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★ (No Subject) / tt
y=ax^3+bx^2+cx+dにおいて、-1<x<1で-1<y<1
となるようなabcdの条件って求められますか？
No.27352 - 2014/06/24(Tue) 14:03:56
☆ Re: / らすかる
a≠0のとき
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f'(x)の判別式D/4=b^2-3ac≦0のとき極値が存在しないので
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1であればよい。
b^2-3ac＞0のときx={-b±√(b^2-3ac)}/(3a)で極値をとる。
{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≧1または
{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1または
「{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1かつ{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)≧1」
の場合は-1＜x＜1の範囲で極値をとらないので上と同じ。
-1＜{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)＜1≦{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)の場合は
f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))で極値をとるので
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1かつ-1＜f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))＜1
であればよい。
{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1＜{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)＜1の場合は
f({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))で極値をとるので
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1かつ-1＜f({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))＜1
であればよい。
-1＜{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)＜{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)＜1の場合は
f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))とf({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))で極値をとるので
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1かつ
-1＜f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))＜1かつ-1＜f({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))＜1
であればよい。

a=0,b≠0のとき
f(x)=bx^2+cx+d=b{x+c/(2b)}^2+d-c^2/(4b)なので
-c/(2b)≦-1または1≦-c/(2b)のとき
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1であればよく、
-1＜-c/(2b)＜1のとき
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1かつ-1＜f(-c/(2b))＜1
であればよい。

a=b=0のとき
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1であればよい。

よって条件をまとめると
「-1≦f(-1)≦1」かつ「-1≦f(1)≦1」かつ
「「a≠0かつ
　　「b^2-3ac≦0または
　　　「b^2-3ac＞0かつ
　　　　「{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1または{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≧1または
　　　　　-1＜f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))＜1」かつ
　　　　「{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1または{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)≧1または
　　　　　-1＜f({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))＜1」」」」または
　「a=0かつb≠0かつ
　　「-c/(2b)≦-1または1≦-c/(2b)または-1＜f(-c/(2b))＜1」」または
　「a=0かつb=0」」
となります。

# もっと簡単にまとめられるのかどうかはわかりません。
No.27354 - 2014/06/24(Tue) 16:47:47
★ 定積分 / ｋｓｄ
ｎとｋを自然数とする。0＜ｘ＜π/2ｋとして、関数
ｇ（ｘ）＝∫（0からｘまで）１/cosｋｔｄｔ+∫（ｘからπ/２ｋまで）1/sinｋｔｄｔの最小値をa(k)とする。
このとき
　　　　　　ｎ
　　　　Sn＝?蚤(k)a(k+1)を求めよ。
　　　　　 k=1
よろしくおねがいします。

　　
No.27347 - 2014/06/24(Tue) 06:58:26
☆ Re: 定積分 / X
>>π/2ｋ
はπ/(2k)の意味だと思いますが、こう解釈すると
kの値によってはa[k]が存在しない場合があります。
問題文にタイプミスはありませんか？。
No.27351 - 2014/06/24(Tue) 11:39:14
☆ Re: 定積分 / ksd
π/(2k)です。 お手数おかけして申しわけありませんでした。
No.27353 - 2014/06/24(Tue) 14:47:29
☆ Re: 定積分 / X
π/(2k)でもa[k]が存在しない場合があると
考えておりましたがこちらの計算ミス
だったようです(ごめんなさい)。

条件から
g'(x)=1/coskx-1/sinkx
∴g'(x)=0のとき
sinkx-coskx=0
三角関数の合成を使うと
sin(kx-π/4)=0 (A)
ここで
0＜x＜π/(2k) (B)
により
-π/4＜kx-π/4＜π/4
∴(A)のとき
x=π/(4k)
よってg(x)の増減表を(B)の範囲で書くことにより
a[k]=g(π/(4k))
=∫[0→π/(4k)]dt/coskt+∫[π/(4k)→π/(2k)]dt/sinkt
ここで
第一項でkt=u
第二項でkt=π/2-v
の置換をすると
a[k]=(2/k)∫[0→π/4]du/cosu
=(2/k)∫[0→π/4]costdu/{1-(sinu)^2}
=(1/k)∫[0→π/4]{1/(1+sinu)+1/(1-sinu)}cosudu
=(1/k)[log{(1+sint)/(1-sint)}][0→π/4]
=(2/k)log(1+√2)
∴
S[n]={4{log(1+√2)}^2}Σ[k=1〜n]1/{k(k+1)}
={4{log(1+√2)}^2}{1-1/(n+1)}
となります。
No.27359 - 2014/06/24(Tue) 19:18:47
☆ Re: 定積分 / ksd
ありがとうございました。
No.27372 - 2014/06/25(Wed) 08:51:38
★ 微分積分 / 文系の大学1年生
はじめまして、よろしくお願いします。

