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★ (No Subject) / ろー
この問題、解けるのですがどうして(x、y)＝(3、9)なのかが納得できないです。(3、-9)と答えたくなります。
教えてください。
No.57163 - 2019/03/15(Fri) 01:17:18
☆ Re: / らすかる
(x、y)＝(3、9) とは頂点のことですか？
y=-(x-3)^2+9にx=3を代入するとy=9になりますので、(3,9)ですね。
No.57165 - 2019/03/15(Fri) 02:53:04
☆ Re: / noname
移項して
(y-9)=-(x-3)^2
にすれば(3,9)と答えたくなるんじゃない？
No.57220 - 2019/03/19(Tue) 13:24:54
★ 軌跡 / ゆう
【問題】

E(5,-5)、F(5,5)、G(-5,-5)とする。

点Pが以下の条件を満たしながら動くとき、点Pの軌跡をxy平面に図示せよ。

(条件1)FP-EP≧2√5

(条件2)GP-EP=2√5

双曲線の一部になるそうですが、なぜそうなるのかわからないです。詳しく教えてください。
No.57162 - 2019/03/14(Thu) 23:53:02
☆ Re: 軌跡 / らすかる
P(x,y)とすると
FP=√{(x-5)^2+(y-5)^2}
EP=√{(x-5)^2+(y+5)^2}
GP=√{(x+5)^2+(y+5)^2}
なので
FP-EP≧2√5
√{(x-5)^2+(y-5)^2}-√{(x-5)^2+(y+5)^2}≧2√5
{(x-5)^2+(y-5)^2}+{(x-5)^2+(y+5)^2}-2√{{(x-5)^2+(y-5)^2}{(x-5)^2+(y+5)^2}}≧20
2x^2+2y^2-20x+100-2√{{(x-5)^2+(y-5)^2}{(x-5)^2+(y+5)^2}}≧20
2x^2+2y^2-20x+80≧2√{{(x-5)^2+(y-5)^2}{(x-5)^2+(y+5)^2}}
(2x^2+2y^2-20x+80)^2≧4{(x-5)^2+(y-5)^2}{(x-5)^2+(y+5)^2}
-80x^2+800x+320y^2-3600≧0
-x^2+10x+4y^2-45≧0
また
FP-EP≧2√5からFP＞EPすなわち
√{(x-5)^2+(y-5)^2}＞√{(x-5)^2+(y+5)^2}
(x-5)^2+(y-5)^2＞(x-5)^2+(y+5)^2
∴y＜0
となるので
FP-EP≧2√5を満たす領域は
-x^2+10x+4y^2-45≧0 かつ y＜0

同様に
GP-EP=2√5から
4x^2-y^2-10y-45=0 かつ x＞0

よって2式から
4x^2-y^2-10y-45=0 かつ x＞0 かつ y≦(5-4√10)/3
No.57169 - 2019/03/15(Fri) 04:13:37
☆ Re: 軌跡 / ゆう
すみません、最後のy≦(5-4√10)/3はどこから出てきたのでしょうか？
No.57173 - 2019/03/15(Fri) 16:19:08
☆ Re: 軌跡 / ゆう
それから、FP>EPは必要な条件なのですか？FP-EP≧2√5にその条件は含まれてませんか？？
No.57174 - 2019/03/15(Fri) 16:26:41
☆ Re: 軌跡 / らすかる
> 最後のy≦(5-4√10)/3はどこから出てきたのでしょうか？

「-x^2+10x+4y^2-45=0かつy＜0」と「4x^2-y^2-10y-45=0かつx＞0」の交点が
((4√10-5)/3,(5-4√10)/3)であり、
(5-4√10)/3＜y＜0のとき-x^2+10x+4y^2-45≧0を満たしません。
この交点を直接求めるのは大変ですが、
2式がx+y=0に関して対称であることを使って
どちらかの式とx+y=0を連立すれば簡単に求まります。


