{1} xy=x+y (x≦y) をとくと、(x,y) = (2,2)
{2} xyz=x+y+z (x≦y≦z) をとくと、(x,y,z)=(1,2,3)
問題はここで終わっていたが、
{3} xyzp=x+y+z+p (x≦y≦z≦p) をとくと、(x,y,z,p)=(1,1,1,4)
{4} xyzpq=x+y+z+p+q (x≦y≦z≦p≦q)をとくと、(x,y,z,p)=(1,1,1,2,5),(1,1,1,3,3),(1,1,2,2,2)
…
予想
{n} x[1]x[2]x[3] …x[n] =x[1]+x[2]+ …x[n] (x[1]≦x[2]≦…≦x[n] )
を満たすx[k]は存在しそうだ。
質問 これは高校範囲で示せますか？
色々考えても[ {k} と{k+1} の関係性( 結局わからずじまいです)や座標平面上におくなど)
結論が出ませんでした。
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No.58453 - 2019/05/22(Wed) 19:09:41
| ☆ Re: 整数 / 9の倍数 | | | {3}{4}は自分で解いたので、答えは間違っているかもしれません。
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No.58454 - 2019/05/22(Wed) 19:11:08 |
| ☆ Re: 整数 / 9の倍数 | | | {1}~{3}では5次=1次だから 原理的に解けるはずというふうに考えて、答えを求めてきました。
ex) xyzpq=x+y+z+p+q
1= 1/yzpq+1/xzpq+1/xypq+1/xyzq+1/1/xyzp
これより 1≦5/x^4 よってx=1
yzpq=1+y+z+p+q
1/yzpq=1/1/zpq+1/ypq+1/yzq+1/yzp+1/yzpq
1<= 4/y^2+ 1/y^4
これよりy=1
…
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No.58455 - 2019/05/22(Wed) 19:17:37 |
| ☆ Re: 整数 / らすかる | | | n≧3のとき
x[1]=x[2]=x[3]=…=x[n-2]=1とおくと
x[n-1]x[n]=n-2+x[n-1]+x[n]
x[n-1]x[n]-x[n-1]-x[n]+1=n-1
(x[n-1]-1)(x[n]-1)=n-1
解の一つは
x[n-1]-1=1,x[n]-1=n-1
すなわちx[n-1]=2,x[n]=n
よって
x[1]=x[2]=x[3]=…=x[n-2]=1, x[n-1]=2, x[n]=n
とすれば(左辺)=(右辺)=2nとなりますので、解は必ず存在します。
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No.58456 - 2019/05/22(Wed) 20:21:15 |
| ☆ Re: 整数 / 9の倍数 | | | ラスカルさん ありがとうございます。
これ以上の解の追求はできなさそうですね。
規則を見つけようとしましたが、自分はこれ以上できませんでした。
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No.58462 - 2019/05/22(Wed) 23:29:27 |
| ☆ Re: 整数 / 9の倍数 | | | 解の個数の追及までできたら、興味深かったのですが…
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No.58463 - 2019/05/22(Wed) 23:33:36 |
| ☆ Re: 整数 / らすかる | | | ↓ここにあるように「未解決問題」の中に入っているようですから、
解の個数の追及は困難だと思います。
http://oeis.org/A033178
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No.58468 - 2019/05/23(Thu) 01:58:29 |
| ☆ Re: 整数 / 9の倍数 | | | らすかるさん
難しい問題だったのですね。
大学生になってから、もう一度考えてみます。
ありがとうございました
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No.58565 - 2019/05/26(Sun) 19:39:28 |
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