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★ 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート
画像の問題のシャーペンで囲った部分を自分で頑張って調べました。

極限の基本事項を抑えたうえで、以下のことがわかりました。

・limf(x)の式において、f(x)が収束しないとき(正または負の無限大に発散するとき)、極限値は求められない。

・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0でない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。

ここで疑問です。

0/0の極限の不定形は、極限値を求められるということになります。

どういうことでしょうか。


色々調べたら、「数学では、分母が０になった場合は分子も０にならないといけません。」と書いてありました。

それはなぜ？

どこもかしこも言葉を濁しててよく理解できません。
教えてください。

しかし、
No.57696 - 2019/04/17(Wed) 21:14:16
☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート
上の「しかし」は無視してください。
なぜか縦に画像がなっちゃいます。
No.57697 - 2019/04/17(Wed) 21:16:43
☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / X
>>以下のことがわかりました。
とありますが
＞＞・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0で
＞＞ない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。
は本当に理解できていますか？
No.57698 - 2019/04/17(Wed) 21:25:33
☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート
> >>以下のことがわかりました。
> とありますが
> ＞＞・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0で
> ＞＞ない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。
> は本当に理解できていますか？

完璧に理解していません。理解したというより、求められないものは求められないとそう思うようにした、って感じです。数IIIはやってないので数IIの範囲で、簡単に理解できればいいかなとおもっています。このままだとこの問題を丸暗記することになります
No.57709 - 2019/04/18(Thu) 10:22:00
☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート
>lim(x→0) k/xで、kが0でない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。

これはあってますよね？
実際、図をかいてみると、k/xは際限なく大きくなるか、小さくなるかで、ある値に収束することはないなぁと感覚ですが、わかります。

教科書に書いてる基本事項は一応抑えました。
No.57710 - 2019/04/18(Thu) 10:25:03
☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート
すみません、こちらのサイトの説明で解決しました。
ご協力ありがとうございました。

http://blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/archives/50855422.html
No.57711 - 2019/04/18(Thu) 12:11:31
★ 複素数の三角不等式 / yukimi
複素数z、wに対して、│z+w│≦│z│+│w│が成り立つことを示せ。


z=a+bi、w=c+diとおき、│z+w│の2乗と(│z│+│w│)の2乗を比べます。

左辺の2乗はaの2乗+bの2乗+cの2乗+dの2乗+2ac+2bd

右辺の2乗はaの2乗+bの2乗+cの2乗+dの2乗+2√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}

結局、ac+bd≦√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}を示すことになります。ここまではわかりました。

ここから先なんですが、解答では両辺の2じのひきざんをしてます。ここがわからないんですが、左辺は正とは限らないのに、どうして2乗して比べていいんでしょうか？
No.57695 - 2019/04/17(Wed) 20:27:33
☆ Re: 複素数の三角不等式 / X
左辺が0又は負のときは
>>ac+bd≦√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}
の成立は明らかだからです。
但し、その辺のこと(つまり左辺が正のときにも
成立することを証明する、ということ)
は証明の過程にきちんと書かないといけませんね。
No.57700 - 2019/04/17(Wed) 21:30:14
☆ Re: 複素数の三角不等式 / yukimi
ありがとうございました。助かりました。
No.57720 - 2019/04/18(Thu) 22:13:32
★ うーん、よくわからない解き方 / 青チャート
1枚目の画像の問題は、自分で正答を導くことはできるのですが、解説がよくわかりません。解説の意味を知りたいです。

2枚目の画像の赤い波線をひいたところが三箇所ありますが、この三箇所の説明をしていただきますか？

なおわたしは、

1)2枚のカードが同じ数同士の確率
2)2枚のカードが1〜3しかなくて、互いに数字が異なる確率
3)2枚のカードが1と0の確率

1-｛(1)+(2)+(3)｝で正答の11/15を求めました。
No.57688 - 2019/04/17(Wed) 16:36:33
☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / 青チャート
こちらが解説です。
No.57689 - 2019/04/17(Wed) 16:37:15
☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / らすかる
「b=0であるもの」というのは「1枚のカードが0である場合」ですから、
同じ数が書かれたカードは区別するものとして
カードを0,1,2a,2b,3a,3b,3c,4a,4b,4c,4d,5a,5b,5c,5d,5eとすると
他の1枚が1となるのは、(1,0)の1通り
他の1枚が2となるのは、(2a,0)と(2b,0)の2通り
他の1枚が3となるのは、(3a,0)と(3b,0)と(3c,0)の3通り
他の1枚が4となるのは、(4a,0)と(4b,0)と(4c,0)と(4d,0)の4通り
他の1枚が5となるのは、(5a,0)と(5b,0)と(5c,0)と(5d,0)と(5e,0)の5通り
これをまとめると
他の1枚がaとなるのはa通り
ですから、「b=0であるものはa通り」です。

