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★ 既約分数の個数 / IT
エイドリアンさんが、No.80806 - 2022/02/08(Tue)で質問された問題です。
実験したところ、スッキリした式になりそうですが、いろいろ考えましたがうまい解法が見つかりません。
視点を変えると目から鱗のような問題かなと思いますので、少し表現を変えて再掲させてもらいます。
予測が正しければネットで見つかりそうですが見当たりません。何かヒントでも頂ければ嬉しいです。

（問題）らすかるさんの指摘で補正しました。
自然数nが与えられたとき
　既約分数p/q（p,q は互いに素な自然数)で、0＜p/q＜1かつn/q の小数部が0.5以上になるようなものの個数をnで表せ。

n=1,2,3,...,13 について計算したところ　n^2 個になります。

例えば、n=5 のとき
　q=2,3 と 5+1=6≦q≦5*2=10 が条件を満たします。
　それぞれのqについてp/qが既約分数となるpの個数は
　qと互いに素なq以下の自然数の個数ですから、
求める既約分数の個数は1+2+2+6+4+6+4=25=5^2 個となります。

任意の自然数nについてもn^2個になるでしょうか？

（元の質問）
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=80806
No.80942 - 2022/02/16(Wed) 00:08:47
☆ Re: 既約分数の個数 / らすかる
とりあえずプログラムを作って調べたところ、n≦3000では成り立っていました。
よって確かに成り立つようなので少し考えてみたのですが、着眼点の見当がつかず…

# ところで、「既約分数p/q」ですとp=q+1やp=2q+1なども含んで無限個になって
# しまいますので、p＜qあるいはp/q＜1などと書いておいた方が良いと思います。
No.80943 - 2022/02/16(Wed) 03:00:47
☆ Re: 既約分数の個数 / IT
らすかるさん　回答ありがとうございます。
条件p/q＜1を書き洩らしていました。（原題では0≦p/q≦1)

(p,q)をプロットして、縦横斜めに見てみましたが、n^2個になる理由がなかなか見つかりません。
No.80944 - 2022/02/16(Wed) 07:04:38
☆ Re: 既約分数の個数 / IT
ネットで下記の公式を見つけました。これを使って解決しました。
（公式）自然数nについてΣ(k=1,n)[n/k]φ(k)=n(n+1)/2 （φ(k)はオイラーのトーシェント関数、[　]はガウス記号）
　φ(k)：自然数k に対して、1 から k までの自然数のうち k と互いに素なものの個数

（証明）
n×nの表{A(i,k)}(1≦i,k≦n)を考える。
kがiの約数のとき　A(i,k)=Φ(k),その他は0とします。

縦（列）の計、横（行）の計を考えると
Σ(i=1,n)A(i,k)=[n/k]Φ(k)
Σ(k=1,n)A(i,k)=i

{A(i,k)}全体の和はΣ(k=1,n)[n/k]Φ(k)=Σ(i=1,n)i=n(n+1)/2
No.80949 - 2022/02/16(Wed) 20:14:55
☆ Re: 既約分数の個数 / IT
1≦q≦nについて
　[2n/q]-2[n/q]は、
　　n/q の小数部が0.5以上のとき　＝1、それ以外のとき　＝0となります。
したがって、
　Σ(q=1,n){[2n/q]φ(q)-2[n/q]φ(q)}は、
　1≦q≦nのうちn/q の小数部が0.5以上となるqを分母とする１以下の既約分数の個数となります。

よって、元の問題の条件を満たす既約分数の個数は
Σ(q=1,n){[2n/q]φ(q)-2[n/q]φ(q)}+Σ(q=n+1,2n)φ(q)
=Σ(q=1,2n)[2n/q]φ(q)-2Σ(q=1,n)[n/q]φ(q)
(公式より)
=2n(2n+1)/2-2n(n+1)/2　
=n^2
No.80951 - 2022/02/16(Wed) 20:42:46
★ 確率論洋書 / ゆ

David Willamsの"Probability with Martigales‘‘という確率論の洋書ですが、どこまでが定義と仮定で、どこからが主張(証明が必要)なのかわかりません。教えてください！(以下原文ところどころ書き換えてます)

A1.5.
Let g0 be an algebra of subsets of S and let
λ:g0→[0,∞]
with λ(0) = O. Call an element L of g0 a λ-set if L 'splits every element of g0 properly':
λ(L∩G)+λ(L^c∩G)=λ(G), (任意の)G∈g0.
Then the class L0 of λ-sets is an algebra, and λ is finitely additive
on L0. Moreover, for disjoint L1,L2,...,Ln ∈L0 and G in g0,
(LnとGの共通部分の和が加算和で表されるというようなことが書かれています)

以下Proof
No.80941 - 2022/02/15(Tue) 23:54:57
☆ Re: 確率論洋書 / ast
# 河岸を変えた理由が見切りをつけたという意図であるならば以下はお見捨てください.

