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★ (No Subject) / うーん
なぜcosθ-1が0確定なんですか？

三角不等式の問題です。
No.58337 - 2019/05/17(Fri) 17:45:33
☆ Re: / うーん
画像です。
No.58338 - 2019/05/17(Fri) 17:46:08
☆ Re: / ＩＴ
任意の実数　θについて　cosθ-1≦0である。

cosθ-1＝0　のときは　(cosθ-1)(2cosθ-1)=0 なのでOK
cosθ-1＜0　のとき　2cosθ-1≦0


併せると　cosθ-1＝0 または　2cosθ-1≦0
No.58339 - 2019/05/17(Fri) 18:06:08
☆ Re: / モンゴル
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございます！
No.58358 - 2019/05/18(Sat) 19:01:27
★ 物理 / ran
この問題の解説がなくて困ってます。

よろしくお願いします。

答えは練習1が2vo^2sinθ/gcos^2θ
練習2が√3/2です！
No.58335 - 2019/05/17(Fri) 10:12:26
☆ Re: 物理 / X
練習1)
Oを原点として水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸
を取ります。
小球を投げてから点Q(x,y)に到達するまでの時間を
tとすると
条件から
x=v[0]t (A)
y=(1/2)gt^2 (B)
y=xtanθ (C)
OP=√(x^2+y^2) (D)
(A)(B)を(C)に代入してtの方程式を導いて解き
tの値を求めます。
それを(A)(B)に代入し、結果を(D)に代入します。
No.58343 - 2019/05/17(Fri) 19:18:56
☆ Re: 物理 / X
練習2)
Oを原点として斜面登りの向きにx軸、
斜面に埋まらない向きにy軸を取ります。
このとき、条件から
x軸方向に-gsin30°=-(1/2)g
y軸方向に-gcos30°=-{(√3)/2}g
の加速度が働いていること
(つまりx,y軸の向きをそれぞれ疑似的に鉛直上向きと考えると
x軸に関しては(1/2)g
y軸に関しては{(√3)/2}g
の重力加速度が働いているのと同じことです)
と
初速度の
x成分がv[0]cosθ
y成分がv[0]sinθ
となることに注意をします。

小球を投げてから点Rに到達するまでの時間を
tとすると、条件から
まず点Rにおける速度のx成分について
v[0]cosθ-{(1/2)g}t=0 (A)
次に点Rのy座標について
(v[0]sinθ)t-(1/2)[{(√3)/2}g]t^2=0 (B)
(A)からtを求め、(B)に代入して両辺を
cosθで割ります。

但し、条件からt≠0ですので(B)は
v[0]sinθ-(1/2)[{(√3)/2}g]t=0
となることにも注意しましょう。
No.58344 - 2019/05/17(Fri) 19:29:33
☆ Re: 物理 / X
ちなみに練習1については練習2の解(No.58344)
と似たように斜面を下る向きにx軸を取って
考える別解も考えられます。

余裕があれば考えてみて下さい。
ちなみにこのときの方程式の数はNo.58344と
同様に2つで済みます。
No.58345 - 2019/05/17(Fri) 19:47:40
☆ Re: 物理 / 関数電卓
ご参考まで。
No.58347 - 2019/05/17(Fri) 21:46:45
★ どうやるんですかね / コナフキン
これ教えていただきたいです
No.58331 - 2019/05/16(Thu) 23:46:34
☆ Re: どうやるんですかね / ＩＴ
Logをなくすと,p^a=n,(p+1)^b=(n^2-n+6)/2=(p^(2a)-p^a+6)/2
よって　2(p+1)^b-p^(2a)+p^a-6=0 …(1)
mod p で考えると　2-6≡0　(modp) ∴p=2
これを(1)に代入して整理すると　3(3^(b-1)-1)=(2^(a-1))(2^a-1)
よって、2^a-1 は３の倍数、すなわち、2^a-1 ≡(-1)^a-1≡0（mod3）
∴　a は２の倍数。aは素数なので　a=2
∴　3(3^(b-1)-1)=2*3
∴　3^(b-1)-1=2
∴　b=2
No.58332 - 2019/05/17(Fri) 00:12:18
★ 高校２年数学2 / あらら
3番の問題なのですが、赤丸から右に行くまで何故そうなるのかわかりません。解説よろしくお願いします
No.58319 - 2019/05/16(Thu) 20:03:42
☆ Re: 高校２年数学2 / X
まず分母分子を√2で約分をします。
次に分母を実数にするために分母分子に
iをかけています。
No.58321 - 2019/05/16(Thu) 20:14:44
★ (No Subject) / 代数学初心者
有理数全体の加法群Ｑは巡回群でないことを示せ。

