ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / やまて

△BHCと△BCAが相似まではわかるのですが、

その関係からなぜ

BC^2 = BH × AB　の式が導かれるのかがわかりません。

分かる方、解説ご教授いただけたら幸いです。
よろしくお願いいたします。

No.57873 - 2019/04/27(Sat) 11:18:27

☆ Re: 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / らすかる

相似からBC/AB=BH/BCなので
両辺にBC・ABを掛けてBC^2=BH・ABです。

No.57874 - 2019/04/27(Sat) 12:51:38

☆ Re: 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / やまて

ラスカル様

ありがとうございます。無事証明が完了できそうです。

No.57875 - 2019/04/27(Sat) 12:58:59

★ 因数分解について / 田中

x^3-12x+16 の因数分解について教えください。

x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4)

No.57869 - 2019/04/26(Fri) 20:26:12

☆ Re: 因数分解について / らすかる

x^3-12x+16はx=2のとき0なので(x-2)を因数にもつ
(x^3-12x+16)/(x-2)=x^2+2x-8
x^2+2x-8は普通に因数分解して(x-2)(x+4)なので
x^3-12x+16=(x-2)(x-2)(x+4)=(x-2)^2(x+4)

No.57870 - 2019/04/26(Fri) 22:07:32

☆ Re: 因数分解について / 田中

らすかる様、ありがとうございました。
自分でも解いて理解できました。

No.57872 - 2019/04/27(Sat) 05:24:13

☆ Re: 因数分解について / X

もう見ていないかもしれませんが別解を。

(与式)=x^3+8+8-12x=x^3+2^3+2^3-3・2・2・x
=(x+2+2)(x^2+2^2+2^2-2x-2x-4)
=(x+4)(x^2-4x+4)
=(x+4)(x-2)^2

No.57876 - 2019/04/27(Sat) 15:07:26

★ 角の3等分線問題 / けい

これといてほしいです。。
お願いします

No.57867 - 2019/04/26(Fri) 19:18:49

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

半直線AB上にAC'=ACとなるように点C'をとると、
頂角Aが0に近づくときCはC'に近づくから、
DはC'Bを2：1に内分した点D'に近づく。
AD'=(b+2c)/3なので、ADの長さは(b+2c)/3に近づく。

No.57868 - 2019/04/26(Fri) 19:32:19

☆ Re: 角の3等分線問題 / けい

2:1になるのは何故ですか？

No.57886 - 2019/04/27(Sat) 22:09:26

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

あ、ごめんなさい。問題をちょっと勘違いしました。
上の回答は無視して下さい。

No.57888 - 2019/04/28(Sun) 00:35:04

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

半直線AB上にAC'=ACとなるように点C'をとると、
頂角Aが0に近づくときCはC'に近づくから、
AD,AEとCC'の交点をD',E'とすると
AD'とAE'はAC=AC'=bに近づく。
よってC'D'：D'E'：E'Cは1：1：1に近づく。
CC'の三等分点をD',E'として作図すると
b,cの大小関係に関係なくAD=3bc/(b+2c)となるから、
ADの長さは3bc/(b+2c)に近づく。

# 今度は合っていると思いますが、
# 学習進行状況に合った解き方にしないとまずいかも知れません。

No.57891 - 2019/04/28(Sun) 10:04:28

☆ Re: 角の3等分線問題 / けい

1;1;1になってからAD=3bc/b+2c になる理由も書いていただけませんか？

No.57892 - 2019/04/28(Sun) 10:55:48

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

bとcを逆と勘違いし、ちょっと計算間違いをしていました。
間違いが多くてごめんなさい。

△ABCでAC＜ABとしてAB上にAC'=ACとなるように点C'をとり、
C'Cの三等分点をC'に近い方からD',E'として
AD',AE'とBCの交点をD,Eとすると、
CD：DB=2b：cになります。
（C',E'を通りADに平行な補助線を引くとわかります。）
従ってCD：DB→2b：cとなることから
AD'→b、D'D→CD={2b/(2b+c)}CB→{2b/(2b+c)}(c-b)なので
AD=AD'+D'D→b+{2b/(2b+c)}(c-b)=3bc/(2b+c)
となることがわかります。
b＞cのときも同様に作図して同じ式が得られます。

