ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整数 / K

1以上の整数k,n について、
n^2 + 1= k^2 を満たす n,k は存在しない。
これを示せ。
お願いします。

No.57922 - 2019/04/29(Mon) 17:02:33

☆ Re: 整数 / X

問題の等式を(A)とします。

(A)から
k^2=n^2+1＞n^2
∴k＞n
さて、k≧n+1なる自然数kに対し
k^2-(n^2+1)≧(n+1)^2-(n^2+1)=2n＞0
∴k^2＞n^2+1
よって命題は成立します。

No.57924 - 2019/04/29(Mon) 17:42:44

☆ Re: 整数 / らすかる

別解
n^2+1=k^2 から
k^2-n^2=1
(k+n)(k-n)=1
n≧1なのでk+n≠k-nであり
異なる整数の積は1にならないので、
（∵2数の積が1になるのは1×1と(-1)×(-1)のみ）
この式を満たすn,kは存在しない。

No.57932 - 2019/04/29(Mon) 20:25:22

☆ Re: 整数 / ＩＴ

らすかるさん方式の解法で
どのようにk,n が1以上（の整数）であるを使うかの違いだけで、本質はまったく同じですが、
下記のような書き方もあります。

k,n は整数という条件のもとn^2 + 1= k^2を解く
　n^2+1=k^2 から
　k^2-n^2=1
　(k+n)(k-n)=1
　k+n、k-nは整数なのでk+n=k-n=±1
∴n=0かつk=±1

したがって1以上の整数k,n について、n^2 + 1= k^2 を満たす n,k は存在しない。

No.57933 - 2019/04/29(Mon) 22:24:57

★ 円と接線の問題について / やまて

点（5.6）から円 x^2 + y^2 = 9 に引いた二本の接線をP.Qとすると、直線 PQ の方程式を求めよ。

(?@)接点の座標を（s.t）と置く。
（?A）中心と直線の距離＝円の半径

から、答えをアプローチしてみましたが、どうも途中から計算が複雑になりすぎてしまい。答えが求められません。どの解法をどのように用いるのがこの問題の最短ルートになりますでしょうか？

申し訳ないですが、答えがありません。
知識のある方、回答いただければ幸いです。
よろしくお願いいたします。

No.57917 - 2019/04/29(Mon) 14:20:48

☆ Re: 円と接線の問題について / X

(ii)の方針で解いてみましょうか。

条件から求める接線は少なくともy軸平行ではありませんので
その方程式は、
y=a(x-5)+6 (A)
と置くことができます。
条件から(A)と原点との距離が問題の円の半径に
等しくなるので点と直線との間の距離の公式に
より
|-5a+6|/√(a^2+1)=3
これを解いてaの値を求めます。
一見難しそうに見えますが
|-5a+6|=3√(a^2+1)
と変形して両辺を二乗すれば
aの二次方程式になります。

(但し、最短の解法であるかは分かりません。)

No.57918 - 2019/04/29(Mon) 14:31:35

☆ Re: 円と接線の問題について / やまて

無事解けましたが、その方程式からまた複雑になりすぎていて直線PQの出し方がわかりません。。。

少し頑張って調べてみます！

回答ありがとうございました！

No.57919 - 2019/04/29(Mon) 14:56:43

☆ Re: 円と接線の問題について / らすかる

「接線をP,Qとして直線PQ」は意味がわかりませんが、
もしP,Qが「接点」で2接点を通る直線の方程式を求める問題ならば

点(5,6)と原点を直径の両端とする円の方程式は
x^2-5x+y^2-6y=0
x^2+y^2=9からこの式を引いて
5x+6y=9
これが2接点を通る直線の式です。

No.57920 - 2019/04/29(Mon) 15:49:06

☆ Re: 円と接線の問題について / 元中３

点(5,6)を通る円x^2+y^2=9の2接線の方程式を求めたければ接点の座標を(p,q)とおき、このとき接線の方程式はpx+qy=9と表されることから
?@p^2+q^2=9,?A5p+6q=9
の2式から(p,q)を求めればあとはpx+qy=9に代入して終了です。
おそらく冒頭の問題の条件文中の｢接線P,Q｣というのは｢接点P,Q｣の誤りだと思われるので、この場合直線PQを求めたければわざわざ2接点の座標をもとめる必要はなく、らすかるさんのように求めてもかまいませんし、若しくは下記の方法で求めても構いません。

