ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 中学受験の問題 / モジモジ

1/A + 1/3 + 1/B = 1のときA, Bを求めよ。ただし、A, Bは異なる整数とする。
という問題を解きたいです。
上より, 2AB = 3(A + B)となりABは偶数, A + Bは3の倍数で, A, Bともに1以上として書くと最初に(A, B) = (2, 6) (順不同)が見つかりました
. 答えがこれ以外にもあるかもしれないのですが, その見つけ方が分からない(キリがない)ので, どうすればいいか教えて欲しいです. よろしくお願いします.

No.55712 - 2018/12/25(Tue) 07:04:54

☆ Re: 中学受験の問題 / IT

1/A<1/B のものをみつけます。
1/A,1/3,1/Bの平均が1/3　なので1/A<1/3<１/B
よって　1/B=1/2,1/1

1/B=1/2のとき
　1/A=1-(1/3)-(1/B)=1-(1/3)-(1/2)=1/6 ∴A=6
　(A,B)=(6,2)
1/B=1のとき
　1/A=1-(1/3)-1=-1/3 ∴A=-3
(A,B)=(-3,1)

1/A>1/B のものは　(A,B)=(2,6),(1,-3)

A,Bが正とは限らない場合も含んだ解答に変えました。

No.55713 - 2018/12/25(Tue) 07:25:38

☆ Re: 中学受験の問題 / IT

>　2AB = 3(A + B)となりABは偶数, A + Bは3の倍数
まちがってますね。

No.55714 - 2018/12/25(Tue) 07:35:18

☆ Re: 中学受験の問題 / らすかる

(参考)
「中学受験」のレベルから外れると思いますが、
以下のようにすれば、負の数を含めたすべての解を見つけることができます。

2AB=3(A+B)
2AB-3A-3B=0
4AB-6A-6B=0
4AB-6A-6B+9=9
(2A-3)(2B-3)=9
∴(2A-3,2B-3)=(9,1),(3,3),(1,9),(-1,-9),(-3,-3),(-9,-1)
(2A,2B)=(12,4),(6,6),(4,12),(2,-6),(0,0),(-6,2)
(A,B)=(6,2),(3,3),(2,6),(1,-3),(0,0),(-3,1)
問題の式からA≠0,B≠0なので(0,0)は不適
問題の条件からA≠Bなので(3,3)は不適
従って条件を満たす解は
(A,B)=(6,2),(2,6),(1,-3),(-3,1)

# 負の数を含まない場合は、ITさんの解き方が簡単です。

No.55715 - 2018/12/25(Tue) 11:48:57

☆ Re: 中学受験の問題 / モジモジ

> 1/A<1/B のものをみつけます。
> 1/A,1/3,1/Bの平均が1/3　なので1/A<1/3<１/B
> よって　1/B=1/2,1/1
>
> 1/B=1/2のとき
> 　1/A=1-(1/3)-(1/B)=1-(1/3)-(1/2)=1/6 ∴A=6
> 　(A,B)=(6,2)
> 1/B=1のとき
> 　1/A=1-(1/3)-1=-1/3 ∴A=-3
> (A,B)=(-3,1)
>
> 1/A>1/B のものは　(A,B)=(2,6),(1,-3)
>
> A,Bが正とは限らない場合も含んだ解答に変えました。

回答ありがとうございます.
理解できました.
平均を使うのはおもしろいですね.

No.55722 - 2018/12/26(Wed) 06:37:16

☆ Re: 中学受験の問題 / モジモジ

> (参考)
> 「中学受験」のレベルから外れると思いますが、
> 以下のようにすれば、負の数を含めたすべての解を見つけることができます。
> # 負の数を含まない場合は、ITさんの解き方が簡単です。
>（以下略）

回答ありがとうございます.
こう考えると数学便利だなという感じですね...

