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★ (No Subject) / 青チャート

4人でじゃんけんをする。あいこになる確率は？ 1)手の出し方が全部で1種類のとき 3通り 2)手の出し方が全部で3種類のとき グーグーチョキパー、グーチョキチョキパー、グーチョキパーパーの組み合わせがあるから、 4！/2！通り よって答えは、(1)+(2) なぜ(2)では同じものを含む順列を使うのですか？確率ではすべて区別するのでは？ No.57544 - 2019/04/10(Wed) 19:22:05 ☆ Re: / らすかる 何か写し間違えていませんか？ > 4人でじゃんけんをする。あいこになる確率は？ は確率を聞いているのに > よって答えは、(1)+(2) (1)+(2)は1より大きい値なので明らかに確率ではないですし、 > グーグーチョキパー、グーチョキチョキパー、グーチョキパーパーの組み合わせがあるから、 > 4！/2！通り これは4!/2!通りになりません。 No.57545 - 2019/04/10(Wed) 19:56:22 ☆ Re: / ＩＴ 青チャートの解答をかなり省略し、省略の方法もまずいため元の解答とかけ離れており、的確な回答は難しいと思います。 青チャートの解答では、すべて区別して数えてあると思います。　 例えば、どういう場合を区別していないと思っておられますか？ No.57546 - 2019/04/10(Wed) 19:56:41 ☆ Re: / 青チャート すみません、間違ってました。 4人でじゃんけんをする。あいこになる確率は？という問題の解答が、 1)手の出し方が全部で1種類のとき 3通り 2)手の出し方が全部で3種類のとき グーグーチョキパー、グーチョキチョキパー、グーチョキパーパーの組み合わせがあるから、 4！/2！*3通り（←ここに同じものを含む順列を使ってるから、例えば、同じグーとグーを区別していないというのが疑問です。） （1）（2）より、求める確率は (1)+(2)/3^4 間違ってたらすみません。家に帰ったら確認します No.57547 - 2019/04/10(Wed) 20:07:18 ☆ Re: / ＩＴ 区別すべきなのは、人間です。 人間を１２３４としたとき 　グーグーチョキパーの場合 １２がグーを出すか、１３がグーを出すか２３がグーを出すか・・・３４がグーを出すかなどを区別しています。 No.57548 - 2019/04/10(Wed) 20:10:35 ☆ Re: / 青チャート 画像ありました！すみません。画像のところの、4！/2！のところが、同じものを区別しないと考えてますよね。 No.57549 - 2019/04/10(Wed) 20:11:52 ☆ Re: / ＩＴ 青チャートにも「出す人を区別する」と書いてありますね。 納得できなければ　３^4＝８１通りを　すべて書き上げて　数えて見られるのがいいかも知れません。 （８１通りは大変なので　１人目がグーの場合の27通りでも良いですが） No.57550 - 2019/04/10(Wed) 20:14:49 ☆ Re: / 青チャート 皆さんありがとうございます。少し、自分で考えてみようと思います。 理由がうまく説明できないですが、出た手は区別しなくていいんですね。 No.57553 - 2019/04/10(Wed) 22:12:15 ☆ Re: / ＩＴ > 理由がうまく説明できないですが、出た手は区別しなくていいんですね。 「「出た手」を区別しない」というのがどういう意味かよくわかりませんが ４人をA、B、C、Dとして Aがグー、チョキ、パー Bがグー、チョキ、パー Cがグー、チョキ、パー Dがグー、チョキ、パー のそれぞれどれかを出します。 そのすべての場合（３＾4＝81通り）を区別して数えています。 [ 青チャート ]さんの思う「出た手を区別して」数える方法で計算するとどうなるか書き込んでみてください。 No.57554 - 2019/04/10(Wed) 22:26:38 ☆ Re: / らすかる もし「出た手も区別する」と考えたとすると、 (1)の「手の出し方が全部で1種類のとき」も 「グーグーグーグー」が4!通り 「チョキチョキチョキチョキ」が4!通り 「パーパーパーパー」が4!通り 計72通り となってしまっておかしいですね。 No.57556 - 2019/04/10(Wed) 23:00:50 ☆ Re: / 青チャート そうでした。教えてくださってありがとうございます。 最後にお願いします。これで解決できると思います。 自分で出した結論があってるかどうか教えてください。 ---- ★人を区別して考えるとき、 4！/2！の2！は同じものを含む順列の考えに基づくもの。たとえば、グー、グー、チョキ、パーの組み合わせを考えるとき、２つのグーがあるので2！