ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 西大和中学 / なはた

写真の問題、解法が分からず困ってます。答えは1が1:2 2が7㎠ということはわかってます。どなたか、お願いします。

No.55305 - 2018/11/28(Wed) 23:47:34

☆ Re: 西大和中学 / らすかる

1
△BMA=△BDM, △DBN=△DNCなので
四角形ABCD=△BMA+△BDM+△DBN+△DNC
=2(△BDM+△DBN)=2×四角形MBNDとなり
1：2です。

2
1と同様に四角形ANCMも四角形ABCDの半分です。
よって四角形MBND+四角形ANCM=四角形ABCD
ところが
四角形ABCD=四角形MBND+四角形ANCM-四角形MPNQ+△ABP+△CQD
なので、
四角形MPNQ=△ABP+△CQD=7cm^2となります。

No.55307 - 2018/11/29(Thu) 00:13:44

★ 確率の解答お願いします / 確率

難しくて解けません。よろしくお願いします。

No.55301 - 2018/11/28(Wed) 18:47:26

☆ Re: 確率の解答お願いします / 確率

こちらもお願いします

No.55302 - 2018/11/28(Wed) 18:48:44

☆ Re: 確率の解答お願いします / GandB

　誰か親切な人が回答してくれると思うが、この手の基本問題は

　　赤玉白玉青玉　確率
　　サイコロ　数直線上で動く点P

などで検索したら似たような問題がいっぱい出てくるので、その解答例を見た方が手っ取り早い。それを見てもよくわからなかったときは、改めてここで質問する方が、より理解が深まると思う。

No.55303 - 2018/11/28(Wed) 20:18:07

☆ Re: 確率の解答お願いします / 確率

ご親切にありがとうございます🙏
様々な解法を検索して分からなかったらまた来ます🙏

No.55304 - 2018/11/28(Wed) 20:43:43

★ 微分 / ケンタッキー

初めまして。
添付したファイルに記載されている微分ついてご質問させてください。

y=f(x)=x³ のグラフの点(2,8)における接線の方程式は以下となります。
y=12x-16 ・・・ ?@
y=f(x)=x³から、求まった接線の関数y=g(x)=12x-16を引き算すると以下となります。
L(x)=f(x)-g(x)=x³-12x+16・・・ ?A
(1) ?Aにおいて、どうして曲線と接線を引き算するのでしょうか？
何のために、引き算するとどうなるのか教えて頂きたいです。
(2) 解説にある「xが２に小さいときは、小数点以下のケタを考えて、(x-2)は、２乗より３乗の方がひとまわり小さい数になる」とありますが、これはどういうことでしょうか。

拙い文章で申し訳ございませんが、宜しくお願いします。

No.55298 - 2018/11/28(Wed) 15:56:24

☆ Re: 微分 / noname

たぶん、微分係数が確かに接線の傾きを表していることを確かめようとしている内容ですね。
微分係数を求めて直線の式を作ったはいいけど、これ本当に接線なのかと。
それを調べるために、もとの曲線と求めた直線の"高さの差"を求めようと考えたのが、f(x)-g(x)です。

No.55299 - 2018/11/28(Wed) 17:55:01

★ 三角関数 / ホムラ

初めて利用させていただきます。
160番のエがわかりません。イの答えを利用するらしいのですが、
解説が簡素すぎて困っています。
解説お願いします。

ちなみに、(ア)2t+1
(イ)4t²+2t－1
(ウ)π/3

よろしくお願いします。

No.55294 - 2018/11/28(Wed) 15:34:23

☆ Re: 三角関数 / ホムラ

(ウ) π/5でした。すみません。

No.55295 - 2018/11/28(Wed) 15:35:50

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

θ＝π/5 とおいたときのｔが cos(2π/5) なので、
(イ) の結果より
　4t^2＋2t－1＝0
これを解くと
　ｔ＝(-1±√5)/4
0＜ｔ＜１より
　ｔ＝cos(2π/5)＝(-1＋√5)/4

No.55297 - 2018/11/28(Wed) 15:53:24

★ 微分について / ケンタッキー

初めまして。
微分(添付したファイル)についてご質問させてください。

y=f(x)=x³ のグラフの点(2,8)における接線の方程式は以下となります。
y=12x-16 ・・・ ?@
y=f(x)=x³から、求まった接線の関数y=g(x)=12x-16を引き算すると以下となります。
L(x)=f(x)-g(x)=x³-12x+16・・・ ?A
(1) ?Aにおいて、どうして曲線と接線を引き算するのでしょうか？
何のために、引き算するとどうなるのか教えて頂きたいです。

