ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ヨウ

問題です。
区間において、xの値が増加すると共にyの値が増加するっていう条件は、わかしますが、どういう風になるかわかりません。ごめんなさい。変な日本語です。

No.25524 - 2014/04/16(Wed) 16:08:49

☆ Re: / ヨウ

やってみましたが、できませんでした。

No.25525 - 2014/04/16(Wed) 16:10:17

☆ Re: / みずき

ヨウさんが書かれた
-8=a-b+c
16=9a+3b+c
から、
b=-2a+6,c=-3a-2
と表せますね。

これにより、aが0でないことに注意して、
y=ax^2+bx+c
=ax^2+(-2a+6)x+(-3a-2)
=a{x^2+(-2a+6)x/a}+(-3a-2)
=a{(x+(-2a+6)/(2a))^2-((-2a+6)/a)^2}-3a-2
=a(x+(-2a+6)/(2a))^2-(-2a+6)^2/a-3a-2
なので、軸の方程式は、
x=-(-2a+6)/(2a)=1-3/a

「xの値が増加すると共にyの値も増加する」というのは、
『右に行けば行くほど、上に行く』ということです。
2次関数のグラフで言えば、
下に凸の場合、頂点から右側の部分
上に凸の場合、頂点から左側の部分
に相当します。

ですから、
a>0とa<0で場合分けをする必要があります。

a>0（下に凸）のときは、軸が-1以下
a<0（上に凸）のときは、軸が3以上
である条件を考えると・・・

No.25529 - 2014/04/16(Wed) 17:12:33

☆ Re: / ヨウ

やってみます。どうもありがとうございます。

No.25531 - 2014/04/16(Wed) 18:02:25

☆ Re: / ヨウ

やってみます。どうもありがとうございます。

No.25533 - 2014/04/16(Wed) 19:26:18

☆ Re: / ヨウ

できました。大変、ありがとうございました！

No.25534 - 2014/04/16(Wed) 19:35:15

★ 整数問題 / さかなくん

n=200のとき、この操作が終わった後、スイッチがonになっている電球の個数を答えなさい。

法則を見つけたのですが、約数の数が奇数の時はonなので
200までの素数の番号の電球ははoffだとわかりました、
4,9,16はonとわかりました。
そこで行きずまりました。
200まで数えなくて良い考え方を教えて下さい。

No.25503 - 2014/04/16(Wed) 00:37:40

☆ Re: 整数問題 / to

＞法則を見つけたのですが、約数の数が奇数の時はonなので
　(200までの素数の番号の電球ははoffだとわかりました、)
　4,9,16はonとわかりました。

●約数が奇数である数は、どんな数でしょうか？

　{1，4，9，16，25，36，･･･，121，169，196}

No.25505 - 2014/04/16(Wed) 01:01:29

☆ Re: 整数問題 / さかなくん

なるほど、
自然数の^2が約数の中心にくる数が奇数個になると考えれば良いんですね？
7^2,8^2,9^2,10^2・・・14^2なので１４個って考えれば
よいんですね？

No.25506 - 2014/04/16(Wed) 01:23:14

☆ Re: 整数問題 / さかなくん

この解説だとわかりません。
考え的には同じなんですかね？
互いに素が見かけるんですが、わかりません。

No.25507 - 2014/04/16(Wed) 01:26:32

☆ Re: 整数問題 / さかなくん

解説の続き写真

No.25508 - 2014/04/16(Wed) 01:27:37

☆ Re: 整数問題 / さかなくん

でも、今回答えが合っていたから良しでなくて、
もしかすると、約数が奇数の場合はこちらの場合だけ以外にある可能性があるので、それを確認する方法を考えなくては
いけないんですか？

No.25509 - 2014/04/16(Wed) 01:32:10

☆ Re: 整数問題 / みずき

> この解説だとわかりません。
> 考え的には同じなんですかね？

一般に
n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)
（ただし、p_1<・・・<p_kはすべて素数）
と素因数分解できるとき、
nの正の約数の個数は
(a_1+1)*(a_2+1)*・・・*(a_k+1)
で与えられます。

