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★ 数1 三角比を含む不等式 / ボルト
0度≦θ≦360度のとき、次の不等式を満たすθの値の範囲を求めよという問題で、(4)と(5)の答えは合っているでしょうか？間違えていたら解説よろしくお願いします。また、(6)の問題を解くときの図の書き方と最後の答えの出し方がよく分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.54495 - 2018/10/18(Thu) 21:47:01
☆ Re: 数1 三角比を含む不等式 / らすかる
(4)(5)は問題ありません。
(6)の続きは
単位円上の点で、(y座標)/(x座標)が1未満となる角θの範囲を考えると、
0°≦θ＜45°、90°＜θ＜225°、270°＜θ≦360°
（図は問題ありません）

# 問題で、θの範囲は「0°≦θ≦360°」ですか？
# もしかして「0°≦θ＜360°」ではありませんか？
# ※0°≦θ≦360°ならば上記の解答で問題ありません
No.54499 - 2018/10/19(Fri) 02:08:25
☆ Re: 数1 三角比を含む不等式 / ボルト
らすかるさん解答していただきありがとうございました。おかげで最後の問題まで理解することができました。本当にありがとうございました。これからももろしくお願いします。
No.54501 - 2018/10/19(Fri) 06:26:22
★ 大学数学 極限 / 大学1年解析学
(1)のみの回答とかでも全然いいので
教えてください


数列{an}と{bn}は全ての
自然数n∈Ｎに対して、以下の等式
a1>0 , b1>0 , a n+1＝an+bn/2 ,
b n+1＝√anbn
を同時に満たすとする。このとき、次の問に答えよ。

(1)全ての自然数n∈Ｎに対して、an>0, bn>0が成り立つことを証明せよ。

(2)相加平均と相乗平均の関係を用いて、2以上の全ての自然数n∈Ｎに対して、an≧bnが成り立つことを証明せよ。

(3)数列{an}数列{bn}はともに単調列である。どちらが単調増加列なのか単調減少列なのか判定し、証明せよ。

(4)極限lim(n→∞)anと極限lim(n→∞)bnが存在することを証明せよ

(5)α=lim(n→∞)an, β=lim(n→∞)bnとおくと、αをβを用いて表せ。

参考程度に写真を貼っておきます。
No.54494 - 2018/10/18(Thu) 21:25:14
☆ Re: 大学数学 極限 / IT
ヒントだけ
(1) 数学的帰納法を使って容易に証明できます。
(2) 相加相乗平均の関係そのままでは？
(3) a[n+1]=(a[n]+b[n])/2 ≦(a[n]+a[n])/2＝a[n] ∵a[n]≧b[n]
なので　a[n]は単調減少

　b[n+1]=√(a[n]b[n])≧√(b[n]b[n])＝b[n]なので　b[n]は単調増加

(4) 「有界な単調数列は収束する。」という定理を習っておられませんか？

(5) α=lim(n→∞)a[n]=lim(n→∞)a[n+1]=lim(n→∞)(a[n]+b[n])/2
=lim(n→∞)a[n]/2 +lim(n→∞)b[n]/2
=α/2 + β/2
∴　α＝β
No.54496 - 2018/10/18(Thu) 22:34:19
★ 不等式の証明 / 高３理系
↓を証明する方法が分かりません。どなたか解説をお願いします。
　21<π^e<e^π　(ただし、π>3.14, e>2.71である）
No.54493 - 2018/10/18(Thu) 21:19:17
☆ Re: 不等式の証明 / らすかる
(左側の不等号)
1.77^2=3.1329＜3.14なので
3.14^(3/2)＞1.77×3.14=5.5578＞5.5
2.71×(2/3)＞2.7×(2/3)=1.8
よって
π^e＞3.14^2.71={3.14^(3/2)}^{2.71×(2/3)}＞5.5^1.8

5.5^9=(5.5^2)^4×5.5=30.25^4×5.5＞30^4×5.5=4455000
21^5=(21^2)^2×21=441^2×21＜450^2×21=202500×21＜210000×21=4410000
から
5.5^9＞4455000＞4410000＞21^5
5.5^1.8＞21
∴π^e＞5.5^1.8＞21

