ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 中2数学　場合分け / 中2

中2です。場合分けの問題です。

ABCDEの五人から三人ずつ選ぶ時、組み合わせは何通りあるか
解答　10通り

この問題を解く時、私は普通に樹形図で解いたんですけど、先生が「五人から三人を選ぶのは、五人から二人を選ばないのと同じ」と言っていました。言ってることはなんとなくわかるんですけど、五人から二人選ばない解き方が思いつきません。
わかりやすく教えてくださると嬉しいです。

No.84725 - 2023/01/24(Tue) 23:57:10

☆ Re: 中2数学　場合分け / らすかる

二人選ばないということは、「選ばない二人を決める」ということですから、結局「五人から二人を選ぶ」のと同じ数になります。

No.84727 - 2023/01/25(Wed) 05:08:42

☆ Re: 中2数学　場合分け / 中2

> 二人選ばないということは、「選ばない二人を決める」ということですから、結局「五人から二人を選ぶ」のと同じ数になります。

ありがとうございます。五人から二人選んだ（二人選ばなかった）ときの組み合わせと、五人から三人選んだときの組み合わせをやってみたら確かに同じになりました！助かりました。

No.84736 - 2023/01/27(Fri) 06:26:33

★ (No Subject) / やゆん

算数小学6年です。
問) Aの自動車のタイヤは、1秒間に5回転し、そのときの時速が40kmです。また、同じタイヤで、Bの自動車は、1秒間に8回転します。Bの自動車の時速を求めなさい。

解法)40÷5=8より、1秒間にタイヤが1回転するときの時速8km、これに8をかけると8回転するときの時速が求められる。8×8=64

答え)時速64km

時速を秒速に変換し、÷5、×8をして出た秒速160/9mを時速に変換しました。
答えが時速64kmで、変換なし計算の答えと同じでした。
ただ、何故答えが同じなのか分かりません。

No.84721 - 2023/01/24(Tue) 20:54:23

☆ Re: / ヨッシー

時速○kmを秒速□m に変換するときは、
3600で割って、1000を掛けます。つまり、3.6で割ります。
逆の場合は 3.6 を掛けます。
秒速に直す解き方では
　40÷3.6÷5×8
ここまでが秒速160/9mであり、これを時速に直すのに3.6を掛けると
　40÷3.6÷5×8×3.6
なので、40÷5×8 に対して、3.6で割って3.6を掛けているので、答えは同じになります。

No.84728 - 2023/01/25(Wed) 06:11:43

☆ Re: / ast

# 正直, No.84673 で一致を確認したことで現時点の理解としては十分だと思っていますが…….

本質的にはヨッシーさんのご回答から外れるものではないですが, 今回の問題で全く同じ比としてあらわされるものに↓以下のようなものがあります:

　　(Aの時速) : (Bの時速)
　= (1時間あたりにAが進んだ距離) : (1時間あたりにBが進んだ距離)
　= (1時間あたりのAのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ) : (1時間あたりのBのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ)
　= (1時間あたりのAのタイヤの回転数) : (1時間あたりのBのタイヤの回転数)
　= 3600×(1秒あたりのAのタイヤの回転数) : 3600×(1秒あたりのBのタイヤの回転数)
　= (1秒あたりのAのタイヤの回転数) : (1秒あたりのBのタイヤの回転数)　　// 問題で与えられた情報
　= (1秒あたりのAのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ) : (1秒あたりのBのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ)
　= (1秒あたりにAが進んだ距離) : (1秒あたりにBが進んだ距離)
　= (Aの秒速) : (Bの秒速)

↑ここでは, "ある一定の時間 (例えば1秒) で進んだ距離" が "一定時間当たりの回転数×タイヤの一周の長さ" に等しいことや, それが走らせる時間の長さに比例することなどの事実を用いていますがそれは本論ではないと思いますので割愛します (本論は「2数の比はその2数に同じ数を掛けて得られる2数の比に等しい」という比の性質だと思いますので).
※ここでは距離および長さの単位は [km] と考えてください. もちろん [m] に関して同じような式が作れますし, それらを上記の等式の途中に挟み込むこともできます.

