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★ (No Subject) / アイス
2xかけるx^(1/2)の答えって2xですか？
No.39423 - 2016/10/07(Fri) 12:44:16
☆ Re: / noname
違います．正しくは

2x・x^{1/2}＝2x^{1+1/2}＝2x^{3/2}

となります．
No.39424 - 2016/10/07(Fri) 13:31:34
★ (No Subject) / アイス
置換積分法というものはいつ使うのですか？
見極めかたを教えて下さい。
No.39417 - 2016/10/06(Thu) 21:14:22
☆ Re: / angel
√(1-x^2) のように、そのままだと積分した後の形が見え辛い時ですね。

まあ「見え辛い」というのは、その人の感覚にも依ります。( 置換積分を必ずしなければいけないってこともない )

この例だと、√(1-x) がやり辛い形だと見て √(1-x)=t としています。
しかし、

　∫x√(1-x)dx
　= ∫( √(1-x)-(1-x)√(1-x) )dx
　= ∫( (1-x)^(1/2) - (1-x)^(3/2) )dx
　= -2/3・(1-x)^(3/2) + 2/5・(1-x)^(5/2) + C

とすれば、特に置換せずとも済みます。

まあ、置換したからといって損になるってこともあまりないので、分かりにくい形が出てきたら、積極的に使っても良いと思います。
No.39418 - 2016/10/06(Thu) 21:46:07
☆ Re: / angel
尤も、置換積分の効果的な使い道は、どちらかというと不定積分よりも定積分の方になると思います。
No.39419 - 2016/10/06(Thu) 21:49:50
★ (No Subject) / ユー
この問題教えてください
No.39409 - 2016/10/06(Thu) 18:00:39
☆ Re: / ヨッシー

ＰがＣまたはＤに来たときが最大となります。
その時のＲは、対角線ＡＣの半分です。
No.39410 - 2016/10/06(Thu) 18:19:23
☆ Re: / ユー
なるほど！
解答がこうなってるんですけど、どうして場合分けが生じるのか教えて欲しいです
No.39411 - 2016/10/06(Thu) 18:25:20
☆ Re: / angel
実は、a が小さい時は、P が CDの中点に来たときが R 最大になります。a が大きければ、C もしくは D に来たときが最大で合っています。
No.39413 - 2016/10/06(Thu) 20:01:54
☆ Re: / angel
どう解くのがベストかは分かりませんが、P の位置を元に R を表し、2次関数の最大値の問題とする方法があります。

図のように△PABの各辺の長さをp,q,r、面積を S と置くとき、外接円の半径も含めた関係は、

　R=pqr/4S

です。( これは S=1/2・qr・sinP と、正弦定理 sinP=p/2R から )

ここで、p=4, S=2a は既知です。で、未知の長さ、図中 PM=t とすると、

　q^2・r^2=(a^2+(2-t)^2)(a^2+(2+t)^2)

です。※ P が、M から見て C,D どちら寄りでも同じであることに注意

ということで、

　R=pqr/4S=p/4S・√( (qr)^2 ) から
　R=√( t^4+2(a^2-4)t^2+a^4+8a^2+16 )/2a

一見 t の4次式ですが、x=t^2 と置き直すと

　R=√( x^2+2(a^2-4)x+a^4+8a^2+16 )/2a

と、2次式の問題になります。

x=t^2 の範囲、0≦x≦4 に注意すると、

　a＞√2 の時、x=4 で R 最大 ( P が C,D に一致 )
　a=√2 の時、x=0,4 で R 最大 ( P が C,D,M に一致 )
　a＜√2 の時、x=0 で R 最大 ( P が M に一致 )

となります。( 答えとしては、a=√2 のケースは、a＞√2, a＜√2 のどちらかと併せてしまいます )
No.39416 - 2016/10/06(Thu) 20:35:46
☆ Re: / noname
次の様に「∠APBの大きさの変化を考える」ことにより解答してもよいです．


[解答例]
線分CDの中点をMとする．点Aから直線BPへ垂線を引いた時に交わる点をDとすると，三角形APBの面積の式として，

1/2・4・a＝1/2・AD・√(a^2+4).
∴AD＝4a/√(a^2+4).
∴sin∠AMB＝sin(180°-∠AMP)＝AD/AM＝4a/(a^2+4).

また，sin∠ACBの値は

sin∠ACB＝AB/AC＝4/√(a^2+16).