(右側の不等号)
※π＞3.14,e＞2.71だけでは求まりませんので、e≠πは使ってよいものとします。
f(x)=logx/xとおくとf'(x)=(1-logx)/x^2なので
f(x)はx=eで最大値loge/e(=1/e)をとる
よって
logπ/π＜loge/e
elogπ＜πloge
∴π^e＜e^π
No.54500 - 2018/10/19(Fri) 03:17:56
★ ベクトル / ももか
四面体OABCがあります。
OA上に1:2となる点D
OB上に1:1となる点E
BC上に2:1となる点F
をとる。
平面DEFとACとの交わる点をGとしたさいに
なぜ直線EFとDGとの交点が直線OC上にできるのかがわかりません。
No.54489 - 2018/10/18(Thu) 17:46:53
☆ Re: ベクトル / らすかる
DはOA上にありますので、平面OCA上にあります。
GはAC上にありますので、平面OCA上にあります。
よって直線DGは平面OCA上にあります。
EとFは平面OBC上にありますので、直線EFは平面OBC上にあります。
従って直線DGと直線EFの交点は平面OCAと平面OBCの交線上、すなわち
直線OC上にあります。
No.54490 - 2018/10/18(Thu) 18:25:52
★ (No Subject) / 由衣夏
すみません。ここで尋ねるのは失礼かもしれないのですが、
「肺胞で受け取った酸素のうち組織で解離する割合」の求め方を教えてもらえませんか？
割合が本当に苦手です。
No.54484 - 2018/10/17(Wed) 22:53:22
☆ Re: / X
図から
肺胞でのHbO2の割合がA[%]
組織でO2が解離したHbO2の割合がA-B[%]
HbO2とHbO2を構成しているO2のモル比が1:1
以上から求める割合は
100{(A-B)/A}[%] (A)
図から
A=95,B=45
これらを(A)に代入して
求める割合は
約52.6[%]
となります。
No.54492 - 2018/10/18(Thu) 20:12:58
★ (No Subject) / ベース
この最後の セ ソ がわかりません！
タ
教えてください！
No.54480 - 2018/10/17(Wed) 19:59:33
☆ Re: / ヨッシー
△ＣＰＯは∠Ｃ＝90°の直角三角形であるので、
　tan∠ＣＰＯ＝ＣＯ/ＣＰ
です。
No.54485 - 2018/10/17(Wed) 23:52:07
☆ Re: / ベース
なぜ∠C＝90°とわかるんですか？
No.54486 - 2018/10/18(Thu) 07:29:23
☆ Re: / らすかる
円の接線は中心と接点を通る直線と直交します。
証明もできますが、基本的な事項ですので覚えましょう。
No.54487 - 2018/10/18(Thu) 07:41:01
★ (No Subject) / はな
点Oを中心とする半径2の円Oと、点O'を中心とする半径5の円O'が点Pで外接している。
2つの円の点Pのとおる共通接線をl
点Pを通らない共通接線のひとつをmとし、mと円O、O'との接線をQ.Rとする。
またlとmとの交点をSとする。
QRの長さを答えなさい。

という問題がわかりません
No.54478 - 2018/10/17(Wed) 18:01:27
☆ Re: / らすかる
直線OO'とmの交点をTとすると
△TOQ∽△TO'RでTO：TO'=OQ：O'R=2：5、OO'=7なのでTO=14/3
TQ=√(TO^2-OQ^2)=√{(14/3)^2-2^2}=4√10/3
∴QR=(3/2)TQ=2√10
No.54479 - 2018/10/17(Wed) 19:03:21
☆ Re: / はな
わかりました！

すみません、これの追記で質問させていただきたいのですが
(1)SPの長さを答えよ。
(2)∠QPRは何度で、三角形PQRの外接円の半径はなにか。

これは答えがあって(1)は√10
(2)は90°、√10 です。
何度も質問すみません。
No.54481 - 2018/10/17(Wed) 20:14:21
☆ Re: / らすかる
△TOQ∽△TSPからTP：SP=TQ：OQなので
SP=TP×OQ÷TQ=(20/3)×2÷(4√10/3)=√10

