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★ (No Subject) / リュウシュンチ
この問題がわからなくて、教えてください。よろしくお願いします
No.26725 - 2014/06/09(Mon) 01:06:15
☆ Re: / みずき
問１
y=f(x)=x^2+x+a=(x+1/2)^2+a-1/4
なので頂点は(-1/2,a-1/4)です。

2つの場合が考えられます。
１：頂点が正方形の内部にあるとき
頂点がy=1より下でy=-1より上になくてはいけないので
a-1/4＜1かつa-1/4＞1
逆にこのとき確かに条件を満たします。
これを解くと、-3/4＜a＜5/4

２：頂点が正方形の外部にあるとき
このとき頂点はy=-1より下にあるので、
a-1/4＜-1
放物線がCより下にないといけないので、
f(-1)＜-1⇔a＜-1
放物線がDより上にないといけないので、
f(1)＞-1⇔a＞-3
逆にこのとき、条件を満たします。
よって、これらを解いて、-3＜a＜-1

問2
まず、頂点がy=1より下になくてはいけないので
a-1/4＜1
放物線がBより下になくてはいけないので、
f(-1)＜1⇔a＜1
放物線がAより上になくてはいけないので、
f(1)＞1⇔a＜-1
これらより、-1＜a＜1・・・A

Pのy座標は1なので、
x^2+x+a=1⇔x^2+x+a-1=0
Pのx座標は2解の大きい方だから、
x=(-1+√(-4a+5))/2
一方、Q(-1,a)

Qを通りx軸に平行な直線とPを通りy軸に平行な直線との交点を
Rとするとき、△PQRは、1:2:√3の直角三角形。
PR:RQ=1:√3により、
1-a:(-1+√(-4a+5))/2+1=1:√3
これを整理すると、
3a^2-(5-√3)a+2-√3=0
∴a=1,(2-√3)/3
このうち、Aを満たすのは、a=(2-√3)/3
No.26728 - 2014/06/09(Mon) 01:47:33
★ (No Subject) / ヨシ
この問題２をどうすれば解けるのかが分からなくて、教えてください。
No.26724 - 2014/06/09(Mon) 01:04:18
☆ Re: / みずき
(1)
出た目の積が奇数⇔2回とも奇数が出る、ですね。

(2)
出た目の積が5で割り切れる⇔少なくとも1回5の目が出る
なので、余事象を考えると、答えは、
1-｢5が1回も出ない確率｣です。

(3)
(2)の答えをAとすると、答えは、5A+(-2)(1-A)です。
No.26727 - 2014/06/09(Mon) 01:18:18
★ (No Subject) / リュウシュンチ
この問題２が全然分からなくて、先生たちに聞いてもらいたいんです。どうぞよろしくお願いします。
No.26723 - 2014/06/09(Mon) 01:03:03
☆ Re: / みずき
x+1≧0のとき、y=(x+1)+1=x+2
x+1＜0のとき、y=-(x+1)+1=-x
ですから、
x^2+ax+b=x+2⇔x^2+(a-1)x+b-2=0
の判別式が0により、
(a-1)^2-4(b-2)=0・・・A

x^2+ax+b=-x⇔x^2+(a+1)x+b=0
の判別式が0により、
(a+1)^2-4b=0・・・B

A、Bを連立させるとa,bが求まります。
最後に、その(a,b)が十分かの確認が必要です。
No.26726 - 2014/06/09(Mon) 01:12:34
★ (No Subject) / tt
写真の赤線のところの発想は無理だと思うのですが(普通に地道にやる方法が自然だと思います)、赤線のような処理は二項間漸化式において有効な操作であるという事実でもあるのでしょうか？そうでなければこの解答を思いつくのは至難の技でしょう。
No.26717 - 2014/06/08(Sun) 21:13:52
☆ Re: / みずき
> 赤線のような処理は二項間漸化式において有効な操作であるという事実でもあるのでしょうか？