円x^2+y^2=9...?@とする
P(a,b),Q(a’,b’)とおくと、Pを通る円?@の接線の方程式はax+by=9...?A
同様にQを通る円?@の接線の方程式はa’x+b’y=9...?Bと表される
直線?A,?Bはともに点(5,6)を通るから
5a+6b=9,5a’+6b’=9
したがって2点(a,b),(a’,b’)はともに直線5x+6y=9上にあるから
直線PQの方程式は5x+6y=9
(このような直線は極線と呼ばれます。)

No.57921 - 2019/04/29(Mon) 16:56:37

☆ Re: 円と接線の問題について / やまて

ラスカル様、元中３様

おっしゃられたとおり、これは極線を求める問題だったようです。解説をじっくり読ませていただきます。

ありがとうございました。

No.57923 - 2019/04/29(Mon) 17:40:14

★ (No Subject) / GW中失礼します

画像の直角に折れた廊下を、長さlの棒を水平に持って曲がり切りたい。これが可能なlの最大値を求めよ。

No.57901 - 2019/04/28(Sun) 18:20:23

☆ Re: / GW中失礼します

まったく太刀打ちできません。
方針を教えていただきたいです。

No.57902 - 2019/04/28(Sun) 18:21:21

☆ Re: / GW中失礼します

ちなみに答えは (a^2/3+b^2/3)^3/2です

No.57903 - 2019/04/28(Sun) 18:22:44

☆ Re: / らすかる

lの両端が外側の壁の下側と左側にあり、
lが内側の壁の角を通るときの最小値が求める値ですね。
外側の壁の角を原点とするxy平面と考えると、内側の角は(a,b)
(a,b)を通り傾きm（m＜0）の直線はy=m(x-a)+bであり
この直線とx軸(外側の壁の下側)との交点は(a-b/m,0)
y軸(外側の壁の左側)との交点は(0,b-am)なので
傾きmのときに第一象限におさまる長さは
√{(a-b/m)^2+(b-am)^2}です。
「長さが最小」⇔「長さの2乗が最小」なので
(a-b/m)^2+(b-am)^2の最小値を調べて
後で平方根をとれば十分です。
f(m)=a^2m^2-2abm+a^2+b^2-2ab/m+b^2/m^2とすると
f'(m)=2a^2m-2ab+2ab/m^2-2b^2/m^3
f'(m)=0を解くと
2a^2m-2ab+2ab/m^2-2b^2/m^3=0
a^2m^4-abm^3+abm-b^2=0
(am^3+b)(am-b)=0
m＜0なのでm^3=-b/a
∴m=-(b/a)^(1/3)
このとき長さは
√{(a-b/m)^2+(b-am)^2}
=√{(a+b(a/b)^(1/3))^2+(b+a(b/a)^(1/3))^2}
=√{(a+(ab^2)^(1/3))^2+(b+(a^2b)^(1/3))^2}
=√{a^2+2a(ab^2)^(1/3)+(ab^2)^(2/3)+b^2+2b(a^2b)^(1/3)+(a^2b)^(2/3)}
=√{a^2+2a^(4/3)b^(2/3)+a^(2/3)b^(4/3)+b^2+2a^(2/3)b^(4/3)+a^(4/3)b^(2/3)}
=√{a^2+3a^(4/3)b^(2/3)+3a^(2/3)b^(4/3)+b^2}
=√{(a^(2/3))^3+3(a^(2/3))^2b^(2/3)+3a^(2/3)(b^(2/3))^2+(b^(2/3)^3}
=√{(a^(2/3)+b^(2/3))^3}
=(a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
となります。