円外の点から円に引ける2接線の接点までの距離は等しいのでSQ=SP=SR
よってSは△PQRの外接円の直径なので∠QPR=90°で
(外接円の半径)=SP=√10
No.54482 - 2018/10/17(Wed) 21:42:16
★ 三角関数のグラフ / 蘭
例えばこのような問題で、
y=2sin(2x-1/3π)+1のグラフを書くとき、

どーやって、x軸との交点を求めているんですか？
よろしくお願いします
No.54470 - 2018/10/17(Wed) 10:58:18
☆ Re: 三角関数のグラフ / らすかる
x軸との交点はy=0なので
2sin(2x-π/3)+1=0
2sin(2x-π/3)=-1
sin(2x-π/3)=-1/2
2x-π/3=(2n+3/2)π±π/3
2x=(2n+11/6)π±π/3
x=(n+11/12)π±π/6
のように求められます。
No.54471 - 2018/10/17(Wed) 11:18:05
☆ Re: 三角関数のグラフ / 蘭
なるほど！

やはり、地道にとくしかないのですね！
ありがとうございます！助かりました！
No.54475 - 2018/10/17(Wed) 13:04:17
★ 同時三角化 / 坂下

AB=BAと可換な行列A,Bは共通の固有ベクトルｖを持ちます。

そして、このｖを利用して、R^nにおいてｖから拡大して、基底をとる際に、
画像のような定理（７．９）の取り方ができるそうです。
この定理の取り方によって三角化を行う際に、共通の基底を用意できるから、同時三角化ができる。
らしいのですが、A,Bそれぞれに（７．９）の取り方ができるのはわかりますが、共通する基底が取れるというのはよくわかりません。
教えてください。
No.54469 - 2018/10/17(Wed) 02:20:21
★ お願い致します / こういち
この、「ゆえに」の理由がわかりません。
なぜ平方完成したら証明になるのですか？
No.54467 - 2018/10/16(Tue) 23:32:21
☆ Re: お願い致します / らすかる
x^2+1-x=(x-1/2)^2+3/4 はOKですか？
(x-1/2)^2+3/4＞0 はOKですか？
もしその両方がOKならば
x^2+1-x=(x-1/2)^2+3/4＞0つまり
x^2+1-x＞0ですから
xを移項して
x^2+1＞xとなります。
No.54468 - 2018/10/16(Tue) 23:37:53
☆ Re: お願い致します / passer-by
横から失礼いたします。
>(x-1/2)^2+3/4＞0 はOKですか？
推察するに、こういちさんが理解できずにいるのはこの部分なのではないでしょうか。
ここでは、暗黙の前提として「実数の2乗は必ず0以上である(※)」という事実が用いられています。
問題文には明記されていませんが、不等式条件が与えられていることから、xを実数として考えるのが妥当でしょう。このとき、当然のことながら x-1/2 も実数となります。したがって、(※)より (x-1/2)^2 はxの値にかかわらず0以上であると言えます。「0以上のもの[(x-1/2)^2]」と「0より大きいもの(3/4)」とを足し合わせたものが0より大きいことは明らかですね。

《(※)の証明》
すべての実数xに対して x^2≧0 が成立することを示す。
(i)x>0のとき
　x>0
　x・x>0　(∵x>0)
　x^2>0
(ii)x<0のとき
　x<0
　x・x>0　(∵x<0)
　x^2>0
(iii)x=0のとき
　x=0
　x^2=0
以上(i)〜(iii)より(※)は示された。
No.54474 - 2018/10/17(Wed) 12:14:22
★ (No Subject) / 仙谷由人
問．aを正の実数とするとき，すべての正の整数nに対して以下の不等式が成立することを証明せよ。ただし，0!=1とする。

解説をお願いします。
No.54461 - 2018/10/16(Tue) 17:09:42
☆ Re: / IT
どの課程（高校３年・大学１年など）の問題ですか？（使っていいのは　どんな定義、定理、命題などですか？）
No.54464 - 2018/10/16(Tue) 18:31:57
☆ Re: / 仙谷由人
大学受験生を対象とする講習で紹介された問題ですので，基本的には，高校数学の教科書で提示されている定義及び定理のみを用いて証明することが求められているものと推測されます。
No.54466 - 2018/10/16(Tue) 20:05:02
☆ Re: / ast
(1+(a/n))^(n/a) → e (as n → ∞) であることに注意すれば, 右辺は (1+(a/n))^n の単調増大極限とみることができます.
そこで, (1+(a/n))^n は二項展開できますから, 展開したものと左辺を比較すれば話はほとんど終わりですね.
No.54473 - 2018/10/17(Wed) 12:00:54
★ (No Subject) / 漸化式おじさん
原理的に解く(*)ことが不可能な漸化式というのは存在しますか？もし存在するのであれば、いくつか例を挙げていただけると助かります。

