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(No Subject) / ちぇるろ
数学の質問です。参考書等見ながら解こうとしたのですが分からないので質問させてください。

[円に内接する三角形の問題]
与えられた三角形に対して、頂点を通る円が唯一定まる。
問1、ABを直径とする円周上に、任意の点Cを決めて、長さAC〔cm〕とBC〔cm〕を求め、(AC)²+(BC)²−(AB)²=xを計算して求めよ。

問2、同じく、円周上にC以外の点Dを決めて、(AD)²+(BD)²−(AB)²=y を求めよ。

問3、この結果から、三角形ABCの形状(正三角形、二等辺三角形、直角三角形など)を定めよ。

申し訳ないですが、よろしくお願い致します。

No.54997 - 2018/11/12(Mon) 19:58:49
(No Subject) / パグ
こちらの問題全て解いて頂きたいです
No.54986 - 2018/11/12(Mon) 13:20:30

Re: / t
1.
(1) 1476 3456 5436 7416 8496 の 5つ
(2) 11

2.
(1) 5
(2) 1005

3.
153 216 279 342 405 468 531 594 657 720 783 846 909 972の14個

4.
261 + 261 = 0522, 472 + 472 = 0944以外なら894 + 894 = 1788のみ。8+9+4+1+7=29

5.
(1) 50631
(2) 333352042

6.
(1) 493
(2) 1221

No.54987 - 2018/11/12(Mon) 14:07:54

Re: / らすかる
5(2)は333352052、6(2)は4641
No.54993 - 2018/11/12(Mon) 15:51:41

Re: / パグ
ご回答ありがとうございます
大変恐縮ですが、途中式お願いできますか??
よろしくお願い致します

No.54994 - 2018/11/12(Mon) 16:30:54
確率論 平均値についての証明 / らん
確率論の平均値の証明について解説をしていただきたいです。
証明の内容は、画像のように平均値を定義したとき、[EXの値は近似列Xnのとり方にやらないことを示したい]です。

画像にはその証明の冒頭を記載しました。
解説していただきたいのは、赤下線部の2部分です。

1つ目は、なぜ{ }が、Ωに近づくのかを解説していただきたいです。
2つ目は、(☆)がどのようにでてきたのかを解説していただきたいです。

よろしくお願いいたします。

No.54980 - 2018/11/12(Mon) 04:07:05

Re: 確率論 平均値についての証明 / s
命題中で登場するX_nはXを下から近似する階段関数列ですね?
(単に「非負階段関数」とだけ書かれていますがそれでは命題は成り立ちません)

その場合X_n(ω)-ε < X(ω)となるので、X~_iがXを下から近似する関数なら十分大きいiに対して
X_n(ω)-ε< X~_i(ω) < X(ω)
とならないといけません。

2つ目に関してですが、
P(X~_i > X_n-ε)→1 (i→∞)
までOKなら
P(X~_i ≦ X_n - ε)→0 (i→∞)
なので、任意のδ>0に対して十分大きい番号mが存在し
P(X~_m ≦ X_n - ε) < δ
δ>0は任意の正数なので、(☆)の右辺のように取ってもかまいmせん

No.54984 - 2018/11/12(Mon) 12:52:20

Re: 確率論 平均値についての証明 / らん
ご回答ありがとうございます。
なぜX_n(ω)-ε<X~_i(ω)がでてくるのか、
二つ目の不等号の式について、よく理解できました。

しかし、一つ目の
{ω∈Ω;X~_i(ω)>X_n(ω)-ε}
がi→∞のとき増大しながらΩに近づくという部分が理解できません。
解説お願いいたします。

No.54990 - 2018/11/12(Mon) 15:04:11

Re: 確率論 平均値についての証明 / s
任意のω∈Ωに対してiが十分大きければ、X_n(ω)-ε< X~_i(ω)

というのはOKなんですよね?
(Ωの定義が書かれていませんが、全体集合だとして。)

すると、今n, εは固定して考えていてiだけが大きくなっていくと思うと
集合{ω∈Ω; X~_i(ω)>X_n(ω)-ε}
はiと共に大きくなっていきますね?