nをn+1に置き換えてから、引き算をするという
操作（発想）は有効なことが多いと思いますね。
定数項は必ず消えてくれるわけですから。

今の場合は、うまいこと因数分解できていますが、
これは、因数分解が可能なように問題が作られている
というところだと思います。

# おそらく学コンの問題ですよね。
解説の手法をストックしていこう、で良いと思います。
解説の方法が「至難の業」に思えることがあるかもしれませんが、
続けていけば、徐々に感じ方も変わってくると思いますよ。
No.26719 - 2014/06/08(Sun) 21:46:30
★ (No Subject) / あ
ある仮定をすると命題が成り立つ ゆえに仮定は正しいというのはだめですか？また、それはなぜでしょうか。
No.26713 - 2014/06/08(Sun) 20:57:12
☆ Re: / みずき
仮定Aのもとで、命題Bが成り立つことが示されたとき、
「AならばB」が真であることが示されただけです。
『「AならばB」が真である』ことと「Aが正しい」ことには
何の関係もありません。
No.26715 - 2014/06/08(Sun) 21:06:36
☆ Re: / IT
横から失礼します。
[ある仮定]をすると「命題」が成り立つ ゆえに仮定は正しいというのはだめ　です。

[ある仮定]とその「命題」が同値の場合を考えれば分かると思います。

ただし、
「Aが偽」のとき「AならばB」は真です。ので、
『「AならばB」が真である』ことと「Aが正しい」ことには何の関係もない。とまでは言えないと思います。
No.26720 - 2014/06/08(Sun) 22:54:41
☆ Re: / みずき
> ITさん

もちろん、
『「AならばB」が真である』ことと「Aが正しくない」ことには
関係がありますね。

私は次の2つに言及したつもりでした。
１．｢AならばBが真｣ならば｢Aは真｣、とは言えない。
２．｢Aが真｣ならば｢AならばBは真｣、とは言えない。

ただ、私の書き方だと、

『「AならばB」が真である』ことと
「Aが正しいかどうか」には何の関係もありません。

と読めてしまうかもしれませんね。
そういう意味では、他の言い方の方がベターでしたね。
ご指摘ありがとうございました。

> あさん

誤解を与えたならば、失礼しました。
No.26722 - 2014/06/09(Mon) 00:04:31
★ (No Subject) / tt
これを求めるのはむりですよね？
No.26712 - 2014/06/08(Sun) 19:51:31
☆ Re: / 黄桃
xの動く範囲に区間[-1,1]が含まれていなくて、f(k)がkに関して[-1,1]で連続であれば、∫[-1,1] f(k)/(k-x)^2 dk になるでしょう。
微分　積分　順序交換
あたりで検索してください（高校の範囲は越えてますが、連続性、偏微分の記号の意味、平均値の定理くらいの知識で証明は追えると思います）。
そうでない場合は、状況による、としかいえないと思います。
No.26718 - 2014/06/08(Sun) 21:22:53
★ (No Subject) / リュウシュンチ
この確率の問題はあまりわかりません。
No.26702 - 2014/06/08(Sun) 17:22:36
☆ Re: / みずき
問題文のうち、
「点Pはx軸の正の方向に」のあとが読みづらいですが、
「点Pはx軸の正の方向に1だけ移動し」で正しいでしょうか？
No.26704 - 2014/06/08(Sun) 17:52:05
☆ Re: / リュウシュンチ
はい、そうです。
No.26706 - 2014/06/08(Sun) 17:56:38
☆ Re: / みずき
3の倍数は、3,6の2通りです。

(1)
3の倍数が3回だけ出ればよく、その3の倍数が
何回目にでるかで4C3通りの場合があるので、
求める確率は、(2/6)^3*(4/6)*4C3=8/81

(2)
x座標がkになっているので、3の倍数がk回出ています。
よって、3の倍数でない数は、4-k回出るので、
到達しうる点は、(k,4-k) (0≦k≦4)と表され、全部で5個です。

(3)
p_3は(1)ですでに求めました。
p_0=(4/6)^4=16/81
p_1=(2/6)*(4/6)^3*4C3=32/81
p_2=(2/6)^2*(4/6)^2*4C2=24/81
p_4=(2/6)^4=1/81

