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★ メネラウスの定理は順番は関係ありますか / モンゴル
この問題で、最初から分点をまたがる状態で立式すると答えが合いません。

何か順番があるのですが？アルファベットが対応してれば良いと思ってたのですが
No.57952 - 2019/04/30(Tue) 17:01:50
☆ Re: メネラウスの定理は順番は関係ありますか / らすかる
CF/FD・DH/HE・EA/AC の分母の一文字目F,H,Aはすべて直線AF上に乗っていて、
先頭の文字と最後の文字が一致していますね。
AC/CE・EH/HD・DF/FC の分母の一文字目C,H,Fは同一直線上になく、
さらに先頭の文字Aと最後の文字Cも違いますので誤りです。
一つ目のAC/CEをCA/AEにすれば正しく25：14が得られます。
No.57953 - 2019/04/30(Tue) 17:55:51
★ 非回転体 / GW 中失礼します
こんにちは、GW中2階目の投稿失礼します。
これまた、共通部分の立体の想像すらつかず、全体像が全く見えない問題に出会ってしまいました。
方針をご教授お願いします。

[問題] 図のように底面が半径r の円である２つの円柱を垂直に交わらせた時、2つの共通部分の立体の体積を求めよ。
No.57946 - 2019/04/30(Tue) 15:35:20
☆ Re: 非回転体 / GW 中失礼します
ちなみに 解答は 16/r^3 です。
No.57947 - 2019/04/30(Tue) 15:37:46
☆ Re: 非回転体 / GW 中失礼します
失礼しました 正しい解答は 16r^3/3 です
No.57948 - 2019/04/30(Tue) 15:38:45
☆ Re: 非回転体 / 匿名希望
全体の図形を(1/r)倍して考える。
このとき体積は(1/r^3)倍となっている。
x,y,z座標系を適切に取れば、共通部分を表す方程式は
　x^2+z^2≦1 かつ y^2+z^2≦1
となる。
これは
　-1≦z≦1 かつ -√(1-z^2)≦x≦√(1-z^2) かつ -√(1-z^2)≦y≦√(1-z^2)
と同値である。
共通部分をxy平面と平行な平面z=p（ただし-1≦p≦1）で切った切り口は
一辺の長さ 2√(1-p^2) の正方形であり、その面積は4-4p^2である。
よって共通部分の体積は
∫[-1,1]{4-4p^2}dp
=2∫[0,1]{4p-(4/3)p^3}'dp
=2{4-(4/3)}
=16/3
これをr^3倍すれば元の共通部分の体積となる。

（答）(16/3)r^3
No.57950 - 2019/04/30(Tue) 15:59:08
☆ Re: 非回転体 / ＩＴ
「円柱直交」で画像検索するといくつか画像が出てきます。
下手な図ですが描きましたので参考までに載せます。
No.57955 - 2019/05/01(Wed) 00:00:07
★ 線分の垂直に関する証明 / ゆい橋
この星印のある行で、四角で囲ってあるところが何故そう言えるのかわかりません。詳しく教えてください。
No.57942 - 2019/04/30(Tue) 12:48:53
☆ Re: 線分の垂直に関する証明 / ＩＴ
ABC は三角形をなすからです。
No.57943 - 2019/04/30(Tue) 13:07:03
★ lim の操作 / 東京
lim ?? と ?斗im は等しいのですか？
もし違うなら反例を教えてください
No.57938 - 2019/04/30(Tue) 10:44:47
☆ Re: lim の操作 / らすかる
「?刀vが「∫」の意味ならば、例えば
lim[n→∞]∫[0〜2π]cos(nx)dx = lim[n→∞]0 = 0 ですが
lim[n→∞]cos(nx) が定義されませんので
limを中に入れることができません。
No.57944 - 2019/04/30(Tue) 13:56:42
☆ Re: lim の操作 / GW 中失礼します
極限操作についての同値性が曖昧だったので質問させていただきました。

ありがとうございました。
No.57949 - 2019/04/30(Tue) 15:39:58
☆ Re: lim の操作 / ＩＴ
lim[n→∞]f[n](x)=f(x) (区間で一様収束）の場合は、極限操作の順序を変えてもOKです。
No.57951 - 2019/04/30(Tue) 16:59:16
★ オイラー定数 / 時計
Sn = [k=1~n]Σ 1/k とする

