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★ 数２ / tanioka
-π/2<x<y<π/2
cos(x-y)=0により
x-y=-π/2
とあるのですがどうしてなのか分かりません。
どなたか分かり易く説明してくれませんか。
よろしくお願いします。
No.18497 - 2012/09/08(Sat) 12:41:47
☆ Re: 数２ / ヨッシー
cos(x-y)=0 になるのは、x-y が
　-3π/2, -π/2, π/2, 3π/2
などのときです。
ｘ＜ｙ なので、まず、π/2, 3π/2 などの 正の数は候補から消えます。
-π/2＜ｘ, -π/2＜-ｙ より
　-π＜x-y
なので、-3π/2 以下の負の数も消えて、-π/2 のみが残ります。
No.18498 - 2012/09/08(Sat) 13:05:58
★ ３−３行列のｎ乗 / クロック
λは固有値とします

2-2行列Ａのｎ乗を求めるときＡを
-2-1
1-4
として
det(A-λＥ）＝０より
λ＾２＋６λ＋９＝０
よってA^2+6E+9=0
x^n=(x^2+6x+9)f(x)+px+q・・?@として
両辺ｘで微分したものを?@’
?@にｘ＝３を代入して-3p+q=(-3)^n
?@’にｘ＝３を代入してｐ＝ｎ（-3)^(n-1)
よってｐ、ｑの値が求まった
?@でｘをＡにかえて
A^n=PA+9E=〜

この方法で３−３行列Ｂのｎ乗を求めてみました。Ｂは
+3+1+1
-1+1-1
00+2
です
det(B-λＥ）＝０よりクラーメルの公式を使って
(λー２）＾３＝０
よって（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０
x^n=(x-2)^3+px^2+qx+r・・あ）
両辺ｘで微分して
nx^(n-1)=3(x-2)^2f(x)+(x-2)^3f'(x)+2px+q・・（あ）’
さらに微分して
n(n-1)x^(n-2)=6(x-2)f(x)+3(x-2)^2f'(x)+2p・・（あ）”
（あ）’、（あ）”にｘ＝２を代入してｐ、ｑが得られる
p=n(n-1)2^(n-3)
q=n(2-n)2^(n-1)
(あ）にｘ＝２を代入してｒ＝２＾（nー１）(n^2-3n+2)
xをBにおきかえて
B^n=(B-2E)^3f(B)+ｐB＾２＋ｑB＋ｒ
＝ｐB＾２＋ｑB＋ｒ
＝・・・

この方針で合っているか教えてください。よろしくお願いします
No.18496 - 2012/09/08(Sat) 11:53:57
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> この方針で合っているか教えてください。
特に間違ってはいません。
ただ、(Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏ だけではなく (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ にも気付ければ、もっとラクができます。
※固有方程式 (λ-2)^3=0 の場合、(Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏの成立は確実ですが、Ｂによっては Ｂ-2Ｅ=Ｏ もしくは (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ も成立することがあるのです。
No.18515 - 2012/09/08(Sat) 20:38:59
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
回答ありがとうございます。

間違ってないのですか、意外でした。
いくつが気になっている点があるのですが、
(λー２）＾３＝０
よって（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０という風に固有方程式の固有値λを行列Ｂに置き換えるのはどんな行列でもできるのですか？（てっきり２−２行列の時のみだと思っていました）

また、最後の段階でｘをＡやＢなど行列に置き換えていますが、ｘを微分したものをＡやＢなど行列で置き換えていいのでしょうか？行列は微分できませんよね。。

よろしくお願いします。
No.18516 - 2012/09/08(Sat) 21:16:59
☆ ハミルトン・ケイリーの定理 / angel
> 固有方程式の固有値λを行列Ｂに置き換えるのはどんな行列でもできるのですか？
…あれ? ひょっとして高校生の方でしょうか? ( 3x3行列の話だからてっきり大学生かと… )
「固有方程式に対して、変数λを形式的に行列Ｂに、定数 c を cＥに (特に 0 は 零行列Ｏに) 置き換えた、行列の等式が成立する」これこそがハミルトン・ケイリーの定理です。なので、どんな行列でもできます。
※高校だと、2x2行列で単に Ｘ^2-(a+d)Ｘ+(ad-bc)Ｅ=Ｏ と習うでしょうが、これも固有方程式 (a-λ)(d-λ)-bc=0 から来ているので…
No.18517 - 2012/09/08(Sat) 21:48:53
☆ 多項式と行列計算の変換 / angel
> また、最後の段階でｘをＡやＢなど行列に置き換えていますが、ｘを微分したものをＡやＢなど行列で置き換えていいのでしょうか？行列は微分できませんよね。。

これはちゃんと理解しておかないと、ちょっと危ない所ではあります。

先にちょっと例を見ていただきましょう。
　x^4=(x-2)^3・(x+6) + 24x^2-64x+48
これは x に関する恒等式です。
ここで形式的に、x→Ｘ, 定数 c→cＥ と置き換えてみます。
　Ｘ^4=(Ｘ-2Ｅ)^3・(Ｘ+6Ｅ) + 24Ｘ^2-64Ｘ+48Ｅ
実は、というのもしらじらしいですが、この行列に関する等式も成立します。なぜならばＸ同士、もしくはＸ,Ｅ間の掛け算は交換が可能だからです。
※一般にはこういう置き換えは無理です。
　例えば (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 だからといって、(Ｘ-Ｙ)^2=Ｘ^2-2ＸＹ+Ｙ^2 は言えません。
　ＸＹ=ＹＸ が一般には成立しないからです。

さて話を本題に戻して。
今回の問題の解法の理屈としては、

　1. Ｂの固有方程式は (λ-2)^3=0 である
　2. 多項式 x^n に関して、x^n=(x-2)^3・f(x)+px^2+qx+r が恒等式となる f(x),p,q,r が存在する
　3. 2.の恒等式を形式的に置き換えた次の等式も成立する
　　Ｂ^n=(Ｂ-2Ｅ)^3・f(Ｂ)+pＢ^2+qＢ+rＥ
　4. ハミルトン・ケイリーの定理より (Ｂ-2Ｅ)^3=Ｏのため
　　Ｂ^n=pＢ^2+qＢ+rＥ である。

ですね。
※(Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏを利用した方が楽ですが、ひとまず置いておくとして
ここで、2は多項式の話、3以降は行列の話です。つまり、多項式の計算結果を行列の計算に利用しているわけです。
そうすると、p,q,rを求める時には、多項式に使えるネタは何でも使えます。微分もO.K.です。「行列は微分できないのに…」とか、そういったことは気にする必要がないのです。
あくまで、「多項式の世界での計算結果を利用して、行列の計算をしている」からです。多項式の世界で何をしようと、結果さえ出れば、それで行列の計算ができるのです。
No.18519 - 2012/09/08(Sat) 22:25:36
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
ありがとうございます。数学科でない大学生です。

