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★ (No Subject) / 匿名
(1)は余事象を考えるのですか？ 答え7/11 になったのですが合ってますか？
あと(2)の解き方 またはヒントお願いします！
No.40250 - 2016/11/11(Fri) 00:09:37
☆ Re: / noname
(1)は余事象を考えずに問題に取り組んだ方が解き易いと思います．条件を満たすa,bの組(a,b)は15個あるのですが，このことは分かっておられますか？
No.40251 - 2016/11/11(Fri) 00:24:34
☆ Re: / 匿名
ホントだ！ 15通りありました！
すみません (2)の解き方かヒントお願いします！
No.40255 - 2016/11/11(Fri) 07:31:50
☆ Re: / angel
1回目で、何本の辺が塗られるか、で場合分けして考えます。
これは、0本〜N-1本まであるわけですが、全て同じ確率 1/N です。

で、2回目ですが、選ばれる点は、塗られた辺のどれかである必要があります。
※手頃なNで試してみて下さい。塗られてない部分の点を選ぶと、どうやっても全体を塗ることはできません。

そうすると、選べる点の候補は (塗られている本数)+1個あるわけですが、同じ点を選ぶと何も塗られないのと、同じ組み合わせでも順序が逆になると、全然塗られないことに注意します。
※例えばN=6で、1回目1,4 と出て、1-2-3-4 の範囲が塗られたとします。
　次、3,2と出れば 3-4-5-6-1-2 が塗られて、併せて全部塗られたことになりますが、2,3と出ると2-3しか塗られず、足りません。

そうすると、1回目の本数で場合分けして、
　0本: 0通り
　1本: 2C2通り
　2本: 3C2通り
　…
　N-1本: NC2通り
これを合計すれば、何通りあるかが分かります。
※1通りあたり、確率が 1/N^3 であることに注意
No.40277 - 2016/11/12(Sat) 00:45:36
★ (No Subject) / И
4次不等式 ax^4-(9a-1)x^2-(a+4)<0 の解が -3<x<3 のとき、定数aの値を求めよ。よろしくお願いします。
No.40246 - 2016/11/10(Thu) 23:29:43
☆ Re: / noname
t＝x^2とおくと，与えられたxについての4次不等式は

at^2-(9a-1)t-(a+4)＜0…?@

というtについての2次不等式になります．また，-3＜x＜3の時は0≦t＜9であるため，考えるべきことは「tについての2次不等式?@の解が0≦t＜9であるための定数aの値は何か？」となります．ここから先は一度ご自身でお考えください．
No.40248 - 2016/11/10(Thu) 23:50:37
☆ Re: / И
ありがとうございます。考えてみたんですけど、わかりませんでした。解答を教えていただけると有り難いです。
No.40257 - 2016/11/11(Fri) 13:23:23
☆ Re: / X
横から失礼します。

例えば
x^4-81＜0 (A)
という4次不等式を考えると
(x-3)(x+3)(x^2+9)＜0 (B)
∴-3＜x＜3

この(B)の左辺の形から類推されると思いますが
題意を満たすためには
問題の4次不等式の左辺、つまり
ax^4-(9a-1)x^2-(a+4)
が
(x-3)(x+3)=x^2-9
を因数に持たなければならない
という必要条件が考えられます。
この必要条件はxの4次方程式
ax^4-(9a-1)x^2-(a+4)=0 (C)
をx^2の二次方程式
として考えると
x^2=9
を解として持つことと同値ですので
a・9^2-(9a-1)・9-(a+4)=0
これより
a=5
逆にこのとき問題の4次不等式は
5x^4-44x^2-9＜0
(5x^2+1)(x^2-9)＜0
(5x^2+1)(x-3)(x+3)＜0
∴-3＜x＜3
となり、題意を満たします。
よって
a=5

注)
nonameさんの
x^2=t
と置き換えによる説明では
問題の4次不等式を置き換えた
tの二次不等式((D)とします)
とは別に
t≧0
という条件が付いてしまうので
(D)の左辺が
t-9
を因数として持つ、という必要条件が
見えにくくなっているようです。
No.40267 - 2016/11/11(Fri) 21:49:57
☆ Re: / noname
X様の仰る通りで，