分ダブりがでる。だから4！で全部並べた後、2！で割った。 ★人を区別しなければ、 グー、グー、チョキ、パーのパターンは1通りだけ。 今回は確率を考えてるから、人を区別する必要がある。 どうでしょうか。 No.57559 - 2019/04/10(Wed) 23:22:40 ☆ Re: / らすかる その通りです。 No.57560 - 2019/04/11(Thu) 00:11:16 ☆ Re: / ＩＴ この問題としては、解決したようなので混乱されるようなら無視されて良いですが。 下記のような問題なら、「出た手（引いたカード）も区別する」ということになると思います。 （問題） 「グー」、「チョキ」、「パー」と書いたカードがそれぞれ４枚づつあり、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が順にカードを引き元に戻さない。 引いたカードでじゃんけんをするとき、あいこになる確率は？ No.57561 - 2019/04/11(Thu) 06:07:53 ☆ Re: / 青チャート らすかるさん、ITさん、解決まで導いてくれてありがとうございます。よく考えたら、人は場合の数でも区別しますね。 混乱になっても大丈夫です。どうにかして確率をしっかり理解したいと思い、質問しました。いつも分かったふりしてたので解決したいのです。 ITさんの最後にあげていただいた問題は以下の問題を言い換えたと考えてもいいですか？(答えは以下の問題と同じになりますよね) ----- 赤い玉、白い玉、青い玉がそれぞれ4つずつあって、それらの玉から同時に4つ取るとする。このときの、以下の確率を求めろ。 「(全部の玉が同じ色の玉)または(4つの玉のうち3色の玉が全部出る)」確率 答えは、3+(4！*3)/3^4通り ---- よろしくお願いします。 No.57565 - 2019/04/11(Thu) 14:08:37 ☆ Re: / らすかる 引いたカードを元に戻しませんので、残念ながらそういう式にはなりません。 全体から4個取る場合の数は、同じ色の玉を区別して全部で12C4=495通り 全部の玉が同じ色であるのは3通り（これはOK） 3色出るのは 赤が二つ→4C2×4C1×4C1通り 白が二つ→4C1×4C2×4C1通り 青が二つ→4C1×4C1×4C2通り 合計4C2×4C1×4C1×3=288通りなので 求める確率は(3+288)/495=97/165 となります。 # でも、この問題は1-(勝敗が決まる確率)と考えた方が計算が少し短く済みます。 # 勝敗が決まるのは2色の場合なので # 赤と白→8個中4個、ただし4個とも同色の2通りを除くので8C4-2 # 他の色の組み合わせも同じなので、求める確率は # 1-(8C4-2)×3/12C4=97/165 No.57568 - 2019/04/11(Thu) 14:28:27 ☆ Re: / 青チャート >引いたカードを元に戻しませんので、残念ながらそういう式にはなりません。 このことについてこう解釈しました。あっていますか？ スレッド最初のじゃんけんの問題や元に戻すカードの問題は前の人が何出しても、何引いても後の人の出す手や引くカードの影響を与えないけども、ITさんが提示した問題や、私が言い換えた玉の問題は、後の人の出方に影響を与えるので、私の考えた式3+(4！*3)/3^4とは違う考えをしないといけない。 ITさんの問題が「引いたカードを元に戻す」という条件ならば、スレッド最初のじゃんけんの問題を応用して、3+(4！*3)/3^4というふうに立式してもよい。 --- よろしくお願いします。 No.57570 - 2019/04/11(Thu) 15:43:56 ☆ Re: / らすかる 残念ながら違います。 引いたカードを元に戻すならば、最初のじゃんけんの問題と全く同じですから {3+(4!/2!×3)}/3^4です。 もし、カード(玉)をすべて区別するならば {4^4×3+(4!/2!×4^4×3)}/12^4 という式になり、いずれにしても {3+(4!×3)}/3^4という式になることはありません。 No.57573 - 2019/04/11(Thu) 21:11:17 ☆ Re: / 青チャート いろいろ教えていただきありがとうございます。 いままで確率の基本を曖昧にやってきましたが、しっかり向き合うことができました。まだまだ知識が足りないので頑張っていこうと思います。 こちらのスレッドを大切に保管し、いつでも見返そうと思います。本当にありがとうございました。 No.57575 - 2019/04/11(Thu) 21:42:59 ☆ Re: / 青チャート すべて疑問は解決しました。 ありがとうございます。 No.57576 - 2019/04/11(Thu) 21:50:21

