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★ (No Subject) / な
大学の課題なのですが、考えても全く分かりませんでした。解き方を教えてほしいです。
No.83023 - 2022/08/03(Wed) 10:35:23
☆ Re: / GandB
　質問に対する回答ではなく、ちょっと興味が湧いて計算してみた。
　マチンの公式は素晴らしい！
No.83027 - 2022/08/03(Wed) 17:38:42
★ 数学のジャンル / squall
インターネットで高校数学のジャンルについて調べてみましたが、代数、幾何、解析、確率、統計というジャンルに分けれるみたいですね。
そのほかにも数学のジャンルはあるかもしれませんが。
そして自分では代数に興味があるのかなと思うようになりました。
ヨッシー先生は先生だから数学のジャンルは問わないとは思うのですが、ヨッシー先生が特に気に入っている数学のジャンルはあったりするんですか？
No.83020 - 2022/08/03(Wed) 07:54:26
☆ Re: 数学のジャンル / ヨッシー
今は高校数学からなくなったようですが、行列が好きでしたね。
あとは、数列ですかね。
それぞれ、代数、解析に含まれると思います。
No.83021 - 2022/08/03(Wed) 08:03:11
☆ Re: 数学のジャンル / squall
わかりました。
回答ありがとうございます。
No.83022 - 2022/08/03(Wed) 08:13:00
★ (No Subject) / matsu
数強の皆様ご協力お願いします。
No.83017 - 2022/08/03(Wed) 00:01:43
★ (No Subject) / sa-ya
大学数学の問題です。ご教授ください！
No.83015 - 2022/08/02(Tue) 23:03:19
★ 無限級数 / yuka
大学の数学の課題です。
考えても分からなかったため、どなたか教えて下さると嬉しいです😭
よろしくお願いします🙇‍♂️
No.83014 - 2022/08/02(Tue) 23:02:20
☆ Re: 無限級数 / X
まず
S[n]=Σ[k=0〜n]kx^k
を求めましょう。
方針は等比数列の和の公式の導出過程と同じです。
(高校数学の等比数列の項目を復習しましょう)
No.83018 - 2022/08/03(Wed) 00:50:03
★ (No Subject) / sh
純粋に疑問に思ったので質問させてください。
x=9/x こんな式があったとして、x=±3　になりますよね。
ここで、最初のx=9/xに注目して、右辺のxに9/xを代入すると
x=9/(9/x)
x=x となってしまいます
もちろん最初の解は失われていませんが、代入しただけなのに同値が崩れてしまうのはなぜですか？
No.83013 - 2022/08/02(Tue) 20:35:07
☆ Re: / 黄桃
>代入しただけなのに同値が崩れてしまう
一般に、x=f(x) より x=f(f(x)) は言えますが、x=f(f(x)) から x=f(x)は言えませんので、同値ではありません。
No.83019 - 2022/08/03(Wed) 06:53:26
★ (No Subject) / a
不等式の証明(数学的帰納法)

2^n>n

中略

2*2^k>2k = k+k≧k+1

k+kは2kのことでしょうか。そうでしたら何故符号が逆になるのでしょうか。教えて頂けると幸いです。宜しくお願いします。
No.83005 - 2022/08/02(Tue) 14:39:42
☆ Re: / ヨッシー
2k ＝ k+k これは文句ないですね？
k + k≧k + 1 これは、k は自然数（1以上）なので、
k + k は k + 1 と等しいか大きい　と言っているだけです。
No.83006 - 2022/08/02(Tue) 14:52:18
☆ Re: / a
理解できました。ありがとうございます。

立て続けで申し訳ないのですが、

2*2^k>2k = k+k≧k+1

の後に、

ゆえに2^k+1>k+1

とあるのですが、どうしてこうなるのでしょうか。

2^k+1もk+1も2*2^kのことではないのでしょうか。
No.83009 - 2022/08/02(Tue) 16:37:48
☆ Re: / ヨッシー
まず確認ですが、2^n＞n がすべての自然数に付いて成り立つことを証明する問題ということでいいですか？
ｎ＝１　のとき　２^1＞1 は明らか
ｎ＝ｋ　のとき　つまり　２^k＞k のときに
ｎ＝ｋ＋１ を考えて、２^(k+1)＞k＋1 を示すのが目的と思います。

