ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / こういち

男子2人女子4人を円形に並べます。
男子が向かい合う並び方は何通りか…で
解説なのですが、これは男子AとBの区別はしなくて大丈夫なのですか？
理由も教えていただけると嬉しいです。

No.54231 - 2018/10/06(Sat) 00:56:41

☆ Re: / こういち

すみません、画像です

No.54232 - 2018/10/06(Sat) 00:57:02

☆ Re: / らすかる

図では「男」「男」としか書かれていませんが、
これはどちらか一方が「男A」、他方が「男B」です。
区別していますので4!となります。
もし区別しなかったら180°回転して同一とみなされてしまい、
4!/2=12通りとなってしまいます。

No.54235 - 2018/10/06(Sat) 01:29:50

★ 位相空間 / 坂下

Euclid距離をｄとする。
このとき?@（R,ｄ）におけるZの内部は空集合であることを示せ。
?A（Z,ｄ❙ｚ×ｚ）におけるZの内部はZであることを示せ。
とあるのですが、
?@と?Aの違いがよくわかりません。
教えてください。

No.54230 - 2018/10/06(Sat) 00:53:57

☆ Re: 位相空間 / IT

Ｒは実数全体の集合、Ｚは整数全体の集合を表すのだとします。

?@は、Ｒ全体の中で考えているのに対して、
?Aは、Ｒの部分空間Ｚの中で考えているので違ってきます。
x∈Ｚについて　Ｒにおけるｘのε近傍をＵ(Ｒ,x,ε),Ｚにおけるｘのε近傍をＵ(Ｚ,x,ε)とすると
Ｕ(Ｚ,x,ε)＝Ｕ(Ｒ,x,ε)∩Ｚ　です。

No.54238 - 2018/10/06(Sat) 09:57:43

☆ Re: 位相空間 / 坂下

ありがとうございます。
わかりました。

No.54402 - 2018/10/13(Sat) 04:06:10

★ 三平方の定理 / 中学数学苦手

答え（２）3:2 16/5 　解き方が解りません。詳しい解説お願いします。

No.54226 - 2018/10/05(Fri) 20:02:51

☆ Re: 三平方の定理 / らすかる

「横から見た図」を描くと
AB=BC=EF=FG=2√3、BP=PC=√3、AP=3√3となり
△ARP∽△GRFなのでAR：RG=AP：FG=3：2

「上から見た図」では
AR：RC=3：2なのでAR=12√3/5
ACとBDの交点をMとするとMR=AR-AM=2√3/5
またBM=2なのでBR=√{2^2+(2√3/5)^2}=4√7/5
「横から見た図」から
AR：RG=3：2なので底面EFGHからRまでの距離は12/5
従ってRF=√{(4√7/5)^2+(12/5)^2}=16/5

No.54228 - 2018/10/05(Fri) 21:27:03

☆ Re: 三平方の定理 / 中学数学苦手

解説ありがとうございます。
「横から見た図」を描くと何となく解りました。「上から見た図」では、ここから、　ACとBDの交点をMとするとMR=AR-AM=2√3/5またBM=2なのでBR=√{2^2+(2√3/5)^2}=4√7/5　よく解りません。

No.54236 - 2018/10/06(Sat) 07:00:44

☆ Re: 三平方の定理 / らすかる

AR=12√3/5まではわかったということでしょうか。
「上から見た図」はひし形ABCDであり、
Rは対角線AC上にあるのは大丈夫でしょうか。
対角線ACの長さが4√3なのでAMはその半分の2√3
よってMR=AR-AM=12√3/5-2√3=(12√3-10√3)/5=2√3/5です。
そして△ABDは正三角形なのでBD=4であり、
MはBDの中点なのでBMはBDの半分となりBM=2
△BRMは∠M=90°の直角三角形なので
BR=√(BM^2+MR^2)=√{2^2+(2√3/5)^2}=4√7/5
となります。

No.54242 - 2018/10/06(Sat) 12:20:22

☆ Re: 三平方の定理 / 中学数学苦手

何回もすみません。従ってRF=√{(4√7/5)^2+(12/5)^2}=16/5

{(4√7/5)^2の式が、よく解りません。

No.54249 - 2018/10/06(Sat) 17:22:17

☆ Re: 三平方の定理 / らすかる

三平方の定理により
RF=√{(上から見た図でのBRの長さ)^2+(底面EFGHからRまでの距離)^2}
です。
もう少し詳しく書くと、
Rから底面EFGHに垂線RSを下ろすとRF=√(SF^2+SR^2)であり、
SF=(上から見た図でのBRの長さ)
SR=(底面EFGHからRまでの距離)
ですから、上の式になります。

