ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 場合の数 / yukimi

1つの円周上に異なるn個の点をとり、これらを順に結んでn角形を作る。
ただしnは4以上の自然数とする。

このn角形の対角線がちょうど3辺となる三角形の個数を求めよ。

n点から3点を選ぶ方法がnC3

三角形の2辺がn角形の辺となる方法がn

あとは三角形の1辺がn角形の辺となる場合を求めればいいと思ったんですが、ここからがわかりません。どうやって考えればいいのでしょうか？

No.57748 - 2019/04/19(Fri) 22:44:44

☆ Re: 場合の数 / らすかる

三角形の1辺がn角形の辺となるのは、
その辺の選び方がn通り
残りの頂点は、上で選んだ辺の両端とその両隣の4点以外が選べるのでn-4通り
よって1辺がn角形の辺となるのはn(n-4)通りです。

参考までに、そのように場合分けせずに求めることもできます。
まず1点を選ぶ方法がn通り
残りの2点は最初に選んだ点とその隣の3点を除くn-3点から選べばよいが、
2点が隣り合う場合は除かなければいけないので
片方の端を除くn-4点から2点選び、除いた端に近い方の点を一つずらせばよい。
よってn-3点から隣接しないように2点を選ぶ方法は(n-4)C2通り
これに最初のnを掛けたものは求める場合の数の3倍なので
（一つの三角形に対して最初の点の選び方が3通りあるから）
求める個数はn・(n-4)C2/3=n(n-4)(n-5)/6個。
# ただし、n=4,5では途中計算で不都合がありますので、
# n≧6として求めてn=4,5でも成り立つことを言う必要があります。

No.57749 - 2019/04/19(Fri) 23:11:55

☆ Re: 場合の数 / yukimi

ありがとうございました！！

No.57761 - 2019/04/20(Sat) 20:41:44

★ 高校数学 / 茶華道

8行目の AM:MC=△BAP:△BCP がなぜなるのか分かりません。
教えて下さい。お願いします。

No.57741 - 2019/04/19(Fri) 13:14:53

☆ Re: 高校数学 / SS

青ラインを底辺と考えてすると……
△=底辺×高さ=面積で、青ラインの底辺が等しい長さだから、面積比＝高さ(AM:MC)になるからです。

No.57742 - 2019/04/19(Fri) 16:19:25

☆ Re: 高校数学 / 茶華道

BMとACは垂直と証明できていないと思うのですがこの場合でも
AM:MCが高さになるんですか？

No.57743 - 2019/04/19(Fri) 16:33:45

☆ Re: 高校数学 / らすかる

A,Cから直線BMにぞれぞれ垂線AD,CEを下ろすと△ADM∽△CEMですから、
△BAP：△BCP=AD：CE=AM：CMとなります。
このように相似の直角三角形が作れることから、一般に
垂直でなくても長さの比が高さの比になります。

No.57744 - 2019/04/19(Fri) 17:45:56

☆ Re: 高校数学 / 茶華道

理解出来ました。
ありがとうございます。

No.57746 - 2019/04/19(Fri) 19:02:13

★ 中3数学発展問題です。 / 驕るな

略解しか載っておらず、解き方が分かりません。ご教授下さい。
答えは
⑴AC 16?p AB 8+8√3?p
⑵S=t^2 (0≦t≦8) S=8t (8<t≦4+4√3)

No.57738 - 2019/04/19(Fri) 08:25:51

☆ Re: 中3数学発展問題です。 / らすかる

(1)
CからABに垂線CHを下ろすと
△HBCは直角二等辺三角形なのでHB=HC=8cm
△AHCは3つの角が30°,60°,90°の三角形なので
AC=2HC=16cm, AH=(√3)HC=8√3cm
従ってAC=16cm、AB=AH+HB=8+8√3cm

