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★ (No Subject) / ゆい橋
この矢印を書いたところの計算過程がわかりません！詳しく教えてください！
No.58867 - 2019/06/04(Tue) 20:46:34
☆ Re: / ast
分母の式は通分すれば 1 - 1/(a^2+1) = ((a^2+1)-1)/(a^2+1) = a^2/(a^2+1) なので, 全体の式の分母分子に a^2+1 を掛ければ

　{a(a^2+1)}/a^2 * {1 - (1/(a^2+1)^n)}

となり, a/a^2 は約分して 1/a なので, 結局

　(a^2+1)/a * {1 - (1/(a^2+1))^n}

です. 個人的にはうしろの {1 - (1/(a^2+1)^n)} はこのままのほうがきれいだと思いますのでこれ以上の変形は余分だと思いますが, 本に合わせるならば (1/(a^2+1))^n = 1/((a^2+1)^n) としてから通分すれば矢印の先の式になりますね.
No.58868 - 2019/06/04(Tue) 21:06:12
★ 高校 数学 / すい
自分で解いてみましたがよく分かりません。
間違っていたら、教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.58866 - 2019/06/04(Tue) 20:31:08
★ (No Subject) / ξ
(1)三角形ABC において tanA*tanB=1となるとき
三角形ABCの形状はどうなるか？

(2)鋭角三角形ABC において tanA*tanB=1となるとき
三角形ABCの形状はどうなるか、もしくはそれは存在するか？



お願いします
No.58863 - 2019/06/04(Tue) 20:01:29
☆ Re: / ＩＴ
(1) 略解
tanA*tanB=1より tanA＞0　かつ　tanB＞0　であり　0＜A,B＜π/2
　頂点Cから辺ABへの垂線の足をHとする。
　AH=1,CH=hとするとtanA*tanB=1より BH=h^2
　∴AB=1+h^2
　三平方の定理より、AC^2=1+h^2,BC^2=h^4+h^2,

よって AB^2=AC^2+BC^2 なので　∠C=π/2
△ABCは直角三角形

これだと問い(2)が無意味なので　勘違いかも知れません。
No.58864 - 2019/06/04(Tue) 20:26:24
☆ Re: / ＩＴ
(1)下記のようにも出来ますね。
tanA*tanB=1より (CH/AH)(CH/BH)=1
∴　CH/AH=BH/CH
∴２つの直角三角形△CAHと△BCHは相似
∴∠CAH＝∠BCH
∴∠ACB＝∠ACH+∠BCH＝∠ACH+∠CAH＝直角
No.58896 - 2019/06/05(Wed) 18:58:03
☆ Re: / ξ
ありがとうございました

tan>0から 0<θ<π/2が導かれるのですね
No.58916 - 2019/06/06(Thu) 20:04:09
★ 物理 / 受験生
この問題を解いてください
No.58861 - 2019/06/04(Tue) 19:50:14
☆ Re: 物理 / 関数電卓
(1) 求める加速度を a とすると、
　題意より L＝(1/2)at^2　∴ a＝2L/t^2 …?@
(2) 求める力 F は、F＝ma＝2mL/t^2 …?A (∵?@)
(3) P の電気量を q とすると、q＝F/E＝2mL/(Et^2) (∵?A)
(4) P が電場からされる仕事が P の運動エネルギー K になる。
よって K＝kqQ/L (k：クーロンの法則の比例定数)
(5) K＝(1/2)mv^2＝kqQ/L　∴ q＝mv^2L/(2kQ)
No.58870 - 2019/06/04(Tue) 21:58:01
★ (No Subject) / aibo
微分方程式 dy/dx = y^2-4 を解け、という問題で、解答が下のようになるらしいのですが、2行目から3行目への変形がわかりません。自分で計算したところ、どうしても左辺の係数が1/4 になってしまいます。なぜ係数が1/2になるのか、教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.58851 - 2019/06/04(Tue) 12:49:28
☆ Re: / ast
1/4のほうが正しいと思いますよ (なので後のほうでも e^(2x) ではなく e^(4x) に直す必要がある).
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+dy%2Fdx%3Dy%5E2-4
No.58853 - 2019/06/04(Tue) 13:12:09
☆ Re: / aibo
そうですよね、ありがとうございます。
No.58877 - 2019/06/05(Wed) 01:22:29
★ 条件の数字 / あ
線を引いたところなのですが、?@よりb≧2であるから
と書かれていてb≧1じゃなくてb≧2なのは何故なのでしょうか。
No.58849 - 2019/06/04(Tue) 12:22:04
☆ Re: 条件の数字 / Ｘ
mは１以上の整数ですから　３^mは３以上です。
No.58850 - 2019/06/04(Tue) 12:28:52
☆ Re: 条件の数字 / あ
すみません。何を意図して仰っているのかわかりません。
No.58854 - 2019/06/04(Tue) 13:21:17
☆ Re: 条件の数字 / らすかる
?@の式はb+1=3^mで右のカッコ内にm≧1と書かれていますので
b+1=3^m≧3です。
つまりb+1≧3なので
b≧2となります。
No.58855 - 2019/06/04(Tue) 14:24:30
★ (No Subject) / やー
高校数学です。
答えが分からないです。
よろしくお願いします
No.58844 - 2019/06/04(Tue) 11:16:13
☆ Re: / らすかる
7個ずつ詰めて12個余り、その余ったリンゴを各箱に1個ずつ
追加してもリンゴが余るから、箱の個数は11個以下
7個ずつ詰めて12個余った状態から
7個入った箱を二つ空にすると、余りは7×2+12=26個
この26個をまだ7個入っている箱に3個ずつ入れていくと
全部入りきるので、現在リンゴが7個入っている箱は
8×3＜26＜9×3から9個以上
すなわち箱は全部で11個以上
従って箱はちょうど11個なので
リンゴは7×11+12=89個
これは全条件を満たすので、これが答え。