No.55723 - 2018/12/26(Wed) 06:43:44

★ 解き方を教えてください / なつみ

至急です!！解き方の解説をお願いします🙇⤵

No.55709 - 2018/12/24(Mon) 19:29:50

☆ Re: 解き方を教えてください / X

(1)
条件から4以下の目は6-k[回]出たことになるので
P(k,(6-k)√2)
∴OP=√{k^2+2(6-k)^2}
=√(3k^2-24k+72)

(2)
反復事象の確率により、
p[k]=(6Ck){(2/6)^k}{(4/6)^(6-k)}
=(6Ck){1/3)^k}{(2/3)^(6-k)}

(3)
(1)の結果から
OP=√{3(k-4)^2+24}
∴OPはk=4のときに最小になるので
求める確率は(2)の結果により
p[4]=(6C4){1/3)^4}{(2/3)^2}
=20/243

(4)
(1)の結果から、OP=6のとき
√(3k^2-24k+72)=6
これより
3k^2-24k+72=36
3k^2-24k+36=0
k^2-8k+12=0
(k-2)(k-6)=0
∴k=2,6
よって求める確率は
p[2]+p[6]=…
((2)の結果を使います。これはご自分でどうぞ。)

No.55710 - 2018/12/24(Mon) 20:01:02

★ 概収束の例の証明 / パス

0に概収束する例の証明をお願いしたいです。
画像のX_n(ω)が0に概収束する証明をお願いします。

lim[n→∞]X_n(ω)=0を示せばよく、なりそうなのはわかるのですが、しっかり証明しようとすると、どうすればいいのかわかりません。

よろしくお願いします。

No.55699 - 2018/12/23(Sun) 17:02:54

☆ Re: 概収束の例の証明 / パス

質問したのですが、自分で解決したかもしれないので、自分の回答を掲載させていただきます。
なにか間違いがありましたら、ご指摘お願いいたします。

No.55705 - 2018/12/24(Mon) 01:12:29

★ 解いてください。お願いします。 / 確率

袋の中に白球、赤球、黒球が1個ずつ入っている。袋から無作為に球を1個取り出し、白球ならAの勝ち、黒球ならBの勝ち、赤球なら引き分けとする。取り出した球を元に戻し、このゲームを繰り返す。A、Bのうち、先に3回ゲームに勝った方を優勝とする。
(1)5回目のゲームでAの優勝が決定する確率を求めよ。
(2)6回目のゲームでAの優勝が決定する確率を求めよ。
(3)引き分けが1回も起こらずにAの優勝が決定する確率を求めよ。
(1)8/81 (2)70/729 (3)8/81 がそれぞれ答えですが途中計算が分からないのでお願いします。

No.55698 - 2018/12/23(Sun) 15:45:02

☆ Re: 解いてください。お願いします。 / IT

(2) 6回目のゲームでAの優勝が決定するとき６回目は白で
５回目までの各色が出た数を(白,黒,赤)の順に書くと
(2,0,3): 順番を考えると 5!/(2!3!)=10通り
(2,1,2):5!/(2!2!)=30通り
(2,2,1):30通り
合計70通り

６回の球の出方は3^6通り
どの出方も同様に確からしいので　求める確率は70/3^6　

No.55700 - 2018/12/23(Sun) 17:07:28

☆ Re: 解いてください。お願いします。 / X

(1)
最初の4回でAが2回勝ち、5回目でAが勝てばよいので
求める確率は
(4C2){(1/3)^2}{(2/3)^2}(1/3)=8/81

(2)
題意を満たすためには
・5回目までのAの勝つ回数が2回かつBの勝つ回数が2回以下
・6回目にAが勝つ
の二つの条件を満たさなくてはなりません。
よって求める確率は
{(5C2){(1/3)^2}{(2/3)^3}-(5C2){(1/3)^2}{(1/3)^3}}・(1/3)
=(5C2)(1/729)(8-1)
=70/729

(3)
題意を満たすようなAの優勝までの勝負の回数は
3,4,5
となります。
(i)勝負の回数が3回のとき
問題の確率は
(1/3)^3=1/27
(ii)勝負の回数が4回のとき
3回目までにAが2回、Bが1回勝つことになるので
問題の確率は
{(3C2){(1/3)^2}(1/3)}(1/3)=1/27
(iii)勝負の回数が5回のとき
4回目までにAが2回、Bが2回勝つことになるので
問題の確率は
{(4C2){(1/3)^2}(1/3)^2}(1/3)=2/81

