ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列 / ran

この問題を見てください！

すごくできそうだったのに、できませんでした。

方針はあっているでしょうか？

答えと解説をお願いしたいです。

答えが与えられていなく困ってます！
よろしくお願いします。

No.58291 - 2019/05/15(Wed) 16:49:14

☆ Re: 数列 / らすかる

内容はあまり読んでいませんが、それでダメだったということは、
等比数列がα,β,γの順ではないということです。
αβγ=-8ですからαだけ負とわかります。
(∵すべて負ならば等比数列がα,β,γの順になるため)
従って等比数列はβ,α,γの順ですから、
?Aをα^2=βγとすれば求まるのではないかと思います。

No.58293 - 2019/05/15(Wed) 17:30:38

☆ Re: 数列 / ＩＴ

らすかるさんの方針で解けて　答えは(α,β,γ)=(-2,1,4) ですね。

（略解）
βは等差中項なので　2β＝α+γ…(ア）

αβγ＝-8 …(イ）なので(1) α＜β＜γ＜0　または　(2) α＜0＜β＜γ

(1)のとき　ranさんがやってみたように不適
(2)のとき公比rは負でβ、α、γの順の等比数列。（公比1/rでγ、α、βの順ともいえる）
α＝βr、γ＝βr^2 を(ア）に代入、2β＝βr+βr^2 これを解くとr=-2
α^2=βγ　これと(イ）から　α＝-2

No.58300 - 2019/05/15(Wed) 18:35:40

☆ Re: 数列 / ran

ありがとうございます！

助かりました！

No.58303 - 2019/05/15(Wed) 23:14:17

★ 数列 / ran

1+3+3^2+3^3+…+3^98+3^99の桁数を求めよ。ただしlog[10]3=0.4771とする。

とゆう問題があります！
わかりません！

数列の和をとって、そこから自然対数を取ろうとしたのですが、うまくできませんでした。

答えが与えられていないので、答えと解説よろしくしたいです！お願いします。

No.58290 - 2019/05/15(Wed) 16:41:52

☆ Re: 数列 / ran

できたかもしれないです！

答えは48であってますか？？

No.58292 - 2019/05/15(Wed) 16:52:18

☆ Re: 数列 / らすかる

log[10](3^99)=99log[10]3=47.2329から
10^47＜3^99＜3×10^47であり、
これに1+3+3^2+…+3^98を足しても倍にもなりませんので
10^47＜(与式)＜10^48とわかり、
48桁で正解です。

No.58294 - 2019/05/15(Wed) 17:34:27

☆ Re: 数列 / ran

たびたびすみません！

2行目までは理解できたのですが、

3行目からの、3^99に1+3+3^2+…+3^98を足しても倍にはならないから48桁のままというところが納得いきません。

倍にならないからって、たとえばですよ？たとえば3^99が999……9とかだったら、3^99に1+3+……をしたら、48桁が49桁になっちゃう的なことはないんですか？？

頭悪くてすみません。よろしくお願いします。

No.58306 - 2019/05/15(Wed) 23:22:00

☆ Re: 数列 / らすかる

> たとえば3^99が999……9とかだったら、
2行目に書いたように
「10^47＜3^99＜3×10^47」ですから、
頭の数字は1か2とわかっています。

No.58308 - 2019/05/15(Wed) 23:38:59

☆ Re: 数列 / ran

なるほど！首位の数なのですね！
ありがとうございます！
理解できました！

No.58309 - 2019/05/15(Wed) 23:54:27

★ 関数方程式 / なすび

これどうすればいいのかわかりません。。
ぜひ教えてください

No.58271 - 2019/05/14(Tue) 22:31:40

☆ Re: 関数方程式 / おぎちん

(1)
　まず、(*)の両辺を、yについて2回微分します．すると、
　　f"(x + y) ＋ f"(x - y) ＝ 2f(x)f"(y)　…(*1)
となります．
　ここで、(*1)に、x = 0 , y = 0 を代入すると、
　　2f"(0) = 2f(0)f"(0)　　∴ f"(0){f(0) - 1} = 0
となります．ここで、
　　f"(0) = -1 ≠ 0
より、
　　f(0) = 1
となります．