（証明）
Ｑが巡回群であると仮定し、その生成元の1つをgとする。

↓ここから意味が分かりません。

すると、Ｑ＝<g>＝{ng｜n∈Ｚ}と表わされることとなります。
そして、Ｑ≠{0}だから、g≠0
ここで、g∈Ｑだから、g/2∈Ｑなので
g/2＝ngとなるn∈Ｚが存在する。
すなわち、1/2＝nとなってしまい、n∈Ｚであることと矛盾する。

以上から、Ｑは巡回群ではない。

巡回群の意味、生成元の1つをgとするとこまでは何とか理解できたのですが、教科書を見ても、様々な方法で調べたのですが、それ以降は全く理解ができず行き詰っております。。。当方が代数学が初学者な上、独学でやらなければならないため、解説にどなたかお力添えをいただければ幸いです。

よろしくお願いいたします。
No.58315 - 2019/05/16(Thu) 18:28:56
☆ Re: / ＩＴ
> 巡回群の意味、生成元の1つをgとするとこまでは何とか理解できたのですが

では巡回群の意味（定義）はどうなりますか？
No.58316 - 2019/05/16(Thu) 18:51:13
☆ Re: / 代数学初心者
> > 巡回群の意味、生成元の1つをgとするとこまでは何とか理解できたのですが
>
> では巡回群の意味（定義）はどうなりますか？

回転しても同じ形になるものであり、回転していくと元の位置に戻るものを群としたもの。その大元を今回は答えによるところgとしていると認識しております。
No.58317 - 2019/05/16(Thu) 19:07:55
☆ Re: / ＩＴ
有理数の形とはなんですか？　回転とはなんですか？

お使いのテキストには、もっとはっきりした定義が書いてないですか？
No.58318 - 2019/05/16(Thu) 19:19:01
☆ Re: / 代数学初心者
> 有理数の形とはなんですか？　回転とはなんですか？
>
> お使いのテキストには、もっとはっきりした定義が書いてないですか？

有理数の形というものはないですね、、、有理数の集合は演算で体となる、でしょうか？？

回転に関しても明確な定義はないのですが、恒等変換、鏡像変換等の記載はあります。
No.58320 - 2019/05/16(Thu) 20:10:46
☆ Re: / ＩＴ
お使いのテキストには、はっきりした「巡回群の定義」が書いてないですか？
> > 巡回群の意味、生成元の1つをgとするとこまでは何とか理解できたのですが

> Ｑが巡回群であると仮定し、その生成元の1つをgとする。

> ↓ここから意味が分かりません。

>すると、Ｑ＝<g>＝{ng｜n∈Ｚ}と表わされることとなります。
「巡回群の定義」を理解されているなら
上記の意味が分からないということは無いはずです。
No.58322 - 2019/05/16(Thu) 20:30:23
☆ Re: / 代数学初心者
> お使いのテキストには、はっきりした「巡回群の定義」が書いてないですか？

たった一つの変換を繰り返すことでできる合成変換によって群の全ての元が構成できるときこの群を巡回群と呼ぶ、ですか？？
No.58323 - 2019/05/16(Thu) 20:36:52
☆ Re: / ＩＴ
それは一般的な「巡回群」の定義とは違うと思います。

お使いのテキストは何ですか？「巡回群」の「定義」はそのように書いてあるのですか？
No.58324 - 2019/05/16(Thu) 20:43:03
☆ Re: / 代数学初心者
数学書房「代数の魅力」という本です。

明確な「定義」という項目ではっきりと示された部分はないですね。

前述の巡回群の定義とおぼしき部分の記述は

巡回群という言葉が唯一太字で書いてあるので、「定義」としてははっきりと述べてはいないものの、概念としてのべてるだけなのかもしれません。

索引から調べて該当ページをすべて確認してみましたが、そこにも「定義」は述べられていません。
（私の見逃しであったらすみません。。。）
No.58325 - 2019/05/16(Thu) 20:57:51
☆ Re: / ＩＴ
「群」、「生成元」の定義はありますか？　あればどう書いてありますか？

