ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 高2

(2)でk,nをそれぞれ分けてk≧2,n≧2と置く意味と
k,nの使い分けについて教えてください。
お願いします。

ペンの書き込みは関係ありません。

No.40401 - 2016/11/18(Fri) 00:15:41

☆ Re: / angel

≧2 については、画像にあるテキストの右側の注釈の通りです。
つまり「初項は特別扱い」「a[n]が1つの式にまとめられない」
だから、1 の時と、≧2 の時とを分けて、別々に考えなくてはならないのです。

k,nを使い分けているのは、
　S[1]+S[4]+S[7]+…+S[3n-2]
を計算するためです。

もうちょっと書き換えると、
　S[3×1-2]+S[3×2-2]+S[3×3-2]+…+S[3n-2]
ということで、S[3×(何か)-2] の項を、(何か)の部分が1～nの範囲で足しています。
そこで、この(何か)を代表して、文字 k で表しています。n と k とで分けているのは、既に n が範囲の上限値として使われているからです。

No.40402 - 2016/11/18(Fri) 00:26:15

★ (No Subject) / И

解説では、uとvの実数条件を考えていないですが、実数条件が要らないのはなぜですか？

No.40396 - 2016/11/17(Thu) 22:12:10

☆ Re: / angel

?Cにある
　u=2x+1/2, v=2y
という対応が単純 ( 素直 ) だから…、ですかね。
※ちゃんとした言い方をすれば「全単射」ということなんですが。

u=2x+1/2, v=2y ( または変形して x=u/2-1/4, y=v/2 ) という関係のもと、u^2+v^2=1 を変換して (x+1/4)^2+y^2=1/4 にできますし、逆に (x+1/4)^2+y^2=1/4 を u^2+v^2=1 に変換することもできます。幾らでも行ったり来たりできるのです。

なので、ある(u,v)の値があったとき、それに対応する(x,y)を作ることもできますし、逆に(x,y)の値があったとすれば、それに対応する(u,v)を作り直すこともできます。
…ということが明らかなので、そして、値を作ったり作り直したりで出てくるのが実数なのも明らかなので、特段断らなくてもいいことになります。
※もちろん説明しても構いません

No.40400 - 2016/11/17(Thu) 22:48:29

☆ Re: / И

なるほど、理解しました。ありがとうございます。

No.40409 - 2016/11/18(Fri) 08:22:13

★ 二元一次不定方程式 / ゆうり

不定方程式7x-7y=1の整数解を求めよ。

この問題について、先生の解説がよくわかりませんでした。

17=7・2+3 より 17-7・2=3
7=3・2+1 より 7-3・2=1

7-(17-7・2)・2=1
7・5-17・2=1

よって x=5，y=2

この解き方についてどなたか解説をお願いします。

No.40390 - 2016/11/17(Thu) 20:03:35

☆ Re: 二元一次不定方程式 / noname

>不定方程式7x-7y=1の整数解を求めよ。

質問内容を見る限り，不定方程式は7x-7y＝1ではなく正しくは7x-17y＝1である様に思えます．この了解でよろしいでしょうか？

もしよろしければ，恐らくユークリッドの互除法を利用して不定方程式の特殊解を求めようとしているのだと思います．個人的には「式が成り立つ理由を考える」よりも
「その様な式を導いて利用することで不定方程式の解の一つを見つけることが出来る」という様に，あくまで方法として身に付けられるとよいかと思います．

No.40391 - 2016/11/17(Thu) 21:02:58

☆ Re: 二元一次不定方程式 / angel

拡張ユークリッドの互除法と呼ばれる方法です。

　17×1 + 7×0 = 17　…(1)
　17×0 + 7×1 = 7　…(2)

という2つの式を始まりとして、1つ前の式に何かかけて2つ前の式から引くことを繰り返します。

　(1)-(2)×2 :
　　17×(1-0×2) + 7×(0-1×2) = 17-7×2
　　⇔ 17×1 + 7×(-2) = 3 …(3)
　(2)-(3)×2 :
　　17×(0-1×2) + 7×(1-(-2)×2) = 7-3×2
　　⇔ 17×(-2) + 7×5 = 1 …(4)