No.84730 - 2023/01/25(Wed) 19:34:15

★ 8球の和集合の体積 / 大西

rを正の実数の定数とするとき

領域D1:(x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D2:(x+r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D3:(x-r)^2+(y+r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D4:(x-r)^2+(y-r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D5:(x+r)^2+(y+r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D6:(x-r)^2+(y+r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D7:(x+r)^2+(y-r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D8:(x+r)^2+(y+r)^2+(z+r)^2≦3r^2
D=D1∪D2∪D3∪D4∪D5∪D6∪D7∪D8
とするときDの体積を求めよ。

東京工業大学の問題だと思うのですが、解答が見当たらなくて解けなくて困っています。
教えてください。

No.84720 - 2023/01/24(Tue) 20:42:34

☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT

３次元（立体）だと難しいので２次元（平面）で考えます。
z=a での断面を調べて積分するぐらいかな（面倒ですね）

No.84722 - 2023/01/24(Tue) 21:38:51

☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT

領域D1:(x-r)^2+(y-r)^2+(a-r)^2≦3r^2 と
領域D4:(x-r)^2+(y-r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D2:(x+r)^2+(y-r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D7:(x+r)^2+(y-r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D3:(x-r)^2+(y+r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D6:(x-r)^2+(y+r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D5:(x+r)^2+(y+r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D8:(x+r)^2+(y+r)^2+(a+r)^2≦3r^2
は

それぞれ円の内部（円周も含む。空の場合もあり）であり、ｚの値a によって　一方が他方を含みますので
各aの値について、大きい方の４つの円の位置関係で分類し、和集合の面積を計算すれば出来ると思います。
（対称性を使って、片側だけ計算して２倍する）

No.84723 - 2023/01/24(Tue) 21:53:39

☆ Re: 8球の和集合の体積 / 大西

ITさんご返事ありがとうございます。

z=aで切って求めるのが良さそうなのですね。
隣り合う領域が3つ重なっているところがあるような気がして立体がイメージできませんでした。

対称性を考えるとx≧0,y≧0,z≧0の領域だけ考えて8倍しても
良さそうな気がしたのですが違うのでしょうか？

No.84724 - 2023/01/24(Tue) 23:30:47

☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT

> 対称性を考えるとx≧0,y≧0,z≧0の領域だけ考えて8倍しても
> 良さそうな気がしたのですが違うのでしょうか？

良いと思います。

No.84726 - 2023/01/25(Wed) 01:00:52

☆ Re: 8球の和集合の体積 / 大西

ITさんご返事ありがとうございます。

挑戦してみます。

ありがとうございました。

No.84729 - 2023/01/25(Wed) 10:46:51

★ (No Subject) / 吉田　

7ケタの自然数のうち, 1がちょうど２個連続して並ぶようなものはいくつあるか。また, そのような数のうち, 偶数が1と隣り合わないものはいくつあるか。

この問題の解答を教えていただけますでしょうか。よろしくおねがいいたします。

No.84710 - 2023/01/23(Mon) 18:30:53

☆ Re: / IT

例えば、1100110 は含まれますか？

No.84711 - 2023/01/23(Mon) 18:44:37

☆ Re: / 吉田　

返信ありがとうございます。含まれます。
しかし, 1112301 は1が３個連続しているので含まれません。
同様に 0471156 などは先頭に0がくるので６ケタの自然数となり含まれません。