「どこまで」というには (あまりに文単位で別れてるので) はっきりし過ぎのような気もしますが, 落ち着いて読めば
G0 および λ に対する仮定 > Let G0 be an algebra of subsets of S and let λ:G0→[0,∞] with λ(∅) = 0.
λ-集合という言葉の定義 > Call an element L of G0 a λ-set if L 'splits every element of G0 properly': λ(L∩G)+λ(L^c∩G)=λ(G), ∀G∈G0.
メインの結論 > Then the class L0 of λ-sets is an algebra, and λ is finitely additive on L0.
追加の結論 > Moreover, for disjoint L1,L2,...,Ln ∈L0 and G in G0, (LnとGの共通部分の和が加算有限和で表されるというようなことが書かれています).
の4文構成 (4つしか文がないこと自体はピリオド "." が 4 つしかないので間違いようがないはず) です.
厳密に言えば「主張」がどこかとも問われておいでなので「主張は「仮定と結論」の組だ」と答えるべきところかとは思いますが, 今の場合結論と書いた 3 文目がメインの主張だと考えても文章意図はそうはずさないでしょうから文単位で読むよう回答しておくことにします.
# 文章構造的な話に限れば「2文目は補足なので無くてもいい」ということになります.
# (もちろん意味をとるには要るので, 括弧書きにでもして「読み飛ばして大丈夫」という意図を出す感じの意味で, です).

数学的な文章としては "Let ... then~", Call, Moreover~ あたりの単語はすごく明確に意図を以て使われるので, これで文章構造が分からないというのでは相当しんどいのでは.
# 自分も外国語は万年赤点だった口なので偉そうに言えた義理ではないが, そういう実体験から言えば
# 現実問題として本当に読めないならば無理をしても成果 (例えば単位や卒論など) に結びつかないので,
# 指導教官に掛け合って日本語の本に(無理を通してでも)変えてもらうという選択肢を勧めるのが
# 実は最も真摯な回答であるという場合もあり得ます.

あと少し気になる点は, 字面だけ見れば小さな点に思えなくもないところなのかもしれないけれども, (プレーンテキストにしづらい文字の改変自体はまあよいとして)
> with λ(0) = O
と書き換えるのは λ が set-function (集合変数の数値函数) であることが理解できていない可能性も疑われますし,
> 加算和で表される
は (誤字なのはともかく) algebra と σ-algebra の違いが (閉じていないといけない演算が) 「有限和」か「可算和」かなので, そこも取り損ねている可能性があるかもしれない, といったような感じで「式や文字の単なる代替だから」で済ませて見逃したらまずい (数学的理解に関わる) 点が隠れている状況はもしかしたらあるかもしれないというあたりですね.
No.80945 - 2022/02/16(Wed) 08:51:13
☆ Re: 確率論洋書 / ゆ
ありがとうございます
No.80946 - 2022/02/16(Wed) 12:17:23
★ 大学数学・重積分 / タツヒコ
至急お願いします。発熱により頭が働きません。誰か助けてください。途中式(可能な限り細かく)と説明もお願いします。勉強になりますし、非常に助かります。
No.80933 - 2022/02/15(Tue) 21:16:47
☆ Re: 大学数学・重積分 / X
(1)
極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦sinθ,0≦θ≦π}
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴(与式)=∫[θ:0→π]∫[r:0→sinθ]r√(rsinθ)drdθ
=∫[θ:0→π][(2/5)r^(5/2)][r:0→sinθ]√(sinθ)dθ
=(2/5)∫[θ:0→π]{(sinθ)^3}dθ
=(2/5)∫[θ:0→π]{1-(cosθ)^2}sinθdθ
=(2/5)[-cosθ+(1/3)(cosθ)^3][θ:0→π]
=(2/5)・2(1-1/3)
=8/15

(2)
球座標に変換すると
D={(r,θ,φ)|0≦r≦2}
でヤコビヤンをJとすると
J=(r^2)sinφ
∴(与式)=∫[θ:0→2π]∫[r:0→2]∫[φ:0→π]{(rcosφ)^2}(r^2)sinφdφdrdθ
=2π∫[r:0→2](r^3)dr∫[φ:0→π]{(cosφ)^2}sinφdφ
=2π・(1/4)・(2^4)・[-(1/3)(cosφ)^3][φ:0→π]
=8π・(2/3)
=16π/3
No.80940 - 2022/02/15(Tue) 23:53:05
★ (No Subject) / HIro
文字化けしてしまったので修正します
アとイの順序は単に採点の都合です



関数f(x)=x^2-2に対して,g(x)=f(f(x))とおく
このとき、方程式g(x)=xの解は

ア( ), 　イ( ), 　ウ｛( )±√( )｝/( )

