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★ (No Subject) / たまご
中学3年

(問題)
4つの箱の中にそれぞれ異なる価格のお金が入っている。
下記条件において、一番多くお金が入っている箱を選ぶ
方法及び、その確率を回答して下さい。

条件

箱を一つ選び開けその中のお金をもらう事が出来る。もしくは、そのお金をもらうことをやめて2つ目の箱を開けることが出来る。しかし一度もらう事をやめたお金は二度ともらえる権利がない。2つ目をあきらめれば、3つ目の箱を開けられる。3つ目の箱のお金をあきらめれば、4つ目もトライできる。

一番お金をもらう為にはどのように行動すべきか。
また一番お金がもらえる確率は何か？

もし一つルールを追加できる場合、どのようなルールを追加しその場合、一番お金がもらえる確率はいくつになるか？

よろしくお願いします。
No.83519 - 2022/09/29(Thu) 22:28:36
☆ Re: / たまご
追加）

私の考えは、普通に選べば一番お金を得られる確率は1/4.
3つ目までは全て開けて、その価格が一つ目と2つ目より大きければもらう。そうでなければ、4つ目をもらうとすれば、
11/24になる？

これであっていると思いますか？
No.83520 - 2022/09/29(Thu) 22:45:22
☆ Re: / IT
それで合っていると思います。
{1,2,3,4}を並べる順列24通りについて、考えられる判断基準を当てはめてみて、たまごさんの判断基準が最良となりました。
たまごさんの判断基準以外の
a.１個目を取る。(2,3,4 個めでも同じ)
b. 初めて増加したとき取る。
c. ２回増加したとき取る。

いずれも「一番多くお金が入っている箱を選ぶ」確率は11/24 より低くなりますね。
No.83521 - 2022/09/30(Fri) 02:51:43
☆ Re: / らすかる
たまごさんのもらい方では確率は11/24でなく10/24=5/12になります。
そしてそのもらい方は確率最大ではありません。
以下のようにした方が大きくなります。
・最初の2つを開けて2つ目の方が大きければそれをもらう
・そうでないとき、3つ目を開けて3つ目が前の2つより大きければそれをもらう
・上記に該当しなければ4つ目をもらう
このようにすれば、確率は11/24になります。
No.83522 - 2022/09/30(Fri) 03:19:39
☆ Re: / IT
あっ、一つ数え間違えていました。らすかるさんのが正しいようです。

そもそも「初めて増加」だと、(3,1,2) などで明らかに最大でない２を選ぶことになってダメですね。

らすかるさんのように、
２つ以上開けたとき,最後に開けた方が開けた中で最大であったとき、それにする。４つ開けたときは４つめを取る（しかない）ということですね。


１つ目が最大の場合を拾うのは、明らかにベストではないので、それ以外の18通りのうちいくつ拾えるかを考えると良いですね。
No.83523 - 2022/09/30(Fri) 03:31:45
☆ Re: / たまご
IT さん、ラスカルさん

ご説明ありがとうございます。おかげさまで確率の問題がすっきりしました。
今後とも是非ともよろしくお願いします。
No.83526 - 2022/10/01(Sat) 07:02:07
☆ Re: / IT
箱の個数について一般化した問題は、「秘書問題」、「結婚問題」、「お見合い問題」などと呼ばれるようです。高校数学以上だと思いますが興味があれば読んでみてください。
http://www.iba.t.u-tokyo.ac.jp/iba/SE/Secretary.pdf
https://manabitimes.jp/math/1226
No.83529 - 2022/10/02(Sun) 11:42:19
★ (No Subject) / あ
お願いします
No.83518 - 2022/09/29(Thu) 16:11:04
★ 三角比 / A
友達に相談してもわからず、困っています。解き方と解答を教えてください。
No.83512 - 2022/09/28(Wed) 23:48:58
☆ Re: 三角比 / X
方針を。

