ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 集合と関数 / ran

この問題を見てください！

私が疑問に思ったのは⑵です。

私の考えでは、二次関数や三次関数において、実数の集合を定義域とするならば、地域も実数全体になると思うのですが、これ違うらしいです。

解説では、そのままf(x)を二次関数とすると、fはAに含まれないとあります。
なんででしょうか？？
二次関数の図を書いてみたら、永遠に上にいったり下にいきますよね？？

わかりません。よろしくお願いします。

No.58392 - 2019/05/19(Sun) 23:41:10

☆ Re: 集合と関数 / ran

ちなみに答えです

No.58393 - 2019/05/19(Sun) 23:42:01

☆ Re: 集合と関数 / ＩＴ

> 解説では、そのままf(x)を二次関数とすると、fはAに含まれないとあります。
> なんででしょうか？？
> 二次関数の図を書いてみたら、永遠に上にいったり下にいきますよね？？
>
> わかりません。よろしくお願いします。

例えば　f(x)=x^2 は任意の実数xについて　f(x)≧0ですから
f(x)=x^2 は、集合Ａに含まれません。

No.58394 - 2019/05/19(Sun) 23:56:59

★ (No Subject) / GOLD

下線部を引いたところが何故そうなるのかわかりません。
どなたか教えていただけますか？

modにおいて、法が違うかけ算もできるのですか？

No.58389 - 2019/05/19(Sun) 18:28:08

☆ Re: / ＩＴ

整数ｎを12で割った余りで分類して、3,4 で割った余りが　それぞれどうなるか表を作って調べる方法もあります。
そのテキストもこの方法を使っているのではないでしょうか？

０,１,２,３,４,５,６,７,８,９,10,11　…12で割った余り
０,１,２,０,１,２,０,１,２,０,１,２　…３で割った余り
０,１,２,３,０,１,２,３,０,１,２,３　…４で割った余り

> modにおいて、法が違うかけ算もできるのですか？
どういう意味か正確には分かりませんが、出来ないと思います。

No.58390 - 2019/05/19(Sun) 19:02:57

★ 中2 確率 / りさ

AさんとBさんが、階段の途中で同じ段に立っています。2人でじゃんけんをし、勝ったら3段上がり、あいこだったら2人とも1段上がり、負けたら1段下りるゲームをしました。2回のじゃんけんをしたとき、2人の段の差が4段になる確率を求めなさい。
という問題で、答えは9分の4になるのですがどう求めたらその答えが出せるのかが分かりません。解説よろしくお願いします。

No.58387 - 2019/05/19(Sun) 15:58:15

☆ Re: 中2 確率 / ＩＴ

Aが４段上になるのは
Aからみて　勝ち、あいこの場合と　あいこ、勝ち　の場合です
それぞれの確率を求めて合計します。

Bが４段上になるのも同じ確率です。

No.58388 - 2019/05/19(Sun) 16:08:13

☆ Re: 中2 確率 / らすかる

全てのパターンについて、AがBに対して何段上になるかを表にすると

　　　勝ち相こ負け ← 2回目
勝ち　　8　　4　　0
相こ　　4　　0　　-4
負け　　0　　-4　　-8
↑1回目

1回のじゃんけんで勝ち・相こ・負けの確率は1/3ずつなので
この表の9通りはどれも等確率となり、
このうち差が4段になっているのは4つなので、
求める確率は4/9