以上から求める確率は
1/27+1/27+2/81=8/81

No.55701 - 2018/12/23(Sun) 17:23:38

☆ Re: 解いてください。お願いします。 / GandB

　(2)のITさんの解答は白球を○、黒球を●、赤球を△ で表し、5回までのパターンを列挙すれば、よりわかりやすいと思う。
　　○○△△△　5!/(2!3!) = 10.　　 10(1/3)^5 = 10/243.
　　○○●△△　5!/(2!2!) = 30.　　 30(1/3)^5 = 30/243.
　　○○●●△　5!/(2!2!) = 30.　　 30(1/3)^5 = 30/243.
　6回目に白球を取り出す確率は 1/3 なので、求める確率は
　　( (10+30+30)/243 )(1/3) = 70/729

No.55702 - 2018/12/23(Sun) 21:47:42

★ すみません。 / 尾

無知で本当にお恥ずかしいのですが、
4、5、6を全て満たす範囲ではなく、
4、5、6を合わせた範囲になるのはなぜですか？

No.55692 - 2018/12/23(Sun) 14:15:07

☆ Re: すみません。 / ヨッシー

４は４だけで、５は５だけでそれぞれ元の不等式を満たします。

逆に、４の論じているｘの範囲と、５の論じているｘの範囲は
別々で、交わることはないので、すべてを満たす範囲は存在しません。
図の数直線上の３つの山が交わっていないのと同じです。

６についても同様です。

No.55694 - 2018/12/23(Sun) 14:20:02

☆ Re: すみません。 / noname

場合分けをしたからです。
この問題は、「解を求めよ」という問題です。
「数直線上のすべての値を調査して、方程式に当てはまるかどうか調べてこい。」と言っています。
しかし、式に絶対値が含まれるので、解く人は「せやかて社長、どこの数を入れるかで式の形変わってしまいますやん。いっぺんに一人でやるのは無理ですわー。手分けしてやりますさかい、ちょっと待っとってください。」と数直線全体をいくつかのパートに分けて調べます。
その手分けした調査結果を最後に合わせているだけです。

No.55696 - 2018/12/23(Sun) 14:28:19

★ (No Subject) / 尾

cが正の数のとき
|x|<cの解は
-c<x<c
というのが説明をみても理解できません。
理解したいです。教えてください。

No.55683 - 2018/12/23(Sun) 00:42:27

☆ Re: / らすかる

|x|＜c
x≧0のとき|x|=xなのでx＜c
よって0≦x＜cは解の一つ
x＜0のとき|x|=-xなので-x＜cすなわちx＞-c
よって-c＜x＜0は解の一つ
0≦x＜cと-c＜x＜0を合せて-c＜x＜cなので
|x|＜cの解は-c＜x＜c

# そこに書かれている説明の内容を理解したいのでしたら、
# 説明を書いて下さい。

No.55686 - 2018/12/23(Sun) 00:52:58

☆ Re: / 尾

これになります。

No.55687 - 2018/12/23(Sun) 01:02:32

☆ Re: / 尾

逆さになってしまい申し訳ありません。

No.55688 - 2018/12/23(Sun) 01:05:08

☆ Re: / らすかる

「|b-a|は数直線上の2点A(a),B(b)間の距離を表している」というのはOKですか？
OKだとすると、
|x|=|x-0|ですから、|x|は2点P(x),O(0)間の距離を表していますね。
すると|x|＜cというのは「2点P(x),O(0)間の距離がc未満」
つまり「P(x)が原点から離れている距離がc未満」
ということになります。
原点から距離cの点はcと-cであり、
-c＜x＜cであれば原点からP(x)までの距離がc未満となりますので、
結局|x|＜cは-c＜x＜cと同じ意味ということになります。

No.55689 - 2018/12/23(Sun) 02:46:40

☆ Re: / 尾

丁寧な解説ありがとうございます。
理解できて嬉しいです。
お手数だとは思いますが、x<-c x>cのほうについても
解説して頂けませんか？
あと少しで分かりそうなのですが…

No.55690 - 2018/12/23(Sun) 13:31:04

☆ Re: / らすかる

「|x|＞c」＝「2点P(x),O(0)間の距離がcより大きい」
＝「P(x)が原点から離れている距離がcより大きい」
であり
x＜-cならば原点からP(x)までの距離がcより大きい
x＝-cならば原点からP(x)までの距離がcに等しい
-c＜x＜cならば原点からP(x)までの距離がc未満
x＝cならば原点からP(x)までの距離がcに等しい
c＜xならば原点からP(x)までの距離がcより大きい
ですから、
「P(x)が原点から離れている距離がcより大きい」
＝「x＜-cまたはc＜x」
となります。