よって、p_kの最大値は32/81で、最小値は1/81です。

(3)
3の倍数を○、3の倍数でない数を×とするとき
○×○×
○××○
×○○×
×○×○
の4通りだから、
4*(2/6)^2*(4/6)^2=16/81
No.26708 - 2014/06/08(Sun) 18:12:46
☆ Re: / リュウシュンチ
4C3 の意味あまりわかりません、もうちょっと詳しく説明してくださいますか？
No.26709 - 2014/06/08(Sun) 18:27:39
☆ Re: / リュウシュンチ
すみませんですか、4C3って何ですか？
No.26710 - 2014/06/08(Sun) 18:33:32
☆ Re: / みずき
> 4C3って何ですか？

4個の異なるものから順序を考えずに3個取り出す選び方の総数です。
教科書等で定義を確認しましょう。

> 4C3 の意味あまりわかりません、もうちょっと詳しく説明してくださいますか？

(1)のp_3について詳しく説明します。

3の倍数が3回出て、3の倍数でない数が1回出ますよね。
そこで、3の倍数を○、3の倍数でない数を×とします。
すると、3の倍数○は、4回のうちのどこか3回に出れば良いので、
次のように場合の数は4C3=4です。

○○○×
○○×○
○×○○
×○○○

3の倍数でない数×が、4回のうちどこかに1回出ると考えて
場合の数は4C1と考えてもよいです。
4C3=4C1ですから、もちろん答えは同じになります。
No.26711 - 2014/06/08(Sun) 18:35:15
☆ Re: / リュウシュンチ
はい、ありがとうございます。
No.26716 - 2014/06/08(Sun) 21:10:13
★ (No Subject) / リュウシュンチ
どうして　△DEF={1-3k(1-k)}△ABC　ですか？これがあまりわかりません。
No.26701 - 2014/06/08(Sun) 17:20:39
☆ Re: / みずき
> どうして　△DEF={1-3k(1-k)}△ABC　ですか？これがあまりわかりません。

△DEF=△ABC-△ADF-△BED-△CFE
というのはよろしいですよね？

ここで、
△ADF=△BED=△CFE=k(1-k)△ABC
が成り立ちます。
ご質問の本質部分はここではないかと推測しますので、
この部分を説明します。

△ADF=k(1-k)△ABCを説明します。
△ADC=△ABC*AD/AB=△ABC*k
△ADF=△ADC*AF/AC=△ADC*(1-k)
というのを合わせて、
△ADF=△ADC*(1-k)=(△ABC*k)*(1-k)=k(1-k)△ABCです。

他も同様です。

# 問題文の中に読みづらい（というかほぼ読めない）場所がありますね。
写真で問題文を撮る際に、本の中央部分にご注意ください。
No.26703 - 2014/06/08(Sun) 17:43:49
☆ Re: / リュウシュンチ
はい、分かりました。ありがとうございます。
No.26707 - 2014/06/08(Sun) 17:58:01
★ 数三 / あきっこ
二つの関数 f(x)＝xsinx、g(x)＝√3xcosxについて次の問いに答えよ。ただし、(3)(4)において、aおよびh(x)は(2)で定めたものとする。

（1）2曲線y＝f(x)、y＝g(x)の共有点のうち、x座標が-π≦x≦πであるものをすべて求めよ。

（2）（1）で求めた共有点のうち、x座標が正である点をA(a、f(a))とする。点Aにおける曲線y＝g(x)の接線をy＝h(x)と表す。h(x)を求めよ。

（3）0≦x≦aのとき、h(x)≧g(x)であることを示せ。

（4）0≦x≦aの範囲において、y軸、曲線y＝g(x)、および直線y＝h(x)で囲まれた部分の面積を求めよ。

についてなのですがよろしくお願いします。
No.26694 - 2014/06/08(Sun) 09:19:04
☆ Re: 数三 / X
(1)
問題の共有点のx座標について
xsinx=√3xcosx
これより
x(sinx-√3cosx)=0
2xsin(x-π/3)=0
∴x=0 (A)
または
sin(x-π/3)=0 (B)
ここで
-π≦x≦π
より
-4π/3≦x-π/3≦2π/3
∴(B)よりx-π/3=0
以上から
x=0,π/3
∴共有点の座標は(0,0),(π/3,(π/6)√3)
No.26695 - 2014/06/08(Sun) 09:34:59
☆ Re: 数三 / X
(2)
g'(x)=√3cosx-√3xsinx
∴(1)の結果により
h(x)=g'(π/3)(x-π/3)+g(π/3)
=(√3/2-π/2)(x-π/3)+(π/6)√3
=(√3/2-π/2)x+(1/6)π^2

