ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / アパー

サイコロを4回投げた時に出る目を順にx.y.z.wとする
(1)x≦y≦z≦w
(2)x≦y<z≦w

(1)で lOlOlOlOl lは境目で確率でよく使うやつですなぜこれが使えるのでしょうか？
また(2)もこれを利用して解けるのでしょうか？
答えは 126. 70です

No.56914 - 2019/02/24(Sun) 18:34:18

☆ Re: / らすかる

> (1)x≦y≦z≦w
> (2)x≦y<z≦w
これだけでは問題になっていません。
答えから
(1)x≦y≦z≦wとなる場合の数を求めよ。
(2)x≦y<z≦wとなる場合の数を求めよ。
だろうと推測はできますが、問題はきちんと書きましょう。

(1)は
1≦x≦y≦z≦w≦6
4個の○と5個の仕切りを並べて
「4個の○を左から順にx,y,z,w」
「それぞれの値は○より左にある仕切りの個数+1」
と決めれば、
例えば||○|○|○○|→x=3,y=4,z=w=5
のように決まって元の条件とこの並べ方が1対1に対応しますので、
9C4=126と求められます。

(2)は
1≦x≦y＜z≦w≦6
を
1≦x≦y≦z-1≦w-1≦5
としてX=x,Y=y,Z=z-1,W=w-1とすると
1≦X≦Y≦Z≦W≦5
となり、(1)と同様にして8C4=70と求まります。

No.56916 - 2019/02/24(Sun) 18:55:33

☆ Re: / アパー

申し訳ございませんorz
ありがとうございました！

No.56918 - 2019/02/24(Sun) 20:32:54

★ (No Subject) / 独学は辛いよ

a,bを定数とする。関数f(x)=x^(3)+ax^(2)+bx-2が次の２つの条件(i),(ii)を満たす。
(i) f(0),f'(0),f"(0),f"'(0)の符号が交互にかわる。
(ii)x>0の範囲でf(x)=0の解はx=
2だけである。
このとき、aの値の範囲を求めるとき、f(1)の値を調べる理由が分かりません。また、f(1)<0になるのは何故でしょうか？
解説をお願いします。

No.56910 - 2019/02/24(Sun) 17:25:35

☆ Re: / らすかる

唐突にf(1)を調べているのではなく、
その前にいろいろ書かれているのではないでしょうか？
もし書かれているのであれば、
f(1)の値を調べる前までの部分を書いて下さい。

No.56911 - 2019/02/24(Sun) 17:42:33

☆ Re: / 独学は辛いよ

解説です。

No.56912 - 2019/02/24(Sun) 17:45:11

☆ Re: / らすかる

右側が切れている行がf(1)を調べている理由なのですが、
…=3(x^2-1)+2a(x-1)=(x-1)(3x+3+2a)
となっているのでしょうか。
この式によって、f(x)はx=1とx=-(2a+3)/3で極値をとることがわかります。
（ただし-(2a+3)/3=1すなわちa=-3のときは極値なし）
他の条件からf(0)＜0,f(2)=0であることがわかっていますので
(ii)を満たすためには0＜x＜2でf(x)＜0でないといけません。
-(2a+3)/3＞1すなわちa＜-3のときf(1)が極大値なので
「f(1)＜0」⇔「0＜x＜2でf(x)＜0」
0＜-(2a+3)/3＜1すなわち-3＜a＜-3/2のときf(-(2a+3)/3)が極大値ですが
-3＜a＜-3/2ならばf(-(2a+3)/3)=a(2a+9)^2/27＜0なので
この場合は0＜x＜2でf(x)＜0が成り立ちます。
f(1)が極大でないときでもf(1)＜0は満たさなければなりませんので、
結局単にf(1)＜0だけ満たせば十分です。

