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★ 定積分の計算 / 粟原米男
この定積分の計算方法を教えてください。よろしくお願いします。
No.55074 - 2018/11/16(Fri) 18:43:02
☆ Re: 定積分の計算 / X
x=sinθ
と置いて置換積分をしましょう。
No.55076 - 2018/11/16(Fri) 19:14:13
★ (No Subject) / ae
画像の問題の答えの違和感について。軌跡を求めろと言われた時、文字を消去するなどして、条件を満たす(X、Y)の式を求めるのが普通ですが、なぜ二番目の解説の画像では範囲だけを求めているのですか？
No.55069 - 2018/11/16(Fri) 17:20:14
☆ Re: / ae
言い忘れました。(4)の軌跡の問題についてです。
No.55070 - 2018/11/16(Fri) 17:21:00
☆ Re: / らすかる
形状は(3)から円弧とわかっているので
あと求める必要があるのは範囲だけですね。
No.55072 - 2018/11/16(Fri) 17:51:06
☆ Re: / ae
(3)で求めたORの式にaを何代入しても結局2になるので、半径と見て、「軌跡は中心が原点で、半径が2の円」と見ていいんですか？
No.55077 - 2018/11/16(Fri) 20:01:47
☆ Re: / らすかる
その通りです。
常にOR=2ということは、Rは中心O半径2の円周上にあるということですね。
No.55078 - 2018/11/16(Fri) 20:40:09
☆ Re: / ae
ありがとうございます。いつもわかりやすい回答ありがとうございます。よくわかりました！
No.55085 - 2018/11/17(Sat) 15:49:24
★ 中学受験 平面図形 / しゅう👦🏼
(1)はよくわかりましたが、(2)から全くわかりません。教えてください。よろしくお願いします！答えは?@が1と1/3で、?Aは、3と2／3です。
No.55056 - 2018/11/15(Thu) 23:04:20
☆ Re: 中学受験 平面図形 / らすかる
図で説明しないとわかりにくいかも知れません。
直方体のAB側の面より右側に立方体が5cmはみ出てますね。
このはみ出る長さを3と1/3cm（5cmの2/3）に減らしてABCDの面まで高くすれば、
右側の分の体積は変わりません。
同様に左側にはみ出ている7cmも4と2/3cm（7cmの2/3）に減らしてABCDの面まで
高くすれば、左側の分の体積は変わりません。
（両側のはみ出た分をそれぞれならして、
　高さ12cm幅12cmの直方体に変えるということです。）
こうすれば、?@は真ん中の縦線で切ればよいので
Cから1と1/3cm右で切ればよく、CSは1と1/3cm。
?Aは中心すなわちBの左2と2/3cm、下6cmの点から
Nを通るように線を引いてBQは3と2/3cmとわかります。
No.55058 - 2018/11/15(Thu) 23:24:33
☆ Re: 中学受験 平面図形 / しゅう👦🏼
らすかる先生
> このはみ出る長さを3と1/3cm（5cmの2/3）に減らしてABCDの面まで高くすれば、
> 右側の分の体積は変わりません。
> 同様に左側にはみ出ている7cmも4と2/3cm（7cmの2/3）に減らしてABCDの面まで
> 高くすれば、左側の分の体積は変わりません。
> （両側のはみ出た分をそれぞれならして、
> 　高さ12cm幅12cmの直方体に変えるということです。）
> こうすれば、?@は真ん中の縦線で切ればよいので
> Cから1と1/3cm右で切ればよく、CSは1と1/3cm。
> ?Aは中心すなわちBの左2と2/3cm、下6cmの点から
> Nを通るように線を引いてBQは3と2/3cmとわかります。
までよくわかりません。わからなくて申し訳ないですが、教えてください。よろしくお願いします。
No.55065 - 2018/11/16(Fri) 08:16:12
☆ Re: 中学受験 平面図形 / らすかる
横から見た図で

最初
一一一一一一一直直直直一一一一一
一一一一一一一直直直直一一一一一
一一一一一一一直直直直一一一一一
一一一一一一一直直直直一一一一一
左左左左左左左左右右右右右右右右
左左左左左左左左右右右右右右右右
左左左左左左左左右右右右右右右右
左左左左左左左左右右右右右右右右
左左左左左左左左右右右右右右右右
左左左左左左左左右右右右右右右右
左左左左左左左左右右右右右右右右
左左左左左左左左右右右右右右右右

