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★ 高校数学の大学受験問題です！ / ななみ
よろしければ解答や解説をお願いします！(>_<)
No.34286 - 2015/11/15(Sun) 15:18:43
☆ Re: 高校数学の大学受験問題です！ / ヨッシー
(1)
省略
(2)
Ａ(a, 0), Ｂ(0,k-a) (0≦a＜k) を一辺とする正方形が
考えられるので k 個。
(3)
q[1]＝1, q[2]＝6, q[3]＝20
(4)
　q[n]＝Σ[k=1〜n](n-k+1)^2・k＝n(n+1)^2(n+2)/12

(3) は、例えば、n=3 のとき、
１辺１の正方形の辺上の点で出来る１個（(2) のk=1 の場合) が９個
１辺２の正方形の辺上の点で出来る２個（(2) のk=2 の場合) が４個
１辺３の正方形の辺上の点で出来る３個（(2) のk=3 の場合) が１個　で
　9・1＋4・2＋1・3＝20
これを一般的にしたのが(4)です。
No.34288 - 2015/11/15(Sun) 16:24:24
★ テスト / サキ
(2)このやり方でも解けるとは思うのですが
計算がよくわからなくて先に進みません…
No.34284 - 2015/11/15(Sun) 14:58:34
☆ Re: テスト / IT
a,bは実数ですか？　そうであれば
与式：(|a+b|+|b|)^2-|a|^2 を展開して整理すると

2(a+b)b+|2(a+b)b|になりますから
任意の実数xについてx+|x|≧0、を認めれば　与式≧0が言えますね。
No.34287 - 2015/11/15(Sun) 16:20:49
★ (No Subject) / ぬーん
三行三列目の8を1にすると計算がややこしくて
わからないので、教えてください。
途中まではあってると思います。
No.34282 - 2015/11/15(Sun) 09:37:01
☆ Re: / ヨッシー
８で割るところを、８掛けているところがあります。
No.34283 - 2015/11/15(Sun) 10:27:16
★ 場合の数 / ふぇるまー
解き方があっているか心配なので、合っているかetc.御教授くださいませ。

問:男の先生が1人、女の先生が1人、男子生徒と女子生徒がそれぞれ2人ずつの計6人が円卓に着席する。
先生2人、男子生徒2人、女子生徒2人がそれぞれ隣り合う方法は□通りある。

<解>　先生2人、男子生徒2人、女子生徒2人をそれぞれ1人ずつとみなして計3人の円順列を考えると、(3-1)!=2通り。
先生、男女の生徒はそれぞれ2人ずつであり、2人の座り方は、2!×2!×2!=8通り。
∴　2×8=16通り　

どうでしょうか?
No.34280 - 2015/11/15(Sun) 08:33:43
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
正解です。

解き方も良いと思います。
No.34281 - 2015/11/15(Sun) 09:07:58
☆ Re: 場合の数 / ふぇるまー
有難う御座いました
No.34285 - 2015/11/15(Sun) 15:03:14
★ 数学的帰納法 / まき
⑵からわかりません。
No.34275 - 2015/11/14(Sat) 21:10:22
☆ Re: 数学的帰納法 / IT
(1)はどうなりましたか？
a[5]も求めて見てください。　分子・分母の規則性が見えてきませんか？
No.34276 - 2015/11/14(Sat) 21:52:57
☆ Re: 数学的帰納法 / まき
⑵の、a[n]を推測まではできました。
No.34277 - 2015/11/14(Sat) 23:32:35
☆ Re: 数学的帰納法 / IT
> ⑵の、a[n]を推測まではできました。
どうなりましたか？


