ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 犬好きおやじ

A,Bの2人が硬貨を投げるゲームを行う。表が出ればAが、裏が出ればBが1点を得るものとする。先に5点差をつけた人を勝ちとしてゲームは終了する。硬貨を10回投げる間にAが勝つ確率を求めよ。
という問題で、(AAAAA),(AAAABAA)などと場合分けしながら計算したのですが、解答と合いません。ご指導をお願い致します。ちなみに解答は7/64です。宜しくお願い致します。

No.18084 - 2012/07/21(Sat) 20:00:50

☆ Re: / 海岸

表が出るときをｓ、裏が出るときをｔと表記します
Bが0回のときｓｓｓｓｓ
Bが1回、Aが6回の時
ｔｓｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｓｓ
ｓｓｓｓｔｓｓ
の5通り
Bが２回、Aが7回の時
ｔｔｓｓｓｓｓｓｓ
ｔｓｔｓｓｓｓｓｓ
ｔｓｓｔｓｓｓｓｓ
ｔｓｓｓｔｓｓｓｓ
ｔｓｓｓｓｔｓｓｓ
ｔｓｓｓｓｓｔｓｓ

ｓｔｔｓｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｔｓｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｔｓｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｔｓｓｓ
ｓｔｓｓｓｓｔｓｓ

ｓｓｔｔｓｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｔｓｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｔｓｓｓ
ｓｓｔｓｓｓｔｓｓ

ｓｓｓｔｔｓｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｔｓｓｓ
ｓｓｓｔｓｓｔｓｓ

ｓｓｓｓｔｔｓｓｓ
ｓｓｓｓｔｓｔｓｓ

の6+5+4+3+2=20通り
1/2^5+5/2^7+20/2^9=7/64
となります

No.18085 - 2012/07/21(Sat) 21:03:09

☆ Re: / ITVISION

表の回数をa、裏の回数をbとすると
５点差となるのは a-b＝5で、a+b＝5+2b（奇数）なので
５回目以降の奇数回目

５回目でＡが勝つ確率　(1/2)^5　＝　1/32

７回目でＡが勝つ場合は、
　最後の２回は表表（6回目が裏だとすると５回目までにＡが勝っているから）
　１から５回目までは表が４回、裏が１回で+３点
　□□□□□表表
　確率は　（5Ｃ1)(1/2)^7　＝　５／128

９回目でＡが勝つ場合は、
　最後の２回は表表
　１から７回目までは表が５回、裏が２回で+３点
　ただし、最初の連続５回が表の場合は除く
　□□□□□□□表表
　確率は　((7Ｃ2)-1)(1/2)^9　＝　20／512＝5/128

よって求める確率は　(1/32)+(5/128)+(5/128)　＝　7/64

No.18086 - 2012/07/21(Sat) 21:20:00

☆ Re: / 犬好きおやじ

海岸さん、ITVISIONさんご指導ありがとうございました。お2人ともとてもわかりやすい解説で、自分の場合分け、計算ミスがはっきりと分かりました。ありがとうございました。

No.18093 - 2012/07/22(Sun) 09:20:05

★ 重心 / 海岸

単位円周上のｎ等分点について、ｎ点の重心が原点０であることを証明せよ。

を教えてください。
三角形の重心は2本の中線の交点という定義でしたが、4角形以降の重心ってそもそもなんなんでしょうか？（指一本で支える事ができる位置というのは感覚的に知っていますが。。）

ほぼ丸投げになりましたがどうかよろしくお願いします

No.18083 - 2012/07/21(Sat) 19:37:26

☆ 物理的な重心 / angel

物理的には、重心というのは「位置ベクトルの質量による重み付け平均」です。重心の位置に、全ての質量が集まっているものとして扱えるのです。
※「指一本で支える事ができる」というのがそう。

例えば、質量1kgの限りなく大きさの小さい2つの物質(こういうのを質点という)が、質量の無視できる軽い棒の両端にくっついている場合、重心は棒の丁度中心になります。

質点の数が増えた場合、
　重心の位置ベクトル
　= { (質点1の質量)・(質点1の位置ベクトル)
　　　+ (質点2の質量)・(質点2の位置ベクトル)
　　　+ … } ÷ (全ての質点の質量の和)
という計算になります。
※なお「ベクトル」を習っていないのであれば、
　(重心のx座標)={ (質点1の質量)・(質点1のx座標) + … } ÷ (全ての質点の質量の和)
　のように読み替えてください ( y,z座標についても同様 )

では、対象がばらばらの点の集まりではなく，板(2次元)や球状のもの(3次元)だとどうするか?
それは、対象を非常に細かく、限りなく細かく分割して、それら分割したものに対して上記の計算を行います。
…その「限りなく細かく分割して」というのがいわゆる「積分」という計算です。

No.18088 - 2012/07/21(Sat) 23:23:01

☆ 数学的な重心 / angel

さて、では数学的な重心はどうなるかというと、物理的な重心と同じなのですが、「全ての部位が均質な質量(密度)」という前提になります。

例えば三角形の重心であれば、「密度の均質な(部分的に重い・軽いがないような)素材で作った三角形の板状の物質の『物理的な重心』」のことです。
※ちなみにこれは、偶然というべきか、「三角形の頂点に質量の等しい質点を配置した場合の、3質点の『物理的な重心』」とも一致します。

今回の問題は「複数の点の重心」ですから、それらの点を質量の等しい質点とみなして「物理的な重心」を考えれば良い訳です。
つまり、
　(n点の重心の位置ベクトル)
　= { 均一の質量m・(点1の位置ベクトル) + m・(点2の位置ベクトル) + … } ÷ (n点の質量の総和=nm)
　= { (点1の位置ベクトル)+(点2の位置ベクトル)+… }÷n
　= (各点の位置ベクトルの平均)