である。ただし、ア( )は,イ( )より小とする
No.80927 - 2022/02/15(Tue) 15:01:53
☆ Re: / らすかる
g(x)=x^4-4x^2+2なので
g(x)=xはx^4-4x^2+2=x
x^4-4x^2-x+2=0
h(x)=x^4-4x^2-x+2とおくと
h(-1)=1-4+1+2=0
h(2)=16-16-2+2=0
なのでh(x)は(x+1)と(x-2)で割り切れ
h(x)=(x+1)(x-2)(x^2+x-1)
と因数分解できることがわかります。
後は簡単ですね。
No.80929 - 2022/02/15(Tue) 15:09:25
☆ Re: / HIro
g(x)=xを忘れていました。解けないわけです(^^;)
素早い回答をありがとうございます！
No.80930 - 2022/02/15(Tue) 15:18:36
★ 四角形の決定条件 / ふぶ
小学4年です。
問題) 次の四角形は、どんな事がら(条件)を
あたえられると、形がきまりますか。
解答)
台形　4つの辺の長さと、1つの角。
　　　4つの辺の長さと、1つの対角線の
　　　長さ。
　　　となり合う2つの辺の長さと、3つの
　　　角。
平行四辺形　1つの角と、その角をはさむ2
辺の長さ。
　　　　　　2つの対角線の長さと、その対
　　　　　　角線のつくる角。
　　　　　　となりあう2つの辺の長さと、
1つの対角線の長さ。
ひし形　　　2つの対角線の長さ。
　　　　　　1辺の長さと、1つの角。
　　　　　　1つの辺の長さと、1つの対角
　　　　　　線の長さ。
正方形　　　1辺の長さ。
　　　　　　対角線の長さ。

何故この解答になるのか分かりません。
また、解答の1つだけでも正解になりますか。
詳しく解説されてる本を探しましたが、見つかりませんでした。
No.80921 - 2022/02/15(Tue) 13:32:02
☆ Re: 四角形の決定条件 / らすかる
質問の回答ではないのですが、少なくとも数学的には
> 台形　4つの辺の長さと、1つの角。
これは正しくありません。
（辺の長さ4つと一つの角度では台形の形が決まりません）

# 数学でなく算数なので何か他に条件があるのかも知れませんが、そのへんはよくわかりません。
No.80932 - 2022/02/15(Tue) 20:45:07
☆ Re: 四角形の決定条件 / IT
らすかるさん＞
> > 台形　4つの辺の長さと、1つの角。
> これは正しくありません。
> （辺の長さ4つと一つの角度では台形の形が決まりません）
台形ABCD の辺の長さ(AB,BC,CD,DA )とどこか１つの頂角が決まると台形の形が決まりそうですが。（私の勘違いかも）

台形に（四角形にさえ）にならない場合があるということでしょうか？
No.80936 - 2022/02/15(Tue) 22:18:37
☆ Re: 四角形の決定条件 / らすかる
AB,BC,CD,DAと一つの角ならば決まりますが、
「4つの辺の長さと一つの角」では決まりません。
（辺の長さの順番の入れ替えができますので）
例えば
AB=21、BC=4、CD=49、DA=39、∠B=60°の台形は面積903√3/4
AB=21、BC=49、CD=39、DA=4、∠B=60°の台形は面積1113√3/4で
異なりますが、どちらも4つの辺の長さは4と21と39と49、一つの角が60°です。

同じ意味で
「となり合う2つの辺の長さと、3つの角。」
も台形が決まらないですね。

# もしかして、算数では「4つの辺の長さ」とか「3つの角」と言っただけで
# 位置関係まで特定されるというニュアンスが含まれているのでしょうか。
No.80937 - 2022/02/15(Tue) 22:37:29
☆ Re: 四角形の決定条件 / IT
おっしゃる意味は分かりました。
「4つの辺の長さ」の表現とその解釈は微妙ですね。

小学算数の指導要領解説、中学数学の指導要領解説では、合同や図形の決定に関する記述では、だいたい「対応する・・・が等しいとき」などと明記してありますね。
No.80939 - 2022/02/15(Tue) 23:15:22
★ 対数 / Hiro
x,y,zは実数でxyz≠0とする

もし2^x=3^y=( )^zならば

3/x+2/y=1/zである

( )内の数字を答える問題です
対数をとって式変形してみましたがうまくいきません
よろしくお願いします
No.80920 - 2022/02/15(Tue) 12:25:21
☆ Re: 対数 / らすかる
()をAとします。
2^x=3^y=A^z=e^kとおくと
xlog2=ylog3=zlogA=k
∴x=k/log2, y=k/log3, z=k/logA
3/x+2/y=1/zに代入して
3log2/k+2log3/k=logA/k
よってlogA=3log2+2log3=log72なのでA=72
No.80923 - 2022/02/15(Tue) 13:47:12
☆ Re: 対数 / HIro
ありがとうございます！
答えがなかったので助かりました
No.80925 - 2022/02/15(Tue) 13:56:10
☆ Re: 対数 / IT
(別解)　対数を使わずに
A^z=2^xとおく
両辺を1/z乗する。3/x+2/y=1/z なので
A=2^(x(3/x+2/y))=(2^3)(2^(2x/y))=(2^3)(3^2) ∵2^x=3^y
No.80934 - 2022/02/15(Tue) 21:56:49
★ 整数 / タツタ・高校3年生
画像の命題は正しいでしょうか。正しければ証明も教えてください。
No.80911 - 2022/02/14(Mon) 11:04:41
☆ Re: 整数 / ヨッシー
(p, q は異なる素数) であれば正しいです。
ｑの倍数が１つだけでないとすると、この q 個の数の中に
q で割った余りが同じ数が２つ以上あるということです。
それらを、
　aq＋c, bq＋c　(a＜b, 0≦c＜q いずれも非負整数）
と書けます。また、これら２数は
　dp＋f, ep＋f　(d＜e, 0≦f＜p いずれも非負整数）
とも書けるので、大きい数から小さい数を引くと
　(b-a)q＝(e-d)p＜pq
b-a はpより小さいので、これに素数pを約数に持つことはない。
よって、q が p を約数に持つこととなり、
p, q が異なる素数であることと反する。