理解できました。ありがとうざいます。

話は変わりますが、
固有方程式 (λ-2)^3=0 の場合、Ｂ-2Ｅ=Ｏ もしくは (Ｂ-2Ｅ)^2=Ｏ も成立することがあるとのことですが、
例えば（λー２）＾４＝０ならＢー２Ｅ＝０，（Ｂ−２Ｅ）＾２＝０，（Ｂ−２Ｅ）＾３＝０の可能性もあるといった具合に固有方程式の次数が上がっても言えることですか？

また、片一方が重解の時（例えば(λ-1)(λ-2)^2=0など）は
(B-E)(B-2E)^2=0以外にもＢについて何か成り立つのでしょうか？

どうか教えてください。よろしくお願いします。
No.18525 - 2012/09/09(Sun) 00:57:26
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> …(略)…の可能性もあるといった具合に固有方程式の次数が上がっても言えることですか？

そうです。

> また、片一方が重解の時（例えば(λ-1)(λ-2)^2=0など）は
> (B-E)(B-2E)^2=0以外にもＢについて何か成り立つのでしょうか？

今後、「最小多項式」に関するお話を聴く機会があると思います。それがちょうど今回の問題にあたります。

最小多項式 p(x) とは、形式的に行列Ｘを代入した式につき p(Ｘ)=Ｏ が成立し、かつその中で次数が最小のものをさします。

この p(x) に関し、方程式 p(x)=0 は Ｘ の固有値を全て根として持ちます。なので固有方程式に重解がない場合、p(x) は固有多項式と一致します。

しかしながら、固有方程式に重解がある場合は一致するとは限りません。
例えば、元の質問にあった問題のＢならば、p(x)=(2-x)^2 であり、固有多項式 (2-x)^3 とは一致しません。

また、一部の解が重解の場合。質問にあるように、固有多項式が (1-x)(2-x)^2 ( 固有方程式 (1-λ)(2-λ)^2=0 ) の場合、最小多項式 p(x) は、
　p(x)=(1-x)(2-x)^2　( つまり、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)^2=Ｏ、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)≠Ｏ )
　p(x)=(1-x)(2-x)　( つまり、(Ｅ-Ｂ)(2Ｅ-Ｂ)=Ｏ )
の2通りがありえます。
No.18536 - 2012/09/09(Sun) 18:54:01
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
わかりやすい回答ありがとうございます。

実は教養課程の線形代数は終わってしまったので授業ではもう聞く機会はないのです。

つまり（固有多項式）＝０のとき（最小多項式）＝０で、最小多項式＝０のλについてもケイリーハミルトンの定理が使える（λを行列Ａに置き換え可能）という理解であっていますでしょうか？

例えば与えられた３−３行列の固有多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.18537 - 2012/09/09(Sun) 19:48:12
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> 実は教養課程の線形代数は終わってしまったので授業ではもう聞く機会はないのです。

おや、そうでしたか…。
そうすると、「ジョルダン標準形」までは進まなかったのでしょうかね。「最小多項式」は「ジョルダン標準形」と関わりの深い所なので、そこまで進んでいれば話題に上っていただろうと思います。
もちろん、今からご自身で参考書なりを読んで勉強しても良いと思いますし、Web上でも説明が載ってたりもします。
※例えば、http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/linear/lin0.htmlとか

> つまり（固有多項式）＝０のとき（最小多項式）＝０で、最小多項式＝０のλについてもケイリーハミルトンの定理が使える（λを行列Ａに置き換え可能）という理解であっていますでしょうか？

ちょっとこの表現だと言葉が足りない気がするので、補完してみますが、

　行列Ｘの固有多項式φ(x)および最小多項式p(x)に対して、
　φ(λ)=0 ⇔ p(λ)=0 が成立。この時のλが固有値である。
　そのため、φ(x), p(x) とも (λ1-x)^d1・(λ2-x)^d2・… の形をしている。( λ1,λ2,…は固有値、d1,d2,…は1以上 )
　ケイリー・ハミルトンの定理とは、φ(Ｘ)=Ｏ が成立することを指す。
　また、p(Ｘ)=Ｏ は最小多項式の定義に含まれる条件であり、明らかに成立する。
　今回の問題のように Ｘ^n を求める問題では、ケイリー・ハミルトンの定理が活用できるが、最小多項式も同様に利用でき、それにより更に楽ができる場合もある。

という感じでしょうか。

> 例えば与えられた３−３行列の固有多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？

これは、最小多項式の話で良いでしょうか?
※固有多項式は行列式 det(Ｘ-xＥ) を計算するだけですし…
各項 (λ-x)^d の次数 d を決定するには、実際に(λＥ-Ｘ) を1乗,2乗,…と成分計算して確かめるしかないように思います。
No.18562 - 2012/09/10(Mon) 23:14:22
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / クロック
回答ありがとうございます。

実際ジョルダン標準形とやらでｎ乗を求めるやり方はNo.18496のやり方と比べて計算量は減るのでしょうか？

すみません、間違えました。例えば与えられた３−３行列の最小多項式の次数が何次なのかというのを（実際に成分計算せずに）判別する方法はあるのでしょうか？つまりＡ−Ｅ＝０なのか（Ａ−Ｅ）＾２＝０なのか（Ａ−Ｅ）＾３＝０なのかを実際にＡ−Ｅ、（Ａ−Ｅ）＾２など成分計算して求めずに簡単に見分ける方法はないのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.18568 - 2012/09/11(Tue) 02:19:12
☆ Re: ３−３行列のｎ乗 / angel
> 実際ジョルダン標準形とやらでｎ乗を求めるやり方はNo.18496のやり方と比べて計算量は減るのでしょうか？

ジョルダン標準形を求めてn乗を計算する方が計算量は多いです。
上の回答でジョルダン標準形を持ち出した意図は、同じ固有多項式であっても最小多項式に差異が出る、その構造が見易くなる形だからです。なので、あくまで参考と考えてください。

