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★ 証明問題 / f
xy平面上にn個の点が与えられているとき、そのうちの2点を対角線の両端とする各軸がx軸、y軸に平行な長方形はその内部または境界上に少なくとも[(n+1)/5]+1個の点を含む

全くわからないので教えてください
No.26664 - 2014/06/06(Fri) 17:18:46
☆ Re: 証明問題 / ヨッシー

何か条件が抜けているのでしょうか？
n=9 のときは ３個の点を含む、のはずですが、境界上の２個しかありません。
No.26665 - 2014/06/06(Fri) 18:08:30
☆ Re: 証明問題 / みずき
問題文がちょっとおかしいと思います。
細かいところも含めて修正すると、次のような問題ではないでしょうか。

「xy平面上にn個の点が与えられているとき、
次の条件を満たすような2点が存在することを示せ。

条件：n個の点から2点を選び、その2点を対角線の両端とする、
各辺がx軸、y軸に平行な長方形を作るとき、
その長方形の内部または境界上に少なくとも[(n+1)/5]+1個の点がある」

> fさん

現状のままでは、ヨッシーさんが指摘されたように
意味をなさない問題と解釈できてしまう可能性を残すと思います。
（具体的には「どの2点に対しても」と解釈できてしまう）
一方、私が書いた修正版では、一応意味が通る問題のように思われますが。
（修正版では「ある2点が存在して」と解釈した）
No.26666 - 2014/06/06(Fri) 18:23:16
☆ Re: 証明問題 / IT
こちらに有効な回答が付いているようですね。
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=18869
No.26667 - 2014/06/06(Fri) 23:58:42
★ (No Subject) / リュウシュンチ
問題（２）教えてください、よろしくお願いします。
No.26659 - 2014/06/06(Fri) 12:44:09
☆ Re: / X
(1)の過程と同様の方針により
△DEF={1-3k(1-k)}△ABC
よって条件により
1-3k(1-k)=1/2
これより
k(1-k)=1/6 (A)
(A)をkについての二次方程式と見て
0＜k≦1/2
に注意して解くことにより
k=(3-√3)/6
No.26663 - 2014/06/06(Fri) 13:51:17
☆ Re: / リュウシュンチ
どうして　△DEF={1-3k(1-k)}△ABC　ですか？
No.26698 - 2014/06/08(Sun) 16:50:26
★ 確率の問題 / リュウシュンチ
問題（２）を教えてください,よろしくお願いします
No.26658 - 2014/06/06(Fri) 12:42:45
☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー
３の倍数が出る事象をＡ、それ以外をＢとすると、
４回投げるので、
Ａ４回、Ｂ０回　→(4,0)
Ａ３回、Ｂ１回　→(3,1)
Ａ２回、Ｂ２回　→(2,2)
Ａ１回、Ｂ３回　→(1,3)
Ａ０回、Ｂ４回　→(0,4)
の５回（Ｄ）となり、ｘ座標をｋとすると、ü座標は４（Ｅ）−ｋ
であり、ｋの範囲は０（Ｆ）≦ｋ≦４（Ｇ）
Ａの起こる確率1/3、Ｂの起こる確率 2/3 より、上の５通りに、確率をそれぞれ記入すると
Ａ４回、Ｂ０回　→(4,0)　：　4Ｃ4(1/3)^4(2/3)^0＝1/81
Ａ３回、Ｂ１回　→(3,1)　：　4Ｃ3(1/3)^3(2/3)^1＝8/81
Ａ２回、Ｂ２回　→(2,2)　：　4Ｃ2(1/3)^2(2/3)^2＝24/81
Ａ１回、Ｂ３回　→(1,3)　：　4Ｃ1(1/3)^1(2/3)^3＝32/81
Ａ０回、Ｂ４回　→(0,4)　：　4Ｃ0(1/3)^0(2/3)^4＝16/81
以上より、最大値は32/81, 最小値は 1/81
No.26660 - 2014/06/06(Fri) 13:35:32
☆ Re: 確率の問題 / リュウシュンチ
私はこの公式があまりわかりません。
No.26700 - 2014/06/08(Sun) 17:18:08
★ (No Subject) / リュウシュンチ
問題(1)(2)を教えてください,よろしくお願いします。
No.26657 - 2014/06/06(Fri) 12:40:04
☆ Re: / X
(1)
条件から四角形AOBDは円O'に内接し、更に
点CはBOの延長線上にあることから
∠AOC=∠ADB
このことと∠OCDが共通であることから
△OCA∽△ACD (A)
(A)により相似比を使ってCDの長さを求めてみましょう。

