ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高３積分 / 高３

積分の定義についてです。
赤線の部分が分かりません。
教えてください。

No.38790 - 2016/09/05(Mon) 21:24:47

☆ Re: 高３積分 / angel

(x^(d+1))'/(d+1)=x^d は正しいです。全く間違っていません。
ですが、今欲しい式ではないので出てこない、ということです。
※欲しい式は (x^(d+1)/(d+1))'=x^d の方

“/(d+1)”の部分は「定数を掛けている」だけですので、微分の中に入れても外に出しても同じなのです。なので、両方正しいです。
※一般的に、定数αに対して ( αf(x) )'=αf'(x)

No.38791 - 2016/09/05(Mon) 21:31:13

☆ Re: 高３積分 / 高３

「定数を掛けている」だけですので、微分の中に入れても外に出しても同じなのですか？
定数は微分すると０になるのではないのですか…?

No.38794 - 2016/09/05(Mon) 21:48:59

☆ Re: 高３積分 / angel

「定数だけ」を微分すると 0 になります。
( ex. f(x)=5 → f'(x)=0 )

が、「定数倍したもの」を微分すると、微分結果も定数倍になります。
※「線形性」と呼ばれる性質の一つ
( ex. f(x)=x^2, g(x)=5f(x)=5x^2 → g'(x)=10x=5f'(x) )

No.38795 - 2016/09/05(Mon) 22:03:51

☆ Re: 高３積分 / 高３

そこがよく分かっていませんでした！！
ありがとうございました。

No.38856 - 2016/09/10(Sat) 07:26:53

★ 数列 / アリス

公比が1でない等比数列anにおいて、a1+a2+……+a10=3, 1/a1+1/a2+……+1/a10=2のとき、積a1a2……a10の値を求めよ

よろしくお願いします。

No.38780 - 2016/09/05(Mon) 03:07:03

☆ Re: 数列 / angel

等比数列の初項、公比から和の条件を整理していきます。

その際に「等比数列の逆数からなる数列も等比数列」ということを意識しましょう。
例えば、
　3,6,12,24,…
という公比2の等比数列に対して、逆数からなる数列
　1/3,1/6,1/12,1/24,…
これも等比数列になるということです。公比は元の等比数列の公比の逆数 ( この例では1/2 ) になっています。

さて、a=a1, anの公比rと置くと、

　a1+a2+…+a10=a×(r^10-1)/(r-1)
　1/a1+1/a2+…+1/a10=1/a×( (1/r)^10-1 )/((1/r)-1)

です。

また、先に目的の式もa,rで表すと、

　a1a2a3…a10 = a×ar×ar^2×…×ar^9 = a^10×r^45

となります。

後は式を整理していくのですが、今回 a,r を直接求める必要はありません。(r^10-1)/(r-1) をひとまとまりとして消去すると、

　a^2×r^9=3/2

という式が出ます。これを辺々5乗して

　a^10×r^45=(3/2)^5=243/32

を得ます。

No.38782 - 2016/09/05(Mon) 16:08:31

★ 三角関数での求め方ではなぜだめなのでしょうか？ / けい

Vは半径１の円を底面とする立体で、底面の１つの直径ABに垂直な平面で切ると常に正方形の切り口が現れる。Vの体積を求めなさい。

という問題です。

まず、正方形の１辺の長さを求めてそれを２乗して積分するという問題ですが、正方形の１辺の長さを三角関数を使って求めると答えが違ってしまいます。なぜ、三角関数での求め方ではだめなのでしょうか？

No.38778 - 2016/09/04(Sun) 23:49:21

☆ 画像忘れていました / けい

画像を忘れていました。それと当方は浪人生です。

No.38779 - 2016/09/04(Sun) 23:52:29

☆ Re: 三角関数での求め方ではなぜだめなのでしょうか？ / X

θで直接積分していることと、積分の向きが間違えています。

ご質問の場合、積分するのはθについてではなくて
xについてであり
x=2cosθ
により
dx=-2sinθdθ
又
x：0→1
に対して
θ：π/2→0
が対応しますので
V=∫[0→1]{(2sinθ)^2}dx
=∫[π/2→0]{(2sinθ)^2}(-2sinθ)dθ
=…
となります。

No.38781 - 2016/09/05(Mon) 04:51:02

★ 数3微分 / まる

間違えて不十分なまま投稿してしまいました。
下の記事のEX169の(１)の解説を詳しくしていただけませんか。

No.38769 - 2016/09/04(Sun) 19:02:33

☆ Re: 数3微分 / IT

解答と解説のどのあたりが分からないということでしょうか？

No.38770 - 2016/09/04(Sun) 19:33:37

☆ Re: 数3微分 / まる

分かりずらくてすみませんでした。
画像の一番最後から一行上の式までは理解しています。
一番最後の式になるまでの計算過程などををもう少し詳しく教えていただけないでしょうか。