No.55290 - 2018/11/28(Wed) 10:56:24

☆ Re: 微分について / noname

添付間違ってます！個人情報！

No.55291 - 2018/11/28(Wed) 12:35:55

☆ Re: 微分について / ヨッシー

画像ファイルを削除しました。

貼り直してください。

No.55292 - 2018/11/28(Wed) 13:56:42

★ (No Subject) / 文系

2001年の京都大学文系の問題で、

未知数xに対する方程式x5+x4-x³+x²-(a+1)x+a=0が、虚軸上の複素数を解に持つような実数aをすべて求めよ。

とあったのですが、虚軸上って意味がわからなくて困惑しました。文系で習いますか？複素数平面の範囲じゃないのですか？

No.55283 - 2018/11/28(Wed) 02:28:22

☆ Re: / 文系

問題書き直します

未知数xに対する方程式x^5x^4-x^3+x^2-(a+1)x+a=0が、虚軸上の複素数を解に持つような実数aをすべて求めよ。

No.55284 - 2018/11/28(Wed) 02:31:44

☆ Re: / X

虚軸上の複素数
とは純虚数ということです。
それを踏まえてもう一度考えてみましょう。

No.55286 - 2018/11/28(Wed) 05:07:10

☆ Re: / 匿名希望

虚軸上の複素数
＝実部が0の複素数
＝bi（ただしbは実数、iは虚数単位）と表される複素数
＝0または純虚数
ということだろうと思います。

No.55289 - 2018/11/28(Wed) 09:45:21

☆ Re: / ont

2001年当時は複素数平面は数Bでした。
なので文系数学で出題されててもおかしくないです。

まあ、今のカリキュラムでも、2016年度文系問5とかは複素数平面使ったらかなり楽に解けるので（勿論IIBまででも解けるけど）、京大は範囲がどうとかにあまりこだわってない節がある。

No.55300 - 2018/11/28(Wed) 18:14:01

☆ Re: / 関数電卓

a＝(√2－1)/2 のとき与式は

　(x^2＋1/√2)(x^3＋x^2－(1＋1/√2)x＋1－1/√2)＝0

と因数分解されるので、与式は純虚数解 x＝±1/√(√2)i をもちます。
他の 3 つは実数解のようですが、私は求めることができません。
x＝bi とおいて与式に代入し、a と b の連立方程式を解くだけだから、難しくはないが計算が煩わしかった。

No.55306 - 2018/11/28(Wed) 23:52:02

☆ Re: / IT

０を解に持つときa=0

純虚数解bi（bは０でない実数）を解に持つとき
(b^5)i+b^4+(b^3)i-b^2-(a+1)bi+a=0
実部と虚部に分けると
b^4-b^2+a=0 …(1)
b^5+b^3-(a+1)bi=0…(2)
b≠0なので　b^4+b^2-a-1=0…(2)'
(1)+(2)'　2b^4-1=0
　∴　　　b^4=1/2,
bは実数なので b^2=√(1/2)
これと(1)より　a=√(1/2)-1/2

逆の確認は要らない気がしますが念のためやった方が無難かも知れませんね。

No.55309 - 2018/11/29(Thu) 00:59:41

★ (No Subject) / まゆ

円cの周上に二点a b をとり、直線abに関して円cに対称な図をかいたときに、なぜその円の中心は元の円の中心のabに関して対称な点になり、半径は同じになるのでしょうか？

No.55282 - 2018/11/28(Wed) 00:43:11

☆ Re: / らすかる

あまりにも自明なことで何が疑問なのかよくわからず、
どう説明すれば疑問が解決するのかもわかりませんが…

例えば直線ABを「縦線」、円Cを「縦線の左側にある円」とすると
円C→ ○｜○ ←こういう図になりますが、
円Cに対称な、右側の円を円C'とすると
円Cと円C'は直線ABに関して対称なので
円Cの「一番上の点」と円C'の「一番上の点」はABに関して対称なので、
その2点を結んだ線分は直線ABと直交します。
円Cの「一番下の点」と円C'の「一番下の点」はABに関して対称なので、
その2点を結んだ線分は直線ABと直交します。
よって円Cと円C'の直径が同じですから半径も等しくなります。
また
円Cの「一番左の点」と円C'の「一番右の点」はABに関して対称、
円Cの「一番右の点」と円C'の「一番左の点」はABに関して対称ですから
それらの点はすべてABに直交する直線上に並び、
円Cの中心は円Cの「一番左の点」と「一番右の点」の中点、
円C'の中心は円C'の「一番左の点」と「一番右の点」の中点なので
円Cの中心と円C'の中心もABに関して対称な位置にあります。