(1) Sn - [1~n] ?? 1/x dx は nの減少する列であることを示せ
(2) 1/2. < Sn - [1~n] ?? 1/x dx <. 1 であることを示せ。




こんにちは、自分はこの問題について、(1)は図形で押さえましたが
(2) をどのように解くかわかりません。
また、(1) も計算で解ける方法があったら教えていただきたいです。
No.57937 - 2019/04/30(Tue) 10:41:39
☆ Re: オイラー定数 / ＩＴ
(2) 1/2 < S[n] - ∫[1,n](1/x)dx の証明
x＞0においてy=1/x は下に凸なので
∫[1,n](1/x)dx
= ?納k=1,n-1](∫[k,k+1](1/x)dx)
＜?納k=1,n-1]{(1/k)+(1/(k+1))}/2

よって
S[n] - ∫[1,n](1/x)dx
＞Σ[k=1,n](1/k)-Σ[k=1,n-1]{(1/k)+(1/(k+1))}/2
＝1/2+1/(2n)

n=1のときS[n] - ∫[1,n](1/x)dx ＝１ですから、
S[n] - ∫[1,n](1/x)dx < 1 は間違いでは　
No.57939 - 2019/04/30(Tue) 12:26:12
☆ Re: オイラー定数 / X
(1)
a[n]=S[n]-∫[1→n]dx/x
と置くと
a[n]-a[n-1]=1/n-logn+log(n-1)
ここで
f(x)=1/x-logx+log(x-1)
と置くと
f'(x)=-1/x^2-1/x+1/(x-1)
={-(x-1)-x(x-1)+x^2}/{(x-1)x^2}
=1/{(x-1)x^2}
∴x≧2において
f'(x)＞0
ゆえf(x)は単調増加。
更に
f(2)=1/2-log2=log{(√e)/2}＜log{(√3)/2}＜0
lim[x→∞]f(x)=lim[x→∞]{1/n+log(1-1/n)}=0
∴x≧2においてf(x)＜0
となるので、n≧2において
a[n]-a[n-1]＜0
よって命題は成立します。
No.57940 - 2019/04/30(Tue) 12:32:27
★ 面積と比について / やまて
xy 座標平面上に平行四辺形 OABC と辺 BC 上に点 P をとる。O(0,0) A(6,1) B(1,2) で C は第一事象にあたるとする。このときの次の問いに答えよ。

（１）点Cの座標を求めよ。
（２）平方四辺形 OABC の面積が三角形 PAC の面積の３倍となるとき、点 P の座標を求めよ。

(1)平行四辺形の性質からOA//BCより
直線BCの傾きがOAの傾きが等しいので点C (7,3)

（2）BCを BP:PC=1:2 に内分する点が求める点Pであるから、それを利用して答えは　P(3,7/3)になるそうです。

(2)に関して質問です。

そもそもなぜBCを BP:PC=1:2 に内分する点が、平方四辺形OABCの面積＝三角形PACの面積の３倍となるのでしょうか。

解法もできれば教えていただければ幸いです。
よろしくお願いいたします。
No.57929 - 2019/04/29(Mon) 19:25:33
☆ Re: 面積と比について / 元中３
△PAC:平行四辺形OABC=1:3=2:6,
△ACB:平行四辺形OABC=1:2=3:6
より、△PAC:△ACB=2:3
したがって二つの三角形の底辺をACとみなすと、CP:CB=2:3
これで納得していただけますでしょうか？
No.57930 - 2019/04/29(Mon) 19:49:13
☆ Re: 面積と比について / やまて
元中３様

もやもやが解消されました。ありがとうございます。
No.57931 - 2019/04/29(Mon) 20:07:45
★ 不等式の証明 / 璃久
元の3行目の前に-xを抜いた青で囲んだ場所は必要ではないのですか？
No.57925 - 2019/04/29(Mon) 17:51:50
☆ Re: 不等式の証明 / 璃久
画像忘れていました
No.57926 - 2019/04/29(Mon) 17:52:30
☆ Re: 不等式の証明 / 元中３
等式A=Bが成り立つとき、B＞0ならばA＞0ですね。
というか、-xを除いた青で囲んだ部分とは不等式(4x+3y)/7＞0のことでしょうか？
もしそうであればこの不等式は例えばx=-2,y=-1で不成立です。
No.57927 - 2019/04/29(Mon) 18:07:07
★ 整数 / K
1以上の整数k,n について、
n^2 + 1= k^2 を満たす n,k は存在しない。
これを示せ。
お願いします。
No.57922 - 2019/04/29(Mon) 17:02:33
☆ Re: 整数 / X
問題の等式を(A)とします。

