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★ あー / ちくわぶ

Σ(k=1~n)((N+2-m)/N){((m-2)/N)^k-1((m-1)/N)^n-k} 1992京大理系後期確率のもんだいを解いていたらこの和が出てきて 解けなくなってしまいました。 答えは(N+2-m){((m-1)/N)^n-((m-2)/N)^n}です。よろしくお願いします。 No.33534 - 2015/10/10(Sat) 16:56:16 ☆ Re: あー / X {(N+2-m)/N}{((m-2)/N)^(k-1)}{((m-1)/N)^(n-k)} ={(N+2-m)/N}{((m-1)/N)^(n-1)}{((m-2)/N)^(k-1)}{((m-1)/N)^(-k+1)} =[{(N+2-m)/N}{((m-1)/N)^(n-1)}]{(m-2)/(m-1)}^(k-1) と変形すると… No.33535 - 2015/10/10(Sat) 17:44:28 ☆ Re: あー / ちくわぶ (m-2/m-1)^k-1が等比数列になることがわかりましたがそこから先が わかりません。またよろしくお願いします。 No.33539 - 2015/10/10(Sat) 18:15:00 ☆ Re: あー / X 等比数列の和の公式を適用します。 No.33544 - 2015/10/10(Sat) 19:28:18 ☆ Re: あー / ちくわぶ わかってスッキリしました！ 月曜までまたないといけないかと思いきもち悪かったので、本当に感謝です。ありがとうございました！ No.33548 - 2015/10/10(Sat) 22:46:21

★ 整数問題 / llk
８＾ｐ+７＾ｐがｐの倍数であるようなｐの値を求めよ。 着眼からよろしくお願いします。 No.33530 - 2015/10/10(Sat) 13:36:32 ☆ Re: 整数問題 / IT pは素数に限っているわけではないですか？ オイラーの定理やフェルマーの小定理は使っていいのですか？ No.33531 - 2015/10/10(Sat) 14:09:09 ☆ Re: 整数問題 / llk pは素数でした。 大丈夫です。 No.33532 - 2015/10/10(Sat) 15:42:09 ☆ Re: 整数問題 / IT 以下≡は(mod p)とする。 pは素数なので、フェルマーの小定理より　8^(p-1)≡1,7^(p-1)≡1よって 8^p+7^p≡15　 からできると思います。 No.33536 - 2015/10/10(Sat) 17:44:56

★ ベクトル / イオ(高3・文系)

添付の問題で、 ↑OP=↑OA+x↑AB+y↑ACとおくと、 　↑OP=↑OA+x(↑OB-↑OA)+y(↑OC-↑OA)=(1-x-y)↑OA+x↑OB+y↑OC　…?@ (1-x-y)+x+y=1より、Pは平面ABC上にあるから、 ↑OP⊥(平面ABC)　∴↑OP⊥↑AB かつ ↑OP⊥↑AC ここで、 ↑OP=(1-2x+y,-1+3x,1+x-2y)　(∵?@)　…?A ↑AB=(-2,3,1)　↑AC=(1,0,-2) よって、 ↑OP・↑AB=-2(1-2x+y)+3(-1+3x)+(1+x-2y)=0 ↑OP・↑AC=(1-2x+y)-2(1+x-2y)=0 すなわち -4+14x-4y=0 -1-4x+5y=0 これを解いて、x=4/9　y=5/9 ?Aに代入して、↑OP=(2/3,1/3,1/3) ∴|↑OP|=√(4/9+1/9+1/9)=√(6/9)=(√6)/3 という別解を教わったのですが、この別解では最小値を求めているという感じが薄い気がします。 どこにどのような説明を付け加えたらより良い答案になりますか？ よろしくお願いします。 No.33526 - 2015/10/10(Sat) 10:38:03 ☆ Re: ベクトル / IT (1-x-y)+x+y=1より、Pは平面ABC上にある。 よって|↑OP|が最小になるのは↑OP⊥(平面ABC)　のとき すなわち↑OP⊥↑AB かつ ↑OP⊥↑AC　のときである。 No.33527 - 2015/10/10(Sat) 10:43:04 ☆ Re: ベクトル / イオ(高3・文系) とても早い返信をありがとうございます。 なるほど、確かにそうですね！ 納得しました。本当にありがとうございました。 No.33528 - 2015/10/10(Sat) 10:57:25 ☆ Re: ベクトル / IT # 厳密には|↑OP|≠0であることを示すか、|↑OP|＝0のときも含めて考えないといけないかもしれませんが、大きな問題ではないと思います。 No.33529 - 2015/10/10(Sat) 11:07:27

