ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ran

この問題で、

?@でこれが収束するには=0になることが必要。と書いてありますが、これは何故ですか？？
べつに、ゼロではなくても、なにか定数項に収束する可能性はないんですか？？よろしくお願いします！

また、x≠2です！

No.57645 - 2019/04/14(Sun) 17:30:11

☆ Re: / ran

答えです

No.57646 - 2019/04/14(Sun) 17:31:08

☆ Re: / らすかる

> ゼロではなくても、なにか定数項に収束する可能性はないんですか？？
はい、ゼロでなければ収束する可能性はありません。
例えば各項が1に収束するならば総和は増え続けますので+∞に発散し、
各項が-1に収束するならば総和は減り続けますので-∞に発散します。

No.57648 - 2019/04/14(Sun) 17:40:25

☆ Re: / ran

数列だったのですね、ありがとうございます

理解できました！

No.57652 - 2019/04/14(Sun) 21:06:16

★ (No Subject) / ///

とある高校1年生です。
3.の解き方がいまいち分からないので教えて下さい。あとlnとはlogと同じと考えても大丈夫でしょうか？お願いします。

No.57643 - 2019/04/14(Sun) 16:39:36

☆ Re: / らすかる

lnは自然対数なので数学で使うlogと同じです。
f(x)=√x-logxとおくと
f'(x)=1/(2√x)-1/x=(√x-2)/(2x)
f(4)=2-log4＞0であり
x＞4のときf'(x)＞0だから
x＞4のときf(x)＞0すなわち√x＞logx
従ってx＞4のときlogx/x＜√x/xなので
0≦lim[x→∞](logx/x)≦lim[x→∞]√x/x=lim[x→∞]1/√x=0
∴lim[x→∞](logx/x)=0

No.57644 - 2019/04/14(Sun) 17:27:29

☆ Re: / 黄桃

そのような問題文を用いる「とある高校」では
L'Hospital's Rule
というのを習ってないでしょうか。それを使えば話は簡単です。

習ってなければ失礼しました。

No.57654 - 2019/04/14(Sun) 23:26:16

★ 入試問題 / 受験生

この問題の解答を教えてくたさい

No.57636 - 2019/04/14(Sun) 15:58:14

☆ Re: 入試問題 / X

(1)
条件から
(右辺)={cosθ[1]+isinθ[1]}{cosθ[2]+isinθ[2]}
=cosθ[1]cosθ[2]-sinθ[1]sinθ[2]
+i{sinθ[1]cosθ[2]+cosθ[1]sinθ[2]}
=cos{θ[1]+θ[2]}+isin{θ[1]+θ[2]}
=(左辺)

(2)
条件から
z(θ)/w(θ)=1+θ(sinθ-icosθ)/(cosθ+isinθ)
=1+θ/i
=1-iθ (A)
∴z(θ)/w(θ)の実部は1,虚部は-θ
又、条件から
z(θ+π)=-{cosθ+(θ+π)sinθ}-i{sinθ-(θ+π)cosθ}
=-z(θ)-π(sinθ-icosθ)
=-z(θ)-πw(θ)/i
=-z(θ)+πiw(θ)
∴z(θ+π)/z(θ)=-1+πiw(θ)/z(θ)
これと(A)により
z(θ+π)/z(θ)=-1+πi/(1-iθ)
=-1+πi(1+iθ)/(1+θ^2)
=-1-πθ/(1+θ^2)+πi/(1+θ^2)
∴z(θ+π)/z(θ)の
実部は-1-πθ/(1+θ^2)
虚部はπ/(1+θ^2)

(3)
条件からz(θ+π)/z(θ)は純虚数。
よって(2)の結果と複素数の相等の定義により
-1-πθ/(1+θ^2)=0
これより
θ^2+πθ+1=0
∴θ={-π±√(π^2-4)}/2
(このときz(θ+π)/z(θ)の虚部の値は存在します。)

