ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ [積分] 定積分と体積 / unknown

次の問題についてです。大人しくテキストに従っていれば、問題の次に貼ってある写真上部のような解法になると思うのですが、写真下部のような解法ではどのような式が出てくるのでしょうか。

一応、解法を説明しておきます。
?@底面の円の中心を原点として、図のように三軸を設定
?A(a,0,0)と(-a,0,0)の点を固定して(0,a,0)のみをz軸に対して平行になるように(0,a,a)まで移動（移動する点を仮に点Pとする）
?B点Pにおいてz=γすなわちP(0,a,γ)の時の断面積をf(γ)として定積分を用いて計算

実用性や難易度を考えるとこの解法は良いものとは言えないかもしれませんが、どうしても知りたいので教えていただきたいです。
まだ高3ですが、高校では習わないような内容が入っていても全く構いません。よろしくお願いします。

No.57849 - 2019/04/25(Thu) 22:00:42

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

写真2枚目です。

No.57850 - 2019/04/25(Thu) 22:03:34

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

すみません。写真1枚目が載っていませんでした。

No.57851 - 2019/04/25(Thu) 22:05:45

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

断面が斜めになるように（xy平面となす角が0度から45度になるように）変化させると積分できないという結論に至りました。それでは、私の解法を用いた場合、積分を使わないとなると何を用いることになるのでしょうか？それとも、それ以前にこの解法では解けないのでしょうか？

No.57860 - 2019/04/26(Fri) 00:56:01

★ 数B ベクトル / めろん

こんにちは。高校2年生です。本日初めて数Bの授業がありました。まず、⑴が分かりません。↑a+↑bと、↑a-↑bを教えて下さい🙇♀

No.57841 - 2019/04/25(Thu) 16:59:06

☆ Re: 数B ベクトル / X

問題の正八角形の対角線の交点をOとすると、条件から
↑a=↑OH-↑OA (A)
↑b=↑OB-↑OA (B)
↑OH・↑OB=0 (C) (∵)OH⊥OB
又
↑OH・↑OA=|↑OH||↑OA|cos∠AOH
=1/√2 (D)
同様に
↑OA・↑OB=1/√2 (E)

(A)-(B)より
↑a-↑b=↑OH-↑OB
∴|↑a-↑b|^2=|↑OH-↑OB|^2
=|↑OH|^2-2↑OH・↑OB+|↑OB|^2
これに(C)などを代入すると
|↑a-↑b|^2=2
∴|↑a-↑b|=√2
又、(A)+(B)より
↑a+↑b=↑OH+↑OB-2↑OA
∴|↑a+↑b|^2=|↑OH+↑OB-2↑OA|^2
=|↑OH|^2+|↑OB|^2+4|↑OA|^2
+2↑OH・↑OB-4↑OA・↑OB-4↑OH・↑OA
これに(C)(D)(E)などを代入すると
|↑a+↑b|^2=6-4√2
=6-2√(4・2)
∴|↑a+↑b|=√{6-2√(4・2)}
=2-√2

No.57842 - 2019/04/25(Thu) 17:49:53

☆ Re: 数B ベクトル / めろん

回答ありがとうございます！本当にごめんなさい。まだ掛け算を習っていないんです。足し算と引き算と単位ベクトルのことしか教わっていません。先にそれを書いておくべきでした。
掛け算を使わずに解く方法はありますか？

No.57846 - 2019/04/25(Thu) 21:04:28

☆ Re: 数B ベクトル / ＩＴ

三平方の定理より　|↑OB+↑OH|＝√2

↑a+↑b
=↑AB+↑AH
=(↑OB-↑OA)+(↑OH-↑OA)
=↑OB+↑OH-2↑OA
ここで↑OA=(↑OB+↑OH)/|↑OB+↑OH|=(↑OB+↑OH)/√2
よって
|↑a+↑b|
=|1-√2||↑OB+↑OH|
=|1-√2|√2
=2-√2

