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★ 理数物理 / ran
この問題の解き方を教えてください。
途中の解き方が載ってなくて困ってます！

範囲でいうと、力のモーメントの辺りです。

答えは、「右向きで水平から30°上向き W」です。
No.58310 - 2019/05/15(Wed) 23:57:03
☆ Re: 理数物理 / おぎちん
力の図示が誤っています。

棒にかかる重力の作用点は、「棒の真ん中」です。
また、棒が壁からうける力は、垂直抗力のほかに「静止摩擦力」もあります。

力の図示をして、
　　力のつり合い（水平・鉛直方向それぞれ）の式
を立てて、
　　A点における力のモーメントのつり合いの式
　　B点における力のモーメントのつり合いの式
を立てれば、連立方程式の要領で解けます。


張力T = W
垂直抗力N = W√3/2　…(*1)
静止摩擦力R = W/2　…(*2)

(*1)、(*2)より、棒が壁から受ける抗力の大きさは、W
向きは鉛直上向き30°です。
No.58311 - 2019/05/16(Thu) 00:25:30
☆ Re: 理数物理 / GandB
> 答えは、「右向きで水平から30°上向き W」です。
「右向きで水平から30°上向き、(大きさは)W」
ということだろうが、「向き」については問題からすぐわかるとはいうものの、日本語の表現としていかがなものか（笑）。ほんとにその参考書の解答は
　　「右向きで水平から30°上向き」
なんて書いているのかね。どんな参考書にも載っていそうな基本的な問題だから、ちょっと気になる。
No.58313 - 2019/05/16(Thu) 09:19:29
☆ Re: 理数物理 / ran
>>>おぎちん様

静止摩擦力！なるほど！それはめっちゃありがたい知識です！ありがとうございます！納得できました！


>>>GandB様

まじなんですよねぇ、
しかも参考書とかではなく、公立の文部科学省検定済教科書です。
No.58336 - 2019/05/17(Fri) 12:47:27
☆ Re: 理数物理 / GandB
> しかも参考書とかではなく、公立の文部科学省検定済教科書です。
　ホントだ！！　こういう風に略記するのか！　うーむ・・・・・
　教科書だから、先生がきちんと説明するということなのだろうけどね。

　いや、勉強になりました。
No.58346 - 2019/05/17(Fri) 20:49:38
☆ Re: 理数物理 / 関数電卓
おぎちん さんが説明されている通りで、
・力のつり合い (水平、垂直方向)
・力のモーメントのつり合い
から方程式を導く
のが解答の第一歩ですが、さらに進んで
・糸の張力は糸方向にはたらく
・つりあって静止している棒にはたらくすべての力の作用線は一点で交わる
ことが学習できれば、さらに理解が深まります。
No.58352 - 2019/05/17(Fri) 22:33:20
★ 不定積分ができません / あい
1/(3t^3+t)のtによる不定積分を求められません。
(※※分子に1,分母に3•t^3+tです)
残念ながら答えを所持しておりません。

ご教授お願いします。
No.58304 - 2019/05/15(Wed) 23:20:08
☆ Re: 不定積分ができません / ast
部分分数分解: https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fraction+of+1%2F(3t%5E3%2Bt)
不定積分: https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+dt%2F(3t%5E3%2Bt)
微分して検算: https://www.wolframalpha.com/input/?i=d(log(t)-1%2F2log(3t%5E2%2B1))%2Fdt
No.58307 - 2019/05/15(Wed) 23:32:27
★ 微分方程式、初期値問題、解の一意性 / 初学者
常微分方程式の初期値問題、一意性

画像の問題に関してxy平面全体で解が一意的に存在する為の必要十分条件がα≧1なのですか？
No.58299 - 2019/05/15(Wed) 18:31:12
☆ Re: 微分方程式、初期値問題、解の一意性 / 黄桃
ここで問われているのは
「初期条件y(0)=0 を満たす(0,0)の近傍での解が一意的である必要十分条件はα≧1である」
でしょう。必ずしもy(x)の定義域が実数全体である必要はないですが、この問題では定義域を実数全体となるようにできます。
証明は、例えば、
* α≧1 ならば解は一意的である
* 0<α<1 ならば解は2つ以上ある
を示します。
前者はリプシッツ条件を満たすことを示し、後者は実際に解を示すのが簡単でしょう。
後者について、α=1/3 の場合に書けば
y=0 (恒等的に0）と
y=(2x/3)^(3/2)(x≧0),=(-2x/3)^(3/2) (x<0) とが、
共にy'=|y|^(1/3), y(0)=0 を満たします。