今、
これが奇数なので
a_1,a_2,・・・,a_kはすべて偶数ですね。
a_iがすべて偶数なので、
n=N^2なる自然数Nが存在します。

ここから、nは平方数であることが導かれます。

No.25510 - 2014/04/16(Wed) 01:33:34

☆ Re: 整数問題 / みずき

> でも、今回答えが合っていたから良しでなくて、
> もしかすると、約数が奇数の場合はこちらの場合だけ以外にある可能性があるので、それを確認する方法を考えなくては
> いけないんですか？

このコメントを読む前にNo.25509を投稿してしまいました。
ところで、おっしゃっている意味がつかめません。

No.25511 - 2014/04/16(Wed) 01:35:27

☆ Re: 整数問題 / みずき

No.25511のコメント内の
｢No.25509を投稿してしまいました｣
は
｢No.25510を投稿してしまいました｣
の間違いでした。

なお、もし平方数以外にあるのか、という問いならば
ありません。

nの正の約数の個数が奇数であることと
nが平方数であることは同値です。

No.25512 - 2014/04/16(Wed) 01:42:04

☆ Re: 整数問題 / さかなくん

n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)の所で、
アンダーバーの記号（_）はどう解釈する記号ですか？
勉強不足ですいません。

No.25513 - 2014/04/16(Wed) 01:57:36

☆ Re: 整数問題 / みずき

> n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)の所で、
> アンダーバーの記号（_）はどう解釈する記号ですか？

添え字です。
p_1は紙に書く場合、pの右下に小さく1と書きます。

たとえば、数列の一般項をa_nと書くようなものです。

No.25514 - 2014/04/16(Wed) 02:06:38

☆ Re: 整数問題 / みずき

補足します。

p_1,p_2,・・・,p_k
(p_1<・・・<p_k)
というのは、素数がk個あるとき
小さい方から順に
p_1,p_2,・・・
としている、ということです。

p_iに対応する指数を、添え字を合わせて
a_iと書いています。

No.25516 - 2014/04/16(Wed) 02:23:28

☆ Re: 整数問題 / さかなくん

ありがとうございまさいた。
＞たとえば、数列の一般項をa_nと書くようなものです。
こちらでわかりました。

でわ、これからは、nの正の約数が奇数個ある場合は
約数にn=x^2が必ず含まれるという事で考えて問題ない
としまってよいんですね？

＞nの正の約数の個数は
＞(a_1+1)*(a_2+1)*・・・*(a_k+1)
こちらは初めて知りました。ありがとうございました。

互いに素とは、自分で調べてみます。
ありがとうございました。

No.25517 - 2014/04/16(Wed) 02:43:22

☆ Re: 整数問題 / みずき

> これからは、nの正の約数が奇数個ある場合は
> 約数にn=x^2が必ず含まれるという事で考えて問題ない
> としまってよいんですね？

x^2のxが何なのか、が分かりませんが
もし、xがnの素因数を表すのなら、そうとも言い切れません。
指数は2とは限らないからです。
たとえば、n=2^4×3^4=(2^2×3^2)^2=36^2も平方数です。
まとめると、n(≧2)が平方数であることと
nの任意の素因数が偶数個あることは同値である
ということです。

No.25518 - 2014/04/16(Wed) 02:56:35

☆ Re: 整数問題 / らすかる

どうも解説が難しく書かれているように思いますので
少し違う考え方を書いてみます。

p≦√nがnの約数である場合、n/pもnの約数ですから
基本的に(p,n/p)の組が作れます。
例えばn=12ならば
(1,12)(2,6)(3,4)の3組です。
そしてこの組が作れないのは
p=n/pの場合だけですから、
√nが約数である場合だけ、約数が奇数個になります。