PQ=h
とすると、条件から
AQ=htanα
BQ=htanβ
CQ=htanγ
後は、△AQB,△AQCにおいて、∠CAQに注目した
余弦定理をそれぞれ用いることで
h,cos∠CAQについての連立方程式を立てます。
No.83516 - 2022/09/29(Thu) 06:52:22
☆ Re: 三角比 / 職業，イケメン
落ち着いて丁寧に解けばわかります．分からなかったらお家の人や学校の先生・近所の方々と一緒に考えてみましょう．
No.83524 - 2022/09/30(Fri) 23:18:06
★ 漸化式 / U
a(1)=√3,a(n+1)={a(n)+1}/{1-a(n)}の求め方は分かるのですが、最終的な答えが代入して確かめると正しくありませんでした。計算過程と答えを書いてくれると嬉しいです
No.83508 - 2022/09/28(Wed) 20:04:46
☆ Re: 漸化式 / IT
＞求め方は分かる
どんな方法で、
＞最終的な答え
どんな答えになりましたか？
途中の要所も含めて書いてみてください。


b(n)=1/(a(n)+i) ,すなわち a(n)=(1/b(n))-i とおくと
元の漸化式は、簡単な形になりますのでそれから一般項が求められますが、

具体的に計算すると周期４であることが分かるので,地道にa(2),a(3),a(4),a(5) を計算するのが早いかも知れません。
No.83510 - 2022/09/28(Wed) 22:21:10
☆ Re: 漸化式 / ast
二成分の縦ベクトル (x;y) を 2×2 行列 A:=((1,1);(-1,1)) (行ベクトルを縦に並べた表示) を用いて
　(x;y) = A^(n-1).(√3;1)　(A の (n-1)-乗と縦ベクトル (√3;1) との行列の積)
で定めると, a[n]=x/y. また, A^4=-2^2E がちょうど単位行列の定数倍なので, {a[n]} は周期 4 で a[1],a[2],a[3],a[4] を繰り返す. a[1],a[2],a[3],a[4] は好きに計算すればいい.
No.83511 - 2022/09/28(Wed) 23:06:31
☆ Re: 漸化式 / IT
a(n+2)をa(n) で表してみると、見通しが良いかも知れません。
No.83513 - 2022/09/29(Thu) 00:24:24
★ (No Subject) / あ
お願いします
No.83507 - 2022/09/28(Wed) 19:50:36
☆ Re: / X
F(x)をf(x)の原始関数と定義しているのであれば、
方針は問題ないのですが、右辺の計算が間違っています。

置換積分により、f(a-x)の原始関数は-F(a-x)
∴(右辺)={-F(a-a)}-{-F(a-0)}
=F(a)-F(0)
No.83509 - 2022/09/28(Wed) 20:31:45
★ (No Subject) / あ
今から解答したものおくります。なぜこのようにしたらダメですか？
No.83506 - 2022/09/28(Wed) 19:49:59
☆ Re: / あ
2番です。お願いします
No.83515 - 2022/09/29(Thu) 06:48:40
☆ Re: / 小此木
xとかaに具体的な値でも入れてみて、e^xとe^(a-x)の値を比較してみては？
No.83517 - 2022/09/29(Thu) 11:48:03
☆ Re: / けんけんぱ
e^x=e^(a-x)と言える
というのは、
y=e^xとy=e^(a-x) が同じグラフである
ということでしょうか？
そんなはずないですよね？ありえないですよね。

0≦x≦aの範囲で
y=e^xとy=e^(a-x)を比べたら
x=a/2を軸に対称移動すれば同じ、ということならそうです。
No.83525 - 2022/10/01(Sat) 00:50:19
★ (No Subject) / help!
手も足もでません。解き方教えてください。途中式とか知りたいです！
No.83503 - 2022/09/27(Tue) 23:31:29
☆ Re: / ヨッシー
ｎ＝１　のとき
　a[1]a[2]＝2a[1]a[1]
ｎ＝２　のとき
　a[1]a[2]＋a[2]a[3]＝2(a[1]a[2]＋a[2]a[1])
ｎ＝３　のとき
　a[1]a[2]＋a[2]a[3]＋a[3]a[4]＝2(a[1]a[3]＋a[2]a[2]＋a[3]a[1])
・・・
のようなことが成り立つと書いてあります。

