ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率　数列　最大値 / 受験生高3

確率p[n]の最大値をとるnを求める問題の解答によく次のような記述があります。
「n=○のときp[n+1]=p[n]
よってp[n]はn=○,○+1のとき最大値をとる。」

n=○のときといっておきながら、なぜ
答えのnに○+1も含まれるのでしょうか?そもそも同じnのことを指しているのでしょうか?
とても気持ち悪いです。
回答よろしくお願いします。

No.57085 - 2019/03/08(Fri) 01:39:00

☆ Re: 確率　数列　最大値 / らすかる

「n=○のときp[n+1]=p[n]」というのは
「p[○+1]=p[○]」という意味ですから
p[○]が最大ならp[○+1]も最大です。

理解しやすいように具体例を書きます。
例えば○=4で
n＜4のときp[n+1]＞p[n]
n＝4のときp[n+1]＝p[n]
n＞4のときp[n+1]＜p[n]
だったとすると、p[n]は
p[1]=0.1
p[2]=0.2
p[3]=0.3
p[4]=0.4
p[5]=0.4
p[6]=0.3
p[7]=0.2
p[8]=0.1
のようにp[4]まで増加してp[4]とp[5]が同じで
p[5]以降減少ということです。
すると当然p[4]とp[5]が最大値ですから
「p[n]はn=4,5のとき最大値をとる」
ということになりますね。

No.57087 - 2019/03/08(Fri) 02:18:31

☆ Re: 確率　数列　最大値 / 受験生高3

回答ありがとうございます！
ということは、
「n=○のときp[n+1]=p[n]」におけるnはp[n+1]=p[n]となるようなn、つまり条件としてのnのことを指して
「よってp[n]はn=○,○+1のとき最大値をとる。」
におけるnは第何項が最大値をとるのかということを指している、つまり別のn であるという解釈で大丈夫ですか？

No.57090 - 2019/03/08(Fri) 09:16:55

☆ Re: 確率　数列　最大値 / らすかる

nはその都度(値が)変わるというだけで、特に「別のn」ということはありません。
前者を「条件としてのn」と言うならば後者も「条件としてのn」と言えますし、
後者を「nは第何項が最大値をとるのか」と言うならば前者も
「第何項と第何項が等しくなるのか」と言えます。

補足
「n=4のときp[n+1]=p[n]」は「p[5]=p[4]」と全く同じこと、
「よってp[n]はn=4,5のとき最大値をとる。」は
「よってp[4]とp[5]が最大」と全く同じことであり、
nは補助的に使っているだけの変数ですから
特にnが意味を持っているということはありません。
前者を「s=4のときp[s+1]=p[s]」、後者を
「よってp[t]はt=4,5のとき最大値をとる。」と書いても
全く同じ意味です。
新しい変数を使う必要がありませんので
同じnという変数を使いまわしているだけです。
（というか、同じ用途には同じ変数を使うのが普通ですが）

No.57093 - 2019/03/08(Fri) 17:38:14

☆ (No Subject) / 受験生高3

やっと理解できました

No.57111 - 2019/03/09(Sat) 16:07:02

☆ Re: 確率　数列　最大値 / 受験生高3

らすかるさん、ありがとうございます！

No.57112 - 2019/03/09(Sat) 16:07:50

★ (No Subject) / アークマン

これ数学とかそういうのではないのですが、どうゆうことがわかるかた解説お願いします

No.57081 - 2019/03/07(Thu) 19:51:17

☆ Re: / らすかる

2700円に200円を足すのは間違い。
本来2500円のところ200円多く支払って、
その200円を従業員がくすねただけ。

No.57082 - 2019/03/07(Thu) 19:56:56

☆ Re: / アークマン

すいません。よくわかりません😅
200円たすのが間違いというところがわかんないです。解説お願いします

No.57092 - 2019/03/08(Fri) 15:29:04

☆ Re: / らすかる

3000円のうち500円返したが従業員が200円くすねて3人組に300円だけ返した
ということは、3000円のうち300円は最初から支払っていないのと同じですから
3人組が2700円支払い、そのうちホテルが2500円、従業員が200円受け取った
ということですよね。
ですから2700=2500+200であり、
この2700と200を足すのは意味のない計算です。