#y=(2x/3)^(3/2)(x≧0),=0 (x<0) 等も可。
#定義域の実数全体で異なるという話なら、
#y=0 (x<1), y=(2(x-1)/3)^(3/2) (x≧1)
#などもそうですが、これは原点の近傍ではy=0と一致します。
##この問はリプシッツ条件を満たさないと解が一意的でない場合がある、という例です。
No.58334 - 2019/05/17(Fri) 08:01:19
★ オイラーのφ関数 / KJ
質問失礼します。
画像にある通りなのですが、
60に互いに素な 16個の自然数を順にa[k]としたとき、(kは16以下の自然数)
a[k]の60で割った余りはa[5]a[k] の集合であるということを示したいです。

もちろんmodをつかって17^n=(-11)^(n/2)=1 (mod60)
とすれば(2)は一瞬で解けるのですが…
(すいません、三重イコールが出せないので、普通のイコールで代用しています)

どなたかご教授願います。
いつもありがとうございます。
No.58296 - 2019/05/15(Wed) 17:44:12
☆ Re: オイラーのφ関数 / KJ
補足質問 自然数N とkが互いに素ならば、
N•1 , N•2 ……,N•(k-1),N•k を N で割った余りはすべて異
なるでしょうか？
No.58297 - 2019/05/15(Wed) 17:51:34
☆ Re: オイラーのφ関数 / らすかる
> a[k]の60で割った余りはa[5]a[k] の集合であるということを示したいです。
a[5]もa[k](1≦k≦16)も60と互いに素なので
a[5]a[k]も60と互いに素。よってa[5]a[k]を60で割った余りは
a[1]〜a[16]のどれかと一致する。
もしa[5]a[i]を60で割った余りとa[5]a[j]を60で割った余りが
等しかったとすると、a[5]a[i]-a[5]a[j]=60m(mは整数)すなわち
a[5](a[i]-a[j])=60m
a[5]は60と互いに素なので、a[i]-a[j]は60の倍数。
|a[i]-a[j]|＜60なのでa[i]-a[j]=0。
よってa[5]a[i]を60で割った余りとa[5]a[j]を60で割った余りが等しければ
a[i]=a[j]すなわちi=jだから、i≠jならばa[5]a[i]を60で割った余りと
a[5]a[j]を60で割った余りは異なり、a[5]a[1]〜a[5]a[16]を
60で割った余りはすべて異なることになる。
従ってa[5]a[1]〜a[5]a[16]を60で割った余りの集合は
a[1]〜a[16]の集合と一致する。

> 三重イコールが出せないので
「ごうどう」を変換すれば出せるのではないでしょうか。

> 補足質問
N・1,N・2,…,N・kをNで割った余りはすべて0ですから、
余りが異なることはありません。
No.58298 - 2019/05/15(Wed) 18:04:25
★ 数列 / ran
この問題を見てください！

すごくできそうだったのに、できませんでした。

方針はあっているでしょうか？

答えと解説をお願いしたいです。

答えが与えられていなく困ってます！
よろしくお願いします。
No.58291 - 2019/05/15(Wed) 16:49:14
☆ Re: 数列 / らすかる
内容はあまり読んでいませんが、それでダメだったということは、
等比数列がα,β,γの順ではないということです。
αβγ=-8ですからαだけ負とわかります。
(∵すべて負ならば等比数列がα,β,γの順になるため)
従って等比数列はβ,α,γの順ですから、
?Aをα^2=βγとすれば求まるのではないかと思います。
No.58293 - 2019/05/15(Wed) 17:30:38
☆ Re: 数列 / ＩＴ
らすかるさんの方針で解けて　答えは(α,β,γ)=(-2,1,4) ですね。

（略解）
βは等差中項なので　2β＝α+γ…(ア）

αβγ＝-8 …(イ）なので(1) α＜β＜γ＜0　または　(2) α＜0＜β＜γ

(1)のとき　ranさんがやってみたように不適
(2)のとき 公比rは負でβ、α、γの順の等比数列。（公比1/rでγ、α、βの順ともいえる）
α＝βr、γ＝βr^2 を(ア）に代入、2β＝βr+βr^2 これを解くとr=-2
α^2=βγ　これと(イ）から　α＝-2
No.58300 - 2019/05/15(Wed) 18:35:40
☆ Re: 数列 / ran
ありがとうございます！

助かりました！
No.58303 - 2019/05/15(Wed) 23:14:17
★ 数列 / ran
1+3+3^2+3^3+…+3^98+3^99の桁数を求めよ。ただしlog[10]3=0.4771とする。



とゆう問題があります！
わかりません！

数列の和をとって、そこから自然対数を取ろうとしたのですが、うまくできませんでした。

答えが与えられていないので、答えと解説よろしくしたいです！お願いします。
No.58290 - 2019/05/15(Wed) 16:41:52
☆ Re: 数列 / ran
できたかもしれないです！