左右の出っ張り分の1/3を切る（図は不正確です）
一一一 一一一一直直直直一一一 一一
一一一 一一一一直直直直一一一 一一
一一一 一一一一直直直直一一一 一一
一一一 一一一一直直直直一一一 一一
左左左 左左左左左右右右右右右 右右
左左左 左左左左左右右右右右右 右右
左左左 左左左左左右右右右右右 右右
左左左 左左左左左右右右右右右 右右
左左左 左左左左左右右右右右右 右右
左左左 左左左左左右右右右右右 右右
左左左 左左左左左右右右右右右 右右
左左左 左左左左左右右右右右右 右右

切った分を直方体の隣に移動する
一一一 左左左左直直直直右右右 一一
一一一 左左左左直直直直右右右 一一
一一一 左左左左直直直直右右右 一一
一一一 左左左左直直直直右右右 一一
一一一 左左左左左右右右右右右 一一
一一一 左左左左左右右右右右右 一一
一一一 左左左左左右右右右右右 一一
一一一 左左左左左右右右右右右 一一
一一一 左左左左左右右右右右右 一一
一一一 左左左左左右右右右右右 一一
一一一 左左左左左右右右右右右 一一
一一一 左左左左左右右右右右右 一一

こうすると直方体のあたりで縦に切った時の左右の体積は
最初と同じで、どこで縦に切れば半分ずつになるか簡単にわかる

?Aはこの正方形の中心とNを通る直線で切れば
切った結果の両側の台形は合同になるので
やはり体積は同じ
No.55066 - 2018/11/16(Fri) 09:04:13
☆ Re: 中学受験 平面図形 / しゅう👦🏼
ありがとうございます。やっとわかりました。
No.55073 - 2018/11/16(Fri) 18:24:32
★ 中学受験 平面図形 / しゅう👦🏼
㋐はわかりましたが、㋑がどうしてもよくわかりません。答えは72度です。教えてください。よろしくお願いします。
No.55055 - 2018/11/15(Thu) 22:56:22
☆ Re: 中学受験 平面図形 / らすかる
あの頂点といの頂点を対角とする「ひし形っぽい図形」が
ありますよね。
「四角形の内角の和は360°」を使えば、
い以外の角はわかっていますので求まりますね。
No.55057 - 2018/11/15(Thu) 23:05:16
☆ Re: 中学受験 平面図形 / しゅう👦🏼
よくわかりました！ありがとうございます。😁
No.55063 - 2018/11/16(Fri) 07:51:15
★ らすかるさん助けてください / パグ
昨日は答えを教えていただきありがとうございます
大変恐縮ですが、途中式を教えて頂けませんか？
No.55054 - 2018/11/15(Thu) 21:59:08
☆ Re: らすかるさん助けてください / らすかる
問題が多すぎるので私はパス。
No.55059 - 2018/11/15(Thu) 23:25:25
☆ Re: らすかるさん助けてください / GandB
　問題5 の(1)だけ。

　　12321/7 = 1760*7 + 1
　　1760/7 = 251*7 + 3
　　251/7 = 35*7 + 6
　　35/7 = 5*7 + 0
　　5/7 = 0*7 + 5

　よって10 進法の [12321] は 7進法で [50631].

