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★ 領域問題 / あいぽん


xy平面で次の不等式を表す領域を図示し、領域面積を求めよ。
｜|x|＋|y|−3｜≦1
No.26515 - 2014/06/02(Mon) 17:57:42
☆ Re: 領域問題 / みずき
||x|+|y|-3|≦1⇔-1≦|x|+|y|-3≦1

（-1≦|x|+|y|-3について）
「x＞0かつy＞0かつ-1≦x+y-3」・・・A
「x＞0かつy≦0かつ-1≦x-y-3」・・・B
「x≦0かつy＞0かつ-1≦-x+y-3」・・・C
「x≦0かつy≦0かつ-1≦-x-y-3」・・・D

（|x|+|y|-3≦1について）
「x＞0かつy＞0かつx+y-3≦1」・・・E
「x＞0かつy≦0かつx-y-3≦1」・・・F
「x≦0かつy＞0かつ-x+y-3≦1」・・・G
「x≦0かつy≦0かつ-x-y-3≦1」・・・H

よって、求める領域は、
「AまたはBまたはCまたはD」かつ「EまたはFまたはGまたはH」

これを図示すれば、領域面積を求められます。
No.26516 - 2014/06/02(Mon) 19:04:25
★ お願いします / あいぽん
xy平面において方程式｜x＋2y｜＋｜3x−2y｜＝4をCとする。
(1) Cの概形は？
(2)点(x,y)がC上を動く時√(x^2＋y^2)の最大、最小を求めよ
No.26514 - 2014/06/02(Mon) 17:56:46
☆ Re: お願いします / みずき
Cは、
「x+2y＞0かつ3x-2y＞0かつ(x+2y)+(3x-2y)=4」または
「x+2y＞0かつ3x-2y≦0かつ(x+2y)-(3x-2y)=4」または
「x+2y≦0かつ3x-2y＞0かつ-(x+2y)+(3x-2y)=4」または
「x+2y≦0かつ3x-2y≦0かつ-(x+2y)-(3x-2y)=4」
を満たす点(x,y)の集合で、ある平行四辺形になります。

(2)は、原点から(1)の平行四辺形上の点までの距離を調べましょう。
最小になるのは、各辺までの距離の最小値、
最大になるのは、各頂点までの距離の最大値となります。
No.26517 - 2014/06/02(Mon) 19:41:18
☆ Re: お願いします / みずき
Cの概形については、
「x+2y＞0かつ3x-2y＞0かつ(x+2y)+(3x-2y)=4」または
「x+2y＞0かつ3x-2y≦0かつ(x+2y)-(3x-2y)=4」または
「x+2y≦0かつ3x-2y＞0かつ-(x+2y)+(3x-2y)=4」または
「x+2y≦0かつ3x-2y≦0かつ-(x+2y)-(3x-2y)=4」
を図示するだけです。

たとえば、
「x+2y＞0かつ3x-2y＞0かつ(x+2y)+(3x-2y)=4」
は、
｢y＞-x/2かつy＜3x/2かつx=1｣
と簡単にできますね。言葉にすると
｢直線y＞-x/2より上の領域でかつ直線y=3x/2より下の領域
で、x=1となる部分｣
ということです。他も同様です。
No.26532 - 2014/06/02(Mon) 23:58:18
☆ Re: お願いします / みずき
少し訂正します。

言葉にすると
｢直線y=-x/2より上の・・・

とすべきでした。
No.26533 - 2014/06/02(Mon) 23:59:38
☆ Re: お願いします / あいぽん
(1)の問題で
?@ x＋2y>0かつ3x−2y>0のとき(x＋2y)＋(3x−2y)＝4
?A〜
?B〜
?C〜
となるんですが、図示するときはそれぞれ4つの直線を書くだけでいいのですか？
場合分けの、左側の条件は図示するときにはどのように考えたらいいのでしょうか？
No.26560 - 2014/06/03(Tue) 09:47:24
☆ Re: お願いします / みずき
> 図示するときはそれぞれ4つの直線を書くだけでいいのですか？
> 場合分けの、左側の条件は図示するときにはどのように考えたらいいのでしょうか？

y=-x/2もy=3x/2も書く必要があります。
そうして、xy平面を4つの領域に分けておいて、各領域に
ついて、条件を満たす(x,y)の集合（たとえばx=1のような）を書き込むわけです。

x＋2y>0かつ3x−2y>0のとき(x＋2y)＋(3x−2y)＝4
というのは、
y>-x/2かつy<3x/2を満たす領域において（もっと強調すれば
この領域だけに着目して、その領域において）x=1という直線を描く
という意味です。
（y>-x/2かつy<3x/2を満たす領域、というのを意識できていますか？）

