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★ 高3 / 文系数学
Oを原点とするxy平面上においね,曲線C:y=x^3上の点P(a,a^3)(a>0)におけるCの接線とx軸との交点をQとする.aが正の実数値をとって変わるとき,∠OPQの最大値を求めよ.
接戦の方程式を求めてP,Qの座標出してから先が分かりません。最大値なので相加相乗使いますよね？
No.18532 - 2012/09/09(Sun) 17:07:47
☆ Re: 高3 / X
点Qの座標、接線の方程式を求める必要はありません。

y=x^3
より
y'=3x^2
従って直線PQ、OPとx軸の正の向きとのなす角をα、β
とすると
∠OPQ=α-β (A) (∵)∠OPQの対頂角を考えます
tanα=3a^2 (B)
tanβ=(a^3)/a=a^2 (C)
(A)(B)(C)より
tan∠OPQ=(2a^2)/(1+3a^4) (∵)加法定理
=2/(1/a^2+3a^2) (D)
(D)の()の中に対して相加平均と相乗平均の関係を使います。
No.18534 - 2012/09/09(Sun) 18:30:37
★ 苦手数学 / よしりん
曲線Ｃ：y=x^3+axにおいて以下の条件が成り立つとき、定数aの値の範囲を求めよ。
(i)Ｃ上の異なる２点P,Qを通る直線lは点ＰでＣに接している
(ii)点Qにおける曲線Cの接線mと直線lは直行している

答
f(x)=x^3+axとし、P,Qのx座標をそれぞれp,q、直線lをy=kx+nとおくと
f(x)-(kx+n)=(x-p)^2(x-q)
x^2の係数を比べてq=-2p
f'(x)=3p^2+aなのでP,Qでの接線の傾きはそれぞれ
f'(p)=3p^2+a
f'(q)=12p^2+a
したがってlとmが直交する条件は
f'(p)f'(q)=-1より
36p^4+15ap^2+a^2+1=0・・・?@
【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
p^2=tとおくと?@は36t^2+15at+a^2+1=0・・・?A
とtの２次方程式になる。
?@が0以外の実数解をもつ⇔?Aが正の解をもつ
したがって、?Aが少なくともひとつ正の解を持つための条件をもとめる。
解と係数の関係から(2解の積)=(a^2+1)/36>0なので少なくとも正の解が一つあるときは2つも正の解であるので
「?Aが正の解をもつ」のは「判別式≧0かつ2解の和>0」のときである。
よってaの値の範囲はa≦-4/3

とあるのですが
【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
がわかりません。
２次方程式の解の配置問題に帰着するときって
大抵の問題で「少なくともひとつ〜であればよい」という表記を見かけますが、これってパターンとして覚えてしまってもいいんでしょうか？正直いってよくわかっていません。
また、後半で「判別式≧0」といっていますが、単純に「２解をもつ」といわれてるときは重解も含まれてるんですよね。
なので判別式≧0⇔判別式>0または判別式=0としているんでしょうか？
文系で数学には時間をあまり割けられないのでどなたか分かる方教えて下さい。お願いします。
No.18531 - 2012/09/09(Sun) 14:06:54
☆ Re: 苦手数学 / angel
> 【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
> がわかりません。
> ２次方程式の解の配置問題に帰着するときって大抵の問題で「少なくともひとつ〜であればよい」という表記を見かけますが、これってパターンとして覚えてしまってもいいんでしょうか？

まあ、パターンと言えばパターンです。

それはなぜかと言えば、
・36p^4+15ap^2+a^2+1=0 を満たす実数 p が存在する
・方程式 36p^4+15ap^2+a^2+1=0 が少なくとも一つの実数解を持つ
という2つの表現が、同一の内容を指すからです。
※今回は「0以外の実数解」というオマケつきですが、それは元々 q=-2p, p≠q ( 点P,Qが異なる ) という条件から p≠0 となるためです。

2次方程式にしろ何にしろ、方程式の本質は「変数(xとか)にある値を代入した時に、= が成立するかどうか」ですからね。で、解というのは「= が成立する時の、変数に代入した値 ( 2種類以上の変数がある場合は、値の組み合わせ )」のことです。
だからこそ、「〜を満たすpが存在する」=「pの方程式〜が解を持つ」となるわけで。
結構気付いていない人が多いのですが、因数分解やら解の公式を使って方程式を解く以前のお話として、把握してないといけません。

話を戻して、この解答の流れとしては、

　1. 問題の条件を満たす点P ( x座標はp ) が存在すると仮定する
　2. p の満たすべき条件が 36p^4+15ap^2+a^2+1=0 であることが分かる
　3. つまり、「36p^4+15ap^2+a^2+1=0 を満たすpが存在すること」=「36p^4+15ap^2+a^2+1=0 が少なくとも1つの実数解を持つこと」が条件だと分かる
　4. その方程式に関して解の存在条件を調べる

となっています。
で、大体の問題では、1. のように「〜が存在すると仮定する ( その上で条件を調べる )」ってことから始めますので、まあ、パターンのようになるのです。
No.18564 - 2012/09/11(Tue) 00:48:29
★ 苦手数学 / よしりん
数学 解答の意味がわかりません

関数f(x)=ax^3+bx^2-18x+11はx=-3のとき極大値、f(-1+t)+f(-1-t)の値はtの値にかかわらず一定である。
このとき、a,bを求めよ。また、極小値をもつときのxを求めよ。

解答には
｛f(-1+x)+f(-1-x)｝/2=kとすると
(-1+x,f(-1+x)),(-1-x,f(-1-x))の中点は、(-1,k)で定点なのでy=f(x)は(-1,k)を中心にして点対称な図形である。
とありますが、どういうことなのか分かりません。
文系なので数学にあまり時間をかけられないのもあり暗記してしまおうと思うのですが
理解がおろそかなのでそうもいきません。
誰か分かる方馬鹿な自分にも分かるように教えてくれませんか。
おねがいします。
No.18529 - 2012/09/09(Sun) 12:40:41
☆ Re: 苦手数学 / IT
>(-1+x,f(-1+x)),(-1-x,f(-1-x))の中点は、(-1,k)で定点なのでy=f(x)は(-1,k)を中心にして点対称な図形である・・・Ａ
の解説はどなたかにお任せすることにして。