★ 複素数平面の計算 / ダリア

こんばんは。 複素数平面の問題を解いていて、計算部分で分からないところがありました。 argW=arg(-iZ^2/2) =arg(-i)+2argZ =-90°+2argZ このようになっていたのですが、arg(-i)はどこから 出てきたのでしょうか。 No.33522 - 2015/10/10(Sat) 01:44:29 ☆ Re: 複素数平面の計算 / ヨッシー 一般に、２つの複素数ａ，ｂにおいて 　arg(ａｂ)＝arg(ａ)＋arg(ｂ) なので、 　Ｗ＝−ｉＺ^2/２＝−ｉ×Ｚ×Ｚ×(1/2) なのであれば、 　arg(Ｗ)＝arg(−ｉ)＋arg(Ｚ)＋arg(Ｚ)＋arg(1/2) arg(1/2)＝０　なので、 　arg(Ｗ)＝arg(−ｉ)＋２arg(Ｚ) となります。 Ｗ がなぜ、−ｉＺ^2/２ になるかは問題を見ないとわかりません。 No.33524 - 2015/10/10(Sat) 05:59:26

★ 数Aの質問です。 / komura
大問116(1)〜(3)の解説をおねがいします。 No.33521 - 2015/10/09(Fri) 21:26:55 ☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー たとえば、(1) はＡが起こった条件下でＢが起こる確率なので、 Ａ：最初に白を引いた、つまり、白７個赤４個の状態から 赤を引く確率なので、4/11 です。 (2)(3) も同様です。 No.33523 - 2015/10/10(Sat) 05:51:59 ☆ Re: 数Aの質問です。 / komura ありがとうございます。 No.33560 - 2015/10/12(Mon) 10:42:04

★ 漸化式 / 匿名希望

数直線上の点Aの座標を0、点Bの座標を1とし、点A点Bの間に点Q(0)をとり,Q(0)の座標をq(0)とする。 　線分Q(0)Aの中点をP(1)とし、線分P(1)Bの中点をQ(1)とする。 　線分Q(1)Aの中点をP(2)とし、線分P(2)Bの中点をQ(2)とする。 　以下、同様にしてP(n) Q(n)を定める。 一般項　P(n) Q(n) を求めよ。 　 No.33517 - 2015/10/09(Fri) 18:46:56 ☆ Re: 漸化式 / 匿名希望 　よろしくお願いします。 No.33518 - 2015/10/09(Fri) 18:47:28 ☆ Re: 漸化式 / X 条件から p[n+1]=q[n]/2 (A) q[n]=(p[n]+1)/2(n≧1) (B) p[1]=q[0]/2 (C) (A)(B)より p[n+1]=(p[n]+1)/4 これより p[n+1]-1/3=(p[n]-1/3)/4 ∴p[n]=(p[1]-1/3)(1/4)^(n-1)+1/3 (C)を代入して p[n]=(q[0]/2-1/3)(1/4)^(n-1)+1/3 更にこれを(B)に代入して q[n]=(q[0]-2/3)(1/4)^n+2/3 (n≧1) これはn=0のときも成立。 以上から p[n]=(q[0]/2-1/3)(1/4)^(n-1)+1/3 q[n]=(q[0]-2/3)(1/4)^n+2/3 No.33519 - 2015/10/09(Fri) 19:27:08 ☆ Re: 漸化式 / 匿名希望 　　なるほど！！助かりました。ありがとうございます。 No.33520 - 2015/10/09(Fri) 20:13:30

★ 証明ができない / たいよう
初めて質問させていただきます。 以下の問題が解けません。 0＜θ＜π/6である。四角形ABCDにおいて∠ABD=2θ, ∠BDA=π/3-θ,∠CAD=π/3-2θ,∠CBD=π/2-3θであるとき∠DCA=θを示せ。 補助線に平行線や角度をずらした線などを引いてみたのですが,うまくいかないです。また,円を使ってやるのかと思ったのですができませんでした。 答えはないので,お願いします。 No.33515 - 2015/10/09(Fri) 17:13:53 ☆ Re: 証明ができない / たいよう ∠CAB=π/3+θが仮定から抜けていました。 すみません。 No.33525 - 2015/10/10(Sat) 06:44:21

★ (No Subject) / 吉野
添付の問題⑵について これはD＝０で解くと思います。 No.33512 - 2015/10/09(Fri) 16:17:09 ☆ Re: / 吉野 対してこの⑵は、y＝y、y´＝y´でとくようです。こちらの⑵はD＝０では解けないのでしょうか？ よろしくお願いします。 No.33513 - 2015/10/09(Fri) 16:19:25 ☆ Re: / ヨッシー 前者は、ｙを消去して２乗すれば、２次式になりますが、 後者は３次式になりますので、２次式の判別式は使えません。 No.33514 - 2015/10/09(Fri) 16:35:39 ☆ Re: / 吉野 遅くなってごめんなさい。 どうもありがとうございました！ No.33689 - 2015/10/20(Tue) 18:53:05