早い話が、各点のx座標の平均が重心のx座標、y,z座標についても同様、ということです。

No.18089 - 2012/07/21(Sat) 23:36:22

☆ 問題に戻って / angel

では前置きが長くなりましたが、この問題をどう解くか、ですね。
単位円(半径1の円)周上のn等分点というのは、α=2π/n と置いた時に、
　(cos0, sin0), (cosα,sinα), (cos2α,sin2α), …, (cos((n-1)α), sin((n-1)α))
と表現できますね。

重心の座標はこれらの点の座標の平均なわけですから、
　x座標 xG = (cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α))/n
　y座標 yG = (sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α))/n
と計算することができます。
でもって、これが原点の座標と一致することを示したいので、やることは「カッコの中が0であることを示すこと」

つまり、この規則正しい形をした三角関数の値の和

　cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α)
　sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α)

が共に0となることを、計算で確認してあげれば良いのです。
こういう計算、見たことありますよね?
( sin(α/2) なり cos(α/2) を全体にかけて、個々の項を積和の公式で変形してあげるアレです )

まあ、もしくは、複素平面を習っていればもっと楽に解けますけど…

No.18090 - 2012/07/21(Sat) 23:51:56

☆ Re: 重心 / 海岸

詳しい説明ありがとうございます。
色々やって見ましたが
cos0+cosα+cos2α+…+cos((n-1)α)
＝０
sin0+sinα+sin2α+…+sin((n-1)α)
=0
が導けません。教えてもらえないでしょうか。。

No.18101 - 2012/07/22(Sun) 20:52:55

☆ 等差数列をなす角の三角比の和 / angel

では cos の和の例で。

まず、
　sin(θ+φ)-sin(θ-φ)=2cosθsinφ
であることを確認してください。
そうすると、θがα×整数 ( 例えば 3α )、φ=α/2 とすると、
　sin(3α+α/2)-sin(3α-α/2)=2cos(3α)sin(α/2)
つまり、
　2sin(α/2)cos(3α)=sin(3.5α)-sin(2.5α)
　※後の話の分かりやすさのため、敢えて小数で書いています
これを cosα～cos3α の和に利用すると、
　2sin(α/2)( cosα+cos(2α)+cos(3α) )
　= 2sin(α/2)cosα + 2sin(α/2)cos2α + 2sin(α/2)cos3α
　= ( sin(1.5α)-sin(0.5α) ) + ( sin(2.5α)-sin(1.5α) ) + ( sin(3.5α)-sin(2.5α) )
　= sin(3.5α)-sin(0.5α)
のように、途中が打ち消しあって両端だけ残ります。
今回の問題では、0～(n-1)α でこれをやれば、残った両端も消えて 0 になるという寸法です。
なお、かけている sin(α/2) が 0 かどうかにだけは注意してください。今回の問題では n=2 の時ですね。

あと、sin の和の時には
　cos(θ+φ)-cos(θ-φ)=-2sinθsinφ
を使えば同じ話になります。

No.18102 - 2012/07/23(Mon) 00:09:09

★ はさみうちの原理 / のんです

数列の極限の問題での途中計算についての質問です。よろしくお願いいたします。

［問題］
(1)(2)もあるのですが、お尋ねしたいのは(4)ですので、直接的には影響のないものと考え省略します。
(3)0 < Xn+1 - √2 <(1/2)*(Xn - √2)であることを示せ。
(4)lim(n→∞)Xnを求めよ。

［答案］
(3)よりｎ≧２のとき
0<Xn+1 - √2 < (1/2)*(Xn - √2) < (1/2)^2*(Xn-1 - √2)
< ... < (1/2)^n-1 *(X1 - √2)・・・?@

lim(n→∞)(1/2)^n-1 *(X1 - √2)=0 であるから
はさみうちの原理より
lim(n→∞)(1/2)*(Xn - √2)=0・・・?A
よって
lim(n→∞)(Xn - √2)=0・・・?B
したがって
lim(n→∞)Xn=lim(n→∞){(Xn - √2)+√2}=0+√2=√2

模範解答では、上記?@を証明した時点で、各辺は正なあので、
辺々に２を掛けて（または隣り合う項の関係を考えて）
0<Xn - √2 < (1/2)*(Xn-1 - √2)< ...
< (1/2)^n-1 *(X1 - √2)・・・?@'とし、
上記?Aを飛ばして、?Bを導いています。

ここで質問なのですが、上記?@→?A→?Bのように答えても大丈夫でしょうか。
特に?A→?Bですが、文言による説明なしでいきなり?Aから?Bを示して構いませんか。よろしくお願いします。

No.18081 - 2012/07/21(Sat) 18:24:21

☆ Re: はさみうちの原理 / X

>>上記?@→?A→?Bのように答えても大丈夫でしょうか。
>>特に?A→?Bですが、文言による説明なしでいきなり?Aから?Bを示して構いませんか。
いずれも問題ありません。

No.18082 - 2012/07/21(Sat) 18:57:19

☆ Re: はさみうちの原理 / のんです

Xさんへ

さっそくの回答ありがとうございました。
質問文中に「なので」を「なあので」とする間違いがあり、
申し訳ありませんでした。

No.18095 - 2012/07/22(Sun) 11:39:19

★ 通過領域 / 気合

qが０で無い実数を動く時
２ｑｘ＝ｙ＾２＋ｑ＾２・・※が通過する領域を求めよ、で

※をｑで微分してｘ＝ｑこれを※に代入してｙ＝±ｘ
と求めておき、
解）
※にｙ＝±ｘを代入すると（ｘ－ｑ）＾２＝０よってｘ＝ｑ
より※はｙ＝±ｘと接するx軸に対称な放物線であり、接点のx座標がｘ＝ｑ（≠０）であることが分かった。
ｑ≠０で動かすと、通過領域は下図の斜線部。（ただし境界は含むが原点は除く）（下図は載せてません）