ｑの倍数が０個のときと、２個以上のときと分けたほうが
わかりやすいかも知れません。
No.80912 - 2022/02/14(Mon) 11:43:01
☆ Re: 整数 / タツタ・高校3年生
ありがとうございました。
No.80914 - 2022/02/14(Mon) 14:08:12
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
続けざまに

申し訳ございません。

何卒宜しくお願い致します。
No.80907 - 2022/02/14(Mon) 07:01:53
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
画像が汚すぎました

申し訳ございません

以下
No.80908 - 2022/02/14(Mon) 07:06:16
☆ Re: 漸化式と極限 / m
解答を持っているならどこに疑問があるかを書いてくれると答えやすいです．

[考察]
* 漸化式が解けそうにない．
* a[1], a[2], a[3] を計算すればなんとなく 1 に収束しそう．
* a[n+1] -1 = a[n]^2/n^2 について，a[n] が有界であることが示せれば右辺は 0 に収束することがいえる．

[略証]
1. 帰納法で自然数 n に対し 1≦ a[n] ≦ 2 を示す．
2. 0 ≦ a[n+1] - 1 ≦ 2^2/n^2 とはさみうちの原理より lim[n→∞] a[n] = 1
No.80915 - 2022/02/14(Mon) 15:43:50
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
申し訳ございません

＞解答を持っているならどこに疑問があるかを書いてくれると答えやすいです．

私は、正解かどうかの確かめはしますが、今まで解説を読んで学んだことはありません

どこの参考書、問題集も解説も全くあてにはなりません

信じられるのは自分だけです
No.80917 - 2022/02/14(Mon) 17:43:13
☆ Re: 漸化式と極限 / 高校三年生
あてにされないと判ってて、解答書くお節介な人が居ればいいね。(^-^)b
No.80918 - 2022/02/14(Mon) 18:37:12
☆ Re: 漸化式と極限 / けんけんぱ
とすると、何を質問しているのかが不明です。
No.80919 - 2022/02/14(Mon) 20:59:16
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
誤解を招いたようです

ここの板は優秀な回答者様が多く

この板での解説があてにならないと感じている訳ではありません

ここの回答者様は尊敬しています

下手な誤解を招き申し訳ありませんでした。
No.80938 - 2022/02/15(Tue) 22:39:51
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ｍ先生

不快な思いをされたなら申し訳ございません。

私の答案ができました

何卒宜しくお願い致します。
No.80959 - 2022/02/17(Thu) 07:38:15
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます

本日もよろしくお願いします

以下問題
No.80906 - 2022/02/14(Mon) 06:48:14
☆ Re: 漸化式と極限 / m
この漸化式は解けます．

両辺 log をれば
log(a[n+1]) = log2 + (1/2) log(a[n])
となる．

b[n] = log(a[n]) についての漸化式を作って解けばいいが，極限を求めるだけなら完全に解く必要はない．

b[n+1] - 2log2
= (1/2) (b[n] - 2log2)
= (1/2)^n (b[0] - 2log2)
= (1/2)^n (log10 - 2log2)
→ 0
よって
lim[n→∞] b[n] = 2log2
従って
lim[n→∞] a[n] = lim[n→∞] e^(b[n]) = 4

[追記]
log は自然対数です．
また，log をとる前に正であることを確認しておくと丁寧です．
No.80916 - 2022/02/14(Mon) 15:44:17
★ 重積分 / タツヒコ
至急です。次の2問を解いて欲しいです。計算過程は絶対書いて欲しいです。勉強になるので解説もお願いしたいのですが、お手数をかけてしまうようであれば計算過程だけでもとても感謝です。
No.80902 - 2022/02/13(Sun) 19:59:54
☆ Re: 重積分 / 高校三年生
名前：やすはる 日付：2022/2/9(水) 14:57
(1) ∬xy dx dy ここで、x>=0,y>=0,x^2+y^2<=r^2

という問題と、
(2)次の広義積分を計算
∬2x/(x+y)^2 dxdy ここで、D=[0.1]×(0.1]
という問題が、わかりません
途中式と合わせて教えて頂けると幸いです。

Re: 重積分・広義重積分
名前：通りすがり 日付：2022/2/9(水) 19:53
(1)
極座標に座標変換すると
(与式)=∫[R:0→r]∫[θ:0→π/2](R^3)cosθsinθdθdR
={(1/4)r^4}(1/2){1-(-1)}
=(1/4)r^4