最初の数項を調べてみると、
　a[1]＝1, a[2]＝2, a[3]＝3, a[4]＝4
であり、a[n]＝n ではないかと推測できます。
これを数学的帰納法で証明します。

ここまでが解答の前段です。

普通なら、このあと、
n=1 のとき成り立つ
n=k のとき成り立つとしてn=k+1 を調べると・・・
となるのですが、この問題の場合はこうです。

n=1 のときは明らかに　a[n]＝n である。
自然数ｍについて、ｍ以下のすべての自然数ｎについて　a[n]＝n が成り立っているとき
a[m+1] を調べると・・・
No.83504 - 2022/09/28(Wed) 08:52:54
★ (No Subject) / Kevin
画像の問題の解説をお願いします！
No.83500 - 2022/09/27(Tue) 20:16:41
☆ Re: / IT
３　左辺は狭義増加連続関数であり、ｘ→∞で→∞なので
　　最小値を求めれば良いです。
No.83501 - 2022/09/27(Tue) 20:37:07
☆ Re: / X
2
条件から
O[2](0,0,-1)
∴↑BP=t↑O[2]B=(t√7,3t,3t) (A)
(t＞0)
と置くことができるので
r=|↑BP|=5t (B)
更に
O[1]P=6-r
∴O[1]P^2=(6-r)^2
|↑O[1]B+↑BP|^2=(6-r)^2 (C)
(A)(B)(C)より
(t√7+√7)^2+(3t+3)^2+(3t+2)^2=(6-5t)^2
これより
t=2/13
これを(B)に代入して
r=10/13
更に(A)から
↑O[1]P=↑O[1]B+↑BP
=((15/13)√7,45/13,32/13)
∴P((15/13)√7,45/13,32/13)
No.83505 - 2022/09/28(Wed) 18:07:13
★ (No Subject) / グーチョコラン
楕円の曲率半径を求めたいです。
楕円のパラメーターは長軸半径a=213568、短軸半径b=43432として、中心からの距離がS=213525の点の曲率半径を求めようとしています。添付ファイルのような計算で求めて、パソコンで計算したのですが、10e10くらいになります。桁落ちとかでは考えられないくらい違います。
計算間違いが自分では見つけられなかったのでどうかよろしくお願いします。
また、プログラミングの間違いの可能性もありますがそれも見つけられなかったので、自分がやるとこんな値になったよ、というのもお待ちしています。
No.83490 - 2022/09/26(Mon) 20:50:20
☆ Re: / グーチョコランタン
例えば、a=1,b=1.2,S=1.001のような値で考えると
曲率半径は1前後になりそうなものなのに、0.11などと出ます。
No.83494 - 2022/09/26(Mon) 22:29:39
☆ Re: / らすかる
a=213568
b=43432
S=213525
cosμ=0.99999131128294258772…
μ=0.00416862798525896561…
x=Scosμ=213523.14474169031604413199…
y=Ssinμ=890.10371259035747382227…
検算 √(x^2+y^2)=213525=S
検算 x^2/a^2+y^2/b^2=1
y'=-b/{a^2*√(1/x^2-1/a^2)}=-9.92091298728757716152…
y''=-(b/a^2)(1/x^2-1/a^2)^(-3/2)*x^(-3)=-0.11062291949087114956…
R=(1+y'^2)^(3/2)/|y''|=8961.79700738226672578702…
グラフを描いてみると、この値で正しそうです。
No.83495 - 2022/09/27(Tue) 02:27:02
☆ Re: / GandB
十進Basicの例