答えは48であってますか？？
No.58292 - 2019/05/15(Wed) 16:52:18
☆ Re: 数列 / らすかる
log[10](3^99)=99log[10]3=47.2329から
10^47＜3^99＜3×10^47であり、
これに1+3+3^2+…+3^98を足しても倍にもなりませんので
10^47＜(与式)＜10^48とわかり、
48桁で正解です。
No.58294 - 2019/05/15(Wed) 17:34:27
☆ Re: 数列 / ran
たびたびすみません！

2行目までは理解できたのですが、

3行目からの、3^99に1+3+3^2+…+3^98を足しても倍にはならないから48桁のままというところが納得いきません。

倍にならないからって、たとえばですよ？たとえば3^99が999……9とかだったら、3^99に1+3+……をしたら、48桁が49桁になっちゃう的なことはないんですか？？

頭悪くてすみません。よろしくお願いします。
No.58306 - 2019/05/15(Wed) 23:22:00
☆ Re: 数列 / らすかる
> たとえば3^99が999……9とかだったら、
2行目に書いたように
「10^47＜3^99＜3×10^47」ですから、
頭の数字は1か2とわかっています。
No.58308 - 2019/05/15(Wed) 23:38:59
☆ Re: 数列 / ran
なるほど！首位の数なのですね！
ありがとうございます！
理解できました！
No.58309 - 2019/05/15(Wed) 23:54:27
★ (No Subject) / Fox
問19が分かりません。
教えてくださいm(*_ _)m
No.58287 - 2019/05/15(Wed) 14:48:24
☆ Re: / GandB
　n=2m+1、2m+2 の最終項を比較するだけ。

　というか、すぐその上にsin(x)の場合について、ヒントになる説明があるのではないの。
No.58288 - 2019/05/15(Wed) 15:34:51
★ マクローリン展開 / aibo
cos(πx)をマクローリン展開して、Σを使って表せ、という問題なのですが、解き方を教えていただきたいです、よろしくお願いします。
No.58285 - 2019/05/15(Wed) 12:28:13
☆ Re: マクローリン展開 / GandB
cosθのマクローリン展開でθ=πx とすればOK。
No.58286 - 2019/05/15(Wed) 14:46:17
☆ Re: マクローリン展開 / aibo
ありがとうございます、無事解けました。
No.58289 - 2019/05/15(Wed) 16:31:17
★ 数学二次関数 / バズ
二次関数の値の変化についてです。
この問題の◽に入る文字とグラフの
書き方が分からないので回答お願いします。
No.58284 - 2019/05/15(Wed) 10:05:31
☆ Re: 数学二次関数 / まうゆ
□は順に1,1,1,2,1,1,-1,(-1,-1),x=-2,(-2,-3),x=-2,(-2,1),
x=2,(2,-14)
グラフは頂点とどこか1点取って曲線でつなげればOK
No.58437 - 2019/05/21(Tue) 12:43:42
★ 関数方程式 / なすび
これどうすればいいのかわかりません。。
ぜひ教えてください
No.58271 - 2019/05/14(Tue) 22:31:40
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(1)
　まず、(*)の両辺を、yについて2回微分します．すると、
　　f"(x + y) ＋ f"(x - y) ＝ 2f(x)f"(y)　…(*1)
となります．
　ここで、(*1)に、x = 0 , y = 0 を代入すると、
　　2f"(0) = 2f(0)f"(0)　　∴ f"(0){f(0) - 1} = 0
となります．ここで、
　　f"(0) = -1 ≠ 0
より、
　　f(0) = 1
となります．

さらに、(*)を、yについて1回微分すれば、
　　f'(x + y) - f'(x -y) = 2f'(x)f(y)
上式に、x = 0 , y = 0 を代入すると、
　　0 = 2f(0)f'(0)
ここで、
　　f(0) = 1 ≠ 0
より、
　　f'(0) = 0
となります．


（答え）
f(0) = 1
f'(0) = 0
No.58276 - 2019/05/15(Wed) 06:50:33
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(2)
　次に、(1)(*1)に、y = 0を代入すると、
　　2f"(x) = 2f(x)f"(0)　…(*2)
となります．よって、
　　f"(0) ≠ -1
より、これを(*2)に代入して、
　　f"(x) = -f(x)
を得ます．■
No.58277 - 2019/05/15(Wed) 06:57:57
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(2)訂正
　f"(0) ≠ -1
を
　f"(0) = -1
に訂正します．
No.58278 - 2019/05/15(Wed) 06:59:44
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(3)
　F(x)を、xについて1回微分すると、
　　F'(x) = f'(x)cosx - f(x)sinx - f"(x)sinx - f'(x)cosx
　∴ F'(X) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
　ここで、(2)より、
　　f"(x) = -f(x)
より、これを(*3)に代入して、
　　F'(x) = 0
よって、F(x)は定数である．

