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★ (No Subject) / 高二
すいません、回答が付かずどうしてもわからないので再掲させてください…以下2問がわかりません。
Euclid平面上の放物線Cに於いて，其の焦点をF，準線をlとする。
1 放物線Cの二つの接線が直交するとき，その交点Pは準線l上にあることを証明せよ
2 いま二つの接線が直交するとき，その交点Pの軌跡は準線lであることを証明せよ
図形的な解法出といていただけると助かります！
No.83751 - 2022/10/29(Sat) 21:14:17
★ 格子点 / John
数学２Bの問題です。
格子点の個数は−k²＋n²＋1という部分で、どうして＋1をするのですか？
No.83746 - 2022/10/29(Sat) 10:03:01
☆ Re: 格子点 / IT
その１行前に書いてありますので、自分で数えてみてください。

個数を数えるのはこの手の問題を解くためには、基礎的で重要ですが、案外間違いやすいので、自分で考えて習得されるのが良いかなと思います。
No.83747 - 2022/10/29(Sat) 10:16:01
☆ Re: 格子点 / ast
> どうして＋1をするのですか？
ということは, 何か(A)を見て何か(B)の数に(+1以外の)-k^2+n^2が関係あると考えたのですよね, その何か (A,B) を明確に言葉にできますか?
#　0,1,2,…,-k^2+n^2
#において, 並べられた各項の値と項数 (何個の数値が並べてあるか) を
# 混同して考えていないか, ということを確認するために伺います.

(本質的ではないので -k^2+n^2 を m と書きますが)
　　1,2,…,m
と
　0,1,2,…,m
の項数を比較するという文脈で言うならば
> +1
は「こいつは0の分だぁ(ﾄﾞｺﾞｫｫｫﾝ」でいいのではないですかね…ｗ

これがちゃんとわかっていれば, もっと一般に自然数 a,b (a<b) に対して a から b までの, つまり
　a,a+1,a+1,…,b-2,b-1,b
の, 自然数の個数は b-a+1 個, というのも同様の (0から数えるほうの) 数え方で分かります. もちろん 1 から数えるほうに対応するのは
　a+1,a+1,…,b-2,b-1,b
で, b-a 個になります.
# 同様の仕方で数えるのでなく先ほどの方法を「利用」する数え方もあって
# "1 から b まで" の b 個の項から "1 から a まで" の a 個の項を取り除けば
# a+1,a+1,…,b-2,b-1,b の項数が b-a 個だと分かります.
# a を入れたければ "1 から a-1 まで" を除けばいいので b-(a-1)=b-a+1 で
# この最後の "+1" が a の項のぶんということになります.
No.83750 - 2022/10/29(Sat) 19:19:27
★ レポート / cavy
立方体は自分自身より大きな立方体を通すことができるのか？

中学生がわかる内容で説明お願い致します。
No.83741 - 2022/10/28(Fri) 21:41:58
☆ Re: レポート / IT
立方体Aが立方体Bを「通す」とはどうなることですか？
No.83742 - 2022/10/28(Fri) 21:56:55
☆ Re: レポート / cavy
レポート課題でして、どのように説明すればいいのか分からず苦戦しております
No.83743 - 2022/10/28(Fri) 22:16:28
☆ Re: レポート / IT
立方体Aが立方体Bを「通す」の定義が、「立体Aに穴をあけて、その穴を立体Bが通る」ということなら、
立方体は自分自身より大きな立方体を通すことができるようです。
下記をごらんください。
http://sshmathgeom.private.coocan.jp/volume/volume311.html
No.83744 - 2022/10/28(Fri) 22:37:40
★ 平方完成について / しょう
この平方完成を教えて欲しいです。
No.83737 - 2022/10/28(Fri) 17:58:17
☆ Re: 平方完成について / X
問題文中のどこにも、平方完成という言葉が出てきませんが
問題文のどの部分を指して仰っているのですか？
No.83738 - 2022/10/28(Fri) 18:44:36
☆ Re: 平方完成について / IT
-x^2+(4a-2)x
=-(x^2-(4a-2)x)
=-(x^2-2(2a-1)x)
=-(x-(2a-1))^2 +(2a-1)^2
ですから
f(x)= ...
No.83740 - 2022/10/28(Fri) 19:40:23
☆ Re: 平方完成について / しょう
> 問題文中のどこにも、平方完成という言葉が出てきませんが
> 問題文のどの部分を指して仰っているのですか？
一番最初の式です。
No.83749 - 2022/10/29(Sat) 19:08:13
★ x+1/x=5のとき / いっせい
x + 1/x = 5のとき
(1-x+x^2-x^3+x^4)/(1+x+x^2+x^3+x^4)
の値を求めよ