数学的帰納法の第一段階、仮定、示すべき次のステップ、結論は、それぞれどう書けますか？　できるところまで書いてください。
No.34278 - 2015/11/15(Sun) 00:24:30
☆ Re: 数学的帰納法 / まき
⑵までできました。
しかし、⑶が、わかりません。
No.34293 - 2015/11/15(Sun) 21:32:17
☆ Re: 数学的帰納法 / IT
b[n]=(2n+1)/{(2^n)a[n]}に(2)で求めたa[n]を代入すると
b[n]=2n/(2^n) - 1/(2^n) になると思います。

1/(2^k)の和は等比数列の和です

k/(2^k)の和は
T =1/(2^1)+2/(2^2)+3/(2^3)+.....+n/(2^n)
2T=1/(2^0)+2/(2^1)+3/(2^2)+.....+n/(2^(n-1))
として2T-Tを各項を斜めに対応させて引くことによって
2T-T=1/(2^0)+1/(2^1)+1/(2^2)+...+1/(2^(n-1))-n/(2^n)
とすると、中に等比数列の和が出来ます。
No.34294 - 2015/11/15(Sun) 22:41:17
★ (No Subject) / ぬーん
(4)と(5)の行列の計算方法がわかりません。
(4)は３乗をどのように計算しますか?
(5)は行列を簡単にするために、はきだしたのですが、
うまく計算できませんでした。
教えてください。
No.34271 - 2015/11/14(Sat) 14:23:46
☆ Re: / ヨッシー
Ａ^3＝ＡＡ^2＝Ａ^2Ａ であり、ＡとＡ^2 の掛ける順はどちらでも構いません。


No.34272 - 2015/11/14(Sat) 16:42:33
☆ Re: / ぬーん
ありがとうございました！
No.34273 - 2015/11/14(Sat) 18:11:52
★ (No Subject) / 数学大好き
2つの複素数zとwとの間に w=(z+i)/(z+1) z≠0 の関係がある。
zが複素数平面上の虚軸を動くとき、wの軌跡を求めよ。

　この問題は、「虚軸上にある」ので共役複素数との和が０になる式に
与式をＺについて解いた式を代入してみたのですが、解答と合いません。
　
　途中の式を教えて頂けたら嬉しいです。
No.34270 - 2015/11/14(Sat) 13:13:01
☆ Re: / X
例えば、zの共役複素数を\zと書くことにします。

w=(z+i)/(z+1) (A)
から
w(z+1)=z+i
(w-1)z=-w+i
z=(-w+i)/(w-1) (B)
一方、題意から
z+\z=0 (C)
z≠0 (D)
(B)(C)より
(-w+i)/(w-1)+(-\w-i)/(\w-1)=0
これより
(-w+i)(\w-1)+(-\w-i)(w-1)=0
(-w\w+w+\wi-i)+(-w\w-iw+\w+i)=0
(w\w-w-\wi+i)+(w\w+iw-\w-i)=0
2w\w-(1-i)w-(1+i)\w=0
w\w-{(1-i)/2}w-{(1+i)/2}\w=0
{w-(1+i)/2}{\w-(1-i)/2}=1
{w-(1+i)/2}\{w-(1+i)/2}=1
|w-(1+i)/2|^2=1
|w-(1+i)/2|=1 (C)'
一方(A)(D)より
w≠i
よって求める軌跡は
(1+i)/2に対応する点を中心とする半径1の円
(但し、iに対応する点を除く)
となります。
No.34274 - 2015/11/14(Sat) 18:17:50
★ (No Subject) / ちぬわ
abcの面積を使ってBHを求めるのですが、S=2/1*AC+BH　の意味が分かりません。
No.34268 - 2015/11/14(Sat) 08:17:18
☆ Re: / X
ACを△ABCの底辺と見ると、BHは高さとなります。
No.34269 - 2015/11/14(Sat) 12:29:01
★ 円 / 納豆菌
図において、2円O、O'の半径はそれぞれ2、5で、中心間の距離OO'=9とする。共通接線の接点をA、A'、B、B'とするとき、線分BB'の長さを求めよ。
この問題がわかりません。直線OO'と接線BB'の交点をEとして点OからB'に、O'からBに垂線をおろし、△OB'Eと△O'BEの相似な三角形の比から求められるかなーと考えたのですが、自信はなく、もっとスッキリ解ける解法があるか知りたいです。お願いします。
No.34262 - 2015/11/14(Sat) 00:03:03
☆ Re: 円 / 納豆菌
写真が見にくくてすいません。
No.34263 - 2015/11/14(Sat) 00:04:21
☆ Re: 円 / ヨッシー