　次に、G(x)について、G(x)を、xについて1回微分すると、
　　G'(x) = f'(x)sinx + f(x)cosx + f"(x)cosx - f'(x)sinx
　∴ G'(X) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
　ここで、(2)より、
　　f"(x) = -f(x)
より、これを(*4)に代入して、
　　G'(x) = 0
よって、G(x)は定数である．■
No.58279 - 2019/05/15(Wed) 07:11:43
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(3)つづき
　F(0) = f(0)cos0 - f'(0)sin0
　ここで、
　f(0) = 1
より、
　F(0) = f(0) = 1

　G(0) = f(0)sin0 - f'(0)cos0
　ここで、
　f'(0) = 0
より、
　G(0) = f'(0) = 0

（答え）
F(x) = 1
G(0) = 0
No.58280 - 2019/05/15(Wed) 07:17:07
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(4)
　(3)より、
　　F(x) = f(x)cosx - f'(x)sinx = 1
です．上式の両辺にcosxをかけると、
　　f(x)(cosx)^2 - f'(x)sinx・cosx = cosx　…(*5)
となります．

　また、(3)より、
　　G(x) = f(x)sinx + f'(x)cosx = 0
です．上式の両辺にsinxをかけると、
　　f(x)(sinx)^2 + f'(x)sinx・cosx = 0　…(*6)
となります．

　ここで、(*5)と(*6)の両辺を足すと、
　　f(x){(cosx)^2+(sinx)^2} = cosx　…(*7)
となります．ここで、
　　(cosx)^2+(sinx)^2 = 1
に注意すると、(*7)より、
　　f(x) = cosx
となります．


（答え）
f(x) = cosx
No.58281 - 2019/05/15(Wed) 07:26:11
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(*)は、三角関数の"和積の変換公式"に似ています．
(4)の答えが「cosx」になるだろうと予想して、計算していきました．

上に解答において、論理的におかしなところがあるでしょうか。。。

返信まっております。
No.58282 - 2019/05/15(Wed) 07:31:37
☆ Re: 関数方程式 / X
＞＞おぎちんさんへ
まずNo.58279において二か所タイプミスがありますね。
＞＞∴ F'(X) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
は
∴ F'(x) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
＞＞∴ G'(X) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
は
∴ G'(x) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
の誤りでは？

次にNo.58281について。
単にf(x)だけ求めるのではなくて、f'(x)も
求めた上で、矛盾がないか確かめる必要が
あるのでは？。
No.58302 - 2019/05/15(Wed) 20:39:51
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
＞＞Xさんへ
ご指摘ありがとうございます。
おっしゃる通り、タイプミスでした。すみません。

　ついでにはなりますが、No.58280においても訂正があります。最後の行の
　　G(0) = 0
を
　　G(x) = 0
に訂正します。

　ひきつづきN0.58280の補足ですが、
F(x)、G(x)が定数関数であることはNo.58279にて証明済みなので、それぞれx = 0における値のみを計算して、F(x)、G(x)の値としております。


　また、No.58281においてのご指摘についてもありがとうございます。

「答えが問題の命題の必要条件になっていることだけでなく、十分条件になっていることを確認せよ」

とのことだと理解しました。確かに確認はしておりませんでした。（確認の論述は省略します。）
No.58305 - 2019/05/15(Wed) 23:21:21
★ (No Subject) / び
半径1の2つの円A,Bが座標平面上の領域[0<x<4,0<y<4]
を2つが交わらないようにそれぞれ自由に動く時、円Aの中心が通過する領域の面積を求めよ。

よろしくお願いします。
No.58263 - 2019/05/14(Tue) 19:04:07
☆ Re: / らすかる
求める領域は
x=1,x=3,y=1,y=3で囲まれる正方形の内部で
中心(1,1)半径2の円の外部または
中心(3,1)半径2の円の外部または
中心(3,3)半径2の円の外部または
中心(1,3)半径2の円の外部
となりますので、求める面積は
(図を見て下さい)
(黄色)=(半径2中心角60°の扇形)-(1辺2の正三角形)=2π/3-√3
(緑)+(黄色)=(半径2中心角30°の扇形)=π/3
(緑)=π/3-(2π/3-√3)=√3-π/3
(求める面積)=(緑)×4=4(√3-π/3)
となりますね。
No.58267 - 2019/05/14(Tue) 20:04:29
★ (No Subject) / 太田
二枚目の方
No.58256 - 2019/05/14(Tue) 10:04:14
★ 条件？ / 太田
⑶の?Bで僕が鉛筆で線を引いたところなのですが、2つ以上なのに、3つの内の一つの整数を限定するだけで求まるのが分からないです。
No.58255 - 2019/05/14(Tue) 10:03:38
☆ Re: 条件？ / らすかる
追加の画像は「返信」から書き込みましょう。
新しく投稿するとつながりがわからなくなります。

