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★ (No Subject) / 鋸
「sin」「cos」「tan」の覚え方として筆記体の「s」「c」「t」になぞらえるというのを習ったのですが、これは後付け（偶然）なのですか？
もし「sin」が「対辺/底辺」だったら、この覚え方は出来なかったわけですが、「s」ありきで「対辺/斜辺」ということにしたのでしょうか？
No.33892 - 2015/10/31(Sat) 07:42:37
☆ 件名は必ず入れてください。 / のぼりん
その記憶法は知りませんでしたが、結論から申せばご推察どおり、「後付け（偶然）」です。

普通、三角関数には、正弦（ｓｉｎｅ）、正割（ｓｅｃａｎｔ）、正接（ｔａｎｇｅｎｔ）、余弦（ｃｏｓｉｎｅ）、余割（ｃｏｓｅｃａｎｔ）、余接（ｃｏｔａｎｇｅｎｔ）があり、数学記号では、夫々 ｓｉｎ、ｓｅｃ、ｔａｎ、ｃｏｓ、ｃｏｓｅｃ、ｃｏｔ と記します。 この語源について、英語版ウィキペディアに記述がありましたので、以下に訳しておきました。 これを読めばお分かりいただけるでしょうか。

正弦（ｓｉｎｅ）の語は、ラテン語の ｓｉｎｕｓ（シヌスと発音。曲げる、湾、古代ローマの衣服トガの襞の上部、衣服の胸部の意）から派生している。 ｓｉｎｕｓ を用い出したのは十二世紀の欧州で、アラブ語の ｊａｉｂ（ポケット、折り目の意）から翻訳したことによる。 これは、アラブ語の表記 ｊ−ｙ−ｂ を誤読したことによるが、この語は、梵語の ｊｙā（梵語の正弦の標準用語）またはその同義語 ｊīｖā（何れも原義は弓の弦）を音訳したものである。

正接（ｔａｎｇｅｎｔ）は、直線が長さ一の半径の円に接することから、「接する」を意味するラテン語の ｔａｎｇｅｎｓ に由来し、正割（ｓｅｃａｎｔ）は、直線が円を切ることから、「切る」を意味するラテン語の ｓｅｃａｎｓ から派生している。

接頭辞の ｃｏ−（ｃｏｓｉｎｅ、ｃｏｔａｎｇｅｎｔ、ｃｏｓｅｃａｎｔ で用いる）は、エドムント・グンターが１６２０年に著した書「三角正典」で、正弦の余角（ｓｉｎｕｓ　ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｉ）の略記で ｃｏｓｉｎｕｓ を、また同様に ｃｏｔａｎｇｅｎｓ を定義したことによる。
No.33923 - 2015/11/01(Sun) 02:50:26
☆ Re: / 鋸
わざわざ和訳までしていただいてありがとうございました。すっきりしました。
No.33958 - 2015/11/02(Mon) 19:57:44
★ (No Subject) / 訳わからん
cosθ≧0
cosθ≦0
tanθ≧0
tanθ≦0
の0≦θ＜2πでのそれぞれの値はどうなるか教えてください
No.33888 - 2015/10/31(Sat) 06:04:39
☆ Re: / X
単位円を使って解く方法は理解できていますか？
解は上から順に
0≦θ≦π/2,3π/2≦θ＜2π
π/2≦θ≦3π/2
0≦θ＜π/2,π≦θ＜3π/2
π/2＜θ≦π,3π/2＜θ＜2π
です。
No.33890 - 2015/10/31(Sat) 06:43:25
★ 証明の問題 / 中３
円Ｏに外接する四角形ＡＢＣＤがあります。このとき三角形ＡＢＣの内接円Ｏ[1]と、三角形ＡＤＣの内接円Ｏ[2]は対角線ＡＣ上の同じ点で接することを証明しなさい。

という問題が解けません。
No.33887 - 2015/10/31(Sat) 02:33:55
☆ Re: 証明の問題 / ヨッシー

まず基礎知識です。
△ＡＢＣとその内接円があり、Ａ，Ｂ，Ｃから各辺上の接点までの長さをｘ，ｙ，ｚ とすると
　ＡＢ＝ｘ＋ｙ、ＢＣ＝ｙ＋ｚ、ＣＡ＝ｚ＋ｘ
より
　ｘ＝(CA+AB-BC)/2、ｙ＝(AB+BC-CA)/2、ｚ＝(BC+CA-AB)/2
が得られます。


本問です。
ＡＣと円Ｏ[1]との接点をＭ、ＡＣと円Ｏ[2]との接点をＮとし、ＡＭ＝ＡＮ を示します。
No.33891 - 2015/10/31(Sat) 06:53:13
☆ Re: 証明の問題 / 中３
おかげで解けました！
ありがとうございました！
No.33898 - 2015/10/31(Sat) 10:53:49
★ 領域 / hiroshi
大学入試問題ですが解法の糸口も見えません。
よろしくお願いします。