　7 進法の [50631] を10 進法の数値に戻すときは
　　5*7^4 + 0*7^3 + 6*7^2 + 3*7^1 + 1*7^0 = 12321
No.55062 - 2018/11/16(Fri) 07:45:58
☆ Re: らすかるさん助けてください / ヨッシー
問題１
(1)
４で割れて、９で割れれば３６でも割れます。
４で割り切れる数の見分け方、９で割り切れる数の見分け方を駆使します。
(2)
１つの例は２９。
これに、１２と２７の最小公倍数を足していけば、無限に作れます。
問題２
(1)
11^n の１の位は常に１。
28^n の１の位がどう変化し、28^30 のときいくつかを見つけます。
(2)
問題を書き換えると
　５×ｍ＝１６ｎ＋１
となる最小の４桁の数ｍを求めよ。となります。
問題３
Ａ〜Ｇが、７で割っていくつ余る数かを見極めます。
例えば、アからＡが１のグループか、Ｂが０のグループと分かります。
問題４
Ａは偶数かつ、Ｄに繰り上がるので、Ａは６か８、Ｄは１です。
問題５
７，８，４９ を７進法で表してみてください。
問題６
４進法で表した　１０，１００ を１０進法で表してください。
問題５，６はこれらが出来たら、次をお教えします。
No.55068 - 2018/11/16(Fri) 14:52:51
★ (No Subject) / ae
直角二等辺三角形ABCにおいて、角Aを直角とし、AB=AC=3とする。辺BCの中点H1をとり、H1からAB上に垂線H1I1を下ろす。
点I1を通りBCに平行な直線を引き、ACとの交点G1とする。さらに、G1からBC上に垂線G1H2を下ろす。以下このような操作を続け、AB上に点I1、I2、....Inをつくる。AInの長さをxnとするとき、xn+1をxnで表せ


以上の問題を遠回りですが、相似を使って解いたのですが何度やっても答えのx_n+1=-1/2x_n+3/2の答えになりません。このようなやり方は間違ってますか？
No.55043 - 2018/11/15(Thu) 18:46:53
☆ Re: / らすかる
相似をどのように使ったのですか？
「相似を使った」だけではわかりませんので、計算を書いて下さい。
No.55044 - 2018/11/15(Thu) 18:57:00
☆ Re: / ae
写真の赤と青の三角形です。

図の三角形BH1Inと三角形BH2In+1が相似だから、
H1B:H2B=H1In:H2In+1

で計算しました。

何度丁寧に計算しても間違ってるので、どこが間違ってるか分かりません。解けるはずだと思うのですが
No.55046 - 2018/11/15(Thu) 19:02:43
☆ Re: / らすかる
それを使ってどのように計算したか書いて下さい。
その比の式だけ書かれてもどのように計算したのかわかりません。
No.55047 - 2018/11/15(Thu) 19:07:58
☆ Re: / ae
こうやって解きました。
No.55048 - 2018/11/15(Thu) 19:15:38
☆ Re: / らすかる
H1B:H2B=H1In:H2In+1
が成り立つのはn=1の時だけですね。
H1B:H2B=H1In:H2In+1
という式は、例えばn=2のときに
H1B:H2B=H1I2:H2I3
となって成り立ちません。
一般のnでは
H[n]B：H[n+1]B=H[n]I[n]：H[n+1]I[n+1]
となります。
No.55051 - 2018/11/15(Thu) 19:58:17
☆ Re: / ae
スッキリしました。本当にありがとうございます！
No.55053 - 2018/11/15(Thu) 20:37:20
★ (No Subject) / ( ͡° ͜ʖ ͡°)
これって条件確率を使わないやり方でやるとどうなりますか？
分母って品物が出てこない確率だから、8分の1×10分の1ではないのでしょうか？解説よろしくお願いいたします
No.55041 - 2018/11/15(Thu) 16:54:44
☆ Re: / らすかる
条件が付いている確率を求めるので「条件確率を使わない」のは不可能では？
品物が出る確率は「投入金額が少なくない」かつ「売り切れでない」場合なので
(1-1/8)(1-1/10)=63/80
よって品物が出ない確率は1-63/80=17/80
少ない金額を投入した確率は1/8なので
求める確率は(1/8)/(17/80)=10/17
No.55042 - 2018/11/15(Thu) 18:40:37
★ 漸化式 / ちはる
a1＝1, a[n+1]＝2a[n]＋n　（a[n+1]-a[n]＝b[n]）
の一般項を（　）内のように置き換えることによって求めよ。