> 成分計算して求めずに簡単に見分ける方法はないのでしょうか？
No.18562で回答した通り、地道に成分計算するしかないと思います。
No.18572 - 2012/09/12(Wed) 00:53:26
★ 高卒 / 浪
関数f(x)=ax(1-x) がある。aを正の定数とするとき
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するようなaの値の範囲を求めよ
(2)f(x)=y,f(y)=xを満たす正の数の組(x,y)がちょうど3個存在するようなaの範囲を求めよ
(1)から詰まりました。どっかの大学の過去問です
No.18492 - 2012/09/08(Sat) 01:22:07
☆ Re: 高卒 / ヨッシー
(1)

y=f(x) のグラフは、ｘ軸と(0,0)(1,0)で交わる上に凸のグラフです。
図の左のように、点(0,0) における y=f(x) の接線の傾きが
１より大きければ、条件を満たすので、
　f'(x)＝-2ax＋a
　f'(0)＝a＞1
より、ａ＞１
No.18499 - 2012/09/08(Sat) 13:18:49
☆ Re: 高卒 / ヨッシー
(1) 別解
ax(1-x)=x とそのままおいて、
　x(a-ax-1)＝0
解の１つがｘ＝０ であることは明らかですが、もう一方の解は、ａ＞０ より
　ｘ＝(a-1)/a
と書け、これが正であるためには、ａ＞１
というやり方もあります。
No.18500 - 2012/09/08(Sat) 13:23:47
★ (No Subject) / 接線
曲線y=x^3と曲線y=(x+1)^3+kの両方に接する直線が5本あるような実数kの値の範囲を求めろという問題なんですがどう考えればよいのでしょうか？接線5本なんて引けるのですか？
No.18488 - 2012/09/07(Fri) 22:57:32
☆ Re: / 接線
学年書き忘れましたが高3です
No.18489 - 2012/09/07(Fri) 22:59:01
☆ Re: / らすかる
y=x^3
y'=3x^2
(p,p^3)で接する接線の方程式は y=3p^2x-2p^3 … (1)
y=(x+1)^3+k
y'=3(x+1)^2
(q,(q+1)^3+k)で接する接線の方程式は y=3(q+1)^2x-2q^3-3q^2+1+k … (2)
(1)と(2)が一致すれば良いので
3p^2=3(q+1)^2 … (3)
2p^3=2q^3+3q^2-1-k … (4)
(3)から p=q+1,-q-1
p=q+1 を(4)に代入してqについて解くと q=-1±√(-k/3)
解は k＜0のとき２個、k=0 のとき１個、k＞0のとき０個 … (5)
p=-q-1 を(4)に代入して整理すると 4q^3+9q^2+6q+1-k=0
f(q)=4q^3+9q^2+6q+1-k とおくと
f'(q)=6(2q+1)(q+1)
よってf(-1)＞0, f(-1/2)＜0であればf(q)=0の解は３個となり、
(5)のk＜0と合わせて５個になる。
f(-1)＞0 から k＜0
f(-1/2)＜0 から k＞-1/4
従って -1/4＜k＜0
No.18490 - 2012/09/07(Fri) 23:30:49
☆ Re: / 接線
ありがとうございます
No.18491 - 2012/09/08(Sat) 01:12:21
★ 高１ / 四谷
実数x,yがx^2+xy+y^2=1を満たすとき、x+y=a xy=bとするときa,bの満たす関係式を求めよ。
またaの最小値と最大値を求めよ
と言う問題でa^2-b=1というのはいいとしてaの最大・最小を求めるとき、
解答ではtの２次方程式を使ってその解x,yが実数になるための条件を利用しているんですけど
問題文で「実数x.y」ってあるのになんでこの条件式が必要なのか納得できません。
x=1-√2i y=1+√2iの場合x+yは実数になるけどx,yは虚数でこのような場合を除くのが目的とあるんですが
x,yが実数って問題でいってる以上このようなx,yが虚数の場合を考える事自体意味がわからないんですがどういうことなんでしょうか？教えて下さい。お願いします。
No.18485 - 2012/09/07(Fri) 07:47:47
☆ Re: 高１ / ＿
逆です。
「x,yが実数って問題でいってる」から、わざわざ「x,yが虚数の場合を考え」て、それに当てはまってしまう場合を排除しなければならないのです。

解説にある通り、x+y,xyがともに実数だけどx,yはともに実数でなくなるというケースがあります。tの二次方程式云々から得られる条件を使って、x+y,xyがともに実数で更にx,yもともに実数であるという場合を絞り込んでいる訳です。

a^2 - b = 1というだけでは(そもそもaの最大最小は求まらない上に)、x,yが実数であると断定はできません。試しにa=1,2,3あたりでxとyの値を具体的に出してみると宜しいかと思います。
No.18486 - 2012/09/07(Fri) 09:38:45
☆ Re: 高１ / らすかる
x^2+xy+y^2=1 → a^2-b=1 だけでは
「x,yが実数」という条件が反映されないためです。
「x,yが実数かつx^2+xy+y^2=1」⇔「a^2-b=1かつt^2-at+b≧0」ですから、
t^2-at+b≧0についても考慮する必要があります。
No.18487 - 2012/09/07(Fri) 09:41:06
★ 包絡線 / ブービー
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/node48.html#ena12
の解答２の下から４〜５行目の
「ｔ≠０のときｘ＝ｔ、ｙ＝ｔ＾３−３ｔ
これがｔ≠０で成立するのでｔ＝０でも成立する」の意味が分からないのですが、どういう事なのでしょうか。

分かる方いらっしゃいましたらどうかご教授お願いします。
よろしくおねがいします。
No.18480 - 2012/09/05(Wed) 23:03:49
☆ Re: 包絡線 / ヨッシー
「これがｔ≠０以外で成立するのでｔ＝０でも成立する」
ですね。
確かに変な言い回しです。
「ｔ≠０のときｘ(t)＝ｔ、ｙ(t)＝ｔ^3−３ｔ
これはｔ＝０でも成立する」
でも良いと思います。
No.18481 - 2012/09/06(Thu) 09:23:44
☆ Re: 包絡線 / ブービー
回答ありがとうございます。

しかしなぜｔ＝０でも成立すると言えるのですか？

よろしくお願いします。
No.18482 - 2012/09/06(Thu) 20:27:42
☆ Re: 包絡線 / 黄桃
南海先生のサイトの質問なら、ご本人に聞くのがスジだと思います（トップページに掲示板とあるのがわかりますか？URLは http://www65.tcup.com/6504/aozoram.html です）
私が紹介した手前、説明します。

「ｔ≠０以外で成立するのでｔ＝０でも成立する」
とは、要するに、f(t)をtの連続関数とすると、

f(t)=0 がt≠0なるすべてのtについて成立する⇒ f(t)=0 がすべてのt(t=0も含む）について成立する

ということです。f(t)が連続関数ならf(0)=lim[t→0]f(t) だから、明らかでしょう。
包絡線(x(t),y(t))は(tの)連続関数である、ということは既知としているのでしょう。


a/x+b/(x-1)=1/(x(x-1)) となる実数a,b を求める時に、両辺を x(x-1)倍して
a(x-1)+bx=1 が x≠0,1 に対して恒等式だから、a(x-1)+bx=1 はすべてのxについても恒等式、
だからxに0,1を代入しても成立しているので、x=0 を代入してa=-1, x=1 を代入してb=1 を得る、
とすることがありますが、これと同じ論理です。
No.18483 - 2012/09/07(Fri) 07:24:31
☆ Re: 包絡線 / ブービー
回答ありがとうございます。わざわざすみません。。