この問題が分かりません…！
何から手を付けるべきか全くわからないので、教えてもらえると嬉しいです！
No.83735 - 2022/10/28(Fri) 17:16:15
☆ Re: x+1/x=5のとき / ヨッシー
　x + 1/x = 5
両辺２乗して移項すると
　x^2 + 1/x^2 = 23
これを踏まえて、
　(1-x+x^2-x^3+x^4)/(1+x+x^2+x^3+x^4)
の分子分母を x^2 で割ってみましょう。
第３項の x^2 は 1 になりますね。他の項は？
No.83736 - 2022/10/28(Fri) 17:21:40
★ [αβ]とα[β]との差 / Reona
α,βを非負数、[]をガウスの記号とする時,[αβ]-α[β]の採り得る範囲を求めてます。
α=a+Σ [k=1..∞]a_k/10^k
β=b+Σ [k=1..∞]b_k/10^k
(ただし,a,bは非負整数,a_k,b_k∈{0,1,..,9})
と書く事にすると,
[αβ]=[(a+Σ [k=1..∞]a_k/10^k)(b+Σ [k=1..∞]b_k/10^k)]
=[ab+aΣ [k=1..∞]b_k/10^k+bΣ [k=1..∞]a_k/10^k+(Σ [k=1..∞]a_k/10^k)(Σ [k=1..∞]b_k/10^k)] 。
ここで
aΣ [k=1..∞]b_k/10^k∈[0..a)
bΣ [k=1..∞]a_k/10^k∈[0..b)
(Σ [k=1..∞]a_k/10^k)(Σ [k=1..∞]b_k/10^k)∈[0..1)
なので
[αβ]∈[ab..ab+a+b+1)。
一方,
α[β]=(a+Σ [k=1..∞]a_k/10^k)[b+Σ [k=1..∞]b_k/10^k]
=ab+bΣ [k=1..∞]a_k/10^k∈[ab..ab+b)。
従って,
0≦[αβ]-α[β]<a+1。
で正しいでしょうか?
No.83730 - 2022/10/27(Thu) 11:46:46
☆ Re: [αβ]とα[β]との差 / らすかる
正しくありません。
例えばα=1.5、β=1のとき[αβ]=1、α[β]=1.5ですから
[αβ]-α[β]=-0.5＜0です。
それから、αを整数部と小数部に分けるとき、普通は
α=a+s（aは整数で0≦s＜1）
のように分けます。普通、Σの式にして役に立つことはありません（書くのが面倒なだけです）。

# a=[α]、s=α-aとおく
# のように書いてもいいですね。
No.83731 - 2022/10/27(Thu) 11:52:44
☆ Re: [αβ]とα[β]との差 / IT
らすかるさん
> [αβ]=-0.5＜0です。
[αβ]-α[β]=-0.5＜0のタイプミスですね。
No.83733 - 2022/10/27(Thu) 18:18:59
☆ Re: [αβ]とα[β]との差 / らすかる
ご指摘ありがとうございます。
元記事を修正しました。
No.83734 - 2022/10/27(Thu) 22:40:11
★ 2つの等差数列の共通項 / John
数学２Bの問題です。

黄色のマーカーを引いた部分で、
自然数よりn＝k＋1とおく
というのはどうしてですか？
No.83728 - 2022/10/27(Thu) 09:25:48
☆ Re: 2つの等差数列の共通項 / ヨッシー
ｎ＝ｋ＋１ 以外の方法、例えば、
　ｎ＝ｋ　と置くと、ｎはどういう値を取りますか？
　ｎ＝ｋ＋２　と置くと、ｎはどういう値を取りますか？
　ｎ＝２ｋ　と置くと、ｎはどういう値を取りますか？
例として、ｎ＝ｋ−１　と置くと、
　ｎ＝-1, 0, 1, 2, ・・・
を取りますね。
No.83729 - 2022/10/27(Thu) 09:34:37
☆ Re: 2つの等差数列の共通項 / John
n＝kとするとnは0,1,2…となり、0は自然数ではないので不適ということですかね...

その他の置き方も同じような理由で不適なのでnが自然数になるようにn＝k＋1とおくということですかね…？
No.83745 - 2022/10/29(Sat) 10:00:41
☆ Re: 2つの等差数列の共通項 / ast
> 0は自然数ではないので不適
> nが自然数になるように
だいぶ見当違いではないかと思います.
共通項を出てきた順に c[1],c[2],…,c[n],… と決めていくので, c[0] というものは存在しないから n=0 が不適なのです.