★ 答えです。 / ダル
わたしは★のようにベクトルを無限個足さないといけない気がします。 しかし答えはただ無限大にもっていくだけでいい理由がわかりません。 No.33505 - 2015/10/09(Fri) 11:17:37 ☆ Re: 答えです。 / ヨッシー 関連記事は、[返信]ボタンを押してから、書いて下さい。 この記事への回答は、下の記事に書きます。 No.33507 - 2015/10/09(Fri) 11:23:10 ☆ Re: 答えです。 / ダル すいませんでした。 No.33510 - 2015/10/09(Fri) 13:48:43

★ 複素数平面 / ダル

この問題がよくわかりません。 No.33504 - 2015/10/09(Fri) 11:14:25 ☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー Ｚ[n]が↑Ｐ[n]Ｐ[n-1] に相当する複素数を表すのであれば、 全部足さないといけませんが、ここで定義したＺ[n]は ↑ＯＰ[n] に相当する複素数ですので、Ｚ[n] の飛び先を 求めるだけで良いのです。 （むしろ足してはいけません） No.33508 - 2015/10/09(Fri) 11:26:45 ☆ Re: 複素数平面 / ダル 図のようにpn-1を支点にベクトルの大きさを1/√2倍して、45度回しただけでは、ベクトルの支点が動かず、ただ回ってるだけな気がします。 No.33509 - 2015/10/09(Fri) 13:32:32 ☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー Z[n] の最初の数項を計算すればわかります。 Z[0]＝(0,0), Z[1]＝(1,0) で、↑Z[0]Z[1]＝(1,0)−(0,0)＝(1,0) これを、45°回し1/√2倍すると ↑Z[1]Z[2]＝(1/2,1/2)＝(x2,y2)−(1,0) より Z[2]＝(1/2,1/2)＋(1,0)＝(3/2,1/2) ↑Z[1]Z[2]＝・・・ と書いた時点で、始点は Z[1] に移っているので、 差分ベクトルは縮小・回転するだけで良いのです。 No.33511 - 2015/10/09(Fri) 14:21:00 ☆ Re: 複素数平面 / ダル このような解釈でよろしいでしょうか？ いままでやったことある問題は ↗︎AC=を3/π回転すると↗︎APなどで支点が同じでした。 でもこのような時も ↗︎AP=(cos3/π+isin3/π)↗︎AC ↗︎OP-↗︎OA=(cos3/π+isin3/π)(↗︎OC-↗︎OA) ↗︎OP=(cos3/π+isin3/π)(↗︎OC-↗︎OA) + ↗︎OA となり支点が同じであってもOからAまでのベクトルは足されているといことだから… 支点がことなっても大丈夫？？？ No.33533 - 2015/10/10(Sat) 16:18:56

★ 平面図形 / ちぬわ

毎度お世話になってます。 (1)のア・イの問題で <cfd=<cdf=<bde<bed から <cfa=<bda , <adc=<aeb また 　<abd=<cad の部分がどうしてそうなるのか分かりません。 No.33501 - 2015/10/09(Fri) 10:53:29 ☆ Re: 平面図形 / ちぬわ 解説です。 No.33502 - 2015/10/09(Fri) 10:53:59 ☆ Re: 平面図形 / ヨッシー ∠ＣＦＤ＝∠ＣＤＦ＝∠ＢＤＥ＝∠ＢＥＤ は、二等辺三角形の底角とか、対頂角で説明がつきます。 これら４つの角に、▲印などをつけて、∠ＣＦＡや∠ＢＤＡとの関係を調べましょう。 また、 　∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢ 　∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ（∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＤ は書き間違い） は、説明するまでもないでしょう。 No.33506 - 2015/10/09(Fri) 11:17:50

★ (No Subject) / ゆ

よろしくお願いします。 No.33495 - 2015/10/08(Thu) 22:05:06 ☆ Re: / ヨッシー f(x)＝x(x-1)(x-a) g(x)＝(b-a)x(x-1)　とおきます。 f(x)を微分して 　f'(x)＝3x^2−2(1+a)x＋a よって、原点におけるy=f(x) の接線の傾きはａ g(x)を微分して 　g'(x)＝(b-a)(2x-1) よって、原点における y=g(x) 接線の傾きは　a-b (イ) より 　a(a-b)＝ー１ ａ＞ａ−ｂ より　ａ＞０＞ａ−ｂ これより　０＜ａ＜ｂ の関係がわかります。 一方、 Ｃ1 とＣ2 の交点は 　x(x-1)(x-a)＝(b-a)x(x-1) より 　ｘ＝０，１，ｂ これより、 　Ｓ1＝∫[0〜1]{f(x)−g(x)}dx 　　＝b/6−1/12 　Ｓ2＝∫[1〜b]{g(x)−f(x)}dx 　　　＝b^4/12−b^3/6＋b/6−1/12 (ロ) より 　b^4/12−b^3/6＋b/6−1/12＝(b/6−1/12)(b-1)^2 これを解いて 　ｂ＝０，１，２　（ｂ＝１は重解) 以上より、ｂ＝２、ａ＝１ No.33499 - 2015/10/09(Fri) 07:07:57 ☆ Re: / ゆ ありがとうございます。 No.33500 - 2015/10/09(Fri) 08:24:41