方程式を立てて解くならば、
リンゴの個数をy、箱の個数をxとすると、条件から
(1)y=7x+12
(2)y＞8x
(3)10(x-3)＜y＜10(x-2)
(1)と(2)からyを消去して整理すると x＜12
(1)と(3)からyを消去して整理すると 11≦x≦14
これよりx=11,y=89となり、これは(1)(2)(3)を満たすので、
答えは89個
No.58845 - 2019/06/04(Tue) 11:39:14
★ tanθがマイナスの場合でも正しいというか、正の値の曲率はもとまるのでしょうか？ / マーク42
physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html
に関しては、
tanθがマイナスの場合でも正しいというか、正の値の曲率はもとまるのでしょうか？
ちなみに、必ず正しい曲率の値を導くためには、
θが90°より大きい場合はθを90°より小さくするか、反転させてθとは別に90°より小さい角Aを作るなどすれば大丈夫でしょうか？
No.58842 - 2019/06/04(Tue) 10:22:21
☆ Re: tanθがマイナスの場合でも正しいというか、正の値の曲率はもとまるのでしょうか？ / マーク42
まあ、角度をθが90°より大きい場合はθを90°より小さくして図を反転させて、式を導いた時の図と同じような図にするためならば必ず正の値の曲率がでるので、この方法にした方が良いかもしれません。
tanθがマイナスの場合の時は曲率がマイナスになって正しい値でないこともあるかもしれませんので。
No.58962 - 2019/06/08(Sat) 14:45:32
★ 複素数の実数条件 / おんJ民
【問題】
複素数z_1、z_2に対して、
w = (z1 + z_2) + i (z_1 − z_2)
が実数となるとき、z_1とz_2の関係を求めよ。

【答え】
z_2 = z_1*　（*は複素共役）

【質問】
確かに代入すると成立することはわかるのですが、どのように示せばよいのかがわかりません。
よろしくお願いします。
No.58835 - 2019/06/04(Tue) 00:20:05
☆ Re: 複素数の実数条件 / らすかる
その答えは正しくないと思います。
例えばz1=2+3i, z2=7+2iのとき
(z1+z2)+i(z1-z2)=8(実数)となりますが、
z1とz2は複素共役ではありません。

# もし私の勘違いでしたらご容赦下さい。
No.58836 - 2019/06/04(Tue) 00:50:11
☆ Re: 複素数の実数条件 / ＩＴ
らすかるさんの反例もあるように　その答えは間違いですね。
問題か答えの書き間違いでは？　出典は何ですか？

w = (z_1 + z_2) + i (z_1 - z_2) が実数
⇔　w=w~
⇔(z_1 + z_2) + i (z_1 - z_2)=(z_1~ + z_2~) -i (z_1~ - z_2~)
⇔(1+i)(z_1-z_2~)=(1-i)(z_1~-z2)=((1+i)(z_1-z_2~))~
⇔(1+i)(z_1-z_2~)が実数
⇔z_1-z_2~＝a/(1+i)=a(1-i)/2 (aは実数）
⇔z_1-z_2~＝a(1-i) (aは実数)

もっと直接出せそうですが。
なお、z~ はzの共役複素数を表します
No.58837 - 2019/06/04(Tue) 01:25:19
★ tanθの式について。 / マーク42
画像の式 tanθ=の式は正しいですか？
No.58821 - 2019/06/03(Mon) 17:03:13
☆ Re: tanθの式について。 / マーク42
仮に間違っている場合は何が間違っているか教えてください。
No.58822 - 2019/06/03(Mon) 17:03:53
☆ Re: tanθの式について。 / 関数電卓
お尋ねに対する直接の回答ではありません。
下にある No.58741, No.58790 に続く一連の考察と思われますが…、次元解析の立場から気がつくことです。