No.54254 - 2018/10/06(Sat) 21:10:37

☆ Re: 三平方の定理 / 中学数学苦手

何となく解りました。解説大変ありがとうございました。

No.54263 - 2018/10/07(Sun) 07:05:06

★ 累乗 / たぬき

ヨッシーさん皆さん、いつも困った時助けていただいてます。
算数レベルの質問にいつも答えてくださいます。
ありがたい掲示板です。ありがとうございます。

(1+0.1)10乗 =1.1を10回かけるというのはわかりました。これが30乗40乗と大きくなっても一発で出せるような公式はありますか？
グーグルでわからなかったので教えて頂けないでしょうか？

No.54216 - 2018/10/05(Fri) 10:27:27

☆ Re: 累乗 / ヨッシー

一発かどうかは分かりませんが、二項定理を用いて、
　(1＋0.1)^30
　＝30Ｃ0＋30Ｃ1・0.1＋30Ｃ2・0.01＋30Ｃ3・0.001＋・・・＋30Ｃ30・0.1^30
を計算すればいいですが、30Ｃx の計算が大変です。
ある桁数までということであれば、途中で切ればいいでしょう。

No.54219 - 2018/10/05(Fri) 11:52:53

☆ Re: 累乗 / らすかる

もし1.1^30を手計算でやるとしたら
1.1^30=1.1^(5×3×2)=((1.1^5)^3)^2として
1.1^5=1.1×1.1×1.1×1.1×1.1=1.61051
1.61051^3=1.61051×1.61051×1.61051=4.177248169415651
4.177248169415651^2=17.449402268886407318558803753801
のようにするのがよいと思います。
同様に40乗ならば
40=5×2×2×2なので
1.1^40=(((1.1^5)^2)^2)^2 となり
・まず5乗する
・2乗を3回
の順が良いでしょう。

概数ならば
（習っているかどうかはわかりませんが）
常用対数表を使って
1.1^30=10^(log[10](1.1^30))
=10^(30log[10]1.1)
のようにすれば求められます。

他に、1+(非常に小さい数)の場合は
（ヨッシーさんが書かれた二項定理を2項で打ち切ったものですが）
(1+ε)^n≒1+nε
という近似で求められます。
例えば
1.000001^30≒
1.000030です。

No.54220 - 2018/10/05(Fri) 12:19:29

★ (No Subject) / くむ

はじめまして　失礼します

こちらの画像の数学的記号の意味を解説してもらえないでしょうか

数学の濃度に関する話で
フォン・ノイマンの割り当てと同じことをいってるようなのですが　このような書き方は初めて見ました
調∃べてもいまいち　よくわからず

特に
∃R（（A,R)～（α、ε））
が何を示しているのか

～がこの場合　どういう意味の記号なのかもわからず
また、この場合（A,R)や（α、ε）が何を示しているのか
∃Rがなぜここにあるのかすらわかりません

下のURLのWIKIにある集合論の内容です
↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96

No.54210 - 2018/10/05(Fri) 01:30:54

☆ Re: / ast

Wikipediaには履歴が全て残るので過去ログをみると, この差分で書き加えられていますね. 書かれた方は最近も活動されているようなので, ご本人に直接窺うのが最もよいと思います (登録なしで書き込めますが履歴にIPが残ります).

No.54211 - 2018/10/05(Fri) 05:21:02

☆ Re: / ast

集合論に関する概要への導入の記述としてはそこだけなんだかボリュームがおかしい気はしますが, 書かれている内容が間違ってるわけでもないようだし, なんだか変な感じです.

それはさておき, ≅(=の上に~) は順序集合として同型なこと, (α, ∈) は "順序数 α" と "帰属関係 ∈" の成す整列順序集合だと書いてあるようなので, 「A 上に (A, R) が (α, ∈) に同型になる順序関係 R が存在する」というのが ∃R の意味, ということで筋は通りそうです.

