ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 積分 / ///

こんにちは。とある高校2年生です。
この前の授業で積分のところを学習したのですが、画像の(c)と(d)の解き方がいまいち分かりません。お願いいたします。

No.57819 - 2019/04/24(Wed) 12:28:14

☆ Re: 積分 / らすかる

(c)
∫{e^x-e^(-x)}/{e^x+e^(-x)}dx
=∫{e^x+e^(-x)}'/{e^x+e^(-x)}dx
=log|e^x+e^(-x)|+C
=log(e^x+e^(-x))+C

(d)
√(x+1)=tとおくとx+1=t^2,dx=2tdt
∫1/{(x-1)√(x+1)}dx
=∫2/(t^2-2)dt
=(1/√2)∫{1/(t-√2)-1/(t+√2)}dt
=(1/√2){log|t-√2|-log|t+√2|}+C
=log|(√(x+1)-√2)/(√(x+1)+√2)|/√2+C
=log|1-2√2/(√(x+1)+√2)|/√2+C
=log|1-4/(√(2x+2)+2)|/√2+C

No.57820 - 2019/04/24(Wed) 13:11:16

☆ Re: 積分 / ///

なるほど❗それは思い付きませんでした。ありがとうございました。

No.57826 - 2019/04/24(Wed) 17:19:11

★ 円の接線 / √

教えてください。

円の接線
と
円の中心と接点を結んだ線

この二つの線は垂直に交わることの証明
の仕方を教えてください。

よろしくお願い致します。

No.57804 - 2019/04/23(Tue) 19:52:38

☆ Re: 円の接線 / ＩＴ

円Oの中心をO、円O上の点をA、Aを通る円Oの接線をLとします。

OからLに下ろした垂線の足をHとする。
H≠Aとすると、
　L上にAH=BHとなるA以外の点Bが取れる。
　このときOB＝OAとなるので,点Bは円Oと直線Lの交点である。
これは、Lが円Oの接線であることに反する。
したがってH＝Aである。
よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。

No.57805 - 2019/04/23(Tue) 21:20:02

☆ Re: 円の接線 / ＩＴ

「接線」の定義が　どうなっているかにもよりますね。

No.57806 - 2019/04/23(Tue) 21:43:57

☆ Re: 円の接線 / √

ＩＴさん
有難うございます。

以下が、まだ理解できません（ＴＴ）

> 　L上にAH=BHとなるA以外の点Bが取れる。
> 　このときOB＝OAとなるので,点Bは円Oと直線Lの交点である。
> これは、Lが円Oの接線であることに反する。
> したがってH＝Aである。
> よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。

No.57807 - 2019/04/23(Tue) 22:00:52

☆ Re: 円の接線 / らすかる

ほとんどコピペの別解

円Oの中心をO、円O上の点をA、Aを通る円Oの接線をLとします。

OからLに下ろした垂線の足をHとする。
H≠Aとすると、
△OHAはOAが斜辺である直角三角形なので、OH＜OA
よってHは円の内部にあり、Lが接線であることと矛盾。
したがってH＝Aである。
よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。

No.57808 - 2019/04/23(Tue) 22:01:37

☆ Re: 円の接線 / ＩＴ

> 以下が、まだ理解できません（ＴＴ）

まったく理解できないということですね。
図を描いて考えてみてください。

No.57809 - 2019/04/23(Tue) 22:13:49

☆ Re: 円の接線 / √

らすかるさん
有難うございました。
よく分かりました。

ＩＴさん
最後まで理解できなくて本当にゴメンナサイ。

No.57810 - 2019/04/23(Tue) 22:15:08

☆ Re: 円の接線 / √

ＩＴさん

> まったく理解できないということですね。
> 図を描いて考えてみてください。

Ｌ上に、Ａ・Ｈ・Ｂの順に並べるということですか？

No.57811 - 2019/04/23(Tue) 22:19:59

☆ Re: 円の接線 / √

ＩＴさん

やっと分かった気がします。

スミマセン、私が点Ｂを「接点」と読み間違えていました。
点Ｂは「交点」でしたね。
そしてＬが円の中を通過してしまうので、
接線にならないという解釈でよろしいでしょうか？