No.25519 - 2014/04/16(Wed) 04:51:14

☆ Re: 整数問題 / さかなくん

ありがとうございました。

No.25550 - 2014/04/17(Thu) 14:53:45

★ (No Subject) / ヨウ

教えてください～お願いします。

No.25500 - 2014/04/15(Tue) 21:40:29

☆ Re: / ヨッシー

(x+y)^5 を展開したとき、y が１つだけ掛けられている項は
何ですか？
例えば、10x^3y^2 は、ｙが２回掛けられているので違います。

これが出来ないと、上の問題を解くのは無理です。

No.25501 - 2014/04/15(Tue) 23:53:57

☆ Re: / みずき

> 教えてください～お願いします。

｢（私はここをこう考えたが）『ここ』が分からない｣
という質問をしましょう。
漠然と教えてくださいと言われても、回答しづらいです。

No.25502 - 2014/04/15(Tue) 23:58:06

☆ Re: / ヨウ

ヨッシー先生：
(x+y)^5 = x^5 + 5 x^4 y + 10 x^3 y^2 + 10 x^2 y^3 + 5 x y^4 + y^5
です。
みずき先生：
はい。
すみません。そうします。

No.25522 - 2014/04/16(Wed) 11:39:38

☆ Re: / ヨッシー

それは、 (x+y)^5 を展開したものですね。
そのうち、y が１つだけ掛けられている項はどれですか？

そして、ｘ→3x+1、ｙ→4y に置き換えると、その項は
どうなりますか？

問題を見ると、(3x+1) が何乗かされていますね？
次は、それを展開するとどうなるか？という問題に移っていきます。

No.25523 - 2014/04/16(Wed) 13:51:32

☆ Re: / ヨウ

先生の言う通りに、やってました。教えてくださり、ありがとうございます。

No.25526 - 2014/04/16(Wed) 16:24:34

★ 行列 / まさ

17.32の(1)と(3)の問題がわかりません
(1)では、答えに書かれてる第3固有ベクトルの導出の仕方がなぜそうなるのかわかりせん。
(3)では問題文の[単位ベクトルvが存在して……]の意味がよくわかりません。
なお、こたえはhttp://www.geocities.jp/arrogant_give_and_take/mathematics/the_second_grade/17/17_37.pdfです
よろしくお願いします。

No.25495 - 2014/04/15(Tue) 21:08:15

☆ Re: 行列 / まさ

また、解説のこの部分が理解できないです
よろしくお願いします。

No.25497 - 2014/04/15(Tue) 21:17:58

☆ Re: 行列 / ヨッシー

Ｐを求めるだけなら、p2 に属するベクトルで(1,1,1)/√3, (0,1,-1)/√2 と
独立なベクトルであれば良いのですが、(3) のことを考えて
直交なベクトルにしていると思われます。

この解のように、互いに(どの２組も)直交な３つの単位ベクトルで
出来た行列による変換は空間上の回転を表し、図形を歪ませないので、
(3) で、(x'y'z')系の座標で円であるものは、(x,y,z)系の
座標でも円である(単位ベクトルは単位ベクトル)ので、
(3) 以下の理論が成り立ちます。