> それから、FP>EPは必要な条件なのですか？FP-EP≧2√5にその条件は含まれてませんか？？

FP-EP≧2√5には含まれていますが、
2乗していることでこの条件が途中で消えてしまっています。
FP-EP≧2√5の両辺を2乗すると(FP-EP)^2≧20ですが、
(FP-EP)^2≧20 ⇔ FP-EP≧2√5 または FP-EP≦-2√5
なので、出てきた式には
FP-EP≦-2√5を満たす領域も含まれています。
よって、後でFP-EP＞0を満たす領域のみに絞る必要があります。
No.57175 - 2019/03/15(Fri) 16:57:57
☆ Re: 軌跡 / ゆう
なるほど、よくわかりました。ありがとうございました。
No.57180 - 2019/03/16(Sat) 00:29:05
★ (No Subject) / ケン
写真の問題の解き方と解答を教えていただけないでしょうか。
No.57158 - 2019/03/14(Thu) 18:23:37
☆ Re: / ケン
二つ目も載せます。
No.57159 - 2019/03/14(Thu) 18:24:48
☆ Re: / ケン
> 二つ目も載せます。
No.57160 - 2019/03/14(Thu) 18:25:11
☆ Re: / 関数電卓
(1) (x,y)＝(0,0) で 極小値 0
(2) (x,y)＝(1,1) で 極小値 3
No.57161 - 2019/03/14(Thu) 21:37:49
★ 確率 / そろばん
Ａ、Ｂがゲームを行い景品をもらう。Ａは2/3、Ｂは1/3でこのゲームに勝つとする。3ゲーム先取した方が景品を貰えるとき、Ａが景品を貰える確率を求めよ。
No.57155 - 2019/03/14(Thu) 16:00:24
☆ Re: 確率 / らすかる
AAA … (2/3)(2/3)(2/3)=8/27
BAAA … (1/3)(2/3)(2/3)(2/3)=8/81
ABAA … (2/3)(1/3)(2/3)(2/3)=8/81
AABA … (2/3)(2/3)(1/3)(2/3)=8/81
BBAAA … (1/3)(1/3)(2/3)(2/3)(2/3)=8/243
BABAA … (1/3)(2/3)(1/3)(2/3)(2/3)=8/243
BAABA … (1/3)(2/3)(2/3)(1/3)(2/3)=8/243
ABBAA … (2/3)(1/3)(1/3)(2/3)(2/3)=8/243
ABABA … (2/3)(1/3)(2/3)(1/3)(2/3)=8/243
AABBA … (2/3)(2/3)(1/3)(1/3)(2/3)=8/243
合計して 64/81
No.57156 - 2019/03/14(Thu) 16:05:33
☆ Re: 確率 / そろばん
ありがとうございます。
No.57157 - 2019/03/14(Thu) 16:33:15
★ (No Subject) / ケン
(2x-y+1)+(2y-x-1)dy/dx=0
上記の式は完全形の微分方程式ということなのですが、
変形型の同次形の微分方程式の解法でも答えらしきものが出てきました。
しかし、やはりこの問題は完全形の解法でしか解が求められないのでしょうか？
また、完全形と同次形の明確な違いがあるのなら教えていただきたいです。
No.57151 - 2019/03/13(Wed) 22:45:26
☆ Re: / noname
代入して成り立ちましたか？
No.57153 - 2019/03/14(Thu) 13:35:58
★ (No Subject) / ケン
完全形の微分方程式について質問です。
[(2x-y)/(x^2+y^2) ]dx+[(2y+x)/(x^2+y^2)]dy=0
の解答を求めていただきたいです。
自分が出した答えは
2ln(x^2+y^2)+xarctan(y/x)=C
Cは積分定数
となりました。
解答がないので答え合わせがしたいです。
No.57149 - 2019/03/13(Wed) 14:52:03
☆ Re: / mathkun
https://www.wolframalpha.com/input/?i=((2x-y)%2F(x%5E2%2By%5E2))*dx%2B((2y%2Bx)%2F(x%5E2%2By%5E2))*dy%3D0

wolfram alphaで微分方程式を入力すると解が出てきます。これを参照してください。
No.57150 - 2019/03/13(Wed) 15:13:01
★ 二項展開によるフェルマーの最終定理の証明 / 日高
よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。
No.57147 - 2019/03/13(Wed) 11:17:03
★ フェルマーの最終定理の証明 / 日高
よろしければ、ご指摘いただけないでしょうか。
No.57146 - 2019/03/13(Wed) 11:13:41
☆ Re: フェルマーの最終定理の証明 / らすかる
・小さすぎて読みにくいです。

