ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / じゅん

βは|β|=1を満たす複素数とする。tが実数全体を動くとき、複素数平面において点Z1=t(1+i)β+1+4iが描く図形をLとする。
また、複素数平面において点ωが原点を中心とする半径１の円周上を動くとき、点Z2=(ω+4)/(ω-2)　が描く図形をCとする。
以下の問いに答えよ。
(3)βが|β|=1　および次の条件(K)を満たすように動くとき、
βの実部 bの取りうる値の範囲を求めよ。

(K)　ＬとＣは共有点を持つ

***************************************

Cは、点(-3)を中心とする半径2の円
Lは、点(1+4i)を中心とする半径√2|t|の円

までは分かりましたが、その先がよく分かりません。
よろしくお願いします。

No.57420 - 2019/04/02(Tue) 20:42:55

☆ Re: / X

>>Lは、点(1+4i)を中心とする半径√2|t|の円
間違えています。
Lはtを媒介変数とする直線であって円ではありません。
まず、Lがどのような直線になるかを
考えてみましょう。

No.57423 - 2019/04/02(Tue) 22:04:45

☆ Re: / じゅん

ご指摘、ありがとうございます！
解けました。以下であっていますでしょうか？

(3)Cは点(-3)を中心とする、半径2の円。
ここで、
β=b+ci　(b,cは実数、b^2+c^2=1)
とおくと、
z1=t(1+i)β+1+4i
=t{(b-c)+(b+c)i}
これよりLは、ベクトル(b-c,b+c)を方向ベクトル
とし、点(1+4i)を通る直線を表す。
CとLが共有点を持つための条件は、Lと点(-3)との距離
が2以下であることである。
x-y直交座標系を考えたとき、ベクトル(b-c,b+c)に
垂直なベクトルの一つは(b+c,=b+c)であるから、
Lに相当する直線の式は
(b+c)(x-1)+(-b+c)(y-4)=0
よって、これと(-3,0)との距離をdとすると、
d=8|c|/√2=4√2|c|
d≦2とb^2+c^2=1、-1≦b≦1
より、求めるbの値の範囲は

-1≦b≦-√14/4、√14/4≦b≦1

No.57451 - 2019/04/03(Wed) 22:08:13

☆ Re: / じゅん

訂正（解答の6行目）

z1=t(1+i)β+1+4i
=t{(b-c)+(b+c)i}+1+4i

でした

No.57452 - 2019/04/03(Wed) 22:10:17

★ 面積 / ゆう

【問題】

1辺の長さが1の正方形ABCDの対角線の交点をOとする。点Oを中心として、この正方形をθだけ回転してできる正方形をA’B’C’D’とし、二つの正方形の共通部分の面積をSとする。

Sをθで表せ。

ABとA’D’の交点をP、ABとA’B’の交点をQとします。

解答について、何点か質問があります。

・AP=A’P、BQ=A’Qとなっていますが、なぜでしょうか。
・△OPQ=1/2・PQ・1/2となっているのですが、PQの長さはわかるんですが、二つ目の1/2の意味がわかりません。PQを底辺としたときの高さが1/2ということなんでしょうが、なぜ高さが1/2になるのかわからないです。

詳しく教えてください。

No.57416 - 2019/04/02(Tue) 19:34:11

☆ Re: 面積 / ＩＴ

> ・AP=A’P、BQ=A’Qとなっていますが、なぜでしょうか

図を描いて、補助線を引いて考える

AP=A’P
OA,OP,OA'をむすぶ
△OPAと△OPA' において２辺と１対角が等しく　∠OPA+∠OPA'≠∠２Ｒ　なので　△OPA≡△OPA'

BQ=A’Q　も同様です。

No.57419 - 2019/04/02(Tue) 20:29:45

☆ Re: 面積 / ゆう

IT様

早速の回答ありがとうございます。一つ目の疑問は解決しました。

できましたらもう一つの疑問の方も教えてください。

△OPQ=1/2・PQ・1/2の二つ目の2はどこから出てきたのでしょうか？

No.57424 - 2019/04/02(Tue) 22:35:39

☆ Re: 面積 / ＩＴ

> PQを底辺としたときの高さが1/2ということなんでしょうが、なぜ高さが1/2になるのかわからないです。

Oは辺の長さが1の正方形ABCDの中心ですから
OからABに下ろした垂線の長さは１／２です。

No.57427 - 2019/04/02(Tue) 23:19:12

☆ Re: 面積 / ゆう

回答ありがとうございました。助かりました。

No.57430 - 2019/04/03(Wed) 01:25:48

★ 高校数学 / 蘭

数に関する問題です。

f(x)-2は(x-1)^2で割り切れ、f(x)+2は(x+1)^2で割り切れるような、整式f(x)のうちで、もっとも字数が小さいものを求めよ。

というのがあります。

解答では、最終的にf(x)を(x-1)^2(x+1)^2で割った数を求めるという方針です。
そこがよくわかりません。なぜ、f(x)を(x-1)^2(x+1)^2で割るんでしょうか、？