「a＞bであるもの」は、
例えばa=4,b=2ならば
(4a,2a),(4a,2b),(4b,2a),(4b,2b),(4c,2a),(4c,2b),(4d,2a),(4d,2b)
のように4×2通り、すなわちab通りです。

「a=bであるもの」は、
例えばa=4ならば
(4a,4b),(4a,4c),(4a,4d),(4b,4c),(4b,4d),(4c,4d)
のように数がaであるa枚のカードから2枚選ぶ組合せですから
aC2通りとなります。
No.57691 - 2019/04/17(Wed) 17:02:22
☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / 青チャート
全て解決しました。ありがとうございます！

数字が大きくなって数え上げが難しくなったら使えそうな解法ですね。勉強になりました。
No.57694 - 2019/04/17(Wed) 18:41:58
★ ブール代数 / aibo
(c)を解こうとしたのですが、うまくいきません。間違っているところがあれば指摘して頂きたいです。よろしくお願いします。
No.57686 - 2019/04/17(Wed) 13:27:25
☆ Re: ブール代数 / 関数電卓
２行目から３行目への変形が ??
図をご覧になれば、おわかり下さるでしょう。
No.57687 - 2019/04/17(Wed) 14:26:30
☆ Re: ブール代数 / aibo
本当ですね、図を見て理解できました。ありがとうございます。
No.57690 - 2019/04/17(Wed) 16:48:45
★ (No Subject) / ///
1.の問題なんですが何を問うている問題でしょうか？
No.57684 - 2019/04/17(Wed) 01:35:09
☆ Re: / らすかる
次の二項定理の公式を使うことにより、微分の定義に従って関数y=x^n（nは整数）の導関数を求めよ。
だと思います。
No.57685 - 2019/04/17(Wed) 04:34:24
☆ Re: / ///
おこがましいのですが、一通りの解説をお願いできますか？お願いいたします。
No.57692 - 2019/04/17(Wed) 18:06:08
☆ Re: / ヨッシー
Δx を dx と置き換えると、
微分の定義は　lim[dx→0]{f(x+dx)−f(x)}/dx であるので、
これに、f(x)＝x^n を適用します。
　f(x+dx)＝(x＋dx)^n
これに、上の２項定理の式を適用し、
　f(x) を引く
　dx で割る
　dx を 0 に飛ばす
で出来上がりです。
No.57693 - 2019/04/17(Wed) 18:20:07
★ 高次の導関数について / けいおん
以下の問題に疑問を持ちました。
これは
「n次の導関数」
ではありませんよね？だとすると、元の関数の項の数がよく分からなくなると思うのですが・・・
No.57682 - 2019/04/16(Tue) 18:28:28
☆ Re: 高次の導関数について / らすかる
元の関数とは？
No.57683 - 2019/04/16(Tue) 19:39:50
☆ Re: 高次の導関数について / けいおん
>> らすかるさん
この画像の関数です。
この関数の高次の導関数を求めよという問題です；；
No.57717 - 2019/04/18(Thu) 17:55:29
☆ Re: 高次の導関数について / らすかる
第m次導関数を求めよ、という意味ならば
元の関数がa[-1]/x+Σ[k=0〜n]a[k]x^kなので、
各項をm回微分することにより
m≦nのとき
(-1)^m・m!/x^(m+1)+Σ[k=0〜n-m](m+k)Pm・a[m+k]x^k
m＞nのとき
(-1)^m・m!/x^(m+1)
となりますね。

> 元の関数の項の数がよく分からなくなると思うのですが・・・
k次の項はk+1回微分すれば消えますので、
項の数が変わる（減る）のは当然です。
No.57735 - 2019/04/19(Fri) 07:22:18
★ (No Subject) / はこ
解き方がわかりません･･･よろしくお願いします
No.57675 - 2019/04/15(Mon) 21:11:24
☆ Re: / ＩＴ
両辺をｘで微分してみたくなりませんか？
x=2 のときの両辺の値を計算してみたくなりませんか？
No.57676 - 2019/04/15(Mon) 21:15:52
☆ Re: / はこ
してみました･･･そしたらf´(x)が求められたのですが、その後は･･･？？？？？('ω')
No.57677 - 2019/04/15(Mon) 21:19:42
☆ Re: / ＩＴ
できたとこまで書き込んで質問されないと非効率です。
No.57679 - 2019/04/15(Mon) 21:43:08
★ 極方程式 / ひかり
極方程式r=sin2θの表す曲線の概形を描け。