最初に一致するのが k=0 に対応する (それぞれの数列の) 項で, その値は最初 (1番目) に一致した値なので c[1],
次に一致するのが k=1 に対応する項で, その値は2番目に一致した値なので c[2],
その次も同様に続けて行って一般に, 任意の k に対応する項の値が c[n] ということは k と n との関係は?
という話です.
No.83748 - 2022/10/29(Sat) 19:02:00
★ (No Subject) / 高二
以下の命題の証明が分からないので教えてください。
1問単位でもいいです！
?@Euclid平面上の放物線Cに於いて，其の焦点をF，準線をlとする。いま任意の直線mと放物線Cとの共有点は高々2個である。
?AEuclid平面上の放物線Cに於いて，其の焦点をF，準線をlとする。いま放物線C上の任意の点Pから準線lに下ろした垂線の足をHとするとき，∠FPHの二等分線mが放物線Cの接線になる。なお放物線の接線は「放物線と一点のみを共有し，準線の垂線ではない直線」で定義される。
?BEuclid平面上の放物線Cに於いて，其の焦点をF，準線をlとする。いま直線pを放物線Cの接線とするとき，直線pの任意の平行線mは放物線Cの接線ではない。
?CEuclid平面上の放物線Cに於いて，其の焦点をF，準線をlとする。準線l上の任意の点Pに於いて，点Pを通る接線が唯二つ存在し，それらは直交する。
?DEuclid平面上の放物線Cに於いて，其の焦点をF，準線をlとする。
放物線Cの二つの接線が直交するとき，その交点Pは準線l上にある。
?EEuclid平面上の放物線Cに於いて，其の焦点をF，準線をlとする。
いま二つの接線が直交するとき，その交点Pの軌跡は準線lである
No.83725 - 2022/10/26(Wed) 15:34:51
☆ Re: / 高二
1問だけでもいいです…
お願いしますm(_ _)m
No.83732 - 2022/10/27(Thu) 15:30:53
☆ Re: / 高二
1問目と2問目は解決しました！残りの3問、手が止まってます…どなたか方針でもいいので教えてください
No.83739 - 2022/10/28(Fri) 19:20:29
★ (No Subject) / 法線
放物線y=(x^2)/2の法線で(1,a)を通るものが3本存在するようなaの条件を求めよ
点(p,p^2/2)(p≠0)を通る法線y=-x/p+p^2/2+1に(x,y)=(1,a)を代入したものが異なる3つの解を持つようなaの条件を求めようとしたのですが、解の個数と法線の本数が同じである理由は？と聞かれました。当たり前ではないかと思ってしまったのですが理由や違う場合はあるのでしょうか。
No.83723 - 2022/10/26(Wed) 13:16:31
☆ Re: / ヨッシー
違う場合はありません。

理由を言うなら、
ｙ＝ｘ^2/2 を微分すると　y'＝x であり、狭義の単調増加　→　ｘが違えばｙ’も違う
→　法線がｙ軸平行な場合も含め、ｘが違えば法線の傾きも違う
という感じでしょうか。
No.83724 - 2022/10/26(Wed) 13:55:27
★ 円と放物線で囲まれた部分 / John
数学２Bの問題です。
黄色のマーカーを引いた箇所で、どうして「正の」重解でないといけないのですか？
No.83720 - 2022/10/26(Wed) 09:46:06
☆ Re: 円と放物線で囲まれた部分 / nacky
?Bの方程式は接点の y 座標を計算する式です。
接点は放物線 y=x^2 上にあるので接点の y 座標は必ず正です。
よって?Bの解は「正の」重解である必要があります。
No.83721 - 2022/10/26(Wed) 11:30:01
☆ Re: 円と放物線で囲まれた部分 / nacky
> ?Bの方程式は接点の y 座標を計算する式です。
> 接点は放物線 y=x^2 上にあるので接点の y 座標は必ず正です。
> よって?Bの解は「正の」重解である必要があります。

文字化けしてしまいました。?B はマル3のつもりで書いてます。
No.83722 - 2022/10/26(Wed) 11:30:53
☆ Re: 円と放物線で囲まれた部分 / John
ありがとうございます。
とてもよく理解出来ました。
No.83727 - 2022/10/27(Thu) 09:23:36
★ 四面体の問題 / Mari
3つの正数a、b、c(0<a≦b≦c)がa^2+b^2>c^2を満たすとき、各面の三角形の辺の長さをa、b、cとする四面体が作れることを証明せよ。

学校では、等面四面体は直方体の4隅を切り取って作れることを利用した解き方を教わったんですが、とても自分で思いつけるような解き方ではないので、他のやり方がないか考えたんですが、

平行四辺形ABCDで、AB=a、BC=b、対角線のうち、短い方をc(こっちをAC)、長い方をd(こっちをBD)とします。?僊BCを底面として、ACを軸として、?僊CDをDがBに重なるまで回転させます。この回転の過程で、BDは0≦BD≦dの間でしか変化しそうにないので、どこかでBD=cになるのでは…？と思ったのですが、この考え方は間違っているでしょうか？
No.83708 - 2022/10/24(Mon) 23:46:04
☆ Re: 四面体の問題 / らすかる
AB=BCならばACを軸として回転させればDはBに重なりますが、
AB≠BCの場合は180°回転させてもDとBが一致しないため、BD→0とはならないですね。
ですから「どこかでBD=cになる」ことを示すためには
最小値がcより小さくなることを言う必要があります。
No.83710 - 2022/10/25(Tue) 00:40:23
☆ Re: 四面体の問題 / Mari
先生、御答ありがとうございます！

仰る通りでした。BとDは重ならないですね…所詮は浅知恵でしたTOT

ちなみに、先生でしたら、等面四面体を利用しないとしたら、どのように御解きになられるでしょうか？やっぱり利用しないと無理でしょうか？？
No.83714 - 2022/10/25(Tue) 15:41:24
☆ Re: 四面体の問題 / らすかる
いや、そのACを軸として回転させる方法でいけると思いますよ。
180°回転させたとき、△ABCが鋭角三角形であることからBD＜ACが言えます。
No.83715 - 2022/10/25(Tue) 15:43:57
☆ Re: 四面体の問題 / Mari
先生、『△ABCが鋭角三角形であることからBD＜ACが言えます。』がわからないです。