漠然とした質問ですいませんが、よろしくお願いします、

No.57412 - 2019/04/02(Tue) 12:14:32

☆ Re: 高校数学 / 蘭

別解です。

No.57413 - 2019/04/02(Tue) 12:14:56

☆ Re: 高校数学 / ＩＴ

感覚的な表現ですが
f(x)を(x-1)^2で割ったときの余りの条件と、f(x)を (x+1)^2で割ったときの余りの条件を統合的に考えることが出来るからという感じでしょうか、？

No.57414 - 2019/04/02(Tue) 19:15:04

☆ Re: 高校数学 / X

添付写真の解説で別解でない一つ目の解法は
理解できているという前提で回答を。

別解の方針はやや天下り的です。

一つ目の解法の方針で、最終的なf(x)の形である
f(x)={(x-1)^2}{{(x+1)^2}Q(x)-x-2}+2
(添付写真1枚目一番下の行の式)
をもう少し変形すると
f(x)={(x-1)^2}{{(x+1)^2}Q(x)-(x+2)(x-1)^2+2 (A)
(A)の意味するところは、解答自体が
f(x)を{(x-1)^2}{{(x+1)^2}で割った余り
を求めていることと同じ
ということです。
(ここまではよろしいですか？)

ここから逆に、別の方針で
f(x)を{(x-1)^2}{{(x+1)^2}で割った余り
求めればいいのではないのか？
と考えたのが別解の方針です。

No.57415 - 2019/04/02(Tue) 19:19:07

☆ Re: 高校数学 / 蘭

ありがとうございます！
理解できました！

No.57417 - 2019/04/02(Tue) 19:44:48

★ 入試問題 / 受験生

大問3がわかりません解答解説をお願いしたいです

No.57405 - 2019/04/01(Mon) 10:09:22

☆ Re: 入試問題 / ＩＴ

(1) 状態遷移図（推移図）を描くと容易に分かると思います。
　P[k]=(1/3)P[k-1]+(2/3)P[k+1]

(2)　(1)の漸化式を整理して 2P[k+1]-P[k]=2P[k]-P[k-1]これを=aとおく

2P[k+1]-P[k]=a
2P[k+1]-2a=P[k]-a
P[k+1]-a=(1/2)(P[k]-a)
∴P[n]-a=((1/2)^n)(P[0]-a)
P[n]=1,P[0]=0なので
1-a=((1/2)^n)(-a)
∴a=1/(1-(1/2)^n)

あとは2P[k+1]-P[k]＝1/(1-(1/2)^n),P[0]=0 を解く

途中計算は確認してください。

高校数学Bで３項間漸化式の解き方が出てますから、それを使えば、すっきりした解答になるかも知れませんね。
（P[0]とP[n] が既知なので少し通常と違いますが）

No.57410 - 2019/04/01(Mon) 20:58:24

★ 置換 / 棉芦売

度々失礼します。線形代数で出てくる置換についてなのですが、「偶置換の逆置換は偶置換」となるのはなぜなんですか？どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.57403 - 2019/03/31(Sun) 23:59:09

☆ Re: 置換 / ぽけっと

まずは定義に戻って考えるのが最初にすべきことです。

置換を互換の積に分解したとき、逆置換はその順番を逆順に並び替えたものと表現できますよね。

なので偶奇は逆置換を取る操作で変わりません。

No.57409 - 2019/04/01(Mon) 13:59:43

☆ Re: 置換 / 棉芦売

なるほど、とても勉強になりました。ありがとうございます！

No.57411 - 2019/04/02(Tue) 11:55:39

★ (No Subject) / イエロー

√3で約分とは、どうすれば良いのですか？

No.57399 - 2019/03/31(Sun) 23:36:59

☆ Re: / らすかる

√3で約分とは、分子分母をそれぞれ√3で割るということです。
分子分母の2は消したとして、
(3+√3)÷√3=(3/√3)+(√3/√3)=√3+1
(3+√3+√6)÷√3=(3/√3)+(√3/√3)+(√6/√3)=√3+1+√2
のようになります。
「√3で割る」がわかりにくいのであれば、
「1/√3を掛ける」すなわち「√3/3を掛ける」と考えても同じです。