# しかしこの解説では-3＜a＜-3/2のときにf(-(2a+3)/3)＜0を
# 満たすことに言及していませんので、この解説では不十分だと思います。

No.56913 - 2019/02/24(Sun) 18:14:33

☆ Re: / 独学は辛いよ

丁寧にありがとうございます。

No.56915 - 2019/02/24(Sun) 18:54:57

★ 高2 / マーチン

情報の問題なのですが、問2がどうしてもわかりません。なぜ答えが16、777.216なのな解説お願いします

No.56903 - 2019/02/24(Sun) 15:30:20

☆ Re: 高2 / IT

解説のとおりだと思いますが、どこが分かりませんか？

No.56904 - 2019/02/24(Sun) 15:38:41

☆ Re: 高2 / TIFF

256×256×256がどうして16.77.216になるのかがわかりません

No.56905 - 2019/02/24(Sun) 15:47:37

☆ Re: 高2 / マーチン

256×256×256がどうして16.77.216になるのかがわかりません

No.56906 - 2019/02/24(Sun) 15:47:53

☆ Re: 高2 / らすかる

256×256×256は256を256倍して、その結果を256倍すればよいので
256×256=65536
65536×256=16777216
となります。
16,777,216は16777216を見やすくするために
3桁ずつ区切ったものです。

No.56908 - 2019/02/24(Sun) 16:07:21

☆ Re: 高2 / マーチン

なるほど！ありがとうございます

No.56924 - 2019/02/25(Mon) 08:29:53

★ (No Subject) / あわわわん

(iii)の
(ii)を繰り返し用いてから分かりません
宜しくお願いします

No.56886 - 2019/02/23(Sat) 20:18:11

☆ Re: / X

a[n+1]-2/a[n]^2=b[n]
と置くと(ii)の結果から
b[n]＜(2/3)b[n-1] (A)
これより
b[n-1]＜(2/3)b[n-2] (A)'
b[n-2]＜(2/3)b[n-3] (A)"
…
b[2]＜(2/3)b[1] (B)
となることはよろしいですか？
ここで(A)の右辺に(A)'を用いると
b[n]＜(2/3)b[n-1]＜(2/3){(2/3)b[n-2]}
∴b[n]＜{(2/3)^2}b[n-2]
これの右辺に更に(A)"を用いて…
という調子で同じ操作を(B)まで繰り返すと
b[n]＜{(2/3)^(n-1)}b[1] (C)
となります。

参考)
(A)の不等号を=とした漸化式を解いた
b[n]={(2/3)^(n-1)}b[1]
と(C)をよく見比べてみましょう。

No.56890 - 2019/02/23(Sat) 20:43:57

☆ Re: / あわわわん

めちゃめちゃ分かり易かったです！
国公立入試が高いためとても助かりました！

No.56891 - 2019/02/23(Sat) 21:03:36

★ 体積 / 瑠璃

間違えている点をご指摘ください。

座標空間内に円C:x^2+y^2=a^2かつz=0(a＞0)があり、C上の点Pを中心とする半径aの円盤Dをx軸に垂直な位置に置く。Dをx軸に垂直な状態を保ちながら、中心PがC上を1回転するときにDが通過する空間領域の体積Vを求めなさい。

P(acosθ,asinθ,0)とおきます。ただし0≦θ≦2πとします。
x=tでの切り口を考えます。対称性から0≦t≦aの部分の体積を求め、あとで2倍します。
x=tでの切り口は、C1:(y-asinθ)^2+z^2=a^2とC2:(y+asinθ)^2+z^2=a^2の和集合になります。切り口の面積は2πa^2からC1とC2の共通部分を引いたものになります。C1とC2のz軸上の交点をA、Bとし、C1の中心D(t,asinθ,0)とします。扇形DABから?僖ABの面積を引いたものはC1とC2の共通部分の半分になります。この面積をTとすれば、∠DAB=θであることに注意して、T=a^2(π-2θ)/2-a^2sin(π-2θ)/2となります。よって、x=tでの切り口の面積S(t)はS(t)=2πa^2-2T=2πa^2-a^2(π-2θ)+a^2sin(π-2θ)になります。V/2=∫[0,a]S(t)dtにおいて、t=acosθに注意してtをθで置換積分して、V/2=[π/2,0]{2πa^2-a^2(πー2θ)+2a^2sin2θ}(-asinθ)dθとなり、これを計算して、(2π+16/3)a^3と求まりました。