『各領域は無視してx=1を書いておいて・・・とやると平行四辺形になるようだ』
というのは順序が違います。
No.26596 - 2014/06/03(Tue) 17:59:35
★ 定積分で表された関数 / nadenade
定積分で表された関数について

d/dx=∫[a→x]f(t)dt=f(x) … (1)
ただし、aは定数

の応用問題で、
d/dx∫[0→x]{(x+t)e^t}dt
について求めると、
d/dx∫[0→x]{(x+t)e^t}dt
=d/dx∫[0→x](xe^t)dt+d/dx∫[0→x](te^t)dt
ここで
A=d/dx∫[0→x](xe^t)dt
B=d/dx∫[0→x](te^t)dt
とおくと、
Bについては(1)の関係式より、
B=xe^x
となることは機械的にできますが、
A=d/dx{x∫[0→x](e^t)dt} … (*)
=d/dx([xe^t][0→x])
=d/dx{x(e^x−1)}
=e^x(1+x)−1
ゆえに、
d/dx∫[0→x]{(x+t)e^t}dt＝A+B
= e^x(1+x)−1+ xe^x
=2xe^x+e^x−1
のようにAの(*)について、
(1)より定積分∫[a→x]f(t)dtはxの関数であるのにもかかわらず、なぜxは定数扱いされるのでしょうか？

なぜ、
d/dx∫[0→x]{(x+t)e^t}dt=(x+x)e^x
=2xe^x
は間違いなのでしょうか？
No.26508 - 2014/06/02(Mon) 09:51:31
☆ Re: 定積分で表された関数 / ヨッシー
結論から言うと、
　(d/dx)∫[a→x]f(t)dt=f(x)
が使えるのは、f(t) がｘとは関係のない式である場合です。
もともと f(x) という式のｘをｔに置き換えたのが f(t) なので、
ｘが残っている事自体おかしいことなのです。

f(x) の原始関数の一つを F(x) とおくと、
　(d/dx)∫[a→x]f(t)dt＝(d/dx){F(x)−F(a)}＝f(x)
となるわけですが、f(t) にｘが含まれていては、
F(x) を微分して f(x) という関係が崩れてしまいます。
No.26512 - 2014/06/02(Mon) 16:03:09
★ 指数 / a
³√６³√１２を簡単にしなさいという問題です。

³√６・１２まではわかるのですが、

³√２³・３²というのがわかりません。

³√２³・３²となるのか教えてください。
No.26477 - 2014/06/01(Sun) 20:41:16
☆ Re: 指数 / みずき
6と12を素因数分解します。
6*12=(2*3)*(2^2*3)=(2*2^2)*(3*3)=2^(1+2)*3^(1+1)=2^3*3^2
No.26478 - 2014/06/01(Sun) 20:46:00
★ 共通数列 / ふぇるまー
問:6で割ると3余り、4でわると1余るような3ケタの自然数を小さい順に並べた数列{an}の一般項と項数=?

※やり方が2つあるそうなんですが、できれば互いに素とか使わないやり方が知りたいです。宜しくお願い致します。
No.26469 - 2014/06/01(Sun) 17:02:05
☆ Re: 共通数列 / らすかる
やり方は2つだけのはずがありませんので、
「2つのやり方」に入っていない方法かも知れませんが…

6で割ると3余り、4で割ると1余る数に3を足すと6でも4でも割り切れます。
従って「6で割ると3余り、4で割ると1余る100〜999の数」は
「6でも4でも割り切れる103〜1002の数」-3 です。
6でも4でも割り切れるということは12の倍数ということですから、
103〜1002の中の12の倍数を考えると
108,120,132,…,996
これの一般項は12(n+8)（n=1〜75）ですから
{a[n]}の一般項は12(n+8)-3=12n+93、項数は75となります。
No.26470 - 2014/06/01(Sun) 17:29:50
☆ Re: 共通数列 / ふぇるまー
なるほど！最善のやり方だと思います！ありがとうございます！
No.26471 - 2014/06/01(Sun) 18:31:44
★ (No Subject) / ヒキニート
y=｜x^2+ax+b｜の最大値をMとすると、M≧1/2を示せという問題で、様々な解答がありますがそのうちの一つに背理法で示す方法がありました。
M＜1/2と仮定したときd<1とあるのですが、なぜd<1と言えるのですか？

dはM'-mです。(y=ax^2+bx+c最大値をM'、最小値をm)
No.26403 - 2014/05/31(Sat) 00:00:26
☆ Re: / IT
M＜1/2
→｜x^2+ax+b｜＜1/2
→ -1/2＜x^2+ax+b＜1/2
→ -1/2＜m≦M'＜1/2
→ M'-m＜1
No.26406 - 2014/05/31(Sat) 00:58:35
☆ Re: / ヒキニート
納得です。ありがとうございます。
No.26412 - 2014/05/31(Sat) 01:37:14
★ 微分 / きよすく
r−(r^2)•sin(1/r)の最大値ってどうやって出すんですか？
No.26371 - 2014/05/29(Thu) 23:39:04
☆ Re: 微分 / きよすく
誰かお願いします！
No.26510 - 2014/06/02(Mon) 15:04:24
★ 行列の不等式についての命題の証明で / のっ子
よろしくお願い致します。