LET a = 213568
LET b = 43432
LET S = 213525
LET dmyD = s^2*(b^2-a^2)
LET dmyM = a^2*b^2-S^2*a^2
LET cs_u = SQR(dmyM/dmyD)
PRINT "cosμ = ";cs_u
LET x = S*cs_u
LET dmyD = a^2*SQR((1/x^2-1/a^2))
LET d_y = -b/dmyD
PRINT "y' = ";d_y
LET dmy = 1/x^2-1/a^2
LET dd_y = -(b/a^2)*dmy^(-3/2)*x^(-3)
PRINT "y'' = ";dd_y
LET dmyD = abs(dd_y)
LET dmyM = (1+d_y^2)^(3/2)
LET R = dmyM/dmyD
PRINT "R = ";R
END
-------------------------
結果
cosμ = .999991311282941
y' = -9.92091298725262
y'' = -.110622919489702
R = 8961.7970073832
No.83496 - 2022/09/27(Tue) 06:44:30
☆ Re: / グーチョコランタン
ラスカルさん、GrandBさん
大変助かりました。
間違ってたのはプログラミングで、-3/2乗が整数型で1になってたところでした。
お二人の回答でプログラミング間違いの確信＆間違い個所の特定ができたので感謝します。
No.83514 - 2022/09/29(Thu) 00:44:58
★ (No Subject) / μ
θの方程式√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+a=0が
0≦θ≦πの範囲に異なる2個の解を持つような実数aの範囲を求めよ
解説お願いします
No.83489 - 2022/09/26(Mon) 18:26:31
☆ Re: / X
方針を。

問題の方程式から
(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ=-a
そこで
f(θ)=(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ
と置き、横軸にθ、縦軸にyを取った
y=f(θ)のグラフ
を
0≦θ≦π (A)
の範囲で描き、これと
直線y=-a
との交点が2つとなるような
aの値の範囲を求めることとなります。

そこで(A)の範囲のf(θ)の増減表を
書くことになるのですが
f'(θ)=(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ
から、極値を与えるθの値に対し
(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ=0 (B)
を解くことになります。

(B)より
(√2)(cosθ+sinθ)-2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}=0
(√2)(cosθ+sinθ)-2(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=0
(√2)(cosθ+sinθ){1-(√2)(cosθ-sinθ)}=0
更に三角関数の合成を使うと
2{1+2sin(θ-π/4)}sin(θ+π/4)=0
∴(A)から
θ=π/12,3π/4

以上を使って件の増減表を書いていきます。


こちらの計算では求めるaの値の範囲は
-3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
となりました。
No.83492 - 2022/09/26(Mon) 21:57:36
☆ Re: / X
補足を。
f(π/12)の値を計算するため、f(θ)の
sinθ-cosθ
の部分は三角関数の合成を適用して整理しておきましょう。
No.83493 - 2022/09/26(Mon) 22:08:00
☆ Re: / μ
> 方針を。
>
> 問題の方程式から
> (√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ=-a
> そこで
> f(θ)=(√2)(sinθ-cosθ)-sin2θ
> と置き、横軸にθ、縦軸にyを取った
> y=f(θ)のグラフ
> を
> 0≦θ≦π (A)
> の範囲で描き、これと
> 直線y=-a
> との交点が2つとなるような
> aの値の範囲を求めることとなります。
>
> そこで(A)の範囲のf(θ)の増減表を
> 書くことになるのですが
> f'(θ)=(√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ
> から、極値を与えるθの値に対し
> (√2)(cosθ+sinθ)-2cos2θ=0 (B)
> を解くことになります。
>
> (B)より
> (√2)(cosθ+sinθ)-2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}=0
> (√2)(cosθ+sinθ)-2(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=0
> (√2)(cosθ+sinθ){1-(√2)(cosθ-sinθ)}=0
> 更に三角関数の合成を使うと
> 2{1+2sin(θ-π/4)}sin(θ+π/4)=0
> ∴(A)から
> θ=π/12,3π/4
>
> 以上を使って件の増減表を書いていきます。
>
>
> こちらの計算では求めるaの値の範囲は
> -3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
> となりました。

すいません。多分習っておらずf(θ)の増減表のところからわかりません。
No.83497 - 2022/09/27(Tue) 13:03:57
☆ Re: / X
それでは別解を。