時刻t=0に(0,0)を出発し、xy平面上で次の条件(ア）,（イ）にしたがって自由に運動する動点Aがある。
（ア） t=0におけるAの速度を表すベクトルの成分は(1,√3)である。
（イ） 0<t<1において、Aは何回か（１回以上の有限回）直角に左折するが、そのときを除けばAは一定の速さ2で直進する。（ただし、左折に要する時間は0とする。）
このとき時刻t=1においてAが到達できる点をPとして、Pの存在しうる領域を図示せよ。
No.33872 - 2015/10/30(Fri) 22:00:09
☆ Re: 領域 / IT
・１回だけ左折する場合をいくつかと（t=0.1, 0.2, 0.5, 0.8, 0.9などで）
・２回左折する場合、３回左折する場合、４回左折する場合
を１つずつ図示してみると、少し見通しがつきます。
No.33875 - 2015/10/30(Fri) 22:16:14
☆ Re: 領域 / IT
（回転せず考える方法もあると思いますが）
・最初の進行方向がx軸となるように60度回転して考えると、考えやすいと思います。
回転後の座標系において

x方向y方向毎の移動について方向を無視した距離の和を考えると
　0＜x方向の移動距離の和＜2
　0＜y方向の移動距離の和＜2
　x方向の移動距離の和+ｙ方向の移動距離の和＝2
　　ですから正方形|x|+|y|≦2の外側へは、出ることができません。

また、４つの頂点(±2,0)、(0,±2)には到達できません。
第一象限以外では境界線|x|+|y|＝2にも到達できません。

正方形の内部|x|+|y|＜2とx+y=2(ただし0＜x＜2,0＜y＜2)の任意の点に到達できます。
No.33883 - 2015/10/30(Fri) 23:46:01
☆ Re: 領域 / IT
点P(x,y),|x|+|y|＜2に到達するのに余分な移動距離　d=2-(|x|+|y|)分を原点(0,0)の周りを回って向きを整えてから目的の点Pに向かうことを考えるといいと思います。
・Pが第１象限のとき
　d/4ずつ+x方向,+y方向,-x方向,-y方向に進んで原点(0,0)に戻り、
　左折して+x方向に|x|進み,左折して+y方向に|y|進みP(x,y)に到達。

・Pが第４象限のとき
　第１象限のときと同様に原点に戻り,
　そのまま-y方向に|y|進み,左折して+x方向へ|x|進みP(x,y)に到達。

・Pが第２象限のとき
　+x方向にd/8,+y方向にd/8,
　-x方向に2d/8,-y方向に2d/8
　+x方向にd/8,+y方向にd/8進んで原点(0,0)に戻り,
　そのまま+y方向に|y|進み,左折して-x方向に|x|進みP(x,y)に到達。

・Pが第３象限のとき
　Pが第２象限のときと同様に原点(0,0)に戻り,
　左折して-x方向に|x|進み,左折して-y方向に|y|進みP(x,y)に到達。

・点P(x,y),|x|+|y|=2,(0＜x＜2,0＜y＜2)には
　原点(0,0)から+x方向にx進み,左折して+y方向にy進めば到達。
No.33896 - 2015/10/31(Sat) 08:45:03
☆ Re: 領域 / IT
東大1976年文理共通の問題のようですね
下記に模範解答があります。
http://ameblo.jp/miraclemaster/entry-10399618034.html
No.33900 - 2015/10/31(Sat) 12:51:20
☆ Re: 領域 / hiroshi
IT　様

たいへん詳しい解説をありがとうございます。

まだ理解度65%ぐらいなのですが、なんとかイメージはできました。60度右回転した座標系でx軸、y軸上に頂点を持った一辺2√2の正方形内部とその第1象限部分の辺上（頂点を除く）の領域ということですか？
解答はどういう風に作成したらいいのでしょうか？
No.33901 - 2015/10/31(Sat) 13:00:49
☆ Re: 領域 / IT
> まだ理解度65%ぐらいなのですが、なんとかイメージはできました。60度右回転した座標系でx軸、y軸上に頂点を持った一辺2√2の正方形内部とその第1象限部分の辺上（頂点を除く）の領域ということですか？
そうですね。

>解答はどういう風に作成したらいいのでしょうか？

元のx,y座標系と紛れないように
(1,√3)方向の座標をa,それと垂直な(-√3,1)方向の座標をbとして、記述した方がよさそうですね。

まずは、a,b座標系と正方形などを図示して、上記の説明を加えるのでしょうか。
No.33902 - 2015/10/31(Sat) 14:28:41
☆ Re: 領域 / hiroshi
IT　様

