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★ 高一数学 / 隣家
授業でやっておらず、しかもテストに出るらしいので、一から分からず、申し訳ないのですが、例題6について解説お願いします。
なぜy＝9となるXの値が0、8、x＝aの時、y＝a^2-8a+9となるのかわかりません。(本文3行目)
もう一つ0<a<4のとき〜8<aのとき(本文4行目)これはどこからどう導き出したのかがわかりません。特にa＝8の部分など8をどう求めたかの過程が明記しておらず、正直意味がわかりません。
解説お願いします
No.54170 - 2018/10/03(Wed) 20:01:14
☆ Re: 高一数学 / noname
そのaの値による場合わけは、最初から分かるわけではありません。自分でグラフをかいて、徐々に条件が分かるものです。まず、xの範囲は放っておいて、式を平方完成してグラフをかきましょう。
No.54171 - 2018/10/03(Wed) 20:22:17
☆ Re: 高一数学 / noname
まず、y=x^2-8x+9のグラフをかくとこうなります。
No.54179 - 2018/10/03(Wed) 22:47:33
☆ Re: 高一数学 / noname
最小値だけに注目しましょう。
aが0より少しだけ大きい場合のグラフをかきます。
最小値は右端、つまりx=aのときで、a^2-8a+9です。
No.54181 - 2018/10/03(Wed) 22:58:47
☆ Re: 高一数学 / noname
さらにaを大きい数にしていきます。
この辺に来てもまだ最小値をとる点は変わりません。
No.54183 - 2018/10/03(Wed) 23:00:45
☆ Re: 高一数学 / noname
例えばここまで来たとき、
最小値をとる点が変わっていることがわかりますか。
最小値の変わり目はどこだったでしょう。
これが最小値のほうの場合分けです。
No.54184 - 2018/10/03(Wed) 23:05:10
☆ Re: 高一数学 / noname
最大値も同様です。
aが0より少しだけ大きいとき、x=0で最大値9です。
では今度はどこを超えると最大値をとる点が切り替わるでしょうか。
自分でグラフをかいて考えてみてください。
最大値の場合分けと最小値の場合分けを合体させると、最初の問題集の解説の形になります。
No.54185 - 2018/10/03(Wed) 23:13:01
★ 高一数学 / 隣家
なぜ−8/9+cがこの位置だとわかるのかわかりません。できるだけ丁寧に解説していただけると幸いです。
No.54166 - 2018/10/03(Wed) 19:23:44
☆ Re: 高一数学 / 隣家
175番解説お願いします。
答えです
No.54167 - 2018/10/03(Wed) 19:24:28
☆ Re: 高一数学 / X
何を質問したいのかがはっきりしません。
y軸上の点(0,c-9/8)がx軸の下側にある理由
ということでしょうか？
No.54168 - 2018/10/03(Wed) 19:41:46
☆ Re: 高一数学 / 隣家
Xさん
そーです！すいません。😥
No.54169 - 2018/10/03(Wed) 19:51:43
☆ Re: 高一数学 / X
飽くまで解説を分かりやすくするためです。
解説の図は答えである
c=-2
を前提として図を描いています。
答えを知る前から分かっているわけでは
ありませんので誤解のないように。


この問題を解くに当たって必要なのは飽くまで
グラフの軸と定義域の位置関係
(つまり、軸が定義域内左寄りとなるので
yの値は定義域右端で最大になる)
であって、
頂点とx軸との位置関係
ではありません。

もし自分で解答を書くに当たってグラフを
描くのであれば、敢えてx軸を描かず
グラフ左端、右端の点を通るy軸平行の点線を
それぞれ描いて、それらが
x=-1,x=1
であると書いた方がいいでしょう。
No.54172 - 2018/10/03(Wed) 20:35:24
☆ Re: 高一数学 / 隣家
ありがとでした！
No.54178 - 2018/10/03(Wed) 21:56:08
★ 三平方の定理 / 中学数学苦手
答え（２）２√３　どの様にして解いていったらいいのか解りません。詳しい解説お願いします。
No.54165 - 2018/10/03(Wed) 18:40:34
☆ Re: 三平方の定理 / らすかる
∠BEC=60°のとき∠BAD=180°-∠BEC=120°
∠BCD=180°-∠BAD=60°
円の中心をOとすると∠BOD=120°
OからBDに垂線OHを引くとBO：OH：BH=2：1：√3なのでBH=(√3/2)BO=√3
従ってBD=2BH=2√3
No.54175 - 2018/10/03(Wed) 21:06:35
☆ Re: 三平方の定理 / noname
点Bを通り線分ACに垂直な直線を引き、線分ACとの交点をF，円周との交点をGとする。AB=BCなのでBGは直径であり，∠BDG=90°
△BEF∽△BGDで，∠BGD=60°
BD=BG×√3/2=2√3
No.54176 - 2018/10/03(Wed) 21:23:47
☆ Re: 三平方の定理 / 中学数学苦手
解説ありがとうございます。AB=BCなのでBGは直径であり，∠BDG=90°BGが直径であるのがよく解りません。
No.54192 - 2018/10/04(Thu) 07:29:38
☆ Re: 三平方の定理 / らすかる
△ABCはAB=BCの二等辺三角形なので
BからACに下ろした垂線BFはBCの垂直二等分線です。
弦の垂直二等分線は、必ず直径になります。
（弦の垂直二等分線は円の中心を通る、と書いても同じ意味です）