No.57094 - 2019/03/08(Fri) 17:53:31

☆ Re: / アークマン

なるほど！ありがとうございます

No.57101 - 2019/03/09(Sat) 00:03:51

★ 高校入試問題 / 岩船

答え（２）時速１０．５ｋｍ以上　１６．８ｋｍ未満
（２）よく解りません。詳しい解説よろしくお願いします。

No.57077 - 2019/03/07(Thu) 18:47:17

☆ Re: 高校入試問題 / らすかる

はるとさんの動きを図に書き入れると左下から右上方向ですから、
追い越されるのは右上がりの線と交わる点、すれ違うのは
右下がりの線と交わる点です。
従って2回追い越されて1回すれ違うためには、
少なくともA駅発7:18の電車がB駅に着いた後にB駅に到着しなければならず、
またB駅発7:40の電車がB駅を発車する前にはB駅に到着しなければなりません。
従ってB駅に到着する時刻が7:25より遅く7:40までですから、
速さは7km/25分=7km/(25/60)時間=84/5(km/h)より遅く
7km/40分=7km/(40/60)時間=21/2(km/h)以上でなければなりません。
よって答えは時速21/2km以上84/5km未満
すなわち時速10.5km以上16.8km未満となります。

No.57080 - 2019/03/07(Thu) 19:13:27

★ 無限級数 / ハナちゃん

数IIIでの質問です。

無限級数Σa_n, Σb_n が共に和を持つならばΣa_nb_nも和を持つ。
の反例ってありますでしょうか?
反例を挙げていただけますでしょうか？

No.57073 - 2019/03/07(Thu) 09:21:52

☆ Re: 無限級数 / ぽけっと

交代級数をつかって反例が作れます

Σa_nもΣb_nも
Σ{(-1)^n}/√n
だとすると、これは交代級数で項の絶対値が単調に0に収束するので、級数自体も収束します

しかしΣa_nb_nに対応する
Σ1/n
は発散する調和級数ですね

No.57074 - 2019/03/07(Thu) 09:42:56

☆ Re: 無限級数 / ハナちゃん

なるほどです。どうもありがとうございました。

No.57075 - 2019/03/07(Thu) 09:57:09

★ 数学的帰納法 / 林

2^n(1・3・5・・・(2n-1))=(n+1)(n+2)・・・2n
（ただしn∈N）
が成り立つことはを数学的帰納法で証明せよ。

この問題の解き方を教えてください。高1レベルで式変形をわかりやすく書いていただけるとうれしいです。

No.57064 - 2019/03/06(Wed) 18:26:55

☆ Re: 数学的帰納法 / X

(i)n=1のとき
成立は明らか。
(ii)n=kのとき、問題の等式の成立を仮定します。
つまり
(2^k){1・3・5・・・(2k-1)}=(k+1)(k+2)・・・2k (A)
このとき
{2^(k+1)}{1・3・5・・・(2k-1){2(k+1)-1}
=(2^k){1・3・5・・・(2k-1)}・2{2(k+1)-1}
=(k+1)(k+2)・・・2k・2{2(k+1)-1} (∵)(A)を代入
=(k+2)(k+3)・・・2k・2{2(k+1)-1}(k+1)
=(k+2)(k+3)・・・2k・{2(k+1)-1}・2(k+1)
={(k+1)+1}{(k+1)+2}・・・2k・{2(k+1)-1}・2(k+1)
∴問題の等式はn=k+1のときも成立。

No.57066 - 2019/03/06(Wed) 18:45:08

☆ Re: 数学的帰納法 / ＩＴ

（別解）
数学的帰納法を直接使いませんが

両辺に　2・4・6・・・2n=(2^n)(1・2・3・・・n)を掛けると等しいのが分かりますね。

任意の自然数ｎについて,　2・4・6・・・2n=(2^n)(1・2・3・・・n)を数学的帰納法で示す。
n=1のとき　左辺=2,右辺=2 よって成立
n=kのとき　　2・4・6・・・2k=(2^k)(1・2・3・・・k) と仮定すると
n=k+1のとき　2・4・6・・・2k・2(k+1)=(2^k)(1・2・3・・・k) 2(k+1)=(2^(k+1))(1・2・3・・・k・(k+1)) なので　成立。

No.57067 - 2019/03/06(Wed) 19:47:33

☆ Re: 数学的帰納法 / 林

=(k+1)(k+2)・・・2k・2{2(k+1)-1} (∵)(A)を代入
=(k+2)(k+3)・・・2k・2{2(k+1)-1}(k+1)

