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★ (No Subject) / DJ１
一般に行列B＝(（x1 x2)(x2 y2))(例((a b)(c d))の行列式はad-bc))について
B^-1が存在しない
⇔ｘ１ｙ２−ｘ２ｙ２＝０
⇔（x1 y1)平行（ｘ２　ｙ２）（一方が０ベクトルの時を含む）

とありましたが
ｘ１ｙ２−ｘ２ｙ１＝０・・?@
⇔（x1 y1)平行（ｘ２　ｙ２）（一方が０ベクトルの時を含む）
の一番簡単でごまかしの無い証明法を教えてください。
ｙ１ｙ２≠０のとき?@の両辺をｙ１ｙ２で割って〜
ｙ１ｙ２＝０のとき〜

などとも考えてはみましたが上手く行きませんでした

どなたかよろしくおねがいします
No.17692 - 2012/06/02(Sat) 20:38:42
☆ Re: / X
(i)y[1]y[2]≠0のとき
証明方針に問題はないようなので省略します。
(ii)y[1]y[2]=0のとき
細かい場合分けが必要ですが、
x[1]y[2]-y[2]x[1]=0
と連立させると、どの場合分けについても
↑a=0、↑b=↑0のいずれかが成立します。
(但し↑a=(x[1],y[1]),↑b=(x[2],y[2]))
後は例えば↑a=↑0とすると
↑a=0・↑b
ということで
↑a//↑b
が成立します。
No.17704 - 2012/06/03(Sun) 09:22:15
☆ Re: / ITVISION
> 一般に行列B＝(（x1 x2)(x2 y2))(例((a b)(c d))の行列式はad-bc))について
> B^-1が存在しない
> ⇔ｘ１ｙ２−ｘ２ｙ２＝０
> ⇔（x1 y1)平行（ｘ２　ｙ２）（一方が０ベクトルの時を含む）
>
> とありましたが
> ｘ１ｙ２−ｘ２ｙ１＝０・・?@
> ⇔（x1 y1)平行（ｘ２　ｙ２）（一方が０ベクトルの時を含む）

DJ１さん、記入ミスがいくつかあるようです。
まず問題や模範解答を正確に転記されることが重要だと思います。（まれにはテキストに誤植があることもありますが）
No.17705 - 2012/06/03(Sun) 09:25:59
☆ Re: / DJ1
確かにB＝(（x1 ｙ１)(x2 y2))
でした、申し訳ありません。

y[1]y[2]=0のとき
細かい場合分けが必要ですが、
x[1]y[2]-y[2]x[1]=0
と連立させると、どの場合分けについても
↑a=0、↑b=↑0のいずれかが成立
について、
どういう場合わけをし、どのように連立させたのか知りたいです。

x[1]y[2]-y[2]x[1]=0はこれであっているのでしょうか？
x[1]y[2]-ｘ[2]ｙ[1]=0でしょうか？
No.17707 - 2012/06/03(Sun) 09:59:35
☆ Re: / X
y[1]y[2]=0のとき
次の二つに場合分けされます。
(i)y[1]=0のとき
(ii)y[2]=0のとき
(i)について
x[1]y[2]-x[2]y[1]=0
より
x[1]y[2]=0
よって更にここから
(I)x[1]=0のとき
(II)y[2]=0のとき
に場合分けされます。
(ii)についても同様です。

それと、ごめんなさい。(II)の場合は↑e=(1,0)としたとき
↑a//↑e,↑b//↑e
が証明できることから
↑a//↑b
が成立する、という手順をふみます。
No.17716 - 2012/06/03(Sun) 19:02:25
★ (No Subject) / DJ１
limlf(x)l=1⇒limf(x)=1がなりたたないようなｆ（ｘ）の例を教えてください。
No.17691 - 2012/06/02(Sat) 19:45:06
☆ Re: / ＿
f(x)=-1

なお、lf(x)lというのは|f(x)|の意味であると勝手に解釈しました。
No.17694 - 2012/06/02(Sat) 21:19:12
☆ Re: / DJ1
あちゃーどこに近づけるかが抜けてました

lim(x→a)lf(x)l=1⇒lim(x→a)f(x)=1がなりたたないようなｆ（ｘ）の例を教えてください。

再度すみません。。
No.17695 - 2012/06/02(Sat) 21:44:07
☆ Re: / ＿
私の挙げた例ではxが何に近づこうが同じことです。なので別段そこには触れなかったのですが、きちんと私の書き込みを読んでからのコメントでしょうか？
No.17697 - 2012/06/02(Sat) 22:37:43
☆ Re: / DJ1
回等ありがとうございます。ｆ（ｘ）が定数関数でない例はありますでしょうか？
No.17706 - 2012/06/03(Sun) 09:53:04
☆ Re: / ＿
f(x)=-1 (x≠a+1) , 0 (x=a+1)
なんて言ってみたり…
No.17710 - 2012/06/03(Sun) 12:39:50
★ 定積分 / 999
高校２年生です。以下の積分の答えがわかりません。

∫[from π/2 to 0] cos^2{(π/2)cosθ}/sinθ

どなたか解き方を教えて下さい。お願いします。
No.17687 - 2012/06/02(Sat) 17:25:49
☆ Re: 定積分 / X
この定積分の被積分関数である
f(θ)={{cos{(π/2)cosθ}}^2}/sinθ
は積分範囲の端点であるθ=0では定義されません。
無論積分自体は定義できますが、明らかに高校で学ぶ
数学の範囲を超えています。
今、解法のみを中途半端に知るよりも
高校で学ぶ数学を全て理解してから再び取り組まれる
ことをお勧めします。
No.17690 - 2012/06/02(Sat) 18:50:58
★ 場合の数 / shun
男子3人、女子3人がいる。このとき、女子のうち2人だけが隣り合うように円周上に並ぶ並び方は何通りあるか。