あるいは、
AB=BC,∠ABG=∠CBG,BG共通により△ABG≡△CBG
よって∠GAB=∠GCB
そして∠GAB+∠GCB=180°なので∠GAB=∠GCB=90°
∴∠GDB=∠BAB=90°
のようにも示せます。
No.54193 - 2018/10/04(Thu) 12:45:55
★ グラフの概要 / 大学受験
場合わけをして一つ一つ考えてグラフを書くことはできます。しかし、簡単に、早く、グラフを書くことができません。
いい方法がございましたらご教授お願いします。
No.54160 - 2018/10/03(Wed) 16:37:24
☆ Re: グラフの概要 / らすかる
いい方法かどうかわかりませんが

(1)y=xのグラフを描く
(2)2倍して1引く（x=1を中心として上下に2倍に拡大する）
(3)絶対値をとる（y＜0の部分をx軸に関して折り返す）
(4)1から引く（x=1/2を中心として上下を反転する）
(2)〜(4)を4回繰り返せば描けます。
いちいち正確に書く必要はありません。
重要なポイント（折り返す位置とx軸との交点ぐらい）だけ
おさえておけば描けます。

最初の(4)までで(1/2,1)→(0,0)の半直線と(1/2,1)→(1,0)の半直線
次の(2)で(1/2,1)→(1/4,0)の半直線と(1/2,1)→(3/4,0)の半直線
(3)で折り返してW形になり、(4)でM形になる
このときの形は(1/4,1)→(0,0)の半直線と(1/4,1)→(1/2,0)の線分と
(3/4,1)→(1/2,0)の線分と(3/4,1)→(1,0)の半直線
次の(2)で(1/4,1)と(3/4,1)を動かさずに下方向に2倍に延ばす
(3)で折り返してWW形になり、(4)でMM形になる
そしてもう一度やるとMMMM形になる
No.54164 - 2018/10/03(Wed) 18:13:32
☆ Re: グラフの概要 / IT
記法も含めて厳密ではないですが　イメージとしては

f(0)=0,f(1/2)=1,f(1)=0で途中は直線で結ばれ
f(0→1)=(0→1→0),f(1→0)=(0→1→0) なので
f(f(0→1))=f(0→1→0)=(0→1→0→1→0)
f(f(f(0→1)))=f(0→1→0→1→0)=(0→1→0→1→0→1→0→1→0)
f(f(f(f(0→1))))=(0→1→0→1→0→1→0→1→0→1→0→1→0→1→0→1→0)
No.54200 - 2018/10/04(Thu) 22:06:28
★ 鎌倉学園 算数選抜 2⃣ / しゅう👦🏻
図の意味はわかりましたが、(2)(3)(4)がわかりません。どういうふうに解けばいいんでしょうか？よろしくお願いいたします！
No.54157 - 2018/10/03(Wed) 14:23:33
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 2⃣ / ヨッシー
(1)
犬を連れた兄と、犬を連れていない妹が
11分後に出会っているので、
　1320÷11＝120
　120−45＝75(m/分)　・・・答え
ついでに、犬を連れた妹の速さを求めると、
両者は12分後に出会っているので、
　1320÷12＝110
　110−60＝50(m/分)
(2)
犬にとって見れば、兄の方向を進み、妹の方向を戻りとすると、
　75×11＝825(m) 進んで、
　50×12＝600(m) 戻る
を繰り返すので、
　825−600＝225(m)　・・・答え
(3)
同様に
　825−600＋825−600＋825＝1275
　1320−1275＝45(m)　・・・答え
(4)
犬が進み方向に1320進むとＡに戻ります。
６回目に出会った時点(69分後)で、675m 進んでいるので、
そこから、
　1320−675＝645(m)
進むとＡに戻るので、
　645÷75＝8.6
　69＋8.6＝77.6
答え　77分36秒
No.54158 - 2018/10/03(Wed) 16:12:07
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 2⃣ / しゅう👦🏻
解答送り忘れてすみません。解答です。
No.54159 - 2018/10/03(Wed) 16:30:29
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 2⃣ / しゅう👦🏻
ありがとうございます！とてもよく理解できました。✍🏻
No.54161 - 2018/10/03(Wed) 16:38:24
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 2⃣ / しゅう👦🏻
ヨッシー先生、ありがとうございます！よくわかりました。
No.54162 - 2018/10/03(Wed) 16:39:16
★ 鎌倉学園 算数選抜 / しゅう👦🏻
(1)は、わかったのですが(2),(3),(4)のやり方がどうしてもわからないので、解説をよろしくお願いいたします！
No.54148 - 2018/10/03(Wed) 10:14:24
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 / しゅう👦🏻
規則性がわかりません。
No.54149 - 2018/10/03(Wed) 10:50:15
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 / らすかる
規則性は
左上端に1
1の右に2
2の左下に3
3の下に4、4の右上に5、5の右上に6
6の右に7、7から左下方向に順に8,9,10
10の下に11、11から右上方向に順に12,13,14,15
以下同様に
左下方向に16〜21
右上方向に22〜28
・・・
です。
No.54150 - 2018/10/03(Wed) 11:52:03
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 / しゅう👦🏻
答えの出し方は、どうすればいいですか？
No.54151 - 2018/10/03(Wed) 11:55:47
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 / しゅう👦🏻
何に注目してとけばいいのですか？
No.54153 - 2018/10/03(Wed) 12:55:18
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 / らすかる
考え方はいろいろあると思いますが、例えば…