(3)
F(x)=h(x)-g(x)
と置いて0≦x≦π/3におけるF(x)の増減表を描きましょう。

(4)
(3)の結果により面積を求める範囲である
0≦x≦π/3
においてy=h(x)のグラフはy=g(x)のグラフより上側にあるので
求める面積をSとすると
S=∫[0→π/3]{h(x)-g(x)}dx
=∫[0→π/3]{(√3/2-π/2)x+(1/6)π^2-√3xcosx}dx
=∫[0→π/3]{(√3/2-π/2)x+(1/6)π^2}dx-∫[0→π/3]√3xcosxdx
=…
(第2項の積分には部分積分を使います。)
No.26696 - 2014/06/08(Sun) 09:45:32
☆ Re: 数三 / あきっこ
ありがとうございます。助かりました♪
No.26744 - 2014/06/09(Mon) 10:14:19
★ 高1です。 / M555
a,bは実数で, a+b=x, ab=2 を満たしている。
(1) a^2+b^2をxで表せ。
(2)a^2+b^2+3a+3b=0を満たすとき，xの値を求めよ。またこのとき(a-b)^2の値を求めよ。
(3) (2)のとき，a^2+a+1+2/a+4/a^2の値を求めよ。

解き方が分からないです…
宜しくお願いします！
No.26687 - 2014/06/07(Sat) 23:05:38
☆ Re: 高1です。 / X
a+b=x (A)
ab=2 (B)
とします。
(1)
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
これに(A)(B)を代入して
a^2+b^2=x^2-4

(2)
前半)
a^2+b^2+3a+3b=0
より
a^2+b^2+3(a+b)=0
これに(1)の結果と(A)を代入すると
x^2-4+3x=0
これより
x=-4,1 (A)'
ここで解と係数の関係からa,bはtの二次方程式
t^2-xt+2=0 (C)
の解であり(C)の解の判別式をDとすると
D=x^2-8 (D)
更にa,bが実数であることに注意すると
x=-4のときはD=8＞0となり問題なし。
x=1のときはD=-7＜0となり不適。
以上からx=-4

後半)
(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=x^2-8
これに前半の結果を代入して
(a-b)^2=8

(3)
(2)の前半の過程によりa,bはtの二次方程式
t^2+4t+2=0 (C)'
の解であることをまず押さえます。
しかしこれを解いてaの値を求めて問題の式に代入するのは
ちょっと面倒です。
(aの値が二つ求められますので、それぞれについて
計算する必要ができてしまいます。)
そこで別の方針を考えます。
aは(C)'の解ですので
a^2+4a+2=0 (C)"
ここで(C)"において少なくともa≠0ですので
両辺をaで割ると
a+4+2/a=0
∴a+2/a=-4
よって
a^2+a+1+2/a+4/a^2
=(a^2+4+4/a^2)+(a+2/a)-3
=(a+2/a)^2+(a+2/a)-3
=9
No.26688 - 2014/06/07(Sat) 23:30:28
★ 接線and帰納法 / ふぇるまー
問1:関数y=x^3+2のグラフに点C（1,2）から引いた接線の方程式=?
問2:nが2以上の自然数の時、xの整式x^n-nx+(n-1)+(x-1)^2で割り切れることを、数学的帰納法によって証明せよ。
以上2問教えて下さい。
No.26685 - 2014/06/07(Sat) 22:04:23
☆ Re: 接線and帰納法 / X
問1
y=x^3+2 (A)
より
y'=3x^2
∴(A)上の点(t,t^3+2)における接線の方程式は
y=(3t^2)(x-t)+t^3+2
これが点(2,1)を通ることからtについての方程式を
立てて解きます。