文系大学の一年生の微分積分の問題です。

問題2は自分なりにn=1,2,3をいれて計算して見たのですが、いまいち法則性がつかめず、定理に落とし込めません。

問題3,4は歯が立ちませんでした。

教えてくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.27339 - 2014/06/24(Tue) 00:02:33
☆ Re: 微分積分 / X
問題II
これは(1)が解ければ(2)はその結果を使うだけですので
(1)のヒントを。
一般にC^n級の関数f(x)、g(x)に関し
(d^n/dx^n)(f(x)g(x))=Σ[k=0〜n](nCk){(d^k/dx^k)f(x)}{(d^(n-k)/dx^(n-k))g(x)}
が成立します。
(解析学の参考書か教科書に書かれていると思います。調べてみて下さい。)

問題III
積の微分を使うと
f'(x)=2(x-3)e^x+{(x-3)^2}e^x
=(x-1)(x-3)e^x
f"(x)=2e^x+2(x-3)e^x+2(x-3)e^x+{(x-3)^2}e^x
=(x^2-2x-7)e^x
これらを元に極小点、極大点、変曲点の座標を求めます。
次に
lim[x→∞]f(x)
lim[x→-∞]f(x)
を計算します。
注)
高校数学の参考書で解析関数の微分の項目
(理系数学の範囲ですが)を参照した方が
いいかもしれません。
この問題は理系であれば高校数学の範囲でも
解ける問題です。
No.27340 - 2014/06/24(Tue) 01:40:52
☆ Re: 微分積分 / X
問題IV
x=cosxより
x-cosx=0 (A)
ここで
f(x)=x-cosx
と置くと
f'(x)=1+sinx (A)'
∴0＜x＜π/4においてf'(x)＞0ゆえ
f(x)は単調増加。
更に
f(π/6)=π/6-(√3)/2＜0
f(π/4)=π/4-1/√2＞0
ですので、中間値の定理により(A)は
π/6＜x＜π/4
の範囲に一つ解を持ちます。
そこで
点(π/4,π/4-1/√2),又は点(π/6,π/6-(√3)/2)
のいずれかを出発点として、方程式
f(x)=0
に関してニュートン法を適用します。
ここでは点(π/4,π/4-1/√2)を出発点にしてみます。
特に近似する桁数が指定されていないので
一段階だけ計算しておくことにします。
(A)'よりy=f(x)上の点(π/4,π/4-1/√2)における
接線の方程式は
y=(1+1/√2)(x-π/4)+π/4-1/√2
これとx軸との交点のx座標は
x=π/4-{(π/4)√2-1}/(1+√2) (B)
(B)がニュートン法によるもっとも荒い近似解になります。

精度を上げる場合は
(B)をx座標とする曲線y=f(x)上の点の接線と
x軸との交点のx座標を求め、
更にそれをx座標とする曲線y=f(x)上の点の接線と
x軸との交点のx座標を求め…
の繰り返しとなります。
No.27341 - 2014/06/24(Tue) 02:05:06
☆ Re: 微分積分 / ast
この問題 II(2) 中の「マクローリン展開」はどういう意味で用いられているのでしょうか. 通常は「x=0 のまわりでのテイラー展開」という意味だと思うのですが, x=0 は f(x) の定義域の外なので不自然に見えます.
No.27342 - 2014/06/24(Tue) 02:14:28
☆ Re: 微分積分 / X
もちろん定義域外の点ではマクローリン展開の基準点には
できません。
少なくとも
x＞1
となる点を基準点にして適用する必要があります。
(注)f(x)はx=1では微分不可能です。
例えばx=2を基準点にするのであれば
f(x)=f(2)+Σ[k=1〜∞]{(d^n/dx^n)f(x)|[x=2]}{(x-2)^n}/n!
となります。
No.27343 - 2014/06/24(Tue) 02:24:29
☆ Re: 微分積分 / ast
それをマクローリン展開と呼ぶというのは不自然だと思います (それは x=2 のまわりでのテイラー展開です) が.

