ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 立方体の影の面積 / 瑠璃

間違えている点をご指摘ください。

座標空間内に、4点A（a,0,0）、B（0,a,0）、C（-a,0,0）、D（0,-a,0）（a>0）を頂点とする正方形を底面とする不透明な立方体がx-y平面に置かれている。また、円x^2+y^2=a^2かつz=2a上を点光源Pが点（a,0,2a）を出発して、12秒間で1周するように回転している。出発してから、t秒後の点光源Pによる立方体の影の面積をS(t)とするとき、S(t)の最大値を求めよ。

立方体をABCD-EFGHとします。P(acosπt/6,asinπt/6,2a)とします。対称性から0≦t≦3/2とします。Q(acosπt/6,asinπt/6,0)とします。PE、PF、PG、PHとxy平面の交点I、J、K、Lとします。このとき、五角形QBCDAと五角形QJKLHは相似で、相似比はQBCDA：QJKLH=√2a:2(√2+1)aなので、面積比は1:6+4√2です。よって影の領域の面積S(t)はS(t)=QJKLH-QBCDA=(6+4√2)QBCDA-QBCDA=(5+4√2)QABCDです。OBCDA=正方形ABCD+?儔ABです。ABCDの方は面積(√2a)^2=2a^2です。?儔ABの方は明らかにt=3/2のとき最大になり、そのときの面積は(√2-1)a^2/2です。以上の考察により、S(t)の最大値は(5+4√2){(√2-1)a^2/2+2a^2}=(23+17√2)a^2/2となります。

でも答えは(8+6√2)a^2となっていて、何度計算し直しても答えが合いません。

どこを間違えているのでしょうか。訂正方法とともに教えてください。よろしくお願いします。

No.56877 - 2019/02/23(Sat) 16:35:33

☆ Re: 立方体の影の面積 / らすかる

(23+17√2)a^2/2で合っていると思います。

No.56881 - 2019/02/23(Sat) 17:56:13

☆ Re: 立方体の影の面積 / 瑠璃

御回答ありがとうございました。

そうなんですね。解答が間違ってたんですね。

No.56882 - 2019/02/23(Sat) 18:18:09

★ (No Subject) / TIFF

2連続投稿申し訳ないです。4番がよくわかりません。ab＝glによりg＝12と求めたのですが、そこからの求め方がわからず、答えが一致しません。解説よろしくお願いします。答えは12と480,60と96と書いてあります。

No.56875 - 2019/02/23(Sat) 15:31:06

☆ Re: / らすかる

5760=2^7×3^2×5^1
480=2^5×3^1×5^1
なので
2数を素因数ごとに考えると
2は2^5と2^2（大きい方が2^5で積が2^7だから）
3は3^1と3^1（大きい方が3^1で積が3^2だから）
5は5^1と5^0（大きい方が5^1で積が5^1だから）
となるので、組み合わせは以下の2通り
2^5×3^1×5^1 と 2^2×3^1×5^0 → 480と12
2^5×3^1×5^0 と 2^2×3^1×5^1 → 96と60

No.56879 - 2019/02/23(Sat) 17:10:30

★ (No Subject) / TIFF

カッコ2の解き方がわかりません。解説お願いします

No.56871 - 2019/02/23(Sat) 14:48:02

☆ Re: / noname

整数解の基本は、(整数)×(整数)=(整数)の形にすること。
まず、aでくくる(bでもよい)。
a(b+2)+4b=3
くくってできた(b+2)の形を、残りのパーツで無理やり作る。
4bに注目して、4(b+2)を作りたい。しかし、勝手に4bを4(b+2)にしてしまうと、4(b+2)=4b+8なので、8だけ増えてしまう。そこで、帳尻を合わせるためにあとで8を引く。
a(b+2)+4(b+2)-8=3
(a+4)(b+2)=11
a+4もb+2も整数なので、かけて11になる組み合わせは限られる。その組み合わせを片っ端から書いて、最後にa,bの値に直す。

No.56873 - 2019/02/23(Sat) 14:57:09

☆ Re: / TIFF

なるほどです！ありがとうございます！

No.56874 - 2019/02/23(Sat) 15:27:52

☆ Re: / IT

一般に
axy+bx+cy+d=0 ⇔ (ax+c)(ay+b)=bc-ad　です。
右辺を展開して確かめてみて下さい
公式として覚える必要はないです。平方完成と同様に式変形していけば良いです。