No.55691 - 2018/12/23(Sun) 14:06:08

☆ Re: / 尾

p(x)とA(a)、B(b)はどういう関係にあるのですか？

No.55693 - 2018/12/23(Sun) 14:17:22

☆ Re: / らすかる

関係ありません。
P(x)は数直線でxの位置にある点P
A(a)は数直線でaの位置にある点A
B(b)は数直線でbの位置にある点B
です。

No.55695 - 2018/12/23(Sun) 14:27:20

☆ Re: / 尾

では、pやAの間に大小関係はないのですね？
すっきりです。ありがとうございます。

No.55697 - 2018/12/23(Sun) 14:44:29

☆ Re: / 尾

すみません。
x<-c x>cは、「かつ」ですか？「または」ですか？

No.55703 - 2018/12/24(Mon) 00:22:07

☆ Re: / らすかる

上に書いたように、「または」ですが、機械的に考えるのはよくありません。
意味を考えれば、「または」でなければならないことがわかります。

No.55704 - 2018/12/24(Mon) 01:04:59

★ (No Subject) / 尾

不等式2x+a>5(x-1)を満たすxのうちで、最大の整数が４であるとき、定数aの値の範囲を求めよ。
で、途中に4＜a+5/3≦5という式が出てきます。
<5ならまだ納得できるのですが、≦5になる理由がわからないです。
何故ですか？

No.55682 - 2018/12/23(Sun) 00:09:22

☆ Re: / らすかる

4＜a+5/3≦5 は 4 ＜ (a) + (5/3) ≦ 5
という意味に解釈されますが、そうは書いてないですよね？
4＜(a+5)/3≦5 ならば

(a+5)/3=5のときa=10
2x+10＞5(x-1)を解くとx＜5となり、
これを満たす最大の整数は4ですから
(a+5)/3=5のときも成り立ちます。
従って「＝」は必要です。

No.55685 - 2018/12/23(Sun) 00:48:29

★ 確率(大学受験文系) / yunado

至急！！！数学教えてください！
高3文系難関国公立大志望のものです。

添付画像の(2)(3)がわかりません。

数列についての問題ですが、解き方がわからないので教えてください。

答えは

(2)3k+1
(3)1724

です。

ちなみに(2)はakの階差数列よりak=1/2n^2+3/2n+2とまではわかりました（ ; ; ）

No.55673 - 2018/12/21(Fri) 15:43:30

☆ Re: 確率(大学受験文系) / IT

(2) 実験で目星をつけて　論証するのが早いと思います
(i)よりk≧2 である。
a[k]=k
a[k+1]=a[k]　+(k+1)=2k+1
a[k+2]=a[k+1]-(k+2)=k-1
a[k+3]=a[k+2]+(k+3)=2k+2
a[k+4]=a[k+3]-(k+4)=k-2
a[k+5]=a[k+4]+(k+5)=2k+3　＃k=2 のときはここでa[k+5]=k+5 となるので　a[k+6]=a[k+5]+(k+6)
a[k+6]=a[k+5]-(k+6)=k-3

この辺で規則が分かります。

論証は後にするとして,
m＞k で最初にa[m]=m となるのは　m=k+奇数の場合のようです。
a[m]=m になるまでは　a[k+2i+1]=2k+i+1 のようなので(ずっとというわけではありませんが。）
m=k+2i+1(iは0以上の整数)について　a[m]=m となるとき
a[m]=2k+i+1=k+2i+1=m
∴i=k ∴m=3k+1となります。

No.55675 - 2018/12/21(Fri) 18:21:15

☆ Re: 確率(大学受験文系) / IT

(3) (1)(2) からa[n]=n となるのは、小さい順に
n=2,7,22,67,202,607,1822,3*1822+1 で

1822 ＜2018＝1822+196＜3*1822+1 なので
(2)で見つかる規則（私は明記してませんが）を使えば　a[2018]=1822-(196/2)= 1724