質問者はこの問題を幾つかの掲示板にマルチポストされているようで, 出題の不備を指摘するレスも見掛けたのですが, タイプミスではないと答えた程度で話が宙ぶらりんのまま他へポストしたという状況のようです.
No.27344 - 2014/06/24(Tue) 02:44:46
☆ Re: 微分積分 / X
>>astさんへ
私はf(x)のマクローリン展開をテイラー展開を
f(x)上の任意の点に適用したものと認識
していたのですが、とんでもない勘違い
だったのですね。
ご指摘ありがとうございます。
No.27345 - 2014/06/24(Tue) 03:05:48
☆ Re: 微分積分 / 文系の大学1年生
みなさんの的確なご指導により、改めて自分の勉強不足を痛感いたしました。

今後は、質問をしなくても理解できるよう、学校での勉強に精進したいと思います。

ご教授のほどありがとうございました。
No.27371 - 2014/06/25(Wed) 01:16:59
★ 関数と数列 / ジェミニ
正の整数nに対して(1+√2)^n=x[n]+y[n]√2が成り立つように整数x[n],y[n]を定める
(1)x[n+1],y[n+1]をx[n],y[n]を用いて表せ
(2)x[n]^2-2y[n]^2を求めよ
(3)任意のに対してはよりものよい近似値であることを証明せよ
また、lim[n→∞]x[n]/y[n]を求めよ

解説のx[n+1]+y[n+1]√2=(1+√2)^(n+1)=

(1+√2)(x[n]+y[n]√2)=x[n]+2y[n]+(x[n]+y[n])√2

ここで、x[n]、y[n]、x[n+1]、y[n+1]は無理数だから

x[n+1]=x[n]+2y[n]　y[n+1]=x[n]+y[n]―――　?@

?@を用いれば、数学的帰納法により

(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2とあるのですが?@からどうやってこの式が出たのですか
No.27335 - 2014/06/23(Mon) 21:48:02
☆ Re: 関数と数列 / IT
x[n+1]-y[n+1]√2に　?@を代入して計算してみてください
それと(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2を使うと

x[n+1]-y[n+1]√2＝(1-√2)^(n+1)が示せると思います。


>ここで、x[n]、y[n]、x[n+1]、y[n+1]は無理数だから
は間違っているのでは？（転記ミス）
No.27336 - 2014/06/23(Mon) 22:00:59
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
>は間違っているのでは？（転記ミス）
そうですね、正しくはx[n]、y[n]、x[n+1]、y[n+1]は有理数、
√2は無理数だからでした

x[n]、y[n]、x[n+1]、y[n+1]は有理数は何で分かるのですか？

x[n],y[n]が整数だから？nをn+1にしても整数なんですか？
No.27337 - 2014/06/23(Mon) 22:09:32
☆ Re: 関数と数列 / IT
>正の整数nに対して(1+√2)^n=x[n]+y[n]√2が成り立つように整数x[n],y[n]を定める
とありますから。
このｎは任意の正の整数ｎと読むべきです。
そうでないとx[n+1],y[n+1]には何の制約もないことになりますので問（１）は解けるはずがありません。
No.27338 - 2014/06/23(Mon) 22:16:40
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
>x[n+1]-y[n+1]√2に　?@を代入して計算してみてください
?@を代入したましたが(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2この式は出てきませんでした、代入して、式変形のところもよろしければお願いします
>このｎは任意の正の整数ｎと読むべきです
nは正の整数と分かりますがx[n+1],y[n+1]が有理数はどこから示せるのですか

画像の偶数奇数で分けてる式の一個下の式から

1-√2/y[n+1]・(x[n]-√2y[n])への変形が出来ませんでした、どうやって変形したかお願いします
No.27348 - 2014/06/24(Tue) 08:40:54
☆ Re: 関数と数列 / IT
> >x[n+1]-y[n+1]√2に　?@を代入して計算してみてください
> >このｎは任意の正の整数ｎと読むべきです
> nは正の整数と分かりますがx[n+1],y[n+1]が有理数はどこから示せるのですか

「正の整数nに対して(1+√2)^n=x[n]+y[n]√2が成り立つように整数x[n],y[n]を定める」の意味を理解されないと前に進めません。nは特定の正の整数ではありません。
具体的に書くと
(1+√2)^1=x[1]+y[1]√2、　x[1]とy[1]は整数
(1+√2)^2=x[2]+y[2]√2、　x[2]とy[2]は整数
(1+√2)^3=x[3]+y[3]√3、　x[3]とy[3]は整数
・・・・
※任意の正整数kについて
(1+√2)^k=x[k]+y[k]√2、　x[k]とy[k]は整数
・・・・です。

> ?@を代入したましたが(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2この式は出てきませんでした、代入して、式変形のところもよろしければお願いします。
数学的帰納法で証明するのですから
(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2を仮定し、(1-√2)^(n+1)=x[n+1]-y[n+1]√2　を示すということです。
27336に従って、御自分でできたところまで途中式を書き込んで下さい。