★ (No Subject) / さささのさ

問題3の(2)教えて下さい。 No.57543 - 2019/04/10(Wed) 16:26:44 ☆ Re: / GandB 　なかなか回答つかんね。問題の前に同次系の微分方程式の解説があるはずだから、それをよく読めということなのだろう。 　　x^2*y' = y^2 - xy 　両辺をx^2で割ると 　　y' = (y/x)^2 - (y/x) ･････(1) 　　u = y/x. 　　y = ux. 　　y' = u'x + ux' = u'x + u. ･････(2) 　(2)を(1)に代入して 　　u'x + u = u^2 - u. 　　u'x = u^2 - 2u. 　　(du/dx)x = u^2 - 2u. 　　∫1/(u^2-2u)du = ∫(1/x)dx. 　　(1/2)log|(u-2)/u| = log|x| + C. 　　log|(u-2)/u| = 2log|x| + 2C 　　　　　　　　 = log|x^2| + logA 　　　　　　　　 = log|Ax^2|. 　　1 - 2/u = Ax^2. 　　u = 2/(1-Ax^2). 　　∴y = 2x/(1-Ax^2). No.57564 - 2019/04/11(Thu) 09:24:53

★ 素数 / たたみ

自然数1234567891011121314151617........N は合成数か？ ふとした瞬間に思いついて友達と議論していましたが、おそらく合成数だろう。という結果にしかならず、証明することができません。わかる方がいらっしゃったらご教授お願い致します。高校３年です。 N＝20までは合成数であることが分かっています。 No.57541 - 2019/04/09(Tue) 23:37:49 ☆ Re: 素数 / らすかる N=200000までに素数がないことがわかっていますが、 それ以降に素数があるかどうかはわからない未解決問題らしいです。 No.57542 - 2019/04/10(Wed) 02:22:32 ☆ Re: 素数 / たたみ そうだったんですね。ありがとうございます。 No.57557 - 2019/04/10(Wed) 23:07:23 ☆ Re: 素数 / たたみ ちなみにこの問題に名前ってありますか？ No.57567 - 2019/04/11(Thu) 14:26:35 ☆ Re: 素数 / らすかる 問題の名前ではないですが、その数列に含まれる（かどうかわからない） 素数は「Smarandache Prime」と呼ぶみたいです。↓参考 http://mathworld.wolfram.com/SmarandachePrime.html また、一般的ではないかも知れませんが、その数列自体には 「Triangle of the gods」という呼び方があるらしいです。 なぜそう呼ぶかは↓こちらに書かれています。 https://programmingpraxis.com/2015/11/10/triangle-of-the-gods/ 探索プロジェクトのフォーラムは↓こちら https://mersenneforum.org/showthread.php?t=20527 この数列に関する情報は↓こちら https://oeis.org/A007908 参考：自然数でなく素数を連結して出来る素数は 「Smarandache-Wellin Primes」と呼ばれるようです。 http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/25/000000 No.57569 - 2019/04/11(Thu) 14:57:50

★ 大学数学 / けいおん

以下の接平面の問題をどなたかご教示いただけると幸いです。 【問題】 球面 x^2 + y^2 + z^2 = 1 について、任意の接平面に対しそれと平行な接平面が自分自身を除き唯一つ存在することを証明せよ。 No.57540 - 2019/04/09(Tue) 21:51:57 ☆ Re: 大学数学 / 関数電卓 　球面 x^2＋y^2＋z^2＝1 …(1) (1)上の任意の点 P(x0,y0,z0) における接平面の方程式は、 　x0･x＋y0･y＋z0･z＝1 …(2) で、(2)の法線ベクトルは n P＝(x0,y0,z0) …(3) P の対し，P の原点に関して対称な点 Q(−x0,−y0,−z0) が(1)上に唯一定まる。 点 Q における(1)の接平面は −x0･x−y0･y−z0･z＝1 …(4) で、(4)の法線ベクトルは nQ＝(−x0,−y0,−z0)　であり、n P‖nQ、よって、平面(2)‖平面(4) 以上で題意が示された。■(了) No.57551 - 2019/04/10(Wed) 20:43:46 ☆ Re: 大学数学 / X >>関数電卓さんへ その証明は対称点における接平面が元の接平面と 平行であることを示しているだけで、平行な接平面が 他に存在しないことの証明にはなっていないと 思うのですがどうでしょうか？。 No.57552 - 2019/04/10(Wed) 21:29:24 ☆ Re: 大学数学 / 関数電卓 > 平行な接平面が他に存在しないことの証明にはなっていない その通りですね。説明不足でした。以下を付け加えます。 法線ベクトル n P はベクトル OP に等しいので、球面(1)上 P が異なれば n P も異なる。 よって、n P と平行な法線ベクトルは、唯一 Q で定まる nQ のみである。 No.57555 - 2019/04/10(Wed) 22:33:15

★ (No Subject) / 数学

この問題の解説(2枚目の画像)の「四面体BPQRの対称性より、４点O、B、P、Eが同一平面上にある」と書いてありますが、「対称性だから、点が同一平面平面上にある」というのが、自分なりに因果関係をうまく説明できません。詳しくその意味を教えてください。 No.57530 - 2019/04/09(Tue) 17:19:04 ☆ Re: / 数学 言い忘れましたが。(2)の問題の解説です。 No.57531 - 2019/04/09(Tue) 17:19:50 ☆ Re: / 数学 これが解答の続きです。一応置いておきます。 No.57532 - 2019/04/09(Tue) 17:21:11 ☆ Re: / X 点B,P,Eを含む平面をαとすると 四面体BPQRはαに関し対称 であることはよろしいでしょうか？ 従って四面体BPQRの外接球である Sもαに関し対称となりますので Sの中心であるOはα上にあります。 No.57533 - 2019/04/09(Tue) 18:28:19 ☆ Re: / 数学 理解力なくてすみません。少しずつ教えてください。 >四面体BPQRはαに関し対称であることはよろしいですか？ ぱっと見、感覚で対称なんだろうなということがわかります。でもその根拠がわかりません。 >四面体BPQRの外接球である Sもαに関し対称となりますので αが外接球に関して対称だから、Sに関しても対称になる理由がわかりません。 >Sの中心であるOはα上にあります なぜαが球に関しても対称だから、点Oがα上にあるかわかりません。 No.57536 - 2019/04/09(Tue) 19:24:05 ☆ Re: / 数学 上の記述にミスがあったので、再度修正して投稿します。 理解力なくてすみません。少しずつ教えてください。 >四面体BPQRはαに関し対称であることはよろしいですか？ ぱっと見、感覚で対称なんだろうなということがわかります。でもその根拠がわかりません。 >四面体BPQRの外接球である Sもαに関し対称となりますので これも感覚でわかるんですが、αが四面体BPQRに関して対称だから、外接球Sに関しても対称になる理由がわかりません。 >Sの中心であるOはα上にあります なぜαが外接球に関して対称だから、点Oがα上にあるかわかりません。 No.57537 - 2019/04/09(Tue) 19:26:12 ☆ Re: / 黄桃 真面目に証明するなら次のような感じです。 ABMを通る平面αを考えます。 すでに証明しているように AB⊥QR です（結局この事実を「対称性」と呼んでいると思います）。 AM⊥QRだから、結局平面αはQRと直交します。つまり、αはQRの垂直二等分面です。 Q,Rから等距離にある点は、必ずこの垂直二等分面上にありますので、Oはα上にあります。 B,P, Eはα上にあります。 よって4点BPOEは平面αの上にあります。 No.57563 - 2019/04/11(Thu) 08:56:41 ☆ Re: / 数学 よく分かりました。 垂直二等分面のことをいろいろ調べました。 知らなかったので覚えておきます。 ありがとうございました。 No.57566 - 2019/04/11(Thu) 14:25:43

