ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 太田

x=2sinθcosθ(0°<θ<90°)のとき、式√1+x +√1-xを簡単にせよ。
という問題で、
x=2sinθcosθをx=sin2θ(0°<2θ<180°)にして、xの範囲は0<x<1だから、式の√はそのまま外せると思ったのですが、違うみたいで分かりません。
1+x=(sinθ+cosθ)^2みたいな解き方をしているみたいです。

No.57897 - 2019/04/28(Sun) 15:14:41

☆ Re: / らすかる

> 式の√はそのまま外せると思った
「そのまま外す」の意味がよくわかりませんが、
√の中身を二乗の形にしないと外せませんね。
1+x=1+2sinθcosθ=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ
=(sinθ+cosθ)^2
1-x=1-2sinθcosθ=(sinθ)^2+(cosθ)^2-2sinθcosθ
=(sinθ-cosθ)^2
√(1+x)+√(1-x)
=√{(sinθ+cosθ)^2}+√{(sinθ-cosθ)^2}
=|sinθ+cosθ|+|sinθ-cosθ|
sinθ+cosθ＞0
0°＜θ＜45°のときsinθ＜cosθすなわちsinθ-cosθ＜0なので
√(1+x)+√(1-x)=sinθ+cosθ-(sinθ-cosθ)=2cosθ
45°≦θ＜90°のときsinθ≧cosθすなわちsinθ-cosθ≧0なので
√(1+x)+√(1-x)=sinθ+cosθ+(sinθ-cosθ)=2sinθ
従って
√(1+x)+√(1-x)=
2cosθ(0°＜θ＜45°)
2sinθ(45°≦θ＜90°)

No.57898 - 2019/04/28(Sun) 15:44:39

☆ Re: / 太田

0<x<1の範囲ならば、√1+xも√1-xも常に正だからという意味です。
またx=sin2θにはしないのでしょうか？

No.57945 - 2019/04/30(Tue) 13:59:51

☆ Re: / らすかる

> 0<x<1の範囲ならば、√1+xも√1-xも常に正だからという意味です。
普通√の中身は正で、もし負ならば虚数単位が出てくることになりますが、
「そのまま外す」というのは「虚数単位を付けなくて良い」という意味ですか？
まだ「そのまま外す」の真意がわかりません。
まさか√(1-x)のルートだけを削除して1-xにするという意味ではないですよね？

> またx=sin2θにはしないのでしょうか？
その後の計算ができるならばしてもかまいませんが、
x=sin2θとした後の計算はどうするのですか？

No.57954 - 2019/04/30(Tue) 18:10:40

☆ Re: / 太田

まさかの意味で言っていました。ありがとうございます。

No.57971 - 2019/05/01(Wed) 14:19:42

★ (No Subject) / ぴくみん

xy平面上の単位円上に(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)をとる。これらの4点から単位円周上および内部を動く点pまでの4つの線分の長さの積の最大値と和の最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.57895 - 2019/04/28(Sun) 14:21:35

☆ Re: / らすかる

p(x,y)とすると
(長さの積)
=√{{(x-1)^2+y^2}{x^2+(y-1)^2}{(x+1)^2+y^2}{x^2+(y+1)^2}}
=√{{(x^2+y^2)^2+1}^2-4(x^2-y^2)^2}
条件からx^2+y^2≦1なので、これが最大になるのは
x^2+y^2=1かつx^2-y^2=0すなわちx=±1/√2,y=±1/√2のときで
長さの積の最大値は√{(1+1)^2-4(0)^2}=2

和の最小値は、
((1,0)から点pまでの距離)+(点pから(-1,0)までの距離)
は点pがx軸上にあるとき最小で2
((0,1)から点pまでの距離)+(点pから(0,-1)までの距離)
も同様なので、和の最小値は点pが原点のときで4

# 追記や返信は、「返信」を押して書きましょう。
# 毎回新規投稿にするとバラバラになってしまいます。

No.57899 - 2019/04/28(Sun) 16:01:34

★ (No Subject) / ゆい橋

この問題なのですが、(2)の印をつけたところが何故そうなるのかわかりません。詳しく教えてください！

No.57889 - 2019/04/28(Sun) 07:20:14

☆ Re: / ＩＴ

その行の前までは分かるのですね？

その１行に３つの等式がありますが　どれが分かりませんか？

No.57890 - 2019/04/28(Sun) 09:14:05

☆ Re: / ゆい橋

その一行すべてです。

No.57941 - 2019/04/30(Tue) 12:46:29

★ 無理不等式 / 席

「両辺0以上なので二乗しても同値より～」「両辺二乗のもとで二乗すれば同値」という文言を等式で見たのですが、これは不等式ではあてはまらない、という理解でよいのでしょうか？