今回の問題は 7x-17y=1 ということなので、丁度 (x,y)=(5,2) が解になっているということです。

ところで、
　(1)-(2)×2 → (3)
　(2)-(3)×2 → (4)
を計算していますが、この2か所の×2は、

　17÷7 = 2 ... 3
　7÷3 = 2 ... 1

と、割り算を繰り返して 1 ( 2数の最大公約数 ) を導く時の割り算で出てくる商たちです。この方法はユークリッドの互除法と呼ばれるものです。

なので、これを利用して x,y の整数解を求める方法は、拡張ユークリッドの互除法と言われます。

No.40392 - 2016/11/17(Thu) 21:03:48

☆ Re: 二元一次不定方程式 / angel

ちなみに地味に見えるかもしれませんが、コンピュータで整数の計算をする時に良く出てくるもので、結構重要です。ちょー有名な暗号技術の一つ RSA でも出てきます。( まあ、これが主役ではないですが )

No.40393 - 2016/11/17(Thu) 21:18:14

★ (No Subject) / マーク

画面の問題の(3)の問題はなぜこのような解き方をするのか教えて下さい。まったく分かりません。

No.40375 - 2016/11/16(Wed) 19:00:36

☆ Re: / ＿

そりゃまあ、そうすりゃ解けるからです。解けること自体に疑問があるわけではないですよね？

＃最初に思いついた人はすごいなと思いつつしっかり記憶する類のものであって、
＃これを1から思いつくことを要求しているわけではありません。

No.40377 - 2016/11/16(Wed) 19:49:33

☆ Re: / angel

1つの攻め口としては、1+sinx という形があれば、1-sinx をかけて (1+sinx)(1-sinx)=1-(sinx)^2=(cosx)^2 という形を作れること、1/(cosx)^2 という形があれば積分して tanx にできること、そういったことからやってみたくなる手ではありますね。

だからといって、式を眺めていたら自動的に思い浮かぶ訳もなく、色々な計算を試して形を身に着けていくという蓄積の結果なので。「なぜ」と考えてもあまり意味がありません。

No.40379 - 2016/11/16(Wed) 20:34:44

☆ Re: / angel

なお、

　1+sinx
　=1+cos(x-π/2)
　=1+cos( 2(x/2-π/4) )
　=2(cos(x/2-π/4))^2

を利用して、

　∫dx/(1+sinx)
　= ∫dx/2(cos(x/2-π/4))^2
　= tan(x/2-π/4)+C

という手もあります。
※式の形は一見違いますが、変形すれば同じにできます。

No.40380 - 2016/11/16(Wed) 20:37:05

★ (No Subject) / マーク

画面の問題で赤で囲ってある計算で、なぜcosaは1/√5,sinaは2/√5になるのですか？そのようになる解き方を教えて下さい。

No.40374 - 2016/11/16(Wed) 18:57:42

☆ Re: / X

教科書で三角関数の合成をもう一度復習しましょう。

No.40378 - 2016/11/16(Wed) 20:31:15

☆ Re: / angel

一応ツッコミ入れておくと、考え方が逆で

　sinx-2cosx=√5・sin(x-a) だったら cosa=1/√5, sina=2/√5

ではなくて ( いや、これはこれで正しいんですが )、

　cosa=1/√5, sina=2/√5 となるような a を持ってくれば、
　sinx-2cosx=√5・(sinx・cosa-cosx・sina)=√5・sin(x-a)
　と変形できて、問題を解き進めるのに役立つよ

って話なので。

No.40382 - 2016/11/16(Wed) 21:39:21

☆ Re: / マーク

単純に復習不足でした。教えて下さりありがとうございました。

No.40387 - 2016/11/17(Thu) 05:41:34

★ (No Subject) / ふみ

◽で囲っている部分が、なぜそうなるのかわかりません。
詳しい解説をお願いします。

No.40372 - 2016/11/16(Wed) 17:04:31

☆ Re: / angel

> なぜそうなるのかわかりません。

いや、そういう方程式の解を使って変形すると綺麗な形に経験上なりますよ、というのを実例を以て経験してください、という問題なので。

あまり「なぜ」と考えても答えは出ないかと思います。
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6587&PHPSESSID= なども参考に。