角は無次元の量なので、図にあるように FE＝dθ と長さを表現するのには無理があります。
このことにより、その下にある式の変形を目で追うことが大変になっています。
式の次元をそろえることに気をつけられると、わかりやすくまちがいにくい式の展開ができること請け合いです。
No.58825 - 2019/06/03(Mon) 18:53:06
☆ Re: tanθの式について。 / らすかる
-tanθ=-dcosθ/dsinθという式は
何を根拠に出てきた式ですか？
No.58826 - 2019/06/03(Mon) 18:54:51
☆ Re: tanθの式について。 / マーク42
すいません。間違えました。
-tanθ=-dcosθ/dsinθではなく、tanθ=-dcosθ/dsinθです。
No.58831 - 2019/06/03(Mon) 23:19:53
☆ Re: tanθの式について。 / らすかる
tanθ=-dcosθ/dsinθという式は
何を根拠に出てきた式ですか？
No.58832 - 2019/06/03(Mon) 23:24:03
☆ Re: tanθの式について。 / マーク42
画像の三角形FGEより角度θを基準としてtanθを作ると-dcosθ/dsinθと作れたためです。
また、dcosθ/dsinθはdcosθ=dθsinθ、dsinθ=dθcosθよりdcosθ/dsinθ=sinθ/cosθとなるためtanθ=-dcosθ/dsinθと出来るのではないかと思いました。
No.58838 - 2019/06/04(Tue) 08:45:55
☆ Re: tanθの式について。 / らすかる
△FGEからtanθ=GE/FG=-dcosθ/dsinθとしたのであれば、
それ以前に三角形の下にFG=dθ・cosθ、GE=-dθ・sinθと書いてありますので
直接tanθ=GE/FG=(-dθ・sinθ)/(dθ・cosθ)=-sinθ/cosθが導けることになり、
dcosθやdsinθなどは不要で、意味をなしていません。
No.58840 - 2019/06/04(Tue) 09:34:18
☆ Re: tanθの式について。 / マーク42
紙の画像の少し間違っていました。
正しくは-GE=dθ・sinθです。GE=-dθ・sinθと変形します。
tanθ=GE/FGは正しくはtanθ=-GE/FGです。
直接tanθ=-GE/FG=(dθ・sinθ)/(dθ・cosθ)=sinθ/cosθとなります！
間違いが多くてすいません。
No.58843 - 2019/06/04(Tue) 10:40:35
☆ Re: tanθの式について。 / らすかる
> 直接tanθ=-GE/FG=(dθ・sinθ)/(dθ・cosθ)=sinθ/cosθとなります！
そうですね。
よってdcosθやdsinθは不要ですし、△FGEで斜辺をdθとおく必要もないですね。
最初から△FGEでEF=1、∠EFG=θとすればcosθ=FG、sinθ=GEなので
tanθ=GE/FG=sinθ/cosθです。
dθ、dcosθ、dsinθや右の図は、何のためにあるのでしょうか。
No.58846 - 2019/06/04(Tue) 11:49:12
☆ Re: tanθの式について。 / マーク42
＞＞dθ、dcosθ、dsinθや右の図は、何のためにあるのでしょうか。
確かにそこまで必要はないですね。ただどのように表せるのか気になり引き出してきたものでして、ただの好奇心を満たすためにあるとしか言えません。
私事で曖昧な理由ですいません。
どうもありがとうございました。
No.58848 - 2019/06/04(Tue) 11:58:21
★ 代数です。 教えて下さい。 / たらたら
次の連立方程式の自由度を2にするように（a,b,c)の値を求めよ

Ax＝b

1 c 1 x1. a
A= 2 2 b x= x2 b= 4
1 b-c 1 x3 2c



この問題がさっぱり分かりません。解説お願いします。
No.58819 - 2019/06/03(Mon) 16:41:01
★ 代数の問題です。教えて下さい。 / たらたら
次の連立方程式の自由度を2にするように（a,b,c)の値を求めよ

Ax＝b

1 c 1 x1. a
A= 2 2 b x= x2 b= 4
1 b-c 1 x3 2c
No.58818 - 2019/06/03(Mon) 16:39:48
☆ Re: 代数の問題です。教えて下さい。 / GandB
> 1 c 1 x1. a
> A= 2 2 b x= x2 b= 4
> 1 b-c 1 x3 2c
　こんな書き方ではさっぱりわからん。問題の画像を載せた方がよい。
　いや、その前に線形代数の参考書で連立一次方程式の解説を読んだ方が手っ取り早い。
No.58828 - 2019/06/03(Mon) 20:18:19
★ 数?U / ran
⑶ y=√(1+| 2x-x^2 |) のグラフをかけと言う問題があります。

私は、場合分けすると、x≧2 x≦0のときは双曲線のようになってしまう気がするんですが、答えが全然何言ってるかわかりません。

教えていただきたいです！
よろしくお願いします。
No.58793 - 2019/06/02(Sun) 12:19:12
☆ Re: 数?U / X
＞＞双曲線のようになってしまう気がするんですが
そのようにはなりません。

x≧2,x≦0のとき、絶対値を外すと
y=√{1-(2x-x^2)}
=√(1-2x+x^2)
=√(x^2-2x+1)
=√{(x-1)^2}
=|x-1| (A)
となるのはよろしいですか？
後は(A)の絶対値を場合分けして外します。
No.58795 - 2019/06/02(Sun) 13:57:38
☆ Re: 数?U / ran
ちょっと頭が悪かったですね
ありがとうございます！
No.58797 - 2019/06/02(Sun) 18:52:55
★ (No Subject) / みどり
Nを自然数とする。

a_1=N、a_(n+1)=[(a_n+[N/a_n])/2](n=1、2、3)で定まる数列{a_n}について以下の問いに答えよ。ただし[x]はxを超えない最大の整数を表す。

(1)a_n≧[√N]を証明せよ。

(2)a_n≦a_(n+1)ならばa_n=[√N]であることを証明せよ。

ガウス記号は苦手ですので、詳しく教えて頂けないでしょうか？よろしくお願いします！
No.58791 - 2019/06/02(Sun) 11:38:08
☆ Re: / ＩＴ
(1) 概要　（相加平均≧相乗平均　のパターンですが、ガウス記号があるので少し工夫が必要です）

a_n は正整数である。（要証明）
f(x)=x+[N/x],(x は正整数),g(x)=x+N/x,(xは正数)とおく

g(x) は、x=√Nのとき最小値　2√Nをとる。
よって g(x)≧2√N≧2[√N]

正整数xについて　f(x)=[g(x)]≧2[√N]、
よって　[f(x)/2]≧[√N]
No.58794 - 2019/06/02(Sun) 13:56:40
☆ Re: / ＩＴ
2)
a_n ≧[√N]+1 のとき
　N/a_n ≦N/([√N]+1)
　[√N]+1＞√N　なので　N/([√N]+1)＜N/√N＝√N
　よって　N/a_n＜a_n
　よって　(a_n+[N/a_n])/2＜a_n
　よって　a_(n+1)＜a_n となる。

