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★ 最大・最小問題 / d
条件x^2+y^2≦9の条件のもとで、関数f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2の
最大値と最小値を求めよ。

答え、解説がなく困っています
よろしくお願いします
No.57048 - 2019/03/06(Wed) 11:48:21
☆ Re: 最大・最小問題 / らすかる
(x,y)=(2,-2)のときの-32の方が小さく、これが最小値だと思います。
また、最大値は
(x,y)=((√13+√5)/2,(√13-√5)/2)のときの53だと思います。
No.57053 - 2019/03/06(Wed) 14:09:07
☆ Re: 最大・最小問題 / らすかる
うっかりしていましたが、
最小値-32をとるx,yは(x,y)=(±2,干2)　（複号同順）の2つ、
最大値53をとるx,yは
(x,y)=((√13±√5)/2,(√13干√5)/2),
(-(√13±√5)/2,-(√13干√5)/2)　（複号同順）
の4つでした。
No.57056 - 2019/03/06(Wed) 15:28:47
☆ Re: 最大・最小問題 / d
みなさん、ありがとうございます。
解法としてラグランジュの未定乗数法を用いると
思ったのですが、どなたか解法を教えていただけませんか？
No.57059 - 2019/03/06(Wed) 16:53:03
☆ Re: 最大・最小問題 / のみ
https://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/007/155186363145140399179.gif
です
No.57062 - 2019/03/06(Wed) 18:17:39
☆ Re: 最大・最小問題 / らすかる
x+y=u,x-y=vとおくと
x=(u+v)/2, y=(u-v)/2, x^2+y^2=(u^2+v^2)/2, xy=(u^2-v^2)/4
x^2+y^2≦9 → u^2+v^2≦18
f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2
=(u^4+v^4+6u^2v^2-32v^2)/8
U=u^2,V=v^2とおけば
0≦U,0≦V,U+V≦18,f(x,y)=(U^2+V^2+6UV-32V)/8
これが最小値をとるのは明らかにU=0のとき
(V^2-32V)/8=(V-16)^2/8-32なのでU=0,V=16のとき最小値-32
逆算して(x,y)=(±2,干2)のとき最小値-32
最大値の方はUが大きいほど値が大きくなるので、U+V=18のとき
U=18-Vを代入して整理すると
f(x,y)=(-V^2+10V+81)/2=-(V-5)^2/2+53なので
U=13,V=5のとき最大値53
逆算して(x,y)=((√13±√5)/2,(√13干√5)/2),
(-(√13±√5)/2,-(√13干√5)/2)のとき最大値53
No.57063 - 2019/03/06(Wed) 18:24:59
☆ Re: 最大・最小問題 / 黄桃
条件で示されているx,yの範囲はコンパクトなので極値と境界の挙動を調べればよい。

まず、(x,y)が条件を満たす範囲でf(x,y)の極値を探す（無条件の場合と同じに求めればいいが、範囲外の解は求める必要なし）。
もし、範囲内に極大値／極小値を与える値があれば、これらの中に最大／最小がある。
どちらか一方、あるいは、両方とも条件の範囲内になければ、次に、境界での挙動を調べる。
境界での挙動は、 x=3cos(t), y=3sin(t)として1変数関数に帰着してもいいし、ラグランジュの未定乗数法を用いてもいい。
後者であれば、普通に3つの偏微分を計算して0とおいた連立方程式を解いていく。
計算していくと（一例です）、
(x+y)(2x^2-2xy+2y^2-t)=0
となる。x=-yの場合を計算し、(x,y)=(士3/√2,干3/√2)
次にt=2x^2-2xy+2y^2 の場合を計算し、
(x-y)(xy-2)=0
を得る。x=yの場合を求め（これも最大ではない）x=y=±3/√2を得る。
残ったxy=2の場合は
x^2=(1/2)(9±√65)=(√13±√5)^2/2^2
より、x=±(√13±√5)/2　(複号任意）
xy=2 より、y=干(√13干√5)/2 (xy=2となるようにxに合わせて取る）
となり、これらの場合を比較してらすかるさんと同じ結果を得る。
No.57072 - 2019/03/07(Thu) 08:01:50
☆ Re: 最大・最小問題 / d
様々な方法での解説ありがとうございました。
大変分かりやすく、理解することができました！
No.57076 - 2019/03/07(Thu) 09:58:34
★ (No Subject) / 北野日奈子
(1)aを定数とする。xの方程式 cosx-cosα＝0をとけ
(2)角 α β が α＋β≦π α≧0 β≧0 のとき
cosα＋cosβ≧0 になることを示せ