No.55676 - 2018/12/21(Fri) 21:43:30

☆ Re: 確率(大学受験文系) / コルム

(1)を教えていただけないでしょうか？

No.55808 - 2018/12/30(Sun) 16:22:53

★ 難関大文系数学 / yunnn

0<a<5の条件がなければ解けたのですが、この条件があるとわかり（ ; ; ）高3です。

No.55669 - 2018/12/21(Fri) 08:07:34

☆ Re: 難関大文系数学 / らすかる

「1本あるとき」は解釈が微妙ですが、わざわざ「1本」と言っていますので
「ちょうど1本あるとき」と解釈します。

垂直二等分線は y=(a-3)x-(a^2-10)/2
aに関して整理すると a^2-2xa+6x+2y-10=0
このaに関する二次方程式が0≦a≦5の範囲に解を一つだけ持つためには
f(a)=a^2-2xa+6x+2y-10とおいて
(1)(軸)＜0 かつ f(0)≦0 かつ f(5)≧0
(2)(軸)＞5 かつ f(0)≧0 かつ f(5)≦0
(3)0≦(軸)≦5 かつ (判別式)=0
(4)0≦(軸)＜5/2 かつ f(0)＜0 かつ f(5)≧0
(5)5/2＜(軸)≦5 かつ f(0)≧0 かつ f(5)＜0
のいずれか。
軸はa=x、判別式はD/4=x^2-6x-2y+10なので
(1)は x＜0 かつ 6x+2y-10≦0 かつ -4x+2y+15≧0
　すなわち x＜0 かつ 2x-15/2≦y≦-3x+5
(2)は x＞5 かつ 6x+2y-10≧0 かつ -4x+2y+15≦0
　すなわち x＞5 かつ -3x+5≦y≦2x-15/2
(3)は 0≦x≦5 かつ x^2-6x-2y+10=0
　すなわち 0≦x≦5 かつ y=(1/2)x^2-3x+5
(4)は 0≦x＜5/2 かつ 6x+2y-10＜0 かつ -4x+2y+15≧0
　すなわち 0≦x＜5/2 かつ 2x-15/2≦y＜-3x+5
(5)は 5/2＜x≦5 かつ 6x+2y-10≧0 かつ -4x+2y+15＜0
　すなわち 5/2＜x≦5 かつ -3x+5≦y＜2x-15/2
以上をまとめると
(a)2直線y=2x-15/2,y=-3x+5で分けられた4つの領域のうち
　左側の領域（原点を含む領域）と右側の領域（(5,0)を含む領域）
　ただし、境界は含まない。
(b)y=2x-15/2のx＜5/2の部分と5≦xの部分
(c)y=-3x+5のx≦0の部分と5/2＜xの部分
(d)y=(1/2)x^2-3x+5の0＜x＜5の部分
の(a)(b)(c)(d)を合せた領域。

No.55671 - 2018/12/21(Fri) 13:53:09

★ 東工大模試です / Rio

(2)は数学的帰納法では無理なのでしょうか。
普通に帰納法だと思ったのですが3つの模範解答例にもなかったので

No.55658 - 2018/12/20(Thu) 18:14:20

☆ Re: 東工大模試です / IT

数学的帰納法でやるのでは？模範解答はどうやってますか？概略をお願いします。

(数学的帰納法）により証明する。

0＜a≦b≦c としても一般性を失わない。

任意の自然数nについて
(a^n)(2a-(b+c))+(b^n)(2b-(c+a))+(c^n)(2c-(a+b))
=(b-a)((c^n-a^n)+(b^n-a^n))+(c-b)((c^n-a^n)+(c^n-b^n))≧0　(等号はa=b=cのとき)なので

2a^(n+1)+2b^(n+1)+2b^(n+1)≧(a^n)(b+c)+(b^n)(c+a)+(c^n)(a+b)　(等号はa=b=cのとき)…（ア）

２以上の自然数nについて
　(a+b+c)^n≦(3^(n-1))(a^n+b^n+c^n) 　(等号はa=b=cのとき)と仮定すると。（帰納法の仮定）

両辺に(a+b+c)＞0を掛けて
(a+b+c)^(n+1)≦(3^(n-1))(a^n+b^n+c^n)(a+b+c)
＝(3^(n-1))(a^(n+1)+(a^n)(b+c)+b^(n+1)+(b^n)(c+a)+c^(n+1)+(c^n)(a+b))
（ア）より
≦(3^(n-1))(3a^(n+1)+3b^(n+1)+3c^(n+1))
＝(3^n)(a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1))