上記1行目から2行目の式変換がどうして成り立つのかわかりません。すべて1が足されていることはわかるのですが。
おしえてください。

No.57069 - 2019/03/07(Thu) 00:05:12

☆ Re: 数学的帰納法 / GandB

　1行目の先頭にある (k+1) を末尾に移動しただけ。

No.57070 - 2019/03/07(Thu) 00:22:05

☆ Re: 数学的帰納法 / 林

気がつきませんでした。ありがとうございます。

No.57071 - 2019/03/07(Thu) 00:29:46

★ 最大・最小問題 / d

条件x^2+y^2≦9の条件のもとで、関数f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2の
最大値と最小値を求めよ。

答え、解説がなく困っています
よろしくお願いします

No.57048 - 2019/03/06(Wed) 11:48:21

☆ Re: 最大・最小問題 / らすかる

(x,y)=(2,-2)のときの-32の方が小さく、これが最小値だと思います。
また、最大値は
(x,y)=((√13+√5)/2,(√13-√5)/2)のときの53だと思います。

No.57053 - 2019/03/06(Wed) 14:09:07

☆ Re: 最大・最小問題 / らすかる

うっかりしていましたが、
最小値-32をとるx,yは(x,y)=(±2,干2)　（複号同順）の2つ、
最大値53をとるx,yは
(x,y)=((√13±√5)/2,(√13干√5)/2),
(-(√13±√5)/2,-(√13干√5)/2)　（複号同順）
の4つでした。

No.57056 - 2019/03/06(Wed) 15:28:47

☆ Re: 最大・最小問題 / d

みなさん、ありがとうございます。
解法としてラグランジュの未定乗数法を用いると
思ったのですが、どなたか解法を教えていただけませんか？

No.57059 - 2019/03/06(Wed) 16:53:03

☆ Re: 最大・最小問題 / のみ

https://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/007/155186363145140399179.gif
です

No.57062 - 2019/03/06(Wed) 18:17:39

☆ Re: 最大・最小問題 / らすかる

x+y=u,x-y=vとおくと
x=(u+v)/2, y=(u-v)/2, x^2+y^2=(u^2+v^2)/2, xy=(u^2-v^2)/4
x^2+y^2≦9 → u^2+v^2≦18
f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2
=(u^4+v^4+6u^2v^2-32v^2)/8
U=u^2,V=v^2とおけば
0≦U,0≦V,U+V≦18,f(x,y)=(U^2+V^2+6UV-32V)/8
これが最小値をとるのは明らかにU=0のとき
(V^2-32V)/8=(V-16)^2/8-32なのでU=0,V=16のとき最小値-32
逆算して(x,y)=(±2,干2)のとき最小値-32
最大値の方はUが大きいほど値が大きくなるので、U+V=18のとき
U=18-Vを代入して整理すると
f(x,y)=(-V^2+10V+81)/2=-(V-5)^2/2+53なので
U=13,V=5のとき最大値53
逆算して(x,y)=((√13±√5)/2,(√13干√5)/2),
(-(√13±√5)/2,-(√13干√5)/2)のとき最大値53

No.57063 - 2019/03/06(Wed) 18:24:59

☆ Re: 最大・最小問題 / 黄桃

条件で示されているx,yの範囲はコンパクトなので極値と境界の挙動を調べればよい。

まず、(x,y)が条件を満たす範囲でf(x,y)の極値を探す（無条件の場合と同じに求めればいいが、範囲外の解は求める必要なし）。
もし、範囲内に極大値／極小値を与える値があれば、これらの中に最大／最小がある。
どちらか一方、あるいは、両方とも条件の範囲内になければ、次に、境界での挙動を調べる。
境界での挙動は、 x=3cos(t), y=3sin(t)として1変数関数に帰着してもいいし、ラグランジュの未定乗数法を用いてもいい。
後者であれば、普通に3つの偏微分を計算して0とおいた連立方程式を解いていく。
計算していくと（一例です）、
(x+y)(2x^2-2xy+2y^2-t)=0
となる。x=-yの場合を計算し、(x,y)=(士3/√2,干3/√2)
次にt=2x^2-2xy+2y^2 の場合を計算し、
(x-y)(xy-2)=0
を得る。x=yの場合を求め（これも最大ではない）x=y=±3/√2を得る。
残ったxy=2の場合は
x^2=(1/2)(9±√65)=(√13±√5)^2/2^2
より、x=±(√13±√5)/2　(複号任意）
xy=2 より、y=干(√13干√5)/2 (xy=2となるようにxに合わせて取る）
となり、これらの場合を比較してらすかるさんと同じ結果を得る。