No.84712 - 2023/01/23(Mon) 18:58:48

☆ Re: / IT

けっこう面倒ですね。
条件を満たす１の配置をすべて列挙して、それぞれ残りの数の並べ方を計算する方法しか、ぱっとは思いつきません。

No.84714 - 2023/01/23(Mon) 21:03:13

☆ Re: / らすかる

例えば、1110110は含まれますか？

No.84715 - 2023/01/24(Tue) 00:04:38

☆ Re: / 吉田　

返信ありがとうございます。
含まれません。1110110 は1が連続して三個以上並んでいるので, 1が「ちょうど２個」連続して並ぶという条件に反します。

No.84716 - 2023/01/24(Tue) 13:13:55

☆ Re: / 吉田　

答えだけでも教えていただけないでしょうか。

No.84717 - 2023/01/24(Tue) 13:14:43

☆ Re: / らすかる

では1100100も含まれないということでいいでしょうか？
（条件がきちんとわからない状態では答えも出せません）

No.84718 - 2023/01/24(Tue) 13:57:08

☆ Re: / らすかる

もし
・1は必ず、ちょうど2桁連続でなければならない
・1は存在しなければならない
という条件で良ければ
以下でxは1以外の数字、yは0,1以外の数字
11xxxxx: 9^5通り
y11xxxx,yx11xxx,yxx11xx,yxxx11x,yxxxx11:
それぞれ8×9^4通りなので全部で40×9^4通り
11x11xx,11xx11x,11xxx11:
それぞれ9^3通りなので全部で3×9^3通り
y11x11x,y11xx11,yx11x11:
それぞれ8×9^2通りなので全部で24×9^2通り
従って全部で
9^5+40×9^4+3×9^3+24×9^2=325620通り
となります。

No.84719 - 2023/01/24(Tue) 14:09:01

☆ Re: / 吉田　

答えを出してもらった後で申し訳ないのですが, 題意としては
・1が連続して存在するところがある
・1が連続しているところは, 2ケタ以下である。
ということでした。抽象的ですいません。

1100011, 0110010, 1101101 含みます。
1001110, 1000100, 1110110 含みません。

「存在する1は必ず２ケタ連続である」といった題意ではありません。

No.84733 - 2023/01/26(Thu) 10:58:56

☆ Re: / らすかる

その条件ならば、上の場合分けに追加すると場合分けが結構多くなって
計算間違いの可能性が増えますので、ちょっと方法を変えます。
(先頭桁)≠0をいちいち場合分けすると大変ですので、機械的な計算で済むように
「先頭桁0を含む7桁の数(10^7通り)で条件を満たすもの」
－「先頭桁0を含む6桁の数(10^6通り)で条件を満たすもの」
として計算します。
先頭桁0を含む7桁の数において
11が一つで他は1以外
→ 1以外の数字を5個並べ、間または端計6箇所中1箇所に11を入れる
→ 9^5×6C1個
11が一つと1が一つで他は1以外
→ 1以外の数字を4個並べ、間または端計5箇所中2箇所に11と1を入れる
→ 9^4×5P2個
同様に
11が一つと1が二つ → 9^3×4C3×3C1個
11が二つ → 9^3×4C2個
11が二つと1が一つ → 9^2×3C1個
先頭桁0を含む6桁の数でも同様に
11が一つ → 9^4×5C1個
11が一つと1が一つ → 9^3×4P2個
11が一つと1が二つ → 9^2×3C1個
11が二つ → 9^2×3C2個
のようになりますので、問題の条件を満たすものは
(9^5×6C1+9^4×5P2+9^3×4C3×3C1+9^3×4C2+9^2×3C1)
-(9^4×5C1+9^3×4P2+9^2×3C1+9^2×3C2)
=456840個
となります。

No.84735 - 2023/01/26(Thu) 12:43:09

★ 円順列の隣り合わない方法について / さや

父、母、息子2人、娘2人が円形のテーブルに向かって座るとする。
女性が隣合わない方法は何通りあるか？

という問題で、
まず男性を固定して男性の並べ方が(3-1)! 次に男性の間3箇所に女性3人を並べるので(3-1)！
これらをかけて2×2=4通りを全ての円順列(6-1)！から引く　
と考えたのですが、女性を並べる時は円順列にならないみたいです。理由を教えて下さい😢　