No.40384 - 2016/11/16(Wed) 22:15:18

☆ Re: / angel

と言いつつ、タネはもちろんあって。

そういう綺麗な形に直すために、係数やらなんやら調整するにはどうしたらいいか、を方程式にすると、あの特性方程式が出てくるのです。

No.40385 - 2016/11/16(Wed) 22:22:09

☆ Re: / ふみ

なるほど、そうだったんですね。

ありがとうございました。

No.40399 - 2016/11/17(Thu) 22:43:10

★ (No Subject) / 大輝

2、3、4お願いします！！

No.40371 - 2016/11/16(Wed) 16:58:40

☆ Re: / X

2
x^2+y^2=r^2 (A)
y=x^2-3 (B)
とします。
(1)
(A)(B)の交点のy座標について
(y+3)+y^2=r^2
∴y^2+y+3-r^2=0 (C)
条件から(C)が異なる二つの実数解を
持つので、その解をα、β(α＜β)
とし、又、解の判別式をDとすると
D=1-4(3-r^2)＞0 (D)
であり、解と係数の関係から
α+β=-1 (E)
αβ=3-r^2 (F)
更に
P(√(α+3),α),Q(√(β+3),β) (G)
ここで∠POQ=90°により
↑OP・↑OQ=0
∴(G)により
√{(α+3)(β+3)}+αβ=0 (H)
(H)から(E)(F)を用いてα、βを消去し
rの方程式を導き、解きます。
但し(D)の解であるrの値の範囲に
注意しましょう。

(2)
(1)のα、βを使うと、求める面積をSとして
S=∫[α→β]{√(1-y^2)-√(y+3)}dy
=∫[α→β]{√(1-y^2)}dy-∫[α→β]{√(y+3)}dy (I)
α、βの値は(1)の結果を(C)に代入した
二次方程式を解いて得られます。
(I)についてですが
第一項はy=cosθと置きましょう。
第二項はこのままでも積分できますが
分かりにくければy+3=tと置きましょう。

No.40373 - 2016/11/16(Wed) 18:21:04

☆ Re: / X

4
条件から
S[1]=S[2]
OA=OB
ですので、辺OA,OBを平行四辺形OADC,OBECの底辺
と見ることにより
平行四辺形OADC≡平行四辺形OBEC
よって題意を満たす条件の候補として
次の二つが挙げられます。
(i)↑OC・↑OA=↑OC・↑OB
(ii)↑OC・↑OA=↑OC・↑BO
さて、このとき
∠AOC=θ
と置くと
S[1]=S[2]=OC・OAsinθ=sinθ
(i)のとき
又、このときの図を描くと
↑OC⊥↑AB
となりますので
S[3]=OC・AB=√3
∴S[1]:S[3]=1:√2
により
sinθ:√3=1:√2
これより
sinθ=√(3/2)＞1
となり不適。

(ii)のとき
∠OAB=t
とすると
S[3]=AB・OCsin(π-θ-t)
=√3sin(θ+t)
∴
∴S[1]:S[3]=1:√2
により
sinθ:(√3)sin(θ+t)=1:√2
これより
(√2)sinθ=(√3)sin(θ+t) (A)
ここで△OABがOA=OBの二等辺三角形
ですので
cost=(AB/2)/OA=(√3)/2
∴t=π/6
これを(A)に代入して
(√2)sinθ=(√3)sin(θ+π/6)
(√2)sinθ=(3/2)sinθ+((√3)/2)cosθ
(2√2-3)sinθ=(√3)cosθ
θ=π/2はこの方程式を満たさないので
cosθ≠0
∴tanθ=(√3)/(2√2-3)
=-(√3)(2√2+3)
=-(2√6+3√3) (B)
後はここからsinθ,cosθの値を求めていきます。
(但し(B)より
π/2＜θ＜π
となることに注意。)

No.40376 - 2016/11/16(Wed) 19:04:21

☆ Re: / 大輝

３は漸化式で解けますよね？？

No.40381 - 2016/11/16(Wed) 21:37:48

☆ Re: / angel

> ３は漸化式で解けますよね？？
まあ、そうですね。
( というより、そうでないとキツイ )

漸化式の目星はついてますか?

No.40383 - 2016/11/16(Wed) 21:49:24

☆ Re: / 大輝

ｎ回目で取り出した赤玉が奇数回目である確率と偶数回目である確率をそれぞれp[n],q[n]としたとき
p[n]+q[n]=2/5かつq[n+1]=2/5p[n]ですか？

No.40395 - 2016/11/17(Thu) 22:09:24

☆ Re: / angel

直前に出たのが白であることも考慮しなければなりませんから、「n回目に奇数個めの赤玉が出る」で直接考える前に、
「n回目が終わった時点で、それまで出た赤玉の総数が偶数」を間に挟みます。これを例えば y[n] とします。