>「tについての2次不等式?@の解が0≦t＜9であるための定数aの値は何か？」

という言い換えだと問題に取り組みづらいかもしれません．以下に解説を与えておきますので，よければご参考ください．


[解説]
t＝x^2とおくとt≧0であり，与えられた4次不等式は

at^2-(9a-1)t-(a+4)＜0

の形に変形することが出来る．よって，考えるべきことは「t≧0の時，2次不等式at^2-(9a-1)t-(a+4)＜0の解が0≦t＜9である(…(*))ための実数aの値は何か？」である．これを考えるために，関数f(x)＝at^2-(9a-1)t-(a+4)のグラフのt≧0の部分Cとx軸の位置関係について考える．

a＜0の時は，0≦t＜9の範囲でCはx軸に対して下側にある必要があるが，この時t≧9の範囲のCの部分もx軸に関して下側にあるため，(*)は成立しない．また，a＝0の時は，Cにおいてx軸の下側にあるものはCの0≦t＜4の部分であるから，(*)は成立しない．

よって，a＞0の場合を考えればよいが，この時

f(0)＝-(a+4)＜0

が成立する．よって，(*)が成り立つためにはf(9)＝0が必要である．f(9)＝-a+5であるから，a＝5でなければならない．この時，Cにおいてx軸の下側にあるのはCの0≦t＜9の部分である．したがって，求めるaの値はa＝5である．
No.40275 - 2016/11/12(Sat) 00:13:21
★ (No Subject) / 名無し
画像これで大丈夫ですかね？
微分した後がわかりません
No.40237 - 2016/11/10(Thu) 18:46:09
☆ Re: / noname
その後は，0＜a＜π^2/2,a≧π^2/2の2つに場合分けして考えればよいです．
No.40240 - 2016/11/10(Thu) 22:03:01
☆ Re: / noname
導関数についてですが，f'だけでなくf''まで計算しておくとよいです．その後はf''の符号変化よりf'について，f'の符号変化よりfについて順番に考えればよいと思います．
No.40241 - 2016/11/10(Thu) 22:04:10
☆ Re: / noname
一部の解説だけ与えておきますので，他の部分についてはご自身で一度お考えください．


[一部の解説]
f'(x),f''(x)を計算すると，

f'(x)＝a-2ax-πcos(πx),
f''(x)＝-2a+π^2sin(πx)＝π^2(sin(πx)-2a/π^2).

以下では，0＜a＜π^2/2,a≧π^2/2の2つで場合分けするが，ここでは0＜a＜π^2/2の場合の解説のみを行う．

0＜a＜π^2/2の時，sin(πx)＝2a/π^2,0＜x＜π/2を満たす実数xが存在する．これをαとすると，

・0＜x＜αの時，f''(x)＜0である
・α＜x＜π/2の時，f''(x)＞0である

であるから，

・f'(x)は0＜x≦αの時に単調減少する
・f'(x)はα≦x＜π/2の時に単調増加する

が言える．ここで，f'(0)＝a-π＞0,f'(1/2)＝0よりa-π＞0，すなわち，a＞πが必要である．この時，f'(α)＜0である．実際，f'(α)≧0ならばf'(1/2)＞0であるが，実際にはf'(1/2)＝0であるから矛盾が生じる．ゆえに，f'(α)＜0である．この時，方程式f'(x)＝0を満たす実数xが0＜x＜αの範囲にただ1つ存在する．これをβとする．この時，

・0＜x＜βでは，f'(x)＞0である
・β＜x＜π/2では，f'(x)＜0である

であるから，

・f(x)は0＜x≦βで単調に増加する
・f(x)はβ≦x＜π/2で単調に減少する

が言えて，f(x)はx＝βで極大かつ最大となることが分かる．


※α,βの存在については，厳密には中間値の定理を用いて説明すべきでしょうか．また，α,βの一意性(ただ1つだけしかないという性質)を示すにはf''やf'の単調性(単調増加性や単調減少性など)を用いるとよいです．
No.40245 - 2016/11/10(Thu) 23:26:08
★ (No Subject) / マーク
画像の問題の解き方が分かりません。教えて下さると助かります。お願いします。
No.40236 - 2016/11/10(Thu) 18:36:56
☆ Re: / X
G(x)=x∫[0→x](e^t)dt-∫[0→x](te^t)dt
∴G'(x)=∫[0→x](e^t)dt+xe^x-x^ex
(第一項に積の微分を使います)
=e^x-1
No.40238 - 2016/11/10(Thu) 19:21:36
★ (No Subject) / 匿名
(2) (3)がわかりません
解き方 もしくはヒントお願いします！
No.40234 - 2016/11/10(Thu) 18:16:56
☆ Re: / X
(2)
条件から
↑DP・↑EP=(↑OP-↑OD)・(↑OP-↑OE)
=|↑OP|^2-(↑OD+↑OE)・↑OP+↑OD・↑OE
=|↑OP|^2-2↑OM・↑OP+↑OD・↑OE (A)
(∵点Mは線分DEの中点)
ここで条件から
↑OM・↑OP=|↑OP||↑OM|cosθ=mcosθ (B)
更に(1)の結果も使うと(A)は…