No.57653 - 2019/04/14(Sun) 21:25:01

★ 入試問題 / 受験生

この問題の解答を教えてください。

No.57635 - 2019/04/14(Sun) 15:57:32

☆ Re: 入試問題 / X

(1)
前半)
条件から、線分ARに注目すると
↑AM=(1/2)↑AR
=(1/2)(1-r)↑AB+(1/2)r↑AC (A)
∴↑PM=↑AM-↑AP
=(1/2)(1-r)↑AB+(1/2)r↑AC-p↑AB
={(1/2)(1-r)-p}↑AB+(1/2)r↑AC (B)
後半)
条件から↑AB⊥↑ACゆえ
↑AB・↑AC=0
これと
AB=2
AC=√2
に注意すると、(A)(B)から
↑AM・↑PM=(1/2)(1-r){(1/2)(1-r)-p}AB^2
+{(1/4)r^2}AC^2
=(1-r){(1-r)-2p}+(1/2)r^2 (C)
ここで線分PQに関する折り曲げによる
△APRの対称性から
↑AM⊥↑PM
∴↑AM・↑PM=0 (D)
(C)(D)から
(1-r){(1-r)-2p}+(1/2)r^2=0
∴p=(1/2)(1-r)+(r^2)/(1-r)
=(1/2)(1-r)-{r+1+1/(r-1)}
=-(3/2)r-1/2-1/(r-1) (E)

(2)(3)は方針だけ。

(2)
まずは前準備。
条件から
↑AP=p↑AB
↑AQ=q↑AC
これらと(A)により
↑AM={(1/2)(1-r)/p}↑AP+{(1/2)r/q}↑AQ (A)'
ここで点Mは線分PQ上の点なので
(A)'から
(1/2)(1-r)/p+(1/2)r/q=1 (F)
0＜p＜1 (G)
0＜q＜1 (H)

(E)(F)にr=1/2を代入してp,qについての連立方程式を導きます。
但し、得られた値が(G)(H)が満たすかどうかを確かめます。

(3)
(E)(F)にp=1/2を代入してq,rについての連立方程式を導きます。
但し、得られた値が(H)と
0＜r＜1 (I)
が満たすかどうかを確かめます。

No.57651 - 2019/04/14(Sun) 21:01:24

★ 入試問題 / 受験生

この問題の解答を教えてください

No.57634 - 2019/04/14(Sun) 15:56:39

☆ Re: 入試問題 / らすかる

(1)二項定理でa=b=1とします。
(2)(n+1)×(1)です。
(3)
n!/{(n-j)!(j-i)!i!}
=n!/{(n-j)!j!}・j!/{(j-i)!i!}
なので
Σ[j=0～n]Σ[i=0～j]n!/{(n-j)!(j-i)!i!}
=Σ[j=0～n]Σ[i=0～j]n!/{(n-j)!j!}・j!/{(j-i)!i!}
=Σ[j=0～n]〔n!/{(n-j)!j!}・Σ[i=0～j]j!/{(j-i)!i!}〕
=Σ[j=0～n]〔n!/{(n-j)!j!}・2^j〕
となり、これは二項定理でa=1,b=2とすれば求められます。

No.57642 - 2019/04/14(Sun) 16:31:09

★ (No Subject) / TEN

この問題の四角4番がどうしても分かりません。
どなたか教えて下さい！

No.57632 - 2019/04/14(Sun) 14:57:28

☆ Re: / らすかる

「四角4番」とは左上に太字で書かれている「4」を指しているのでしょうか。
（四角があるようには見えませんが）
もしそうなら、

(1)
Dから直線ABと直線ACに垂線DP,DQを下ろすと
△DPA≡△DQAとなりますので、DP=DQです。
よって△ABD=AB×DP÷2、△ACD=AC×DQ÷2から
△ABD：△ACD=AB：ACなので、
AB：AC = △ABD：△ACD = BD：CD
となります。