しかし解答は(4π-2/3)a^3となっています。何度計算しても答えに合いません。どこを間違えているのでしょうか。訂正方法とともに教えてください。よろしくお願いします。

あと聞くところによると、この問題はz=tでの切り口の面積を求めるのが普通のやり方だそうですが、この場合の求め方がよくわかりません。合わせて教えていただけると幸いです。

No.56885 - 2019/02/23(Sat) 19:49:19

☆ Re: 体積 / X

>>V/2=[π/2,0]{2πa^2-a^2(πー2θ)+2a^2sin2θ}(-asinθ)dθとなり、
V/2=[π/2,0]{2πa^2-a^2(π-2θ)+a^2sin2θ}(-asinθ)dθ
のタイプミスですか？
もし、ここがタイプミスであるなら、確かに
V=(2π+16/3)a^3
となります。
これも解答の方が間違っているものと思われます。

No.56929 - 2019/02/25(Mon) 17:08:31

☆ Re: 体積 / X

＞＞あと聞くところによると、この問題はz=tでの切り口の面積を求めるのが
＞＞普通のやり方だそうですが
初見でこの問題を解くのであれば、私も瑠璃さんと同じ方針で解きます。

No.56930 - 2019/02/25(Mon) 17:10:20

☆ Re: 体積 / noname

素朴な疑問なんだが、この「解答」の作成者(z=tで切る氏)は何者なんだろう。
z=tで切る氏の間違いの傾向が分かれば、手間が省ける気がする。

No.56934 - 2019/02/25(Mon) 19:42:28

☆ Re: 体積 / noname

ちなみにz=tで切ると、端が切れた楕円のバウムクーヘン型になるから、多分めちゃくちゃめんどくさいよこれ。

No.56936 - 2019/02/25(Mon) 20:01:54

☆ Re: 体積 / noname

ごめん、楕円ちゃうわ。中心がずれていく円弧だ。めんどくさ。

No.56943 - 2019/02/26(Tue) 10:36:04

☆ Re: 体積 / noname

解答作成者の誤りを(たぶん)再現できたので報告。
z=tで切った断面の境界を作る円弧は、実際は半径一定,中心が一定でない円弧であるのに対し、中心が一定であると誤解すると似た答えになる。

No.56944 - 2019/02/26(Tue) 11:14:56

☆ Re: 体積 / 瑠璃

御回答ありがとうございました。

No.56956 - 2019/02/28(Thu) 17:05:42

★ 体積 / 瑠璃

間違えている点をご指摘ください。

xy平面状に光を通さないスクリーンを張り、その上に不透明な円柱x^2+y^2≦1かつ0≦z≦1を置く。点A（-2,0,2）の位置にある点光源による円柱の影が作る立体をWとする。このとき、Wの体積Vを求めよ。

z=k(0≦k≦1)による断面積を考えます。z=k上のxy平面の原点をC、点Qを(-2,0,1)、QからCを中心とする半径1の円に引いた接線と円Cの接点をA、B、点Rを(4-3k,0,k)とします。Cを中心とするRを通る円と接線QA、接線QBの交点D、Eとします。
求める断面積は線分QDと線分QEと弧DEで囲まれる部分Fから、線分QAと線分QBと弧ABで囲まれる部分Gを引いた部分です。
Gの面積は2?儔AC+扇形AB=2・√3・1・1/2+1＾2・2π/3・1/2=√3+2π/3です。FとGの相似比は4-3k:1なので面積比は(4-3k)^2:1^2なので、FからGを引いた部分の面積は(√3+2π/3)(9k^2-24k+15)であり、よって求める体積は∫[0,1](√3+2π/3)(9k^2-24k+15)=6(√3+2π/3)と求まりました。