√(2x-x^2)>√（2x-1)を解けという問題で、両辺√だから０以上で二乗しても同値のはずなのになぜか2x-1>0も付け加えないといけないとあり、と疑問に思いました。

よろしくおねがいします

No.57882 - 2019/04/27(Sat) 20:47:31

☆ Re: 無理不等式 / ＩＴ

√(2x-x^2)>√（2x-1) には,
必要条件として　2x-x^2≧0かつ2x-1≧0を内包しています。

No.57885 - 2019/04/27(Sat) 21:18:45

★ 条件つきの等式の証明 / 耐水性

(2)の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.57877 - 2019/04/27(Sat) 15:33:08

☆ Re: 条件つきの等式の証明 / ＩＴ

いろいろあると思いますが
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0
∴a^2+b^2+c^2＝-(2ab+2bc+2ca)　…?@

証明すべき等式の左辺を展開する。
?@を代入する。

No.57878 - 2019/04/27(Sat) 15:50:24

☆ Re: 条件つきの等式の証明 / ＩＴ

あるいは
a+b+c=0よりb+c=-a などを代入し　左辺＝a^2+b^2+c^2
よって左辺-右辺＝a^2+b^2+c^2+2bc+2ca+2ab＝(a+b+c)^2=0

No.57879 - 2019/04/27(Sat) 15:59:57

☆ Re: 条件つきの等式の証明 / 耐水性

左辺-右辺で0になれば等式の証明ができる、というのをすっかり忘れていました…ありがとうございます！

No.57880 - 2019/04/27(Sat) 16:05:36

☆ Re: 条件つきの等式の証明 / らすかる

1文字消去するという方法もありますね。
a+b+c=0からb+c=-a,c+a=-bなので
(左辺)=a^2+b^2+(a+b)^2=2(a^2+ab+b^2)
またa+b+c=0からc=-(a+b)なので
(右辺)=-2(bc+ca+ab)=-2{(a+b)c+ab}
=-2{-(a+b)^2+ab}
=2(a^2+ab+b^2)
∴(左辺)=(右辺)

No.57881 - 2019/04/27(Sat) 18:21:44

★ 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / やまて

△BHCと△BCAが相似まではわかるのですが、

その関係からなぜ

BC^2 = BH × AB　の式が導かれるのかがわかりません。

分かる方、解説ご教授いただけたら幸いです。
よろしくお願いいたします。

No.57873 - 2019/04/27(Sat) 11:18:27

☆ Re: 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / らすかる

相似からBC/AB=BH/BCなので
両辺にBC・ABを掛けてBC^2=BH・ABです。

No.57874 - 2019/04/27(Sat) 12:51:38

☆ Re: 三角形の相似に着目したピタゴラスの定理の証明の途中式について / やまて

ラスカル様

ありがとうございます。無事証明が完了できそうです。

No.57875 - 2019/04/27(Sat) 12:58:59

★ 因数分解について / 田中

x^3-12x+16 の因数分解について教えください。

x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4)

No.57869 - 2019/04/26(Fri) 20:26:12

☆ Re: 因数分解について / らすかる

x^3-12x+16はx=2のとき0なので(x-2)を因数にもつ
(x^3-12x+16)/(x-2)=x^2+2x-8
x^2+2x-8は普通に因数分解して(x-2)(x+4)なので
x^3-12x+16=(x-2)(x-2)(x+4)=(x-2)^2(x+4)

No.57870 - 2019/04/26(Fri) 22:07:32

☆ Re: 因数分解について / 田中

らすかる様、ありがとうございました。
自分でも解いて理解できました。

No.57872 - 2019/04/27(Sat) 05:24:13

☆ Re: 因数分解について / X

もう見ていないかもしれませんが別解を。

(与式)=x^3+8+8-12x=x^3+2^3+2^3-3・2・2・x
=(x+2+2)(x^2+2^2+2^2-2x-2x-4)
=(x+4)(x^2-4x+4)
=(x+4)(x-2)^2

No.57876 - 2019/04/27(Sat) 15:07:26

★ 角の3等分線問題 / けい

これといてほしいです。。
お願いします

No.57867 - 2019/04/26(Fri) 19:18:49

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

半直線AB上にAC'=ACとなるように点C'をとると、
頂角Aが0に近づくときCはC'に近づくから、
DはC'Bを2：1に内分した点D'に近づく。
AD'=(b+2c)/3なので、ADの長さは(b+2c)/3に近づく。