本題ですが、
「3つの内の一つの整数を限定するだけで求まる」とは書かれていませんし、
実際一つの整数を限定するだけでは求まりませんが、
これはどういう意味ですか？
No.58257 - 2019/05/14(Tue) 10:37:04
☆ Re: 条件？ / X
横から失礼します。

＞＞太田さんへ
分からない部分をとりあえず置いておき、
模範解答を最後まで読みましたか？
鉛筆で傍線を引っ張った部分は

整数解が2つ以上になるようなkは「存在しない」

という解答に至るまでの過程の一部です。


この過程において、もし題意を満たすkが
存在すると仮定したとすると、
整数解として候補になるxの値
において、対応するkの値
が一致する必要がありますよね？

そのkの値を調べているのが、鉛筆で
傍線を引っ張った部分辺りから下の
過程です。
No.58259 - 2019/05/14(Tue) 17:28:44
☆ Re: 条件？ / 太田
>Xさん
模範解答では存在しないことで結論付けていることは分かります。
なんとなくわかったことですが、一つの整数解は?Aで求めたグラフの概形と?Bの代入した値から何個か存在する。しかし、その何パターンかを実際にf(x)に代入して、それらのパターンの中にもう一つの整数解があるか調べているということですか？
No.58261 - 2019/05/14(Tue) 18:22:14
☆ Re: 条件？ / らすかる
x=1またはx=-2のとき、他の解は整数ではない。
他に整数解が二つになるような可能性がある解は
x=-3,-1,0,2の4つだけである。
x=-3を解に持つときk=0
x=-1を解に持つときk=-4
x=0を解に持つときk=9
x=2を解に持つときk=5
これを逆に言うと
k=-4のとき整数解はx=-1のみ
k=0のとき整数解はx=-3のみ
k=5のとき整数解はx=2のみ
k=9のとき整数解はx=0のみ
となり、kがいくつであっても整数解は二つあることはない。

という流れですが、この中でわからない箇所はありますか？
No.58262 - 2019/05/14(Tue) 19:00:37
☆ Re: 条件？ / 太田
分かりました。ありがとうございます。
No.58283 - 2019/05/15(Wed) 09:29:14
★ 微分方程式 定数分離法？ / 大2
2の(a)を解いて詳しいやり方を教えて頂きたいです。前も質問させて頂きましたが、時間が経ってしまったので…。どなたかよろしくお願いします。
No.58253 - 2019/05/14(Tue) 08:25:13
☆ Re: 微分方程式 定数分離法？ / 大2
間違えました、3の(a)です、お願いします
No.58254 - 2019/05/14(Tue) 08:49:09
☆ Re: 微分方程式 定数分離法？ / GandB
　定数分離法？ほんとに大学生なのかねwwwww

> 前も質問させて頂きましたが、時間が経ってしまったので…。
　その間何をしていたのだ（笑）。大学生なら、暇はたっぷりあるはずだが。何の変哲もない、単なる「変数分離型」の微分方程式だぞ。

　　　　　　　dy　　　
　　(1+x^2)･── = x(1+y^2)
　　　　　　　dx
なのだから、
　　　　1　　　　　x
　　───dy = ────dx
　　1+y^2　　　1+x^2

のように変数分離すればよい。
No.58258 - 2019/05/14(Tue) 10:44:37
☆ Re: 微分方程式 定数分離法？ / ast
時間がたったと言ってもたかだか4日ほど前で次ページ入ってすぐなのに, なんだろう, 次ページに行くのを待ってたってことかな…?