どなたか解き方を教えて下さい。お願いします、
No.17682 - 2012/06/02(Sat) 10:47:38
☆ Re: 場合の数 / X
隣り合う２人の女子とこの１組の女子に隣り合う２人の
男子の合わせて４人で作る列の数は
(3P2)(3P2)=36[通り]
後はこの４人一組を１人と考えて、残りの２人と合わせた
３人で作る円順列を考えればよいので
36・(3-1)!=72[通り]
No.17683 - 2012/06/02(Sat) 11:45:39
☆ Re: 場合の数 / ITVISION
（別解）
隣り合う２人の女子の先頭をＡとし時計回りにＡＢＣＤＥＦと考えると
Ｆ（男子）　３通り
Ａ（女子）　３通り
Ｂ（女子）　２通り
Ｃ（男子）　２通り
Ｄ（男女）　２通り
Ｅ（男女）　１通り（残り）

３×３×２×２×２＝72通り

応用性は、Ｘさんの方法が優れていると思いますが、参考までにＵＰします。
No.17684 - 2012/06/02(Sat) 12:49:16
★ 論理 / DJ
関数ｆ(x)=√（x^2+x+1)について
lim(x→a)ｆ（ｘ）/(x-a)＝ｂ⇔f(a)=0かつｆ'(a)=0の証明
lim(ｘ→a)(x-a)=0,lim(x→a)f(x)=f(a)
ここでf(a)≠０と仮定するとlim(x→a)lf(x)/(x-a)l=∞より
ｂが有限値であることに矛盾。よってｆ（a)=0であることが必要。（必要条件）
このとき
lim(x→a)ｆ（ｘ）/(x-a)＝lim(x→a)(ｆ（ｘ）-f(a))/(x-a)=f'(a)よりｆ’（a)=b(十分性）

これでなぜ必要十分になるのか分かりません。
今回示す事は簡単に言えばA⇔「BかつC」を示すことで
Aならば「BかつC」、「BかつC」ならばA
の二つを示せば良さそうですが

この解答ではAならばBを示しただけで必要条件と書いてあったり、Bを利用してBを示しただけで（十分性（十分条件も満たされた））とかかれてあったり、どういう構造の証明なのかさっぱり分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします
No.17676 - 2012/06/01(Fri) 21:24:11
☆ Re: 論理 / ast
恐らく略解なので, 明らかな部分までいちいち事細かくは書いてないということでしょう.

> かつｆ'(a)=0の
は「かつf'(a)=bの」の書き間違いでしょうか. 「(B かつ C) ならば B」はもちろん成り立つので, 「A ならば (B かつ C)」のとき「A ならば B」も成り立ちますから, B であることは A であるための必要条件の一つです. もちろん C であることも必要ですが, 今の場合「A のとき B ならば C」も成り立つことは明らかですし, それと同じことが十分性の証明中にも等式の中に使われていますが, 略解としては取り立てて述べずとも問題ないということで省略してあるのでしょう(むしろ f'(a)=b の式のところまでが必要性の議論で, f'(a)=b の式には必要性の議論の最後の部分と十分性の議論も両方の意味合いがあると言ったほうがすっきりする気がしますが, これはあとで述べます).

> Bを利用してBを示しただけで
ちょっと意味不明ですが, これが「C を利用して A を示しただけで」の間違いなのだとすると, 「このとき」という論理的に意味を持つ語句を読み飛ばしてしまっただけなのだと思われます. これは「B のとき」のことなので, 「B のとき C ならば」は「(B かつ C) のとき」と論理的に等価であることを知れば十分でしょう.

----
少し見方を変えると, いま A のとき B であることが証明で述べられていますから, このとき一般論として A ⇔(A かつ B) です. 故に問題を (A かつ B)⇔(C かつ B) を示す問題とみなすことができます. これは「B のとき(大前提), A ⇔ C を示せ」という問題と論理的に等価です (ご提示の略解はむしろこの形に書いた問題の解答と考えるほうが近いと思います) が, B という条件の下で, A ⇔ C は f'(a) の定義そのものです(つまり, A の極限が有限な値として存在するとき, その値を微分係数 f'(a) と呼ぶのでした) から, ここに議論すべきことは存在しないことになります.
No.17677 - 2012/06/01(Fri) 22:10:11
☆ Re: 論理 / DJ
回答ありがとうございます。f'(a)=bの書き間違いでした

略解ではないはずです。

AのときBならばCなどがAのとき、BならばCなのか「AのときB」ならばCのどちらを言っているのか分かりません。
〜のとき、ってのは「ならば」の意味でいいのですよね
No.17678 - 2012/06/01(Fri) 22:22:03
☆ Re: 論理 / ast
> 略解ではないはずです。

ご自身でも
> 今回示す事は簡単に言えばA⇔「BかつC」を示すことで
> Aならば「BかつC」、「BかつC」ならばA
> の二つを示せば良さそうですが
と仰ってるとおり, きちんとした模範解答ならその通りにきちんと書きますから, どう見ても略解(そして略解としては十分細かい)ですが……. 何かほかの理由で, 間違いなく完全解答として書いているということがはっきりしているであれば, そのテキストは入門者が読むには質が悪いのですぐに捨てるべきです. あるいは根拠もなく模範解答のはずだと思い込んだということであれば, そのテキストはあなたには適当でないので, 一旦もっとちゃんと入門者用に書かれたテキストを求められたほうがよろしいように思います.