よって，∠ACB+∠AMB＝180°ならば，

sin∠ACB＝sin∠AMB.
∴a^2+4＝a√(a^2+16).
∴(a^2+4)^2＝a^2(a^2+16)
∴a^2＝2
∴a＝±√2.

a＞0よりa＝√2である．ところで，点PがCからMに移動するにつれて∠APBの大きさは増加し，PがMからDに移動するにつれて∠APBの大きさは減少する(この点については初等幾何的に考察して論ずることは可能だろうが，面倒なのでここではそれを省略しておく)．このことに注意すると，次の3つに場合分けすることが出来る．

?@a＞√2の時
点C,Dでsin∠APBは最小となるから，点C,DでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4/√(a^2+16))＝√(a^2+16)/2＝√(a^2/4+4).
?Aa＝√2の時
点C,M,Dでsin∠APBは最小となるから，点C,M,DでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4/(3√2))＝3√2/2.
?B0＜a＜√2の時
点Mでsin∠APBは最小となるから，点MでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4a/(a^2+4))＝(a^2+4)/(2a).

以上により，Rの最大値は次の通りである：

・0＜a＜√2の時，Rの最大値は(a^2+4)/(2a)(P＝Mの時)．
・a＝√2の時，Rの最大値は3√2/2(P＝C,M,Dの時)．
・a＞√2の時，Rの最大値は√(a^2/4+4)(P＝C,Dの時)．
No.39420 - 2016/10/06(Thu) 21:58:34
☆ Re: / noname
>この点については初等幾何的に考察して論ずることは可能だろうが，面倒なのでここではそれを省略しておく


と書きましたが，これの確認の概略を以下に与えておきます．一度お考えください．

[確認の概略]
線分CM上に異なる2点Q,Rをとる．QはCの側に，RはMの側にあると仮定してもよい．点Qは3点A,R,Bを通る円の外側にあるため，∠AQB＜∠ARBである．よって，PがCからMへ移動するにつれて，∠APBは∠ACBから∠AMBへと単調に増加する．殆んど同様の議論を行うことにより，PがMからDへ移動するにつれて∠APBは∠AMBから∠ADBへと単調に減少することが分かる．
No.39421 - 2016/10/06(Thu) 22:15:59
☆ Re: / ユー
丁寧に説明してくださってありがとうございます！
いろんなアプローチを知ることができて勉強になりました！
No.39422 - 2016/10/06(Thu) 22:55:25
★ (No Subject) / アイス
∫sin2xdxの答えは-1/2(cos2x)＋Cですか？
No.39406 - 2016/10/06(Thu) 14:29:13
☆ Re: / noname
はい，その通りです．
No.39407 - 2016/10/06(Thu) 14:51:39
★ 三角形の形状 / ゆうり
△ABCにおいて次の等式が成り立つとき、この三角形はどのような形の三角形か。
(1)asinA＝bsinB
(2)sinAcosB＝sinBcosA

これらの問題がどうしても解けないので教えてください。
No.39400 - 2016/10/06(Thu) 01:21:48
☆ Re: 三角形の形状 / noname
(1)については，三角形ABCの外接円の半径をRとすると，正弦定理より

a＝2RsinA,b＝2RsinB.…?@

また，与えられた等式の両辺に2Rをかけると

a・2RsinA＝b・2RsinB.…?A

よって，?@を?Aに代入するとa^2＝b^2が得られます．ここから先はご自身でお考えください．


次に(2)については，A＝90°ならば等式よりcosB＝0となるのでB＝90°となりますが，この時にA+B+C＞180°となるため不適となります．B＝90°の時も同様な矛盾が起こります．よって，A,Bはどちらも90°ではないことになります．この時，cosAcosB≠0であり，等式の両辺をcosAcosBで割るとtanA＝tanBであるため，A＝Bが得られます．ここから先はご自身でお考えください．
No.39401 - 2016/10/06(Thu) 01:48:38
☆ Re: 三角形の形状 / angel
(2)については三角比の加法定理を知っていれば、
　sinAcosB-sinBcosA=0
　⇔ sin(A-B)=0
から解くこともできます。

あるいは、
　正弦定理 sinA=a/2R, sinB=b/2R
　余弦定理 cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc, cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca
より、長さの条件から解く方法もあります。
No.39412 - 2016/10/06(Thu) 19:42:29
☆ Re: 三角形の形状 / noname
(1)については，正弦定理より

a：b：c＝sinA：sinB：sinC…?@

が成り立つことを御存知であれば，等式を

a：b＝sinB：sinA…?A

の形で書きかえることが出来るので，?@,?Aより

a：b＝sinB：sinA＝b：a.
∴a^2＝b^2.
∴a＝b.