(*)その漸化式によって定義される数列の一般項を求めること
No.54460 - 2018/10/16(Tue) 14:19:15
☆ Re: / らすかる
> (*)その漸化式によって定義される数列の一般項を求めること
この「一般項」に使えるものは何ですか？
例えばある漸化式を解いて
a[n]=Σ[k=1〜n](1/k)
となった場合、これは「一般項が求まった」と言えるのでしょうか。
また上記のa[n]はH[n]と表されることがありますので
a[n]=H[n]
と書いたら「一般項が求まった」と言えるのでしょうか。

多分、ある定義された関数f(x)を用いて
a[n]=f(n)
というのはダメですよね？
No.54463 - 2018/10/16(Tue) 18:30:44
★ (No Subject) / 元中3
以下のような配り方の総数を数列等を使って上手く表すことができるでしょうか？
書き方が稚拙なのは私としても承知しているつもりですので、問題点があれば指摘していただけると幸いです。
No.54451 - 2018/10/15(Mon) 14:01:36
☆ Re: / 元中3
具体的な問題です。
No.54452 - 2018/10/15(Mon) 14:04:26
☆ Re: / 元中3
「つまり」のあとに続く式の最終項は-ではなく+です。その他の間違いも、もしあれば申し訳ありません。
No.54453 - 2018/10/15(Mon) 14:09:20
☆ Re: / noname
問題の条件がよく分かりません。
配りきらない余りが出ることは許されますか。
「少なくとも1個は配る」は、あらかじめ1個ずつ渡しておくだけの話なので、0個を許すかどうかは些細なことですが、
もし、「n個のものをr人に配りきる」という意味であれば、これは和因子分解の総数を求めることになるので、話が込み入って来ます。
その場合は「分割数(partition function)」というキーワードで調べるとよいと思います。
No.54455 - 2018/10/15(Mon) 18:40:27
☆ Re: / noname
ん？もしかすると、部屋割りの総数の一般化がしたいのか？
No.54456 - 2018/10/15(Mon) 19:01:40
☆ Re: / 元中三
r個すべてをn人に配りきるが一人に少なくとも一つは配る、という趣旨です。
しかるに、部屋割りの総数の一般化のことおで、おっしゃる通りです。
No.54457 - 2018/10/15(Mon) 21:58:08
☆ Re: / らすかる
(ちょうどn人にr個を配る場合の数)=r!・S(n,r)
ただしS(n,r)は第2種スターリング数
「第2種スターリング数」は検索して調べて下さい。
Σ、Π、∫や漸化式、特殊な関数を使わずに一般項を表すのは
無理だと思います。
また、↓こちらのページに非常に多くの情報（へのリンク）が
http://oeis.org/A019538
ありますので、興味があれば研究してみて下さい。
No.54458 - 2018/10/15(Mon) 23:15:45
☆ Re: / 元中3
ありがとう御座いました。
No.54502 - 2018/10/19(Fri) 08:42:57
★ 再びすいません / こういち
a<0 b<0 ab>0の証明をしてみたのですが、
おかしいと思うので、指摘してください、お願い致します。
No.54444 - 2018/10/15(Mon) 00:28:45
☆ Re: 再びすいません / らすかる
a＜0なので
a+b＜bの両辺にaを掛けたら
不等号の向きが変わります。
No.54445 - 2018/10/15(Mon) 00:41:33
☆ Re: 再びすいません / こういち
これでどうでしょうか…？
No.54446 - 2018/10/15(Mon) 00:48:29
☆ Re: 再びすいません / らすかる
両辺をabで割った時に不等号の向きが変わるかどうかは、
abが正か負かによるわけですが、
「ab＞0だから両辺をabで割っても不等号の向きは変わらない」
というのを使っていますよね。
しかしab＞0は証明すべきことですから、
ab＞0を前提とすることはできません。
つまり、証明が完了するまで、
両辺にabを掛けたりabで割ったりすることはできません。

