zを複素数とするとき，z-i/z+iの偏角がπ/4であるようなzは複素数平面上でどんな図形をえがくか。
解説をよろしくお願いします。
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No.58471 - 2019/05/23(Thu) 13:01:26
| ☆ Re: / まうゆ  | | | z-(I/z)+Iの意味なら教えてください。ここでは(z-i)/(z+i)とします。z=x+yiとおく(x,yは実数)与式=(x+(y-1)i)/(x+(y+1)i)
=(x^2-y^2+1-2xi)/(x^2+(y+1)^2) 偏角がπ/4より実部=虚部
x^2-y^2+1=-2x (x+1)^2=y^2 y=±(x+1)
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No.58474 - 2019/05/23(Thu) 14:23:04 |
| ☆ Re: / らすかる | | | z=x+yiとおくと
(z-i)/(z+i)
={x+(y-1)i}/{x+(y+1)i}
={x+(y-1)i}{x-(y+1)i}/{{x+(y+1)i}{x-(y+1)i}}
={x^2+y^2-1-2xi}/{x^2+(y+1)^2}
x^2+y^2-1=-2x＞0
(x+1)^2+y^2=2, x＜0
よって中心-1、半径√2の円のx＜0の部分
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No.58475 - 2019/05/23(Thu) 15:46:20 |
| ☆ Re: / ast | | | 平面幾何学的な議論だと,
複素数平面上の点 P(z), I(i), J(-i) に対して、∠IPJ (PJ から PI へ向かって測った有向角) が π/4 というのが条件ですから, 円周角の定理の逆 (?) により P は適当な円 C 上にあり, C 上で J から I へ結んだ有向円弧に対する円周角が π/4 であるということになります. このとき有向弧 JI に対する中心角は π/2 だから, 考えるべき円 C の中心 O は有向線分 JI を直径とした円周上にあり, かつ I, J が円 C 上の点であることから O は線分 IJ の垂直二等分線上にあるので, O(-1) が確かめられます. すると, OI=OJ=√2, ∠JOI = π/2 だから P は中心 O(-1), 半径 √2 の円から四分有向円弧 JI を除いた部分になります.
でいいのかな?
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No.58477 - 2019/05/23(Thu) 17:48:12 |
| ☆ Re: / まうゆ | | | No.58479 - 2019/05/23(Thu) 18:38:57 |
| ☆ Re: / ジョン | | | 皆様、ありがとうございます。
らすかるさんのを参考にしたら解決できました。
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No.58513 - 2019/05/24(Fri) 13:18:15 |
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