2*2^k＞2k = k+k≧k+1
において、
　2*2^k＝2^(k+1)
なので、
　2^(k+1)＞2k≧k+1
から
　2^(k+1)＞k+1
です。

k+1 と 2*2^k は違います。
No.83010 - 2022/08/02(Tue) 16:43:51
☆ Re: / a
理解出来ました。本当にありがとうございました。
No.83011 - 2022/08/02(Tue) 16:54:36
★ 面積の最大値 / 名無し
問
Oは原点。円x^2+y^2=2と直線y＝2x＋kは相異なる2点AとBで交わる。△OABの面積の最大値とその時のkの値を求めよ。

以下のように解いたのですが、答えに辿り着けませんでした。答案の中で何か間違っているところはあるでしょうか？
ご指摘よろしくお願いします。
No.83004 - 2022/08/02(Tue) 14:36:59
☆ Re: 面積の最大値 / ヨッシー
とりあえず、
△ｘ＝・・・の次の行の
　√Ｄ／５
が違いますね。
No.83007 - 2022/08/02(Tue) 14:56:53
☆ Re: 面積の最大値 / 名無し
解答ありがとうございます。
そうですね。
そこを直したとしても根号内の関数の最大値をとるkが±√5にならないのはどうしてでしょうか？
No.83008 - 2022/08/02(Tue) 15:01:12
☆ Re: 面積の最大値 / ヨッシー
根号の中は　10k^2−k^4　ですね？
　Ｋ＝k^2
とおくと、
　10k^2−k^4＝10Ｋ−Ｋ^2＝−(Ｋ−５)^2＋25
なので、最大を得るｋは、Ｋ＝５　より　ｋ＝±√5　です。
No.83012 - 2022/08/02(Tue) 19:40:18
★ 魔法陣 / 小学生
いくら考えてもわかりません。
よろしくおねがいします。
No.83002 - 2022/08/02(Tue) 12:41:29
☆ Re: 魔法陣 / ヨッシー
ヒントが何を意味するのか、実はよくわかりません。


このように、ア〜カを決めます。
(1)
　ア＋８＋７＝ア＋イ＋５
なので、ア以外の
　８＋７＝イ＋５　よって　イ＝１０
同様に
　エ＋７＋５＝エ＋８＋ウ　より　ウ＝４
　ア＋８＋７＝ア＋ウ(4)＋オ　より　オ＝１１
ここまでで、タテ・ヨコ・ナナメすべて
　１１＋８＋５＝２４
とわかるので、
　ア＝９、エ＝１２、カ＝６
が順にわかります。

(2) も
　カ＋11＋13＝カ＋10＋イ　より　イ＝14
のように求められます。

ちなみに「魔方陣」ですね。
No.83003 - 2022/08/02(Tue) 13:33:09
☆ Re: 魔法陣 / 黄桃
想像ですが、これより前のページに

＜まほうじんのせいしつ＞のひとつとして、
たて、よこ、ななめのれつをたしたかずは、まんなかのかずを　３かいたしたもの　になる、

というようなことが書いてあるのではないでしょうか。

なので、ヒントのかっこは順に　（８）　（１６）　（９）となるのでしょう。
No.83016 - 2022/08/02(Tue) 23:15:27
★ 無限級数 / よし
大学数学の無限級数の範囲の問題です。
全問とも分からなかったので、解いていただきたいです。よろしくお願いします。
No.83001 - 2022/08/02(Tue) 11:43:24
★ 方程式 / squall
z3乗＝ー８の解は２つあるのですが、２つとも求めなさい。

この問題ですが、１つ目の答えはー２ですよね。
もう１つの答えがどうしてもわかりません。
どうやって求めればいいのでしょうか。
教えてください。
よろしくおねがいします。
No.82996 - 2022/08/02(Tue) 07:38:34
☆ Re: 方程式 / らすかる
-8を移項して因数分解しましょう。
No.82997 - 2022/08/02(Tue) 08:30:04
☆ Re: 方程式 / squall
z3乗＋８＝０
これは公式が使えそうですね。
（z＋２）（z2乗ー２z＋４）＝０
なるほど、右側のかっこの中の２次方程式を解けばいいんですね。
解の公式を使って解くと、１±（√３）iになりそうですね。
もう１つの答えってこれですか？
なんかすごい答えですけどいいのでしょうか。
No.82998 - 2022/08/02(Tue) 08:52:47
☆ Re: 方程式 / ヨッシー
解は
　ｘ＝−２、ｘ＝１＋√3ｉ、ｘ＝１−√3ｉ
の３つです。