模範解答のリンクをありがとうございます。
東大の入試問題だったのですね。
リンクの解答よりも60度回転して考えるほうがわかりやすいです。
答案作成のアドバイスもありがとうございます。
a,bの座標系で第１象限〜第４象限について場合分けをして、最後に60度回転を戻して領域を示してみます。

今回もたいへん詳しいご解説をどうもありがとうございました。
No.33903 - 2015/10/31(Sat) 15:08:38
★ 三角関数 / ちぬわ
cos＾2 7θ+sin＾2 7θ

=1　ですが

７θ（cos＾2+sin＾2)
sin＾2+cos＾2=1　を代入して、
７θ　にはならないのでしょうか？
No.33868 - 2015/10/30(Fri) 21:30:31
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
なりません。
>sin＾2+cos＾2=1
このような式は見たことがありません。

cos^2 7θ＝cos7θ×cos7θ
sin^2 7θ＝sin7θ×sin7θ
のことです。
No.33886 - 2015/10/31(Sat) 00:39:53
☆ Re: 三角関数 / ちぬわ
遅くなりました。　ありがとうございます！
No.33956 - 2015/11/02(Mon) 18:19:56
★ 中学校の問題 / たゆ
画像の(3)の問題を教えてください。お願いします。
No.33861 - 2015/10/30(Fri) 20:32:48
☆ Re: 中学校の問題 / たゆ
追加です。
No.33862 - 2015/10/30(Fri) 20:34:27
☆ Re: 中学校の問題 / X
条件から
(△PQDの面積)=(1/2)(△PCDの面積) (A)
(△PCDの面積)=(1/2)(△BCDの面積) (B)
(三角錐APQDの体積)=(1/3)AB(△PQDの面積) (C)
(三角錐ABCDの体積)=(1/3)a (D)
(三角錐ABCDの体積)=(1/3)AB(△BCDの面積) (E)
(A)(B)(C)より
(三角錐APQDの体積)=(1/12)AB(△BCDの面積)
これと(E)より
(三角錐APQDの体積)=(1/4)(三角錐ABCDの体積)
さらに(D)を用いると
(三角錐APQDの体積)=a/12
No.33866 - 2015/10/30(Fri) 21:01:19
☆ Re: 中学校の問題 / たゆ
解くことができました。ありがとうございます。
No.33962 - 2015/11/02(Mon) 20:15:30
★ 数学Ｉ / すう
２次関数y=ax^2＋bx＋c・・・?@のグラフがx軸に接し、２点(1,-3)、(-5,-75)を通るとき、a,b,cの値を求めよ。
以下「」内は僕が考えたところまでです。
「x軸に接するので、?@の判別式をDとすると、
D=b^2-4ac=0が成り立つ。
b^2-4ac=0
c=b^2/4a・・・?A
?Aを?@に代入すると
y=ax^2＋bx＋(b^2/4a)・・・?B
?Bが(1,-3)、(-5,-75)を通る⇒連立させる」
という方針で解こうとしたんですが無理でした。
問題の解説では、頂点の座標を(m,0)として
y=a(x-m)^2として解き進めていました。このやり方は理解できるのですが、どうして自分の方針だと答えまで至らないのでしょうか。教えてください。
No.33859 - 2015/10/30(Fri) 20:22:50
☆ Re: 数学Ｉ / IT
> ?Bが(1,-3)、(-5,-75)を通る⇒連立させる」
できないことはないと思います。
連立式はどうなりましたか？
No.33863 - 2015/10/30(Fri) 20:45:58
☆ Re: 数学Ｉ / すう
もう一回やってみたところできました。
-3=a＋b＋(b^2/4a)・・・?@
-75=25a-5b＋(b^2/4a)・・・?A
という２式がでてきたので、
b^2/4aを消去すれば答えを求めることができました。
ですが、最初に連立を解こうとしたときに、
まず?@，?Aそれぞれの両辺に4aをかけて
-12a=4a^2＋4ab＋b^2・・・?B
-300a=100a^2-20ab＋b^2・・・?C
として、
?B×５＋?C
としてしまったからなのか、答えがでませんでした＾＾；
こういうミスはどうやって防げばいいのでしょうか。アドバイスお願いします。
No.33865 - 2015/10/30(Fri) 20:52:19
☆ Re: 数学Ｉ / IT
> としてしまったからなのか、答えがでませんでした＾＾；
> こういうミスはどうやって防げばいいのでしょうか。アドバイスお願いします。