たとえばi0 = 100のとき、ω_0 ∉ {ω∈Ω; X~_i0(ω)>X_n(ω)-ε}であったとしても、十分大きい例えばi1 = 1000のときには
X~_i1(ω_0)>X_n(ω_0)-ε
は成り立つはずなので
ω_0 ∈ {ω∈Ω; X~_i1(ω)>X_n(ω)-ε}
となります。

これはiを大きくしていくと集合{ω∈Ω; X~_i(ω)>X_n(ω)-ε}は点ω_0など全ての点を取り込んでいく、ということを意味するので
「i→∞のとき増大しながらΩに近づく」
と言ってもいいですね

No.54992 - 2018/11/12(Mon) 15:46:57

Re: 確率論 平均値についての証明 / らん
理解できました!
sさん、ご丁寧に解説ありがとうございます。

No.54995 - 2018/11/12(Mon) 19:33:59
確率論、平均値の証明 / らん
確率論の平均値に関する証明の解説をお願いしたいです。
問とその証明は画像に記載しました。

X=0 a.e.はP(X=0)=1の意味、
X+はX+≡max(X,0)、
X-はX-≡max(-X,0)と定義しています。

解説していただきたいのは、
1,Xnの定義の意味?です。
Xnがどういうものなのか調べるため、n=1の時を考えたのですが、いまいちピンときません。

2,Xn→X+
3,EXn=0
Xnがどういうものなのか分かれば、理解できると思っています。

長文になってしまい申し訳ございません。
よろしくお願いいたします。

No.54978 - 2018/11/12(Mon) 02:10:03

Re: 確率論、平均値の証明 / s
χの定義が書かれてませんが、
χ_A(x) = x∈Aのときのみ1、その他では0
ですね?

あと和Σの範囲がk=0からk=2^(n+1)までになってますが、
k=n * 2^(n+1)まで
の間違いだと思います

その場合、X_nは関数Xの値域を1/2^n幅でスライスして下から近似する関数です
ちなみに正確には、値域を[0, n]の範囲に限定した上でスライスしています。
(もっと正確にいえば[0, (n*2^(n+1)+1)*2^(-n)) の範囲ですが)

近似関数X_nの本質を理解するために、X=0 a.e.という条件は関係ないので、例えば
X(x) = max(3-|x|, 0)
という関数の場合にX_3がどういう関数になるか考えてみてください。
この場合のX(x)およびX_3(x)のグラフを描いて考えればイメージが湧くと思います。

No.54982 - 2018/11/12(Mon) 12:36:31

Re: 確率論、平均値の証明 / らん
ご丁寧な解説ありがとうございます。
自分なりに考えてみました。

sさんのおっしゃるX(x)=max(3-|x|,0)のときはよくわからなかったのですが、
X+=max(x,0)とX_3(x)のグラフを描いてみました。
あっていますでしょうか?

また、EXn=0に関して解説をお願いいたします。

No.54989 - 2018/11/12(Mon) 14:47:41

Re: 確率論、平均値の証明 / s
そんな感じでOKです
(X(x)=max(3-|x|,0)のグラフは描けますか?このXは(0,3)を頂点とする三角形のグラフになって、近似階段関数もX(x)=max(x,0)の場合と似たような具合になります)

EX_n=0に関してですが、X_nはそれ自体が階段関数なので、近似列を考えなくても定義より=0が従います。
(もちろんX=0 a.e.という条件は使います)

もう少し噛み砕くと
EX_n = Σ_{k=1}^{k=n*2^n}(k/2^n)P(X∈[k*2^(-n), (k+1)*2^(-n))) = Σ(k/2^n) * 0 = 0
ですね (k=0の項は0になります。)

P(X∈[k*2^(-n), (k+1)*2^(-n))) ≦ P(X≠0) = 0
に注意してください。

No.54991 - 2018/11/12(Mon) 15:31:14

Re: 確率論、平均値の証明 / らん
理解できました!
sさん、ご丁寧に解説ありがとうございます。

No.54996 - 2018/11/12(Mon) 19:35:04
高校確率 / 爛々
わかりません。教えてください。お願いします。
No.54976 - 2018/11/12(Mon) 01:22:09

Re: 高校確率 / ヨッシー
(1)
Aから[1]を取る確率は 1/5
このとき、Bには[1][2][3] が3,1,2枚入っているので、
[2]を取る確率は 1/6
よって、求める確率は 1/5×1/6=1/30

(2)
a=bとなる確率は、同じ数字を2回続けて取り出す確率なので、
 [1]を2回取る確率:1/5×3/6=3/30
 [2]を2回取る確率:3/5×2/6=6/30
 [3]を2回取る確率:1/5×3/6=3/30
よって求める確率は
 (3+6+3)/30=2/5

a>b となるのは、2回目に1回目より大きい数を取る場合なので、
 1回目[1] のとき:1/5×3/6=1/10
 1回目[2] のとき:3/5×2/6=1/5
よって求める確率は
 1/10+1/5=3/10