（　　）をどう使ったらよいのかわかりません。教えてください！
No.55039 - 2018/11/15(Thu) 15:43:13
☆ Re: 漸化式 / らすかる
その（　）のように置き換えて求めることはできないように思います。
カッコ内が（a[n]+n=b[n]）の間違いではないでしょうか。
No.55045 - 2018/11/15(Thu) 18:59:02
☆ Re: 漸化式 / ちはる
問題はそのままです。
解答はa[n]＝3・2^(n-1)-n-1なんですが・・・
No.55049 - 2018/11/15(Thu) 19:16:09
☆ Re: 漸化式 / らすかる
上記が問題の通りであれば、
書き写す前の問題が間違っていると思います。
No.55052 - 2018/11/15(Thu) 20:02:00
☆ Re: 漸化式 / IT
マルチ質問先に回答がついて解決済みのようですね。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=82805
No.55061 - 2018/11/16(Fri) 07:40:08
☆ Re: 漸化式 / らすかる
私が間違っていたようですね。ごめんなさい。
No.55067 - 2018/11/16(Fri) 09:07:26
★ (No Subject) / 健児
高校入試問題です。解けそうで解けません。中点連結からどうなるのか？お願いします。
No.55034 - 2018/11/15(Thu) 02:32:12
☆ Re: / らすかる
正三角形ABCの高さは3√3なのでCから線分EGまでの距離は3√3/2
円の半径は2√3なので円の中心から線分EGまでの距離は2√3-3√3/2=√3/2
円の中心からEまでの距離は2√3なので、三平方の定理により
EH=2√{(2√3)^2-(√3/2)^2}=3√5
FG=AB/2=3なので、EG=(EH+FG)/2=3(√5+1)/2
No.55035 - 2018/11/15(Thu) 03:11:03
☆ Re: / 健児
最後の行のEG=(EH+FG)/2になぜなるのかが、理解できません。詳しく説明お願いします。
No.55037 - 2018/11/15(Thu) 11:24:06
☆ Re: / らすかる
考え方が何通りかありますが、
例えば
EF=(EH-FG)/2なので
EG=EF+FG=(EH-FG)/2+FG=(EH+FG)/2
とか
FGの中点をMとすると
EM=EH/2,MG=FG/2なのでEG=EM+MG=(EH+FG)/2
とか。
No.55038 - 2018/11/15(Thu) 11:57:04
★ 画像の問題について / みお
画像の問題の解き方を教えてください。
No.55031 - 2018/11/14(Wed) 22:58:29
☆ Re: 画像の問題について / GandB
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=54909

ですでに丁寧な回答が出ている。
No.55036 - 2018/11/15(Thu) 04:41:49
★ 微分 / 蘭
この⑺と⑻の問題なのですが、

⑺y=(3x-4)^4
⑻y=(3-2x)^5
をxについて微分しろ。


途中式がわかりません。
なぜこの答えになるのかもわかりません。
途中式と方針を教えていただきたいです！
No.55029 - 2018/11/14(Wed) 21:02:50
☆ Re: 微分 / noname
y=(3x-4)^4
3x-4=tとおくと
y=t^4
xで微分すると、
dy/dx=4t^3*(dt/dx)
=4{(3x-4)^3}*3
=12(3x-4)^3
No.55030 - 2018/11/14(Wed) 21:27:34
★ (No Subject) / お願いします
(2)がどうしても回答が一致しないです教えてください
No.55026 - 2018/11/14(Wed) 08:19:41
☆ Re: / GandB
　たぶん合っていると思う（笑）。

　　x + 1/x = 3.

　　(x + 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 = 9.
　　x^2 + 1/x^2 = 7.

　　(x - 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 - 2 = 5.
　　x - 1/x = ±√(5).

　　x^4 - 1/x^4 = (x^2+1/x^2)(x^2-1/x^2)
　　　　　　　　= (x^2+1/x^2)(x+1/x)(x-1/x)
　　　　　　　　= 7*3(±√(5))
　　　　　　　　= ±21√(5)
No.55027 - 2018/11/14(Wed) 10:05:29
★ (No Subject) / ry
漸化式の問題です。この後を教えて頂けませんか？打つの大変だと思うので写真でも結構です。
No.55014 - 2018/11/13(Tue) 21:43:22
☆ Re: / ry
ちなみに答えです
No.55016 - 2018/11/13(Tue) 22:28:43
☆ Re: / らすかる
2/{n(n+1)}=2/n-2/(n+1)なので
b[n+1]=b[n]+2/{n(n+1)}
b[n+1]=b[n]+2/n-2/(n+1)
b[n+1]+2/(n+1)=b[n]+2/n
c[n]=b[n]+2/nとおくと
c[n+1]=c[n]
c[1]=b[1]+2/1=a[1]/1+2/1=3なので
c[n]=3
b[n]=c[n]-2/n=3-2/n
a[n]=nb[n]=3n-2