前の回答だけでも, 変数分離形はわかるか, (b)は質問に入ってないが解けるのか, 逆三角函数の微分に覚えはあるか, の三点くらいはYes/Noで答えられるような問いかけをしたはずだけど, それ全部スルーしてゼロから再質問する理由とか意味はある?
No.58260 - 2019/05/14(Tue) 18:17:27
★ 高校数学 / 宅浪生
写真の問題が解けそうで解けません。ヒントおねがいします。
No.58250 - 2019/05/14(Tue) 04:49:08
★ 数3　微分について / 浪人生
教科書には、微分係数の定義は2通り書いてあって
そのうちの一つに
　lim[h→0}{f(a＋h)−f(a)}/h=f'(a)とあります。
ある問題集の回答では、教科書通りに
　lim[h→0]{f(a−2h)−f(a)}/(−2h)=f'(a)となっていました。
私は、lim[h→0]{f(a)−f(a−2h)}/2h=f'(a)と書いたのですが、合っているでしょうか？
個人的には、下の方が図からもイメージしやすいと思うのですが、教科書の定義と違うので質問させていただきました。回答宜しくお願いします。
No.58246 - 2019/05/14(Tue) 00:33:07
☆ Re: 数3　微分について / らすかる
lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h=f'(a)でhに-2hを代入すれば
lim[-2h→0]{f(a-2h)-f(a)}/(-2h)=f'(a)すなわち
lim[h→0]{f(a-2h)-f(a)}/(-2h)=f'(a)
分子分母に-1を掛ければ
lim[h→0]{f(a)-f(a-2h)}/(2h)=f'(a)
ですから、どれも全く同じ意味の式です。
しかし、普段見かけないような式を書くと、
合っていても（採点者の勘違いで）×になる可能性が高くなりますので、
なるべく「一般的に多く使われている」式にしておいた方が無難かと思います。
No.58248 - 2019/05/14(Tue) 01:08:11
☆ Re: 数3　微分について / 浪人生
ありがとうございます
No.58269 - 2019/05/14(Tue) 20:34:23
★ (No Subject) / happy
三角形ABCにおいてAB=2,AC=BC=3である。さらにBC上に点DとEを取りBD=DE=ECとする。AEの延長線上が三角形ABCの外接円と交わる点をFとしCFの延長線とADの延長線が交わる点をGとする

cosBAC=1/3
AE=4√3/3
EF=√3/2
三角形BCFの面積=3√2/4
AD=√33/3
sinCDG=4√66/33
DG=？(解答2√33/5)

DGの値の出し方がわかりません。解説よろしくお願いします
No.58245 - 2019/05/13(Mon) 23:42:13
☆ Re: / らすかる
AB=BEなので
cos∠DCG=cos∠BCF=cos∠BAF=cos∠BAE=(AE/2)/AB=√3/3
sin∠DCG=√{1-(√3/3)^2}=√6/3

sin∠CDG=4√66/33
cos∠CDG=√33/33

sin∠CGD=sin(∠DCG+∠CDG)
=sin∠DCG・cos∠CDG+cos∠DCG・sin∠CDG
=(√6/3)(√33/33)+(√3/3)(4√66/33)
=5√22/33

DG/sin∠DCG=CD/sin∠CGDから
DG=CDsin∠DCG/sin∠CGD
=2(√6/3)/(5√22/33)
=2√33/5
No.58251 - 2019/05/14(Tue) 04:57:06
★ 確率の問題 / kh
当たりを引く確率がa(0<=a<=1)のくじ引きがあるとする。
n回くじ引きを引くとする。
n回引いて、m回当たりが出たとき、確率aがb(0<=b<=1)未満である確率xの公式って求められますか？
m,nは自然数です。

分かりづらいと思いますので例を挙げます。
くじ引きを10回(n)引いて、8回(m)当たりが出ました。
その時、そのくじ引きが当たりを出す確率(a)が80％(b)未満である確率(x)はいくらか。
その答えと、それぞれの数字を変えたときに簡単に答えが分かるように公式が知りたいのですが、計算方法が分かりません。

その他なにか前提が意味不明とかの指摘があれば教えてください。
No.58235 - 2019/05/13(Mon) 18:45:29
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
# 途中計算にちょっと自信がありませんが…

当選確率aのくじをn回引いてm回当たる確率は
a^m・(1-a)^(n-m)なので
aがb未満である確率は
{∫[0〜b]x^m・(1-x)^(n-m)dx}/{∫[0〜1]x^m・(1-x)^(n-m)dx}
={Σ[k=0〜n-m]m!(n-m)!/{k!(n+1-k)!}・b^(n+1-k)・(1-b)^k} / {m!(n-m)!/(n+1)!}
={Σ[k=0〜n-m](n+1)Ck・b^(n+1-k)・(1-b)^k}
つまり
x=(当選確率bのくじをn+1回引いてm+1回以上当たる確率)
となると思います。
n=10,m=8,b=0.8のときは
x=11C0・0.8^11+11C1・0.8^10・0.2+11C2・0.8^9・0.2^2
=0.6174015488
No.58241 - 2019/05/13(Mon) 20:45:00
☆ Re: 確率の問題 / kh
回答ありがとうございます。
すいません、不勉強なもので途中式の部分が全く理解できないのでわかりませんが、

「aがb未満である確率=当選確率bのくじをn+1回引いてm+1回以上当たる確率」
となる場合、
n=10、m=10、b=1の時、
「aが100％未満である確率=当選確率100％のくじを11回引いて11回以上当たる確率つまり100％」となり
10回引いて10回当たる時aが100％であることもあり得ることから矛盾しませんか？