No.57893 - 2019/04/28(Sun) 11:18:57

★ (No Subject) / 翔太

大問4&5が分かりませんでした。この問題の解き方と答えをどなたか教えて下さい！

No.57858 - 2019/04/25(Thu) 23:08:27

☆ Re: / X

14
条件から水が作る立体の上面の円の半径は
(12+20)/2=16[cm]
よって、容器を作る元の円錐をC、容器を作るためにCから
切り取られた円錐をA,Aと水が作る立体とでできる円錐を
Bとすると、A,B,Cの相似比は
12:16:20=3:4:5
よってその体積比は
3^3:4^3:5^3=27:64:125
となるのでA,B,Cの体積はそれぞれ
27k,64k,125k(kは正の定数)
と置くことができます。
よって水の体積は
64k-27k=37k
容器の体積は
125k-27k=98k
となるので
37k/(98k)=37/98
により、求める倍率は
37/98倍
となります。

No.57862 - 2019/04/26(Fri) 06:20:15

☆ Re: / X

15
方針を。
(1)
(与式)=(△APQの面積):(△ABCの面積)
=…
(2)
(1)と同様な方針でまず
(四面体APQRの体積):(四面体APQDの体積)
を求めましょう。

((1)の方針を見ても分からないのであれば
その旨をアップして下さい。)

No.57863 - 2019/04/26(Fri) 06:27:46

☆ Re: / 翔太

詳しい解説ありがとうございます！

No.57865 - 2019/04/26(Fri) 18:50:24

★ (No Subject) / つくし

この問題がどうしても分かりません。太字の4と5です。解説と解答お願いします。

No.57856 - 2019/04/25(Thu) 23:00:40

☆ Re: / X

4
問題を見る限り、(2)が分からないと見ましたので
(2)の考え方についてヒントを。

(2)はNo.57858で質問されている14の問題と
方針が似ています。
No.57862の私の解説は理解されているようなので
それを参考にしてもう一度考えてみて下さい。

No.57866 - 2019/04/26(Fri) 18:59:08

★ [積分] 定積分と体積 / unknown

次の問題についてです。大人しくテキストに従っていれば、問題の次に貼ってある写真上部のような解法になると思うのですが、写真下部のような解法ではどのような式が出てくるのでしょうか。

一応、解法を説明しておきます。
?@底面の円の中心を原点として、図のように三軸を設定
?A(a,0,0)と(-a,0,0)の点を固定して(0,a,0)のみをz軸に対して平行になるように(0,a,a)まで移動（移動する点を仮に点Pとする）
?B点Pにおいてz=γすなわちP(0,a,γ)の時の断面積をf(γ)として定積分を用いて計算

実用性や難易度を考えるとこの解法は良いものとは言えないかもしれませんが、どうしても知りたいので教えていただきたいです。
まだ高3ですが、高校では習わないような内容が入っていても全く構いません。よろしくお願いします。

No.57849 - 2019/04/25(Thu) 22:00:42

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

写真2枚目です。

No.57850 - 2019/04/25(Thu) 22:03:34

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

すみません。写真1枚目が載っていませんでした。

No.57851 - 2019/04/25(Thu) 22:05:45

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

断面が斜めになるように（xy平面となす角が0度から45度になるように）変化させると積分できないという結論に至りました。それでは、私の解法を用いた場合、積分を使わないとなると何を用いることになるのでしょうか？それとも、それ以前にこの解法では解けないのでしょうか？

No.57860 - 2019/04/26(Fri) 00:56:01

★ (No Subject) / fly

太字の2番の(2)が分かりません。解説と答えを教えて下さい。

No.57845 - 2019/04/25(Thu) 20:54:53

☆ Re: / ＩＴ

AB側を底辺とし高さが共通な三角形の面積の比を考える

　△QSR=(1/2)△AQR より　QS=(1/2)AQ=a/2
　△SBC=(1/4)△ASC より　SB=(a+a/2)/4
　AB=AQ+QS+SB=a+a/2+(a+a/2)/4=15
　∴a= 計算は御自分でお願いします

No.57847 - 2019/04/25(Thu) 21:07:00

☆ Re: / fly

ありがとうございます！！

No.57853 - 2019/04/25(Thu) 22:44:51

★ 数B ベクトル / めろん

こんにちは。高校2年生です。本日初めて数Bの授業がありました。まず、⑴が分かりません。↑a+↑bと、↑a-↑bを教えて下さい🙇♀

No.57841 - 2019/04/25(Thu) 16:59:06

☆ Re: 数B ベクトル / X

問題の正八角形の対角線の交点をOとすると、条件から
↑a=↑OH-↑OA (A)
↑b=↑OB-↑OA (B)
↑OH・↑OB=0 (C) (∵)OH⊥OB
又
↑OH・↑OA=|↑OH||↑OA|cos∠AOH
=1/√2 (D)
同様に
↑OA・↑OB=1/√2 (E)