こういうふうに計算できるということは、
最初からそうなるように変形すれば解答が短くなるということです。
na[n+1]-(n+1)a[n]-2=0
na[n+1]/{n(n+1)}-(n+1)a[n]/{n(n+1)}-2/{n(n+1)}=0
a[n+1]/(n+1)-a[n]/n-2/n+2/(n+1)=0
a[n+1]/(n+1)+2/(n+1)=a[n]/n+2/n
b[n]=a[n]/n+2/nとおくと
b[n+1]=b[n],b[1]=a[1]/1+2/1=3なのでb[n]=3
よってa[n]=nb[n]-2=3n-2
No.55019 - 2018/11/13(Tue) 23:46:06
★ 微分 / 蘭
x=a(v^2+5vt+7t^2)をtについて微分するときの途中式、または方針を教えてください。
答えはx'=5av+14atです。
No.55013 - 2018/11/13(Tue) 21:01:07
☆ Re: 微分 / ry
展開してしまって、tがついているものは普通に微分して、tが何もないと0になります。
No.55015 - 2018/11/13(Tue) 22:26:22
★ 指数・対数 / ひなた（高３）
問題文が長いので、添付ファイルにしてあります。


分からないのは「チ」の空欄です


　解答には
　t=2^x+2^-xとおくと，定数a,bに対して
　　(2^a+2^-a)-(2^b+2^-b)
=(2^a)+(1/2^a)-2^b-1/2^b
=(2^a-2^b)+(2^b-2^a)/2^a・2^b
=(2^a-2^b)-(2^a-2^b)2^-a-b
=(2^a-2^b)(1-2^-a-b)

と変形できる。　a>b≧0より
　　2^a-2^b>0かつ1-2^-a-b>0
であるから
　 (2^a-2^b)(1-2^-a-b)>0
∴2^a+2^-a>2^b+2^-bが成り立つ。

　問題はここからで，
　よって，0≦x≦2の範囲において，
　「xの値が増加するとtの値も増加する」と書いてあるので　すが理由がよくわかりません

　確かにt=2^x+2^-xなので，相加相乗の関係式から，
　ｔの範囲はt≧2で，等号成立はx=0のときですから
　x=0のとき，最小値t=2
x=2のときを計算してt=17/4なので，
　0≦x≦2のとき，xの値が増加すればtの値も増加することは
　計算すればわかりますが、

　　(2^a-2^b)(1-2^-a-b)>0
∴2^a+2^-a>2^b+2^-bが成り立つ。
　という流れから
　　0≦x≦2の範囲において，
　「xの値が増加するとtの値も増加する」という結論になった理由を教えてください。
No.55011 - 2018/11/13(Tue) 18:33:56
☆ Re: 指数・対数 / ヨッシー
2^a+2^(-a)＞2^b+2^(-b) が意味するところは、
　t＝2^x+2^(-x)
のｘに、a＞b≧0 の関係にある、ａ（大きい数）と、ｂ（小さい数）を
代入すると、大きい数を代入したｔの方が大きい。
ということです。
つまり、
　「xの値が増加するとtの値も増加する」
です。
No.55012 - 2018/11/13(Tue) 19:15:59
★ 多項式の割り算の余り / 瑠璃
P(x)は有理数を係数とするxの多項式で、P(3乗根√2)=0を満たしているとする。このときP(x)はx^3-2で割り切れることを証明せよ。
ただし3乗根√2が無理数であることを利用してよい。


これもテストの問題なんですが、これも配点0でした。どこが誤りかご指摘ください。

まずP(x)をx^3-2で割った時の余りが1次式の場合を考えます。
P(x)=(x^3-2)Q(x)+ax+b(a、bは有理数)

P(3乗根√2)=a・3乗根√2+b=0です。a≠0とすると、3乗根√2=-a/bとなり、3乗根√2が無理数であることに矛盾します。よってa=0でまた、b=0です。