この問題を解くためにはＡを気にせず、単純にf(-1+t)+f(-1-t)を計算する方法がわかりやすいかも知れません。

計算が楽になるよう少しの工夫はしたほうが良いです。
f(-1+t)+f(-1-t)=a{(-1+t)^3+(-1-t)^3}+b{(-1+t)^2+(-1-t)^2}-18{(-1+t)+(-1-t)}+11+11
（定数項は無視してもいいですし、説明の手間を省くため、そのまま計算してもいいです。）
No.18530 - 2012/09/09(Sun) 13:53:09
★ (No Subject) / 浪人
鋭角三角形ABCがあり,そのうちの3つの内角の大きさをそれぞれA,B,Cとする。A,B,Cが変化するとき,cosAcosBcosCの最大値を求めよ
全く方針が浮かびません。
No.18527 - 2012/09/09(Sun) 08:15:14
☆ Re: / IT
cosAcosBを積→和　の公式で変形
cosCを　Ｃ＝π−（Ａ＋Ｂ）と　cos(π−α)=-cos(α)
を使って変形してみてください。
cosAcosBcosC　＝　　　　　　どうなりましたか？

A＝B＝C＝π/3　のとき最大になりそうという見通を持っておくと考え違いや計算間違いを防ぐ助けになります。

※積があったら積和の公式、和があったら和積の公式、
同じ角のsinとcosの和があったら合成公式、が使えないか。
変数の数を減らす。cos^2+sin^2=1は常に意識
最大最小→相加相乗平均、平方完成、増減表・グラフ・微分
No.18528 - 2012/09/09(Sun) 09:41:43
★ 三角関数 / ぱぴおか
0°≦x≦90°のとき2sinx+cosxの最大値と最小値を求めよ。
[自分の解答]
図を書いて、αを定めると、0°<α<30°
cosα=2/√5 sinα=1/√5とする。
このとき2sinx+cosx＝√5sin(x+α)
0°≦x≦90°と0°<α<30°より
0°<x+α<120°となるので
最大値はsin(x+α)=90°のときで√5
最小値は・・・
ここで詰まってしまいました。
一体どこで間違ってしまったんでしょうか。
また答ではcosについて合成しています。
最大値はあっていますが最小値が答によると1です。
どうしてsinで合成すると答がでないんでしょうか。
誰か教えて下さい。お願いします。
No.18518 - 2012/09/08(Sat) 22:03:27
☆ Re: 三角関数 / IT
0°≦x≦90°より
α≦x+α≦α+90°だと思いますが。
No.18520 - 2012/09/08(Sat) 22:49:26
☆ Re: 三角関数 / angel
> ここで詰まってしまいました。
> 一体どこで間違ってしまったんでしょうか。
いいえ、間違ってはいません。道を見失っているだけです。

例えば、ですが、
　(1) 30°≦θ≦90°+30°での sinθ の最小値を求めよ
　(2) 60°≦θ≦90°+60°での sinθ の最小値を求めよ
という問題があったとします。
答えは両方 1/2 ですね。これはθを範囲の端から端まで動かしてみると分かります。
(1)の場合は sin30°=1/2→sin90°=1→sin120°=√3/2≒0.866 なので、sin30°が最小
(2)の場合は sin60°=√3/2→sin90°=1→sin150°=1/2 なので、sin150°が最小
というように、θの変化につれて増減していき、両端のどちらかで最小となっています。

では、次の問題はどうでしょうか?

　α≦x+α≦90°+αでのsin(x+α)の最小値を求めよ

上の(1),(2)と同じ話になるのですが、よろしいでしょうか? そこが「見失った道」です。
今回のαは小さいので(1)と同じケース。つまり最小値は x+α=α の時、sinα となります。
※ちなみに、(1),(2)との境目はα=45°です。
No.18521 - 2012/09/08(Sat) 22:53:07
☆ Re: 三角関数 / ぱぴおか
0°≦x≦90°と0°<α<30°より
0°<x+α<120°・・・?@とするのと
0°≦x≦90°と0°<α<30°より
α≦x+α≦90°+α・・・?Aとするのはどう違うのでしょうか？
?Aなら最小値を確定できますが・・・
No.18522 - 2012/09/08(Sat) 23:04:05
☆ Re: 三角関数 / IT
0°≦x≦90°と0°＜α＜30°より
0°＜x+α＜120°・・・?@
は、論理的には間違いではないですが、x+αの変域を正確に表してはいません。

0°＜α≦x+α≦90°+α＜120°です。
実際に　x+α　が取りうる値の幅は90°しかありません。

「0°≦x≦90°と0°<α<30°より　0°<x+α<120°となるので
最大値は(x+α)=90°のときで√5・・」
という表現は不正確（不十分）です。

0°＜α＜30°より　60°＜90°−α＜90°なので
x＝90°−αとおくと　0°≦x≦90°
このときx+α＝90°となり　・・・最大値を取る。
などとすべきと思います。　
No.18523 - 2012/09/08(Sat) 23:15:58
★ 積分 / Xex (3年)
f(x)=S[0→x]g(t)sin(t)dt 『g(t)*sin(t)を0からxの範囲で積分(ここではxが上で0が下です)するという意味』
g(x)=cos(x)+S[0→π/2]f(t)dtを満たすf(x)とg(x)を求めよ。
まったく方針が立ちません。微分するのですか?
No.18511 - 2012/09/08(Sat) 18:54:01
☆ Re: 積分 / X
積分の記号∫は「せきぶん」を変換すれば出ます。
で、方針ですが微分は必要ありません。

f(x)=∫[0→x]g(t)sintdt (A)
g(x)=cosx+∫[0→π/2]f(t)dt (B)
とします。
(B)の右辺の第２項は定数ですので
C=∫[0→π/2]f(t)dt (C)
と置くと(B)は
g(x)=cosx+C (B)'
これを(A)に代入して右辺の積分を計算し、その結果を
(C)に代入して積分を計算するとCについての方程式が
導かれます。
No.18513 - 2012/09/08(Sat) 19:04:24
★ 高3 / 現役
x,y,zは実数で,次の２つの関係式を満たす
x^2-yz-8x+7=0
y^2+z^2+yz-6x+6=0
(1)xの取り得る値の範囲を求めよ
(2)xy+yz+zxの最小値を求めよ
(1)はx以外の文字を消去する感じですか？
No.18510 - 2012/09/08(Sat) 18:12:39
☆ Re: 高3 / X
(1)
x^2-yz-8x+7=0 (A)
y^2+z^2+yz-6x+6=0 (B)
とします。
(A)より
yz=x^2-8x+7 (A)'
これと(B)より
(y+z)^2=(x-1)^2
∴y+z=±(x-1) (B)'
(A)'(B)'から解と係数の関係よりy,zはtの方程式
t^2干(x-1)t+x^2-8x+7=0 (C) (複号同順)
の実数解となります。よって(C)の解の判別式について…