白マスの一つ右の黒マスの数字が
白マスよりいくつ多いかを観察すると
1行目は1多い
2行目は3多い
3行目は5多い
4行目は7多い
・・・
となっていますね。
同様に、黒マスの一つ下の白マスの
数字は、黒マスの数字より
1列目は1多い
2列目は3多い
3列目は5多い
4列目は7多い
・・・
のようになっています。
よって
6行6列=50+11=61 （6列目は11多いので）
7行7列=61+11+13=85 （6行目の白の右は11多く、7列目の黒の下は13多い）
8行8列=85+13+15=113 （7行目の白の右は13多く、8列目の黒の下は15多い）

8行8列の白マスの右は15多いので113+15=128
黒マスの左下は1多いので128+1=129
8行9列の黒マスの下は17多いので128+17=145
よって
113 128
129 145
となります。

○行○列（白マス）の一つ上は○列の黒マスなので○×2-1少ないです。
つまりA=X-(○×2-1)=X-○×2+1
BはAより1多いのでB=X-○×2+2
DはAより○×2-1多いのでD=X+○×2-1
CはDより1多いのでC=X+○×2
全部足すと
A+B+C+D=X×4+2
よって3046から2を引いて4で割れば
3046-2=3044、3044÷4=761と求まります。、
No.54154 - 2018/10/03(Wed) 13:05:29
☆ Re: 鎌倉学園 算数選抜 / しゅう👦🏻
らすかる先生、ありがとうございます！よくわかりました。
No.54163 - 2018/10/03(Wed) 16:41:22
★ 確率 / ゆうき
1~nまでの整数を書いた玉がそれぞれ２つずつ2n個数ある。同時に２つの玉をとりだすときに小さい数がかかれたのがy　大きい数がかかれたのがxとする。
X=1の確率をもとめよ
分母が2nC1は、わかるのですが
分子はx　y共に１しかとらないので１通りでいいのでしょうか？

あと気になったのですがこれと全く違う問題で
1~nまでかかれた玉が2個ずつあってそこから3と4を取り出す確率をきかれたら同じ３でも確率では区別することになっているために分子は4C2ですか？
No.54142 - 2018/10/03(Wed) 00:38:28
☆ Re: 確率 / らすかる
前半は
> 分母が2nC1は、わかるのですが
この部分が間違いですが、1通りはその通りです。
後半は3が2通り4が2通りなので2^2=4です。
4C2では「3が2個」と「4が2個」が含まれてしまいます。
No.54143 - 2018/10/03(Wed) 01:46:30
★ 模試 / 受験生
この問題の解答解説を作ってください
No.54136 - 2018/10/02(Tue) 21:45:55
☆ Re: 模試 / ヨッシー
(1)
ｘ＝２ における Ｃ1 の微分係数は
　ｙ’＝２ａｘ−１
より　４ａ−１。
点(2, 4a−1) を通り、傾き 4a−1 の直線は
　ｙ＝(4a−1)(x−2)＋4a−1
　ｙ＝(4a−1)ｘ−(4a−1)