問題の方程式から
2sin(θ-π/4)-cos(π/2-2θ)+a=0
2sin(θ-π/4)-{1-2{sin(π/4-θ)}^2}+a=0 (A)
ここで
sin(θ-π/4)=t
と置くと(A)は
2t^2+2t+a-1=0 (A)'
又
0≦θ≦π
により
-π/4≦θ-π/4≦3π/4
∴
-1/√2≦t≦1
であり、
-1/√2≦t＜1/√2,t=1のとき、tの値1つに対しθの値は1つ対応し
1/√2≦t＜1のとき、tの値1つに対しθの値は2つ対応。

更に(A)'がt=1に解を持つとき
4+a-1=0
∴a=-3
このとき(A)'は
2t^2+2t-4=0
(t-1)(t+2)=0
∴t=1,-2
となり、条件を満たしません。

よって求める条件は
(i)(A)'が-1/√2≦t＜1/√2の範囲に異なる2つの解を持つ
(ii)(A)'が1/√2≦t＜1の範囲に1つの解を持ち、かつ-1/√2≦t＜1/√2の範囲に解を持たない
のいずれかになります。

ここで
f(t)=2t^2+2t+a-1
と置くと、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフは
軸がt=-1/2である下に凸の放物線。
よって
(i)のとき
求める条件は
f(-1/2)=a-3/2＜0 (B)
f(-1/√2)=a-√2≧0 (C)
f(1/√2)=a+√2＞0 (D)
(B)(C)(D)より
√2≦a＜3/2
(ii)のとき
求める条件は
f(1/√2)=a+√2≦0 (E)
f(1)=a+3＞0 (F)
f(-1/√2)=a-√2＜0 (G)
(E)(F)(G)から
-3＜a≦-√2

以上から求めるaの値の範囲は
-3＜a≦-√2,√2≦a＜3/2
となります。
No.83498 - 2022/09/27(Tue) 18:41:52
☆ Re: / X
上記の別解のポイントは
√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+a=0
を置き換えにより、三角関数を含まない方程式に変形して、
数学Iの範囲の問題に置き換えるという
スタートラインに持っていくという点です。
(三角関数の方程式の問題を解く上での基本的な方針の一つですが。)

ここで左辺の
√2(sinθ-cosθ)
は三角関数の合成により
√2(sinθ-cosθ)=2sin(θ-π/4)
となりますので、もし
sin2θをsin(θ-π/4)の式で表す
ことができれば、ということになります。

後は
sin2θ=cos(π/2-2θ)
と変形した上で２倍角の公式を使うことに
気付けるか、ということになります。
No.83499 - 2022/09/27(Tue) 19:07:35
★ ベクトル / わーお
この問題そもそも問題が何を説明しているのかわかりません。図示して説明していただけると助かります。そして、どうやって解いていくのか教えてほしいです。
No.83484 - 2022/09/26(Mon) 01:37:38
☆ Re: ベクトル / わーお
向きなおしました。
No.83485 - 2022/09/26(Mon) 01:39:06
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
立体的な図では、余計わからなくなるので、
平面αが直線に見える方向から見た図を描きます。

(1)
点Ａ(1,2,-1) を通り、ベクトル(1,2,-1) に垂直な平面の式は
　(x-1)＋2(y-2)−(z+1)＝0
　x＋2y−z＝6　　・・・α
点Ｂ(-3,-2,-1) を通り、ベクトル(1,1,1) に平行な直線の式は、
ｔを実数として、
　ｘ＝ｔ−３、ｙ＝ｔ−２、ｚ＝ｔ−１　・・・(i)
と書けます。これと、αとの交点Ｐを求めるために、αの式に代入して、
　(t-3)＋2(t-2)−(t-1)＝6
　2t＝12
　ｔ＝6
これを(i)に代入すると、点Ｐの座標は
　Ｐ (3,4,5)　・・・答え