★ (No Subject) / tdj48

（２）は次のような記述答案でよろしいですか？ よろしくお願いします。 No.33492 - 2015/10/08(Thu) 20:35:38 ☆ Re: / tdj48 問題です。 No.33493 - 2015/10/08(Thu) 20:36:06 ☆ Re: / X 2行目で(1)の結果を使っていることを 明記しましょう。 その点だけ補えば、後は問題ありません。 No.33494 - 2015/10/08(Thu) 20:46:46 ☆ Re: / tdj48 僕もこれでいいと思ったのですが、解答には次のように書いてあったので不安になって投稿させていただきました。 （２）において、ずーっと同値変形で続いているので、実際のx,y,zの値を出して、確かめることって必要じゃないですよね？ No.33496 - 2015/10/08(Thu) 22:17:59 ☆ Re: / IT 等号が成り立つことがあることを明示する必要がある思います。 No.33497 - 2015/10/08(Thu) 23:51:28 ☆ Re: / tdj48 わかりやすいご説明ありがとうございました。 No.33516 - 2015/10/09(Fri) 17:22:07

★ コラッツの予想について / 成清　愼
標記についての拙論です。何卒よろしくご査収の上ご批評賜れば幸いです No.33491 - 2015/10/08(Thu) 17:27:49

★ 数列 / イオ(高3・文系)

前回はありがとうございました。 今回の問題は、(1)は問題なく分かるのですが、(2)(3)の方は解答を読んでも何が何なのかさっぱりなのです。 分かりやすく解説して頂けると嬉しいです…。 No.33482 - 2015/10/07(Wed) 19:27:33 ☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系) 以下解答です。 No.33483 - 2015/10/07(Wed) 19:28:09 ☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系) 続きです。 No.33484 - 2015/10/07(Wed) 19:28:43 ☆ Re: 数列 / ヨッシー (1) を解く間に、どれだけ考察できるかに(2)(3)の取り組め方が変わってきます。 ある連続した２つ以上の自然数を考えると、 ２つの連続した数： 　３＋４，６＋７　などは、片方が奇数で、片方が偶数で、和は奇数です。 逆に奇数はこのような差が１の奇数と偶数に分けることが出来ます。 （元の数の半分に、1/2 を足したものと引いたもの) ３つの連続した数： 　３＋４＋５，１２＋１３＋１４　などは、中央の数の３倍になります。 逆に、３の倍数は、３で割った数と、その前後の数とに分ければ、連続した ３つの数に分けられます。 同様に５つの連続した数なら、中央の数の５倍、７つなら７倍が数列の和になります。 ４つの連続した数： 　１＋２＋３＋４、４＋５＋６＋７　などは中央付近の２つの数の和の２倍になっています。 ２＋３＝５ の２倍の１０。５＋６＝１１ の２倍の２２　がそれぞれの４数の和。 同様に６つの連続した数なら、中央付近の２数の和の３倍、８つなら４倍となります。 つまり、和が奇数×Ｎというふうに分解できる数であれば、奇数を２つの連続した数にして、 その前後にＮ−１個の数列を付け加えればいいことになります。 例)　１１×４＝４４ の場合　１１から ５，６ を作り、その前後に３つずつ数列を付けて 　２，３，４，５，６，７，８，９ を作ることが出来ます。もしこれが、１１×８＝８８ の場合だと、 　−２，−１，０，１，２，３・・・１１，１２，１３ のように、マイナスが出てきてしまいます。こういうときは、１１の倍数であることを利用して ８８÷１１＝８ を中心に、前後５つずつの数を付けて 　３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３ を作ります。これは、前に作った 　−２，−１，０，１，２，３・・・１１，１２，１３ の　−２，−１，０，１，２　の部分を相殺させて消したものと同じです。 これらを踏まえて １０：５×２　なので、５から　２，３ を作り前後に１個ずつ付ける　→　１，２，３，４ １１：奇数なので、即座に　５，６ １２：３×４　より４を中央値として、前後に１個ずつ，計３個の数列にする→３，４，５ １３：奇数なので即座に　６，７ １４：７×２なので、７から３，４を作り　→　２，３，４，５ １５：奇数なので即座に　７，８。他にも３の倍数なので、５を中央値とした→４，５，６ 　　　５の倍異数なので、３を中央値とした→１，２，３，４，５ もあり得ます。 これらを踏まえて、もう一度解答を見てみてください。 (3) は、解答のように数列の和の公式を使わなくても、 もし、2^m が連続したｐ個の連続した自然数の和で表されると仮定した場合、 ｐが奇数の場合、中央値（(p+1)/2 番目の数) が存在して、それをｓとすると 数列の和は　ｓ×ｐ となり、奇数を含んだ積になるので、2^m とはなり得ない。 ｐが偶数の場合、p/2 番目とp/2＋1 番目の数は奇数と偶数なので、その和ｔは奇数。 数列の和は　(p/2)×ｔ となり，奇数を含んだ積になるので、2^m とはなり得ない。 というふうにも示せます。 ただし、この裏にあるのは、数列の和の公式の考え方ですので、根本は同じです。 No.33487 - 2015/10/07(Wed) 23:08:34 ☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系) ありがとうございます。 解放メモのところと(3)は理解することが出来ました。(少なくともそういうつもりです) しかし、(2)はどうして「2^m＞l」「2^m≦l」という分け方にできるのかがまだよく分かりません…。 No.33489 - 2015/10/08(Thu) 06:53:59 ☆ Re: 数列 / ヨッシー >分け方にできるのか ではなく、「分けなければいけない」のです。 その理由が上で書いた >もしこれが、１１×８＝８８ の場合だと、 >　−２，−１，０，１，２，３・・・１１，１２，１３ >のように、マイナスが出てきてしまいます。 の部分です。 上の記事では、 　2^m・(2l+1) を数列に分ける方法を、２つ紹介しました。 １つは、奇数である 2l+1 を l,l+1 という連続した２数に分けて、 その前後に 2^m−1 個の数列を 　・・・l-3,l-2,l-1,l,　l+1,l+2,l+3,l+4・・・・ のようにつなぐ方法です。l の左には、2^m−1 個の数が 並ぶ(l は 2^m番目)わけですが、l＞2^m でないと、左の端で マイナスが出てしまうので、 l＜2^m の時はこの方法は使えません。 そこで２つめの方法として、2l+1 が奇数なのを利用して、 中央値に　2^m を置き、その前後に l個ずつの数列を 　　・・・2^m−2, 2^m−1, 2^m , 2^m＋1, 2^m＋2 ・・・ のようにつなぐ方法を考えます。 2^m の左には l個の数が並ぶ（2^m は l＋1番目）わけですが、 2^m＞l でないと、左の端でマイナスが出てしまうので、 2^m＜l の時は使えません。 このように、2^m＞l と 2^m＜l とで、数列の作り方が違うのです。 No.33490 - 2015/10/08(Thu) 07:21:41 ☆ Re: 数列 / イオ(高3・文系) ありがとうございました。 理解することが出来ました。 No.33498 - 2015/10/09(Fri) 06:15:09