No.38772 - 2016/09/04(Sun) 20:30:04

☆ Re: 数3微分 / IT

lim[t→-∞]f(t)
=lim[t→-∞]{(a-t+1)e^t+(a-t-1)e^(-t)}
=lim[t→-∞](a+1)e^t-lim[t→-∞]te^t+lim[t→-∞](a-t-1)e^(-t)　ここでlim[t→-∞]te^t＝0なので
=0-0+lim[t→-∞](a-t-1)e^(-t)

lim[t→-∞](a-t-1)=∞,lim[t→-∞]e^(-t)=lim[t→∞]e^(t)=∞なので
lim[t→-∞](a-t-1)e^(-t)=∞
よってlim[t→-∞]f(t)=∞

lim[t→∞]f(t)
=lim[t→∞]{(a-t+1)e^t+(a-t-1)e^(-t)}
=lim[t→∞](a-t+1)e^t+lim[t→∞](a-1)e^(-t)}-lim[t→∞]te^(-t)　ここでlim[t→∞]te^(-t)＝0なので
=lim[t→∞](a-t+1)e^t+0-0

lim[t→∞](a-t+1)=-∞,lim[t→∞]e^t=∞なので
lim[t→∞](a-t+1)e^t＝-∞
よってlim[t→∞]f(t)=-∞

No.38774 - 2016/09/04(Sun) 21:14:04

☆ Re: 数3微分 / まる

よくわかりました！！
丁寧に教えて下さり本当に有難うございました！！

No.38776 - 2016/09/04(Sun) 21:31:36

★ (No Subject) / まる

青チャート解説編p132　EX182　の問題について質問です。
HINT(１)　に書かれている　「等置する」意味が分かりません。
分かりやすく解説していただけませんか。

No.38767 - 2016/09/04(Sun) 18:48:48

☆ Re: / IT

特に変わったことをやっているわけではありません。「等置」という言葉を使う必要もないと思います。

例えば
f'(x)=xとなるxの２次関数f(x)を見つけるとき

一般の２次関数　f(x)=ax^2+bx+c について　f'(x)=2ax+b
f'(x)＝x になるのは
f'(x)＝2ax+b＝x (恒等式)のときなので　＃こう置くところを「等置」と呼んでいるだけです。
係数を比較してa=1/2,b=0,cは任意

No.38771 - 2016/09/04(Sun) 19:53:54

☆ Re: / まる

ありがとうございます。
等置するの意味は分かりました。

しかしなぜ
ｇ’(ｘ)＝ｘ＾３　
とするのかがまだ分かりません。
e＾－aｘが共通しているからなのですか…？

No.38775 - 2016/09/04(Sun) 21:29:31

☆ Re: / IT

> しかしなぜ
> ｇ’(ｘ)＝ｘ＾３　
> とするのかがまだ分かりません
テキストでは、そうはなってないと思います。
ｇ’(ｘ)＝(ｘ^3)e＾－aｘとなっていると思いますが？

> e＾－aｘが共通しているからなのですか…？
その後の等式ではそうですね。

No.38777 - 2016/09/04(Sun) 21:48:06

☆ Re: / まる

ｇ’(ｘ)＝(ｘ^3)e＾－aｘ
でした、ごめんなさい、書き忘れていました。

なぜ急にそう置くのかが分からないです。
問題を解くにあたっての流れが分かっていない気がします。

No.38788 - 2016/09/05(Mon) 21:21:14

☆ Re: / IT

求めるべきものは、どういうものか　確認してください。

No.38789 - 2016/09/05(Mon) 21:23:44

☆ Re: / 高３

やはりじっくり考えたら分かりました。
ありがとうございました。

No.38793 - 2016/09/05(Mon) 21:46:33

★ 不等式 / るり

任意の実数xに対して、適当な整数nを選べば、
│n-x│≦rが成り立つ。rの最小値を求めなさい。

どこから手をつけたらよいか最初からわからないです。任意と適当の違いもよくわからないです。どっちも何でもいいという意味なら最小値は0になると思うのですが、答えは1/2でした。
わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

No.38757 - 2016/09/03(Sat) 19:25:16

☆ Re: 不等式 / ＿

とりあえずこのへんを。

No.38758 - 2016/09/03(Sat) 19:45:41

☆ Re: 不等式 / るり

xがなんでもいいなら、x=nのときに最小値0になるのではないんですか。ご紹介のところを読みましたが、よくーからないです。

No.38759 - 2016/09/03(Sat) 21:03:44

☆ Re: 不等式 / ＿

「任意を」を「なんでもいい」と解すのは間違いであって、
「どのような数が与えられたとしても」とでも解釈すべきでしょう。「適当な」は「うまい具合に」とでも解釈すればよいでしょう。それを念頭に置いて、