# 表がずれたら適当に補正して考えて下さい。
# 表がなるべくずれないように「あいこ」を「相こ」と表記しました。

No.58395 - 2019/05/20(Mon) 12:57:29

★ (No Subject) / ティン

連続投稿すいません。数学2です。解答のカッコ4なのですが、どうしてこうなったのでしょうか。矢印のところです。解説よろしくお願いします

No.58385 - 2019/05/19(Sun) 13:05:03

☆ Re: / らすかる

9を3×3とわけて、前のカッコと後ろのカッコそれぞれを3倍しています。

No.58386 - 2019/05/19(Sun) 13:08:23

☆ Re: / ティン

ありがとうございます。これ最後までやらないと罰ですかね？ついつい忘れちゃいそうです

No.58400 - 2019/05/20(Mon) 18:34:44

☆ Re: / らすかる

×になるかどうかは、問題文によると思います。
単に「複素数範囲で因数分解せよ」としか書かれていなければ、
×にならないと思います。

No.58411 - 2019/05/20(Mon) 19:57:57

★ 高2数b / ティン

オレンジの線の部分なのですが、どう計算すれば良いのでしょうか？解答よろしくお願いいたします

No.58380 - 2019/05/19(Sun) 12:32:32

☆ Re: 高2数b / らすかる

1/(a^b)=a^(-b)
a^b・a^c=a^(b+c)
を使って計算します。
指数法則の公式は覚えましょう。

No.58382 - 2019/05/19(Sun) 12:54:06

☆ Re: 高2数b / ティン

理解できました。昨日に引き続きありがとうございます！

No.58384 - 2019/05/19(Sun) 13:01:53

★ (No Subject) / ε

３次方程式が
a+biを解に持つ時、a-biも解にもつといいますが、そうすると
b=0の時は、重解をもつということになると思ったのですが、
これが正しくないのならどういう理由かを知りたいです。
(a+0i,a-0i,と考えてはいけないのでしょうか？)

No.58376 - 2019/05/19(Sun) 10:30:32

☆ Re: / ＩＴ

「実数係数の３次方程式　が　a+bi(a,b は実数）を解に持つ時、a-biも解にもつ」は、正しいですね。

これはb=0 のときも　正しいですが　aが重解になるとは限りません

例えば、実数係数の３次方程式(x-1)(x-2)(x-3)=0は、解　a+bi,a-bi（a=1,b=0)　すなわち解１を持ちますが、これは重解ではないですね。

反例が１つでもあれば、正しくないということが分かります

証明の過程をみるとa+bi とa-biが別の解とは限らないことが分かると思います。証明を読んでみてください。

No.58377 - 2019/05/19(Sun) 10:52:31

★ (No Subject) / 晴れ

Aを正の定数とする。二次方程式x2-ax+(√2/4)=0の二つの解がcosθ，sinθであるときsinθの値は

模範解答
解と係数の関係から
Sinθ+cosθ=a…?@
sinθcosθ=√2/4…?A
a>0より?@?Aからsinθ>0,cosθ>0が成立し0<θ<π/2としてよい
?Aよりsin2θ=√2/2
0<2θ<πより2θ=π/4,3π/4
θ=π/8,3π/8
θ=π/8の時(sinπ/8)^2=(1-cos(π/4))/2=(2-√2)/2
sin(π/8)=√(2-√2)/2
θ=3π/8の時(sin3π/8)^2=(1-cos(3π/4))/2=(2+√2)/2
sin(3π/8)=√(2+√2)/2
従ってsinθ=√(2±√2)/2である

（私のやり方）
解と係数の関係から
Sinθ+cosθ=a…?@
sinθcosθ=√2/4…?A
(cosθ+sinθ^2=a^2
1+2sinθcosθ=a^2
sinθcosθ=(a^2-1)/2…?B
よってsinθcosθ=√2/4=(a^2-1)/2
a^2=(√2+2)/2
a=±√｛（2+√2）/2｝
?@ よりcosθ=a-sinθより
cosθ=±√｛（2+√2）/2｝-sinθ
また?Bより
sinθ｛±√｛（2+√2）/2｝-sinθ｝=√2/4
を満たすsinθを求める…
とういふうに解いていったんですけどこのやり方じゃ出せないものなのでしょうか？模範解答のやり方が簡単だということは