(2)
AC=16cmからQがAからCまで移動する時間は16÷2=8秒で
その間のAQの長さは2tcm
またAB=8+8√3cmからPがAからBまで移動する時間は(8+8√3)÷2=4+4√3秒で
その間のAPの長さは2tcm
よって△APQは0≦t≦8では二等辺三角形、8＜t≦4+4√3のとき一般の三角形
0≦t≦8のときQからABに垂線QIを下ろすとQI=AQ/2なので
△APQ=(AP×AQ/2)÷2=2t×2t÷2÷2=t^2
8＜t≦4+4√3のときQI/2=AC/2=8cmなので
△APQ=(AP×8)÷2=2t×8÷2=8t

# (2)は答えから推測すると上記の解答で正解になると思いますが、
# 点Qが8＜tのときにCにとどまると考えていることから
# 点Pも4+4√3＜tのときBにとどまると考えるべきであり、
# そうすると4+4√3＜tを除外できる理由はありませんので、
# 本当の正解は
# S=t^2 (0≦t≦8)
# S=8t (8＜t≦4+4√3)
# S=32+32√3 (4+4√3＜t)
# でないとおかしいと思います。
# (グラフは4+4√3秒経過後はS=32+32√3の水平線)

No.57739 - 2019/04/19(Fri) 09:23:05

★ (No Subject) / ミライ

これらの問題((1)?@と?Aと(1)と(2))が分かりません。頭が冴えなくてすみません…

No.57728 - 2019/04/19(Fri) 00:48:37

☆ Re: / FIRE

ごめんなさい、問題番号あんまり見えませんでした。写真に写ってる問題全てです

No.57729 - 2019/04/19(Fri) 00:49:58

☆ Re: / らすかる

問題番号だけでなく問題文の左端も切れていますので、
問題がよくわかりません。
問題を推測して解いても、
もし違っていたら徒労になりますので、
写真を撮り直して頂いた方が良いかと思います。

No.57736 - 2019/04/19(Fri) 07:24:39

★ (No Subject) / FIRE

太文字の11番が分かりません、教えて下さい

No.57727 - 2019/04/19(Fri) 00:35:03

☆ Re: / X

(1)
条件から、点L,M,Nはそれぞれ辺BC,CA,ABの中点。
よって△ABCの面積をSとすると
△ABL,△ALC,△BCM,△ABM,△CAN,△BCN (A)
の面積はいずれもS/2
一方、点Gは△ABCの重心ですので
AG:GL=BG:GM=CG:GN=2:1
よって問題の6個の三角形の面積はいずれも
(A)の三角形の面積の1/3、つまり
(1/3)(S/2)=S/6

(2)
?@
(1)の結果により求める面積は
24[cm^2]÷6=4[cm^2]
?A
問題の四角形の面積は(1)の問題文の
6個の三角形の二つ分の面積ですので
24[cm^2]÷6×=8[cm^2]

No.57731 - 2019/04/19(Fri) 05:57:52

★ グリーンの公式 / 初心者

平面でのグリーンの公式に関して、笠原微積分には画像の形で書かれていますが、wikiでは

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA …
のような形で書かれています。
このような違いはどこで生じているのですか？

No.57712 - 2019/04/18(Thu) 12:26:17

☆ Re: グリーンの公式 / 初心者

画像をつけ忘れました

No.57713 - 2019/04/18(Thu) 12:29:07

☆ Re: グリーンの公式 / 関数電卓

f と g の間の＋と－の違いを気にされているのであれば、どちらでもよいことでしょう。
それぞれ、等式として左右両辺が等しいと主張しているだけですし、一方の g を他方で－g に置き換えれば済むことですから…