の様に考えても構いません．
No.39425 - 2016/10/07(Fri) 15:20:17
☆ Re: 三角形の形状 / ゆうり
丁寧にご説明くださりありがとうございました。
返信が遅くなって申し訳ありません。
No.39468 - 2016/10/09(Sun) 11:16:14
★ 大学1年 偏微分 / さくら
(1)(3)がどうしてもとけません
答えは
(1) Zu=9(2u-v) , Zv=-9u
(3) Zu=e^(xy)(uy-vx)/(u^2+v^2) , Zv=e^(xy)(ux-vy)/(u^2+v^2)
です

どなた途中過程を教えてください
宜しくお願い致しますm(_ _)m
No.39393 - 2016/10/05(Wed) 22:31:53
☆ Re: 大学1年 偏微分 / noname
多変数関数における合成関数の微分法を用いるだけです.
(1)については，

∂z/∂x＝4x+y,∂z/∂y＝x-2y,
∂x/∂u＝2,∂y/∂u＝1,∂x/∂v＝-1,∂y/∂v＝1

を次の式に代入して計算すると∂z/∂u,∂z/∂vの式が求まります．

∂z/∂u＝∂z/∂x・∂x/∂u+∂z/∂y・∂y/∂u,
∂z/∂v＝∂z/∂x・∂x/∂v+∂z/∂y・∂y/∂v.

また，(2)については，

∂z/∂x＝ye^{xy},∂z/∂y＝xe^{xy},
∂x/∂u＝1/√(u^2+v^2)・u/√(u^2+v^2)＝…,
∂y/∂u＝1/(1+(v/u)^2)・(-v/u^2)＝…,
∂x/∂v＝1/√(u^2+v^2)・v/√(u^2+v^2)＝…,
∂y/∂v＝1/(1+(v/u)^2)・1/u＝…

を次の式に代入して計算すると∂z/∂u,∂z/∂vの式が求まります．

∂z/∂u＝∂z/∂x・∂x/∂u+∂z/∂y・∂y/∂u,
∂z/∂v＝∂z/∂x・∂x/∂v+∂z/∂y・∂y/∂v.
No.39394 - 2016/10/05(Wed) 23:00:27
☆ Re: 大学1年 偏微分 / さくら
回答ありがとうございました!!
どうやらぐちゃぐちゃに書きすぎて、途中で訳が分からなくなってただけみたいでした

おかげで無事に解決することができました

また機会がありましたらよろしくお願いします
No.39405 - 2016/10/06(Thu) 12:54:34
★ 期待値 / ゆうり
三枚の硬貨を同時に投げる時、表の出る枚数Xの期待値を求めよ。

この問題で、Xが0のとき確率が1/8，Xが1のとき3/8，Xが2のとき3/8，Xが3のとき1/8になるのですが、何故ですか？
どなたか教えてください。
No.39392 - 2016/10/05(Wed) 21:34:03
☆ Re: 期待値 / noname
3枚の硬貨を区別されたものとして捉え，3枚の硬貨において

・全て裏である確率
・1枚は表で残りの2枚は裏である確率
・1枚は裏で残りの2枚は表である確率
・全て表である確率

についてそれぞれ考えてみてください．
No.39395 - 2016/10/05(Wed) 23:03:19
☆ Re: 期待値 / ゆうり
回答ありがとうございます。

> 3枚の硬貨を区別されたものとして捉え，3枚の硬貨において
>
> ・全て裏である確率
裏になるか表になるかの確率は1/2ですよね。
(1/2)^0×(1/2)^3=1/8
> ・1枚は表で残りの2枚は裏である確率
(1/2)^1×(1/2)^2=1/8
> ・1枚は裏で残りの2枚は表である確率
(1/2)^2×(1/2)^1=1/8
> ・全て表である確率
(1/2)^3×(1/2)^0=1/8
>
> についてそれぞれ考えてみてください．

なんでか全て1/8になってしまうのですが、どこがおかしいのかわかりません。
教えていただけませんか？
No.39396 - 2016/10/05(Wed) 23:45:49
☆ Re: 期待値 / noname
>なんでか全て1/8になってしまうのですが、どこがおかしいのかわかりません。

例えば，1枚が表で残りの2枚が裏である場合の数は幾つか分かりますか？
No.39397 - 2016/10/06(Thu) 00:20:53
☆ Re: 期待値 / angel
「何枚が」というイメージがまだ明確でないように見えます。

であれば、3枚のコインに名前をつけて ( A,B,Cとか )、「どのコインが表/裏か」を挙げて考えてください。
No.39398 - 2016/10/06(Thu) 00:26:45
☆ Re: 期待値 / ゆうり
3枚全てが表
3枚中全て表になる場合は3C3=1通り
3C3×(1/2)^3×(1/2)^0=1/8
3枚中1枚が表で2枚が裏
3枚中1枚が表になる場合は3C1=3通り
3C1×(1/2)^1×(1/2)^2=3/8
3枚中2枚が表で1枚が裏
3枚中2枚が表になる場合は3C2=3通り
3C2×(1/2)^2×(1/2)^1=3/8
3枚全てが裏
3枚全てが裏になる場合は3C0=1通り
3C0×(1/2)^0×(1/2)^3=1/8

こういうことでしょうか？
No.39399 - 2016/10/06(Thu) 01:18:21
☆ Re: 期待値 / noname
>こういうことでしょうか？