それはミスではなくて試行錯誤の途中と考えるべきだと思います。あきらめずいろいろやってみることが必要です。

?B×25 - ?C　でも出来ると思います。
No.33867 - 2015/10/30(Fri) 21:26:39
★ 関数の極限 / 匿名希望
lim(x→π）[√a+cosx)-b]/(x-π)^2=1/4 (√はcosxまで）となるように定数a,bを定めよ。
No.33857 - 2015/10/30(Fri) 19:57:47
☆ Re: 関数の極限 / IT
t=x-πとおいて　整理してみてください。
No.33858 - 2015/10/30(Fri) 20:22:38
☆ Re: 関数の極限 / 匿名希望
　lim(t→0)√a+sint-b/t^2 となりますか？
No.33870 - 2015/10/30(Fri) 21:44:07
☆ Re: 関数の極限 / IT
lim(t→0){√(a-cost)-b}/t^2 では？

lim(t→0)t^2 ＝0　なので　lim(t→0){√(a-cost)-b}＝0であることが必要です。
bがaで表せます
No.33873 - 2015/10/30(Fri) 22:01:43
☆ Re: 関数の極限 / 匿名希望
　すいません。間違いました。それで、b=±√a-1 がでたのですが、どこかに代入するのでしょうか？
No.33874 - 2015/10/30(Fri) 22:14:49
☆ Re: 関数の極限 / IT
b=±√(a-1) はどうやってでましたか？

bに代入して、分子を有理化します。
No.33876 - 2015/10/30(Fri) 22:18:19
☆ Re: 関数の極限 / 匿名希望
　　今、やってみたら
a=5/4 B=±1/2
となりました。どうでしょう？
No.33877 - 2015/10/30(Fri) 22:24:32
☆ Re: 関数の極限 / 匿名希望
　√a-1=bを解いてだしました。これを与式に代入して分子を有利化ですか。やってみます。
No.33878 - 2015/10/30(Fri) 22:26:56
☆ Re: 関数の極限 / IT
> 　√a-1=bを解いてだしました。
√(a-1) = b では？
No.33879 - 2015/10/30(Fri) 22:34:24
☆ Re: 関数の極限 / 匿名希望
　本当だ！情けないです。これを t に置き換えた式に代入したら、分母は t(√a-cost＋√a-1)
分子は1-cost
になりました。これでは約分できず行き詰まりました。
No.33880 - 2015/10/30(Fri) 22:41:35
☆ Re: 関数の極限 / IT
1-cost を　半角公式で　sin(t/2)の式に変えます。

すると {sin(t/2)}/(t/2) →　１　（ｔ→0) が使えます

√(a-cost)＋√(a-1) → 2√(a-1) （ｔ→0)です

＃　かっこをきちんと付けてください。
No.33881 - 2015/10/30(Fri) 23:07:22
☆ Re: 関数の極限 / 北風
すると、分母は　t^2(√(a-cost)+√(a-1)

分子は 2sin(t/2)^2

　これを計算したら　1/4√(a-1)=1/4
ゆえに、a=2 b=1
どうでしょう？
No.33882 - 2015/10/30(Fri) 23:45:48
☆ Re: 関数の極限 / IT
答えは合っていると思います。

（答案はそれなりに書く必要がありますが）
No.33884 - 2015/10/30(Fri) 23:49:22
☆ Re: 関数の極限 / ぴよ
　　最後までお付き合い頂き有り難う御座いました。貴重な時間を申し訳ありません。
１、分母が０になったら確定値があるので分子も０
２、分子の有利化
３、sinx/xを使うために半角の公式
　これ、しっかり覚えておくつもりです。重ねて有り難う御座いました。
No.33885 - 2015/10/30(Fri) 23:53:38
★ (No Subject) / 匿名希望
数列の問題ですが、漸化式が

a1=1 a(n+1)-a(n)=na(n)

　で表される時、Σ（k=1→∞）k/a(k+1) を求めたいのです。
一般項が　(n)=n!　 になるのは分かったのですが、極限値がでません。
No.33856 - 2015/10/30(Fri) 19:46:27
☆ Re: / X
Σ[k=1→∞]k/a[k+1]=Σ[k=1→∞]k/(k+1)!
=Σ[k=1→∞]{(k+1)-1}/(k+1)!
=Σ[k=1→∞]{1/k!-1/(k+1)!}
=lim[j→∞]{1-1/(j+1)!}
=1
となります。
No.33864 - 2015/10/30(Fri) 20:52:06
☆ Re: / 匿名希望
Σ[k=1→∞]{1/k!-1/(k+1)!}

=lim[j→∞]{1-1/(j+1)!}

　ここがどうなったのか、よく分かりません。
No.33869 - 2015/10/30(Fri) 21:35:47
☆ Re: / 匿名希望
　　あれ？書き出して前から後ろを引いたら１が残るってことですね！
No.33871 - 2015/10/30(Fri) 21:48:14
☆ Re: / X
>>書き出して前から後ろを引いたら１が残るってことですね！
正確にはk→∞を考えたときに、定数項1以外の
項が0になるということです。