したがって元の不等式は　n+1でも成立し　(等号はa=b=cのとき)：途中省略してます。

これと(1)とから、数学的帰納法により２以上のすべての自然数nで
　(a+b+c)^n≦(3^(n-1))(a^n+b^n+c^n) 　(等号はa=b=cのとき)が成り立つ。

これでどうでしょうか？
記述法は、n=k のとき成立を仮定し、n=k+1のとき成立を示すほうが良いかも知れませんね。

東工大の模試にしては簡単？なので、計算を間違っているかも知れませんの御自分で確認してください。

No.55659 - 2018/12/20(Thu) 19:51:58

☆ Re: 東工大模試です / Rio

模範解答です

No.55662 - 2018/12/20(Thu) 20:16:31

☆ Re: 東工大模試です / Rio

模範解答2です

No.55663 - 2018/12/20(Thu) 20:17:11

☆ Re: 東工大模試です / Rio

模範解答3です

No.55664 - 2018/12/20(Thu) 20:17:44

☆ Re: 東工大模試です / Rio

模範解答4です

No.55665 - 2018/12/20(Thu) 20:18:15

☆ Re: 東工大模試です / IT

他はみていませんが、少なくとも「解法１」は、正真正銘の「数学的帰納法」ですね。
「「数学的帰納法」による」と明記したほうが良いとは思いますが。

No.55666 - 2018/12/20(Thu) 20:24:11

★ 期待値の証明 / パス

期待値の性質の証明を教えていただきたいです。

確率変数が階段関数のときの証明になります。
定義と証明していただきたい性質を2つ記載しました。

参考書には定義から2つの性質が分かるとなっていたので、定義を使った証明をお願いしたいです。

よろしくお願いいたします。

No.55657 - 2018/12/20(Thu) 16:45:24

☆ Re: 期待値の証明 / ast

両問とも共通して, 非自明な操作は "(必要なら細分に取り換えて) X と Y で共通の分割 {Λ_i} をとる" くらいではないでしょうか. あとは和の性質というか項ごとの議論から自明に従う話なので, 特に困難な点は生じないと考えます.

# 相変わらずコロコロハンドル名変わってますけど
# 前の質問は解決したんかいな…?

No.55667 - 2018/12/21(Fri) 03:41:58

★ 線形代数 / 近藤

計算はできるのですが何をしているのか意味がわかりません
詳しく解説をお願いします。

No.55656 - 2018/12/20(Thu) 14:47:17

☆ Re: 線形代数 / noname

例えば、方眼紙をxy平面としてドラえもんでも何でも適当な絵を描く。また別の方眼紙を用意して、x軸y軸の目盛りを書き換え(x軸を縦に、y軸を横にする)、1枚目の絵に乗っている点を書き写す。もちろん絵の向きが変わる。
また、もう１枚方眼紙を用意して、今度は軸を斜めにとって，方眼も平行四辺形に書き直す。そして、2枚目の絵の上の点を書き写す。もちろん、絵が斜めに引き伸ばされる。
さて、今、絵を2回変形して3枚目の絵に書き換えたが、1枚目の絵から直接3枚目の絵を描くことはできないか。
それをやっているのがこの計算です。

No.55668 - 2018/12/21(Fri) 07:51:54

★ 何度も失礼します / 尾

2、3、4の解き方を教えてください。
お願いします。

No.55645 - 2018/12/20(Thu) 01:27:16

☆ Re: 何度も失礼します / 元中３

データの分析の変量の変換ですね。

実際に解いてみたので、見づらいですが写真を貼っておきます。

No.55652 - 2018/12/20(Thu) 12:29:07

☆ Re: 何度も失礼します / 元中３

青チャート等をお持ちであれば、参考になるとおもいます。
上の写真では分かりにくいと思いますので、こちらも一応貼らせていただきます。

No.55654 - 2018/12/20(Thu) 12:38:52

☆ Re: 何度も失礼します / 尾

ありがとうございます

No.55677 - 2018/12/21(Fri) 23:54:17