Aをn×n正値対称行列とする時, ベクトルu_1,u_2,…,u_{n-m}(∈R^n)を正規直交系とする時,
I_{u_1,u_2,…,u_{n-m}}(A):=(u_1 u_2 … u_{n-m})^TA(u_1 u_2 … u_{n-m}) (∈R^{(n-m)×(n-m)})
ここで^Tは転置を表す。

O_nを直交行列からなる集合とします。

A≧Bは行列A-Bが正値行列であることを意味します。

この時,

[問] A,Bをn×n正値対称行列とする時,
任意のu_1,u_2,…,u_{n-m}を正規直交系について
I_{u_1,u_2,…,u_{n-m}}(A) ≧ I_{u_1,u_2,…,u_{n-m}}(B)
なら
A≧B.

を添付ファイルのように証明したのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.26350 - 2014/05/29(Thu) 05:24:45
★ 【需要関数】 / 愛


ある消費者のＸに対する需要関数が𝐷𝑥=𝑘𝑀/𝑃𝑥𝑃𝑦　だとする。
(DxはＸの需要量、kは正の定数、Ｍは所得、PxPyはそれぞれＸ，Ｙの価格)

「所得に占めるＸへの支出額の割合」をＲxで表すとしたら、
(すなわち𝑅𝑥=𝑃𝑥𝐷𝑥/𝑀),
　Rxは𝑀,𝑃𝑥,𝑃𝑦が変化したときどうなるだろう？？？


以下の選択肢から正しいものを選んでその理由も書いてみよう。
?@𝑀が増えても𝑅𝑥は変化しない。
?A𝑃𝑥が上昇しても𝑅𝑥は変化しない。
?B𝑃𝑦が上昇しても𝑅𝑥は変化しない。
?C𝑃𝑦が上昇すると𝑅𝑥は大きくなる。
?D𝑃𝑦が上昇すると𝑅𝑥は小さくなる。


という問題を解きたいので
アドバイスや解き方を教えていただけないでしょうか？

Ｘへの支出額は𝑃𝑥𝐷𝑥だから、𝑅𝑥=𝑃𝑥𝐷𝑥/𝑀で、
この式に𝐷𝑥=𝑘𝑀/𝑃𝑥𝑃𝑦 を代入するのでしょうか？
教えてくださいお願いします・・・！
No.26344 - 2014/05/28(Wed) 22:52:28
☆ Re: 【需要関数】 / みずき
定義されている式が正しいなら、
おっしゃるようにDxの式をRxの式のところに代入して
Rx=k/Py
が得られますね。
この後は、容易に?@〜?Dの正誤の判断がつくのではないですか？
No.26367 - 2014/05/29(Thu) 19:53:11
☆ Re: 【需要関数】 / 愛

お返事ありがとうございます。

正解は?Aと?Dで、
理由は、
?A…Rx=k/PyだからPxは関係ない
?D…例で３＝６/２とすると、２が増えて３になったら
　　Rxは２になる（小さくなる）
であっていますか？？？
理由が下手ですみません（泣）
No.26368 - 2014/05/29(Thu) 21:46:49
☆ Re: 【需要関数】 / みずき
> ?A…Rx=k/PyだからPxは関係ない

そうですね。

> ?D…例で３＝６/２とすると、２が増えて３になったら
> 　　Rxは２になる（小さくなる）
> であっていますか？？？

それは一つの具体例に過ぎませんから、理由としては
十分ではないですね。
Y=k/X（kは正の定数）という反比例のグラフをXY平面で考えましょう。
（今、Y=Rx,X=Pyとおいています）
このグラフは第一象限において、
Py=Xが上昇するとY=Rxは減少していきますね。
No.26376 - 2014/05/30(Fri) 00:35:32
★ (No Subject) / Milk
上から7行目の「n=kのときの仮定」の式には第k+1項はでてこないのに、下から8行目に、b1'=b[1]b[k+1]であるb1'がでてきているのがなぜかわかりません。ご教示お願いします。
No.26340 - 2014/05/28(Wed) 18:38:16
☆ Re: / ヨッシー
とりあえず、見にくいので貼り直します。
No.26341 - 2014/05/28(Wed) 18:42:03
☆ Re: / ヨッシー
ｎ＝ｋのとき　の３行下に既に a[k+1] が出てきてますが、
この辺は疑問に思わないのですか？
No.26342 - 2014/05/28(Wed) 18:48:42
☆ Re: / Milk
すみません。返信をうちながら考えていたら、理解できました。ありがとうございました。
No.26343 - 2014/05/28(Wed) 19:11:24
★ 「１６次方程式の判別式」についてその３ / ｊｔ７７８７７
らすかる様、そして黄桃様情報ありがとうございました。