ＯＢ，Ｏ’Ｂ’ はＢＢ’に垂直なので、図のように
長方形ＯＢＢ’Ｃを作れば、ＯＣがＢＢ’に等しくなります。
No.34264 - 2015/11/14(Sat) 01:40:37
☆ Re: 円 / 納豆菌
なるほど‼︎ありがとうございました
No.34267 - 2015/11/14(Sat) 07:46:04
★ (No Subject) / か
n個のサイコロを振ったとき、どの2つの目の数の和が7にならない確率を求めよ。ただし、n≧3とする。
No.34261 - 2015/11/13(Fri) 23:24:03
☆ Re: / ヨッシー
出る目が１種類の場合、２種類の場合、３種類の場合に分けて目の出方を調べます。
No.34266 - 2015/11/14(Sat) 01:49:05
★ (No Subject) / か
数列
an=c^n/n!(nは0.1.2.3....)で定義された数列［an]がある。このanを最大にするようなnを求めよ。ただしcはnに無関係な正の定数とする。

お願いします。
No.34260 - 2015/11/13(Fri) 23:19:14
☆ Re: / ヨッシー
a[n] は正なので、a[n+1]/a[n] を調べ、これが
１より大きい間は増加、１未満になったら減少に転じます。
その変わり目が最大です。
No.34265 - 2015/11/14(Sat) 01:45:10
★ 平行四辺形のベクトルについて / むっく
閲覧いただき、ありがとうございます。

平行四辺形であるABCDがあり、AB = 1、AD = x、
また、角A = 120°である。
さらに、点 E , Fを直線 BC , BD 上にAEとBCが垂直、AFとABが垂直となるようにとる。
ABベクトルをaベクトル、ADベクトルをbベクトルとします。

1.AEベクトル AFベクトル をaベクトル、bベクトル、xで表しなさい。
2.三角形 AEF が直角三角形となる、xの値を求めなさい。

という問題です。
ベクトルが苦手で私にとって、少し難度が高いです。
どなたかご教示お願いします。
No.34254 - 2015/11/13(Fri) 18:07:09
☆ Re: 平行四辺形のベクトルについて / ヨッシー
　ＡＥ＝ＡＢ＋ｓＡＤ
と書けるので、
　ＡＥ・ＢＣ
　　＝(ａ＋ｓｂ)・
　　＝ａ・ｂ＋ｓ|ｂ|^2
ａ・ｂ＝ｰx/2 であるので、
　ＡＥ・ＢＣ＝-x/2＋ｓx^2＝０
ｘ＞０ より　ｓ＝1/2x
よって、
　ＡＥ＝ａ＋ｂ/2x
同様に
　ＡＦ＝(x/2)ａ＋ｂ

∠ＦＡＥは60°なので、直角になるとしたら
∠ＡＦＥか∠ＡＥＦです。
それぞれについて、
　ＡＦ・ＥＦ＝０
　ＡＥ・ＥＦ＝０
からｘを求めます。
No.34255 - 2015/11/13(Fri) 19:06:00
☆ Re: 平行四辺形のベクトルについて / むっく
ヨッシー様、迅速な対応ありがとうございます。
無事に解決することが出来ました。
垂直条件を多用することは完全に抜けていました。