なお、今後の事を考えて n≧0 で、としておきます。y[0]=1 とできますから ( 1回もやってなければ、確実に赤玉0個で偶数 )、n≧0 でも問題はありません。

で、赤玉の総数が偶数ということは、
　* 今まで偶数で、白が出たから偶数のまま変わらず
　* 今まで奇数で、赤が出たから偶数になった
のどちらかですから、

　y[n+1]=3/5・y[n] + 2/5・(1-y[n])

これで y[n] が計算できます。

で、本題の「n回目が奇数個めの赤玉」( x[n]とします ) は、「直前まで赤玉の総数が偶数、n回目に赤玉」ということですから、

　x[n]=2/5・y[n-1]　( n≧1 )

です。y[n]の範囲を n≧0 にしてますから、初項を分けて考える必要もありません。

No.40418 - 2016/11/19(Sat) 08:15:23

☆ Re: / 大輝

4の(ii)の場合の図がわかりませゆ

No.40427 - 2016/11/19(Sat) 17:45:53

★ 高校生 / そら

ある製品20個の中に5個の不良品が入ってるという。この中から5個の製品を取り出すとき、次の確率を求めよ。
1.含まれている不良品が3個以下である
2.不良品でないものが少なくとも3個ある

求め方を教えて下さい。

No.40366 - 2016/11/15(Tue) 17:55:43

☆ Re: 高校生 / ヨッシー

説明のため、全部書き上げます。
不良品でないものを良品と呼ぶことにします。

良品５個を取る場合の数：　　　　　　15Ｃ5＝3003
良品４個と不良品１個を取る場合の数：15Ｃ4×5Ｃ1＝6825
良品３個と不良品２個を取る場合の数：15Ｃ3×5Ｃ2＝4550
良品２個と不良品３個を取る場合の数：15Ｃ2×5Ｃ3＝1050
良品１個と不良品４個を取る場合の数：15Ｃ1×5Ｃ4＝75
不良品５個を取る場合の数：　　　　　5Ｃ5＝1
合計 15504通りで、20Ｃ5 と一致します。
それぞれ　(3003＋6825＋4550＋1050)/15504, (3003＋6825＋4550)/15504
が求める確率となります。

ただし、実際には、1. の場合だと、１から不良品４個、５個の確率を引いたほうが早いですし、
計算も、
　15Ｃ1×5Ｃ4＋5Ｃ5＝76
　76/20Ｃ5＝76×(5×4×3×2×1)/(20×19×18×17×16)
　　　＝(19×4)/(19×3×17×16)
　　　＝1/(3×17×4)＝1/204
１から引いて　1－1/204＝203/204
のように、因数のまま約分していくほうが確実です。

No.40368 - 2016/11/15(Tue) 18:18:13

★ (No Subject) / なぞのくさ

指数対数の問題で、最高位の数を求める問題がありました。その問題のコラム的な情報がよくわかりません。

なぜm桁の自然数Nのn乗について、ログ10のNのn乗の整数部分はm-1になるんですか？

No.40358 - 2016/11/15(Tue) 10:07:20

☆ Re: / ヨッシー

Ｎ^n の形で考えると紛らわしいので、整数Ｉがｍ桁だとします。
ｍ桁の最小の数は 10^(m-1)、ｍ桁の最大の数は 10^m－1 です。
　３桁の最小が 100、最大が 1000－1＝999 というのと同じです。
ｍ桁の数はこれの間にありますから、
　10^(m-1)≦Ｉ＜10^m
対数を取って、
　m-1≦logＩ＜m　　（底は１０）
つまり、logＩは m-1 以上、m 未満の数なので、整数部はm-1 です。
　５以上６未満の数は、すべて５．ｘｘｘという数であるのと同じです。

No.40360 - 2016/11/15(Tue) 14:14:35

★ 数学の問題について / qqqqq777jt

問題

「Ｘ^２－Ｘ＋Ｋ」「Ｘ^３＋Ｘ＾２＋Ｘ＋Ｋ＋３」
の最小公倍数はＸについての4次式で
あるという。
定数Ｋの値を求めよ。

これが問題で自分で解いて見ようとしたのですがわから
なかったので答えを見るとこう書いていました。
→→→「「Ｘ^２－Ｘ＋Ｋ」「Ｘ^３＋Ｘ＾２＋Ｘ＋Ｋ＋３」
はそれぞれＸについての2次式と3次式であるから
その最小公倍数が4次式であれば、最大公約数は1次式
である。
最大公約数は