したがって　a_n≦a_(n+1) ならばa_n ＝[√N]　
No.58796 - 2019/06/02(Sun) 14:48:11
★ d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
cos^2θの微分を図で行いたいと考え図を頂きました。
ですがd(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形が作れません。
どうか比の計算によってd(cos^2θ)/dθ＝と置けるような相似の図がどこにあるか教えて頂けないでしょうか。
No.58790 - 2019/06/02(Sun) 11:34:22
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
その図の中に「(sinθ)dθ」や「(cosθsinθ)dθ」など、
相似の図形によって出しているものがいくつもあります。
この図まで出来ていれば、図から
d((cosθ)^2)=(cosθsinθ)dθ+(cosθsinθ)dθ
=2(cosθsinθ)dθなので
d((cosθ)^2)/dθ=2cosθsinθ
で終わりだと思いますが。
No.58792 - 2019/06/02(Sun) 12:09:34
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
らすかるさん、毎度毎度ありがとうございます。
恥ずかしながら相似条件の図が全く見つけられず昨日から考えに老けっています。どこの図形を使ってd((cosθ)^2)/dθ=2cosθsinθと導いたのか教えて頂けないでしょうか？
また2cosθsinθはsin2xと展開できます。しかし(cosθ)^2の微分はd((cosθ)^2)/dθ=−sin2xと表せますが、マイナスはどこから出てくるのでしょうか？
No.58801 - 2019/06/03(Mon) 08:58:58
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
相似の三角形は、例えば右上の「(sinθ)dθ」を図形から求めるためには
その下の「dθ」を斜辺とする小さい直角三角形が必要で、
dθを斜辺とする直角三角形のこの図で最小の角がθなので
短辺（x軸と平行な辺）の長さがdθ×sinθとなります。
「(cosθsinθ)dθ」の方も、「なぜ(cosθsinθ)dθになるのか」を考えれば
相似の直角三角形が必要になるはずですので、まず
「なぜ(cosθsinθ)dθになるのか」を考えてみて下さい(2箇所とも)。

> マイナスはどこから出てくるのでしょうか？
あ、マイナスでしたね。
これはθがdθ増えるときに
図で「太い赤線」→「細い赤線」のように2cosθsinθdθ「短く」なって
いますので、マイナスになります。
No.58802 - 2019/06/03(Mon) 09:31:55
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
どうもありがとうございます！
わかりました！もう少し頑張って相似条件にできる三角形を見つけてみます。
ちなみに、相似条件における三角形は2つあるということでしょうか？（比較するための基の三角形も入れると3つ）
No.58804 - 2019/06/03(Mon) 11:29:34
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
どうもありがとうございます！
わかりました！もう少し頑張って相似条件にできる三角形を見つけてみます。
ちなみに、相似条件における三角形は2つあるということでしょうか？（比較するための基の三角形も入れると3つ）

マイナスにおいては相似条件により比で計算出来て、その計算の過程での式で引き算、すなわち差によってマイナスになるということでしょうか？
No.58805 - 2019/06/03(Mon) 11:31:46
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
> 相似条件における三角形は2つあるということでしょうか？
(B)、(C)、(D)、(E)をどうやって出すかを
考えればわかりますので、考えてみて下さい。
(このうち(B)は私が上で書きました)

> マイナスにおいては相似条件により比で計算出来て、その計算の過程での
> 式で引き算、すなわち差によってマイナスになるということでしょうか？
違います。
図からθ→θ+dθのとき(cosθ)^2→(cosθ)^2-d((cosθ)^2)と
なっていることでわかることです。
図で考えているのですから、マイナスも図から読み取ります。
No.58806 - 2019/06/03(Mon) 12:19:05
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
d(cos^2θ)/dθ＝とする為に、d(cos^2θ)を含む三角形を作る必要があると思うのですが、画像のような小さな三角形を作ればよいでしょうか。
そこ意外にd(cos^2θ)を含む三角形はまだ見つかっていません。
No.58807 - 2019/06/03(Mon) 12:39:35
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
返信ありがとうございます。
少しずつですがわかってきました。
（B)と（A)はどうやって導かれたかわかってきたのですが、
それ以外の（C)（D)（E)の導き方がわかりません。
どうかヒントを頂けますか？
No.58808 - 2019/06/03(Mon) 12:47:55
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
（C)の導き方はわかりました！
残るは（D)と（E）に関してです。
この2つは少し難しいのでヒントを頂けるとありがたいです。
No.58809 - 2019/06/03(Mon) 12:56:16
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
すいません間違えました。
（D)の導き方はわかりました！
残るは（C)と（E）に関してです。
この2つは少し難しいのでヒントを頂けるとありがたいです
No.58810 - 2019/06/03(Mon) 12:57:20
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
> d(cos^2θ)を含む三角形を作る必要があると思うのですが
d((cosθ)^2)は二つの(cosθsinθ)dθの合計になっていますので、
d((cosθ)^2)を含む三角形は必要ありません。

(C)は、緑細線の下端から緑太線に垂線を下ろしてできる細かい三角形で求まります。

(E)は、二つある細長い二等辺三角形の相似です。
No.58811 - 2019/06/03(Mon) 13:14:35
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
教えてくださりありがとうござます！
d(cos^2θ)が（C)と（E)の和となぜわかるのでしょうか。また、d(cos^2θ)が（C)と（E)となるため（C)と（E)を求めたのでしょうか？
ちなみに（C)ってsinθ*cosθ*dθってことでしょうか？
No.58812 - 2019/06/03(Mon) 13:43:33
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
（E)の求め方としては長細い（ほぼ）二等辺三角形で近似して求めるということでしょうか？
（E)を求める式はdθ:1≒x:cosθsinθという式になったのですがあっていますか？
またどうやって相似条件の三角形を作ったのでしょうか？
「緑細線の下端から緑太線に垂線を下ろしてできる細かい三角形」など、なぜ角度がθの三角形を作れたのか気になります。
もう一つ、No.58807の黒い三角形の角度はθではないとなぜわかったのでしょうか？
d(cos^2θ)を含む三角形として使えないとわかった理由が知りたいです。
No.58813 - 2019/06/03(Mon) 13:57:28
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
> d(cos^2θ)が（C)と（E)の和となぜわかるのでしょうか。
図から明らかですね。