No.54985 - 2018/11/12(Mon) 13:02:54
中学受験 / しゅう👦🏻
赤いラインのところがわかりません。教えてください。よろしくお願いします!🙏🏻
No.54970 - 2018/11/12(Mon) 00:00:12

Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
問題です。(1)はわかりました。
No.54971 - 2018/11/12(Mon) 00:01:07

Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
解答です。よろしくお願いします。
No.54972 - 2018/11/12(Mon) 00:02:53

Re: 中学受験 / しゅう
失礼致しました。
No.54973 - 2018/11/12(Mon) 00:52:36

Re: 中学受験 / しゅう
> よろしくお願いいたします!
No.54974 - 2018/11/12(Mon) 00:53:18

Re: 中学受験 / らすかる
5人の人がトランプ(ジョーカーを除く)を1枚ずつ持っているとき、必ず誰かと誰かのマークが
同じになる(どれかのマークを持っている人が2人はいる)というのはわかりますか?

No.54975 - 2018/11/12(Mon) 01:13:08

Re: 中学受験 / しゅう
わかります。
No.54977 - 2018/11/12(Mon) 01:39:45

Re: 中学受験 / らすかる
では、30人の人がそれぞれ1〜29のうちの好きな数を
紙に書いたとき、必ず誰か2人以上が同じ数を書いている、
というのもわかりますよね。
赤枠は、これと同じことを説明しています。
それぞれの人が持っている2枚のカードの差が
1〜29ですから、誰か2人以上が同じ差ですね。
赤枠の説明は、30人を順に見ていくと
最初の29人は全員差が異なるかも知れないが、
その場合でも最後の1人は29人の誰かと同じになる、
ということを言っています。

No.54979 - 2018/11/12(Mon) 03:58:12

Re: 中学受験 / しゅう
よくわかりました!わかりやすい例までしていただいて、ありがとうございます。
No.54981 - 2018/11/12(Mon) 08:01:35
(No Subject) / す
この問題についてなんですが、
Ca(oh)2は完全に電離しているので、濃度に×3をしなくてもいいのでしょうか?

No.54967 - 2018/11/11(Sun) 21:57:23

Re: / ヨッシー
3とは何ですか?
カルシウムイオンの濃度を求めるだけなので、
係数は1です。

No.54983 - 2018/11/12(Mon) 12:41:29

Re: / す
電離で分子数が1モルから3モルに変わっているので、×3かと思ったのですが…
No.55004 - 2018/11/13(Tue) 02:25:28
三角比 / 向
1番と5番の説明をお願いします!
No.54965 - 2018/11/11(Sun) 21:21:05

Re: 三角比 / ヨッシー
いずれも、グラフを描けば明らかですが、
(1) 0°≦θ≦180° のとき
 0≦sinθ≦1 より
 2≦sinθ+2≦3
(2) 0°≦θ≦60° のとき
 0≦tanθ≦√3 より
 1≦2tanθ+1≦2√3+1
 

No.54988 - 2018/11/12(Mon) 14:11:37
(No Subject) / ry
この場合の増減表のy'のところにプラスかマイナスを描きたいんですけど、1と2の間では自然数がないので出来ません…少数を使わないで見分ける方法教えてください。
No.54964 - 2018/11/11(Sun) 20:51:53

Re: / X
例えばy'>0のときのxの値の範囲を求めるのであれば
y'>0
をxの不等式として解きます。
この問題の場合だと
3x^2-12x+9>0
を解くことになります。

No.54966 - 2018/11/11(Sun) 21:37:00
関数列の収束 / 坂下
関数列、関数項級数の収束の様子をグラフ上で知ることができるサイト、ソフトがあれば教えてほしいです。
WolframAlphaは試しましたがなさそうです。

No.54962 - 2018/11/11(Sun) 02:20:32
自然対数の微分 / 青茶会
(e^x)’=e^x が成り立つのに、
(e^2x)’ ≠ e^2x が成り立たず、合成関数を利用して解かなければならないのでしょうか。

No.54960 - 2018/11/11(Sun) 00:31:31

Re: 自然対数の微分 / らすかる
その通りです。
e^xをxで微分するとe^xですから
このxを2xに変えると
e^(2x)を2xで微分するとe^(2x)
となります。
{e^(2x)}'の意味は「e^(2x)を2xで微分」ではなく「e^(2x)をxで微分」ですから、
(e^(2x)をxで微分したもの) = (e^(2x)を2xで微分したもの)×(2xをxで微分したもの)
により、e^(2x)・{2x}'とすることになります。