(2)
(与式)=lim[ε→+0]∫[x:0→1]∫[y:ε→1]{2x/(x+y)^2}dydx
=lim[ε→+0]∫[x:0→1]{2x/(x+ε)-2x/(x+1)}dx
=lim[ε→+0]∫[x:0→1]{-2ε/(x+ε)+2/(x+1)}dx
=lim[ε→+0]{2ε{logε-log(ε+1)}+2log2}
ここでロピタルの定理により
lim[ε→+0]2ε{logε-log(ε+1)}=lim[ε→+0]-2{logε-log(ε+1)}/(-1/ε)
=lim[ε→+0]-2{1/ε-1/(ε+1)}/(1/ε^2)
=lim[ε→+0]2{-ε+(ε^2)/(ε+1)}
=lim[ε→+0]2{-ε+ε-1+1/(ε+1)}
=0
∴(与式)=log4

Re: 重積分・広義重積分
名前：通りすがり 日付：2022/2/9(水) 19:55
ごめんなさい。訂正します。
誤：
={(1/4)r^4}(1/2){1-(-1)}
=(1/4)r^4

正：
={(1/4)r^4}(1/4){1-(-1)}
=(1/8)r^4
No.80903 - 2022/02/13(Sun) 20:17:06
★ 微分 / サマンサタバサ
こちらのファイルについてなんですが、?Bと?Cを考えている時点で、αとβはy=xと求める放物線上にあり(ウ)を満たしている気がしているのですが、どうして?@及び?Aを考えないといけないのかいまいちしっくり来ません。どなたか説明していただけませんでしょうか。お願いします。
No.80889 - 2022/02/13(Sun) 11:01:48
☆ Re: 微分 / IT
> こちらのファイルについてなんですが、?Bと?Cを考えている時点で、αとβはy=xと求める放物線上にあり(ウ)を満たしている気がしているのですが、どうして?@及び?Aを考えないといけないのかいまいちしっくり来ません

　y=xは、y=x^2 の入力ミスですね？

〇1,〇2 を考えないとは、その答案から〇１、〇２の行を取り除いても良い。ということでしょうか？
取り除いてもα、βが(ウ)の異なる実数解であることをどこかで使えば良いとは思いますが,
a,b,c を決めるためには、その「解と係数の関係」が便利なのではないでしょうか？


なお、〇３、〇４を満たすだけだはダメです。
αが放物線y=x^2 と求める放物線が交わるｘの位置ではなくても
点(α,α^2)、(α,aα^2+bα+c)におけるそれぞれの接線が直交することはあり得ます。

＃機種依存文字を使っておられるためか、文字化けしていることもあり、質問の趣旨を取り違えているかも知れません。
No.80891 - 2022/02/13(Sun) 12:18:20
☆ 始めに接点ありき / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
生意気ですが

どうぞ
No.80895 - 2022/02/13(Sun) 14:52:10
☆ Re: 微分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
?@、?Aが異なる２つの実数解を共有する

この事実以前の内容は微分のお話しですが、それ以降は数学１の内容です

＞?@、?Aが異なる２つの実数解を共有する

これは数学１の内容ですが、３連比などで解決できます
No.80896 - 2022/02/13(Sun) 16:05:20
☆ Re: 微分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
連比の発想は、中学受験の経験から来ているかもしれません

悪しからず
No.80897 - 2022/02/13(Sun) 16:19:34
★ 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
続けざまにご質問お許し下さい

何卒宜しくお願い致します。

以下、問題
No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05
☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご返答ありがとうございます

X様、らすかる様

No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05

の(1)をお願い致します。
No.80894 - 2022/02/13(Sun) 14:35:54
☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 高校三年生
x=(5x+8)/(x+3)を解いて、x=4,-2なので、

(x【n+1】-4)/(x【n+1】+2)=(1/7)・(x【n】-4)/(x【n】+2)

よって、[a,b]=[-4,2]
No.80898 - 2022/02/13(Sun) 17:21:22
☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私の答案です

酷評ください。
No.80899 - 2022/02/13(Sun) 18:51:51
☆ Re: 漸化式の極限　数学３び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
追伸

今気づきましたが、(1)は３つの分数関数を合成してもいいかもしれません
No.80900 - 2022/02/13(Sun) 19:04:26
☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / X
方針は問題ないと思います。
但し、問題のy[n]への変換は
(x[n]-4)/(x[n]+2)
の場合と
(x[n]+2)/(x[n]-4)
の2つの場合が考えられるので
(a,b)=(2,-4),(-4,2)
となります。
No.80901 - 2022/02/13(Sun) 19:56:26
☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / らすかる
> Xさん
a＜bという条件がありますので(-4,2)だけですね。
No.80904 - 2022/02/14(Mon) 02:13:33
☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / X
＞＞らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞K・Aさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.80905 - 2022/02/14(Mon) 06:44:56
☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 数学３独学１１日目/ 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
らすかるさん、 Xさん、高校三年生さん

ご回答ありがとうございました。

これからもよろしくお願いします。
No.80913 - 2022/02/14(Mon) 12:02:54
★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます

お願い致します。

質問は(３)のみです

また、この数列は一般項は求まりますか

何卒宜しくお願い致します。
No.80881 - 2022/02/13(Sun) 07:44:39
☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる
(3)
条件から
a[1]=1
a[2]=a[1]+(1/3)=1+1/3
a[3]=a[2]+(1/3)^2=1+1/3+(1/3)^2
a[4]=a[3]+(1/3)^3=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3
・・・
よって等比数列の公式により
a[n]=(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=(3/2){1-(1/3)^n}
となり、極限は3/2。

一般の数列と同じ解き方をするなら
a[n+1]-a[n]=(1/3)^n
a[n+1]=a[n]+(1/3)^n
a[n+1]+k(1/3)^(n+1)=a[n]+k(1/3)^n
とおくと
a[n+1]=a[n]+k(1/3)^n-k(1/3)^(n+1)
a[n+1]=a[n]+(1-1/3)k(1/3)^n
a[n+1]=a[n]+(2/3)k(1/3)^n
よって(2/3)k=1すなわちk=3/2となるので
a[n+1]-a[n]=(1/3)^n は
a[n+1]+(3/2)(1/3)^(n+1)=a[n]+(3/2)(1/3)^n
と変形できることがわかる。
b[n]=a[n]+(3/2)(1/3)^n とおくと
b[n+1]=b[n], b[1]=a[1]+(3/2)(1/3)^1=3/2 なので
b[n]=3/2
従って
a[n]=b[n]-(3/2)(1/3)^n
=3/2-(3/2)(1/3)^n
=(3/2){1-(1/3)^n}
No.80888 - 2022/02/13(Sun) 10:43:27
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご返答ありがとうございます

私は以下のように考えてみました

酷評ください。
No.80890 - 2022/02/13(Sun) 12:16:37
☆ Re: 漸化式と極限 / X
方針は大筋で問題ありません。
但し、抜けがありますね。
〇Aの式が何なのかの定義が抜けています。
No.80892 - 2022/02/13(Sun) 13:30:36
☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご返答ありがとうございます

X様、らすかる様

No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05

の(1)をお願い致します。
No.80893 - 2022/02/13(Sun) 14:34:22
★ 円順列の問題です / るい
k を 2 以上の自然数とする．2k+2 個の椅子が円形に並んでいる．k 人が，どの 2 人
も隣り合わないように，椅子に座る場合の数を求めよ．ただし，人は区別できないもの とする．



解答はkが奇数の時（k +1）／2
kが偶数のとき（k +2）／2なのですが
考えるプロセスや発想や詳しい解説を知りたいです
No.80880 - 2022/02/13(Sun) 00:15:29
☆ Re: 円順列の問題です / けんけんぱ
ただし，人は区別できないもの とする
とあります
これを踏まえて、k人とk個の椅子の配置の仕方は1通り。
残りの椅子２個の配置を考えます。
人と人の間はk個所あり、２個を同じ場所に配置する方法は1通り。
(k個所ありますが。回転させると同じになります。)
２個をk個所の別々の場所に配置することを考えます。

kが偶数のとき、時計の1から12の配置を例にとります。
1個を12に配置しておきます。残り1個は、1,2,3,4,5,6のいずれかで各1通り。
(配置位置が12と1、と、12と11は同じになります)
この考え方ですと、k/2通りと数えられます。よって、k/2+1通り

kが奇数のときは、質問者さん自身でお考えになられるとよいかと思います。
No.80882 - 2022/02/13(Sun) 08:06:53
★ (No Subject) / プリン
解説がなくて困っています。解説をお願いします。
No.80869 - 2022/02/11(Fri) 13:11:49
☆ Re: / ヨッシー
下の方は、図から明らかですね。

No.80870 - 2022/02/11(Fri) 17:56:05
☆ Re: / IT
上の方、　「類題・・・」とあるので、解説と（ちゃんとした）解答付きの例題があるのでは？
それは、どんな計算手順をしていますか？

１個のサイコロを１回振ったとき、５以上の目が出る回数Ｘの期待値、分散、標準偏差は、計算できますか？
No.80871 - 2022/02/11(Fri) 18:01:45
★ 直角三角形の証明問題 / 如月伊都奏
中2です。
直角三角形の証明問題です。
下の問題の答えは解答があるので分かるのですが、その答え(赤字で書かれている部分)になる経緯がわかりません。
わかる方解説お願いします。
No.80867 - 2022/02/11(Fri) 11:05:43
☆ Re: 直角三角形の証明問題 / ヨッシー
直角三角形の合同の証明なので、
　斜辺と直角以外の１つの角が等しい
を言えばいいです。
斜辺が等しいことは、正方形なので、自明として、角については、

図の、●と■が等しいことをいえばいいです。
　●＋○＝90°　　正方形の角なので
　■＋○＝90°　　直角三角形の鋭角の和なので
このことから●と■が等しいことがわかります。