No.57812 - 2019/04/23(Tue) 22:41:11

☆ Re: 円の接線 / ＩＴ

そういう理解でもいいと思います。

「中を通過する。」と云わなくても
その直線Ｌと円Oが異なる２点を共有するので、直線Ｌは円Oの接線にならない。ということではあります。

なお「円の接線」の定義はどう書いてありますか？

No.57813 - 2019/04/23(Tue) 22:56:54

☆ Re: 円の接線 / √

ＩＴさん　有難うございます。

> その直線Ｌと円Oが異なる２点を共有するので、直線Ｌは円Oの接線にならない。ということではあります。
>
> なお「円の接線」の定義はどう書いてありますか？

読んだことないですけど・・・・・

円に外接している三角形の「三辺」は、
必ず、「円の中心と接点を結んだ線」と、
直角になるのかな？
と思って質問させて頂きました。

No.57815 - 2019/04/23(Tue) 23:22:36

★ 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

この問題の解答と、私の解答の不等式の等号が違うのですが、私の解答に間違いではないですか？

解答と私の解答は次のレスで載せます。

No.57795 - 2019/04/22(Mon) 17:43:39

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

青チャートの解答です

No.57796 - 2019/04/22(Mon) 17:44:16

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

こちらが自分の解答です

No.57797 - 2019/04/22(Mon) 17:45:02

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

画像あげられてなかったのでもう一回

No.57798 - 2019/04/22(Mon) 17:45:51

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

数学と関係ないですが、縦の画像が横になってしまうのはなぜですか？

No.57799 - 2019/04/22(Mon) 17:46:51

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / X

>>数学と関係ないですが、縦の画像が横になってしまうのはなぜですか？

スマホのカメラアプリの使い方が悪いです。
撮影をするときに、スマホの画面下のカメラの向きを
示すアイコンを確認していますか？
例え縦向きに構えていても、そのアイコンが
横向きを示していたら、アプリは横向きと認識して
横向きの写真が撮られてしまいます。
スマホを水平にして撮影するとよくこういうことが
起こります。
水平から少し斜めに構えるなど工夫をしてみると
よいと思います。

No.57800 - 2019/04/22(Mon) 19:47:52

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / X

で、問題の質問に対する回答ですが
青チャートさんの解答でも問題ありません。
この問題に関しては
m(t)=t^3-3t^2-9t
の場合のt=3のときの値と
m(t)=-27
の場合のt=3のときの値が
一致していますので。

No.57801 - 2019/04/22(Mon) 20:40:31

☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート

いつもありがとうございます。
写真の件も工夫しようと思います。

No.57831 - 2019/04/24(Wed) 20:33:58

★ 偏微分 / とおます

この問題を教えてください

No.57791 - 2019/04/22(Mon) 11:35:29

☆ Re: 偏微分 / X

点(0,0)において偏微分可能であることは
偏微分係数の定義に従って計算してもらえば
証明できますので、連続関数でないことの
証明だけ。

問題の関数を極座標に変換すると
f(x,y)=cosθsinθ
=(1/2)sin2θ (A)
ここで
(x,y)→(0,0)のときr→0
となりますが、(A)はこのときθの値によって
定数とはなり得ないので、
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)=f(0,0)
は成立しません。
よってf(x,y)は点(0,0)において連続では
ありません。

No.57794 - 2019/04/22(Mon) 17:37:36

☆ Re: 偏微分 / とおます

ありがとうございます！

No.57802 - 2019/04/23(Tue) 11:14:28

★ (No Subject) / 晴れ

三角形ABCがありAB=15/2,CA=12である。辺CA上にCD=7となるように点Dを取る。また角度Aの二等分線とBC,BDとの交点をそれぞれE,Fとする。さらに直線CFと辺ABの交点をGとする。この時BF=3√7/2,DG=√21であり四角形AGFDは円に内接している

BE/EC=5/8
三角形BFGと三角形BADは相似であるからFG=√7,CF=3√7
AF/FE=13/7
EF=？(解答21√3/13)

一番最後のEFの長さが求められなくて困っています。解説よろしくお願いします

No.57777 - 2019/04/21(Sun) 15:52:16

☆ Re: / らすかる

CからABに垂線CHを下ろすと
(AG+GH)^2+CH^2=AC^2=144
GH^2+CH^2=CG^2=112
上式から下式を引いてAG=4を代入してGHを求めるとGH=2
CH^2=112-GH^2=108
BH=BG-GH=3/2
BC=√(BH^2+CH^2)=√(9/4+108)=21/2