(2)
条件からBCは円Oの直径ですので円周角により
∠BAC=90°
従って
∠BAD=90°
ですので円周角によりBDは円O'の直径になります。
以上のことから、
まず△ABCに三平方の定理を適用してABの長さを求めます。
この結果と(1)の結果から△ABDに三平方の定理を適用して
BDの長さを求め、結果を2で割ります。
No.26661 - 2014/06/06(Fri) 13:36:09
☆ Re: / リュウシュンチ
解けました、ありがとうございます。
No.26699 - 2014/06/08(Sun) 17:01:50
☆ Re: / リュウシュンチ
でも、どうして四角形AOBDが円O'に内接して、CがBOの延長線上にあったら、∠AOC=∠ADBですか？
No.26705 - 2014/06/08(Sun) 17:55:53
☆ Re: / X
四角形AOBDが円O'に内接していることから
∠ADB+∠AOB=180° (A)
一方CはBOの延長線上にありますので
∠AOC+∠AOB=180° (B)
(A)-(B)より
∠ADB-∠AOC=0
よって
∠AOC=∠ADB
です。
(教科書か参考書の円周角の項目に掲載されていると
思います。調べてみて下さい。)
No.26721 - 2014/06/08(Sun) 23:12:32
★ 接線の問題 / ふぇるまー
問1:2つの放物線y=x^2、y=-x^2+6x-5の共通接線の方程式=?
問2:曲線y=x^3+ax+1が直線y=2x-1に接するように、定数aの値を定めよ。
こちらの2題を教えて下さい。
※問2は私、3次関数を習っておりませんので、3次関数の関係でないやり方を教えて下さるとありがたいです。
No.26653 - 2014/06/05(Thu) 21:56:48
☆ Re: 接線の問題 / ヨッシー
問1
接線の式を　y=ax+b とします。
y=x^2 と連立させた　x^2-ax-b＝0 の判別式　a^2−4b＝0
y=-x^2+6x-5 と連立させた　x^2＋(a-6)x＋(b+5)＝0 の判別式　(a-6)^2−4b−20＝0
4b＝a^2 を代入して、
　(a-6)^2−a^2−20＝0
これを解いて、a=4/3, b=4/9

問2
両者を連立させた
　x^3＋(a-2)x＋2＝0
が、(x-m)^2(x-n)＝0 の形になれば、両者は接すると言えます。
展開して
　x^3−(2m+n)x^2＋(m^2+2mn)x−m^2n＝0
x^3＋(a-2)x＋2＝0 と係数比較して
　2m+n=0, m^2+2mn＝a-2, m^2n＝-2
これを、m,n,a が実数の範囲で解くと、
　m=1, n=-2, a=-1
No.26654 - 2014/06/05(Thu) 23:16:03
☆ Re: 接線の問題 / ふぇるまー
なるほど！判別式を使うのですね。ご教授ありがとうございました！
No.26655 - 2014/06/05(Thu) 23:18:03
★ 「数学の本」について / ｊｔ７７８７７
今は言えませんが、「ある数学の本」を探しています。
「日本の古本屋」とか「アマゾン」で探しても見つからないものです。（もちろんヤフーから検索して探していますが
見つからないです><）

そこでお聞きしたいのですが、もし？自分が探している本を
ここでお聞きして情報を得る事は当サイト
「ヨッシーの八方掲示板」ではルール違反に
なるのでしょうか？なるのでしたら謝ります。
申し訳ありません><
もし？このサイトでルール上問題のであれば探している本を
書きますのでよろしくお願いします。（日本の古本屋
ルートでは探しています）

ではよろしくお願い申し上げます。
No.26647 - 2014/06/05(Thu) 13:18:55
☆ Re: 「数学の本」について / ヨッシー
別に構いませんけど。

度を越すようなら、こちらで止めます。
No.26648 - 2014/06/05(Thu) 13:25:31
☆ Re: 「数学の本」について / ｊｔ７７８７７
では２冊と後１つはセットであるかということです。
さがしているものを掲示板に書きます。

