ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 平均値の定理 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

こんばんは。

何卒宜しくお願い致します。

No.81699 - 2022/04/07(Thu) 19:25:06

☆ Re: 平均値の定理 / m

(1)
f'(x) は一次式なので，
cについての一次方程式
f(b)-f(a) = (b-a)f'(c)
を解くことになる．簡単．

(2)
まず h>0 を考える．
(1)に b=a+h を代入して移項整理，(2)の式と比較すれば
f'(c) = f'(a+θh)
となる θ を見つければよい．
これは θ の一次方程式．解ける．

h<0 は工夫してください．腕の見せ所です．

No.81702 - 2022/04/07(Thu) 19:52:33

☆ Re: 平均値の定理 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

ｍ先生に

こんばんは。

回りくどいのですが、以下のように考えました。

No.81703 - 2022/04/07(Thu) 20:06:26

☆ Re: 平均値の定理 / m

(1)合っています．
ただ，「ラグランジュの定理」といえば平均値の定理じゃないものを思い浮かべるのだけれど（私だけ？）．
「ラグランジュの平均値定理」と書いてくれるとありがたいです．
[追記]よくよく考えると文脈でわかるので「ラグランジュの定理」でも問題ない気がしてきました．
ちなみに平均値の定理は英語で MVT (mean value theorem) と略されます．「Lagrange's MVT より」とか書くとプロっぽい笑

(2)
細かいですが，(1)は a<b を暗に仮定しているので，h<0 のときは b = a+h を直接代入することはできません．

また，θを求める問題で回答の一行目に
「θ=(c-a)/(b-a) とおくと...」
は不思議です．

(1)に b = a+h を代入して（このとき c=a+(h/2)）整理すれば
f(a+h) = f(a)+hf'(a+(h/2))
を得ます．
f(a+h) = f(a)+hf'(a+θh)
となるθを見つけるのが目標ですから
f'(a+(h/2))=f'(a+θh)
をθについて解けばいいとは思いませんか．

No.81706 - 2022/04/07(Thu) 20:53:38

追伸

今日の今日

ラグランジュの平均値定理
を
知ったばかりで応用できるまでには時間が必要です。

いつの日かｍ先生のように考えられればと

思っております。

No.81709 - 2022/04/07(Thu) 21:24:35

★ 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

こんにちは。

何卒宜しくお願い致します。

次を証明せよ

です

No.81695 - 2022/04/07(Thu) 13:58:10

☆ Re: 微分可能な関数 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学３０日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

私の途中までの答案です

先に進めません

アドバイスいただけると幸いです。

No.81696 - 2022/04/07(Thu) 15:38:02

☆ Re: 微分可能な関数 / m

絶対値で考えると処理しやすい：

問題文の仮定から |f'(θx)| < 1 なので
|f(x)| = |x f'(θx)| < |x| (x≠0)
となる．

No.81697 - 2022/04/07(Thu) 18:18:56

ｍ先生に

お久しぶりです

早速ですが

＞問題文の仮定から |f'(θx)| < 1

この理由がわかりません

ご教授よろしくお願いいたします

No.81698 - 2022/04/07(Thu) 18:53:13

☆ Re: 微分可能な関数 / m

問題文の「|f'(x)| < 1」はすべての x に対して成り立つと解釈します．
（x の範囲が明記されていない場合 x の動ける範囲全体で成り立つと解釈するのが普通．文脈に依る．）

特に，「|f'(θx)| < 1」も成り立ちます．

// A⇒B の A の部分を勝手に「仮定」と呼ぶことは，正確でなかったかも．
// これで混乱を招いていたら，ごめんなさい．

No.81700 - 2022/04/07(Thu) 19:35:50

ｍ先生に

こんばんは。

私も
＞「|f'(x)| < 1」はすべての x に対して成り立つと解釈

して考えていましたが、何か腑に落ちず

次のような考察をしてみました

No.81701 - 2022/04/07(Thu) 19:50:45

☆ Re: 微分可能な関数 / m

考察は正しいと思います．
実は平均値の定理は二つの形がある：
1. ある c (a<c<b) が存在して f(b)-f(a) = (b-a) f'(c) が成り立つ．
2. ある θ (0<θ<1) が存在して f(a+h) = f(a) + h f'((a+θh) が成り立つ．

