同値変形でここまできたのですが、これって詰んでますか？
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No.25770 - 2014/05/03(Sat) 11:43:42
| ☆ Re: / みずき | | | 次のようにできると思います。
R(X,Y)とおいて、α、βをX,Yで表してみます。
α+β=2X,kαβ=Y
ところで、α=0とすると○1から不合理を導く。
β=0としても○2から不合理を導く。
よって、α≠0、β≠0
○1
⇔1/2+k*(kα)*(α+β)=0
⇔1/2+k*(Y/β)*(2X)=0
⇔β=-4kXY
○2
⇔3/4+k*(kβ)*{α+(α+β)}=0
⇔3/4+k*(Y/α)*(α+2X)=0
⇔(3+4kY)α=-8kXY
（3+4kY=0とすると、X=0からβ=0を
導き不合理。よって、3+4kY≠0だから）
⇔α=-8kXY/(3+4kY)
以上により、α、βをX,Yで表せました。
よって、
2X=α+β
⇔2X=-8kXY/(3+4kY)+(-4kXY)
⇔2X(4kY+1)(2kY+3)=0
（X=0とするとβ=0となり不合理だからX≠0）
⇔(4kY+1)(2kY+3)=0
⇔Y=-1/(4k),-3/(2k)
（k=0とするとβ=0となり不合理だからk≠0）
Y=-1/(4k)のとき、α=β=Xとなり
Y=kαβからX^2=-1/(4k^2)を導くが、
これを満たす実数Xは存在せず不適。
Y=-3/(2k)のとき、α=-4X,β=6Xとなり
Y=kαβからX^2=1/(16k^2)を導く。
これを解いて、X=±1/(4|k|)
ところで、α＜βなので、
-8kXY/(3+4kY)＜-4kXY ・・・A
を満たしている必要がある。
(X,Y)=(1/(4|k|),-3/(2k))の場合、任意のk(≠0)に対してAが成立して十分。
(X,Y)=(-1/(4|k|),-3/(2k))の場合、Aを満たす実数kは存在せず不適。
以上により、R((α+β)/2,kαβ)=(1/(4|k|),-3/(2k))
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No.25773 - 2014/05/03(Sat) 17:00:14 |
| ☆ Re: / tt | | | 回答ありがとうございます。
このような二次のαβが混同している連立方程式というのは、一般にどういう手順で処理するのが有効でしょうか？
やはりαとβを求めるしかないのですか？
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No.25774 - 2014/05/03(Sat) 19:05:38 |
| ☆ Re: / IT | | | （別解）やはりα、βを求めます
t=k^2とおく ※表記を簡単にするためです
tα^2+ tαβ+1/2=0 …(1)
tβ^2+2tαβ+3/4=0 …(2)
t=k^2≧0でありt=0は不適なのでt＞0である。またαβ＜0であるからα＜βよりα＜0＜βである。
(1)より-tα^2= tαβ+1/2,(2)より-tβ^2=2tαβ+3/4
辺辺掛け合わせると (t^2)(α^2)(β^2)=(tαβ+1/2)(2tαβ+3/4)
展開して整理し(t^2)(αβ)^2+(7/4)tαβ+3/8=0
(tαβ+1/4)(tαβ+3/2)=0 よってαβ=-1/(4t),-3/(2t)…(3)
(2)より,tαβ=-3/4-tβ^2≦-3/4,αβ≦-3/(4t)
よって(3)よりαβ=-3/(2t)
これを(1),(2)に代入
tα^2-3/2+1/2=0,よってα^2=1/t,α＜0なのでα=-1/|k|
tβ^2-3+3/4=0,よってβ^2=9/(4t),β＞0なのでβ=3/(2|k|)
このα、βは(1),(2),α＜βをみたす。（αβ=-3/(2t)なることを確認すればいい）
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No.25776 - 2014/05/03(Sat) 19:36:27 |
| ☆ Re: / みずき | | | > このような二次のαβが混同している連立方程式というのは、一般にどういう手順で処理するのが有効でしょうか？
> やはりαとβを求めるしかないのですか？
そうとは限らないと思います。
たとえば、次の問題の場合、αとβを求める必要はありませんね。
「(α+β)^2-kαβ=0・・・○1
kαβ=2(α+β)-1・・・○2
残りはすべて本問と同様とする。」
(2X-1)^2=0より、X=1/2,Y=1と分かります。