> また、d(cos^2θ)が（C)と（E)となるため（C)と（E)を求めたのでしょうか？
そうです。

> ちなみに（C)ってsinθ*cosθ*dθってことでしょうか？
(cosθsinθ)dθ=sinθ*cosθ*dθなのでどう書いても同じですが、
掛ける順番にこだわった書き方をしたいならば、
(C)の出し方から考えると(sinθ)dθ*cosθと考えるのが妥当だと思います。

> （E)の求め方としては長細い（ほぼ）二等辺三角形で近似して求めるということでしょうか？
その通りです。

> （E)を求める式はdθ:1≒x:cosθsinθという式になったのですがあっていますか？
合っています。

> またどうやって相似条件の三角形を作ったのでしょうか？
> 「緑細線の下端から緑太線に垂線を下ろしてできる細かい三角形」など、
> なぜ角度がθの三角形を作れたのか気になります。
「なぜ作れたのか」というのがどういう意図の質問かわかりかねますが、
緑細線の下端から赤太線に平行な線を引けば簡単に作れますよね。

> もう一つ、No.58807の黒い三角形の角度はθではないとなぜわかったのでしょうか？
> d(cos^2θ)を含む三角形として使えないとわかった理由が知りたいです。
「θではないとわかった」わけではなく
最初からそこが「θかも」などと考えませんでした。
細緑線の上端から太緑線の上端まで引いた線が大きい三角形の下の黒太線と
平行になる保証はどこにもありませんね。
根拠なく「θになりそう」と考える方が不思議です。
No.58814 - 2019/06/03(Mon) 15:27:27
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
どうもありがとうございます。
なんとかdθ:1≒cosθ*sinθ*dθ:cosθ*sinθの式から
cosθ*sinθ*dθ+cosθ*sinθ*dθ=d(cos^2θ)を利用して、
d(cos^2θ)/dθ=2cosθ*sinθと出来ました。
ですが、-が導けませんでした。どこからマイナスを導けばよいでしょうか？
No.58815 - 2019/06/03(Mon) 15:52:32
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
図では(cos(θ+dθ))^2-(cosθ)^2=-d((cosθ)^2)となってしまいますので、
図の「d((cosθ)^2)」を「-d((cosθ)^2)」としておくのが良いと思います。
No.58817 - 2019/06/03(Mon) 16:08:53
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
なるほど、どうもありがとうございます。
ちなみに、(cos(θ+dθ))^2+d((cosθ)^2)=(cosθ)^2は図のどこが表しているのでしょうか？
d((cosθ)^2)は図で表していますが、(cos(θ+dθ))^2や(cosθ)^2は図のどこが表しているのか気になります。
No.58820 - 2019/06/03(Mon) 16:48:28
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
すいません。見落としていました。
(cos(θ+dθ))^2はどこが表しているかわかりませんが、(cosθ)^2はわかりました。
No.58823 - 2019/06/03(Mon) 17:18:07
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
(cosθ)^2が赤太線、(cos(θ+dθ))^2が赤細線です。
なぜ赤太線が(cosθ)^2になっているかはわかっていますか？
もしわかっているのであれば、(cos(θ+dθ))^2の考え方も
全く同じですから、考えればわかると思います。
No.58824 - 2019/06/03(Mon) 18:32:01
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
どうもありがとうございます！
(cosθ)^2の導き方はわかります！
ですが、(cos(θ+dθ))^2がどうすれば導けるのか悩んでいます。
どうかヒントを頂けないでしょうか。
よろしくお願いいたします。
No.58829 - 2019/06/03(Mon) 20:35:23
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
大きい三角形の太い斜辺が1
太い斜辺と下の辺で挟まれる角度はθだから
下の辺の長さはcosθ
下の辺の右端から太い斜辺に垂線を下ろせば
その垂線の足から左下の頂点までの長さは
cosθ×cosθ=(cosθ)^2
という考え方ですよね。

それと全く同じで
大きい三角形の細い斜辺が1
細い斜辺と下の辺で挟まれる角度はθ+dθだから
(以降、上と全く同様ですから埋めてみて下さい)
No.58830 - 2019/06/03(Mon) 20:44:02
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
やっとわかりました。
近似ではありますが相似条件として表せるのですね！
らすかるさん、ここまで本当にありがとうございました。
もしかしたら今後も質問することがあるかもしれませんが、どうかよろしくお願いします。
No.58833 - 2019/06/03(Mon) 23:45:01
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
> d(cos^2θ)が（C)と（E)の和となぜわかるのでしょうか。
図から明らかですね。
との事ですが、わたしにはらすかるさんの助けなしには導けないと思います。ですので、図から明らかとかではなく、数式的なものを用いて和になる事が証明できないでしょうか？
どうもこの部分が引っかかり気分が悪いです。
No.58857 - 2019/06/04(Tue) 14:50:57
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
d(cos^2θ)が（C)と（E)の和となるのも三角比の計算によって導けるのでしょうか？
No.58859 - 2019/06/04(Tue) 18:24:21
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
> 図から明らかとかではなく、数式的なものを用いて和になる事が証明できないでしょうか？
できません。
図でd((cosθ)^2)の幅のところに(C)の幅から点線を引いてくると
(E)の幅が余るため、d((cosθ)^2)=(C)+(E)になるのは明らかなのに
なぜ数式が必要なのですか？
例えば一辺の長さがaの正方形を「田」の型に4つ並べて大きい正方形を
作った時、大きい正方形の一辺の長さはa二つの和(=2a)ですよね？
これを「数式的なものを用いて和になる事が証明」と言ってるのと
同じことですよ？
それとも、この「田」型の正方形の一辺を求めるのに
「a+a=2a」と出しても、「この部分が引っかかり気分が悪い」ですか？
No.58862 - 2019/06/04(Tue) 19:50:41
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
なるほど、画像の図から斜辺sinθ*cosθ*dθを導き、もう一つのsinθ*cosθ*dθに関しては近似的であれど細い二等辺三角形からsinθ*cosθ*dθを導き、その和がd((cosθ)^2)と同じ長さとわかったわけですね。
なので、(cos(θ+dθ))^2-(cosθ)^2=-d((cosθ)^2)より、
-d((cosθ)^2)=-(sinθ*cosθ*dθ+sinθ*cosθ*dθ)
ともできるわけですね。
後はいつも通り計算して微分がわかったわけですね！
No.58872 - 2019/06/04(Tue) 22:07:09
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
ちなみに、こちらの画像の青い線分FHの長さはcos^3θdθでしょうか？
No.58886 - 2019/06/05(Wed) 14:19:20
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
いいえ、違います。
No.58887 - 2019/06/05(Wed) 15:48:40
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
返信ありがとうございます！
FHについてはもう一度計算しなおします。

