14.3の問題を教えて頂けないでしょうか。
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No.57956 - 2019/05/01(Wed) 01:33:19
| ☆ Re: 集合の図示 / もね | | | 答えはこのようになります。なぜこのような形になるのかわからないので、導出方法を教えてほしいです。
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No.57958 - 2019/05/01(Wed) 01:36:54 |
| ☆ Re: 集合の図示 / X | | | ↑x=λ[1]↑v[1]+λ[2]↑v[2]+λ[3]↑v[3] (A)
とします。
(i)
λ[1]+λ[2]+λ[3]=1
より
λ[3]=1-λ[1]-λ[2] (B)
これを(A)に代入すると
↑x=λ[1](↑v[1]-↑v[3])+λ[2](↑v[2]-↑v[3])+↑v[3] (A)'
一方、(B)を
0≦λ[3]≦1/2
に代入すると
1/2≦λ[1]+λ[2]≦1 (B)'
…とここまでくれば、高校数学のベクトルの
類題からWは
A(↑v[1]),B(↑v[2]),C(↑v[3])
なる点A,B,Cについて線分BC,CAの中点を
M,Nとしたときの
台形AMNBの周囲及び内部 (P)
(∵(A)'から点Cをベクトルの基準として考えてみましょう。)
…としたいところですが、問題はWの条件として
0≦λ[1]≦1/2
0≦λ[2]≦1/2
が付いている点です。
(これらが
0≦λ[1]≦1
0≦λ[2]≦1
となっていれば、解答は(P)で問題ないのですが。)
そこで次のように考えます。
(i)の(A)'に対応する領域をW[3]とし
このときのλ[1]λ[2]λ[3]に対する条件を
0≦λ[1]≦1
0≦λ[2]≦1
0≦λ[3]≦1/2
とします。
同様に
(ii)
0≦λ[1]≦1
0≦λ[2]≦1/2
0≦λ[3]≦1
のときの領域W[2]
(このときは(A)からλ[2]を消去して(i)と同様に考えます。)
(iii)
0≦λ[1]≦1/2
0≦λ[2]≦1
0≦λ[3]≦1
のときの領域W[1]
(このときは(A)からλ[3]を消去して(i)と同様に考えます。)
を考え、W[1],W[2],W[3]の共通部分としてWを求めます。
以上のように考えると、Wが示す領域は
A(↑v[1]),B(↑v[2]),C(↑v[3])
なる点A,B,Cについて線分AB,BC,CAの中点を
L,M,Nとしたときの
△LMNの周囲及び内部
となるのが分かります。
但し、上記までに書いたのは飽くまで概略ですので
行間の詳細はご自分で詰めてみて下さい。
(添付写真の模範解答ではなぜか領域を示す三角形の頂点が
↑v[1],↑v[2],↑v[3]
に対応する点を結ぶ線分の中点にしないように適当に
取ってありますが。)
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No.57965 - 2019/05/01(Wed) 10:07:12 |
| ☆ Re: 集合の図示 / GandB | | | 意外とめんどくさい問題ですな。
x↑ = λ1v1↑ + λ2v2↑ + λ3v3↑
= (λ1 - 2λ2 + 0, 2λ1 + 2λ2 + 4λ3)
= (λ1 - 2λ2, 4 - 2λ1 - 2λ2).
ここで
x↑ = (X, Y)
x = λ1, y = λ2
とおくと
X = x - 2y.
Y = 4 - 2x - 2y.
この新たな座標で W を表示するのは反則だろうか？
線形代数の定期試験なら半分くらいの点はもらえそうな気がするのだが（笑）。
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No.57972 - 2019/05/01(Wed) 14:59:20 |
| ☆ Re: 集合の図示 / 黄桃 | | | 答がわかっているんだったら逆算した方が速いでしょう。
x,y,z をベクトルとし、a,b,c を実数とします。
基本事項として
「{ax+by+cz| 0≦a,b,c≦1, a+b+c=1}
はx,y,z を頂点とする三角形の周と内部を表す」
は抑えておきます。
＃章末の演習問題らしいですし、見るからにこの事実が使えそうだろう的な書き方なので、
＃このような命題がどこかにあるのではないでしょうか。
面倒なのでw[1],w[2],w[3]をx,y,zと書くことにすると、
答は
(*) {a(x/2+y/2)+b(y/2+z/2)+c(z/2+x/2) |0<=a,b,c<=1, a+b+c=1}
という形をしているので、元の形
(**) {px+qy+rz| 0<=p,q,r<=1/2, p+q+r=1}
と比べると、容易に
a=1-2r, b=1-2p, c=1-2q
となることがわかりますから、あとはこれが求める形になっていることを示せばいいわけです。
＃答としては、(*)=(**)を示す、として、以下だけ書けばOKです。
実際
0<=p,q,r<=1/2, p+q+r=1 を満たす任意のp,q,r について、
a=1-2r, b=1-2p, c=1-2q
とおけば、0<=a,b,c<=1, a+b+c=1 を満たします。
逆に、0<=a,b,c<=1, a+b+c=1をみたす任意のa,b,c について、
p=(a+c)/2, q=(a+b)/2, r=(b+c)/2
とおけば、これらp,q,r は0<=p,q,r<=1/2, p+q+r=1を満たします。
したがって、(*)と(**)は同じものであり、求める結果を得ます。
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No.57973 - 2019/05/01(Wed) 15:35:03 |
| ☆ Re: 集合の図示 / ＩＴ | | | 黄桃さんが 詳しく書いておられますが せっかくなので書き込みます。
表記を簡単にするため x=sa+tb+uc, s+t+u=1, 0≦s,t,u≦1/2 とします。
p=(1/2)(b+c), q=(1/2)(c+a), r=(1/2)(a+b) とおくと
x=(1-2s)p+(1-2t)q+(1-2u)r
ここで s+t+u=1, 0≦s,t,u≦1/2 より,
(1-2s)+(1-2t)+(1-2u)=1, 0≦1-2s,1-2t,1-2u≦1.
注）a,b,c,p,q,r はベクトルで s,t,u はスカラー（この場合実数）です。黄桃さんとは記号がちがいますのでご注意ください。
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No.57974 - 2019/05/01(Wed) 15:53:36 |
| ☆ Re: 集合の図示 / もね | | | No.57975 - 2019/05/02(Thu) 01:21:12 |
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