さらに、(*)を、yについて1回微分すれば、
　　f'(x + y) - f'(x -y) = 2f'(x)f(y)
上式に、x = 0 , y = 0 を代入すると、
　　0 = 2f(0)f'(0)
ここで、
　　f(0) = 1 ≠ 0
より、
　　f'(0) = 0
となります．

（答え）
f(0) = 1
f'(0) = 0

No.58276 - 2019/05/15(Wed) 06:50:33

☆ Re: 関数方程式 / おぎちん

(2)
　次に、(1)(*1)に、y = 0を代入すると、
　　2f"(x) = 2f(x)f"(0)　…(*2)
となります．よって、
　　f"(0) ≠ -1
より、これを(*2)に代入して、
　　f"(x) = -f(x)
を得ます．■

No.58277 - 2019/05/15(Wed) 06:57:57

☆ Re: 関数方程式 / おぎちん

(2)訂正
　f"(0) ≠ -1
を
　f"(0) = -1
に訂正します．

No.58278 - 2019/05/15(Wed) 06:59:44

☆ Re: 関数方程式 / おぎちん

(3)
　F(x)を、xについて1回微分すると、
　　F'(x) = f'(x)cosx - f(x)sinx - f"(x)sinx - f'(x)cosx
　∴ F'(X) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
　ここで、(2)より、
　　f"(x) = -f(x)
より、これを(*3)に代入して、
　　F'(x) = 0
よって、F(x)は定数である．

　次に、G(x)について、G(x)を、xについて1回微分すると、
　　G'(x) = f'(x)sinx + f(x)cosx + f"(x)cosx - f'(x)sinx
　∴ G'(X) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
　ここで、(2)より、
　　f"(x) = -f(x)
より、これを(*4)に代入して、
　　G'(x) = 0
よって、G(x)は定数である．■

No.58279 - 2019/05/15(Wed) 07:11:43

☆ Re: 関数方程式 / おぎちん

(3)つづき
　F(0) = f(0)cos0 - f'(0)sin0
　ここで、
　f(0) = 1
より、
　F(0) = f(0) = 1

　G(0) = f(0)sin0 - f'(0)cos0
　ここで、
　f'(0) = 0
より、
　G(0) = f'(0) = 0

（答え）
F(x) = 1
G(0) = 0

No.58280 - 2019/05/15(Wed) 07:17:07

☆ Re: 関数方程式 / おぎちん

(4)
　(3)より、
　　F(x) = f(x)cosx - f'(x)sinx = 1
です．上式の両辺にcosxをかけると、
　　f(x)(cosx)^2 - f'(x)sinx・cosx = cosx　…(*5)
となります．

　また、(3)より、
　　G(x) = f(x)sinx + f'(x)cosx = 0
です．上式の両辺にsinxをかけると、
　　f(x)(sinx)^2 + f'(x)sinx・cosx = 0　…(*6)
となります．

　ここで、(*5)と(*6)の両辺を足すと、
　　f(x){(cosx)^2+(sinx)^2} = cosx　…(*7)
となります．ここで、
　　(cosx)^2+(sinx)^2 = 1
に注意すると、(*7)より、
　　f(x) = cosx
となります．

（答え）
f(x) = cosx

No.58281 - 2019/05/15(Wed) 07:26:11

☆ Re: 関数方程式 / おぎちん

(*)は、三角関数の"和積の変換公式"に似ています．
(4)の答えが「cosx」になるだろうと予想して、計算していきました．

上に解答において、論理的におかしなところがあるでしょうか。。。

返信まっております。

No.58282 - 2019/05/15(Wed) 07:31:37

☆ Re: 関数方程式 / X

＞＞おぎちんさんへ
まずNo.58279において二か所タイプミスがありますね。
＞＞∴ F'(X) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
は
∴ F'(x) = -f(x)sinx - f"(x)sinx　…(*3)
＞＞∴ G'(X) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
は
∴ G'(x) = f(x)cosx + f"(x)cosx　…(*4)
の誤りでは？