No.57714 - 2019/04/18(Thu) 16:43:16

★ (No Subject) / ///

画像の問題4.のa,b,cはそれぞれどのような答えになりますか？お願いいたします。

No.57704 - 2019/04/17(Wed) 22:46:27

☆ Re: / X

単に与えられたUに対する極限を求める問題ですね。
条件からN,h,k[B]は正の定数であることに注意すれば
計算は容易です。

(a)
νは周波数ですので恐らく
ν→0はν→+0の誤植ですね。
f(x)=e^(hx/(k[B]T))
とすると
f'(x)={h/(k[B]T)}e^(hx/(k[B]T))
∴lim[ν→+0]U=Nh/f'(0)=Nk[B]T
但し、誤植でないとすれば
lim[ν→-0]U
は定義できませんので
lim[ν→0]U
は存在しない、ということになります。

(b)
lim[x→∞]x/e^x=0
(証明は省略します)
∴lim[ν→∞]U=0
となります。

(c)
Tは絶対温度ですので
T→0
は恐らく
T→+0
の誤植ですね。
lim[T→+0]U=0
となります。
但し、誤植でないのであれば
lim[T→-0]U
は定義できませんので
lim[T→0]U
は存在しない、ということになります。

No.57708 - 2019/04/18(Thu) 06:16:15

★ 高校数学 / ran

この問題の解答がなくて困ってます。

解答宜しくおねがいします。

No.57701 - 2019/04/17(Wed) 21:46:38

☆ Re: 高校数学 / ＩＴ

f(x)の次数をnとする。

n≧2だとすると
　f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+...+ a[0],a[n]≠0とおける。
　g(x)のx^nの係数x^(n-1) の係数が常に０になることは容易に分かるのでx^(n-2) の係数を調べる。

　g(x)のx^(n-2) の係数=n(n-1)a[n]+2010n(n-1)a[n]=2011n(n-1)a[n]≠0となる。
　これはg(x)=0(恒等式) に反する。
したがってf(x)は1次以下。　

＃後は簡単だと思います。
＃なお途中計算があっているか確認してください。

No.57706 - 2019/04/17(Wed) 23:03:45

★ 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

画像の問題のシャーペンで囲った部分を自分で頑張って調べました。

極限の基本事項を抑えたうえで、以下のことがわかりました。

・limf(x)の式において、f(x)が収束しないとき(正または負の無限大に発散するとき)、極限値は求められない。

・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0でない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。

ここで疑問です。

0/0の極限の不定形は、極限値を求められるということになります。

どういうことでしょうか。

色々調べたら、「数学では、分母が０になった場合は分子も０にならないといけません。」と書いてありました。

それはなぜ？

どこもかしこも言葉を濁しててよく理解できません。
教えてください。

しかし、

No.57696 - 2019/04/17(Wed) 21:14:16

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

上の「しかし」は無視してください。
なぜか縦に画像がなっちゃいます。

No.57697 - 2019/04/17(Wed) 21:16:43

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / X

>>以下のことがわかりました。
とありますが
＞＞・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0で
＞＞ない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。
は本当に理解できていますか？

No.57698 - 2019/04/17(Wed) 21:25:33

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

> >>以下のことがわかりました。
> とありますが
> ＞＞・画像の赤丸があるように、lim(x→0) k/xで、kが0で
> ＞＞ない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。
> は本当に理解できていますか？

完璧に理解していません。理解したというより、求められないものは求められないとそう思うようにした、って感じです。数IIIはやってないので数IIの範囲で、簡単に理解できればいいかなとおもっています。このままだとこの問題を丸暗記することになります

No.57709 - 2019/04/18(Thu) 10:22:00

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

>lim(x→0) k/xで、kが0でない時は、k/xは無限大に発散し、極限値が求められない。

これはあってますよね？
実際、図をかいてみると、k/xは際限なく大きくなるか、小さくなるかで、ある値に収束することはないなぁと感覚ですが、わかります。

教科書に書いてる基本事項は一応抑えました。

No.57710 - 2019/04/18(Thu) 10:25:03

☆ Re: 文系数学の数学IIの微分のところの極限の不定形について。 / 青チャート

すみません、こちらのサイトの説明で解決しました。
ご協力ありがとうございました。

http://blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/archives/50855422.html