もしくは、回答いただいたのは「aがb"以下"である確率」となっているとかでしょうか？
No.58244 - 2019/05/13(Mon) 23:22:11
☆ Re: 確率の問題 / らすかる
当初、式に問題があるのかと思っていましたが、
良く考えてみるとaが連続値なので矛盾していませんね。
b=1のときはa＜1である確率が100%、つまりa=1である確率は0ですが
連続値では特定の値になる確率は0なので問題ありません。
実際、10回引いて10回当たった場合は
a=1である確率
a=0.999999999999999999999999999である確率
a=0.999999999999999999999999998である確率
a=0.999999999999999999999999997である確率
・・・
のようにほとんど同じ確率であるものが無限個ありますので、
a=1である確率は0となります。
同様に、任意の定数Cに対してa=Cである確率は0です。
つまり、a=bである確率は0ですから、
「b未満」でも「b以下」でも同じということです。
No.58249 - 2019/05/14(Tue) 03:29:07
☆ Re: 確率の問題 / kh
「連続値では特定の値になる確率は0」
「つまり、a=bである確率は0」
なるほどそうなんですね・・・
理解できました。

回答ありがとうございました。助かりましたm(_ _)m
No.58252 - 2019/05/14(Tue) 05:11:36
★ フィボナッチ数列2 / KJ
フィボナッチ数列において、
初項から第1000項までに一の位が7である数は全部でいくつあるか？
という問題の発展で、10で割った余りの周期性について考察しています。(画像に書いてあります。)

質問 画像の解説の証明(理由)が考えてもわかりません。
どなたか教えていただきたいで す。
No.58233 - 2019/05/13(Mon) 17:38:09
☆ Re: フィボナッチ数列2 / らすかる
D[1]=D[2]=1, D[16]=D[17]=7
がわかったならば、
D[n]=D[n+1]=1のときにD[n+15]=D[n+16]=7
となるのは大丈夫でしょうか。
もしD[m]=k,D[m+1]=kとすると
D[m]=kD[n],D[m+1]=kD[n+1]であり、
D[m]とD[m+1]がD[n]とD[n+1]のk倍ですから
D[m+2]はD[n+2]のk倍の一の位
D[m+3]はD[n+3]のk倍の一の位
・・・
となり、任意の自然数iに対して
D[m+i]はD[n+i]のk倍の一の位
となります。
よってD[m+15]=D[m+16]=(kD[n+15]の一の位)=7kの一の位
となり、結局
D[n]=D[n+1]のとき D[n+15]とD[n+16]の一の位は
D[n]の7倍の一の位
とわかります。

# もし「の一の位」の考え方が難しい場合は、
# A[n]=10a+1, A[n+1]=10b+1, A[n+15]=10c+7, A[n+16]=10d+7
# のようにおけばわかるかと思います。
No.58240 - 2019/05/13(Mon) 19:34:43
☆ Re: フィボナッチ数列2 / KJ
ありがとうございます！
もう一度自分で考えてみます！
No.58265 - 2019/05/14(Tue) 19:59:17
☆ Re: フィボナッチ数列2 / KJ
無事理解できました。
らすかるさん、ありがとうございました😊
No.58274 - 2019/05/14(Tue) 23:25:35
★ フィボナッチ数列 / KJ
フィボナッチ数列はAn+2 = An+1 + An (A1=A2=1)を満たす。

この時
[1]An (n=3の倍数 )＝ 偶数
[2]A(n=4の倍数 )＝ ３の倍数
[3]A(n=5の倍数 )＝ 5の倍数 であることを示せ。

[質問]
[1]は奇，奇，偶のくり返しが永遠に続くから、n=3の倍数は必ず偶
数になる という証明で良いでしょうか？
( 書き出して、その法則を見つけました。これが、永遠に続くという保証はどうすればよいのでしょうか？)
[2]各々の数の3で割った余りを書くと、
　１，１，２，０
　２，２，１，０ の周期になっていることに気づきました。
よって、A(n=4の倍数 )＝ 3の倍数 であるとしてよいのでしょうか？
(これが永遠に続くと証明するにはどうすればよいのでしょうか？
それとも証明する必要はないのでしょうか？)

[3]これも全く同じ質問です、
　１，１，２，３，０
　３，３，１，４，０
　４，４，３，２，０
　２，２，４，１，０ の周期を見つけたのですが、これが永遠に続くという証明はどうやるのでしょうか？
No.58232 - 2019/05/13(Mon) 17:34:13
☆ Re: フィボナッチ数列 / ＩＴ
>> [質問]
> [1]は奇，奇，偶のくり返しが永遠に続くから、n=3の倍数は必ず偶
> 数になる という証明で良いでしょうか？
> ( 書き出して、その法則を見つけました。これが、永遠に続くという保証はどうすればよいのでしょうか？)
「数学的帰納法」はご存知ですか？
こういった証明は、「数学的帰納法」の流儀に従って記述します。
No.58236 - 2019/05/13(Mon) 19:16:41
☆ Re: フィボナッチ数列 / らすかる
# An+2 と書くと(A[n])+(2)のように見えてしまいますので、A[n+2]のように書きましょう。