ただ？ここには書きません。自分の後にもたくさん質問が
書かれているので、後日改めて書きます。

ヨッシー様へ　　
もし文章が不都合と感じた場合は教えてください。
削除の対象の場合は消してもらって構いませんので。
ありがとうございました。
No.26697 - 2014/06/08(Sun) 16:48:14
★ 場合の数 / まさ
大小2個のサイコロがあるとき、例えば目の和が12となる場合の数は(6,6)の一通りです。しかし、大小の区別があるのだから
(大、小)=(6,6) (小、大)=(6,6)のように2通りにならないのは何故ですか？
よろしくお願いします。
No.26643 - 2014/06/05(Thu) 09:23:43
☆ Re: 場合の数 / ＿
特にサイコロを振るのに順序があってそれを区別する理由もないようなので、その「2通り」は全く同じことを2回言っているからです、という答えに(とりあえずは)なります。

さて、では目の和が7となる場合の数は何通りでしょう？
No.26644 - 2014/06/05(Thu) 10:12:47
☆ Re: 場合の数 / らすかる
(大、小)=(6,6) (小、大)=(6,6)
というのはどちらも「大=6, 小=6」ですね。
これを「小=6, 大=6」と言ったところで意味は同じですから
1通りでしかありません。
No.26645 - 2014/06/05(Thu) 10:33:38
☆ Re: 場合の数 / まさ
ありがとうございます
No.26646 - 2014/06/05(Thu) 13:14:48
★ 確率 / まさ
問題3(2)を教えてください
答えはp^2(1+2p+3q^2)です
よろしくお願いします。
No.26639 - 2014/06/04(Wed) 23:36:57
☆ Re: 確率 / みずき
答えは、p^2(1+2q+3q^2)だと思います。

二試合目以降は、次の6通りがあります。
AA
ABA
ABBA
BAA
BABA
BBAA

よって、答えは、
p^2+pqp+pq^2p+qp^2+qpqp+q^2p^2
=p^2(1+q+q^2+q+q^2+q^2)
=p^2(1+2q+3q^2)
No.26640 - 2014/06/04(Wed) 23:53:10
☆ Re: 確率 / らすかる
p+q=1という条件がありませんので、引き分けがあるように思えますね。
p+q＜1の可能性も考慮すると
(次にAが勝つ確率)=p/(p+q)
(次にBが勝つ確率)=q/(p+q)
なので、(2)の答えは
p^2(p^2+4pq+6q^2)/(p+q)^4
になります。
解答がp^2(1+2q+3q^2)になっているとしたら、問題不備だと思います。
No.26641 - 2014/06/05(Thu) 02:11:10
☆ Re: 確率 / まさ
ありがとうございます
No.26642 - 2014/06/05(Thu) 09:19:19
★ 2変数関数の最大、最小 / ヒキニート
xy平面上で不等式x≧y、y≧2を同時に満たす点の集合をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、axy-x-yの最小値が4となるようなaを定めよ。

xを固定したとき、最小値はf(2)=(2a-1)x-2、f(x)=(ax-2)のどちらかですが、これはf(2)が最小値の時と、f(x)が最小値の時とで場合分けをする必要があるのですか？
No.26611 - 2014/06/04(Wed) 00:47:05
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / みずき
> xを固定したとき、最小値はf(2)=(2a-1)x-2、f(x)=(ax-2)のどちらかですが

f(2)=(2a-1)x-2というのは、y=2の場合ですよね。
だとしたら、
y=xの場合としてf(x)=ax^2-2xとなりませんか？

> これはf(2)が最小値の時と、f(x)が最小値の時とで場合分けをする必要があるのですか？

そうですね。
No.26614 - 2014/06/04(Wed) 01:19:31
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / ヒキニート
解答を見たらx≧2の場合では常にf(2)≧f(x)となっているのですが、なぜですか？

f(x)はタイプミスです。すいません。
No.26616 - 2014/06/04(Wed) 01:53:12
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / みずき
> 解答を見たらx≧2の場合では常にf(2)≧f(x)となっているのですが、なぜですか？

私の間違いでなければ、f(2)≦f(x)ではないですか？
間違っていたらすみませんが。

解答ではどのような書き方をされているか分かりませんが、
a=1/2のときは、最小値が4にならず、
2a-1＜0の場合は最小値が存在しないことが分かるので、
2a-1＞0⇔a＞1/2が必要だと分かります。
この状況下において、
f(2)は右上がりの直線で、f(x)は下に凸の放物線。
さらには、f(2)=f(x)を満たすのは、
x=2,1/a（ただし、1/a＜2）なので、
x≧2でf(2)≦f(x)が成り立つと思います。
No.26619 - 2014/06/04(Wed) 02:40:32
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / ヒキニート
なぜ、2a-1の値での場合分けが生じるのですか？
No.26637 - 2014/06/04(Wed) 19:44:16
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / みずき
> なぜ、2a-1の値での場合分けが生じるのですか？

f(2)=(2a-1)x-2のxの係数が2a-1だから、です。

実は、より正確には、
「a＜0のとき」も「a=0のとき」も
「2a-1＜0かつa＞0⇔0＜a＜1/2のとき」も最小値が存在しないので、
「2a-1＜0の場合は最小値が存在しない」と書きました。