前期試験の問題なので答えはわかりません
よろしくお願いします
No.57047 - 2019/03/06(Wed) 11:13:42
☆ Re: / ＩＴ
(1)aを定数とする。xの方程式 cosx-cosa＝0をとけ ですよね？
和積の公式を使って
cosx-cosa=-sin{(x+a)/2}sin{(x-a)/2}＝0
∴(x+a)/2=nπまたは(x-a)/2=nπ(nは任意の整数)
∴x=±a+2nπ(nは任意の整数)

(2)cosα＋cosβ=cos{(α＋β)/2}cos{(α-β)/2}
から容易に示せると思います。
No.57049 - 2019/03/06(Wed) 12:47:18
☆ Re: / 北野日奈子
ありがとうございます
(X +α)/2＝nπ はどこから分かるやつでしょうか？
No.57052 - 2019/03/06(Wed) 13:48:41
☆ Re: / らすかる
sin(○)=0となるのは○=nπのときです。
No.57054 - 2019/03/06(Wed) 14:31:27
☆ Re: / 北野日奈子
ありがとうございます
No.57057 - 2019/03/06(Wed) 15:53:53
★ 解説の解説 / 商高卒
エネルギー管理士過去問の問題の解説で写真の数式が書かれているのですが、数学の知識不足のため理解できません。
1.分母のRは何故消えるのか？（何かと相殺されてる？）
2.（数式）・・　が3つ連なった場合、どう計算すればよいでしょうか？
No.57040 - 2019/03/06(Wed) 00:25:33
☆ Re: 解説の解説 / 商高卒
写真がアップロードされていなかったので、再投稿します。
No.57041 - 2019/03/06(Wed) 00:29:25
☆ Re: 解説の解説 / IT
分子分母にＲを掛けているのではと思いますが、画像が不鮮明でよくわかりません。　テキストのほうだけでアップされたほうが鮮明にできるかも。
No.57042 - 2019/03/06(Wed) 01:37:09
☆ Re: 解説の解説 / 商高卒
あーーー。分子分母にR掛けたら、nにもR掛けなくてもいいんですね。。スッキリしました。
No.57046 - 2019/03/06(Wed) 10:38:32
★ (No Subject) / 元中３
写真の答えはどうなりますか？
数2の図形と方程式の分野の内容を利用して解けないかなと思い立式して変形しましたが上手くいきませんでした。
No.57038 - 2019/03/05(Tue) 22:00:18
☆ Re: / ＩＴ
数３の微分を使わないと難しいのでは？
記述を少し簡単にするためr=1のときを考えます。

大まかに書くと

a^2+b^2=1,b≧0より　b=(1-a^2)^(1/2)
直線AB：y=b-(b/a)x

0≦s≦aについて
　線分ABと直線x=sの交点のy座標をtとすると
　t＝b-(b/a)s=(1-a^2)^(1/2)-[{(1-a^2)^(1/2)}/a]s

a=cosθ、b=sinθとおくと
t(θ)=sinθ-stanθ=sinθ(1-s/cosθ)
t '(θ)=cosθ-s/(cosθ)^2={(cosθ)^3-s}/(cosθ)^2

t(θ)の増減を調べると、(cosθ)^3-s=0すなわちa=s^(1/3)のときt(θ)は最大
最大値は[{1-s^(2/3)}^(1/2)][1-s/{s^(1/3)}]={1-s^(2/3)}^(3/2)

よって、線分ABの通過範囲は、曲線y={1-x^(2/3)}^(3/2)とx軸とy軸に囲まれた範囲
No.57039 - 2019/03/05(Tue) 22:55:49
☆ Re: / らすかる
微分を使わずにやると