問2
>>x^n-nx+(n-1)+(x-1)^2で割り切れる
を
x^n-nx+(n-1)は(x-1)^2で割り切れる
のタイプミスと見て回答を。

(i)n=2のとき
x^n-nx+(n-1)=(x-1)^2
となるので命題は成立
(ii)
n=k(k≧2)のとき命題が成立する、つまり
x^k-kx+(k-1)=g(x)(x-1)^2 (A)
(g(x)は整式)
と表すことができると仮定します。
n=k+1のとき
x^n-nx+(n-1)=x^(k+1)-(k+1)x+k
=x・x^k-(k+1)x+n (B)
(A)を用いて(B)からx^kを消去すると
x^n-nx+(n-1)=kx^2-(k-1)x-x(x-1)^2+xg(x)(x-1)^2
-(k+1)x+k
=kx^2-2kx+k-x(x-1)^2+xg(x)(x-1)^2
=k(x-1)^2-x(x-1)^2+xg(x)(x-1)^2
={k-x+xg(x)}(x-1)^2
となり、このときも命題は成立。

以上から問題の命題は成立します。
No.26686 - 2014/06/07(Sat) 22:29:17
☆ Re: 接線and帰納法 / ふぇるまー
X先生、ありがとうございます。ﾀｲﾌﾟﾐｽでした。すいません。
No.26689 - 2014/06/07(Sat) 23:32:18
★ (No Subject) / ヒキニート
すいません。今月の学コンの4番の問題なのですが、

nを自然数、a,bを実数とする。x≧0で定義された連続関数fn(x)を次のように定める。
x＞0のとき
fn(x)＝ (ax^(n+1)+b)/(x^n + 1) -log(3x^n + 1)/log(x^n + 1)

x=0のとき
fn(x)＝ 0

(1)b の値を求めよ。
(2)0以上の実数xに対して
f(x)＝lim[n→∞]fn(x)とおく。x≧0で定義された関数f(x)が連続となるようなことはあるか。あるならばそのときのf(x)を求めよ。


という問題で、log(3x^n + 1)/log(x^n + 1)の極限値を僕はロピタル定理で求めて1になったのですが、数学の先生に聞いたところ、3になると言われました。

締め切り直前までずっと考えたのですが、どうして3になるのですか？またロピタル定理を使わないやり方があるのですか？
些細なヒントなどでかまいません。
No.26676 - 2014/06/07(Sat) 16:56:13
☆ Re: / みずき
答案の締め切り日は6月9日ですよ。
少なくともあと2日、自力で考えましょう。
ここに質問するのは、10日以降にすべきだと思います。
No.26677 - 2014/06/07(Sat) 17:01:32
☆ Re: / ヒキニート
微分ミスってることに今気づきました。
No.26684 - 2014/06/07(Sat) 22:02:20
★ (No Subject) / tt
α+β=1/4,αβ=5/12について、
(α^n-β^n)/α-βは求められるでしょうか。
No.26673 - 2014/06/07(Sat) 15:08:29
☆ Re: / らすかる
条件からα,βはx^2-(1/4)x+5/12=0の2解すなわち
(3+i√231)/24,(3-i√231)/24なので
{(α^n-β^n)/α}-β ならば
{{(3+i√231)/24}^n-{(3-i√231)/24}^n}/{(3+i√231)/24}-(3-i√231)/24
または
{{(3-i√231)/24}^n-{(3+i√231)/24}^n}/{(3-i√231)/24}-(3+i√231)/24
(α^n-β^n)/(α-β) ならば
{{(3+i√231)/24}^n-{(3-i√231)/24}^n}/{(3+i√231)/24-(3-i√231)/24}
={{(3+i√231)/24}^n-{(3-i√231)/24}^n}/{(i√231)/12}
No.26679 - 2014/06/07(Sat) 17:56:55
★ (No Subject) / ヒキニート
x^6+y^6+z^6+3xyzを満たす整数x,y,zを求めよ。
No.26670 - 2014/06/07(Sat) 12:09:32
☆ Re: / X
問題文にタイプミスはありませんか？
No.26671 - 2014/06/07(Sat) 13:09:33
☆ Re: / ヒキニート
数学甲子園の問題なのですが、見た限りないです。
No.26672 - 2014/06/07(Sat) 15:03:46
☆ Re: / ヨッシー
たとえば、
ｘ＋ｙ　を満たす整数ｘ、ｙ を求めよ、
と言われたら、答えられますか？