はい，その通りです．
No.39402 - 2016/10/06(Thu) 01:49:51
☆ Re: 期待値 / ゆうり
ありがとうございました！
助かりました。
No.39403 - 2016/10/06(Thu) 01:54:01
☆ Re: 期待値 / noname
この手の問題は「同様に確からしい」という概念が重要となってきます．余力があれば調べてみてください．
No.39414 - 2016/10/06(Thu) 20:22:33
★ 教えてください>_< / シマシマ
2直線2x-y+1=0, x-3y=0の作る鋭角θを求めよ。
わかりません。教えてください>_<
No.39377 - 2016/10/04(Tue) 21:12:05
☆ Re: 教えてください>_< / noname
直線x-3y＝0,2x-y+1＝0のそれぞれがx軸の正方向の部分となす角をα,β(0≦α≦π,0≦β≦π)とすると，tanα＝1/3,tanβ＝2であるため，α,βは両方とも鋭角であることが分かります(tangentの値が正であることとα,βの範囲よりその様に言える)．また，tanα＜tanβよりα＜βとなります．よって，2直線x-3y＝0,2x-y+1＝0が挟む角β-αとπ-(β-α)の2つのうち鋭角の方はβ-αとなります．よって，後はtan(β-α)の値をtangentの加法定理より求め，その値を参考にしてβ-αの値を求めればよいかと思います．
No.39382 - 2016/10/04(Tue) 22:23:29
☆ Re: 教えてください>_< / IT
三角関数を使わない方法（この問題に限れば、こういう方法もあります。）

2直線2x-y+1=0, x-3y=0の作る角は,2直線2x-y=0…(1), x-3y=0…(2)の作る角と等しい。

(1)(2)は原点Oで交わり,(1)は点A(1,2),(2)は点B(3,1)を通る。# 図を描くことをお勧めします。
OA＝√5,OB=√10,AB＝√5
よって△OABは、直角二等辺三角形で∠AOB＝45°これが求める角度。


--（より一般的な方法）-------------------------------------------------------

直線y=mx…(1),直線y=nx…(2),0＜m＜nの場合

直線(1)(2)は原点Oで交わり,(1)は点A(1,m),(2)は点B(1,n)を通る.
(1,0)を点C,Bから(1)への垂線の足をHとすると
△BHAと△OCAは相似なので BH:OC=BA:OA,よってBH:1=n-m:√(m^2+1)
よってBH=(n-m)/√(m^2+1)
したがって　sin∠AOB=BH/OB=(n-m)/(√(m^2+1)√(n^2+1))

m=1/2,n=3を代入して　sin∠AOB＝(3-1/2)/(√(1/4+1)√(9+1))=1/√2
----------------------------------------------------------------------
＃２直線とｘ軸の位置関係によって少し変わってきますが同様にできます。図を描いて確認してください。
No.39386 - 2016/10/04(Tue) 23:09:43
☆ Re: 教えてください>_< / noname
平面ベクトルの内容を学習済みであれば，それぞれの直線に対する法線ベクトルを選び，2本の法線ベクトルのなす角に関する余弦の値を計算することで問題の答えを考えてもよいです．
No.39389 - 2016/10/04(Tue) 23:50:31
★ 二次関数 / あゆ
このプリント、答えだけではなく、解く手順(？)を教えてください。お願いします
No.39372 - 2016/10/04(Tue) 18:37:56
☆ Re: 二次関数 / noname
おそらく，質問内容が多すぎて回答が付きにくいのだと思います．一見すると，応用問題もある一方で教科書の解説を見ながら解くことの出来る易しめの問題もあるため，一度各問題に対して自分で解答できるところまで考えていただくとよいかと思います．そして，それらの解答できている部分とわからない部分に関する文章を書いていただけると，回答者としては手助けしやすいです．
(たぶんその方が，質問者と回答者のやりとりはより円滑に進むはず)
No.39387 - 2016/10/04(Tue) 23:25:34
☆ Re: 二次関数 / noname
一応，2から5の問題のヒントを与えておきます．一度ご参考ください．


[ヒント]
2．A(t,t^2/2)(t＞0)と表しておくと，AD＝t^2/2,AB＝2tである．四角形ABCDは長方形であるから，この四角形が正方形となるにはAD＝ABが成立すればよい．
3．P(x,y)は2次関数y＝x^2/4(x≧0)のグラフ上にあるため，x＝t,y＝t^2/4(t≧0)と表せる．Pのx座標とy座標が等しい時，t＝t^2/4が成り立つはずである．
4．直線ABは点C(0,3)を通り，その傾きは2であるから，直線ABの方程式はy＝2x+3である．この式と(Aのy座標)＝9,(Bのx座標)＝-1を使うと，Aのx座標とBのy座標を求めることが出来る．ところで，三角形AOCの底辺を辺AC，三角形BOCの底辺を辺BCとすると，三角形AOCとBOCの底辺に対する高さはどちらも同じ長さである．よって，