次にNo.58281について。
単にf(x)だけ求めるのではなくて、f'(x)も
求めた上で、矛盾がないか確かめる必要が
あるのでは？。

No.58302 - 2019/05/15(Wed) 20:39:51

☆ Re: 関数方程式 / おぎちん

＞＞Xさんへ
ご指摘ありがとうございます。
おっしゃる通り、タイプミスでした。すみません。

　ついでにはなりますが、No.58280においても訂正があります。最後の行の
　　G(0) = 0
を
　　G(x) = 0
に訂正します。

　ひきつづきN0.58280の補足ですが、
F(x)、G(x)が定数関数であることはNo.58279にて証明済みなので、それぞれx = 0における値のみを計算して、F(x)、G(x)の値としております。

　また、No.58281においてのご指摘についてもありがとうございます。

「答えが問題の命題の必要条件になっていることだけでなく、十分条件になっていることを確認せよ」

とのことだと理解しました。確かに確認はしておりませんでした。（確認の論述は省略します。）

No.58305 - 2019/05/15(Wed) 23:21:21

★ 条件？ / 太田

⑶の?Bで僕が鉛筆で線を引いたところなのですが、2つ以上なのに、3つの内の一つの整数を限定するだけで求まるのが分からないです。

No.58255 - 2019/05/14(Tue) 10:03:38

☆ Re: 条件？ / らすかる

追加の画像は「返信」から書き込みましょう。
新しく投稿するとつながりがわからなくなります。

本題ですが、
「3つの内の一つの整数を限定するだけで求まる」とは書かれていませんし、
実際一つの整数を限定するだけでは求まりませんが、
これはどういう意味ですか？

No.58257 - 2019/05/14(Tue) 10:37:04

☆ Re: 条件？ / X

横から失礼します。

＞＞太田さんへ
分からない部分をとりあえず置いておき、
模範解答を最後まで読みましたか？
鉛筆で傍線を引っ張った部分は

整数解が2つ以上になるようなkは「存在しない」

という解答に至るまでの過程の一部です。

この過程において、もし題意を満たすkが
存在すると仮定したとすると、
整数解として候補になるxの値
において、対応するkの値
が一致する必要がありますよね？

そのkの値を調べているのが、鉛筆で
傍線を引っ張った部分辺りから下の
過程です。

No.58259 - 2019/05/14(Tue) 17:28:44

☆ Re: 条件？ / 太田

>Xさん
模範解答では存在しないことで結論付けていることは分かります。
なんとなくわかったことですが、一つの整数解は?Aで求めたグラフの概形と?Bの代入した値から何個か存在する。しかし、その何パターンかを実際にf(x)に代入して、それらのパターンの中にもう一つの整数解があるか調べているということですか？

No.58261 - 2019/05/14(Tue) 18:22:14

☆ Re: 条件？ / らすかる

x=1またはx=-2のとき、他の解は整数ではない。
他に整数解が二つになるような可能性がある解は
x=-3,-1,0,2の4つだけである。
x=-3を解に持つときk=0
x=-1を解に持つときk=-4
x=0を解に持つときk=9
x=2を解に持つときk=5
これを逆に言うと
k=-4のとき整数解はx=-1のみ
k=0のとき整数解はx=-3のみ
k=5のとき整数解はx=2のみ
k=9のとき整数解はx=0のみ
となり、kがいくつであっても整数解は二つあることはない。