(2)
図において、ＢＰの方向に点Ｃを取り、点Ｃと平面αに関して
対称な点をＤとすると、ＰＤの方向が求めるベクトルの方向となります。
ここでは、計算しやすいように、ＢＰ＝ＣＰとします。
点Ｃの座標は
　2(3,4,5)−(-3,-2,-1)＝(9, 10, 11)
Ｃを通り平面αに垂直な直線の式は
　ｘ＝ｔ＋９、ｙ＝２ｔ＋10、ｚ＝−ｔ＋11
αの式に代入して、
　(t+9)＋2(2t+10)−(-t+11)＝6
　6t＝−12
　t＝−2
よって、ＣＤの中点（α上の点）の座標は
　(7, 6, 13)
よって、点Ｄの座標は
　2(7, 6, 13)−(9, 10, 11)＝(5, 2, 15)
ベクトル
　ＰＤ＝(2, -2, 10)
の大きさは
　√(4+4+100)＝6√3
よって求める単位ベクトルは
　±(1/3√3, −1/3√3, 5/3√3）・・・答え
No.83486 - 2022/09/26(Mon) 11:28:18
★ はさみうち / 石炭
解答のようにわざわざはさみうちを使う必要ありますでしょうか？
No.83483 - 2022/09/25(Sun) 21:18:37
☆ Re: はさみうち / X
石炭さんの方針通りで問題ないと思います。
No.83488 - 2022/09/26(Mon) 17:58:16
★ (No Subject) / 安定陸塊
四角チツはこんな考え方であっていますか？個人的に、2進数で0になるのは10進数で2しかないから…　と思ったのですが。
No.83478 - 2022/09/25(Sun) 17:46:52
☆ Re: / X
1188の全ての約数の積の素因数分解を構成する自然数のうち、
奇数のみを取り出して構成される積の
２進数表示での最小桁は必ず1
になりますので、その考え方で問題ありません。
No.83480 - 2022/09/25(Sun) 18:58:19
☆ Re: / 安定陸塊
偶数があれば最小が0になるのでしょうか？理解が追いついていません
No.83482 - 2022/09/25(Sun) 21:05:17
☆ Re: / ヨッシー
最小桁とは、「１の位」のことですよ。
No.83487 - 2022/09/26(Mon) 11:46:56
★ 三角比を含む方程式の解の個数 / ISAM
数学1A 三角比を含む方程式の問題です。
画像の緑で囲った部分で、どうしてθの個数が4つだと異なる2つの実数解をもつことになるのですか？
No.83475 - 2022/09/25(Sun) 15:51:13
☆ Re: 三角比を含む方程式の解の個数 / X
緑の囲みの2行上の説明から
0≦t＜1のとき、
tの値1つに対し、θの値が2つ対応
しています。
∴tの二次方程式〇2が
0≦t＜1において
異なる2つの実数解を持つとき
θの値は4つ存在する
ことになります。
No.83479 - 2022/09/25(Sun) 18:51:50
☆ Re: 三角比を含む方程式の解の個数 / ISAM
ありがとうございます。
理解出来ました。
No.83481 - 2022/09/25(Sun) 19:05:17
★ 2進数 / 安定陸塊
こんなことを質問していいのでしょうか。
　2の24乗を2進数で表す方法が分かりません。教えてほしいです。2を2進数では10と表すことは知っているのですが？
No.83474 - 2022/09/25(Sun) 15:39:14
☆ Re: 2進数 / らすかる
10進法の10,100,1000,…が10^1,10^2,10^3,…を表しているのと同様、
2進法の10,100,1000,…は2^1,2^2,2^3,…を表しています。
従って2^24を2進法で表すと1の後に0を24個続けた数になります。
No.83476 - 2022/09/25(Sun) 17:03:34
★ 整数問題 / aaa
(3)の青印がついているところなのですが、どうしてp≧2にならないといけないのでしょうか。
No.83472 - 2022/09/25(Sun) 15:28:58
☆ Re: 整数問題 / らすかる
(2)からxは整数ではないからです。
No.83477 - 2022/09/25(Sun) 17:05:11
★ 整数問題 / ぺろり
・ lmn + 1 = lm + mn + nl + l + m + n
・ l ≦ m ≦ n
を満たす自然数の組(l, m, n)を全て求めよ。