AC：CB＝(三角形AOCの面積)：(三角形BOCの面積)

が成り立つ．
5.直線CDとx軸は平行であるから，Cのy座標はDのy座標と同じである．このこととCが2次関数y＝x^2/2のグラフ上にあることからCのx座標を求めることが出来る．よって，CDの長さがCのx座標より分かる．一方，直線ABと直線CDは平行であり，直線CDとx軸は平行であるから，直線ABとx軸は平行である．ゆえに，A(-t,t^2/2),B(t,t^2/2)(t＞0)と表せる．この時，AB＝2tであり，AB＝CDでもあるから，tの値を求めることが出来る．また，平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを底辺とみた場合の高さは，Dのy座標からBのy座標を引くことで求めることが出来る．
No.39388 - 2016/10/04(Tue) 23:47:15
★ (No Subject) / アカシロトモ
こんにちは、またお世話になります。
下の問題について、（1）は次のように考えましたが、
(2)を教えてください。よろしくお願いします。

２点A(1),B(i)を通る直線は、
xy座標では、A(1,0),B(0,1)からy=-x+1となる。
媒介変数表でx=t、y=-t+1とおくと、
複素数平面では、z=x+iy＝t+i(-t+1)=(1-i)t+i　

問題：複素数平面上に2点A(1),B(i)を通る直線𝑙がある。
直線𝑙上の動点をPとし、Oを端点とする半直線OP上に
OP・OQ=2となる点Qをとるとき、
(1)直線𝑙の方程式を求めよ　
(2)点Qの描く図形を求めよ
No.39371 - 2016/10/04(Tue) 18:11:46
☆ Re: / angel
(1) 間違ってはいないと思うのですが、正解にならないんじゃないでしょうか。

多分、(1+i)z-(1-i)~z=2i のような答えが求められているかと。

(2) Q の表す複素数を w としたとき、
> Oを端点とする半直線OP上にOP・OQ=2となる点Qをとるとき、
から、
　w = 2z/|z|^2 = 2z/(z・~z) = 2/~z　( ~z は z の複素共役 )
です。
これを、z=〜, ~z=〜 の形にして (1) の解に代入して整理します。
この手の図形は円になりますから、整理するときに意識すると良いかと思います。
No.39374 - 2016/10/04(Tue) 19:41:58
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

いつもありがとうございます。
やはり理解できてませんでした。
（1)(2)ともわかりませんがもう少し考えてみます。
No.39375 - 2016/10/04(Tue) 20:32:43
☆ Re: / angel
取り敢えず、2点 a, b を通る直線は

　~(a-b)z-(a-b)~z=~ab-a~b

ですね。まあ、公式として覚えることもないと思いますが。

(z-a)/(a-b) が実数になる、つまり (z-a)/(a-b)=~( (z-a)/(a-b) ) を整理すると出てきます。
No.39376 - 2016/10/04(Tue) 21:00:16
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

ありがとうございます。
(1)は、教えていただいた公式で出ました。
また、今、公式の証明も確かめました。
No.39378 - 2016/10/04(Tue) 21:19:45
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

OP・OQ=2から点Qを
w = 2z/|z|^2 = 2z/(z・~z) = 2/~z　( ~z は z の複素共役 )と表すところまでは理解できました。
その後、これを、z=〜, ~z=〜 の形にする方法が分かりません。すみませんが教えてください。
No.39379 - 2016/10/04(Tue) 21:54:20
☆ Re: / angel
w=2/~z から ~z=2/w, z=~(2/w)=2/~w です。
No.39380 - 2016/10/04(Tue) 22:01:44
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

ありがとうございます。計算してみます。
No.39381 - 2016/10/04(Tue) 22:08:58
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

次のような計算をするのでしょうか。
なんだか、自分の理解不足で本質を外しているような気がします


(1+i)z-(1-i)z~=zi にz=2/w~ , z~=2/wを代入して、
(1+i)2/w~-(1-i)2/w=2i
⇔ (1+i)w-(1-i)w~=ww~*i
⇔ (1+i)(x+yi)-(1-i)(x-yi)=(x+yi)(x-yi)i
⇔ 2(x+y)i=(x^2+y^2)i
⇔ (x-1)^2+(y-1)^2=2 中心(1,1),半径√2の円
No.39383 - 2016/10/04(Tue) 22:36:10
☆ Re: / angel
いえ、大丈夫です。それで合ってます。

ただ、w=x+yi と置かないで計算することもできます。

(1+i)2/~w-(1-i)2/w=2i
⇔ w~w-(1-i)w-(1+i)~w=0
⇔ (w-(1+i))(~w-(1-i))=(1+i)(1-i)
⇔ (w-(1+i))・~(w-(1+i))=2
⇔ |w-(1+i)|^2=2