★ (No Subject) / 数学むずい

Ａ〜Ｅの5人は5日間でテニスの1回総当たり戦を行った。 1〜5日目まで毎日2試合ずつ試合が行われ、同じ人が1日に2度試合はしなかった。 ア〜エのことがわかっているとき、確実に言えることはなにか。 ア　Ａは4日目に試合がなく、5日目にＤと対戦した イ　Ｂは2日目にＤと対戦した ウ　Ｃと3日目に対戦したものは4日目にＥと対戦した エ　Ｅは3日目に試合がなかった　 答え　 １　1日目にＣは試合がなかった ２　2日目にＡとＣの対戦があった ３　3日目にＡとＣの対戦があった ４　4日目にＢとＣの対戦があった ５　5日目にＢとＥの対戦があった これは1日1試合（2組）ということなのでしょうか。 こんがらがって解けませんでした No.57525 - 2019/04/09(Tue) 10:04:54 ☆ Re: / らすかる 総当たりなので1人の人は4試合します。 1日に2度試合をしませんので、5日のうち4日で試合をします。 アからAは1,2,3,5日目に試合をして、5日目の対戦相手がDです。 エからEは1,2,4,5日目に試合をしました。 イから2日目にB対Dの試合がありましたが、 2日目はAもEも試合をしていますので、2日目の残りの試合はA対Eです。 ここまででわかっていることをまとめると次のようになります。 (A?,?E)(AE,BD)(A?,??)(?E,??)(AD,?E) 4日目にEと対戦した人はAではありません。 ウから4日目にEと対戦した人は3日目にCと対戦していますので、 4日目にEと対戦した人はCでもありません。 つまり4日目にEと対戦した人はBかDです。 もし4日目にEと対戦した人がBだとすると、 Bは3日目にCと対戦していますので↓このようになります。 (A?,?E)(AE,BD)(A?,BC)(BE,??)(AD,?E) するとBはあと1日目か5日目に試合していますが、5日目の?に Bは入れられませんので、Bは1日目のAの相手です。 （Eの相手だとB対Eが4日目にあり不適） 従って↓こうなりますので、 (AB,?E)(AE,BD)(A?,BC)(BE,??)(AD,?E) 3日目のAの相手は残るCです。 しかし3日目にはCはBと対戦していますので、矛盾しています。 従って「4日目にEと対戦した人がBだとする」という仮定が 誤りとわかりますので、4日目にEと対戦した人はDであり、 Dは3日目にCと対戦していますので↓このようになります。 (A?,?E)(AE,BD)(A?,CD)(DE,??)(AD,?E) Aの1日目と3日目の相手はBとCですが、3日目にCはDと試合を していますので、3日目のAの相手はB、1日目のAの相手はCと 決まります。 (AC,?E)(AE,BD)(AB,CD)(DE,??)(AD,?E) Eの1日目と5日目の相手はBとCですが、1日目にCはAと試合を していますので、1日目のEの相手はB、5日目のEの相手はCと 決まります。 (AC,BE)(AE,BD)(AB,CD)(DE,??)(AD,CE) 残りはB対Cですから (AC,BE)(AE,BD)(AB,CD)(BC,DE)(AD,CE) と決まります。 よって正しいのは4番です。 No.57526 - 2019/04/09(Tue) 10:55:36 ☆ Re: / ＩＴ らすかるさんの　推論を 縦ＡＢＣＤＥ,横１〜５日の表に書き込んでいくとわかりやすいと思います。 下記の表は、らすかるさんの解答と関係なく独自に推論し作成したものです。 No.57527 - 2019/04/09(Tue) 12:51:17 ☆ Re: / ＩＴ 小さいので２つに分けてみます。 No.57538 - 2019/04/09(Tue) 20:17:38 ☆ Re: / ＩＴ 続きです。 No.57539 - 2019/04/09(Tue) 20:18:49

★ (No Subject) / 頑張るしか
x＝(n√a)^mとする。 x^n＝(n√a)^mn …となって続きがわからないです。 というかここまで合っているかもわかりません。 教えてください。 No.57520 - 2019/04/09(Tue) 00:53:36 ☆ Re: / らすかる ([n]√a)^(mn) ={([n]√a)^n}^m =a^m なので x=(a^m)^(1/n) =[n]√(a^m) となります。 指数法則 a^(mn)=(a^m)^n=(a^n)^m を覚えましょう。 No.57523 - 2019/04/09(Tue) 01:00:18