という流れですが、この中でわからない箇所はありますか？

No.58262 - 2019/05/14(Tue) 19:00:37

☆ Re: 条件？ / 太田

分かりました。ありがとうございます。

No.58283 - 2019/05/15(Wed) 09:29:14

★ 微分方程式定数分離法？ / 大2

2の(a)を解いて詳しいやり方を教えて頂きたいです。前も質問させて頂きましたが、時間が経ってしまったので…。どなたかよろしくお願いします。

No.58253 - 2019/05/14(Tue) 08:25:13

☆ Re: 微分方程式定数分離法？ / 大2

間違えました、3の(a)です、お願いします

No.58254 - 2019/05/14(Tue) 08:49:09

☆ Re: 微分方程式定数分離法？ / GandB

　定数分離法？ほんとに大学生なのかねwwwww

> 前も質問させて頂きましたが、時間が経ってしまったので…。
　その間何をしていたのだ（笑）。大学生なら、暇はたっぷりあるはずだが。何の変哲もない、単なる「変数分離型」の微分方程式だぞ。

　　　　　　　dy　　　
　　(1+x^2)･── = x(1+y^2)
　　　　　　　dx
なのだから、
　　　　1　　　　　x
　　───dy = ────dx
　　1+y^2　　　1+x^2

のように変数分離すればよい。

No.58258 - 2019/05/14(Tue) 10:44:37

☆ Re: 微分方程式定数分離法？ / ast

時間がたったと言ってもたかだか4日ほど前で次ページ入ってすぐなのに, なんだろう, 次ページに行くのを待ってたってことかな…?

前の回答だけでも, 変数分離形はわかるか, (b)は質問に入ってないが解けるのか, 逆三角函数の微分に覚えはあるか, の三点くらいはYes/Noで答えられるような問いかけをしたはずだけど, それ全部スルーしてゼロから再質問する理由とか意味はある?

No.58260 - 2019/05/14(Tue) 18:17:27

★ 数3　微分について / 浪人生

教科書には、微分係数の定義は2通り書いてあって
そのうちの一つに
　lim[h→0}{f(a＋h)－f(a)}/h=f'(a)とあります。
ある問題集の回答では、教科書通りに
　lim[h→0]{f(a－2h)－f(a)}/(－2h)=f'(a)となっていました。
私は、lim[h→0]{f(a)－f(a－2h)}/2h=f'(a)と書いたのですが、合っているでしょうか？
個人的には、下の方が図からもイメージしやすいと思うのですが、教科書の定義と違うので質問させていただきました。回答宜しくお願いします。

No.58246 - 2019/05/14(Tue) 00:33:07

☆ Re: 数3　微分について / らすかる

lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h=f'(a)でhに-2hを代入すれば
lim[-2h→0]{f(a-2h)-f(a)}/(-2h)=f'(a)すなわち
lim[h→0]{f(a-2h)-f(a)}/(-2h)=f'(a)
分子分母に-1を掛ければ
lim[h→0]{f(a)-f(a-2h)}/(2h)=f'(a)
ですから、どれも全く同じ意味の式です。
しかし、普段見かけないような式を書くと、
合っていても（採点者の勘違いで）×になる可能性が高くなりますので、
なるべく「一般的に多く使われている」式にしておいた方が無難かと思います。

No.58248 - 2019/05/14(Tue) 01:08:11

☆ Re: 数3　微分について / 浪人生

ありがとうございます

No.58269 - 2019/05/14(Tue) 20:34:23

★ 確率の問題 / kh

当たりを引く確率がa(0<=a<=1)のくじ引きがあるとする。
n回くじ引きを引くとする。
n回引いて、m回当たりが出たとき、確率aがb(0<=b<=1)未満である確率xの公式って求められますか？
m,nは自然数です。

分かりづらいと思いますので例を挙げます。
くじ引きを10回(n)引いて、8回(m)当たりが出ました。
その時、そのくじ引きが当たりを出す確率(a)が80％(b)未満である確率(x)はいくらか。
その答えと、それぞれの数字を変えたときに簡単に答えが分かるように公式が知りたいのですが、計算方法が分かりません。