下記の「まえがき（一部抜粋）」ように書いてあるので、１章の後ろの方に定義が書いてあるのでは？

抽象的な議論では「定義」が基本となります。
その本をよく読んでも定義が書いてなければ、その問題も解答もナンセンスだと思います。

−−−−−−−−−−記−−−−−−−−−−−−−−−−−−
まえがき（一部抜粋）
本書は群、環、 体等の抽象概念を天下り的に定義してからはじめるのでなく、 逆に色々の興味深い例からはじめて、 それらを系統的に扱う必要性を読者に十分認識してもらってから、 これらの代数系を導入するという、 ブルバキとは対極的な行き方を取っている。

第１章は群論の入門である。 雪の結晶や正四面体の対称性から出発して群の公理に進む。 章の最後では３枚の黄金長方形を組み合わせて正ニ十面体を作る方法、 正多面体の回転対称群を具体的に知る方法などをわかりやすく述べる。

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~morita/alg_intro_text-1-4.html
No.58326 - 2019/05/16(Thu) 21:11:40
☆ Re: / 代数学初心者
うーん、何度読んでもちんぷんかんぷんで、、、。諦めます。。。

丁寧に調べてくださりありがとうございました。。。
No.58327 - 2019/05/16(Thu) 21:54:59
☆ Re: / ＩＴ
第1 章対称性と群 1 　は

1.1 平面における対称性 1
1.2 空間における対称性(正四面体の回転を例として) 5
1.3 群の公理と抽象的な群 10
1.4 部分群と群の生成系 18
1.6 準同型と同型 34
1.7 群の直積 39
1.8 ラグランジュの定理と同値類 43
1.9 発展 51
とういう構成なので、1.3 群の公理と抽象的な群 、 1.4 部分群と群の生成系 に　各定義が出てくると思いますが読んでおられますか？
No.58328 - 2019/05/16(Thu) 22:10:34
☆ Re: / 代数学初心者
> 第1 章対称性と群 1 　は
>
> 1.1 平面における対称性 1
> 1.2 空間における対称性(正四面体の回転を例として) 5
> 1.3 群の公理と抽象的な群 10
> 1.4 部分群と群の生成系 18
> 1.6 準同型と同型 34
> 1.7 群の直積 39
> 1.8 ラグランジュの定理と同値類 43
> 1.9 発展 51
> とういう構成なので、1.3 群の公理と抽象的な群 、 1.4 部分群と群の生成系 に　各定義が出てくると思いますが読んでおられますか？

そもそもその章自体に説明のみで「定義」という文字すら一回も出てこないです。

また読んでても、説明が抽象的すぎて私自身がちゃんと理解できているのか、、、。
No.58329 - 2019/05/16(Thu) 22:21:34
☆ Re: / ＩＴ
その著者は「定義」という言葉が嫌いなのかも知れませんね。
「定義」という言葉を明示的に使わずに
「集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、以下の3つの条件を満たすことをいう：」

などという表現もあり得ます。

独学で　その本を読み進めて行くことは難しいと思います。
目的にもよると思いますが、代数学の入門書は数多くありますので、あなたにとってもっと分かり易い本を選ばれた方がいいと思います。

いずれにしても独学で大学数学科の高年次の部分まで理解するのは、そう簡単ではないと思います。
No.58330 - 2019/05/16(Thu) 22:52:41
★ 理数物理 / ran
この問題の解き方を教えてください。
途中の解き方が載ってなくて困ってます！

範囲でいうと、力のモーメントの辺りです。

答えは、「右向きで水平から30°上向き W」です。
No.58310 - 2019/05/15(Wed) 23:57:03
☆ Re: 理数物理 / おぎちん
力の図示が誤っています。

棒にかかる重力の作用点は、「棒の真ん中」です。
また、棒が壁からうける力は、垂直抗力のほかに「静止摩擦力」もあります。

力の図示をして、
　　力のつり合い（水平・鉛直方向それぞれ）の式
を立てて、
　　A点における力のモーメントのつり合いの式
　　B点における力のモーメントのつり合いの式
を立てれば、連立方程式の要領で解けます。


張力T = W
垂直抗力N = W√3/2　…(*1)
静止摩擦力R = W/2　…(*2)