・「?Bを変形して、」の右の式の{　}内が省略のしすぎで
　間の…が補完できません。

・「?Bを変形して、」の右の式がもし
　(y/r)^p-1 = p{(x/r)^(p-1)+(x/r)^(p-2)+(x/r)^(p-3)+…+(x/r)}
　だとしたら、?Bをどのように変形すればこの式になるのですか？
No.57148 - 2019/03/13(Wed) 13:47:13
☆ Re: フェルマーの最終定理の証明 / 日高
?B式の右辺を展開すると、
(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r)^p+p(x/r)^(p-1)+…+p(x/r)+1
となります。両辺から、(x/r)^p+1を引いて、pで括ります。
No.57152 - 2019/03/14(Thu) 11:04:28
☆ Re: フェルマーの最終定理の証明 / らすかる
続きは他板で回答しました。
No.57154 - 2019/03/14(Thu) 15:50:33
★ 考え方をおしえてください / ゆき
高校入試の最後の問題です。
(2)AFの長さを求める問題がわかりません。
模範解答は32/5?pとなっていますが、
どうしてそうなるのかわかりません。
よろしくお願いします。
No.57142 - 2019/03/12(Tue) 23:48:09
☆ Re: 考え方をおしえてください / らすかる
△AFC∽△ADGなのでAF：AD=AC：AG
∴AF=AC×AD÷AG=8×8÷(8+2)=32/5(cm)
No.57143 - 2019/03/13(Wed) 00:54:08
☆ Re: 考え方をおしえてください / ゆき
ありがとうございます！見えてなかったです！
No.57144 - 2019/03/13(Wed) 01:06:27
★ 福井大 / 魚
これの(2)がわかりません。解説も見たのですが理解できませんでした。数弱文系にもわかるように説明してください。(高3です)
No.57136 - 2019/03/12(Tue) 15:41:13
☆ Re: 福井大 / 魚
なぜ｜1＋q｜と｜q｜を比べるだけでいいのかがわかりません。｜p｜はなぜ必要ないのですか？よろしくお願いします。
No.57137 - 2019/03/12(Tue) 15:45:31
☆ Re: 福井大 / ＩＴ
max{|f(1)|,|f(0)|,|f(-1)|}＝max{max{|f(1)|,|f(-1)|},|f(0)|}
＝max{max{|1+p+q|,|1-p+q|},|q|}
＝max{|1+q|+|p|,|q|}
≧max{|1+q|,|q|}
ですからmax{|1+q|,|q|}≧1/2 が示せれば良いです。
No.57139 - 2019/03/12(Tue) 19:33:34
☆ Re: 福井大 / 魚
ありがとうございます。max{｜1＋q｜,｜q｜}≧1/2を示すことができれば、＋｜p｜でも≧1/2になるので、最低限の証明で十分ということでしょうか？
No.57140 - 2019/03/12(Tue) 21:57:01
☆ Re: 福井大 / ＩＴ
そのとおりです。
No.57141 - 2019/03/12(Tue) 22:32:43
★ 確率 / たけし 高校一年
100回コインを投げるとして、表が10回以上連続で出る確率はどのくらいになりますか？気になって夜も眠れません。お願いします。
No.57133 - 2019/03/12(Tue) 10:50:42
☆ Re: 確率 / GandB
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/52_cointoss.htm
を見たらぐっすり眠れるだろう。
No.57134 - 2019/03/12(Tue) 10:55:51
☆ Re: 確率 / らすかる
多分、4.4%ぐらい
No.57135 - 2019/03/12(Tue) 11:31:19
☆ Re: 確率 / at
一般に、n 回コインを投げるとき、表が m 回以上連続で出る確率を
P(n,m) とすると、
P(n,m)
=1-(1/2^n)*[x^n]((1-x^m)/(1-2*x+x^(m+1)))
=1-(1/2^n)*(Σ[k=0〜floor(n/(m+1))]comb(n-m*k,k)*(-1)^k*2^(n-(m+1)*k)-Σ[k=0〜floor((n-m)/(m+1))]comb(n-m-m*k,k)*(-1)^k*2^(n-m-(m+1)*k)).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)