K・A さんの考察の(4)まででこの二つの主張が同じであることを確認したことになっています．
//ベクトルっぽく c を a と b=a+h の θ:(1-θ) 内分点だと思って考えるのもありですね．

最後の行「...両辺微分して...」は，単に，
「θx = c だから f'(θx) = f'(c)」
と説明した方がすっきりして誤解がありません．
//誤解というのは，「合成関数の微分から f(θx) の微分は θf'(θx) になるのでは？」のこと．

No.81704 - 2022/04/07(Thu) 20:23:00

ｍ先生に

ご返答ありがとうございます

この考察の結果を本問題に利用したいのですが

どの様にすればいいでしょうか

何卒宜しくお願い致します。

No.81705 - 2022/04/07(Thu) 20:42:27

☆ Re: 微分可能な関数 / m

どこで迷っていますか．
「|f'(θx)| < 1」は納得できましたか．
No.81697 の様にするのはどうですか．

No.81707 - 2022/04/07(Thu) 21:01:17

せっかく
f'(θx)=f'(c)
と考察できたので

f'(θx)| < 1

の証明に使いたいと思います

我儘言って申し訳ございません

No.81708 - 2022/04/07(Thu) 21:16:42

☆ Re: 微分可能な関数 / m

「|f'(x)| < 1」はどんな x についても |f'(x)|<1 ということ
つまり x を θx で置き換えることで（θが何であろうとも）
|f'(θx)|<1
は既にいえている．

平均値の定理の気持ちは「平均変化率と傾きが一致する接線が少なくとも一本は引ける」こと．
その接点のx座標の表し方が今回は θx, c の二通りあるだけで，その二つが等しいのは実はあたりまえ．
その点で，|f'(θx)| < 1 を証明するために f'(θx)=f'(c)を使うのはナンセンス．

No.81711 - 2022/04/07(Thu) 22:22:36

★ (No Subject) / パズルがわかりません

3×4の盤面に2個の1×1のブロック、2個の1×2のブロック、2個の1×3のブロックを
敷き詰める方法の総数はいくらでしょうか。この問題の答えがわかりません。
よろしければご教授お願いします。

No.81674 - 2022/04/05(Tue) 14:10:13

☆ Re: / らすかる

基本的に数えるしかない気がしますが、
それ以前に「反転して一致するもの」や
「回転して一致するもの」は同一視するのでしょうか？
それがわからないと、答えが出せません。
例えば
上下反転して一致する
□■△▲　　　□■○●
□■△▲　　　□■△▲
□■○●　　　□■△▲
左右反転して一致する
□■△▲　　　▲△■□
□■△▲　　　▲△■□
□■○●　　　●○■□
回転して一致する（上下反転+左右反転と一緒）
□■△▲　　　●○■□
□■△▲　　　▲△■□
□■○●　　　▲△■□
それぞれを一つと数えるか二つと数えるかという話です。

No.81675 - 2022/04/05(Tue) 16:36:27

☆ Re: / パズルがわかりません

同一視する場合としない場合両方ともお願いしてよろしいでしょうか。
ご多忙の折恐縮ですがよろしくお願いします。解答だけで結構です。

No.81676 - 2022/04/05(Tue) 18:40:53

☆ Re: / らすかる

非対称形パターン(1パターンが32通りになる)
□■△▲　　□■△○　　□■△○　　□■△△　　□■△△　　□△■▲
□■△▲　　□■△▲　　□■△●　　□■▲▲　　□■○▲　　□△■▲
□■○●　　□■●▲　　□■▲▲　　□■○●　　□■●▲　　□○■●

□△■●　　□△○■　　□■■■　　□■■■　　□■■■　　□■■■
□△■▲　　□△●■　　□△▲○　　□△▲▲　　□△○▲　　□△○●
□○■▲　　□▲▲■　　□△▲●　　□△○●　　□△●▲　　□△▲▲