# 自分の顔を鏡に映すと映った顔は鏡に関して対称の位置にありますが、
# このとき鼻の先も鏡に関して対称の位置にありますね。
# これと同じです。

No.55285 - 2018/11/28(Wed) 03:22:44

★ 重積分 / 数学むずかしいな～

こんにちは。初めて投稿させていただきます。
重積分の問題について質問させていただきます。

xy平面で図１のような円盤領域をEとします。Eで連続な関数１/√(x^2+y^2)の積分を考えます。このままではどうにもならないので、極座標に変換します。これでは円盤領域が表しにくいので、さらに変換を施します。（添付写真をご参照ください）

この後、積分を解くことができないのですがどうすればよろしいでしょうか？
お答えいただけますと幸いです。失礼いたします。

No.55278 - 2018/11/27(Tue) 18:59:16

☆ Re: 重積分 / X

Eを極座標に変換したときのr、θの間の
関係式が求められていません。

Eを表す不等式は
(x-l)^2+y^2≦a^2
これを極座標変換すると
(rcosθ-l)^2+(rsinθ)^2≦a^2
これより
r^2-2lrcosθ+l^2-a^2≦0
これをrの二次不等式として解くことにより
lcosθ-√{a^2-(lsinθ)^2}≦r≦lcosθ+√{a^2-(lsinθ)^2}
よって
∫∫[E]dxdy/√(x^2+y^2)=∫[θ:0→2π]∫[r:lcosθ-√{a^2-(lsinθ)^2}→lcosθ+√{a^2-(lsinθ)^2}]drdθ
=2∫[θ:0→2π]√{a^2-(lsinθ)^2}dθ
これは楕円積分です。
特別な場合を除いて解析解が存在しません。

No.55287 - 2018/11/28(Wed) 05:29:51

★ 三角関数上智大改 / レイ

解けません、、、

No.55261 - 2018/11/26(Mon) 21:45:54

☆ Re: 三角関数上智大改 / X

グラフのy座標の値からまず振幅bは
b=(5-1)/2=2
次に中心軸である直線
y=a
について
a=1+b=3
更にグラフのx軸の値から周期は
5-(-1)=6
なので位相について
2πc=6
∴c=3/(2π)
又、問題のグラフはx=0を起点としているので
d=0

No.55262 - 2018/11/26(Mon) 22:07:58

☆ Re: 三角関数上智大改 / らすかる

a=3,b=2は良いと思いますが、
cは6c=2πからc=π/3ですね。
そしてグラフは(-1,1)を通るので
-c+d=-π/2+2nπからd=(2n-1/6)π
（nは任意の整数）

No.55263 - 2018/11/26(Mon) 22:25:09

☆ Re: 三角関数上智大改 / X

>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>レイさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。

No.55277 - 2018/11/27(Tue) 06:23:11

★ 内接する条件 / はせ

A=60°の△ABCがある。
頂点A
∠Bの二等分線と辺CAの交点
∠Cの二等分線と辺ABの交点
∠Bの二等分線と∠Cの二等分線の交点
これらの4点でできる四角形の外接円が
△ABCの外接円に内接するための
条件を教えてください。

No.55260 - 2018/11/26(Mon) 20:31:32

☆ Re: 内接する条件 / らすかる

∠Bの二等分線と辺CAの交点をD、
∠Cの二等分線と辺ABの交点をE、
両二等分線の交点をFとします。
「四角形AEFDの外接円が△ABCの外接円に内接する」
⇔「2円の中心とAが一直線に並ぶ」
⇔「Aを中心として四角形AEFDの外接円を拡大すると△ABCの外接円に一致する」
⇔「AE：AB=AD：AC」
⇔「AE：EB=AD：DC」
⇔「AC：BC=AB：BC」
⇔「AB=BC」
ということで、△ABCが正三角形のときのみ条件を満たします。

No.55264 - 2018/11/26(Mon) 22:45:21

★ 合成関数の微分、大学 / 坂下

初学者で多変数関数の微分を勉強しています。
合成関数の微分で、
１枚目のような関係式がありますが、（２）にかんしては
別の本をみたら２枚目の（２）のように行列で整理できるとありました。
（１）も同様に２枚目の（１）のように覚えてもよいですか？