No.57848 - 2019/04/25(Thu) 21:58:09

☆ Re: 数B ベクトル / ＩＴ

↑a-↑b
=↑AB-↑AH
=(↑OB-↑OA)-(↑OH-↑OA) ※
=↑OB-↑OH　※　　　　　　　
=↑HB
三平方の定理より|↑HB|=√2

※の２行はなくてもいいですね。

No.57852 - 2019/04/25(Thu) 22:12:55

★ 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI

画像にある問題の（３）について教えて下さい。

（１）と（２）については計算できましたが（次のレスに計算過程を記した画像を載せます。もし間違いなどありましたら、ご指摘願います）、（３）はどう解けばよいか分からないでいます。
また、問題文にある、0<a<1という条件をどう考慮して計算すればよいかも分かりません。

解答と共に、その計算過程や考え方なども詳しく解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.57837 - 2019/04/25(Thu) 01:41:31

☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI

（１）の計算過程です。

No.57838 - 2019/04/25(Thu) 01:52:51

☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI

（２）の計算過程です。

No.57839 - 2019/04/25(Thu) 01:53:26

☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / X

(1)
計算自体に問題はありませんが
下から7行目の被積分関数全体
に括弧を付けましょう。

(2)
cosθ=t
と置く置換積分の計算で積分範囲の
変換をしていません。

(3)
S[n]=Σ[p=1～n]K[p](a)
と置くと
S[n]=Σ[p=1～n]∬[D](x^p)ydxdy
=∬[D]{Σ[p=1～n](x^p)y}dxdy
=∬[D]{x(1-x^n)/(1-x)}ydxdy (A)
ここでDにおいて
0≦x≦a＜1
であることから(A)より
∬[D]{x(1-a^n)/(1-x)}ydxdy≦S[n]≦∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
これより
(1-a^n)∬[D]{x/(1-x)}ydxdy≦S[n]≦∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
∴はさみうちの原理により
(与式)=lim[n→∞]S[n]=∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
後はこの二重積分を計算します。

No.57840 - 2019/04/25(Thu) 06:08:39

★ 線形代数行列幾何学的意味 / かるま

問題が理解できません
お力添えをお願いします

No.57833 - 2019/04/24(Wed) 23:26:25

☆ Re: 線形代数行列幾何学的意味 / かるま

> 問題が理解できません
> お力添えをお願いします
大学1回です

No.57834 - 2019/04/24(Wed) 23:27:06

☆ Re: 線形代数行列幾何学的意味 / ＩＴ

(1) まずは　A(x,y)を計算してみてください。

(x,y)は縦並びです。

No.57835 - 2019/04/24(Wed) 23:32:24

☆ Re: 線形代数行列幾何学的意味 / ＩＴ

「回転移動　行列」で検索するといろいろありますが、下記など参考にされるといいかも。
（なお　1/√2 = cos(π/4)=sin(π/4) などに注意）

　少なくとも行列の計算は理解し自力で出来ないと前に進めないと思います。

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html

No.57836 - 2019/04/25(Thu) 01:04:35

★ 積分 / ///

こんにちは。とある高校2年生です。
今日の授業で分からないところがあったので質問させて頂きます。画像の問題なんですが、次の授業までに解けるようにしておけ、と先生が言っていたのですが、いまいちよく分かりません。画像のように3x^2+2x+3をθとおき、ヒントを使うらしいのですが、どのように解けばよいのでしょうか？お願いいたします。

No.57827 - 2019/04/24(Wed) 17:30:01

☆ Re: 積分 / ast

積分じゃなくて微分する問題じゃないの?

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=57704
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=57612

# にしてもころころ学年が変わる人だな……

No.57828 - 2019/04/24(Wed) 18:12:47

☆ Re: 積分 / GandB

> # にしてもころころ学年が変わる人だな……
wwwww

wolframaに行けば

∫cos^3(3x^2+2x+3)dx

は大変厄介な積分だということがわかる。高校2年に解けという高校数学の教師がいるはずがない。

No.57829 - 2019/04/24(Wed) 19:03:09

★ 微分について / 田中

画像のグラフより、
曲線f(x)=x^3、接線 g(x)=12x-16 を引いているのですが
L(x) = f(x) - g(x) = x^3-12x+16
曲線と接線を引くとどうなるのですか？
引く意味がわかりません。引くとどうなるのですか？