# a^2/3 は (a^2)/3と解釈されますので、
# a^(2/3)のようにカッコを付けましょう。

No.57908 - 2019/04/28(Sun) 19:02:52

☆ Re: / GW中失礼します

ラスカルさんありがとうございます。

気になった事なのですが、この問題は”陰関数の積分”と言うところにありました。
さらにこの問題の解答はアステロイドの式に酷似しています。
そこでまた質問なのですが、これはアステロイドになにか関係しているのでしょうか？

No.57911 - 2019/04/28(Sun) 21:35:08

☆ Re: / らすかる

大いに関係があります。
一定の長さの線分の両端がx軸上とy軸上にあって移動すると、
包絡線がアステロイドになります。
よって内側の壁の角に接するアステロイドの
大きさ（原点から軸上の点までの距離）が
lの最大値とも言えますね。

No.57913 - 2019/04/28(Sun) 22:48:42

☆ Re: / GW中失礼します

らすかるさん
いま、一度考えてみたところ
lの両端が外側の壁の下側と左側にあり、
lが内側の壁の角を通るときの最小値が求める値ですね
と言う部分がなぜそのように考えれば良いのかわからなくなってしまいました。
今一度なぜそうなるか教えていただけませんか？

No.57934 - 2019/04/30(Tue) 09:33:46

☆ Re: / らすかる

長さが自在に変わる線分lが、内側の壁の角を通り
両端が外側の壁の下側と左側にあるとすると、
lの傾き（＜0）が0に近い（-0.01など）時は横方向に長く、
傾きが小さい（-100など）時は縦方向に長くなり、
傾きがその間のある値の時に最も短くなりますね。
この最も短くなったときの角度のまま、
この長さより少しでも長いと、廊下に収まりませんので
角を曲がれません。
そしてちょうどその長さのときはギリギリ曲がれて、
これより短いときは余裕で曲がれます。
従ってこの長さが求める長さ（角を曲がれる長さの最大値）です。

No.57935 - 2019/04/30(Tue) 10:20:19

☆ Re: / GW中失礼します

らすかるさんありがとうございます。

完璧に理解できました。

No.57936 - 2019/04/30(Tue) 10:34:09

★ 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / 浪人

<質問1>
これ( C’ ) が楕円だと言うことは
yについてといて陽関数表示した結果 x ± √なんとか
のルートの中のxの範囲が絞られているから、と判断しました。
もし、これが楕円であると判別できる他の判定法があったら教えていただきたいです。
<質問2>
斜め楕円について、例えばC’ について、y=-x と円の合成であると言う見方で考えていたのですが、
どうしても、解説にあるようにどうやって、長軸、短軸の長さを求めたのかわかりません。
それについて教えていただきたいです。

No.57900 - 2019/04/28(Sun) 17:39:49

☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / らすかる

x^2+xy+y^2-3=0は
x=X/√2-Y/√2
y=X/√2+Y/√2
とおいて回転すると
X^2/2+Y^2/6=1
という楕円の式になりますので、
楕円であることもわかりますし、
長軸と短軸の長さもわかります。

No.57909 - 2019/04/28(Sun) 19:10:26

☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / 浪人

回答ありがとうございます。
たしかに
x=X/√2-Y/√2
y=X/√2+Y/√2
と言う変換をすると楕円になるのは理解できましたが、
その変換はどのようにして導くのでしょうか？

No.57910 - 2019/04/28(Sun) 21:08:17

☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / GandB

　問題文の全体がわからないから安直なことは言えないが、単に問題を解くためなら
http://examist.jp/mathematics/math-3/sum-volume-length2/nanamedaen-sv/
あたりが参考になるのではないか。

>その変換はどのようにして導くのでしょうか？
　同じサイトの
http://examist.jp/mathematics/math-3/quadratic-curve/nijikyokusen-hyoujyunka/
が参考になるかも知れない。
　実は行列を使えば二次曲線を標準形へ鮮やかに変換できる方法があるのだが、高校生にはどう説明すればいいのか私もわからない。興味があれば、
　　「二次曲線の標準形への変換」
で検索してみればよい。