No.54961 - 2018/11/11(Sun) 00:38:58
数1 図形の面積 / ボルト
301番の(1)と(2)が分かりません。僕の友人は「加法定理を使ったら解ける」と言っていたのですが、僕はまだ加法定理を習っていません。加法定理を使わずに教えてください。よろしくお願いします。
No.54954 - 2018/11/10(Sat) 15:53:56

Re: 数1 図形の面積 / ヨッシー

図のようにDからABに垂線DFを下ろします。
DF=x とおくと、
 BF=(√3/2)x、AF=√3x
より
 AB=(3√3/2)x=√3
となるので、x=2/3、AD=2x=4/3
のように計算できます。

同様にEG=2√3/5 から AE=4√3/5 となります。

No.54955 - 2018/11/10(Sat) 17:40:09

Re: 数1 図形の面積 / ボルト
ヨッシーさんありがとうございます。質問なのですが、なぜBF=(√3/2)xとなるのですか?詳しく教えてください。
No.54956 - 2018/11/10(Sat) 18:08:27

Re: 数1 図形の面積 / らすかる
AB=√3、AC=2、△FBD∽△ABC、DF=xだからです。
No.54957 - 2018/11/10(Sat) 18:54:38

Re: 数1 図形の面積 / ボルト
らすかるさんありがとうございました。相似な2つの三角形を見つけることができませんでした。よく理解できました。
ヨッシーさんも図まで載せていただいてありがとうございました。すごく分かりやすかったです。
お二方共これからもよろしくお願いします。

No.54958 - 2018/11/10(Sat) 20:36:08
幾何学 / 桜井
どなたかこの問題解いて下さい!
No.54952 - 2018/11/10(Sat) 13:47:42
整数問題 / 蘭
⑶ x, y, p は自然数とする。x/p=x/p-1が成り立つならば、この式は整数で、x, yの最大公約数に一致することを証明せよ。
という問題があります。
この解答で私が疑問に思うのが、p=1つまり、分母が0になってしまう場合をのぞかなくていいのか、というところです。普通に解くとしたら、p≠1の条件をつけますよね??なぜ、考慮しなくていいんでしょうか???
解答おねがいします。

No.54939 - 2018/11/09(Fri) 22:26:09

Re: 整数問題 / ヨッシー
>x/p=x/p-1が成り立つならば
と言っている時点で、p=1 の可能性は排除されています。

No.54941 - 2018/11/09(Fri) 22:41:10

Re: 整数問題 / 蘭
自明ということですね!
ありがとうございます

No.54942 - 2018/11/09(Fri) 23:03:15
(No Subject) / ( ͡° ͜ʖ ͡°)
例題12の解の1の部分についてです。どうしてここはD≧0、イコールがつくのでしょうか。それに1より大きい解のみということは解が1つだけの場合もあるということでしょうか?解説お願いいたします
No.54937 - 2018/11/09(Fri) 21:37:40

Re: / らすかる
「x>1の部分と異なる2点で交わるか、接すればよい。」と書いてありますね。
「異なる2点で交わる」が「D>0」
「接する」が「D=0」
ですから、
「異なる2点で交わるか、接する」を素直に式に表せば
D≧0となります。
実際に解が1つだけの場合があるかどうかは関係ありません。
(解が1つだけの場合がなければD=0にならないだけですので、
 D≧0としておいて間違いではありません。)

No.54943 - 2018/11/09(Fri) 23:03:59
(No Subject) / おでんツンツン男
これの因数分解の仕方を教えてください。よろしくです!
No.54933 - 2018/11/09(Fri) 21:07:12

Re: / X
たすきがけをして
(x-2)(x-k)<0
となります。

No.54934 - 2018/11/09(Fri) 21:29:58

Re: / おでんツンツン男
アザゼル
No.54935 - 2018/11/09(Fri) 21:35:15
中学受験 速さ / しゅう
解説がなくてわからないので、(2)がわかりません。答えは、1.5です。よろしくお願いいたします!
No.54931 - 2018/11/09(Fri) 17:24:50

Re: 中学受験 速さ / X
条件から、2つの船の、
川の流れの速さを含めた
速さの差は、
川の流れの速さの二倍
になることに注意します。
この速さで
70[分]+20[分]=90[分]

4.5[km]
進むことが分かりますので
求める速さは
4.5[km]÷(90/60)[時間]÷2=1.5[km/時]
となります。

No.54936 - 2018/11/09(Fri) 21:37:25

Re: 中学受験 速さ / しゅう👦🏼
ありがとうございます。よくわかりました。
No.54938 - 2018/11/09(Fri) 21:59:34
中学受験 平面図形 / しゅう
解説が全くわかりません。教えてください。よろしくお願いいたします!
No.54929 - 2018/11/09(Fri) 17:21:34