No.55257 - 2018/11/26(Mon) 17:10:42

☆ Re: 合成関数の微分、大学 / 坂下

２枚目です

No.55258 - 2018/11/26(Mon) 17:11:29

☆ Re: 合成関数の微分、大学 / GandB

　記号の使い方がゴチャゴチャした参考書だなあ（笑）。

　わかっているとは思うが
　　f(t) = f( x(t), y(t) )　　　　･････(?@)
であるとき f は一般に曲線を表し、
　　f(s,t) = f( x(s,t), y(s,t) )　･････(?A)
であるとき f は曲面を表す。どちらにしても f の全微分は

　　df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy　･････(#)

なので(?@)の場合の形式的な覚え方としては (#)を dt で割って

　　df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt).

　(?A)の場合は、ちょっと苦しいが (#) を∂s、∂tで割るとき
　　df/∂s → ∂f/∂s,　　dx/∂s → ∂x/∂s,　　dy/∂s → ∂y/∂s
　　df/∂t → ∂f/∂t,　　dx/∂t → ∂x/∂t,　　dy/∂t → ∂y/∂t
と変換すれば

　　∂f/∂s = (∂f/∂x)(∂x/∂s) + (∂f/∂y)(∂y/∂s).
　　∂f/∂t = (∂f/∂x)(∂x/∂t) + (∂f/∂y)(∂y/∂t).

　単に公式を覚えるだけなら行列よりこっちが簡単じゃないかね。

No.55275 - 2018/11/27(Tue) 03:50:13

☆ Re: 合成関数の微分、大学 / 坂下

ありがとうございます。

No.55281 - 2018/11/27(Tue) 22:43:47

★ (No Subject) / よし

積分？の問題です。
連立不等式x^2+y^2≦4とy≧x^-2で囲まれた図形の面積を求めよ。
工夫する箇所などがあれば是非教えていただけると嬉しいです。

No.55251 - 2018/11/26(Mon) 12:15:41

☆ Re: / よし

すみません。y≧x^2-2です。

No.55252 - 2018/11/26(Mon) 12:27:02

☆ Re: / ヨッシー

３共有点Ａ(0,-2)、Ｂ(－√3, 1)、Ｃ(√3, 1) は普通に見つけられたとして、
扇形ＯＢＣから△ＯＢＣを引いた弓形と、
y＝x^2－2 と直線ｙ＝１とで囲まれた図形の和として求めたほうが、
扇形ＯＢＣと、
y＝x^2－2 のｘ＞０の部分と直線ｙ＝(1/√3)ｘとで囲まれた部分
y＝x^2－2 のｘ＜０の部分と直線ｙ＝(－1/√3)ｘとで囲まれた部分
の和として求めるよりも楽でしょう。

No.55253 - 2018/11/26(Mon) 14:51:00

☆ Re: / よし

3√3+(4/3)πになったのですがどうでしょうか。
解答を持っておらず申し訳ないです。

No.55254 - 2018/11/26(Mon) 16:10:03

☆ Re: / ヨッシー

正解です。

ちなみに、元の問題文ですが、
x^2＋y^2＝4 と y＝x^2－2 なら「囲まれた部分」ですが、
x^2＋y^2≦4 と y≧x^2－2 なら「共通部分」ですね。　

No.55255 - 2018/11/26(Mon) 16:22:50

☆ Re: / らすかる

駄文ですが

問題を作った人が最初
x^2+y^2=4とy=x^2-2で囲まれた図形の面積を求めよ。
としたけどx^2+y^2≦4の面積と等しくなってしまうことに気付き、
あわてて不等号に変えたが「囲まれた図形」の部分を
修正し損ねた、という気がします。

No.55265 - 2018/11/26(Mon) 23:03:05

★ 確率収束するが、概収束しない例について / あおい

確率収束するが、概収束しない例について質問です。
写真は確率収束するが、概収束しない例について、参考書に記載されていたものを、写しました。
解説していただきたいのは、赤下線部の二箇所です。

χの定義ですが、
ω∈Λのとき、χ_Λ(ω)＝1、それ以外は0
という定義です。

一つ目の下線部について、特にわからないのは、右側のイコールです。
二つ目の下線部は、全体的によくわかりません。

解説お願いいたします。

No.55245 - 2018/11/25(Sun) 20:55:41

☆ Re: 確率収束するが、概収束しない例について / ast

一つ目の下線: X_ι (=ξ_{n,k}) = 1 は区間 ((k-1)/2^n, k/2^n] そのもので, P は一次元ルベーグ測度だから, 右側の等号はこれ以上特に説明を加える必要を覚えません.
# 確率論はいろいろ特有の略記があるので, もしかしたらアレだが….