AからBCに垂線AIを下ろすと
(BC-BI)^2+AI^2=AC^2=144
BI^2+AI^2=AB^2=225/4
上式から下式を引いてBC=21/2を代入してBIを求めるとBI=15/14
AI^2=225/4-BI^2=225/4-225/196=2700/49
BE=(5/13)BC=105/2なので
AE=√{(BE-BI)^2+AI^2}=√{(105/26-15/14)^2+2700/49}=60√3/13

AF：FE=13：7なので
EF=(7/20)AE=21√3/13

# 角の二等分線の長さの公式など使えれば、もっと早く求まります。

No.57782 - 2019/04/21(Sun) 19:53:40

★ (No Subject) / 青チャート

この問題の解説で、

P_1（n）=P_2（n）
などとなるのはなぜですか？

感覚的にわかるのですが、判然としません。

解説は次のレスの画像に載せます。

No.57773 - 2019/04/21(Sun) 12:32:16

☆ Re: / 青チャート

ナゼ？とかいてあるところです。

No.57774 - 2019/04/21(Sun) 12:33:01

☆ Re: / ＩＴ

> P_1（n）=P_2（n）
写し間違いでは？

> などとなるのはなぜですか？
> 感覚的にわかるのですが、判然としません。

感覚的ではなく、漸化式の右辺がまったく同じになっていませんか？

No.57775 - 2019/04/21(Sun) 13:04:06

☆ Re: / 青チャート

すみません。写し間違いです。

P1(n)=P6(n)などのことです。

確かに同じ値になりますが、P1(n+1)=P6(n+1)が等しいのであって。P1(n)=P2(n)が何で等しいか言葉でうまく説明できません。

No.57778 - 2019/04/21(Sun) 16:36:38

☆ Re: / ＩＴ

> P1(n)=P2(n)
書き間違いでは？

m=n+1 とおくと　どうですか？

No.57780 - 2019/04/21(Sun) 16:46:26

☆ Re: / 青チャート

なるほど、そう考えると納得でした！
書き間違いの連続すみませんでした。次から気をつけます。

ありがとうございます！

No.57781 - 2019/04/21(Sun) 17:16:43

★ (No Subject) / ピアノ

「よって」まではわかるのですが、「ゆえに」からがわかりません。どういう変換をしたのですか？教えてください。

No.57765 - 2019/04/21(Sun) 02:10:50

☆ Re: / ピアノ

すみません、つけ忘れです。

No.57766 - 2019/04/21(Sun) 02:11:15

☆ Re: / ＩＴ

10^x は狭義単調増加関数なので
　a<b<c のとき　10^a<10^b<10^c です。
　a<b<c を　86<log[10](12^10)<87 におきかえて考えてください。

No.57767 - 2019/04/21(Sun) 03:10:30

☆ Re: / ピアノ

10^《log[10](12^80)》ってなりますよね…
これをどのようにして12^80にするのですか？

No.57786 - 2019/04/21(Sun) 22:16:38

☆ Re: / ＩＴ

log の定義から
　a＞0,a≠1、M＞0について、a^{log[a](M)}=M です。
教科書を確認してください。

No.57787 - 2019/04/21(Sun) 23:32:12

★ こんばんは / ピアノ

ここで平方完成した理由ってなんですか？？

No.57764 - 2019/04/21(Sun) 01:56:33

☆ Re: こんばんは / ＩＴ

「平方完成」は、２次関数の最大値（２次の係数が負の場合）、最小値（２次の係数が正の場合）を調べるための常套手段（セオリー）です。

No.57768 - 2019/04/21(Sun) 03:18:06

☆ Re: こんばんは / ピアノ

そうだったのですね！
ありがとうございます。

No.57770 - 2019/04/21(Sun) 11:00:13

☆ Re: こんばんは / ピアノ

あと、もう一つ教えてほしいです。
最大値最小値というのは頂点のことですか？

No.57771 - 2019/04/21(Sun) 11:02:44

☆ Re: こんばんは / らすかる

対数関数の最大値最小値は「頂点」とは言いません。

No.57772 - 2019/04/21(Sun) 11:49:46

★ 積分 / ゆい橋

この写真の問題なのですが、どちらのグラフが上になるのか求め方がわかりません。詳しく解説お願いしますー！

No.57762 - 2019/04/20(Sat) 22:54:08

☆ Re: 積分 / 関数電卓

題意より?Aの b,c は、b＝a^3＋1, c＝－2(a^3＋1) となり、
　y1＝ax^2＋(a－2)x－(a－2) …?@
　y2＝(a^3＋3)x^2＋(a^3＋1)x－2(a^3＋1) …?A
です。このとき、
　y1－y2＝…＝－(a^3－a＋3)(x^2＋x－2)
で、a＞0 で a^3－a＋3＞0、－2＜x＜1 で x^2＋x－2＜0 ですから、y1－y2＞0
すなわち、a＞0 では ?@がつねに上 です。

