ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ グリーンの公式 / 初心者

平面でのグリーンの公式に関して、笠原微積分には画像の形で書かれていますが、wikiでは

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA …
のような形で書かれています。
このような違いはどこで生じているのですか？

No.57712 - 2019/04/18(Thu) 12:26:17

☆ Re: グリーンの公式 / 初心者

画像をつけ忘れました

No.57713 - 2019/04/18(Thu) 12:29:07

☆ Re: グリーンの公式 / 関数電卓

f と g の間の＋と－の違いを気にされているのであれば、どちらでもよいことでしょう。
それぞれ、等式として左右両辺が等しいと主張しているだけですし、一方の g を他方で－g に置き換えれば済むことですから…

No.57714 - 2019/04/18(Thu) 16:43:16

★ (No Subject) / ///

画像の問題4.のa,b,cはそれぞれどのような答えになりますか？お願いいたします。

No.57704 - 2019/04/17(Wed) 22:46:27

☆ Re: / X

単に与えられたUに対する極限を求める問題ですね。
条件からN,h,k[B]は正の定数であることに注意すれば
計算は容易です。

(a)
νは周波数ですので恐らく
ν→0はν→+0の誤植ですね。
f(x)=e^(hx/(k[B]T))
とすると
f'(x)={h/(k[B]T)}e^(hx/(k[B]T))
∴lim[ν→+0]U=Nh/f'(0)=Nk[B]T
但し、誤植でないとすれば
lim[ν→-0]U
は定義できませんので
lim[ν→0]U
は存在しない、ということになります。

(b)
lim[x→∞]x/e^x=0
(証明は省略します)
∴lim[ν→∞]U=0
となります。

(c)
Tは絶対温度ですので
T→0
は恐らく
T→+0
の誤植ですね。
lim[T→+0]U=0
となります。
但し、誤植でないのであれば
lim[T→-0]U
は定義できませんので
lim[T→0]U
は存在しない、ということになります。

No.57708 - 2019/04/18(Thu) 06:16:15

★ 高校数学 / ran

この問題の解答がなくて困ってます。

解答宜しくおねがいします。

No.57701 - 2019/04/17(Wed) 21:46:38

☆ Re: 高校数学 / ＩＴ

f(x)の次数をnとする。

n≧2だとすると
　f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+...+ a[0],a[n]≠0とおける。
　g(x)のx^nの係数x^(n-1) の係数が常に０になることは容易に分かるのでx^(n-2) の係数を調べる。

　g(x)のx^(n-2) の係数=n(n-1)a[n]+2010n(n-1)a[n]=2011n(n-1)a[n]≠0となる。
　これはg(x)=0(恒等式) に反する。
したがってf(x)は1次以下。　

＃後は簡単だと思います。
＃なお途中計算があっているか確認してください。

No.57706 - 2019/04/17(Wed) 23:03:45

★ 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

画像の問題のシャーペンで囲った部分を自分で頑張って調べました。

極限の基本事項を抑えたうえで、以下のことがわかりました。

・limf(x)の式において、f(x)が収束しないとき(正または負の無限大に発散するとき)、極限値は求められない。

・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0でない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。

ここで疑問です。

0/0の極限の不定形は、極限値を求められるということになります。

どういうことでしょうか。

色々調べたら、「数学では、分母が０になった場合は分子も０にならないといけません。」と書いてありました。

それはなぜ？

どこもかしこも言葉を濁しててよく理解できません。
教えてください。

しかし、

No.57696 - 2019/04/17(Wed) 21:14:16

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

上の「しかし」は無視してください。
なぜか縦に画像がなっちゃいます。

No.57697 - 2019/04/17(Wed) 21:16:43

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / X

>>以下のことがわかりました。
とありますが
＞＞・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0で
＞＞ない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。
は本当に理解できていますか？

No.57698 - 2019/04/17(Wed) 21:25:33

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

> >>以下のことがわかりました。
> とありますが
> ＞＞・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0で
> ＞＞ない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。
> は本当に理解できていますか？

完璧に理解していません。理解したというより、求められないものは求められないとそう思うようにした、って感じです。数IIIはやってないので数IIの範囲で、簡単に理解できればいいかなとおもっています。このままだとこの問題を丸暗記することになります

No.57709 - 2019/04/18(Thu) 10:22:00

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

>lim(x→0) k/xで、kが0でない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。

これはあってますよね？
実際、図をかいてみると、k/xは際限なく大きくなるか、小さくなるかで、ある値に収束することはないなぁと感覚ですが、わかります。

教科書に書いてる基本事項は一応抑えました。

No.57710 - 2019/04/18(Thu) 10:25:03

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

すみません、こちらのサイトの説明で解決しました。
ご協力ありがとうございました。

http://blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/archives/50855422.html