ですがｘ軸に対称な放物線をｙ＝±ｘに接するように書き、接点ｑをどんどん大きくしていくら放物線を書いても
放物線の凸性から塗られていない部分がありますよね。ｙ＝ｘの少し下、ｙ＝－ｘの少し上など計4箇所。これらの部分を塗りつぶせるかが少々疑念が残ります。何か方法はないのでしょうか？

別解は求めていません。よろしくおねがいします

No.18074 - 2012/07/20(Fri) 01:58:39

☆ Re: 通過領域 / ヨッシー

ある放物線
　２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2　・・・(1)
と、ｑをｎ倍した　（ｎ≠０）
　２ｎｑｘ＝ｙ^2＋ｎ^2ｑ^2　・・・(2)
を考えます。(2) の両辺ｎ^2 で割って整理すると、
　２ｑ(x/n)＝(y/n)^2＋ｑ^2
となり、これは、(1) を原点中心にｎ倍拡大した放物線となります。
※「任意の２つの放物線は相似である」を知っていれば、
ここまでの説明は不要です。

すると、原点を除く（ｙ－ｘ）（ｙ＋ｘ）≦０の領域（下図の斜線部）上の
任意の点Ｐと原点を結ぶ直線は放物線２ｘ＝ｙ^2＋１（ｑ＝１の時の放物線）と
交点を持ちます。それを点Ｑとし、
　ＯＰ＝ｑＯＱ
とすると、２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2 は、点Ｐを通ります。

No.18075 - 2012/07/20(Fri) 06:20:40

☆ Re: 通過領域 / 気合

回答ありがとうございます。

質問1）
それを点Ｑとし、
　ＯＰ＝ｑＯＱ
とすると、２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2 が、点Ｐを通るという理由が分かりません。

質問２）それが言える事で何が言えるのかが分かりません。

質問３）OP=qOQはどうやって導いたのか教えてください

よろしくおねがいします

No.18077 - 2012/07/21(Sat) 15:08:11

☆ Re: 通過領域 / ヨッシー

回答１)
２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2　は、
２ｘ＝ｙ^2＋１　をｑ倍に拡大したものです。
２ｘ＝ｙ^2＋１　上の点Ｑを、原点からの距離をｑ倍に延ばした
点を点Ｐとすると、２ｑｘ＝ｙ^2＋ｑ^2　は、点Ｐを通ります。

回答２)
塗りつぶせない部分なんかないんだよ、ということが言えます。

回答３)
導くのではなくて、ＯＱに対するＯＰの長さの比率をｑと
置いているだけです。
ｑがマイナスになることを考慮して、ＯＰ、ＯＱをベクトルにしています。

No.18080 - 2012/07/21(Sat) 17:02:33

★ (No Subject) / やまねこ

実数aに対し、数列｛an}をa1=a,a(n+1)=a(n)(2-3a(n))(n=1,2,・・）で定める時,b(n)=(1/3)-a(n)とおいて、a(n)を求めよ。という問題で
b(n+1)=3b(n)＾２・・?@が出てきました
しかしこの後logを取ってb(n)を求めてからa(n)を出そうと思ったのですが、解説には「logをとろうとするとｂ（n)≦０がありうるので場合わけが必要になり面倒です。とありました。（その理由により帰納法でやっていました）しかし?@の右辺≧０よりbn<0はありえないですよね？
?@からa(n)を出す方針の解法を教えてください。よろしくおねがいします

No.18049 - 2012/07/18(Wed) 19:18:06

☆ Re: / ヨッシー

b(1)≦0 はあり得ますね。
また、b(1)＝0 だと、b(n) の全項が０になります。

No.18052 - 2012/07/18(Wed) 22:43:05

☆ Re: / やまねこ

正直その理由が全く分かりません。うーん。。もう少し具体的にお願いします＞＜

No.18062 - 2012/07/18(Wed) 23:45:59

☆ Re: / ヨッシー

b(1)＝1/3ーa(1)＝1/3－a なので、これが０以下ということもあり得ます。
そうすると、?@ を c(n)＝log{b(n)} とおいて解こうとしても、
c(1) が決まらないので、そのままでは解けません。

No.18065 - 2012/07/18(Wed) 23:52:02

☆ Re: / やまねこ

なるほど！確かにそのとおりですね。ならば答案はどのように再現したらよいのでしょうか？
ｂ１は負の場合もありえますが、
a(n)自体も負の場合もありえるのですから
b(n)=(1/3)-a(n)もb1に限らず負の場合だってありえますよね？

No.18069 - 2012/07/19(Thu) 10:12:16

☆ Re: / ヨッシー

>その理由により帰納法でやっていました
を踏まえた上で、場合分けしてでも log を取る方法でやりたい
というご質問と理解します。

ａ≠1/3 のとき、b(n)の第２項以降は正なので、log　が取れます。
そこで最初に　n≧2　に限った場合のa(n) を求める。
これが、a(1) に対しても成り立つ。
さらに、a=1/3 の時も成り立つ。
という作戦でどうでしょう？

No.18071 - 2012/07/19(Thu) 18:36:58

☆ Re: / やまねこ

回答ありがとうございます
n≧2　に限った場合のa(n) を求める。
これが、a(1) に対しても成り立つ。
の部分が意味がよく分からないのですが、
なるだけ再現してみました

解答）
a(n+1)=a(n)(2-3a(n))（ｎ≧１）
ｂｎ＝1/3-an（ｎ≧１）を代入して
整理するとb(n+1)=3{b(n)}^2(n≧１）・・?@
a1≠1/3のときb1≠０
?@より帰納的にｂ（ｎ）＞０（ｎ≧１）
よって?@の両辺に対数を取って整理すると
b(n)=(1/3)(1-3a)^(2^(n-1))
よってa(n)=(1/3){1-(1-3a)^(2^(n-1))}
これはa1=1/3のときも成り立つので
a(n)=(1/3){1-(1-3a)^(2^(n-1))}・・答
であっていますでしょうか？よろしくお願いします