(2)
(A)'(B)'を用いてxy+yz+zxをxの式で表し(1)の結果を使います。
No.18512 - 2012/09/08(Sat) 19:00:18
★ 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!
nb[n+1]-(n+1)b[n]=(n-1/n+2)
を満たすとき、b[n]を求めよ。

両辺を(1/n(n+1))で割ってみたのですが、その後どうすれば良いかわからず…
よろしくお願いします！！！
No.18502 - 2012/09/08(Sat) 16:48:04
☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!
すみません。b[1]の値を書き忘れました！
b[1]=(-1/4)です。
No.18503 - 2012/09/08(Sat) 16:50:52
☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / ＿
問題文の式の右辺はなんとなく(n-1)/(n+2)のような気がするのでそう決めつけて考えます。

両辺をn(n+1)で割るとb[n+1]/(n+1) - b[n]/n = (n-1)/n(n+1)(n+2)で、b[n]/n=B[n]とでもしておきましょう。
B[n+1] - B[n] = (n-1)/n(n+1)(n+2)なので、この右辺の分母を見るといかにもn(n+1)と(n+1)(n+2)に分解せよと言っているみたいなのでそのようにして、
B[n+1] + {(n+1)-0.5}/(n+1)(n+2) = B[n] + (n-0.5)/n(n+1)
と変形できるので…(以下略)
No.18505 - 2012/09/08(Sat) 17:27:39
☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!
ありがとうございます！
後は頑張ってみます！！！
No.18508 - 2012/09/08(Sat) 17:54:30
★ (No Subject) / 高2
実数a,bに対して,3次方程式
X^3+ax^2+bx+1=0
ば1つの実数解と2つの虚数解α,βをもち,β=α^2を満たしている
(1)α,βおよびa,bの値をそれぞれ求めよ
(2)α^100+β^100の値を求めよ
解と係数の関係を使うとしたら最初に虚数解を別の文字で置き換え直した方がいいのでしょうか？
No.18501 - 2012/09/08(Sat) 15:54:37
☆ Re: / IT
>虚数解を別の文字で置き換え直した方がいいのでしょうか？
何のためにどのように置き換えるということでしょうか？

実数係数の方程式の場合、虚数解α,βは互いに共役複素数であることを使えば良いのではないでしょうか？
No.18504 - 2012/09/08(Sat) 16:54:27
☆ Re: / 高2
共役の複素数で考えようとしました
その場合はα,βを違う文字に置き換えた方がいいのですか？
No.18506 - 2012/09/08(Sat) 17:45:15
☆ Re: / IT
違う文字に置き換えるというよりも
β=α~ とすれば良いと思います（α~ はαの共役の複素数を表すことにします。上に横棒を付ける代わりです）
途中αα~＝｜α｜^2 などを使います。
No.18507 - 2012/09/08(Sat) 17:50:19
☆ Re: / 高2
わかりました
(2)はω使うんですか？
No.18509 - 2012/09/08(Sat) 18:03:49
☆ Re: / IT
ωを使っても良いですし
α^3＝β^3＝１、α＋β＋γ＝-a　（γは実数解）を使ってもできます。

α^3＝β^3＝１を示す
β=α~ を　β=α^2 　に代入
α~=α^2
αα~=α^3　
｜α｜^2=α^3
｜α｜^2=｜α｜^3
(｜α｜^2)（｜α｜−1)＝0
｜α｜＞0なので｜α｜＝１　よってα^3＝1
β^3=(α~)^3=(α^3)~＝1　　　
No.18514 - 2012/09/08(Sat) 19:23:54
☆ Re: / 高2
(1)の途中式よかったらお願いします。
No.18526 - 2012/09/09(Sun) 08:09:29
★ 数２ / tanioka
-π/2<x<y<π/2
cos(x-y)=0により
x-y=-π/2
とあるのですがどうしてなのか分かりません。
どなたか分かり易く説明してくれませんか。
よろしくお願いします。
No.18497 - 2012/09/08(Sat) 12:41:47
☆ Re: 数２ / ヨッシー
cos(x-y)=0 になるのは、x-y が
　-3π/2, -π/2, π/2, 3π/2
などのときです。
ｘ＜ｙ なので、まず、π/2, 3π/2 などの 正の数は候補から消えます。
-π/2＜ｘ, -π/2＜-ｙ より
　-π＜x-y
なので、-3π/2 以下の負の数も消えて、-π/2 のみが残ります。
No.18498 - 2012/09/08(Sat) 13:05:58
★ ３−３行列のｎ乗 / クロック
λは固有値とします

2-2行列Ａのｎ乗を求めるときＡを
-2-1
1-4
として
det(A-λＥ）＝０より
λ＾２＋６λ＋９＝０
よってA^2+6E+9=0
x^n=(x^2+6x+9)f(x)+px+q・・?@として
両辺ｘで微分したものを?@’
?@にｘ＝３を代入して-3p+q=(-3)^n
?@’にｘ＝３を代入してｐ＝ｎ（-3)^(n-1)
よってｐ、ｑの値が求まった
?@でｘをＡにかえて
A^n=PA+9E=〜

この方法で３−３行列Ｂのｎ乗を求めてみました。Ｂは
+3+1+1
-1+1-1
00+2
です
det(B-λＥ）＝０よりクラーメルの公式を使って
(λー２）＾３＝０
よって（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０
x^n=(x-2)^3+px^2+qx+r・・あ）
両辺ｘで微分して
nx^(n-1)=3(x-2)^2f(x)+(x-2)^3f'(x)+2px+q・・（あ）’
さらに微分して
n(n-1)x^(n-2)=6(x-2)f(x)+3(x-2)^2f'(x)+2p・・（あ）”
（あ）’、（あ）”にｘ＝２を代入してｐ、ｑが得られる
p=n(n-1)2^(n-3)
q=n(2-n)2^(n-1)
(あ）にｘ＝２を代入してｒ＝２＾（nー１）(n^2-3n+2)
xをBにおきかえて
B^n=(B-2E)^3f(B)+ｐB＾２＋ｑB＋ｒ
＝ｐB＾２＋ｑB＋ｒ
＝・・・

この方針で合っているか教えてください。よろしくお願いします
No.18496 - 2012/09/08(Sat) 11:53:57
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> この方針で合っているか教えてください。
特に間違ってはいません。
ただ、(Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏ だけではなく (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ にも気付ければ、もっとラクができます。
※固有方程式 (λ-2)^3=0 の場合、(Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏの成立は確実ですが、Ｂによっては Ｂ-2Ｅ=Ｏ もしくは (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ も成立することがあるのです。
No.18515 - 2012/09/08(Sat) 20:38:59
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
回答ありがとうございます。

