a^b+b^c+c^a=2abc, a≦b≦c を満たす正の整数の組 (a,b,c) を求めよ。
上問の解説をお願いします。
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No.57328 - 2019/03/24(Sun) 18:52:38
| ☆ Re: 整数 / らすかる | | | a≧4のときc＞2なので
(左辺)＞c^a≧c^4＞2c^3≧(右辺)となり解なし
a=3のとき与式に代入して
3^b+b^c+c^3=6bc
c≧6のとき(左辺)＞c^3≧6c^2≧(右辺)となり解なし
c=5のとき(左辺)≧3^3+3^5+5^3=395、(右辺)≦6×5×5=150なので解なし
c=4のとき(左辺)≧3^3+3^4+4^3=172、(右辺)≦6×4×4=96なので解なし
c=3のとき左辺は奇数、右辺は偶数なので解なし
よってa=3のときは解なし
a=2のとき与式に代入して
2^b+b^c+c^2=4bc
2^b+b^c=c(4b-c)
bを固定したとき、右辺が最大となるのはc=4b-cすなわちc=2bのとき
このとき(右辺)=(2b)^2=4b^2
b≧4のとき(左辺)≧2^b+b^4≧2^b+4b^3＞4b^2≧(右辺)となり解なし
b=3のとき右辺の最大は4b^2=36
c≧4のとき(左辺)≧2^3+3^4=89＞(右辺)なので解なし
c=3のとき(左辺)=2^3+3^3＞3(4×3-3)=(右辺)となり不適
b=2のとき右辺の最大は4b^2=16
c≧4のとき(左辺)≧2^2+2^4=20＞(右辺)なので解なし
c=3のとき左辺は偶数、右辺は奇数なので不適
c=2のとき(左辺)=2^2+2^2＜2(4×2-2)=(右辺)となり不適
よってa=2のときも解なし
a=1のとき与式に代入して
1+b^c+c=2bc
b=c=1は不適なのでc≧2
b{b^(c-1)-2c}+1+c=0 … (1)
ところで
2^n≧2(n+1)という不等式を考えると
n=3のとき成り立ち、n=k≧3で成り立つとすると
n=k+1のとき2^(k+1)=2^k・2≧2(k+1)・2=2(2k+2)＞2(k+2)により成り立つので
2^n≧2(n+1)はn≧3で成り立つ。
よってb≧2,c≧4のとき
b^(c-1)-2c≧2^(c-1)-2c≧2c-2c≧0なので(1)は成り立たない。
b≧2で残りは(b,c)=(3,3),(2,3),(2,2)だが
これらは個別に(1)に代入して確認すると、(b,c)=(2,3)のときだけ成り立つ。
従って(a,b,c)=(1,2,3)は解の一つ。
そしてa=b=1のときは
1+1+c=2cからc=2なので(1,1,2)も解。
以上により、条件を満たす解は(a,b,c)=(1,2,3),(1,1,2)の2組。
# 間違いがあるかも知れませんので、確認願います。
(追記)
a=1の中身を少し修正しました。
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No.57329 - 2019/03/24(Sun) 20:33:06 |
| ☆ Re: 整数 / ＩＴ | | | (全体は出来ていませんでしたがa＝1のときをやっていたので 参考までに書き込みます）
a＝1のとき 1+b^c+c=2bc
b＝1のとき 1+1+c=2c ∴c=2 よって(1,1,2)は解
b≧2のとき b^c＜2bc ∴ b^(c-1)＜2c
よって 2^(c-1)＜2c
らすかるさんの示された2^n と2(n+1)の関係から
c＜4 よって c=2,3
c=2のとき、b=2を試してみると不適
c=3のとき、b=2,3を試してみてb=2のみＯＫ
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No.57330 - 2019/03/24(Sun) 21:40:17 |
| ☆ Re: 整数 / ＩＴ | | | a＝2のとき 少し簡単にしてみました。
2^b+b^c+c^2=4bc ∴ b^c＜4bc∴b^(c-1)＜4c
b≧3のとき 3^(c-1)と4cの大小関係から c＜4 ∴c=3 これは不適
b＝2のとき c^2＜8c より c＜8
c^2＝8c-4-2^cよりcは偶数
よってc=2,4,6 これは不適
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No.57331 - 2019/03/24(Sun) 22:07:49 |
| ☆ Re: 整数 / ＩＴ | | | bの値で場合分けするのが簡単かも。
b=1のとき a=1なので 1+1+c=2c ∴c=2 解
b=2のとき
a=1のとき 1+2^c+c=4c ∴c=3 解
a=2のとき 4+2^c+c^2=8c, ∴c＜8でcは偶数なので
c=2,4,6 を調べ不適
b≧3のとき b^c＜2abc≦2(b^2)c ∴b^(c-2)＜2c
3^(c-2)と2cの大小関係から c＜4 よって c=3 ∴b=3
a=1,2,3 を調べ不適
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No.57332 - 2019/03/24(Sun) 22:49:45 |
| ☆ Re: 整数 / 思いの丈 | | | No.57333 - 2019/03/25(Mon) 11:39:10 |
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