という問題です。答えは(2, 4, 13), (2, 5, 8), (3, ,3, 7)です。模範解答では、両辺をlmnで割り、分数の大小関係から l≦3と絞り込んでいました。

この解法以外の解法が何かないか考えているのですが、思いつきません。何かないでしょうか。
No.83469 - 2022/09/25(Sun) 12:48:45
☆ Re: 整数問題 / IT
簡単かどうかは分かりませんが、下記のように置き換えると２次の項がなくなります。

L=x+1,m=y+1,n=z+1とおくと,x,y,z は0以上の整数でx≦y≦z

与式(x+1)(y+1)(z+1)+1=(x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)+(x+1)+(y+1)+(z+1)
展開して整理すると
　xyz=2x+2y+2z+4≦6z+4
　よってx,y,zは1以上
　よって左辺≧10∴z≧3
　xy≦6+(4/z)＜8　∴x=1,2
x=1のとき
　yz=2y+2z+6
∴(y-2)(z-2)=10　∴(y,z)=(3,12),(4,7)
x=2のとき
　2yz=2y+2z+8
∴(y-1)(z-1)=5　∴(y,z)=(2,6)

よって（L,m,n)= ・・・
No.83470 - 2022/09/25(Sun) 13:56:37
☆ Re: 整数問題 / らすかる
lmn+1=lm+mn+nl+l+m+n
4≦l≦m≦nのとき
(左辺)
＝lmn+1
≧4mn+1
＝mn+mn+mn+mn+1
≧lm+mn+nl+4n+1
＝lm+mn+nl+n+n+n+n+1
≧lm+mn+nl+l+m+n+4+1
＞lm+mn+nl+l+m+n
＝(右辺)
となって成り立たないのでl≦3
l=1のときm+n=0となって成り立たない
l=2のとき(m-3)(n-3)=10となるので(m,n)=(4,13),(5,8)
l=3のとき(m-2)(n-2)=5となるので(m,n)=(3,7)
∴(l,m,n)=(2,4,13),(2,5,8),(3,3,7)
No.83471 - 2022/09/25(Sun) 14:29:32
★ 解と係数の関係 / ykwr
高一です。
画像の問題にて、解説でD=0が条件であると書かれていますが、何故ですか？
教科書にはDは解の種類を判別するときに使うと書かれており、何故この問題に使用しているのか理由がわかりません…
No.83465 - 2022/09/24(Sat) 22:49:19
☆ Re: 解と係数の関係 / ykwr
写真載せ忘れていました。
No.83466 - 2022/09/24(Sat) 22:50:25
☆ Re: 解と係数の関係 / IT
＞教科書にはDは解の種類を判別するときに使うと書かれており
「解の種類」は、何と何と何で、それぞれのときのDの値はどうですか？

x^2-2kx+4k+5が一次式の平方のとき
　x^2-2kx+4k+5は、どう因数分解できますか？
　そのとき　x^2-2kx+4k+5＝0の「解の種類」はどうなりますか？
　そのとき　x^2-2kx+4k+5＝0のDの値は？
No.83467 - 2022/09/24(Sat) 23:00:42
★ 不等式の問題 / protagonist
（1）についてです。方針はわかるのですが、黄色線で示した「一般に〜」の式の表し方がどうしても理解できません。
このように、一般の式で表す際の考え方やコツがあれば教えていただきたいです。
No.83461 - 2022/09/24(Sat) 14:24:47
☆ Re: 不等式の問題 / IT
「一般的に」とありますが、あくまでも　
2≦k≦n-2 すなわち　2≦k かつ　k+2≦n である自然数k,nについて言えることが書いてあるので、「一般的に」という表現はどうかなと思います。