□■■■　　□■■■　　□■■■　　□■■■　　□■■■　　□■■■
□○△▲　　□▲▲△　　□○●△　　□△△○　　□△△○　　□○△△
□●△▲　　□○●△　　□▲▲△　　□▲▲●　　□●▲▲　　□▲▲●

□■■■　　□△△○　　□□□△　　□□□△　　□□□△　　□□□○
□○△△　　□■■■　　■■■△　　■■■△　　■■■△　　■■■△
□●▲▲　　□●▲▲　　▲▲○●　　○▲▲●　　○●▲▲　　▲▲●△

□□□○　　□□□○　　□□□○　　□□□○　　□□□○　　□□□△
■■■△　　■■■●　　△■■■　　△■■■　　●■■■　　▲▲○△
●▲▲△　　△△▲▲　　△▲▲●　　△●▲▲　　△△▲▲　　■■■●

□□□△　　□□□△　　□□□△
○▲▲△　　▲▲○△　　○▲▲△
■■■●　　●■■■　　●■■■
計33通り

上下対称形(1パターンが16通りになる)
□■△△　　□○△△　　□△△○　　□□□○
□■○●　　□■■■　　□■■■　　△△▲▲
□■▲▲　　□●▲▲　　□▲▲●　　■■■●
計4通り

左右対称形(1パターンが16通りになる)
□△▲■　　□△△■　　△□■▲　　
□△▲■　　□▲▲■　　△□■▲　　
□○●■　　□○●■　　○□■●　　
計3通り

点対称形(1パターンが16通りになる)
□△○■　　△□■●　　□□□△　　□□□○
□△▲■　　△□■▲　　▲○●△　　△△▲▲
□●▲■　　○□■▲　　▲■■■　　●■■■
計4通り

上下対称かつ左右対称形(1パターンが8通りになる)
□△△■
□○●■
□▲▲■
計1通り

従って
対称パターンを同一視する場合
33×8+4×4+3×4+4×4+1×2=310通り
対称パターンを同一視しない場合
33×32+4×16+3×16+4×16+1×8=1240通り

No.81677 - 2022/04/05(Tue) 20:08:45

☆ Re: / パズルがわかりません

詳しい解答有難うございました。
お忙しいところ誠に感謝に耐えません。
大変お手数おかけしました。
敬具

No.81681 - 2022/04/05(Tue) 22:27:26

★ (No Subject) / 数学苦手

こちらの問題について、質問です。

No.81668 - 2022/04/05(Tue) 10:34:33

☆ Re: / 数学苦手

選択肢2の2000年のヨーロッパの人口が世界全体に占める割合がなぜ1/8になるのか分かりませんでした。

No.81669 - 2022/04/05(Tue) 10:37:12

☆ Re: / ヨッシー

1/5 の方は納得したのですか？

No.81670 - 2022/04/05(Tue) 11:33:10

☆ Re: / 数学苦手

605÷3022=0.20019以下略…なので、約0.2と考えて2/10で約分して1／5となると考えました。

その考え方で、2000年の方は729÷6054=0.120416以下略…となり、約0．12と考えて、12/100として4で約分して、3/25となってしまいました。解説と違うので、不安でした。

No.81671 - 2022/04/05(Tue) 11:54:27

☆ Re: / ヨッシー

3/25≒3/24＝1/8 ですね。

で、結果（選択肢２の真偽）はどうだったのですか？

それを見れば、ここの部分を 3/25 にするか 1/8 にするかで
迷うのは、時間のムダだとわかるはずです。

No.81672 - 2022/04/05(Tue) 12:09:35

☆ Re: / 数学苦手

> 3/25≒3/24＝1/8 ですね。
>
> で、結果（選択肢２の真偽）はどうだったのですか？
>
> それを見れば、ここの部分を 3/25 にするか 1/8 にするかで
> 迷うのは、時間のムダだとわかるはずです。

答えは解答と同じになりました。
でも、1／8が何故出てくるのかは分からなかったです…

No.81686 - 2022/04/06(Wed) 18:17:42

☆ Re: / ヨッシー

もちろん、1/8 を持ち出す意味は全然ありません。
　729÷6054≒0.12＜0.2
よって、これが、0.2(＝1/5) の1.2 倍であることは
あり得ない。で十分です。