このことを、証明としての体裁を整えて書くと、上の解答のようになります。
No.80868 - 2022/02/11(Fri) 11:53:11
★ 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。
一番の問題を以下のように解いたのですが、解答として十分なものになっているでしょうか？
また、こうやった方がスムーズにできるというものがあるのであれば教えていただけるとありがたいです。
No.80854 - 2022/02/10(Thu) 16:05:59
☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。
自分の回答です。
No.80855 - 2022/02/10(Thu) 16:06:29
☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / X
解答に問題はありません。
No.80856 - 2022/02/10(Thu) 16:34:20
☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。
返信ありがとうございました。
以後、類題はこの方針でやっていきたいと思います。
No.80858 - 2022/02/10(Thu) 17:36:16
☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / IT
それで間違いではないと思いますが、下記のようにした方が少しスッキリするのでは？
・・・
1-x=((2a-1)i-2)y

ここで、左辺は実数なので、((2a-1)i-2)が実数でないとき、
　y=0 ∴x=1 となり点zの全体は,点z=1のみとなる。

したがって、点ｚの全体が直線となるとき、2a-1＝0すなわちa=1/2が必要。
このとき,元の方程式は1-x=-2y なので点ｚの全体は直線となる。

＃うずらさんの答案で気になる点は
y=cx+d の形にするために y=(1/A)x + B としておられることです。
直線の方程式は、y=cx+d の形だけではありません。
x=d も一般にはあり得ます。
また、これによって、(1/A)という割り算が出てくる。

この答案ではA≠0を示しておられるので良いとは思いますが
No.80865 - 2022/02/11(Fri) 08:42:11
☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / IT
あるいは、
1-x+2y-(2a-1)yi=0 ,a,x,yは実数なので
1-x+2y=0 かつ　(2a-1)y=0
2a-1≠0のとき・・・
2a-1＝0のとき

の方が良いかも。
No.80866 - 2022/02/11(Fri) 09:52:37
☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。
来ていると気づかずに返信が遅れてすいません
たしかに、ITさんのやり方の方は割り算がなく、軸に並行な直線まで直接調べられてるので良さそうですね
今後はそのやり方でやらせてもらいたいと思います
回答ありがとうございました！
No.80910 - 2022/02/14(Mon) 10:32:08
★ (No Subject) / はる
大学1年生です。以前教えて頂いたのですがよく見る前に消えてしまっていたので、問2の方を教えて頂きたいです。宜しくお願い致します。
No.80850 - 2022/02/10(Thu) 14:25:14
☆ Re: / ヨッシー
この記事の３つ下にあります。
No.80852 - 2022/02/10(Thu) 14:34:41
☆ Re: / はる
問5のほうしか見れないのですが問2もありますか、、？
No.80853 - 2022/02/10(Thu) 15:04:06
☆ Re: / はる
ないので問2誰かわかる方いませんてましょうか、、？
No.80872 - 2022/02/11(Fri) 18:57:18
★ 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

以前にも質問したのですが、改めてご質問致します。


問題以下
No.80845 - 2022/02/10(Thu) 10:08:25
☆ Re: 再掲　数列の極限 / けんけんぱ
記事No.80667で質問されてますよね。改めて質問されるなら、今回は何を聞きたいかを書かれたほうがよいかと思います。
No.80849 - 2022/02/10(Thu) 13:58:45
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
申し訳ございません

まだ質問していない(1)をお願い致します。

上の一題目です
No.80851 - 2022/02/10(Thu) 14:27:59
☆ Re: 再掲　数列の極限 / m
このような問題は a[n] をすでに極限が分かっている 1 + (-1)^n a[n] を用いて表すのが第一感です．（(2)の問題もそういう方針だったはず）つまり
a[n] = (-1)^n (1 + (-1)^n a[n] - 1)
しかし (-1)^n が処理できない（収束しない）ので代わりに |a[n]| を考えてみます．

[解答]
|a[n]| = |1 + (-1)^n a[n] - 1|
であり，仮定より
lim[n→∞] {1 + (-1)^n a[n] - 1} = 0
だから
lim[n→∞] |a[n]| = 0
よって
lim[n→∞] a[n] = 0.


[蛇足]次の極限の性質を使っています．

(i) lim[n→∞] b[n] = β ならば lim[n→∞] |b[n]| = |β|

(ii) lim[n→∞] |c[n]| = 0 ならば lim[n→∞] c[n] = 0
No.80860 - 2022/02/10(Thu) 19:20:16
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご回答ありがとうございます。

私は定義に基づき以下のように考えました

何卒宜しくお願い致します。
No.80873 - 2022/02/12(Sat) 06:30:30
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
下のような問題はどうお考えになりますか

ご教授よろしくお願いいたします
No.80874 - 2022/02/12(Sat) 07:12:22
☆ Re: 再掲　数列の極限 / m
>No.80873

論理的な問題はないです．

画像の「」の部分を定義と呼ぶのはよくないです．
よく知られている極限の定義と異なるから．
// ふつう定義ではなく性質とか命題とか呼ぶ．

そしてこの性質は ε[n] を使わずとも
lim[n→∞] a[n] = α ⇔ lim[n→∞] (a[n] - α) = 0
と書き表すことができ，これは自明（特に明記することなく使える）です．

