさんとBさんが、階段の途中で同じ段に立っています。2人でじゃんけんをし、勝ったら3段上がり、あいこだったら2人とも1段上がり、負けたら1段下りるゲームをしました。2回のじゃんけんをしたとき、2人の段の差が4段になる確率を求めなさい。 という問題で、答えは9分の4になるのですがどう求めたらその答えが出せるのかが分かりません。解説よろしくお願いします。 No.58387 - 2019/05/19(Sun) 15:58:15 ☆ Re: 中2 確率 / ＩＴ Aが４段上になるのは Aからみて　勝ち、あいこの場合と　あいこ、勝ち　の場合です それぞれの確率を求めて合計します。 Bが４段上になるのも同じ確率です。 No.58388 - 2019/05/19(Sun) 16:08:13 ☆ Re: 中2 確率 / らすかる 全てのパターンについて、AがBに対して何段上になるかを表にすると 　　　勝ち 相こ 負け ← 2回目 勝ち　　8　　4　　0 相こ　　4　　0　　-4 負け　　0　　-4　　-8 ↑1回目 1回のじゃんけんで勝ち・相こ・負けの確率は1/3ずつなので この表の9通りはどれも等確率となり、 このうち差が4段になっているのは4つなので、 求める確率は4/9 # 表がずれたら適当に補正して考えて下さい。 # 表がなるべくずれないように「あいこ」を「相こ」と表記しました。 No.58395 - 2019/05/20(Mon) 12:57:29

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