これは、f(2)のxの係数が2a-1で、
f(x)=ax^2-2xのx^2の係数がaであることから納得できると思います。
No.26638 - 2014/06/04(Wed) 19:59:21
★ 2変数関数の最大、最小 / ヒキニート
f(x,y)x^2+5y^2+4xy+2x-4y+10の変数x,yが|x|+|y|≦1を満たしながら動くときのf(x,y)の最大値を求めよ。

という問題で解答はyを固定して-1≦y≦-1/2、-1/2≦y≦0、0≦y≦1で場合分けをして求めているのですが、なぜこのような場合分けになるのですか？

f(x,y)をyを固定してxの2次関数とみて最大値を求めようとしたのですが、xの範囲と軸の位置関係を考えようとしたら場合分けが別の値になりました。計算ミスでしょうか？
No.26610 - 2014/06/04(Wed) 00:42:34
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / みずき
yを固定すると、f=(x+2y+1)^2+y^2-8y+9で
頂点が(-2y-1,y^2-8y+9)となります。
-2y-1=0⇔y=-1/2というところからy=-1/2前後、
|y|というところから、y=0前後
というのが出てきたのだと思います。
No.26612 - 2014/06/04(Wed) 00:51:41
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / ヒキニート
-1≦y≦0のときに、xの変域を
-1-y≦-2y-1≦0、0≦-2y-1≦1+y
のように軸の位置で判断してはダメなのですか？
No.26617 - 2014/06/04(Wed) 02:01:04
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / みずき
> -1≦y≦0のときに、xの変域を
> -1-y≦-2y-1≦0、0≦-2y-1≦1+y
> のように軸の位置で判断してはダメなのですか？

ダメではないですよ。ただ、そうするなら、
それだけでは場合分けが十分ではないです。
軸x=-2y-1が1+yより大きい場合もあります。
つまり、1+y＜-2y-1⇔3y＜-2⇔y＜-2/3のとき、です。

ちなみに、今、最大値だけを考えているのですから、
ヒキニートさんの場合分けは場合分けしすぎ、とは言えます。
（つまり、y=-2/3前後という場合分けは不要）
No.26620 - 2014/06/04(Wed) 02:58:11
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / ヒキニート
これは今日考えてたら自分でも気づきましたm(._.)m
求めるのは最大値だけだから場合分けが少なくなるってことですよね？
No.26635 - 2014/06/04(Wed) 17:58:58
☆ Re: 2変数関数の最大、最小 / みずき
> 求めるのは最大値だけだから場合分けが少なくなるってことですよね？

はい、そうです。
No.26636 - 2014/06/04(Wed) 18:06:19
★ 「効用関数」「最適消費量」 / ゆー


若年期の消費額をC1、老年期の消費額をC2としよう。
いまＡくんの効用関数が U = 2*(C1^2) * (C2)だとする。

若年期の所得 M1 = 120
老年期の所得　M2 = 165
利子率が　i = 0.1

このときのＡくんの
若年期、老年期の最適消費量を求めてみよう！


という問題が解けなくて困っています（＞_＜）

予算制約式は、　C2 = (1+i)M1 + M2 - (1+i)C1
= (1+0.1)*120+165-(1+0.1)C1
　　　　　　　　　 = 297-1.1C1
となって1.1C1 + C2 = 297となったのですが
ここから何をすれば良いかが分からず手が止まっています。
教えてくださいよろしくおねがいします！
No.26607 - 2014/06/03(Tue) 23:30:05
☆ Re: 「効用関数」「最適消費量」 / ゆー