> 画像の偶数奇数で分けてる式の一個下の式から
> 1-√2/y[n+1]・(x[n]-√2y[n])への変形が出来ませんでした、どうやって変形したかお願いします。
逆に計算して見ると分かるかも知れません。
ただ、問題を正しく理解し、(1)が出来から次を考えられた方がいいと思います。
No.27358 - 2014/06/24(Tue) 18:50:39
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
>数学的帰納法で証明するのですから
>(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2を仮定し、(1-√2)^(n+1)=x[n+1]-y
>[n+1]√2　を示すということです。
なるほど、?@を代入して出すのではなく数学的帰納法でこれから出すんですね、試しにやってみますね、(i)n=1の時
左辺=1-√2 右辺x[1]-y[1]√2=1-√2

よって左辺=右辺より成立　(ii)n=kの時成立すると仮定する

と(1-√2)^k=x[k]-y[k]√2

(1-√2)^k(1-√2)=(x[k]-y[k]√2)(1-√2)

=x[k]+2y[k]-√2(x[k]+y[k])

=x[k+1]+y[k+1]

よってn=k+1でも成立する

取り敢えず示せたと思うので、1-√2/y[n+1]・(x[n]-√2y[n])への変形の件をよろしくお願いします
No.27363 - 2014/06/24(Tue) 22:40:16
☆ Re: 関数と数列 / IT
> なるほど、?@を代入して出すのではなく数学的帰納法でこれから出すんですね、試しにやってみますね、(i)n=1の時
> 左辺=1-√2 右辺x[1]-y[1]√2=1-√2
> (1-√2)^k(1-√2)=(x[k]-y[k]√2)(1-√2)
>
> =x[k]+2y[k]-√2(x[k]+y[k])
>
> =x[k+1]+y[k+1]
> 取り敢えず示せたと思うので
最後の式は間違っています（入力ミス）
それと「?@より」などと説明する必要があります。

>1-√2/y[n+1]・(x[n]-√2y[n])への変形の件
カッコをつけて紛れのない式にしてください。
分子だけ考えます。
x[n],y[n]について整理します。
No.27365 - 2014/06/24(Tue) 23:01:16
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
>最後の式は間違っています（入力ミス）
>それと「?@より」などと説明する必要があります
?@よりx[k]+2y[k]-√2(x[k]+y[k])=

x[k+1]-√2y[k+1]よりn=k+1でも成立する

>カッコをつけて紛れのない式にしてください。
>分子だけ考えます。

{(1-√2)/y[n+1]}・(x[n]-√2y[n])への変形です
No.27367 - 2014/06/24(Tue) 23:28:01
☆ Re: 関数と数列 / IT
{(1-√2)/y[n+1]}・(x[n]-√2y[n])への変形前の式を
x[n],y[n]について整理して書き込んでください。
No.27368 - 2014/06/24(Tue) 23:32:41
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
その前の式は{x[n]+2y[n]-√2(x[n]+y[n])}/y[n+1]

=(1-√2)x[n]-(1-√2)√2y[n]

={(1-√2)(x[n]-√2y[n])}/y[n+1]

これであってますよね？
No.27375 - 2014/06/25(Wed) 10:31:25
☆ Re: 関数と数列 / IT
いいと思います。
No.27388 - 2014/06/25(Wed) 18:17:49
★ と / 悩める人
(3)の問題なんですが、t＝1/2とt＞1/2の場合わけにするのはなぜですか？aで場合わけをするんですか？
No.27332 - 2014/06/23(Mon) 14:53:41
☆ Re: と / 悩める人
Aで場合わけですか？
それとも違う方法で場合わけですか？
No.27333 - 2014/06/23(Mon) 14:55:41
☆ Re: と / X
y=t^2+2t (1/2≦t) (A)
と
y=a (B)
とのグラフとの交点に
ついて論じるわけですので、aの値について
場合分けしています。

しかし、tの値の一つに対応するxの値の個数は
解説の通り
t=1/2のとき1個 (C)
t＞1/2のとき2個 (D)
と異なっていますので、(C)のような曲線(A)上の点を
直線(B)が通る場合は分けて考える必要があります。
つまり、a=3/4の場合は
t=1/2に対応するxの値1つ
と
もう一つの(A)(B)の交点に対応するxの値2つ
で
実数解の個数は3個
となります。
その他のaの値の場合については、交点の数の
2倍が実数解の個数になります。
No.27334 - 2014/06/23(Mon) 17:57:27
☆ Re: と / 悩める人
ありがとうございました！
No.27349 - 2014/06/24(Tue) 09:05:17
★ 図形の証明です / あいぽん
お願いします。
No.27331 - 2014/06/23(Mon) 14:08:03
☆ Re: 図形の証明です / mo
一例です