でも答えは(8/9)π＋4√3/3となっており、全然合いません。

どこを間違えているのでしょうか。訂正方法とともに教えてください。よろしくお願いします。

No.56880 - 2019/02/23(Sat) 17:39:54

☆ Re: 体積 / らすかる

> z=k上のxy平面の原点をC
C(0,0,k)という意味ですか？

> 点Qを(-2,0,1)
(-2,0,k)の間違いですか？

> Cを中心とするRを通る円と接線QA、接線QBの交点D、Eとします。
Cを中心と考えてはいけないのでは？
Rを通る円の中心は(2-2k,0,k)で、Qからこの円に引いた接線の接点を
D,Eとしなければいけないと思います。
ただし相似比で計算していますので、以降の計算とは関係ないようですが。

> FとGの相似比は4-3k:1なので
相似比は2-k:1では？
相似比2-k:1で計算すると答えと合いますね。

No.56897 - 2019/02/24(Sun) 05:52:14

☆ Re: 体積 / 瑠璃

御回答ありがとうございました。いろいろ勘違いしていたのがよくわかりました。

No.56900 - 2019/02/24(Sun) 09:05:47

★ 体積 / 瑠璃

間違えている点をご指摘ください。

xy平面上の曲線Ｃ：y＝sinx（０≦x≦π）上に点Ｐ（t,sint）をとり、ＰでのＣの法線とx軸との交点をＱとする。線分ＰＱを底辺とする高さsintの長方形ＰＱＲＳをxy平面に垂直にその上方（z≧０）に作る。実数tが０からπまで変化するとき、この長方形ＰＱＲＳが通過する部分の体積Ｖを求めよ。

Pからx軸に垂線PHを引きます。S(t)をy=sinxの0≦x≦tの部分とx軸で囲まれる部分の面積と?儕QHの和と定義します、
S(t)=∫[0,t]=sinxdx+(sint)^2cost/2=(sint)^2cost/2-cost+1なので、ds/dt=(cost)^2sint-(sint)^3/2+sintなので、ds={(cost)^2sint-(sint)^3/2+sint}dtであり、dV=sintdsなのでV=∫[0,π]{(cost)^2sint-(sint)^3/2+sint}sintdt=∫[0,π]{(cost)^2(sint)^2-(sint)^4/2+(sint)^2}sintdt=7π/16と求まりました。

でも答えは9π/16になっています。何度計算し直しても答えが合いません。どこを間違えているのでしょうか。訂正方法とともに教えてください。よろしくお願いします。

あと聞くところによると、z=kでの断面を考えるといいそうですが、その場合のやり方がよくわからないのでこれも教えていただければ幸いです。

No.56878 - 2019/02/23(Sat) 17:05:33

☆ Re: 体積 / X

解答の方が間違っていますね。
z=kでの断面を考える方針で解いてみましたが、こちらでも
V=7π/16
となりました。

但し、瑠璃さんの方針での計算ですがVの立式がおかしいですね。
瑠璃さんのS(t)の定義だとS(t)は0≦t≦π/2でしか定義できない
ことと、問題の立体の対称性から
V=2∫[0→π/2]S(t)sintdt
と計算しないといけません。
しかし、この式で改めてVを計算してもやはり
V=7π/16
となります。