No.58374 - 2019/05/19(Sun) 10:05:50

☆ Re: / らすかる

> a=±√｛（2+√2）/2｝
aは正の定数ですからプラスの方だけです。

> また?Bより
?Bではなく?Aだと思います。

(sinθ){√{(2+√2)/2}-sinθ}=√2/4
から
(sinθ)^2-{√{(2+√2)/2}}sinθ+√2/4=0
このsinθに関する二次方程式を解いて
sinθ={√{(2+√2)/2}±√{(2+√2)/2-√2}}/2
={√{(2+√2)/2}±√{(2-√2)/2}}/2
={√(4+2√2)±√(4-2√2)}/4
ところで
{√(4+2√2)±√(4-2√2)}^2
=(4+2√2)+(4-2√2)±2√{(4+2√2)(4-2√2)}
=8±4√2
なので
{√(4+2√2)±√(4-2√2)}/4
=√(8±4√2)/4
=√(2±√2)/2
のように出せますね。

No.58375 - 2019/05/19(Sun) 10:26:34

★ (No Subject) / 晴れ

3?I-4<x+a…?@
3?I−12>a-?I…?A

を同時に満たす整数xがちょうど3個のみになる時の整数aの値を全て求めよ

解答
?@よりx<(a+4)/2
?Aよりx>(a+12)/4
(a+4)/2>(a+12)/4の時すなわちa>4の時のみ?@?Aを同時に満たす?Iが存在しその範囲は?@かつ?Aより(a+4)/2>x>(a+12)/4…?B

?Bより2<(a+4)/2-(a+12)/4≦4…＊
すなわち12<a≦20
…以下省略

…＊の不等式の部分が分かりません。?@?Aを同時に満たす?Iが3つなら{3] ≦(a+4)/2-(a+12)/4≦4なのではないでしょうか？解説よろしくお願いします

No.58372 - 2019/05/19(Sun) 09:48:39

☆ Re: / らすかる

例えば範囲の大きさが2.2でも
1.9～4.1だとしたら整数は3個になりますね。
ですから絶対に3個にならないのは
範囲の大きさが2以下の場合です。

No.58373 - 2019/05/19(Sun) 09:56:00

★ 入試問題 / 受験生

こちらの問題がわかりません
解答を書いていただきたいです

No.58367 - 2019/05/19(Sun) 00:47:17

☆ Re: 入試問題 / まうゆ

(1)は加法定理で展開すれば左辺＝右辺が示せる
(2)z(θ)/w(θ)=(cosθ+isinθ+θ(cosθ-isinθ))/
(cosθ+isinθ)=1+θ*((cosθ-isinθ)(cosθ-isinθ))/
((cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ))=1-θi
z(θ+π)/w(θ)=-1-(θ+π)(cosθ-isinθ))/(cosθ+isinθ)
=-1+(θ+π)i
(3)(z(θ+π)/w(θ))/(z(θ)/w(θ))で実部=0を使うと
θ^2-πθ+1=0　解いて+2nπすればよい

No.58435 - 2019/05/21(Tue) 11:40:54

★ 何度考えてもわかりませんでした / お湯

本当に分からなくて順列とか考えてみたんですが、上手くいかず、投げてしまった問題です。どうかわかる方いたら教えてください

No.58362 - 2019/05/18(Sat) 23:31:30

☆ Re: 何度考えてもわかりませんでした / らすかる

1からnまでの順列は全部でn!通りあります。
そしてどの要素にも、1～nが同じ回数ずつ登場します。
従って任意のjに対してσ(j)=jとなる回数はn!/n回であり
それを1～nまで合計すればn!/n・n=n!となります。
従ってΣ[σ∈S]F(σ)=n!です。