計算で一行端折って書きましたので
パラメータを書き間違えていました。
(ごめんなさい)
途中式も付け加えると
Σ[k=1→∞]k/a[k+1]=Σ[k=1→∞]k/(k+1)!
=Σ[k=1→∞]{(k+1)-1}/(k+1)!
=Σ[k=1→∞]{1/k!-1/(k+1)!}
=lim[k→∞]Σ[j=1→k]{1/j!-1/(j+1)!}
=lim[k→∞]{1-1/(k+1)!}
=1
となります。
No.33889 - 2015/10/31(Sat) 06:38:27
☆ Re: / ぴよ
納得しました！ご親切にどうもありがとうございました。
No.33894 - 2015/10/31(Sat) 08:18:30
★ 大学入試 複素数 / 吉野
複素数について質問です。
Bについてです。
No.33848 - 2015/10/30(Fri) 14:08:05
☆ Re: 大学入試 複素数 / 吉野
以下のように解きましたが、正答と合いませんでした。
どこが間違っていますでしょうか？
教えてください、お願いします、
No.33849 - 2015/10/30(Fri) 14:09:05
☆ Re: 大学入試 複素数 / 吉野
間違えてるところを発見したのでもう一度計算し直しましたが余計に合わなくなりました…
お願いします…
No.33850 - 2015/10/30(Fri) 14:16:13
☆ Re: 大学入試 複素数 / X
3枚目の添付画像の6行目が間違っています。
右辺のβiに2がかけられていません。
No.33854 - 2015/10/30(Fri) 19:17:16
☆ Re: 大学入試 複素数 / 吉野
指摘されたところをやり直してみましたが、こうなってしまいました。
はじめの立式は間違えていないですよね…？？
なぜあわないのでしょう…
よろしくお願いいたします。
No.33905 - 2015/10/31(Sat) 16:03:22
☆ Re: 大学入試 複素数 / 吉野
こちらがやり直したものです。
No.33906 - 2015/10/31(Sat) 16:04:31
☆ Re: 大学入試 複素数 / 吉野
すみません、見直してもまちがいを見つけられないので、教えてください、お願いいたします…
No.33935 - 2015/11/01(Sun) 17:10:18
☆ Re: 大学入試 複素数 / 三浦
計算やり直し画像の数式５行目
β＝・・・の右辺第一項の分母は（-1+√3)iです。
No.33947 - 2015/11/02(Mon) 07:23:50
☆ Re: 大学入試 複素数 / 吉野
何度も何度もすみませんでした！やっとできました！本当にありがとうございます！
No.33952 - 2015/11/02(Mon) 13:59:59
★ (No Subject) / 吉野
添付の問題⑴についてです。
No.33846 - 2015/10/30(Fri) 13:59:20
☆ Re: / 吉野
このように解いていきましたが、答えが出ません…
どこか計算間違っていますでしょうか…？？
どうかよろしくお願いします。
No.33847 - 2015/10/30(Fri) 14:00:10
☆ Re: / X
＞＞このように解いていきましたが、答えが出ません…
どのように解いたかが分かりません。
画像を添付し忘れていませんか？。
No.33853 - 2015/10/30(Fri) 19:07:57
☆ Re: / 吉野
こちらです。失礼しました！！ごめんなさい！
よろしくお願いいたします。
No.33904 - 2015/10/31(Sat) 15:54:18
☆ Re: / X
4行目までは問題ないのですが、問題なのは
その後です。
展開したものを何故か3行目の式に戻して
その式から間違った変形を行っています。

ここは4行目から以下のように変形します。
2z\z-(√2)(z+\z)=0
(注：\zでzの共役複素数を表すものとします)
から
z\z-(z+\z)/√2=0
(z-1/√2)(\z-1/√2)=1/2
(z-1/√2){\(z-1/√2)}=1/2
|z-1/√2|^2=1/2
|z-1/√2|=1/√2
よって求める図形は
1/√2
に対応する点を中心とする
半径1/√2の円
となります。
No.33966 - 2015/11/02(Mon) 23:23:32
★ (No Subject) / 訳わからん
0≦x＜2πで、sinx-√3cos>1という問題で、π/6＜x-π/3＜5π/6が解いてる時に出てくると思うのですが、どうやったら出てくるのですか？教えてください
No.33834 - 2015/10/29(Thu) 18:29:16
☆ Re: / X
No.33833についても同様ですが三角関数の合成を
使いましょう。
No.33835 - 2015/10/29(Thu) 19:24:30
☆ Re: / 訳わからん
使った上でわからないのです
No.33836 - 2015/10/29(Thu) 19:28:56
☆ Re: / X
sinx-√3cosx＞1
に三角関数の合成を使うと
2sin(x-π/3)＞1
∴sin(x-π/3)＞1/2 (A)
ここで
0≦x＜2π
より
-π/3≦x-π/3＜5π/3
となりますので、x-π/3についての
単位円を考えると(A)より
π/6＜x-π/3＜5π/6
となります。
No.33838 - 2015/10/29(Thu) 19:34:55
★ ？ / 訳わからん
画像の（3）の≦が≧になってる問題の答えってわかりますか？あと、（3）を途中で解いてる時にπ/6≦θ+π/6≦π/4、3π/4≦θ＜13π/6が出てくると思うのですが、どこから出てくるのですか？
No.33833 - 2015/10/29(Thu) 18:23:06
☆ Re: ？ / X
＞＞画像の（3）の≦が≧になってる問題の答えってわかりますか？