★ 指数関数 / 頑張るしか
解き方を教えてください。 4√aというのは√aの4乗ということで良いのですか。 No.57519 - 2019/04/09(Tue) 00:51:07 ☆ Re: 指数関数 / らすかる [4]√aはaの4乗根、つまりa^(1/4)です。 [8]√(a^3)はa^3の8乗根、つまり(a^3)^(1/8)=a^(3/8) √aはa^(1/2)なので [4]√a×[8]√(a^3)÷√a =a^(1/4)×a^(3/8)÷a^(1/2) =a^(1/4+3/8-1/2) =a^(1/8) =[8]√a となります。 No.57521 - 2019/04/09(Tue) 00:53:57

★ 高校数学 / わのし
この極限がなぜこうなるのかわかりません... 0を直接代入できそうにありませんし... No.57518 - 2019/04/09(Tue) 00:47:40 ☆ Re: 高校数学 / らすかる lim[x→+0]1/x-1/x^2 =lim[x→+0]{1-1/x}/x これは分子→-∞、分母→+0なので lim[x→+0]1/x-1/x^2=-∞ lim[x→-0]1/x-1/x^2 =lim[x→-0]{1-1/x}/x これは分子→+∞、分母→-0なので lim[x→-0]1/x-1/x^2=-∞ 従ってlim[x→±0]1/x-1/x^2=-∞ No.57522 - 2019/04/09(Tue) 00:57:04

★ 高校数学　推論の問題 / あな

Ａ〜Ｅの5人が数学のテストを受けた。そのときの得点差について次のア〜オのことが判明した。左から順に得点低〜高に並べてあるのは、1〜5のいずれか。 ただし同じ得点だったものはいなかった。 ア：ＡとＢは40点差だった イ：ＣとＥは30点差だった。 ウ：ＤとＥは20点差だった エ：ＡはＤより30点上だった オ：ＣはＢより20点上だった 回答 1．C-E-D-B-A 2.D-A-B-E-C 3.D-B-A-C-E 4.E-B-D-C-A 5.E-D-C-B-A 全く歯が立ちません。回答方法も含めて教えてください。 お願いします No.57515 - 2019/04/08(Mon) 20:42:41 ☆ Re: 高校数学　推論の問題 / らすかる 1と5はオに反するので不適 2と3はアとウに反するので不適 よって4。 記述式の場合は、最後の1行を以下のように変更 よって適する可能性があるのは4しかないが、 例えばA=90、B=50、C=70、D=60、E=40とすれば すべての条件が成り立つので、やはり4は適する。 No.57516 - 2019/04/08(Mon) 21:00:37 ☆ Re: 高校数学　推論の問題 / ＩＴ 図で考えると分かり易いかも知れません。 右側を得点大として数直線上にABCDEの得点をプロットする |C-E|=30,|D-E|=20 より |C-D|=10 または50…?@ A-B=40だとすると 　A-D=30,C-B=20 から ----B-D-C---A +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+　 |C-E|=30,|D-E|=20 より　EはCよりDに近いので　 --E-B-D-C---A +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+ B-A=40 だとすると 　A-D=30,C-B=20 から C-D=(C-B)+(B-A)+(A-D)=90 --D-----A-------B---C 　?@を満たさない +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+　 ＃フォントの幅が違うので長さがうまく合いませんね。 No.57517 - 2019/04/08(Mon) 21:30:21

★ 高校数学 確率 / おぴんぴん
画像のハイライトの部分についてですが、同じものを区別する理由がわかりません。お願いします。 No.57513 - 2019/04/08(Mon) 18:58:34 ☆ Re: 高校数学 確率 / ＩＴ まず「同じもの」という表現は良くないですね。 「同じ文字」とでも言った方が良いでしょうか。 青チャートには 「確率では、起こりうるすべての場合について、『同様に確からしい』ことが前提にある。 そのためには、『見た目がまったく同じものでも区別して考える』必要がある。」 と書いてあります。 例えば赤玉が３個ある。・・・という場合 ３個の赤玉は「見た目はまったく同じでも異なるもの」ということです。 No.57514 - 2019/04/08(Mon) 19:36:43