No.57912 - 2019/04/28(Sun) 22:10:06

☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / らすかる

> その変換はどのようにして導くのでしょうか？
x^2+xy+y^2-3=0 という式は明らかにx,yに関して対称
（すなわち直線y=xに関して線対称）ですから、
どちらかに45°回転すれば楕円の軸が座標軸と合います。
回転行列
(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)
でθ=45°としたものが上の変換です。
45°でない場合でも、係数をうまく調節して
xyの項を消せば軸に合わせられます。

No.57914 - 2019/04/28(Sun) 22:53:07

☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / 浪人

らすかるさんありがとうございます😊

No.57915 - 2019/04/28(Sun) 23:13:44

☆ Re: 斜め楕円の長軸、短軸の求め方 / 浪人

Gand8さんありがとうございます😊
実は数検準1級の勉強をしていたとき、行列を少しかじったことがあるので、その方法でも調べてみます。
URL ものぞいて見ます。
ありがとうございます

No.57916 - 2019/04/28(Sun) 23:16:12

★ (No Subject) / 太田

x=2sinθcosθ(0°<θ<90°)のとき、式√1+x +√1-xを簡単にせよ。
という問題で、
x=2sinθcosθをx=sin2θ(0°<2θ<180°)にして、xの範囲は0<x<1だから、式の√はそのまま外せると思ったのですが、違うみたいで分かりません。
1+x=(sinθ+cosθ)^2みたいな解き方をしているみたいです。

No.57897 - 2019/04/28(Sun) 15:14:41

☆ Re: / らすかる

> 式の√はそのまま外せると思った
「そのまま外す」の意味がよくわかりませんが、
√の中身を二乗の形にしないと外せませんね。
1+x=1+2sinθcosθ=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ
=(sinθ+cosθ)^2
1-x=1-2sinθcosθ=(sinθ)^2+(cosθ)^2-2sinθcosθ
=(sinθ-cosθ)^2
√(1+x)+√(1-x)
=√{(sinθ+cosθ)^2}+√{(sinθ-cosθ)^2}
=|sinθ+cosθ|+|sinθ-cosθ|
sinθ+cosθ＞0
0°＜θ＜45°のときsinθ＜cosθすなわちsinθ-cosθ＜0なので
√(1+x)+√(1-x)=sinθ+cosθ-(sinθ-cosθ)=2cosθ
45°≦θ＜90°のときsinθ≧cosθすなわちsinθ-cosθ≧0なので
√(1+x)+√(1-x)=sinθ+cosθ+(sinθ-cosθ)=2sinθ
従って
√(1+x)+√(1-x)=
2cosθ(0°＜θ＜45°)
2sinθ(45°≦θ＜90°)

No.57898 - 2019/04/28(Sun) 15:44:39

☆ Re: / 太田

0<x<1の範囲ならば、√1+xも√1-xも常に正だからという意味です。
またx=sin2θにはしないのでしょうか？

No.57945 - 2019/04/30(Tue) 13:59:51

☆ Re: / らすかる

> 0<x<1の範囲ならば、√1+xも√1-xも常に正だからという意味です。
普通√の中身は正で、もし負ならば虚数単位が出てくることになりますが、
「そのまま外す」というのは「虚数単位を付けなくて良い」という意味ですか？
まだ「そのまま外す」の真意がわかりません。
まさか√(1-x)のルートだけを削除して1-xにするという意味ではないですよね？

> またx=sin2θにはしないのでしょうか？
その後の計算ができるならばしてもかまいませんが、
x=sin2θとした後の計算はどうするのですか？

No.57954 - 2019/04/30(Tue) 18:10:40

☆ Re: / 太田

まさかの意味で言っていました。ありがとうございます。

No.57971 - 2019/05/01(Wed) 14:19:42

★ (No Subject) / ぴくみん

xy平面上の単位円上に(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)をとる。これらの4点から単位円周上および内部を動く点pまでの4つの線分の長さの積の最大値と和の最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.57895 - 2019/04/28(Sun) 14:21:35