上と同じく簡単のためr=1として
a^2+b^2=1,0＜a≦1,0≦b≦1,b=√(1-a^2)
直線ABはy=b(1-x/a)
0≦s≦aについて線分ABと直線x=sの交点のy座標をt(0≦t≦1)とすると
t=b(1-s/a)={√(1-a^2)}(1-s/a)
つまりあるsに対して0≦s≦a≦1のときにtが最大となるようなaを考えればよい。
「tが最大値」⇔「t^2が最大値」なのでt^2が最大となる時を考える。
t^2=(1-a^2)(1-s/a)^2=(1-a^2)(1-s/a)(1-s/a)
aが増加するとき1-a^2は減少、1-s/aは増加なので
(1-a^2)=(1-s/a)=(1-s/a)のときに最大である可能性が考えられる。
(1-a^2)=(1-s/a)とするとa=s^(1/3)なので式を簡単にするためにs=u^3とおき、
0≦u^3≦a≦1のときに(1-a^2)(1-u^3/a)^2≦(1-u^2)^3であることが示せれば
(1-a^2)(1-u^3/a)^2はa=uのときに最大値(1-u^2)^3をとることがわかる。
(右辺)-(左辺)=(1-u^2)^3-(1-a^2)(1-u^3/a)^2
={(a-u^3)(a+u)+au(1-u^2)}(a-u)^2/a^2≧0なので
確かに(1-a^2)(1-u^3/a)^2はa=uのときに最大値(1-u^2)^3をとる。
従ってtはa=s^(1/3)のとき最大値{1-s^(2/3)}^(3/2)をとる。
t={1-s^(2/3)}^(3/2)のs,tをx,yに置き換えて整理するとx^(2/3)+y^(2/3)=1なので、
線分ABの通過範囲はx^(2/3)+y^(2/3)=1とx軸とy軸で囲まれた部分。
No.57045 - 2019/03/06(Wed) 04:31:35
☆ Re: / 元中３
ご回答ありがとうございます。
数3はまだ習っていないので理解に及びません。春期休暇中に理解できるようつとめます。
No.57058 - 2019/03/06(Wed) 16:49:40
★ 数学の確立について質問です / 田中聡
中学２年生です

カードがAからFまでの7枚あり
全部で何パターンあるかを求めろという問題があります。
1枚だけ引く場合
2枚だけ引く場合
3枚引く場合
4枚引く場合
5枚引く場合
6枚引く場合
7枚引く場合
の全てのケースがあり、その総数を求めよという問題です。

わからなくて困ってます
よろしくお願いします。
No.57035 - 2019/03/05(Tue) 14:56:37
☆ Re: 数学の確立について質問です / らすかる
「AからF」は「AからG」の間違いではないかと思いますが、
それはともかく7枚ならば各カードに対して引くかどうかの2通りずつなので
パターンの総数は2×2×2×2×2×2×2=128通り
もし「1枚も引かない場合」を除くなら128-1=127通りです。
No.57037 - 2019/03/05(Tue) 17:03:20
★ 高校入試問題 / 健児
問３がわからなくて、困っています。どうかお願いします。
No.57026 - 2019/03/05(Tue) 01:22:43
☆ Re: 高校入試問題 / らすかる
∠CEA=∠FED、∠EAC=∠FDEなので△ACE∽△DFE、よってED=FD
△FDCはFC=FDの直角二等辺三角形なのでFD=CD/√2=4/√2=2√2(cm)
従ってCE=CD-ED=CD-FD=4-2√2(cm)
No.57027 - 2019/03/05(Tue) 05:41:34
☆ Re: 高校入試問題 / 健児
よくわかりました。ありがとうございます。
No.57028 - 2019/03/05(Tue) 09:15:13
★ 数学II？ / 篤
続けて質問すみません。
どのような行程で展開されているのかがわかりません。
No.57018 - 2019/03/04(Mon) 20:04:18
☆ Re: 数学II？ / noname
展開じゃなくて因数分解。
テクニック的には数1の最初ですね。
係数がすべて12でわりきれるので12でくくる。
くくったあとを見ると、3次式。
最悪、片っ端から数を代入して因数分解することになるが、前半2項を見て、x^2でくくってみると、(x-2)という塊ができる。後ろ2項を見ると(x-2)ができそうな雰囲気なので-1でくくる。
あとは(x-2)を共通因数としてくくる。
No.57019 - 2019/03/04(Mon) 20:15:11
★ 数学II / 篤
数学IIの問題を解いていますが基礎的なところがわかりません。
汚い字ですが、付箋に書いてある通りなぜ写真のように場合分けするのかがわかりません。
No.57017 - 2019/03/04(Mon) 20:03:11
☆ Re: 数学II / noname
f'(x)=0の解が±aになることが原因です。
a>0なので、-aは0より左、aは右に決まりますが、最小値の候補は極小値f(a)と右端のf(1)があるので、aが1を越えるか越えないかを分ける必要があります。
No.57020 - 2019/03/04(Mon) 20:37:16
★ 余因子行列、随伴行列 / 線形代数