No.18073 - 2012/07/19(Thu) 20:04:09

☆ Re: / ヨッシー

>?@より帰納的にｂ（ｎ）＞０（ｎ≧１）
は、(n≧2) でのみ言えます。
そのあと、最終的に b(n)=(1/3)(1-3a)^(2^(n-1)) になるのですが、
それを、どう求めたかが問題です。
c(n)＝log{b(n)}
d(n)＝c(n)＋log(3) と次々と置換していくと、
　d(n+1)＝２d(n)
という等比数列になりますが、そのときに
　d(n)＝d(1)・２^(n-1)
としたらダメです。d(1) は定義できない可能性があるので、
　d(n)＝d(2)・２^(n-2)　(n≧2)
とします。その後、c(n), b(n) と戻していって、
　b(n)=(1/3)(1-3a)^(2^(n-1))　(n≧2)
n=1 を代入すると、b(1)＝1/3-a となり、n=1 のときも
b(n)=(1/3)(1-3a)^(2^(n-1)) は成り立つ。
また、a=1/3 のときも・・・あとは同じです。

No.18076 - 2012/07/20(Fri) 10:36:39

★ 指数対数 / 西瓜

y=log[2](x+a)　のグラフをC1とする。　　ただし、aは定数とし、C1は点(3,3)を通る。

(1)a=(ア)
(2)C1をx軸方向に+2、y軸方向に+1だけ平行移動したグラフをC2とする。　　C2を表す方程式は　y=log[2](x+(イ))+(ウ)
C2が点(p.q)を通るとき、pをqで表すと　p=2＾(q-(エ))-(オ)
よってpが負の整数であれば、p=(カキ)、q=(ク)　または　p=(ケコ)、q=(サ)　　　　　ただし、（カキ）＜（ケコ）
(3)(2)のC2のグラフをx軸に関して対象に移動して得られるグラフをC3とする。　　このとき、C1とC3の交点のx座標は((シス)+√(セ))/(ソ)

答えはア5、イ3、ウ１、エ1、オ3、カ―、キ2、ク1、ケ―、コ1、サ2、シ―、ス8、セ6、ソ2

です。

ア～オまではわかってのですが、
それからが分かりません

(２)の後半のqの値は、0は含まれないのですか？

問題部分が見難く、誤っている部分もあるかもしれませんが、説明のほどをよろしくお願いします。

No.18044 - 2012/07/18(Wed) 17:53:26

☆ Re: 指数対数 / ヨッシー

p=2＾(q-1)-3
より、ｐが負の整数になるのは、2^(q-1) が３未満の整数に
なるときで、2^(q-1)＞０より、それは
　2^(q-1)＝１　または　2^(q-1)＝２
のときで、ｑ＝１のときｐ＝－２、ｑ＝２のときｐ＝－１
となります。ｑ＝０だと、ｐ＝-5/2 と整数になりません。

Ｃ1：ｙ＝log[2](x+5)
Ｃ3：ｙ＝-log[2](x+3)－１
を連立させて、
　log[2](x+5)＝-log[2](x+3)－１
　log[2](x+5)＋log[2](x+3)＝－１
　log[2](x+5)(x+3)＝－１
よって、(x+5)(x+3)＝1/2
これを解いて
　ｘ＝(-8±√6)/2
となります。

No.18053 - 2012/07/18(Wed) 22:56:54

☆ Re: 指数対数 / 西瓜

ヨッシーさん説明ありがとうございます！

2つ質問よろしいでしょうか？
pが分数でも良いような解答欄だった場合、q=0も含めていいんですよね？

>log[2](x+5)(x+3)＝－１
>よって、(x+5)(x+3)＝1/2

ここは、log[2]2に乗せたのですか？

2度もすみません。
また分かりにくいかもしれませんが、よろしくお願いします

No.18067 - 2012/07/19(Thu) 05:03:47

☆ Re: 指数対数 / ヨッシー

>pが分数でも良いような解答欄だった場合、q=0も含めていいんですよね？
それを言い出せば、ｑ＝log[2]5 のとき、p=-1/2 なんてのもありになります。
そもそも、「pが負の整数であれば」と書いてあるので、ｑ＝０という
選択肢は出てきません。

>ここは、log[2]2に乗せたのですか？
log[2]x＝－１の解は x＝1/2 だというだけです。

なお、上で書き忘れましたが、
　ｘ＝(-8±√6)/2
のうち、真数条件を満たすのは　ｘ＝(-8＋√6)/2 のみです。
解答には影響ありませんが。

No.18068 - 2012/07/19(Thu) 06:12:35

★ (No Subject) / 犬好きおやじ

A,B,Cの3人がじゃんけんをする。1回のじゃんけんで、1人だけが勝った場合は、勝った人に2点が、ちょうど2人が勝った場合は、勝った2人にそれぞれ1点が与えられる。負けた人や、藍子の場合には得点は与えられない。じゃんけんを3回行うとき、次の確率を求めよ。
(1)Aの得点が2点となる確率
(2)Aの得点が3点となる確率
という問題で、場合分けをしながら計算しても答えが合いません。(1)20/81、(2)80/729が解答になっています。ご指導お願い致します。

No.18043 - 2012/07/18(Wed) 17:13:16

☆ Re: / ヨッシー

Ａに着目すると、
一人勝ち　1/9
二人勝ち　2/9
それ以外　2/3
です。

(1)
一人勝ち、それ以外、それ以外　1/9×2/3×2/3＝4/81
それ以外、一人勝ち、それ以外　4/81
それ以外、それ以外、一人勝ち　4/81
二人勝ち、二人勝ち、それ以外　2/9×2/9×2/3＝8/243
二人勝ち、それ以外、二人勝ち　8/243
それ以外、二人勝ち、それ以外　8/243
全部足して、20/81 です。

