添付画像の大問９について質問です。
自分で計算したところ、本に記載されている右辺と一部が一致しません。
間違っている部分をご指摘いただけないでしょうか。
途中計算は追って画像を投稿します。
よろしくおねがいいたします。
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No.45567 - 2017/08/22(Tue) 16:31:23
| ☆ Re: 法単位ベクトル / たなお | | | 途中計算です。
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No.45568 - 2017/08/22(Tue) 16:31:50 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / angel | | | 何が問題かと言われると…。
例えば曲面が 平面x=0だと、そもそも x,y決めてもzが決まらないよね…というのはさておき。
最大の問題はおそらく、曲面の水準を示す関数として命名した z と、空間上の座標の1要素に過ぎない z を同一視してしまったこと。
それと、偏微分係数同士の積にも誤解がありそうでしょうか。
常備分で一般に dw/dv・dv/du=dw/du というのはまあ良いのですが、
偏微分で ∂w/∂v・∂v/∂u=∂w/∂u というのはN.G.です。
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No.45577 - 2017/08/22(Tue) 19:44:22 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / angel | | | で。これは grad ( grad F=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z) ) の基本的な性質なので、典型的な示し方になるのかな…と思います。偏微分と全微分の話です。
全微分 dF=∂F/∂x・dx+∂F/∂y・dy+∂F/∂z・dz に対して、
曲面上では F=0 ( 一定 ) のため dF=0
すなわち、曲面上の任意の微小ベクトル(dx,dy,dz)に対し、
内積 (∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)・(dx,dy,dz)=0
これは、(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z) が曲面に対する法線ベクトルであることに他ならない。
こんな感じです。
P.S.以前の45518に対する回答内容に指摘事項がありましたので追加しています。お気づきでなければ念のため
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No.45579 - 2017/08/22(Tue) 19:59:35 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / たなお | | | angel さん
回答ありがとうございます。
偏微分係数同士の積について、完全に勘違いしておりました。常微分と混ぜて考えてはいけないですね。。
後半の説明も理解できましたが、一点だけ質問を。
＞最大の問題はおそらく、曲面の水準を示す関数として命名した z と、空間上の座標の1要素に過
＞ぎない z を同一視してしまったこと。
この部分がよくわからないです。F(x,y,z) = 0 ⇒ z = z(x,y) とみなせることは問題ないですよね？
「曲面の水準を示す関数として命名した z」が「z(x,y)」のことで、「空間上の座標の1要素に過ぎない z」が左辺のことかとは思いますが、「同一視してしまった」というところがいまいち分かりません。
「同一視してしまった」ということの意味と、その問題点についてもう少し詳し目にお願いできますでしょうか。理解力不足で申し訳在りません。
よろしくお願いいたします。
＜P.S.に対して＞
ありがとうございます！全く気が付きませんでした！
ご指摘内容、理解できました！
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No.45584 - 2017/08/22(Tue) 21:11:30 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / たなお | | | angel さん
すいません、45518に対する指摘事項について、理解できたと返答したのですが、その後一箇所疑問が生じました。
該当のスレッドに対して投稿したので、ご回答いただけますでしょうか？
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No.45587 - 2017/08/22(Tue) 21:55:08 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / angel | | | > 「同一視してしまった」ということの意味と、その問題点についてもう少し詳し目にお願いできますでしょうか。理解力不足で申し訳在りません。
あー…。すいません、ちょっとそこは不適切だったかも知れません。確かに z を同一視するやり方はありますね。書き方としては次のようなものが考えられます。
ただし前提として、「曲面F(x,y,z)=0 の高さ z が x,y の関数で表せる」ものとします。
全微分 dF=∂F/∂x・dx+∂F/∂y・dy+∂F/∂z・dz において
曲面上では dF=0, dz=∂z/∂x・dx+∂z/∂y・dy より
0=∂F/∂x・dx+∂F/∂y・dy+∂F/∂z・(∂f/∂x・dx+∂f/∂y・dy)
⇔ (∂F/∂x+∂F/∂z・∂z/∂x)dx + (∂F/∂y+∂F/∂z・∂z/∂y)dy = 0
今度は「曲面上の任意の(dx,dy,dz)で」ではなく、単に「任意の(dx,dy)で」なので、ここから
∂F/∂x+∂F/∂z・∂z/∂x=0
∂F/∂y+∂F/∂z・∂z/∂y=0
で、先に出していた法線ベクトル (-∂z/∂x,-∂z/∂y,1) を ∂F/∂z倍すると、
∂F/∂z・(-∂z/∂x,-∂z/∂y,1)
=(-∂F/∂z・∂z/∂x,-∂F/∂z・∂z/∂y,∂F/∂z)
=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)
ということで、(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)が法線ベクトルと分かります。
P.S.45518にも回答を追記しています
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No.45592 - 2017/08/22(Tue) 23:09:03 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / たなお | | | angel さん
回答ありがとうございます。
45518もありがとうございます。
質問よろしいでしょうか？
＞ ∂F/∂z・(-∂z/∂x,-∂z/∂y,1)
＞ =(-∂F/∂z・∂z/∂x,-∂F/∂z・∂z/∂y,∂F/∂z)
＞ =(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)
２行目から３行目の変化についてです。
「偏微分で ∂w/∂v・∂v/∂u=∂w/∂u というのはN.G.」というふうに伺いましたが、ここではそのNG操作をしているように思えます。私が最初にやっていたのとはどう違うのでしょうか？
また、符号のマイナスが消えたのは何故でしょうか？
もしかしたら初歩的なことかもしれませんが、よろしくお願いします。
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No.45594 - 2017/08/23(Wed) 00:47:21 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / angel | | | > ２行目から３行目の変化についてです。
それは、
> ∂F/∂x+∂F/∂z・∂z/∂x=0
> ∂F/∂y+∂F/∂z・∂z/∂y=0
これが分かった後だから、ですね。1つ目の式で移項を行えば ∂F/∂x+∂F/∂z・∂z/∂x=0 から -∂F/∂z・∂z/∂x=∂F/∂x
※zを重複して使うとそこらへん、紛らわしい…。実際は文字を分けた方が良いでしょう
なんにせよ今回大事なのは全微分の使い方です。
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No.45597 - 2017/08/23(Wed) 02:05:11 |
| ☆ Re: 法単位ベクトル / たなお | | | angel さん
あ、なるほどですね！わかりました！
ありがとうございます！
しつこくすいませんでした。
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No.45599 - 2017/08/23(Wed) 08:06:53 |
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