黄桃様が教えてくれた「Mathematica」は全然知りません
でした。「wolfram alpha」は知ってていましたが、
数式処理ソフトは全く知りませんでしたので大変勉強に
なりました。せっかく細かく教えてもらいましたので
何とか自力で入手出来たらなあ？と思います。
どうもありがとうございました。
No.26338 - 2014/05/28(Wed) 16:49:23
☆ Re: 「１６次方程式の判別式」についてその３ / みずき
以前から気にはなっていましたが、
質問したスレッドそのものに直接返信しましょう。
（スレッドの右上にある「返信」というボタンを押します。）
No.26339 - 2014/05/28(Wed) 17:05:01
☆ Re: 「１６次方程式の判別式」についてその３ / ｊｔ７７８７７
みずき様へ

わざわざご親切にありがとうございました。
この掲示板はたまたま偶然に検索してて見つけまして
使い出してからまだ間もないもので、、、、。。
No.26429 - 2014/05/31(Sat) 20:42:11
★ 「１６次方程式の判別式について」その２ / ｊｔ７７８７７
らすかる様へ

「ダウンロードするにしても相当な時間がかかりますが、
自分のパソコンに88GBのデータをダウンロードしたいということですか？」について。

私は家にパソコンが無いのでハイスペックのパソコンで
ダウンロードしたいなあと思います。
（例えばネットカフェかな？）

『自分のパソコンに「88GBのデータをダウンロードしたいということですか？』とらすかる様がおっしゃって
いましたのでそれに対応出来るパソコンでダウンロード
すればいいのでは？？？それともそんなに１０時間以上も
ダウンロードの時間がかかってしまうのでしょうか？
それとも「１６次方程式の判別式だけで88GBのデータをダウンロードしなければいけない？という意味で
良いのですよねえ。

※それから私個人的には「５次〜１５次方程式の判別式」
も見てみたいのですがこれも調べてみたけどわかりません
でした。（調べ方が悪いのかな？><)

でもらすかる様の文章を見る限りダウンロードすれば入手
可能って事ですよねえ。
No.26312 - 2014/05/27(Tue) 11:19:28
☆ Re: 「１６次方程式の判別式について」その２ / らすかる
> それともそんなに１０時間以上も
> ダウンロードの時間がかかってしまうのでしょうか？

10時間では終わらないと思いますよ。
100Mbpsでダウンロードできれば2時間程度ですが、
もしそういうデータが公開されていたとしたら
公開している側のスペックの影響で、通常は20倍〜1000倍ぐらいかかります。
早くて丸2日、遅いと2ヶ月ぐらいでしょうね。
（これはダウンロードするPCをいくらハイスペックにしても速くなりません。）

> ダウンロードすれば入手可能って事ですよねえ。

公開されていれば入手可能ですが、
上記のように巨大なデータであり、ネットでダウンロードするような
サイズではありませんので、公開していないと思います。


その後私もちょっと検索してみましたが、
5次以上の判別式はネット上では見つかりませんでした。
やはり需要がないのでしょうねぇ・・・
No.26314 - 2014/05/27(Tue) 13:24:26
☆ Re: 「１６次方程式の判別式について」その２ / 黄桃
既に数学の問題ではなく、情報工学の問題だと思います。
みずきさんが計算方法まで教えてくれているのですから、ｊｔ７７８７７さんが計算すればいいだけです。
自分で手を動かしてないから、らすかるさんのいう意味が理解できないのでしょう。
私には、秀吉と曽呂利新左衛門の逸話の、仕掛けに気づく前の秀吉がまさにｊｔ７７８７７さんに見えます。

とりあえず、高速なマシンとたくさんのメモリを用意して、フリーの数式処理ソフト（文字の行列式が計算できるもの）をインストールしてください。
その上で、5次の判別式なら次の行列
[a,b,c,d,e,f,0,0,0],
[0,a,b,c,d,e,f,0,0],
[0,0,a,b,c,d,e,f,0],
[0,0,0,a,b,c,d,e,f],
[5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0,0,0],
[0,5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0,0],
[0,0,5*a,4*b,3*c,2*d,e,0,0],
[0,0,0,5*a,4*b,3*c,2*d,e,0],
[0,0,0,0,5*a,4*b,3*c,2*d,e]
の行列式(determinant)を計算すればこれが ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 の判別式です。

＃行列とか行列式とかはご自分でお調べください。
＃数式処理ソフトを使うのなら内容が理解できなくても計算できます。
＃Mathematica でもできるはずですが、wolfram ではできませんでした。
＃proにして、5a でなく5*a などとすればできるのかもしれません。

6次は、1行目がgまで必要で、その先に0が4つです。ずらしながら5行並べて、
その次の行が 6*a,5*b,..., f, と並べ、その先に0が5つです。ずらしながら6行並べます。
7次でも8次でも同様で、理論的には計算できます。
なので、数学的にはこれで話はおしまいです。

＃ですが、ちょっと大きくなると数式処理ソフトでもアウトです。
＃以下で述べるmaximaでは7次でアウトでした(a=1,b=0にすればＯＫですが、それでも相当長いです)。
＃だから16次の場合に計算できた、というのが（情報工学的な）ニュースになります。