どのような実数xを与えられても、それに対してうまい具合に整数nを選べば|n-x|≦1/2が成り立つようにできる。

という主張は何を言っているかわかりますか？
上記の"1/2"を"0"にしてしまっては破綻してしまうこともわかりますか？

No.38760 - 2016/09/03(Sat) 21:22:14

☆ Re: 不等式 / るり

│n-x│≦1/2の1/2はどこからでてきたのですか。不等式の主張していることがよくわからないです。

No.38761 - 2016/09/03(Sat) 21:58:23

☆ Re: 不等式 / IT

横から失礼します。

視覚的に理解するために、数直線上に整数を白丸で書き込んでみてください。

実数xをどこにとっても,xに一番近い整数は、1/2以内の距離のところにあります。

また、x=1/2 とするとxに最も近い整数までの距離は1/2です。

No.38762 - 2016/09/03(Sat) 23:29:58

☆ Re: 不等式 / るり

数直線のどこに点をとってもその点を挟む整数が2点あって、近い方は距離1/2以内のところにあるということですね。適当な整数の意味が何となくわかりました。
│n-x│の最大値が1/2になるのもわかりました。
でもrの最小値を求めるのになぜ│n-x│の最大値を求めるのですか。

No.38763 - 2016/09/03(Sat) 23:44:56

☆ Re: 不等式 / IT

少し簡単な問題で考えて見ます。

（１）集合A＝{1,2,3} とする。
任意のa∈Aについてa≦r となるような、最小の実数rを求めよ。

という問題だとAの元の最大値3をとって　3≦r
これを満たす最小の実数なのでr＝3

（２）集合A＝{4以下の実数}とする。
任意のa∈Aについてa≦r となるような、最小の実数rを求めよ。
という問題だとAの元の最大値4をとって　4≦r
これを満たす最小の実数なのでr＝4

この問題は、数直線を描いてみてください。

これらを踏まえて元の問題を考えてみてください。

No.38764 - 2016/09/03(Sat) 23:58:49

☆ Re: 不等式 / るり

またわからなくなってしまいまして。
最大値を考えるのでしたら、nとxの差はいくらでも大きくなるので最大値はなくないですか。

No.38801 - 2016/09/06(Tue) 20:47:16

☆ Re: 不等式 / IT

最大値はあります。

No.38763
> 数直線のどこに点をとってもその点を挟む整数が2点あって、近い方は距離1/2以内のところにあるということですね。適当な整数の意味が何となくわかりました。
> │n-x│の最大値が1/2になるのもわかりました。
この考えで合ってます。

No.38805 - 2016/09/06(Tue) 22:58:24

☆ Re: 不等式 / るり

解決しました。ありがとうございました。

No.38814 - 2016/09/07(Wed) 20:28:06

★ 赤チャートの場合の数の問題について教えてください / りか

(2)で展開式の異なる項とはどういう意味ですか？また、なぜ6個なんですか？どなたかよろしくお願いします。上が問題で下が回答です。

No.38742 - 2016/08/31(Wed) 14:40:42

☆ Re: 赤チャートの場合の数の問題について教えてください / ヨッシー

（ｘ＋ｙ）^2 の異なる項は、係数を無視すると
　ｘ^2, ｘｙ, ｙ^2
の３個です。
（ｘ＋ｙ）^3 の異なる項は、
　ｘ^3, ｘ^2ｙ, ｘｙ^2, ｙ^3
の４個です。
（ｘ＋ｙ＋ｚ）^2 の異なる項は
　ｘ^2, ｙ^2, ｚ^2, ｙｚ, ｚｘ, ｘｙ
の６個です。

（ｘ＋ｙ）^2 を展開すると
　(ｘ＋ｙ)(ｘ＋ｙ)＝ｘ^2＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ^2
ですが、ｘｙとｙｘは同じ項なので、異なる項としては３個になります。

(x+y+z)^6 は、
　(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)
のように、６つあるカッコから、x,y,z を１つずつ取るので、
「６個取る」です。

まずは
　(x+y+z)^3＝(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)
くらいから、「取って掛ける」というイメージをつかんでみてはどうでしょう？

No.38743 - 2016/08/31(Wed) 15:11:10

★ 青チャート二次不等式の問題 / ゆうり

青チャートの二次不等式の問題について教えてください。

次の不等式を解け。ただし、ａは定数とする。
ａx^2≦ａx

解説にａ>0のとき、ａx(x-1)≦0 から x(x-1)≦0
よって、解は 0≦x≦1 と書いてあるのですが、なぜａ>0のときにx(x-1)になるのですか？ａは何処へ？？
どなたか教えてください。