(2)
AB：AC=BD：CDなので
15：11=10+CD：CD
11(10+CD)=15CD
4CD=110
∴CD=55/2

No.57633 - 2019/04/14(Sun) 15:10:55

☆ Re: / テネシン

四角はありませんでした、、ただの4番です。
△DPAと△DQAはどうして合同になるんですか？
色々と聞いてすみません…

No.57640 - 2019/04/14(Sun) 16:08:08

☆ Re: / らすかる

垂線を下ろしたので∠DPA=∠DQA=90°
条件から∠DAP=∠DAQ
よって∠ADP=∠ADQであり、
ADが共通でその両端の角が等しいので
△DPA≡△DQAです。

No.57641 - 2019/04/14(Sun) 16:20:19

★ (No Subject) / テネシン

この問題の1番が分かりません。

No.57627 - 2019/04/14(Sun) 14:11:50

☆ Re: / らすかる

どれが1番か写真から読み取れません。

No.57628 - 2019/04/14(Sun) 14:45:58

☆ Re: / テネシン

四角4の1番です。
見にくくてすみませんでした

No.57629 - 2019/04/14(Sun) 14:52:07

☆ Re: / テネシン

四角4の1番です。
見にくくてすみませんでした

No.57630 - 2019/04/14(Sun) 14:52:31

☆ Re: / テネシン

フラッシュで余計見にくかったのでもう1回撮り直します

No.57631 - 2019/04/14(Sun) 14:55:44

★ (No Subject) / 冷

画像の√2r-はどこから出てきたか分かりますか？そう仮定してるだけですかね？あと、なぜ√3r-/2が=になるのかも教えて頂けるとありがたいです。お願いいたします。

No.57620 - 2019/04/13(Sat) 22:36:49

☆ Re: / X

写真の真ん中の図の円の上に書かれている長方形は
写真の上の図の立方体を、下二つの球のある
対角線と、真ん中の球の中心を含む平面で
切ってできたものと一致しています。
この長方形の横の長さは2r^-
長方形の縦の長さは立方体の一辺の長さに
なっていますので
(2r^-)/√2=(√2)r^-
となります。

後は写真の真ん中の図の長方形の対角線を
斜辺とする直角三角形に三平方の定理を
適用します。

No.57621 - 2019/04/14(Sun) 00:56:12

☆ Re: / 冷

解説ありがとうございます。
長方形の横の長さが2r^-なのは分かるのですが、そこからなぜ(2r^-)/√2をしたら長方形の縦の長さが求められるのか分かりません。あと、自分が勘違いしてるだけかもしれませんが、長方形だったら立方体にはならない気がするのですが、違いますか？

No.57622 - 2019/04/14(Sun) 09:06:45

☆ Re: / らすかる

1辺がaの立方体ABCD-EFGHをA,C,E,Gを含む平面で切ったら、
AC=EG=(√2)a, AE=CG=aですから
長辺の長さが短辺の長さの√2倍である長方形になりますね。

No.57623 - 2019/04/14(Sun) 09:12:54

☆ Re: / 冷

なるほど！なんで長方形になるのかと長方形の縦の長さが(√2)r^-になるのか分かりましたが、
長方形の対角線を斜辺として三平方の定理を適用すると、斜辺が√6になり、√6/2になるのですが、√3/√2と答えは一緒ですが、どういう考え方をすれば√3/√2になりますか？

No.57624 - 2019/04/14(Sun) 10:05:59

☆ Re: / らすかる

長方形の対角線の交点からどちらかの辺に垂線を下ろして
できた小さい直角三角形について三平方の定理を適用すると、
√{1^2+(√2/2)^2}=√(1+1/2)=√(3/2)
となりますね。