No.84695 - 2023/01/22(Sun) 16:03:35

☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / IT

男性３人を並べた後の男性の間３つは、それぞれ異なる性質を持っているからです。

具体的に図示して考えると良いと思います。

No.84697 - 2023/01/22(Sun) 16:29:20

☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / さや

> 男性３人を並べた後の男性の間３つは、それぞれ異なる性質を持っているからです。
>
> 具体的に図示して考えると良いと思います。

男性は固定したから円順列で考えたけど隙間は何も固定してないからふつうの順列で考えるということですか？

No.84698 - 2023/01/22(Sun) 16:39:26

☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / IT

> 男性は固定したから円順列で考えたけど隙間は何も固定してないからふつうの順列で考えるということですか？

逆ですね、円順列なので男性は１人を固定して考えた。
女性は、既に男性が座っているので　３つの席が区別されている。ので・・・　ということです。

No.84701 - 2023/01/22(Sun) 17:02:54

☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / さや

ありがとうございます。隙間を埋めるときは円順列の問題でも普通の順列で考えるんですね。

No.84708 - 2023/01/23(Mon) 14:35:22

☆ Re: 円順列の隣り合わない方法について / IT

なぜかを考えないで、表面的に考えると危険ですよ。

No.84709 - 2023/01/23(Mon) 18:20:36

★ 高校数学A / 吉田　

お世話になっております。

?@異なる(labeled)n個の玉を異なる(labeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?A異なるn個の玉を区別のない(unlabeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?B区別のないn個の玉を異なるｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

?@は全射の個数と一致して,
?Aは?@をk! で割ったスターリング数と一致しますが,
?Bはなぜ?@を n!で割った数と一致しないんでしょうか。

No.84640 - 2023/01/19(Thu) 16:12:44

☆ Re: 高校数学A / 吉田　

[1] 異なる(labeled)n個の玉を異なる(labeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[2] 異なるn個の玉を区別のない(unlabeled)ｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[3] 区別のないn個の玉を異なるｋ個の箱に入れるとき. 何通りありますか？ただし, どの箱にも一つ以上玉が入っているとします。

[1] は全射の個数と一致して,
[2] は [1] を k! で割ったスターリング数と一致しますが,
[3] はなぜ [1] を n! で割った数と一致しないんでしょうか。

> 文字化けしてしまいました。

No.84641 - 2023/01/19(Thu) 16:15:55

☆ Re: 高校数学A / ヨッシー

こういうのは、少なめの数で、実際にやってみれば、仕組みがわかります。
ＡＢＣＤＥ　５個の玉を３つの箱に入れます。
[1] で別々に扱っていた
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
　Ｄ　ＡＢＣ　Ｅ
　Ｄ　Ｅ　ＡＢＣ
　Ｅ　ＡＢＣ　Ｄ
　Ｅ　Ｄ　ＡＢＣ
の６通りは [2] では１通りと扱われます。
　ＡＢ　ＣＤ　Ｅ
などでも同じで、結局、[2] での１通りに対して、３個の箱をどう並べ替えるかの
違いになるので、[1] は [2] の 3! 倍の場合の数となります。

一方、[3] での１つの入れ方
　〇〇○　○　○
に相当する [1] の入れ方は
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
　ＡＢＤ　Ｃ　E
　ＡＢＤ　Ｅ　Ｃ
　　・・・
などで、5Ｃ3×２＝２０通り　あります。
これが決して　５！＝１２０通りではないのは、
　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ、ＢＡＣ　Ｄ　Ｅ、ＣＢＡ　Ｄ　Ｅ
などは区別されないので、そこまで多くはならないのです。
また、
　〇〇　〇〇　○
は、5Ｃ2×3Ｃ2＝３０通り　と先程とは違う倍率になります。
これも、一律何かで割る、ということにならない理由です。

