ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 不等式の問題 / protagonist

（1）についてです。方針はわかるのですが、黄色線で示した「一般に〜」の式の表し方がどうしても理解できません。
このように、一般の式で表す際の考え方やコツがあれば教えていただきたいです。

No.83461 - 2022/09/24(Sat) 14:24:47

☆ Re: 不等式の問題 / IT

「一般的に」とありますが、あくまでも　
2≦k≦n-2 すなわち　2≦k かつ　k+2≦n である自然数k,nについて言えることが書いてあるので、「一般的に」という表現はどうかなと思います。

そもそも目的は
　(n-1)/k＞1、(n-2)/(k-1)＞1、...、(n-k+1)/2＞1を示すことであり、

(n-1-L)/(k-L) は、
　L=0のとき,(n-1)/k
　L=1のとき,(n-2)/(k-1)
　L=k-2のとき,(n-k+1)/2 になるので

0≦L≦k-2 なる自然数Lについて
　(n-1-L)/(k-L)　-　1　＞　0　を示せば、目的の各不等式が示せる。ということですが、

(n-1)/k＞1、(n-2)/(k-1)＞1、...、(n-k+1)/2＞1を示すには
2≦k かつ　k+2≦n から　分子＞分母＞0を示す方が簡単だと思います。

No.83463 - 2022/09/24(Sat) 14:44:24

☆ Re: 不等式の問題 / aaa

理解しました。ありがとうございます。

No.83473 - 2022/09/25(Sun) 15:29:29

★ 同値関係 / math1

「集合 A から集合 B への全射がある時，B は
ある商集合 A/∼ と対等となることを示せ．」
何時間も考えたのですが、どうしてもこの問題が分かりません。well-definedを使った方法ならわかるのですが、well-defined以外の方法で解かなければいけないので、教えていただけると嬉しいです。

No.83453 - 2022/09/24(Sat) 12:55:25

☆ Re: 同値関係 / IT

> well-definedを使った方法
ではどんな証明になりますか？
なぜ、well-defined以外の方法で解かなければいけないのですか？　問題文に書いてあるのですか？（問題文をそのまま書かれた方が話が早いです）

No.83454 - 2022/09/24(Sat) 13:21:39

☆ Re: 同値関係 / math1

「」の中が問題文です。well-definedがこの問題で使えない理由としましては、この問題の後のページでwell-definedが定義されていまして、問題よりも後ろで定義されていることは循環論法になる危険性があるため、使ってはいけないと言われています。そのため、現段階では写像:A/∼→B と考えることができないのです。B→A/∼ の状況で証明する方法を教えてください。

No.83455 - 2022/09/24(Sat) 13:29:49

☆ Re: 同値関係 / IT

「well-defined」　という「言葉」を使わずに書けば良いのでは？
・・の　well-defined　を示さなくても良い気がしますが？
（きちんと書くのが面倒なので・・としました）

No.83456 - 2022/09/24(Sat) 13:42:21

☆ Re: 同値関係 / math1

解答考えてみました。とりあえず、対等を示すために全単射を示せばよいと考えて、ｇの単射性だけ思いつきました。この解答はでたらめでしょうか。よろしくお願いします。

それぞれの写像をf：A→B　ｇ：B→C　とする。

まず、ｇの単射性を示す。
任意のb１、b２はBの部分集合とする。
このとき、ｆが全射であるため（問題分より）、ｂ１＝ｆ（a1）、ｂ２＝f(a2)を使って、ｇ（ｆ（a1））=g(f(a2))と表すことができる。これは、C（ｆ(a1)）=C(f(a2))となる。同値類の定義よりｆ（a1）=f(a2)
よって b１＝b２　以上よりｇが単射であることが言えた。