(A)-(B)より
↑a-↑b=↑OH-↑OB
∴|↑a-↑b|^2=|↑OH-↑OB|^2
=|↑OH|^2-2↑OH・↑OB+|↑OB|^2
これに(C)などを代入すると
|↑a-↑b|^2=2
∴|↑a-↑b|=√2
又、(A)+(B)より
↑a+↑b=↑OH+↑OB-2↑OA
∴|↑a+↑b|^2=|↑OH+↑OB-2↑OA|^2
=|↑OH|^2+|↑OB|^2+4|↑OA|^2
+2↑OH・↑OB-4↑OA・↑OB-4↑OH・↑OA
これに(C)(D)(E)などを代入すると
|↑a+↑b|^2=6-4√2
=6-2√(4・2)
∴|↑a+↑b|=√{6-2√(4・2)}
=2-√2

No.57842 - 2019/04/25(Thu) 17:49:53

☆ Re: 数B ベクトル / めろん

回答ありがとうございます！本当にごめんなさい。まだ掛け算を習っていないんです。足し算と引き算と単位ベクトルのことしか教わっていません。先にそれを書いておくべきでした。
掛け算を使わずに解く方法はありますか？

No.57846 - 2019/04/25(Thu) 21:04:28

☆ Re: 数B ベクトル / ＩＴ

三平方の定理より　|↑OB+↑OH|＝√2

↑a+↑b
=↑AB+↑AH
=(↑OB-↑OA)+(↑OH-↑OA)
=↑OB+↑OH-2↑OA
ここで↑OA=(↑OB+↑OH)/|↑OB+↑OH|=(↑OB+↑OH)/√2
よって
|↑a+↑b|
=|1-√2||↑OB+↑OH|
=|1-√2|√2
=2-√2

No.57848 - 2019/04/25(Thu) 21:58:09

☆ Re: 数B ベクトル / ＩＴ

↑a-↑b
=↑AB-↑AH
=(↑OB-↑OA)-(↑OH-↑OA) ※
=↑OB-↑OH　※　　　　　　　
=↑HB
三平方の定理より|↑HB|=√2

※の２行はなくてもいいですね。

No.57852 - 2019/04/25(Thu) 22:12:55

★ 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI

画像にある問題の（３）について教えて下さい。

（１）と（２）については計算できましたが（次のレスに計算過程を記した画像を載せます。もし間違いなどありましたら、ご指摘願います）、（３）はどう解けばよいか分からないでいます。
また、問題文にある、0<a<1という条件をどう考慮して計算すればよいかも分かりません。

解答と共に、その計算過程や考え方なども詳しく解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.57837 - 2019/04/25(Thu) 01:41:31

☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI

（１）の計算過程です。

No.57838 - 2019/04/25(Thu) 01:52:51

☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI

（２）の計算過程です。

No.57839 - 2019/04/25(Thu) 01:53:26

☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / X

(1)
計算自体に問題はありませんが
下から7行目の被積分関数全体
に括弧を付けましょう。

(2)
cosθ=t
と置く置換積分の計算で積分範囲の
変換をしていません。

(3)
S[n]=Σ[p=1～n]K[p](a)
と置くと
S[n]=Σ[p=1～n]∬[D](x^p)ydxdy
=∬[D]{Σ[p=1～n](x^p)y}dxdy
=∬[D]{x(1-x^n)/(1-x)}ydxdy (A)
ここでDにおいて
0≦x≦a＜1
であることから(A)より
∬[D]{x(1-a^n)/(1-x)}ydxdy≦S[n]≦∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
これより
(1-a^n)∬[D]{x/(1-x)}ydxdy≦S[n]≦∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
∴はさみうちの原理により
(与式)=lim[n→∞]S[n]=∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
後はこの二重積分を計算します。

No.57840 - 2019/04/25(Thu) 06:08:39

★ 線形代数行列幾何学的意味 / かるま

問題が理解できません
お力添えをお願いします

No.57833 - 2019/04/24(Wed) 23:26:25

☆ Re: 線形代数行列幾何学的意味 / かるま

> 問題が理解できません
> お力添えをお願いします
大学1回です

No.57834 - 2019/04/24(Wed) 23:27:06

☆ Re: 線形代数行列幾何学的意味 / ＩＴ

(1) まずは　A(x,y)を計算してみてください。

(x,y)は縦並びです。

No.57835 - 2019/04/24(Wed) 23:32:24

☆ Re: 線形代数行列幾何学的意味 / ＩＴ

「回転移動　行列」で検索するといろいろありますが、下記など参考にされるといいかも。
（なお　1/√2 = cos(π/4)=sin(π/4) などに注意）

　少なくとも行列の計算は理解し自力で出来ないと前に進めないと思います。

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html

No.57836 - 2019/04/25(Thu) 01:04:35

★ 積分 / ///

こんにちは。とある高校2年生です。
今日の授業で分からないところがあったので質問させて頂きます。画像の問題なんですが、次の授業までに解けるようにしておけ、と先生が言っていたのですが、いまいちよく分かりません。画像のように3x^2+2x+3をθとおき、ヒントを使うらしいのですが、どのように解けばよいのでしょうか？お願いいたします。

No.57827 - 2019/04/24(Wed) 17:30:01

☆ Re: 積分 / ast

積分じゃなくて微分する問題じゃないの?