[1]
k,n,p,q,rはすべて自然数とします。
A[1]=1,A[2]=1,A[3]=A[1]+A[2]=2なので
n=1のとき「A[3n-2]とA[3n-1]が奇数、A[3n]が偶数」を満たす。
n=kのときに「A[3n-2]とA[3n-1]が奇数、A[3n]が偶数」を満たすと仮定すると、
A[3k-2]=2p-1,A[3k-1]=2q-1,A[3k]=2rとおける。
このとき
A[3(k+1)-2]=A[3k+1]=A[3k]+A[3k-1]=2(q+r)-1
A[3(k+1)-1]=A[3k+2]=A[3k+1]+A[3k]=2(q+2r)-1
A[3(k+1)]=A[3k+3]=A[3k+2]+A[3k+1]=2(2q+3r-1)
なので、n=k+1のときも「A[3n-2]とA[3n-1]が奇数、A[3n]が偶数」を満たす。
従って数学的帰納法によりA[3n]は偶数となる。

[2][3]も同様にすればきちんと示せます。
No.58237 - 2019/05/13(Mon) 19:17:51
☆ Re: フィボナッチ数列 / KJ
ありがとうございます。

すいません(2)は教えていただいた方法で、証明できたのですが、
(3)ができません。
(3)の証明を教えていただませんか？
No.58264 - 2019/05/14(Tue) 19:56:42
☆ Re: フィボナッチ数列 / らすかる
単純に[1]と同じようにやると20項も仮定しなければいけないので大変ですね。
「(A[5n-4]を5で割った余り)=(A[5n-3]を5で割った余り)のとき
　(A[5n]を5で割った余り)=0となり、かつ
　(A[5n+1]を5で割った余り)=(A[5n+2]を5で割った余り)となる」
を示せば、数学的帰納法で証明できると思います。
No.58268 - 2019/05/14(Tue) 20:12:53
☆ Re: フィボナッチ数列 / ＩＴ
(1) の証明のメイン部分
a[3k]≡0(mod2) と仮定すると
a[3k+2]≡a[3k+1]+a[3k]≡a[3k+1](mod2)
a[3k+3]≡a[3k+2]+a[3k+1]≡2a[3k+1]≡0(mod2)

(2) の証明のメイン部分
a[4k]≡0(mod3) と仮定すると

a[4k+2]≡a[4k+1]+a[4k]≡a[4k+1](mod3)
a[4k+3]≡a[4k+2]+a[4k+1]≡2a[4k+1](mod3)
a[4k+4]≡a[4k+3]+a[4k+2]≡3a[4k+1]≡0(mod3)

(3) の証明のメイン部分
a[5k]≡0(mod5) と仮定すると

a[5k+2]≡a[5k+1](mod5)
a[5k+3]≡a[5k+2]+a[5k+1]≡2a[5k+1] (mod5)
a[5k+4]≡a[5k+3]+a[5k+2]≡3a[5k+1] (mod5)
a[5k+5]≡a[5(k+1)]≡a[5k+4]+a[5k+3]≡5a[5k+1]≡0 (mod5)
No.58270 - 2019/05/14(Tue) 22:24:01
☆ Re: フィボナッチ数列 / KJ
らすかるさん ITさん ありがとうございます。

数学的帰納法によって全ての整数に拡張するということを今回学ばせていただきました。

(3)も無事、もう一度、アドバイスを見たあと、改めて解き直した所、証明できました！

ありがとうございます😊
No.58272 - 2019/05/14(Tue) 23:05:49
☆ Re: フィボナッチ数列 / ＩＴ
一般に、３以上の自然数rと任意の自然数m について　a[mr]≡0(mod a[r]) です。

m=1 のとき成立

m=k のとき　a[kr]≡0(mod a[r]) と仮定する。
　　t=a[kr+1]とおく

　b[s]=a[kr+s] とおくと　b[1]≡b[2]≡t(mod a[r]) ,b[n+2]=b[n+1]+b[n] なので
　b[n]≡ta[n](mod a[r])
よって　b[r]≡ta[r]≡0(mod a[r])
すなわち　a[kr+r]≡a[(k+1)r]≡0(mod a[r])

したがって任意の自然数mについて　a[mr]≡0(mod a[r])

(1)はr=3,(2)はr=4,(3)はr=5 の場合です。
No.58275 - 2019/05/15(Wed) 00:00:42
☆ Re: フィボナッチ数列 / KJ
IT さんありがとうございます。

その他の事象についても、考えてみます。
No.58295 - 2019/05/15(Wed) 17:38:58
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