> どちらを言っているのか分かりません。
どっちでも一緒です.
No.17679 - 2012/06/01(Fri) 22:42:22
☆ Re: 論理 / DJ
回答ありがとうございます、まだよく分からないのでいっそのこと略解でない解答をお願いします
No.17681 - 2012/06/02(Sat) 08:07:45
☆ Re: 論理 / angel
なんというか、f(a)=0 となる a が存在しないので、問題としてものすごく気持ち悪いのですが…
素直に→(必要)と←(十分)をそれぞれ説明すれば良いのでは。
--
　lim[x→a] f(x)/(x-a) = b ⇔ f(a)=0 かつ f'(a)=b を以下に示す。
　※前提として f(x) は連続

(1)→
　lim[x→a] f(x)/(x-a) = b が成立した場合、
　lim[x→a] x-a = 0 であるため、lim[x→a] (x-a)・f(x)/(x-a) = 0・b = 0
　一方 lim[x→a] f(x)=f(a) よって、f(a)=0 が成立する
　加えて、f(x)/(x-a) = ( f(x)-f(a) )/(x-a) となるため
　lim[x→a] ( f(x)-f(a) )/(x-a) = b
　これは f'(a)=b であることを示す。
　よって、f(a)=0 かつ f'(a)=b が示された
(2)←
　f(a)=0 かつ f'(a)=b が成立する場合
　微分の定義より明らかに lim[x→a] ( f(x)-f(a) )/(x-a) = b
　また、f(a)=0 より ( f(x)-f(a) )/(x-a) = f(x)/(x-a)
　よって lim[x→a] f(x)/(x-a) = b が成立する

以上(1),(2)より題意が示された
No.17689 - 2012/06/02(Sat) 18:29:58
☆ Re: 論理 / DJ
すみません
ｆ（ｘ）＝√（ｘ＾２＋ｘ＋１）ーｘでした
No.17693 - 2012/06/02(Sat) 21:02:55
★ 文系高１ / ヨシオ
文系です。数学(IAIIB)の問題が分かりません。
xy平面上において不等式2x^2＋3xy-2y^2-5x-10y≦0で表される領域をＤとする。
(1)Ｄを図示せよ

(2)y軸上の点A(0,a)(aは正の定数)を中心とする半径rの円をＣとする。ＣがＤに含まれるようなrの最大値をaを用いて表せ。
(1)は良いとして
(2)がよくわかりません。
この問題は先日受けた河合記述模試のもので、解答冊子を見ると、「円Ｃの中心Aと直線l：y=1/2xとの距離をd1
同じく直線m:y=2x-5との距離をd2とし、円ＣがＤに含まれるようなrの最大値は、d1とd2の大きくない方である」とあるのですがこの解答に少し違和感があります。
私はとりあえず以下のように考えました。
<考え方>
?@円ＣがＤに含まれるためにはどうすればよいか？
?A?@をふまえた上でrの最大値を探る
また便宜上領域Ｄを上と下でそれぞれD1、D2としておきます。
d1=2a/√5
d2=(a＋5)/√5
ここで、?@が成り立つ条件はd1≧rかつd2≧rであればよい。
※d1≧rかつd2≧rについて
a:d1=rかつd2=rのとき⇒直線lとmと円Ｃが接する
b:d1>rかつd2>rのとき⇒円ＣがD1の内側にある
c:d1>rかつd2=rのとき⇒円ＣはD1においてlから離れたところにあり、mと接している
d:d1=rかつd2>rのとき⇒円CはD1においてmから離れたところにあり、lと接している
以上a~dを満たしていれば円Ｃが領域Ｄからはみでることはないので円Ｃが領域Ｄに含まれるための条件はd1≧rかつd2≧rとなる。
次にこの条件下で?Aを考えると
2a/√5≧rかつ(a＋5)/√5≧r・・・(A)
(i)2a/√5>(a＋5)/√5のとき つまりa>5のとき
(A)の共通範囲はr≦(a＋5)/√5
よって、a>5のときrの最大値は(a＋5)/√5
(ii)2a/√5<(a＋5)/√5のとき、つまり0<a<5のとき
(A)の共通範囲はr≦2a/√5
(iii)2a/√5=(a＋5)/√5 つまり、a=5のとき
(A)の共通範囲(部分?)はr=10/√5
(iii)の場合は(i)、(ii)のどちらかに含めればよいので
したがって以上より、a≧5のときrの最大値(a＋5)/√5
0<a<5のときrの最大値2a/√5

解答には0<a≦5のとき最大値2a/√5
a≧5のとき最大値(a＋5)/√5
とあります。
試験中すごく悩んで上記のような答案を作成したのに、解答をみると点と直線の距離の公式つかってd1,d2の大小で場合分けして、はい終了という感じでショックです。
どうして考え方?@の部分が解答に言及されていないんでしょうか。
あたかも最初から円Ｃが領域Ｄに含まれている前提で考えているように思えます。
また、自分の解答にはどこか穴があると思うのですが配点25点中3~5点くらいはいただけるでしょうか。
以上、自分の解答と冊子の解答の違いについて教えてください。お願いします。
No.17673 - 2012/06/01(Fri) 15:24:10
☆ Re: 文系高１ / ヨッシー
別に穴があるようには見えません。
配点２５点なら、別に２５点上げても良いと思います。
全体的に、やや冗長（例えば、Ｄ１，Ｄ２ に分ける必要もなく、
その後も使われていない　など）ではありますが。

>あたかも最初から円Ｃが領域Ｄに含まれている前提
ですが、そういう前提と考えて差し支えありません。
中心(0,a) は、（上で言うところの）Ｄ１に含まれるので、
半径が十分小さければ、円ＣはＤに含まれます。
あとは、どちらかの直線に触れるまでｒを大きくしていけば良いだけです。