図を描いて確認しながら

?@△ＣＡＤと△ＢＡＥで
･･･∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＥ(弧ＡＤに対する円周角)
･･･∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＥ(仮定)
２組の角がそれぞれ等しく
･･･△ＣＡＤ∽△ＢＡＥ
相似な図形の対応する辺の比が等しく
･･･ＡＣ：ＡＢ＝ＣＤ：ＢＥ
よって、ＡＣ・ＢＥ＝ＡＢ・ＣＤ

?A△ＡＢＣと△ＡＥＤで
･･･∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＥ(弧ＡＢに対する円周角)
･･･∠ＢＡＣ＝∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＣ＝∠ＣＡＤ＋∠ＥＡＣ＝∠ＥＡＤ
２組の角がそれぞれ等しく
･･･△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ
相似な図形の対応する辺の比が等しく
･･･ＡＣ：ＡＤ＝ＢＣ：ＥＤ
よって、ＡＣ・ＥＤ＝ＡＤ・ＢＣ

?@?Aより
ＡＣ・ＢＤ＝ＡＣ・(ＢＥ＋ＥＤ)
　　　　　＝ＡＣ・ＢＥ＋ＡＣ・ＥＤ
　　　　　＝ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ

よって、ＡＣ・ＢＤ＝ac＋bd
No.27346 - 2014/06/24(Tue) 04:12:19
☆ Re: 図形の証明です / あいぽん
ありがとうございます( ；´Д｀)
No.27350 - 2014/06/24(Tue) 10:43:14
★ (No Subject) / 悩める人
青線のの等式になる理由がわかりません
No.27327 - 2014/06/23(Mon) 13:03:15
☆ Re: / X
x^2≧0 (A)
となることはよろしいですか？
(A)の両辺に√2を足してみましょう。
No.27328 - 2014/06/23(Mon) 13:16:28
☆ Re: / ＿
x^2 ≧ 0
両辺に√2を足して
x^2 + √2 ≧ √2

何の断りもないのですが、xは実数ということにでもなっているのでしょう。
No.27329 - 2014/06/23(Mon) 13:16:33
☆ Re: / 悩める人
ありがとうございました！
No.27330 - 2014/06/23(Mon) 13:37:32
★ 空間ベクトルの問題です / アカシロトモ

空間で「２点A,Bを通る直線l」があり、
「点Aを通り直線lと直交する直線ｍ(任意の点がP)」と
「点Bを通り直線lと直交する直線n(任意の点がQ)」
のなす角をθとするとき,
Q1 PQをAB,AP,BQ,θを用いて表せ
Q2 AP=BQのとき、∠APQ=∠BQPを証明せよ。

よろしくお願いします。
No.27317 - 2014/06/22(Sun) 21:17:54
☆ Re: 空間ベクトルの問題です / ヨッシー
Ｑ１．
ｌに垂直でｎを含む平面に、Ｐからおろした垂線の足をＲとすると、
△ＢＱＲにおいて、∠ＱＢＲ＝θ、ＢＲ＝ＡＰなので、
　ＱＲ^2＝ＢＱ^2＋ＢＲ^2−２ＢＱ・ＢＲcosθ
　　　＝ＢＱ^2＋ＡＰ^2−２ＢＱ・ＡＰcosθ
また、ＡＢ＝ＰＲであり、△ＰＲＱは直角三角形なので、
　ＰＱ^2＝ＰＲ^2＋ＱＲ^2
　　＝ＡＢ^2＋ＢＱ^2＋ＡＰ^2−２ＢＱ・ＡＰcosθ

Ｑ２．
△ＡＰＱ と △ＢＱＰ において、
ＡＰ＝ＢＱ
ＢＰ＝ＡＱ
　ＢＰ^2＝ＡＢ^2＋ＡＰ^2
　ＡＱ^2＝ＡＢ^2＋ＢＱ^2
ＡＢ＝ＢＡ
よって、△ＡＰＱ≡△ＢＱＰ より、∠ＡＰＱ＝∠ＢＱＰ
No.27406 - 2014/06/26(Thu) 18:17:43
☆ Re: 空間ベクトルの問題です / IT
(別の略解)ヨッシーさんのよりごちゃごちゃしてますが参考までに。
Q1
PQ↑＝PA↑+AB↑+BQ↑＝PA↑+AB↑-QB↑より
|PQ↑|^2＝|PA↑+AB↑-QB↑|^2
＝(PA↑+AB↑-QB↑,PA↑+AB↑-QB↑)
・・・この内積を展開して整理
＝PA^2+AB^2+BQ^2-2(PA・BQ)cosθ