ちなみにz=kでの断面を考える方針での別解は
以下の通りです。

別解)
k=sint(0≦t≦π/2) (A)
のときの点PをP'とし、更に
このときのtに対し、
点P"(π-t,sint)
を考えると、問題の立体の平面z=k(0≦k≦1)
による断面は
曲線C
x軸
点P',P"におけるCの法線
で囲まれた図形となります。
この図形は直線x=π/2について対称であることから
断面積をSとすると
S=2{∫[t→π/2]sinxdx-(1/2)(sintcost)sint}
=2cost-cost(sint)^2
=cost+(cost)^3 (B)
又
V=∫[0→1]Sdk (C)
ここで(A)より
dk=costdt
で
k:0→1にt:0→π/2が対応するので
V=∫[0→π/2]Scostdt
=∫[0→π/2]{cost+(cost)^3}costdt
=∫[0→π/2]{(cost)^2+(cost)^4}dt
=∫[0→π/2]{(1/2)(1+cos2t)+(1/4)(1+cos2t)^2}dt
=∫[0→π/2]{(1/2)(1+cos2t)+1/4+(1/2)cos2t+(1/8)(1+cos4t)}dt
=(π/2)(1/2+1/4+1/8)
=7π/16

No.56888 - 2019/02/23(Sat) 20:23:18

☆ Re: 体積 / 瑠璃

御回答ありがとうございました。大変参考になりました。

No.56895 - 2019/02/24(Sun) 01:38:17

★ 立方体の影の面積 / 瑠璃

間違えている点をご指摘ください。

座標空間内に、4点A（a,0,0）、B（0,a,0）、C（-a,0,0）、D（0,-a,0）（a>0）を頂点とする正方形を底面とする不透明な立方体がx-y平面に置かれている。また、円x^2+y^2=a^2かつz=2a上を点光源Pが点（a,0,2a）を出発して、12秒間で1周するように回転している。出発してから、t秒後の点光源Pによる立方体の影の面積をS(t)とするとき、S(t)の最大値を求めよ。

立方体をABCD-EFGHとします。P(acosπt/6,asinπt/6,2a)とします。対称性から0≦t≦3/2とします。Q(acosπt/6,asinπt/6,0)とします。PE、PF、PG、PHとxy平面の交点I、J、K、Lとします。このとき、五角形QBCDAと五角形QJKLHは相似で、相似比はQBCDA：QJKLH=√2a:2(√2+1)aなので、面積比は1:6+4√2です。よって影の領域の面積S(t)はS(t)=QJKLH-QBCDA=(6+4√2)QBCDA-QBCDA=(5+4√2)QABCDです。OBCDA=正方形ABCD+?儔ABです。ABCDの方は面積(√2a)^2=2a^2です。?儔ABの方は明らかにt=3/2のとき最大になり、そのときの面積は(√2-1)a^2/2です。以上の考察により、S(t)の最大値は(5+4√2){(√2-1)a^2/2+2a^2}=(23+17√2)a^2/2となります。

でも答えは(8+6√2)a^2となっていて、何度計算し直しても答えが合いません。

どこを間違えているのでしょうか。訂正方法とともに教えてください。よろしくお願いします。

No.56877 - 2019/02/23(Sat) 16:35:33

☆ Re: 立方体の影の面積 / らすかる

(23+17√2)a^2/2で合っていると思います。

No.56881 - 2019/02/23(Sat) 17:56:13

☆ Re: 立方体の影の面積 / 瑠璃

御回答ありがとうございました。

そうなんですね。解答が間違ってたんですね。

No.56882 - 2019/02/23(Sat) 18:18:09

★ (No Subject) / TIFF

2連続投稿申し訳ないです。4番がよくわかりません。ab＝glによりg＝12と求めたのですが、そこからの求め方がわからず、答えが一致しません。解説よろしくお願いします。答えは12と480,60と96と書いてあります。

No.56875 - 2019/02/23(Sat) 15:31:06

☆ Re: / らすかる

5760=2^7×3^2×5^1
480=2^5×3^1×5^1
なので
2数を素因数ごとに考えると
2は2^5と2^2（大きい方が2^5で積が2^7だから）
3は3^1と3^1（大きい方が3^1で積が3^2だから）
5は5^1と5^0（大きい方が5^1で積が5^1だから）
となるので、組み合わせは以下の2通り
2^5×3^1×5^1 と 2^2×3^1×5^0 → 480と12
2^5×3^1×5^0 と 2^2×3^1×5^1 → 96と60