「Ｘ^３＋Ｘ＾２＋Ｘ＋Ｋ＋３」÷「Ｘ^２－Ｘ＋Ｋ」
の余り（３－Ｋ）（Ｘ＋１）の約数である。
「Ｘ^２－Ｘ＋Ｋ」は「Ｘ＋１」で割り切れるから
1＋1＋Ｋ＝０で、Ｋ＝－2になる。

以上が答えの全文なのですがどうしても自分が
わからなかったのは「Ｘ^３＋Ｘ＾２＋Ｘ＋Ｋ＋３」÷
「Ｘ^２－Ｘ＋Ｋ」の余り（３－Ｋ）（Ｘ＋１）
の約数である」の部分です。
実際に「Ｘ^３＋Ｘ＾２＋Ｘ＋Ｋ＋３」を「Ｘ^２－Ｘ＋Ｋ」をやってみても「余り（３－Ｋ）（Ｘ＋１）」が
出てきません。
そこの部分を教えてもらえませんでしょうか？
よろしくお願いします。

No.40357 - 2016/11/15(Tue) 09:49:53

☆ Re: 数学の問題について / ヨッシー

図の通りです。

No.40361 - 2016/11/15(Tue) 16:37:57

★ (No Subject) / なぞのくさ

この問題の（2）を、判別式Dを用いて、D≧0でa≦1を求めました。しかし、解答にはグラフを使って答えを出してました。判別式で答えだしてもいいんですよね？回答お願いします

No.40353 - 2016/11/15(Tue) 05:09:16

☆ Re: / ヨッシー

例えば、
　{log[2](x^2+8)}^2－４log[2](x^2+8)＋ａ＝０
だとどうなりますか？

ｔ＝log[2](x^2+8) とおくと、
　ｔ^2－4t＋ａ＝０
判別式≧0 より　ａ≦４で良いでしょうか？

No.40355 - 2016/11/15(Tue) 07:11:15

☆ Re: / なぞのくさ

すみません、どういうことですか？

No.40356 - 2016/11/15(Tue) 09:41:45

☆ Re: / ヨッシー

もし、元の問題の?@が、
　{log[2](x^2+8)}^2－４log[2](x^2+8)＋ａ＝０　・・・?@
であり、
(1) log[2](x^2+8) のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) ?@が実数解を持つとき、ａの値の範囲を求めよ。
(3) 省略
という問題のとき、(2) を判別式だけでどのように解きますか？

No.40362 - 2016/11/15(Tue) 17:07:16

☆ Re: / angel

ヨッシーさんが仰っているのは、
「判別式Ｄの計算だけで答えを出すのは不適切だ」
というお話であって、
グラフで考えている内容を、グラフ以外の形で計算することはもちろんできます。
「放物線がx軸と共有点を持つ/交わる」を「判別式Ｄ≧0 / Ｄ＞0」と置き換えるのは構いません。
※計算結果ももちろん同じです。

ただ、判別式以外の条件もちゃんと考えましょうね、ということで。

No.40370 - 2016/11/15(Tue) 21:37:19

★ 高二　e^xsinxのグラフについて / 数学さん

e^xsinxのグラフについてなんですが、増減表の書き方とどんなグラフになるのか、また式見てある程度グラフの概形の予想をつける方法を教えてください。

No.40349 - 2016/11/14(Mon) 21:31:50

☆ Re: 高二　e^xsinxのグラフについて / X

y=(e^x)sinx
とすると
y'=(e^x)sinx+(e^x)cosx
=(e^x)(sinx+cosx)
=(e^x)(√2)sin(x+π/4)
問題の関数のsinxの部分の周期性に注意して
2nπ≦x≦2(n+1)π
(nは整数)
における増減表を書きます。

問題のグラフは
y=e^x,y=-e^x
のグラフを縁として、このグラフに挟まれた
領域の中に
y=sinx
のグラフを描いたような形になります。

No.40352 - 2016/11/15(Tue) 04:57:25

☆ Re: 高二　e^xsinxのグラフについて / X

ちなみにグラフの概形は下の図のようになります。
但し、形状を分かりやすくするため、包絡線である
y=e^xの増加率が緩やかになるようにグラフが
デフォルメされているので注意して下さい。

No.40369 - 2016/11/15(Tue) 18:49:08

★ 高3 / ああ

高3です
aを正の実数とする。xy平面上の2つの曲線y=x^3とy=2x^2-axが異なる3つの交点をもち、二曲線で囲まれる2つの部分の面積が等しくなるようなaの値を求めよ。というものです
解までお願いします