もしなんなら、
>円Ｃが領域Ｄに含まれるための条件はd1≧rかつd2≧rとなる。
のあとに、
「つまり、rの最大値は、d1とd2の大きくない方である」と書けば、
解答冊子の流れに乗っかることが出来ますね。
No.17675 - 2012/06/01(Fri) 17:28:48
★ 次のベクトル解析の問題を教えてください / now
ベクトル解析の問題です。
(1)球面上で極座標がパラメーター0≦t≦πにより
r=1 θ=sint ψ=t
で与えられる曲線の長さを求めよ。

(2)二つのパラメーター0≦ρ≦1、0≦ψ≦2πで与えられる曲面：
x=ρcosψ y=ρsinψ z=ρ^2
の面積を求めよ。

(1)、(2)ともに３つの式が出てきて、どの公式に当てはめればよいのか分かりません。
もしよろしければ解き方を教えてください。
No.17671 - 2012/05/31(Thu) 18:38:50
☆ Re: 次のベクトル解析の問題を教えてください / ヨッシー
(1)
　Ｌ＝∫[0〜π]√{(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2＋(dz/dt)^2}dt
を目指して、変形します。

(2)
ψ＝０ で固定してみると、ｙ＝０ のｚｘ平面上に
　ｚ＝ｘ^2　(0≦ｘ≦1)
が描けます。これをｚ軸回りに360°回転したものが、
対象の曲面となります。
No.17672 - 2012/06/01(Fri) 06:54:16
★ ルート2が無理数であるというこの証明です / math

証明
ルート2を分数であると仮定する。
ルート2＝ｐ/ｑ（ｐ，ｑは自然数）とおくと，
両辺を2乗して2＝（ｐ/ｑ）＾2＝ｐ＾2/ｑ＾2
分母を払って，2ｑ＾2＝ｐ＾2
ここで，ｐ＾2は指数が偶数であるため，平方数であるが，
2ｑ＾2は素因数2の指数が1と奇数であるので，平方数ではない。
よって，仮定に矛盾するため，ルート2は分数で表わすことができない。
この証明は，正しいか正しくないか意見を求めます。
No.17669 - 2012/05/31(Thu) 14:02:56
☆ Re: ルート2が無理数であるというこの証明です / らすかる
正しくありません。

> ルート2を分数であると仮定する。
例えば「√8/2」も「分数」ですから、
「分数」と仮定してもp/qとはおけません。

> 2ｑ＾2は素因数2の指数が1と奇数であるので
2q^2の素因数2の指数は1とは限りません。
3かも知れませんし、5かも知れません。
奇数であることには間違いないですが。
No.17670 - 2012/05/31(Thu) 14:24:25
★ 算数オリンピックの問題です / rio
1から99のカードが1枚ずつとA、B2つの箱がある。
箱にカードを2枚入れると、新しいカードが1枚出てくる。
A：小さい順に並べたものが出てくる。12と13なら1213
B：大きい順に並べたものが出てくる。12と13なら1312
新しいカードを再度投入できる。
（１）Bのみで作れない4けたの整数は何通りか
（２）A,Bの一方または両方で作れない整数は何通りか
答え
（１）1683通り
（２）270通り

作れなそうなもの「全部おなじ数字」などを挙げて数えるしかないのでしょうか？計算で出せないですか？
No.17663 - 2012/05/28(Mon) 19:58:30
☆ Re: 算数オリンピックの問題です / ハオ
興味で解きましたのでもっと良い解説があるかもしれません。
そしてかなり感覚的（実験的）です。数学としてこれでいいのかと悩み証明を付けようかと思いましたが
今の僕の技量では証明は少し難しいです。
まず(1)についてです。
そもそも、Bの箱に入れて作れない4桁の整数なんてそうそうあるのか悩みました。
例えば、何となく作れなそうな1234も最初に12のカードと3のカードを入れる。
すると123が出てくる。123のカードと4のカードを入れる、これで1234が作れます。
え、これ作れない4桁って特殊すぎる。0を起点に考えようって考えました。
４桁を1000*a+100*b+10*c+dって置くと、c=0の時って絶対作れないと気づきます。
カードは2桁までしかありませんから。
c=0となる4桁の数はaが9通りbが10通りdが10通りで9*10*10=900個---?@
0を起点に考えて、b=0の時さらにa=cの時は絶対作れません。
a=cに入る数は9通りdは0〜9まで10通りで9*10=90個---?A
またb=0の時さらにa＜cの時も作れないと、思いきや例えば2031等は作れます。
例えば20のカードと3のカードを入れて203を取り出し203のカードと1のカードを入れて2031です。
ここで思うのは、じゃあもしこれcとdが同じだったら作れないという事です。
という事でa＜cで更にc=dの時は(1+2+3+・・8)*10=360個---?B
次にdが0の時は必ず10*c+dという二桁の数でなければなりません。
だから作れない数はa＜cの時で36通り(９個の数字から2つ選んで大きいものにc,小さいものにaと
名前をつけてやればこの選び方は9C2）でbは０以外で9通り(これはb=0の時は先ほど考えているから)
36*9=324通り---?C
そして、rioさんがおっしゃる通り全て同じ数の時で9通り---?D
?@〜?Dを全部足して1683通りです。