回答の中身ですが、
質問１．f(t)をtの連続関数とすると、
f(t)=0が〜とありますが、本問において t(t)＝０と表せるような式はないのですが・・。

質問２．包絡線(x(t),y(t))は(tの)連続関数である、ということは既知としている、について
包絡線は一般的に連続関数だと言えるのですか？それとも今回は包絡線がｙ＝ｘ＾３−３ｘだからたまたま連続だと言えるのか、どちらですか？

質問３．それから包絡「線」なのに(x(t),y(t))という風に「点」でいいのでしょうか？

質問４．a(x-1)+bx=1については、ｙ＝a(x-1)+bx・・?@とｙ=1を考えて?@にｘ≠０，１のどんなｘを代入しても１になるから?@の関数の連続性より?@はどんなｘを代入しても１になる。よって?@≡?Aという理解をしましたが他の場合も通用しますか？


質問が多いですがどうかよろしくお願いします。
No.18494 - 2012/09/08(Sat) 07:26:15
☆ Re: 包絡線 / 黄桃
厳密に説明するのは大変なので、感覚的な説明で勘弁してください。
質問１ f(t)=x(t)-t とおいてください。
質問２ 一般的にいえます。ここでの包絡線は、直線を連続的にずらした時にその直線群が通る領域の、ある種の「境界」にあたるので、突然どこかへ飛んだりはしません（飛ぶのなら対応する直線もどこかに飛んでしまい不連続な動き方をするはず）ので、連続です。
質問３ tを決めるごとに直線が１つきまります。(x(t),y(t))は包絡線と、tできまる直線との交点と思ってください。
別の言い方をすれば包絡線をパラメータ表示したものです。直線のパラメータ表示が x(t)=x0+at, y(t)=y0+bt となるのと同じです。
質問４　「他の場合」がなんだかわかりませんが、その理解でOKです。
この記号を使ってよければ、t(x(t)-t)≡0 より t≡0 または x(t)-t≡0 であるがt≡0 ではないので、x(t)≡t である、と説明することもできます。
No.18495 - 2012/09/08(Sat) 08:05:39
★ 数学 / ぽぽ
AB=8、BC=9の長方形ABCDの中に、互いに外接する2つの円C1,C2がある。
C1は中心がOで、二辺AB,BCに接し、C2は

中心がO´で、二辺CD,DAに接している。
このとき、C1,C2の半径をそれぞれｘ、ｙとし、C1,C2の面積の和をSとする。

（１）ｘ＋ｙの値を求めよ。
（２）Sをｘを用いて表せ。
(3)Sの最大値と最小値を求めよ。
(1)は三平方の定理を使ってx+y=5とだせました。
(2)は(１)よりS=π(2x^2+10x+25)
(3)は(２)の結果とxの定義域よりグラフを考えて最大最小を求めるんでしょうけどxの定義域について疑問です。
xは円C1の半径なんで縦8cm　横9cmの長方形の中に円C1が収まるためには最大でx=4じゃないとだめですよね？
動揺にyも最大で4です。
ですがこの問題を解いているとき反射的に
x+y=5より
y=5-x
yは半径なので0より大きいんだから
5-x>0
よって0<x<5としてしまいました。
今まで解いてきた問題の中でもこういうふうにできる問題もあった気がするのですが
問題に応じて考えないといけませんよね。
どうしたらこのようなミスに至らざるにすむのか心がけておくべきことがあったら教えてください。
また別の問題で同じミスをしそうです。
回答お願いします。
No.18477 - 2012/09/05(Wed) 18:59:23
☆ Re: 数学 / ヨッシー
まず、
(2) の答えは　S=π(2x^2−10x+25) ですね。

それはともかく、
これは、図をきちんと描いて気をつけるしかないですね。
「yは半径なので0より大きいんだから」
とありますが、本当にｙは０にずっと近づけられるのか？
つまり、ｙは正であれば、いくらでも小さくできるのか？
といったことを、図とともに見ていけば、途中で気がつくでしょう。
No.18478 - 2012/09/05(Wed) 22:32:40
☆ Re: 数学 / 黄桃
>どうしたらこのようなミスに至らざるにすむのか心がけておくべきこと
については、いろいろ自分で問題を解いて、
自分はこういう間違いをしやすい、
ということを体で覚えるしかありません。

見直しや面倒な計算をする時に「自分が間違いやすいところはどこかな？そこは注意しないと」と考えればミスが減るでしょう。
逆説的ですが、どんどん間違えて、自分の間違えるパターンを覚えるのが、ミスを防ぐ近道だと思います。

＃しかし、実は元の質問は奥が深いのです。
＃数学では、同じ記号なのに違う意味を持たせることがあります。
＃数学では x<1 という式で、xの動く範囲（区間）を表すこともあるし、
＃単に不等式を表すこともあります。どちらの意味で使われているか、普通は
＃気にしなくてもいいのですが、混同してしまうと間違うのが今回の質問の場合です。
＃途中ででてきた式は不等式(x=1 の時 x>0、の x>0と同じ）であって、範囲ではなかったのです。
＃相加相乗平均で最小値を求める時に等号成立条件を確認しますが、
＃それは不等式を範囲にするおまじないなのです。
No.18484 - 2012/09/07(Fri) 07:35:27
★ 因数分解 / 伶一
(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5の因数分解を教えてください。できるだけ高校生レベルでお願いします。
No.18474 - 2012/09/04(Tue) 11:47:52
☆ Re: 因数分解 / 豆
例えば一つの方法、a=bなどが与式を0にすることも意識しながら、
A=a-b、B=b-cとおくと、c-a=-(A+B)なので、
与式=P=A^5+B^5-(A+B)^5　　　A^5、B^5が消える
=-(5A^4B+10A^3B^2+10A^2B^3+5AB^4)
=-5AB(A^3+2A^2+2AB+B^3)　
A+Bは因数のはずだし、すぐに括れることは分かる
P=-5AB(A+B)(A^2-AB+B^2+2AB)
最終因数は、ばらすと、
a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab　でこれ以上は無理
P=5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)
符号、用語を間違えていたので修正済み
No.18475 - 2012/09/04(Tue) 14:25:52
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
まず目星として、
(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5
の a に b を代入する、a に c を代入する、b に c を代入する
のいずれも０になるので、因数定理の考え方から、(a-b)(b-c)(c-a) で割り切れることは予想がつきます。