ｘ＝１＋√3ｉ　のとき
　ｘ^3＝(１＋√3ｉ)^3
　　＝１^3＋3√3ｉ−3・3−3√3ｉ＝−８
ｘ＝１−√3ｉ　のとき
　ｘ^3＝(１−√3ｉ)^3
　　＝１^3−3√3ｉ−3・3＋3√3ｉ＝−８
だから、これで良いのです。
No.82999 - 2022/08/02(Tue) 09:04:17
☆ Re: 方程式 / squall
やりましたー。
ヨッシー先生、らすかる先生ありがとうございます。
僕思ったんだけど、数学とテレビゲームは似ているところがあるかもしれないですね。
じつは僕テレビゲームのソフトでいくつかのゲームをクリアしてるのですが、それはゲームの攻略法を教わったり自分で調べたりしてクリアできてるんですよね。
数学も解き方を教わってできるようになるところが、テレビゲームと似ているのかなって。
ただ数学は学問だから、楽しんでばかりではいられないところはあるとは思いますが。
そんなことを思うようになりました。
またわからないことがあったら、教えてください。
No.83000 - 2022/08/02(Tue) 09:19:20
★ 軌跡の問題 / 名無し
この問題を微分して接線の方程式で求めるとなった場合、どのように解けばいいでしょうか？
No.82992 - 2022/08/01(Mon) 17:36:26
☆ Re: 軌跡の問題 / X
接点をQ(t,t^2)とすると
y=x^2 (A)
より
y'=2x
ゆえ、点Qにおける(A)の接線の方程式は
y=2t(x-t)+t^2
∴y=2tx-t^2
∴P(X,Y)とすると
Y=2tX-t^2
∴t^2-2Xt+Y=0 (B)
条件から、(B)をtの二次方程式と見たとき
異なる二つの実数解を持つので
解の判別式をDとすると
D/4=X^2-Y＞0 (C)
又、(B)の解をα、βとすると
解と係数の関係から
α+β=2X (D)
αβ=Y (E)
更に接線の傾きについて
2α・2β=-1 (F)
(E)(F)から
Y=-1/4 (F)'
一方(C)より
Y＜X^2 (C)'
(F)'は任意の実数Xに対して(C)'を満たすので
求める点Pの軌跡は
直線y=-1/4
No.82994 - 2022/08/01(Mon) 18:46:44
☆ Re: 軌跡の問題 / 名無し
ありがとうございます。理解できました。
No.82995 - 2022/08/01(Mon) 19:44:00
★ 微分方程式です。 / 山足達也
この微分方程式なのですが、どのように解いたらいいでしょうか??
No.82989 - 2022/08/01(Mon) 13:46:20
☆ Re: 微分方程式です。 / 関数電卓
教科書をお持ちではありませんか？
お持ちではないのなら，「２階常微分方程式，非同次」で検索するといくつかヒットしますので，それらをご覧下さい。例えば こちら の<例題３,４,５>など。
お尋ねの答は， こちら。
No.82990 - 2022/08/01(Mon) 16:48:03
☆ Re: 微分方程式です。 / GandB
　i(t) ？
　電流が絡んだ問題かね？　だったら、初期値を与えて特殊解を求める問題になりそうなものだが。

　説明がないので画像を見る限り
　　i''+ 2i' + 5i = 10cos(t)
のようにしか見えない。i を x とか y に変えても支障はなさそうだけど。であれば演算子法で解くのが簡単。虚数単位 i を使うので与えられた微分方程式を
　　y''+ 2y' + 5y = 10cos(t) …… (1)
と書き変える。
　　y''+ 2y' + 5y = 0
の解 y0 を解くのは簡単で
　　y0 = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) )

　演算子法の公式
　　e^iat/φ(D) = e^iat/φ(ia) …… (2)
を使うために(1)の右辺を 10e^it とする。
　(1)の特殊解を v とすると
　(D^2+2D+5)v = 10e^it
　(2)を使って
　　10e^it/(D^2+2D+5)
を計算すると
　　2cos(t) - icos(t) - 2isin(t) + sin(t)
となるから虚数を捨てて
　　v = 2cos(t) + sin(t)
　したがって求める(1)の一般解は
　　y = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) ) + 2cos(t) + sin(t)