しかし、「両辺に負の数を掛けたら不等号の向きが変わる」
というのを使ってよいとすると
a＜0の両辺にbを掛けてab＞0
で終わってしまいますので、もしかしたら
「両辺に負の数を掛けたら不等号の向きが変わる」
を使ってはいけないのかも知れません。

何を使ってよいかは学習の進行状況によりますので
私にはよくわかりません。
No.54447 - 2018/10/15(Mon) 01:00:26
☆ Re: 再びすいません / IT
こういう基礎的な事項の証明は何を前提にどこから始めるかが特に重要です。
下記（ア）（イ）と-a=(-1)a,(-1)(-1)=1 を認めると
実数a,b,c について　
（ア）a＜b ならば　a+c＜b+c
（イ）a＞0　かつ　b＞0　ならば　ab＞0

（ア）で　b=0,c=-a とおくと　a＜0　ならばa+(-a)＜0+(-a)
したがって　a＜0　ならば　0＜-a　…?@
同様に　　　b＜0　ならば 0＜-b　…?A

?@?A（イ）より　a＜0　かつ　b＜0　ならば　(-a)(-b)＞0
ここで　(-a)(-b)=(-1)a(-1)b＝(-1)(-1)ab=ab なので
a＜0　かつ　b＜0　ならば　ab＞0
No.54450 - 2018/10/15(Mon) 12:37:35
★ II / こういち
a>0かつ b>0ならばab>0 を証明する方法を教えてください
No.54443 - 2018/10/15(Mon) 00:20:07
☆ Re: II / IT
a,bは実数だとします。
実数の性質の１つに
a＞c　かつ　ｂ＞0　ならば　ab＞cb　
というのがあります。

ここでc=0 とおくと　a>0 かつｂ＞0　ならば　ab＞0b=0
となります。

a>0かつ b>0ならばab>0を実数の性質の１つとしている場合もあります。

どんな流れの中での出題ですか？
No.54449 - 2018/10/15(Mon) 11:38:13
★ (No Subject) / ももか
an<10^10を満たす最大のnを求める問題で
黄色の部分がわかりません。その前後は分かります！
ちなみにan=2^n+3^n
No.54435 - 2018/10/14(Sun) 22:31:17
☆ Re: / らすかる
3^n＜2^n+3^n はわかりますよね？
また
2^(n+1)＜3^(n+1)
なので
2^(n+1)+3^(n+1)＜3^(n+1)+3^(n+1)=2・3^(n+1)
です。
よって
2^n+3^n＜10^10≦2^(n+1)+3^(n+1)
から
3^n＜2^n+3^n＜10^10≦2^(n+1)+3^(n+1)＜2・3^(n+1)
ですから、少なくとも
3^n＜10^10＜2・3^(n+1)
が成り立ちます。
No.54437 - 2018/10/14(Sun) 22:43:44
☆ Re: / ももか
なるほど！これはよく使う手法でしょうか？
これ以外の解き方ってありますか？　受験生はみなこのように立式して解くのでしょうか？？
No.54440 - 2018/10/14(Sun) 23:08:05
☆ Re: / らすかる
そのままでは評価しにくい時に、一回り大きく評価するのは
よくあることだと思います。

> これ以外の解き方ってありますか？
問題文を見てみないと何とも言えません。
No.54442 - 2018/10/14(Sun) 23:24:36
★ 最大公約数 最小公倍数 / はうぱー
自然数a,bの最大公約数を5、最小公倍数を75とする。
(a<b)このときのa,bの組を求めよ。
と言う問題についてです。
(解答)
a=5a’ b=5b’(a’,b’は互いに素)
この時、a,bの最小公倍数は5a’b’と表される、、、、