その他なにか前提が意味不明とかの指摘があれば教えてください。

No.58235 - 2019/05/13(Mon) 18:45:29

☆ Re: 確率の問題 / らすかる

# 途中計算にちょっと自信がありませんが…

当選確率aのくじをn回引いてm回当たる確率は
a^m・(1-a)^(n-m)なので
aがb未満である確率は
{∫[0～b]x^m・(1-x)^(n-m)dx}/{∫[0～1]x^m・(1-x)^(n-m)dx}
={Σ[k=0～n-m]m!(n-m)!/{k!(n+1-k)!}・b^(n+1-k)・(1-b)^k} / {m!(n-m)!/(n+1)!}
={Σ[k=0～n-m](n+1)Ck・b^(n+1-k)・(1-b)^k}
つまり
x=(当選確率bのくじをn+1回引いてm+1回以上当たる確率)
となると思います。
n=10,m=8,b=0.8のときは
x=11C0・0.8^11+11C1・0.8^10・0.2+11C2・0.8^9・0.2^2
=0.6174015488

No.58241 - 2019/05/13(Mon) 20:45:00

☆ Re: 確率の問題 / kh

回答ありがとうございます。
すいません、不勉強なもので途中式の部分が全く理解できないのでわかりませんが、

「aがb未満である確率=当選確率bのくじをn+1回引いてm+1回以上当たる確率」
となる場合、
n=10、m=10、b=1の時、
「aが100％未満である確率=当選確率100％のくじを11回引いて11回以上当たる確率つまり100％」となり
10回引いて10回当たる時aが100％であることもあり得ることから矛盾しませんか？

もしくは、回答いただいたのは「aがb"以下"である確率」となっているとかでしょうか？

No.58244 - 2019/05/13(Mon) 23:22:11

☆ Re: 確率の問題 / らすかる

当初、式に問題があるのかと思っていましたが、
良く考えてみるとaが連続値なので矛盾していませんね。
b=1のときはa＜1である確率が100%、つまりa=1である確率は0ですが
連続値では特定の値になる確率は0なので問題ありません。
実際、10回引いて10回当たった場合は
a=1である確率
a=0.999999999999999999999999999である確率
a=0.999999999999999999999999998である確率
a=0.999999999999999999999999997である確率
・・・
のようにほとんど同じ確率であるものが無限個ありますので、
a=1である確率は0となります。
同様に、任意の定数Cに対してa=Cである確率は0です。
つまり、a=bである確率は0ですから、
「b未満」でも「b以下」でも同じということです。

No.58249 - 2019/05/14(Tue) 03:29:07

☆ Re: 確率の問題 / kh

「連続値では特定の値になる確率は0」
「つまり、a=bである確率は0」
なるほどそうなんですね・・・
理解できました。

回答ありがとうございました。助かりましたm(_ _)m

No.58252 - 2019/05/14(Tue) 05:11:36

★ フィボナッチ数列2 / KJ

フィボナッチ数列において、
初項から第1000項までに一の位が7である数は全部でいくつあるか？
という問題の発展で、10で割った余りの周期性について考察しています。(画像に書いてあります。)

質問画像の解説の証明(理由)が考えてもわかりません。
どなたか教えていただきたいです。

No.58233 - 2019/05/13(Mon) 17:38:09

☆ Re: フィボナッチ数列2 / らすかる

D[1]=D[2]=1, D[16]=D[17]=7
がわかったならば、
D[n]=D[n+1]=1のときにD[n+15]=D[n+16]=7
となるのは大丈夫でしょうか。
もしD[m]=k,D[m+1]=kとすると
D[m]=kD[n],D[m+1]=kD[n+1]であり、
D[m]とD[m+1]がD[n]とD[n+1]のk倍ですから
D[m+2]はD[n+2]のk倍の一の位
D[m+3]はD[n+3]のk倍の一の位
・・・
となり、任意の自然数iに対して
D[m+i]はD[n+i]のk倍の一の位
となります。
よってD[m+15]=D[m+16]=(kD[n+15]の一の位)=7kの一の位
となり、結局
D[n]=D[n+1]のとき D[n+15]とD[n+16]の一の位は
D[n]の7倍の一の位
とわかります。