★ マーク式数学 / ぷっぽ 高校三年生

解いてみたものの、解説と解き方が違うためたまたま答えが一緒なのか本当に正しいやり方なのか分かりません。教えてください。 No.33479 - 2015/10/07(Wed) 15:37:55 ☆ Re: マーク式数学 / ぷっぽ 高校三年生 1番下の問題です。自分の解き方です。 No.33480 - 2015/10/07(Wed) 15:38:54 ☆ Re: マーク式数学 / ヨッシー 解説がどんな解き方かわかりませんが、 方針は良いですが、答えが出たのは「たまたま」と言っても良いでしょう。 ３＜2√(2k+1)＜４ のところは ２＜2√(2k+1)＜４ でないといけません。 幅が２より少しでも大きければ、整数が３つ入る可能性があります。 　0.99999999 と 3.000000001 の間には １，２，３ の3つの整数があります。 つまり、２＜2√(2k+1)≦３ の区間に解がある可能性があります。 （今回はたまたま無かったですし、マークシートからして１つ見つかれば十分そうですが、記述式だとアウトです） また、求めたｋについて本当に整数解が３つかを確認しておく必要があります。 ２＜2√(2k+1)＜４ は必要条件であって、十分条件ではないからです。 No.33481 - 2015/10/07(Wed) 15:59:57 ☆ Re: マーク式数学 / ぷっぽ 高校三年生 納得です！ありがとうございます。 こちらが解説になるのですが、少し質問させてください。 やってる事の意味は分かるのですが、k＋2-√2k+1 がk＜k+2−√2k＋1＜k＋1 の位置に来る理由が分かりません。25/4≦k＜31/4をいちいち代入するのでしょうか？ No.33485 - 2015/10/07(Wed) 20:44:30 ☆ Re: マーク式数学 / ヨッシー α＜ｘ＜β　つまり、 　k＋2-√(2k+1)＜ｘ＜k＋2＋√(2k+1) の範囲に整数が３つ含まれるように、整数ｋを見つけるわけですが、 この範囲は、ｋ＋２ を中心に−√(2k+1)、＋√(2k+1) と 左右対称な範囲になっています。 しかも、ｋ＋２が整数なので、解答の図のように、 　ｋ＋１，ｋ＋２，ｋ＋３ の３つの整数を含むように 　k＋2-√(2k+1)＜ｘ＜k＋2＋√(2k+1) を設定してやればいいことになります。 すると、図のように 　k＋2−√(2k+1) は、ｋとｋ＋１ の間（ｋは含む） 　k＋2＋√(2k+1) は、ｋ＋３とｋ＋４の間（ｋ＋４は含む） に来るようにｋを決めれば、願いが叶うことになります。 >k＋2-√2k+1 が k＜k+2−√2k＋1＜k＋1 の位置に来る理由 云々ではなく、この位置に来るようにｋを決めれば、条件を 満たすという、願いを込めた図です。 No.33486 - 2015/10/07(Wed) 22:24:11 ☆ Re: マーク式数学 / ぷっぽ 高校三年生 なるほど！！ありがとうございました！！ No.33488 - 2015/10/08(Thu) 06:16:40