(2)
一人勝ち、二人勝ち、それ以外　1/9×2/9×2/3＝4/243
　これの並べ替えが　６通りあります。
二人勝ち、二人勝ち、二人勝ち　2/9×2/9×2/9＝8/729
　4/243×6＋8/729＝72/729＋8/729＝80/729

となります。

No.18048 - 2012/07/18(Wed) 19:00:00

☆ Re: / 犬好きおやじ

ヨッシーさん、ありがとうございました。へんてこな場合わけをしていたようで、スッキリしました。（１）の6つ目の場合分けは「それ以外、二人勝ち、二人勝ち」と分ければいいんですよね？

No.18070 - 2012/07/19(Thu) 12:27:17

☆ Re: / ヨッシー

あ、そうです。
コピペミスです。

No.18072 - 2012/07/19(Thu) 18:38:03

★ 不等式 / ベルカ

１）立方体Ａがある。立方体を縦に１ｃｍ、横に２ｃｍ縮め、高さを４ｃｍ伸ばして立方体Ｂをつくる。Ｂの体積がＡの体積より大きくなるのはＡがどんな立方体のときか。

答えまでいけるんですが、式の途中で一つ分からないところがあります。
「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」
となっています。
何故突然、こんな事が言えるのでしょうか？

２）9,6,x^(2)が１つの三角形の３辺の長さとなるのは、xがどんな範囲の値のときか。

これも答えまで分かっているのですが、一つ分からないです。

x^(2)+9>6x
x^(2) -6x+9>0
(x-3)^(2)>0
不等式の解は、x≠3

となっています。
これって要するに、３以外の全ての数ってことですよね。
x≠3だけだと、xが3ではないってことしか表せないんじゃないでしょうか？

3)x^(2) +ax+a+3=0, x^(2) -2(a-2)x+a=0,
x^(2) +4x+a^(2) -a-2
の中で１つだけ実数解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。

これで答えの不等号が、≦になってたり＜になってたりします。どこで判断して、これは≦だ、とかこっちは＞だ、とか判断するんでしょうか？

おねがいします。

No.18042 - 2012/07/18(Wed) 16:30:50

☆ Re: 不等式 / ベルカ

ありがとうございます。
立方体のことなんですが

> １）立方体Ａがある。立方体を縦に１ｃｍ、横に２ｃｍ縮め、高さを４ｃｍ伸ばして立方体Ｂをつくる。Ｂの体積がＡの体積より大きくなるのはＡがどんな立方体のときか。
>
> 答えまでいけるんですが、式の途中で一つ分からないところがあります。
> 「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」
> となっています。
> 何故突然、こんな事が言えるのでしょうか？

これをよく読むと、縦に１ｃｍ短くしたけど、まだ長さが５ｃｍあるよ
横に２ｃｍ短くしたけど、まだ７ｃｍ残ってるよ

と言うことではなくて、縦が１ｃｍになって、横が２ｃｍになっているっていうことでしょうか？

そうすると、
「直方体が出来るためには、x>1 x>2　すなわち　x>2」の部分で
すなわち、　x>2となるのは何故なんでしょうか？
x>1のほうが小さいんだから、x>1にしたほうがいいんじゃないでしょうか？

また、

なぜ、6x　が出てくるのでしょうか？

ということなんですが、書き間違いをしておりました。すみません。

正しくは

> ２）9,6x,x^(2)が１つの三角形の３辺の長さとなるのは、xがどんな範囲の値のときか。
>
> これも答えまで分かっているのですが、一つ分からないです。
>
> x^(2)+9>6x

と最初の6が6xなのが正解です。
問題の解説を読むと、「二辺の長さ＞１辺の長さ」というのを３つ作って、それを解いています
例えば、x~(2) -6x-9<0 は　x~(2) -6x-9=0　に変えて、3-3√2＜ｘ＜3+3√2　としています。

これって、x~(2) -6x-9>0だったら、答えはｘ＞3+3√2、3-3√2＞ｘ　になりますよね？

それで話を戻すと、その3つの式のうちの一つ　x^(2)+9>6x　を解くと、答えが x≠3になります。
これは重解で、D=36-36=0だし、x^(2)-6x+9>0 で　0を含まず、0より大きいから、公式でx=αを含まない全ての数、ということになるんですよね？

一番最後の問題は解いてみようとしましたが、やはり難しく、解けません。

今、青チャートを使って、基本問題だけ解いているんですが、自分には向いてないんでしょうか？
もっと他の参考書のほうがいいのでしょうか？
こちらのアドバイスもいただけたら、ありがたいです。

おねがいします。

No.18055 - 2012/07/18(Wed) 23:09:18

☆ Re: 不等式 / ITVISION

>これをよく読むと、縦に１ｃｍ短くしたけど、まだ長さが５ｃｍあるよ
>横に２ｃｍ短くしたけど、まだ７ｃｍ残ってるよ
>と言うことではなくて、縦が１ｃｍになって、横が２ｃｍになっているっていうことでしょうか？
前者としか読めないと思います。

No.18057 - 2012/07/18(Wed) 23:24:43

☆ Re: 不等式 / ベルカ

ありがとうございます。

２cm短くしても、まだ□cm残っているってことは、元の長さをｘcmとすると。x＝２+□、□＞０ですから、□＝ｘ－２＞０、すなわち　ｘ＞２ですよね。

これって、縦で考えたら、□=x-1>-0 より　x>1　となりませんか？
x>1を何故無視して、x>2を重視するのでしょうか？

No.18059 - 2012/07/18(Wed) 23:30:08

☆ Re: 不等式 / ITVISION

x>1を無視したり、x>2を重視したりしていません。
x>2ならx>1も満たします。
x>1なら、例えばx=1.5もokになりますが、これではx>2を満たしません。両方を満たすことが必要です。

No.18061 - 2012/07/18(Wed) 23:36:17

★ 整式の割り算 / ktdg

xの3次式f(x)=ax^3+(a^2+b)x^2+(2ab+c)x+a^2+b^2-a
g(x)=ax^3+(a^2-b)x^2+(a-1)x+c^2-b^2
およびxの2次式h(x)=x^2+ax+b(a,b,cは定数,a≠0)を考える。
f(x),g(x)はともにh(x)で割り切れるか、または、ともにh(x)で割り切れないかのいずれかであることを示せ。