No.57711 - 2019/04/18(Thu) 12:11:31

★ 複素数の三角不等式 / yukimi

複素数z、wに対して、│z+w│≦│z│+│w│が成り立つことを示せ。

z=a+bi、w=c+diとおき、│z+w│の2乗と(│z│+│w│)の2乗を比べます。

左辺の2乗はaの2乗+bの2乗+cの2乗+dの2乗+2ac+2bd

右辺の2乗はaの2乗+bの2乗+cの2乗+dの2乗+2√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}

結局、ac+bd≦√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}を示すことになります。ここまではわかりました。

ここから先なんですが、解答では両辺の2じのひきざんをしてます。ここがわからないんですが、左辺は正とは限らないのに、どうして2乗して比べていいんでしょうか？

No.57695 - 2019/04/17(Wed) 20:27:33

☆ Re: 複素数の三角不等式 / X

左辺が0又は負のときは
>>ac+bd≦√{(aの2乗+bの2乗)(cの2乗+dの2乗)}
の成立は明らかだからです。
但し、その辺のこと(つまり左辺が正のときにも
成立することを証明する、ということ)
は証明の過程にきちんと書かないといけませんね。

No.57700 - 2019/04/17(Wed) 21:30:14

☆ Re: 複素数の三角不等式 / yukimi

ありがとうございました。助かりました。

No.57720 - 2019/04/18(Thu) 22:13:32

★ うーん、よくわからない解き方 / 青チャート

1枚目の画像の問題は、自分で正答を導くことはできるのですが、解説がよくわかりません。解説の意味を知りたいです。

2枚目の画像の赤い波線をひいたところが三箇所ありますが、この三箇所の説明をしていただきますか？

なおわたしは、

1)2枚のカードが同じ数同士の確率
2)2枚のカードが1～3しかなくて、互いに数字が異なる確率
3)2枚のカードが1と0の確率

1-｛(1)+(2)+(3)｝で正答の11/15を求めました。

No.57688 - 2019/04/17(Wed) 16:36:33

☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / 青チャート

こちらが解説です。

No.57689 - 2019/04/17(Wed) 16:37:15

☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / らすかる

「b=0であるもの」というのは「1枚のカードが0である場合」ですから、
同じ数が書かれたカードは区別するものとして
カードを0,1,2a,2b,3a,3b,3c,4a,4b,4c,4d,5a,5b,5c,5d,5eとすると
他の1枚が1となるのは、(1,0)の1通り
他の1枚が2となるのは、(2a,0)と(2b,0)の2通り
他の1枚が3となるのは、(3a,0)と(3b,0)と(3c,0)の3通り
他の1枚が4となるのは、(4a,0)と(4b,0)と(4c,0)と(4d,0)の4通り
他の1枚が5となるのは、(5a,0)と(5b,0)と(5c,0)と(5d,0)と(5e,0)の5通り
これをまとめると
他の1枚がaとなるのはa通り
ですから、「b=0であるものはa通り」です。

「a＞bであるもの」は、
例えばa=4,b=2ならば
(4a,2a),(4a,2b),(4b,2a),(4b,2b),(4c,2a),(4c,2b),(4d,2a),(4d,2b)
のように4×2通り、すなわちab通りです。

「a=bであるもの」は、
例えばa=4ならば
(4a,4b),(4a,4c),(4a,4d),(4b,4c),(4b,4d),(4c,4d)
のように数がaであるa枚のカードから2枚選ぶ組合せですから
aC2通りとなります。

No.57691 - 2019/04/17(Wed) 17:02:22

☆ Re: うーん、よくわからない解き方 / 青チャート

全て解決しました。ありがとうございます！

数字が大きくなって数え上げが難しくなったら使えそうな解法ですね。勉強になりました。

No.57694 - 2019/04/17(Wed) 18:41:58