No.57868 - 2019/04/26(Fri) 19:32:19

☆ Re: 角の3等分線問題 / けい

2:1になるのは何故ですか？

No.57886 - 2019/04/27(Sat) 22:09:26

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

あ、ごめんなさい。問題をちょっと勘違いしました。
上の回答は無視して下さい。

No.57888 - 2019/04/28(Sun) 00:35:04

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

半直線AB上にAC'=ACとなるように点C'をとると、
頂角Aが0に近づくときCはC'に近づくから、
AD,AEとCC'の交点をD',E'とすると
AD'とAE'はAC=AC'=bに近づく。
よってC'D'：D'E'：E'Cは1：1：1に近づく。
CC'の三等分点をD',E'として作図すると
b,cの大小関係に関係なくAD=3bc/(b+2c)となるから、
ADの長さは3bc/(b+2c)に近づく。

# 今度は合っていると思いますが、
# 学習進行状況に合った解き方にしないとまずいかも知れません。

No.57891 - 2019/04/28(Sun) 10:04:28

☆ Re: 角の3等分線問題 / けい

1;1;1になってからAD=3bc/b+2c になる理由も書いていただけませんか？

No.57892 - 2019/04/28(Sun) 10:55:48

☆ Re: 角の3等分線問題 / らすかる

bとcを逆と勘違いし、ちょっと計算間違いをしていました。
間違いが多くてごめんなさい。

△ABCでAC＜ABとしてAB上にAC'=ACとなるように点C'をとり、
C'Cの三等分点をC'に近い方からD',E'として
AD',AE'とBCの交点をD,Eとすると、
CD：DB=2b：cになります。
（C',E'を通りADに平行な補助線を引くとわかります。）
従ってCD：DB→2b：cとなることから
AD'→b、D'D→CD={2b/(2b+c)}CB→{2b/(2b+c)}(c-b)なので
AD=AD'+D'D→b+{2b/(2b+c)}(c-b)=3bc/(2b+c)
となることがわかります。
b＞cのときも同様に作図して同じ式が得られます。

No.57893 - 2019/04/28(Sun) 11:18:57

★ (No Subject) / 翔太

大問4&5が分かりませんでした。この問題の解き方と答えをどなたか教えて下さい！

No.57858 - 2019/04/25(Thu) 23:08:27

☆ Re: / X

14
条件から水が作る立体の上面の円の半径は
(12+20)/2=16[cm]
よって、容器を作る元の円錐をC、容器を作るためにCから
切り取られた円錐をA,Aと水が作る立体とでできる円錐を
Bとすると、A,B,Cの相似比は
12:16:20=3:4:5
よってその体積比は
3^3:4^3:5^3=27:64:125
となるのでA,B,Cの体積はそれぞれ
27k,64k,125k(kは正の定数)
と置くことができます。
よって水の体積は
64k-27k=37k
容器の体積は
125k-27k=98k
となるので
37k/(98k)=37/98
により、求める倍率は
37/98倍
となります。

No.57862 - 2019/04/26(Fri) 06:20:15

☆ Re: / X

15
方針を。
(1)
(与式)=(△APQの面積):(△ABCの面積)
=…
(2)
(1)と同様な方針でまず
(四面体APQRの体積):(四面体APQDの体積)
を求めましょう。

((1)の方針を見ても分からないのであれば
その旨をアップして下さい。)

No.57863 - 2019/04/26(Fri) 06:27:46

☆ Re: / 翔太

詳しい解説ありがとうございます！

No.57865 - 2019/04/26(Fri) 18:50:24

★ (No Subject) / つくし

この問題がどうしても分かりません。太字の4と5です。解説と解答お願いします。

No.57856 - 2019/04/25(Thu) 23:00:40

☆ Re: / X

4
問題を見る限り、(2)が分からないと見ましたので
(2)の考え方についてヒントを。

(2)はNo.57858で質問されている14の問題と
方針が似ています。
No.57862の私の解説は理解されているようなので
それを参考にしてもう一度考えてみて下さい。

No.57866 - 2019/04/26(Fri) 18:59:08

★ [積分] 定積分と体積 / unknown

次の問題についてです。大人しくテキストに従っていれば、問題の次に貼ってある写真上部のような解法になると思うのですが、写真下部のような解法ではどのような式が出てくるのでしょうか。

一応、解法を説明しておきます。
?@底面の円の中心を原点として、図のように三軸を設定
?A(a,0,0)と(-a,0,0)の点を固定して(0,a,0)のみをz軸に対して平行になるように(0,a,a)まで移動（移動する点を仮に点Pとする）
?B点Pにおいてz=γすなわちP(0,a,γ)の時の断面積をf(γ)として定積分を用いて計算