// 個人的に(1)の回答では ε[n] を使わなくてもいいのではとおもう．
// ε[n] を (1 + (-1)^n a[n]) - 1 で置き換えれば証明が短くなる．
// (2) は ε[n] を使うことで式が見やすくなっているのでいいとおもう．
// 前に挙げられていたテキストの解答は ε[n] を b[n]-3 で置き換えたもの．
No.80875 - 2022/02/12(Sat) 15:43:41
☆ Re: 再掲　数列の極限 / m
>No.80874
(1)
例: a[n] = 2n, b[n] = n

y = 2x と y = x のグラフをイメージしてください．
それぞれ数列 a[n], b[n] に対応しています．
数列 a[n]-b[n] は二つのグラフの差に対応しています．
さて，他の例はつくれますか．

(2)
これもやはり極限が既知の a[n]-b[n] を使えるように変形したい．

b[n]/a[n] = 1 - (a[n]-b[n])/a[n]
と変形して極限は
1 - α/∞ = 1

a[n]^2/b[n] - b[n]^2/a[n] = (a[n]^3-b[n]^3)/(a[n]b[n])
さらに
a[n]^3-b[n]^3
= (a[n] - b[n]) (a[n]^2 + b[n]^2 + a[n]b[n])
= (a[n] - b[n]) ((a[n]-b[n])^2 + 3a[n]b[n])
と（後で a[n]b[n] が約分されることを見越して）変形すれば
a[n]^2/b[n] - b[n]^2/a[n] = ((a[n]-b[n])^3 / (a[n]b[n])) + 3 (a[n]-b[n])
よって極限は
α^3/∞ + 3α = 3α
No.80876 - 2022/02/12(Sat) 15:44:55
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご返答ありがとうございます

考えてみました

返信が遅れてしまい申し訳ありませんでした。

何卒宜しくお願い致します。
No.80878 - 2022/02/12(Sat) 17:11:11
☆ Re: 再掲　数列の極限 / m
(2)について
合ってます．
K.A. さんの変形の方がスマートでいいですね．


(1)について
"均衡値" はあまり関係ないような...
// それを使うのはたぶん漸化式．
グラフと数列が対応しているというのは
グラフy = 2x の x=n における yの値 2n と数列 a[n] = 2n を対応させるという意味です．

// どうでもいいけど，n^2, log n, e^n を使えばさらにたくさん作れる．
No.80879 - 2022/02/12(Sat) 22:43:07
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
色々とありがとうございました
No.80883 - 2022/02/13(Sun) 08:14:25
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
一つ質問が出来ました

＞// どうでもいいけど，n^2, log n, e^n を使えばさらにたくさん作れる

それは、かいつまんで言うと、原点を通る関数ということでしょうか？

何卒宜しくお願い致します。
No.80886 - 2022/02/13(Sun) 09:56:45
☆ Re: 再掲　数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
見識が間違っていました

申し訳ございません。

以下
No.80887 - 2022/02/13(Sun) 10:09:25
★ 場合分けに関して、z=1が含まれない理由がわかりません。 / ブブゼラ
ii)
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
として、

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
に関して、
n≦-2の時にz=1が考慮されないのかがわかりません。
というのも、z=1と仮定します。

n≦-2を変形して、
-n-2≧0とする。

-n-1-1≧0
-n-z-z≧0
-n-z-z≧0
-n-2z≧0
-n≧2z
n≦-2zとなり、z=1と置いたので、
n≦-2と導け、

また、zが1の時rは|z-1|<rと仮定して
|z-1|<rのzに1を代入すると0<rとなり、
ii)のr>2が成り立ちます。
なので、|z-1|<rと置けてzは1ともなるためです。

どうか、なぜz=1が含まれないか教えて頂けないでしょうか？
No.80843 - 2022/02/10(Thu) 09:13:10
☆ Re: 場合分けに関して、z=1が含まれない理由がわかりません。 / けんけんぱ
前半部に対して
z=1とならない理由
f(z)=1/(z^2-1)　と定義されていますので、z=1は除外して考えるのだと思います。
後半部に対して
何を言わんとしているのかが読み取れませんでした。
(n≦-2を変形してn≦-2を導く？など)
No.80844 - 2022/02/10(Thu) 09:40:17
☆ Re: 場合分けに関して、z=1が含まれない理由がわかりません。 / GandB
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12787398.html

で、忍耐強く解答されている方に任せたほうがいい（笑）。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12768481.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12755099.html

を見れば、さらにそう思うだろう。
No.80847 - 2022/02/10(Thu) 11:40:53
☆ Re: 場合分けに関して、z=1が含まれない理由がわかりません。 / けんけんぱ
これは大学数学に関する質問の途中のものであることを理解しました。
そうであるならば、私の回答はとんちんかんなものであるかもしれません。悪しからず。
雑感を少し。
他の板で回答がくるたびに質問を繰り返しているのであれば、それは基礎ができていないからでしょう。
問題を解く前にもう一度教科書に書いてあることを理解した方がいいと思います。問題を解くことで基本を知ろうとするのは非効率であり難しいことだと思います。
教えるほうも基本はわかっているものとして教えますから。
No.80848 - 2022/02/10(Thu) 13:32:19
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