よって、1+i を中心とする半径√2 の円
※ただし w≠0 のため原点を含まない
No.39384 - 2016/10/04(Tue) 22:44:29
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

ありがとうございました。
何度もご迷惑おかけいたしました。
おかげさまで、理解できました。
No.39385 - 2016/10/04(Tue) 22:59:08
★ 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / たま
【問題】
半径3の球体C1に半径1の球体C2が内接し、固定されている。
半径1の球体C3は、C1の内部およびC2の外部を自由に移動する。
このとき、C3が動ける部分の体積を求めてください。
No.39369 - 2016/10/04(Tue) 14:01:45
☆ Re: 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / angel
86/3・π+2√3/3・π^2 でしょうかね。
No.39373 - 2016/10/04(Tue) 19:20:39
☆ Re: 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / たま
解いていただきありがとうございます！
でも私の出した答えと違ってるんです。もう一度検算します。
ちなみにレベル的にはどうでしたでしょうか。
No.39390 - 2016/10/05(Wed) 13:54:35
☆ Re: 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / angel
レベル的にはやや難でしょうか。計算結果が合ってるかどうか、なかなか確かめ辛いのがまた。

で、すいません。計算やり直したら答えが違いました。
71/3・π+2√3/3・π^2 になりました。

計算式としては、
　4/3・π・3^3 - (1+3^3)∫[1/2,1]π(1-t^2)dt + ∫[1/2,1] 4√3・π√(1-t^2) dt
です。
No.39391 - 2016/10/05(Wed) 19:17:27
☆ Re: 問題を作ったので誰か解いてくれませんか / たま
angel様。何度も解いていただき感謝いたします。
実は私は95/3・π-2√3/3・π^2になったのです。私ももう一度考えてみます。

レベルも考察いただきありがとうございます。
No.39404 - 2016/10/06(Thu) 10:40:46
★ (No Subject) / ユー
この問題教えてください
No.39368 - 2016/10/04(Tue) 12:42:20
☆ Re: / noname
第2の条件よりa_[1],a_[2],...,a_[n]のうちある(n-1)個の自然数はどの2つも異なるため，次の2つ

?@a_[1],a_[2],...,a_[n]は全て異なる
?Aa_[1],a_[2],...,a_[n]のうちある(n-1)個の自然数b_[1],b_[2],...,b_[n-1]はどれも相異なり，残りの1個の自然数はb_[1],b_[2],...,b_[n-1]のうちどれか1個の自然数と一致する

に場合分けし，それぞれの場合で第1の条件を用いて場合の数を計算すればよいのではないでしょうか．
No.39370 - 2016/10/04(Tue) 18:06:45
★ (No Subject) / なこ
複合同順をくくるときどうすればいいですか？どう考えればいいですか？

たとえば

±A*B±A*C=±A(B+C)
±A*BマイナスプラスA*C=A(B-C)

となるみたいですが、なぜですか？
No.39365 - 2016/10/04(Tue) 05:20:31
☆ Re: / noname
A*B+A*C,−A*B−A*C,A*B−A*C,−A*B+A*Cのそれぞれで分配法則を使って式変形を行ってみてください．その後に変形後の式の形をながめると疑問が解決するかもしれません．
No.39367 - 2016/10/04(Tue) 11:10:25
★ お願いします / 笠木
この問題の３問目が分かりません…助けてください…
No.39358 - 2016/10/04(Tue) 01:09:17
☆ Re: お願いします / noname
ヒントを与えておきますので一度お考えください．


[ヒント]
(1)I(m,1)の被積分関数のx^mを積分する項，(1-x)を微分する項とみてI(m,1)を部分積分法により計算すればよい．或いは，x^m(1-x)＝x^m-x^{m+1}と変形して積分計算すればよい．
(2)I(m.n)の被積分関数のx^mを積分する項，(1-x)^nを微分する項とみてI(m,n)を部分積分法により計算すればよい．
(3)(2)で得られた漸化式を繰り返し用いればよい．
No.39359 - 2016/10/04(Tue) 01:22:42
☆ Re: お願いします / noname
>この問題の３問目が分かりません


(2)の結果が

I(m,n)＝n/(m+1)・I(m+1,n-1)（m≧1,n＞1)

であり，これを繰り返し用いると，

I(m,n)
＝n/(m+1)・I(m+1,n-1)
＝n/(m+1)・(n-1)/(m+1)・I(m+2,n-2)
＝……
＝n/(m+1)・(n-1)/(m+1)・…・2/(m+n-2)・I(m+n-2,1)
＝n!m!/(m+n-2)!・I(m+n-2,1)