No.57625 - 2019/04/14(Sun) 10:57:38

☆ Re: / 冷

なるほど理解できました❗本当に助かりました、ありがとうございました❕

No.57626 - 2019/04/14(Sun) 11:12:37

★ 方程式 / 和結

2x+|x+1|+|x-1|=6
という方程式を解く問題なんですが,不等号の部分がよく分かりません
x≧1はイコールがついているのに
x<1ではイコールがついてない…

No.57615 - 2019/04/13(Sat) 22:14:38

☆ Re: 方程式 / 和結

最後の行はx<-1の間違いです

No.57616 - 2019/04/13(Sat) 22:15:23

☆ Re: 方程式 / ＩＴ

x=-1,1 のときは、それぞれ　どちらかで考えればいいです。

No.57617 - 2019/04/13(Sat) 22:21:43

☆ Re: 方程式 / ＩＴ

x＞1のとき　2x+(x+1)+(x-1)=6
-1≦x≦1のとき　2x+(x+1)-(x-1)=6
x＜-1のとき　2x-(x+1)-(x-1)=6

としてもいいです。

x≧1のとき　2x+(x+1)+(x-1)=6
-1＜x＜1のとき　2x+(x+1)-(x-1)=6
x≦-1のとき　2x-(x+1)-(x-1)=6

としてもいいです。

No.57618 - 2019/04/13(Sat) 22:26:08

☆ Re: 方程式 / 和結

そうなんですね。
ありがとうございました。

No.57619 - 2019/04/13(Sat) 22:31:12

★ めっちゃ初歩的な質問です / an

とても初歩的なことなんですが、

このような問題で、
合同式を用いて証明できる理由がわかりません。

x^2+4x=5p-2が合同式によって整数解を持たないと導けるのはなぜですか？？

No.57609 - 2019/04/13(Sat) 13:53:28

☆ Re: めっちゃ初歩的な質問です / ＩＴ

mod5 で考えます。
　　任意の整数ｘについて、右辺≡-2≡3です。
　　x≡0,1,2,3,4 について,それぞれ左辺を計算してください。　

No.57610 - 2019/04/13(Sat) 14:11:24

★ 数に関する問題 / ran

この問題の⑶の解説で

最後の数学的帰納法で、S4(k+1)-3などを証明している時、
4S4k ≡4としているのはなぜですか？
どこからわかるんでしょうか、
また、それと同時にS4k+1≡4・4になるのも教えていただきたいです！
おねがいします！

No.57601 - 2019/04/12(Fri) 23:07:45

☆ Re: 数に関する問題 / ran

答えです

No.57602 - 2019/04/12(Fri) 23:08:38

☆ Re: 数に関する問題 / ＩＴ

> 最後の数学的帰納法で、S[4(k+1)-3]などを証明している時、
> 4S[4k] ≡4としているのはなぜですか？

4S[4k] ≡4・2 としているのではないですか？

数学的帰納法の仮定から来ています。

※画像が小さくて確認しにくいです。該当部分をクローズアップしてUPされるといいと思います。
数列の添え字は[]で囲むと紛れがなくなります。S[4k]

No.57606 - 2019/04/13(Sat) 00:59:43

☆ Re: 数に関する問題 / ran

そうです！
4S[4k]を4・2としています！

なんででしょうか？

No.57607 - 2019/04/13(Sat) 09:48:45

☆ Re: 数に関する問題 / ＩＴ

前にも書きましたが、数学的帰納法の仮定から来ています。

n=kのとき?Dが成立すると仮定しているので

S[4k]≡2　（mod10) です。

※この問題で使っているのは少し複雑な「数学的帰納法」ではありますが、「数学的帰納法」の原理が分かっておられない可能性がありますので、教科書で確認し、シンプルな問題をいくつかやって見られることをお勧めします。