間違ってないのですか、意外でした。
いくつが気になっている点があるのですが、
(λー２）＾３＝０
よって（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０という風に固有方程式の固有値λを行列Ｂに置き換えるのはどんな行列でもできるのですか？（てっきり２−２行列の時のみだと思っていました）

また、最後の段階でｘをＡやＢなど行列に置き換えていますが、ｘを微分したものをＡやＢなど行列で置き換えていいのでしょうか？行列は微分できませんよね。。

よろしくお願いします。
No.18516 - 2012/09/08(Sat) 21:16:59
☆ ハミルトン・ケイリーの定理 / angel
> 固有方程式の固有値λを行列Ｂに置き換えるのはどんな行列でもできるのですか？
…あれ? ひょっとして高校生の方でしょうか? ( 3x3行列の話だからてっきり大学生かと… )
「固有方程式に対して、変数λを形式的に行列Ｂに、定数 c を cＥに (特に 0 は 零行列Ｏに) 置き換えた、行列の等式が成立する」これこそがハミルトン・ケイリーの定理です。なので、どんな行列でもできます。
※高校だと、2x2行列で単に Ｘ^2-(a+d)Ｘ+(ad-bc)Ｅ=Ｏ と習うでしょうが、これも固有方程式 (a-λ)(d-λ)-bc=0 から来ているので…
No.18517 - 2012/09/08(Sat) 21:48:53
☆ 多項式と行列計算の変換 / angel
> また、最後の段階でｘをＡやＢなど行列に置き換えていますが、ｘを微分したものをＡやＢなど行列で置き換えていいのでしょうか？行列は微分できませんよね。。

これはちゃんと理解しておかないと、ちょっと危ない所ではあります。

先にちょっと例を見ていただきましょう。
　x^4=(x-2)^3・(x+6) + 24x^2-64x+48
これは x に関する恒等式です。
ここで形式的に、x→Ｘ, 定数 c→cＥ と置き換えてみます。
　Ｘ^4=(Ｘ-2Ｅ)^3・(Ｘ+6Ｅ) + 24Ｘ^2-64Ｘ+48Ｅ
実は、というのもしらじらしいですが、この行列に関する等式も成立します。なぜならばＸ同士、もしくはＸ,Ｅ間の掛け算は交換が可能だからです。
※一般にはこういう置き換えは無理です。
　例えば (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 だからといって、(Ｘ-Ｙ)^2=Ｘ^2-2ＸＹ+Ｙ^2 は言えません。
　ＸＹ=ＹＸ が一般には成立しないからです。

さて話を本題に戻して。
今回の問題の解法の理屈としては、

　1. Ｂの固有方程式は (λ-2)^3=0 である
　2. 多項式 x^n に関して、x^n=(x-2)^3・f(x)+px^2+qx+r が恒等式となる f(x),p,q,r が存在する
　3. 2.の恒等式を形式的に置き換えた次の等式も成立する
　　Ｂ^n=(Ｂ-2Ｅ)^3・f(Ｂ)+pＢ^2+qＢ+rＥ
　4. ハミルトン・ケイリーの定理より (Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏのため
　　Ｂ^n=pＢ^2+qＢ+rＥ である。

ですね。
※(Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏを利用した方が楽ですが、ひとまず置いておくとして
ここで、2は多項式の話、3以降は行列の話です。つまり、多項式の計算結果を行列の計算に利用しているわけです。
そうすると、p,q,rを求める時には、多項式に使えるネタは何でも使えます。微分もO.K.です。「行列は微分できないのに…」とか、そういったことは気にする必要がないのです。
あくまで、「多項式の世界での計算結果を利用して、行列の計算をしている」からです。多項式の世界で何をしようと、結果さえ出れば、それで行列の計算ができるのです。
No.18519 - 2012/09/08(Sat) 22:25:36
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
ありがとうございます。数学科でない大学生です。

理解できました。ありがとうざいます。

話は変わりますが、
固有方程式 (λ-2)^3=0 の場合、Ｂ-2Ｅ=Ｏ もしくは (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ も成立することがあるとのことですが、
例えば（λー２）＾４＝０ならＢー２Ｅ＝０，（Ｂ−２Ｅ）＾２＝０，（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０の可能性もあるといった具合に固有方程式の次数が上がっても言えることですか？

また、片一方が重解の時（例えば(λ-1)(λ-2)^2=0など）は
(B-E)(B-2E)^2=0以外にもＢについて何か成り立つのでしょうか？

どうか教えてください。よろしくお願いします。
No.18525 - 2012/09/09(Sun) 00:57:26
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> …(略)…の可能性もあるといった具合に固有方程式の次数が上がっても言えることですか？

そうです。

> また、片一方が重解の時（例えば(λ-1)(λ-2)^2=0など）は
> (B-E)(B-2E)^2=0以外にもＢについて何か成り立つのでしょうか？

今後、「最小多項式」に関するお話を聴く機会があると思います。それがちょうど今回の問題にあたります。

最小多項式 p(x) とは、形式的に行列Ｘを代入した式につき p(Ｘ)=Ｏ が成立し、かつその中で次数が最小のものをさします。

この p(x) に関し、方程式 p(x)=0 は Ｘ の固有値を全て根として持ちます。なので固有方程式に重解がない場合、p(x) は固有多項式と一致します。

しかしながら、固有方程式に重解がある場合は一致するとは限りません。
例えば、元の質問にあった問題のＢならば、p(x)=(2-x)^2 であり、固有多項式 (2-x)^3 とは一致しません。

また、一部の解が重解の場合。質問にあるように、固有多項式が (1-x)(2-x)^2 ( 固有方程式 (1-λ)(2-λ)^2=0 ) の場合、最小多項式 p(x) は、
　p(x)=(1-x)(2-x)^2　( つまり、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)^2=Ｏ、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)≠Ｏ )
　p(x)=(1-x)(2-x)　( つまり、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)=Ｏ )
の2通りがありえます。
No.18536 - 2012/09/09(Sun) 18:54:01
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
わかりやすい回答ありがとうございます。

実は教養課程の線形代数は終わってしまったので授業ではもう聞く機会はないのです。

つまり（固有多項式）＝０のとき（最小多項式）＝０で、最小多項式＝０のλについてもケイリーハミルトンの定理が使える（λを行列Ａに置き換え可能）という理解であっていますでしょうか？