解答では、
f(x)をh(x)で割った余りは、g(x)を割った余りはより、
c=0かつa=1のとき、f(x)、g(x)は共にh(x)で割り切れ、それ以外のときはどちらも割り切れない。よって題意は示された。
となっていたのですが、「いずれかであること」を示さなければならないのに、

No.18035 - 2012/07/18(Wed) 00:25:22

☆ Re: 整式の割り算 / ktdg

すいません途中できれてしまいました。続きです。
解答では、
f(x)、g(x)をh(x)で割った余りはそれぞれcx+a(a-1)と(a-1)x+c^2であり、これらが0になる条件は、c=0かつa=1であり、、それ以外のときはどちらの余りも0でない。よって題意は示された。
となっていたのですが、「割り切れるか、割り切れないかのいずれかである」ことを示さなければならないのに、「どちらでもある」というのは、題意を示しせていないようなきがするのですが…
変な質問かもしれませんが納得できません。お願いします。

No.18036 - 2012/07/18(Wed) 00:53:31

☆ Re: 整式の割り算 / ast

最後の数行からは誤解があるように聞こえるので最初に確認しておきますが, 示すべきことは a, b, c を決めるごとに「ともに割れる」または「ともに割れない」のいずれかになることです. a, b, c の値によってどちらの場合が起きても構いませんし, 実際に異なる a, b, c に対してどちらの場合も起きます.

言葉を変えれば, どんな a, b, c を与えても「一方が割れて他方が割れない」ということは起きないことを示すという問題なのです. それで, どちらでもいいから一方が割れる条件を求めると c=0 かつ a=1 の場合しかなくて, 実際にはそれで他方も割れてしまうので, それで話は終わりです (条件が共通の一つしかないので, 一方が割れないときに他方が割れることはないことも同時に示したことになる).

No.18037 - 2012/07/18(Wed) 03:33:47

☆ Re: 整式の割り算 / ktdg

> 言葉を変えれば, どんな a, b, c を与えても「一方が割れて他方が割れない」ということは起きないことを示すという問題なのです.
なるほど、こういうことなんですね。理解できました。ありがとうございます。

No.18063 - 2012/07/18(Wed) 23:46:15

★ 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

関数f(x)=x^(2)-6x+a (a≦x≦a+4)の最小値、最大値をaの関数で表して、それぞれをg(a),G(a)で表す。
g(a),G(a)の最小値をそれぞれ求めよ。

aの範囲設定やaの数字の決め方が全く分かりません。
何故、そうなるのか、というところを詳しく易しく教えてほしいです。
おねがいします！

No.18032 - 2012/07/17(Tue) 22:38:42

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

f(x) は、ｘ＝３で極小値(頂点)となります。
よって、この頂点が、a≦x≦a+4 に対して、どのような位置にあるかで、
最大、最小の現れ方が違います。
３＜ａのとき、f(a) が最小、f(a+4) が最大
ａ≦３＜ａ＋２　のとき、f(3) が最小、f(a+4) が最大
ａ＋２≦３≦ａ＋４　のとき　f(3)が最小、f(a) が最大
ａ＋４＜３　のとき、f(a+4) が最小、f(a) が最大
となります。

No.18034 - 2012/07/17(Tue) 23:00:34

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

ありがとうございました。
x=3が軸になることは分かりました。

というころは、(a≦x≦a+4)に３を代入して考えると言うことでしょうか？
そこで、aが３より大きい、小さい、真ん中、
を考えると言うことでしょうか？
でも、答えでは、aやa+4が重要視されているようです。
何故なんでしょうか？

No.18040 - 2012/07/18(Wed) 16:11:15

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

y=f(x) のグラフと、定義域　a≦x≦a+4 の位置関係は、
下のように４種類あります。
それを場合分けしたのが上の４行です。

No.18046 - 2012/07/18(Wed) 18:51:15

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

ありがとうございます。

３＜ａのとき、f(a) が最小、f(a+4) が最大
ａ≦３＜ａ＋２　のとき、f(3) が最小、f(a+4) が最大
ａ＋２≦３≦ａ＋４　のとき　f(3)が最小、f(a) が最大
ａ＋４＜３　のとき、f(a+4) が最小、f(a) が最大

を計算すると、上から

３＜a
a≦３
31
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

の式になり、一つずつ当てはめていって、答えが出るのでしょうか？
グラフを見ながらだと分かりやすそうですが、こういう問題を解くコツはあるのでしょうか？

No.18056 - 2012/07/18(Wed) 23:19:54

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ベルカ

３＜a
a≦３
31
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

は

３＜a
a≦３
a+2≦3 = a≦1
3≦a+4 = a≧-1
a<-1

でした。すみません。

No.18060 - 2012/07/18(Wed) 23:31:37

☆ Re: 易しく詳しく教えてほしいです / ヨッシー

グラフを見ながらだと分かりやすいなら、それがコツでしょう。

No.18064 - 2012/07/18(Wed) 23:48:40

★ 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ベルカ

文章問題が出たときの解き方のコツがわかりません。
３題あるんですが、どのように考えて、どのように記号を決めて、どのように式を決めるのか、流れも教えてほしいです。

１）ある商品の価格が１００円のときは、１日に５００個が売れ、価格を１円あげるごとに売れる個数が２個ずつ減るという。

Ａ、１日の売上総額y（円）を価格x（円）の式で表せ

Ｂ、１日の売上総額を最大にするためには、価格をいくらにすればよいか、また、その時の売上総額と売上個数を求めよ

これはＡで式を作れればＢも解けそうなんですが、うまくいきません。

２）１本の細い針金がある。これを２つに分けて２つの円周を作る。この２円の面積の我が最小となるのはどのようなときか。

これも式の作り方がわかりません。分かればいける気がするんですが・・。

３）分速８００ｍで北に向かう船Ａと、分速６００ｍで西に向かう船Ｂがある。両船の航路の交点をＯとする。
現在、ＡはＯの南２ｋｍ、ＢはＯの東４ｋｍにいる。この２隻の船が最も近づくとき、両船間の距離南何ｋｍか。