(*1)、(*2)より、棒が壁から受ける抗力の大きさは、W
向きは鉛直上向き30°です。
No.58311 - 2019/05/16(Thu) 00:25:30
☆ Re: 理数物理 / GandB
> 答えは、「右向きで水平から30°上向き W」です。
「右向きで水平から30°上向き、(大きさは)W」
ということだろうが、「向き」については問題からすぐわかるとはいうものの、日本語の表現としていかがなものか（笑）。ほんとにその参考書の解答は
　　「右向きで水平から30°上向き」
なんて書いているのかね。どんな参考書にも載っていそうな基本的な問題だから、ちょっと気になる。
No.58313 - 2019/05/16(Thu) 09:19:29
☆ Re: 理数物理 / ran
>>>おぎちん様

静止摩擦力！なるほど！それはめっちゃありがたい知識です！ありがとうございます！納得できました！


>>>GandB様

まじなんですよねぇ、
しかも参考書とかではなく、公立の文部科学省検定済教科書です。
No.58336 - 2019/05/17(Fri) 12:47:27
☆ Re: 理数物理 / GandB
> しかも参考書とかではなく、公立の文部科学省検定済教科書です。
　ホントだ！！　こういう風に略記するのか！　うーむ・・・・・
　教科書だから、先生がきちんと説明するということなのだろうけどね。

　いや、勉強になりました。
No.58346 - 2019/05/17(Fri) 20:49:38
☆ Re: 理数物理 / 関数電卓
おぎちん さんが説明されている通りで、
・力のつり合い (水平、垂直方向)
・力のモーメントのつり合い
から方程式を導く
のが解答の第一歩ですが、さらに進んで
・糸の張力は糸方向にはたらく
・つりあって静止している棒にはたらくすべての力の作用線は一点で交わる
ことが学習できれば、さらに理解が深まります。
No.58352 - 2019/05/17(Fri) 22:33:20
★ 不定積分ができません / あい
1/(3t^3+t)のtによる不定積分を求められません。
(※※分子に1,分母に3•t^3+tです)
残念ながら答えを所持しておりません。

ご教授お願いします。
No.58304 - 2019/05/15(Wed) 23:20:08
☆ Re: 不定積分ができません / ast
部分分数分解: https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fraction+of+1%2F(3t%5E3%2Bt)
不定積分: https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+dt%2F(3t%5E3%2Bt)
微分して検算: https://www.wolframalpha.com/input/?i=d(log(t)-1%2F2log(3t%5E2%2B1))%2Fdt
No.58307 - 2019/05/15(Wed) 23:32:27
★ 微分方程式、初期値問題、解の一意性 / 初学者
常微分方程式の初期値問題、一意性

画像の問題に関してxy平面全体で解が一意的に存在する為の必要十分条件がα≧1なのですか？
No.58299 - 2019/05/15(Wed) 18:31:12
☆ Re: 微分方程式、初期値問題、解の一意性 / 黄桃
ここで問われているのは
「初期条件y(0)=0 を満たす(0,0)の近傍での解が一意的である必要十分条件はα≧1である」
でしょう。必ずしもy(x)の定義域が実数全体である必要はないですが、この問題では定義域を実数全体となるようにできます。
証明は、例えば、
* α≧1 ならば解は一意的である
* 0<α<1 ならば解は2つ以上ある
を示します。
前者はリプシッツ条件を満たすことを示し、後者は実際に解を示すのが簡単でしょう。
後者について、α=1/3 の場合に書けば
y=0 (恒等的に0）と
y=(2x/3)^(3/2)(x≧0),=(-2x/3)^(3/2) (x<0) とが、
共にy'=|y|^(1/3), y(0)=0 を満たします。

#y=(2x/3)^(3/2)(x≧0),=0 (x<0) 等も可。
#定義域の実数全体で異なるという話なら、
#y=0 (x<1), y=(2(x-1)/3)^(3/2) (x≧1)
#などもそうですが、これは原点の近傍ではy=0と一致します。
##この問はリプシッツ条件を満たさないと解が一意的でない場合がある、という例です。
No.58334 - 2019/05/17(Fri) 08:01:19
★ オイラーのφ関数 / KJ
質問失礼します。
画像にある通りなのですが、
60に互いに素な 16個の自然数を順にa[k]としたとき、(kは16以下の自然数)
a[k]の60で割った余りはa[5]a[k] の集合であるということを示したいです。

もちろんmodをつかって17^n=(-11)^(n/2)=1 (mod60)
とすれば(2)は一瞬で解けるのですが…
(すいません、三重イコールが出せないので、普通のイコールで代用しています)