# もし「の一の位」の考え方が難しい場合は、
# A[n]=10a+1, A[n+1]=10b+1, A[n+15]=10c+7, A[n+16]=10d+7
# のようにおけばわかるかと思います。

No.58240 - 2019/05/13(Mon) 19:34:43

☆ Re: フィボナッチ数列2 / KJ

ありがとうございます！
もう一度自分で考えてみます！

No.58265 - 2019/05/14(Tue) 19:59:17

☆ Re: フィボナッチ数列2 / KJ

無事理解できました。
らすかるさん、ありがとうございました😊

No.58274 - 2019/05/14(Tue) 23:25:35

★ フィボナッチ数列 / KJ

フィボナッチ数列はAn+2 = An+1 + An (A1=A2=1)を満たす。

この時
[1]An (n=3の倍数 )＝偶数
[2]A(n=4の倍数 )＝３の倍数
[3]A(n=5の倍数 )＝ 5の倍数であることを示せ。

[質問]
[1]は奇，奇，偶のくり返しが永遠に続くから、n=3の倍数は必ず偶
数になるという証明で良いでしょうか？
( 書き出して、その法則を見つけました。これが、永遠に続くという保証はどうすればよいのでしょうか？)
[2]各々の数の3で割った余りを書くと、
　１，１，２，０
　２，２，１，０の周期になっていることに気づきました。
よって、A(n=4の倍数 )＝ 3の倍数であるとしてよいのでしょうか？
(これが永遠に続くと証明するにはどうすればよいのでしょうか？
それとも証明する必要はないのでしょうか？)

[3]これも全く同じ質問です、
　１，１，２，３，０
　３，３，１，４，０
　４，４，３，２，０
　２，２，４，１，０の周期を見つけたのですが、これが永遠に続くという証明はどうやるのでしょうか？

No.58232 - 2019/05/13(Mon) 17:34:13

☆ Re: フィボナッチ数列 / ＩＴ

>> [質問]
> [1]は奇，奇，偶のくり返しが永遠に続くから、n=3の倍数は必ず偶
> 数になるという証明で良いでしょうか？
> ( 書き出して、その法則を見つけました。これが、永遠に続くという保証はどうすればよいのでしょうか？)
「数学的帰納法」はご存知ですか？
こういった証明は、「数学的帰納法」の流儀に従って記述します。

No.58236 - 2019/05/13(Mon) 19:16:41

☆ Re: フィボナッチ数列 / らすかる

# An+2 と書くと(A[n])+(2)のように見えてしまいますので、A[n+2]のように書きましょう。

[1]
k,n,p,q,rはすべて自然数とします。
A[1]=1,A[2]=1,A[3]=A[1]+A[2]=2なので
n=1のとき「A[3n-2]とA[3n-1]が奇数、A[3n]が偶数」を満たす。
n=kのときに「A[3n-2]とA[3n-1]が奇数、A[3n]が偶数」を満たすと仮定すると、
A[3k-2]=2p-1,A[3k-1]=2q-1,A[3k]=2rとおける。
このとき
A[3(k+1)-2]=A[3k+1]=A[3k]+A[3k-1]=2(q+r)-1
A[3(k+1)-1]=A[3k+2]=A[3k+1]+A[3k]=2(q+2r)-1
A[3(k+1)]=A[3k+3]=A[3k+2]+A[3k+1]=2(2q+3r-1)
なので、n=k+1のときも「A[3n-2]とA[3n-1]が奇数、A[3n]が偶数」を満たす。
従って数学的帰納法によりA[3n]は偶数となる。

[2][3]も同様にすればきちんと示せます。

No.58237 - 2019/05/13(Mon) 19:17:51

☆ Re: フィボナッチ数列 / KJ

ありがとうございます。

すいません(2)は教えていただいた方法で、証明できたのですが、
(3)ができません。
(3)の証明を教えていただませんか？

No.58264 - 2019/05/14(Tue) 19:56:42

☆ Re: フィボナッチ数列 / らすかる

単純に[1]と同じようにやると20項も仮定しなければいけないので大変ですね。
「(A[5n-4]を5で割った余り)=(A[5n-3]を5で割った余り)のとき
　(A[5n]を5で割った余り)=0となり、かつ
　(A[5n+1]を5で割った余り)=(A[5n+2]を5で割った余り)となる」
を示せば、数学的帰納法で証明できると思います。