No.25520 - 2014/04/16(Wed) 06:02:43

★ ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん

ベクトルの絶対値の2乗の外し方はどのように考えれば、理解しやすいでしょうか？
また、3乗の場合の外し方は合ってますでしょうか？
よろしくお願いします。

No.25490 - 2014/04/15(Tue) 19:26:35

☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / みずき

> ベクトルの絶対値の2乗の外し方はどのように考えれば、理解しやすいでしょうか？

内積の定義にしたがって外すだけです。

|↑a+↑b|^2
=(↑a+↑b)・(↑a+↑b)
=↑a・↑a+↑a・↑b+↑a・↑b+↑b・↑b
=|↑a|^2+2↑a・↑b+|↑b|^2

No.25493 - 2014/04/15(Tue) 20:41:42

☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel

ベクトルに関する || は、「絶対値」ではなく「ノルム」です。つまり、別物。
※このノルムのことを ||ｖ|| と表現したりもしますし…

あくまで、
　|ｖ| = √(ｖ・ｖ)　( ルートの中は内積 )
という関係 ( というか定義 ) に沿って粛々と計算するまでです。

|ａ+ｂ|^2 = |ａ|^2 + 2ａ・ｂ + |ｂ|^2
というのは、あくまで内積の性質からくる
(ａ+ｂ)・(ａ+ｂ) = ａ・ａ + 2ａ・ｂ + ｂ・ｂ
を書き換えたものに過ぎません。

No.25494 - 2014/04/15(Tue) 20:47:13

☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん

皆様ありがとうございます。

絶対値=ノルムと言う物なんですね。
a↑+b↑ノルムとは長さの事で考えて良いのですよね？
この写真の図の様に考えて大丈夫なのでしょうか？

No.25504 - 2014/04/16(Wed) 01:00:04

☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel

> 絶対値=ノルムと言う物なんですね。
ええと「絶対値」という言葉から離れましょう。記号が絶対値と同じものを使うだけで、別物なのです。
※というか、「ベクトルの絶対値」というものは無いはず

高校範囲だと「ノルム」という言葉ではなく「(ベクトルの)大きさ」と表現するところでしょうが、さかなくんさんは高校生ではないですよね。( 勉強しているところが高校範囲だとしても )
用語の使い方は些細なことだと思われるかもしれませんが、少なくとも「○○と××は別物だ」という意識をはっきりさせる上では重要です。
ノルムのことを「絶対値」と言ってしまうと意識する/しないにかかわらず、絶対値の持つイメージと混同を起こし、さかなくんさんが3乗の計算として考えたような勘違いが生まれる余地を残します。
最初から、ノルム |ｖ|=√(ｖ・ｖ) と意識していれば、|ａ+ｂ|^3=( √((ａ+ｂ)・(ａ+ｂ)) )^3 以外にはならないはずだと思います。

No.25544 - 2014/04/17(Thu) 01:15:05

☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel

> ノルムとは長さの事で考えて良いのですよね？
> この写真の図の様に考えて大丈夫なのでしょうか？
それは問題ないです。
※長さの単位cmをつけるか、という問題はともかく

以降は余談です。
実を言うと、高校範囲では「|ｖ|=√(ｖ・ｖ) がノルム(大きさ)の定義」とは習わないだろうと思います。
どちらかと言えば、図形的な観点からベクトルの大きさが決まって、ベクトル同士の角度もあわせて内積を定義すると、|ｖ|=√(ｖ・ｖ) という性質があることも分かる…、こういう話の流れになっているのではないでしょうか。

それはそれで、高校生用のストーリーではあるのですが、それに縛られる理由はないと思います。
先にベクトルがあって、内積が定義されていて、そこからノルムも定義されて、それをユークリッド平面/空間に当てはめたら、点同士の相対位置や、距離、直線同士の角度に丁度対応している…そう捉えられると、高校範囲を超えた話も受け入れやすくなると思います。
※高校でやるベクトルは、ベクトルを図形的な問題に活用するという、応用例の一つにすぎないのです

No.25545 - 2014/04/17(Thu) 01:36:50

☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん

ノルム |ｖ|=√(ｖ・ｖ)
数学は高校までしか学習がないもので。
覚えます。絶対値とは別な物なのですね。
ありがとうございました。

No.25554 - 2014/04/17(Thu) 17:36:41

★ 根号が整数となるようなaの値 / たかひと

Ｑ「√（２０－a）が整数となるような、整数aの値をすべて求めよ。」

この問題がよくわかりません。
√が整数となるには、中のものが何かの２乗になっていなければならないので、今回は（２０－a）が何かの２乗の値になるように考えればよいのはわかります。
「整数a」ということは、aは正の数でも負の数でもＯＫということになりますよね。