つまり、うまいことα+βあるいはαβに関する方程式が
作れる場合は、α、βを求める必要がないことがあります。
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No.25777 - 2014/05/03(Sat) 19:59:54 |
| ☆ Re: / tt | | | みずきさん、ITさん、回答ありがとうございました。
もう少し疑問があるので回答頂けると嬉しいです。
実は元ネタは写真の(1)で、P、Qのx座標をそれぞれα、βとおいて、
直角三角形⇔角P=90度かつPQ=PRを元に同値変形したものが先に示したものです。
このとき、お二人方が示したように、二つ解がでていますよね？
これは何を意味するのでしょうか？α<βだから一通りなはずなのですが、、
よろしくお願いします>_<
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No.25778 - 2014/05/03(Sat) 20:18:09 |
| ☆ Re: / みずき | | | > 直角三角形⇔角P=90度かつPQ=PRを元に同値変形したものが先に示したものです。
これは「直角二等辺三角形」の間違いですね。
> このとき、お二人方が示したように、二つ解がでていますよね？
> これは何を意味するのでしょうか？α<βだから一通りなはずなのですが、、
二つ解は出ていませんよ。
（もしかして、私の答えとITさんの答えが違いますよね？
ということですか？同じですよ。）
問題文の冒頭に「kを正の実数とする」とありますね。
よって、|k|=kなので、
R((α+β)/2,kαβ)=(1/(4k),-3/(2k))です。
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No.25779 - 2014/05/03(Sat) 20:23:15 |
| ☆ Re: / tt | | | すいません、言葉足らずでした。例えば、みずきさんの回答の途中に因数分解のところがありますよね？片方は条件より不適なのですが、この不適の解にも何かしらの意味があるのではないか？と思ってしましました。もしなんの意味もなければすいません、ただのしょうもない考えなのでスルーして下さい(笑)
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No.25780 - 2014/05/03(Sat) 20:43:13 |
| ☆ Re: / tt | | | あ、因数分解というのはYが答えとして二つでてくるところのことです。すいません。
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No.25781 - 2014/05/03(Sat) 20:44:35 |
| ☆ Re: / みずき | | | Y=-1/(4k)のことだと理解して回答します。
このとき、実数Xが存在しないことが分かります。
X=(α+β)/2ですから、これはすなわち、
このとき、αとβが存在しないことになります。
これは大問題ですよね。よって、省く必要があるわけです。
すなわち、この問題の解としては不適である、ということです。
XとYを相手にしていると図形的意味合いがぼやけますが、
X=(α+β)/2,Y=kαβであることに常に立ち返るようにすれば、
式の意味合いも鮮明になると思います。
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No.25782 - 2014/05/03(Sat) 20:53:37 |
| ☆ Re: / IT | | | 本質の議論とは関係ないですが、下記の解法が簡単ですね
(k^2)α^2+ (k^2)αβ+1/2=0…(1)
(k^2)β^2+2(k^2)αβ+3/4=0…(2) から定数項を消去
(1)×3 - (2)×2, 3(k^2)α^2-(k^2)αβ-2(k^2)β^2=0
k^2＞0なので、3α^2-αβ-2β^2=0,因数分解し(3α+2β)(α-β)=0
α＜βなので3α+2β=0∴β＝-(3/2)α…(3)
(1)に代入、(k^2)α^2-(k^2)(3/2)α^2+1/2=0 ∴α^2=1/(k^2)
(3)とα＜βよりα＝-1/k,β=3/(2k), これは(1)(2)をみたす。
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No.25783 - 2014/05/03(Sat) 21:02:50 |
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