(2)
ｘ＝２ における Ｃ2 の微分係数は
　ｙ’＝２ｂｘ
より　４ｂ。
ｌとｍが直交することより
　(4a−1)・4b＝−１
一方、ｘ＝２ で、Ｃ1 と Ｃ2 が交わることより
　4a−1＝4b＋2
これらを解いて
　ｂ＝−1/4、ａ＝1/2

(3)
(2) のとき
　Ｃ1：ｙ＝(1/2)(x−1)^2＋1/2
　Ｃ2：ｙ＝−ｘ^2/4＋２
より、Ｐ(1, 1/2)、Ｑ(0, 2)
よって、直線ＰＱの式は
　ｙ＝(-3/2)x＋2
Ｃ1 と Ｃ2 を連立させた
　(3/4)ｘ^2−ｘ−１＝０
の解は　ｘ＝２，-2/3
以上より、グラフは下のようになります。

　Ｓ1＋Ｓ2＝(3/4)(2＋2/3)^3/6＝64/27
　Ｓ1＝∫[0〜1]{(−ｘ^2/4＋２)−(-3x/2＋2)}dx＋∫[1〜2](-3x^2/4＋ｘ＋１)dx
　　＝2/3＋3/4＝17/12
　Ｓ2＝64/27−17/12＝103/108
よって、
　Ｓ1/Ｓ2＝17/12÷103/108＝153/103
No.54145 - 2018/10/03(Wed) 07:35:07
★ 場合の数 / 旭
この問題、どうして5C3の式で正しい答えが出ないのですか？
No.54133 - 2018/10/02(Tue) 20:54:31
☆ Re: 場合の数 / X
逆にお聞きしますが5C3とした理由は何でしょうか？
No.54135 - 2018/10/02(Tue) 21:15:39
☆ Re: 場合の数 / 旭
5個の数字から3つ選んで1列をつくる、とあったのでそうしました。
No.54139 - 2018/10/02(Tue) 22:04:31
☆ Re: 場合の数 / X
それだったら組み合わせではなく順列で計算しなればなりませんよね。
しかしこの問題の場合は5個の文字のうち、3つが同じですので
単純な順列とはなりません。
(つまり組み合わせの式の代わりに
順列の式を使っても誤りです。)

まず選んだ3文字のうち
全て異なるような列の数は
3P3=3!=6[通り]
2文字のみが同じとなる列の数は
{3!/(2!1!)}・2=6[通り]
3文字が同じである列の数は
1[通り]
∴求める場合の数は
6+6+1=13[通り]
となります。
No.54141 - 2018/10/02(Tue) 22:17:29
★ ベクトル / 優美
a→=(1/2(√3+1),1,1/2(√3-1))、b→=(1,0,1)、c→=(1,0,-1)とし、原点をOとして、OP→=a→+(cost)b→+(sint)c→で定められる点Pはtが0から2πまで動くときある平面上で半径る2の円をえがくことを示せ。

ヒントに、『OQ→=(cost)b→+(sint)c→で定まるQはtが0こら2πまで動くにつれてb→とc→の張る平面上、原点を中心としてb→をc→に向かって角tだけ回転したものである。』とあるんてすが、このヒントの意味がよくわかりません。

よろしくお願いします。
No.54132 - 2018/10/02(Tue) 20:22:25
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
上の問題とは関係のない次の問題を考えます。

ｘｙ 平面上で、ベクトルａ＝（１，０）、ｂ＝（０，１）に対して
　cosｔａ＋sinｔｂ
すなわち
　(cosｔ、sinｔ)
で表される点Ｐは、ａとｂの張る平面、すなわちｘｙ平面上で円を描く。
詳しくいうと、点Ｐは、ａをｂに向かってｔだけ回転した点である。

というのは分かりますか？
No.54146 - 2018/10/03(Wed) 07:49:33
★ 数III / ブルア
Oを原点とする座標平面上における曲線C:(x^2)/4+9y^2/4=1 上に点P(√3,1/3)をとる。

⑴Cの接戦で直線OPに平行なものは
y=アx+イ
y=ウx-エ である。

⑵点QがC上を動く時、△OPQの面積の最大値Sと最大値を与えるQの座標Q_1、Q_2を求めよ。

S=オ/カ
Q_1(キ,(-√ク)/ケ)
Q_2(-コ,(√サ)/シ)