貴重なお時間を割いていただき、ありがとうございました。
No.34259 - 2015/11/13(Fri) 21:01:37
★ 極限 / みぽりん
a,b,cを実数の定数とし、a>0とする。2次関数f(x)=ax^2+bx+cが
lim f(x)/(x-1)=1 [x→1] をみたすとき、b，cをそれぞれaで表せ。

bは、帯分数に直して、おそらく、b=-2a+1だと思うのですが、
cの求め方が分かりません。
No.34252 - 2015/11/13(Fri) 15:56:31
☆ Re: 極限 / ヨッシー
解答の最初の方に
　f(1)＝0
より a+b+c=0
よって、c=-a-b
　・・・
というくだりがあったはずです。
c=-a-b なので、
　c＝a-1
です。
No.34253 - 2015/11/13(Fri) 16:51:59
★ 中学校の図形 / たゆ
画像の(3)の問題を教えてください。お願いします。
No.34250 - 2015/11/12(Thu) 19:32:55
☆ Re: 中学校の図形 / ヨッシー
ＡＤ＝４，ＢＤ＝６ なので、△ＢＣＤは△ＡＢＣの3/5倍です。
ＡＣの中点をＭとすると、ＢＭはＡＣの垂直二等分線なので、
ＡＣを底辺とするとＢＭが高さになります。
ＢＭは△ＢＭＣにおける三平方の定理で求められます。
No.34251 - 2015/11/12(Thu) 21:23:31
☆ Re: 中学校の図形 / たゆ
解くことができました。ありがとうございました。
No.34256 - 2015/11/13(Fri) 19:15:10
★ (No Subject) / ？
2^x=1はx=1じゃないですか。
それってなぜですか？右辺の1って1^1じゃないのですか？もし、2^0だったとしてもどう見破るのですか？
No.34241 - 2015/11/11(Wed) 20:55:20
☆ Re: / ヨッシー
>2^x=1はx=1じゃないですか。
x=1じゃないですよ。
x=1だと2^x＝2になります。

2^x=1⇔x=0　です。
見破るも何もありません。
6÷3を見て2と答えを出すことを見破るとは言わないのと同じです。
No.34242 - 2015/11/11(Wed) 22:14:48
★ (No Subject) / ？
画像の（1）と（2）の問題の解き方が分かりません。
No.34240 - 2015/11/11(Wed) 20:48:37
☆ Re: / ヨッシー
(1)
４^(x-1) は２の何乗ですか？
3√2 は２の何乗ですか？
(2)
まず、0.2^(-1)＝5、0.2^3＝0.008 であることを理解しましょう。
あとは、０＜ａ＜１ である数ａに対して
　ａ^x＜ａ^y　⇔　ｘ＞ｙ
であることから、解答のようになります。

ｙ＝２^x と ｙ＝0.5^x のグラフをそれぞれ描いてみましょう。
No.34243 - 2015/11/11(Wed) 22:18:44
★ (No Subject) / ？
画像の（1）と（2）の問題の解き方が分かりません。分かりやすく教えてくれる方は教えてくださいおねがいします
No.34239 - 2015/11/11(Wed) 20:47:10
☆ Re: / ヨッシー
(1)
(左辺)＝{2^(1/4)}^(2x-1)
　　＝2^{(1/4)×(2x-1)}
　　＝2^(x/2−1/4)
右辺も２の何乗という形に直しましょう。
(2)
3^x＋9・3^(-x)−12＝0
両辺に 3^x を掛けて Ｘ＝3^x とおいてみましょう。
No.34244 - 2015/11/11(Wed) 22:22:01
☆ Re: / ヨッシー
(1)
(左辺)＝{2^(1/4)}^(2x-1)
　　＝2^{(1/4)×(2x-1)}
　　＝2^(x/2−1/4)
右辺も２の何乗という形に直しましょう。
(2)
3^x＋9・3^(-x)−12＝0
両辺に 3^x を掛けて Ｘ＝3^x とおいてみましょう。
No.34244 - 2015/11/11(Wed) 22:22:01
★ (No Subject) / ？
画像の（1）と（2）の問題の解き方が分かりません。分かりやすく教えてくれる方は教えてくださいおねがいします
No.34239 - 2015/11/11(Wed) 20:47:10
☆ Re: / ヨッシー
(1)
(左辺)＝{2^(1/4)}^(2x-1)
　　＝2^{(1/4)×(2x-1)}
　　＝2^(x/2−1/4)
右辺も２の何乗という形に直しましょう。
(2)
3^x＋9・3^(-x)−12＝0
両辺に 3^x を掛けて Ｘ＝3^x とおいてみましょう。
No.34244 - 2015/11/11(Wed) 22:22:01
☆ Re: / ヨッシー
(1)
(左辺)＝{2^(1/4)}^(2x-1)
　　＝2^{(1/4)×(2x-1)}
　　＝2^(x/2−1/4)
右辺も２の何乗という形に直しましょう。
(2)
3^x＋9・3^(-x)−12＝0
両辺に 3^x を掛けて Ｘ＝3^x とおいてみましょう。
No.34244 - 2015/11/11(Wed) 22:22:01
★ 問題 / あいらんど
次の問題が全く解けません。