Re: 中学受験 平面図形 / しゅう
解説です。
No.54930 - 2018/11/09(Fri) 17:21:53

Re: 中学受験 平面図形 / らすかる
「何個の正方形が対角線BDで切られるか」ということは
「対角線BDが何個の正方形を通過するか」と同じですね。
Bから出発すると考えて、
縦線または横線を横切った時、「隣の正方形」に移りますよね。
つまり、縦線または横線を横切る回数+1が求める個数になります。
(1)は横切る縦線が4-1本、横切る横線が9-1本なので
BDは縦線または横線を(4-1)+(9-1)回横切り、従って
求める個数は(4-1)+(9-1)+1=12個となります。

(1)では縦横のマス数が互いに素だったため
「交点を通過する」ことがなく、上の計算でOKでしたが、
(2)は交点を通過することがあるので少し事情が変わります。
交点を通過した場合、縦線と横線を同時に横切るわけですが
「斜め隣の正方形」に移るだけで正方形の個数は+1です。
よって「縦線を横切る回数」+「横線を横切る回数」+1で
計算すると、交点を通った分だけ多く数えてしまいますので、
交点を通った回数を引かなければなりません。
24と44の最大公約数は4で、つまり縦に6横に11進むたびに
交点を通過し、通過する交点は4-1=3個です。
従って求める個数は(44-1)+(24-1)-(4-1)+1=64個となります。
解説では縦6横11ごとの4つの長方形に分割して計算しています。

No.54944 - 2018/11/09(Fri) 23:19:43

Re: 中学受験 平面図形 / GandB
 この問題、おもしろいですな。
 しかし、難しかった。1時間では解けなかった(笑)。

 これ、中学受験の演習問題なのかな。ということは小学生がこれを解くのか。すごい!

No.54959 - 2018/11/10(Sat) 22:16:46

Re: 中学受験 平面図形 / しゅう
解説していただいて、ありがとうございます。この問題、とても難しいですよね。全然意味がわからなくて困っていました。
No.54968 - 2018/11/11(Sun) 23:08:25

Re: 中学受験 平面図形 / しゅう👦🏼
よくわかりました!
No.54969 - 2018/11/11(Sun) 23:16:58
中学受験 算数 場合の数(道順) / しゅう
(2)の解説の意味がわかりません。なんで「ウ」は、通っていいんですか?同じ道は、通ったらだめだと思うんですが…よろしくお願いします!
(3)は答えは16ですが、解説が全くわかりません。
よろしくお願いします!

No.54927 - 2018/11/09(Fri) 17:18:11

Re: 中学受験 算数 場合の数(道順) / しゅう
解説です。
No.54928 - 2018/11/09(Fri) 17:18:40

Re: 中学受験 算数 場合の数(道順) / らすかる
(2)の図1ではAから50m右、50m下に進んだところなので
まだウは通っていませんね。

(3)
Cを通る場合、Cまでのルートは
右→下
下→右
右→右→下→左
下→下→右→上
の4通りです。
このうち上2つは(2)で求めたので10通りです。
「右→右→下→左」の場合は
右→右→下→左→左→下→右→右
右→右→下→左→下→右
の2通り
「下→下→右→上」の場合は
(「右→右→下→左」と同様なので2通りになるのは明らかですが、あえて書くと)
下→下→右→上→上→右→下→下
下→下→右→上→右→下
の2通り
よって「右→右→下→左」の場合と「下→下→右→上」の
場合を合わせると4通りです。
そしてCを通らないのが
右→右→下→下
下→下→右→右
の2通りなので、全部で
10+4+2=16通りとなります。

No.54945 - 2018/11/09(Fri) 23:33:23
確率変数の収束の証明 / ぺん
画像の確率変数の確率収束に関する証明の解説をお願いしたいです。

私がわからないのは、証明途中の赤の下線部になります。
なぜいきなり1/(2^i)が出てきたのかわかりません。

解説よろしくお願いいたします。

No.54926 - 2018/11/09(Fri) 14:21:49

Re: 確率変数の収束の証明 / IT
その後の都合がいいから εなどとして1/2^i をとったのでは?

まず lim[n→∞]P(・・・)=1 をlim[n→∞]P(***)=0 の形に書き換えて、さらにε−N方式で書くといいと思います。

No.54940 - 2018/11/09(Fri) 22:34:13
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