次にP(x)をx^3-2で割った時の余りが2次式の場合を考えます。
P(x)=(x^3-2)Q(x)+ax^2+bx+c(a、b、cは有理数)
α=3乗根√2とおきます。
α^3=2より、
α^3-2=0、
(α-3乗根√2)(α^2+3乗根√2・α+3乗根√4)=0より、
α^2+3乗根√2・α+3乗根√4=0
α^2=-3乗根√2・α-3乗根√4
P(α)=aα^2+bα+c=a(-3乗根√2・α-3乗根√4)+bα+cより、
(-3乗根√2・a+b)α+c-3乗根√4・a=0
1次式の場合に帰着できました。そして1次式の場合はすでに余りが0になることが分かっているので、
-3乗根√2・a+b=0、c-3乗根√4・a=0

a≠0とすると、3乗根√2=b/a、3乗根√4=c/aになり矛盾です。よって、a=0、ついでにb=c=0です。

以上の議論から、P(x)はx^3-2で割り切れます。

よろしくお願いします。
No.55005 - 2018/11/13(Tue) 02:43:05
☆ Re: 多項式の割り算の余り / らすかる
> (α-3乗根√2)(α^2+3乗根√2・α+3乗根√4)=0より、
> α^2+3乗根√2・α+3乗根√4=0

ここが間違いです。
(α-3乗根√2)(α^2+3乗根√2・α+3乗根√4)=0 となるのは
α-3乗根√2=0だからであって、
α^2+3乗根√2・α+3乗根√4は0になりません。
（正の数を3つ足しているのですから、0にならないのは明らかですね。）
No.55010 - 2018/11/13(Tue) 04:28:47
☆ Re: 多項式の割り算の余り / 瑠璃
御回答ありがとうございます。なるほど、そういうことでしたか。よくわかりました。
No.55020 - 2018/11/14(Wed) 02:07:20
★ 整数問題 / 瑠璃
次の命題Pを証明せよ。

命題P次の条件(a)、(b)をともに満たす自然数Aが存在する。

(a)Aは連続する3つの自然数の積である。
(b)Aを10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。

yを自然数とする。正の実数xに対して、

x^3+3yx^2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x^3+(3y+1)x^2

が成り立つことを利用してよい。

これもテストの問題なのですが、配点0でした。失点の原因が分かりません。誤りをご指摘ください。

x^2(x+3y)＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x^2(x+3y+1)

(10^n-1)/9が1が連続してn個並ぶことに着目して、yに(10^99-1)/27を代入します。この時点で3yは111…11(1が99個並びます)、x+3y+1は111…12(1が98個並びます)です。そこでxに10^99を代入します。

(10^99)^2・111…11(1が100個並びます)＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜(10^99)^2・111…12(1が99個並びます)です。よって、Aは確かに存在します。

よろしくお願いします。
No.55001 - 2018/11/13(Tue) 01:42:44
☆ Re: 整数問題 / らすかる
> (10^n-1)/9が1が連続してn個並ぶことに着目して、yに(10^99-1)/27を代入します。
(10^99-1)/27が自然数である保証は？

> この時点で3yは111…11(1が99個並びます)、x+3y+1は111…12(1が98個並びます)です。
この時点でxが決まっていないのに、なぜx+3y+1は111…12なのですか？
3yが111…11だったらx+3y+1はx+111…12になると思います。

それ以前に、↓この式が成り立ちませんが、何か写し間違えていませんか？
x^3+3yx^2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x^3+(3y+1)x^2
例えばx=yのとき
4x^3＜8x^3-2x＜4x^3+x^2
となり、明らかに右側の不等号が成り立ちません。
実際、x=y=1を代入すると
4＜6＜5
x=y=10を代入すると
4000＜7980＜4100
となります。
No.55002 - 2018/11/13(Tue) 02:07:37
☆ Re: 整数問題 / 瑠璃
御回答ありがとうございます。

＞それ以前に、↓この式が成り立ちませんが、何か写し間違えていませんか？
x^3+3yx^2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x^3+(3y+1)x^2

すみません、実際の問題は

(1)でまずx^3+3yx^2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x^3+(3y+1)x^2が成り立つような正の実数xの範囲を求めなさいとなっていました。質問したのは(2)です。たいして変わらないと思って勝手に問題文を変えてしまいました。