となります．ここで(1)の結果を用いればよいです．
No.39360 - 2016/10/04(Tue) 01:31:52
☆ Re: お願いします / 笠木
ありがとうございます!!助かりました！！
No.39361 - 2016/10/04(Tue) 01:42:09
★ (No Subject) / ラルファス
この問題を教えてくださいm(_ _)m
No.39356 - 2016/10/03(Mon) 22:01:08
☆ Re: / angel
(1)
「共有点をもつような」とありますから、共有点をもつものと仮定して話を進めます。

共有点(x,y)は、?@ の y=x^2+k, ?Aの x^2+y^2=1 両方を満たします。
ここから綺麗に消せるのは x^2、?@と?Aを辺々足して整理すると、

　y^2+y-(k+1)=0

と、共有点(x,y)のyの値の満たす方程式が分かります。
ただし、?Aのx^2+y^2=1 がありますから、yの値の範囲は -1≦y≦1
結局、

　y の2次方程式 y^2+y-(k+1)=0 が -1≦y≦1 の範囲に ( 少なくとも1つ ) 解を持つ条件は何か

という、2次方程式の解の存在条件の問題となります。

(2)
P を y=(x-a)^2+(b-a^2) と変形すると、( (x-a)^2 が共通して現れることから )、PとC1が共有点を持つ、PとC2が共通点を持つ、というのは(1)と同じように条件を求めることができます。
No.39357 - 2016/10/04(Tue) 00:38:59
☆ Re: / noname
>y の2次方程式 y^2+y-(k+1)=0

の-1≦y≦1での実数解の個数が2個の場合は，それらに対応する放物線と円の交点の個数は2個か3個か4個のいずれかです．よって，この場合では慎重に議論されるとよいかと思います．なお，放物線と円の交点の個数に関する説明が次のURL先のサイトにて類題を使って解説されています．その解説の図を参考にされるとよいかと思います．

http://examist.jp/mathematics/figure-circle/en-houbutusen/


※本問の場合は放物線と円の交わり方のパターンが幾つかあるため，実際には考えにくいかと思います．そのため，放物線と円の位置関係を図を描くことで調べてみることが大事ではないかと思います．
No.39362 - 2016/10/04(Tue) 03:57:53
☆ Re: / noname
問題の内容を勘違いしておりました．そのため，先程のコメントは無視してください．失礼致しました．
No.39363 - 2016/10/04(Tue) 04:05:57
★ 順列・組み合わせの問題 / ゆうり
こんばんは。いつもお世話になっております。
この問題がわからないので解き方のヒントをください。

平面上に7本の直線がある。そのうち3本だけが互いに平行で、他の直線については、どの2直線も平行でないとする。また、7本の直線のうち、どの3本も1点で交わらないとする。
(1)交点はいくつあるか
(2)三角形はいくつあるか
No.39352 - 2016/10/03(Mon) 17:51:31
☆ Re: 順列・組み合わせの問題 / X
(1)
まず平行である３本の直線を除いた
残りの4本の直線を最初に引き
これらの交点の数を求めることを考えます。
直線が2本だと交点の数は一つ
これに1本直線が増えると交点の数は
既に描かれている直線の数と同じ数
である2個増えます。
更に1本増えると交点の数は…。
従って、平行でない4本でできる
交点の数は…。
更にこれに平行である三本の直線を
引くと、平行でない直線一つに対し
交点が3個増えますので…

(2)
求める個数は
全ての交点から3個の交点を選ぶ組み合わせの数
から
7本の直線の内の1本の上にある全ての交点から
3個の交点を選ぶ組み合わせの数の総和
を引いたものになります。

但し、この問題の場合、互いに平行である3本
の直線上にある交点と、残りの4本の直線上に
ある交点とでは、その個数が異なりますので
注意しましょう。
No.39353 - 2016/10/03(Mon) 18:34:49
☆ Re: 順列・組み合わせの問題 / ゆうり
ご丁寧に教えてくださりありがとうございます。
これで解けたと思います。
少しお聞きしたいのですが、(1)で平行でないほうの直線から考えるのはなぜですか？
No.39355 - 2016/10/03(Mon) 20:01:42
☆ Re: 順列・組み合わせの問題 / X
互いに平行な３本の直線と平行でない１本の直線との交点
と
互いに平行でない２本の直線の交点
とではその性格が異なりますので、
分かりやすくするためです。