最初に 1/5 を出してきたので、後者も分母が 1 の分数を持ち出して
比較がしたかったのでしょう。
浅はかと言えば浅はかです。

No.81687 - 2022/04/06(Wed) 23:19:50

★ 分数式 / Masuko

1/a+1-1/a+3-1/a+2+1/a+4

これを解くにあたり続きは、

=(a+2)-(a+1)/(a+1)(a+2) - (a+4)-(a+3)/(a+3)(a+4)

とするようなのですが、

=(a+4)+(a+1)/(a+1)(a+4) - (a+3)-(a+2)/(a+2)(a+3)

という続きにしない理由は何でしょうか。
理由を知りたいです。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.81666 - 2022/04/05(Tue) 07:55:43

☆ Re: 分数式 / ast

ん? と思ったけどこういう式のつもりか (注意書きにもありますが, 分母・分子の範囲はきちんと括弧で括らないと誤解しか生みませんよ).
# あと,
# > これを解くにあたり
# 式を計算することを「解く」とは言いませんので意識的に矯正してください.
## なおいまは問題文も提示されておらず, どのような種類の計算結果を得させる目的かも不明なので,
## 「問題を解く」という意味での「解く」だというのもこの場合適当ではありません.
## (問題の意図・趣旨が明らかにされている状況ならこの言い分でも個人的には構いませんが)

閑話休題.
> 理由は何かありますか。
ありません. 模範解答のほうが分子が両方 1 になるので後が楽になるから, と言えなくもないけれど, 質問者の方法でも片方が分子が 1 次式になる程度でいうほど違わないですし.
# まあ, 次数が高くてもいいのであれば, むしろ何故最初から全部通分しないのか, となりそうですが.

これがもし, こんなふうに項をどんどん増やす数列の和を考えているとか, さらに無限和の収束 (これとかこう (かな?) とか) を議論したいのであれば細かい違いでも後に響くので気にしたほうがよいことも多いですが.

No.81667 - 2022/04/05(Tue) 08:38:57

☆ Re: 分数式 / Masuko

ast様

色々と不備がある投稿で申し訳ありませんでした。
その上でご回答くださり、有難うございました。感謝いたします。

No.81680 - 2022/04/05(Tue) 21:59:05

★ 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

No.81641 - 2022/04/04(Mon) 16:08:45

☆ Re: 関数の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

問題添付します。

No.81642 - 2022/04/04(Mon) 16:09:30

追伸

この質問はラスカルさんにすでに依頼しています

No.81645 - 2022/04/04(Mon) 16:14:07

☆ Re: 関数の極限 / らすかる

(1)はロピタルの定理を使えば簡単です。
(2)はe^(1)です。

No.81652 - 2022/04/04(Mon) 21:46:01

☆ Re: 関数の極限 NEW / らすかる
(1)はロピタルの定理を使えば簡単です。
(2)はe^(1)です。
No.81652 - 2022/04/04(Mon) 21:46:01

是非とも過程を頂けませんか

何卒宜しくお願い致します。

No.81653 - 2022/04/04(Mon) 22:00:10

答は此方でも把握していますから

途中過程を頂きたいのですが

No.81655 - 2022/04/04(Mon) 22:20:02

☆ Re: 関数の極限 / らすかる

(1)
lim[x→0](1/x)log((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{(a^x+b^x+c^x)/3}'/((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{a^x+b^x+c^x}'/(a^x+b^x+c^x)
=lim[x→0](loga・a^x+logb・b^x+logc・c^x)/(a^x+b^x+c^x)
=(loga+logb+logc)/3
=log(abc)/3
(2)
e^{log(abc)/3}=[3]√(abc)
となります。

No.81657 - 2022/04/04(Mon) 23:07:41

☆ Re: 関数の極限 NEW / らすかる
(1)
lim[x→0](1/x)log((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{(a^x+b^x+c^x)/3}'/((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{a^x+b^x+c^x}'/(a^x+b^x+c^x)
=lim[x→0](loga・a^x+logb・b^x+logc・c^x)/(a^x+b^x+c^x)
=(loga+logb+logc)/3
=log(abc)/3
(2)
e^{log(abc)/3}=[3]√(abc)
となります。