０、１、４、９、１６、２５、３６…と考えると、

ａ＝２０，１９，１６，１１，４，－５，－１６，・・

となりきりがないように感じます。

どのようにして解けばよいのか教えてください。

No.25481 - 2014/04/15(Tue) 00:53:58

☆ Re: 根号が整数となるようなaの値 / みずき

＞どのようにして解けばよいのか教えてください。

問題文が間違っていないのであれば、きりがないので、
｢a=20-t^2(tは整数)｣
とか
｢a=20-(t-1)^2(tは自然数)｣
とか
｢整数tを用いて20-t^2と表せる数｣
とか
｢自然数tを用いて20-(t-1)^2と表せる数｣
などと書くしかありません。

No.25482 - 2014/04/15(Tue) 01:17:10

★ 二変数関数の極限 / ktdg

f(x,y)=xy/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))について、(x,y)→(0,0)のときの極限を考えるとき、教科書では、「y=mxとおくと…」と始まっているのですが、なぜy=mxとおけるのですか？

xとyの0に近づく速さが等しいので、x→0のときはy=mxと近似できるということですか？
そもそも、(x,y)→(a,b)のとき、xのaへの近づきかたと、yのbへの近づき方は同じなのですか？
教科書には、「lim[(x,y)→(a,b)]f(x,y)は点(x,y)が点(a,b)に近づく近づき方に関係しない極限を求めている。」と書いてあるのですが、この書き方からだと、y=msinxとか、y=mx^2+nxとかでも良いような気がするのですが…

No.25474 - 2014/04/14(Mon) 22:56:45

☆ Re: 二変数関数の極限 / IT

教科書で、その問題の結論は、どうなっていますか？

No.25476 - 2014/04/14(Mon) 23:23:53

☆ Re: 二変数関数の極限 / ktdg

y=mxとおくと、f(x,mx)=m/(1+m^2) (x≠0). ゆえに、lim[x→0]f(x,mx)=m/(1+m^2)となり、(x,y)が直線y=mx上を原点に近づくとき、直線の傾きmによって極限値が異なる。つまり、原点への近づき方によって極限値がことなる。ゆえに、(x,y)→(0,0)のとき、f(x,y)は極限値をもたない。

となっています。

No.25478 - 2014/04/14(Mon) 23:40:15

☆ Re: 二変数関数の極限 / IT

> つまり、原点への近づき方によって極限値がことなる。ゆえに、(x,y)→(0,0)のとき、f(x,y)は極限値をもたない。

・極限値をもたないことを示すには、異なる２つの原点への近づき方によって値が異なることを示せばよいので
y=mxとおいてもいいですね。（y=x,y=2xとおいてもいいです。）

No.25479 - 2014/04/14(Mon) 23:56:17

☆ Re: 二変数関数の極限 / angel

> 教科書では、「y=mxとおくと…」と始まっているのですが、なぜy=mxとおけるのですか？
その疑問からすると、教科書の文脈を読み違えているように思います。
y=mxというのはあくまで例に過ぎず、これが出てきたのには ( 恐らく分かり易さ以上の ) 理由や必然性はないでしょう。

教科書にある通り、極限は「近づき方に依らない」ものです。逆に言えば、近づき方によって値が変わるようでは、極限は求められません。すなわち、収束しないということ。
この教科書では、収束しない例を挙げて、実際に近づき方を変えてどうなるかを説明しています。なので、近づき方としては、収束しないことがちゃんと見てとれるモノであれば、何でも良いのです。

No.25488 - 2014/04/15(Tue) 18:52:57

☆ Re: 二変数関数の極限 / ktdg

よくわかりました。
ありがとうございます。

No.25492 - 2014/04/15(Tue) 20:23:03

★ 有効数字 / 吉岡

こんばんは。中学２年です。

中学１年で「有効数字」というのをやりましたが、いまひとつわからないまま進級してしまいました。

「家から学校までの距離をはかり、１０ｍ未満を四捨五入したら３８００ｍとなったとき、その測定値の有効数字は上から何ケタですか」という問題の答えはどうなるのでしょうか？