例えば与えられた３−３行列の固有多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.18537 - 2012/09/09(Sun) 19:48:12
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> 実は教養課程の線形代数は終わってしまったので授業ではもう聞く機会はないのです。

おや、そうでしたか…。
そうすると、「ジョルダン標準形」までは進まなかったのでしょうかね。「最小多項式」は「ジョルダン標準形」と関わりの深い所なので、そこまで進んでいれば話題に上っていただろうと思います。
もちろん、今からご自身で参考書なりを読んで勉強しても良いと思いますし、Web上でも説明が載ってたりもします。
※例えば、http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/linear/lin0.htmlとか

> つまり（固有多項式）＝０のとき（最小多項式）＝０で、最小多項式＝０のλについてもケイリーハミルトンの定理が使える（λを行列Ａに置き換え可能）という理解であっていますでしょうか？

ちょっとこの表現だと言葉が足りない気がするので、補完してみますが、

　行列Ｘの固有多項式φ(x)および最小多項式p(x)に対して、
　φ(λ)=0 ⇔ p(λ)=0 が成立。この時のλが固有値である。
　そのため、φ(x), p(x) とも (λ1-x)^d1・(λ2-x)^d2・… の形をしている。( λ1,λ2,…は固有値、d1,d2,…は1以上 )
　ケイリー・ハミルトンの定理とは、φ(Ｘ)=Ｏ が成立することを指す。
　また、p(Ｘ)=Ｏ は最小多項式の定義に含まれる条件であり、明らかに成立する。
　今回の問題のように Ｘ^n を求める問題では、ケイリー・ハミルトンの定理が活用できるが、最小多項式も同様に利用でき、それにより更に楽ができる場合もある。

という感じでしょうか。

> 例えば与えられた３−３行列の固有多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？

これは、最小多項式の話で良いでしょうか?
※固有多項式は行列式 det(Ｘ-xＥ) を計算するだけですし…
各項 (λ-x)^d の次数 d を決定するには、実際に(λＥ-Ｘ) を1乗,2乗,…と成分計算して確かめるしかないように思います。
No.18562 - 2012/09/10(Mon) 23:14:22
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
回答ありがとうございます。

実際ジョルダン標準形とやらでｎ乗を求めるやり方はNo.18496のやり方と比べて計算量は減るのでしょうか？

すみません、間違えました。例えば与えられた３−３行列の最小多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？つまりＡ−Ｅ＝０なのか（Ａ−Ｅ）＾２＝０なのか（Ａ−Ｅ）＾３＝０なのかを実際にＡ−Ｅ、（Ａ−Ｅ）＾２など成分計算して求めずに簡単に見分ける方法はないのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.18568 - 2012/09/11(Tue) 02:19:12
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> 実際ジョルダン標準形とやらでｎ乗を求めるやり方はNo.18496のやり方と比べて計算量は減るのでしょうか？

ジョルダン標準形を求めてn乗を計算する方が計算量は多いです。
上の回答でジョルダン標準形を持ち出した意図は、同じ固有多項式であっても最小多項式に差異が出る、その構造が見易くなる形だからです。なので、あくまで参考と考えてください。

> 成分計算して求めずに簡単に見分ける方法はないのでしょうか？
No.18562で回答した通り、地道に成分計算するしかないと思います。
No.18572 - 2012/09/12(Wed) 00:53:26
★ 高卒 / 浪
関数f(x)=ax(1-x) がある。aを正の定数とするとき
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するようなaの値の範囲を求めよ
(2)f(x)=y,f(y)=xを満たす正の数の組(x,y)がちょうど3個存在するようなaの範囲を求めよ
(1)から詰まりました。どっかの大学の過去問です
No.18492 - 2012/09/08(Sat) 01:22:07
☆ Re: 高卒 / ヨッシー
(1)

y=f(x) のグラフは、ｘ軸と(0,0)(1,0)で交わる上に凸のグラフです。
図の左のように、点(0,0) における y=f(x) の接線の傾きが
１より大きければ、条件を満たすので、
　f'(x)＝-2ax＋a
　f'(0)＝a＞1
より、ａ＞１
No.18499 - 2012/09/08(Sat) 13:18:49
☆ Re: 高卒 / ヨッシー
(1) 別解
ax(1-x)=x とそのままおいて、
　x(a-ax-1)＝0
解の１つがｘ＝０ であることは明らかですが、もう一方の解は、ａ＞０ より
　ｘ＝(a-1)/a
と書け、これが正であるためには、ａ＞１
というやり方もあります。
No.18500 - 2012/09/08(Sat) 13:23:47
★ (No Subject) / 接線
曲線y=x^3と曲線y=(x+1)^3+kの両方に接する直線が5本あるような実数kの値の範囲を求めろという問題なんですがどう考えればよいのでしょうか？接線5本なんて引けるのですか？
No.18488 - 2012/09/07(Fri) 22:57:32
☆ Re: / 接線
学年書き忘れましたが高3です
No.18489 - 2012/09/07(Fri) 22:59:01
☆ Re: / らすかる
y=x^3
y'=3x^2
(p,p^3)で接する接線の方程式は y=3p^2x-2p^3 … (1)
y=(x+1)^3+k
y'=3(x+1)^2
(q,(q+1)^3+k)で接する接線の方程式は y=3(q+1)^2x-2q^3-3q^2+1+k … (2)
(1)と(2)が一致すれば良いので
3p^2=3(q+1)^2 … (3)
2p^3=2q^3+3q^2-1-k … (4)
(3)から p=q+1,-q-1
p=q+1 を(4)に代入してqについて解くと q=-1±√(-k/3)
解は k＜0のとき２個、k=0 のとき１個、k＞0のとき０個 … (5)
p=-q-1 を(4)に代入して整理すると 4q^3+9q^2+6q+1-k=0
f(q)=4q^3+9q^2+6q+1-k とおくと
f'(q)=6(2q+1)(q+1)
よってf(-1)＞0, f(-1/2)＜0であればf(q)=0の解は３個となり、
(5)のk＜0と合わせて５個になる。
f(-1)＞0 から k＜0
f(-1/2)＜0 から k＞-1/4
従って -1/4＜k＜0
No.18490 - 2012/09/07(Fri) 23:30:49
☆ Re: / 接線
ありがとうございます
No.18491 - 2012/09/08(Sat) 01:12:21
★ 高１ / 四谷
実数x,yがx^2+xy+y^2=1を満たすとき、x+y=a xy=bとするときa,bの満たす関係式を求めよ。
またaの最小値と最大値を求めよ
と言う問題でa^2-b=1というのはいいとしてaの最大・最小を求めるとき、
解答ではtの２次方程式を使ってその解x,yが実数になるための条件を利用しているんですけど
問題文で「実数x.y」ってあるのになんでこの条件式が必要なのか納得できません。
x=1-√2i y=1+√2iの場合x+yは実数になるけどx,yは虚数でこのような場合を除くのが目的とあるんですが
x,yが実数って問題でいってる以上このようなx,yが虚数の場合を考える事自体意味がわからないんですがどういうことなんでしょうか？教えて下さい。お願いします。
No.18485 - 2012/09/07(Fri) 07:47:47
☆ Re: 高１ / ＿
逆です。
「x,yが実数って問題でいってる」から、わざわざ「x,yが虚数の場合を考え」て、それに当てはまってしまう場合を排除しなければならないのです。