解答に、

sin2(θ+π)=sin2θが成り立つから、曲線のπ≦θ≦2πの範囲の部分は0≦θ≦πの範囲の部分と原点に関して対称である。

とあるのですが、この部分がなぜそう言えるのかがわからないです。わかりやすく教えてください！
No.57674 - 2019/04/15(Mon) 20:56:02
☆ Re: 極方程式 / 関数電卓
　rQ＝sin2(θ＋π)＝sin2θ＝rP
ですから、Q(θ＋π) は P(θ) と原点から等距離で P の反対側 (θ＋π)、すなわち 原点について対称の位置 にあることになります。
下の図でご理解下さいますでしょうか？
No.57678 - 2019/04/15(Mon) 21:39:52
☆ Re: 極方程式 / ひかり
回答ありがとうございます。

rP=f(θ)、rQ=f(θ+π)とします。

rPは始線から測った角度がのときの極からの長さがf(θ)ということで、rQは始線から測った角度がπ+θのときの極からの長さがf(θ+π)ということで、rPとrQは原点に関して反対側にあり、rP=rQなので、極からの長さが等しいことを意味し、以上からrPとrQは原点対称になるということでしょうか？
No.57721 - 2019/04/18(Thu) 22:30:27
☆ Re: 極方程式 / 関数電卓
はい、その通りです。
No.57723 - 2019/04/18(Thu) 23:19:05
★ (No Subject) / isogo
画像にある問題の解き方を教えて下さい。
No.57672 - 2019/04/15(Mon) 20:31:43
☆ Re: / 関数電卓
関数電卓で計算する。windows 付属の関数電卓 calc.exe なら

　8.4 [1/x] [xy] 0.4 [＝] [±] [＋] 1 [＝]

とたたく。

　0.5731…

となるようですが。
No.57673 - 2019/04/15(Mon) 20:49:16
★ 動点の最短経路 / PON
画像にある問題の解き方を教えて下さい。全く方針が立てられず悩んでいます。よろしくお願いします。
No.57666 - 2019/04/15(Mon) 13:11:20
☆ Re: 動点の最短経路 / 関数電卓
> 全く方針が立てられず…
予備知識ゼロでこの問題を解決できる方は多くはありません。私とて、知っているからできるのです。

(光の) 屈折の法則 そのものです。

x 軸上に点 C(a,0) (0＜a＜c) をとり、点 C で x 軸に立てた法線を n とします。
また、線分 AC と n がなす鋭角をθ、線分 BC と n がなす鋭角をφとします。このとき
　屈折の法則　sinθ/c1＝sinφ/c2
を満たすθ,φを与える C(a,0) が必ず１つ存在します。
求める経路は、折れ線 ACB です。
（図は後ほど描きます）
No.57667 - 2019/04/15(Mon) 13:34:53
☆ Re: 動点の最短経路 / 関数電卓
上記がなぜ最短時間を与える経路か。

点 C を x 軸上を動く点 C(x,0) とします。このとき、
　AC＝√(x^2＋b^2), BC＝√((c−x)^2＋d^2)
で、動点 P が AC, BC 上を動くのに要する時間 t1, t2 は
　t1＝√(x^2＋b^2)/c1, t2＝√((c−x)^2＋d^2)/c2 …(*)

T＝t1＋t2 を最小にする x は、dT/dx＝0 を満たす (必要条件)。よって(*)より

　dT/dx＝x/√(x^2＋b^2)−(c−x)/√((c−x)^2＋d^2)＝0
∴ sinθ/c1＝sinφ/c2

尚、下図は c1＞c2 の場合です。

こちら フェルマーの原理 もぜひご覧ください。
No.57671 - 2019/04/15(Mon) 19:04:21
★ 指数・対数の極限 / PON
指数・対数の極限に関する、画像にある問題（（１）〜（４））の解き方を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.57665 - 2019/04/15(Mon) 12:49:23
☆ Re: 指数・対数の極限 / X
(1)
f(x)=log{(a^x+b^x)/2}
と置くと
f'(x)={1/(a^x+b^x)}{(a^x)loga+(b^x)logb}
∴(与式)=f'(0)=log{√(ab)}