１０ｍ未満、つまり、一の位（０～９ｍ）を四捨五入するということですよね。

３８０４ｍの場合は、４を四捨五入して３８００ｍとなり、変化していないのは３，８，０の３つの数字なので、有効数字は３ケタと考えられますが、３７９８ｍなどの場合、一の位を四捨五入すると十の位、百の位へと繰り上がり、３８００ｍとなります。この場合、変化していない数字は千の位の３だけですので、有効数字といえるのは千の位の１ケタではないでしょうか？

長くなり、質問が破綻してしまったかもしれませんが、宜しくお願いします。

No.25456 - 2014/04/14(Mon) 13:02:39

☆ Re: 有効数字 / らすかる

有効数字は「変化していない数字」ではなく
「四捨五入などをしていない上位桁」です。
（ただし絶対値が1未満の場合に上位に続く0は除く）
一の位を四捨五入すれば十の位から上が有効数字、
十の位を四捨五入すれば百の位から上が有効数字です。

No.25459 - 2014/04/14(Mon) 13:16:19

☆ Re: 有効数字 / 吉岡

らすかるさん、回答ありがとうございます。

「ものさしは1mm単位まではかれるけれども、0.1 mm単位以下はわからない。だから、83mmを少し超える長さの線は、83.3mmかもしれないし、83.5mmかもしれない。しかし、確実に83mmは超えていることは目盛りから読み取れる。このように、確実にいえる部分の数字１つ１つ（今回は8と3）を有効数字という」

というように説明されたので、変化しないものだと誤解していたようです。上記のような解釈は正しいのでしょうか。

また、「有効数字＝信用できる数」とはいえないということでしょうか？

No.25464 - 2014/04/14(Mon) 18:39:28

☆ Re: 有効数字 / angel

> 「有効数字＝信用できる数」とはいえないということでしょうか？

例えば「有効数字2桁」であれば、上位2桁がどうかというよりも、3桁目からは誤差の範囲と考えた方が良いと思います。
その逆の意味で「上位2桁が有効」なのですが、( ポピュラーな四捨五入での端数処理の場合 ) 誤差がプラスなのかマイナスなのかが分からないため、より高精度の値が分かった場合、その上位2桁も変わってくる可能性があります。
※例えば、四捨五入した有効数字2桁の20は、19.5から20.4999…の範囲の数なので
なので、「上位の桁は固定」としてしまうと、それは誤解になります。

No.25465 - 2014/04/14(Mon) 19:28:47

★ 図形（三角関数） / ＴＡＫ

長さaの弦ＡＢに対する円周角が120°であるような弓形の弧上の点をＰとする。Ｐがこの弧（両端を含む）の上を動くとき、３ＡＰ＋２ＢＰの最大値と最小値を求めよ。

この問題で自分は∠ＰＡＢ＝θとおいて三角形ＰＡＢに正弦定理を用いたのですが、答えが合わないので教えてください。

（答え）
最大値・・・(２√7)a/√3
最小値・・・２a　　です。

No.25446 - 2014/04/14(Mon) 00:20:17

☆ Re: 図形（三角関数） / みずき

＞この問題で自分は∠ＰＡＢ＝θとおいて三角形ＰＡＢに正弦定理を用いたのですが、答えが合わないので教えてください。

TAKさんが解かれた過程を書いてもらえれば、
どこで間違えたか指摘できると思います。

No.25452 - 2014/04/14(Mon) 02:03:42

☆ Re: 図形（三角関数） / みずき

一応、略解を書いておきます。

まず、0°≦θ≦60°(・・・(?@))に注意します。
△PABに正弦定理を適用すると、
PA=asin(60°-θ)/sin120°=acosθ-asinθ/√3
PB=asinθ/sin120°=2asinθ/√3
なので、
3AP+2BP
=3acosθ+asinθ/√3
=√{(3a)^2+(a/√3)^2}sin(θ+α)　
ただし、
cosα=1/(2√7),sinα=3√3/(2√7)