よろしくお願いします。
No.54131 - 2018/10/02(Tue) 20:09:19
☆ Re: 数III / X
(1)
方針を。
条件から求める接線の方程式は
y={1/(3√3)}x+k
(kは定数)
と置くことができます。
これをCの方程式に代入して得られる
xの方程式が重解を持つ条件から
解の判別式を使ってkの方程式を立てます。

(2)
条件から
cos∠POQ=↑OP・↑OQ/(OP・OQ)
∴sin∠POQ=√{1-(↑OP・↑OQ/(OP・OQ))^2}
∴△OPQの面積をTとすると
T=(1/2)OP・OQsin∠POQ
=(1/2)√{(OP・OQ)^2-(↑OP・↑OQ)^2}
となるのでQ(x,y)と置くと
T=(1/2)√{(28/9)(x^2+y^2)-(x√3+y/3)^2}
=(1/2)√{(1/9)x^2-2xy√3+3y^2}
=(1/2)|x/3-y√3| (A)
∴T^2=(1/4)|x/3-y√3|^2
={x/6-(y√3)/2}^2
={(1/3)(x/2)+(-1/√3)(3y/2)}^2
となるのでコーシー・シュワルツの不等式により
T^2≦{(1/3)^2+(-1/√3)^2}{(x^2)/4+(9y^2)/4}
(不等号の下の等号は
(x/2):(3y/2)=(1/3):(-1/√3)
つまりx=-y√3 (B)
のとき成立)
これにCの方程式を代入すると
T^2≦4/9
∴T≦2/3
ここで(B)とCの方程式を連立して解き
(x,y)=(-1,1/√3),(1,-1/√3)
∴
S=2/3
Q[1](1,-(√3)/3),Q[2](-1,(√3)/3)

注)
(A)を求めた上で以下の方針で解く別解も
あります。

まず
(i)x/6-(y√3)/2≧0のとき
(ii)x/6-(y√3)/2＜0のとき
に場合分けをした上で絶対値を外します。
次に絶対値を外して得られた方程式を使って
Cの方程式からyを消去し、xの二次方程式
を導きます。
このxの二次方程式が実数解を持つ条件から、
解の判別式を使い、Tについての不等式を
導きます。

しかし、こちらの方針は場合分けを
している分だけ、計算が煩雑になり
お勧めできません。
No.54134 - 2018/10/02(Tue) 21:13:09
★ (No Subject) / みなと
正の整数nにたいして正2n+1角形の三つの頂点を結んでできる鈍角三角形の個数を求めよ。

私はまず頂点にA1 A2 〜 A2n+1とつけました。
するとA1A3からA1An+1の頂点を結んだ際に鈍角三角形ができるので
A1A3の時にできるのは1つ
、、、
A1An+1のときは2n+1-(n+1)からn個の頂点と結べばできるのでn個

よって(2n+1)(1+2+3+、、、+n)を答えにしたのですが、答えでは(2n+1)(1+2+3+、、、+(n-1))
でした。かんがえてもわかりません。
A1An+1のときになぜnこではなくn-1しかできないのですか？？？
No.54129 - 2018/10/02(Tue) 17:57:27
☆ Re: / らすかる
> するとA1A3からA1An+1の頂点を結んだ際に鈍角三角形ができるので
これの意味がよくわからないのですが、
A1とA3で一つといったらA2ではないのですか？

2鋭角頂点がA1とA3のとき鈍角頂点はA2のみで1つ
2鋭角頂点がA1とA4のとき鈍角頂点はA2とA3の2つ
2鋭角頂点がA1とA5のとき鈍角頂点はA2,A3,A4の3つ
・・・
と行けば
2つ目の頂点がA3のとき1つ、A4のとき2つ、…
のようにA○の○の数-2ですから
A1とA[n+1]のときはn-1個になりますね。
No.54130 - 2018/10/02(Tue) 18:27:25
★ 中学受験 / しゅう👦🏻
解説の図の意味がわかりません。どうしてこういう図になるのですか？？
No.54125 - 2018/10/02(Tue) 14:51:40
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
問題と解説の図です。
No.54126 - 2018/10/02(Tue) 14:53:03
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
よろしくお願いします！
No.54127 - 2018/10/02(Tue) 14:53:46
☆ Re: 中学受験 / らすかる
筒状のものに紙を巻き付け、上の図のように線を書き入れてから
紙を広げればよくわかると思います。実際にやってみるのが一番です。
No.54128 - 2018/10/02(Tue) 16:52:03
★ 中学受験 入試問題演習 / しゅう👦🏻
途中までわかったのですが、赤いラインのところがわかりません。よろしくお願いします！
No.54122 - 2018/10/02(Tue) 08:24:24
☆ Re: 中学受験 入試問題演習 / らすかる
(ア)=△+△+△+△+□+□-2
(イ)=△+△+△+□+□+□+5
(ア)と(イ)が等しいということは
△-2=□+5なので
△は□より7多い
No.54123 - 2018/10/02(Tue) 08:42:38
☆ Re: 中学受験 入試問題演習 / しゅう👦🏻
ありがとうございます。よくわかりました！
No.54124 - 2018/10/02(Tue) 13:42:37
★ ABC定理 / 1
次の等式を満たす多項式A, Bを求めよ。
A^2 = B^5 + x^2 <解答>
1 A,B,xのどの2つも互いに素のとき、ABC 定理より、
max (deg A^2, deg B^5, deg x^2) < deg rad(A^2B^5x^2)
2degA < degA+degB+1
5degB < degA+degB+1
2 < degA+degB+1
これから、0 < deg B < 2 /3となり、これを満たす整数 deg B は存在しない。