Ａくんの効用関数の書き方が変になりましたが、
　　Ｕ＝２(C1^2)*(C2)です。

C1、C2はそれぞれ
C*１、C*２という意味じゃなくて
Cの右下に小さく１，２ってかかれてます（汗）
No.26608 - 2014/06/03(Tue) 23:35:26
☆ Re: 「効用関数」「最適消費量」 / ヨッシー
これだけの条件の問題だとすると、
　C2 = 297-1.1C1
の条件下で、Ｕ＝2C1^2・C2 を最大にするC1, C2 を求めよという問題なのでしょう。代入して、
　Ｕ＝2C1^2(297-1.1C1)
　　＝594C1^2−2.2C1^3
簡単のため、ｙ＝594x^2−2.2x^3 とおきます。微分して、
　dy/dx＝1188x−6.6x^2＝0
を解くと、ｘ＝0, 180
よって、ｙはｘ＝０で極小、ｘ＝１８０で極大になり、ｘ≧０ に限ると、
ｘ＝１８０　の時が最大となります。
つまり、C1＝１８０、C2＝９９ のときＵは最大になります。
No.26631 - 2014/06/04(Wed) 10:47:55
☆ Re: 「効用関数」「最適消費量」 / ゆー
ヨッシーさん、丁寧に教えていただきありがとうございます！納得できてすっきりしました！！！
No.26651 - 2014/06/05(Thu) 17:08:45
★ お願いします😭 / あいぽん
お願いします。
No.26561 - 2014/06/03(Tue) 10:02:30
☆ Re: お願いします😭 / ヨッシー
表が出た効果の合計金額を「得点」と呼ぶことにします。
Ａの得点について
　０の確率：1/8
　５の確率：3/8
　１０の確率：3/8
　１５の確率：1/8
Ｂの得点について
　０の確率：1/4
　５の確率：1/4
　１０の確率：1/4
　１５の確率：1/4
(1)
Ａが勝つのは、
　Ａが１５で、Ｂが０，５，１０　1/8×(1/4＋1/4＋1/4)＝3/32
　Ａが１０で、Ｂが０，５　3/8×(1/4＋1/4)＝3/16
　Ａが５で、Ｂが０　3/8×1/4＝3/32
よって、ｐ＝3/32＋3/16＋3/32＝3/8
引き分けは、得点が１５，１０，５，０ で引き分ける確率がそれぞれ
　1/8×1/4＝1/32, 3/8×1/4＝3/32, 3/8×1/4＝3/32, 1/8×1/4＝1/32
よって、　ｑ＝1/32＋3/32＋3/32＋1/32＝1/4

(2)
＋１５（１５円獲得）の確率：Ａが１５，１０，５　Ｂが０
　(1/8＋3/8＋3/8)×1/4＝7/32
＋１０の確率：Ａが１５，１０，Ｂが５
　(1/8＋3/8)×1/4＝1/8
＋５の確率：Ａが１５，Ｂが１０
　1/8×1/4＝1/32
−５の確率：Ａが１０、Ｂが１５
　3/8×1/4＝3/32
−１０の確率：Ａが５，Ｂが１０，１５
　3/8×(1/4＋1/4)＝3/16
−１５の確率：Ａが０，　Ｂが１５，１０，５
　1/8×(1/4＋1/4＋1/4)＝3/32
以上より、
　15×7/32＋10×1/8＋5×1/32−5×3/32−10×3/16−15×3/32
　　＝15/16
よって、Ｅ＝15＋15/16＝255/16
No.26563 - 2014/06/03(Tue) 10:42:02
★ 証明です / あいぽん
(1)任意の自然数aに対し、a^2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ。

(2)自然数a,b,cがa^2＋b^2＝3c^2を満たすと仮定すると、a,b,cはすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ 。

(3)a^2＋b^2＝3c^2を満たす自然数a,b,cは存在しないことを証明せよ。
No.26527 - 2014/06/02(Mon) 22:10:51
☆ Re: 証明です / IT
他でも聞いておられ解決したかも知れませんので方針だけ

(1)a=3n,3n-1,3n+1のときに分けてa^2を3で割った余りは0か1であることを示す

(2) (1)を使って
a^2＋b^2＝3c^2を満たす ならば
　a^2を3で割った余りは0→aを3で割った余りは0
b^2を3で割った余りは0→bを3で割った余りは0
　a^2＋b^2は9で割りきれる→c^2は3で割り切れる→cは3で割り切れる