★ (No Subject) / 電王

高校数学を勉強し直している社会人です。息子がどこからか持ってきた数学の問題が全然解けません（解答もないとのこと）。どうやって解くか分かりやすく解説してもらえると助かります。問題を添付します。よろしくお願いします。 No.33476 - 2015/10/07(Wed) 11:44:39 ☆ Re: / ヨッシー (1) x^a・y^b＝α　をｃ乗して 　x^(ac)・y^(bc)＝α^c　・・・(i) x^c・y^d＝β　をａ乗して 　x^(ac)・y^(ad)＝β^a　・・・(ii) (i) の両辺とも正の数であるので、(ii) を (i) で割って、 　y^(ad-bc)＝β^a・α^(-c) よって、 　ｙ＝{β^a・α^(-c)}^(1/(ad-bc)) 同様に、 　ｘ＝{α^d・β^(-b)}^(1/(ad-bc)) ad-bc=0 であるとき (ii) は 　x^(ac)・y^(bc)＝β^a と書けるので、(i) と比較して、 　α^c≠β^a の時は、ｘ、ｙの解は存在せず 　α^c＝β^a の時は、 　ｙ＝{α^c/ｘ^(ac)}^(1/bc) を満たす（ｘ，ｙ）の組が無数に存在します。 よって、(x,y) の組がただ１組存在するのは ad-bc≠0 の時に限ります。 (2) ad-bc＞0 のとき (1) の結果より 　ｘ＝{ｐ^d・ｑ^(-b)}^(1/(ad-bc))＝p^{d/(ad-bc)}/q^{b/(ad-bc)} 　ｙ＝{ｑ^a・ｐ^(-c)}^(1/(ad-bc))＝q^{a/(ad-bc)}/p^{c/(ad-bc)} が、自然数となるためには、 ｂ＝ｃ＝０ かつ d/(ad-bc) および a/(ad-bc) が０以上の整数 つまり、1/a および 1/d が０以上の整数 よって、ａ＝ｄ＝１ ad-bc＜0 のとき 同様に、ａ＝ｄ＝０ かつ ｂ＝ｃ＝１ ad-bc＝0 のとき (1) の内容より 　x^(ac)・y^(bc)＝ｐ^c　・・・(i)' 　x^(ac)・y^(bc)＝ｑ^a　・・・(ii)' において、ｐとｑは相異なる素数であるので、p^c＝q^a となるのは、 ａ＝ｃ＝０ のとき。このとき、(**)は 　y^b＝p, y^d＝q となり、ｐ，ｑは素数なので、ｂ＝ｄ＝１ が必要ですが、そのとき 　ｙ＝ｐ＝ｑ となり、ｐ≠ｑ に矛盾する。 以上より、 ｂ＝ｃ＝０　かつ　ａ＝ｄ＝１　または ｂ＝ｃ＝１　かつ　ａ＝ｄ＝０ No.33478 - 2015/10/07(Wed) 15:32:10