☆ Re: / らすかる

p(x,y)とすると
(長さの積)
=√{{(x-1)^2+y^2}{x^2+(y-1)^2}{(x+1)^2+y^2}{x^2+(y+1)^2}}
=√{{(x^2+y^2)^2+1}^2-4(x^2-y^2)^2}
条件からx^2+y^2≦1なので、これが最大になるのは
x^2+y^2=1かつx^2-y^2=0すなわちx=±1/√2,y=±1/√2のときで
長さの積の最大値は√{(1+1)^2-4(0)^2}=2

和の最小値は、
((1,0)から点pまでの距離)+(点pから(-1,0)までの距離)
は点pがx軸上にあるとき最小で2
((0,1)から点pまでの距離)+(点pから(0,-1)までの距離)
も同様なので、和の最小値は点pが原点のときで4

# 追記や返信は、「返信」を押して書きましょう。
# 毎回新規投稿にするとバラバラになってしまいます。

No.57899 - 2019/04/28(Sun) 16:01:34

★ 条件つきの等式の証明 / 耐水性

(2)の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.57877 - 2019/04/27(Sat) 15:33:08

☆ Re: 条件つきの等式の証明 / ＩＴ

いろいろあると思いますが
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0
∴a^2+b^2+c^2＝-(2ab+2bc+2ca)　…?@

証明すべき等式の左辺を展開する。
?@を代入する。

No.57878 - 2019/04/27(Sat) 15:50:24

☆ Re: 条件つきの等式の証明 / ＩＴ

あるいは
a+b+c=0よりb+c=-a などを代入し　左辺＝a^2+b^2+c^2
よって左辺-右辺＝a^2+b^2+c^2+2bc+2ca+2ab＝(a+b+c)^2=0

No.57879 - 2019/04/27(Sat) 15:59:57

☆ Re: 条件つきの等式の証明 / 耐水性

左辺-右辺で0になれば等式の証明ができる、というのをすっかり忘れていました…ありがとうございます！

No.57880 - 2019/04/27(Sat) 16:05:36

☆ Re: 条件つきの等式の証明 / らすかる

1文字消去するという方法もありますね。
a+b+c=0からb+c=-a,c+a=-bなので
(左辺)=a^2+b^2+(a+b)^2=2(a^2+ab+b^2)
またa+b+c=0からc=-(a+b)なので
(右辺)=-2(bc+ca+ab)=-2{(a+b)c+ab}
=-2{-(a+b)^2+ab}
=2(a^2+ab+b^2)
∴(左辺)=(右辺)

No.57881 - 2019/04/27(Sat) 18:21:44

★ 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / やまて

△BHCと△BCAが相似まではわかるのですが、

その関係からなぜ

BC^2 = BH × AB　の式が導かれるのかがわかりません。

分かる方、解説ご教授いただけたら幸いです。
よろしくお願いいたします。

No.57873 - 2019/04/27(Sat) 11:18:27

☆ Re: 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / らすかる

相似からBC/AB=BH/BCなので
両辺にBC・ABを掛けてBC^2=BH・ABです。

No.57874 - 2019/04/27(Sat) 12:51:38

☆ Re: 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / やまて

ラスカル様

ありがとうございます。無事証明が完了できそうです。

No.57875 - 2019/04/27(Sat) 12:58:59

★ 因数分解について / 田中

x^3-12x+16 の因数分解について教えください。

x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4)

No.57869 - 2019/04/26(Fri) 20:26:12

☆ Re: 因数分解について / らすかる

x^3-12x+16はx=2のとき0なので(x-2)を因数にもつ
(x^3-12x+16)/(x-2)=x^2+2x-8
x^2+2x-8は普通に因数分解して(x-2)(x+4)なので
x^3-12x+16=(x-2)(x-2)(x+4)=(x-2)^2(x+4)

No.57870 - 2019/04/26(Fri) 22:07:32

☆ Re: 因数分解について / 田中

らすかる様、ありがとうございました。
自分でも解いて理解できました。

No.57872 - 2019/04/27(Sat) 05:24:13

☆ Re: 因数分解について / X

もう見ていないかもしれませんが別解を。

(与式)=x^3+8+8-12x=x^3+2^3+2^3-3・2・2・x
=(x+2+2)(x^2+2^2+2^2-2x-2x-4)
=(x+4)(x^2-4x+4)
=(x+4)(x-2)^2