代数学を勉強しているものです。
http://mercury.cc.kyushu-u.ac.jp/downloads/NA2017/mat.pdf#search=%27%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%8C%E5%88%97+%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E8%A1%8C%E5%88%97%27
で余因子展開の後、随伴行列が定義されています。
随伴行列は「行列の各成分の共役をとり、転置したもの」ですから少し違和感があるのですが、
これは余因子行列と呼ばれているものですよね？
（訳語の関係で「余因子」「随伴」とずれが生じているのでしょうか？お分かりの方がお答えいただけると幸いです）
No.57015 - 2019/03/04(Mon) 16:41:47
☆ Re: 余因子行列、随伴行列 / IT
その先生は、（純粋）数学の先生ではないので　独自の言葉遣いをしておられるのかも知れませんが、

単に筆者の書き間違いの可能性が高いですね。

http://hyoka.ofc.kyushu-u.ac.jp/search/details/K006372/index.html
No.57016 - 2019/03/04(Mon) 19:53:16
☆ Re: 余因子行列、随伴行列 / IT
「随伴行列」という流儀もあるようですね。

https://ejje.weblio.jp/content/adjugate+matrix
No.57021 - 2019/03/04(Mon) 20:43:08
☆ Re: 余因子行列、随伴行列 / 線形代数
ありがとうございます。
No.57024 - 2019/03/05(Tue) 00:07:25
☆ Re: 余因子行列、随伴行列 / GandB
　随伴行列は元の行列の転置をとり、さらに、各成分の複素共役をとった行列なので、複素数を扱わない線形代数の参考書には当然出てこない。
　私が随伴行列という言葉を知ったのは
　　道具としてのフーリエ解析（涌井 良幸・涌井 貞美 著）　日本実業出版社
という本で、DFT（離散フーリエ変換）のところで出てくる。書名・出版社・著者から推察できるように、フーリエ解析に関して、高校レベルの数学で何とかなりそうな実用的な入門書である（笑）。下の図はその本の説明。
No.57034 - 2019/03/05(Tue) 14:53:15
★ 部分積分 / 蘭
この先変形において、

∫x/(1-cosx) dx を解きたいのですが、途中式で

｛-x/(tanx/2)}' = -1/tanx + x/｛2sin^2(x/2) }

となっているのですが、
２つ目の項の分母がsinになるのがわかりません！！
cosではないのですか？？

よろしくおねがいします！
No.57013 - 2019/03/04(Mon) 11:50:25
☆ Re: 部分積分 / らすかる
1/tanxを商の微分公式に従って微分してみて下さい。
1/tanx=cosx/sinxと変形してからの方がやりやすいかも知れません。
No.57014 - 2019/03/04(Mon) 12:06:44
★ 教えて下さい / 健児
問３が全くわからないので、説明宜しくお願いします。
No.57012 - 2019/03/04(Mon) 11:01:46
☆ Re: 教えて下さい / 健児
> 問３が全くわからないので、説明宜しくお願いします。
　どうかお願いします。助けてください。
No.57025 - 2019/03/05(Tue) 01:13:00
★ 体積 / 瑠璃
間違えている点をご指摘ください。

1辺の長さが2の立方体の中心をOとする。この立方体の表面および内部の点Pで、OPの長さがPから正方形の各面に下ろした垂線の長さより長くないという条件を満たすもの全体がつくる立体の体積Ｖを求めよ。