★ 数 / ｐｐｐｐｐ

ａ，ｂを実数とし、ａ≠０とする。ｘの整式ｐ(ｘ)＝ ｘ＾３＋ｂｘ＾２＋(４ｂ−１２)ｘ−４ａとし、 ｐ(ａ)＝０が成り立つとする。 ?@ｐ(ａ)＝０より、ａ，ｂの間には関係式 ａ＾２＋ｂａ＋４ｂ−１６＝０が成り立つ。 したがってａ＝ーｂ＋４、またはａ＝ー４ ➁ａ＝ーｂ＋４のとき、３次方程式ｐ(ｘ)＝０は、ａ，ｂの値によらない解ｘ＝ー２をもつ。 ここまではなんとかできました。 ➂ａ＝ー４とする。このとき、ｐ(ｘ)を因数分解すると、 ｐ(ｘ)＝(ｘ＋４){ｘ＾２＋(ｂ−４)ｘ＋４}となる。 ３次方程式ｐ(ｘ)＝０が虚数解を持つようなｂの範囲は ２＜ｂ＜６である。←私の考えです。因数分解のところからミスってるかもしれません。 このとき、一つの虚数解がｃ＋８／５ｉ(ｃは実数)ならば、 ｃの値はア／イまたは−ア／イである。 方程式ｐ(ｘ)＝０の解がすべて実数であるようなｂの範囲はん、ｂ≦ウまたはエ≦ｂでｓる。このとき３つの解の和が１／３ならば、それらの解はエオ、カ、キ／クである。 最初の方は私が考えた答えです。 No.33454 - 2015/10/06(Tue) 20:51:42 ☆ Re: 数 / ヨッシー >ｐ(ｘ)＝(ｘ＋４){ｘ＾２＋(ｂ−４)ｘ＋４}となる。 までは合っています。 　ｘ^2＋(ｂ−４)ｘ＋４＝０ が虚数解を持つわけですが、判別式から得られるｂの範囲が違います。 それは正しく計算してもらうとして、 ｘ^2＋(ｂ−４)ｘ＋４＝０ を解の公式で解いて、 実部をｃ、虚部を 8/5 とおくとｂ、ｃが求められます。 ３つの解のうち１つはｘ＝−４ なので、残り２解の和は 13/3 となります。 ｘ^2＋(ｂ−４)ｘ＋４＝０ における解と係数の関係より ｂが求まり、実際に解くと、３解が得られます。 No.33457 - 2015/10/06(Tue) 21:11:40 ☆ Re: 数 / ｐｐｐｐｐ 0＜ｂ＜８←ｂ＾２−８ｂ＝ｂ(ｂ−８)の時虚数解が(４−ｂ)±√ｂ＾２−８ｂ/2 ｃ＝４−ｂ/2 √８ｂ−ｂ＾２/2＝８/5 ８ｂ−ｂ＾２＝２５６／５になって因数分解できないです No.33467 - 2015/10/06(Tue) 22:27:15 ☆ Re: 数 / ヨッシー 実は因数分解できます。 すぐには無理そうなら、解の公式を使いましょう。 No.33468 - 2015/10/06(Tue) 22:35:26 ☆ Re: 数 / ｐｐｐｐｐ ｂ＾２−８ｂ＋２５６／５で解の公式つかたら ｂ＝４０±るーと３５２０分の２とかゆーすうじになて ―ｂ＾２＋８ｂ−２５６分の５ ｂ＾２−８ｂ＋２５６／５ ５ｂ＾２−４０＋２５６ ４０±√１６００−４・５・２５６分の１０ 無理です4 No.33471 - 2015/10/06(Tue) 22:52:33 ☆ Re: 数 / ヨッシー 式が間違ってますね。 >√８ｂ−ｂ＾２/2＝８/5 から >８ｂ−ｂ＾２＝２５６／５ への変形が違います。 No.33472 - 2015/10/06(Tue) 22:56:14 ☆ Re: 数 / ｐｐｐｐｐ √８ｂ−ｂ＾２／２＝８／５ だから √８ｂ−ｂ＾２＝１６／５ だから ８ｂ−ｂ＾２＝√１６／５ になるんじゃないんですか―？ No.33473 - 2015/10/06(Tue) 23:13:33 ☆ Re: 数 / ヨッシー 式の前に日本語を補ったほうが、何をしているかわかって 自分自身も間違いが減るのではないでしょうか？ √(８ｂ−ｂ^2)／２＝８／５ 両辺２を掛けて √(８ｂ−ｂ^2)＝１６／５　　　←ここまでは正しいです 両辺２乗して 　・・・ のようにです。 >８ｂ−ｂ＾２＝２５６／５ の方が、まだ近かったです。 No.33475 - 2015/10/07(Wed) 09:02:13