解説にある通り、x+y,xyがともに実数だけどx,yはともに実数でなくなるというケースがあります。tの二次方程式云々から得られる条件を使って、x+y,xyがともに実数で更にx,yもともに実数であるという場合を絞り込んでいる訳です。

a^2 - b = 1というだけでは(そもそもaの最大最小は求まらない上に)、x,yが実数であると断定はできません。試しにa=1,2,3あたりでxとyの値を具体的に出してみると宜しいかと思います。
No.18486 - 2012/09/07(Fri) 09:38:45
☆ Re: 高１ / らすかる
x^2+xy+y^2=1 → a^2-b=1 だけでは
「x,yが実数」という条件が反映されないためです。
「x,yが実数かつx^2+xy+y^2=1」⇔「a^2-b=1かつt^2-at+b≧0」ですから、
t^2-at+b≧0についても考慮する必要があります。
No.18487 - 2012/09/07(Fri) 09:41:06
★ 包絡線 / ブービー
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/node48.html#ena12
の解答２の下から４〜５行目の
「ｔ≠０のときｘ＝ｔ、ｙ＝ｔ＾３−３ｔ
これがｔ≠０で成立するのでｔ＝０でも成立する」の意味が分からないのですが、どういう事なのでしょうか。

分かる方いらっしゃいましたらどうかご教授お願いします。
よろしくおねがいします。
No.18480 - 2012/09/05(Wed) 23:03:49
☆ Re: 包絡線 / ヨッシー
「これがｔ≠０以外で成立するのでｔ＝０でも成立する」
ですね。
確かに変な言い回しです。
「ｔ≠０のときｘ(t)＝ｔ、ｙ(t)＝ｔ^3−３ｔ
これはｔ＝０でも成立する」
でも良いと思います。
No.18481 - 2012/09/06(Thu) 09:23:44
☆ Re: 包絡線 / ブービー
回答ありがとうございます。

しかしなぜｔ＝０でも成立すると言えるのですか？

よろしくお願いします。
No.18482 - 2012/09/06(Thu) 20:27:42
☆ Re: 包絡線 / 黄桃
南海先生のサイトの質問なら、ご本人に聞くのがスジだと思います（トップページに掲示板とあるのがわかりますか？URLは http://www65.tcup.com/6504/aozoram.html です）
私が紹介した手前、説明します。

「ｔ≠０以外で成立するのでｔ＝０でも成立する」
とは、要するに、f(t)をtの連続関数とすると、

f(t)=0 がt≠0なるすべてのtについて成立する⇒ f(t)=0 がすべてのt(t=0も含む）について成立する

ということです。f(t)が連続関数ならf(0)=lim[t→0]f(t) だから、明らかでしょう。
包絡線(x(t),y(t))は(tの)連続関数である、ということは既知としているのでしょう。


a/x+b/(x-1)=1/(x(x-1)) となる実数a,b を求める時に、両辺を x(x-1)倍して
a(x-1)+bx=1 が x≠0,1 に対して恒等式だから、a(x-1)+bx=1 はすべてのxについても恒等式、
だからxに0,1を代入しても成立しているので、x=0 を代入してa=-1, x=1 を代入してb=1 を得る、
とすることがありますが、これと同じ論理です。
No.18483 - 2012/09/07(Fri) 07:24:31
☆ Re: 包絡線 / ブービー
回答ありがとうございます。わざわざすみません。。

回答の中身ですが、
質問１．f(t)をtの連続関数とすると、
f(t)=0が〜とありますが、本問において t(t)＝０と表せるような式はないのですが・・。

質問２．包絡線(x(t),y(t))は(tの)連続関数である、ということは既知としている、について
包絡線は一般的に連続関数だと言えるのですか？それとも今回は包絡線がｙ＝ｘ＾３−３ｘだからたまたま連続だと言えるのか、どちらですか？

質問３．それから包絡「線」なのに(x(t),y(t))という風に「点」でいいのでしょうか？

質問４．a(x-1)+bx=1については、ｙ＝a(x-1)+bx・・?@とｙ=1を考えて?@にｘ≠０，１のどんなｘを代入しても１になるから?@の関数の連続性より?@はどんなｘを代入しても１になる。よって?@≡?Aという理解をしましたが他の場合も通用しますか？


質問が多いですがどうかよろしくお願いします。
No.18494 - 2012/09/08(Sat) 07:26:15
☆ Re: 包絡線 / 黄桃
厳密に説明するのは大変なので、感覚的な説明で勘弁してください。
質問１ f(t)=x(t)-t とおいてください。
質問２ 一般的にいえます。ここでの包絡線は、直線を連続的にずらした時にその直線群が通る領域の、ある種の「境界」にあたるので、突然どこかへ飛んだりはしません（飛ぶのなら対応する直線もどこかに飛んでしまい不連続な動き方をするはず）ので、連続です。
質問３ tを決めるごとに直線が１つきまります。(x(t),y(t))は包絡線と、tできまる直線との交点と思ってください。
別の言い方をすれば包絡線をパラメータ表示したものです。直線のパラメータ表示が x(t)=x0+at, y(t)=y0+bt となるのと同じです。
質問４　「他の場合」がなんだかわかりませんが、その理解でOKです。
この記号を使ってよければ、t(x(t)-t)≡0 より t≡0 または x(t)-t≡0 であるがt≡0 ではないので、x(t)≡t である、と説明することもできます。
No.18495 - 2012/09/08(Sat) 08:05:39
★ 数学 / ぽぽ
AB=8、BC=9の長方形ABCDの中に、互いに外接する2つの円C1,C2がある。
C1は中心がOで、二辺AB,BCに接し、C2は

