ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 驕るな

中学3年生です。答えだけが載っていて、解き方が分かりません。

正三角形ABCの辺BC、CA上にそれぞれBD=CEである点D、Eをとる。AD、BEの交点をPとして、
(1)AD=BEを証明しなさい
(2)角APBは何度か

⑵が120度となる理由がいまいちピンときてません。円周角の定理を用いてそうだと思うのですが、各頂点が円周上の点であると言えていないので、困っています。

No.57758 - 2019/04/20(Sat) 17:27:28

☆ Re: / X

円周角の定理は使いません。

(1)の過程から
∠BAD=∠CBE
そこでこれをx[°]と置くと
△ABPに注目して
∠ADC=60+x[°]
よって△BPDに注目すると
∠BPD=∠ADC-∠CBE
=60+x-x[°]
=60°
よって
∠APB=180°-∠BPD
=120°

No.57760 - 2019/04/20(Sat) 18:55:19

★ 円と放物線 / 高3

この問題の模範解答は法線ベクトルを(2t,-1)と置いていますが
自分は(-2t , 1 ) とおきました。
するとOP=( t - 2st , t^2 + s ) となり
OP=R のy 座標より s = t^2 /{ √(4+1/t^2 ) -1 } となり
s/t → ∞ を計算すると 1/2 となります。
よってs/t → ∞ のとき ORの傾きは -1 となってしまいます。
しかし、ここの答えが1とならないと、模範解答と同じ答えになりません。自分の解答のどこが間違っているか、ご教授お願いします。

No.57754 - 2019/04/20(Sat) 16:00:11

☆ Re: 円と放物線 / 高3

模範解答はこれです。

No.57755 - 2019/04/20(Sat) 16:00:57

☆ Re: 円と放物線 / X

法線ベクトルを(-2t,1)と置いたのであれば、条件から
s＜0
となります。
そこを踏まえてもう一度計算を見直してみましょう。

No.57756 - 2019/04/20(Sat) 17:16:03

☆ Re: 円と放物線 / 高3

X さん返信ありがとうございます。
もう一度考え直したところ
S<0 となることはわかったのですが、
自分は全ての式を同地で変形したため、S<0を使う場所が見つかりません。
どこでその条件を使うか教えていただけませんか？
お願いします。

No.57757 - 2019/04/20(Sat) 17:22:13

☆ Re: 円と放物線 / X

＞＞自分は全ての式を同地で変形したため
その計算過程で
√(s^2)=s
として変形していませんか？
s＜0ですので
√(s^2)=-s
となります。

No.57759 - 2019/04/20(Sat) 18:40:15

☆ Re: 円と放物線 / X

レスがないようなのでもう少しアップしておきます。

法線ベクトルを(-2t,1)と置くと
↑OR=(t-2st,t^2+s)
ここで
PR=(Rのy座標)
ですので
√{(2st)^2+s^2}=t^2+s
∴s＜0に注意すると
-s√(4t^2+1)=t^2+s
これより
s=-(t^2)/{√(4t^2+1)+1} (A)
又、直線ORの傾きは
(t^2+s)/(t-2st)=(1+s/t^2)/(1/t-2s/t) (B)
(A)より
lim[t→∞]s/t=lim[t→∞](-t)/{√(4t^2+1)+1}
=-1/2
∴(B)より
lim[t→∞](直線ORの傾き)=(1+0)/{0-2・(-1/2)}
=1
となります。

No.57776 - 2019/04/21(Sun) 15:35:06

★ 行列 / Fox

問2.13 についてですが、t0は、０と同じ扱い=なにをかけても０という性質を使っていいのですか？
いまいち、式整理が出来なくて困っています。

No.57752 - 2019/04/20(Sat) 15:17:47

☆ Re: 行列 / konP

t0というのは零ベクトル0=(0,0,・・・0)の転置行列のことです。

t0=t[0,0,・・・0]となります。何を掛けてもゼロというのは、行列の演算について言えば正しいです。

No.57753 - 2019/04/20(Sat) 15:33:38

★ 大学数学のご質問 / みやっち

今は大学の４年生です。

この問題は院試の過去問ですが、最後までお答えする必要はなく、途中の式変形が分からず質問した次第です。大学入試では具体的な関数が与えられ、漸化式に持ち込んで解くのですが、関数f(x)は単調増加関数という条件のみになっています。また、τ=xe^(-u)と置換し、広義積分に持ち込むのはなぜなのか分かりません。なにかアドバイスを頂けると幸いです。

よろしくお願いします。

No.57750 - 2019/04/19(Fri) 23:48:41

★ 場合の数 / yukimi

1つの円周上に異なるn個の点をとり、これらを順に結んでn角形を作る。
ただしnは4以上の自然数とする。

このn角形の対角線がちょうど3辺となる三角形の個数を求めよ。

n点から3点を選ぶ方法がnC3

三角形の2辺がn角形の辺となる方法がn

あとは三角形の1辺がn角形の辺となる場合を求めればいいと思ったんですが、ここからがわかりません。どうやって考えればいいのでしょうか？

No.57748 - 2019/04/19(Fri) 22:44:44

☆ Re: 場合の数 / らすかる

三角形の1辺がn角形の辺となるのは、
その辺の選び方がn通り
残りの頂点は、上で選んだ辺の両端とその両隣の4点以外が選べるのでn-4通り
よって1辺がn角形の辺となるのはn(n-4)通りです。