(A)から
k^2=n^2+1＞n^2
∴k＞n
さて、k≧n+1なる自然数kに対し
k^2-(n^2+1)≧(n+1)^2-(n^2+1)=2n＞0
∴k^2＞n^2+1
よって命題は成立します。
No.57924 - 2019/04/29(Mon) 17:42:44
☆ Re: 整数 / らすかる
別解
n^2+1=k^2 から
k^2-n^2=1
(k+n)(k-n)=1
n≧1なのでk+n≠k-nであり
異なる整数の積は1にならないので、
（∵2数の積が1になるのは1×1と(-1)×(-1)のみ）
この式を満たすn,kは存在しない。
No.57932 - 2019/04/29(Mon) 20:25:22
☆ Re: 整数 / ＩＴ
らすかるさん方式の解法で
どのようにk,n が1以上（の整数）であるを使うかの違いだけで、本質はまったく同じですが、
下記のような書き方もあります。

k,n は整数という条件のもとn^2 + 1= k^2を解く
　n^2+1=k^2 から
　k^2-n^2=1
　(k+n)(k-n)=1
　k+n、k-nは整数なのでk+n=k-n=±1
∴n=0かつk=±1

したがって1以上の整数k,n について、n^2 + 1= k^2 を満たす n,k は存在しない。
No.57933 - 2019/04/29(Mon) 22:24:57
★ 円と接線の問題について / やまて
点（5.6）から円 x^2 + y^2 = 9 に引いた二本の接線をP.Qとすると、直線 PQ の方程式を求めよ。

(?@)接点の座標を（s.t）と置く。
（?A）中心と直線の距離＝円の半径

から、答えをアプローチしてみましたが、どうも途中から計算が複雑になりすぎてしまい。答えが求められません。どの解法をどのように用いるのがこの問題の最短ルートになりますでしょうか？

申し訳ないですが、答えがありません。
知識のある方、回答いただければ幸いです。
よろしくお願いいたします。
No.57917 - 2019/04/29(Mon) 14:20:48
☆ Re: 円と接線の問題について / X
(ii)の方針で解いてみましょうか。

条件から求める接線は少なくともy軸平行ではありませんので
その方程式は、
y=a(x-5)+6 (A)
と置くことができます。
条件から(A)と原点との距離が問題の円の半径に
等しくなるので点と直線との間の距離の公式に
より
|-5a+6|/√(a^2+1)=3
これを解いてaの値を求めます。
一見難しそうに見えますが
|-5a+6|=3√(a^2+1)
と変形して両辺を二乗すれば
aの二次方程式になります。

(但し、最短の解法であるかは分かりません。)
No.57918 - 2019/04/29(Mon) 14:31:35
☆ Re: 円と接線の問題について / やまて
無事解けましたが、その方程式からまた複雑になりすぎていて直線PQの出し方がわかりません。。。

少し頑張って調べてみます！

回答ありがとうございました！
No.57919 - 2019/04/29(Mon) 14:56:43
☆ Re: 円と接線の問題について / らすかる
「接線をP,Qとして直線PQ」は意味がわかりませんが、
もしP,Qが「接点」で2接点を通る直線の方程式を求める問題ならば

点(5,6)と原点を直径の両端とする円の方程式は
x^2-5x+y^2-6y=0
x^2+y^2=9からこの式を引いて
5x+6y=9
これが2接点を通る直線の式です。
No.57920 - 2019/04/29(Mon) 15:49:06
☆ Re: 円と接線の問題について / 元中３
点(5,6)を通る円x^2+y^2=9の2接線の方程式を求めたければ接点の座標を(p,q)とおき、このとき接線の方程式はpx+qy=9と表されることから
?@p^2+q^2=9,?A5p+6q=9
の2式から(p,q)を求めればあとはpx+qy=9に代入して終了です。
おそらく冒頭の問題の条件文中の｢接線P,Q｣というのは｢接点P,Q｣の誤りだと思われるので、この場合直線PQを求めたければわざわざ2接点の座標をもとめる必要はなく、らすかるさんのように求めてもかまいませんし、若しくは下記の方法で求めても構いません。