立方体をABCD-EFGHとし、A(1,1,1)、B(-1,1,1)、C(-1,-1,1)、D(1,-1,1)、E(1,1,-1)、F(-1,1,-1)、G(-1,-1,-1)、H(1,-1,-1)とします。図形の対称性から、P(x,y,z)は立方体のx≧0、y≧0、z≧0にあるとします。これは求めるVの1/8です。さらにx≧y≧zと仮定します。これは求める体積の1/8のさらに1/6です。結局、0≦z≦y≦x≦1の部分で、題意を満たすPの存在領域の体積を48倍したものがVになります。

題意と先に導入した不等式の関係から、点PはOP≦1-xを満たすように動きます。よって、√(x^2+y^2+z^2)≦1-xです。両辺性は自明なので、2乗しても同値性は崩れず、y^2+z^2≦1-2xです。

z=k(0≦k≦1)での切り口を考えます。

x≦1/2-k^2/2-y^2/2かつ0≦k≦y≦x≦1を満たす(x,y)がz=kでの切り口になります。

x=1/2-k^2/2-y^2/2とy=xの交点のy座標はy≧0に注意して、y=-1+√(2-k^2)です。切り口が存在するためには、k≦-1+√(2-k^2)でなければならず、これによりkの範囲は0≦k≦(-1+√3)/2となります。このもとで、切り口の面積S(k)はS(k)=∫[k,-1+√(2-k^2)](1/2-k^2/2-y^2/2-y)dy=-5/6-k/2+k^2+2k^3/3+2√(2-k^2)/3-k^2√(2-k^2)/3となります。よって、V=∫[0,(-1+√3)/2]s(k)dkをあとはひたすら計算して、V=2π+10-9√3になりました。

ところが解答は3π/2+16-8√3となっていて、何度計算し直しても一向に答えが合いません。どこを間違えているのでしょうか。訂正方法とともに教えてください。よろしくお願いします。
No.57009 - 2019/03/04(Mon) 01:38:16
☆ Re: 体積 / らすかる
昔この問題を解いた時の記録を見たところ、2π+10-9√3で正解です。また解答の間違いですね。
No.57010 - 2019/03/04(Mon) 02:37:05
☆ Re: 体積 / noname
もう殴っていいと思うよ。
No.57022 - 2019/03/04(Mon) 20:49:40
☆ Re: 体積 / 瑠璃
御回答ありがとうございました。助かりました。
No.57043 - 2019/03/06(Wed) 03:46:25
★ 置換積分 / 蘭
この例5の⑴と⑵を解いてほしいです！
解答がなくて困ってます！

よろしくおねがいします！
No.57005 - 2019/03/03(Sun) 10:47:35
☆ Re: 置換積分 / X
ヒントだけ。
(1)
t=3x+2 (A)
と置くと
dt=3dx
∴dx=(1/3)dt
一方、(A)より
x=(t-2)/3

(2)
t=e^x+1 (A)
と置くと
dt=(e^x)dx
又(A)より
e^x=t-1
∴e^(2x)=(e^x)^2=(e^x)(e^x)
=(t-1)(e^x)
No.57007 - 2019/03/03(Sun) 18:40:27
☆ Re: 置換積分 / X
こちらの計算では
(1)
-1/{9(3x+2)^2}+4/{27(3x+2)^3}+C
(Cは積分定数)

(2)
(2/5)(e^x+1)^(5/2)-(2/3)(e^x+1)^(3/2)+C
(Cは積分定数)

となりました。
No.57008 - 2019/03/03(Sun) 18:48:00
★ 確率 / ななし
問題の解き方(式もあわせて)教えてください！

赤玉が2個、白玉が4個入った袋があります。この袋の中の玉をよくかき混ぜてから同時に２個取り出すとき、取り出した玉が異なる色である確率を答えなさい。
No.57003 - 2019/03/03(Sun) 08:38:15
☆ Re: 確率 / IT
（解１）
６つの玉を区別して考える
６つから２つ選ぶ方法の数はC(6,2)
６つから赤玉１つ白玉１つを選ぶ方法の数はC(2,1)×C(4,1)
求める確率は(C(2,1)×C(4,1))/C(6,2)