No.40339 - 2016/11/14(Mon) 01:20:26

☆ Re: 高3 / X

問題の二つの曲線の交点のx座標について
x^3=2x^2-ax
∴x(x^2-2x+a)=0
よってxの二次方程式
x^2-2x+a=0 (A)
がx=0以外の異なる二つの実数解
を持たなければならないので
(A)の解の判別式をDとすると
D/4=1-a＞0 (B)
条件からa＞0ですので
0＜a＜1 (B)'
又、(A)の解をα、β(α＜β)
とすると、解と係数の関係から
α+β=2 (C)
αβ=a (D)
(B)'(C)(D)により
0＜α＜β (B)"
となるので、問題の面積について
∫[0→α]{x^3-(2x^2-ax)}dx=∫[α→β]{-x^3+(2x^2-ax)}dx
これより
(1/4)α^4-(2/3)α^3+(1/2)aα^2
=-(1/4)β^4+(2/3)β^3-(1/2)aβ^2+(1/4)α^4-(2/3)α^3+(1/2)aα^2
∴-(1/4)β^4+(2/3)β^3-(1/2)aβ^2=0
(3β^2-8β+6a)β^2=0
(B)"からβ≠0ゆえ
3β^2-8β+6a=0 (E)
ここでβは(A)の解なので
β^2-2β+a=0 (F)
(E)(F)をa,βの連立方程式として
(B)'(B)"に注意して解き
(a,β)=(8/9,4/3)
∴a=8/9

No.40341 - 2016/11/14(Mon) 04:26:07

☆ Re: 高3 / らすかる

>Xさん
(1/4)α^4-(3/2)α^3+(1/2)aα^2 ではなく
(1/4)α^4-(2/3)α^3+(1/2)aα^2 だと思いますので
-(1/4)β^4+(2/3)β^3-(1/2)aβ^2=0 として解くと
正しく(a,β)=(8/9,4/3)が得られますね。

No.40344 - 2016/11/14(Mon) 16:30:12

☆ Re: 高3 / ああ

お二方ありがとうございます

No.40345 - 2016/11/14(Mon) 19:21:21

☆ Re: 高3 / X

>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ああさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.40341を直接修正しておきました。

No.40346 - 2016/11/14(Mon) 19:26:27

★ (No Subject) / 大輝

お願いします

No.40338 - 2016/11/14(Mon) 00:52:31

☆ Re: / noname

「C_1とC_2の共有点を直線6x+2y-15＝0が通る」ということは，これを「C_1と直線6x+2y-15＝0の交点はC_2上にもある」と言い換えることが出来ます．そこで，まずは連立方程式

x^2+y^2＝9,6x+2y-15＝0

を解くことでC_1と直線6x+2y-15＝0の交点の座標を求め，その次にこれらの交点の座標をC_2の方程式に代入するとa,bに関する2個の方程式が得られます．最後に，これらのa,bの方程式を連立して解けばa,bの値が求まります．

No.40340 - 2016/11/14(Mon) 04:07:31

☆ Re: / 大輝

わかりました！
二曲線の交点を通るのでf(x,y)＋kg(x,y)＝0の考え方でも解けますよね

No.40342 - 2016/11/14(Mon) 04:51:38

☆ Re: / noname

その考え方でも構わないです．

No.40343 - 2016/11/14(Mon) 06:53:48

★ (No Subject) / И

異なる2点(x1,y1),(x2,y2)を直径の両端にもつ円の方程式が、
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)＝0 で表されることを、ベクトルの内積を使って証明してください。

No.40327 - 2016/11/13(Sun) 14:57:29

☆ Re: / noname

円上の任意の点(x,y)を選んだ時，この点が2点(x_1,y_1),(x_2,y_2)のどちらとも一致しない場合，3点(x,y),(x_1,y_1),(x_2,y_2)を頂点とする三角形は直角三角形であるから，ベクトルの内積の式として

(x_1-x)(x_2-x)+(y_1-y)(y_2-y)＝0.
∴(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)＝0.

また，点(x,y)が2点(x_1,y_1),(x_2,y_2)のうち一方と一致する場合は，示すべき式の左辺の値は0となります．よって，いずれにせよ，円の方程式は

(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)＝0

で与えられるということになります．

No.40328 - 2016/11/13(Sun) 16:22:50