(2)
(与式)=lim[x→∞]{logb+(1/x)log{1/2+(1/2)(a/b)^x}}
ここで
0＜a＜b
より
0＜a/b＜1
∴(与式)=logb

(3)
(1)の結果により
(与式)=e^(log{√(ab)})=√(ab)

(4)
(2)の結果により
(与式)=e^(logb)=b
No.57670 - 2019/04/15(Mon) 18:53:24
★ (No Subject) / あ
大至急お願いします！
3個のさいころをふりさいころの目の合計が5以下もしくは16以上となる場合のがをもとめよさいころの区別はないものとする
No.57662 - 2019/04/15(Mon) 10:50:28
☆ Re: / らすかる
「場合のがをもとめよ」は
「場合の数をもとめよ」の間違いと判断しますが、
合計が3になるのは(1,1,1)の1通り
合計が4になるのは(1,1,2)の1通り
合計が5になるのは(1,1,3)と(1,2,2)の2通り
合計が16になるのは(6,6,4)と(6,5,5)の2通り
合計が17になるのは(6,6,5)の1通り
合計が18になるのは(6,6,6)の1通り
従って全部で 1+1+2+2+1+1=8通りです。
No.57663 - 2019/04/15(Mon) 12:28:36
★ 岡山県立大 / 高校生
3がどうしてもわかりません
解答がわかる方がいたらお願いします
No.57661 - 2019/04/15(Mon) 09:06:03
☆ Re: 岡山県立大 / ＩＴ
少し前に質問され、回答した下記の問題ですよね？

どこまで分かってどこから分からないか書き込んでください。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=57405
No.57669 - 2019/04/15(Mon) 18:07:36
★ わからない問題があります / 受験生
大問3がどう考えても答えにたどり着きません
どなたか解答をお願いしたいです
No.57660 - 2019/04/15(Mon) 09:03:18
★ (No Subject) / 自作問題の為、解答がわかりません
A君、B君、C君の3人で競争するゲームがあるとします。
これまでの3人の対戦成績は

A君 1着 50% 2着 30% 3着 20%
B君 1着 30% 2着 20% 3着 50%
C君 3着 20% 2着 50% 3着 30%

でした。

A君が1着でB君が2着になる確率を求めよ。
同様に、A君が1着でC君が2着になる確率を求めよ。

条件付き確率の考え方で
A君B君の場合は 0.5×0.2÷(1-0.3)
A君C君の場合は 0.5×0.5÷(1-0.2)
だと思うのですが、この2つの合計がA君の1着率になりません。

何か考え違いをしてるのでしょうか？
No.57659 - 2019/04/15(Mon) 07:58:51
☆ Re: / らすかる
ゲームの内容によりますが、それだけの条件では求まらないと思います。
例えばこれまでの対戦成績が(1着,2着,3着の順で)
ACB
ACB
ACB
ACB
ACB
BAC
BAC
BAC
CBA
CBA
だったとするとA,Bが1,2着になる確率は0、A,Cが1,2着になる確率は50%、
ABC
ABC
ACB
ACB
ACB
BCA
BCA
BAC
CAB
CAB
だったとするとA,Bが1,2着になる確率は20%、A,Cが1,2着になる確率は30%ですね。
No.57664 - 2019/04/15(Mon) 12:38:42
☆ Re: / らすかる
> A君 1着 50% 2着 30% 3着 20%
> B君 1着 30% 2着 20% 3着 50%
> C君 3着 20% 2着 50% 3着 30%

この確率を見るとA君、B君、C君の確率が独立でないのは明らかです。
もし独立だとすると、例えばA君が1着の場合
B君の2着確率：3着確率=2：5
かつ
C君の2着確率：3着確率=5：3
でなけれぱなりませんが、これは明らかに矛盾しています。
A君が1着の場合のB君の2着確率とC君の3着確率は等しくなければいけません。
従って独立ではありませんので、
A君が1着の場合のB君の2着確率：3着確率と
C君が1着の場合のB君の2着確率：3着確率は変わり、
単純に条件付き確率で計算しても求まらないことがわかります。
No.57668 - 2019/04/15(Mon) 15:18:16
☆ Re: / 自作問題の為、解答がわかりません
お答え頂き有難うございます。