No.58268 - 2019/05/14(Tue) 20:12:53

☆ Re: フィボナッチ数列 / ＩＴ

(1) の証明のメイン部分
a[3k]≡0(mod2) と仮定すると
a[3k+2]≡a[3k+1]+a[3k]≡a[3k+1](mod2)
a[3k+3]≡a[3k+2]+a[3k+1]≡2a[3k+1]≡0(mod2)

(2) の証明のメイン部分
a[4k]≡0(mod3) と仮定すると

a[4k+2]≡a[4k+1]+a[4k]≡a[4k+1](mod3)
a[4k+3]≡a[4k+2]+a[4k+1]≡2a[4k+1](mod3)
a[4k+4]≡a[4k+3]+a[4k+2]≡3a[4k+1]≡0(mod3)

(3) の証明のメイン部分
a[5k]≡0(mod5) と仮定すると

a[5k+2]≡a[5k+1](mod5)
a[5k+3]≡a[5k+2]+a[5k+1]≡2a[5k+1] (mod5)
a[5k+4]≡a[5k+3]+a[5k+2]≡3a[5k+1] (mod5)
a[5k+5]≡a[5(k+1)]≡a[5k+4]+a[5k+3]≡5a[5k+1]≡0 (mod5)

No.58270 - 2019/05/14(Tue) 22:24:01

☆ Re: フィボナッチ数列 / KJ

らすかるさん ITさんありがとうございます。

数学的帰納法によって全ての整数に拡張するということを今回学ばせていただきました。

(3)も無事、もう一度、アドバイスを見たあと、改めて解き直した所、証明できました！

ありがとうございます😊

No.58272 - 2019/05/14(Tue) 23:05:49

☆ Re: フィボナッチ数列 / ＩＴ

一般に、３以上の自然数rと任意の自然数m について　a[mr]≡0(mod a[r]) です。

m=1 のとき成立

m=k のとき　a[kr]≡0(mod a[r]) と仮定する。
　　t=a[kr+1]とおく

　b[s]=a[kr+s] とおくと　b[1]≡b[2]≡t(mod a[r]) ,b[n+2]=b[n+1]+b[n] なので
　b[n]≡ta[n](mod a[r])
よって　b[r]≡ta[r]≡0(mod a[r])
すなわち　a[kr+r]≡a[(k+1)r]≡0(mod a[r])

したがって任意の自然数mについて　a[mr]≡0(mod a[r])