円x^2+y^2=9...?@とする
P(a,b),Q(a’,b’)とおくと、Pを通る円?@の接線の方程式はax+by=9...?A
同様にQを通る円?@の接線の方程式はa’x+b’y=9...?Bと表される
直線?A,?Bはともに点(5,6)を通るから
5a+6b=9,5a’+6b’=9
したがって2点(a,b),(a’,b’)はともに直線5x+6y=9上にあるから
直線PQの方程式は5x+6y=9
(このような直線は極線と呼ばれます。)
No.57921 - 2019/04/29(Mon) 16:56:37
☆ Re: 円と接線の問題について / やまて
ラスカル様、元中３様

おっしゃられたとおり、これは極線を求める問題だったようです。解説をじっくり読ませていただきます。

ありがとうございました。
No.57923 - 2019/04/29(Mon) 17:40:14
★ (No Subject) / うーん
この問題の解説がわかりません！
シスのところです！
No.57904 - 2019/04/28(Sun) 18:27:14
☆ Re: / うーん
なぜDA=DCとするのですか？
No.57905 - 2019/04/28(Sun) 18:27:50
☆ Re: / らすかる
孤ADC上で直線ACから最も遠い点はACの垂直二等分線上にありますので、
△DACがDA=DCの二等辺三角形のときにDHが最大となります。
No.57906 - 2019/04/28(Sun) 18:34:51
☆ Re: / 青チャート
> 孤ADC上で直線ACから最も遠い点はACの垂直二等分線上にありますので、
> △DACがDA=DCの二等辺三角形のときにDHが最大となります。

ありがとうございます！
No.57928 - 2019/04/29(Mon) 18:41:57
★ (No Subject) / GW中 失礼します
画像の直角に折れた廊下を、長さlの棒を水平に持って曲がり切りたい。これが可能なlの最大値を求めよ。
No.57901 - 2019/04/28(Sun) 18:20:23
☆ Re: / GW中 失礼します
まったく太刀打ちできません。
方針を教えていただきたいです。
No.57902 - 2019/04/28(Sun) 18:21:21
☆ Re: / GW中 失礼します
ちなみに答えは (a^2/3+b^2/3)^3/2です
No.57903 - 2019/04/28(Sun) 18:22:44
☆ Re: / らすかる
lの両端が外側の壁の下側と左側にあり、
lが内側の壁の角を通るときの最小値が求める値ですね。
外側の壁の角を原点とするxy平面と考えると、内側の角は(a,b)
(a,b)を通り傾きm（m＜0）の直線はy=m(x-a)+bであり
この直線とx軸(外側の壁の下側)との交点は(a-b/m,0)
y軸(外側の壁の左側)との交点は(0,b-am)なので
傾きmのときに第一象限におさまる長さは
√{(a-b/m)^2+(b-am)^2}です。
「長さが最小」⇔「長さの2乗が最小」なので
(a-b/m)^2+(b-am)^2の最小値を調べて
後で平方根をとれば十分です。
f(m)=a^2m^2-2abm+a^2+b^2-2ab/m+b^2/m^2とすると
f'(m)=2a^2m-2ab+2ab/m^2-2b^2/m^3
f'(m)=0を解くと
2a^2m-2ab+2ab/m^2-2b^2/m^3=0
a^2m^4-abm^3+abm-b^2=0
(am^3+b)(am-b)=0
m＜0なのでm^3=-b/a
∴m=-(b/a)^(1/3)
このとき長さは
√{(a-b/m)^2+(b-am)^2}
=√{(a+b(a/b)^(1/3))^2+(b+a(b/a)^(1/3))^2}
=√{(a+(ab^2)^(1/3))^2+(b+(a^2b)^(1/3))^2}
=√{a^2+2a(ab^2)^(1/3)+(ab^2)^(2/3)+b^2+2b(a^2b)^(1/3)+(a^2b)^(2/3)}
=√{a^2+2a^(4/3)b^(2/3)+a^(2/3)b^(4/3)+b^2+2a^(2/3)b^(4/3)+a^(4/3)b^(2/3)}
=√{a^2+3a^(4/3)b^(2/3)+3a^(2/3)b^(4/3)+b^2}
=√{(a^(2/3))^3+3(a^(2/3))^2b^(2/3)+3a^(2/3)(b^(2/3))^2+(b^(2/3)^3}
=√{(a^(2/3)+b^(2/3))^3}
=(a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
となります。