（解２）
同時ではなくて　順に取り出すと考えても良い。
（それがしっくりこないなら、右手に１つ左手に１つ取ると考えてもいいです）

(赤、白)の順に出る確率は,(2/6)×(4/5)
(白、赤)の順に出る確率は,(4/6)×(2/5)　

求める確率は(2/6)×(4/5)+(4/6)×(2/5)
No.57004 - 2019/03/03(Sun) 08:50:58
★ (No Subject) / たけまる
（3）で
129/143 分の 5/13という答えなんですけど、答えに5C1×12/13×11/12×10/11×1/10と途中式が書いてあって、それになぜ5C1をかけるのかが分かりません。途中式全体的に教えてもらえますか
No.57000 - 2019/03/02(Sat) 22:28:45
☆ Re: / IT
4人のうち少なくとも１人が当たる確率は
P[1]=1-(8/13)(7/12)(6/11)(5/10)=129/143

Dが当たる確率は 5/13

4人のうち少なくとも１人が当りでかつDが当りの確率は、Dが当たりの確率と等しいので5/13 （注）

よって求める条件つき確率は　(5/13)/(129/143)

（注）このくじ引きの問題の場合、何番目に引いても当たる確率は同じです。
厳密に示したい場合は証明が必要ですが、時間が無ければ証明なしで使っていいと思います。
いくつか示し方がありますが　
くじを横に並べて端から順にA,B,C,Dが引いていくと考えて、当たりくじを置く場所の組み合わせの数で確率を計算するのが簡単だと思います。

当たりくじ５本を置く場所の組み合わせはC(13,5)とおり、
そのうち４番目（Dが引く）に当たりくじを置くのはC(12,4)とおり、
よって、Dが当たりくじを引く確率はC(12,4)/C(13,5)=5/13

下記にも解説が載っています。

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/82/82-2.pdf
No.57001 - 2019/03/03(Sun) 00:20:03
☆ Re: / IT
> 答えに5C1×12/13×11/12×10/11×1/10とと途中式が書いてあって

解説なしに、その数式が書いてあるだけなら、答案としても良くないですね。

下記の考え方だと思います。

５つの当たりくじを、アイウエオとします。

Dがアを引く確率は,A,B,Cがアを引かずにDがアを引く確率ですから
　(12/13)×(11/12)×(10/11)×(1/10)

Dが当たりくじを引く確率は,Dがアイウエオのどれかを引く確率なので ５つから１つ選ぶ場合の数　(5C1)を掛けて、
　(12/13)×(11/12)×(10/11)×(1/10) ×　(5C1)　
No.57002 - 2019/03/03(Sun) 04:40:06
★ 数2の問題ですが数1の復習？ / 高2生
(2)
2-(2/3)x≧0となるのはなぜでしょう、、
(1)で出た式に似ていますが、xの指数が小さくなっていてよくわかりません。
No.56996 - 2019/03/02(Sat) 18:40:29
☆ Re: 数2の問題ですが数1の復習？ / 高2生
あげ直します。すみません。
No.56997 - 2019/03/02(Sat) 18:46:10
☆ Re: 数2の問題ですが数1の復習？ / らすかる
?@の式がy=2-(2/3)xとなっていますよね。
ですからy≧0ならばこのyを2-(2/3)xに置き換えて2-(2/3)x≧0です。
No.56998 - 2019/03/02(Sat) 19:26:32
☆ Re: 数2の問題ですが数1の復習？ / 高2生
> ?@の式がy=2-(2/3)xとなっていますよね。
> ですからy≧0ならばこのyを2-(2/3)xに置き換えて2-(2/3)x≧0です。

