定数pに対して、3次方程式x3-3x-p=0の実数解の中で最大のものと最小のものとの積をf(p)とする。ただし実数解が一つの時にはその2乗をf(p
)とする。
pの関数f(p)のグラフの概形を描け。
よろしくお願いします。
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No.54414 - 2018/10/13(Sat) 20:34:30
| ☆ Re: 三次方程式 / IT | | | どんな単元のどういうレベルの問題ですか？
どこまでていねいに調べるか難しいですが
y=x^3-3x は x=-1 で極大値2、x=1で極小値-2 を取ることなどから、
関数f(p)のグラフは
ｙ軸について対称で
f(-2)=-2,f(0)=-3,f(2)=-2 より(-2,-2),(0,-3),(2,-2)を通り、
p=-2,2 では不連続で、 lim[p→-2-0]f(p)=lim[p→2+0]f(p)=4
それ以外では連続
p<-2 ,-2<p<0 では単調減少で滑らかな曲線
p=0 で最小値f(0)=-3をとり
0<p<2,2<p では単調増加で滑らかな曲線
p→±∞のときf(p)→∞
になると思います。
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No.54415 - 2018/10/14(Sun) 00:07:55 |
| ☆ Re: 三次方程式 / らすかる | | | -2≦p≦2の区間では
x^3-3x-p=0の中央解をa（-1≦a≦1）とすると
p=a^3-3a
f(p)=a^2-3
となりますので、
aにいくつかの具体値（例えば0,±0.2,±0.4,±0.6,±0.8,±1）
を入れて(p,f(p))を求めることにより
おおよその形が描けます。（ただしa=±1のところは黒丸）
|p|＞2の区間では、実数解をaとすると
p=a^3-3a (|a|＞2)
f(p)=a^2
となりますので、
これもaにいくつかの具体値（例えば±2,±2.1,±2.2,±2.3）
を入れて(p,f(p))を求めることにより
おおよその形が描けます。（ただしa=±2のところは白丸）
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No.54416 - 2018/10/14(Sun) 00:47:13 |
| ☆ Re: 三次方程式 / らすかる | | | グラフを無理やり一つの式で表すと
x^2=y^3-(3/2){y^2-3y-3y(y-1)/[|(y-10)/12|-|(y+2)/12|]}
となり、グラフの形は以下のようになります。
![]() |
No.54417 - 2018/10/14(Sun) 02:01:15 |
| ☆ Re: 三次方程式 / 通りすがりの異邦人 | | | No.54459 - 2018/10/16(Tue) 08:51:20 |
| ☆ Re: 三次方程式 / IT | | | f(p)の範囲を分けて
p=g(f(p)) ,（gはfの逆写像 ）のグラフを考えると少し解析しやすいかも知れません。
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No.54462 - 2018/10/16(Tue) 17:16:08 |
| ☆ Re: 三次方程式 / IT | | | らすかるさんの解を
・・・
> p=a^3-3a (|a|＞2)
> f(p)=a^2
>となりますので、
まで使います。
そのあと
p≧0の部分だけ調べます。
0≦p≦2の部分
pが0から2まで変化するとき aは0から-1まで単調に減少し
f(p)は-3から-2まで単調に増加します。
a^2=f(p)+3とa<0より a=-√(f(p)+3)
p=a^3-3aに代入し,p=-f(p)√(f(p)+3)
q=f(p)とおくと p=-q√(q+3),(-3≦q≦-2)
-3≦q≦-2において g(q)=-q√(q+3)とおくと
g'(q)=-(3/2)(q+2)/√(q+3)
(-3,-2)で-(q+2)は正で単調減少、1/√(q+3)は正で単調減少なので g'(q)は単調に減少する。
（２回微分してもいいです）
したがってp=g(q)のグラフは上に凸。
また、q→-3+0 のときg'(q)→+∞.g'(-2)＝0
2＜pの部分
pが2+0から増加するとき aは2+0から単調に増加し,f(p)は4+0から単調に増加し、
p→∞のときa→∞、f(p)→∞です。
a^2=f(p)とa>0よりa=√f(p)
p=a^3-3aに代入し,p=(f(p)-3)√f(p)=(q-3)√q,(4＜q)
4＜qにおいて g(q)=(q-3)√qとおくと
g'(q)=(3/2)(q-1)/√q=(3/2)(√q-1/√q)これは正で単調増加
したがってp=g(q)のグラフは下に凸
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No.54465 - 2018/10/16(Tue) 19:41:21 |
| ☆ Re: 三次方程式 / 優美 | | | No.54503 - 2018/10/19(Fri) 11:32:18 |
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