少し前に戻るのですが、Eを求めるために緑の細長い三角形の緑の点線を近似的にcosθsinθと置いていましたが、実際の長さを三角比を使って求めたところ緑の点線の長さはsinθ-(dθsin^2θ/cosθ)と導けました。
式はcosθ-dθsinθ:X=cosθ:sinθから導きました。
もしかしたら間違った計算をしているかもしれません。
どうかよろしくお願いします。
No.58889 - 2019/06/05(Wed) 16:19:53
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
FHの長さについて再度計算したところFHはdθcos^2θでした。
No.58890 - 2019/06/05(Wed) 16:25:09
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
近似の長さからでも正しいものが導けるのでしょうか？
実際の緑の点線の長さからも正しいものが導けるということでしょうか？
少し混乱してきました。なぜ近似の場合から正しい式が導けるのか。
今回のように実際の長さを使う、近似以外の長さを使った場合では導けないのでしょうか？
となると、実際の長さで緑の点線の長さを求める方法は間違っているのかもしれませんが。
No.58891 - 2019/06/05(Wed) 16:35:55
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
もしや、画像のように点Qの部分は90°ではないのでしょうか。
No.58892 - 2019/06/05(Wed) 17:44:11
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
> 式はcosθ-dθsinθ:X=cosθ:sinθから導きました。
この式は正しくありません。

> FHの長さについて再度計算したところFHはdθcos^2θでした。
はい、それで正しいです。

> 近似の長さからでも正しいものが導けるのでしょうか？
dθが「無視できるほど小さい」場合に「近似」が「極めて正しい値に近い」
となりますので、導けます。
正確には、dθ/θの値がいくつの時の最大誤差がどうなるかを計算すれば
正しいものが導けることがわかるはずです。
（私はその詳細まで説明したくありませんので、質問しないで下さい）

> 今回のように実際の長さを使う、近似以外の長さを使った場合では導けないのでしょうか？
少し面倒な遠回りをしているだけで、同じように導けます。
上の点線の長さsinθ-dθ(sinθ)^2/cosθは間違っていますが、これを正しい式にして
dθを無視すれば、cosθsinθになります。
dθが極めて小さい値の時に無視できるものまで含めて計算しても、
無視できるものは結果的に無視されますので、徒労でしかありません。
No.58893 - 2019/06/05(Wed) 17:45:10
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
わざわざありがとうございます。
ちなみに、なぜ式はcosθ-dθsinθ:X=cosθ:sinθは正しくないのでしょうか？Qが直角ならば成り立つと思うのですが。

また、> 今回のように実際の長さを使う、近似以外の長さを使った場合では導けないのでしょうか？に関して、近似以外で解いてみたいのですがヒントを頂けますか。

どうかよろしくお願い致します。
No.58897 - 2019/06/05(Wed) 20:16:23
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
式cosθ-dθsinθ:X=cosθ:sinθのどこが間違っているのか教えて頂けるとありがたいです。
それを参考にもう一度計算したいと思います。
No.58898 - 2019/06/05(Wed) 20:21:11
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
> 近似以外で解いてみたいのですがヒントを頂けますか。
ヒントはありません。
近似以外で解きたいのであれば、近似でない長さを出して同じことをやればよいだけです。
ただし、「すべて近似以外」は難しい（非常に面倒）と思いますが。

# 横道にそれていくとキリがありませんので、
# 本筋以外の質問は辞退したいと思います。
# あと、数学は基本的に「自分で考えることによって実力が付く学問」であり、
# 質問しまくっていてはいつまでたっても出来るようになりませんよ。

> 式cosθ-dθsinθ:X=cosθ:sinθのどこが間違っているのか教えて頂けるとありがたいです。
ではその各項の
cosθ-dθsinθ
X
cosθ
sinθ
がどこを指しているのか説明して下さい。
No.58899 - 2019/06/05(Wed) 21:25:03
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
甘えてばかりですいません。
頑張って自力でなんとかしてみます。