さらに言うなら、
ｘ　を満たす整数ｘを求めよ、
はどうですか？
No.26674 - 2014/06/07(Sat) 15:14:00
☆ Re: / ヒキニート
すいません。ミスに気づきませんでした。
x^6+y^6+z^6=3xyzでした。
No.26675 - 2014/06/07(Sat) 15:42:23
☆ Re: / みずき
ちょっと天下り的ですが、
x^6+y^6+z^6-3*x^2*y^2*z^2
=(x^2+y^2+z^2)*(1/2)*{(x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2}≧0
により、
x^6+y^6+z^6≧3*x^2*y^2*z^2
⇒3xyz≧3*x^2*y^2*z^2
⇒xyz(xyz-1)≦0
⇒0≦xyz≦1
⇒xyz=0,1

xyz=0のときは、x,y,zのうち少なくとも1つ0だが、
たとえばz=0として、x^6+y^6=0より、x=y=0
他の場合も同様だから、このとき、x=y=z=0のみ。

xyz=1のときは、|x|=|y|=|z|=1で、
「すべて正」または「正1つ、負2つ」
よって、(x,y,z)=(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)

まとめると、答えは以下ですべて
(x,y,z)=(0,0,0),(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)
No.26678 - 2014/06/07(Sat) 17:35:50
☆ Re: / IT
（別解）
max(|x|,|y|,|z|)=m≧2のとき　|左辺|≧m^6=(2^3)(m^3),|右辺|≦3(m^3)　よって|左辺|＞|右辺|となり不適。

したがってmax(|x|,|y|,|z|)≦1
後は同様です。
No.26680 - 2014/06/07(Sat) 18:23:18
★ 接線 / ふぇるまー
問次の曲線の接線で、与えられた点を通るものの方程式を求めよ。また、その接点の座標も求めよ。
?@　y=-x^3+4 (2,4)
?A　y=x^3-3x-1 (0,0)
よろしくお願い致します。
No.26668 - 2014/06/07(Sat) 00:27:42
☆ Re: 接線 / みずき
接点を主役にします。

?@
接点を(t,-t^3+4)とすると、
y'=-3x^2により、接線の方程式は、
y-(-t^3+4)=-3t^2・(x-t)
これが点(2,4)を通るので、
4-(-t^3+4)=-3t^2・(2-t)
これを解くと、t=0,3

?A
?@と同様なので、ご自身で挑戦されてはいかがでしょう。
No.26669 - 2014/06/07(Sat) 00:37:09
☆ Re: 接線 / ふぇるまー
申し訳ないのですが、?Aを自力でやってみましたが、a^3-3a^2-1=0という式が出てそれから解りません。出来れば教えてください。
No.26681 - 2014/06/07(Sat) 20:15:08
☆ Re: 接線 / みずき
> 申し訳ないのですが、?Aを自力でやってみましたが、a^3-3a^2-1=0という式が出てそれから解りません。出来れば教えてください。

接点のx座標をaとしたのでしょうか？
そうだとすると、a^3-3a^2-1=0とはなりませんね。
途中式を書いてもらえれば、どこで間違えたのか
指摘できると思います。
No.26682 - 2014/06/07(Sat) 20:33:58
☆ Re: 接線 / ふぇるまー
接点のx座標をaとし、接点を(a,a^3-3a^2-1)とおく。
接線の方程式はy-(a^3-3a^2-1)=(3x^2-3x)(x-a)
これが(0,0)を通るので、y=3x^3-3x^2a-3x^2+3ax+a^3-3a^2-1
∴0=a^3-3a^2-1となりました。
どうぞご指摘ください。お願いします。
No.26683 - 2014/06/07(Sat) 21:56:42
☆ Re: 接線 / みずき
> 接点のx座標をaとし、接点を(a,a^3-3a^2-1)とおく。