No.57823 - 2019/04/24(Wed) 14:51:37

☆ Re: 微分について / 田中

画像追加しました

No.57824 - 2019/04/24(Wed) 14:55:56

☆ Re: 微分について / らすかる

L(x)は、xの値に対して
f(x)がg(x)よりどれだけ上にあるかを示す関数になります。
つまり縦方向での「幅」（ただしf(x)の方が下のとき負）です。
「曲線と接線の間隔を表現する関数」と書かれていますね。
実際にL(x)のグラフを（重ねて）書いてみればわかりやすいと思います。

No.57825 - 2019/04/24(Wed) 14:56:46

★ 積分 / ///

こんにちは。とある高校2年生です。
この前の授業で積分のところを学習したのですが、画像の(c)と(d)の解き方がいまいち分かりません。お願いいたします。

No.57819 - 2019/04/24(Wed) 12:28:14

☆ Re: 積分 / らすかる

(c)
∫{e^x-e^(-x)}/{e^x+e^(-x)}dx
=∫{e^x+e^(-x)}'/{e^x+e^(-x)}dx
=log|e^x+e^(-x)|+C
=log(e^x+e^(-x))+C

(d)
√(x+1)=tとおくとx+1=t^2,dx=2tdt
∫1/{(x-1)√(x+1)}dx
=∫2/(t^2-2)dt
=(1/√2)∫{1/(t-√2)-1/(t+√2)}dt
=(1/√2){log|t-√2|-log|t+√2|}+C
=log|(√(x+1)-√2)/(√(x+1)+√2)|/√2+C
=log|1-2√2/(√(x+1)+√2)|/√2+C
=log|1-4/(√(2x+2)+2)|/√2+C

No.57820 - 2019/04/24(Wed) 13:11:16

☆ Re: 積分 / ///

なるほど❗それは思い付きませんでした。ありがとうございました。

No.57826 - 2019/04/24(Wed) 17:19:11

★ 円の接線 / √

教えてください。

円の接線
と
円の中心と接点を結んだ線

この二つの線は垂直に交わることの証明
の仕方を教えてください。

よろしくお願い致します。

No.57804 - 2019/04/23(Tue) 19:52:38

☆ Re: 円の接線 / ＩＴ

円Oの中心をO、円O上の点をA、Aを通る円Oの接線をLとします。

OからLに下ろした垂線の足をHとする。
H≠Aとすると、
　L上にAH=BHとなるA以外の点Bが取れる。
　このときOB＝OAとなるので,点Bは円Oと直線Lの交点である。
これは、Lが円Oの接線であることに反する。
したがってH＝Aである。
よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。

No.57805 - 2019/04/23(Tue) 21:20:02

☆ Re: 円の接線 / ＩＴ

「接線」の定義が　どうなっているかにもよりますね。

No.57806 - 2019/04/23(Tue) 21:43:57

☆ Re: 円の接線 / √

ＩＴさん
有難うございます。

以下が、まだ理解できません（ＴＴ）

> 　L上にAH=BHとなるA以外の点Bが取れる。
> 　このときOB＝OAとなるので,点Bは円Oと直線Lの交点である。
> これは、Lが円Oの接線であることに反する。
> したがってH＝Aである。
> よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。

No.57807 - 2019/04/23(Tue) 22:00:52

☆ Re: 円の接線 / らすかる

ほとんどコピペの別解

円Oの中心をO、円O上の点をA、Aを通る円Oの接線をLとします。

OからLに下ろした垂線の足をHとする。
H≠Aとすると、
△OHAはOAが斜辺である直角三角形なので、OH＜OA
よってHは円の内部にあり、Lが接線であることと矛盾。
したがってH＝Aである。
よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。