どなたかご教授願います。
いつもありがとうございます。
No.58296 - 2019/05/15(Wed) 17:44:12
☆ Re: オイラーのφ関数 / KJ
補足質問 自然数N とkが互いに素ならば、
N•1 , N•2 ……,N•(k-1),N•k を N で割った余りはすべて異
なるでしょうか？
No.58297 - 2019/05/15(Wed) 17:51:34
☆ Re: オイラーのφ関数 / らすかる
> a[k]の60で割った余りはa[5]a[k] の集合であるということを示したいです。
a[5]もa[k](1≦k≦16)も60と互いに素なので
a[5]a[k]も60と互いに素。よってa[5]a[k]を60で割った余りは
a[1]〜a[16]のどれかと一致する。
もしa[5]a[i]を60で割った余りとa[5]a[j]を60で割った余りが
等しかったとすると、a[5]a[i]-a[5]a[j]=60m(mは整数)すなわち
a[5](a[i]-a[j])=60m
a[5]は60と互いに素なので、a[i]-a[j]は60の倍数。
|a[i]-a[j]|＜60なのでa[i]-a[j]=0。
よってa[5]a[i]を60で割った余りとa[5]a[j]を60で割った余りが等しければ
a[i]=a[j]すなわちi=jだから、i≠jならばa[5]a[i]を60で割った余りと
a[5]a[j]を60で割った余りは異なり、a[5]a[1]〜a[5]a[16]を
60で割った余りはすべて異なることになる。
従ってa[5]a[1]〜a[5]a[16]を60で割った余りの集合は
a[1]〜a[16]の集合と一致する。

> 三重イコールが出せないので
「ごうどう」を変換すれば出せるのではないでしょうか。

> 補足質問
N・1,N・2,…,N・kをNで割った余りはすべて0ですから、
余りが異なることはありません。
No.58298 - 2019/05/15(Wed) 18:04:25
★ 数列 / ran
この問題を見てください！

すごくできそうだったのに、できませんでした。

方針はあっているでしょうか？

答えと解説をお願いしたいです。

答えが与えられていなく困ってます！
よろしくお願いします。
No.58291 - 2019/05/15(Wed) 16:49:14
☆ Re: 数列 / らすかる
内容はあまり読んでいませんが、それでダメだったということは、
等比数列がα,β,γの順ではないということです。
αβγ=-8ですからαだけ負とわかります。
(∵すべて負ならば等比数列がα,β,γの順になるため)
従って等比数列はβ,α,γの順ですから、
?Aをα^2=βγとすれば求まるのではないかと思います。
No.58293 - 2019/05/15(Wed) 17:30:38
☆ Re: 数列 / ＩＴ
らすかるさんの方針で解けて　答えは(α,β,γ)=(-2,1,4) ですね。

（略解）
βは等差中項なので　2β＝α+γ…(ア）

αβγ＝-8 …(イ）なので(1) α＜β＜γ＜0　または　(2) α＜0＜β＜γ

(1)のとき　ranさんがやってみたように不適
(2)のとき 公比rは負でβ、α、γの順の等比数列。（公比1/rでγ、α、βの順ともいえる）
α＝βr、γ＝βr^2 を(ア）に代入、2β＝βr+βr^2 これを解くとr=-2
α^2=βγ　これと(イ）から　α＝-2
No.58300 - 2019/05/15(Wed) 18:35:40
☆ Re: 数列 / ran
ありがとうございます！

助かりました！
No.58303 - 2019/05/15(Wed) 23:14:17
★ 数列 / ran
1+3+3^2+3^3+…+3^98+3^99の桁数を求めよ。ただしlog[10]3=0.4771とする。



とゆう問題があります！
わかりません！

数列の和をとって、そこから自然対数を取ろうとしたのですが、うまくできませんでした。

答えが与えられていないので、答えと解説よろしくしたいです！お願いします。
No.58290 - 2019/05/15(Wed) 16:41:52
☆ Re: 数列 / ran
できたかもしれないです！

答えは48であってますか？？
No.58292 - 2019/05/15(Wed) 16:52:18
☆ Re: 数列 / らすかる
log[10](3^99)=99log[10]3=47.2329から
10^47＜3^99＜3×10^47であり、
これに1+3+3^2+…+3^98を足しても倍にもなりませんので
10^47＜(与式)＜10^48とわかり、
48桁で正解です。
No.58294 - 2019/05/15(Wed) 17:34:27
☆ Re: 数列 / ran
たびたびすみません！