ご教授お願いします
No.34237 - 2015/11/11(Wed) 20:15:56
☆ Re: 問題 / IT
(1)だけ
△OAPの面積が最大になるのは,Pにおけるy=f(x)の接線がOAと平行になるときなので
f'(s)=f(a)/a これを解くとs=a/√3

△OBQの面積が最大になるのは,Qにおけるy=g(x)の接線がOBと平行になるときなので
g'(t)=g(a)/a これを解くとt=a/√3
No.34245 - 2015/11/11(Wed) 22:58:01
★ 再質問 / ごくう
次の問題が解けなくて困っています。数学の得意そうな方何人かにも聞きましたが、誰も解けませんでした。大学入試（難関大）の問題なので難しいのでしょうか？

〔問題〕
No.34234 - 2015/11/11(Wed) 08:28:10
☆ Re: 再質問 / IT
(1) ある自然数kがあって、α≧α[k]+1/10^kとすると
　(b)より　P[m]≦8となる,kより大きい自然数mがある。

m以上のすべての自然数nについて
α[n]＝α[k]+p[k+1]/10^(k+1)+p[k+2]/10^(k+2)+...+p[m]/10^m+p[m+1]/10^(m+1)+ ...+ p[n]/10^n
　　≦α[k]+9/10^(k+1)+9/10^(k+2)+...+8/10^m+9/10^(m+1)+ ...+ 9/10^n
　　≦α[k]+9/10^(k+1)+9/10^(k+2)+...+9/10^m
　　＝α[k]+1/10^k-1/10^m
　　≦α-1/10^m
　すなわち　α[n]≦α-1/10^m

これは　lim[n→∞]α[n]＝α　に反する。

よって任意の自然数nについてα＜α[n]+1/10^n
No.34236 - 2015/11/11(Wed) 19:42:34
☆ Re: 再質問 / IT
(2)αの互いに異なる小数展開{p[n]},{q[n]}があるとする。

　α[n]=p[1]/10^1+p[2]/10^2+...+p[n]/10^n
　β[n]=q[1]/10^1+q[2]/10^2+...+q[n]/10^n とおく
　lim[n→∞]α[n]＝α,lim[n→∞]β[n]＝αである。
　
　p[k]≠q[k]となる最小の自然数をkとする。p[k]≧q[k]+１としても一般性を失わない。
　(1)より　α＜β[k]+1/10^k
　α[k]≧β[k]+1/10^k＞αなので　
　α[k]-α＝dとおくと　d＞0
　k以上の任意の自然数nについて　α[n]≧α[k]≧α+d
　これは　lim[n→∞]α[n]＝α　に反する。

よってαの小数展開は、唯一つに限る。
No.34238 - 2015/11/11(Wed) 20:18:08
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