中心がO´で、二辺CD,DAに接している。
このとき、C1,C2の半径をそれぞれｘ、ｙとし、C1,C2の面積の和をSとする。

（１）ｘ＋ｙの値を求めよ。
（２）Sをｘを用いて表せ。
(3)Sの最大値と最小値を求めよ。
(1)は三平方の定理を使ってx+y=5とだせました。
(2)は(１)よりS=π(2x^2+10x+25)
(3)は(２)の結果とxの定義域よりグラフを考えて最大最小を求めるんでしょうけどxの定義域について疑問です。
xは円C1の半径なんで縦8cm　横9cmの長方形の中に円C1が収まるためには最大でx=4じゃないとだめですよね？
動揺にyも最大で4です。
ですがこの問題を解いているとき反射的に
x+y=5より
y=5-x
yは半径なので0より大きいんだから
5-x>0
よって0<x<5としてしまいました。
今まで解いてきた問題の中でもこういうふうにできる問題もあった気がするのですが
問題に応じて考えないといけませんよね。
どうしたらこのようなミスに至らざるにすむのか心がけておくべきことがあったら教えてください。
また別の問題で同じミスをしそうです。
回答お願いします。
No.18477 - 2012/09/05(Wed) 18:59:23
☆ Re: 数学 / ヨッシー
まず、
(2) の答えは　S=π(2x^2−10x+25) ですね。

それはともかく、
これは、図をきちんと描いて気をつけるしかないですね。
「yは半径なので0より大きいんだから」
とありますが、本当にｙは０にずっと近づけられるのか？
つまり、ｙは正であれば、いくらでも小さくできるのか？
といったことを、図とともに見ていけば、途中で気がつくでしょう。
No.18478 - 2012/09/05(Wed) 22:32:40
☆ Re: 数学 / 黄桃
>どうしたらこのようなミスに至らざるにすむのか心がけておくべきこと
については、いろいろ自分で問題を解いて、
自分はこういう間違いをしやすい、
ということを体で覚えるしかありません。

見直しや面倒な計算をする時に「自分が間違いやすいところはどこかな？そこは注意しないと」と考えればミスが減るでしょう。
逆説的ですが、どんどん間違えて、自分の間違えるパターンを覚えるのが、ミスを防ぐ近道だと思います。

＃しかし、実は元の質問は奥が深いのです。
＃数学では、同じ記号なのに違う意味を持たせることがあります。
＃数学では x<1 という式で、xの動く範囲（区間）を表すこともあるし、
＃単に不等式を表すこともあります。どちらの意味で使われているか、普通は
＃気にしなくてもいいのですが、混同してしまうと間違うのが今回の質問の場合です。
＃途中ででてきた式は不等式(x=1 の時 x>0、の x>0と同じ）であって、範囲ではなかったのです。
＃相加相乗平均で最小値を求める時に等号成立条件を確認しますが、
＃それは不等式を範囲にするおまじないなのです。
No.18484 - 2012/09/07(Fri) 07:35:27
★ 因数分解 / 伶一
(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5の因数分解を教えてください。できるだけ高校生レベルでお願いします。
No.18474 - 2012/09/04(Tue) 11:47:52
☆ Re: 因数分解 / 豆
例えば一つの方法、a=bなどが与式を0にすることも意識しながら、
A=a-b、B=b-cとおくと、c-a=-(A+B)なので、
与式=P=A^5+B^5-(A+B)^5　　　A^5、B^5が消える
=-(5A^4B+10A^3B^2+10A^2B^3+5AB^4)
=-5AB(A^3+2A^2+2AB+B^3)　
A+Bは因数のはずだし、すぐに括れることは分かる
P=-5AB(A+B)(A^2-AB+B^2+2AB)
最終因数は、ばらすと、
a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab　でこれ以上は無理
P=5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)
符号、用語を間違えていたので修正済み
No.18475 - 2012/09/04(Tue) 14:25:52
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
まず目星として、
(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5
の a に b を代入する、a に c を代入する、b に c を代入する
のいずれも０になるので、因数定理の考え方から、(a-b)(b-c)(c-a) で割り切れることは予想がつきます。

(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5
(b-c)^5=b^5-5b^4c+10b^3c^2-10b^2c^3+5bc^4-c^5
(c-a)^5=c^5-5c^4a+10c^3a^2-10c^2a^3+5ca^4-a^5
全部足して、a についての降べきの順に整理すると
　5a^4(c-b)+10a^3(b^2-c^2)+10a^2(c^3-b^3)+5a(b^4-c^4)+5bc(c^3-b^3)+10b^2c^2(b-c)
(c-b) でくくると
　5(c-b){a^4-2a^3(b+c)+2a^2(c^2+cb+b^2)-a(b+c)(b^2+c^2)+bc(c^2-cb+b^2)}
5(c-b) 以外の部分を、a-b で割ると、
　a^4-2a^3(b+c)+2a^2(c^2+cb+b^2)-a(b+c)(b^2+c^2)+bc(c^2-cb+b^2)
　＝(a-b){a^3-a^2(b+2c)+a(b^2+2c^2)+(-b^2+bc^2-c^3)}
(a-b)　以外の部分を a-c で割ると、
　a^3-a^2(b+2c)+a(b^2+2c^2)+(-b^2+bc^2-c^3)
　＝(a-c){a^2-a(b+c)+(b^2-bc+c^2)}
以上より
　(与式)＝5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)
No.18476 - 2012/09/04(Tue) 14:30:14
★ ジョルダン標準形 / ブービー
高３ですがジョルダン標準形というのを独学でできるようになりたいのですが、お勧めのサイトがあったら教えてください。沢山あるのですが恐ろしく複雑で読み解けません。
No.18471 - 2012/09/03(Mon) 23:57:01
☆ Re: ジョルダン標準形 / ast
心意気は買いますが, しかしジョルダン標準形自体がそもそもある程度の前提知識を必要とする「恐ろしく複雑」な概念です (線型代数学の基本事項を習得済みの大学生が, 講義あり演習ありで半期は掛かってやっと理解できるかどうか, というところです) から, その辺のが読めないから読みやすそうなサイトは無いかとか, そういう付け焼刃でしようと言うのは無理だと思います.
No.18472 - 2012/09/04(Tue) 00:26:10
☆ Re: ジョルダン標準形 / 黄桃
サイトを眺めて理解できる、というのは一般人（私もそうですが）には難しいでしょう。数学の天才だったらできるでしょうが、そういう人はここで質問する必要はないでしょう。