2行目までは理解できたのですが、

3行目からの、3^99に1+3+3^2+…+3^98を足しても倍にはならないから48桁のままというところが納得いきません。

倍にならないからって、たとえばですよ？たとえば3^99が999……9とかだったら、3^99に1+3+……をしたら、48桁が49桁になっちゃう的なことはないんですか？？

頭悪くてすみません。よろしくお願いします。
No.58306 - 2019/05/15(Wed) 23:22:00
☆ Re: 数列 / らすかる
> たとえば3^99が999……9とかだったら、
2行目に書いたように
「10^47＜3^99＜3×10^47」ですから、
頭の数字は1か2とわかっています。
No.58308 - 2019/05/15(Wed) 23:38:59
☆ Re: 数列 / ran
なるほど！首位の数なのですね！
ありがとうございます！
理解できました！
No.58309 - 2019/05/15(Wed) 23:54:27
★ (No Subject) / Fox
問19が分かりません。
教えてくださいm(*_ _)m
No.58287 - 2019/05/15(Wed) 14:48:24
☆ Re: / GandB
　n=2m+1、2m+2 の最終項を比較するだけ。

　というか、すぐその上にsin(x)の場合について、ヒントになる説明があるのではないの。
No.58288 - 2019/05/15(Wed) 15:34:51
★ マクローリン展開 / aibo
cos(πx)をマクローリン展開して、Σを使って表せ、という問題なのですが、解き方を教えていただきたいです、よろしくお願いします。
No.58285 - 2019/05/15(Wed) 12:28:13
☆ Re: マクローリン展開 / GandB
cosθのマクローリン展開でθ=πx とすればOK。
No.58286 - 2019/05/15(Wed) 14:46:17
☆ Re: マクローリン展開 / aibo
ありがとうございます、無事解けました。
No.58289 - 2019/05/15(Wed) 16:31:17
★ 数学二次関数 / バズ
二次関数の値の変化についてです。
この問題の◽に入る文字とグラフの
書き方が分からないので回答お願いします。
No.58284 - 2019/05/15(Wed) 10:05:31
☆ Re: 数学二次関数 / まうゆ
□は順に1,1,1,2,1,1,-1,(-1,-1),x=-2,(-2,-3),x=-2,(-2,1),
x=2,(2,-14)
グラフは頂点とどこか1点取って曲線でつなげればOK
No.58437 - 2019/05/21(Tue) 12:43:42
★ 関数方程式 / なすび
これどうすればいいのかわかりません。。
ぜひ教えてください
No.58271 - 2019/05/14(Tue) 22:31:40
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(1)
　まず、(*)の両辺を、yについて2回微分します．すると、
　　f"(x + y) ＋ f"(x - y) ＝ 2f(x)f"(y)　…(*1)
となります．
　ここで、(*1)に、x = 0 , y = 0 を代入すると、
　　2f"(0) = 2f(0)f"(0)　　∴ f"(0){f(0) - 1} = 0
となります．ここで、
　　f"(0) = -1 ≠ 0
より、
　　f(0) = 1
となります．

さらに、(*)を、yについて1回微分すれば、
　　f'(x + y) - f'(x -y) = 2f'(x)f(y)
上式に、x = 0 , y = 0 を代入すると、
　　0 = 2f(0)f'(0)
ここで、
　　f(0) = 1 ≠ 0
より、
　　f'(0) = 0
となります．


（答え）
f(0) = 1
f'(0) = 0
No.58276 - 2019/05/15(Wed) 06:50:33
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(2)
　次に、(1)(*1)に、y = 0を代入すると、
　　2f"(x) = 2f(x)f"(0)　…(*2)
となります．よって、
　　f"(0) ≠ -1
より、これを(*2)に代入して、
　　f"(x) = -f(x)
を得ます．■
No.58277 - 2019/05/15(Wed) 06:57:57
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(2)訂正
　f"(0) ≠ -1
を
　f"(0) = -1
に訂正します．
No.58278 - 2019/05/15(Wed) 06:59:44
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(3)
　F(x)を、xについて1回微分すると、
　　F'(x) = f'(x)cosx - f(x)sinx - f"(x)sinx - f'(x)cosx
　∴ F'(X) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
　ここで、(2)より、
　　f"(x) = -f(x)
より、これを(*3)に代入して、
　　F'(x) = 0
よって、F(x)は定数である．