(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5
(b-c)^5=b^5-5b^4c+10b^3c^2-10b^2c^3+5bc^4-c^5
(c-a)^5=c^5-5c^4a+10c^3a^2-10c^2a^3+5ca^4-a^5
全部足して、a についての降べきの順に整理すると
　5a^4(c-b)+10a^3(b^2-c^2)+10a^2(c^3-b^3)+5a(b^4-c^4)+5bc(c^3-b^3)+10b^2c^2(b-c)
(c-b) でくくると
　5(c-b){a^4-2a^3(b+c)+2a^2(c^2+cb+b^2)-a(b+c)(b^2+c^2)+bc(c^2-cb+b^2)}
5(c-b) 以外の部分を、a-b で割ると、
　a^4-2a^3(b+c)+2a^2(c^2+cb+b^2)-a(b+c)(b^2+c^2)+bc(c^2-cb+b^2)
　＝(a-b){a^3-a^2(b+2c)+a(b^2+2c^2)+(-b^2+bc^2-c^3)}
(a-b)　以外の部分を a-c で割ると、
　a^3-a^2(b+2c)+a(b^2+2c^2)+(-b^2+bc^2-c^3)
　＝(a-c){a^2-a(b+c)+(b^2-bc+c^2)}
以上より
　(与式)＝5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)
No.18476 - 2012/09/04(Tue) 14:30:14
★ ジョルダン標準形 / ブービー
高３ですがジョルダン標準形というのを独学でできるようになりたいのですが、お勧めのサイトがあったら教えてください。沢山あるのですが恐ろしく複雑で読み解けません。
No.18471 - 2012/09/03(Mon) 23:57:01
☆ Re: ジョルダン標準形 / ast
心意気は買いますが, しかしジョルダン標準形自体がそもそもある程度の前提知識を必要とする「恐ろしく複雑」な概念です (線型代数学の基本事項を習得済みの大学生が, 講義あり演習ありで半期は掛かってやっと理解できるかどうか, というところです) から, その辺のが読めないから読みやすそうなサイトは無いかとか, そういう付け焼刃でしようと言うのは無理だと思います.
No.18472 - 2012/09/04(Tue) 00:26:10
☆ Re: ジョルダン標準形 / 黄桃
サイトを眺めて理解できる、というのは一般人（私もそうですが）には難しいでしょう。数学の天才だったらできるでしょうが、そういう人はここで質問する必要はないでしょう。

いきなり一般次元は大変なので、とりあえず2x2行列の場合に読み解いてみる（当てはめて何をいっているか理解する）のはどうですか？
成分は４つしかないので成分計算しても、根気があればなんとかなるかもしれません。

そういう意味では、南海先生のサイトは2次元の場合の例も豊富なので、見る価値があると思います:
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/
の数学対話、代数分野の、一次変換を見る／線型代数の考え方、のあたりを中心に眺めてみてください。

それでもわからない、もっと知りたい、ちゃんと勉強したい、のであれば、地道に大学生用の線型代数の教科書を勉強するしかないと思います。
No.18473 - 2012/09/04(Tue) 02:37:18
☆ Re: ジョルダン標準形 / ブービー
ありがとうございます。

このサイトはとてもいいですね。ありがとうございました。
No.18479 - 2012/09/05(Wed) 22:57:22
★ 高3 確立 / ktdg
n個(n≧2)のサイコロを投げ、出た目の最大値をM、最小値をmとするとき、Mがmの倍数である確率を求めよ。

(?@)m=4,5,6のとき
Mがmの倍数であるためには、M=mでなくてはならず、このとき出る目はすべて等しい。よって求める確率は、3/6^n
(?A)m=3のとき
(ア)M=6のとき
1,2が出ず、かつ3と6が少なくとも1つ出ればよいので求める確率は、{(4^n)-(2・3^n)+2^n}/6^n
(イ)M=3のとき
全て3でなくてはならないから求める確率は、1/6^n
(?B)m=2のとき
(ア)M=6のとき
1が出ず、かつ2と6が少なくとも1つ出ればよいので求める確率は、{(5^n)-(2・4^n)+3^n}/6^n
(イ)M=4のとき
1,5,6が出ず、かつ2と4が少なくとも1つ出ればよいので求める確率は、{(3^n)-(2・2^n)+1}/6^n
(ウ)M=2のとき
全て2でなくてはならないから求める確率は、1/6^n
(?C)m=1のとき
1が少なくとも1つ出ればよいので求める確率は、{(6^n)-5^n}/6^n
以上より、Mがmの倍数である確立は、{(6^n)-(4^n)-(2^n)+6}/6^n

答え合わせお願いします。
No.18461 - 2012/09/02(Sun) 18:16:39
☆ Re: 高3 確立 / らすかる
最終行の「確立」の漢字以外は合っていると思います。
No.18462 - 2012/09/02(Sun) 18:26:48
☆ Re: 高3 確立 / ktdg
「確率」ですね。
細かいところまでありがとうございます。
No.18469 - 2012/09/03(Mon) 02:06:18
★ 等角数列 / unknown
こんにちは中学生です。
進学校なので高校の範囲も一応出来ます。
次の問題の解法と解説をお願いします。


点ABCDEFで構成されている正6角形がある。
それぞれの点が次のように移動する時、
点Aが点Bと重なるまでの移動距離を求めよ

点Aは点Bに向かって進む
点Bは点Cに向かって進む
点Cは点Dに向かって進む
点Dは点Eに向かって進む
点Eは点Fに向かって進む
点Fは点Aに向かって進む。

ただし、最初の地点で点Aと点Bとの距離を
1000とおく
No.18459 - 2012/09/02(Sun) 15:18:37
☆ Re: 等角数列 / IT
常に移動する目標（AならB）に向かって、常に向きを変えていくのなら下記のようになるようです「追跡曲線」で検索できます。

これなど参考にされてはどうでしょう。
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/pc-mathekyouzai001/tuisekikyokusen015soft.pdf
県立高校理数科２年生のレポートです。
No.18460 - 2012/09/02(Sun) 17:41:03
☆ Re: 等角数列 / IT
点Aと点Bとの距離 L
１回の移動距離を x
１回の移動後の点Aと点Bとの距離 L１とおくと

余弦定理より
（L１）^2= (L-x)^2 + x^2 -2(L-x)xcosθ
これを整理すると
L１＝√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ))

近づいた距離　L - L1 ＝　L −　√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ))
近づいた距離／移動した距離 ＝(L−√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/x
=(L-√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))x
=(L^2 - (L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))x
=2(L-x)(1+cosθ)/(L+√(L^2-2(L-x)x(1+cosθ)))
→ 2L(1+cosθ)/(L+√(L^2))= 1+cosθ
（x→0のとき）

正6角形の場合はθ＝120°、cosθ＝-1/2
近づいた距離／移動した距離＝1+cosθ＝1/2
移動した距離＝近づいた距離＊２
よって点Ａと点Ｂが重なるとき　移動した距離＝Ｌ＊２＝2000（元の問題の場合）