--------------------------------

微分を多様しているようですが

そもそもx=0 で微分可能なのですか

No.81658 - 2022/04/05(Tue) 00:24:53

x=0 で連続ですか

No.81659 - 2022/04/05(Tue) 00:27:37

☆ Re: 関数の極限 / らすかる

指数関数は実数全体で微分可能（なので当然連続）です。

No.81660 - 2022/04/05(Tue) 00:38:25

lim[x→0](1/x)log((a^x+b^x+c^x)/3)
=lim[x→0]{(a^x+b^x+c^x)/3}'/((a^x+b^x+c^x)/3)

１行目から２行目はどの様な変形ですか

No.81661 - 2022/04/05(Tue) 00:47:34

☆ Re: 関数の極限 / らすかる

分母のxは微分して1になるので消えます。
分子のlog(○)は微分すると○'/○です。

No.81662 - 2022/04/05(Tue) 00:57:08

ロピタルの定理の使える場合の制約は満たしていますか

No.81663 - 2022/04/05(Tue) 01:10:42

log1=0

ですね。

失礼しました

No.81664 - 2022/04/05(Tue) 01:18:38

やっぱり

ロピタルの定理は最強ですね

大変勉強になりました

この問題をロピタルの定理を使わないで考えるとき

結構難儀ですね

また、宜しくお願い致します。

No.81665 - 2022/04/05(Tue) 01:24:32

★ 微分可能性 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

こんばんは

何卒宜しくお願い致します。

No.81625 - 2022/04/03(Sun) 17:14:33

☆ Re: 微分可能性 / mathmouth

まず|g(0)|≦f(0)=0からg(0)=0.
さらに, f(x)≧|g(x)|≧0=f(0)よりfは原点で広義極小(最小と言っても構わない)となり, さらにfは原点で微分可能ゆえf'(0)=0.
(証明は
xは原点近傍に属すものとして,
f(x)-f(0)≧0より
{f(x)-f(0)}/x≧0(x>0)…(i),
{f(x)-f(0)}/x≦0(x<0)…(ii).
fの原点での微分可能性からfの両側微分係数は一致して, (i),(ii)でそれぞれx→+0,x→-0としてf'(0)≧0かつf'(0)≦0すなわちf'(0)=0を得る.)
以上を踏まえると,
|g(x)|≦f(x)
⇔-f(x)≦g(x)≦f(x)
⇔-{f(0+x)-f(0)}≦g(0+x)-g(0)≦f(0+x)-f(0)
で辺々x(≠0)で割ればxの符号に依らず
-|{f(0+x)-f(0)}/x|≦{g(0+x)-g(0)}/x≦|{f(0+x)-f(0)}/x|
となり, 左辺と右辺についてx→0の極限を考えれば
(左辺)→-|f'(0)|=0, (右辺)→|f'(0)|=0
となり, 関数の極限に関するはさみうちの原理から, 中辺について
g'(0)=lim[x→0]{g(0+x)-g(0)}/x=0.

となります.