完全に見落としていました…！ありがとうございます
No.56999 - 2019/03/02(Sat) 20:11:16
★ (No Subject) / アパー
(1)がよくわかりません。
答え (±1.±4) (±2.±2) (±4.±1)
No.56988 - 2019/03/02(Sat) 11:27:58
☆ Re: / IT
> 答え (±1.±4) (±2.±2) (±4.±1)
は、何ですか？ k ではなくて　方程式の解の組ですか？
その答えは合っていますか？　k=0 のとき　解はx=0（整数）になりませんか？
載せてある問題が違っているのでしょうか？
No.56989 - 2019/03/02(Sat) 12:13:51
☆ Re: / IT
２つの整数解をα、βとすると　3k=α+β、2k=αβ∴k=α+β-αβ 整数

k=α^2/(3α-2) 整数。
3α-2が素因数pを持つとする。　
p≠2とするとαはｐを約数に持たない。
よってp=2しかありえない。

3α-2が素因数2を持つとき　αも素因数2を持つので　α=2a (aは整数)とおく.

k=4a^2/(6a-2)=2a^2/(3a-1)
a^2と3a-1は互いに素に注意する。
aが偶数のとき
　3a-1 は奇数なので　3a-1=±1 ∴a=0 k=0
aが奇数のとき
　3a-1=±1,±2 よって　a=1,k=1

3α-2が素因数2を持たないとき　
3α-2＝±1　∴ α=1 ∴ k=1 (既出)
No.56990 - 2019/03/02(Sat) 13:54:38
☆ Re: / IT
下記の解法が簡単ですね。

f(x)=x^2-3kx+2k とおく。

f(x)=0の解が整数のみのとき、上記したようにkは整数。

k＞0　のとき
　f(0)=2k＞0
　f(1)=1-k
　k＞1　ならばf(1)＜0
　よって 0＜x＜1、f(x)=0 なるx が あり　不適
　よってk＝1 (必要条件)
　このとき　f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2) なので
　f(x)=0の解はx=1,2 となりOK。

k＝0のとき　f(x)=0の解はx=0（重解）なので適。

k＜0のとき　f(0)＜0　、f(1)＞0　なのでf(x)=0は 0＜x＜1なる解xを持ち、不適
　
No.56991 - 2019/03/02(Sat) 14:08:25
☆ Re: / らすかる
ITさんの解答の二番煎じですが

f(x)=x^2-3kx+2kとおくと
k＜0,k＞1のときf(0)f(1)=2k(1-k)＜0なので0＜x＜1である解が存在する
0＜k＜8/9のとき判別式D=k(9k-8)＜0なので解は虚数
8/9＜k＜1のときf(1)f(4/3)=(2/9)(1-k)(8-9k)＜0なので1＜x＜4/3である解が存在する
k=8/9のときf(x)=(3x-4)^2なので解はx=4/3
k=0のとき解はx=0 … (a)
k=1のとき解はx=1,2 … (b)
従って解がすべて整数となるのは(a)(b)の場合のみ。
No.56995 - 2019/03/02(Sat) 18:02:11
★ 三角方程式 / 名前
sinx°sin6°sin18°=sin(96-x)°sin12°sin48°　　　0<x<180

x=84です。ご教授願います。
No.56987 - 2019/03/02(Sat) 10:05:34
☆ Re: 三角方程式 / GandB
　回答がないのはめんどくさいからかな（笑）

　sin6°、sin18°、sin12°、sin48°を検索するといろいろ情報が得られる。それを元に自力で解決した方が手っ取り早いぞ。
No.56992 - 2019/03/02(Sat) 14:29:07
☆ Re: 三角方程式 / 名前
sin12°に倍角公式を使うとsin6°を消せますが、その後進展はありませんでした。

積和公式で問題の式をバラしたあとでx=84を代入して共通項を作れるかと探ってみても有用な手がかりは得られませんでした。

引き続きご協力お願いします。
No.56994 - 2019/03/02(Sat) 15:26:50
☆ Re: 三角方程式 / らすかる
2cos36°-2cos72°=4sin54°sin18°
=(2cos36°)(2sin18°)
=(2cos36°)(sin36°/cos18°)
=sin72°/cos18°
=sin72°/sin72°
=1 から
2cos36°-1=2cos72°=2sin18°なので
sin12°sin48°
=(cos36°-cos60°)/2
=(2cos36°-1)/4
=2sin18°/4
=sin18°/2

