この(3)のやり方を解説してもらいたいです。答えは√3/16です。お願いします。
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No.46097 - 2017/10/01(Sun) 15:34:49
| ☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / さとし | | | No.46098 - 2017/10/01(Sun) 15:35:45 |
| ☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / X | | | 現在の高校数学で極座標を直接使った積分による面積の計算を 教えているという前提で回答しておきます。 (もし学習済みでないのであればその旨をアップして下さい。)
x≧(√6)/4 (A) の左辺を極座標に変換して rcosθ≧(√6)/4 0≦θ≦π/4よりcosθ>0に注意すると r≧(√6)/(4cosθ) ここで問題の曲線と(A)の境界線である 直線x=(√6)/4 との交点のθ座標がπ/6(計算は省略します) であることから積分範囲が θ:0→π/6 であることに注意して S=(1/2)∫[0→π/6]{{√(cos2θ)}^2}dθ-(1/2)∫[0→π/4]{(√6)/(4cosθ)}^2}dθ =(1/2)∫[0→π/6]{cos2θ-3/{8(cosθ)^2}}dθ =(1/2)[(1/2)sin2θ-(3/8)tanθ][0→π/6] =(1/16)√3 となります。
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No.46101 - 2017/10/01(Sun) 17:58:04 |
| ☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / さとし | | | 回答ありがとうございます。 そういう積分公式があるのは聞いたことはありました。 回答を見たのですが、r≧√6/4cosΘまでは理解できましたが、それ以降がわかりません。すみません、もう一度よろしいでしょうか。
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No.46105 - 2017/10/02(Mon) 14:04:24 |
| ☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / X | | | まず問題の曲線である r=√(cos2θ) をxy座標に変換すると (x^2+y^2)^2=x^2-y^2 (P) となります。 これと(A)の境界線である x=(√6)/4 (Q) とをx,yについての連立方程式として解きます。 ((Q)を(P)に代入するとyの四次方程式になりますが y^2=t と置き換えることでたすき掛けで解くことができます。) (但し0≦θ≦π/4よりy>0に注意) すると y=1/(2√2) つまりxy座標での(P)(Q)の交点の座標は ((√6)/4,1/(2√2)) これを再度極座標に変換するとθ座標は π/6 となります。(これは計算で確かめて下さい) 次に >>S=(1/2)∫[0→π/6]{{√(cos2θ)}^2}dθ-(1/2)∫[0→π/4]{(√6)/(4cosθ)}^2}dθ について。 以下極座標で書くと、Sは 曲線r=√(cos2θ),直線θ=0,π/6 で囲まれた図形の面積から 直線rcosθ=(√6)/4(x=(√6)/4のことです) 及び直線θ=0,π/6 で囲まれた図形の面積を引いたものになります。 ここで rcosθ=(√6)/4 から r=(√6)/(4cosθ) となることと極座標における定積分による 面積の公式により、Sは件のような式で 計算できます。
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No.46109 - 2017/10/02(Mon) 18:41:04 |
| ☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / さとし | | | 以下極座標で書くと、Sは 曲線r=√(cos2θ),直線θ=0,π/6 で囲まれた図形の面積から 直線rcosθ=(√6)/4(x=(√6)/4のことです) 及び直線θ=0,π/6 で囲まれた図形の面積を引いたものになります。
の部分がグラフ的にわかりません。 ✳すみません、素人で(涙)
よろしければグラフであらわしてもらえませんか?
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No.46114 - 2017/10/03(Tue) 10:06:28 |
| ☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / X | | | グラフにするとこんな感じになります。 注)直線θ=0とはつまりx軸の正の部分のことです。
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No.46126 - 2017/10/03(Tue) 19:09:36 |
| ☆ Re: レムニスケート(式と曲線) / さとし | | | グラフありがとうございます。なんとなくイメージが掴めました!もう一度やってみます!
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No.46131 - 2017/10/04(Wed) 08:42:04 |
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