No.81633 - 2022/04/03(Sun) 21:42:41

☆ Re: 微分可能性 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

mathmouth先生に

私の答案が出来ました

ご評価ください

No.81648 - 2022/04/04(Mon) 18:12:16

☆ Re: 微分可能性 / mathmouth

図も利用しておおまかなイメージは理解されているようなので, 答案の流れとしてはだいたいそれで大丈夫だと思います.
しかし, 不備がある点を指摘させていただくと
・有限な極限値が存在するかどうかわかっていないもの(例えばlim[h→0]|g(h)/h|など)をあたかも最初からそれが有限の極限値であるかのように扱うことはできません. 具体的には, 極限をとる前の不等式において極限の存在が既知でないものが含まれるのに極限をとったものを不等号で評価することは誤りです. したがって, (6)(文字化けの都合上丸を()で代用します)でg(x)の原点での微分可能性(接線の存在)を仮定してしまっていること, (7)の1つ上の不等式から各辺で形式的に極限をとって(7)のように変形してしまっている(このようなことをしてもよいのは不等式の各辺の極限が存在してかつ有限であるとき)ことなどが誤りです.
・(7)の2行下の不等式が,等号で結ばれた等式としてではなく不等式で書かれていないのかが疑問です. fは原点で微分可能と条件にあるので原点における左微分係数(h→-0の極限)と右微分係数(h→+0の極限)はともに微分係数(h→0の極限)に等しいですが, それが述べられていなくて答案のように代わりに不等式が書かれているだけだと, その不等式とその下2行の議論はf'(0)=0の根拠としては不十分になってしまっています. (∵f'(0)が(0以下の値)以上かつ(0以上の値)以下としかいえていないから.) したがって, (7)の2行下の「推測され〜」以降は不等号≦で結んだ不等式ではなく等号=で結んだ等式を書くべきだと思います.
・1つ目の極限に関する指摘と関わってくる部分もありますが, "はさみうちの原理"の主張は, "A(x)≦B(x)≦C(x)でx→aでA(x)とC(x)が同じ値Kに収束するならば, B(x)もx→aでKに収束する"というものであり, 極限値の存在が既知でない関数の"収束性"と"収束先"について述べている定理です. したがって, 「はさみうちの原理よりA(x)≦B(x)≦C(x)からただちにlim A(x)≦lim B(x)≦lim C(x)」としてしまうと, B(x)の収束性が既知でないのに1つ目の指摘で述べたような誤った操作をしているように見えかねないので, 個人的には「A(x)≦B(x)≦C(x)でlim A(x)=lim C(x)=K(有限値)ゆえ, はさみうちの原理からlim B(x)=K」のように記述するのが無難で好ましいと思います. また, 下から3行目の「ハサミ打ちの原理より〜」は不要です. (2つ目の指摘による修正を施した上で)はさみうちの原理ではなく, 単なる不等式評価による結果です.

P.S. 私の解答がわかりにくいようだったので, お詫び申し上げます. もう少し簡単な言葉で(近傍などを説明なしで使わずに)書くべきだったのかもしれません.

No.81649 - 2022/04/04(Mon) 19:16:53

mathmouth先生に

読ませて頂きました

私の答案には幾多の不備があるようです

これから学習して頑張ります
本当にありがとうございました

No.81650 - 2022/04/04(Mon) 20:08:30

★ 微分可能 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

No.81623 - 2022/04/03(Sun) 13:58:39

☆ Re: 微分可能 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

以下

私の答案です

ご評価ください。

No.81631 - 2022/04/03(Sun) 19:15:30

☆ Re: 微分可能 / らすかる

lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h の形は
定義に従って微分する場合の式ですから、
この形の式にロピタルの定理を使うのは本末転倒です。
微分がわかっている場合は
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
の形にする必要はなく、
lim[x→1-0]f'(x)=lim[x→1-0]nx^(n-1)=n
で十分です。
よって後半でロピタルの定理を使わないようにするか、
もしくは前半も
lim[x→-0]f(x)=lim[x→-0]0=0
lim[x→+0]f(x)=lim[x→+0]x^n=0
のようにして
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h の形の式を使わないようにするかの
どちらかにするべきだと思います。

No.81636 - 2022/04/04(Mon) 14:08:27

その前に

No.81630 - 2022/04/03(Sun) 19:09:58

の解説をお願い致します。

No.81638 - 2022/04/04(Mon) 15:43:27

mathmouth先生の

解説は私には難しすぎて理解できませんでしたので

噛み砕いて詳しく教えていただけると幸いです。

No.81639 - 2022/04/04(Mon) 15:45:37

ラスカルさんの

解説はとてもわかりやすいので

是非ともラスカルさんから

回答をお願いします。

No.81640 - 2022/04/04(Mon) 16:00:54

ラスカルさんへ

今、新しい質問を立てました

是非とも教えてください

No.81642 - 2022/04/04(Mon) 16:09:30

No.81644 - 2022/04/04(Mon) 16:11:42

★ 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

おはようございます。

何卒宜しくお願い致します。

No.81615 - 2022/04/03(Sun) 11:01:58

☆ Re: 導関数の定義 / X

f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (A)
にx=3を代入して
f(3+y)=f(3)+f(y)+6y
これより
{f(3+y)-f(3)}/y=f(y)/y+6 (B)
一方、(A)にx=y=0を代入して
f(0)=0
∴(B)は
{f(3+y)-f(3)}/y={f(y)-f(0)}/y+6
両辺のy→0の極限を取ると、微分係数の定義により
f'(3)=f'(0)+6
∴f'(0)=1を代入して
f'(3)=7