?Aでは、y=x^3-3x-1となってしますが？
y=x^3-3x^2-1なのですか？

> 接線の方程式はy-(a^3-3a^2-1)=(3x^2-3x)(x-a)

y=x^3-3x^2-1だとしてもy'=3x^2-6xですし、
接線の傾きは、3x^2-6xではなくて3a^2-6aです。
No.26690 - 2014/06/07(Sat) 23:36:37
☆ Re: 接線 / ふぇるまー
解りました。ありがとうございます。凡ﾐｽでした。
No.26691 - 2014/06/08(Sun) 00:31:18
★ 証明問題 / f
xy平面上にn個の点が与えられているとき、そのうちの2点を対角線の両端とする各軸がx軸、y軸に平行な長方形はその内部または境界上に少なくとも[(n+1)/5]+1個の点を含む

全くわからないので教えてください
No.26664 - 2014/06/06(Fri) 17:18:46
☆ Re: 証明問題 / ヨッシー

何か条件が抜けているのでしょうか？
n=9 のときは ３個の点を含む、のはずですが、境界上の２個しかありません。
No.26665 - 2014/06/06(Fri) 18:08:30
☆ Re: 証明問題 / みずき
問題文がちょっとおかしいと思います。
細かいところも含めて修正すると、次のような問題ではないでしょうか。

「xy平面上にn個の点が与えられているとき、
次の条件を満たすような2点が存在することを示せ。

条件：n個の点から2点を選び、その2点を対角線の両端とする、
各辺がx軸、y軸に平行な長方形を作るとき、
その長方形の内部または境界上に少なくとも[(n+1)/5]+1個の点がある」

> fさん

現状のままでは、ヨッシーさんが指摘されたように
意味をなさない問題と解釈できてしまう可能性を残すと思います。
（具体的には「どの2点に対しても」と解釈できてしまう）
一方、私が書いた修正版では、一応意味が通る問題のように思われますが。
（修正版では「ある2点が存在して」と解釈した）
No.26666 - 2014/06/06(Fri) 18:23:16
☆ Re: 証明問題 / IT
こちらに有効な回答が付いているようですね。
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=18869
No.26667 - 2014/06/06(Fri) 23:58:42
★ (No Subject) / リュウシュンチ
問題（２）教えてください、よろしくお願いします。
No.26659 - 2014/06/06(Fri) 12:44:09
☆ Re: / X
(1)の過程と同様の方針により
△DEF={1-3k(1-k)}△ABC
よって条件により
1-3k(1-k)=1/2
これより
k(1-k)=1/6 (A)
(A)をkについての二次方程式と見て
0＜k≦1/2
に注意して解くことにより
k=(3-√3)/6
No.26663 - 2014/06/06(Fri) 13:51:17
☆ Re: / リュウシュンチ
どうして　△DEF={1-3k(1-k)}△ABC　ですか？
No.26698 - 2014/06/08(Sun) 16:50:26
★ 確率の問題 / リュウシュンチ
問題（２）を教えてください,よろしくお願いします
No.26658 - 2014/06/06(Fri) 12:42:45
☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー
３の倍数が出る事象をＡ、それ以外をＢとすると、
４回投げるので、
Ａ４回、Ｂ０回　→(4,0)
Ａ３回、Ｂ１回　→(3,1)
Ａ２回、Ｂ２回　→(2,2)
Ａ１回、Ｂ３回　→(1,3)
Ａ０回、Ｂ４回　→(0,4)
の５回（Ｄ）となり、ｘ座標をｋとすると、ü座標は４（Ｅ）−ｋ
であり、ｋの範囲は０（Ｆ）≦ｋ≦４（Ｇ）
Ａの起こる確率1/3、Ｂの起こる確率 2/3 より、上の５通りに、確率をそれぞれ記入すると
Ａ４回、Ｂ０回　→(4,0)　：　4Ｃ4(1/3)^4(2/3)^0＝1/81
Ａ３回、Ｂ１回　→(3,1)　：　4Ｃ3(1/3)^3(2/3)^1＝8/81
Ａ２回、Ｂ２回　→(2,2)　：　4Ｃ2(1/3)^2(2/3)^2＝24/81
Ａ１回、Ｂ３回　→(1,3)　：　4Ｃ1(1/3)^1(2/3)^3＝32/81
Ａ０回、Ｂ４回　→(0,4)　：　4Ｃ0(1/3)^0(2/3)^4＝16/81
以上より、最大値は32/81, 最小値は 1/81
No.26660 - 2014/06/06(Fri) 13:35:32
☆ Re: 確率の問題 / リュウシュンチ
私はこの公式があまりわかりません。
No.26700 - 2014/06/08(Sun) 17:18:08
★ (No Subject) / リュウシュンチ
問題(1)(2)を教えてください,よろしくお願いします。
No.26657 - 2014/06/06(Fri) 12:40:04
☆ Re: / X
(1)
条件から四角形AOBDは円O'に内接し、更に
点CはBOの延長線上にあることから
∠AOC=∠ADB
このことと∠OCDが共通であることから
△OCA∽△ACD (A)
(A)により相似比を使ってCDの長さを求めてみましょう。