　次に、G(x)について、G(x)を、xについて1回微分すると、
　　G'(x) = f'(x)sinx + f(x)cosx + f"(x)cosx - f'(x)sinx
　∴ G'(X) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
　ここで、(2)より、
　　f"(x) = -f(x)
より、これを(*4)に代入して、
　　G'(x) = 0
よって、G(x)は定数である．■
No.58279 - 2019/05/15(Wed) 07:11:43
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(3)つづき
　F(0) = f(0)cos0 - f'(0)sin0
　ここで、
　f(0) = 1
より、
　F(0) = f(0) = 1

　G(0) = f(0)sin0 - f'(0)cos0
　ここで、
　f'(0) = 0
より、
　G(0) = f'(0) = 0

（答え）
F(x) = 1
G(0) = 0
No.58280 - 2019/05/15(Wed) 07:17:07
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(4)
　(3)より、
　　F(x) = f(x)cosx - f'(x)sinx = 1
です．上式の両辺にcosxをかけると、
　　f(x)(cosx)^2 - f'(x)sinx・cosx = cosx　…(*5)
となります．

　また、(3)より、
　　G(x) = f(x)sinx + f'(x)cosx = 0
です．上式の両辺にsinxをかけると、
　　f(x)(sinx)^2 + f'(x)sinx・cosx = 0　…(*6)
となります．

　ここで、(*5)と(*6)の両辺を足すと、
　　f(x){(cosx)^2+(sinx)^2} = cosx　…(*7)
となります．ここで、
　　(cosx)^2+(sinx)^2 = 1
に注意すると、(*7)より、
　　f(x) = cosx
となります．


（答え）
f(x) = cosx
No.58281 - 2019/05/15(Wed) 07:26:11
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
(*)は、三角関数の"和積の変換公式"に似ています．
(4)の答えが「cosx」になるだろうと予想して、計算していきました．

上に解答において、論理的におかしなところがあるでしょうか。。。

返信まっております。
No.58282 - 2019/05/15(Wed) 07:31:37
☆ Re: 関数方程式 / X
＞＞おぎちんさんへ
まずNo.58279において二か所タイプミスがありますね。
＞＞∴ F'(X) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
は
∴ F'(x) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
＞＞∴ G'(X) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
は
∴ G'(x) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
の誤りでは？

次にNo.58281について。
単にf(x)だけ求めるのではなくて、f'(x)も
求めた上で、矛盾がないか確かめる必要が
あるのでは？。
No.58302 - 2019/05/15(Wed) 20:39:51
☆ Re: 関数方程式 / おぎちん
＞＞Xさんへ
ご指摘ありがとうございます。
おっしゃる通り、タイプミスでした。すみません。

　ついでにはなりますが、No.58280においても訂正があります。最後の行の
　　G(0) = 0
を
　　G(x) = 0
に訂正します。

　ひきつづきN0.58280の補足ですが、
F(x)、G(x)が定数関数であることはNo.58279にて証明済みなので、それぞれx = 0における値のみを計算して、F(x)、G(x)の値としております。


　また、No.58281においてのご指摘についてもありがとうございます。

「答えが問題の命題の必要条件になっていることだけでなく、十分条件になっていることを確認せよ」

とのことだと理解しました。確かに確認はしておりませんでした。（確認の論述は省略します。）
No.58305 - 2019/05/15(Wed) 23:21:21
★ (No Subject) / び
半径1の2つの円A,Bが座標平面上の領域[0<x<4,0<y<4]
を2つが交わらないようにそれぞれ自由に動く時、円Aの中心が通過する領域の面積を求めよ。

よろしくお願いします。
No.58263 - 2019/05/14(Tue) 19:04:07
☆ Re: / らすかる
求める領域は
x=1,x=3,y=1,y=3で囲まれる正方形の内部で
中心(1,1)半径2の円の外部または
中心(3,1)半径2の円の外部または
中心(3,3)半径2の円の外部または
中心(1,3)半径2の円の外部
となりますので、求める面積は
(図を見て下さい)
(黄色)=(半径2中心角60°の扇形)-(1辺2の正三角形)=2π/3-√3
(緑)+(黄色)=(半径2中心角30°の扇形)=π/3
(緑)=π/3-(2π/3-√3)=√3-π/3
(求める面積)=(緑)×4=4(√3-π/3)
となりますね。
No.58267 - 2019/05/14(Tue) 20:04:29
★ (No Subject) / 太田
二枚目の方
No.58256 - 2019/05/14(Tue) 10:04:14
★ 条件？ / 太田
⑶の?Bで僕が鉛筆で線を引いたところなのですが、2つ以上なのに、3つの内の一つの整数を限定するだけで求まるのが分からないです。
No.58255 - 2019/05/14(Tue) 10:03:38
☆ Re: 条件？ / らすかる
追加の画像は「返信」から書き込みましょう。
新しく投稿するとつながりがわからなくなります。