# いうまでもないことかもしれませんが念のため, min の引数は集合 (この文脈だとクラスかもしれないが) で
# その集合は内包的記法 {(代表元) ∈ (代表元をとる範疇) | (この集合に入るために代表元が満たすべき条件)} に従って書かれています
# ε ではなく ∈ は「属する」という帰属関係を表す二項関係記号です.
# (まあ, もともと ε の変形で, 古い文献では確かに ε と書いてあるのですが)
# つまり, α は On から取ってくるのだけれども, 条件通りの同型になる R が取れるものだけがその集合に入っている.

A と順序数 α を比べるなかで, 順序同型を与える A 上の順序関係 R があるかどうかが問題になり, 仮にそのような R が取れるような α だけに絞って考えても, (A, R) と (α, ∈) が同型な順序数 α が無数にある ((A を動かせば) 真のクラスになってしまうほど多いのでしょう) という状況を想定するのでしょう. それでも, その中で最小のものという標準的なものを取り出す方法が (順序数の性質として) あったために, 真のクラスまで飛び出さずに指定できるようになる, というお話のようです.
# 注: わたしもあまりよくわかっていません.

No.54212 - 2018/10/05(Fri) 05:35:56

☆ Re: / くむ

ast様　返信ありがとうございます

まだ　完全なりかいではありませんが
わかってきました

特にＲが順序関係をしめしていたんですね
なんで　ここに実数がでてくるのかと思っていました

ご返信ありがとうございました

No.54223 - 2018/10/05(Fri) 14:46:47

★ ガンマ関数が全然わかりません / あや

大学数学を勉強しています。
ガンマ関数が全然わかりません！！
階乗を拡張したもの・負の数でも階乗できるようにしたもの、という説明を多く見ますが、どのように拡張しているのでしょうか？
それに負の数の階乗がイメージつかないのですが、具体的にどのような場合につかわれるのでしょうか？？

No.54205 - 2018/10/04(Thu) 22:56:29

☆ Re: ガンマ関数が全然わかりません / ast

ツッコミどころしかないので, 少々箇条書きで行かせてもらいます.

> 階乗を拡張したもの・負の数でも階乗できるようにしたもの、という説明
> どのように拡張しているのでしょうか？
これはどちらの文もおそらく数学用語の意味を勘違いしている. 数学用語の拡張 (延長) は制限の反対語で, 今の場合「どの自然数に対してもその自然数(から一個ずれてる) の階乗になってる」という意味でしかない.
で, もともと特定の領域でしか定義されていない函数と, その領域で一致してるもっと広い領域で定義された函数は無数にあるから, 拡張なんて言葉にも字面ほどには「広げていく」という状況は無いし, そういうイメージは持つべきではない. たまたまだろうが狙って作ろうが, 拡張は拡張だ.

ただし, どんなものでもいいというのは不便なので, 無数にある中でも連続函数になってるなどのいい性質のあるものを扱いたいというのがガンマ函数を含めた特殊函数論では普通だが, ガンマ函数はその中での解析函数になるという強力すぎるぐらいの性質を持っているのでよく扱われる. 条件が強すぎるので (どんなに見た目が違っても) 一種類しかない.

これらのことが分かっているなら, 積分表示や函数等式での定義が書いてあるはずだからそれが「どのように」の答えということ.

解析函数が何でそんなに強い制約でどれほど良いものなのかは, 複素解析のまともな本をちゃんと読めるようにならないと, 説明しても理解できる段階ではないだろう.
# そもそもあなたは高校レベルやときには中学レベルの話で詰まっていることもあるようなので, 本当にまともな教科書をじっくりきちんと読んで勉強しているのか, 大学教養レベルを進めていける段階なのか自体がとても怪しい.

> それに負の数の階乗がイメージつかない
これも用語を勘違いしているのだろう. 「何もない」を「0個ある」といっているのと同じで, 「負の数の階乗」とは「ガンマ函数の負の数における値」と言っているだけでイメージも何も何の実態も実体もない言葉遊びだ.