そもそも目的は
　(n-1)/k＞1、(n-2)/(k-1)＞1、...、(n-k+1)/2＞1を示すことであり、

(n-1-L)/(k-L) は、
　L=0のとき,(n-1)/k
　L=1のとき,(n-2)/(k-1)
　L=k-2のとき,(n-k+1)/2 になるので

0≦L≦k-2 なる自然数Lについて
　(n-1-L)/(k-L)　-　1　＞　0　を示せば、目的の各不等式が示せる。ということですが、

(n-1)/k＞1、(n-2)/(k-1)＞1、...、(n-k+1)/2＞1を示すには
2≦k かつ　k+2≦n から　分子＞分母＞0を示す方が簡単だと思います。
No.83463 - 2022/09/24(Sat) 14:44:24
☆ Re: 不等式の問題 / aaa
理解しました。ありがとうございます。
No.83473 - 2022/09/25(Sun) 15:29:29
★ 同値関係 / math1
「集合 A から集合 B への全射がある時，B は
ある商集合 A/∼ と対等となることを示せ．」
何時間も考えたのですが、どうしてもこの問題が分かりません。well-definedを使った方法ならわかるのですが、well-defined以外の方法で解かなければいけないので、教えていただけると嬉しいです。
No.83453 - 2022/09/24(Sat) 12:55:25
☆ Re: 同値関係 / IT
> well-definedを使った方法
ではどんな証明になりますか？
なぜ、well-defined以外の方法で解かなければいけないのですか？　問題文に書いてあるのですか？（問題文をそのまま書かれた方が話が早いです）
No.83454 - 2022/09/24(Sat) 13:21:39
☆ Re: 同値関係 / math1
「」の中が問題文です。well-definedがこの問題で使えない理由としましては、この問題の後のページでwell-definedが定義されていまして、問題よりも後ろで定義されていることは循環論法になる危険性があるため、使ってはいけないと言われています。そのため、現段階では写像:A/∼→B と考えることができないのです。B→A/∼ の状況で証明する方法を教えてください。
No.83455 - 2022/09/24(Sat) 13:29:49
☆ Re: 同値関係 / IT
「well-defined」　という「言葉」を使わずに書けば良いのでは？
・・の　well-defined　を示さなくても良い気がしますが？
（きちんと書くのが面倒なので・・としました）
No.83456 - 2022/09/24(Sat) 13:42:21
☆ Re: 同値関係 / math1
解答考えてみました。とりあえず、対等を示すために全単射を示せばよいと考えて、ｇの単射性だけ思いつきました。この解答はでたらめでしょうか。よろしくお願いします。


それぞれの写像をf：A→B　ｇ：B→C　とする。

まず、ｇの単射性を示す。
任意のb１、b２はBの部分集合とする。
このとき、ｆが全射であるため（問題分より）、ｂ１＝ｆ（a1）、ｂ２＝f(a2)を使って、ｇ（ｆ（a1））=g(f(a2))と表すことができる。これは、C（ｆ(a1)）=C(f(a2))となる。同値類の定義よりｆ（a1）=f(a2)
よって b１＝b２　以上よりｇが単射であることが言えた。
No.83457 - 2022/09/24(Sat) 14:08:28
☆ Re: 同値関係 / math1
すいません。ｇ：Ｂ→A/∼ です。
No.83458 - 2022/09/24(Sat) 14:09:57
☆ Re: 同値関係 / math1
再び訂正します。任意のｂ１，ｂ２は集合Ｂの元です。また、a1,a2は集合Ａの元です。すみません
No.83459 - 2022/09/24(Sat) 14:12:03
☆ Re: 同値関係 / IT
まず、A/∼ は何ですか？　
「ある商集合 A/∼」を採ること、すなわち「∼」を決めること、から話が始まるのではないですか？

つぎに、写像gは、どう決めますか？
No.83460 - 2022/09/24(Sat) 14:20:53
☆ Re: 同値関係 / math1
そうですA/∼は商集合のことです。
A/∼＝｛C（a)|aは集合Aの元｝としてます。
No.83462 - 2022/09/24(Sat) 14:31:33
☆ Re: 同値関係 / IT
> A/∼＝｛C（a)|aは集合Aの元｝としてます。

∼ は具体的にどんな同値関係ですか？
No.83464 - 2022/09/24(Sat) 14:50:31
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