＞(10^99-1)/27が自然数である保証は？

(10^99-1)/27は自然数ではないのですか？

＞この時点でxが決まっていないのに、なぜx+3y+1は111…12なのですか？
3yが111…11だったらx+3y+1はx+111…12になると思います。

おっしゃる通りです。書き間違えてました。3y+1の書き間違いでした。
No.55007 - 2018/11/13(Tue) 03:20:51
☆ Re: 整数問題 / らすかる
> (10^99-1)/27は自然数ではないのですか？
自然数なら自然数になることを言っておく必要があります。
自然数になる保証のない値（自然数であることが示されていない値）を
yに代入するわけにはいきません。

> (1)でまずx^3+3yx^2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x^3+(3y+1)x^2が
> 成り立つような正の実数xの範囲を求めなさいとなっていました。
> 質問したのは(2)です。たいして変わらないと思って勝手に
> 問題文を変えてしまいました。
(1)でxの範囲はどうなったのですか？
実際、y=(10^99-1)/27、x=10^99を代入すると
その不等式は成り立ちません。
（よって、その不等式にy=(10^99-1)/27、x=10^99を
　代入している時点で証明が誤りです。）
No.55008 - 2018/11/13(Tue) 04:21:12
☆ Re: 整数問題 / 瑠璃
御回答ありがとうございます。

＞自然数なら自然数になることを言っておく必要があります。

10^99-1は9が99個並びますので、9で割り切れ、(10^99-1)/9は1が99個並びます。1が3の倍数個並ぶので、1の99個の並びは3で割り切れます。よって、(10^99-1)/27は自然数です。これを自明とするのはまずいということでしょうか。

＞(1)でxの範囲はどうなったのですか？

x＞{(3y^2-1)+√(9y^4+4y^3-6y^2-4y+1)}/2となりました。

＞実際、y=(10^99-1)/27、x=10^99を代入すると
その不等式は成り立ちません。

どうして成り立たないとわかるのでしょうか。また何を代入すればいいのでしょうか。
No.55021 - 2018/11/14(Wed) 02:39:31
☆ Re: 整数問題 / 瑠璃
御回答ありがとうございます。

＞自然数なら自然数になることを言っておく必要があります。

10^99-1は9が99個並びますので9で割ると1が99個連続します。各桁の和が3の倍数になるので1の99個の並びは3で割り切れます。よって(10^99-1)/27は自然数です。これは自明なことではないでしょうか。

＞(1)でxの範囲はどうなったのですか？

x＞{(3y^2-1)+√(9y^4+4y^3-6y^2-4y+1)}になりました。

＞実際、y=(10^99-1)/27、x=10^99を代入すると
その不等式は成り立ちません。

どうして成り立たないことがわかるのでしょうか。また何を代入すれば成り立つのでしょうか。
No.55022 - 2018/11/14(Wed) 02:45:33
☆ Re: 整数問題 / らすかる
> 10^99-1は9が99個並びますので9で割ると1が99個連続します。各桁の和が3の倍数になるので1の99個の並びは3で割り切れます。よって(10^99-1)/27は自然数です。これは自明なことではないでしょうか。
「これは自明」の前までを説明すれば自明ですが、
解答を見た人が「勝手に3で割っていいの？」と一瞬でも思うようなことがあれば、
それは解答を見た人が3の倍数かどうかを考えて3で割れることがわかるわけで、
「自明」（テストの解答で書く必要がないこと）とは言えないと思います。
テストの解答なら
(10^99-1)/9は1が99個並び3で割り切れるから(10^99-1)/27は自然数
程度は言っておいた方が良いと思います。
（書かなかったからといって減点されるかどうかはわかりませんが、
　少なくとも「不親切」です。）

> どうして成り立たないことがわかるのでしょうか
私は電卓で計算して気付きましたが、
x＞{(3y^2-1)+√(9y^4+4y^3-6y^2-4y+1)}
この式があれば簡単にわかりますね。
この式から
x＞3y^2でなければいけないことは明らかですが、
3{(10^99-1)/27}^2は明らかに10^99より大きいです。