★ 無限級数の極限 / なお

画像の問題の2番(問題2-2)の解き方を教えて下さい。よろしくお願いします No.57509 - 2019/04/08(Mon) 08:25:45 ☆ Re: 無限級数の極限 / らすかる r=1のとき(与式)=Σ[k=1〜∞]kなので発散 r≠1のとき (与式)=Σ[k=1〜∞](1/r)+(1/r)^2+(1/r)^3+…+(1/r)^k =Σ[k=1〜∞]{(1/r)^k-1}/(1-r) ={1/(1-r)}Σ[k=1〜∞](1/r)^k-1 r＜1のとき1/r＞1なのでk→∞のとき(1/r)^k→∞となり発散 r＞1のとき1/r＜1なのでk→∞のとき(1/r)^k→0 よってk→∞のとき(1-r)^k-1→-1となり発散 従って任意のrに対して発散 No.57511 - 2019/04/08(Mon) 09:34:41 ☆ Re: 無限級数の極限 / なお アドバイスありがとうございます。 rの値で場合分けをして考えるのですね。 アドバイスいただいた解法と教科書などを参考に自分なりに考えてみたのですが、 与式の第ｋ部分和は、S[k]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(k-1)}/(r^k)]となるので、r=1のとき、r≠1のとき(0<r<1、r>1)で場合分けをしてそれぞれ極限（k→∞）を求め、与式の収束、発散を調べる この解法はどうでしょうか？ ただ、rの値に応じた与式の第ｋ部分和 S[k]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(k-1)}/(r^k)]の計算が上手く出来ません。 再度の質問になってしまいますが、よろしくお願いします。 No.57528 - 2019/04/09(Tue) 14:18:10 ☆ Re: 無限級数の極限 / らすかる > この解法はどうでしょうか？ 私が説明で済ませている個所を具体的に計算するということですから、 問題ありません。 > ただ、rの値に応じた与式の第ｋ部分和 S[k]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+ > {(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(k-1)}/(r^k)]の計算が上手く出来ません。 私が書いた式の∞をnにすればS[n]になります。 （kは重複して不都合です。） ですから r=1のときS[n]=Σ[k=1〜n]k=n(n+1)/2 r≠1のとき S[n]={1/(1-r)}Σ[k=1〜n](1/r)^k-1 ={1/(1-r)}{(1/r){1-(1/r)^n}/(1-1/r)-n} ={1/(1-r)}{{1-(1/r)^n}/(r-1)-n} となります。 No.57535 - 2019/04/09(Tue) 19:08:37 ☆ Re: 無限級数の極限 / なお 与式の第ｎ部分和 S[n]=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(n-1)}/(r^n)]より、 (i)r=1のとき S(n)=(1/1)+{(1+1)/1}+{(1+1+1)/1}+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)] =1+2+3+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)] =(1/2)*n(n+1) ∴　lim(n→∞)S(n) =lim(n→∞)(1/2)*n(n+1) =＋∞ よって、r=1のとき、与式は正の無限大に発散する。 ↑これで合ってますか？ (ii)r≠1のとき S(n)=(1/r)+{(1+r)/(r^2)}+{(1+r+r^2)/(r^3)}+...+[{1+r+r^2+...+r^(n-1)}/(r^n)] =(1/r)+{(1/r)+(1/r^2)}+{(1/r)+(1/r^2)+(1/r^3)}+...+{(1/r)+(1/r^2)+(1/r^3)+...+(1/r^n)} 0<r<1、r>1で場合分け。←これ以降が分かりません。 r≠1のとき S[n]={1/(1-r)}Σ[k=1〜n](1/r)^k-1 ={1/(1-r)}{(1/r){1-(1/r)^n}/(1-1/r)-n} ={1/(1-r)}{{1-(1/r)^n}/(r-1)-n} ↑何故このような計算になるか分かりません。 よろしくお願いします。 No.57562 - 2019/04/11(Thu) 07:22:41 ☆ Re: 無限級数の極限 / らすかる > ↑これで合ってますか？ 合ってます。 ただし、解答に書くならば S(n)=(1/1)+{(1+1)/1}+{(1+1+1)/1}+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)] =1+2+3+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)] =(1/2)*n(n+1) は S(n)=(1/1)+{(1+1)/1}+{(1+1+1)/1}+...+[{1+1+1+...+1(n-1)}/(1^n)] =1+2+3+...+n =(1/2)*n(n+1) と書いた方がいいです。 （先頭3項だけ計算して最終項を計算しないのは不自然です。） > ↑何故このような計算になるか分かりません。 {1+r+r^2+…+r^(k-1)}/r^k =1/r^k+1/r^(k-1)+1/r^(k-2)+…+1/r =1/r+1/r^2+1/r^3+…+1/r^k =(1/r)+(1/r)^2+(1/r)^3+…+(1/r)^k =(1/r){(1/r)^k-1}/{(1/r)-1}　（∵等比数列の公式による） =(1/r)/{(1/r)-1}・{(1/r)^k-1} =1/(1-r)・{(1/r)^k-1} なので S[n]=1/r+(1+r)/r^2+(1+r+r^2)/r^3+…+{1+r+r^2+…+r^(n-1)}/r^n =Σ[k=1〜n]{1+r+r^2+…+r^(k-1)}/r^k =Σ[k=1〜n]1/(1-r)・{(1/r)^k-1}　（∵上の計算から） ={1/(1-r)}Σ[k=1〜n]{(1/r)^k-1} ={1/(1-r)}{{Σ[k=1〜n](1/r)^k}-{Σ[k=1〜n]1}} ={1/(1-r)}{(1/r){1-(1/r)^n}/{1-(1/r)}-n}　（∵1つ目のΣは等比数列の公式による） ={1/(1-r)}{{1-(1/r)^n}/(r-1)-n} となります。 No.57574 - 2019/04/11(Thu) 21:27:26

★ 中学レベルの図形の問題 / しんこういち
写真の問題(3)の解き方を教えてください。 答えは114㎠です。 No.57508 - 2019/04/08(Mon) 08:17:50 ☆ Re: 中学レベルの図形の問題 / らすかる △ACE=18+6=24cm^2 △ACE：△ABE=CE：BE=1：5から△ABE=120cm^2 よって四角形ABCD=△ABE-△EDC=114cm^2 No.57510 - 2019/04/08(Mon) 09:17:50 ☆ Re: 中学レベルの図形の問題 / しんこういち ありがとうございます！ No.57512 - 2019/04/08(Mon) 17:47:35