　勘違いしていたらごめん(^^;)
No.82991 - 2022/08/01(Mon) 17:29:15
★ 式の計算 / squall
３x＋２y＝√７,３xー２y＝√３のとき、
９x2乗＋４y2乗の値を求めよ。

この問題ですが、解き方がまったくわかりません。
解き方を教えてくれるとありがたいです。
よろしくおねがいします。
No.82976 - 2022/07/31(Sun) 11:37:29
☆ Re: 式の計算 / IT
３x＋２y＝√７,３xー２y＝√３　をそれぞれ２乗するとどうなりますか？
No.82977 - 2022/07/31(Sun) 12:11:34
☆ Re: 式の計算 / squall
９x2乗＋１２xy＋４y2乗＝７
９x2乗ー１２xy＋４y2乗＝３
こうなりますね。
１２xyというのを何とかできれば良さそうですが、ちょっと厄介ですね。
ここで行き詰ってしまいます。
もうちょっとヒントをもらえないでしょうか。
おねがいします。
No.82981 - 2022/07/31(Sun) 20:44:05
☆ Re: 式の計算 / IT
＞１２xyというのを何とかできれば良さそうですが、ちょっと厄介ですね。

そこまでできれば、もう一歩で１２xyが消せる（相殺される）と思います。

２つの式を良く見比べて、自分で考えて（試行錯誤して）みてください。
No.82982 - 2022/07/31(Sun) 21:31:46
☆ Re: 式の計算 / squall
９x2乗＋４y2乗＝７ー１２xy
９x2乗＋４y2乗＝３＋１２xy
ここで上の式から下の式をたせば１２xyが消えて１０になりますね。
もしかして答えは１０でしょうか。
No.82983 - 2022/07/31(Sun) 22:49:40
☆ Re: 式の計算 / squall
上の式から下の式をたせば（９x2乗＋４y2乗）を２倍することになるから１０を２でわって答えは５ですか？
なんかよくわからなくなってきました。
すいませんが答えを教えてください。
No.82984 - 2022/08/01(Mon) 04:12:29
☆ Re: 式の計算 / ヨッシー
上の式と　または　上の式に　ですね。
やり方は合っていますので、式をちゃんと書きましょう。
答えは、１０　５　のどちらかです。

また、
９ｘ^2＋１２ｘｙ＋４ｙ^2＝７
９ｘ^2−１２ｘｙ＋４ｙ^2＝７３
のまま足しても同じ結果になります。

さらに、
３x＋２y＝√７, ３x−２y＝√３ から
3x＝(√7＋√3)/2, 2y＝(√7−√3)/2
または
x＝(√7＋√3)/6, y＝(√7−√3)/4
を求めて、直接　９ｘ^2＋４ｙ^2　を計算する方法もあります。
No.82985 - 2022/08/01(Mon) 04:57:00
☆ Re: 式の計算 / squall
ヨッシー先生、アドバイスありがとうございます。
自分なりに考えを整理してみましたが、
９x2乗＋１２xy＋４y2乗＝７
９x2乗ー１２xy＋４y2乗＝３
ここで上の式と下の式をたせば、
２（９x2乗＋４y2乗）＝１０
こうなるんですよね。
なので９x2乗＋４y2乗＝５
答えは５ではないでしょうか。
No.82986 - 2022/08/01(Mon) 08:59:21
☆ Re: 式の計算 / ヨッシー
５で正解です。