No.58366 - 2019/05/19(Sun) 00:18:19

☆ Re: 何度考えてもわかりませんでした / お湯

え？撹乱順列の話じゃないんですか？
モンモール数とかが絡むのかと思ってたんですが

No.58368 - 2019/05/19(Sun) 00:47:41

☆ Re: 何度考えてもわかりませんでした / ＩＴ

らすかるさんの解答が明快ですが　具体例で確認を
ｎ＝３のとき
１２３
-------
１２３
１３２
２１３
２３１
３１２
３２１

ｊ＝１のところに１はn !/n=3 !/3＝2回出現します。
(n-1) ! =2 !=2回出現すると考えることも出来ます。

No.58370 - 2019/05/19(Sun) 01:00:01

☆ Re: 何度考えてもわかりませんでした / お湯

ありがとうございました！わかりました！

No.58371 - 2019/05/19(Sun) 01:27:27

★ 宿題の数学が解けません / らんらん

7番の(2)がわかりません。

(2)の答はア・・60＋2b
イ・・ 6a

No.58361 - 2019/05/18(Sat) 20:20:30

☆ Re: 宿題の数学が解けません / ＩＴ

けっこうめんどうですね。もう少し簡単な手順があるかも知れません。
１つめだけ
c=-40000 とおく
最初にxg加え最後はy％になったとする。
(1)の式に当てはめる.
(x+500)(20+4b-100)=c,∴(x+500)(4b-80)=c∴x+500=c/(4b-80)…（ア）
(x+a+500)(40+3b-100)=c、∴(x+a+500)(3b-60)=c∴x+a+500=c/(3b-60)…（イ）
(x+3a+500)(y-100)=c

（ア）（イ）から　a=c(1/(3b-60)-1/(4b-80))
∴x+3a+500=c(1/(3b-60)+2/(3b-60)-2/(4b-80))=c(1/(2b-40))
この後は簡単だと思います。

No.58363 - 2019/05/19(Sun) 00:00:01

☆ Re: 宿題の数学が解けません / ＩＴ

(x+3a+500)(2b+60-100)=c ∴(x+3a+500)(2b-40)=c

(x+500)(4b-80)=c と比較して
∴(x+3a+500)＝2(x+500)
∴(x+3a+500)＝2(3a)=6a

No.58365 - 2019/05/19(Sun) 00:15:32

★ (No Subject) / ティン

数学bの公比の問題なのですが、30の3番の答えの最後の行が理解できません。なぜ(ルート2)Nになるのでしょうか？解答よろしくお願いします

No.58359 - 2019/05/18(Sat) 19:51:48

☆ Re: / ティン

こたえです

No.58360 - 2019/05/18(Sat) 19:52:25

☆ Re: / らすかる

初項a、公比rの等比数列の一般項は
a[n]=a・r^(n-1)
です。

No.58364 - 2019/05/19(Sun) 00:13:22

☆ Re: / ティン

それはわかりますが、掛け算の仕方がわかりません。なぜ答えがそれになるのかまでの計算がよくわかりませんお願いします

No.58379 - 2019/05/19(Sun) 12:30:33

☆ Re: / らすかる

a^b・a^c=a^(b+c)です。
√2・(√2)^(n-1)はこの式で
a=√2、b=1、c=n-1としたものですね。
指数法則を一通り復習された方が良いかと思います。

No.58381 - 2019/05/19(Sun) 12:52:37

☆ Re: / ティン

なるほどです！理解できました。ありがとうございました

No.58383 - 2019/05/19(Sun) 13:01:22

★ 入試問題 / 受験生

2つ目です
この問題がわかりません
解答を書いていただきたいです

No.58356 - 2019/05/18(Sat) 14:58:49

☆ Re: 入試問題 / まうゆ

(1)ベクトルの矢印を省くAM=AR/2=AB(1-r)/2+ACr/2,PM=PA+AR
=AB((1-r)-p)/2+ACr/2　AB・AC=0よりAM・PM=(1-r)^2-2p(1-r)
+r^2/4　AM・PM=0よりp=-(((3r-2)(r-2))/8(r-1))
(2)ARが重なるのでPQとBCが平行つまりp=q(相似条件より)
後は計算するだけp=q=3/16
(3)p=q=1/2よりr=0,4/3？
たぶんどこかで計算間違いしてるので計算しなおしてください
方針はこれでいいはず

No.58436 - 2019/05/21(Tue) 12:19:50

☆ Re: 入試問題 / まうゆ

((1-r)-p)/2のところは((1-r)/2-p)
AM・PM=(1-r)^2-2p(1-r)+r^2/4はr^2/2
なおして計算すると
(2)p=q=3/4(3)p=q=1/2,r=(5±13^(1/2))/6　0<r<1より-のほう
これでいいと思います