No.57608 - 2019/04/13(Sat) 10:10:19

★ (No Subject) / 指数関数

(1/9)^x＋2*(1/3)-3＝0
の解き方もお願いします。

No.57592 - 2019/04/12(Fri) 22:11:55

☆ Re: / らすかる

(1/9)^x+2*(1/3)-3=0
(1/9)^x+2/3-3=0
(1/9)^x-7/3=0
(1/9)^x=7/3
1/(9^x)=7/3
9^x=3/7
3^(2x)=3/7
2x=log[3](3/7)
2x=log[3]3-log[3]7
2x=1-log[3]7
∴x=(1-log[3]7)/2
となります。

No.57595 - 2019/04/12(Fri) 22:17:32

☆ Re: / 指数関数

ごめんなさい……まだlogというものを習っていなくて…
他の解答例はあるのでしょうか？

No.57598 - 2019/04/12(Fri) 22:31:40

☆ Re: / らすかる

ありません。問題が正しければ、答えには必ずlogが出てきます。
2*(1/3)-3 という単なる計算部分は問題として不自然に見えますが、
問題が間違っていませんか？

No.57599 - 2019/04/12(Fri) 22:55:10

☆ Re: / ＩＴ

logを習っていないなら
(1/9)^x＋2*(1/3)^x-3＝0 の間違いでは？

No.57605 - 2019/04/13(Sat) 00:42:36

★ (No Subject) / 指数関数

1/49^2x＝7^6-x
の解き方を教えてください！

No.57591 - 2019/04/12(Fri) 22:10:14

☆ Re: / らすかる

1/49^2x=7^6-xは
1/{49^(2x)}=(7^6)-(x)
と解釈されますが、この解釈でいいですか？

No.57593 - 2019/04/12(Fri) 22:13:44

☆ Re: / 指数関数

はい。すみません、そうです。

No.57597 - 2019/04/12(Fri) 22:30:25

☆ Re: / らすかる

本当に
1/{49^(2x)}=(7^6)-(x) なのですか？
1/{49^(2x)}=7^(6-x) ではありませんか？

No.57600 - 2019/04/12(Fri) 22:59:03

☆ Re: / 指数関数

そうですね！！
勘違いしてしまいました。
申し訳ありません。

No.57603 - 2019/04/12(Fri) 23:16:35

☆ Re: / らすかる

それならば
1/{49^(2x)}=7^(6-x)
(1/49)^(2x)=7^(6-x)
{7^(-2)}^(2x)=7^(6-x)
7^{(-2)×(2x)}=7^(6-x)
7^(-4x)=7^(6-x)
-4x=6-x
これを解いてx=-2
となります。

No.57604 - 2019/04/12(Fri) 23:19:30

★ 微分法の応用 / ひかり

表面積が18である直方体のすべての辺の長さの和が24であるとき、この直方体の体積の最大値を求めよ。

縦、横、高さをx、y、zとします。

条件より、x+y+z=6、xy+yz+zx=9で、体積Vとおくと、xyz=Vなので、x、y、zはt∧3-6t∧2+9t-V=0の3実数解になります。

V=t∧3-6t∧2+9t=f(t)として、右辺のグラフを描き、V=f(t)が、交わる条件を求めればよいと思ったのですが、tが重解や3重解を持つ場合も許されるとすると、Vはいくらでも大きくなれるので、最大値がなくなってしまいます。どこを間違えているのでしょうか？

No.57586 - 2019/04/12(Fri) 18:00:14

☆ Re: 微分法の応用 / ＩＴ

３重解でも２重解でもＯＫです。（実際3重解を持つことはないですが）

3重解を持つことがないことは、
x=y=z=2 のとき　xy+yz+zx=12。からも分かりますし、y=f(t) のグラフからも分かります。

Vはいくらでも大きくはならないと思いますが、グラフを描いてみられたのですか？

なお、x,y,z は正の数です.（もちろん実数）

No.57587 - 2019/04/12(Fri) 18:07:25

☆ Re: 微分法の応用 / ひかり

ありがとうございました。

No.57589 - 2019/04/12(Fri) 21:20:03