No.83457 - 2022/09/24(Sat) 14:08:28

☆ Re: 同値関係 / math1

すいません。ｇ：Ｂ→A/∼ です。

No.83458 - 2022/09/24(Sat) 14:09:57

☆ Re: 同値関係 / math1

再び訂正します。任意のｂ１，ｂ２は集合Ｂの元です。また、a1,a2は集合Ａの元です。すみません

No.83459 - 2022/09/24(Sat) 14:12:03

☆ Re: 同値関係 / IT

まず、A/∼ は何ですか？　
「ある商集合 A/∼」を採ること、すなわち「∼」を決めること、から話が始まるのではないですか？

つぎに、写像gは、どう決めますか？

No.83460 - 2022/09/24(Sat) 14:20:53

☆ Re: 同値関係 / math1

そうですA/∼は商集合のことです。
A/∼＝｛C（a)|aは集合Aの元｝としてます。

No.83462 - 2022/09/24(Sat) 14:31:33

☆ Re: 同値関係 / IT

> A/∼＝｛C（a)|aは集合Aの元｝としてます。

∼ は具体的にどんな同値関係ですか？

No.83464 - 2022/09/24(Sat) 14:50:31

★ 不定積分 / DK

この計算のどこが間違っているかご指摘いただきたいです。

No.83449 - 2022/09/24(Sat) 08:27:05

☆ Re: 不定積分 / らすかる

間違っていないと思いますが、しいて言えば
下から2行目と3行目に「+C」がないことと、
これは間違いではないですが
-3(x+9)+C=-3x-27+C=-3x+C1
のように定数項をまとめていないことぐらいですね。

No.83450 - 2022/09/24(Sat) 08:47:42

☆ Re: 不定積分 / DK

ご回答ありがとうございます。
定数部分でまとめられるのですね。積分定数のつけ忘れも気をつけます。

No.83451 - 2022/09/24(Sat) 10:33:50

★ 必要条件の示し方 / 高校三年生

「相異なる三つの素数 p、q、r　において、
　
　p^2+q^2+r^2

　の値が素数となるための必要条件を一つ示せ。」

という問題の回答で、パッと思いつくのは、

１、三つの素数のいずれも「2」でないこと。

２、三つの素数が6の倍数を公差にもつ等差数列の３連項でないこと。

３、p^2+q^2+r^2の値が合成数でないこと。

などありますが、いずれの「必要条件」も回答として有効でしょうか？
たとえば、３、とか採点者に「お前は舐めてるの？」と思われそうですが・・・。

No.83447 - 2022/09/24(Sat) 08:02:08

☆ Re: 必要条件の示し方 / らすかる

3は「同値な条件」なのでダメでしょう。
もちろん必要条件ではありますが、それをOKにしてしまうと、例えば
「p^2+q^2+r^2が素数」という問題文と全く同じ文言でも
OKになってしまいます。これは「x^2+2x-3=0を満たすxを求めよ」という問題で
「解答：x^2+2x-3=0を満たすx」と書くのと同じことです。
1と2は問題ないと思います。

No.83448 - 2022/09/24(Sat) 08:23:33

☆ Re: 必要条件の示し方 / 高校三年生

らすかるさん、返信ありがとうございます。

なるほど、「何の捻りもない表現」は回答として不適ということですね。
自然数の「1」は素数でも合成数でもないので、かろうじて、
アリなのかなとか思ってしまいました。

No.83452 - 2022/09/24(Sat) 11:00:13

★ (No Subject) / 安定陸塊

今から問題も送らせていただきます。2番を自分なりに頑張って解いたのですが答えが合いません。

No.83443 - 2022/09/23(Fri) 17:50:15

☆ Re: / ast

方針は合っていて, 「よって」の行までは良いのですが, その後の k^2 の計算がデタラメすぎますね. きちんと丁寧に計算し直してください.

[1] 「よって」の次の次の等号の後の式の分母がおかしいです. (たぶん (x-a)^2 の展開自体を間違えているのだと思います. が, 本問においてこれは展開しないでそのまま扱った方がよいです.)
[2] 「よって」の次の次の次の等号の前後でなぜ分数式が多項式に変わっているのでしょうか? 仮に, 多項式の割り算をして分子の次数を下げることを試みたのだとしても, その分数式は割り切れませんので, 少なくとも分母が無くなってしまうのはおかしいです.

あと, (1) の結果の式を用いていることを「与式より」とは言いませんので, それは直すのが解答として適当だと思います.