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=57704
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=57612

# にしてもころころ学年が変わる人だな……

No.57828 - 2019/04/24(Wed) 18:12:47

☆ Re: 積分 / GandB

> # にしてもころころ学年が変わる人だな……
wwwww

wolframaに行けば

∫cos^3(3x^2+2x+3)dx

は大変厄介な積分だということがわかる。高校2年に解けという高校数学の教師がいるはずがない。

No.57829 - 2019/04/24(Wed) 19:03:09

★ 微分について / 田中

画像のグラフより、
曲線f(x)=x^3、接線 g(x)=12x-16 を引いているのですが
L(x) = f(x) - g(x) = x^3-12x+16
曲線と接線を引くとどうなるのですか？
引く意味がわかりません。引くとどうなるのですか？

No.57823 - 2019/04/24(Wed) 14:51:37

☆ Re: 微分について / 田中

画像追加しました

No.57824 - 2019/04/24(Wed) 14:55:56

☆ Re: 微分について / らすかる

L(x)は、xの値に対して
f(x)がg(x)よりどれだけ上にあるかを示す関数になります。
つまり縦方向での「幅」（ただしf(x)の方が下のとき負）です。
「曲線と接線の間隔を表現する関数」と書かれていますね。
実際にL(x)のグラフを（重ねて）書いてみればわかりやすいと思います。

No.57825 - 2019/04/24(Wed) 14:56:46

★ (No Subject) / 135

三角形ABCは鋭角三角形でありAB=6,BC=4√6,sinBAC=2√2/3,である。三角形ABCの外接円の中心をOとしOAとBCの交点をDとする。
sinACB=√3/3
CA=10
cosCBA=√6/9
sinBAO,sinOACの値は順に√6/3,√6/9
BD=？(18√6/7)

最後のBD=？の値が出せなくて困っています。解説よろしくお願いします

No.57821 - 2019/04/24(Wed) 14:17:07

☆ Re: / らすかる

sin∠ADB=sin(∠BAO+∠CBA)
=sin∠BAOcos∠CBA+cos∠BAOsin∠CBA
=(√6/3)(√6/9)+(1/√3)(5√3/9)
=7/9
AB/sin∠ADB=BD/sin∠BAOから
BD=ABsin∠BAO/sin∠ADB
=6(√6/3)/(7/9)
=18√6/7

No.57822 - 2019/04/24(Wed) 14:38:34

★ 積分 / ///

こんにちは。とある高校2年生です。
この前の授業で積分のところを学習したのですが、画像の(c)と(d)の解き方がいまいち分かりません。お願いいたします。

No.57819 - 2019/04/24(Wed) 12:28:14

☆ Re: 積分 / らすかる

(c)
∫{e^x-e^(-x)}/{e^x+e^(-x)}dx
=∫{e^x+e^(-x)}'/{e^x+e^(-x)}dx
=log|e^x+e^(-x)|+C
=log(e^x+e^(-x))+C

(d)
√(x+1)=tとおくとx+1=t^2,dx=2tdt
∫1/{(x-1)√(x+1)}dx
=∫2/(t^2-2)dt
=(1/√2)∫{1/(t-√2)-1/(t+√2)}dt
=(1/√2){log|t-√2|-log|t+√2|}+C
=log|(√(x+1)-√2)/(√(x+1)+√2)|/√2+C
=log|1-2√2/(√(x+1)+√2)|/√2+C
=log|1-4/(√(2x+2)+2)|/√2+C

No.57820 - 2019/04/24(Wed) 13:11:16

☆ Re: 積分 / ///

なるほど❗それは思い付きませんでした。ありがとうございました。

No.57826 - 2019/04/24(Wed) 17:19:11

★ 二次方程式 / 理

この問題の解答の最終行にある、実数解x=...とありますが、どうやって求めるのでしょうか

No.57814 - 2019/04/23(Tue) 23:10:35

☆ Re: 二次方程式 / ＩＴ

実数解をαとしてあり、
α＝３でないときは　k＝1で、・・・（不適）
α＝３のときは、・・・（適）

ということが調べてありますから　実数解は３ですね。

No.57817 - 2019/04/23(Tue) 23:25:18

☆ Re: 二次方程式 / 理

実数解αとしてましたね。
ありがとうございました。

No.57818 - 2019/04/24(Wed) 07:02:20