(3)背理法による。
a^2＋b^2＝3c^2を満たす自然数a,b,cが存在すると仮定
そのうちaが最小になるものa,b,cをとる。
(2)よりa,b,cはすべて3で割り切れる。
a,b,cを３で割った自然数をそれぞれa',b',c'とすると。
自然数a',b',c'はa'^2＋b'^2＝3c'^2をみたす。
これはaの最小性に反する。・・・・　　
　
No.26529 - 2014/06/02(Mon) 23:47:52
★ すいません / あいぽん
さきほども質問したんですが、あまりわからなくて…
(1)の問題は、?@〜?Cに場合分けをして、その、?@〜〜のとき などの条件は図示するときにはどのように考えたらいいのでしょうか…😭

xy平面において方程式｜x＋2y｜＋｜3x−2y｜＝4をCとする。
(1) Cの概形は？
(2)点(x,y)がC上を動く時√(x^2＋y^2)の最大、最小を求めよ
No.26526 - 2014/06/02(Mon) 22:02:52
☆ Re: すいません / みずき
先ほどの問題に直接返信しましょう。
（元スレッドの右上の返信ボタンを押します）
No.26531 - 2014/06/02(Mon) 23:54:51
☆ Re: すいません / みずき
なお、元のスレッドに返答しています。
No.26536 - 2014/06/03(Tue) 01:33:26
☆ Re: すいません / あいぽん
ありがとうございます（；＿；）
No.26559 - 2014/06/03(Tue) 09:42:02
★ 二次不等式がわかりません / かい
このノートの?Bがこの様になるのがわかりません
なぜ、f(0)=0となるのかを教えてください！
よろしくお願いします。
No.26519 - 2014/06/02(Mon) 20:45:50
☆ Re: 二次不等式がわかりません / みずき
> このノートの?Bがこの様になるのがわかりません
> なぜ、f(0)=0となるのかを教えてください！

これはf(x)=x^2-mx-m+3=0が異なる2つの正の実数解を持つ条件
を求める問題でしょうね。
D＞0?@と軸の条件?Aまでは理解されているとします。
さて、D＞0と0＜m/2だけでは、
f(x)=0が負の実数解、またはx=0を持つ可能性を排除できません。
(y=f(x)がy軸をまたいだり、原点を通る可能性です)
その可能性を排除しているのが、f(0)＞0です。
これにより、f(x)=0が正の実数解だけを持つことになります。
（これでy=f(x)がy軸をまたぐことも原点を通ることもありませんね）
No.26520 - 2014/06/02(Mon) 20:57:11
☆ Re: 二次不等式がわかりません / かい
> > このノートの?Bがこの様になるのがわかりません
> > なぜ、f(0)=0となるのかを教えてください！
>
> これはf(x)=x^2-mx-m+3=0が異なる2つの正の実数解を持つ条件
> を求める問題でしょうね。
> D＞0?@と軸の条件?Aまでは理解されているとします。
> さて、D＞0と0＜m/2だけでは、
> f(x)=0が負の実数解、またはx=0を持つ可能性を排除できません。
> (y=f(x)がy軸をまたいだり、原点を通る可能性です)
> その可能性を排除しているのが、f(0)＞0です。
> これにより、f(x)=0が正の実数解だけを持つことになります。
> （これでy=f(x)がy軸をまたぐことも原点を通ることもありませんね）

何回もすいません！
2点を通れば、y軸をまたいだり、原点を通ってもいいのではないのですか？
No.26521 - 2014/06/02(Mon) 21:14:59
☆ Re: 二次不等式がわかりません / みずき
> 2点を通れば、y軸をまたいだり、原点を通ってもいいのではないのですか？

まず、私は、
「これはf(x)=x^2-mx-m+3=0が異なる2つの正の実数解を持つ
条件を求める問題でしょうね。」
と書きましたが、それに対して何の反応もないので、
私の解釈が正しい、という前提で話します。

「2点を通れば」というのは、「y=f(x)がx軸と2点で交われば」
という意味ですよね。つまり、D＞0?@ですよね。
「異なる2つの実数解」を求める問題でしたら、それで良い
ですが、今は「異なる2つの『正の』実数解」ですから、
y軸をまたいでも（すなわち、正の実数解1つ、負の実数解1つ）、
原点を通っても（正の実数解1つとx=0）駄目です。
No.26522 - 2014/06/02(Mon) 21:21:05
☆ Re: 二次不等式がわかりません / かい
なるほど！
わかりました！
ならば、もし正の実数解でなければ、
またいでしまう可能性もあるというわけですよね？
No.26523 - 2014/06/02(Mon) 21:30:17
☆ Re: 二次不等式がわかりません / みずき
> ならば、もし正の実数解でなければ、
> またいでしまう可能性もあるというわけですよね？