Q2
(PA↑,PQ↑)=(PA・PQ)cos∠APQ
=(PA↑,PA↑+AB↑+BQ↑)=PA^2+(PA↑,BQ↑)

(QB↑,QP↑)=(BQ・QP)cos∠BQP
=(BQ↑,PQ↑)=(BQ↑,PA↑+AB↑+BQ↑)=BQ^2+(BQ↑,PA↑)

PA=BQよりPA^2+(PA↑,BQ↑)＝BQ^2+(BQ↑,PA↑)
よって(PA・PQ)cos∠APQ=(BQ・QP)cos∠BQP
PA=BQなのでcos∠APQ=cos∠BQP
No.27411 - 2014/06/26(Thu) 21:30:41
☆ Re: 空間ベクトルの問題です / アカシロトモ
ヨッシーさん、ITさん、ご回答ありがとうございました。
２日くらい回答がなかったら、もうだめなのかと思い、全く見てませんでした。このサイトは初めての利用で、不手際が多くてすみません。とても役に立ちました。今日、定期試験から帰って生きて、回答いただいているのに気づき感激と反省でした。どうもありがとうございました。
No.27658 - 2014/07/09(Wed) 19:07:43
★ 領域 / wmd
座標平面上の2点P,Q が曲線y=x^2 (-1≦x≦1)上を自由に動くとき、線分PQを1:2に内分する点Rが動く範囲をDとする。ただし、P=QのときはR=Pとする。Dを求め、図示せよ。
点Rを(X,Y)とおいて、パラメータ表示したんですが、上手くパラメータを消せません。
よろしくお願いします。
No.27309 - 2014/06/22(Sun) 14:13:40
☆ Re: 領域 / angel
パラメータを完全に消すことは無理ですよ。

ただ、Rの座標を決めれば、P,Qがどのような点であるべきか、それは(2次)方程式の形で表すことができます。
すなわち、P,Qのx座標をそれぞれp,qとおけば、pの2次方程式もしくはqの2次方程式が出来上がる、と言うことです。
なので、その方程式が特定の範囲に解を持つ条件を調べていくことになります。

なお、PR:RQ=1:2 という条件は、上で言う「特定の範囲」にも効いてくる、つまりXの値によって、p ( もしくは q ) の範囲が変わってくることになります。
p,qの両方の範囲を調べてみると

　-1≦X＜-1/3 … -1≦p≦(3X+1)/2, -1≦q≦3X+2
　-1/3≦X＜1/3 … (3X-1)/2≦p≦(3X+1)/2, -1≦q≦1
　1/3≦X≦1 … (3X-1)/2≦p≦1, 3X-2≦q≦1

と、3パターンに分かれます。
実際に考えるのはp,qどちらか一方のみで良い ( p,qどちらかの2次方程式を調べれば十分だから ) ですが、このように場合分けが必要です。
No.27310 - 2014/06/22(Sun) 16:10:26
☆ Re: 領域 / wmd
そのようにやってみます。ありがとうございました。
No.27313 - 2014/06/22(Sun) 18:26:46
★ (No Subject) / k
こちらの問題もお願いします
No.27306 - 2014/06/22(Sun) 12:56:37
★ (No Subject) / k
この写真の問１を教えてください
No.27305 - 2014/06/22(Sun) 12:53:22
☆ Re: / ＿
もし一人に複数の仕事を割り当てられるとしたとした場合、所要時間の最小は2+3+4+4+7=20(j1:E J2:D j3:E j4:C j5:A)
この場合Eがj1,j3をやることになってBが何もしていないので本来の意図に即して調整する。
Eがj1,Bがj3をやる場合とEがj3,Bがj1をやる場合を比較すると後者のほうが短いのでこの場合が答。
No.27307 - 2014/06/22(Sun) 14:01:11
☆ Re: / angel
一般的なやり方があるかどうかというのは難しい所ですが…
※もちろん、120通り全部調べれば確実ですけどね。

今回は限界付近の状況が分かり易いので、それで最小値を割り出すことができます。

まず、理想は全部の仕事に最速の人を割り当てること。
その場合、j1:E:2h, j2:DorE:3h, j3:E:4h, j4:C:4h, j5:A:7h
で、合計20hが限界です。
…が、これだとj1とj3のEが被ってしまうため実現は不可能です。