No.56879 - 2019/02/23(Sat) 17:10:30

★ (No Subject) / TIFF

カッコ2の解き方がわかりません。解説お願いします

No.56871 - 2019/02/23(Sat) 14:48:02

☆ Re: / noname

整数解の基本は、(整数)×(整数)=(整数)の形にすること。
まず、aでくくる(bでもよい)。
a(b+2)+4b=3
くくってできた(b+2)の形を、残りのパーツで無理やり作る。
4bに注目して、4(b+2)を作りたい。しかし、勝手に4bを4(b+2)にしてしまうと、4(b+2)=4b+8なので、8だけ増えてしまう。そこで、帳尻を合わせるためにあとで8を引く。
a(b+2)+4(b+2)-8=3
(a+4)(b+2)=11
a+4もb+2も整数なので、かけて11になる組み合わせは限られる。その組み合わせを片っ端から書いて、最後にa,bの値に直す。

No.56873 - 2019/02/23(Sat) 14:57:09

☆ Re: / TIFF

なるほどです！ありがとうございます！

No.56874 - 2019/02/23(Sat) 15:27:52

☆ Re: / IT

一般に
axy+bx+cy+d=0 ⇔ (ax+c)(ay+b)=bc-ad　です。
右辺を展開して確かめてみて下さい
公式として覚える必要はないです。平方完成と同様に式変形していけば良いです。

この問題の場合は　xはa,yはb,aは1,bは2,cは4,dは-3です

No.56889 - 2019/02/23(Sat) 20:32:07

★ (No Subject) / 独学は辛いよ

添付図の(2)の解説の一行目と二行目がよく分かりません。疑問に思う所を赤で書きました。
解説をお願いします。

No.56869 - 2019/02/23(Sat) 13:56:13

☆ Re: / ぽけっと

中括弧内の式変形をもう少し詳しく書くと

log{(n+1)(n+2)…(n+n)} - n*log(n)
= log(n+1) + log(n+2) + … + log(n+n) - n*log(n)
= {log(n+1)-log(n)} + {log(n+2)-log(n)} + … + {log(n+n)-log(n)}
= log{(n+1)/n} + log{(n+2)/n} + … + log{(n+n)/n}
= log(1 + 1/n) + log(1 + 2/n) + … + log(1 + n/n)

となります。

最初の「なんでlogをつけるか？」という質問は、「なぜlogをとるというテクニックを思いつけるのか」、という意味ですよね。

慣れればこういう問題ではlogを取ってみたくなる、という答え以外を考えるのが難しいですね・・・
logをとることで掛け算を足し算に変えることができるので、この問題のように考えやすくなる場合は多々ありますね。

No.56870 - 2019/02/23(Sat) 14:38:30

☆ Re: / noname

まず、出来のいい入試問題は無駄な計算はさせない。
(1)が前振りだということを踏まえた上で、
積分をさせたいのだろうと予想し、
極限をとっているから区分求積法か何かだろうと予想する。
区分求積法なら和の形になっていなければならないが、
a_nは積の形になっている。
積を和の形にする方法→対数を取る。
という思考過程。

で、その式変形はあまりうまくない。-nlognにする意味があまりない。
最初から1/n{log((n+1)/n)+log((n+2)/n)+…+log((n+n)/n)}にした方が見通しが良い。