いきなり一般次元は大変なので、とりあえず2x2行列の場合に読み解いてみる（当てはめて何をいっているか理解する）のはどうですか？
成分は４つしかないので成分計算しても、根気があればなんとかなるかもしれません。

そういう意味では、南海先生のサイトは2次元の場合の例も豊富なので、見る価値があると思います:
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/
の数学対話、代数分野の、一次変換を見る／線型代数の考え方、のあたりを中心に眺めてみてください。

それでもわからない、もっと知りたい、ちゃんと勉強したい、のであれば、地道に大学生用の線型代数の教科書を勉強するしかないと思います。
No.18473 - 2012/09/04(Tue) 02:37:18
☆ Re: ジョルダン標準形 / ブービー
ありがとうございます。

このサイトはとてもいいですね。ありがとうございました。
No.18479 - 2012/09/05(Wed) 22:57:22
★ 高3 確立 / ktdg
n個(n≧2)のサイコロを投げ、出た目の最大値をM、最小値をmとするとき、Mがmの倍数である確率を求めよ。

(?@)m=4,5,6のとき
Mがmの倍数であるためには、M=mでなくてはならず、このとき出る目はすべて等しい。よって求める確率は、3/6^n
(?A)m=3のとき
(ア)M=6のとき
1,2が出ず、かつ3と6が少なくとも1つ出ればよいので求める確率は、{(4^n)-(2・3^n)+2^n}/6^n
(イ)M=3のとき
全て3でなくてはならないから求める確率は、1/6^n
(?B)m=2のとき
(ア)M=6のとき
1が出ず、かつ2と6が少なくとも1つ出ればよいので求める確率は、{(5^n)-(2・4^n)+3^n}/6^n
(イ)M=4のとき
1,5,6が出ず、かつ2と4が少なくとも1つ出ればよいので求める確率は、{(3^n)-(2・2^n)+1}/6^n
(ウ)M=2のとき
全て2でなくてはならないから求める確率は、1/6^n
(?C)m=1のとき
1が少なくとも1つ出ればよいので求める確率は、{(6^n)-5^n}/6^n
以上より、Mがmの倍数である確立は、{(6^n)-(4^n)-(2^n)+6}/6^n

答え合わせお願いします。
No.18461 - 2012/09/02(Sun) 18:16:39
☆ Re: 高3 確立 / らすかる
最終行の「確立」の漢字以外は合っていると思います。
No.18462 - 2012/09/02(Sun) 18:26:48
☆ Re: 高3 確立 / ktdg
「確率」ですね。
細かいところまでありがとうございます。
No.18469 - 2012/09/03(Mon) 02:06:18
★ 等角数列 / unknown
こんにちは中学生です。
進学校なので高校の範囲も一応出来ます。
次の問題の解法と解説をお願いします。


点ABCDEFで構成されている正6角形がある。
それぞれの点が次のように移動する時、
点Aが点Bと重なるまでの移動距離を求めよ

点Aは点Bに向かって進む
点Bは点Cに向かって進む
点Cは点Dに向かって進む
点Dは点Eに向かって進む
点Eは点Fに向かって進む
点Fは点Aに向かって進む。

ただし、最初の地点で点Aと点Bとの距離を
1000とおく
No.18459 - 2012/09/02(Sun) 15:18:37
☆ Re: 等角数列 / IT
常に移動する目標（AならB）に向かって、常に向きを変えていくのなら下記のようになるようです「追跡曲線」で検索できます。

これなど参考にされてはどうでしょう。
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/pc-mathekyouzai001/tuisekikyokusen015soft.pdf
県立高校理数科２年生のレポートです。
No.18460 - 2012/09/02(Sun) 17:41:03
☆ Re: 等角数列 / IT
点Aと点Bとの距離 L
１回の移動距離を x
１回の移動後の点Aと点Bとの距離 L１とおくと

余弦定理より
（L１）^2= (L-x)^2 + x^2 -2(L-x)xcosθ
これを整理すると
L１＝√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ))

近づいた距離　L - L1 ＝　L −　√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ))
近づいた距離／移動した距離 ＝(L−√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/x
=(L-√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))x
=(L^2 - (L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))x
=2(L-x)(1+cosθ)/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))
→ 2L(1+cosθ)/(L+√(L^2))= 1+cosθ
（x→0のとき）

正6角形の場合はθ＝120°、cosθ＝-1/2
近づいた距離／移動した距離＝1+cosθ＝1/2
移動した距離＝近づいた距離＊２
よって点Ａと点Ｂが重なるとき　移動した距離＝Ｌ＊２＝2000（元の問題の場合）

一般的な正多角形の場合で考えましたが
本問の場合、最初からcosθ＝-1/2とした方が記述量は少なくてすみます。

余弦定理（数１）と極限（数２）を使いました。

ポイントとなると思われる（近づく距離）／（移動距離）についてのみ計算しました。
　
　
No.18464 - 2012/09/02(Sun) 21:10:06
☆ Re: 等角数列 / IT
数列的な議論(略解）
ｎ回移動後のＡとＢの距離をＬ[n]、Ｌ[0]＝Ｌ(質問の場合は1000）。
ｎ回目の移動距離ｄ[n]は移動前の距離Ｌ[n-1]のｘ倍（０＜ｘ＜１）すなわちｄ[n]＝ｘＬ[n-1]…?@。（等角）
であるとする

Ｌ[n+1]＝ｙＬ[n] となるyがとれる
　じっさい余弦定理より
　ｙ^2=x^2+(1-x)^2-2x(1-x)cosθ=1-2x(1-x)(1+cosθ)
　ｙ=√{1-2x(1-x)(1+cosθ)}　
　　0＜ｙ＜1,lim[x→0]ｙ＝1に注意

Ｌ[n+1]＝(ｙ^n)Ｌ…?A
　lim[n→∞]Ｌ[n]=lim[n→∞](ｙ^n)Ｌ=0,

?@、?Aより
ｄ[n]＝x(ｙ^(n-1))Ｌ

よって、AがBに重なるまでの移動距離の合計は
Σ[n=1,∞]ｄ[n]=xＬΣ[n=1,∞] (ｙ^(n-1))
　　　=xＬ／(1-ｙ)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／(1-ｙ)(1+ｙ)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／(1-ｙ^2)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／2x(1-x)(1+cosθ)
　　　=(1+ｙ)Ｌ／2(1-x)(1+cosθ)
　　　→Ｌ／(1+cosθ)　(x→0)
No.18468 - 2012/09/02(Sun) 23:06:03
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