No.81616 - 2022/04/03(Sun) 11:14:39

☆ Re: 導関数の定義 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数学３独学２９日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

ｘ先生

お久しぶりです

早速ですが私の考え方を見てください

No.81617 - 2022/04/03(Sun) 11:19:41

☆ Re: 導関数の定義 / X

その方針でも問題ありません。

No.81619 - 2022/04/03(Sun) 11:21:41

☆ Re: 導関数の定義 / らすかる

「f(x)は微分可能」とは書かれていませんので、勝手に微分することはできないと思います。

No.81624 - 2022/04/03(Sun) 15:52:05

ラスカル様

御もっともで

では、f(x) は、微分可能である事を示せますか

何卒宜しくお願い致します。

No.81628 - 2022/04/03(Sun) 18:57:35

微分可能性について触れて下さい

No.81629 - 2022/04/03(Sun) 18:59:23

私の答案は

f(x)は微分可能として論じております

微分不可能である論証をお示し下さい

No.81630 - 2022/04/03(Sun) 19:09:58

☆ Re: 導関数の定義 / mathmouth

> 私の答案は
>
> f(x)は微分可能として論じております
>
> 微分不可能である論証をお示し下さい

横から失礼します.
fの微分可能性については,
Xさんの一番はじめの返信において, 3の部分を3に限らず一般のxのままで議論すれば同様にして原点での微分可能性と所与の等式からfがR上微分可能であることがわかります(さらにf'(x)=2x+1であることもわかります).

したがって, 実際fは微分可能ではあるものの最初から微分可能性を仮定しているのが誤りなのであって, 結局fが微分不可能であることはありえません.

No.81632 - 2022/04/03(Sun) 21:13:26

☆ Re: 導関数の定義 / らすかる

> 私の答案は
> f(x)は微分可能として論じております
> 微分不可能である論証をお示し下さい

私は「微分不可能」とは言っていません。
f(x)は微分可能とも微分不可能とも指定されていませんので、
微分可能かどうかは(調べないと)わかりません。
よって(微分可能かどうか調べることなく)「微分可能として論ずる」のは誤りです。

No.81643 - 2022/04/04(Mon) 16:10:24

＞私は「微分不可能」とは言っていません。

この関数は微分可能です

その論証を噛み砕いて示して下さい

No.81646 - 2022/04/04(Mon) 16:29:54

＞微分可能かどうかは(調べないと)わかりません。

調べてください。

No.81647 - 2022/04/04(Mon) 16:31:39

☆ Re: 導関数の定義 / らすかる

> この関数は微分可能です
> その論証を噛み砕いて示して下さい

「微分可能」を示さなければならないのは、
「f(x)は微分可能として論じております」と主張する人です。
私は示しません。

> ＞微分可能かどうかは(調べないと)わかりません。
> 調べてください。

調べる必要があるのは、微分しようとする人です。
私は調べません。

# なぜ変な方向に進むのですか？私は
# ・微分可能かどうかわからない関数を勝手に微分してはいけない
# ・微分するならば微分可能であることをその前に示す必要がある
# と言っているだけです。
# 81617の方法をとりたければ、自分で微分可能であることを示してください。
# 微分可能を示さないと、81617の解答は×です。
# 示せないならば、他の方法で解答するしかありません。