これを使って
sinx°sin6°sin18°=sin(96-x)°sin12°sin48°
sinx°sin6°sin18°=sin(96-x)°sin18°/2
2sinx°sin6°=sin(96-x)°
2sinx°sin6°=cos(x-6)°
2sinx°sin6°=cosx°cos6°+sinx°sin6°
sinx°sin6°=cosx°cos6°
tanx°tan6°=1
∴x=84
No.57011 - 2019/03/04(Mon) 08:00:46
☆ Re: 三角方程式 / GandB
　いやいや、すごいですね。とても考えつかない。
　質問した方が見てくれるといいけど。
No.57029 - 2019/03/05(Tue) 10:51:57
☆ Re: 三角方程式 / らすかる
この問題は、検索したら1977年のIMO Longlists(数学オリンピックで
問題案として提出された問題)の30番
https://artofproblemsolving.com/community/c3224_imo_longlists
A triangle ABC with ∠A = 30°and ∠C = 54°is given.
On BC a point D is chosen such that ∠CAD = 12°.
On AB a point E is chosen such that ∠ACE = 6°.
Let S be the point of intersection of AD and CE.
Prove that BS = BC.
を∠SBC=x°とおいて式で表したものですね(x=84とBS=BCは同値)。
どうりで難しいわけです。

# しかも、元の問題では基本的に
# sin84°sin6°sin18°=sin12°sin12°sin48°
# が成り立つことを示すだけでよいので、
# xを求める今回の問題の方がさらに難しいです。
No.57030 - 2019/03/05(Tue) 12:10:08
☆ Re: 三角方程式 / 名前
ご回答ありがとうございます。

2sin12°sin48°=sin18° を導出することで元の式から3つものsinを消せるとは驚きました。
ところでこの式はどのように思いついたのでしょうか?
No.57031 - 2019/03/05(Tue) 13:07:20
☆ Re: 三角方程式 / らすかる
そこにたどりつくまでに式をいろいろこねくりまわして
計算している途中でcos36°-cos72°=1/2に気付き、
sin12°sin48°が(2cos36°-1)/4になることは
積和公式ですぐにわかりましたが、
この2式からsin12°sin48°=sin18°/2が導けることに
気付くまでがちょっとかかりました。
No.57032 - 2019/03/05(Tue) 13:33:08
☆ Re: 三角方程式 / 名前
当初はsin12°に倍角公式を使ってsin6°を消し

cos(x+30)°+cos(x-42)°+cos(x+102)°+cos(x-54)°+cos(x+18)°=0

まで変形して頓挫しました。
sinを消す際に倍角公式は便利ですが、このような消し方があるとは勉強になりました。
No.57033 - 2019/03/05(Tue) 14:43:25
★ (No Subject) / 独学は辛いよ
xy平面上を動く点Pの時刻t(t≧0)における座標(x,y)は添付図で与えられている。0≦t≦2πにおけるOPの最大値を求める問題で、
OP=√(x^(2)+y^(2)とおける理由が分かりません。
解説をお願いします。
No.56981 - 2019/03/01(Fri) 21:07:50
☆ Re: / X
OPとは原点と点Pとの間の距離です。
この説明で分からなければ、
二点間の距離の公式
を復習しましょう。
No.56982 - 2019/03/01(Fri) 21:23:30
☆ Re: / 独学は辛いよ
理解しました！ありがとうございます。
No.56986 - 2019/03/01(Fri) 22:09:39
★ (No Subject) / 独学は辛いよ
二次曲線x^(2)+4y^(2)-24y+20=0で囲まれた図形をx軸の周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。という問題で、添付図の解説の一番最後の行で体積Vを求める式でなぜ引き算しているのか分かり
ません。また、この引き算をしている部分は図においてはどこの部分を示しているのでしょうか？解説をお願いします。
No.56978 - 2019/03/01(Fri) 20:41:47
☆ Re: / Masa
図形がx軸より上方にあるので、この図形をx軸の周りに1回転させると、ドーナツのように中央が空洞になってしまいます。
そのため、空洞も含めた体積から空洞の体積を引いています。
図ではx軸の上方で楕円の下方、0≦y≦y2の部分です。
No.56979 - 2019/03/01(Fri) 20:50:03
☆ Re: / 独学は辛いよ
ありがとうございます
No.56980 - 2019/03/01(Fri) 21:07:20
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