No.58439 - 2019/05/21(Tue) 13:10:47

★ 入試問題 / 受験生

この問題がわかりません
解答を書いていただきたいです

No.58355 - 2019/05/18(Sat) 14:58:07

☆ Re: 入試問題 / X

(1)
(与式)=Σ[i=0～n](nCi)(1^i){1^(n-i)}
=(1+1)^n (∵)二項定理
=2^n

(2)
(1)の結果により
(与式)=(n+1)・2^n

(3)
(1)と同様に考えます。
(与式)=Σ[j=0～n]{n!/{(n-j)!j!}}Σ[i=0～j]j!/{(j-i)!i!}
=Σ[j=0～n]{n!/{(n-j)!j!}}Σ[i=0～j](jCi)(1^i){1^(j-i)}
=Σ[j=0～n]{n!/{(n-j)!j!}}・2^j (∵)二項定理
=Σ[j=0～n](nCj)(2^j){1^(n-j)}
=(2+1)^n (∵)二項定理
=3^n

No.58357 - 2019/05/18(Sat) 17:13:40

★ (No Subject) / るな

お世話になります。
以下の問題の解き方の理屈がわかりません。
同じ方向に向かうのになぜ15kmの差を縮めるのではなく、9kmの差を考えるのでしょう?
ご教示いただけるとありがたいです。

問題
PとQの2人は、1周24kmのマラソンコースを走る。 Pは時速12km、Qは時速18kmで走り、2人の速度はそれぞれ常に一定であるものとする。
今、2人はマラソンコース上の同じ地点にいる。Qが走り始めてから50分後にPが同じ方向に走り始めるとき、Qが最初にPに追いつくのはPが走り始めてから何時間何分後か。

解答
[ 距離 ] = [ 速さ ]×[ 時間 ]
= 18×（50 / 60）
= 15（km）
Pが走り始めた後、時速18kmのQが、時速12kmのPを追う形となる。
9kmの差は毎時6km（18 - 12）ずつ縮まる。
したがって、Qが最初にPに追いつくのは、

[ 時間 ] = [ 距離 ]÷[ 速さ ]
= 9 / 6
= 3 / 2
= 1 + 1 / 2（時間後）

No.58353 - 2019/05/18(Sat) 10:53:06

☆ Re: / るな

すみません、勘違いしてました!わかりました!

No.58354 - 2019/05/18(Sat) 10:59:11

★ 高2数学 / ティン

16の1番のやり方がよくわかりません。答えの4行目Cn +1＝12(n +1) +6の部分もなぜこの式になったのかがわかりません。どうしてCn＋1が出てきたのか、どこをどう代入してこうなったのか教えてください。お願いします

No.58348 - 2019/05/17(Fri) 21:52:51

☆ Re: 高2数学 / ティン

答えです

No.58349 - 2019/05/17(Fri) 21:53:30

☆ Re: 高2数学 / ＩＴ

> 答えの4行目Cn +1＝12(n +1) +6の部分もなぜこの式になったのかがわかりません。

C[n]=12n+6 のnのところを　n+1 に置き換えただけです。

No.58350 - 2019/05/17(Fri) 21:58:50

☆ Re: 高2数学 / ティン

なるほどです！わかりました。解答ありがとうございました

No.58351 - 2019/05/17(Fri) 22:14:39

★ 整式 / yukimi

相違なる自然数a、b、cがあり、どの二つの和も残りの数で割ると1余るとする。a<b<cとする。

(1)a+cをbで割った商はいくらか。

(2)a、b、cを求めよ。

(1)からわかりません。よろしくお願いします！

No.58341 - 2019/05/17(Fri) 18:32:31

☆ Re: 整式 / ＩＴ

わかることをどんどん書いていきます。(以下では使わなかったものは消しました。）

a+b=ic+1…(1),b+c=ja+1…(2),c+a=kb+1…(3), （i,j,kは自然数）とおけ,i<k<j

a+b<2c なので(1)からi=1　∴c=a+b-1

(3)に代入して 2a+(1-k)b=2 ∴k=2
b=2a-2 ,　a<bよりa≧3
(2)に代入して整理　(5-j)a=6
∴(a,5-j)=(3,2),(6,1)