では次ですが、どれか1つの仕事だけ2番手の人に振って、21hでいけるかどうか。
ところが、1番手から1h遅れでできるのは、j2:Cだけで、他の仕事はどれも2h差がついてしまいます。
なので、j1:E:2h, j2:C:4h, j3:E:4h, j4:C:4h, j5:A:7h でやっぱりEが ( Cも ) 被ってしまい、実現不可能。

そうすると、できるとすれば22h。
これは、j2〜j5を最速の人にして、j1だけを2番手のBに任せることで実現できます。すなわち、j1:B:4h, j2:D:3h, j3:E:4h, j4:C:4h, j5:A:7h です。
No.27308 - 2014/06/22(Sun) 14:01:18
★ (No Subject) / tt
これを、ある一点で交わるなら容易(十分性より だが、ただ一点で交わることをしめせ。のとき、どうやってそれ以外の点が存在しないことをいえばいいでしょうか。
No.27300 - 2014/06/21(Sat) 22:41:59
☆ Re: / angel
> どうやってそれ以外の点が存在しないことをいえばいいでしょうか。

特に言わなくて良いですよ。
だから「ある一点」でも「ただ一点」でも同じです。
なぜならば、異なる2直線の交点は一点しかないからです。
No.27302 - 2014/06/21(Sat) 23:41:06
☆ Re: / tt
そうですね。ありがとうございます。
でも一般的に他にも解が存在するかもしれない可能性があるとき、
このような解法はとれないのでしょうか。
No.27318 - 2014/06/22(Sun) 22:39:24
★ (No Subject) / っぼ
ベクトルOP
＝((1-u)/(2+u))ベクトルOA＋(2u/2+u)ベクトルOB
＝(（2-2u)/(2+u))(1/2ベクトルOA)+(3u/2+u)(2/3ベクトルOB)
というふうに係数の和を１にする変形が求められるのですが、
どうやって作ったのか教えてください、（勘以外で）
No.27289 - 2014/06/21(Sat) 19:32:39
☆ Re: / angel
まあ、大分カンでやってしまう所ではありますが、
今回、(1-u)/(2+u) と 2u/(2+u) で分母が共通なので、分子に着目して

　(1-u)+2u・k が分母 (2+u)×(定数) の形になるような k を探す

と考えます。

すると、(1-u)+2u・k = (2k-1)u+1 であるため、
(2k-1)u+1 = (2+u)×(2k-1)
を考えればよくて、定数項を比較して k=3/4, 2k-1=1/2

これで、(1-u)+(2u)×3/4=(2+u)×1/2
なので、(1-u)/(2+u) + (2u)/(2+u)×3/4 = 1/2
和が1になるようにしたいので2倍すると、
(1-u)/(2+u)×2 + (2u)/(2+u)×3/2 = 1

よって、係数はそれぞれ×2, ×3/2、ベースとなるベクトルについては逆数の×1/2, ×2/3 とすることで望む形が得られます。
No.27293 - 2014/06/21(Sat) 20:05:58
★ 青で囲んだ部分の公式がわかりません / 悩める人
なぜ三角形の辺をそれぞれ足し合わせたLとRをかけたらSになるんでしょう？
No.27278 - 2014/06/21(Sat) 15:10:41
☆ Re: 青で囲んだ部分の公式がわかりません / IT
Rが内接円の半径だからです。
図を描いて確認してください。

内接円の中心から各頂点へ線分を引き
内接円の中心から各辺へ垂線を下ろします。
No.27279 - 2014/06/21(Sat) 15:15:07
☆ Re: 青で囲んだ部分の公式がわかりません / 悩める人
ありがとうございました！
No.27283 - 2014/06/21(Sat) 16:11:18
★ 整数の問題 / わん
すべての係数が整数である三次の整式g(x)が次の二つの条件
(A)x^3の係数は1である
(B)すべての整数nに対してg(n)は3の倍数である
を満たすならば、g(x)は、ある整数a,b,cを用いてg(x)=x^3 -x+3(ax^2+bx+c)と表されることを示せ

という問題が全く分かりません！誰か教えて下さい！
No.27229 - 2014/06/20(Fri) 22:15:01
☆ Re: 整数の問題 / IT
g(x)=x^3-x+sx^2+tx+u (s,t,uは整数）とおける
g(0),g(1),g(-1)を調べるとs,t,uが３の倍数であることが分かると思います。