No.84643 - 2023/01/19(Thu) 17:42:37

☆ Re: 高校数学A / 吉田　

> こういうのは、少なめの数で、実際にやってみれば、仕組みがわかります。
> ＡＢＣＤＥ　５個の玉を３つの箱に入れます。
> [1] で別々に扱っていた
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
> 　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
> 　Ｄ　ＡＢＣ　Ｅ
> 　Ｄ　Ｅ　ＡＢＣ
> 　Ｅ　ＡＢＣ　Ｄ
> 　Ｅ　Ｄ　ＡＢＣ
> の６通りは [2] では１通りと扱われます。
> 　ＡＢ　ＣＤ　Ｅ
> などでも同じで、結局、[2] での１通りに対して、３個の箱をどう並べ替えるかの
> 違いになるので、[1] は [2] の 3! 倍の場合の数となります。
>
> 一方、[3] での１つの入れ方
> 　〇〇○　○　○
> に相当する [1] の入れ方は
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ
> 　ＡＢＣ　Ｅ　Ｄ
> 　ＡＢＤ　Ｃ　E
> 　ＡＢＤ　Ｅ　Ｃ
> 　　・・・
> などで、5Ｃ3×２＝２０通り　あります。
> これが決して　５！＝１２０通りではないのは、
> 　ＡＢＣ　Ｄ　Ｅ、ＢＡＣ　Ｄ　Ｅ、ＣＢＡ　Ｄ　Ｅ
> などは区別されないので、そこまで多くはならないのです。
> また、
> 　〇〇　〇〇　○
> は、5Ｃ2×3Ｃ2＝３０通り　と先程とは違う倍率になります。
> これも、一律何かで割る、ということにならない理由です。

やっぱりそういう事ですよね。ありがとうございました。

No.84662 - 2023/01/20(Fri) 13:49:19

★ 教えてください。 / いち

【中３】です。

　図のように、線分ＡＢを直径とする円Ｏがある。また、線分ＡＢ上にＡ、Ｂと異なるＣをとり、ＡＣを直径とする円を円Ｏ‘とする。点Ｂから円Ｏ’に２つの接戦をひき、接点をそれぞれＰ、Ｑとする。さらに、２つの直線をＢＰ、ＢＱと円Ｏとの交点で、Ｂ以外の点をぞれぞれＤ、Ｅとする。
(２)円Ｏの半径を３cm、円Ｏ‘の半径を２cmとするとき、△ＣＰＥの面積を求めよ。

No.84633 - 2023/01/19(Thu) 14:53:31

☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー

図のように、ＦＧＨを決めます。

△Ｏ’ＰＢは直角三角形で、
　Ｏ’Ｐ＝２、Ｏ’Ｂ＝４
なので、△Ｏ’ＰＢ、△ＡＤＢ、△ＡＦＤなどは、３辺が
　１：２：√３
の直角三角形になります。

ＤＰ：ＰＢ＝ＥＱ：ＱＢ＝ＡＯ’：Ｏ’Ｂ＝１：２
メネラウスの定理より
　(ＰＧ/ＧＥ)(ＥＱ/ＱＢ)(ＢＤ/ＤＰ)＝１
よって、
　ＰＧ：ＧＥ＝２：３
つまり
　ＨＧ：ＧＦ＝２：３

ＡＦ：ＦＤ＝ＦＤ：ＦＢ＝１：√３　より
　ＡＦ：ＦＢ＝１：３
また、ＦＨ：ＨＢ＝ＤＰ：ＰＢ＝１：２　および、ＡＣ：ＣＢ＝２：１　より、
　ＡＦ：ＦＧ：ＧＨ：ＨＢ＝５：３：２：１０
　ＡＦ：ＦＧ：ＧＨ：ＨＣ：ＣＢ＝15：9：6：10：20

△ＡＤＢ＝３×３√３÷２＝(9/2)√3
四角形ＡＥＢＤ＝9√3
△ＤＥＢ＝(3/4)9√3＝(27/4)√3
△ＥＰＢ＝(2/3)(27/4)√3＝(9/2)√3
△ＣＰＥ＝(4/9)(9/2)√3＝2√3
と順に求められます。