No.57400 - 2019/03/31(Sun) 23:41:31

☆ Re: / イエロー

すみません
こういうのって1/√2にできますか？
ど忘れしてしまいました。

No.57402 - 2019/03/31(Sun) 23:57:59

☆ Re: / らすかる

(√3+1)/{(√3+1)+√2}を変形して1/√2になるか、という意味ならなりません。

No.57404 - 2019/03/31(Sun) 23:59:58

★ 行列 / 棉芦売

大学の線形代数に関する質問です。Aを行列、kを実数とします。「A^2=kAを満たすとき、A=kE(k≠0)を除いてAは正則でない」と、ある解説書に書いてあったのですが、この意味がよくわからないので、詳しく解説して頂けたら嬉しいです。よろしくお願いします。
ちなみに、Aは正則でない <=> |A|=0 という事実は分かっている上での質問です。

No.57394 - 2019/03/31(Sun) 19:27:12

☆ Re: 行列 / ぽけっと

A^2=kA は A(A-kE)=0 と書き直せます

もしAが正則ならA^-1を左から掛けて
A-kE = 0
となるので、A=kEの場合を除いてAは正則ではないですね

No.57395 - 2019/03/31(Sun) 19:46:14

☆ Re: 行列 / 棉芦売

ありがとうございます、助かりました。

No.57396 - 2019/03/31(Sun) 20:21:11

★ (No Subject) / イエロー

早速1行目で困ってしまいました。
(1)の明らかに真の理由と偽の
理由を教えてください

No.57393 - 2019/03/31(Sun) 18:08:30

☆ Re: / Masa

x<1：xは1より小さい数
x≦1：xは1より小さい数または1
「xが1より小さいならば、xは1より小さい数または1」に関して、xが1より小さければ、「xは1より小さい数または1」を必ず満たします。なので成立しますね。
「xが1より小さい数または1ならば、xは1より小さい」に関しては、xが1のとき、仮定の「xが1より小さい数または1」は満たしますが、結論の「xは1より小さい」は満たさないので、成立しません。

No.57397 - 2019/03/31(Sun) 22:01:07

☆ Re: / イエロー

ありがとうございます

No.57398 - 2019/03/31(Sun) 23:36:21

★ 教えてください / 雨

ペンで引いた部分なんですが、2倍した後二分の一倍してないですよね……。なんで良いんですか？？

No.57379 - 2019/03/29(Fri) 19:46:01

☆ Re: 教えてください / 雨

これです。

No.57380 - 2019/03/29(Fri) 19:46:22

☆ Re: 教えてください / X

これはxの方程式ですので、両辺を2倍したからといって
両辺を1/2倍しなければならない理由はありません。

No.57382 - 2019/03/29(Fri) 20:39:05

☆ Re: 教えてください / 雨

ありがとうございます。
もう一つすみません…。

?@が正しいとはわかるんですが、時々?@と?Aの掛け方で迷ってしまいます。納得できるような例とかありますか？

No.57383 - 2019/03/29(Fri) 20:44:01

☆ Re: 教えてください / 雨

またつけ忘れました、これです。

No.57384 - 2019/03/29(Fri) 20:44:40

☆ Re: 教えてください / X

?@?Aともに間違えています。
2(x+1)(x+2)={2(x+1)}(x+2)=(2x+2)(x+2)
2(x+1)(x+2)=(x+1){2(x+2)}=(x+1)(2x+4)
です。

No.57386 - 2019/03/29(Fri) 21:02:11

★ (No Subject) / 関数

関数f(x)は0≦x≦πで連続であり、と書いてあるのですが、それはどうやって証明されるんですか？グラフから分かるといってもこの関数のグラフの書き方が分かりません

No.57377 - 2019/03/29(Fri) 19:32:14

☆ Re: / ＩＴ

高校の数学３ですよね
xやcosxが区間(-∞、∞)で連続であることは、証明なしに使います。
（高校数学では、「連続」の厳密な定義もされてませんし、ある関数が連続であることの厳密な証明もできません。）