No.83445 - 2022/09/23(Fri) 18:51:49

★ 場合の数 / 洋子　

失礼致します。高校1年生です。中間テストの問題で解けなかったので、質問させてください。

【問題】
原点をOとする座標平面上において、点P(4,4)まで、次のルールに基づいて移動する時、経路の総数を求めなさい。

ルール

(ア)
Oを出発し、全部で12回移動する。

(イ)
1回の移動で、x座標またはy座標が1増加するように移動する。

(ウ)
1回だけx座標が1減少するように移動し、1回だけy座標が1減少するように移動する。

(エ)
ただし、第2象限と第4象限に移動してはならない。

例えば、x座標が1増加することを→、x座標が1減少することを←、y座標が1増加することを↑、y座標が1減少することを↓と表すとして、←↓→↑→→→→↑↑↑↑の移動はよいが、←↑→↓→→→→↑↑↑↑の移動は(-1,1)に移動しているので、これはルール違反である。

No.83438 - 2022/09/22(Thu) 14:04:42

☆ Re: 場合の数 / けんけんぱ

移動を「上」「右」で表すものとします。
「上」「右」をそれぞれ６つ並べた後で、それぞれ１つを反転（「上」を「下」に、「右」を「左」に変える）ものとします。
「上」「右」をそれぞれ６つを一列に並べるのは、12C6通りあります。
「上」「右」を一つずつ反転させるとその6×6倍あります。(どれを反転させるかで「上」で6通り、「右」で6通り)

「上」を反転させる中で、６個中一番左を反転させるのは(「右」が反転するのは６か所あるので)6倍・
同様に、「右」を反転させるのも6倍あります。
「上」「右」ともに一番左を反転させるのは1倍あります。

以上をまとめると
12C6×(6×6-6-6+1)通りとなります

No.83439 - 2022/09/22(Thu) 22:39:16

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

12回のうち、ｘ軸方向に動く回を６個選ぶのは
　12Ｃ6＝924(通り)
このそれぞれにおいて、ｘ軸方向の１回目、ｙ軸方向の１回目をプラスから始める
右左右右右右
右右左右右右
右右右左右右
右右右右左右
右右右右右左
と
上下上上上上　
上上下上上上　
上上上下上上　
上上上上下上　
上上上上上下　
を掛け合わせた　5×5＝25 (通り)
は、すべて条件を満たすので、
　924×25＝23100　・・・(i)
それ以外、つまり、ｘ軸方向またはｙ軸方向の少なくとも一方を
マイナスから始めても、条件を満たす場合を考えます。
以下、１手目は必ずｘ軸方向からとし、結果を２倍します。
1) ｘ軸、ｙ軸ともマイナスから始める場合
　左下右上　から始まり残り８個は任意
　左下上右　　　　〃
　左右下上　　　　〃
　3×8Ｃ4＝210　・・・(ii)
2) ｘ軸のみマイナスから始める場合
　左右　から始まり残り10個は任意
　10Ｃ4×5＝1050　・・・(iii)
3) ｙ軸のみマイナスから始める場合
　右左下上　から始まり残り８個は任意
　8Ｃ4＝70　・・・(iv)

(i)～(iv) より
　23100＋(210＋1050＋70)×2＝25760(通り)　・・・答え

No.83468 - 2022/09/24(Sat) 23:19:33

★ 場合の数 / 洋子　

失礼致します。高校1年生です。中間テストの問題で解けなかったので、質問させてください。

【問題】
m個の〇とm個の×を次のルールに基づいて並べる時、並べ方の総数をmを使って表しなさい。

ルール

(ア)
〇または×を左から順に一つずつ並べていく。

(イ)
すでに並んでいるどの〇に対しても、それより左に並んでいる〇と×の個数を比べると、必ず〇の個数の方が多い。

例えば、2個の〇と2個の×を並べる場合、〇〇××はよいが、〇×〇×のように並べてしまうと、2番目の〇に対し、左に並んでいる〇と×の個数が等しいので、これはルール違反である。

