こんにちは。
かなり昔に同じような問題の質問をした記憶があるのですが、解答が得られなかったので
申し訳ありませんが再度質問させていただきます。
問題1
放物線C：y=x^2と円Dが4点P、Q、R、Sで交わっているとする。P、Q、Rが格子点であればSも格子点であることを示せ。
問題2
(1)xy平面上の円で、円周上にちょうど5個の格子点を持つものの一例を挙げよ。
(2)xy平面上の円で、円周上にちょうどn個の格子点を持つものが存在するような自然数nをすべて挙げよ。
問題1については、以下のように示しました。
円Dの式をx^2+y^2+ax+by+c=0 ･･･?@ 、放物線C：y=x^2 ･･･?A とおきます。
?Aを?@に代入し、x^2+x^4+ax+bx^2+c=0 整理して、x^4+(1+b)x^2+ax+c=0 ･･･?B
4点P、Q、R、Sのx座標をp、q、r、sとおくと、この4数は四次方程式?Bの解になっているので、
解と係数の関係よりp+q+r+s＝0である。すなわちs=-(p+q+r)である。
題意よりp、q、rは整数なのでsも整数。S(s,s^2)なのでSのy座標も整数であり、Sは格子点である。
問題2についてを教えてください。
問題1のように、円との交点が5つになるような5次方程式を用意しようと思いましたが、
それで円上に5つの格子点が用意できたとしても、円上にそれ以外の格子点が無いことが示せず難儀しています。
なにとぞよろしくお願いいたします。
問題1が問題2のヒントになっているかどうかも分かりませんので、問題1を利用しない解答でも大歓迎です。
ちなみに、以前質問した折には、この問題の解答は得られませんでしたが、「シンツェルの定理」というものを
教えていただきました。これで円上に任意の個数の格子点を設置できることは分かりましたが、当然この問題を解く上では
無関係のことと思います。
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No.26812 - 2014/06/12(Thu) 15:32:38
| ☆ Re: 高校一年 図形と式 円の方程式 / みずき | | | こちら(↓)によれば、
http://mathworld.wolfram.com/SchinzelsTheorem.html
問題2の答えは次になるようです。
(1)(x-1/3)^2+y^2=(25/3)^2
(格子点は、(x,y)=(-2,±8),(7,±5),(-8,0)の5点)
(2)すべての自然数
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No.26820 - 2014/06/12(Thu) 18:46:54 |
| ☆ Re: 高校一年 図形と式 円の方程式 / みどり | | | 諸事情により返信が遅れまして申し訳ありません。
>>みずき様
お答えありがとうございます。
問題2(1)の答えは納得いたしました。
(2)については、シンツェルの定理により任意の自然数について存在するのは知っております。高校1年の図形と式の演習問題として、解答の導き方を教えていただきたいです。
たいへん申し訳ありませんが、引き続きよろしくお願いいたします。
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No.26945 - 2014/06/16(Mon) 14:54:09 |
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