No.84638 - 2023/01/19(Thu) 15:56:59

☆ Re: 教えてください。 / いち

メネラウスの定理を学習していません！それでも解けますか？

No.84657 - 2023/01/20(Fri) 04:25:49

☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー

メネラウスは不要でしたね。

ＰＧ：ＧＥ＝ＰＱ：ＤＥ＝ＰＢ：ＤＢ＝Ｏ’Ｂ：ＡＢ＝２：３

です。

No.84659 - 2023/01/20(Fri) 08:33:37

★ 複素数の計算 / ともや

iを虚数単位、nを自然数、zを0でない複素数、wをw=cos(2π/n)+i*sin(2π/n)とするとき、
(z-(1/z))*(wz-(1/(wz)))*(w^2*z-(1/(w^2*z)))*・・・*(w^(n-1)*z-(1/(w^(n-1)*z)))=z^n-(1/z^n)
が成り立つことを示したいのですが、左辺を展開してもうまくいきません。
教えてください。

w^(n-1)*zは、w^(n-1)かけるzを表しています。
1/(w^(n-1)*z))は、1を（w^(n-1)かけるz）で割っています。

No.84629 - 2023/01/19(Thu) 11:29:44

☆ Re: 複素数の計算 / ポテトフライ

n=2で成り立ちません。

問題はあっていますか？

No.84631 - 2023/01/19(Thu) 13:53:06

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

nを3以上の奇数に訂正します。

No.84632 - 2023/01/19(Thu) 14:23:40

☆ Re: 複素数の計算 / ポテトフライ

> nを3以上の奇数に訂正します。

自作問題ということですか？
それならば、自作問題であることを明記すべきです。（自作問題は不備があることが多く、世に出回る問題は何度も考え直されて、きちんと解けるようになっていることがほとんどです。個人でそれをやり切ることはかなり至難です。）

奇数の場合として
n=3
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(x-ωy)(x-ω~y)
ただしω=(-1+i*√3)/2、ω~でωの複素共役

となるので得たい形にはならないと思います。

関連するであろう話題として「円分多項式」があると思います。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F

No.84634 - 2023/01/19(Thu) 14:57:41

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

自作ですが、成り立つと思います。

(wz-1/wz)(w^2z-1/w^2z)
=w^3z^2-1/w-w/z+1/w^3z
=z^2-1/w-w+1/z^2
=z^2-w^2-w+1/z^2
=z^2+1+1/z^2
より
(z-1/z)(z^2+1+1/z^2)
=z^3+z+1/z-z-1/z-1/z^3
=z^3-1/z^3

どこか計算がおかしいでしょうか？

n=5と7と9の時も計算してみましたが成り立っていました。
どこからか成り立たなくなるのでしょうか？

No.84637 - 2023/01/19(Thu) 15:32:47

☆ Re: 複素数の計算 / ポテトフライ

>n=5と7と9の時も計算してみましたが成り立っていました。

なるほど。
私は細かく計算してないのでともやさんの計算を信じます。

あと題意の証明は帰納法くらいでしょうか。

※規則性が突然成り立たなくなる例はけっこうあります。
例えば、円分多項式の実数範囲での因数分解ではn=104までは係数が0、±1のどれかだが、n=105で係数に2が登場する、なんてこともあるので、もしかしたらどこかで不成立になる可能性もあるのかもしれないです。

No.84639 - 2023/01/19(Thu) 16:05:19

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

数学的帰納法も試したのですが、n=k⇒k+1の時の証明が私ではうまくいきませんでした。

No.84642 - 2023/01/19(Thu) 16:20:49

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

(z-(1/z))*(wz-(1/(wz)))*(w^2*z-(1/(w^2*z)))*・・・*(w^(2k-1)*z-(1/(w^(2k-1)*z)))に(w^(2k)*z-(1/(w^(2k)*z)))*(w^(2k+1)*z-(1/(w^(2k+1)*z)))をかけてz^(2k+1)-1/z^(2k+1)になるという証明になると思うのですが、
(w^(2k)*z-(1/(w^(2k)*z)))*(w^(2k+1)*z-(1/(w^(2k+1)*z)))(z^(2k-1)-1/z^(2k-1)がz^(2k+1)-1/z^(2k+1)にならないです。

No.84647 - 2023/01/19(Thu) 19:50:28

☆ Re: 複素数の計算 / ヨッシー

f(k)=(w^kz-(1/(w^kz))) で表すとすると、

z=5 のときの
　f(0)*f(1)*f(2)*f(3)*f(4)=z^5-1/z^5
を、z=3 のときの
　f(0)*f(1)*f(2)=z^3-1/z^3
から導こうとしても、z=5 のときは、
　f(0)*f(1)*f(2)=z^3-1/z^3
は成り立たない（w の値が違う）ので、
単純な帰納法ではうまくいかないと思います。