△ABCが鋭角三角形であることから言えることは、

a^2+b^2＞c^2とcが最大辺

だけですよね。そして、?僊BDが鋭角三角形であることから言えることは、

bが最大辺とa^2+BD^2＞b^2

だけですよね。c≧b＞BDという趣旨なのでしょうか。鋭角三角形という条件はどこで利用されているのでしょうか？
No.83717 - 2022/10/26(Wed) 01:02:45
☆ Re: 四面体の問題 / らすかる
180°回転させると△ABCと△ADCが重なりますが、このとき△ABCと△ADCはACの垂直二等分線に関して対称なので四角形BDCAは等脚台形となります。
そしてこのとき、△ABC（と△ADC）が鋭角三角形であることから、BD＜ACとなり、BDがcより小さい値をとることが言えます。
（もし∠BACが鈍角ならばBD＞ACとなります）
No.83718 - 2022/10/26(Wed) 06:58:05
☆ Re: 四面体の問題 / Mari
先生、御答ありがとうございます！よくわかりました！本当に助かりました^O^
No.83726 - 2022/10/27(Thu) 00:42:25
★ 定積分と係数決定 / John
数学2Bの問題です。
緑の部分で、どのように式変形したらこのようになるのですか？
No.83705 - 2022/10/24(Mon) 11:23:42
☆ Re: 定積分と係数決定 / ヨッシー

こういう変形です。
No.83706 - 2022/10/24(Mon) 16:06:32
☆ Re: 定積分と係数決定 / John
ありがとうございます。
とてもよく理解出来ました。
No.83719 - 2022/10/26(Wed) 09:44:06
★ (No Subject) / SK
43の2の問題が分かりません
わかる人解いて欲しいです。
No.83702 - 2022/10/23(Sun) 17:52:17
☆ Re: / IT
１はどうやりましたか？
ｘｙ、ｘ+ｙはいくらになりますか？
No.83704 - 2022/10/23(Sun) 18:42:57
★ (No Subject) / We
この問題、解いてほしいです。
No.83690 - 2022/10/23(Sun) 11:44:46
☆ (No Subject) / We
(1)までは、こう解きました。合っていますか。(2)(3)を特に詳しく知りたいです。
No.83691 - 2022/10/23(Sun) 11:46:11
☆ Re: / IT
2(2^(k-1)　-　k)　+　k　- 1　＞　0　（∵k≧3)
は、論述が少しまずいと思います。
帰納法の仮定である「2^(k-1) ＞ k」からこの不等式が言えてますので、そのことをここで明記すべきだと思います。
No.83695 - 2022/10/23(Sun) 14:56:04
☆ Re: / IT
(2)概要
a[1]≧2のとき、
　左辺≦na[n],右辺≧2^(n-1)a[n]
　(1)を使って、左辺＜右辺となり不適

a[1]＝1,a[2]≧2のとき
　左辺≦(n-1)a[n]+1,右辺≧2^(n-2)a[n]
　(1)を使って、左辺＜右辺となり不適
　　（ここが少し難しかも）
No.83696 - 2022/10/23(Sun) 15:34:33
★ 何が問題になっているのか… / Mari
x>0において定まるf(x)がある。

x>1のとき、0<y<xであって、f(x)=f(y)・f(1)を満たす実数yが存在する。

f(1)には、f(1)=Aとおくと、A・A^(-1)=1となるA^(-1)が存在する。

xが自然数であるとき、f(x)={f(1)}^mとなる自然数mが存在することを示せ。

問われていること自体が理解しがたいのですが、

f(y)=f(x)・A^(-1)かつ0<y<xを満たすyが存在するということは、そのようなyに対して、

f(z)=f(y)・A^(-1)=f(x)・A^(-2)かつ0<z<yを満たすzが存在することから、m=2は取れるし、また、そのようなzに対して、

f(w)=f(z)・A^(-1)=f(x)・A^(-3)かつ0<w<zを満たすwが存在することから、m=3は取れるし、

…ということを繰り返していけば、m=4、5、6、…と取れていけるという方向性が解答上の手掛かりになっているのでしょうか？

0<w<z<y<xといった感じで、自然数が下がるたびに、新たなmが取れるような気がしますが、

「f(x)={f(1)}^mとなる自然数mが存在することを示せ。」

という問題の結論への結び付け方がわからないです。御教授御願いします。
No.83688 - 2022/10/23(Sun) 11:37:04
☆ Re: 何が問題になっているのか… / ast
本題を解いてはいないのですが, いくつかすぐにわかること:

示すべきことは「どのような自然数 x が与えられたとしても, 適当な自然数 m をうまく選んで f(x)=A^m とできる」ということですから, m は偏った値しかとらないこともあり得ますしそれで矛盾しませんので
> m=2は取れるし、
> m=3は取れるし、
> m=4、5、6、…と取れていけるという方向性
は指針として無意味です (そもそも m の任意性は訊かれていない).

それと, 少なくとも
> f(z)=f(y)・A^(-1)=f(x)・A^(-2)かつ0<z<yを満たすzが存在することから、
では
> m=2は取れる
というのは出てきませんよね. (それとも, "m=2 が取れる" とは "f(z)=1 が成り立っている" と主張したいということ?)