条件のとき、三角関数の合成を使うと
2sin(θ+π/6)≧√2
∴sin(θ+π/6)≧1/√2 (A)
ここで
0≦θ＜2π
より
π/6≦θ+π/6＜13π/6 (B)
∴θ+π/6についての単位円を
考えることにより、(A)から
π/4≦θ+π/6≦3π/4
∴π/12≦θ≦7π/12
となります。

＞＞（3）を途中で解いてる時に〜
条件のとき、三角関数の合成を使い
整理すると
sin(θ+π/6)≦1/√2 (A)'
(B)に注意してθ+π/6についての
単位円を考えることにより
(A)'から
π/6≦θ+π/6≦π/4,3π/4≦θ+π/6＜13π/6
となります。
No.33839 - 2015/10/29(Thu) 19:41:45
☆ Re: ？ / 訳わからん
なんで≧だと2つ答えを書かなくていいんですか？
No.33840 - 2015/10/29(Thu) 21:49:38
☆ Re: ？ / X
θ+π/6についての単位円を描いて、(A)を満たす
θ+π/6の値の範囲がどの部分の角度になるか
考えてみて下さい。
No.33842 - 2015/10/29(Thu) 21:58:05
★ うまく説明できない / ごくう
以下の問題、うまく説明できません。言葉が出てきません。
どう説明すればいいでしょうか？わかりやすく解説してもらえるとありがたいです。（解答なし）
No.33831 - 2015/10/29(Thu) 11:30:46
☆ Re: うまく説明できない / IT
(1) 点sとtがPについて点対称であるとはどういうことか説明できますか？

(2) f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおく

y=f(x)のグラフが点P(p,q)に関して点対称
⇔　任意の実数tについて {f(p-t)+f(p+t)}/2=q　
　{f(p-t)+f(p+t)}/2=(3ap+b)t^2+ap^3+bp^2+cp+d=q定数なので
　3ap+b=0,すなわちp=-b/(3a),q=f(-b/(3a))

このようなP(p,q)は唯一存在する。
No.33841 - 2015/10/29(Thu) 21:54:15
★ (No Subject) / か
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+c b<0について、次の問に応えよ。
ただし、a>0

(1)b<0のとき、f(x)が相異なる3つのxの値において極値をとることを示せ。

(2) f(x)が極値をとるxの値のうちで最小のものをα、最大のものをβとするとき。f(α)とf(β)の大小を比べよ。

お願いします。
No.33827 - 2015/10/29(Thu) 10:39:22
☆ Re: / ヨッシー
(1)
f'(x)＝０ が異なる３つの実数解を持つことを示せばいいので
　f'(x)＝4x^3＋3ax^2＋2bx
　　　＝x(4x^2＋3ax＋2b)
であるので、１つの実数解はｘ＝０
　4x^2＋3ax＋2b＝0　・・・(i)
において、判別式をとって
　Ｄ＝9a^2−32b＞０　∵ｂ＜０
また、ｘ＝０ は (i) の解となり得ないので、
f'(x)＝０は異なる３つの実数解を持ち題意を満たす。

