(問題文)
空間の4点のO(0,0,0) A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1)を頂点とする四面体が含まれ中心軸がZ軸と平行な直円柱のうち、体積Vが最大となるものの底辺の半径と高さ、およびその最大値を求めよ。
の問題の考え方の中で、
高さをh(0<h<1)、半径をrとおくと
V＝πr^2h までは理解できたのですが、
hを固定し変数rを考えるときに
1/2(1-h)^2＝1/2(1-h)r＋1/2(1-h)r+√2/2(1-h)r
からrを求めるようなのですが、
上のような式がどうやって出てくるのかがわかりません。
円柱を上から見たときに円柱の円が四面体と接するので、
円が(1-h)の大きさの直角二等辺三角形にぴったり内接することは理解しています…
(他掲示板でも質問しているので、そのまま引用しました)
回答よろしくお願いします
|
No.54744 - 2018/10/28(Sun) 21:45:00
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | 四面体が含まれ ではなく 四面体に含まれ ですね。
ｘｙ平面上の、△ＯＡＢに含まれる円（最大 (2−√2)/2）の半径をｒとします。
円はx軸、ｙ軸に接するようにおいたときが、高さを最大に出来ます。
四面体の高さｚにおける断面は、△ＯＡＢと相似で、
ｚ＝０ のとき、ｒ＝(2−√2)/2、ｚ＝１ のとき、ｒ＝０ で、
途中は１次関数的に変化します。
つまり、高さｈと、半径ｒの関係は
ｈ＝1−(√２＋２)ｒ
となります。
円柱の体積Ｖは
V＝πｒ^2ｈ＝π{ｒ^2−(√２＋２)ｒ^3}
ｒで微分して
Ｖ’＝π{２−３(√２＋２)ｒ}ｒ
ｒ＝０ で極小値、ｒ＝２／３(√２＋２) で極大となります。
２／３(√２＋２)＜(2−√2)/2
より、極大値が最大値となります。
上ではｒの最大値(2−√2)/2 とさらっと書いていますが、
その途中式が
>1/2(1-h)^2＝1/2(1-h)r＋1/2(1-h)r+√2/2(1-h)r
です。
高さｈでの断面は (1-h), (1-h), (√2)(1-h) の直角二等辺三角形ですが、
それに内接する円の半径をｒとすると、
1/2(1-h)^2：直角を挟む２辺を底辺、高さとしたときの断面積
1/2(1-h)r＋1/2(1-h)r+√2/2(1-h)r：三角形の各辺を底辺、半径を高さとしたときの断面積
です。
これでｈ＝０とすると、ｒ＝(2−√2)/2 が得られます。
|
No.54767 - 2018/10/30(Tue) 15:03:57 |
|