また, x に対して条件を満たす y がとれることは x>1 のときにしか保証されない (当然ですが, y に対して条件を満たす z がとれるのは y>1 のとき, z に対して条件を満たす w がとれるのは z>1 のときにしか保証されない) ので,
> 0<w<z<y<xといった感じ
で推し進めたとして y,x,w,… の中に 1 以下のものが現れたならば, そのような操作はその時点で停止します (いつでも無限に続けられるという主張であるならば, いつでも 1 より大きくとれることを証明しなければならない).

----
後はまだ何も検討していませんが, もし仮に "自然数 x に対して条件を満たす y が必ず自然数である …(*)" ことが言えるのであれば話は単純で, 上記と同じ論法で y,x,w,… の中にちょうど 1 に等しいものが現れて, 停止するとともにそれまでにあらわれた文字 y,x,w,… の数が求める m であることはすぐにわかります (が, そもそも (*) が言えるかといえばそんな単純な話でもないかなとは思っている).
No.83692 - 2022/10/23(Sun) 11:49:04
☆ Re: 何が問題になっているのか… / IT
f(x)は何ですか？（実数値関数？行列値関数？）
＞f(1)には、f(1)=Aとおくと、A・A^(-1)=1となるA^(-1)が存在する。
f(x)が実数値関数なら、上記は単にf(1)≠0と書きますよね。
No.83693 - 2022/10/23(Sun) 12:20:41
☆ Re: 何が問題になっているのか… / IT
問題の転記ミス（ｆの条件の記入漏れ）では？

反例）
f(x)=1/x (0<x<1),f(x)=x(x≧1）とすると条件を満たす。

このときf(2)=2,f(1)=1 なのでf(2)={f(1)}^mとなる自然数mは存在しない。
No.83694 - 2022/10/23(Sun) 13:54:10
☆ Re: 何が問題になっているのか… / Mari
先生方、御答えありがとうございます。

レジュメの問題を丸写ししましたので、記載ミスはないです。

先生方の解説を読むと、出題ミスの感じですので、明日、学校の先生に質問してみます。
No.83699 - 2022/10/23(Sun) 16:10:07
☆ Re: 何が問題になっているのか… / Mari
先生、学校の先生に質問しました。以下、先生のコメントです。

この問題は、2002年の金沢大学理科系の問題だそうです。

当時は行列と言う単元があったらしく、私達は教わっていないので、問題を一部変更したそうです。

当時の実際の出題は、f(x)が、2次の行列というものらしく、括弧内の左上が√(1+3x^2)、右上が3x、左下がx、右下が√(1+3x^2)になっているそうです。

問題のxが自然数のところは、行列f(x)の各成分が自然数であるだそうです。

行列の掛け算のやり方は一応教わってきました。

ちゃんとした問題だから、冬休みまでゆっくり考えてみるといいと言われたんですが、できれば早く解決したいので、この問題が適正なら、やり方を教えて頂けないでしょうか？
No.83707 - 2022/10/24(Mon) 23:44:14
☆ Re: 何が問題になっているのか… / IT
むちゃくちゃな出題ですね。
> ちゃんとした問題だから

どの問題のことですか？　（金沢大入試はもちろんちゃんとした問題だと思いますが）

時間の無駄だと思いますが、適正な問題ならやる気でおられるのなら、
念のため、修正後の問題をすべてきちんと書いてみてください。
No.83709 - 2022/10/25(Tue) 00:26:39
☆ Re: 何が問題になっているのか… / IT
2002年の金沢大学理科系の問題と解答は下記のｐ42、ｐ48にあります。

青空学園数学科
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/
2002年問題研究
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/PDF/2002m.pdf
No.83711 - 2022/10/25(Tue) 00:49:21
☆ Re: 何が問題になっているのか… / ast
まあ, おかしな問題に頭を悩ませるのは止めにして, もとの入試問題の解答で用いられている「無限降下法」という論法 (帰納的証明法の一種) について調べることをおすすめします.
No.83713 - 2022/10/25(Tue) 03:09:57
☆ Re: 何が問題になっているのか… / 黄桃
元の問題の考え方に近いように作り直してみました。

[問題]
xを自然数としてf(x)=√(3x^2+1) と定義する。次の(1),(2)を証明せよ。
(1)xが１より大きく、かつ、f(x)が自然数であれば、xより小さい自然数yで、f(y)が自然数であって、しかも
f(x)+x√3=(f(y)+y√3)(f(1)+√3)
をみたすものが存在する。
(2)f(x)が自然数となる時、f(x)+x√3=(f(1)+√3)^n となるnが存在する。

[ヒント]
(1)の証明には、3x^2+1=(f(x))^2, つまり、1=(f(x))^2-3x^2 であることを上手に使いましょう。

[解題]
f(1)+√3=2+√3 の逆元が 2-√3 というやはり、整数+(整数)√3 という形であることがこの問題のポイント（元の問題でもA^(-1)の成分がすべて整数になるのがポイント）です。

[余談]
（高校の範囲からは外れる）ペル方程式と呼ばれるものの簡単な場合である a^2-3b^2=1 の自然数解を求めよ、という問題と同じです。
No.83716 - 2022/10/25(Tue) 23:32:29
★ 3次曲線外から引いた接線の本数 / John
数学2Bの問題です。