No.38738 - 2016/08/30(Tue) 22:07:42

☆ Re: 青チャート二次不等式の問題 / IT

実数a,b について
　a≧0かつb≧0 ならば　ab≧0
　a≧bかつc≧0 ならば　ac≧bc
　a＞0 ならば 1/a＞0

が成り立つことは分りますか？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
これらが分れば、

　ax(x-1)≦0　の両辺に1/a＞0を掛けて　x(x-1)≦0

No.38739 - 2016/08/30(Tue) 23:11:15

☆ Re: 青チャート二次不等式の問題 / ゆうり

あー、なるほど。理解できました！
ありがとうございました！

No.38747 - 2016/09/01(Thu) 00:33:23

★ (No Subject) / kyo

この問題の⑵の解き方教えてください。

No.38737 - 2016/08/30(Tue) 21:51:40

☆ Re: / angel

2次方程式の「判別式=0」がひたすら出てきます

まずは、その「共通な接線」を l:y=px+q と置くことにしましょう。

そうすると、l は C,Ca両方と接する訳ですから、そこから p,q,a の条件が割り出せるはずです。
具体的には、2次方程式の判別式を使います。

　lとCが接する
　　x^2=px+q が重解を持つ → 判別式=0
　lとCaが接する
　　a(x-2)^2-1=px+q が重解を持つ → 判別式=0

ちなみに、q は p の式として確定しますので、q を消去して a,p の条件式にしておきます。次のようになるはずです。

　(1-a)p^2+8ap+4a=0

さて。問題の条件は「共通な接線をただ1つだけもつ」でしたから、aの値を決めたときに、この条件を満たす p が2つ以上あるとマズいわけです。
そうすると、このa,pの条件式を p の2次方程式 ( もしくは、a=1であれば1次方程式 ) と見て、解が1つになる、と考えます。
※解が2つ以上あると、それに応じて接線が2つ以上できてしまう
つまり、a≠1 で2次方程式の場合に重解となる ( 判別式=0 ) か、a=1 で1次方程式になるか、というのが解が1つになる時です。

そこから a の値を求めます ( 複数 )。なお、a≠0 ( Ca が放物線になるため ) に注意しましょう。

No.38740 - 2016/08/31(Wed) 01:38:40

★ 青チャート二次関数の問題 / ゆうり

高校1年生です。数学Iの二次関数の問題について質問です。

f(x)=x^2-2x+3,g(x)=-x^2+6x+ａ^2+ａ-9がある。次の条件が成り立つような定数ａの値を求めよ。
0≦x≦4を満たすある実数x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)が成り立つ。

この問題で、解き方のヒントとして
［0≦x≦4におけるf(x)の最小値］<［0≦x≦4におけるg(x)の最大値］となるａの値の範囲を求める。
と書いてありました。
何故こうなるのかよく分かりません。どなたか分かりやすく教えて頂けないでしょうか。

No.38728 - 2016/08/30(Tue) 11:09:16

☆ Re: 青チャート二次関数の問題 / ヨッシー

別の問題の図なので、軸の位置とか本問と違いますが、
f(x) と g3(x) の関係を見て下さい。
f(x) の最小値、g3(x) の最大値はともに頂点に現れます。
今、図では、頂点のｙ座標が同じで、
　[f(x)の最小値]＝[g3(x)の最大値]
であり、それ以外はすべて　f(x1)＞g3(x2) です。
f(x)＞g3(x) と書くと、同じｘ座標での比較になりますが、
f(x1)＞g3(x2) は、f(x) 上のあらゆる点と、g3(x) 上の
（ｘ座標が同じとは限らない）あらゆる点を比較して、f(x) のほうが g3(x) より大きい
という意味です。

さて、g3(x) のグラフが、図の位置よりも、少しでも上に行くと
g3(x) の頂点のほうが、f(x) の頂点よりも大きくなります。つまり、
　「[f(x)の最小値］<［g3(x)の最大値］
であると、
　「ある実数x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)が成り立つ」
となります。

No.38729 - 2016/08/30(Tue) 12:32:36

☆ Re: 青チャート二次関数の問題 / ゆうり

詳しく解説してくださりありがとうございます。
そうか、x1とx2は別の数なんですね。
ある実数、ですから１つでも成り立てば良いのですか？

No.38736 - 2016/08/30(Tue) 20:41:20

☆ Re: 青チャート二次関数の問題 / ヨッシー

x1,x2の組について、１組でも成り立てばＯＫです。

No.38741 - 2016/08/31(Wed) 11:33:41