このdegrad(x^2)が1になる箇所とdegBの最終的な範囲の導き出し方がわかりません。教えて頂きたいです。
No.54111 - 2018/10/01(Mon) 16:41:07
☆ Re: ABC定理 / ast
前半: rad が何か知らない (調べる気もない) が, rad(A^2B^5x^2) = ABx になるようなものなら deg rad(x^2) = deg x = 1 は自明ではないかと. そのようなものでないなら知らない.

後半: 入力面倒くさいので, ここでは deg A =:a, deg B =: b と書くけど
2a < a+b+1 から a < b+1 …[1],
5b < a+b+1 から 4b < a+1 …[2],
2 < a+b+1 から 1 < a+b …[3].

[1][2] から 4b < (b+1)+1 なので 3b < 2, つまり b < 2/3 …[X].
[1][3] から 1 < (b+1)+b なので 0 < 2b, つまり 0 < b … [Y].
[X][Y] をまとめて書けば所期の結果を得る.
No.54144 - 2018/10/03(Wed) 03:05:16
☆ Re: ABC定理 / １
ありがとうございます！助かりました。
No.54147 - 2018/10/03(Wed) 09:06:15
★ 高校数学の難問#2 〜確率〜 / 鉄門に集いし100人の精鋭
　ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率1/2で出るとする。この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出た時点で終了する。正の整数nに対し，操作がn回以上繰り返される確率をP[n]とするとき，
　　n≧4 ならば P[n]<(3/4)^{(n-3)/4}
が成立することを示せ。
No.54105 - 2018/10/01(Mon) 10:36:39
☆ Re: 高校数学の難問#2 〜確率〜 / ヨッシー
これは、高校数学の難問#1 と同じく、
回答者の腕試し用問題ですか？

>正解！
>お見事です。👏
No.54107 - 2018/10/01(Mon) 10:46:21
☆ Re: 高校数学の難問#2 〜確率〜 / 鉄門に集いし100人の精鋭
>ヨッシーさん
　「腕試し」というよりも，私が出会った興味深い問題を数学愛好家の皆さんと共有し，皆さんがそうした問題をどのような切り口で攻略するのかを観察・分析することで，自らの数学的素養を高めたいという思いから投稿させていただいています。
　もちろん，回答者の皆さんがそれをどのように捉えるかは自由ですので，ヨッシーさんが仰るように「腕試し」として解いてくださっても一向にかまいません。
No.54108 - 2018/10/01(Mon) 10:57:14
★ 香川大学医学部 整数問題 / kitano
香川大学医学部 整数問題

宜しく御願い致します。

問題、及び、私の考え方

鮮明 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

https://imgur.com/a/rG0Svg5

※ 質問は(3) のみです、

アドバイス頂けると幸いです。
No.54103 - 2018/10/01(Mon) 07:17:12
☆ Re: 香川大学医学部 整数問題 / X
方針自体に問題はありません。
但し、
→の所は⇒
同値関係を示す両矢印は
⇔
をそれぞれ使う方がいいです。
No.54109 - 2018/10/01(Mon) 13:22:01
☆ Re: 香川大学医学部 整数問題 / kitano
X様