(2)
(i) の解は
　ｘ＝{−3a±√(9a^2−32b)}／8
ｂ＜０ より √(9a^2−32b)＞3a であるので、
(i) の解は正負１個ずつとなります。つまり
　α＝{−3a−√(9a^2−32b)}／8、β＝{−3a＋√(9a^2−32b)}／8
です。
　f(β)−f(α)＝(β^4−α^4)＋a(β^3−α^3)＋b(β^2−α^2)　・・・(ii)
(i) における解と係数の関係より
　α＋β＝−3a/4，αβ＝b/2
　α^2＋β^2＝(α＋β)^2−２αβ＝9a^2/16−b
　(β−α)^2＝(α＋β)^2−４αβ＝9a^2/16−2b
　β−α＝√(9a^2/16−2b)
これらより
　β^4−α^4＝(α^2＋β^2)(α＋β)(β−α)＝(9a^2/16−b)(-3a/4)√(9a^2/16−2b)
　a(β^3−α^3)＝a(β−α)(α^2＋β^2＋αβ)＝a(9a^2/16−b/2)√(9a^2/16−2b)
　b(β^2−α^2)＝b(β−α)(α＋β)＝b(−3a/4)√(9a^2/16−2b)
よって、
　f(β)−f(α)＝(9a^2/16)(-3a/4)√(9a^2/16−2b)＋a(9a^2/16−b/2)√(9a^2/16−2b)
　　＝(9a^3/64−ab/2)√(9a^2/16−2b)＞０
よって、
　f(α)＜f(β)
No.33830 - 2015/10/29(Thu) 11:18:01
☆ Re: / か
ありがとうございます。
No.33851 - 2015/10/30(Fri) 14:46:59
★ 数列 / ちぬわ
数列初学です。
K=iがk=1になる所と、i-1がどうやってなるか分かりません。
No.33820 - 2015/10/28(Wed) 17:41:00
☆ Re: 数列 / X
Σ[k=i〜n]4k=4i+…+4n
=(4i+…+4n)+{4・1+…+4(i-1)}-{4・1+…+4(i-1)}
={4・1+…+4(i-1)+4i+…+4n}-{4・1+…+4(i-1)}
=Σ[k=1〜n]4k-Σ[k=1〜i-1]4k
ということです。
No.33822 - 2015/10/28(Wed) 18:49:25
☆ Re: 数列 / ちぬわ
ご回答ありがとうございます。
No.33829 - 2015/10/29(Thu) 10:52:08
★ 数列 / ちぬわ
(4)で、○で割った数の余り△の一般公式が、○（k-1)＋△なのでしょうか？
また、ｋはどのような意味があるのですか？
それと、6k-5ではなく6k-1だと思うのですが、気のせいでしょうか。
No.33818 - 2015/10/28(Wed) 17:38:21
☆ Re: 数列 / ちぬわ
つけたしで、A=BQ+R　の公式はからみますか？
No.33819 - 2015/10/28(Wed) 17:39:06
☆ Re: 数列 / ヨッシー
6k+1 (k は０以上の整数) とするのがわかりやすかろうと思いますが、
k を自然数とした場合、6k+1 では 7,13,19・・・ということになり
１が表せないので、ｋをｋ−１に置き換えて、
　6(k-1)＋１＝6k-1
です。これで、ｋに１，２，３・・・と当てはめていくと、
１，７，１３・・・ というふうに１も含んだ数列が出来ます。
ちなみに、6k-1 だと ５，１１，１７・・・になり６で割って５余る数になります。

Ａ＝ＢＱ＋Ｒ
Ｂ＝６、Ｑ＝ｋ−１、Ｒ＝１ に対応します。
No.33824 - 2015/10/28(Wed) 20:19:38
☆ Re: 数列 / ちぬわ
回答ありがとうございます。
No.33828 - 2015/10/29(Thu) 10:51:35
★ 不等式 / ふぇるまー
問:a=正の整数
　　2次方程式　2x^2-2x-15=0…(1)
　　不等式 lx-1l<a…(2)を考える。
このとき、
　　　xが(2)を満たすことが、xが(1)を満たすための必要条件であるが、十分条件ではないようなaの最小値は=?

答えを所持しておらず、出来れば詳しい御教授が頂きたいです。
No.33815 - 2015/10/28(Wed) 00:11:11
☆ Re: 不等式 / X
条件から
xは(1)を満たす⇒xは(2)を満たす
が成立し、かつ
xは(2)を満たす⇒xは(1)を満たす
が成立しないようなaの値の範囲を
求めればよいことになります。
よって(1)の解が全て(2)の範囲に
含まれるaの値を求めることに
なります。

さて(1)(2)より
x=(1±√31)/2 (1)'
1-a＜x＜1+a (2)'
0≦a (3)
(1)'(2)'から題意を満たすためには
1-a＜(1+√31)/2＜1+a (4)
1-a＜(1-√31)/2＜1+a (5)
(3)(4)(5)を連立してaの値の範囲を
求めます。