# a^2/3 は (a^2)/3と解釈されますので、
# a^(2/3)のようにカッコを付けましょう。
No.57908 - 2019/04/28(Sun) 19:02:52
☆ Re: / GW中 失礼します
ラスカルさんありがとうございます。

気になった事なのですが、この問題は”陰関数の積分”と言うところにありました。
さらにこの問題の解答はアステロイドの式に酷似しています。
そこでまた質問なのですが、これはアステロイドになにか関係しているのでしょうか？
No.57911 - 2019/04/28(Sun) 21:35:08
☆ Re: / らすかる
大いに関係があります。
一定の長さの線分の両端がx軸上とy軸上にあって移動すると、
包絡線がアステロイドになります。
よって内側の壁の角に接するアステロイドの
大きさ（原点から軸上の点までの距離）が
lの最大値とも言えますね。
No.57913 - 2019/04/28(Sun) 22:48:42
☆ Re: / GW中 失礼します
らすかるさん
いま、一度考えてみたところ
lの両端が外側の壁の下側と左側にあり、
lが内側の壁の角を通るときの最小値が求める値ですね
と言う部分がなぜそのように考えれば良いのかわからなくなってしまいました。
今一度なぜそうなるか教えていただけませんか？
No.57934 - 2019/04/30(Tue) 09:33:46
☆ Re: / らすかる
長さが自在に変わる線分lが、内側の壁の角を通り
両端が外側の壁の下側と左側にあるとすると、
lの傾き（＜0）が0に近い（-0.01など）時は横方向に長く、
傾きが小さい（-100など）時は縦方向に長くなり、
傾きがその間のある値の時に最も短くなりますね。
この最も短くなったときの角度のまま、
この長さより少しでも長いと、廊下に収まりませんので
角を曲がれません。
そしてちょうどその長さのときはギリギリ曲がれて、
これより短いときは余裕で曲がれます。
従ってこの長さが求める長さ（角を曲がれる長さの最大値）です。
No.57935 - 2019/04/30(Tue) 10:20:19
☆ Re: / GW中 失礼します
らすかるさんありがとうございます。

完璧に理解できました。
No.57936 - 2019/04/30(Tue) 10:34:09
★ 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / 浪人
<質問1>
これ( C’ ) が楕円だと言うことは
yについてといて 陽関数表示した結果 x ± √なんとか
のルートの中のxの範囲が絞られているから、と判断しました。
もし、これが楕円であると判別できる他の判定法があったら教えていただきたいです。
<質問2>
斜め楕円について、例えばC’ について、y=-x と円の合成であると言う見方で考えていたのですが、
どうしても、解説にあるようにどうやって、長軸、短軸の長さを求めたのかわかりません。
それについて教えていただきたいです。
No.57900 - 2019/04/28(Sun) 17:39:49
☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / らすかる
x^2+xy+y^2-3=0は
x=X/√2-Y/√2
y=X/√2+Y/√2
とおいて回転すると
X^2/2+Y^2/6=1
という楕円の式になりますので、
楕円であることもわかりますし、
長軸と短軸の長さもわかります。
No.57909 - 2019/04/28(Sun) 19:10:26
☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / 浪人
回答ありがとうございます。
たしかに
x=X/√2-Y/√2
y=X/√2+Y/√2
と言う変換をすると楕円になるのは理解できましたが、
その変換はどのようにして導くのでしょうか？
No.57910 - 2019/04/28(Sun) 21:08:17
☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / GandB
　問題文の全体がわからないから安直なことは言えないが、単に問題を解くためなら
http://examist.jp/mathematics/math-3/sum-volume-length2/nanamedaen-sv/
あたりが参考になるのではないか。