昔から文章題が苦手で、本当にどう手をつけたらいいのやら・・。
どなたかわかりやすく教えてほしいです。
お願いします！

No.18031 - 2012/07/17(Tue) 21:40:21

☆ Re: 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ヨッシー

1)Ａ．
価格ｘ円が
　ｘ＝１００　のとき　個数は　５００
　ｘ＝１０１　のとき　個数は　４９８
　ｘ＝１０２　のとき　個数は　４９６
のように、ｘが１増えると、個数は２減るので、
個数は、　－２ｘ＋(　　) の形で表されます。
ｘ＝１００のときに個数が５００になるように(　　)の中に
数字を入れると、個数は　－２ｘ＋７００
よって、売上総額ｙは・・・(略)
Ｂ．は、Ａ．が出来れば、出来るでしょう。

2) 針金の長さをＬとし、分けたときの一方をｘ（０＜ｘ＜Ｌ/２）
とすると、もう一方はＬ－ｘ。
これで円を作ると、長さｘの方の半径は　ｘ/２π、もう一方の
半径は(Ｌ－ｘ)/２π
面積はそれぞれ、
π(ｘ/２π)^2＝ｘ^2/４π
π{(Ｌ－ｘ)/２π}^2＝(Ｌ－ｘ)^2/４π
よって、面積の和は
　{ｘ^2＋(Ｌ－ｘ)^2}/４π
これの最小を求めます。

3)
Ｏを原点として、東方向をｘ軸、北方向をｙ軸とします。
時刻０(現在)のＡの位置を（0, -2000)、Ｂの位置を(4000, 0) とします。
ｘ分後のそれぞれの船の位置は、
(0, -2000＋800x)、(4000－600x, 0) であるので、ＡＢの距離をＬとすると、
　Ｌ^2＝(4000－600x)^2＋(-2000＋800x)^2
Ｌ≧０なので、Ｌ^2 が最小のとき、Ｌも最小。

No.18033 - 2012/07/17(Tue) 22:56:04

☆ Re: 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ベルカ

ありがとうございました。

ｘが１増えると、個数は２減るので、
個数は、　－２ｘ＋(　　) の形で表されます。

と言うところなんですが、何故、－２ｘ＋(　　) が出てきたんでしょうか？
文章の中に式を作るヒントがあったのでしょうか？

これで円を作ると、長さｘの方の半径は　ｘ/２π、もう一方の
半径は(Ｌ－ｘ)/２π

ここはどうして、こういう式が導き出されたんでしょうか？
円の半径はｒで普通あらわされますけど、そこにヒントがあるのでしょうか？

(0, -2000＋800x)、(4000－600x, 0) であるので、ＡＢの距離をＬとすると、
　Ｌ^2＝(4000－600x)^2＋(-2000＋800x)^2

xは何を表しているのでしょうか？
時間でしょうか？

No.18041 - 2012/07/18(Wed) 16:20:17

☆ Re: 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ヨッシー

1) y=ax+b という１次関数の式において、ｘが１増えると
ｙはａ増えます。このａを変化の割合といって、式の上では、
ｘの係数(傾き)に現れます。

2)
半径ｒの円の周の長さは、２πｒなので、円の周の長さがｘだと、
半径は、ｘ/２π　です。　他方も同様です。

3)
>ｘ分後のそれぞれの船の位置は、
なので、時間(分)です。

No.18045 - 2012/07/18(Wed) 18:37:03

☆ Re: 文章問題の解き方のコツ（２次関数の分野） / ベルカ

分かりました！
丁寧に教えてくださってありがとうございました！

No.18058 - 2012/07/18(Wed) 23:26:42

★ 初等幾何 / きむら

高校三年生のきむらです。
正三角形ABCに対して，BP^2+CP^2=AP^2を満たすとき，Pの軌跡を求めよ。
この問題で、三平方の定理の逆と円周角の定理など初等幾何を使って求める方法を教えてください。

座標を使う方法と中線定理を使う方法とベクトルを使う方法では求められ、正三角形ABCに対して、頂点Aの辺BCについて対称な点A'を中心、正三角形の1辺の長さを半径とする円となりました。

No.18027 - 2012/07/17(Tue) 01:09:43

☆ Re: 初等幾何 / ヨッシー

図のように、△ＡＣＰを点Ｃ回りに60°回転させ、△ＢＰＱを
作ると、∠ＢＰＱ＝90°になり、
1) 点Ｐが△ＡＢＣの外にある場合、∠ＢＰＣは常に30°
2) 点Ｐが△ＡＢＣの内にある場合、∠ＢＰＣは常に150°
となります。点Ｐが、点Ｂまたは点Ｃ上にあるときは、
明らかに BP^2+CP^2=AP^2 であるので、全体として、
上に書かれたようなＡ’中心、半径ＢＣの円になります。

No.18028 - 2012/07/17(Tue) 10:54:32

☆ Re: 初等幾何 / きむら

回答ありがとうございます。
∠BPQ=90゜はどのように説明すればいいですか？

No.18038 - 2012/07/18(Wed) 14:45:19

☆ Re: 初等幾何 / ヨッシー

BP^2+CP^2=AP^2 より、・・・
三平方の定理の逆です。

No.18039 - 2012/07/18(Wed) 15:00:10

☆ Re: 初等幾何 / きむら

回答ありがとうございます。

中心がA'となることと半径がBCになることはどのように示せばいいですか？

No.18054 - 2012/07/18(Wed) 23:08:08

☆ Re: 初等幾何 / ヨッシー

点Ｐが、△ＡＢＣの内部にある時は、∠ＢＰＣは常に150°です。
点Ｐが、△ＡＢＣの外部にある時は、∠ＢＰＣは常に30°です。
以上を踏まえて、円周角の性質より、Ｐの軌跡はどんな円かを考えれば
わかると思います。

