行列A={(a,1,1),(1,a,1),(1,1,a)}に対してAが正則である必要十分条件をaに関して求めよ。Aが正則で出ない場合、ker(A)の基底を求めよ。
基本変形すると、
A={(a,1,1),(1,a,1),(1,1,a)}
={(1,1,a),(1,a,1),(a,1,1)}
={(1,1,a),(0,a-1,1-a),(0,1-a,1-a^2)}
ここで、
|A|=|(1,1,a),(0,a-1,1-a),(0,1-a,1-a^2)|
=(-1)^(1+1)*|(a-1,1-a),(1-a,1-a^2)|
={(a-1)*(1-a^2)-(1-a)*(1-a)}
=-a^3+3a-2
Aが正則でないとき、|A|=0となるので、
|A|=-a^3+3a-2=0
a^3-3a+2=0
(a-1)^2*(a+2)=0
a=1,-2
よって、Aが正則である必要十分条件は、a≠1,-2
ここまでの計算は合ってますか？
Aが正則で出ない場合のker(A)の基底はどうやって求めればよいでしょうか？a=1,-2で場合分けをして求めるのでしょうが、やり方が分かりません。どなたかご教授下さい。
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No.56402 - 2019/01/31(Thu) 14:11:42
| ☆ Re: / MK^2 | | | a=-2のとき;
{-2 x + y + z, x - 2 y + z, x + y - 2 z} = {0, 0, 0}
KARA {{x, x, x}} 故 例えば {55, 55, 55} を 基底にとれる。
a=1のとき;
{x + y + z, x + y + z, x + y + z} = {0, 0, 0}
KARA {{x, y, -x - y}} 故 例えば
{1, 9, -10},{1, 8, -9} を 基底にとれる。
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No.56501 - 2019/02/05(Tue) 06:08:27 |
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