一般的な正多角形の場合で考えましたが
本問の場合、最初からcosθ＝-1/2とした方が記述量は少なくてすみます。

余弦定理（数１）と極限（数２）を使いました。

ポイントとなると思われる（近づく距離）／（移動距離）についてのみ計算しました。
　
　
No.18464 - 2012/09/02(Sun) 21:10:06
☆ Re: 等角数列 / IT
数列的な議論(略解）
ｎ回移動後のＡとＢの距離をＬ[n]、Ｌ[0]＝Ｌ(質問の場合は1000）。
ｎ回目の移動距離ｄ[n]は移動前の距離Ｌ[n-1]のｘ倍（０＜ｘ＜１）すなわちｄ[n]＝ｘＬ[n-1]…?@。（等角）
であるとする

Ｌ[n+1]＝ｙＬ[n] となるyがとれる
　じっさい余弦定理より
　ｙ^2=x^2+(1-x)^2-2x(1-x)cosθ=1-2x(1-x)(1+cosθ)
　ｙ=√{1-2x(1-x)(1+cosθ)}　
　　0＜ｙ＜1,lim[x→0]ｙ＝1に注意

Ｌ[n+1]＝(ｙ^n)Ｌ…?A
　lim[n→∞]Ｌ[n]=lim[n→∞](ｙ^n)Ｌ=0,

?@、?Aより
ｄ[n]＝x(ｙ^(n-1))Ｌ

よって、AがBに重なるまでの移動距離の合計は
Σ[n=1,∞]ｄ[n]=xＬΣ[n=1,∞] (ｙ^(n-1))
　　　=xＬ／(1-ｙ)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／(1-ｙ)(1+ｙ)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／(1-ｙ^2)
　　　=x(1+ｙ)Ｌ／2x(1-x)(1+cosθ)
　　　=(1+ｙ)Ｌ／2(1-x)(1+cosθ)
　　　→Ｌ／(1+cosθ)　(x→0)
No.18468 - 2012/09/02(Sun) 23:06:03
★ 文系数学　疑問 / ラモス
xは実数、yは0でない実数とする。
このときx/y>1であることはx>yであるための【必要条件でも十分条件でもない】

x/y>1の領域をP
x>yの領域をQとすると、
Ｐの場合はy>0かつx>yの部分とy<0かつx<yの部分ですよね。
一方Qはx>yとそのまま。
この下準備を済ませた後
x/y>1⇒x>yを調べると答では偽なんですがなぜなのかわかりません。
Pは２つの領域に分かれていますがそのうちy>0かつx>yの部分をx<yの領域が包括していますよね？ということは真な気がするのですがどうなんでしょうか。
たとえば、数直線上で
x≦-3またはx≧2・・・?@
x<2・・・?A
?@と?Aの共通範囲を求めると、
x≦-3ですよね？
この場合はx<2がx≦-3またはx≧2のどちらか一方でも満たしときゃそれでOKってことだと思うんですけど
これと一緒で上のＰの領域のうち片方でもQの領域が満たしてたらいいんじゃないかなって思ったんですがどうなんでしょうか？
以前に、必要条件や十分条件を求める際に、場合分けするとおかしくなる(一方は成り立つけどもう一方が成り立たない場合などがでてきてぐちゃぐちゃになる)と教わりました。
このこととなにか関係あるんでしょうか？
この分野が非常に苦手なので誰か分かる方教えてください。お願いします
No.18454 - 2012/09/02(Sun) 07:32:29
☆ Re: 文系数学　疑問 / IT
> Pは２つの領域に分かれていますがそのうちy>0かつx>yの部分をx<yの領域が包括していますよね？ということは真な気がするのですがどうなんでしょうか。

ラモスさんの論法だと、PとQが共通部分を持つ場合、Pを適当な領域に分ければ、Pの一部の領域はQに包含されますので
「PならばQ」は真ということになってしまいます。これは間違いですよね。PはあくまでPです。（一部分ではない）
No.18456 - 2012/09/02(Sun) 09:16:02
☆ Re: 文系数学　疑問 / IT
例えば集合Ａ、Ｂがあり
Ａ＝{１、２、３}、Ｂ＝{２、４}とします
Ａは奇数Ａ１＝{１、３}と偶数Ａ２＝{２}の２つの部分に分かれます。
Ａ２はＢに包含されます
よってｘがＡに含まれるならばｘはＢに含まれる。が正しいとすると
１は１∈Ａなので１∈Ｂ＝{２、４}　となりますが、間違いですよね。

_さんの説明のとおり「P⇒Q」の意味を正しく理解することから始められた方が良いみたいですね。
No.18458 - 2012/09/02(Sun) 09:30:40
☆ Re: 文系数学　疑問 / ast
以前と言うか、つい先日じゃないですかね. いずれにせよ, ヨッシーさんの解説は
> 場合分けするとおかしくなる
と仰ってるようには見えませんが.

> これと一緒で
P⇒Qは共通部分とは全く違いますので, なぜ一緒の道理にしたがるのか理解不能です.
No.18467 - 2012/09/02(Sun) 22:32:11
☆ Re: 文系数学　疑問 / ヨッシー
あれ？
あのときなぜあんなグラフを描いたのだろう？
No.18470 - 2012/09/03(Mon) 16:41:02
★ 命題 / ラモス
x,yは実数とする。
x>yであることはx^3>y^3であるための必要十分条件なのだそうですがよくわかりません。
まずx>y⇒(x-y)(x^2+xy+y^2)>0は
x>y(x-y>0)なら絶対(x-y)(x^2+xy+y^2)>0が成り立つということですよね？
⇒x^2+xy+y^2を平方完成してみると分かりますが⇒x^2+xy+y^2≧0となります。
この場合0が含まれているので、必ずしも(x-y)(x^2+xy+y^2)>0は成り立たない気がするのですがなぜなんでしょうか？
かなり勘違いしているかもしれないので誰か分かる方、文系で数学苦手の自分に教えてください。お願いします。
No.18451 - 2012/09/02(Sun) 03:30:48
☆ Re: 命題 / ast
> この場合0が含まれているので
含まれていません. その不等式の等号成立条件は, 前提である x > y に矛盾します.
No.18453 - 2012/09/02(Sun) 04:19:38
☆ Re: 命題 / ラモス
ありがとうございました
No.18455 - 2012/09/02(Sun) 07:32:47
★ 高校数学2 / 極限
lim[x→a]f(x)/x-a　の値が存在するとき、f(a)=0となる。
なぜなら、xがaに近づくとき、f(x)/x-a　の分母が0に近づくが、f(x)が0以外の値に近づくと、f(x)/x-aの絶対値がいくらでも大きくなり有限の値に定まらないからである。

とあるのですがよくわかりません＾＾；
もう少し文系の自分にも分かるように分かり易く説明できる方がいましたらよろしくお願いします。
No.18445 - 2012/09/02(Sun) 00:05:55
☆ Re: 高校数学2 / ast
命題についてどれほどご存知かよくわかりませんが, 一般に p⇒q が真ならば, その対偶 [qでない]⇒[pでない] も真です.