ちょっとしたコツがあるらしく、気づけば簡単らしいのですが、全然わからないです。

No.83437 - 2022/09/22(Thu) 13:37:49

☆ Re: 場合の数 / IT

中間試験としては、難問ですね。
大学入試でも　一般のｍ個の場合についての出題はなくて
せいぜい、特定のｍ個についての出題だと思います。

授業で「カタラン数」が出てきたのなら、その応用で出来ます（左端は○、右端は×で、２番目から２ｍ-１番目までの並べ方の数は、カタラン数）　が、

カタラン数の前提知識なしに「ちょっとしたコツがあるらしく、気づけば簡単」とは言えないと思います。

「カタラン数」を習ってないのに出題されたのなら、自分で進んだ勉強をしている人の得点を高くしようということかも知れません。
青チャートには、「参考事項」として「カタラン数」の定義や説明、証明なしに公式が載ってます。
公式の証明は検索すると出て来ます。

No.83440 - 2022/09/22(Thu) 22:58:24

☆ Re: 場合の数 / 洋子　

回答してくださってありがとうございます。

すみません、カタラン数はならっていません。調べてみても意味不明な感じです。経路を使って説明しているようですが、テストの問題と何か関係があるんでしょうか。青チャートは参考書のようですが持っていません。

できればわかりやすく教えて欲しいです。

No.83441 - 2022/09/23(Fri) 00:07:54

☆ Re: 場合の数 / IT

https://examist.jp/mathematics/baainokazu/catalan/
上記などに「カタラン数」とテストの「玉入れ問題」の関係も含んだ解説があります。
そこには「非常に高級な発想を必要とする」とあります。
「ちょっとしたコツがあるらしく、気づけば簡単」と言われたのなら、その先生に指導を受けられるのが早道かと思います。

No.83442 - 2022/09/23(Fri) 07:25:02

★ 整数問題 / 名もなき男

問題と自分の答案を以下に載せます。（1）は合っていましたが、（2）はどこで誤りが生じているのか分かりませんでした。ご指摘お願いいたします。

No.83426 - 2022/09/20(Tue) 13:09:01

☆ Re: 整数問題 / 名もなき男

答案です。

No.83427 - 2022/09/20(Tue) 13:10:02

☆ Re: 整数問題 / 名もなき男

（2）の答えです。

No.83428 - 2022/09/20(Tue) 13:11:21

☆ Re: 整数問題 / IT

f(1)＝2a+b がまちがいでは？

No.83430 - 2022/09/20(Tue) 18:12:40

☆ Re: 整数問題 / IT

その後、f(1) は正しいようですね？

１つめのa,2a の表に間違いがあります。
表より・・・a≡5も間違いだと思います。←これが決定的ミス。
「表より、2a≡5をみたすaは　a≡5」(なおこれは間違い）と書くよりは
表のa:6,2a:5の欄を囲んで印をつけ、「∴a≡6」（これが正しい）と書く程度で良いかなと思います。

ケアレスミスがあるようなので、ご自分でもう一度添削されると効果的だと思います。

細かいことですが"b" の書き方が２通り（筆記体と活字体）混在していますが、統一された方が間違いが少ないと思います。

No.83431 - 2022/09/20(Tue) 18:40:46

☆ Re: 整数問題 / 名もなき男

ご回答ありがとうございます。ミスを直して計算したところ、答えの値と一致しました。
その他のご指摘もありがとうございます。

No.83434 - 2022/09/21(Wed) 11:58:20

★ 数3 / 太郎

数3の関数の極限の問題です。
不定形を防ぐために変形して求めることができないのはそもそもどうしてなのですか。
また、４、５の問題の解き方がわかりません。

No.83410 - 2022/09/17(Sat) 18:17:57

☆ Re: 数3 / IT

＞「不定形を防ぐために変形して求めることができない」
どういう意味ですか？
（だれが、どういう文脈でそう言ったのですか？）

No.83411 - 2022/09/17(Sat) 19:49:02

☆ Re: 数3 / らすかる

「不定形を防ぐために変形して求めることができ」るものは、
最初から不定形である場合だけです。
最初の式が不定形でない場合に「不定形を防ぐ」のは不可能です。
上記の問題はすべて不定形ではありませんので、「不定形を防ぐ」ことはできません。