No.56872 - 2019/02/23(Sat) 14:49:30

☆ Re: / 独学は辛いよ

ありがとうございます

No.56876 - 2019/02/23(Sat) 16:21:53

★ (No Subject) / 独学は辛いよ

f(x)=(x-1)^2(x-a)がx=1+aで極大になるとき、aの値を求める際にf"(1+a)<0になるのは何故でしょうか？
解説をお願いします。

No.56856 - 2019/02/22(Fri) 22:39:33

☆ Re: / らすかる

x=1+aで極大ということは
x=1+aで上に凸だからです。

No.56858 - 2019/02/22(Fri) 22:49:55

☆ Re: / 独学は辛いよ

そうでしたね。ありがとうございます

No.56859 - 2019/02/22(Fri) 22:57:20

☆ Re: / 独学は辛いよ

ん？けど、上に凸の場合で
x=1+aで極大となるとき必ずf"(1+a)<0になるのでしょうか？

No.56860 - 2019/02/22(Fri) 23:00:46

☆ Re: / らすかる

「x=1+aでf(x)が上に凸」⇔「f''(1+a)＜0」ですから
x=1+aでf(x)が上に凸ならば、極大でなくてもf''(1+a)＜0です。

No.56861 - 2019/02/22(Fri) 23:53:59

☆ Re: / 独学は辛いよ

ありがとうございます

No.56867 - 2019/02/23(Sat) 09:34:11

★ (No Subject) / 蘭

これを解いてください！
お願いします！
答えはありません！

No.56855 - 2019/02/22(Fri) 22:29:32

☆ Re: / らすかる

x^4/(x^3+1) を部分分数分解すると
(1/3){3x+1/(x+1)-(x+1)/(x^2-x+1)}
x^2-x+1の分子をk(2x-1)とそれ以外に分けて
(1/6){6x+2/(x+1)-(2x-1)/(x^2-x+1)-3/(x^2-x+1)}
=(1/6){6x+2/(x+1)-(2x-1)/(x^2-x+1)}-2/{(2x-1)^2+3}
なので
∫[0～1]x^4/(x^3+1)dx
=(1/6)[3x^2+2log(x+1)-log(x^2-x+1)][0～1]-(√3/3)[θ][-π/6～π/6]
=(1/6)(3+2log2)-(π√3/9)
=(9+6log2-2π√3)/18

# 2/{(2x-1)^2+3}の積分は2x-1=(√3)tanθとおきました。

No.56864 - 2019/02/23(Sat) 00:43:18

☆ Re: / 蘭

すご！
最後の積分すごいですね！
ありがとうございました！
またよろしくお願いします！

No.56866 - 2019/02/23(Sat) 01:10:40

☆ Re: / GandB

　暇つぶしに計算してみたら、1時間たっぷりかかった（笑）。
　　x^4/(x^3+1) = x - x/(x^3+1)
と変形してやったけど、手間はいっしょ。
　頭の退化予防にはもってこいの問題でした。

No.56868 - 2019/02/23(Sat) 10:06:00

★ (No Subject) / O-O

xyz空間に A(1.0.0)を通り方向ベクトルが(1.3.2)の直線lと P(1.2.1)がある。ちょくせんlを含みPを通る平面をαとするとき
αとy軸.z軸との交点の座標をそれぞれ求めよ

全然わからないので、よろしくお願いします

No.56854 - 2019/02/22(Fri) 22:12:35

☆ Re: / らすかる

直線lの方向ベクトルが(1,3,2)、ベクトルAPが(0,2,1)なので
α上の点は(1,0,0)+s(1,3,2)+t(0,2,1)と表される。
このsとtを調整してx,zを0にすればy軸との交点、
x,yを0にすればz軸との交点が求まる。
s=-1,t=2のとき(1,0,0)-1(1,3,2)+2(0,2,1)=(0,1,0)なので
y軸との交点は(0,1,0)
s=-1,t=3/2のとき(1,0,0)-1(1,3,2)+(3/2)(0,2,1)=(0,0,-1/2)なので
z軸との交点は(0,0,-1/2)