(3)
(1)(2)の結果を問題の不等式に代入して
得られる不等式を、m＞0に注意して
cosθの不等式として解くと
cosθ≧{1/(4m)}(m^2+1) (C)
これの解となるθの値の範囲の上限
と下限の差がπ/3となるようにmの値
を定めます。
((C)の右辺＞0に注意して単位円を
考えると、(C)の解が
0≦θ≦π/6
となるようにすればよいので…。)
No.40239 - 2016/11/10(Thu) 19:37:44
☆ Re: / 匿名
cosθ≧{1/(4m)}(m^2+1) (C) となったのですが違いますかね？
m=√3-√2 になったのですが合ってますか？
よろしくお願いします！
No.40247 - 2016/11/10(Thu) 23:32:20
☆ Re: / X
＞＞cosθ≧{1/(4m)}(m^2+1) (C) となったのですが違いますかね？
ごめんなさい。
No.40239で2箇所間違っていましたので直接修正しました。
再度ご覧下さい。

＞＞m=√3-√2 になったのですが合ってますか？
間違っています。

条件のとき
{1/(4m)}(m^2+1)=(√3)/2
m^2=2√3-1
よって
m=√(2√3-1)
となりますが、二重根号は外れません。
No.40254 - 2016/11/11(Fri) 04:41:19
☆ Re: / angel
> > m=√3-√2 になったのですが合ってますか？
> 間違っています。

いえ、合っていると思いますよ。

m^2-2√3・m+1=0 という2次方程式の解 m=√3±√2 のうち、0＜m＜1 に合う方、ということで m=√3-√2 になります。
※それにしても、(3)解くだけなら、ベクトル使わない方が速かったりするんですよね…
No.40264 - 2016/11/11(Fri) 20:26:20
☆ Re: / X
>>angelさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>匿名さんへ
ごめんなさい。angelさんの仰る通りです。
{1/(4m)}(m^2+1)=(√3)/2
からの計算を間違えていました。
No.40268 - 2016/11/11(Fri) 21:54:03
★ (No Subject) / 名無し
この問題がわかりません
微分した後 どうすればいいのでしょうか？
No.40233 - 2016/11/10(Thu) 18:11:12
☆ Re: / ヨッシー
カメラを180°回して取り直して下さい。
90°なら仕方ない部分もありますが、180°はダメです。
No.40235 - 2016/11/10(Thu) 18:22:23
★ (No Subject) / アカシロトモ
次の問題の(2)を教えてください。
f(k)/f(k-1)≧1 ⇔　(n-k+1)k≧1 ⇔　(n+1)/2≧k
より、kが偶数か奇数の時で場合分けが必要だと思いますが、
そこからが分かりません。
(1)はf(k)=(1/2^n)nCk (nCkは2項係数）と出ました。


有限数列f(0),f(1),f(2),…,f(n)が??(k=0~n)f(k)=1および
f(k)={(n-k+1)/k}f(k-1) (k=1,2,3・・・,n)を満たしている。このとき、
(1) f(k)を求めよ。
(2) f(k)を最大にするkを求めよ。
No.40232 - 2016/11/10(Thu) 17:49:00
☆ Re: / noname
nが奇数の時は，(n+1)/2は自然数であり，

・f(k)/f(k-1)≧1⇔k≦(n+1)/2…?@
・f(k)/f(k-1)≦1⇔k≧(n+1)/2…?A

に注意すると，

f(1)≦f(2)≦…≦f((n-1)/2)≦f((n+1)/2)≧f((n+1)/2)≧…≧f(n-1)≧f(n).

よって，この不等式より与えられた有限数列の最大値はf((n+1)/2)となります．一方，nが偶数の時はn/2は自然数であり，?@,?Aに注意すると

f(1)≦f(2)≦…≦f(n/2-1)≦f(n/2)≧f(n/2+1)≧…≧f(n-1)≧f(n).