>その変換はどのようにして導くのでしょうか？
　同じサイトの
http://examist.jp/mathematics/math-3/quadratic-curve/nijikyokusen-hyoujyunka/
が参考になるかも知れない。
　実は行列を使えば二次曲線を標準形へ鮮やかに変換できる方法があるのだが、高校生にはどう説明すればいいのか私もわからない。興味があれば、
　　「二次曲線の標準形への変換」
で検索してみればよい。
No.57912 - 2019/04/28(Sun) 22:10:06
☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / らすかる
> その変換はどのようにして導くのでしょうか？
x^2+xy+y^2-3=0 という式は明らかにx,yに関して対称
（すなわち直線y=xに関して線対称）ですから、
どちらかに45°回転すれば楕円の軸が座標軸と合います。
回転行列
(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)
でθ=45°としたものが上の変換です。
45°でない場合でも、係数をうまく調節して
xyの項を消せば軸に合わせられます。
No.57914 - 2019/04/28(Sun) 22:53:07
☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / 浪人
らすかるさんありがとうございます😊
No.57915 - 2019/04/28(Sun) 23:13:44
☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / 浪人
Gand8さん ありがとうございます😊
実は数検準1級の勉強をしていたとき、行列を少しかじったことがあるので、その方法でも調べてみます。
URL ものぞいて見ます。
ありがとうございます
No.57916 - 2019/04/28(Sun) 23:16:12
★ (No Subject) / 太田
x=2sinθcosθ(0°<θ<90°)のとき、式√1+x +√1-xを簡単にせよ。
という問題で、
x=2sinθcosθをx=sin2θ(0°<2θ<180°)にして、xの範囲は0<x<1だから、式の√はそのまま外せると思ったのですが、違うみたいで分かりません。
1+x=(sinθ+cosθ)^2みたいな解き方をしているみたいです。
No.57897 - 2019/04/28(Sun) 15:14:41
☆ Re: / らすかる
> 式の√はそのまま外せると思った
「そのまま外す」の意味がよくわかりませんが、
√の中身を二乗の形にしないと外せませんね。
1+x=1+2sinθcosθ=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ
=(sinθ+cosθ)^2
1-x=1-2sinθcosθ=(sinθ)^2+(cosθ)^2-2sinθcosθ
=(sinθ-cosθ)^2
√(1+x)+√(1-x)
=√{(sinθ+cosθ)^2}+√{(sinθ-cosθ)^2}
=|sinθ+cosθ|+|sinθ-cosθ|
sinθ+cosθ＞0
0°＜θ＜45°のときsinθ＜cosθすなわちsinθ-cosθ＜0なので
√(1+x)+√(1-x)=sinθ+cosθ-(sinθ-cosθ)=2cosθ
45°≦θ＜90°のときsinθ≧cosθすなわちsinθ-cosθ≧0なので
√(1+x)+√(1-x)=sinθ+cosθ+(sinθ-cosθ)=2sinθ
従って
√(1+x)+√(1-x)=
2cosθ(0°＜θ＜45°)
2sinθ(45°≦θ＜90°)
No.57898 - 2019/04/28(Sun) 15:44:39
☆ Re: / 太田
0<x<1の範囲ならば、√1+xも√1-xも常に正だからという意味です。
またx=sin2θにはしないのでしょうか？
No.57945 - 2019/04/30(Tue) 13:59:51
☆ Re: / らすかる
> 0<x<1の範囲ならば、√1+xも√1-xも常に正だからという意味です。
普通√の中身は正で、もし負ならば虚数単位が出てくることになりますが、
「そのまま外す」というのは「虚数単位を付けなくて良い」という意味ですか？
まだ「そのまま外す」の真意がわかりません。
まさか√(1-x)のルートだけを削除して1-xにするという意味ではないですよね？

> またx=sin2θにはしないのでしょうか？
その後の計算ができるならばしてもかまいませんが、
x=sin2θとした後の計算はどうするのですか？
No.57954 - 2019/04/30(Tue) 18:10:40
☆ Re: / 太田
まさかの意味で言っていました。ありがとうございます。
No.57971 - 2019/05/01(Wed) 14:19:42
★ (No Subject) / ぴくみん
すみません修正しました。
No.57896 - 2019/04/28(Sun) 14:22:32
★ (No Subject) / ぴくみん
xy平面上の単位円上に(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)をとる。これらの4点から単位円周上および内部を動く点pまでの4つの線分の長さの積の最大値と和の最小値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.57895 - 2019/04/28(Sun) 14:21:35
☆ Re: / らすかる
p(x,y)とすると
(長さの積)
=√{{(x-1)^2+y^2}{x^2+(y-1)^2}{(x+1)^2+y^2}{x^2+(y+1)^2}}
=√{{(x^2+y^2)^2+1}^2-4(x^2-y^2)^2}
条件からx^2+y^2≦1なので、これが最大になるのは
x^2+y^2=1かつx^2-y^2=0すなわちx=±1/√2,y=±1/√2のときで
長さの積の最大値は√{(1+1)^2-4(0)^2}=2