参考までに、そのように場合分けせずに求めることもできます。
まず1点を選ぶ方法がn通り
残りの2点は最初に選んだ点とその隣の3点を除くn-3点から選べばよいが、
2点が隣り合う場合は除かなければいけないので
片方の端を除くn-4点から2点選び、除いた端に近い方の点を一つずらせばよい。
よってn-3点から隣接しないように2点を選ぶ方法は(n-4)C2通り
これに最初のnを掛けたものは求める場合の数の3倍なので
（一つの三角形に対して最初の点の選び方が3通りあるから）
求める個数はn・(n-4)C2/3=n(n-4)(n-5)/6個。
# ただし、n=4,5では途中計算で不都合がありますので、
# n≧6として求めてn=4,5でも成り立つことを言う必要があります。

No.57749 - 2019/04/19(Fri) 23:11:55

☆ Re: 場合の数 / yukimi

ありがとうございました！！

No.57761 - 2019/04/20(Sat) 20:41:44

★ 高校数学 / 茶華道

8行目の AM:MC=△BAP:△BCP がなぜなるのか分かりません。
教えて下さい。お願いします。

No.57741 - 2019/04/19(Fri) 13:14:53

☆ Re: 高校数学 / SS

青ラインを底辺と考えてすると……
△=底辺×高さ=面積で、青ラインの底辺が等しい長さだから、面積比＝高さ(AM:MC)になるからです。

No.57742 - 2019/04/19(Fri) 16:19:25

☆ Re: 高校数学 / 茶華道

BMとACは垂直と証明できていないと思うのですがこの場合でも
AM:MCが高さになるんですか？

No.57743 - 2019/04/19(Fri) 16:33:45

☆ Re: 高校数学 / らすかる

A,Cから直線BMにぞれぞれ垂線AD,CEを下ろすと△ADM∽△CEMですから、
△BAP：△BCP=AD：CE=AM：CMとなります。
このように相似の直角三角形が作れることから、一般に
垂直でなくても長さの比が高さの比になります。

No.57744 - 2019/04/19(Fri) 17:45:56

☆ Re: 高校数学 / 茶華道

理解出来ました。
ありがとうございます。

No.57746 - 2019/04/19(Fri) 19:02:13

★ 中3数学発展問題です。 / 驕るな

略解しか載っておらず、解き方が分かりません。ご教授下さい。
答えは
⑴AC 16?p AB 8+8√3?p
⑵S=t^2 (0≦t≦8) S=8t (8<t≦4+4√3)

No.57738 - 2019/04/19(Fri) 08:25:51

☆ Re: 中3数学発展問題です。 / らすかる

(1)
CからABに垂線CHを下ろすと
△HBCは直角二等辺三角形なのでHB=HC=8cm
△AHCは3つの角が30°,60°,90°の三角形なので
AC=2HC=16cm, AH=(√3)HC=8√3cm
従ってAC=16cm、AB=AH+HB=8+8√3cm

(2)
AC=16cmからQがAからCまで移動する時間は16÷2=8秒で
その間のAQの長さは2tcm
またAB=8+8√3cmからPがAからBまで移動する時間は(8+8√3)÷2=4+4√3秒で
その間のAPの長さは2tcm
よって△APQは0≦t≦8では二等辺三角形、8＜t≦4+4√3のとき一般の三角形
0≦t≦8のときQからABに垂線QIを下ろすとQI=AQ/2なので
△APQ=(AP×AQ/2)÷2=2t×2t÷2÷2=t^2
8＜t≦4+4√3のときQI/2=AC/2=8cmなので
△APQ=(AP×8)÷2=2t×8÷2=8t

# (2)は答えから推測すると上記の解答で正解になると思いますが、
# 点Qが8＜tのときにCにとどまると考えていることから
# 点Pも4+4√3＜tのときBにとどまると考えるべきであり、
# そうすると4+4√3＜tを除外できる理由はありませんので、
# 本当の正解は
# S=t^2 (0≦t≦8)
# S=8t (8＜t≦4+4√3)
# S=32+32√3 (4+4√3＜t)
# でないとおかしいと思います。
# (グラフは4+4√3秒経過後はS=32+32√3の水平線)

No.57739 - 2019/04/19(Fri) 09:23:05

★ (No Subject) / ミライ

これらの問題((1)?@と?Aと(1)と(2))が分かりません。頭が冴えなくてすみません…

No.57728 - 2019/04/19(Fri) 00:48:37

☆ Re: / FIRE

ごめんなさい、問題番号あんまり見えませんでした。写真に写ってる問題全てです

No.57729 - 2019/04/19(Fri) 00:49:58

☆ Re: / らすかる

問題番号だけでなく問題文の左端も切れていますので、
問題がよくわかりません。
問題を推測して解いても、
もし違っていたら徒労になりますので、
写真を撮り直して頂いた方が良いかと思います。

