サイコロを２回投げて１回目と２回目に出る目をそれぞれx,yとする。
(1)x^2-7x+11<y<-x^2+7x+8となる確率を求めよ。
(2)x^2-7x+11<y<-x^2+7x+bとなる確率が1/2となる定数bの値の範囲を求めよ。
(1)はx=1〜6の値をとりうるのでx=1のときx=2のとき・・・というふうに代入していって不等式として成り立つもののなかで1≦y≦6のうち満たすyの個数を数えて確率を求めればいいですよね？
(2)は考え方すらわかりません。
どうやって解けばいいんでしょうか？
IAIIBの範囲内で解き方を教えて下さい。お願いします。
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No.18620 - 2012/09/16(Sun) 14:28:01
| ☆ Re: 文系確率 / ＿ | | | せっかくx,yと2つの変数(しかもいかにも図示せよという感じの)が与えられているので図にしちゃいましょう。
2曲線y=x^2-7x+11とy=-x^2+7x+8の、1≦x≦6,1≦y≦6周辺の部分を描いてみると下の通り。結局y=-x^2+7x+8のほうはこの範囲には登場しませんが…
●は条件を満たし、●は条件を満たさない(x,y)の組です。できるだけ丁寧に図を描いて直接数えてみましょう。
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No.18623 - 2012/09/16(Sun) 15:34:04 |
| ☆ Re: 文系確率 / 確率 | | | 回答ありがとうございます。
難しいですね・・・
解答時間の目安が(1)(2)併せてベストが5分以内なのですがどうしても難ししです。
どうしたら時間短縮できるんでしょうか？
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No.18624 - 2012/09/16(Sun) 15:43:53 |
| ☆ Re: 文系確率 / ＿ | | | で、(2)です。
bの値が変わってもy=-x^2+7x+bは形状と軸の位置は変わらず上下の位置が変わるだけなので、bを色々に動かしてみてこんな感じの図を思い浮かべます(アニメなので容量節約のために小さくしています)。
このうち●が18個になる場合を捉えればよいわけですね。
＃私なら5分で解きたければこうします。とはいえ、穴埋めならまだしも、私の今の頭で5分でしっかりした答案を書けるかといわれると怪しいですけどね。
図として押さえておくべきなのはどの格子点(x,y座標がともに整数である点を格子点と言います)を通るかということで、あとはx=3.5に対して対称であることも考えるとそこまで無理なことではない気もします。
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No.18626 - 2012/09/16(Sun) 15:48:19 |
| ☆ Re: 文系確率 / 確率 | | | 実際にグラフを描いて格子点が１８個になるところを探ってみるとy=-x^2+7x+bの頂点のy座標が5と6の間くらいのところにあるとき１８個の格子点を取ることができました。ですがここからどうやってbの範囲を求めるのかわかりません。
どうしたらいいんでしょうか？
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No.18629 - 2012/09/16(Sun) 18:08:55 |
| ☆ Re: 文系確率 / ＿ | | | bの値を減らしてゆくと曲線も下がってきて、2曲線に挟まれる部分もだんだん狭くなるから、そこにある格子点の数は減ることはあっても増えることはないので18個の時が絞り込めます。
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No.18631 - 2012/09/16(Sun) 18:23:18 |
| ☆ Re: 文系確率 / IT | | | 横から失礼します。
グラフも有効ですが、人によっては、表を作ってカウントするのがはやいかも。x^2-7x は x(x-7) としたほうが計算が楽ですね。
x, x(x-7), x(x-7)+11, -x(x-7)+b を表にすると
1, -6, 5, 6+b
2, -10, 1, 10+b
3, -12, -1, 12+b
4, -12, -1, 12+b
5, -10, 1, 10+b
6, -6, 5, 6+b
n(m)：x=mのときのyの個数を表すことにする。
n(1)=n(6),n(2)=n(5),n(3)=n(4)なので
n(1)+…+n(6)=18 ⇔ n(1)+n(2)+n(3)=9
n(1)は５＜ ＜6+b に入る１から６までの整数の個数なので0か1
n(1)＝1のとき n(2)＝5、n(3)=6 不適
よってn(1)＝0 すなわち、n(2)+n(3)＝9 である
表からn(3)=min(n(2)+3,6)
よってn(2)=3,n(3)=6
n(2)=3になるには
1＜ ＜10+b に ２、３、４が入れば良い（必要十分条件）
よって ４＜10+b ≦５
すなわち -６＜b≦-５
>解答時間の目安が(1)(2)併せてベストが5分以内
上記でも記述不足の点があります。
5分以内で完答だと難関大レベルでしょうね。
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No.18632 - 2012/09/16(Sun) 18:30:32 |
| ☆ Re: 文系確率 / 確率 | | | 回答ありがとうございます。
ITさんの解答にある
「x, x(x-7), x(x-7)+11, -x(x-7)+b を表にすると」の部分なんですがx(x-7)はどこからきたんでしょうか？
個数というのは曲線上の格子点のことなんでしょうか？
もう少し説明お願い致しますm(_ _)m
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No.18640 - 2012/09/16(Sun) 22:31:07 |
| ☆ Re: 文系確率 / IT | | | > ITさんの解答にある
> 「x, x(x-7), x(x-7)+11, -x(x-7)+b を表にすると」の部分なんですがx(x-7)はどこからきたんでしょうか？
x^2-7x+11 や -x^2+7x+b の x^2-7x、-x^2+7xの部分です。（単に計算を楽にするためのものです、元の式のままでもかまいません）
> 個数というのは曲線上の格子点のことなんでしょうか？
私の解法の場合は、まったくグラフを使いませんので「曲線」や「格子点」を意識しないでください。
不等式x^2-7x+11<y<-x^2+7x+bを満たす 整数ｙ∈{1,2,3,4,5,6}の個数のことです。
（ｘ、ｙとも整数なので格子点ともいえますが「曲線上」の格子点ではありません。強いて言えば「２つの曲線間」の格子点しかもy=1,2,3,4,5,6です。）
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No.18641 - 2012/09/16(Sun) 22:49:49 |
| ☆ Re: 文系確率 / 確率 | | | 最後に補足させてください。
ITさんの回答を何度も読んでいたらなんとなくわかった気がするのですが「n(1)＝1のとき n(2)＝5、n(3)=6 不適 」の部分がよくわかりません。これも計算から考えれるんでしょうか？
何度もごめんなさい。
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No.18654 - 2012/09/17(Mon) 16:07:57 |
| ☆ Re: 文系確率 / IT | | | n(1)＝1になるのは 5＜６＜ 6+b ( すなわちb＞０）のとき
このとき (10+b＞6、12+b＞6 なので)
X=2 のときの 1＜ｙ＜10+b を満たすのは2〜6でn(2)=5
X=3 のときの -1＜ｙ＜12+b を満たすのは1〜6でn(3)=6
( n(1)+n(2)+n(3)=12 )となり不適
「( )部分は、省略しても良いかも」
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No.18655 - 2012/09/17(Mon) 16:51:30 |
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