但し、計算してもらえれば分かりますが
問題の条件ではaの最小値は存在しません。
問題文にタイプミスはありませんか？
No.33817 - 2015/10/28(Wed) 05:01:02
☆ Re: 不等式 / IT
横から失礼します。
>問題の条件ではaの最小値は存在しません。
a=4では?
No.33823 - 2015/10/28(Wed) 20:10:15
☆ Re: 不等式 / ふぇるまー
友人に答えを聞いたところ、最小値は4でありました。Ｘ様、IT様有り難うございます。
No.33826 - 2015/10/28(Wed) 22:45:24
☆ Re: 不等式 / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ふぇるまーさんへ
ごめんなさい。aが正の整数であるという条件
を見落としていました。
(3)(4)(5)を連立して解き、その解を満たす
最小の正の整数aを求めると
4
に確かになります。
No.33837 - 2015/10/29(Thu) 19:30:31
★ 大学受験数学です。 / ゆきり
授業で当てられて、次の授業でみんなのまえで解かなければならないのですが、わかりません。解説お願いします。
No.33813 - 2015/10/27(Tue) 23:40:22
☆ Re: 大学受験数学です。 / IT
x=p+qで,p≧0,q≧0よりx≧0,またr≧0,p+q+r≦1よりx≦1
すなわち0≦x≦1,同様に0≦y≦1（必要条件）
q,rをx,yで表す
　q=x-p=x-{xy+k√(x(1-x))√(y(1-y))}≧0
　r=y-p=y-{xy+k√(x(1-x))√(y(1-y))}≧0
移項して
　x(1-y)≧k√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
　y(1-x)≧k√(x(1-x))√(y(1-y))…?A

p+q+r=x+y-p=x+y-xy-k√(x(1-x))√(y(1-y))≦1
x+y-xy-1≦k√(x(1-x))√(y(1-y))
(1-x)(1-y)≦k√(x(1-x))√(y(1-y))…?B

(1) k=1のとき

不等式?@?Aは両辺0以上で、左辺同士の積＝x(1-x)y(1-y)＝右辺同士の積
よって　x(1-y)＝√(x(1-x))√(y(1-y))＝y(1-x)
したがって　x＝y　（必要条件）

逆にx＝yかつ0≦x≦1のとき
　p＝xy+√(x(1-x))√(y(1-y))＝x^2+x(1-x)＝x≧0
　q=x-p=0≧0,r=y-p=0≧0,p+q+r＝x≦1

よって,求める領域は（x＝yかつ0≦x≦1）

(2) k=1/2のとき
x(1-y)≧(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
y(1-x)≧(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?A
(1-x)(1-y)≦(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?B

x=0またはx=1またはy=0またはy=1のとき、
　 ?@?Aともに成立．
　?Bが成立するのはx=1またはy=1のとき

0＜x＜1かつ0＜y＜1のとき
　　?@?A?Bの両辺は正
　　?@の両辺を2乗すると
　　(x^2)(1-y)^2≧(1/4)x(1-x)y(1-y)
x(1-y)＞0なので、x(1-y)≧(1/4)(1-x)y
　　展開・移項し整理 x-xy≧(1/4)y-(1/4)xy
4x≧(3x+1)y
　 同様に?Aより、 4y≧(3y+1)x
　　?Bの両辺を２乗すると
　　((1-x)(1-y))^2≦(1/4)x(1-x)y(1-y)
(1-x)(1-y)＞0なので、(1-x)(1-y)≦(1/4)xy

　　よって求める領域は
　　(x=１かつ0≦y≦1)と(y=1かつ0≦x≦1)と
　　（0＜x＜1かつ0＜y＜1かつ4x≧(3x+1)yかつ4y≧(3y+1)xかつ(1-x)(1-y)≦(1/4)xy）
　　　式は適当に変形してください。　

(3) k=-1/2のとき
　x(1-y)≧-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?@
　y(1-x)≧-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?A
　(1-x)(1-y)≦-(1/2)√(x(1-x))√(y(1-y))…?B

　0≦x≦1かつ0≦y≦1で
　　?@?Aは成立
　　?Bが成立するのは両辺＝0のとき、すなわちx=1またはy=1のとき

　よって求める領域は(x=１かつ0≦y≦1)と(y=1かつ0≦x≦1)

答案は、必要十分条件の確認などもう少し明示する必要があるかも。
No.33816 - 2015/10/28(Wed) 01:26:41
★ 東北大 過去問 / もぞ
東北大学の過去問です。

(4)番なんですが、平均値の定理を用いて解くことは、分かったのですが、解答が作れません。
詳しい解説と解答をよろしくお願いします。
No.33806 - 2015/10/27(Tue) 21:55:35
☆ Re: 東北大 過去問 / IT
時間がないのでヒントだけ

f(x)=√{(3x+4)/(2x+3)}とおくと

(α-a[n+1])/(α-a[n])
=(f(α)-f(a[n]))/(α-a[n])
平均値の定理より
=f'(c), a[n]＜c＜α
f'(x)を計算して評価すると出来ると思います。
No.33811 - 2015/10/27(Tue) 23:30:40
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