> 式cosθ-dθsinθ:X=cosθ:sinθのどこが間違っているのか教えて頂けるとありがたいです。に関しましては少し間違っていました。すいません。正しくは
cos^2-θcosθ*sinθ*dθは濃い青色の線
Xは水色の線（元もは緑色の点線）
cosθはオレンジ色の線
sinθはピンク色の線です！
二つの相似条件の三角形を使ってXを近似ではない方法で求めようとしました。
ですが、先ほどの画像のQが直角でないならば三角形の比は使えません。
No.58901 - 2019/06/05(Wed) 22:54:37
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
cos^2-θcosθ*sinθ*dθは濃い青色の線に関して、
cos^2-θcosθ*sinθ*dθではなく、cos^2θ-cosθ*sinθ*dθです。
No.58902 - 2019/06/05(Wed) 22:59:53
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
「濃い青色の線」とはどこのことですか？
下はオレンジと深緑、右は灰色、左上は黒と赤とマゼンタ、
三角形の内部は黄緑と水色と緑ぐらいに見えますので
「濃い青色の線」は見当たりません。

「ピンク色の線」とはどこのことですか？
太い赤線のそばにある細いマゼンタの線のことですか？

「cosθ-dθsinθ」が間違いで
「cos^2θ-cosθ*sinθ*dθ」が正しかったということですか？
それならば
X=cosθsinθ-dθ(sinθ)^2
となり、dθ→0のときX=cosθsinθとなって問題ありませんので、
上の色付き線が見つからないことに関する回答は不要です。
No.58903 - 2019/06/06(Thu) 00:16:30
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
＞＞上の色付き線が見つからないことに関する回答は不要です。
念のために送っておきます。
ポンコツでほんとすいません。
送った画像が間違っていました。
正しい画像はこちらです。
cos^2-θcosθ*sinθ*dθは濃い青色の線
Xは水色の線（元もは緑色の点線）
cosθはオレンジ色の線
sinθはピンク色の線です！

＞＞「cosθ-dθsinθ」が間違いで
「cos^2θ-cosθ*sinθ*dθ」が正しかったということですか？
はい、cos^2θ-cosθ*sinθ*dθです！

＞＞X=cosθsinθ-dθ(sinθ)^2
となり、dθ→0のときX=cosθsinθとなって問題ありません
なるほど、確かにX=cosθsinθ-dθ(sinθ)^2となるならばdθ→0のときX=cosθsinθとなるので、近似での回答でも正しい微分の結果が（偶然？）導けるわけですね！
本当にどうもありがとうございます！
No.58904 - 2019/06/06(Thu) 01:02:10
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
まあ、cosθsinθ-dθ(sinθ)^2と導いた後で、そのまま微分によってdθは消えるのでcosθsinθ-dθ(sinθ)^2のまま式に使ってもよいですね！（特に意味はないですが。）
No.58905 - 2019/06/06(Thu) 01:06:53
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
質問したいことが二つあります。
まず一つは、画像から(cos^2θ)とcos^2(θ+dθ)を半径としてどっちの長さを重ねても水色の部分はd(cos^2θ)になるため水色の線の長さをd(cos^2θ)と導いたのでしょうか？
二つ目に、今回は途中で近似の長さを用いて解けましたが、これはたまたま近似で解けたということでしょうか？
No.58909 - 2019/06/06(Thu) 14:54:34
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
> 画像から(cos^2θ)とcos^2(θ+dθ)を半径として
> どっちの長さを重ねても水色の部分はd(cos^2θ)になるため
> 水色の線の長さをd(cos^2θ)と導いたのでしょうか？
質問が意味不明です。「長さを重ねる」とはどういう意味ですか？
水色の長さがd((cosθ)^2)になるのは、
その長さが(cos(θ+dθ))^2-(cosθ)^2だからです（符号は逆ですが）。

> 今回は途中で近似の長さを用いて解けましたが、
> これはたまたま近似で解けたということでしょうか？
近似といってもdθを無視しただけですよね？
元々dθ→0の場合を考えていますので、
dθは無視しても求まります。
ただし、dθを無視しても良いのは、
dθ=0としたときに0以外の値になる場合だけであり、
例えば長さがdθ×○と出たものを0にするようなことはできません。
それと、「dθを無視」以外の近似がもしあれば、求まりません。

# そういう基本的なことを知らずにこの問題を解こうとするのは
# 無謀だと思います。（遠回りになって、わからないことだらけなので
# 質問しまくることになってしまって、却って時間がかかります。）
# 先に基本を勉強してからやれば、上のような疑問は発生しないはずです。
No.58914 - 2019/06/06(Thu) 17:56:59
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
返信ありがとうございます！
意味不明な質問をしてしまいすいませんでした。
自分で解決できました。