実用性や難易度を考えるとこの解法は良いものとは言えないかもしれませんが、どうしても知りたいので教えていただきたいです。
まだ高3ですが、高校では習わないような内容が入っていても全く構いません。よろしくお願いします。

No.57849 - 2019/04/25(Thu) 22:00:42

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

写真2枚目です。

No.57850 - 2019/04/25(Thu) 22:03:34

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

すみません。写真1枚目が載っていませんでした。

No.57851 - 2019/04/25(Thu) 22:05:45

☆ Re: [積分] 定積分と体積 / unknown

断面が斜めになるように（xy平面となす角が0度から45度になるように）変化させると積分できないという結論に至りました。それでは、私の解法を用いた場合、積分を使わないとなると何を用いることになるのでしょうか？それとも、それ以前にこの解法では解けないのでしょうか？

No.57860 - 2019/04/26(Fri) 00:56:01

★ (No Subject) / fly

太字の2番の(2)が分かりません。解説と答えを教えて下さい。

No.57845 - 2019/04/25(Thu) 20:54:53

☆ Re: / ＩＴ

AB側を底辺とし高さが共通な三角形の面積の比を考える

　△QSR=(1/2)△AQR より　QS=(1/2)AQ=a/2
　△SBC=(1/4)△ASC より　SB=(a+a/2)/4
　AB=AQ+QS+SB=a+a/2+(a+a/2)/4=15
　∴a= 計算は御自分でお願いします

No.57847 - 2019/04/25(Thu) 21:07:00

☆ Re: / fly

ありがとうございます！！

No.57853 - 2019/04/25(Thu) 22:44:51

★ 数B ベクトル / めろん

こんにちは。高校2年生です。本日初めて数Bの授業がありました。まず、⑴が分かりません。↑a+↑bと、↑a-↑bを教えて下さい🙇♀

No.57841 - 2019/04/25(Thu) 16:59:06

☆ Re: 数B ベクトル / X

問題の正八角形の対角線の交点をOとすると、条件から
↑a=↑OH-↑OA (A)
↑b=↑OB-↑OA (B)
↑OH・↑OB=0 (C) (∵)OH⊥OB
又
↑OH・↑OA=|↑OH||↑OA|cos∠AOH
=1/√2 (D)
同様に
↑OA・↑OB=1/√2 (E)

(A)-(B)より
↑a-↑b=↑OH-↑OB
∴|↑a-↑b|^2=|↑OH-↑OB|^2
=|↑OH|^2-2↑OH・↑OB+|↑OB|^2
これに(C)などを代入すると
|↑a-↑b|^2=2
∴|↑a-↑b|=√2
又、(A)+(B)より
↑a+↑b=↑OH+↑OB-2↑OA
∴|↑a+↑b|^2=|↑OH+↑OB-2↑OA|^2
=|↑OH|^2+|↑OB|^2+4|↑OA|^2
+2↑OH・↑OB-4↑OA・↑OB-4↑OH・↑OA
これに(C)(D)(E)などを代入すると
|↑a+↑b|^2=6-4√2
=6-2√(4・2)
∴|↑a+↑b|=√{6-2√(4・2)}
=2-√2

No.57842 - 2019/04/25(Thu) 17:49:53

☆ Re: 数B ベクトル / めろん

回答ありがとうございます！本当にごめんなさい。まだ掛け算を習っていないんです。足し算と引き算と単位ベクトルのことしか教わっていません。先にそれを書いておくべきでした。
掛け算を使わずに解く方法はありますか？

No.57846 - 2019/04/25(Thu) 21:04:28

☆ Re: 数B ベクトル / ＩＴ

三平方の定理より　|↑OB+↑OH|＝√2

↑a+↑b
=↑AB+↑AH
=(↑OB-↑OA)+(↑OH-↑OA)
=↑OB+↑OH-2↑OA
ここで↑OA=(↑OB+↑OH)/|↑OB+↑OH|=(↑OB+↑OH)/√2
よって
|↑a+↑b|
=|1-√2||↑OB+↑OH|
=|1-√2|√2
=2-√2

No.57848 - 2019/04/25(Thu) 21:58:09

☆ Re: 数B ベクトル / ＩＴ

↑a-↑b
=↑AB-↑AH
=(↑OB-↑OA)-(↑OH-↑OA) ※
=↑OB-↑OH　※　　　　　　　
=↑HB
三平方の定理より|↑HB|=√2

※の２行はなくてもいいですね。

No.57852 - 2019/04/25(Thu) 22:12:55