よって，この不等式より与えられた有限数列の最大値はf(n/2)となります．
No.40242 - 2016/11/10(Thu) 22:51:24
☆ Re: / アカシロトモ
noname さん

ありがとうございました。
おかげさまでよく理解出来ました。
No.40244 - 2016/11/10(Thu) 23:09:58
★ (No Subject) / 斎藤
曲線y＝x＾4−12x＾3＋4x＾2＋200x＋200と、直線y＝ax＋bが異なる2点で接しているとき定数a、bの値の求め方を教えてください。
No.40231 - 2016/11/10(Thu) 17:41:32
☆ Re: / angel
「異なる2点で接する」であれば、そのx座標をp,qと置いたとき、

　x^4-12x^3+4x^2+200x+200 = ax+b

という4次方程式が、p,qという2つの重解を持つことと同値であるので、

　x^4-12x^3+4x^2+200x+200-(ax+b)=(x-p)^2・(x-q)^2

と表すことができます。
後は、両辺の係数を比較し、p,qを先に求めて、そこからa,bを求めていきます。( p,qの値は実際に求めずとも、p+q, pq の2つの式の値で十分 )
No.40243 - 2016/11/10(Thu) 23:06:45
★ (No Subject) / マーク
画像の問題の答えは
(1)2/9(x^3＋2)√(x^3＋2)＋C
(2)(sin^3)/4＋C
(3)(logx)^2/2＋C
で合っていますか
No.40226 - 2016/11/09(Wed) 21:43:00
☆ Re: / angel
(2)は (sinx)^4/4+C ですね。
他、特に問題ないです。
No.40227 - 2016/11/09(Wed) 22:33:27
★ 陰関数 / なにゃー
問題 x^3-3xy+y^3=0から定まる陰関数y=f(x)のdf/dx,d^2f/dx^2を求めよ

以下,先生が記した板書です
F(x,y)=x^3-3xy+y^3とおく
Fx(x,y)=3x^2-3y
Fy(x,y)=-3x+3y^2
Fy(x,y)≠0のとき,すなわちx=y^2のとき,陰関数の存在定理より
df/dx=-Fx(x,y)/Fy(x,y)=〜〜

解答の4行目にx=y^2のときとありますが,正しくはx≠y^2のとき
ですよね?
No.40224 - 2016/11/09(Wed) 21:31:35
☆ Re: 陰関数 / なにゃー
それと,この問題の後にy=f(x)のグラフを書いていたのですがどうやったらy=f(x)のグラフの概形がわかるのですか？
筆記体のlを少し傾けたようなグラフになっていました
No.40225 - 2016/11/09(Wed) 21:38:19
☆ Re: 陰関数 / ast
前半は「すなわち〜」の部分は, 言い換えをしてるだけなので, 無くても意味が通じるところ (次の行に書かれてる式が論旨) ですから敢えてコメントするまでもないと思います.

後半ですが, x に対して y の複数の値が対応しうることには注意が必要ですが, dy/dx, d^2y/dx^2 の符号を調べて増減表を書くことは通常の陽函数表示での場合と同様です. 例えば dy/dx が正となる領域では x の増加にともなって y が増加するし, dy/dx=0 となる x (F(x,y)=0 かつ F_x(x,y)=0 なる x) のところで y は極値をとる.

(分母)=0 や (分子)=0 は二次曲線 (特に放物線) で, それらを境界として領域に分けて考えると状況を整理しやすいでしょう.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E3-3xy%2By%5E3%3D0,+x%3Dy%5E2,+y%3Dx%5E2,+(x%5E2-y)%2F(x-y%5E2)%3E0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E3-3xy%2By%5E3%3D0,+y%3Dx%5E2,+x%3Dy,+y%3D2%5E(2%2F3),+x%2By%2B1%3D0