# それから、こういった掲示板は回答したい人が自由に回答するところであり、
# 私個人に依頼されても困ります。
# 81645のようなことを書くと他の人が回答できませんので、
# 削除をおすすめします。

No.81651 - 2022/04/04(Mon) 21:19:11

mathmouth先生は

しっかり調べて議論されてますが、、、

No.81654 - 2022/04/04(Mon) 22:13:17

☆ Re: 導関数の定義 / らすかる

ではmathmouth先生にお聞きになって下さい。

No.81656 - 2022/04/04(Mon) 23:06:24

☆ Re: 導関数の定義 / mathmouth

> mathmouth先生は
>
> しっかり調べて議論されてますが、、、

微分可能性を示せ, という指示に対して私が回答しただけであって, 微分可能性を用いた議論がしたければ先に微分可能性を示さないといけないだけで, 問題の指示はfのR(実数)上の微分可能性を調べることとは異なります. らすかるさんに対して上のような返信をされた意味がわかりかねます.
　
微分可能性を調べろ, というならば私の述べた通り, Xさんの解答で3の代わりにxのままで議論すれば示せますが, そもそも問題の指示は点3における微分係数を求めることでした. Xさんの解答では点3における微分可能性と微分係数を同時に導けています. それを3に限らず一般の点xで同様に議論すれば, fの点xにおける微分可能性と微分係数f'(x)=2x+1が得られる, と私は述べたまでですが, そのようにしてfの微分可能性を示した後に質問者さんのような解答をすれば決して誤りではありませんが明らかに遠回りです(はじめから点3における微分可能性と微分係数を導いておけばよいので).
整理すると,
はじめから微分可能性を仮定して議論するのはまずいので(微分可能性を利用した議論がしたいのであれば)その前に微分可能性を示さないといけないものの, 微分可能性を示すと付録として同時に微分係数の値も得られるので, だったらXさんのように最初から点3における微分可能性を調べるような議論をして同時にf'(3)の値を求めるのが遠回りではなく最も簡潔だということです.
※今回の問題のように微分可能か否かわかってない状況で具体的な関数方程式が与えられている場合, たいてい関数方程式の形から微分可能性を調べようとすると, 同時に導関数の形もわかることが多いので, 「(i)微分可能性を示す(この段階で導関数の形がわかっていることが多い)→(ii)微分可能性と関数方程式から導関数を求める」という流れの議論は明らかに遠回り, というか(ii)が蛇足を含む答案になってしまいかねません.　導関数を求めよ, という指示があれば(i)で事足りますし, 今回の問題のように具体的な点での微分係数の値を求めよ, という指示があれば具体的な点において(i)の議論を行えば十分だということです.

No.81673 - 2022/04/05(Tue) 13:07:06

長らくご返信出来ず申し訳ございませんでした

旅行行ってました

以下問題と私の考え方

No.81607 - 2022/04/03(Sun) 07:30:18

☆ Re: 導関数の定義 / らすかる

微分を「定義に従って」考えている場合にロピタルの定理を使ってはいけないと思います。

No.81609 - 2022/04/03(Sun) 10:16:30

ラスカル先生

おはようございます

お久しぶりです

早速ですが

私の答案は定義に従い２行目まで

それに従っています

異論はございますでしょうか

No.81610 - 2022/04/03(Sun) 10:24:11

追伸

飽く迄

１，２行目が定義だと思います。

No.81611 - 2022/04/03(Sun) 10:26:20

導関数の定義には従っています

No.81612 - 2022/04/03(Sun) 10:38:05

☆ Re: 導関数の定義 / らすかる

ロピタルの定理を使う前までは問題ありませんが、その後はNGです。

No.81613 - 2022/04/03(Sun) 10:38:53

こんにちは。

＞その後はNGです。

その理由を教えてください

No.81614 - 2022/04/03(Sun) 11:01:17

☆ Re: 導関数の定義 / X

導関数を(全て)定義に従って求める、という条件があるので
例え
ロピタルの定理、合成関数の微分を自明として使ってよい
という条件があったとしても
最低限
(sinx)'=cosx (A)
を定義に従って求めないと循環論法になってしまうからです。

(A)を導関数の定義に従って求めるために
ロピタルの定理で(A)を使っていては
解答になりませんよね。

只、その方針で解答を作るくらいならば
lim[x→0](sinx)/x=1
を使った方針の方が簡単だということです。

No.81621 - 2022/04/03(Sun) 11:39:50

お二方

ありがとうございました

No.81622 - 2022/04/03(Sun) 13:57:54