?@?Aが囲む部分の面積 S は、
　S＝∫[－2,1](y1－y2)dx＝…＝(9/2)(a^3－a＋3)
ですね。

No.57763 - 2019/04/21(Sun) 00:06:55

☆ Re: 積分 / らすかる

「どちらが上か」を考えない方法もありますね。
(求める面積)=∫[-2～1]|(?@の右辺)-(?Aの右辺)|dx
=(9/2)|a^3-a+3|
=(9/2)(a^3-a+3)　（∵a^3-a+3=(a+2)(a-1)^2+2a+1＞0）

No.57769 - 2019/04/21(Sun) 07:52:54

★ (No Subject) / 驕るな

中学3年生です。答えだけが載っていて、解き方が分かりません。

正三角形ABCの辺BC、CA上にそれぞれBD=CEである点D、Eをとる。AD、BEの交点をPとして、
(1)AD=BEを証明しなさい
(2)角APBは何度か

⑵が120度となる理由がいまいちピンときてません。円周角の定理を用いてそうだと思うのですが、各頂点が円周上の点であると言えていないので、困っています。

No.57758 - 2019/04/20(Sat) 17:27:28

☆ Re: / X

円周角の定理は使いません。

(1)の過程から
∠BAD=∠CBE
そこでこれをx[°]と置くと
△ABPに注目して
∠ADC=60+x[°]
よって△BPDに注目すると
∠BPD=∠ADC-∠CBE
=60+x-x[°]
=60°
よって
∠APB=180°-∠BPD
=120°

No.57760 - 2019/04/20(Sat) 18:55:19

★ 円と放物線 / 高3

この問題の模範解答は法線ベクトルを(2t,-1)と置いていますが
自分は(-2t , 1 ) とおきました。
するとOP=( t - 2st , t^2 + s ) となり
OP=R のy 座標より s = t^2 /{ √(4+1/t^2 ) -1 } となり
s/t → ∞ を計算すると 1/2 となります。
よってs/t → ∞ のとき ORの傾きは -1 となってしまいます。
しかし、ここの答えが1とならないと、模範解答と同じ答えになりません。自分の解答のどこが間違っているか、ご教授お願いします。

No.57754 - 2019/04/20(Sat) 16:00:11

☆ Re: 円と放物線 / 高3

模範解答はこれです。

No.57755 - 2019/04/20(Sat) 16:00:57

☆ Re: 円と放物線 / X

法線ベクトルを(-2t,1)と置いたのであれば、条件から
s＜0
となります。
そこを踏まえてもう一度計算を見直してみましょう。

No.57756 - 2019/04/20(Sat) 17:16:03

☆ Re: 円と放物線 / 高3

X さん返信ありがとうございます。
もう一度考え直したところ
S<0 となることはわかったのですが、
自分は全ての式を同地で変形したため、S<0を使う場所が見つかりません。
どこでその条件を使うか教えていただけませんか？
お願いします。

No.57757 - 2019/04/20(Sat) 17:22:13

☆ Re: 円と放物線 / X

＞＞自分は全ての式を同地で変形したため
その計算過程で
√(s^2)=s
として変形していませんか？
s＜0ですので
√(s^2)=-s
となります。

No.57759 - 2019/04/20(Sat) 18:40:15

☆ Re: 円と放物線 / X

レスがないようなのでもう少しアップしておきます。

法線ベクトルを(-2t,1)と置くと
↑OR=(t-2st,t^2+s)
ここで
PR=(Rのy座標)
ですので
√{(2st)^2+s^2}=t^2+s
∴s＜0に注意すると
-s√(4t^2+1)=t^2+s
これより
s=-(t^2)/{√(4t^2+1)+1} (A)
又、直線ORの傾きは
(t^2+s)/(t-2st)=(1+s/t^2)/(1/t-2s/t) (B)
(A)より
lim[t→∞]s/t=lim[t→∞](-t)/{√(4t^2+1)+1}
=-1/2
∴(B)より
lim[t→∞](直線ORの傾き)=(1+0)/{0-2・(-1/2)}
=1
となります。

No.57776 - 2019/04/21(Sun) 15:35:06