この方法だととても厳密ではなく理論がすきだらけな気がして自分の力の無さを痛感致します。
算数オリンピックという事でもっとエレガントな解き方があると思いますが何かの足しになればと考え
投稿到しました。
No.17665 - 2012/05/28(Mon) 23:37:41
☆ Re: 算数オリンピックの問題です / ハオ
次に(2)です。(2)でも感覚的になってしまいました。
今(2)はA,Bの一方または両方で作れない４桁の整数です。という事で(1)を利用して
(1)で作れない整数の中でAを使っても作れない４桁の整数の個数を考えます。
つまり、(1)で作れない整数の中でAを使って作れる4桁の整数を引いていきます。
一番不安なのが↑の考えです。(1)で作れない整数の中でAを使っても作れない４桁の整数の個数
が(2)の個数と一致するかは集合で証明するべきなのでしょうが、自信がありません。
如何に少しだけ書いておきます。
４桁の整数全体の集合をUとし、Aを使って出来ない4桁の整数の集合をA,Bを使って出来ない整数の集合をBと置く。
この時、求める(2)はA∩Bで
A∩B=A+B-A∪B
=B-{(A∪B)-A}
でB-{(A∪B)-A}は即ち(1)から(1)で作れない整数の中でAを使って作れる4桁の整数を引いていたもの。

(1)を解く時に求めた?B、?Cの個数はAを使って作ることができます。何故なら条件にa＜cを用いたからです。
よって684個---?Eは作れます。
では、?@の個数の内、作る事の出来る整数の個数は
a b 0 dとあった時に三桁a b 0はひと桁のカードaと二桁のカードb 0を使いカードa以外の一桁のカードdを
使って作れます。
その個数 9*9*8=648個---?F
?Aの個数の内Aを使って作る事の出来る個数は9*9=81個---?Gです。
これは例えば7079,7078,7077,7077,7076,7075,7074,7073,7072,7071は作れますが7070は作れない事を考えれば
a=cが1〜9でdも1〜9の時は作れるので9*9になります。
?Dはどう足掻いても作れないのでAを使って作れる個数は0---?Hです。

1683から?E〜?Hまでの和を引いて
1683-(684+648+81+0)=270通りです。
No.17666 - 2012/05/29(Tue) 00:48:41
☆ Re: 算数オリンピックの問題です / ハオ
>作れなそうなもの「全部おなじ数字」などを挙げて数えるしかないのでしょうか？計算で出せないですか？

とありますが、僕のやり方では計算を少しばかり用いていますが結局は「作れなさそうなもの」を挙げていく方針になってしまいました。
僕の議論の進め方が非常に論理に乏しいので他の方からご指摘を頂くと思います。
No.17667 - 2012/05/29(Tue) 00:53:38
☆ Re: 算数オリンピックの問題です / angel
あんまり上手い方法が思い浮かばないので、地道に数え上げることにします。
そこで着目すべきは 0 の扱いです。
二数を連結して新しい数を作る以上、00 という連続した 0 は存在しえません。最上位に 0 が来る数がないからです。
※ 50 + 07 ⇒ 5007 みたいなことができない

さて、(1) では多分「どういう数なら作れるか」に着目した方が数え上げるのは楽です。どの桁に0が来るかでパターンわけしてみますと、
　a0c0, a0cd, abc0, abcd
の4パターンです。
ただし、そのままでは数えにくいパターンがあります。
例えば a0cd ですが、c≠d ならば、a0 + c ⇒ a0c, a0c + d ⇒ a0cd と楽に作れますが、c=d ではそうはいきません。c という一桁の数は一度しか使えませんから、代わりの手段として a0 + cd(=cc) ⇒ a0cd ができるかどうかチェックする必要があります。そういった観点で条件を精査すると、

　a0c0
　　A0C0: A0+C0　: A＞C　　: 9C2 = 36通り
　a0cd
　　a0CD: A0+C+D : 無条件 : 9P2×9 = 648通り
　　a0CC: A0+CC　: A＞C　　: 9C2 = 36通り
　abc0　: ab+c0　: a≧c　　: 9H2×9 = 405通り
　abcd
　　abCD: ab+C+D : 無条件 : 9P2×9×9 = 5832通り
　　AbCC: Ab+CC　: A＞C　　: 9C2×9 = 324通り
　　ABAA: AB+AA　: B＞A　　: 9C2 = 36通り

と、これだけのパターンで計7317通りあることが分かります。なので答えは、9000-7317=1683通り。
なお、この見方ですが、左からパターン、作り方、a〜dの条件、何通りかを表のようにしていることに注意してください。また、a,b のような小文字は他の桁と関係なく決めて良い所、A,B のような大文字は異なる文字同士が異なる数になることを表しています。( 例えば ABAA は 7977 のようなパターンを表す )
No.17685 - 2012/06/02(Sat) 17:14:49
☆ Re: 算数オリンピックの問題です / angel
さて、上では「どのような数なら作れるか」に着目して数えましたが、(2) のことを考えると、やはり「どのような数が作れないか」を整理した方がやりやすいようです。
なので、上のは参考としてください。改めて数えなおしましょう。 ( 答え合わせには良いかも )

(1)
改めて、どのような数が作れないかパターンを挙げてみます。
※今回は「作れない」ため、作り方の欄はナシです。

　a000　: 無条件 : 9通り
　a00d　: 無条件 : 9×9 = 81通り
　a0c0　: a≦c　　: 9H2 = 45通り
　ab00　: 無条件 : 9×9 = 81通り
　a0cd
　　a0CC: a≦C　　: 9H2 = 45通り
　ab0d　: 無条件 : 9×9×9 = 729通り
　abc0　: a＜c　　: 9C2×9 = 324通り
　abcd
　　AbAA: b≦A　　: 9H2 = 45通り
　　AbCC: A＜C　　: 9C2×9 = 324通り

ということで、めでたく計1683通り、前回の結果ともちゃんと一致しています。
ちなみに説明を端折りましたが、ab0d のパターンは無条件で「作れない」となります。なぜなら 0 が入る関係上 b0 という数を使うことになるのですが、これに一桁の a,d をどうくっつけても、b が最上位に来てしまうからです。
No.17686 - 2012/06/02(Sat) 17:25:45
☆ Re: 算数オリンピックの問題です / angel
では(2)です。
(1)で整理した「(箱Bのみでは)作れない」数が、箱Aも参加させることでどう変わるか、そこに着目します。