緑の部分の
極大値と極小値をもつからf´(x)＝0は異なる2つの実数解をもつ
というのはどうしてですか？
No.83679 - 2022/10/23(Sun) 09:48:55
☆ Re: 3次曲線外から引いた接線の本数 / ヨッシー
極大や極小は、f'(x)＝0 となるところで起こるという事は
ご存じと思います。
では、f'(x)＝0 となるｘが１つであるとき、そこで極大にも極小にもなることはあるでしょうか？
f'(x)＝0 となるｘが存在しない場合は言うまでもありません。
No.83682 - 2022/10/23(Sun) 10:05:02
☆ Re: 3次曲線外から引いた接線の本数 / John
ありがとうございます。
今思えば、とても初歩的な質問でした...
接線三本→接点3つ というのと混同していました…
No.83683 - 2022/10/23(Sun) 10:18:58
★ 2進法 / Mari
nを自然数とする。数wは、

w=2^i+2^j+2^k

の形に表されるものとする。ただし、i、j、kは自然数で、

1≦i≦j≦k≦nを満たすものとする。

wの値は全部で何個あるか。

全然わからないんですが、n=1、2、3あたりで調べてみた限りでは、wは、

(α)2^p

(β)2^q+2^r(q＜r)

(γ)2^s+2^t+2^u(s＜t＜u)

のいずれかの形になりそうで、

(γ)は、i、j、kがすべて異なればよさそうで、n個の自然数から3個選んで、nC3個。

(β)は、qの最小値が1で、rの最大値が、j=k=nの時でn+1なので、n+1個の自然数から2個選べばよさそうで、(n+1)C2個。

(α)は、何となく、i=j=m、k=m+1の時のみ実現しそうで、1≦mかつm+1≦nから、n-1個。

以上から、(n-1)+(n+1)C2+nC3くらいかなと思ったんですが、やはり答えと全然合わないです。(α)や(β)や(γ)の中に、重複するものでもあるんでしょうか。

問題のタイトルが2進法になっているのに、2進法を全く利用していないのが原因に思えるのですが、そもそも2進法が苦手で、解き方がわからないです。正しい解き方を御教授願います。
No.83676 - 2022/10/23(Sun) 01:27:23
☆ Re: 2進法 / IT
２進法の原理（１つの整数が１通りに表現される）からも分かるように
(α),(β),(γ)のどの２つも互いに共通部分（重複部分）はありません。
ざっと見たところ、それで合っているように思いますが、

問題集にある答えはいくらですか？
出典は何ですか？（前にもありましたが間違いが多いのでは？）
No.83677 - 2022/10/23(Sun) 01:30:43
☆ Re: 2進法 / らすかる
質問内容から若干それますが、
(β)の説明ではr=q+1になる場合の説明が含まれていませんので、もう少し説明を追加する必要があると思います。
No.83681 - 2022/10/23(Sun) 10:00:51
☆ Re: 2進法 / IT
(別解の概要)
w=2^i+2^j+2^k　で(i,j,k) が異なるのにwが互いに等しくなるのは

2^i+2^k+2^k = 2^(i-1)+2^(i-1)+2^(k+1) の場合で

2≦i≦k≦n-1 であり、全部でH((n-1),2)通り。

よって求めるwの値の個数は　H(n,3)-H((n-1),2)　　※Hは重複組み合わせの個数です。

これを計算すると(n^3+11n)/6 - 1で(n-1)+(n+1)C2+nC3　と等しくなる。
No.83685 - 2022/10/23(Sun) 10:40:41
☆ Re: 2進法 / Mari
先生方、御答えありがとうございます！

問題集と言いますか、学校で配られる○○レジュメ(○○は先生名なので伏せさせてください)というものの問題で、解説は冬休み前に配られるそうで、一応答えだけは載っていますが、その答えには、n(n+1)(n+2)/6-1となっています。

先生の「(β)の説明ではr=q+1になる場合の説明が含まれていませんので、もう少し説明を追加する必要があると思います。」の部分がわからないです。どのような記述が必要になるのでしょうか？
No.83686 - 2022/10/23(Sun) 10:46:42
☆ Re: 2進法 / IT
> n(n+1)(n+2)/6-1となっています。
それだとn=1のとき0、n=2のとき3になりますが、
正解は1,4 なので間違いですね。

（○○先生は、わざと間違いの答えを載せているのか？？）
No.83687 - 2022/10/23(Sun) 10:59:05
☆ Re: 2進法 / らすかる
> 先生の「(β)の説明ではr=q+1になる場合の説明が含まれていませんので、
> もう少し説明を追加する必要があると思います。」の部分がわからないです。
> どのような記述が必要になるのでしょうか？

(β)の説明ではj=k=nの場合しか言及していませんが、もう少し詳しく
書いた方がよいと思います。というのは、
i＜j=kの場合は r=q+1となることがない
i=j＜k-1の場合は q=1やr=n+1となることがない
という細かい制限事項がありますので、その辺に触れないと
きちんと細かく考えられているかどうかが解答から伝わって来ない
ということです。例えば
2^q+2^r(q＜r)という形になるのはi=j＜k-1の場合とi＜j=kの場合
i=j＜k-1のとき2≦q＜r≦n
i＜j=kのとき1≦q＜r-1≦n
よって1≦q＜r≦n+1となるようにq,rを選べばよいので、(n+1)C2個。
のように書けば大丈夫でしょう。
No.83689 - 2022/10/23(Sun) 11:38:24
☆ Re: 2進法 / Mari
先生方、御詳しく教えてくださり、ありがとうございます！