No.57072 - 2019/03/07(Thu) 08:01:50

☆ Re: 最大・最小問題 / d

様々な方法での解説ありがとうございました。
大変分かりやすく、理解することができました！

No.57076 - 2019/03/07(Thu) 09:58:34

★ (No Subject) / 北野日奈子

(1)aを定数とする。xの方程式 cosx-cosα＝0をとけ
(2)角 α β が α＋β≦π α≧0 β≧0 のとき
cosα＋cosβ≧0 になることを示せ

前期試験の問題なので答えはわかりません
よろしくお願いします

No.57047 - 2019/03/06(Wed) 11:13:42

☆ Re: / ＩＴ

(1)aを定数とする。xの方程式 cosx-cosa＝0をとけですよね？
和積の公式を使って
cosx-cosa=-sin{(x+a)/2}sin{(x-a)/2}＝0
∴(x+a)/2=nπまたは(x-a)/2=nπ(nは任意の整数)
∴x=±a+2nπ(nは任意の整数)

(2)cosα＋cosβ=cos{(α＋β)/2}cos{(α-β)/2}
から容易に示せると思います。

No.57049 - 2019/03/06(Wed) 12:47:18

☆ Re: / 北野日奈子

ありがとうございます
(X +α)/2＝nπ はどこから分かるやつでしょうか？

No.57052 - 2019/03/06(Wed) 13:48:41

☆ Re: / らすかる

sin(○)=0となるのは○=nπのときです。

No.57054 - 2019/03/06(Wed) 14:31:27

☆ Re: / 北野日奈子

ありがとうございます

No.57057 - 2019/03/06(Wed) 15:53:53

★ 解説の解説 / 商高卒

エネルギー管理士過去問の問題の解説で写真の数式が書かれているのですが、数学の知識不足のため理解できません。
1.分母のRは何故消えるのか？（何かと相殺されてる？）
2.（数式）・・　が3つ連なった場合、どう計算すればよいでしょうか？

No.57040 - 2019/03/06(Wed) 00:25:33

☆ Re: 解説の解説 / 商高卒

写真がアップロードされていなかったので、再投稿します。

No.57041 - 2019/03/06(Wed) 00:29:25

☆ Re: 解説の解説 / IT

分子分母にＲを掛けているのではと思いますが、画像が不鮮明でよくわかりません。　テキストのほうだけでアップされたほうが鮮明にできるかも。

No.57042 - 2019/03/06(Wed) 01:37:09

☆ Re: 解説の解説 / 商高卒

あーーー。分子分母にR掛けたら、nにもR掛けなくてもいいんですね。。スッキリしました。

No.57046 - 2019/03/06(Wed) 10:38:32

★ (No Subject) / 元中３

写真の答えはどうなりますか？
数2の図形と方程式の分野の内容を利用して解けないかなと思い立式して変形しましたが上手くいきませんでした。

No.57038 - 2019/03/05(Tue) 22:00:18

☆ Re: / ＩＴ

数３の微分を使わないと難しいのでは？
記述を少し簡単にするためr=1のときを考えます。

大まかに書くと

a^2+b^2=1,b≧0より　b=(1-a^2)^(1/2)
直線AB：y=b-(b/a)x

0≦s≦aについて
　線分ABと直線x=sの交点のy座標をtとすると
　t＝b-(b/a)s=(1-a^2)^(1/2)-[{(1-a^2)^(1/2)}/a]s

a=cosθ、b=sinθとおくと
t(θ)=sinθ-stanθ=sinθ(1-s/cosθ)
t '(θ)=cosθ-s/(cosθ)^2={(cosθ)^3-s}/(cosθ)^2

t(θ)の増減を調べると、(cosθ)^3-s=0すなわちa=s^(1/3)のときt(θ)は最大
最大値は[{1-s^(2/3)}^(1/2)][1-s/{s^(1/3)}]={1-s^(2/3)}^(3/2)