★ リプシッツ連続 / 初心者

微分方程式の本で、 f=❘y❘＾(1/2)は f(x,z)-f(x,y)/z-y→∞（y,z↓0のとき）だからy=0で （リプシッツ条件） ある正の定数Lが存在して、任意の２点(x,y)(x,z)に対して、❘f(x,z)-f(x,y)❘≦L❘z-y❘が成り立つ は満たさ れていない。 とあるのですが、f(x,z)-f(x,y)/z-y→∞（y,z↓0のとき）のy,z↓0のときが何をしているのか記号の意味が分かりません。 言っていることはｙ＝❘√x❘はｘ＝０でｙ軸平行な接線を持つ（微分不可能）ということだと思うのですが、教えてください。 No.57505 - 2019/04/07(Sun) 22:25:19 ☆ Re: リプシッツ連続 / ＩＴ > y,z↓0のときが何をしているのか記号の意味が分かりません。 y→0、かつ　z→0　ということでは？ 正確にはεδ方式を使わないと表現できませんが y→0とz→0に順番はないと思います。 No.57524 - 2019/04/09(Tue) 07:26:33

★ (No Subject) / ううううん！

「正n角形がある(nは3以上の整数)。このｎ個の頂点のうちの3個を頂点とする三角形について考える。 問：n=6k(kは正の整数)であるとする。 このとき、kを用いて表すと、正三角形の個数はいくつあるか。」 解答：『正n角形のn個の頂点を順にA1,A2,・・・Anとする。A1を１つの頂点とする正三角形の他の頂点はA 2k+1,A 4k+1である。同様に(A2,A 2k+2, A 4k+2),(A3,A 2k+3,A 4k+3),・・・・,(A 2k,A 2k+2k,A 4k+2k)を3つの頂点とする正三角形であるから』、正三角形の個数は全部で2kである。 疑問：(1)頂点A 2k+1,A 4k+1とあるが、どういう考え方で2ｋ、4k、2k+2kなどの数字が出てきたのか？ (2)『〜』の中のことから、なぜ正三角形の個数が2ｋと言う事ができるのか？ 教えてください。お願いします。 No.57503 - 2019/04/07(Sun) 16:39:16 ☆ Re: / X (1) n=6k に対し 6k÷3=2k よって正三角形の頂点の一つをA[1]とすると 次の頂点は2k個飛ばしたA[1+2k] さらに次の頂点はここから2k個飛ばしたA[1+2k+2k] ということで正三角形となる頂点の組の一つは {A[1],A[2k+1],A[4k+1]} ここから頂点A[1]を1つづつずらすように 残りの二つの頂点も順にずらすと、頂点の組は {A[2],A[(2k+1)+1],A[(4k+1)+1]} {A[3],A[(2k+1)+2],A[(4k+1)+2]} … {A[2k],A[(2k+1)+2k-1],A[(4k+1)+2k-1]} (2) (1)の回答から、求める正三角形の数 つまり頂点の組の数は A[1]をずらすことのできる数 である 2k となります。 No.57504 - 2019/04/07(Sun) 20:20:21 ☆ Re: / ううううん！ とても勉強になります。ありがとうございました！ No.57529 - 2019/04/09(Tue) 17:17:27

★ (No Subject) / ろー
0≦θ<2πのときcos2θ＋cosθ＋1＝0をとく。 ここの青い部分が180度から何度分出てるか求めて -cos(x-180)と求めるのだと思うのですが 何度出ているのかがわからないです。 考え方を教えてください。 No.57491 - 2019/04/06(Sat) 11:57:14 ☆ Re: / X 青い扇形の中心角はπ/3ですね。 扇形の中にできている直角三角形の 横の辺の長さが1/2になっています。 No.57492 - 2019/04/06(Sat) 16:58:40 ☆ Re: / ろー とても分かりました ありがとうございます！ No.57496 - 2019/04/06(Sat) 17:56:52

★ 数2 / ろー
何度もすみません。 4/3πの出し方を教えてください。 No.57490 - 2019/04/06(Sat) 10:27:54 ☆ Re: 数2 / X 問題のθの値は θ=π/3,π/3+π ∴ θ=π/3,4π/3 となります。 No.57493 - 2019/04/06(Sat) 17:00:44