なお、x^3-x=(x-1)x(x+1) なので任意の整数nに対してn^3-nは３の倍数
No.27231 - 2014/06/20(Fri) 22:34:20
★ (No Subject) / k
タテ9cm.よこ12cmの長方形の紙がある。このかみに1回はさみをいれて、紙全部を使って正方形をつくれ
はさみはどういれますか？
No.27220 - 2014/06/20(Fri) 19:00:19
☆ Re: / k
すいません横は16センチです
No.27223 - 2014/06/20(Fri) 19:14:56
☆ Re: / X
問題の紙の面積は
9[cm]×16[cm]=144[cm^2]
ですのでできる正方形の辺の長さは
12[cm]
従って
タテ9cm.よこ12cmの長方形
ができるようにはさみを入れます。
No.27228 - 2014/06/20(Fri) 21:17:02
☆ Re: / らすかる
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(1マス1cm×1cm)
こういうふうに切って組み合わせれば
正方形になりますね。

> Xさん
タテ9cm.よこ12cmの長方形を作ってもどうにもならないのでは？
No.27232 - 2014/06/20(Fri) 22:38:03
☆ Re: / ヨッシー

ちょっと試しに。
No.27243 - 2014/06/21(Sat) 01:26:55
★ (No Subject) / HT
(1)s≦tを満たす任意の正の整数s、tに対して
｜a_s + a_t ー a_s+t ｜< t/sが成り立つとき、任意の正の整数nに対して(a_n/a_1)＝nが成り立つといえるか。
(2)s≦tを満たす任意の正の整数s、tに対して
｜a_s + a_t ー a_s+t ｜≦ t/s が成り立つとき、任意の正の整数nに対して(a_n/a_1)＝nが成り立つといえるか。
No.27218 - 2014/06/20(Fri) 18:26:03
☆ Re: / IT
条件不足では？
任意の正の整数nについてa_n=0　のとき
s≦tを満たす任意の正の整数s、tに対して
｜a_s + a_t ー a_s+t ｜< t/sが成り立ちますが
(a_n/a_1)＝nは成り立ちません。
No.27221 - 2014/06/20(Fri) 19:03:08
☆ Re: / HT
a_1、a_2、・・・、a_nを正の整数とするというのが抜けてました。
No.27222 - 2014/06/20(Fri) 19:12:43
☆ Re: / みずき
この問題は、今日発売の大学への数学の宿題(締め切り前)だと思います。
No.27225 - 2014/06/20(Fri) 19:21:08
★ 知識的な質問です。 / 悩める人
青線のところなんですがなんで連続である必要があるんでしょうか？
No.27209 - 2014/06/20(Fri) 15:52:44
☆ Re: 知識的な質問です。 / らすかる
連続でないと積分できない可能性があるからだと思います。
No.27215 - 2014/06/20(Fri) 17:11:16
★ (No Subject) / 悩める人
(2)がよくわかりません
なぜrを任意のtで表してそれを(1)の通過領域の面積に代入したら体積が出るのか？
普通に立体の体積の公式に代入するだけだではいけないんですか？
No.27208 - 2014/06/20(Fri) 15:34:43
☆ Re: / ＿
私はこのような特殊な図形の体積を求められる公式は知らないのですが、それを使って同じ値が出るのであればひとまず正しい可能性はあります。実際にやって比較してみましたか？
No.27210 - 2014/06/20(Fri) 16:23:20
☆ Re: / ヨッシー
＿さんの繰り返しになりますが、テキストの方法が正攻法だと思います。
逆に、体積の公式は知りません。

また、「面積に代入したら体積が出る」のではなく、
ｚ座標ｔの位置で切った断面の面積を(1) の式から求め、
これを、ｚ方向に積分すると体積が出るのです。
No.27211 - 2014/06/20(Fri) 16:50:23
☆ Re: / 悩める人
理解できるまで考えてみます(ｰ ｰ;)
ありがとうございました！
No.27216 - 2014/06/20(Fri) 17:24:32
★ 方程式 / tomtomsk
次の方程式の解き方を教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

√(2x-5)-√(x-2)=2
No.27201 - 2014/06/20(Fri) 11:22:43
☆ Re: 方程式 / ヨッシー
両辺２乗して
　(2x-5)+(x-2)−2√(2x-5)(x-2)＝4
展開して移項して
　3x-11＝2√(2x^2-9x+10)
両辺２乗して
　9x^2−66x＋121＝4(2x^2-9x+10)
整理して
　x^2−30ｘ＋81＝0
これを解いて
　ｘ＝3,27
このうち、√(2x-5)-√(x-2)=2 を満たすのは、
　ｘ＝２７
No.27202 - 2014/06/20(Fri) 11:34:11
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