No.54214 - 2018/10/05(Fri) 06:33:35

★ 正規分布のモーメント母関数について / 雫

画像の正規分布のモーメント母関数について質問です。
赤線を引いた式の変換がなぜ成り立つのかわかりません。特に赤ワクで囲ったところがわかりません。なぜ積分の中にあるものを外に移動できるのでしょうか？
またなぜ積分の中にあるものが１と算出できるのでしょうか？（積分の中身が複雑で計算できませんでした・・・）

No.54201 - 2018/10/04(Thu) 22:26:44

☆ Re: 正規分布のモーメント母関数について / noname

なぜ外に移動できるかといえば、その部分が定数扱いだからでしょう。いかに複雑に見えてもuと無関係なら定数扱いです。

No.54203 - 2018/10/04(Thu) 22:48:36

☆ Re: 正規分布のモーメント母関数について / 雫

指数部分も定数と水瀬て外に出せるということでしょうか？

No.54204 - 2018/10/04(Thu) 22:54:16

☆ Re: 正規分布のモーメント母関数について / noname

e^{-1/2(u-σθ)^2+(σ^2θ^2)/2}=e^{-1/2(u-σθ)^2}×e^{(σ^2θ^2)/2}なので、
uと関係ない係数e^{(σ^2θ^2)/2}をくくりだしているだけですよ。

No.54206 - 2018/10/04(Thu) 23:11:50

☆ Re: 正規分布のモーメント母関数について / あや

なるほど！わかりました！ありがとうございます！

No.54207 - 2018/10/04(Thu) 23:21:08

☆ Re: 正規分布のモーメント母関数について / noname

積分すると1になることについては、
例えば以下のページ参照。
https://mathtrain.jp/gauss

No.54208 - 2018/10/04(Thu) 23:25:26

★ (No Subject) / 受験生

この画像の⑹を解説付きで解いてもらいたいです
全く方針が思い浮かび上がりません

No.54196 - 2018/10/04(Thu) 18:11:34

☆ Re: / ヨッシー

(6)
ｕ＝ｘ^3 とおくと、du＝3x^2dx
0≦x≦1 は 0≦u≦1 に対応。
以上から
　（与式）＝(1/3)∫[0～1]ｅ^udu
で計算できます。

試しに、ｅ^(x^3) を微分してみると気づくと思います。

No.54197 - 2018/10/04(Thu) 18:31:10

☆ Re: / 受験生

> この画像の⑹を解説付きで解いてもらいたいです
> 全く方針が思い浮かび上がりません
xの二乗はどこに消えたのでしょうか

No.54202 - 2018/10/04(Thu) 22:47:07

☆ Re: / noname

ｅ^(x^3)を微分してみなされ。それでx^2の行方が分からなければ、合成関数の微分の学習が不十分ということです。

No.54209 - 2018/10/04(Thu) 23:34:08

★ (No Subject) / 受験生

この問題を解いてください

No.54195 - 2018/10/04(Thu) 18:10:26

☆ Re: / X

(1)
条件から
↑AE=(↑AB+2↑AC)/3

(2)
(1)の結果により
↑AP=k↑AE
=(k/3)↑AB+(2k/3)↑AC (A)
(kは実数)
と置くことができます。
一方、MP:PD=l:(1-l)と置くと
↑AP=(1-l)↑AM+l↑AD
={(1-l)/2}↑AB+(3l/4)↑AC (B)
ここで
↑AB//↑ACでなくかつ↑AB≠↑0かつ↑AC≠↑0
∴(A)(B)の↑AB,↑ACの係数を比較することができ
k/3=(1-l)/2 (C)
2k/3=3l/4 (D)
(C)(D)をk,lの連立方程式として解き
(k,l)=(9/14,4/7)
∴↑AP=(3/14)↑AB+(3/7)↑AC

(3)
条件から円周角により
↑CP⊥↑ABかつ↑BP⊥↑AC
∴
↑CP・↑AB=0 (E)
↑BP・↑AC=0 (F)
これより
(↑AP-↑AC)・↑AB=0 (E)'
(↑AP-↑AB)・↑AC=0 (F)'
これらに(2)の結果を代入し、整理をすると
|↑AB|^2=(8/3)↑AB・↑AC (E)"
|↑AC|^2=(11/6)↑AB・↑AC (F)"
∴|↑AB|^2:|↑AC|^2=16:11

No.54198 - 2018/10/04(Thu) 20:24:43

★ この証明問題の解答解説をお願い致します。 / おにょ

kは自然数。0以上の実数に値をとる自然数nの関数f(n)がk次多項式であるとき、f(n)=O(n^k)であることを示しなさい。

O-記法の問題です。0(ゼロ)とO(オー)が分かりづらくて申し訳ないのですが、1つめはゼロで2つめはオーです。よろしくお願い致します。

No.54194 - 2018/10/04(Thu) 13:02:24

☆ Re: この証明問題の解答解説をお願い致します。 / ast

明らかに "f(n)/n^k → (最高次係数) (as n→∞)" だから, 証明問題というかほとんど O の定義を分かっているかの確認でしかないのでは……?