No.83412 - 2022/09/17(Sat) 22:27:09

☆ Re: 数3 / IT

上記の問題の場合、らすかるさんも説明しておられますが
「不定形を防ぐために変形して求めることができない」
というよりも
「そもそも”不定形”でないので、”不定形を解消するための変形”は存在しないし、その必要もない」ということですね。

No.83413 - 2022/09/17(Sat) 23:50:07

★ 極限の問題 / 名無し

青チャートの問題です。
（2）の一行目で n≧2^mと置いてもよい理由がわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか。

No.83406 - 2022/09/17(Sat) 10:37:24

☆ Re: 極限の問題 / IT

2^0≦1,2,...
2^1≦2,3,....
2^2≦4,5,...,
2^3≦8,9,....
2^4≦16,17,....
・・・
2^10≦1024,1025,....
・・・
ですから

２以上の自然数n に対してn≧2^mを満たす自然数mが存在します。
（　n→∞について考えるので　nは2以上のときを考えればいいです。）

例えば n=17 のときは、自然数m=1,2,3,4について、
　n≧2^m が成り立ちます。

No.83408 - 2022/09/17(Sat) 11:47:56

☆ Re: 極限の問題 / 名無し

理解しました。ありがとうございます！

No.83415 - 2022/09/19(Mon) 07:45:27

★ 写真の問題を教えてください！ / 数学苦手

写真は2枚あるのですが、2枚載せれるのかわからないので1枚ずつのせます、すみません。
学年は中学三年生です。
答えどころかどうやって解くのかすらわかりません…。

No.83402 - 2022/09/17(Sat) 01:22:54

☆ Re: 写真の問題を教えてください！ / ヨッシー

まず、これは出来ますか？
点Ａ、点Ｐの座標を求めなさい。
点Ｂ、点Ｃの座標をａ、ｂを用いて表しなさい。

No.83404 - 2022/09/17(Sat) 06:28:03

☆ Re: 写真の問題を教えてください！ / 数学苦手

Pの座標が-3.4で、Aが、0.10になりましたが、a.bと点Bと点Cの座標の求め方がわかりません

No.83407 - 2022/09/17(Sat) 10:48:00

☆ Re: 写真の問題を教えてください！ / X

a,bの値を求める前段階として
＞＞点Ｂ、点Ｃの座標をａ、ｂを用いて表しなさい。
という問題をヨッシーさんは提起されているのですが
それが分からないということですか？

No.83409 - 2022/09/17(Sat) 17:34:44

☆ Re: 写真の問題を教えてください！ / ヨッシー

点Ａ、点Ｐの方は「座標を求めなさい」
点Ｂ、点Ｃの方は「座標をａ、ｂを用いて表しなさい」
です。この違いを読み解けないと、次に進めません。
数学力は国語力といわれるゆえんです。

No.83414 - 2022/09/18(Sun) 23:20:23

★ 質問 / シャープ

学校の課題がわかりません。
⑴〜⑶まで親切に教えてくれませんか。
また、このような問題を解くにあたりコツがあれば教えて欲しいです。

No.83400 - 2022/09/15(Thu) 23:36:23

☆ Re: 質問 / ヨッシー

(1)

図のように、ＡＢ、ＢＰを共有する立方体をくっつけ、ＨＡの延長上にある頂点をＱとします。
△ＡＰＱは正三角形であり、∠ＰＡＱ＝60°なので、
　∠ＰＡＨ＝120°
(2)

図は、この立方体をＤとＨが重なる方向から見た図で、
△ＤＦＨを底面としたときの高さは矢印の部分になります。
　△ＤＦＨ＝6√2×6÷2＝18√2
　高さは 3/√2
なので、求める体積は
　18√2×3/√2÷3＝18(cm^3)
(3)

ＰＥは正方形ＡＢＣＤの面と点Ｌで交わるので、
四面体ＰＥＭＮは、四面体ＬＭＮＰと四面体ＬＭＮＥに分けられます。
　△ＬＭＮ＝９
であり、高さはいずれも６なので、
　(9×6÷3)×2＝36(cm^3)

学年がわからなかったので、中３程度を想定しました。

No.83401 - 2022/09/16(Fri) 17:14:44