本当に助かりました！学校の先生と代わってほしいです^^
No.83697 - 2022/10/23(Sun) 15:56:56
☆ Re: 2進法 / らすかる
ごめんなさい、ちょっと考え落としがありました。
(β)では他にi=j=kの場合がありますね。
（このときq=i,r=i+1）
実際、上に書いたi=j＜k-1,i＜j=kだけだと
q=1,r=2となることがありませんでした。
No.83698 - 2022/10/23(Sun) 16:07:55
☆ Re: 2進法 / IT
この種の問題では、 Mariさんがやられたようにn=1、2、3あたりで具体的に調べてみることが有効で、一般解が出来たあとでも検算するのがセオリーかなと思います。
No.83700 - 2022/10/23(Sun) 16:22:39
☆ Re: 2進法 / IT
金沢大学2001年入試の大問の最後の小問のようですね。
下記の12ｐに問題だけあります。
https://www.densu.jp/book/2023spkanazawaspass.pdf

下記に解説解答があります。途中の解説は確認してないですが最後の答えの式は合っているようです。
https://www.youtube.com/watch?v=mq-5xr-Rks8
No.83712 - 2022/10/25(Tue) 01:03:30
★ 合同式 / まとろ
x=2,a=1009のとき
(2)1行目を満たす最小のXを求める問題なのですが、答えがX=2005とのことで合いませんでした、、
a^-1≡x (modm)を使って答えを出すのだと思うんですけど、、
No.83671 - 2022/10/22(Sat) 22:11:16
☆ Re: 合同式 / まとろ
画像です！
No.83672 - 2022/10/22(Sat) 22:11:43
☆ Re: 合同式 / ast
> 合いませんでした、、
実際には (計算結果は正答と) 合っています.
・法2017に関して-12と合同な整数はどのような数か一般形を考えてみてください.
・問われている「最小」はどのような範囲の数の中で考えるべきかきちんと留意してください
　 (少なくとも「条件を満たす最小の整数」は存在しません, 条件を満たすいくらでも小さい整数があります. つまりもっと狭い数の概念 (おそらく問題文に明記されてる蓋然性が高い) の範疇で「最小」のものが問われています.)

# それはそれとして, これが答案として提出されたら (さすがにバツまではつけられないけど)
# 個人的にはマルにしたくないレベルで酷い…… (式がぐちゃぐちゃ書いてあるだけで論理も理屈も何も伝わってこない)
No.83678 - 2022/10/23(Sun) 05:42:52
☆ Re: 合同式 / まとろ
ありがとうございます！！がんばります（ ; ; ）
No.83703 - 2022/10/23(Sun) 18:09:27
★ 分数％ / 男子校
分数％について。私立中学生です。今回、定期考査の数量の試験で以下のような問題が出題されました。

　?DA,B2つの容器があり、Aの中には12％の食塩水が400g、Bの中には8％の食塩水が600g入っている。A,Bそれぞれから食塩水をxgずつ取り出し、　　　　　　　
　　AからのxgはBの中へ、BからのxgはAの中へ移してよくかき混ぜる。
　（1）よくかき混ぜた後のAの食塩水の濃度をxを用いて表せ

という問題なのですがA、B各々のxgに含まれる食塩水の量を調べて足し引きするという方針で良いのでしょうか。又、この場合答えとしては12−x/100％などと分数％の形でも良いのでしょうか。不躾な質問で申し訳有りません。
No.83663 - 2022/10/21(Fri) 21:23:54
☆ Re: 分数％ / X
＞＞A、B各々のxgに〜方針で良いのでしょうか。
それで問題ありません。
＞＞この場合答えとしては〜良いのでしょうか。
それで問題ありません。
No.83667 - 2022/10/22(Sat) 09:27:31
★ 整数 / Mari
nは自然数、x、yは、0≦x＜1、0≦y＜1を満たす実数とする。

(2^n-1)x+(3^n-2^n)yと(3^n-1)yがともに整数となるような、(x,y)の個数を求めなさい。

何度計算しても、(2^n-1)(3^n-1)となり、解答と合いません。正しい解き方を御教授願います。
No.83659 - 2022/10/21(Fri) 14:05:22
☆ Re: 整数 / らすかる
(2^n-1)x+(3^n-2^n)y と (3^n-1)y がともに整数
⇔
(2^n-1)x+(3^n-2^n)y-(3^n-1)y と (3^n-1)y がともに整数
⇔
(2^n-1)(x-y) と (3^n-1)y がともに整数

(3^n-1)yが整数になるためには y=s/(3^n-1) （ただし0≦s＜3^n-1）
(2^n-1)(x-y)が整数になるためには x-y=t/(2^n-1) （ただし0≦t＜2^n-1）
となっている必要があります。