No.84648 - 2023/01/19(Thu) 20:05:38

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

ということは直接計算しないといけないのでしょうか？

No.84649 - 2023/01/19(Thu) 20:34:36

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

n=5と7と9でやるとwがすべてなくなり、

(z-1/z)(z^4+z^2+1+1/z^2+1/z^4)
(z-1/z)(z^6+z^4+z^2+1+1/z^2+1/z^4+1/z^6)
(z-1/z)(z^8+z^6+z^4+z^2+1+1/z^2+1/z^4+1/z^6+1/z^8)

になります。
nが奇数(2m+1)だとおそらく
(z-1/z)(z^2m+z^(2m-2)+…+1/z^2+1/z^4+…+1/z^2m)
になるのだと思います。

式の展開の途中でw^2m+w^2m-1+…+w=-1を使うところがたくさん出てきそうな気がしていますがなかなかうまく示せません。

No.84651 - 2023/01/19(Thu) 22:06:52

☆ Re: 複素数の計算 / IT

これぐらい規則的な等式が一般に成り立つなら、すでに発見・発表されてそうですね。

No.84652 - 2023/01/19(Thu) 22:55:08

☆ Re: 複素数の計算 / ものすごく当たり前なのでは？

両辺にz^nをかけてx=z^2とおくと
ただのx^n-1の因数分解では？

No.84653 - 2023/01/19(Thu) 23:09:06

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

(z-(1/z))*(wz-(1/(wz)))*(w^2*z-(1/(w^2*z)))*・・・*(w^(n-1)*z-(1/(w^(n-1)*z)))=z^n-(1/z^n)」
の両辺にz^nをかけてx=z^2と置いたときにwはどのように処理すれば良いのでしょうか？

No.84654 - 2023/01/19(Thu) 23:17:09

☆ Re: 複素数の計算 / ヨッシー

両辺ｚ^n を掛けて

(z^2-1)*(wz^2-(1/w))*(w^2*z^2-(1/w^2))*・・・*(w^(n-1)*z^2-(1/(w^(n-1))))=z^2n-1
（左辺）＝０は、ｎ個のカッコが掛けられており、それぞれから
　ｚ＝±1, ±1/w, ±1/w^2, ・・・±1/w^(n-1)
の２ｎ個の異なる解を持ちます。
一方、ｗ^(2n)＝１であるので、これら２ｎ個のｚは、(右辺)＝０の解でもあります。

さらに、左辺のｚ^2n の係数は
　w^{1+2+3+・・・(n-1)}＝w^{n(n-1)/2}＝(w^n)^{(n-1)/2}＝1　（ｎは奇数であるので)
以上より、左辺と右辺は恒等的に等しくなります。