本問における曲線 F(x,y)=0 はデカルトの正葉線と呼ばれるものです. よく知られた媒介変数表示があるので, それを使って曲線を追跡する方法などもありますが, 本問の文脈ではそれはおそらく埒外でありましょう.
No.40229 - 2016/11/10(Thu) 03:34:02
☆ Re: 陰関数 / なにゃー
すっきりしました。
ありがとうございました。
No.40249 - 2016/11/10(Thu) 23:59:25
★ (No Subject) / 斎藤
座標平面上に点A（0,1）をとる。x軸上に点Pを取り線分APの垂直二等分線をlとする。点Pを通りx軸に垂直な直線とlとの交点をQとする。 （1）AQ＝QPであることを証明せよ。 （2 ）点Pがx軸上を動くとき点Qの軌跡はどのよううな図形を描くか図示せよ
この問題の（1）は線分APの中点をMとおいて、△AMQ≡△PMQ を求めていきかたを教えてください。お願いします。
No.40218 - 2016/11/09(Wed) 19:27:25
☆ Re: / angel
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=40099 に同じ問題があり、回答がついていますが、そちらではいかがでしょうか。
No.40222 - 2016/11/09(Wed) 19:48:26
★ (No Subject) / ユー
この問題のカッコ1番はどのような方針を立てればよいのでしょうか？
No.40217 - 2016/11/09(Wed) 17:55:17
☆ Re: / angel
(1) cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ という、cosθの3次式ですから、t の式も cosθ で統一して整理することを考えます。
　t=cosθ+√3・sinθ から、
　(t-cosθ)^2=3(sinθ)^2=3(1-(cosθ)^2) で cosθの2次式の条件を作り、そこからcos3θの3次式をまとめていきます。
No.40223 - 2016/11/09(Wed) 20:16:19
☆ Re: / ast
t の右辺を sin (または cos) で合成すると t = 2sin(θ+π/6) (= 2cos(θ-π/3)). ここで φ := θ+π/6 (あるいは ψ := θ-π/3) とでも置けば, 3θ = 3φ-π/2 (= 3ψ+π) となり, cos(3θ) = sin(3φ) (= -cos(3ψ)) と書き替えられます. 右辺は φ (または ψ) に関して三倍角の公式を使って sin(φ) (=cos(ψ)) = t/2 の三次式が得られるはずです.
No.40228 - 2016/11/09(Wed) 23:53:17
★ 場合の数 / 星
答えをなくしてしっまたので、解説をお願いします。
a a b b c dの中から4個選んでできる文字列は何通りか。

自分の答え(a a b o) (a a c d) (b b a o) (b b c d) (a a b b) (a b c d)
(ｏはc d が入る）があるので、
（a a b o ）(b b a o)の時
4!/2!・2・2=48
(a a c d) (b b c d)の時
4!/2!・2=24
(a a b b )の時
4!/(2!・2!)=6
(a b c d）の時
4!=24
よって 102通り
No.40215 - 2016/11/09(Wed) 15:03:24
☆ Re: 場合の数 / X
方針、計算結果ともに問題ないと思います。
No.40219 - 2016/11/09(Wed) 19:31:31
☆ Re: 場合の数 / 星
ありがとうございます。
No.40220 - 2016/11/09(Wed) 19:38:08
☆ Re: 場合の数 / angel
参考ですが、(a a b b) (a b c d)以外のケースは1つにまとめることができます。

それは、(x x y z) ( xはa,bのどちらか、y,zは(a,bの余り),c,dから2種 ) です。

* xをa,bどちらにするか2通り
* xを4か所のどこに配置するか 4C2通り
* 残りの2か所に、3種類のうち2種を並べる 3P2通り

全てかけて 72通りと分かります。
No.40221 - 2016/11/09(Wed) 19:43:52
★ 確率の計算 / ヤナギダセツオ
原点０と座標（a.b)のときｙ＝ｘより傾きが小さくなる
確率を求めよ。

自分の答えはｘ（ｘ−１）/2
としたがどうでしょうか？計算の方法も教えてください。
No.40213 - 2016/11/09(Wed) 13:41:44
☆ Re: 確率の計算 / IT
座標（a.b)の条件や　何の傾きかが　分らないので　確率を求めることはできません。

元の問題文には、座標（a.b)の条件や、何の傾きか、などが書いてあるのでは？
No.40230 - 2016/11/10(Thu) 10:09:44
★ フィボナッチ数列の変形型 / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミともうします。この度はフィボナッチ数列のa[2］＝2,a[1］＝1の場合の一般項が求められず、困っております。どなたか分かる方、出来れば、途中の計算を省かず教えて下さい。よろしくお願いします。
No.40206 - 2016/11/08(Tue) 21:18:32
☆ Re: フィボナッチ数列の変形型 / angel
フィボナッチ数列に限らず、ですが。