そうですが、たとえば、
『f(x)=が異なる2つの負の実数解を持つような条件を求めよ』
の場合も、y軸をまたぎません。
状況に応じて図を参考にしながら条件を考えることが肝要です。
No.26524 - 2014/06/02(Mon) 21:37:20
☆ Re: 二次不等式がわかりません / かい
何度も丁寧に説明していただきありがとうございました！
No.26534 - 2014/06/03(Tue) 01:19:46
★ おねがいします。 / 釜
x＞0、y＞0,z＞0とする。1/x＋2/y＋3/z＝1/4のとき、x＋2y＋3zの最小値を求めよ。
No.26518 - 2014/06/02(Mon) 20:40:06
☆ Re: おねがいします。 / X
x＞0,y＞0,z＞0に注意すると
コーシ・シュワルツの不等式により
(x+2y+3z)(1/x+2/y+3/z)≧{(√x)√(1/x)+(√(2y))√(2/y)+(√(3z))√(3/z)}^2 (A)
(等号成立は√x:√(2y):√(3z)=√(1/x):√(2/y):√(3/z)、つまりx=y=zのとき)
(A)の右辺を整理し、更に左辺に
1/x+2/y+3/z=1/4
を代入すると
(1/4)(x+2y+3z)≧36
∴x+2y+3z≧144
よって求める最小値は144(このときx=y=z=24)となります。
No.26525 - 2014/06/02(Mon) 21:38:02
★ 領域問題 / あいぽん


xy平面で次の不等式を表す領域を図示し、領域面積を求めよ。
｜|x|＋|y|−3｜≦1
No.26515 - 2014/06/02(Mon) 17:57:42
☆ Re: 領域問題 / みずき
||x|+|y|-3|≦1⇔-1≦|x|+|y|-3≦1

（-1≦|x|+|y|-3について）
「x＞0かつy＞0かつ-1≦x+y-3」・・・A
「x＞0かつy≦0かつ-1≦x-y-3」・・・B
「x≦0かつy＞0かつ-1≦-x+y-3」・・・C
「x≦0かつy≦0かつ-1≦-x-y-3」・・・D

（|x|+|y|-3≦1について）
「x＞0かつy＞0かつx+y-3≦1」・・・E
「x＞0かつy≦0かつx-y-3≦1」・・・F
「x≦0かつy＞0かつ-x+y-3≦1」・・・G
「x≦0かつy≦0かつ-x-y-3≦1」・・・H

よって、求める領域は、
「AまたはBまたはCまたはD」かつ「EまたはFまたはGまたはH」

これを図示すれば、領域面積を求められます。
No.26516 - 2014/06/02(Mon) 19:04:25
★ お願いします / あいぽん
xy平面において方程式｜x＋2y｜＋｜3x−2y｜＝4をCとする。
(1) Cの概形は？
(2)点(x,y)がC上を動く時√(x^2＋y^2)の最大、最小を求めよ
No.26514 - 2014/06/02(Mon) 17:56:46
☆ Re: お願いします / みずき
Cは、
「x+2y＞0かつ3x-2y＞0かつ(x+2y)+(3x-2y)=4」または
「x+2y＞0かつ3x-2y≦0かつ(x+2y)-(3x-2y)=4」または
「x+2y≦0かつ3x-2y＞0かつ-(x+2y)+(3x-2y)=4」または
「x+2y≦0かつ3x-2y≦0かつ-(x+2y)-(3x-2y)=4」
を満たす点(x,y)の集合で、ある平行四辺形になります。

(2)は、原点から(1)の平行四辺形上の点までの距離を調べましょう。
最小になるのは、各辺までの距離の最小値、
最大になるのは、各頂点までの距離の最大値となります。
No.26517 - 2014/06/02(Mon) 19:41:18
☆ Re: お願いします / みずき
Cの概形については、
「x+2y＞0かつ3x-2y＞0かつ(x+2y)+(3x-2y)=4」または
「x+2y＞0かつ3x-2y≦0かつ(x+2y)-(3x-2y)=4」または
「x+2y≦0かつ3x-2y＞0かつ-(x+2y)+(3x-2y)=4」または
「x+2y≦0かつ3x-2y≦0かつ-(x+2y)-(3x-2y)=4」
を図示するだけです。