No.84655 - 2023/01/20(Fri) 00:09:03

☆ Re: 複素数の計算 / ともや

みなさんありがとうございました。
質問が初めて解決して嬉しいです。

No.84658 - 2023/01/20(Fri) 07:18:15

★ (No Subject) / 榊

円筒座標系の三次元熱伝導方程式の導出について教えてほしいです。
参考のURLだけでも構いません。よろしくお願いします

No.84626 - 2023/01/19(Thu) 00:14:42

☆ Re: / X

x,yの組を極座標に変換して2回偏微分するだけです。

解析学の教科書で合成関数の偏微分の項目を
復習しましょう。

No.84627 - 2023/01/19(Thu) 06:34:45

☆ Re: / 榊

熱伝導方程式のxとyをそれぞれx=rcos θ y=rsinθ
にして2回偏微分するってことですか？

No.84636 - 2023/01/19(Thu) 15:28:28

☆ Re: / X

偏微分可能な関数f(x,y,z)に対し、合成関数の偏微分により
∂f/∂r=(cosθ)(∂f/∂x)+(sinθ)(∂f/∂y)
∂f/∂θ=(-rsinθ)(∂f/∂x)+(rcosθ)(∂f/∂y)
これらを∂f/∂x,∂f/∂yについての連立方程式
として解くと
∂f/∂x=(cosθ)(∂f/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂f/∂θ) (A)
∂f/∂y=(sinθ)(∂f/∂r)+{(1/r)cosθ}(∂f/∂θ) (B)
(A)から
{(∂^2)/∂x^2}f={(cosθ)(∂/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂/∂θ)}{(cosθ)(∂f/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂f/∂θ)}
=…
(B)から
{(∂^2)/∂y^2}f={(sinθ)(∂/∂r)+{(1/r)cosθ}(∂/∂θ)}{(sinθ)(∂f/∂r)+{(1/r)cosθ}(∂f/∂θ)}
=…

No.84644 - 2023/01/19(Thu) 18:19:10

☆ Re: / さんばのべ

Xさん、よろしければその続きも教えてほしいです。m(_ _;)m
m(_ _;)m

No.84664 - 2023/01/20(Fri) 18:12:19

☆ Re: / X

{(∂^2)/∂x^2}fだけ計算するので、参考にして
{(∂^2)/∂y^2}fはご自分でどうぞ。

{(∂^2)/∂x^2}f={(cosθ)(∂/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂/∂θ)}{(cosθ)(∂f/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂f/∂θ)}
={(cosθ)(∂/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂/∂θ)}{{(cosθ)(∂f/∂r)}
-{(cosθ)(∂/∂r)-{(1/r)sinθ}(∂/∂θ)}{{(1/r)sinθ}(∂f/∂θ)}}

={(cosθ)^2}{(∂^2)/∂r^2}f+{(1/r)(sinθ)^2}(∂f/∂r)-{(1/r)sinθcosθ}{(∂^2)/(∂θ∂r)}f
+(cosθ){(1/r^2)sinθ}(∂f/∂θ)-(1/r)(cosθsinθ){(∂^2)/∂r∂θ}f
+(1/r^2)sinθcosθ(∂f/∂θ)+{{(1/r)sinθ}^2}{(∂^2)/∂θ^2}f

={(cosθ)^2}{(∂^2)/∂r^2}f+{(1/r)(sinθ)^2}(∂f/∂r)
-(2/r)(sinθcosθ){(∂^2)/∂r∂θ}f+(2/r^2)sinθcosθ(∂f/∂θ)
+{{(1/r)sinθ}^2}{(∂^2)/∂θ^2}f

No.84670 - 2023/01/20(Fri) 19:51:07

★ 速さの変換について / やゆん

算数小学6年です。
問) Aの自動車のタイヤは、1秒間に5回転し、そのときの時速が40kmです。また、同じタイヤで、Bの自動車は、1秒間に8回転します。Bの自動車の時速を求めなさい。

解法)40÷5=8より、1秒間にタイヤが1回転するときの時速8km、これに8をかけると8回転するときの時速が求められる。8×8=64

答え)時速64km

質問)1秒間に→秒速で、時速と変換なしで計算してしまって大丈夫でしょうか。

No.84622 - 2023/01/18(Wed) 22:11:12

☆ Re: 速さの変換について / ast

# FYI: No.84167 から始まるスレッドの続きですね.

一度, 単位を変換して計算してみるのがよいでしょう. それだけできっとお望みの理由も含めてたくさんのことが分かると思います.

No.84624 - 2023/01/18(Wed) 22:54:46

☆ Re: 速さの変換について / やゆん

> # FYI: No.84167 から始まるスレッドの続きですね.
>
> 一度, 単位を変換して計算してみるのがよいでしょう. それだけできっとお望みの理由も含めてたくさんのことが分かると思います.

割り切れませんでした。

No.84645 - 2023/01/19(Thu) 18:47:33

☆ Re: 速さの変換について / ast

分数のままどうぞ

No.84646 - 2023/01/19(Thu) 19:39:25

☆ Re: 速さの変換について / やゆん

> 分数のままどうぞ

答えが同じになりました。
何故そうなったかは分かりません。

No.84673 - 2023/01/20(Fri) 20:32:07