この問題の場合は　xはa,yはb,aは1,bは2,cは4,dは-3です

No.56889 - 2019/02/23(Sat) 20:32:07

★ (No Subject) / 独学は辛いよ

添付図の(2)の解説の一行目と二行目がよく分かりません。疑問に思う所を赤で書きました。
解説をお願いします。

No.56869 - 2019/02/23(Sat) 13:56:13

☆ Re: / ぽけっと

中括弧内の式変形をもう少し詳しく書くと

log{(n+1)(n+2)…(n+n)} - n*log(n)
= log(n+1) + log(n+2) + … + log(n+n) - n*log(n)
= {log(n+1)-log(n)} + {log(n+2)-log(n)} + … + {log(n+n)-log(n)}
= log{(n+1)/n} + log{(n+2)/n} + … + log{(n+n)/n}
= log(1 + 1/n) + log(1 + 2/n) + … + log(1 + n/n)

となります。

最初の「なんでlogをつけるか？」という質問は、「なぜlogをとるというテクニックを思いつけるのか」、という意味ですよね。

慣れればこういう問題ではlogを取ってみたくなる、という答え以外を考えるのが難しいですね・・・
logをとることで掛け算を足し算に変えることができるので、この問題のように考えやすくなる場合は多々ありますね。

No.56870 - 2019/02/23(Sat) 14:38:30

☆ Re: / noname

まず、出来のいい入試問題は無駄な計算はさせない。
(1)が前振りだということを踏まえた上で、
積分をさせたいのだろうと予想し、
極限をとっているから区分求積法か何かだろうと予想する。
区分求積法なら和の形になっていなければならないが、
a_nは積の形になっている。
積を和の形にする方法→対数を取る。
という思考過程。

で、その式変形はあまりうまくない。-nlognにする意味があまりない。
最初から1/n{log((n+1)/n)+log((n+2)/n)+…+log((n+n)/n)}にした方が見通しが良い。

No.56872 - 2019/02/23(Sat) 14:49:30

☆ Re: / 独学は辛いよ

ありがとうございます

No.56876 - 2019/02/23(Sat) 16:21:53

★ (No Subject) / 独学は辛いよ

f(x)=(x-1)^2(x-a)がx=1+aで極大になるとき、aの値を求める際にf"(1+a)<0になるのは何故でしょうか？
解説をお願いします。

No.56856 - 2019/02/22(Fri) 22:39:33

☆ Re: / らすかる

x=1+aで極大ということは
x=1+aで上に凸だからです。

No.56858 - 2019/02/22(Fri) 22:49:55

☆ Re: / 独学は辛いよ

そうでしたね。ありがとうございます

No.56859 - 2019/02/22(Fri) 22:57:20

☆ Re: / 独学は辛いよ

ん？けど、上に凸の場合で
x=1+aで極大となるとき必ずf"(1+a)<0になるのでしょうか？

No.56860 - 2019/02/22(Fri) 23:00:46

☆ Re: / らすかる

「x=1+aでf(x)が上に凸」⇔「f''(1+a)＜0」ですから
x=1+aでf(x)が上に凸ならば、極大でなくてもf''(1+a)＜0です。

No.56861 - 2019/02/22(Fri) 23:53:59

☆ Re: / 独学は辛いよ

ありがとうございます

No.56867 - 2019/02/23(Sat) 09:34:11

★ (No Subject) / 蘭

これを解いてください！
お願いします！
答えはありません！

No.56855 - 2019/02/22(Fri) 22:29:32

☆ Re: / らすかる

x^4/(x^3+1) を部分分数分解すると
(1/3){3x+1/(x+1)-(x+1)/(x^2-x+1)}
x^2-x+1の分子をk(2x-1)とそれ以外に分けて
(1/6){6x+2/(x+1)-(2x-1)/(x^2-x+1)-3/(x^2-x+1)}
=(1/6){6x+2/(x+1)-(2x-1)/(x^2-x+1)}-2/{(2x-1)^2+3}
なので
∫[0～1]x^4/(x^3+1)dx
=(1/6)[3x^2+2log(x+1)-log(x^2-x+1)][0～1]-(√3/3)[θ][-π/6～π/6]
=(1/6)(3+2log2)-(π√3/9)
=(9+6log2-2π√3)/18

# 2/{(2x-1)^2+3}の積分は2x-1=(√3)tanθとおきました。

No.56864 - 2019/02/23(Sat) 00:43:18

☆ Re: / 蘭

すご！
最後の積分すごいですね！
ありがとうございました！
またよろしくお願いします！

No.56866 - 2019/02/23(Sat) 01:10:40

☆ Re: / GandB

　暇つぶしに計算してみたら、1時間たっぷりかかった（笑）。
　　x^4/(x^3+1) = x - x/(x^3+1)
と変形してやったけど、手間はいっしょ。
　頭の退化予防にはもってこいの問題でした。