和の最小値は、
((1,0)から点pまでの距離)+(点pから(-1,0)までの距離)
は点pがx軸上にあるとき最小で2
((0,1)から点pまでの距離)+(点pから(0,-1)までの距離)
も同様なので、和の最小値は点pが原点のときで4

# 追記や返信は、「返信」を押して書きましょう。
# 毎回新規投稿にするとバラバラになってしまいます。
No.57899 - 2019/04/28(Sun) 16:01:34
★ (No Subject) / ぴくみん
xy平面上の単位円上に(1,0),(0,1),(-1,0),(0,1)をとる。これらの4点から単位円周上および内部を動く点pまでの距離の積の最大値と和の最小値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.57894 - 2019/04/28(Sun) 14:20:08
★ (No Subject) / ゆい橋
この問題なのですが、(2)の印をつけたところが何故そうなるのかわかりません。詳しく教えてください！
No.57889 - 2019/04/28(Sun) 07:20:14
☆ Re: / ＩＴ
その行の前までは分かるのですね？

その１行に３つの等式がありますが　どれが分かりませんか？
No.57890 - 2019/04/28(Sun) 09:14:05
☆ Re: / ゆい橋
その一行すべてです。
No.57941 - 2019/04/30(Tue) 12:46:29
★ (No Subject) / うーん
画像の矢印のように式変形したのはなぜですか？

不定積分の公式の説明です。
No.57883 - 2019/04/27(Sat) 20:49:09
☆ Re: / ＩＴ
x^n の不定積分を求めるためでは？
No.57884 - 2019/04/27(Sat) 21:11:23
★ 無理不等式 / 席
「両辺0以上なので二乗しても同値より〜」「両辺二乗のもとで二乗すれば同値」という文言を等式で見たのですが、これは不等式ではあてはまらない、という理解でよいのでしょうか？

√(2x-x^2)>√（2x-1)を解けという問題で、両辺√だから０以上で二乗しても同値のはずなのになぜか2x-1>0も付け加えないといけないとあり、と疑問に思いました。

よろしくおねがいします
No.57882 - 2019/04/27(Sat) 20:47:31
☆ Re: 無理不等式 / ＩＴ
√(2x-x^2)>√（2x-1) には,
必要条件として　2x-x^2≧0かつ2x-1≧0を内包しています。
No.57885 - 2019/04/27(Sat) 21:18:45
★ 条件つきの等式の証明 / 耐水性
(2)の解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.57877 - 2019/04/27(Sat) 15:33:08
☆ Re: 条件つきの等式の証明 / ＩＴ
いろいろあると思いますが
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0
∴a^2+b^2+c^2＝-(2ab+2bc+2ca)　…?@

証明すべき等式の左辺を展開する。
?@を代入する。
No.57878 - 2019/04/27(Sat) 15:50:24
☆ Re: 条件つきの等式の証明 / ＩＴ
あるいは
a+b+c=0よりb+c=-a などを代入し　左辺＝a^2+b^2+c^2
よって左辺-右辺＝a^2+b^2+c^2+2bc+2ca+2ab＝(a+b+c)^2=0
No.57879 - 2019/04/27(Sat) 15:59:57
☆ Re: 条件つきの等式の証明 / 耐水性
左辺-右辺で0になれば等式の証明ができる、というのをすっかり忘れていました…ありがとうございます！
No.57880 - 2019/04/27(Sat) 16:05:36
☆ Re: 条件つきの等式の証明 / らすかる
1文字消去するという方法もありますね。
a+b+c=0からb+c=-a,c+a=-bなので
(左辺)=a^2+b^2+(a+b)^2=2(a^2+ab+b^2)
またa+b+c=0からc=-(a+b)なので
(右辺)=-2(bc+ca+ab)=-2{(a+b)c+ab}
=-2{-(a+b)^2+ab}
=2(a^2+ab+b^2)
∴(左辺)=(右辺)
No.57881 - 2019/04/27(Sat) 18:21:44
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