(1)はr=3,(2)はr=4,(3)はr=5 の場合です。

No.58275 - 2019/05/15(Wed) 00:00:42

☆ Re: フィボナッチ数列 / KJ

IT さんありがとうございます。

その他の事象についても、考えてみます。

No.58295 - 2019/05/15(Wed) 17:38:58

★ 違いがわかりません。 / ran

この⑴?Aをみてください。

私は、数列の和を求める際に、解答とは違い、3つに分けて和の中抜けを使おうとしました。

でも、本当は2つずつで出来たみたいで、間違えてしまいました。

ですが、ふと考えてみると、これ3つと２つに分けるやり方で答えに差が出るのはなぜですか？？
なぜ、答えが一緒にならないんでしょうか？
よろしくお願いします。

また、こちらは出来たらで構いませんが

このような和の中抜けを使うとき、3つに分けるような場合と2つに分けるような場合の見分け方的なものを教えてほしいです！！

もしなければ、考え方のコツ的なものを教えてください。

No.58225 - 2019/05/12(Sun) 16:52:12

☆ Re: 違いがわかりません。 / ran

模範解答です

No.58226 - 2019/05/12(Sun) 16:53:00

☆ Re: 違いがわかりません。 / ran

間違えに気づきました。ごめんなさい。

もう大丈夫です。ありがとうございます

No.58227 - 2019/05/12(Sun) 16:55:48

★ 納得がいきません！ / ran

この問題5の⑵をみてください！

私の答えはノートのとおりです。

でも模範解答では、楕円がy=-3√2 /2のところで終わっているのですが、私の考えでは、定義域が-3√2 /2≦y≦3なので、

私の答えになると思うです！

なぜ違うのか、理由をよろしくお願いします。

No.58215 - 2019/05/12(Sun) 14:28:13

☆ Re: 納得がいきません！ / ran

模範解答です

No.58216 - 2019/05/12(Sun) 14:28:37

☆ Re: 納得がいきません！ / ran

私の解答です。

No.58217 - 2019/05/12(Sun) 14:29:09

☆ Re: 納得がいきません！ / らすかる

> 条件より、x,yの定義域は-6≦x≦6, -3√3/2≦y≦3

これはx,yの変化する範囲であって、
(x/6)^2+(y/3)^2=1, -6≦x≦6, -3√3/2≦y≦3
を満たす点すべてが元の条件を満たすわけではありません。
例えば(x,y)=(3,-3√3/2)は
(x/6)^2+(y/3)^2=1, -6≦x≦6, -3√3/2≦y≦3は満たしますが、
6cosθ=3, 3sinθ=-3√3/2を満たすθは
(5/3)π（あるいは-π/3）ですから、0≦θ≦(4/3)πを満たしませんね。

楕円にようにxに対するyが複数、かつyに対するxも複数という場合は
単純に「-6≦x≦6, -3√3/2≦y≦3」としてしまうと間違えます。
この問題では0≦θ＜π/2とπ/2≦θ≦(4/3)πでわけて考えましょう。
（そうすれば一つのyに対して一つのxが対応しますので、問題は生じません。）
0≦θ＜π/2のとき0＜x≦6,0≦y＜3
π/2≦θ≦(4/3)πのとき-6≦x≦0,-3√3/2≦y≦3
となりますので、解答のような図になりますね。

No.58223 - 2019/05/12(Sun) 15:58:48

☆ Re: 納得がいきません！ / ran

ありがとうございました！
理解出来ました！

No.58224 - 2019/05/12(Sun) 16:46:14

★ (No Subject) / かぴ

[問題] 底面が正方形の四角錐が半径1の球面に接している。
ただし、頂点から下ろした垂線の足は、正方形の中心を通るとは限らない。
この四角錐の体積が1/4 のとき、その高さの範囲を求めよ。

[質問]
自分は画像のように考えしたが、答えが合いません。(答えは3/8
～(3+√21)/4 です)
計算ミスはしていないです。(何回もやり直しました。)
となると、この自分の方針は間違っているのでしょうか？

No.58214 - 2019/05/12(Sun) 14:11:17

☆ Re: / ＩＴ

tが負のとき
h(t)≦1-t では？

No.58218 - 2019/05/12(Sun) 14:37:53

☆ Re: / ＩＴ

簡単のため0≦t＜1　だけで考えて
0＜h(t)≦1+t として

h(t)が最大なのはt=(-1+√21)/4のときで
max(h(t))=1+(-1+√21)/4=(3+√21)/4 でいいような。

No.58219 - 2019/05/12(Sun) 14:58:15

☆ Re: / かぴ

ITさんありがとうございます😀

tの値をhの値と勘違いしていたようです。

ありがとうございました。

No.58220 - 2019/05/12(Sun) 15:08:30

☆ Re: / かぴ

すいませんこれはzじく対称だから、簡略化ができるのですよね？

No.58221 - 2019/05/12(Sun) 15:13:57

☆ Re: / ＩＴ

考えておられることは、おそらく正しいのだと思いますが

「zじく対称」という表現が正しいかは、分かりません。

No.58222 - 2019/05/12(Sun) 15:31:09