そうすると例えば、a0c0 のパターンは a,c の大小関係で作れるかどうかが決まっていましたが…
※ 7050 なら 70+50 ( 箱B )⇒7050 だが、5070 は作れない
箱Aも使えると、グっと制約が小さくなります。
70+50(箱B)⇒7050, 70+50(箱A)⇒5070 どちらもイけますから。唯一困るのは 5050 のような同じ数の繰り返し。同じ数は一度しか使えませんから、これは作れません。

そういった観点で整理すると…
※なお、いずれにしても 0が連続する数はやっぱり作れない

　a000　: 無条件　 : 9通り
　a00d　: 無条件　 : 9×9 = 81通り
　a0c0
　　A0A0: 無条件　 : 9通り
　ab00　: 無条件　 : 9×9 = 81通り
　a0cd　: 該当なし : 0通り
　ab0d
　　Ab0A: 無条件　 : 9×9 = 81通り
　abc0　: 該当なし : 0通り
　abcd
　　AAAA: 無条件　 : 9通り

ということで、計270通りです。箱A,B両方が使えると色々作れることがわかります。
(1)からどう変わったかもうちょっと補足すると…
例えば a0cd のパターンだと、a0＞cd なら a0+cd(箱B)⇒a0cd、a0＜cd なら a0+cd(箱A)⇒a0cd いずれにせよ必ず「作れる」ので「該当なし」となります。
他には ab0d のパターンなら、a≠d であれば a+b0(箱A)⇒ab0, ab0+d(箱B)⇒ab0d で作れるけれど、唯一 a=d のパターンは作れない、とか。同じ数が一度しか使えないってのが重要ですね。
No.17688 - 2012/06/02(Sat) 17:47:00
☆ Re: 算数オリンピックの問題です / rio
ありがとうございました！やはり小学生向けということで、大変そうですね。私の考えた方針と違う解法をいただけて助かりました。
No.17700 - 2012/06/02(Sat) 23:28:32
★ 指数対数 / メーヤ
学校の数学の問題です。
わかりません。
教えてください。

log x*2(x+2) ＜ 1
です。
No.17659 - 2012/05/27(Sun) 23:04:05
☆ Re: 指数対数 / X
問題の不等式を
log[x]{2(x+2)}＜1
と解釈して回答を。

底の範囲により場合分けします。
(i)0＜x＜1のとき
問題の不等式の対数を外すと
2(x+2)＞x
∴…
(i)1＜xのとき
問題の不等式の対数を外すと
2(x+2)＜x
∴…
No.17660 - 2012/05/27(Sun) 23:34:18
★ 導関数(数II) / Xex
f(x)=x^3-ax^2-2x-ax+2a
f'(x)=3x^2-2ax-2-a
aの値によらずf(x)が極値を持つことを示せ。

この問題を解くには判別式を使うことが分かっていますが、なぜ「2次式の導関数の判別式で異なる2つの実数解が出る(判別式が常に正)」を出せば示したことになるのかがわかりません。どなたか教えてください。
No.17657 - 2012/05/27(Sun) 21:37:31
☆ Re: 導関数(数II) / シャロン
f'(x)=0の判別式が正なので、
f'(x)=0は異なる実数α、β(α＜β)を解に持つ。

また、x=αの前後ではf'(x)の符号が正から負に変わり、f(x)は増加から減少に移り変わる。

つまり、f(α)はx=αの近くの範囲で最大、つまりf(x)はx=αで極大。

同様に、βの前後でf(x)は減少から増加に移り変わるため、f(x)はx=βで極小となる。
No.17658 - 2012/05/27(Sun) 22:34:37
☆ Re: 導関数(数II) / Xex
解決しました
回答ありがとうございます
No.17664 - 2012/05/28(Mon) 22:07:11
★ 三角関数 / shun
aを正の定数とする。f(θ)=asinθ＋cosθの0≦θ≦π/2における最大値、最小値を求めよ。

解き方を教えて下さい。お願いします。
No.17650 - 2012/05/26(Sat) 22:39:20
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
cosα＝a/√(a^2＋1)、sinα＝1/√(a^2＋1) となる角をαとすると、
　f(θ)＝√(a^2＋1)sin(θ＋α)
ここで、ａ＞０ なので、０＜α＜π/2 であり、
θ＋α は、上記の範囲のある角度αとα＋π/2 の間の値を
とります。

最大値は　θ＝π/2−α のとき、ｆ(θ)＝√(a^2＋1)
最小値は、
　０＜α＜π/4 のとき、つまり　ａ＞１ のとき
　θ＝０　のとき　f(0)＝１　が最小
　π/4≦α＜π/2 のとき つまり　０＜ａ≦１ のとき
　θ＝π/2 のとき、ｆ(π/2)＝ａ が最小
No.17651 - 2012/05/26(Sat) 23:01:16
☆ Re: 三角関数 / shun
ありがとうございます。
No.17668 - 2012/05/29(Tue) 08:01:04
★ 中点連結定理 / rio
添付の問題の証明なのですが、中学レベルの中点連結定理で証明できそうですがわかりません。よろしくお願いいたします。
No.17649 - 2012/05/26(Sat) 22:37:43
☆ Re: 中点連結定理 / ヨッシー
ベクトルを使えば、すぐですが、あえて、中学レベルで
解こうというご質問でしょうか？
No.17653 - 2012/05/26(Sat) 23:09:35
☆ Re: 中点連結定理 / rio
ありがとうございます。そうです。中学生向けの説明を考えています。
No.17654 - 2012/05/27(Sun) 00:48:35
☆ Re: 中点連結定理 / ヨッシー
描画の都合上ＰＱとＲＳは消しています。