本題ですが、
「3つの内の一つの整数を限定するだけで求まる」とは書かれていませんし、
実際一つの整数を限定するだけでは求まりませんが、
これはどういう意味ですか？
No.58257 - 2019/05/14(Tue) 10:37:04
☆ Re: 条件？ / X
横から失礼します。

＞＞太田さんへ
分からない部分をとりあえず置いておき、
模範解答を最後まで読みましたか？
鉛筆で傍線を引っ張った部分は

整数解が2つ以上になるようなkは「存在しない」

という解答に至るまでの過程の一部です。


この過程において、もし題意を満たすkが
存在すると仮定したとすると、
整数解として候補になるxの値
において、対応するkの値
が一致する必要がありますよね？

そのkの値を調べているのが、鉛筆で
傍線を引っ張った部分辺りから下の
過程です。
No.58259 - 2019/05/14(Tue) 17:28:44
☆ Re: 条件？ / 太田
>Xさん
模範解答では存在しないことで結論付けていることは分かります。
なんとなくわかったことですが、一つの整数解は?Aで求めたグラフの概形と?Bの代入した値から何個か存在する。しかし、その何パターンかを実際にf(x)に代入して、それらのパターンの中にもう一つの整数解があるか調べているということですか？
No.58261 - 2019/05/14(Tue) 18:22:14
☆ Re: 条件？ / らすかる
x=1またはx=-2のとき、他の解は整数ではない。
他に整数解が二つになるような可能性がある解は
x=-3,-1,0,2の4つだけである。
x=-3を解に持つときk=0
x=-1を解に持つときk=-4
x=0を解に持つときk=9
x=2を解に持つときk=5
これを逆に言うと
k=-4のとき整数解はx=-1のみ
k=0のとき整数解はx=-3のみ
k=5のとき整数解はx=2のみ
k=9のとき整数解はx=0のみ
となり、kがいくつであっても整数解は二つあることはない。

という流れですが、この中でわからない箇所はありますか？
No.58262 - 2019/05/14(Tue) 19:00:37
☆ Re: 条件？ / 太田
分かりました。ありがとうございます。
No.58283 - 2019/05/15(Wed) 09:29:14
★ 微分方程式 定数分離法？ / 大2
2の(a)を解いて詳しいやり方を教えて頂きたいです。前も質問させて頂きましたが、時間が経ってしまったので…。どなたかよろしくお願いします。
No.58253 - 2019/05/14(Tue) 08:25:13
☆ Re: 微分方程式 定数分離法？ / 大2
間違えました、3の(a)です、お願いします
No.58254 - 2019/05/14(Tue) 08:49:09
☆ Re: 微分方程式 定数分離法？ / GandB
　定数分離法？ほんとに大学生なのかねwwwww

> 前も質問させて頂きましたが、時間が経ってしまったので…。
　その間何をしていたのだ（笑）。大学生なら、暇はたっぷりあるはずだが。何の変哲もない、単なる「変数分離型」の微分方程式だぞ。

　　　　　　　dy　　　
　　(1+x^2)･── = x(1+y^2)
　　　　　　　dx
なのだから、
　　　　1　　　　　x
　　───dy = ────dx
　　1+y^2　　　1+x^2

のように変数分離すればよい。
No.58258 - 2019/05/14(Tue) 10:44:37
☆ Re: 微分方程式 定数分離法？ / ast
時間がたったと言ってもたかだか4日ほど前で次ページ入ってすぐなのに, なんだろう, 次ページに行くのを待ってたってことかな…?

前の回答だけでも, 変数分離形はわかるか, (b)は質問に入ってないが解けるのか, 逆三角函数の微分に覚えはあるか, の三点くらいはYes/Noで答えられるような問いかけをしたはずだけど, それ全部スルーしてゼロから再質問する理由とか意味はある?
No.58260 - 2019/05/14(Tue) 18:17:27
★ 高校数学 / 宅浪生
写真の問題が解けそうで解けません。ヒントおねがいします。
No.58250 - 2019/05/14(Tue) 04:49:08
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