よって、
最大となるのは、θ+α=90°のときです。
（θ=90°-αが(?@)を満たすことの確認が必要です）
最小となるのは、θ+α=αまたは60°+αのときですが、
θ+α=α⇔θ=0°のときは、3a
θ+α=60°+α⇔θ=60°のときは、2a
となるので、θ=60°のときの2aが最小値と分かります。

No.25463 - 2014/04/14(Mon) 18:26:23

☆ Re: 図形（三角関数） / ＴＡＫ

ありがとうございます。

最小値はθ+α=αのときでとると思っていたので3aになって答えがあいませんでした。

でもθ+α=αというふうに自分でやったのもなんとなくやったので、なぜ最小となるのは、「θ+α=αまたは60°+αのとき」なのか教えてください。

No.25470 - 2014/04/14(Mon) 22:07:44

☆ Re: 図形（三角関数） / みずき

0°＜α≦θ+α≦60°+α＜150°
における
3AP+2BP=√{(3a)^2+(a/√3)^2}sin(θ+α)　
のグラフを考えています。
(αが鋭角であることは明らかですね)

y=sinθのグラフは、0°＜θ＜90°の範囲で単調増加、
90°＜θ＜180°の範囲で単調減少であることから、
最小値を求めるには、
端点である「θ+α=αまたは60°+αのとき」
だけを調べれば良いと分かります。

No.25477 - 2014/04/14(Mon) 23:36:55

☆ Re: 図形（三角関数） / ＴＡＫ

ありがとうございました。

No.25541 - 2014/04/16(Wed) 23:44:15

★ (No Subject) / ヨウ

皆さん、こんばんは。
はじめまして。日本留学試験を受けるつもりです。数学の準備をしています。わからないところがたくさんありますから、質問させてください。まずは、図のところからです。この問題の解け方、図の描け方を教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

No.25442 - 2014/04/13(Sun) 23:00:40

☆ Re: / みずき

｢解け方｣｢描け方｣とは言いません。
｢解き方｣｢描き方｣と言います。

ab平面に図示するとして
b≦4-2a
は、直線b=4-2aの｢下側（原点を含む方）｣の半平面を表します。
ただし、直線自身も含みます。

1-a＜b
は、直線b=1-aの｢上側（原点を含まない方）｣の半平面を表します。
ただし、直線自身は含みません。

残り2つも同様です。

No.25445 - 2014/04/13(Sun) 23:38:40

☆ Re: / ヨウ

> ｢解け方｣｢描け方｣とは言いません。
> ｢解き方｣｢描き方｣と言います。
>
> ab平面に図示するとして
> b≦4-2a
> は、直線b=4-2aの｢下側（原点を含む方）｣の半平面を表します。
> ただし、直線自身も含みます。
>
> 1-a＜b
> は、直線b=1-aの｢上側（原点を含まない方）｣の半平面を表します。
> ただし、直線自身は含みません。
>
> 残り2つも同様です。
日本語まで教えてくださり、ありがとうございます。
図の描き方をやってみます。ありがとうございます。

No.25460 - 2014/04/14(Mon) 13:50:56

☆ Re: / ヨウ

先生、すみません。実際にやってみしたが、この四つの不等式を満たすは何処なのか、わかりませんでした。

No.25461 - 2014/04/14(Mon) 17:33:17

☆ Re: / みずき

直線b=4-2aと直線b=1+aの交点(1,2)をA、
直線b=4+2aと直線b=4-2aの交点(0,4)をB、
直線b=4+2aと直線b=1-aの交点(-1,2)をC、
直線b=1+aと直線b=1-aの交点(0,1)をD
とそれぞれおくとき、
4つの不等式
○1：b≦4+2a
○2：b≦4-2a
○3：b＞a+1
○4：b＞1-a
を満たす点(a,b)の範囲は、四角形ABCDの内部です。
ただし、境界は、線分ABと線分BCのみ含みます。
（点Bは含みますが、点A,Cは含みません。）