連続関数の和・差・定数倍や積なども連続であることも証明なしに使います。
（教科書を読むと分かると思います。）

No.57385 - 2019/03/29(Fri) 20:46:11

☆ Re: / 関数

なるほど！ありがとうございます！

No.57387 - 2019/03/29(Fri) 21:05:30

★ わからない問題をまとめました / 高3

この4つが全くわかりません。
解答解説をお願いしたいです

No.57371 - 2019/03/29(Fri) 12:24:24

☆ Re: わからない問題をまとめました / X

大問1問目)
|2cosA+sinA|≦1 (A)
0°≦A≦180° (B)
とします。
(A)より
|2cosA+sinA|^2≦1
左辺を展開し、整理をすると
(cosA)^2+4sinAcosA≦0
(4cosA+sinA)cosA≦0 (A)'
(i)0°≦A＜90°のとき
(A)'より
tanA≦-4
∴不適
(ii)A=90°のとき
(A)'は成立します。
(iii)90°＜A≦180°のとき
(A)'より
tanA≦-4

以上から(A)の解は
90°≦A≦α (A)"
(但しαは
tanα=-4(90°＜α＜120°) (B)
なる角)
(B)より
cosα=-1/√17 (C)
sinα=4/√17 (D)
となることに注意します。

(1)
(A)"(B)により
sinα≦sinA≦sin90°
∴4/√17≦sinA≦1
(2)
三角関数の合成により
sinA+cosA=(√2)sin(A+45°)
ここで(A)"(B)より
135°≦A+45°≦α+45°
135°＜α+45°＜165°
よって
(√2)sin(α+45°)≦sinA+cosA≦(√2)sin135°
これより
(√2)(sinαcos45°+cosαsin45°)≦sinA+cosA≦1
(C)(D)を代入して
3/√17≦sinA+cosA≦1

No.57375 - 2019/03/29(Fri) 18:50:29

☆ Re: わからない問題をまとめました / X

大問4問目)
区分求積法と
lim[x→0](sinx)/x=1
を使います。

条件から
F(x)=lim[n→∞]Σ[i=1～n]|2cos(ix/n)sin{x/(2n)}| (∵)和積の公式
=lim[n→∞]|x|・|{sin{x/(2n)}}/{x/(2n)}|・(1/n)Σ[i=1～n]|cos(ix/n)|
=|x|∫[0→1]|cos(xt)|dt
=x∫[0→1]|cos(xt)|dt (∵)x＞0
ここでxt=uと置くと
F(x)=∫[0→x]|cosu|du
∴
F'(x)=|cosx|
F(2π)=∫[0→2π]|cosu|du
=4∫[0→π/2]cosudu (∵)y=|cosx|(0≦x≦2π)のグラフの対称性による
=4

No.57376 - 2019/03/29(Fri) 19:18:29

☆ Re: わからない問題をまとめました / X

大問2問目)
Cの方程式から
y'=3x^2-6x+a
∴C上の点(t,t^3-3t^2+at+b)における接線の方程式は
y=(3t^2-6t+a)(x-t)+t^3-3t^2+at+b
∴これとCとの交点のx座標について
x^3-3x^2+ax+b=(3t^2-6t+a)(x-t)+t^3-3t^2+at+b
これより
x^3-3x^2+ax+b=(3t^2-6t+a)(x-t)+t^3-3t^2+at+b
(x-t){(x^2+xt+t^2)-3(x+t)+a-(3t^2-6t+a)}=0
(x-t){x^2+(t-3)x-t(2t-3)}=0
{x+(2t-3)}(x-t)^2=0
∴x=-2t+3,t
よって条件のとき
q=-2p+3 (A)
r=-2q+3 (B)
(A)(B)よりqを消去して
r=-2(-2p+3)+3
=4p-3

No.57381 - 2019/03/29(Fri) 20:26:27

★ (No Subject) / ううううん！

塗り分けの問題です。助けてください。

正四面体の各面に色を塗りたい。(１つの面には1色しか塗らない。
正四面体を回転させて一致する同じ塗り方は同じとみなす)

1)異なる4色がある場合、その4色すべて使って塗る方法は全部で何通り？
2)異なる3色がある場合、その3色すべて使って塗る方法は全部で何通り？

1)の解説では底面を固定して、(3-1)！をやってます。

しかし2)では、

「どれか1色で2面を塗るが、その色の選び方は3通り。...(略)... よって、3*1=3通り」

と答えを出してるのですが、なぜ、(1)では固定した色を選ばない(固定する色は3通りあるとして計算しない)のに、(2)では色を選ぶんですか？

No.57364 - 2019/03/28(Thu) 13:24:00

☆ Re: / ううううん！

補足失礼します。
(2)をこういう風に考えるのはありですか？

底面をある色で固定する。その色と同じ色が残りの3面のうち1つに塗られるので、3C1=3通り。
残り2色でどんな塗り方しても一通りなので、3*1=3通り

No.57365 - 2019/03/28(Thu) 13:33:41

☆ Re: / らすかる

> なぜ、(1)では固定した色を選ばない(固定する色は3通り
> あるとして計算しない)のに、(2)では色を選ぶんですか？

(1)は4色どれも1面ずつなのである特定の色が必ずあり、
その面を底面とすると決めれば固定する色は1通りなのに対し、
(2)は1色だけ2面に塗り、違いがあるからです。