よって、線分ABの通過範囲は、曲線y={1-x^(2/3)}^(3/2)とx軸とy軸に囲まれた範囲

No.57039 - 2019/03/05(Tue) 22:55:49

☆ Re: / らすかる

微分を使わずにやると

上と同じく簡単のためr=1として
a^2+b^2=1,0＜a≦1,0≦b≦1,b=√(1-a^2)
直線ABはy=b(1-x/a)
0≦s≦aについて線分ABと直線x=sの交点のy座標をt(0≦t≦1)とすると
t=b(1-s/a)={√(1-a^2)}(1-s/a)
つまりあるsに対して0≦s≦a≦1のときにtが最大となるようなaを考えればよい。
「tが最大値」⇔「t^2が最大値」なのでt^2が最大となる時を考える。
t^2=(1-a^2)(1-s/a)^2=(1-a^2)(1-s/a)(1-s/a)
aが増加するとき1-a^2は減少、1-s/aは増加なので
(1-a^2)=(1-s/a)=(1-s/a)のときに最大である可能性が考えられる。
(1-a^2)=(1-s/a)とするとa=s^(1/3)なので式を簡単にするためにs=u^3とおき、
0≦u^3≦a≦1のときに(1-a^2)(1-u^3/a)^2≦(1-u^2)^3であることが示せれば
(1-a^2)(1-u^3/a)^2はa=uのときに最大値(1-u^2)^3をとることがわかる。
(右辺)-(左辺)=(1-u^2)^3-(1-a^2)(1-u^3/a)^2
={(a-u^3)(a+u)+au(1-u^2)}(a-u)^2/a^2≧0なので
確かに(1-a^2)(1-u^3/a)^2はa=uのときに最大値(1-u^2)^3をとる。
従ってtはa=s^(1/3)のとき最大値{1-s^(2/3)}^(3/2)をとる。
t={1-s^(2/3)}^(3/2)のs,tをx,yに置き換えて整理するとx^(2/3)+y^(2/3)=1なので、
線分ABの通過範囲はx^(2/3)+y^(2/3)=1とx軸とy軸で囲まれた部分。

No.57045 - 2019/03/06(Wed) 04:31:35

☆ Re: / 元中３

ご回答ありがとうございます。
数3はまだ習っていないので理解に及びません。春期休暇中に理解できるようつとめます。

No.57058 - 2019/03/06(Wed) 16:49:40

★ 数学の確立について質問です / 田中聡

中学２年生です

カードがAからFまでの7枚あり
全部で何パターンあるかを求めろという問題があります。
1枚だけ引く場合
2枚だけ引く場合
3枚引く場合
4枚引く場合
5枚引く場合
6枚引く場合
7枚引く場合
の全てのケースがあり、その総数を求めよという問題です。

わからなくて困ってます
よろしくお願いします。

No.57035 - 2019/03/05(Tue) 14:56:37

☆ Re: 数学の確立について質問です / らすかる

「AからF」は「AからG」の間違いではないかと思いますが、
それはともかく7枚ならば各カードに対して引くかどうかの2通りずつなので
パターンの総数は2×2×2×2×2×2×2=128通り
もし「1枚も引かない場合」を除くなら128-1=127通りです。

No.57037 - 2019/03/05(Tue) 17:03:20

★ 余因子行列、随伴行列 / 線形代数

代数学を勉強しているものです。
http://mercury.cc.kyushu-u.ac.jp/downloads/NA2017/mat.pdf#search=%27%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%8C%E5%88%97+%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E8%A1%8C%E5%88%97%27
で余因子展開の後、随伴行列が定義されています。
随伴行列は「行列の各成分の共役をとり、転置したもの」ですから少し違和感があるのですが、
これは余因子行列と呼ばれているものですよね？
（訳語の関係で「余因子」「随伴」とずれが生じているのでしょうか？お分かりの方がお答えいただけると幸いです）

No.57015 - 2019/03/04(Mon) 16:41:47

☆ Re: 余因子行列、随伴行列 / IT

その先生は、（純粋）数学の先生ではないので　独自の言葉遣いをしておられるのかも知れませんが、

単に筆者の書き間違いの可能性が高いですね。

http://hyoka.ofc.kyushu-u.ac.jp/search/details/K006372/index.html

No.57016 - 2019/03/04(Mon) 19:53:16

☆ Re: 余因子行列、随伴行列 / IT

「随伴行列」という流儀もあるようですね。

https://ejje.weblio.jp/content/adjugate+matrix

No.57021 - 2019/03/04(Mon) 20:43:08

☆ Re: 余因子行列、随伴行列 / 線形代数

ありがとうございます。

No.57024 - 2019/03/05(Tue) 00:07:25

☆ Re: 余因子行列、随伴行列 / GandB

　随伴行列は元の行列の転置をとり、さらに、各成分の複素共役をとった行列なので、複素数を扱わない線形代数の参考書には当然出てこない。
　私が随伴行列という言葉を知ったのは
　　道具としてのフーリエ解析（涌井良幸・涌井貞美著）　日本実業出版社
という本で、DFT（離散フーリエ変換）のところで出てくる。書名・出版社・著者から推察できるように、フーリエ解析に関して、高校レベルの数学で何とかなりそうな実用的な入門書である（笑）。下の図はその本の説明。

No.57034 - 2019/03/05(Tue) 14:53:15