> また何を代入すれば成り立つのでしょうか。
√(9y^4+4y^3-6y^2-4y+1)＜√{9(y+1)^4}=3(y+1)^2から
x＞3y^2-1+3(y+1)^2=6y^2+6y+2であれば十分なので
例えばx=10^200とすればいいですね。
（x,yの値が上の不等式を満たすことも言っておく必要があります）
No.55024 - 2018/11/14(Wed) 04:27:42
☆ Re: 整数問題 / 瑠璃
御回答ありがとうございました。よくわかりました
。
No.55033 - 2018/11/15(Thu) 01:38:21
★ 整数問題 / 瑠璃
nを2以上の整数とする。自然数のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。


テストの問題なんですが、10点満点中2点しかもらえませんでした。どこが減点対象なのかご指摘ください。なお設問1で連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示しています。

連続するn個の自然数を、m、m+1、m+2、m+3、…、m+n-1とします。m^n＜m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+n-1)＜(m+n-1)^nです。従ってn乗数になるとしたら、(m+1)^n、(m+2)^n、(m+3)^n、…、(m+n-2)^nのいずれかです。設問1の結果からm(m+1)が(m+1)^nになることはありえなです。同様に(m+1)(m+2)が(m+2)^nになることはありえないです。これを繰り返せば、(m+3)^n、…、(m+n-2)^nになることはありえないです。よって連続するn個の自然数の積はn乗数でないです。

よろしくお願いします。
No.55000 - 2018/11/13(Tue) 01:10:50
☆ Re: 整数問題 / らすかる
m(m+1)が(m+1)^nになることがありえないからといって
m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+n-1)が(m+1)^nにならないとはただちに言えませんので、証明が必要です。
No.55003 - 2018/11/13(Tue) 02:15:27
☆ Re: 整数問題 / 瑠璃
早速の御回答ありがとうございます。

＞m(m+1)が(m+1)^nになることがありえないからといって
m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+n-1)が(m+1)^nにならないとはただちに言えませんので、証明が必要です。

m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+n-1)(m+1)^nは因数にmを持ちますが、(m+1)^nは因数にmを持たないのは明らかだと思いますが、それでも証明は必要なのですか。
No.55006 - 2018/11/13(Tue) 03:08:40
☆ Re: 整数問題 / らすかる
mが1ならば(m+1)^nはmで割り切れますので、証明は必要です。
No.55009 - 2018/11/13(Tue) 04:23:02
☆ Re: 整数問題 / 瑠璃
御回答ありがとうございます。

＞mが1ならば(m+1)^nはmで割り切れますので、証明は必要です。

ですが、(a+k)^nはa+k+1(a+1≦a+k+1≦a+n-2)を約数に持ちますが、これはa+kとa+k+1が互いに祖に矛盾しませんか？
No.55023 - 2018/11/14(Wed) 03:09:42
☆ Re: 整数問題 / らすかる
もちろん矛盾しますが、証明なのですから
矛盾する理由を書く必要があります。

「m(m+1)が(m+1)^nになることはありえない」は
「m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+n-1)が(m+1)^nにならない」ことの理由になっていませんね。
No.55025 - 2018/11/14(Wed) 04:33:53
☆ Re: 整数問題 / 瑠璃
御回答ありがとうございました。よくわかりました。
No.55032 - 2018/11/15(Thu) 01:34:30
★ (No Subject) / こういち
3x+y=3z、x+z=3yのとき、x^2+y^2=z^2
っていう問題をときました。
解答とは違うのですが、これでもいいか、見てください。
No.54998 - 2018/11/12(Mon) 23:10:13
☆ Re: / IT
8y＝0　から　まちがってます。
No.54999 - 2018/11/13(Tue) 00:12:21
★ (No Subject) / ちぇるろ
数学の質問です。参考書等見ながら解こうとしたのですが分からないので質問させてください。

[円に内接する三角形の問題]
与えられた三角形に対して、頂点を通る円が唯一定まる。
問1、ABを直径とする円周上に、任意の点Cを決めて、長さAC〔cm〕とBC〔cm〕を求め、(AC)²＋(BC)²−(AB)²＝ｘを計算して求めよ。

問2、同じく、円周上にC以外の点Dを決めて、(AD)²＋(BD)²−(AB)²＝y を求めよ。

問3、この結果から、三角形ABCの形状(正三角形、二等辺三角形、直角三角形など)を定めよ。

申し訳ないですが、よろしくお願い致します。
No.54997 - 2018/11/12(Mon) 19:58:49
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