No.25462 - 2014/04/14(Mon) 17:50:07

☆ Re: / ヨウ

りかいしました。ホントにありがとうございます。＾＾

No.25469 - 2014/04/14(Mon) 22:05:32

★ 中間値の定理 / ktdg

a,b,cを実数とするとき、3次方程式 x^3+ax^2+bx+c=0 は実数解をもつことを示せ。

この問題について僕は以下のように示しました。

f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおくと、f(x)は(-∞,∞)で連続で、x→∞のときf(x)→∞、x→-∞のときf(x)→-∞だから、任意の実数αについてf(x)=αをみたすxが存在する。(∵中間値の定理) よってf(x)=0をみたすxが存在する。よって示された。

教科書に乗っていた解答は以下のようなものでした。
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおく。
x→∞のとき、f(x)/x^3=1+a/x+b/x^2+c/x^3→1
ゆえに、f(α)={f(α)/α^3}×α^3>0をみたす正数αが存在する。
x→-∞のとき、f(x)/x^3→1
ゆえに、f(β)={f(β)/β^3}×β^3<0をみたす負の数βが存在する。関数fは閉区間[β,α]で連続であり、f(β)<0<f(α)だから、中間値の定理より、f(x)=0をみたすxが区間[β,α]内に存在する。すなわち、方程式x^3+ax^2+bx+c=0をみたす実数が存在する。

教科書の解答では無理やり閉区間[β,α]をつくってその区間に中間値の定理を用いていますが、開区間(-∞,∞)ではいけないのでしょうか？

No.25436 - 2014/04/13(Sun) 22:35:12

☆ Re: 中間値の定理 / ktdg

補足) 大学一年です。

No.25437 - 2014/04/13(Sun) 22:40:01

☆ Re: 中間値の定理 / らすかる

中間値の定理は閉区間の場合しか証明されていませんので、
開区間には使えません。

No.25440 - 2014/04/13(Sun) 22:49:40

☆ Re: 中間値の定理 / ktdg

回答ありがとうございます。
以下のように改めました。
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおくと、x→∞のときf(x)→∞、x→-∞のときf(x)→-∞だから、十分小さい数αで、f(α)<0となるものが存在し、十分大きい数βで、f(β)>0となるものが存在する。f(x)は[α,β]で連続であり、f(α)<0<f(β)より、f(x)=0をみたすxが[α,β]に存在する(∵中間値の定理)。よって示された。

端点をきめて閉区間をつくっただけですが、これで示せてしますか？

No.25447 - 2014/04/14(Mon) 00:29:40

☆ Re: 中間値の定理 / らすかる

それだけだとα＜βかどうかわかりませんので
[α,β]を考えるのは問題があると思います。

No.25449 - 2014/04/14(Mon) 01:04:20

☆ Re: 中間値の定理 / IT

ktdgさんへ
α、βとしてa,b,cの具体的な式で表現される値を取ると良いのでは。

No.25466 - 2014/04/14(Mon) 20:09:39

☆ Re: 中間値の定理 / ktdg

十分小さい「負の」数α
十分大きい「正の」数β
とすればよいですか？

No.25467 - 2014/04/14(Mon) 20:14:05

☆ Re: 中間値の定理 / IT

それでもいいかも知れませんが、
m＝max(|a|,|b|,|c|,1)、α＝-2m、β＝2m　など具体的な値を示すのも一つの方法です。

No.25468 - 2014/04/14(Mon) 20:31:42

☆ Re: 中間値の定理 / ktdg

ありがとうございます。

No.25473 - 2014/04/14(Mon) 22:40:11