No.57808 - 2019/04/23(Tue) 22:01:37

☆ Re: 円の接線 / ＩＴ

> 以下が、まだ理解できません（ＴＴ）

まったく理解できないということですね。
図を描いて考えてみてください。

No.57809 - 2019/04/23(Tue) 22:13:49

☆ Re: 円の接線 / √

らすかるさん
有難うございました。
よく分かりました。

ＩＴさん
最後まで理解できなくて本当にゴメンナサイ。

No.57810 - 2019/04/23(Tue) 22:15:08

☆ Re: 円の接線 / √

ＩＴさん

> まったく理解できないということですね。
> 図を描いて考えてみてください。

Ｌ上に、Ａ・Ｈ・Ｂの順に並べるということですか？

No.57811 - 2019/04/23(Tue) 22:19:59

☆ Re: 円の接線 / √

ＩＴさん

やっと分かった気がします。

スミマセン、私が点Ｂを「接点」と読み間違えていました。
点Ｂは「交点」でしたね。
そしてＬが円の中を通過してしまうので、
接線にならないという解釈でよろしいでしょうか？

No.57812 - 2019/04/23(Tue) 22:41:11

☆ Re: 円の接線 / ＩＴ

そういう理解でもいいと思います。

「中を通過する。」と云わなくても
その直線Ｌと円Oが異なる２点を共有するので、直線Ｌは円Oの接線にならない。ということではあります。

なお「円の接線」の定義はどう書いてありますか？

No.57813 - 2019/04/23(Tue) 22:56:54

☆ Re: 円の接線 / √

ＩＴさん　有難うございます。

> その直線Ｌと円Oが異なる２点を共有するので、直線Ｌは円Oの接線にならない。ということではあります。
>
> なお「円の接線」の定義はどう書いてありますか？

読んだことないですけど・・・・・

円に外接している三角形の「三辺」は、
必ず、「円の中心と接点を結んだ線」と、
直角になるのかな？
と思って質問させて頂きました。

No.57815 - 2019/04/23(Tue) 23:22:36

★ 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

この問題の解答と、私の解答の不等式の等号が違うのですが、私の解答に間違いではないですか？

解答と私の解答は次のレスで載せます。

No.57795 - 2019/04/22(Mon) 17:43:39

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

青チャートの解答です

No.57796 - 2019/04/22(Mon) 17:44:16

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

こちらが自分の解答です

No.57797 - 2019/04/22(Mon) 17:45:02

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

画像あげられてなかったのでもう一回

No.57798 - 2019/04/22(Mon) 17:45:51

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

数学と関係ないですが、縦の画像が横になってしまうのはなぜですか？

No.57799 - 2019/04/22(Mon) 17:46:51

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / X

>>数学と関係ないですが、縦の画像が横になってしまうのはなぜですか？

スマホのカメラアプリの使い方が悪いです。
撮影をするときに、スマホの画面下のカメラの向きを
示すアイコンを確認していますか？
例え縦向きに構えていても、そのアイコンが
横向きを示していたら、アプリは横向きと認識して
横向きの写真が撮られてしまいます。
スマホを水平にして撮影するとよくこういうことが
起こります。
水平から少し斜めに構えるなど工夫をしてみると
よいと思います。

No.57800 - 2019/04/22(Mon) 19:47:52

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / X

で、問題の質問に対する回答ですが
青チャートさんの解答でも問題ありません。
この問題に関しては
m(t)=t^3-3t^2-9t
の場合のt=3のときの値と
m(t)=-27
の場合のt=3のときの値が
一致していますので。

No.57801 - 2019/04/22(Mon) 20:40:31

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

いつもありがとうございます。
写真の件も工夫しようと思います。

No.57831 - 2019/04/24(Wed) 20:33:58

★ 偏微分 / とおます

この問題を教えてください

No.57791 - 2019/04/22(Mon) 11:35:29

☆ Re: 偏微分 / X

点(0,0)において偏微分可能であることは
偏微分係数の定義に従って計算してもらえば
証明できますので、連続関数でないことの
証明だけ。

問題の関数を極座標に変換すると
f(x,y)=cosθsinθ
=(1/2)sin2θ (A)
ここで
(x,y)→(0,0)のときr→0
となりますが、(A)はこのときθの値によって
定数とはなり得ないので、
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)=f(0,0)
は成立しません。
よってf(x,y)は点(0,0)において連続では
ありません。

No.57794 - 2019/04/22(Mon) 17:37:36

☆ Re: 偏微分 / とおます

ありがとうございます！

No.57802 - 2019/04/23(Tue) 11:14:28