隣接3項間漸化式
　a[n+2]+pa[n+1]+qa[n]=0
の形式の数列は、2次方程式 t^2+pt+q=0 の解α,βに対して、
　a[n]=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1)
と表すことができます。( 重解の場合は少し違いますが )
A,Bについては、a[1],a[2]によって定まる定数係数です。

フィボナッチ数列の場合、漸化式は a[n+2]=a[n+1]+a[n] つまり、
　a[n+2]-a[n+1]-a[n]=0
ですから、方程式 t^2-t-1=0 を解いて、t=(1±√5)/2 です。
なので、
　a[n]=A・((1+√5)/2)^(n-1)+B・((1-√5)/2)^(n-1)

問題の条件、a[2]=2,a[1]=1 より、
　2=A・(1+√5)/2+B・(1-√5)/2
　1=A+B
この連立方程式を解いて、A=(5+3√5)/10, B=(5-3√5)/10
a[n]=(5+3√5)/10・((1+√5)/2)^(n-1) + (5-3√5)/10・((1-√5)/2)^(n-1)

もしくは指数の所をちょっと変えると、
a[n]=1/√5・( ((1+√5)/2)^(n+1) - ((1-√5)/2)^(n+1) )
ともできますね。
No.40207 - 2016/11/08(Tue) 22:14:33
☆ Re: フィボナッチ数列の変形型 / ブラッドマミ
回答本当にありがとうございました。
ただ自分が求めた解答と違うのでどこがおかしいか指摘して頂きたいと思います。それでは
a[n＋1］−(1＋√5)/2・a[n］＝(3−√5)/2・(1−√5)/2∧n-1 ...?@
a[n＋1］−(1−√5)/2・a[n］＝(3＋√5)/2・(1＋√5)/2∧n-1 ....?A
?@−?Aより一般項
a[n］＝1/√5｛（3＋√5）/2・（1＋√5）/2∧n-1
−（3−√5）/2・（1−√5）/2∧n-1｝以上どこがおかしいかどなたか指摘お願いします。
No.40211 - 2016/11/09(Wed) 13:14:48
☆ Re: フィボナッチ数列の変形型 / らすかる
{(1+√5)/2}^2=(3+√5)/2
{(1-√5)/2}^2=(3-√5)/2
ですから
(3+√5)/2・{(1+√5)/2}^(n-1)={(1+√5)/2}^(n+1)
(3-√5)/2・{(1-√5)/2}^(n-1)={(1-√5)/2}^(n+1)
なので
a[n]=(1/√5){(3+√5)/2・((1+√5)/2)^(n-1)
　　　　-(3-√5)/2・((1-√5)/2)^(n-1)}
=(1/√5){((1+√5)/2)^(n+1)-((1-√5)/2)^(n+1)}
となります。
No.40212 - 2016/11/09(Wed) 13:25:49
☆ Re: フィボナッチ数列の変形型 / ブラッドマミ
ご回答ありがとうございました。解決致しました。答え間違いなかったです。お手数おかけしました。
No.40214 - 2016/11/09(Wed) 14:14:44
★ 数学III / abc
よろしくお願いします！
No.40200 - 2016/11/08(Tue) 18:16:22
☆ Re: 数学III / X
(1)だけ解きますのでそれを参考にして
(2)以降はご自分でどうぞ。

(1)
問題の関数の両辺の自然対数を取ると
logy=(√x)logx
両辺をxで微分して
y'/y=(1/(2√x))logx+1/√x
=(1/√x)log(e√x)
∴y'={(1/√x)log(e√x)}y
={log(e√x)}x^(√x-1/2)
No.40201 - 2016/11/08(Tue) 18:45:06
★ 数学III / あゆ
次の関数のdy/dxを求めよ。ただし、θは媒介変数である。
1)x=rcosθ、y＝rcosθ (r>0) 円
2)x=acosθ、y=bsinθ (a>0.b>0) 楕円
3)x=a(θ-sinθ),y=a(a(1-cosθ) (a>0) サイクロイド
4)x=acos^3θ、y=asin^3θ (a>0) 星芒形