No.56868 - 2019/02/23(Sat) 10:06:00

★ (No Subject) / O-O

xyz空間に A(1.0.0)を通り方向ベクトルが(1.3.2)の直線lと P(1.2.1)がある。ちょくせんlを含みPを通る平面をαとするとき
αとy軸.z軸との交点の座標をそれぞれ求めよ

全然わからないので、よろしくお願いします

No.56854 - 2019/02/22(Fri) 22:12:35

☆ Re: / らすかる

直線lの方向ベクトルが(1,3,2)、ベクトルAPが(0,2,1)なので
α上の点は(1,0,0)+s(1,3,2)+t(0,2,1)と表される。
このsとtを調整してx,zを0にすればy軸との交点、
x,yを0にすればz軸との交点が求まる。
s=-1,t=2のとき(1,0,0)-1(1,3,2)+2(0,2,1)=(0,1,0)なので
y軸との交点は(0,1,0)
s=-1,t=3/2のとき(1,0,0)-1(1,3,2)+(3/2)(0,2,1)=(0,0,-1/2)なので
z軸との交点は(0,0,-1/2)

No.56857 - 2019/02/22(Fri) 22:47:31

★ 空間図形の体積 / 光

問題
4点A(-π,0)、B(π,0)、C(π,π2)、D(-π,π2)を頂点とする長方形上に放物線P：y=x2(-π≦x≦π)が描かれている。この長方形ABCDを半径1、高さπ2の直円柱Eの側面に巻きつける。ただし、辺ABはEの底面Fの周に巻きつくものとする。底面Fに平行な平面HとEの側面上の放物線Pとの交点をQ、Rとするとき、Hの変化に伴い線分QRはある曲面を作り、直円柱Eを2つの部分に分ける。このとき、底面Fを含む方の体積Vを求めよ。

解答解説をお願いします。

No.56852 - 2019/02/22(Fri) 21:25:47

☆ Re: 空間図形の体積 / 光

y=k(0≦k≦π2)での断面積を求めます。

元のxy平面において、y=kとすると、x=±√kなので、断面は半径1の円において、弦QRと弧QRで囲まれる部分のうち、z軸正方向側の部分です。ただし、底面Fの中心が(0,0,1)にくるようにz軸を定めました。つまり、底面Fが、(0,0,1)の円柱で、元の長方形のAとBが(0,0,2)で一致するように、CとDが、(0,0,π2)で一致するようにxyz座標空間を設定しました。

断面積S(k)は弧QRが優弧のときも劣弧のときもS(k)=θ/2-sinθ/2です。ただし、T(0,k,1)として、∠QTR=θとしました。

弧と中心角の関係から2√k=θです。

V=∫(0→π2)S(k)dkをθで置換積分して、

V=(0→2π)(θ/2-sinθ/2)θ/2dθとなり、計算して、
2π3/3+π/2と求まります。

ですが、解答はπ3/3-π/2となっており、合いません。

どこを間違えているのでしょうか。

No.56862 - 2019/02/23(Sat) 00:00:24

☆ Re: 空間図形の体積 / らすかる

π2やx2はπ^2,x^2の意味と解釈します。
（通常2乗はこのように書きます。）

> CとDが、(0,0,π2)で一致するように
AとBが(0,0,2)ならばCとDは(0,π^2,2)では？

> 弧と中心角の関係から2√k=θです。
これが違うと思います。
2√k=θとおくと、k=0のときθ=0,k=π^2のときθ=2πなので
求まるのは「底面Fを含まない方の体積」になりますね。
円柱の体積がπ^3ですから、底面Fを含む方の体積は
π^3-(2π^3/3+π/2)=π^3/3-π/2
となり、解答と合います。