詳しい解説どうもありがとうございます！
そうですね。基礎に戻って今回の問題を改めて復習します。
本当にどうもありがとうございます！
No.58922 - 2019/06/06(Thu) 23:48:33
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / マーク42
私の方でも確認して正しい答えが出たのですが、念のために質問させて頂きます！
二つの細長い三角形を使い
dθ:1=X:cosθsinθ-dθ(sinθ)^2より
X=dθcosθsinθ-dθ^2(sinθ)^2として計算していっても正しい計算が出来ますでしょうか？
私の方では正しい計算が出来たのですが、偶然かもしれないのでお願いいたします。
No.58923 - 2019/06/07(Fri) 02:04:19
☆ Re: d(cos^2θ)/dθ＝と比で計算しておけるような相似の図形を見つけたいです！ / らすかる
できます。
dθcosθsinθ-dθ^2(sinθ)^2は
dθ^2(sinθ)^2の項が無視できますので、
dθcosθsinθと同じことです。
No.58924 - 2019/06/07(Fri) 02:24:48
★ (No Subject) / ぴ
領域 x^2≦y≦x と直線y=ax+bとの共通部分の長さをLとする。このとき、「条件:a<1/2のすべての実数aに対し、L=cとなるような0以上のbが存在する。」をみたすL=cの最大値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.58786 - 2019/06/02(Sun) 10:54:21
☆ Re: / らすかる
y=xに平行でy=x^2に接する直線はy=x-1/4で、接点は(1/2,1/4)
(1/2,1/4)を通りy=xに垂直な直線はy=-x+3/4で、y=xとの交点は(3/8,3/8)
(1/2,1/4)と(3/8,3/8)を直径の両端とする円は中心(7/16,5/16)で半径は√2/16
これは領域x^2≦y≦xに含まれる最大の円。
(7/16,5/16)を通り傾き1/2の直線のy切片は3/32で0より大きいので、
aが1/2未満のいくつであってもy=ax+bが円の中心(7/16,5/16)を通るように
bを決めることができて、そのときL≧√2/8となる。
そしてy=-x+3/4のy切片は3/4なので、a=-1のときにy=ax+bが(7/16,5/16)を
通るようにb=3/4としたときL=√2/8となり、a=-1の場合はLをこれより大きく
できない。
従ってcの最大値は√2/8。
No.58789 - 2019/06/02(Sun) 11:30:45
★ 数学 / コメ
初めまして。よろしくお願いします。
p.38 1.(3)なのですが、なぜlog|y-1|-log|y|になるのかわかりません。
No.58780 - 2019/06/02(Sun) 01:14:01
☆ Re: 数学 / コメ
回答です
No.58781 - 2019/06/02(Sun) 01:15:03
☆ Re: 数学 / X
添付写真1枚目の解答の
log|y|-log|1-y|=x+C
でも問題ありません。
式の見かけが異なるだけです。
この式から
log|y|-log|y-1|=x+C
-log|y|+log|y-1|=-x-C
-Cを改めてCと置けば
log|y-1|-log|y|=-x+C
となりますよね。
No.58783 - 2019/06/02(Sun) 08:36:41
☆ Re: 数学 / GandB
　　∫1/y(1-y) dy = ∫dx
　　-∫1/y(1-y) dy = -∫dx = -x + C
　　∫1/y(y-1) dy = -x + C

とすれば納得がいくと思う。
　この程度の微分方程式なら、たいていの人はあなたと同じように解くと思う。一般解は別解の通りになるが、この形は著者の好みに合わないのかしれない（笑）。
No.58785 - 2019/06/02(Sun) 10:49:20
☆ Re: 数学 / コメ
御二方ありがとうございます。
No.58788 - 2019/06/02(Sun) 11:08:32
★ (No Subject) / ピアノ
(1)の考え方を教えてください。
1、-1
と思ったのですがa→/2が答えでした。
No.58778 - 2019/06/02(Sun) 00:02:48
☆ Re: / ピアノ
つけ忘れました。すみません。
No.58779 - 2019/06/02(Sun) 00:03:14
☆ Re: / ＩＴ
１　まず、「問題をよく読む。」
２　分からない言葉があれば、「教科書などで確認する。」
３　「図を描いて考える」
が大切です。
No.58782 - 2019/06/02(Sun) 07:20:24
☆ Re: / ピアノ
教科書も読んだんですが…
やっぱり難しいです。
No.58799 - 2019/06/02(Sun) 20:48:01
☆ Re: / ＩＴ
a↑と同じ向きのベクトルは　ka↑ (kは正の実数) と表されます。　これは分かりますか？

|ka↑| はいくらか分かりますか？　書き込んでください。

「単位ベクトル」の定義を書き込んでください。

kをいくらにしたらka↑は単位ベクトルになりますか？
No.58800 - 2019/06/02(Sun) 22:11:57
★ (No Subject) / 猛暑の2019
この問題を教えてください！
よろしくお願いします。
No.58775 - 2019/06/01(Sat) 23:31:27
☆ Re: / らすかる
f(n)=|n-1|+|n-2|+…+|n-2015|とおく。
n＜1のときf(n)=f(1)+2015(1-n)＞f(1)なので最小にならない。
n＞2015のときf(n)=f(2015)+2015(n-2015)＞f(2015)なので最小にならない。
1≦n≦2015のとき
f(n+1)-f(n)=(|n-0|+|n-1|+…+|n-2014|)-(|n-1|+|n-2|+…+|n-2015|)
=|n-0|-|n-2015|=n-(2015-n)=2n-2015
2n-2015＜0⇔n≦1007
2n-2015＞0⇔n≧1008
なので
1≦n≦1007のときf(n+1)-f(n)＜0すなわちf(n+1)＜f(n)
1008≦n≦2015のときf(n+1)-f(n)＞0すなわちf(n+1)＞f(n)
従って
f(1)＞f(2)＞…＞f(1007)＞f(1008)＜f(1009)＜…＜f(2014)＜f(2015)
となるので、f(1008)が最小。
従ってn=1008の時が最小で、最小値は2Σ[k=1〜1007]k=1007×1008=1015056
No.58776 - 2019/06/01(Sat) 23:55:54
☆ Re: / ＩＴ
解答は、らすかるさんのとおりだと思います。

ｙ＝ｘのグラフとｙ＝ｎのグラフを考えると見通しが良いかも知れません。
No.58787 - 2019/06/02(Sun) 11:00:59
★ (No Subject) / ピアノ
すみません、線を引いた部分がわからないので教えてください。
No.58772 - 2019/06/01(Sat) 21:27:43
☆ Re: / GandB
「位置ベクトル」を知らないのかな？
No.58773 - 2019/06/01(Sat) 21:42:19
☆ Re: / ＩＴ
基本的なことですから、教科書のベクトルの加法、減法のところに書いてあると思います。
OB↑-OA↑＝OB↑+AO↑＝AO↑+OB↑＝AB↑

図を描いて確認してみてください。
No.58774 - 2019/06/01(Sat) 21:58:06
☆ Re: / ピアノ
ありがとうございます
わかりました！
No.58777 - 2019/06/01(Sat) 23:59:04
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