答えは
1)-cotθ
2)-b/a cotθ
3)sint/1-cosθ
4)-tanθ

調べてもわからなくて、困ってます。。
よろしくお願いします(´；ω；`)
No.40199 - 2016/11/08(Tue) 18:08:20
☆ Re: 数学III / X
1)〜4)いずれの場合もθが媒介変数ですので
dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)
ということで1)〜4)それぞれにおいて
dx/dθ,dy/dθ
を計算しましょう。
No.40202 - 2016/11/08(Tue) 18:46:47
★ 積分 / ゆう
お願いします
No.40197 - 2016/11/08(Tue) 16:32:45
☆ Re: 積分 / noname
とりあえず，(1)と(2)の前半のヒントだけ与えておきます．


[ヒント]
(1)：前半の不等式の証明については，微分法を用いるか或いはπ/2・sin(x)のグラフの凸性を用いればよい．後半の極限の問いについては，前半の結果より得られる不等式

0≦xcos^n(x)≦πsin(x)cos^n(x)（0≦x≦π/2）

の辺々をx＝0からx＝π/2まで積分してI_[n]に関する不等式をつくることが出来れば，後ははさみうちの原理を用いるのみである．
(2)の前半：a_[n+2]＝a_[n]-∫_[0,π/2]cos^n(x)sin(x)・sin(x)dxの様に変形し，この等式の第二項について部分積分法を実行すればよい．
No.40198 - 2016/11/08(Tue) 17:56:50
☆ Re: 積分 / noname
(2)の後半と(3)のヒントも与えておきます．


[ヒントの続き]
(2)の後半:b_[n]＝(n+1)a_[n+1]a_[n]とおくと，(2)の前半の問いの結果より数列{b_[n]}に関する漸化式が得られる．これより数列{b_[n]}の一般項を求めれば示すべき第一の等式を得る．第二の不等式に関しては，0≦cos^{n+1}(x)≦cos^n(x)(0≦x≦π/2)よりa_[n+1]≦a_[n]が成立し，これと第一の等式を用いれば第二の不等式を導出することが出来る．
(3):(1)の極限を求めるのに用いたI_[n]に関する不等式と(2)の結果を用いると(I_[n]/a_[n])^2に関する不等式が得られる．これとはさみうちの原理を用いれば(I_[n]/a_[n])^2の極限，特にI_[n]/a_[n]の極限の値が分かる．一方，J_[n]/a_[n]の極限については

J_[n]
＝∫_[0,π/2]xsin^n(x)dx
＝∫_[π/2,0](π/2-t)sin^n(π/2-t)・(-1)・dt
＝π/2a_[n]-I_[n]

とI_[n]/a_[n]の極限の値を用いれば，J_[n]/a_[n]の極限の値を求めることが出来る．
No.40208 - 2016/11/08(Tue) 23:30:42
★ 漸化式 / ゆう
お願いします！
No.40196 - 2016/11/08(Tue) 16:32:22
★ (No Subject) / ゆう
お願いします
No.40195 - 2016/11/08(Tue) 16:31:43
☆ Re: / angel
(1)
順に計算しましょう

(2)
小文字のエルだと見辛いので、大文字Lに替えて書きます。
まず、f の値の上限を見積もります。
a1がL桁ということは、全て 9 の時に f が最大になります。
つまり、f(a1)≦9L で a2≦81L^2
後は、81L^2 が L-1桁以下、つまり 81L^2＜10^(L-1) を示せば十分です。これは、L=5開始の数学的帰納法で行えばよいです。
不等式の右辺が10倍ずつ増えていくのに対し、左辺は
　(L+1)^2/L^2=1+(2L+1)/L^2
で、2倍以下でしか増えないことが使えます。

(3)
(2)の結果を利用して、時々の上限を順に見積もっていきます。
加えて、a1が9の倍数であることから、帰納的に、桁の和f(an)も、その平方a[n+1]も、全て9の倍数になることに注意します。

* an が 5桁以上 … 先の項に進めば、いずれ4桁以下に減る
* 4桁以下で f(an)の最大 … an=9999 の時で 36、よって a[n+1]≦36^2=1296
* a[n+1]≦1296 で f(a[n+1])の最大値 … 3桁でのa[n+1]=999が上限で f(a[n+1])≦27、a[n+2]≦27^2=729
* 次同じようにして a[n+3]≦324
* a[n+3]=f(a[n+2])^2 に対して、f は今回9の倍数なので、a[n+3]は81の倍数、かつ平方数。324以下では81,324のみが該当する。
　そうすると、いずれにしても f(a[n+3])=9、a[n+4]=81
　以降ずっと、数列の値は81
No.40205 - 2016/11/08(Tue) 21:16:35
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