No.56857 - 2019/02/22(Fri) 22:47:31

★ 空間図形の体積 / 光

問題
4点A(-π,0)、B(π,0)、C(π,π2)、D(-π,π2)を頂点とする長方形上に放物線P：y=x2(-π≦x≦π)が描かれている。この長方形ABCDを半径1、高さπ2の直円柱Eの側面に巻きつける。ただし、辺ABはEの底面Fの周に巻きつくものとする。底面Fに平行な平面HとEの側面上の放物線Pとの交点をQ、Rとするとき、Hの変化に伴い線分QRはある曲面を作り、直円柱Eを2つの部分に分ける。このとき、底面Fを含む方の体積Vを求めよ。

解答解説をお願いします。

No.56852 - 2019/02/22(Fri) 21:25:47

☆ Re: 空間図形の体積 / 光

y=k(0≦k≦π2)での断面積を求めます。

元のxy平面において、y=kとすると、x=±√kなので、断面は半径1の円において、弦QRと弧QRで囲まれる部分のうち、z軸正方向側の部分です。ただし、底面Fの中心が(0,0,1)にくるようにz軸を定めました。つまり、底面Fが、(0,0,1)の円柱で、元の長方形のAとBが(0,0,2)で一致するように、CとDが、(0,0,π2)で一致するようにxyz座標空間を設定しました。

断面積S(k)は弧QRが優弧のときも劣弧のときもS(k)=θ/2-sinθ/2です。ただし、T(0,k,1)として、∠QTR=θとしました。

弧と中心角の関係から2√k=θです。

V=∫(0→π2)S(k)dkをθで置換積分して、

V=(0→2π)(θ/2-sinθ/2)θ/2dθとなり、計算して、
2π3/3+π/2と求まります。

ですが、解答はπ3/3-π/2となっており、合いません。

どこを間違えているのでしょうか。

No.56862 - 2019/02/23(Sat) 00:00:24

☆ Re: 空間図形の体積 / らすかる

π2やx2はπ^2,x^2の意味と解釈します。
（通常2乗はこのように書きます。）

> CとDが、(0,0,π2)で一致するように
AとBが(0,0,2)ならばCとDは(0,π^2,2)では？

> 弧と中心角の関係から2√k=θです。
これが違うと思います。
2√k=θとおくと、k=0のときθ=0,k=π^2のときθ=2πなので
求まるのは「底面Fを含まない方の体積」になりますね。
円柱の体積がπ^3ですから、底面Fを含む方の体積は
π^3-(2π^3/3+π/2)=π^3/3-π/2
となり、解答と合います。

No.56865 - 2019/02/23(Sat) 01:00:11

☆ Re: 空間図形の体積 / 光

＞AとBが(0,0,2)ならばCとDは(0,π∧2,2)では？

仰るとおりですね。間違えてました。

＞弧と中心角の関係から2√k=θです。
＞これが違うと思います。

恐縮ですが、ここがよくわかりません。弧QRは明らかに2√kですよね？これをθとおくことのどこが間違いなのでしょうか？？正しくはθをどう設定すべきでしょうか？？

No.56898 - 2019/02/24(Sun) 07:30:26

☆ Re: 空間図形の体積 / らすかる

> 弧QRは明らかに2√kですよね？
「線分AD(=BC)を含まない方の孤QR」は確かに2√kですが、
必要なのは「線分AD(=BC)を含む方の孤QR」です。

具体値を代入して考えてみて下さい。
2√k=θとすると
k=0のときθ=0（底面なし）
k=π^2のときθ=2π(上面全体)
ということでkが大きいほど角度が大きくなり、
「底面Fを含まない方の体積」になっていますね。
「底面Fを含む方の体積」ならば
k=0のときθ=2π（底面F）
k=π^2のときθ=0（上面なし）
とならなければいけませんので、
2√k=2π-θ
とする必要があります。

別の見方では、
2√kというのは「放物線の間の長さ」
すなわちy=kとy=x^2との2交点間の距離
ですが、体積を求める立体は「底面を含む方」
すなわち「（長方形の中で）放物線の外側の長さ」
ですから、2π-2√k＝θとおかないといけません。

No.56902 - 2019/02/24(Sun) 11:07:25