> (2)をこういう風に考えるのはありですか？
> 底面をある色で固定する。その色と同じ色が残りの3面のうち1つに塗られるので、3C1=3通り。
> 残り2色でどんな塗り方しても一通りなので、3*1=3通り

これは少しおかしいと思います。
「底面をある色で固定」したときに「その色と同じ色が残りの3面のうち1つに塗られる」
とは限りませんので「底面を、2面に塗る色に固定」としなければいけません。
また、「その色と同じ色が残りの3面のうち1つに塗られるので、3C1=3通り。」
これは何が3C1なのかわかりませんが、残りの3面のどこに塗っても同じですから
3C1の3が「3面」の3ならば誤りです。
つまり、2面に塗る色だけ決まればどう塗っても1通りにしかなりませんので、
3通りは「2面に塗る色の選び方」となります。

No.57366 - 2019/03/28(Thu) 15:18:19

☆ Re: / ううううん！

とても勉強になりました。いつも詳しい回答ありがとうございますm(_ _)m

No.57374 - 2019/03/29(Fri) 17:56:16

★ 曲線の長さの証明 / ハナちゃん

[問] 閉区間[a,b]上の連続関数f:[a,b]→Rの曲線f([a,b])の長さが有限となることを示せ。

はどうすれば示せますか?

No.57363 - 2019/03/28(Thu) 06:46:44

☆ Re: 曲線の長さの証明 / 黄桃

もし本当に、f:[a,b]→R　であれば、fの[a,b]の像は有界な閉区間ですので、その（ユークリッド的）長さは有限です。証明には、閉区間で連続な関数は最大値、最小値を取ること、連結集合の連続像は連結であること、くらいを使えばいいでしょう。

f:[a,b]→R^2 であれば、ペアノ曲線みたいなもの（フラクタルみたいなものでも可）が反例になりそうです。

No.57388 - 2019/03/29(Fri) 23:45:08

★ (No Subject) / 由美

高校入学の宿題で、(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2の展開の仕方が全くわかりません。どうかお願いします。

No.57361 - 2019/03/28(Thu) 02:20:08

☆ Re: / ＩＴ

途中　 A=a^2,B=b^2 とおくと（おかなくてもいいです）
(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2
=((a+b)(a-b)(A^2+AB+B^2))^2
=((A-B)(A^2+AB+B^2))^2
=(A^3-B^3)^2
=(A^3)^2-2A^3B^3+(B^3)^2 ここは飛ばしてもいいかも
あとはできますよね
=

途中
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
などを使っています。

高校入学前の宿題にしては、面倒ですね。
私なら　高校１年で式の計算を習った直後でも直ぐには出来なかったかも。

No.57362 - 2019/03/28(Thu) 03:30:57

★ 二次曲線と直線 / hertz

x^2/3 + y^2 ≦ 1 のとき k=x+2y の最大値を求めよ。またその時のx,yを求めよ。 (答)最大値 √7 (x,y)=(3/√7 , 2/√7)
という問題で

自分は直線 y=-1/2x+k/2…(A) が楕円 x^2/3 + y^2 = 1 と第一象限で接するとき、kの値は最大値を取ると考えて、接点を(p,q)と定めて楕円の接線の方程式 px/3+qy=1 としてこれが直(A)と一致することから恒等式と考えてkの値を求めるとk=1となってしまいます。自分の考え方のどこが間違いなのでしょうか？

No.57359 - 2019/03/27(Wed) 23:59:31

☆ Re: 二次曲線と直線 / らすかる

解答が書かれていませんのであてずっぽうですが、もし
px/3+qy=1 と x+2y=k が全く等しいので
p/3=1,q=2,k=1 と考えたのでしたら
その(p,q)は楕円周上にありませんので間違いです。

No.57360 - 2019/03/28(Thu) 00:10:15

☆ Re: 二次曲線と直線 / hertz

らすかる様の仰る通りでした！ありがとうございました！

No.57370 - 2019/03/29(Fri) 00:32:39