今回も、お世話になりました。

今後も、宜しく、御願いいたします。
No.54121 - 2018/10/02(Tue) 06:04:45
★ 助けてください / 坂下
画像の問題で、(a,0,0)(0,a,0)(0,0,a)にあった３点が３枚目の図のように、座標空間上で回転変換された点を求めたいとします。
(a,0,0)が(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）（球上の点への変換）へと移った時
他の２点はどの点に移るかを調べるにはどうすればよいのですか？
線形代数は一応勉強したのですが、具体的な応用方法にくわしくなく、困っています。
No.54091 - 2018/09/30(Sun) 17:41:17
☆ Re: 助けてください / 坂下
２枚目です
No.54092 - 2018/09/30(Sun) 17:41:59
☆ Re: 助けてください / 坂下
３枚目です
No.54093 - 2018/09/30(Sun) 17:42:38
☆ Re: 助けてください / ヨッシー
(a,0,0)が(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）へと移るというのは、
・ｙ軸周りにθ−90°回転
・ｚ軸周りにφ回転
したものですから、
　(a,b,c)→(csin(θ−90°)+acos(θ−90°), b, ccos(θ−90°)−asin(θ−90°))
　　　　　＝(−ccosθ＋asinθ, b, csinθ＋acosθ)
　　　→((−ccosθ＋asinθ)cosφ−bsinφ, (−ccosθ＋asinθ)sinφ＋bcosφ, csinθ＋acosθ)
よって
　(a,0,0)→(asinθcosφ, asinθsinφ, acosθ)
　(0,b,0)→(−bsinφ, bcosφ, 0)
　(0,0,c)→(−ccosθcosφ, −ccosθsinφ, csinθ)
となります。
No.54098 - 2018/09/30(Sun) 20:46:12
☆ Re: 助けてください / IT
(a,0,0) の行き先だけでは、移動が一意に決まらないような気がしますが　何か条件があるのでしょうか？
No.54100 - 2018/09/30(Sun) 21:43:24
☆ Re: 助けてください / 坂下
ありがとうございます。
No.54101 - 2018/09/30(Sun) 23:11:21
☆ Re: 助けてください / 関数電卓
> 移動が一意に決まらない
移動の最短経路は始点と終点を結ぶ大円。
経路は一意には決まらないが，各点の行き先は一意に決まる。
No.54102 - 2018/10/01(Mon) 06:47:28
☆ Re: 助けてください / らすかる
> 関数電卓さん
3点あるうちの1点の移動先が決まっても、
移動方法が提示されていなければ
残りの2点がどこに移動するかは決まらないと思います。
移動先が決まっている1点からの距離だけはわかりますが。
No.54110 - 2018/10/01(Mon) 14:59:32
☆ Re: 助けてください / 関数電卓
要求は
O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,a,0)，C(0,0,a)，D(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）とするとき、四面体 OABC を O を通り平面 OAD に垂直な回転軸の回りに回転させる

ことではないのですか？
No.54112 - 2018/10/01(Mon) 19:16:27
☆ Re: 助けてください / 関数電卓
あ！ そうか!!
回転軸が原点を通るとは限らない、ということですね!!
そのとおりですね。失礼しました。
ですが、スレ主さんの要求は、きっと O を中心とする球面上の回転なのでしょう ??!!??
No.54113 - 2018/10/01(Mon) 19:30:19
☆ Re: 助けてください / らすかる
回転軸が原点を通らない場合は考えていません。
三次元で回転を考える場合、普通はヨッシーさんが書かれているように
x,y,z軸に関する回転を二つ組み合わせると思います。
このとき、(a,0,0)が決まったある点に移動するような回転方法は
複数あり、一意には決まらない、という意味で言っています。
No.54117 - 2018/10/01(Mon) 21:23:23
☆ Re: 助けてください / 関数電卓
あ〜〜！！ その通りですね。

No.54112 の記号で言うと、
原点を通り平面 OAD に垂直な軸の回りに A を D まで移転させた後、OD を軸として B,C を回転させる不定さが残る

ということですね。大変失礼しました。
No.54118 - 2018/10/01(Mon) 21:58:41
☆ Re: 助けてください / IT
ヨッシーさんのNo.54098 をみると分かるように
２軸による回転の連続では、すべての移動を表現することはできないのでは？
３軸による回転の連続が必要だと思います。
> よって
> 　(a,0,0)→(asinθcosφ, asinθsinφ, acosθ)
> 　(0,b,0)→(−bsinφ, bcosφ, 0)
> 　(0,0,c)→(−ccosθcosφ, −ccosθsinφ, csinθ)
> となります。
(0,b,0)→(−bsinφ, bcosφ, 0)でz座標が0にしかできない。
No.54119 - 2018/10/01(Mon) 22:16:24
☆ Re: 助けてください / らすかる
あ、そうですね。3軸必要でした。ということは
「(a,0,0)が(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）へと移る」は
・ｙ軸周りにθ−90°回転
・ｚ軸周りにφ回転
ではなく
・ｘ軸周りにψ回転
・ｙ軸周りにθ−90°回転
・ｚ軸周りにφ回転
なのかも知れませんね。
（x軸周りの回転では(a,0,0)は動かないため）
No.54120 - 2018/10/01(Mon) 22:40:58
★ (No Subject) / みなと
T=cos2θのとき
Sin5θ/sinθをTで表せ。