No.57736 - 2019/04/19(Fri) 07:24:39

★ (No Subject) / FIRE

太文字の11番が分かりません、教えて下さい

No.57727 - 2019/04/19(Fri) 00:35:03

☆ Re: / X

(1)
条件から、点L,M,Nはそれぞれ辺BC,CA,ABの中点。
よって△ABCの面積をSとすると
△ABL,△ALC,△BCM,△ABM,△CAN,△BCN (A)
の面積はいずれもS/2
一方、点Gは△ABCの重心ですので
AG:GL=BG:GM=CG:GN=2:1
よって問題の6個の三角形の面積はいずれも
(A)の三角形の面積の1/3、つまり
(1/3)(S/2)=S/6

(2)
?@
(1)の結果により求める面積は
24[cm^2]÷6=4[cm^2]
?A
問題の四角形の面積は(1)の問題文の
6個の三角形の二つ分の面積ですので
24[cm^2]÷6×=8[cm^2]

No.57731 - 2019/04/19(Fri) 05:57:52

★ (No Subject) / テネシン

問題6が分かりませんどなたか教えて下さい！！

No.57722 - 2019/04/18(Thu) 23:18:51

☆ Re: / らすかる

直線AB上でない適当な場所（理論的にはどこでもよいが、
Bの少し上または下あたりが作図しやすい）に点Cをとり、
ADの長さがACの1/5程度になるようにAC上に点Dをとって、
AD=DE=EF=FG=GHとなるようにDからC方向に順に点E,F,G,Hをとって、
Fを通りHBに平行な直線とABの交点をPとすればOK。

No.57737 - 2019/04/19(Fri) 07:31:43

★ 極限 / 太郎

（１）の解答の意味がよく分かりません。
ｎやｎ＋１を使って証明しようとしている意味と、式変形をもう少し詳しく解説していただけると助かります。

No.57715 - 2019/04/18(Thu) 17:09:44

☆ Re: 極限 / X

この証明は自然数nに対して
lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成立することを前提とした証明です。
そのことを踏まえてもう一度模範解答をご覧下さい。

No.57716 - 2019/04/18(Thu) 17:45:32

☆ Re: 極限 / 太郎

なるほど。理解できました。
ありがとうございました。

No.57718 - 2019/04/18(Thu) 18:03:08

★ グリーンの公式 / 初心者

平面でのグリーンの公式に関して、笠原微積分には画像の形で書かれていますが、wikiでは

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA …
のような形で書かれています。
このような違いはどこで生じているのですか？

No.57712 - 2019/04/18(Thu) 12:26:17

☆ Re: グリーンの公式 / 初心者

画像をつけ忘れました

No.57713 - 2019/04/18(Thu) 12:29:07

☆ Re: グリーンの公式 / 関数電卓

f と g の間の＋と－の違いを気にされているのであれば、どちらでもよいことでしょう。
それぞれ、等式として左右両辺が等しいと主張しているだけですし、一方の g を他方で－g に置き換えれば済むことですから…

No.57714 - 2019/04/18(Thu) 16:43:16

★ (No Subject) / ///

画像の問題4.のa,b,cはそれぞれどのような答えになりますか？お願いいたします。

No.57704 - 2019/04/17(Wed) 22:46:27

☆ Re: / X

単に与えられたUに対する極限を求める問題ですね。
条件からN,h,k[B]は正の定数であることに注意すれば
計算は容易です。

(a)
νは周波数ですので恐らく
ν→0はν→+0の誤植ですね。
f(x)=e^(hx/(k[B]T))
とすると
f'(x)={h/(k[B]T)}e^(hx/(k[B]T))
∴lim[ν→+0]U=Nh/f'(0)=Nk[B]T
但し、誤植でないとすれば
lim[ν→-0]U
は定義できませんので
lim[ν→0]U
は存在しない、ということになります。

(b)
lim[x→∞]x/e^x=0
(証明は省略します)
∴lim[ν→∞]U=0
となります。

(c)
Tは絶対温度ですので
T→0
は恐らく
T→+0
の誤植ですね。
lim[T→+0]U=0
となります。
但し、誤植でないのであれば
lim[T→-0]U
は定義できませんので
lim[T→0]U
は存在しない、ということになります。

No.57708 - 2019/04/18(Thu) 06:16:15

★ 高校数学 / ran

この問題の解答がなくて困ってます。

解答宜しくおねがいします。

No.57701 - 2019/04/17(Wed) 21:46:38

☆ Re: 高校数学 / ＩＴ

f(x)の次数をnとする。

n≧2だとすると
　f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+...+ a[0],a[n]≠0とおける。
　g(x)のx^nの係数x^(n-1) の係数が常に０になることは容易に分かるのでx^(n-2) の係数を調べる。

　g(x)のx^(n-2) の係数=n(n-1)a[n]+2010n(n-1)a[n]=2011n(n-1)a[n]≠0となる。
　これはg(x)=0(恒等式) に反する。
したがってf(x)は1次以下。　

＃後は簡単だと思います。
＃なお途中計算があっているか確認してください。

No.57706 - 2019/04/17(Wed) 23:03:45