# 質問者さんの実環境で O(n) をどのように定義したのかは, ちょっとわかりませんが,
# nで割った比が有界, つまり n→∞ の極限が(あれば)有限値 (振動でもいい)
# というのが割とありふれた定式化だと思うので
# 質問者さんの悩みどころがいまひとつつかめていません, すみません.

No.54213 - 2018/10/05(Fri) 06:12:31

★ 確率 / ゆう

表が出る確率がp
裏が出る確率が1-p
のコインがあります。
表が出ればブロックを1個積み上げて
裏が出たら１からやり直します
n回コインを投げたときにブロックがm個つまれている確率を求める際に
n-m-1回目までは表でも裏でもいいわけですよね？
その時の確率が1^(n-m-1)というのが納得いくようで行きません。

一般的にn回中　事象Aもしくは事象Bがm回起きる
というのは(Pa+Pb)^mになるのでしょうか？
分かるようで府に落ちません、、、

No.54186 - 2018/10/04(Thu) 00:06:18

☆ Re: 確率 / noname

mやnが小さい場合で樹形図をかいて実験してみてはどうでしょう。

No.54191 - 2018/10/04(Thu) 06:35:00

★ 画像の二項分布からポアソン分布への近似がわからない / 雫

画像の式のように、二項分布からポアソン分布へ
なぜ二項分布のλ=npを一定のままn→∞にするとポアソン分布になるのかわかりません・・・。

No.54180 - 2018/10/03(Wed) 22:57:00

☆ Re: 画像の二項分布からポアソン分布への近似がわからない / GandB

> なぜ二項分布のλ=npを一定のままn→∞にするとポアソン分布になるのかわかりません・・・。
　それが定義だからとしか言いようがない。

　たとえば不良率 0.1 ％の商品を 1 箱 100 個詰めて出荷する。1 箱に不良品が 3 個含まれる確率を、二項分布とポアソン分布の両方で求めてみれば、なぜポアソン分布のような分布を考えるのかということがわかるだろう。
　というか、参考書に例題が載ってないか？

No.54187 - 2018/10/04(Thu) 00:25:36

☆ Re: 画像の二項分布からポアソン分布への近似がわからない / s

いえいえ，「二項分布のλ=npを一定のままn→∞にするとポアソン分布になる」は定義ではなく，もちろん定理です

有名なので色んな教科書に証明は書いてあると思います．
例えば以下のpdfの24ページ目とか．

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf

No.54188 - 2018/10/04(Thu) 00:54:20

☆ Re: 画像の二項分布からポアソン分布への近似がわからない / GandB

　確かに定理ですね。

No.54189 - 2018/10/04(Thu) 01:15:32

☆ Re: 画像の二項分布からポアソン分布への近似がわからない / 雫

なるほど！ありがとうございます

No.54199 - 2018/10/04(Thu) 21:25:14

★ (No Subject) / noname

まず、その解答は2種類の場合分けを同時にやっているので、初心者向けではありません。

普通、最初に解かせるときは

a>0のとき，関数y=x^2-8x+9(0≦x≦a)について，
(1)　最小値をaの値によって場合分けして求めよ。
(2)　最大値をaの値によって場合分けして求めよ。

と２段階に分けて出題します。

しかし、この問題を授業で解説せず解かせるというのは普通ありえないと思うのですが。

No.54173 - 2018/10/03(Wed) 20:51:16

☆ Re: / noname

すみません、間違えて新規作成してしまいました。

No.54174 - 2018/10/03(Wed) 20:53:45

☆ Re: / 隣家

ありがとうございます。いえいえ全然全然😄
助かります！

No.54177 - 2018/10/03(Wed) 21:38:10

★ 高一数学 / 隣家

授業でやっておらず、しかもテストに出るらしいので、一から分からず、申し訳ないのですが、例題6について解説お願いします。
なぜy＝9となるXの値が0、8、x＝aの時、y＝a^2-8a+9となるのかわかりません。(本文3行目)
もう一つ0<a<4のとき～8<aのとき(本文4行目)これはどこからどう導き出したのかがわかりません。特にa＝8の部分など8をどう求めたかの過程が明記しておらず、正直意味がわかりません。
解説お願いします