式で示せれば、疑いの余地はありませんね。

3x＝(√7＋√3)/2, 2y＝(√7−√3)/2
をそれぞれ２乗して、
９ｘ^2＝(5＋√21)/2 ，４ｙ^2＝(5−√21)/2
からも、９ｘ^2＋４ｙ^2＝5 と求められます。
No.82987 - 2022/08/01(Mon) 09:27:44
☆ Re: 式の計算 / squall
やりましたー。
これもヨッシー先生とIT先生のアドバイスのおかげです。
ありがとうございます。
それにしても今の高校生はこういう問題が解けるんですかね、すごいな。
こういう問題は途中で考えないといけないから、難しいけどやりがいがあるというかおもしろいですね。
たまにはこういう問題にチャレンジしてみるのもいいかも。
また何かおもしろい問題で自力で解けないときは、教えてください。
No.82988 - 2022/08/01(Mon) 09:41:04
★ (No Subject) / あ
a1=0.03
a2=0.03(1-a1)
a3=0.03(1-a1-a2)
となる数列の1〜36項までの和はどうなりますか？
No.82974 - 2022/07/31(Sun) 10:12:57
☆ Re: / X
問題の数列の第n項をa[n],初項から
第n項までの和をS[n]とすると
条件から
a[1]=0.03 (A)
a[n]=0.03(1-S[n-1]) (B)
(B)からn≧3のとき
a[n-1]=0.03(1-S[n-2]) (C)
(B)-(C)より
a[n]-a[n-1]=-0.03a[n-1]
これより
a[n]=0.97a[n-1]
∴a[n]=a[2]・0.97^(n-2)
=0.03・0.97^(n-1) (E)
(E)はn=1,2のときも成立。
よって求める和は
S[36]=Σ[k=1〜36]a[k]
=0.03・(1-0.97^36)/(1-0.97)
=1-0.97^36
No.82980 - 2022/07/31(Sun) 17:05:33
★ 曲面 / ストークス
z=4-x^2-y^2 で表される曲面を、
ベクトルで表すとどうなりますか？
No.82971 - 2022/07/30(Sat) 22:07:27
☆ Re: 曲面 / 関数電卓
　(x, y, 4−x^2−y^2)
とか，
　(rcosθ, rsinθ, 4−r^2)　(r≧0)
とか。
No.82972 - 2022/07/30(Sat) 22:54:16
☆ Re: 曲面 / ストークス
ありがとうございます
No.82973 - 2022/07/30(Sat) 23:06:34
★ 証明 / ストークス
この式の証明はどうすればいいですか？
No.82967 - 2022/07/30(Sat) 18:25:17
☆ Re: 証明 / X
↑A=(yz,xz,xy)
と置くと
rot↑A=((∂/∂y)(xy)-(∂/∂z)(xz),(∂/∂z)(yz)-(∂/∂x)(xy),(∂/∂x)(xz)-(∂/∂y)(yz))
=↑O
∴問題の等式の左辺のCが
ストークスの定理を適用できる閉曲線
であれば、問題の等式は成立します。
No.82968 - 2022/07/30(Sat) 18:37:45
☆ Re: 証明 / ストークス
ありがとうございます！
No.82969 - 2022/07/30(Sat) 19:01:58
★ 代数学　環　体 / もち５６
整数の剰余類で 、
0バー=1バー
となることはあるのでしょうか。もしなるなら体であるのでしょうか。
No.82966 - 2022/07/30(Sat) 11:42:49
★ 解答 / とと
他の方の回答ですが、漸化式の意味がいまいち理解できません
No.82961 - 2022/07/29(Fri) 17:31:57
☆ Re: 解答 / IT
確かに良く分かりませんね、
最初のz[1]＝z[2]=1=z[4] は、なぜですかね？、場合分け？
また、「最後が0になる」の「最後」とは何ですかね？z[i]のことですかね ？（z[i]を最後とは言いませんよね）

その回答者に確認された方が早いのではないですか？
No.82965 - 2022/07/30(Sat) 08:53:13
☆ Re: 解答 / IT
z[i]=1のとき　z[i+1]=1 となるのは
　1,1:p
　1,011;(1-p)p^2
　1,01011:((1-p)^2)p^3
　・・・
の場合なので、z[i]=1,z[i+1]=1 となる確率は　q[i]*p/(1+p-p^2)

z[i]=0のとき　　z[i+1]=1 となるのは
　0,11:p^2
　0,1011:(1-p)p^3
　0,101011:((1-p)^2)p^4
　・・・
の場合なので、z[i]=0,z[i+1]=1 となる確率は　(1-q[i])*p^2/(1+p-p^2)

よって、q[i+1]=q[i]*p/(1+p-p^2)　+　(1-q[i])*p^2/(1+p-p^2)
整理して一般項を求めると
　q[i]=q[0]r^i　+　(p^2/(1-p+p^2))(r^i-1)/(((p-p^2)/((1-p+p^2)-1)、
　ただし r=(p-p^2)/(1-p+p^2)でlim[i→∞]r^i = 0
よってlim[i→∞]q[i]=p^2/(1-2p+2p^2)

答えの結果は同じになるので、他の方の解答の書き方を変える（説明をきちんとする）と良いのかも知れませんね。
No.82975 - 2022/07/31(Sun) 10:40:44
★ 数学の解説　（３）をお願いします / とと
確率の問題です。よろしくお願いします
No.82960 - 2022/07/29(Fri) 17:30:00
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