(2)
条件からBCは円Oの直径ですので円周角により
∠BAC=90°
従って
∠BAD=90°
ですので円周角によりBDは円O'の直径になります。
以上のことから、
まず△ABCに三平方の定理を適用してABの長さを求めます。
この結果と(1)の結果から△ABDに三平方の定理を適用して
BDの長さを求め、結果を2で割ります。
No.26661 - 2014/06/06(Fri) 13:36:09
☆ Re: / リュウシュンチ
解けました、ありがとうございます。
No.26699 - 2014/06/08(Sun) 17:01:50
☆ Re: / リュウシュンチ
でも、どうして四角形AOBDが円O'に内接して、CがBOの延長線上にあったら、∠AOC=∠ADBですか？
No.26705 - 2014/06/08(Sun) 17:55:53
☆ Re: / X
四角形AOBDが円O'に内接していることから
∠ADB+∠AOB=180° (A)
一方CはBOの延長線上にありますので
∠AOC+∠AOB=180° (B)
(A)-(B)より
∠ADB-∠AOC=0
よって
∠AOC=∠ADB
です。
(教科書か参考書の円周角の項目に掲載されていると
思います。調べてみて下さい。)
No.26721 - 2014/06/08(Sun) 23:12:32
★ 接線の問題 / ふぇるまー
問1:2つの放物線y=x^2、y=-x^2+6x-5の共通接線の方程式=?
問2:曲線y=x^3+ax+1が直線y=2x-1に接するように、定数aの値を定めよ。
こちらの2題を教えて下さい。
※問2は私、3次関数を習っておりませんので、3次関数の関係でないやり方を教えて下さるとありがたいです。
No.26653 - 2014/06/05(Thu) 21:56:48
☆ Re: 接線の問題 / ヨッシー
問1
接線の式を　y=ax+b とします。
y=x^2 と連立させた　x^2-ax-b＝0 の判別式　a^2−4b＝0
y=-x^2+6x-5 と連立させた　x^2＋(a-6)x＋(b+5)＝0 の判別式　(a-6)^2−4b−20＝0
4b＝a^2 を代入して、
　(a-6)^2−a^2−20＝0
これを解いて、a=4/3, b=4/9

問2
両者を連立させた
　x^3＋(a-2)x＋2＝0
が、(x-m)^2(x-n)＝0 の形になれば、両者は接すると言えます。
展開して
　x^3−(2m+n)x^2＋(m^2+2mn)x−m^2n＝0
x^3＋(a-2)x＋2＝0 と係数比較して
　2m+n=0, m^2+2mn＝a-2, m^2n＝-2
これを、m,n,a が実数の範囲で解くと、
　m=1, n=-2, a=-1
No.26654 - 2014/06/05(Thu) 23:16:03
☆ Re: 接線の問題 / ふぇるまー
なるほど！判別式を使うのですね。ご教授ありがとうございました！
No.26655 - 2014/06/05(Thu) 23:18:03
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