後は簡単だと思います。
行間は御自分で埋めてください。
(1)(2)(3)は問題番号で使われているので適当に変えてください。

No.58342 - 2019/05/17(Fri) 18:53:57

☆ Re: 整式 / yukimi

2a+(1-k)b=2からk=2のつながりがわかりません。詳しく教えてください！

No.58391 - 2019/05/19(Sun) 23:36:39

☆ Re: 整式 / ＩＴ

1≦i＜k なので　2≦k

2a+(1-k)b=2
a＜bなので 2＝2a+(1-k)b＜2b+(1-k)b＝(3-k)b ∴k≦2
よってk=2

No.58409 - 2019/05/20(Mon) 19:52:15

★ (No Subject) / うーん

なぜcosθ-1が0確定なんですか？

三角不等式の問題です。

No.58337 - 2019/05/17(Fri) 17:45:33

☆ Re: / うーん

画像です。

No.58338 - 2019/05/17(Fri) 17:46:08

☆ Re: / ＩＴ

任意の実数　θについて　cosθ-1≦0である。

cosθ-1＝0　のときは　(cosθ-1)(2cosθ-1)=0 なのでOK
cosθ-1＜0　のとき　2cosθ-1≦0

併せると　cosθ-1＝0 または　2cosθ-1≦0

No.58339 - 2019/05/17(Fri) 18:06:08

☆ Re: / モンゴル

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございます！

No.58358 - 2019/05/18(Sat) 19:01:27

★ 物理 / ran

この問題の解説がなくて困ってます。

よろしくお願いします。

答えは練習1が2vo^2sinθ/gcos^2θ
練習2が√3/2です！

No.58335 - 2019/05/17(Fri) 10:12:26

☆ Re: 物理 / X

練習1)
Oを原点として水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸
を取ります。
小球を投げてから点Q(x,y)に到達するまでの時間を
tとすると
条件から
x=v[0]t (A)
y=(1/2)gt^2 (B)
y=xtanθ (C)
OP=√(x^2+y^2) (D)
(A)(B)を(C)に代入してtの方程式を導いて解き
tの値を求めます。
それを(A)(B)に代入し、結果を(D)に代入します。

No.58343 - 2019/05/17(Fri) 19:18:56

☆ Re: 物理 / X

練習2)
Oを原点として斜面登りの向きにx軸、
斜面に埋まらない向きにy軸を取ります。
このとき、条件から
x軸方向に-gsin30°=-(1/2)g
y軸方向に-gcos30°=-{(√3)/2}g
の加速度が働いていること
(つまりx,y軸の向きをそれぞれ疑似的に鉛直上向きと考えると
x軸に関しては(1/2)g
y軸に関しては{(√3)/2}g
の重力加速度が働いているのと同じことです)
と
初速度の
x成分がv[0]cosθ
y成分がv[0]sinθ
となることに注意をします。

小球を投げてから点Rに到達するまでの時間を
tとすると、条件から
まず点Rにおける速度のx成分について
v[0]cosθ-{(1/2)g}t=0 (A)
次に点Rのy座標について
(v[0]sinθ)t-(1/2)[{(√3)/2}g]t^2=0 (B)
(A)からtを求め、(B)に代入して両辺を
cosθで割ります。

但し、条件からt≠0ですので(B)は
v[0]sinθ-(1/2)[{(√3)/2}g]t=0
となることにも注意しましょう。

No.58344 - 2019/05/17(Fri) 19:29:33

☆ Re: 物理 / X

ちなみに練習1については練習2の解(No.58344)
と似たように斜面を下る向きにx軸を取って
考える別解も考えられます。

余裕があれば考えてみて下さい。
ちなみにこのときの方程式の数はNo.58344と
同様に2つで済みます。

No.58345 - 2019/05/17(Fri) 19:47:40

☆ Re: 物理 / 関数電卓

ご参考まで。

No.58347 - 2019/05/17(Fri) 21:46:45