ＡＢ’の中点をＴ、ＤＣ’の中点をＵとすると、
中点連結定理より
ＱＴとＲＵは、平行かつ同じ長さ
ＴＰとＵＳは、平行かつ同じ長さ
より、ＱＴＵＲ、ＰＴＵＳはともに平行四辺形となり(以下略)
No.17655 - 2012/05/27(Sun) 08:12:45
☆ Re: 中点連結定理 / rio
詳細な図も含めありがとうございました。理解できました。なんとも発想が難しいですね。すごいと思います。
No.17656 - 2012/05/27(Sun) 19:51:44
☆ Re: 中点連結定理 / ヨッシー
平行四辺形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’は任意なので、
ＡＤを固定してＡ’Ｄ’を平行移動させても、ＰＳの向きと
長さは変わらない

と考え、
ＡＤとＡ’Ｄ’，ＡＤとＢ’Ｃ’で調べて、次にＢ’Ｃ’を固定して
Ｂ’Ｃ’とＡＤ、Ｂ’Ｃ’とＢＣで調べようと思って、
ＡＤ、Ａ’Ｄ’、Ｂ’Ｃ’の図を描いていたら、ひらめきました。
No.17662 - 2012/05/28(Mon) 09:27:01
★ 偶数項と奇数項に分けて極限をとることについて / 近藤（高３）
例えば、a_n={1-(-1)^n}/2nの極限値を求める場合，次のように偶数項と奇数項に分けて考えました。

偶数項は全ての偶数項は０になります。
奇数項は分子が２で分母が増えていくので極限は２/∞となりやはり０に収束。

よって、偶数項も奇数項も共に０に収束するので、a_nは０に収束する。

この考え方はよいですか？自分で言うのもなんですが、極限を求めるのに、偶数項と奇数項に分けて極限を取ったのでダメな気もします。

つまり偶数項と奇数項でそれぞれ極限をとって一致（例えばαに収束）したら、その数列の極限はαになるんですか？
No.17645 - 2012/05/25(Fri) 22:40:14
☆ Re: 偶数項と奇数項に分けて極限をとることについて / シャロン
直接的ではないですが、

すべてのnについて
0≦{1-(-1)^n}/2n≦2/2n=1/n
がいえて、1/n→0から、挟み撃ちの原理でa[n]→0とすればよいかとおもいます。
No.17646 - 2012/05/25(Fri) 23:15:56
☆ Re: 偶数項と奇数項に分けて極限をとることについて / 近藤（高３）
模範解答はそうなっていました。ありがとうございます。

僕の解答は、このように偶数項と奇数項に分けたのですが、この解答は正しいのでしょうか？
No.17647 - 2012/05/25(Fri) 23:21:34
☆ Re: 偶数項と奇数項に分けて極限をとることについて / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
> 僕の解答は、このように偶数項と奇数項に分けたのですが、この解答は正しいのでしょうか？
下記の点を除き正しいと思います。

>奇数項は分子が２で分母が増えていくので極限は２/∞となりやはり０に収束。

「分母が増えていくので」・・・という表現は、不十分です。
例えば、2　−　（1/2)^n　が分母の場合、増えては行きますが、分母 ＜　2　で　分母の極限値は２です。

>つまり偶数項と奇数項でそれぞれ極限をとって一致（例えばαに収束）したら、その数列の極限はαになるんですか？

そうなります。厳密にはε-Ｎ方式によります。
No.17648 - 2012/05/25(Fri) 23:35:45
★ (No Subject) / ktdg
lim(n→∞)n^p/r^n=0(p=1,2,,,、r>1)の証明の仕方を教えてください。
No.17643 - 2012/05/24(Thu) 21:55:21
☆ Re: / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
括弧の対応が間違っているかも知れませんご容赦を。

r＞1なので、r=1+h (h>0)とおける。

n ＞ 2ｐのときを考えれば良い。
( n ≧ p+1　でいいですが後の計算が分りやすいので　n ＞ 2ｐとします）
2項定理により
r^n = (1+h)^n = Σ[k=0〜n](nＣk)h^k ＞{ nＣ(p+1)}h^(p+1)
　　=　（（n(n-1)(n-2)…(n-p)）/（p+1)!）(h^(p+1))
よって
0 ＜ (n^p)／(r^n) ＜ ((n^p)（p+1)!)／(n(n-1)(n-2)…(n-p)(h^(p+1))
　　　　　　　　　＝　（p+1)!／(n(1-(1/n))(1-(2/n))…(1-(p/n))(h^(p+1))
　　　　　　　　　＝　（p+1)!/(h^(p+1))（1／n）(1/((1-1/n)(1-2/n)…(1-(p/n))
　　　　　　　　　＜　（p+1)!/(h^(p+1))（1／n）(1/((1-p/n)(1-p/n)…(1-(p/n))
　　　　　　　　　＜　（p+1)!/(h^(p+1))（1／n）(1/((1-1/2)(1-1/2)…(1-(1/2))
　　　　　　　　　＝ （p+1)!/(h^(p+1))（1／n）(1/(1/2)^p)
　　　　　　　　　＝ (((p+1)!(2^p))/(h^(p+1)))（1／n）
後は分かりますよね。
No.17644 - 2012/05/25(Fri) 21:41:46
☆ Re: / ktdg
ありがとうございます。
No.17661 - 2012/05/28(Mon) 02:01:21
★ 三角比　空間図形への応用 / まゆ
四面体ABCDにおいて、AB=AC=AD=3、BC=CD=DB=√3のとき、その体積を求めよ。
という問題で、
解答を見てもなぜその式になるのかわからないので解説お願いします。