No.18066 - 2012/07/18(Wed) 23:55:47

★ 高3 ベクトル / ktdg

以下の→はベクトルを表します。
平面上に三角形ABCと動点Pがあり、Pが
PA→・PB→+PB→・PC→+PC→・PA→=AB→・AC→ー?@
を満たしているとき、次の問いに答えよ。
(1)Pの軌跡を求めよ。
(2)BC=5、CB=4、AB=3のとき、内積PB→・PC→の最大値、最小値を求めよ。

(1)
xy平面上に三角形ABCをA(0,a)、B(b,0)、C(c,0)として定める。(但しc>b)。また、Pの座標をP(X,Y)とすると、
PA→=(-X,a-Y)、PB→=(b-X,-Y)、PC→=(c-X,-Y)、AB→=(b,-a)、AC→=(c,-a)より、?@に代入して、
3X^2-2(b+c)X+3Y^2-2aY=a^2
⇔{X-(b+c)/3}^2+(Y-a/3)^2=4a^2/9+(b+c)^2/3
従って、xy平面上におけるPの軌跡は、中心(b+c/3,a/3)、半径√{4a^2/9+(b+c)^2/3}の円である。

ここからどうやって三角形ABCと点Pの関係にもっていくのかがわかりません。

No.18017 - 2012/07/15(Sun) 14:57:43

☆ Re: 高3 ベクトル / X

まず中心である点((b+c)/3,a/3)ですがこれは△ABCの重心
となってます。
問題は半径の処理ですがこれは別の角度から考えましょう。
問題の軌跡は点Aを通ります(方程式に座標を代入して確かめて下さい)。
従って解答は
△ABCの重心をGとするとき、Gを中心、AGを半径とする円
となります。

No.18019 - 2012/07/15(Sun) 20:02:02

☆ Re: 高3 ベクトル / ktdg

回答ありがとうございます。
軌跡が点Aを通るというのはたしかに座標を代入してみるとわかりますが、点Aを通るという発想はどこかにヒントがあるのでしょうか。(感覚的なものかもしれませんが、中心が三角形の重心というのは座標((b+c)/3,a/3)からなんとなく予想ができそうですが、半径から、円が点Aを通るというのは予想がつきません。)

No.18021 - 2012/07/15(Sun) 22:04:36

☆ Re: 高3 ベクトル / X

中心の座標
((b+c)/3,a/3)
を見てこれが△ABCの重心ではないか？との発想は必要だと
思います(少なくとも私はktdgさんの計算過程を見て
気付きました。)。
ですが半径である
√{(4/9)a^2/9+(1/3)(b+c)^2}
は意味付けが難しいと思います。
となると後できることといえば、分かっている
比較的簡単な点(例えば辺ABの中点など)で問題の軌跡が
通るものを探す以外に方法は無いと思います。

ちなみにこれはベクトル方程式の考え方を用いると
半径、中心が容易に特定できます。
その別解は以下の通りです。
↑AP=↑p
と置いて問題の等式を整理すると
3|↑p|^2-2(↑AB+↑AC)・↑p=0
∴|↑p-(↑AB+↑AC)/3|^2=|(↑AB+↑AC)/3|^2
∴△ABCの重心をGとすると
|↑p-↑AG|=|↑AG|
よって点PはGを中心とする半径AGの円を描きます。

No.18022 - 2012/07/15(Sun) 22:46:48

☆ Re: 高3 ベクトル / ktdg

なるほど、ベクトル方程式だと一目瞭然ですね、
ありがとうございました。

No.18025 - 2012/07/16(Mon) 18:05:57

★ 無限級数の和 / たっけ

整数n>=20に対して1!+2!+...+(n-1)!<n!/10　であることを示せ。
という問題をお願いします。

n-1
Σk! を考えればよいのかなと思ったのですが....
k=!

No.18015 - 2012/07/15(Sun) 09:50:31

☆ Re: 無限級数の和 / のぼりん

こんにちは。
　　　左辺＜（ｎ－１）！/２^ｎ－２＋（ｎ－１）！/２^ｎ－３＋…＋（ｎ－１）！/２^０
　　　＝（ｎ－１）！（１－１/２^ｎ－１）/（１－１/２）
　　　＜２（ｎ－１）！≦ｎ/１０・（ｎ－１）！＝右辺
です。

No.18016 - 2012/07/15(Sun) 11:05:10

☆ Re: 無限級数の和 / たっけ

ありがとうございます！！

しかし、なぜ
二行目　（ｎ－１）！（１－１/２ｎ－１）/（１－１/２）
と変形できるのかがわかりません。(>_<)

No.18026 - 2012/07/16(Mon) 19:30:05

☆ Re: 無限級数の和 / ヨッシー

（ｎ－１）！/２^ｎ－２＋（ｎ－１）！/２^ｎ－３＋…＋（ｎ－１）！/２⁰
＝(n-1)!{1/2^n-2＋2^n-3＋・・・＋1/2⁰}
であり、{　}の中は等比数列です。
等比数列の和の公式を使えば上のようになります。

私は、等比数列の和の公式をいちいち覚えていないので、以下のようにやります。
　Ｓ＝1/2^n-2＋2^n-3＋・・・＋1/2⁰　・・・(i)
とおくと、
　(1/2)Ｓ＝1/2^n-1＋2^n-2＋・・・＋1/2¹　・・・(ii)
(i)－(ii) より
　(1/2)Ｓ＝1/2⁰－1/2^n-1
　Ｓ＝２(１－1/2^n-1)
となります。

No.18029 - 2012/07/17(Tue) 17:16:50