3人の1着確率と、誰かが1着の時の2着になる確率を提示すれば解答の出せる問題になる。
という認識で良いのでしょうか？

1着確率はそのまま使い、2着、3着確率は表記無しにして
A君が1着の時
B君が2着になる確率は20%
C君が2着になる確率は80%だった。

と問題を変えると、
AB→0.5×0.2→10% AC→0.5×0.8→40%
という答えが出せるようになりました。
No.57680 - 2019/04/16(Tue) 09:38:32
☆ Re: / らすかる
> 3人の1着確率と、誰かが1着の時の2着になる確率を提示すれば解答の出せる問題になる。
> という認識で良いのでしょうか？
そうですね。
そのデータがあれば
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBAのそれぞれの確率が決定できますので、
着順に関する確率は何でも求められるようになりますね。

逆に考えてみると、各着順の確率が
ABC=a, ACB=b, BAC=c, BCA=d, CAB=e, CBA=f　（a+b+c+d+e+f=1）
だとした場合、
A君 1着 a+b　2着 c+e　3着 d+f
B君 1着 c+d　2着 a+f　3着 b+e
C君 1着 e+f　2着 b+d　3着 a+c
となり、最初の確率表にあてはめると
a+b=0.5, c+e=0.3, d+f=0.2,
c+d=0.3, a+f=0.2, b+e=0.5,
e+f=0.2, b+d=0.5, a+c=0.3
この連立方程式を解くと
a=t
b=0.5-t
c=0.3-t
d=t
e=t
f=0.2-t
（tは0≦t≦0.2を満たす任意の数）
となり、
A,Bが1,2着になる確率はa=t
A,Cが1,2着になる確率はb=0.5-t
ですから、やはり最初の表だけからは決まらず、
条件付き確率で考えるかどうかにかかわらず計算できませんね。
上からわかるように、最初の表の他に
例えば「Cが1着の場合にBが2着になる確率」などが
一つ与えられれば、すべての値が決定して計算できます。
でも、最初の表と「Cが1着の場合にBが2着になる確率が40%」
という情報から「Aが1着の場合にBが2着になる確率」を求める
問題が出されたら、面白い問題ですがちょっと混乱しそうです。
No.57681 - 2019/04/16(Tue) 09:49:53
★ (No Subject) / ピアノ
log2 1/2＝-1というのもわかりません。
教えてください
No.57656 - 2019/04/15(Mon) 01:02:00
☆ Re: / らすかる
log[a]bとは
a^x=bを満足するxの値のことです。
よってlog[2](1/2)は
2^x=(1/2)を満足するxの値ですから
x=-1となります。
No.57658 - 2019/04/15(Mon) 01:37:54
★ (No Subject) / ピアノ
log2 25^1/2＝log2 5
はなぜですか？
No.57655 - 2019/04/15(Mon) 00:59:10
☆ Re: / らすかる
25^(1/2)=√25=5です。
No.57657 - 2019/04/15(Mon) 01:36:08
★ (No Subject) / 中
1500mは1m程度の誤差を含んでいる
という意味がわからないです。
なぜ1mなのですか？
No.57649 - 2019/04/14(Sun) 18:14:39
☆ Re: / ＩＴ
その問題（？）での「設定条件」なのでは？
No.57650 - 2019/04/14(Sun) 20:09:12
★ お願い致します / 中
4560と
46.2*10^1

を有効数字2桁で表す方法を教えてください！
No.57647 - 2019/04/14(Sun) 17:32:51
★ (No Subject) / ran
この問題で、

?@でこれが収束するには=0になることが必要。と書いてありますが、これは何故ですか？？
べつに、ゼロではなくても、なにか定数項に収束する可能性はないんですか？？よろしくお願いします！

また、x≠2です！
No.57645 - 2019/04/14(Sun) 17:30:11
☆ Re: / ran
答えです
No.57646 - 2019/04/14(Sun) 17:31:08
☆ Re: / らすかる
> ゼロではなくても、なにか定数項に収束する可能性はないんですか？？
はい、ゼロでなければ収束する可能性はありません。
例えば各項が1に収束するならば総和は増え続けますので+∞に発散し、
各項が-1に収束するならば総和は減り続けますので-∞に発散します。
No.57648 - 2019/04/14(Sun) 17:40:25
☆ Re: / ran
数列だったのですね、ありがとうございます

理解できました！
No.57652 - 2019/04/14(Sun) 21:06:16
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