今の場合, [f(x)の極限が0でない]⇒[問題の極限がない] は真ですから, その対偶 [問題の極限が定まる]⇒[f(x)の極限は0] です.
No.18447 - 2012/09/02(Sun) 00:18:12
☆ Re: 高校数学2 / 極限
回答ありがとうございます！
命題に関しては理解できたのですが
[f(x)の極限が0でない]⇒[問題の極限がない]というのはどこからでてきたんでしょうか？
もう少し教えてください。お願いします＞＜
No.18449 - 2012/09/02(Sun) 00:55:30
☆ Re: 高校数学2 / ast
> どこからでてきたんでしょうか？
0でないものを0あるいはそれにごく近い値で割ったら何が起きるか理解していますか? あなたご自身が引用されている解説文のまさにその通りのことが起きますよね? また極限値が定まるとは何が起きないことであったか, 今一度ご自身で定義を確認してみてください.
No.18452 - 2012/09/02(Sun) 03:58:28
★ 三角関数グラフの描き方の説明 / yosiki
三角関数のグラフを書く練習をしていたところ参考書に
「y=-f(x)のグラフはθ軸に関してy=f(x)のグラフと対称」と書いていたのですがどういうことなのかわかりません。
たとえば原点を通る３次関数なら奇関数で原点対象なのでf(x)=-f(-x)が成り立ちますが・・・これとは関係ないですよね？
よく分からないので教えてください。お願いします。
No.18441 - 2012/09/01(Sat) 19:34:52
☆ Re: 三角関数グラフの描き方の説明 / IT
下図の例を見ると分かると思いますが。y=f(x)は、どんな関数でも良いです。
「y=-f(x)のグラフはθ軸に関して・・・」
x軸に関してが正しいと思いますが
No.18442 - 2012/09/01(Sat) 21:17:09
★ 分数形の漸化式 / yosiki
分数形の漸化式で
「a[n+1]=(Aa[n]+B)/(Ca[n]+D)
B≠0のときx=(Ax+D)/(Cx+D)
の解x=α、βを用いて
b[n]=1/(a[n]-α)と参考書にかいてあるんですが
βはつかわないんですか？
教えてください。お願いします。
No.18440 - 2012/09/01(Sat) 19:34:05
☆ Re: 分数形の漸化式 / ast
使わずに求まったのなら使わないんでしょう. 求まらなくてβが使えそうと思うなら使ってみるべきです.
No.18446 - 2012/09/02(Sun) 00:13:31
★ ベクトル / YAMAHA
△OABがあり、OA=3 OB=√17 AB=4とする。
(3)△OABの垂心をHとするとき、OH→をOA→、OB→を用いて表せ。

(1)よりOA→・OB→=5
(2)よりOC→=(3/4)OA→+(1/4)OB→が求まっています。
(3)を私はOH→=kOC→(kは実数)
OH⊥AB⇔OH→・AB→=0→
の2つの条件をつかうんじゃないか？とまっさきに思ってしまったのですがこれだとk=0になってしまいます；
答ではOH→=kOC→(kは実数)、AH→・OB→=0→を利用しています。
答はOH→=(15/32)OA→+(5/32)OB→です。
どうやったら解答のようなやり方を見抜けるんですか？
また、私のはなんで答にいたらないんでしょうか？誰か教えてください。お願いします。
No.18430 - 2012/09/01(Sat) 02:03:01
☆ Re: ベクトル / angel
まず、H は垂心ですので、H を求めるために使う条件は
　a. OH⊥AB つまり OH→・AB→ = 0
　b. AH⊥OB つまり AH→・OB→ = 0
　c. BH⊥OA つまり BH→・OA→ = 0
です。このうちの1条件だけでは足りなくて、2条件を組み合わせる必要があります。なお、2条件あれば残りは自動的に成立するため、3条件全てを考える必要はありません。

さて、(2) の C の情報がありませんが、おそらく「OからABに下ろした垂線の足Cに関してOC→をOA→,OB→を用いて表せ」とかいう問題だったと思います。
そうすると、OC⊥AB であるため、OH→=kOC→ と表した時点で自動的に条件 a はクリアしていることになります。

なので、あと考えるべきは b もしくは c です。YAMAHAさんが見た解答では b を使っているようですね。
No.18433 - 2012/09/01(Sat) 08:00:48
☆ Re: ベクトル / YAMAHA
ありがとうございます。
少し疑問に思うことがでてきたのですが
　a. OH⊥AB つまり OH→・AB→ = 0
　b. AH⊥OB つまり AH→・OB→ = 0
　c. BH⊥OA つまり BH→・OA→ = 0
のうち２条件でいいのはなぜなんでしょうか？
この問題に限らずほかの問題でも３条件のうち２条件満たしてたらOKみたいなのがありますよね。
いままでそのへんの理解を怠ってきたのでよかったら教えてください。お願いします。
No.18434 - 2012/09/01(Sat) 09:23:10
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
２条件を満たせば、残りのひとつも必ず満たすからです。
重心、外心、内心なども同様です。

こちらをご覧下さい。
No.18435 - 2012/09/01(Sat) 09:53:49
☆ Re: ベクトル / angel
ベクトルの計算で、2条件から残りを導くことも可能です。

a. OH→・AB→ = 0
　⇔ OH→・(OB→-OA→)=0
　⇔ OH→・OB→ - OH→・OA→ = 0
b. AH→・OB→ = 0
　⇔ (OH→-OA→)・OB→=0
　⇔ OH→・OB→ - OA→・OB→ = 0

b-a. OH→・OA - OA→・OB→ = 0
　⇔ (OH→ - OB→)・OA→ = 0
　⇔ BH→・OA→ = 0

…という感じで、a,b から出てくる式を辺々引けば、c の形が導かれます。
No.18436 - 2012/09/01(Sat) 11:15:24
★ 数学 指数対数関数 / 狂乱
x,yがx≧1,y≧1,(log[2]x-1)^2+(log[2]y)^2=5を満たしながら変化するときx^2yの最大値・最小値を求めよ。
[自分の解答]
log[2]x=X
log[2]y=Yとおく。
x≧1,y≧1より
X≧0,Y≧0
また、条件式は(X-1)^2+Y^2=5
x^2yにて底が2のlogを取ると
log[2]x^2y=log[2]x^2+log[2]y=2X+Y
2X+Y=k(定数)とする。
X≧0,Y≧0,(X-1)^2+Y^2=5を満たす領域をDとしたとき、この領域と2X+Y=kが共有点を持つうちでkが最大・最小になる実数X,Yを求めるとkが最小となるのは(X,Y)=(0,0)のときでk=0
このときlog[2]x^2y=log[2]1よりx^2yの最小値は1
最大値は2X+Y=kが第１象限で円に接するとき。(以下省略)」