ちなみに、5次の場合、maxima をダウンロードして上の計算をやらせたら、一瞬で
3125*a^5*f^4
+(-2500*a^4*b*e+(2000*a^3*b^2-3750*a^4*c)*d+2250*a^3*b*c^2-1600*a^2*b^3*c+256*a*b^5)*f^3
+((2000*a^4*c-50*a^3*b^2)*e^2
+(2250*a^4*d^2+(160*a^2*b^3-2050*a^3*b*c)*d-900*a^3*c^3+1020*a^2*b^2*c^2-192*a*b^4*c)*e
-900*a^3*b*d^3
+(825*a^3*c^2+560*a^2*b^2*c-128*a*b^4)*d^2
+(144*a*b^3*c^2-630*a^2*b*c^3)*d
+108*a^2*c^5-27*a*b^2*c^4)*f^2
+((-1600*a^4*d+160*a^3*b*c-36*a^2*b^3)*e^3
+(1020*a^3*b*d^2+(560*a^3*c^2-746*a^2*b^2*c+144*a*b^4)*d+24*a^2*b*c^3-6*a*b^3*c^2)*e^2
+((24*a^2*b^2-630*a^3*c)*d^3+(356*a^2*b*c^2-80*a*b^3*c)*d^2+(18*a*b^2*c^3-72*a^2*c^4)*d)*e
+108*a^3*d^5+(16*a*b^3-72*a^2*b*c)*d^4+(16*a^2*c^3-4*a*b^2*c^2)*d^3)*f
+256*a^4*e^5
+(-192*a^3*b*d-128*a^3*c^2+144*a^2*b^2*c-27*a*b^4)*e^4
+((144*a^3*c-6*a^2*b^2)*d^2+(18*a*b^3*c-80*a^2*b*c^2)*d+16*a^2*c^4-4*a*b^2*c^3)*e^3
+(-27*a^3*d^4+(18*a^2*b*c-4*a*b^3)*d^3+(a*b^2*c^2-4*a^2*c^3)*d^2)*e^2
と答えました(fについて整理し、次にeについて整理し、... という形で整理してあるようでしたので、それがわかるように改行を入れました）。
No.26321 - 2014/05/28(Wed) 00:06:18
★ (No Subject) / ハレゾラ
一度、他の掲示板で質問したことがあるのですが、答えを得られなかったため再度質問したいです。
私が不等式証明するときに、方針として考えるのが、?@絶対不等式の利用、?A図形を利用して解く、?B関数として解く(変数固定など)なのですが、一つの問題で複数考えてみようと思い、次の問題で試しました。

問題
実数x,y,zはx+y+2z=1…?@,x^2+y^2+z^2=1…?Aをともに満たしている。
(1)zのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)さらに,x≧z,y≧zであるとき,zのとりうる値の範囲を求めよ。

解答は、
(1)2-√10/6≦z≦2+√10/6
(2)2-√10/6≦z≦0

です。一応模範解答載せます。

解答
(1)x+y=1-2z,xy=(5z^2-4z)/2をみたし、x,yはt^2-(1-2z)t+(5z^2-4z)/2=0の実数解なので(判別式)≧0より
　(1-2z)^2-4{(5z^2-4)/2}≧0
⇔2-√10/6≦z≦2+√10/6

(2)f(t)=t^2-(1-2z)t+(5z^2-4z)/2とおき、f(t)=0がt≧zの範囲に実数解もつ条件をもとめて
　f(z)≧0かつ(1-2z)/2≧zかつ(判別式)≧0
⇔2-√10/6≦z≦0

わたしは、別解として自分は円と直線の共有点の存在条件を使うことで図形的に求めることができました。

そこで、質問なんですが、この問題を絶対不等式である相加平均と相乗平均の関係や、コーシー・シュワルツの不等式などを用いて解答することはできないでしょうか？もしできそうでないなら理由も教えていただけると助かります。

よろしくお願いいします。
No.26301 - 2014/05/27(Tue) 00:01:11
☆ Re: / angel
> などを用いて解答することはできないでしょうか？もしできそうでないなら理由も教えていただけると助かります。

できないでしょうね。
より正確に言うなら、それらの不等式だけでは話が完結しないため、それなら敢えて持ち出す理由がない、ということになりますが。

このような問題は、見た目不等式であって、単なる不等式ではないのです。なぜならば、「範囲」を示す問題だから。
ハレゾラさんの挙げられた不等式は、いずれも範囲を示すものではないのです。
もし問題が、最大値や最小値を求めるものだったならば。そういった不等式を活用するというのは、良くある話なのですが。
No.26313 - 2014/05/27(Tue) 12:37:37
☆ Re: / ハレゾラ
回答ありがとうございます。

> このような問題は、見た目不等式であって、単なる不等式ではないのです。なぜならば、「範囲」を示す問題だから。
> ハレゾラさんの挙げられた不等式は、いずれも範囲を示すものではないのです。