このような問題を二次試験やセンターで見るのですが、ほぼ毎回　時間をたくさんかけて計算してしまい、しかも答えが出ません。解答を見るともちろんわかりますが本番中に[３倍角を使うか？もしくは3θをθと2θに分けるか？]まずここで勝敗を分けてしまいそこから先も[２倍角？θとθに分けるか？]でまた間違えて、、、を永遠に繰り返してしまいます。
この手はどのように解けばよいのでしょうか？
No.54084 - 2018/09/30(Sun) 03:38:20
☆ Re: / らすかる
「どのように解くのがよいか」はよくわかりませんが、
私なら多分次のように解くと思います。

cosθ=c,sinθ=sとおくと
sin2θ=2sc
cos2θ=c^2-s^2=2c^2-1
sin3θ=2sc^2+s(2c^2-1)=s(4c^2-1)
cos3θ=c(2c^2-1)-2s^2c=c(4c^2-3)
sin5θ=2sc^2(4c^2-3)+s(2c^2-1)(4c^2-1)
=s(16c^4-12c^2+1)
∴sin5θ/sinθ=16c^4-12c^2+1
=4(T+1)^2-6(T+1)+1　（∵2c^2=T+1）
=4T^2+2T-1
No.54085 - 2018/09/30(Sun) 04:28:37
☆ Re: / IT
数３を習っていればド・モアブルの定理を使うとｎ倍角の公式が機械的に求められます。

ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)　(nは整数)

n=5,cosθ=c,sinθ=sとおくと
(c+is)^5=cos(5θ)+isin(5θ)
左辺を展開し係数比較し（isの奇数乗の各係数をパスカルの三角形で求めます）

sin(5θ)=5(c^4)s-10(c^2)(s^3)+s^5 が機械的に計算できます。

（センターだと　誘導小問なしにいきなり　こんな面倒な計算は出ないでしょうから直接は使えませんが、検算には使えるかも）

なお、その問題の場合はθ=π/6,π/4,π/2 のときなどで検算すると計算間違いが見つけられる場合があります。

さらにセンター試験でsin5θ/sinθ=aT^2+bT+c の形が分かっていて　a,b,cを求める穴埋め式問題なら 特定のθでの値からa,b,cを求めることができます。

θ=π/4 のとき　sin5θ/sinθ=-１,T=0より,　c=-1
θ=π/2 のとき sin5θ/sinθ=１,T=-1より, a-b-1=1
θ=π/6 のとき sin5θ/sinθ=１,T=1/2より, (1/4)a+(1/2)b-1=1
よって　a=4,b=2
No.54087 - 2018/09/30(Sun) 08:06:19
☆ Re: / ヨコハマ
T = (1 - 6 s^2 + s^4)/(1 + s^2)^2,
U = (5 - 60 s^2 + 126 s^4 - 60 s^6 + 5 s^8)/(1 + s^2)^4
　　　　から　s を消去すれば　叶います。

No.54090 - 2018/09/30(Sun) 10:51:33
★ (No Subject) / 日本語の求道者
「〜を満たす○○を求めよ」という問題に対し、「題意を満たす○○は存在しない」のように解答する場合がありますが、これは日本語として疑問文と応答文が適切に対応していると言えるのでしょうか？
No.54078 - 2018/09/29(Sat) 21:29:38
☆ Re: / はい
はい
No.54079 - 2018/09/29(Sat) 21:43:07
☆ Re: / はい
はい
No.54080 - 2018/09/29(Sat) 21:43:25
☆ Re: / TANTAN麺
「何も道具を使わずに空を飛んでください」と要求された場合に「出来ません」と答えることは日本語として不適切ですか？

更に数学などの言語では”存在しない”という事の意味を抽象化した”０”や”空集合”などという対象をその言語の中に持ち込んでいます。
このような言語概念の拡張によって、特に数学的な思考としては、”〜と満たす対象”とは”存在し得ない対象”であると表現することによって存在の提示を肯定的に応答することが出来て、質問者さんの疑問はその旨の自然な言い換えですよ。
No.54089 - 2018/09/30(Sun) 10:12:59
☆ Re: / 日本語の求道者
>TANTAN麺様
ご回答ありがとうございます。大変勉強になりました。
また質問させていただくことがあるかも知れませんが、その節はどうぞよろしくお願いいたします。
No.54099 - 2018/09/30(Sun) 20:57:45
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