★ 等差数列の比について / ぽむ

初項1の等差数列。 初項からn項までの和とn+1から3n項までの和との比がどんなnでも等しい。 このときの比と公差を求めなさい。 数列で初めてこのような問題を見たので戸惑っています。 n+1から3nまでの和は、S(3n)-S(n)で求められるのはわかりますが、比が等しいというのはどういうことでしょうか？ ご教示お願いします。 No.33450 - 2015/10/06(Tue) 19:48:30 ☆ Re: 等差数列の比について / IT {S(3n)-S(n)}/S(n)がnによらず一定ということですね。 すなわちS(3n)/S(n)が一定 具体的に書くと、S(3)/S(1)=S(6)/S(2)=S(9)/S(3)=S(12)/S(4)=...=k No.33451 - 2015/10/06(Tue) 19:58:17 ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ IT様、迅速な返答ありがとうございます。 比というと、どうしても1:5などの式を思い浮かべていました。 そのように表すのですね。 IT様が表して頂けた通りにS(3n)-S(n)/S(n)=…=kとすると、kが求める比ということですか。 S(3n)-S(n)/S(n)を公差dとして表して、具体的な数字を入れていくのでしょうか？ 無知なもので、公差ともに求め方がよくわかりません。 ご教示して頂けると有難いです。 No.33452 - 2015/10/06(Tue) 20:28:47 ☆ Re: 等差数列の比について / IT S(3n)-S(n)/S(n)={S(3n)/S(n)} - 1 ですから S(3n)/S(n)＝ｋ（一定）として公差dを求めるほうが簡単です。 等差数列の和の公式を使って S(n),S(3n)をd,nで表すとどうなりますか？ S(3n)/S(n)はどうなりますか？ No.33453 - 2015/10/06(Tue) 20:35:45 ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ S(n)=1/2*n{2+(n-1)d} S(3n)=3/2*n{2+(3n-1)d} S(3n)/S(n)=3{2+(3n-1)d}/{2+(n-1)d} となりました。 展開すると複雑になるかと思い、行いませんでした。 No.33455 - 2015/10/06(Tue) 20:54:13 ☆ Re: 等差数列の比について / IT 合っていると思います。 もっと簡単な方法があるかも知れませんが 3{2+(3n-1)d}/{2+(n-1)d}=k とおいて 3(3dn+2-d)/(dn+2-d)=k 分母をはらって、移項して、 ○n+□＝0　の形にします。 これが任意の自然数nについて成り立つので ○=0,かつ□=0から、k,dが求められます。 No.33456 - 2015/10/06(Tue) 21:05:28 ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ 丁寧な解説ありがとうございます。 計算すると、k=3,d=0となったのですが、よろしいのでしょうか。 d=0となり、どこか計算間違いしたのかなと心配しています。 No.33458 - 2015/10/06(Tue) 21:25:29 ☆ Re: 等差数列の比について / IT 他にも答えがあります。k=3,d=0だけだと計算間違いだと思います。 ○n+□＝0　の形の式はどうなりましたか？ No.33461 - 2015/10/06(Tue) 21:40:29 ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ 先程、間違いに気づき、(9d-kd)n+(kd-3d-2k+6)=0となりました。 k=9,d=0 k=3,d=2 が出てきました。 d=0は良いのでしょうか？ No.33463 - 2015/10/06(Tue) 22:06:41 ☆ Re: 等差数列の比について / IT > 先程、間違いに気づき、(9d-kd)n+(kd-3d-2k+6)=0となりました。 > > k=9,d=0 k=3,d=2 が出てきました。 組み合わせが違うのでは？ > > d=0は良いのでしょうか？ 公差0でも良いと思います。 念のため 「初項からn項までの和とn+1から3n項までの和との比がどんなnでも等しい。」 を満たすかn=1,2,3で確認してみてください。 No.33465 - 2015/10/06(Tue) 22:22:12 ☆ Re: 等差数列の比について / ぽむ 最終的な比はk-1で求められるということですね。 最終に行うのはやはり検算ですね。 この度は本当にありがとうございました。 IT様のご厚意により、私の中でストンと納得する事が出来ました。 今後、数学での疑問点がありましたらアドバイス頂けると幸いです。 No.33469 - 2015/10/06(Tue) 22:38:16

★ 数列 / ターサイ

(2)が分かりません 答えは(1)1997/111 (2)はn=2000です 宜しくお願い致します No.33448 - 2015/10/06(Tue) 17:41:20 ☆ Re: 数列 / IT a[n+1]≠0,a[n+2]＝0のとき a[n+2]a[n+1]=a[n+1]a[n]-1 よって a[n+2]a[n+1]=a[2]a[1]-n＝0 でできますね。 No.33449 - 2015/10/06(Tue) 18:58:23 ☆ Re: 数列 / ターサイ > a[n+2]a[n+1]=a[n+1]a[n]-1 > よって > a[n+2]a[n+1]=a[2]a[1]-n＝0 でできますね。 ここのところがなぜよってでつながるのか分かりません 詳解宜しくお願い致します No.33459 - 2015/10/06(Tue) 21:26:49 ☆ Re: 数列 / IT a[n+2]a[n+1]を公差　-１の等差数列として考えてもいいですし a[n+2]a[n+1] =a[n+1]a[n]-1 =a[n]a[n-1]-2 =a[n-1]a[n-2]-3 ・・・ =a[2]a[1]-n としてもできます。 No.33462 - 2015/10/06(Tue) 21:47:33 ☆ Re: 数列 / ターサイ ご説明頂いた所は理解できました！ でも答えがなぜ2000になるのでしょうか？ 何回もすいません No.33464 - 2015/10/06(Tue) 22:21:26 ☆ Re: 数列 / IT a[n+2]a[n+1]=a[2]a[1]-n＝0にa[2],a[1]の値を代入しnを求めます。 a[n+1]≠0,a[n+2]＝0ですから答えはn+2です。 No.33466 - 2015/10/06(Tue) 22:24:34 ☆ Re: 数列 / ターサイ わかりました！ありがとうございます！！ No.33474 - 2015/10/06(Tue) 23:27:53

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