確かに値域を求める場合は、もし絶対不等式で不等式を作れたとしても、それは範囲を示す不等式かどうかわからないため、左右で等号が成り立つことを確かめないといけないためややこしいそうですね。

> もし問題が、最大値や最小値を求めるものだったならば。そういった不等式を活用するというのは、良くある話なのですが。

では、無理矢理になってしましますが、「最大値を求めよ」という問題だったなら、絶対不等式を利用して解いていけますか？
可能そうだったらでいいのでお願いします。
条件の式から不可能だと判断されたのであれば、理由も教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。
No.26319 - 2014/05/27(Tue) 22:33:41
☆ Re: / angel
ちょっと補足します。

> 左右で等号が成り立つことを確かめないといけないため
「等号成立」については確かめれば良いだけなので、特に問題にはならないと思います。
「範囲」だと何が大変かというと、例えば 0≦z≦1 が答えだとして何を示すべきか、それは、z=0.1, 0.333, …等、0〜1の範囲にある値は全て、適切に条件を整えてあげれば、ちゃんとzの値として取りうるということを示さなければならないこと。
…だからと言って、無数の＝を一つ一つ示しても意味がないため、証明に使う不等式がこういった「範囲」を示すためになるかどうか、考えなければいけないのです。

で、相加平均・相乗平均の関係や、コーシー・シュワルツの不等式は、あくまで「ある2種類の値を比較した時の大小関係（と、等号成立条件）」が分かるだけなので、「範囲」を示すためには使えないのです。
No.26325 - 2014/05/28(Wed) 01:16:17
☆ Re: / ハレゾラ
回答ありがとうございます。

>相加平均・相乗平均の関係や、コーシー・シュワルツの不等式は、あくまで「ある2種類の値を比較した時の大小関係（と、等号成立条件）」が分かるだけなので、「範囲」を示すためには使えないのです。

なるほどー、そうだったんですか。
つまりz≦1とその等号条件がわかったとしてもいくつかのzの値すべてに対してz≦1は示せて最大値が1とはいえるが、任意の実数zに対してz≦1となるかどうかを絶対不等式でしめすのは困難だということですね。
結局、範囲を示す不等式として正しいかどうかは模範解答のような解答で確認する必要があり、それならあえて持ち出す理由がないとないということですね。

また、話は戻りますが、最大値として(1)2+√10/6(2)0あるいは最小値として(1)2-√10/6(2)2-√10/6を答えとして出すことはできそうでしょうか？
絶対不等式をどう変形したらこのような定数を不等式に生み出せるのかが知りたいです。

よろしくお願いします。
No.26337 - 2014/05/28(Wed) 05:47:42
☆ Re: / angel
遅くなりましたが、(1)が「最大値・最小値を求める問題」だったとして、コーシー・シュワルツの不等式を使って説明することは可能です。
※流石に条件がつく(2)では苦しいけど

ちょっと無理やりな感があるので、あまり参考にはならないかもしれませんが…

問：実数x,y,zが x+y+2z=1, x^2+y^2+z^2=1 を満たす時、zの最大値・最小値を求めよ
答：
　コーシー・シュワルツの不等式
　　(ax+by)^2≦(a^2+b^2)(x^2+y^2)
　のa=b=1のケースより、
　　(x+y)^2≦2(x^2+y^2)
　今、x+y=1-2z, x^2+y^2=1-z^2 であることから
　　(1-2z)^2≦2(1-z^2)
　このzに関する不等式を解いて (2-√10)/6≦z≦(2+√10)/6
　z=(2±√10)/6, x=y=(1±(-√10))/6　( 複号同順 ) は x+y+2z=1, x^2+y^2+z^2=1 を満たす
　※計算して確認してください
　　なお、±(-√10)は普通 マイナスプラス√10 だけど、記号が出せないのでこういう表記に

　よってzの最大値は(2+√10)/6, 最小値は(2-√10)/6

ところで、なぜ x=y=(1±(-√10))/6 が出てきたかというと、コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件 bx=ay を、件のzの値に対して適用するとそうなるから、です。
No.26441 - 2014/06/01(Sun) 05:03:33
★ 常用対数 / ふぇるまー
問:2.25^n乗せぁ整数部分が3桁であるような整数nの値を求めよ。
教えてください。小数は分数にしますよね❓
No.26299 - 2014/05/26(Mon) 22:30:59
☆ Re: 常用対数 / ふぇるまー
すいません、なんか変な文になってました。2.25^nの整数部分が~(ここから後ろは訂正なしです)
No.26300 - 2014/05/26(Mon) 22:32:57
☆ Re: 常用対数 / みずき
2.25^n
=(2+1/4)^n
=(2+2^(-2))^n
=Σ[k=0,n]nCk*2^(n-k)*2^(-2k)
=Σ[k=0,n]nCk*2^(n-3k)

nCk*2^(n-3k)≧1
⇔nCk≧2^(3k-n)
を満たす範囲が0≦k≦Kだとすると
Σ[k=0,K]nCk*2^(n-3k)≦[2.25^n]≦{Σ[k=0,K]nCk*2^(n-3k)}+(n-K)
が成り立つ。ただし、[x]はガウス記号。

n=5のとき、K=2だから、
Σ[k=0,2]5Ck*2^(5-3k)≦[2.25^5]≦Σ[k=0,2]5Ck*2^(5-3k)+(5-2)
⇔57≦[2.25^5]≦60