P(100,10)
=6993823047305143749226306585/158456325028528675187087900672
=0.04413722…
No.57145 - 2019/03/13(Wed) 08:46:22
☆ Re: 確率 / らすかる
私は次の漸化式で計算しました。
a[1]〜a[9]=0, a[10]=1, a[11]=3
a[n]=2a[n-1]+2^(n-11)-a[n-11]　（n≧12）
これによりa[100]=55950584378441149993810452680なので
求める確率は
a[100]/2^100=6993823047305143749226306585/158456325028528675187087900672
=0.04413722…
No.57182 - 2019/03/16(Sat) 08:00:47
★ (No Subject) / ケイ
tan^-1(x/y)をyで積分したいのですが、
自分では公式を用いてxの積分しか求められませんでした。
この問題はどのように解けばよいのでしょうか？
No.57131 - 2019/03/11(Mon) 23:36:41
☆ Re: / らすかる
部分積分で
∫tan^(-1)(x/y)dy
=ytan^(-1)(x/y)-∫y・1/((x/y)^2+1)・-x/y^2 dy
=ytan^(-1)(x/y)+(x/2)∫2y/(x^2+y^2) dy
=ytan^(-1)(x/y)+(x/2)log(x^2+y^2)+C
=ytan^(-1)(x/y)+xlog(x^2+y^2)/2+C
No.57132 - 2019/03/12(Tue) 00:09:16
★ 高校数学　数と式・整数 / 匿名希望
問題）
　整式f(x)について、恒等式f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2
が成り立つとする。
　f(0),f(1),f(2)の値を求めよ。

という問題です。解答は写真に載せました。
f(0)=0になる理由は分かるのですが、f(1)=f(2)=0になる理由が分かりません。また、これを求めるために、f(-1)について考える理由も分かりません。宜しくお願いします。
No.57128 - 2019/03/11(Mon) 19:18:28
☆ Re: 高校数学　数と式・整数 / ＩＴ
x=0,1,-1 のときを調べて、f(0)=f(1)=f(2)=0 としているのだと思いますが、

「解答」がどこまでていねいに書いてあるのか分からないので、それより分かり易く説明することは不可能です。

f(-1) ではなくて
f((-1)^2)＝ｆ(1)を使っているのでは？
No.57129 - 2019/03/11(Mon) 20:40:04
★ 数学?V極限の問題 / ケン
極限の問題で
x→∞の時の
(2x+sinx)/(x+sinx)
の極限値を教えてください。
また、同じく極限の問題で
x→∞の時の
(sinx-xe^x)/(x^2)
のマクローリン展開を用いる極限値の解法を教えてください。
よろしくお願いします。
No.57124 - 2019/03/10(Sun) 17:24:57
☆ Re: 数学?V極限の問題 / らすかる
lim[x→∞]sinx/x=0なので
lim[x→∞](2x+sinx)/(x+sinx)
=lim[x→∞](2+sinx/x)/(1+sinx/x)
=2

lim[x→∞](sinx-xe^x)/x^2
は
lim[x→∞]sinx/x^2=0なので
lim[x→∞](sinx-xe^x)/x^2
=lim[x→∞](-xe^x)/x^2
=-lim[x→∞]e^x/x
＜-lim[x→∞](1+x+x^2/2)/x
=-∞
No.57125 - 2019/03/10(Sun) 17:50:12
☆ Re: 数学?V極限の問題 / 関数電卓
> マクローリン展開を用いる極限値の解法
マクローリン展開とは、x が 0 に近いときの関数 f(x) の挙動を調べる手段です。x→∞ で使って悪いわけではないけど、かえって面倒では？
No.57126 - 2019/03/10(Sun) 20:53:00
☆ Re: 数学?V極限の問題 / らすかる
もしかして後者のx→∞はx→0の間違いでしょうか。
もしそうなら、
lim[x→0](sinx-xe^x)/x^2
=lim[x→0]{(x-x^3/3!+…)-x(1+x+x^2/2+…)}/x^2
=lim[x→0](-x^2-2x^3/6-…)/x^2
=lim[x→0](-1-2x/6-…)
=-1
No.57127 - 2019/03/11(Mon) 00:36:02
★ (No Subject) / ゆい
２つ聞きたいことがあります。
?@何故、1/2倍ではないのか。
?A-π/3でなくπ/3の理由。
上記の2点を教えてください。よろしくお願いします。
No.57120 - 2019/03/10(Sun) 05:00:44
☆ Re: / X
?@
θ/2=t
と置くと
θ=2t
また問題の関数は
y=cost
∴グラフ上の点の座標は
(2t,cost)
この点は
点(t,cost)
つまり、関数
y=cosx
上の点をy軸を基準としてx軸方向に
2倍引きのばした位置に移動させた点
となっています。

?A
数学Ｉの教科書、参考書でグラフの平行移動の項目
又は二次関数のグラフの平行移動の項目
を復習しましょう。
No.57121 - 2019/03/10(Sun) 05:47:19
★ (No Subject) / ゆい
私の立てた式です。
間違いでした。
何故ですか？
No.57117 - 2019/03/09(Sat) 23:38:26
☆ Re: / らすかる
a°=(π/180)aラジアンならば
ラジアンなのはaではなく右辺の(π/180)aですから
(π/180)aラジアン=-(4/3)πラジアン
となり、この式からa=-240と求まります。