★ (No Subject) / ろー

この答えは2πから引き算すれば出ると考えて良いのですか？？ No.57489 - 2019/04/06(Sat) 10:08:23 ☆ Re: / X 違います。 求める解は π/6≦θ＜π/2,π/6+π≦θ＜π/2+π つまりπを足します。 (No.57490の質問に対する私の回答である No.57493の内容と合わせて考えてみて下さい。) No.57494 - 2019/04/06(Sat) 17:05:33 ☆ Re: / X それと次回から模範解答だけでなくて 対応する問題もアップするようにしましょう。 そうでないと普通だったら回答は付きません。 (問題の内容が複雑だったら模範解答から 推測できません。) No.57495 - 2019/04/06(Sat) 17:07:44 ☆ Re: / ろー 気をつけます… こういった三角方程式の問題はπを足して求めていけば大丈夫ですか？ No.57497 - 2019/04/06(Sat) 18:01:06 ☆ Re: / X それは問題によります。 只、どのような三角方程式、三角不等式 についても、単位円の図を描いた上で θの値に対応する個々の部分の間の 対称性などを考えることが重要に なってきます。 (点対称になるのなら、原点中心に πだけ回転させると重なる、など) 問題を解くときには必ず単位円の図を 描きましょう。 No.57490で添付された写真での単位円の図で 左上のハッチングされた部分を原点中心で πだけ回転させると右下のハッチングした 部分に重なりますよね？ No.57489で質問されている問題についても 同じように単位円の図を描いて考えると やはり原点中心でπだけ回転させることにより θの値の範囲に対応する一方の部分が 他方の部分に重なります。 No.57500 - 2019/04/07(Sun) 00:25:49

★ 漸化式 / ひかり

n秒後に4分の1円が四隅のうち、一隅にしか現れないものの個数Pn、二隅に現れるものの個数Qnとします。 題意より、 P(n+1)=3Pn+2QnとQ(n+1)=Pn+2Qnが成り立ちます。またP0=4、Q0=0です。 この連立漸化式を解くと、Pn={2・4∧(n+1)+4}/3、Qn={4∧(n+1)-4}/3となります。 ここまでは解答と同じで、わかったのですが、最終的な答えはわたしは(Pn+Qn)/2∧nだと思ったのですが、解答では{Pn/4+2Qn/4}/2∧nとなっていて、このPnの係数1/4とQnの係数2/4の意味がわかりません。 わかりやすく教えて頂けないでしょうか？ No.57485 - 2019/04/05(Fri) 22:48:13 ☆ Re: 漸化式 / ひかり 問題を貼り忘れてました。 No.57486 - 2019/04/05(Fri) 22:50:22 ☆ Re: 漸化式 / らすかる P[n],Q[n]はそれぞれ「個数」であり、求めるものは「長さ」の 比ですから、足してそのまま2^nで割っても意味のある数字になりません。 P[n]は1/4円弧の個数なので円P[n]/4個分、つまり 最初の長さの(P[n]/4)/2^n倍です。 Q[n]は1/4円孤×2の個数なので円2Q[n]/4個分、つまり 最初の長さの(2Q[n]/4)/2^n倍です。 従って両方を合わせると 最初の長さの(P[n]/4+2Q[n]/4)/2^n倍となります。 No.57487 - 2019/04/05(Fri) 23:38:58 ☆ Re: 漸化式 / ひかり 回答ありがとうございます。 確認させてください。 Pnは4分の1円の個数なので、Pnを4で割るのは、最初の円の1/2∧n倍の大きさの円の個数を出すため、ということなのでしょうか？ No.57499 - 2019/04/07(Sun) 00:23:51 ☆ Re: 漸化式 / らすかる そういうことです。 No.57501 - 2019/04/07(Sun) 00:59:46 ☆ Re: 漸化式 / ひかり ありがとうございました！ No.57506 - 2019/04/07(Sun) 22:43:44

★ (No Subject) / うらら

お世話になっています。 また分からない問題がありましたので質問させてください。 5.7÷□×0.27-16×0.8×0.27＝2.7 工夫する計算方法を教えてください No.57480 - 2019/04/05(Fri) 13:11:40 ☆ Re: / らすかる 5.7÷□×0.27-16×0.8×0.27＝2.7 両辺を10倍 57÷□×0.27-16×8×0.27＝27 両辺を100倍 57÷□×27-16×8×27＝2700 両辺を27で割る 57÷□-16×8＝100 16×8を計算 57÷□-128＝100 両辺に128を足す 57÷□＝100+128 右辺を計算 57÷□＝228 両辺を57で割る 1÷□＝4 両辺に□を掛ける 1＝4×□ 両辺を4で割る 0.25＝□ 従って□は0.25 No.57481 - 2019/04/05(Fri) 13:54:25 ☆ Re: / うらら いつもありがとうございます。 5.7÷□×0.27-16×0.8×0.27＝2.7 両辺を10倍 　　↓　　　　　　　　　　 57÷□×0.27-16×8×0.27＝27 ↑　　　　　　　↑　　　　↑　 両辺10倍とは5.7と0.8と2.7のみで全てを10倍にしなくてよいのですか？ No.57482 - 2019/04/05(Fri) 14:45:57 ☆ Re: / らすかる 例えば 2×3=6 の両辺を10倍するとき 全部10倍すると 20×30=60 という成り立たない式になってしまいますね。 2×3=6の両辺を10倍すると 2×3×10=6×10ですから (2×10)×3=6×10 か 2×(3×10)=6×10 のように 2か3のどちらかしか10倍できません。 2+3=5のように左辺が加算ならば (2+3)×10=5×10 から 2×10+3×10=5×10のように各項を10倍する必要があります。 a×b+c×d×e=f のような式ならば (a×b+c×d×e)×10=f×10 a×b×10+c×d×e×10=f×10 となりますので、 aかbのどちらか一つを10倍（もちろんaを2倍、bを5倍などでもOK） cかdかeのどれか一つを10倍 のようになります。 No.57483 - 2019/04/05(Fri) 15:51:26

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