二つ目の下線: どのような ω ∈ (0, 1] も, n を止めれば 2^n 等分したどこかただ一つの小区間 ((k-1)/2^n, k/2^n] に入るのだから, ちょうど n の個数 (可算無限個) ぶんだけ X_ι(ω) = 1 になります. それ以外の ι ではずっと 0 なのだから, 無限回 0 になることはいわずもがな.

No.55271 - 2018/11/27(Tue) 02:25:28

☆ Re: 確率収束するが、概収束しない例について / あおい

解説ありがとうございます。

追加で解説をお願いしたいです。

画像のようにX_n(ω)を定義した時に、0に概収束するらしいのですが、証明ができません。
お願いいたします。

No.55272 - 2018/11/27(Tue) 02:44:02

☆ Re: 確率収束するが、概収束しない例について / ast

一言「n を 1/n < ω になる大きさに取ればいい」と書けば証明として十分なのでは?

ピンとこないようなら, 概収束は要は各点収束のことだから, 大学初年度級の解析学の教科書をめくってみては? 大抵の本に本問とそっくりな各点収束する (が, 一様収束しない) 例があると思うけど.
# ／＼＿みたいな形の連続函数が n→∞ で端っこの三角形の部分が「高さ∞」&「幅0」に潰れるかんじのやつ

No.55276 - 2018/11/27(Tue) 04:38:46

★ 合同式 / 蘭

x,yを整数とする。

5x+13y=81のとき、y≡2(mod5)をしめせ。

という問題があります。

まず解き方がわからないんですが、解き方で赤線の部分がありますよね？？あれってどういうことですか？？
あくまで、5x+13y=81なのであって、5x+13y≡81な訳ではないですよね？？

解説よろしくおねがいします、

No.55244 - 2018/11/25(Sun) 20:15:06

☆ Re: 合同式 / IT

> あくまで、5x+13y=81なのであって、5x+13y≡81な訳ではないですよね？？

5x+13y=81 ならば　任意の自然数nについて5x+13y≡81 (mod n) です。

No.55247 - 2018/11/25(Sun) 22:22:44

☆ Re: 合同式 / 蘭

うそぉぉおぉぉぉ爆笑

ありがとうございました！！

No.55248 - 2018/11/25(Sun) 23:30:23

★ 理数科学 / 蘭

絶対おかしいと思う解説があります。
みてください。

ここの部分で、解説が、シュウ酸二水和物が6.3gあるとすると、シュウ酸二水和物の物質量は126g/molであるから、それでわって、その水溶液のモル濃度をそのまま、5.00×10^-2としてますが、

これ、水和物ということを考慮してなくないですか？

まず、解説の二行目の、(COOH)^2が6.30/126molのところからわかりません。

わたしの考え方の何が間違っているんでしょうか？？？

よろしくおねがいします。

No.55227 - 2018/11/25(Sun) 09:58:59

☆ Re: 理数科学 / 蘭

解説です！

No.55228 - 2018/11/25(Sun) 09:59:30

☆ Re: 理数科学 / 蘭

ちなみに問題です！

No.55229 - 2018/11/25(Sun) 10:00:25

☆ Re: 理数科学 / X

＞＞まず、解説の二行目の、(COOH)^2が6.30/126molのところからわかりません。

mol数の定義とは何でしたでしょうか？。
大雑把に言うと
物質を構成する分子の「数」を
アボガドロ定数を単位として考えた値
ですよね？

このことと
(溶かす前のシュウ酸水和物の分子の数)
=(シュウ酸水溶液中のシュウ酸の分子の数)
(シュウ酸水和物の分子から水分子が
分離しただけですので、シュウ酸の分子
の数は変化しません。)
となっていることから…。

No.55241 - 2018/11/25(Sun) 19:41:40

☆ Re: 理数科学 / 蘭

なんて分かりやすいんだ……

なんて初歩的なんだ！

本当にありがとうございます泣

感謝しかありません！

No.55242 - 2018/11/25(Sun) 20:00:03