No.57711 - 2019/04/18(Thu) 12:11:31

★ 複素数の三角不等式 / yukimi

複素数z、wに対して、│z+w│≦│z│+│w│が成り立つことを示せ。

z=a+bi、w=c+diとおき、│z+w│の2乗と(│z│+│w│)の2乗を比べます。

左辺の2乗はaの2乗+bの2乗+cの2乗+dの2乗+2ac+2bd

右辺の2乗はaの2乗+bの2乗+cの2乗+dの2乗+2√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}

結局、ac+bd≦√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}を示すことになります。ここまではわかりました。

ここから先なんですが、解答では両辺の2じのひきざんをしてます。ここがわからないんですが、左辺は正とは限らないのに、どうして2乗して比べていいんでしょうか？

No.57695 - 2019/04/17(Wed) 20:27:33

☆ Re: 複素数の三角不等式 / X

左辺が0又は負のときは
>>ac+bd≦√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}
の成立は明らかだからです。
但し、その辺のこと(つまり左辺が正のときにも
成立することを証明する、ということ)
は証明の過程にきちんと書かないといけませんね。

No.57700 - 2019/04/17(Wed) 21:30:14

☆ Re: 複素数の三角不等式 / yukimi

ありがとうございました。助かりました。

No.57720 - 2019/04/18(Thu) 22:13:32

★ うーん、よくわからない解き方 / 青チャート

1枚目の画像の問題は、自分で正答を導くことはできるのですが、解説がよくわかりません。解説の意味を知りたいです。

2枚目の画像の赤い波線をひいたところが三箇所ありますが、この三箇所の説明をしていただきますか？

なおわたしは、

1)2枚のカードが同じ数同士の確率
2)2枚のカードが1～3しかなくて、互いに数字が異なる確率
3)2枚のカードが1と0の確率

1-｛(1)+(2)+(3)｝で正答の11/15を求めました。

No.57688 - 2019/04/17(Wed) 16:36:33

☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / 青チャート

こちらが解説です。

No.57689 - 2019/04/17(Wed) 16:37:15

☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / らすかる

「b=0であるもの」というのは「1枚のカードが0である場合」ですから、
同じ数が書かれたカードは区別するものとして
カードを0,1,2a,2b,3a,3b,3c,4a,4b,4c,4d,5a,5b,5c,5d,5eとすると
他の1枚が1となるのは、(1,0)の1通り
他の1枚が2となるのは、(2a,0)と(2b,0)の2通り
他の1枚が3となるのは、(3a,0)と(3b,0)と(3c,0)の3通り
他の1枚が4となるのは、(4a,0)と(4b,0)と(4c,0)と(4d,0)の4通り
他の1枚が5となるのは、(5a,0)と(5b,0)と(5c,0)と(5d,0)と(5e,0)の5通り
これをまとめると
他の1枚がaとなるのはa通り
ですから、「b=0であるものはa通り」です。

「a＞bであるもの」は、
例えばa=4,b=2ならば
(4a,2a),(4a,2b),(4b,2a),(4b,2b),(4c,2a),(4c,2b),(4d,2a),(4d,2b)
のように4×2通り、すなわちab通りです。

「a=bであるもの」は、
例えばa=4ならば
(4a,4b),(4a,4c),(4a,4d),(4b,4c),(4b,4d),(4c,4d)
のように数がaであるa枚のカードから2枚選ぶ組合せですから
aC2通りとなります。

No.57691 - 2019/04/17(Wed) 17:02:22

☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / 青チャート

全て解決しました。ありがとうございます！

数字が大きくなって数え上げが難しくなったら使えそうな解法ですね。勉強になりました。

No.57694 - 2019/04/17(Wed) 18:41:58

★ (No Subject) / ///

1.の問題なんですが何を問うている問題でしょうか？

No.57684 - 2019/04/17(Wed) 01:35:09

☆ Re: / らすかる

次の二項定理の公式を使うことにより、微分の定義に従って関数y=x^n（nは整数）の導関数を求めよ。
だと思います。

No.57685 - 2019/04/17(Wed) 04:34:24

☆ Re: / ///

おこがましいのですが、一通りの解説をお願いできますか？お願いいたします。

No.57692 - 2019/04/17(Wed) 18:06:08

☆ Re: / ヨッシー

Δx を dx と置き換えると、
微分の定義は　lim[dx→0]{f(x+dx)－f(x)}/dx であるので、
これに、f(x)＝x^n を適用します。
　f(x+dx)＝(x＋dx)^n
これに、上の２項定理の式を適用し、
　f(x) を引く
　dx で割る
　dx を 0 に飛ばす
で出来上がりです。

No.57693 - 2019/04/17(Wed) 18:20:07

★ 高次の導関数について / けいおん

以下の問題に疑問を持ちました。
これは
「n次の導関数」
ではありませんよね？だとすると、元の関数の項の数がよく分からなくなると思うのですが・・・

No.57682 - 2019/04/16(Tue) 18:28:28

☆ Re: 高次の導関数について / らすかる

元の関数とは？

No.57683 - 2019/04/16(Tue) 19:39:50

☆ Re: 高次の導関数について / けいおん

>> らすかるさん
この画像の関数です。
この関数の高次の導関数を求めよという問題です；；

No.57717 - 2019/04/18(Thu) 17:55:29

☆ Re: 高次の導関数について / らすかる

第m次導関数を求めよ、という意味ならば
元の関数がa[-1]/x+Σ[k=0～n]a[k]x^kなので、
各項をm回微分することにより
m≦nのとき
(-1)^m・m!/x^(m+1)+Σ[k=0～n-m](m+k)Pm・a[m+k]x^k
m＞nのとき
(-1)^m・m!/x^(m+1)
となりますね。