一方、n=9のとき、K=5だから、
Σ[k=0,5]9Ck*2^(9-3k)≦[2.25^9]≦Σ[k=0,5]nCk*2^(9-3k)+(9-5)
⇔1475.75≦[2.25^9]≦1479.75

以上により、求めるnは、n=6,7,8ですべてです。
No.26302 - 2014/05/27(Tue) 00:36:29
☆ Re: 常用対数 / らすかる
タイトルが常用対数なので
多分常用対数表を使うか、またはlog[10]2≒0.301,log[10]3≒0.477を使って
求めるのでしょうね。
(以下すべて常用対数)
log(2.25^n)=nlog2.25=nlog(9/4)=nlog((3/2)^2)=2nlog(3/2)
=2n(log3-log2)≒2(0.477-0.301)n=0.352n なので
3桁すなわち10^2以上10^3未満になるためには2≦0.352n＜3
これを解いて 6≦n≦8
No.26303 - 2014/05/27(Tue) 02:06:58
☆ Re: 常用対数 / ふぇるまー
みずき先生、らすかる先生有り難うございました。
No.26317 - 2014/05/27(Tue) 21:24:53
★ 高校一年生二次関数です。 / かい
(2)の値域は5≦x<29ではないんですか？

あと、(3)の解法を教えてください。
No.26295 - 2014/05/26(Mon) 21:17:36
☆ Re: 高校一年生二次関数です。 / かい
先ほどの画像が間違ってました！
すいません！
No.26296 - 2014/05/26(Mon) 21:19:02
☆ Re: 高校一年生二次関数です。 / みずき
> (2)の値域は5≦x<29ではないんですか？

違います。頂点のx座標が3なので、0≦x＜4に含まれます。
よって、最小値はx=3のときの2です。
それに、最大値29はx=0のときなので、0≦x＜4に含まれます。
よって、2≦x≦29です。（←右の不等式も等号を含む）

(3)
f(x)=3x^2-18x+29とおくことにします。
頂点が(3,2)なので、f(2)=f(4)であることに注意します。
0＜a≦2のとき、最大値f(a),最小値f(3)
2＜a≦3のとき、最大値は存在せず、最小値f(3)
3＜a＜4のとき、最大値は存在せず、最小値f(a)
No.26297 - 2014/05/26(Mon) 21:32:15
★ (No Subject) / tt
次の議論はどこが間違っているのですか？
No.26293 - 2014/05/26(Mon) 20:21:32
☆ Re: / みずき
t＞0におけるt^2+1/tの最小値を求めたい、と解釈します。
そして、
「t^2+1/t≧2√t
が得られて、しかも等号が成立するtが存在するから
t^2+1/tの最小値は2√tである。」
という議論であるとして回答します。

最小値が2√tというのは、答えとしておかしいですよね。
最小値というからには、(tによらない)定数でなくていけません。
ですから、最小値を求めたことにはなりません。

# 最小値を求めたければ、
「t^2+1/t≧(ある定数)」という形を得て、さらに
等号が成立するtが存在することを確認しなくてはいけません。
つまり、右辺にtが残ってしまっていることが問題だ、ということです。
# ちなみに
「等号がt=1のときに成立するから、2√1=2が最小値」
という議論も全く正しくありません。念のため。
No.26294 - 2014/05/26(Mon) 20:32:23
★ 「１６次方程式の判別式」について / ｊｔ７７８７７
「京都大学(京大)情報学研究科の木村欣司特定准教授は、数式処理による16次方程式の判別式計算に成功したことを発表した。」自分もこれを知った時には衝撃的でした。

早速本題に入りますが「１６次方程式の判別式」をパソコンで見ることは出来ないのでしょうか？本当の事を言えば
５次〜１６次方程式の判別式って1回も見た事ないんですよ。
それでヤフーで調べたんですが見る事は出来ませんでした。（検索方法が間違っているのかな？？><)