No.57876 - 2019/04/27(Sat) 15:07:26

★ 角の3等分線問題 / けい

これといてほしいです。。
お願いします

No.57867 - 2019/04/26(Fri) 19:18:49

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

半直線AB上にAC'=ACとなるように点C'をとると、
頂角Aが0に近づくときCはC'に近づくから、
DはC'Bを2：1に内分した点D'に近づく。
AD'=(b+2c)/3なので、ADの長さは(b+2c)/3に近づく。

No.57868 - 2019/04/26(Fri) 19:32:19

☆ Re: 角の3等分線問題 / けい

2:1になるのは何故ですか？

No.57886 - 2019/04/27(Sat) 22:09:26

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

あ、ごめんなさい。問題をちょっと勘違いしました。
上の回答は無視して下さい。

No.57888 - 2019/04/28(Sun) 00:35:04

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

半直線AB上にAC'=ACとなるように点C'をとると、
頂角Aが0に近づくときCはC'に近づくから、
AD,AEとCC'の交点をD',E'とすると
AD'とAE'はAC=AC'=bに近づく。
よってC'D'：D'E'：E'Cは1：1：1に近づく。
CC'の三等分点をD',E'として作図すると
b,cの大小関係に関係なくAD=3bc/(b+2c)となるから、
ADの長さは3bc/(b+2c)に近づく。

# 今度は合っていると思いますが、
# 学習進行状況に合った解き方にしないとまずいかも知れません。

No.57891 - 2019/04/28(Sun) 10:04:28

☆ Re: 角の3等分線問題 / けい

1;1;1になってからAD=3bc/b+2c になる理由も書いていただけませんか？

No.57892 - 2019/04/28(Sun) 10:55:48

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

bとcを逆と勘違いし、ちょっと計算間違いをしていました。
間違いが多くてごめんなさい。

△ABCでAC＜ABとしてAB上にAC'=ACとなるように点C'をとり、
C'Cの三等分点をC'に近い方からD',E'として
AD',AE'とBCの交点をD,Eとすると、
CD：DB=2b：cになります。
（C',E'を通りADに平行な補助線を引くとわかります。）
従ってCD：DB→2b：cとなることから
AD'→b、D'D→CD={2b/(2b+c)}CB→{2b/(2b+c)}(c-b)なので
AD=AD'+D'D→b+{2b/(2b+c)}(c-b)=3bc/(2b+c)
となることがわかります。
b＞cのときも同様に作図して同じ式が得られます。

No.57893 - 2019/04/28(Sun) 11:18:57

★ (No Subject) / 翔太

大問4&5が分かりませんでした。この問題の解き方と答えをどなたか教えて下さい！

No.57858 - 2019/04/25(Thu) 23:08:27

☆ Re: / X

14
条件から水が作る立体の上面の円の半径は
(12+20)/2=16[cm]
よって、容器を作る元の円錐をC、容器を作るためにCから
切り取られた円錐をA,Aと水が作る立体とでできる円錐を
Bとすると、A,B,Cの相似比は
12:16:20=3:4:5
よってその体積比は
3^3:4^3:5^3=27:64:125
となるのでA,B,Cの体積はそれぞれ
27k,64k,125k(kは正の定数)
と置くことができます。
よって水の体積は
64k-27k=37k
容器の体積は
125k-27k=98k
となるので
37k/(98k)=37/98
により、求める倍率は
37/98倍
となります。

No.57862 - 2019/04/26(Fri) 06:20:15

☆ Re: / X

15
方針を。
(1)
(与式)=(△APQの面積):(△ABCの面積)
=…
(2)
(1)と同様な方針でまず
(四面体APQRの体積):(四面体APQDの体積)
を求めましょう。

((1)の方針を見ても分からないのであれば
その旨をアップして下さい。)

No.57863 - 2019/04/26(Fri) 06:27:46

☆ Re: / 翔太

詳しい解説ありがとうございます！

No.57865 - 2019/04/26(Fri) 18:50:24