平行線3本の上に平行でない直線を1本づつ
加えて交点をカウントしていっても、何も
問題はありません。
(私が上記で提示した方針より少し数えにくい
ですが。)
No.39364 - 2016/10/04(Tue) 04:48:57
☆ Re: 順列・組み合わせの問題 / ゆうり
ありがとうございます。
なるほど、確かに数えにくかったです。
詳しく教えていただき助かりました。
No.39366 - 2016/10/04(Tue) 07:36:38
★ (No Subject) / アリス
この問題を教えてください。
128です。
No.39349 - 2016/10/03(Mon) 17:32:42
☆ Re: / X
△ABCの内接円の半径をrとすると、条件から
IP=IQ=IR=2r
∴△PQRについて点Iは外心となります。
No.39354 - 2016/10/03(Mon) 18:39:32
★ 三角関数 / ！(高3)
aは正の整数とする。0≦θ≦π⁄2の範囲の全てのθで、不等式　k(cosθ+a^3sinθ)≧sinθcosθ　が成り立つという。そのような数kの最小値を求めよ

という問題で、答えは　{1/√(a^3)}^3　なのですが、どうしてこの結果になるのかわからないので、どうか教えていただきたいです
No.39347 - 2016/10/03(Mon) 07:40:00
☆ Re: 三角関数 / ！(高3)
すみません、範囲のところのπ・2になってる部分はπ/2です
No.39348 - 2016/10/03(Mon) 07:41:51
☆ Re: 三角関数 / IT
答えがまちがっていると思います。途中　b=a^3 とします。（簡単のためです）

（略解）
求めるk＞0である。またsinxcosx＞0 のときを考えればよい。

任意のx(0≦x≦π/2)について,k(cosx+bsinx)≧sinxcosx
⇔　任意のx(0＜x＜π/2)について,k(cosx+bsinx)≧sinxcosx

　k＞0かつ1/k≦(cosx+bsinx)/sinxcosx＝1/sinx+b/cosx
　1/sinx+b/cosx＝f(x)とおく
　f'(x)＝-cosx/(sinx)^2+bsinx/(cosx)^2＝(b(sinx)^3-(cosx)^3)/(sinxcosx)^2
　増減を調べると、asinx=cosx のとき　f(x)は最小値 (√(a^2+1))^3をとる。
　よって,k＞0かつ1/k≦(√(a^2+1))^3　すなわち　k≧1/(√(a^2+1))^3 のとき　
　　任意のx(0≦x≦π/2)について,k(cosx+bsinx)≧sinxcosxとなる

したがって、求めるkの最小値は1/(√(a^2+1))^3

＃逆数にせずに　sinxcosx/(cosx+(a^3)sinx) の増減を調べてもできますね。
No.39350 - 2016/10/03(Mon) 17:44:35
☆ Re: 三角関数 / みずき
>答えは　{1/√(a^3)}^3　なのですが

問題が正しいなら答えが正しく書かれていないと思います。
答えが正しいなら問題が正しく書かれていないと思います。
（私の間違いでしたらすみません）
No.39351 - 2016/10/03(Mon) 17:46:22
☆ Re: 三角関数 / ！(高3)
ごめんなさい、仰るとおり間違ってました……
混乱させるようなことしてごめんなさい
教えてくれてありがとうございました！
No.39408 - 2016/10/06(Thu) 14:56:03
★ よろしくお願いします / sk
「ス」がどうしてもわかりません。
よろしくお願い致します。
No.39344 - 2016/10/02(Sun) 23:03:54
☆ Re: よろしくお願いします / IT
ともに高さは３で、底面の半径が大きい円錐から底面の半径が小さい円錐を除いた立体がx-y平面の上に

ともに高さは１で、底面の半径が大きい円錐から底面の半径が小さい円錐を除いた立体がx-y平面の下に出来ると思います。

各z=0 断面で　ｚ軸から最も近い点と最も遠い点までの距離を調べれば良いのでは。
No.39345 - 2016/10/02(Sun) 23:47:05
★ よろしくお願いします。 / さとし
初めまして。初めての投稿です。
この問題の答えが、右下の値になるのですが、符号の方向がイマイチ分かりません。よろしくお願いします。
No.39333 - 2016/10/02(Sun) 14:35:39
☆ Re: よろしくお願いします。 / noname
[問題]
放物線y＝2x^2+4kx+k+6がx軸と異なる2点で交わるとき，定数kのとり得る値の範囲を求めなさい．

という問題に対して，その考え方の流れが

[考え方の流れ]
?@「放物線がx軸と異なる2点で交わる」
⇔「2次方程式2x^2+4kx+k+6＝0が異なる2つの実数解を持つ」
⇔「(判別式)/4＞0が成り立つ」

という言いかえにより，(判別式)/4＞0を解けばよい．
?A(判別式)/4を計算すると，

(判別式)/4
＝4k^2-2(k+6)
＝4(k^2-k/2-3)
＝4(k+3/2)(k-2).
?B2次不等式(k+3/2)(k-2)＞0を解けばよい．これの解は

k＜-3/2,2＜k.

の様になるのですが，これら?@,?A,?Bのうちどれ(の一部)が理解できていないですか？
No.39341 - 2016/10/02(Sun) 18:21:12
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