> 元の関数の項の数がよく分からなくなると思うのですが・・・
k次の項はk+1回微分すれば消えますので、
項の数が変わる（減る）のは当然です。

No.57735 - 2019/04/19(Fri) 07:22:18

★ 極方程式 / ひかり

極方程式r=sin2θの表す曲線の概形を描け。

解答に、

sin2(θ+π)=sin2θが成り立つから、曲線のπ≦θ≦2πの範囲の部分は0≦θ≦πの範囲の部分と原点に関して対称である。

とあるのですが、この部分がなぜそう言えるのかがわからないです。わかりやすく教えてください！

No.57674 - 2019/04/15(Mon) 20:56:02

☆ Re: 極方程式 / 関数電卓

　r_Q＝sin2(θ＋π)＝sin2θ＝r_P
ですから、Q(θ＋π) は P(θ) と原点から等距離で P の反対側 (θ＋π)、すなわち 原点について対称の位置 にあることになります。
下の図でご理解下さいますでしょうか？

No.57678 - 2019/04/15(Mon) 21:39:52

☆ Re: 極方程式 / ひかり

回答ありがとうございます。

rP=f(θ)、rQ=f(θ+π)とします。

rPは始線から測った角度がのときの極からの長さがf(θ)ということで、rQは始線から測った角度がπ+θのときの極からの長さがf(θ+π)ということで、rPとrQは原点に関して反対側にあり、rP=rQなので、極からの長さが等しいことを意味し、以上からrPとrQは原点対称になるということでしょうか？

No.57721 - 2019/04/18(Thu) 22:30:27

☆ Re: 極方程式 / 関数電卓

はい、その通りです。

No.57723 - 2019/04/18(Thu) 23:19:05

★ 動点の最短経路 / PON

画像にある問題の解き方を教えて下さい。全く方針が立てられず悩んでいます。よろしくお願いします。

No.57666 - 2019/04/15(Mon) 13:11:20

☆ Re: 動点の最短経路 / 関数電卓

> 全く方針が立てられず…
予備知識ゼロでこの問題を解決できる方は多くはありません。私とて、知っているからできるのです。

(光の) 屈折の法則 そのものです。

x 軸上に点 C(a,0) (0＜a＜c) をとり、点 C で x 軸に立てた法線を n とします。
また、線分 AC と n がなす鋭角をθ、線分 BC と n がなす鋭角をφとします。このとき
　屈折の法則　sinθ/c₁＝sinφ/c₂
を満たすθ,φを与える C(a,0) が必ず１つ存在します。
求める経路は、折れ線 ACB です。
（図は後ほど描きます）

No.57667 - 2019/04/15(Mon) 13:34:53

☆ Re: 動点の最短経路 / 関数電卓

上記がなぜ最短時間を与える経路か。

点 C を x 軸上を動く点 C(x,0) とします。このとき、
　AC＝√(x^2＋b^2), BC＝√((c－x)^2＋d^2)
で、動点 P が AC, BC 上を動くのに要する時間 t₁, t₂ は
　t₁＝√(x^2＋b^2)/c₁, t₂＝√((c－x)^2＋d^2)/c₂ …(*)

T＝t₁＋t₂ を最小にする x は、dT/dx＝0 を満たす (必要条件)。よって(*)より

　dT/dx＝x/√(x^2＋b^2)－(c－x)/√((c－x)^2＋d^2)＝0
∴ sinθ/c₁＝sinφ/c₂

尚、下図は c₁＞c₂ の場合です。

こちらフェルマーの原理もぜひご覧ください。

No.57671 - 2019/04/15(Mon) 19:04:21

★ (No Subject) / あ

大至急お願いします！
3個のさいころをふりさいころの目の合計が5以下もしくは16以上となる場合のがをもとめよさいころの区別はないものとする

No.57662 - 2019/04/15(Mon) 10:50:28

☆ Re: / らすかる

「場合のがをもとめよ」は
「場合の数をもとめよ」の間違いと判断しますが、
合計が3になるのは(1,1,1)の1通り
合計が4になるのは(1,1,2)の1通り
合計が5になるのは(1,1,3)と(1,2,2)の2通り
合計が16になるのは(6,6,4)と(6,5,5)の2通り
合計が17になるのは(6,6,5)の1通り
合計が18になるのは(6,6,6)の1通り
従って全部で 1+1+2+2+1+1=8通りです。

No.57663 - 2019/04/15(Mon) 12:28:36