最大値は答と一緒だったんですけど最小値が全く違いました。
そもそも先生の解説プリントには「(X,Y)は第１象限にある円の図形上を動く」とかいており
最小値をとるのは直線が(X,Y)=(0,2)を通るときでした。
どうして領域Ｄじゃなくて第１象限にある円の図形上なんですか？
分かる方教えてください。お願いします。
No.18427 - 2012/08/31(Fri) 22:56:13
☆ Re: 数学 指数対数関数 / X
狂乱さんが領域Dとしている条件式である
(X-1)^2+Y^2=5 (A)
を
(X-1)^2+Y^2≦5
と勘違いされていませんか？。
(A)は円周を表していますが、円の内部の点を
表してはいません。
No.18428 - 2012/08/31(Fri) 23:15:35
★ ベクトル / YAMAHA
三角形ABCに対して点Ｐを7PA→-5PB→+3PC→=0→を満たすようにとる。
(３)三角形ABQと三角形CPQの面積の比を求めよ。
(１)と(２)で
AP→=-AB→+(3/5)・AC→
AQ→=3/10AC→
BQ:QP=1:1が分かっています。
答えには△ABQ：△CPQ＝(1/2・QB・QA・sinθ)：(1/2・QP・QC・sinθ)＝(QA・QB)：(QP・QC)=3:7となっているんですが
QAとQBとQPとQCは比しかわかっていないのになんでこんなふうに計算できるんでしょうか？
なんかひっかかります。
どなたか分かる方教えてください。お願いします。
No.18425 - 2012/08/31(Fri) 22:33:42
☆ Re: ベクトル / X
↑AP=-↑AB+(3/5)↑AC (A)
↑AQ=(3/10)↑AC (B)
とします。
(B)より
↑AC=(10/3)↑AQ
これを(A)に代入して
↑AP=-↑AB+2↑AQ
∴↑AQ =(↑AB+↑AP)/2
つまり
点Qは線分BPの中点 (P)
になっています。
つまり点B,P,Qは同一直線上にありますので対頂角から
∠AQB=∠AQP
これをθと置いて△ABQ、△CPQの面積を計算しています。
更に(P)より
QB=QP
∴(QA・QB)：(QP・QC)=QA:QC=3:7 (∵)(B)より
となります。
No.18429 - 2012/08/31(Fri) 23:32:54
☆ Re: ベクトル / YAMAHA
ありがとうございました
No.18431 - 2012/09/01(Sat) 02:03:18
★ (No Subject) / burunn
２−２行列の固有値が重解になる時の
誘導無しのとき方を教えてください。
No.18423 - 2012/08/31(Fri) 21:05:48
☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています / のぼりん
意味不明です。
No.18437 - 2012/09/01(Sat) 11:20:11
☆ Re: / burunn
仰るとおりでした。解き方ではなく
２−２行列をAとしたときのA^nの求め方でした。
よろしくお願いします
No.18439 - 2012/09/01(Sat) 16:07:15
☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています！ / のぼりん
二次正方行列に限らず、一般的に正方行列 Ａ の冪乗 Ａｎ を計算するなら、低い冪の場合を幾つか計算し、そこから一般形を類推し、帰納法に持ち込むのが手っ取り早くて簡単だと思います。

低冪の場合を計算しても一般形が想像できない場合は、仕方がないので、Ａ のジョルダン標準形を求めてその冪乗を計算するのが良いでしょう。
No.18443 - 2012/09/01(Sat) 21:54:23
☆ Re: / ast
2x2なら, 固有値が重なって対角化できないやつは右上が1の三角化ならできるので, それ以外は対角化できる場合と手順的には同じ. 三角化したやつの冪は, 対角行列（半単純成分）と残り（冪零成分）の和に分けて二項定理が楽でしょう.

> 固有値が重解になる
違和感を覚えます. 「固有方程式が重解を持つ」や「特性根が重根になる」あるいは「固有値の（代数）重複度が1でない」などであればわかりますが.
No.18448 - 2012/09/02(Sun) 00:24:48
☆ 数列の場合と同じです / 黄桃
数列の3項間漸化式の場合と同様にできる方法を紹介します。

A:2x2行列とし、Aの固有方程式が重根をもつとします。すなわち、
A^2-2aA+a^2E=O
とします。a=0 ならA^2=O なので、A^n=O (n≧2)となります。
以下、a≠0 とします。
A^(n-1)をかけると
A^(n+1)-2aA^n+a^2A^(n-1)=O
となり、これを変形すると
A^(n+1)-aA^n=a(A^n-aA^(n-1))
を得ます。したがって、
A^(n+1)-aA^n=a(A^n-aA^(n-1))=a^2(A^n-aA^(n-1)=...=a^n(A-aE)
です。両辺をa^(n+1)(≠0)で割ると
A^(n+1)/a^(n+1)-A^n/a^n=(1/a)A-E
です。みづらいですが、B[n]=A^(n)/a^n とおけば、
B[n+1]-B[n]=(1/a)A-E
と行列の「等差数列」になっていますから、
B[n]=B[n-1]+(1/a)A-E=B[n-2]+2((1/a)A-E)=...=B[0]+n((1/a)A-E)
両辺にa^nを乗じると
A^n=a^n E+n a^n((1/a)A-E)
=a^n E+n a^(n-1)A-na^nE
=n*a^(n-1) A+(1-n)a^n E
となります。
No.18450 - 2012/09/02(Sun) 03:12:50
☆ Re: / burunn
Ａ のジョルダン標準形を求めてその冪乗を計算する方法を教えてください。

右上が1の三角化にする方法を教えてください。

行列A＝（6 -8)
(2 -2)とします

よろしくおねがいします
No.18463 - 2012/09/02(Sun) 20:44:05
☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています。無視するお積りですか？ / のぼりん
＞　Ａ のジョルダン標準形を求めてその冪乗を計算する方法を教えてください。
Ａ＝〔〔６，−８〕，〔２，−２〕〕 のジョルダン標準形を求め、
　　　Ｊ＝〔〔２，１〕，〔０，２〕〕
　　　Ｂ＝〔〔２，１/２〕，〔１，０〕〕
に対し、
　　　Ａ＝ＢＪＢ−１
です。
　　　Ｂ−１＝〔〔０，１〕，〔２，−４〕〕
　　　Ｊｎ＝〔〔２ｎ，２ｎ−１ｎ〕，〔０，２ｎ〕〕
だから、
　　　Ａｎ＝ＢＪｎ Ｂ−１＝…
と計算できます。

＞　右上が1の三角化にする方法を教えてください。
要は、Ａ ジョルダン標準形を求めるということです。
（個別問題でなく）この様な一般事項は、ご自分で教科書を勉強しましょう。
No.18466 - 2012/09/02(Sun) 22:11:45
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