No.56865 - 2019/02/23(Sat) 01:00:11

☆ Re: 空間図形の体積 / 光

＞AとBが(0,0,2)ならばCとDは(0,π∧2,2)では？

仰るとおりですね。間違えてました。

＞弧と中心角の関係から2√k=θです。
＞これが違うと思います。

恐縮ですが、ここがよくわかりません。弧QRは明らかに2√kですよね？これをθとおくことのどこが間違いなのでしょうか？？正しくはθをどう設定すべきでしょうか？？

No.56898 - 2019/02/24(Sun) 07:30:26

☆ Re: 空間図形の体積 / らすかる

> 弧QRは明らかに2√kですよね？
「線分AD(=BC)を含まない方の孤QR」は確かに2√kですが、
必要なのは「線分AD(=BC)を含む方の孤QR」です。

具体値を代入して考えてみて下さい。
2√k=θとすると
k=0のときθ=0（底面なし）
k=π^2のときθ=2π(上面全体)
ということでkが大きいほど角度が大きくなり、
「底面Fを含まない方の体積」になっていますね。
「底面Fを含む方の体積」ならば
k=0のときθ=2π（底面F）
k=π^2のときθ=0（上面なし）
とならなければいけませんので、
2√k=2π-θ
とする必要があります。

別の見方では、
2√kというのは「放物線の間の長さ」
すなわちy=kとy=x^2との2交点間の距離
ですが、体積を求める立体は「底面を含む方」
すなわち「（長方形の中で）放物線の外側の長さ」
ですから、2π-2√k＝θとおかないといけません。

No.56902 - 2019/02/24(Sun) 11:07:25

★ (No Subject) / 独学は辛いよ

放物線y=ax^2(a>0)と直線y=bx-2は,x座標が2である点Pとx座標が1/aである点Qとで交わっている。ただし、QはPより右側にある。次の問いに答えなさい。

線分PQの中点Lを通りy軸に平行な直線が、放物線y=ax^2およびx軸と交わる点をそれぞれM,Nとする。LM:MN=1:4であるとき、aの値を求めなさい。

解答、解説をお願いします！！

No.56843 - 2019/02/22(Fri) 15:48:29

☆ Re: / noname

できるとこまでまずやってみたら。
難しい考え方を使うタイプじゃないから、やってみたら案外できると思う。

No.56844 - 2019/02/22(Fri) 16:09:53

☆ Re: / X

まずbをaで表すことを考えます。

y=ax^2 (A)
y=bx-2 (B)
とします。
条件から(A)(B)の交点のx座標についての
方程式
ax^2=bx-2
つまり
ax^2-bx+2=0
の解がx=2,1/aですので解と係数の関係から
b/a=2+1/a
∴b=2a+1
よって(B)は
y=(2a+1)x-1
となるのでP,Qの座標は
P(2,4a+1),Q(1/a,1/a+1) (2＜1/a、つまり0＜a＜1/2のとき)
P(1/a,1/a+1),Q(2,4a+1) (2＞1/a、つまり1/2＜aのとき)
ここでP,Qは異なる点ですので
1/a≠2
つまり
a≠1/2 (C)
に注意しておきます。
上記いずれの座標の組に対しても、
L(1+1/(2a),2a+1/(2a))
∴
M(1+1/(2a),a{1+1/(2a)}^2)
N(1+1/(2a),0)
となるので
LM={2a+1/(2a)}-a{1+1/(2a)}^2
MN=1+1/(2a)
後は
LM:MN=1:4
を使ってaの方程式を立てて解きます。
立てた方程式は一見、aが分母にあるので
難しく見えますが、両辺にaをかければ
aの二次方程式になります。

No.56845 - 2019/02/22(Fri) 17:29:48

☆ Re: / 独学は辛いよ

Xさんありがとうございます

No.56849 - 2019/02/22(Fri) 18:48:28

★ 立体図形 / 中3 受験生

底面が、一辺4?pの正方形高さが５?pの、直方体がある。線分ACの、中点をIとする。
?@ 辺CG上に角EIJ＝90度となる点Jをとる。このとき
線分CJの長さ

?A前問の時、線分BHと、FIの交点を、Kとする。
KEJIを、結んでできる三角錐の、体積を、もとめよ。

答えは、?@ 8/5 ?A 44/15

よろしくお願いします

No.56840 - 2019/02/22(Fri) 01:54:04

☆ Re: 立体図形 / らすかる

?@
△AEI∽△CIJなのでCJ=AI・CI/AE=8/5

?A
△KIB∽△KFHからBK：KH=1：2なので
△EJIを三角錐の底面とした時の高さは2√2/3
△EJI=(AE+CJ)AC/4=33√2/5なので
(三角錐KEJIの体積)=(2√2/3)(33√2/5)/3=44/15

