関数f(x,y)は全微分可能であるとし、Lk:={(x,y)|f(x,y)=k}をfの等高線とする.
このとき、Lk上の点(a,b)におけるLkの接線の方程式は
∂f(a,b)/∂x(x-a)+∂f(a,b)/∂y(y-b)=0
であることを証明せよ。
解答お願いします。
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No.56183 - 2019/01/18(Fri) 22:33:52
| ☆ Re: 接線の方程式について / GandB | | | > ∂f(a,b)/∂x(x-a)+∂f(a,b)/∂y(y-b)=0
記号がちょっと紛らわしい。最初なんだこりゃ？と思った（笑）。
f_x(x,y) = ∂f(x,y)/∂x
f_y(x,y) = ∂f(x,y)/∂y
としたとき
f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) = 0
を証明しろということだろう。
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
より x、y がパラメータ t で表せるとき
df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt).
とくに t = x、y = g(x) とすれば
df/dx = (∂f/∂x)(dx/dx) + (∂f/∂y)(dy/dx)
= (∂f/∂x) + (∂f/∂y)(dy/dx)
= f_x(x,y) + f_y(x,y)g'(x).
f(x,y) = k から df/dx = 0 なので
f_x(x,y) + f_y(x,y)g'(x) = 0
g'(x) = -f_x(x,y)/f_y(x,y)
g'(a) = -f_x(a,b)/f_y(a,b)
であるから、(a, g(a)) を通る接線の方程式は
y - g(a) = g'(a)(x-a)
= -f_x(a,b)(x-a)/f_y(a,b).
(a, b) を通る接線の方程式は
y - b = -f_x(a,b)(x-a)/f_y(a,b).
f_y(a,b)(y-b) = -f_x(a,b)(x-a).
∴f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) = 0.
これでいいんじゃあるまいか。
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No.56199 - 2019/01/20(Sun) 00:52:37 |
| ☆ Re: 接線の方程式について / リーシャン | | | 解答ありがとうございます。
仰る通りの問題の解釈で間違いないです。私の記述が分かり辛かったようで申し訳ないです。
丁寧な解答ありがとうございました。
また機会があればよろしくお願いします。
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No.56237 - 2019/01/21(Mon) 09:07:58 |
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