※※※ t＜0を考え落としていますので、その分の追加検討が必要です。
※※※ 以下はt≧0の分のみです。

また0≦x＜1なので
0≦s/(3^n-1)+t/(2^n-1)＜1も必要です。
もし0≦s/(3^n-1)+t/(2^n-1)＜2ならば(2^n-1)(3^n-1)個ですが
このうち約半数が1≦s/(3^n-1)+t/(2^n-1)＜2となりますので
それを考慮しなければなりません。
s＞0,t＞0ならば
0＜s/(3^n-1)+t/(2^n-1)＜1 となるものと
1＜s/(3^n-1)+t/(2^n-1)＜2 となるものは同数ですから、
s/(3^n-1)+t/(2^n-1)=1となる個数をaとすると
0≦s/(3^n-1)+t/(2^n-1)＜1となる個数は
{(2^n-2)(3^n-2)-a}/2+(2^n-1)+(3^n-1)-1
=(6^n-a)/2-1個です。
aは、2^n-1と3^n-1が互いに素であればa=0ですが、
そうでないときa＞0になります。
例えばn=4のときgcd(2^4-1,3^4-1)=5であり
3/(2^4-1)+64/(3^4-1)
6/(2^4-1)+48/(3^4-1)
9/(2^4-1)+32/(3^4-1)
12/(2^4-1)+16/(3^4-1)
の4つが1になります。
つまりa=gcd(2^n-1,3^n-1)-1ということです。
従って求める(x,y)の個数は
{6^n-gcd(2^n-1,3^n-1)+1}/2-1
={6^n-gcd(2^n-1,3^n-1)-1}/2
になると思います。
（変な答えなので若干自信なし）
No.83660 - 2022/10/21(Fri) 15:05:33
☆ Re: 整数 / IT
> (2^n-1)(x-y)が整数になるためには x-y=t/(2^n-1) （ただし0≦t＜2^n-1）
x-y が負でも良いのでは？
No.83661 - 2022/10/21(Fri) 19:26:03
☆ Re: 整数 / らすかる
御指摘ありがとうございます。確かにそうですね。
そうすると…
t＜0の場合はちょっと面倒そうですね。
No.83662 - 2022/10/21(Fri) 20:45:37
☆ Re: 整数 / IT
例えば　n=4 の場合、2^n-1＝15,3^n-1=80 で
y = s/80 を[0,1) に取り
1/15刻みの目盛りの定規を考え、
y に目盛りの一つを合わせたとき[0,1)内にいくつの目盛り（ここがx)が入るかを考えると、その個数はyの位置に関わらず常に15個。
No.83664 - 2022/10/21(Fri) 21:24:23
☆ Re: 整数 / IT
求める(x,y)の個数は(2^n-1)(3^n-1) であっているような気がしますが､書いてある解答はいくらですか？
No.83665 - 2022/10/21(Fri) 21:34:43
☆ Re: 整数 / らすかる
上の回答は間違いでしたのでやり直しです。


(2^n-1)x+(3^n-2^n)y と (3^n-1)y がともに整数
⇔
(2^n-1)x+(3^n-2^n)y-(3^n-1)y と (3^n-1)y がともに整数
⇔
(2^n-1)(x-y) と (3^n-1)y がともに整数

(3^n-1)yが整数になるためには y=s/(3^n-1) （ただし0≦s＜3^n-1）
(2^n-1)(x-y)が整数になるためには x-y=t/(2^n-1) （ただし-2^n+1＜t＜2^n-1）
となっている必要があります。
sは0〜3^n-2の3^n-1通りなのでyは3^n-1通り
x=y+t/(2^n-1)について
t=0のときx=yなのですべて条件を満たす
t=1のときとt=-2^n+2のときを合わせて考えると
1/(2^n-1)-(-2^n+2)/(2^n-1)=1なので
0≦s/(3^n-1)+(-2^n+2)/(2^n-1)ならば
0≦s/(3^n-1)+(-2^n+2)/(2^n-1)＜1 なので
1≦s/(3^n-1)+1/(2^n-1)＜2 となり
t=1,-2^n+2のうちt=-2^n+2の方だけ条件を満たす
s/(3^n-1)+(-2^n+2)/(2^n-1)＜0ならば
-1＜s/(3^n-1)+(-2^n+2)/(2^n-1)＜0 なので
0＜s/(3^n-1)+1/(2^n-1)＜1 となり
t=1,-2^n+2のうちt=1の方だけ条件を満たす
従ってyの各値に対してt=1またはt=-2^n+2のどちらか一つだけが成り立つので
t=1とt=-2^n+2を合わせて3^n-1通りになる
同様に
t=2のときとt=-2^n+3のときを合わせて3^n-1通り
t=3のときとt=-2^n+4のときを合わせて3^n-1通り
・・・
t=2^n-2のときとt=-1のときを合わせて3^n-1通り
のようになり、結局全部で
(2^n-1)(3^n-1)通りになる。

というわけで、(2^n-1)(3^n-1)通りで合っていると思います。
No.83666 - 2022/10/21(Fri) 22:24:21
☆ Re: 整数 / Mari
先生方、御答ありがとうございます。

ですが、解答は、2^n・3^n・(3^n-2^n)となっております…

先生の解答は私も納得できますし、似たように解いたのですが…
No.83673 - 2022/10/22(Sat) 23:33:38
☆ Re: 整数 / IT
n=1 のときを考えると
　2^n・3^n・(3^n-2^n)＝6は誤りであることがわかりますね
No.83675 - 2022/10/23(Sun) 01:18:47
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