No.56841 - 2019/02/22(Fri) 05:36:09

☆ Re: 立体図形 / 中3 受験生

らすかる先生、ありがとうございました。

No.56863 - 2019/02/23(Sat) 00:40:15

★ (No Subject) / prr

画像の？の部分の値と計算方法を知りたいです。
よろしくお願いします！

No.56829 - 2019/02/21(Thu) 01:39:12

☆ Re: / らすかる

r=60
a=16
b=7.7
c=18
x=求める値
として
d={a+b√(4r^2/(a^2+b^2)-1)}/2
x=√{r^2-(d-c)^2}-√(r^2-d^2)
となります。
具体値を入れて計算すると、xは約8.28です。

No.56830 - 2019/02/21(Thu) 04:34:27

☆ Re: / prr

ありがとうございます！
dとは面積のことですか？

No.56832 - 2019/02/21(Thu) 09:10:51

☆ Re: / らすかる

違います。
xの式が複雑になるのを避けるための、ただの途中計算用変数です。

No.56833 - 2019/02/21(Thu) 09:37:41

☆ Re: / prr

ありがとうございます！
こんなに難しい計算がいるんですね！

No.56834 - 2019/02/21(Thu) 15:17:37

★ (No Subject) / TIFF

16進数を2進数に直せという問題でD5Fと出てきました。しかし3桁の解き方がいまいちよくわからず答えが一致しません。解説をお願いします。答えは110101011111です。

No.56824 - 2019/02/20(Wed) 20:00:58

☆ Re: / noname

何桁でも同じだが。
それぞれ4桁の2進数に直してくっつけるだけ。
おおかた、5を直すとき0101にせず101にしてたってオチだろう。

No.56825 - 2019/02/20(Wed) 20:04:42

☆ Re: / TIFF

そうです。5を直す時が間違ってます。こうじゃ無いんですか？何が間違ってるかお願いします！

No.56826 - 2019/02/20(Wed) 21:02:45

☆ Re: / GandB

> それぞれ4桁の2進数に直してくっつけるだけ。
なので、16進数と2進数の相互変換は0～Fを4桁の2進数で表した表を作っておけば計算するまでもない。

No.56827 - 2019/02/20(Wed) 21:22:52

☆ Re: / noname

>そうです。5を直す時が間違ってます。こうじゃ無いんですか？何が間違ってるかお願いします！

桁を意識して、なぜそのままくっつけてよいかを理解していないと、そういう間違いに陥る。
例えば、16進法のF1は、
16×15+1×1
これを2進法で表すならば、
(2^7×1+2^6×1+2^5×1+2^4×1)＋(2^3×0+2^2×0+2^1×0+2^0×1)
16進法の下から2桁目である16の位は、2進法では下から5桁目にあたる。
16進法で1桁上がるということは、2進法で4桁上がるということ。

No.56828 - 2019/02/20(Wed) 23:04:25

☆ Re: / らすかる

例えば
12億345万67
を数字だけで表すと
1234567
ではなく
1203450067
となりますね。
これは、
12億345万67
は1万進数で1の位が67、1万の位が345、(1万)^2の位が12
であり、1万進数を10進数に直す時は1万=10^4なので
1万進数の各1桁を10進数の4桁に直さなければならないからです。
12→0012、345→0345、67→0067としてくっつけて
001203450067
そして頭の00を除いて
1203450067
となります。

16進数を2進数に直す場合もこれと全く同じです。
16=2^4ですから
D→1101
5→0101
F→1111
のようにそれぞれを必ず4桁ずつにしてくっつけなければなりません。

No.56831 - 2019/02/21(Thu) 04:43:05

★ (No Subject) / 梨主

浮力の説明で分からないところがあります。P=P0+ρgh の所では釣り合いで説明がなされてるので、図2のP1でも釣り合い式を考えようとしたのですが、無理でした…
感覚的になんですが、どう見ても釣り合いで考えるのは、変に誤解しそうで良くない気がするのですが、どうなんでしょう？

No.56806 - 2019/02/18(Mon) 05:45:02

☆ Re: / X

無理も何も添付写真の下から三行目に
P[1]についての式が書いてありますよ。

No.56807 - 2019/02/18(Mon) 06:22:07

☆ Re: / 梨主

その式を釣り合いを考えて導こうとしても出来ないのです…

No.56808 - 2019/02/18(Mon) 06:40:56

☆ Re: / GandB

> 感覚的になんですが、どう見ても釣り合いで考えるのは、変に誤解しそうで良くない
　まず図2の「圧力」の矢印をすべて消し、鉛直方向に働く「力」をすべて矢印で書きんでみなさい。それであなたが力のつり合いを理解しているかどうかがわかる。

No.56809 - 2019/02/18(Mon) 07:54:57