と書いてあったのですがなぜa,bの最小公倍数は5a’b’と表されるのでしょうか
細かく教えてください
No.54432 - 2018/10/14(Sun) 20:19:53
☆ Re: 最大公約数 最小公倍数 / はうぱー
すみません。付け加えさせてください。高校一年、答えはわかっておりますが、過程がよくわからなかったので、(上の質問)そこを教えていただきたいです。
No.54433 - 2018/10/14(Sun) 20:34:51
☆ Re: 最大公約数 最小公倍数 / はうぱー
答えはa,b=(5、75)(15、25)です。
No.54434 - 2018/10/14(Sun) 20:36:28
☆ Re: 最大公約数 最小公倍数 / IT
> (解答)
> a=5a’ b=5b’(a’,b’は互いに素)

ここまでは分かりますか？
No.54436 - 2018/10/14(Sun) 22:39:30
☆ Re: 最大公約数 最小公倍数 / IT
以下　正の整数だけで考えます。（出てくる文字も正の整数です）

a,bの公倍数は　m=5a'c=5b'd と表せます。
a'c=b'd　なのでa'cはb'で割り切れます。
a',b'は互いに素なのでcはb'で割り切れます。(さらに突っ込まれると証明が要ります）
したがってc=b'c'と表せます。
よって　m=5a'b'c'
したがって　a,bの公倍数は5a'b'の倍数であり、
そのうち最小なのはc'=1の場合の5a'b'です。
すなわちa,bの最小公倍数は5a'b'

細かくやると上記のようになりますが、普通は証明なしに使います。
No.54439 - 2018/10/14(Sun) 22:57:17
☆ Re: 最大公約数 最小公倍数 / IT
数研出版の教科書「高等学校数学Ａ」では、証明なしに

「一般に、次のことが成り立つ
a,b,c は整数で、a,b は互いに素であるとする。
１　acがbの倍数であるとき,cはbの倍数である。
２　aの倍数であり、bの倍数でもある整数はabの倍数である。」　としています。
お手持ちの教科書で確認してください。
No.54441 - 2018/10/14(Sun) 23:13:21
☆ Re: 最大公約数 最小公倍数 / はうぱー
IT先生、丁寧に証明してくださりありがとうございました。
教科書で再度確認します。
No.54454 - 2018/10/15(Mon) 17:30:17
★ (No Subject) / pet
x^2+(k+3)x-k>0がすべての実数ｘについてなりたつとき
ｋの範囲を求めよ…で、
x^2+(k+3)x-k=0を満たすxがないそうなのですが
この説明がよくわからないです。
教えてください！
No.54429 - 2018/10/14(Sun) 18:09:08
☆ Re: / pet
すべてのｘで成り立つとは、実数解がないということではないんですよね？
No.54430 - 2018/10/14(Sun) 18:10:52
☆ Re: / IT
kを実数定数としたとき

x^2+(k+3)x-k>0がすべての実数ｘについてなりたつ
⇔x^2+(k+3)x-k=0を満たす実数xがない

がいえます。

y=x^2+(k+3)x-k のグラフを描いて考えてみてください。
No.54431 - 2018/10/14(Sun) 18:52:17
★ 訂正 / 偏差値1
間違えました下の問題ウ〜シまでです。すみません
No.54426 - 2018/10/14(Sun) 17:08:00
★ 数学II 積分微分 / 偏差値1
ウ〜エを教えてください。長い問題ですみません、よろしくお願いします。
No.54425 - 2018/10/14(Sun) 17:06:46
☆ Re: 数学II 積分微分 / X
間違いを訂正する場合は新しくスレを立てるのでは
なくて、レスを使いましょう。
或いはレスに予めパスワードを設定しておけば、
この掲示板の最下部のボックスにレスの番号と
パスワードを入力することで、直接レスの修正が
できます。

条件から問題の放物線とx軸との交点の
x座標について
9-x^2=0
∴x=3,-3
となるので交点の座標は
(-3,0),(3,0)
一方。条件から
A(t,9-t^2),B(-t,9-t^2)
∴AB=2t,Cd=6
∴S(t)=(1/2)(AB+CD)・(点Aのy座標)
=(1/2)(2t+6)(9-t^2)
=(t+3)(9-t^2)
=-t^3-3t^2+9t+27
となるので
S'(t)=-3t^2-6t+9
=-3(t+3)(t-1)
これを元に
0＜t＜3
におけるS(t)の増減表を書くことにより
S(t)は
t=1のときに最大値32
を取ることが分かります。
No.54428 - 2018/10/14(Sun) 17:18:24
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