そもそもa°=(π/180)aラジアンというのは
度をラジアンに直すのに都合が良い（aに代入すればよい）式なので、
ラジアンを度に直す場合はこの式の両辺に180/πを掛けた
(180/π)a°=aラジアン
という式で計算した方が早いです。
この式ならば素直にaに-(4/3)πを代入すれば求まります。
No.57118 - 2019/03/10(Sun) 00:27:05
★ (No Subject) / ゆい
お願いします。解き方を教えてください。
No.57116 - 2019/03/09(Sat) 22:53:13
☆ Re: / らすかる
∠DAB+∠BCD=180°なので∠DAB=45°です。

(1)
DからABに垂線DHを下ろすと△DAHはAH=DHの直角二等辺三角形なので
AH=DH=AD/√2=2
BH=AB-AH=1なのでBD=√(BH^2+DH^2)=√5

(2)
円の中心をOとすると∠DAB=45°から∠DOB=90°なので
△BDOはOB=ODの直角二等辺三角形
よってR=BD/√2=√10/2
No.57119 - 2019/03/10(Sun) 00:39:20
★ 相似？ / 数学にがなの年
（３）（４）の解答方法がよく分かりません。
よろしくお願いします。
No.57110 - 2019/03/09(Sat) 15:35:51
☆ Re: 相似？ / noname
相似です。
線分ABと線分EDの交点をFとおくと、△FBD∽△AED(理由は考えよう)
対応する辺で長さが分かっていないところに注目。
ADを求めて、角の2等分線の性質でFBが出せる。
No.57122 - 2019/03/10(Sun) 10:03:53
★ 相似？ / 数学にがなの年
（３）と（４）の問題の解答方法がよく分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.57109 - 2019/03/09(Sat) 15:33:58
☆ Re: 相似？ / らすかる
(3)
∠ADE=∠BDEからAE=BEなので△EABはAE=BEの直角二等辺三角形です。
よって5/√2=5√2/2(cm)
(4)
ABとCDの交点をFとするとCF=DF=12/5(cm)
CDを直径とする円を底面と考えて立体を二つの円錐に分けて
それぞれの体積を足すと
π(12/5)^2×AF÷3+π(12/5)^2×BF÷3
=π(12/5)^2×(AF+BF)÷3
=π(12/5)^2×5÷3
=48π/5(cm^3)
No.57113 - 2019/03/09(Sat) 16:16:30
☆ Re: 相似？ / 数学にがなの年
ありがとうございます。やっとすっきりしました！！
No.57114 - 2019/03/09(Sat) 16:35:08
★ 三角比 / カツオ
8番の問題がわかりません。
よろしくお願いします。
No.57104 - 2019/03/09(Sat) 04:40:01
☆ Re: 三角比 / X
方針を。

(1)
まず△BCDを底面と見て高さを求めることを考えます。

点Aから△BCDに下ろした垂線の足をHとすると、条件
から点Hは△BCDの重心になっています。
このことを使って線分BHの長さを求めれば、
△ABHに三平方の定理を用いることで
線分BHの長さ、つまり
正四面体ABCDの△BCDを底面と見たときの高さ
を求めることができます。

後は△BCDの面積が計算できれば、体積を
求めることができます。
(△BCDの面積が計算できないのであれば
教科書の三角比の項目を復習しましょう。)

(2)
これは
半径が分かっている内接円を持つ三角形の面積
を求める場合と似ています。

まず
四面体ABCDの体積は、点Oを頂点とする4つに
分割された四面体の体積の和に等しくなっている
ことに注意します。

今、点Oから正四面体ABCDの各面に垂線を
下ろすことを考えると、この垂線の長さ
は、分割された四面体の、正四面体ABCD
の各面を底面と見たときの高さになっており、
又、条件から問題の球の半径rと等しくなります。

正四面体ABCDの各面は合同ですので
これら各々の面積をSとすると
(四面体ABCDの体積)=4・{(1/3)rS}
=…(Sは(1)の過程で求められていますので…)
これが(1)の結果と等しくなることから
rについての方程式を立てます。

(3)
(2)の結果を使います。
No.57105 - 2019/03/09(Sat) 05:41:38
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