そこで皆さんにお聞きしたいのですが「京都大学(京大)情報学研究科の木村欣司特定准教授が数式処理による16次方程式の判別式計算に成功した」これはパソコンで「？？？」と
検索すれば見る事は可能なのでしょうか？ぜひやりかたを
教えてもらえませんでしょうか？よろしくお願いします。
No.26288 - 2014/05/26(Mon) 15:29:14
☆ Re: 「１６次方程式の判別式」について / らすかる
88GBもある式をどうやって「見る」のですか？
1秒間に10文字ずつ「見て」も、280年もかかりますよ。
ダウンロードするにしても相当な時間がかかりますが、
自分のパソコンに88GBのデータをダウンロードしたいということですか？
No.26289 - 2014/05/26(Mon) 15:36:31
★ 数列 / ヒキニート
数列1,2,3,・・・,n(n≧2)において異なる2項の積の和を求めよ。
No.26282 - 2014/05/26(Mon) 13:01:36
☆ Re: 数列 / ヨッシー
求める積の和をＳとすると、
　(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)＝(1^2+2^2+…+n^2)＋２Ｓ
から、Ｓを求めます。
No.26283 - 2014/05/26(Mon) 13:20:22
★ 数列 / ヒキニート
数列の問題です。

(A)(1)整数からなる公差1の等差数列a,b,c,dで、a^3+b^3+c^3=d^3を満たすものを求めよ。
(2)0でない整数からなる等比数列a,b,c,dでa^3+b^3+c^3=d^3を満たすものは存在しないことを示せ。

(B)異なる3数a,b,cがあり、a,b,cはこの順で等差数列をなし、適当な順に並べると等比数列になる。3数の積をkとするとき、a,b,cをkを用いて表せ。
No.26281 - 2014/05/26(Mon) 12:59:15
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(A)(1)
a,b,c,d を a,a+1,a+2,a+3 として、
　a^3+b^3+c^3=d^3
に代入すると
　a^3+(a^3+3a^2+3a+1)+(a^3+6a^2+12a+8)=a^3+9a^2+27a+27
これを整理して、
　a^3-6a-9=0
これを解きます。
(2)
a,b,c,d を a,ar,ar^2,ar^3 とし、
　a^3(1+r^3+r^6)＝a^3r^9
a≠0 より
　1+r^3+r^6＝r^9
移項して、r^9-r^6-r^3＝1
r=1, r=-1 ではこの式は成り立たないことは明らか。
|r|≧2 のとき、r^9-r^6-r^3 は |r| の倍数であるが、
右辺はそうでないので、　1+r^3+r^6＝r^9 を満たす整数ｒは
存在せず、（以下略）

(B)
公差d（≠0）の等差数列 a,a+d,a+2d がこの順で等比数列でもあるとすると、
　(a+d)^2＝a(a+2d)
　2ad＋d^2＝2ad
　d=0
となり、d≠0 に矛盾します。
よって、等比数列の場合、a または a+2d が中央の項になりますが、
a を中央の項としても一般性を失いません。
このとき、
　a^2＝(a+d)(a+2d)
　3ad+2d^2=0
d≠0 より、
　3a＋2d=0
また、３項の積は a^3 (中央項の３乗) であるので
　a=k^(1/3)
　d=(-3/2)a＝(-3/2)k^(1/3)
より、
　b=a+d＝(-1/2)k^(1/3)
　c=b+d＝-2k^(1/3)
No.26286 - 2014/05/26(Mon) 13:53:18
★ 整数 / ヒキニート
整数の問題です。

(1)x+2y+4zを満たす整数x,y,zのくみは全部で何組あるか。
(2)kを負でない整数とする。x+2y=4kを満たすx,yの組の個数をkを用いて表せ。
(3)nを負でない整数とする。x+2y+4z=4nを満たすx,y,zの組の個数をnを用いて表せ。
No.26280 - 2014/05/26(Mon) 12:52:01
☆ Re: 整数 / ヨッシー
(1) 右辺がありません。
(2)(3) x,y,(z) の条件は？非負整数ですか？
No.26284 - 2014/05/26(Mon) 13:25:29
☆ Re: 整数 / ヒキニート
すいません。(1)はx+2y+4z=8です。

それとx,y,zは負でない整数です。
No.26285 - 2014/05/26(Mon) 13:27:42
☆ Re: 整数 / ヨッシー
(1)
z に入る数は0,1,2 です。
z=0 のとき、x+2y＝8
　このとき、y に入る数は、0〜4 の5通りの整数で、それらに対して
　x が必ず1つ決まる。
z=1 のとき、x+2y＝4
　このとき、y に入る数は、0〜2 の3通りの整数で、それらに対して
　x が必ず1つ決まる。
z=2 のとき、x+2y=0　これを満たすのは x=0,y=0 の１通り
以上より、５＋３＋１＝９(通り)

(2) (1) を応用して、
y に入る数は0〜2k の2k+1通りの整数で、それらに対して x が必ず1つ決まる。
よって、2k+1 組

(3)
ｚに入る数は0〜n のn+1通り。
z=0 のとき、x+2y=4n で、x,y の組は 2n+1 通り。
z=1 のとき、x+2y=4n-4 で、x,y の組は 2n-1 通り。
z=2 のとき、x+2y=4n-8 で、x,y の組は 2n-3 通り。
　・・・
z=n のとき、x+2y=0 で、x,y の組は 1通り。
以上より、求める組の数は
　１＋３＋５＋・・・＋(2n+1)＝(n+1)^2
No.26287 - 2014/05/26(Mon) 15:24:29
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