たとえば、
「x+2y＞0かつ3x-2y＞0かつ(x+2y)+(3x-2y)=4」
は、
｢y＞-x/2かつy＜3x/2かつx=1｣
と簡単にできますね。言葉にすると
｢直線y＞-x/2より上の領域でかつ直線y=3x/2より下の領域
で、x=1となる部分｣
ということです。他も同様です。
No.26532 - 2014/06/02(Mon) 23:58:18
☆ Re: お願いします / みずき
少し訂正します。

言葉にすると
｢直線y=-x/2より上の・・・

とすべきでした。
No.26533 - 2014/06/02(Mon) 23:59:38
☆ Re: お願いします / あいぽん
(1)の問題で
?@ x＋2y>0かつ3x−2y>0のとき(x＋2y)＋(3x−2y)＝4
?A〜
?B〜
?C〜
となるんですが、図示するときはそれぞれ4つの直線を書くだけでいいのですか？
場合分けの、左側の条件は図示するときにはどのように考えたらいいのでしょうか？
No.26560 - 2014/06/03(Tue) 09:47:24
☆ Re: お願いします / みずき
> 図示するときはそれぞれ4つの直線を書くだけでいいのですか？
> 場合分けの、左側の条件は図示するときにはどのように考えたらいいのでしょうか？

y=-x/2もy=3x/2も書く必要があります。
そうして、xy平面を4つの領域に分けておいて、各領域に
ついて、条件を満たす(x,y)の集合（たとえばx=1のような）を書き込むわけです。

x＋2y>0かつ3x−2y>0のとき(x＋2y)＋(3x−2y)＝4
というのは、
y>-x/2かつy<3x/2を満たす領域において（もっと強調すれば
この領域だけに着目して、その領域において）x=1という直線を描く
という意味です。
（y>-x/2かつy<3x/2を満たす領域、というのを意識できていますか？）

『各領域は無視してx=1を書いておいて・・・とやると平行四辺形になるようだ』
というのは順序が違います。
No.26596 - 2014/06/03(Tue) 17:59:35
★ 定積分で表された関数 / nadenade
定積分で表された関数について

d/dx=∫[a→x]f(t)dt=f(x) … (1)
ただし、aは定数

の応用問題で、
d/dx∫[0→x]{(x+t)e^t}dt
について求めると、
d/dx∫[0→x]{(x+t)e^t}dt
=d/dx∫[0→x](xe^t)dt+d/dx∫[0→x](te^t)dt
ここで
A=d/dx∫[0→x](xe^t)dt
B=d/dx∫[0→x](te^t)dt
とおくと、
Bについては(1)の関係式より、
B=xe^x
となることは機械的にできますが、
A=d/dx{x∫[0→x](e^t)dt} … (*)
=d/dx([xe^t][0→x])
=d/dx{x(e^x−1)}
=e^x(1+x)−1
ゆえに、
d/dx∫[0→x]{(x+t)e^t}dt＝A+B
= e^x(1+x)−1+ xe^x
=2xe^x+e^x−1
のようにAの(*)について、
(1)より定積分∫[a→x]f(t)dtはxの関数であるのにもかかわらず、なぜxは定数扱いされるのでしょうか？

なぜ、
d/dx∫[0→x]{(x+t)e^t}dt=(x+x)e^x
=2xe^x
は間違いなのでしょうか？
No.26508 - 2014/06/02(Mon) 09:51:31
☆ Re: 定積分で表された関数 / ヨッシー
結論から言うと、
　(d/dx)∫[a→x]f(t)dt=f(x)
が使えるのは、f(t) がｘとは関係のない式である場合です。
もともと f(x) という式のｘをｔに置き換えたのが f(t) なので、
ｘが残っている事自体おかしいことなのです。

f(x) の原始関数の一つを F(x) とおくと、
　(d/dx)∫[a→x]f(t)dt＝(d/dx){F(x)−F(a)}＝f(x)
となるわけですが、f(t) にｘが含まれていては、
F(x) を微分して f(x) という関係が崩れてしまいます。
No.26512 - 2014/06/02(Mon) 16:03:09
★ 指数 / a
³√６³√１２を簡単にしなさいという問題です。

³√６・１２まではわかるのですが、

³√２³・３²というのがわかりません。

³√２³・３²となるのか教えてください。
No.26477 - 2014/06/01(Sun) 20:41:16
☆ Re: 指数 / みずき
6と12を素因数分解します。
6*12=(2*3)*(2^2*3)=(2*2^2)*(3*3)=2^(1+2)*3^(1+1)=2^3*3^2
No.26478 - 2014/06/01(Sun) 20:46:00
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