〜解答〜
BCの中点をMとすると
　AM=√(AB^2-BM^2)
　　=√{3^2-(√3/2)^2}
　　=√33/2
　DM=BDsin60°=√3*√3/2=3/2
△AMDにおいて、余弦定理により
　cos∠AMD=(AM^2+DM^2-AD^2)/(2AM*DM)
　　　　　={(√33/2)^2+(3/2^2)-3^2}/(2*√33/2*3/2)
　　　　　=1/√33
0°<∠AMD<180°であるから　sin∠AMD>0
よって
　sin∠AMD=√(1-cos^2∠AMD)=√{1-(1/√33)^2}
　　　　　=4√2/√33
頂点Aから線分DMに垂線AHを下ろすと
　AH=AMsin∠AMD
　　=√33/2*4√2/√33
　　=2√2
したがって、求める四面体ABCDの体積Vは
　V=1/3△BCD*AH=1/3*(1/2*√3*3/2)*2√2
　 =√6/2
No.17636 - 2012/05/23(Wed) 20:17:19
☆ Re: 三角比　空間図形への応用 / ヨッシー
どの部分がわからないですか？
No.17637 - 2012/05/23(Wed) 22:17:25
☆ Re: 三角比　空間図形への応用 / まゆ
すみません＞＜
解決しました＞＜
No.17638 - 2012/05/24(Thu) 12:07:10
★ 場合の数 / 魔女の宅急便
1,2,3,4,5,6,7の７つの数字から異なる４つの数字を取ってできる４桁の数について、
小さい方から並べて４３４番目にくる数を
４３４＝｛３×（６×５×４）＋３×（５×４）＋３×４＋１｝＋１と表せる事を用いて
求めよ。
解）
４×１０＾３＋５×１０＾２＋６×１０＋２
＝４５６２・・・答え
なのですが

４×１０＾３＋５×１０＾２＋６×１０＋２
がどこから来たのか分かりません。

どなたか分かる方よろしくお願いします。別解は不要です。
No.17632 - 2012/05/22(Tue) 20:25:32
☆ Re: 場合の数 / ハオ
興味本位で解きましたので、考えに間違いがあるかもしれません。思考の参考になれば幸いと考え投稿します。

この問題を見て頭の中に、グルグルとレバーを回すとどんどん数字が変わっていく機械が思い浮かびました。
最小の数は明らかに1,2,3,4です。二番目は？1,2,3,5です。三番目は？1,2,3,6です。
四番目は？1,2,3,7です。五番目は？1,2,4,3です。
こういう風に考えていくと、レバーをグルグル４回、回すと十の位が変わることが分かります。
百の位が変わるのはレバーを何回回したときなんだろうか、気になります。
十の位は3,4,5,6,7と変わり、7以上はないので、7まで変わったら次は百の位が変わると想像が付きます。
よって百の位が変わるのは4*5=20回で変わると分かります。
同様に千の位は20*6=120回レバーをグルグルすると変わります。

434={3*(6*5*4)+3*(5*4)+3*(4)+1}+1
でした。
レバーを434回グルグルすると、千の位は3回変わります。
今、434=120*3+20*3+4*3+2
であるからまず、レバーを434回回すと考えるのではなく120*3回回し、20*3回回し・・・という様に
分けて考えます。（これは千の位、百の位、十の位、一の位を順番に決定していきたいからです）
120*3回回すことで1から2へ　2から3へ　3から4へ３回変化します。よって千の位は4です。
今、120*3回回すことで4,1,2,3となりました。
次に20*3回回します。1から2へ　2から3へ　3から5へ３回変化します。よって百の位は5です。
3から5へ変化したのは4は千の位で使っている為です。こういう理由もあり千の位など高い位から決定していく必要があります。
よって今機械の状態は、4,5,1,2です。
次に4*3回回す事で同様に十の位は6に変化し、機械の状態は4,5,6,1です。
最後に一の位ですが、じつはこのレバーを回すという行為の回数と1〜7までで4つ選んで、小さい順に並べたときの順番は
一致しません。
例えばレバーを２回回すと1,2,3,6ですが小さい順にならべて2番目の数は1,2,3,5です。
これは僕の考え方に甘さがあるのかもしれませんが、何しろ与えられた順番の数だけ回してしまうと
本来求めるべき答えより1だけ多くなってしまいます。
これより最後は2回回すのではなく1回だけレバーを回して一の位は2となります。

よって
千の位は4 百の位は5　十の位は6　一の位は2なので
４×１０＾３＋５×１０＾２＋６×１０＋２
=4562となります。
No.17633 - 2012/05/22(Tue) 22:03:57
☆ Re: 場合の数 / ハオ
と投稿してから気づきましたが、No.17633の考えは別解の気がしてきました。
まぁ不要とありましたが、一生懸命考えたので見てやってください。宜しくお願い致します。
No.17634 - 2012/05/22(Tue) 22:07:39
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
ハオさんの考え方で良いと思います。

レバーを１回回すと、それはもう２番目の数なので、
レバーを回す数は４３３回で良いのです。
これは、
４３４＝｛３×（６×５×４）＋３×（５×４）＋３×４＋１｝＋１
で、１だけ｛　｝から外してあることからもわかります。

ポイントは、１２３４、１２３５と数えて、１２０個目が
１７６５（１０００台の最大）で、１２１個目が２１３４となり、
さらに２４１個目が３１２４，３６１個目が４１２３と、
１２０個ごとに千の位が増えると言うことです。
なぜなら、千の位が１の数は、１以外の、２から７の６個の数から
３つ取って、下３桁に並べた場合の数だけ作れるので、
　6Ｐ3＝6×5×4＝120
です。
同様に百の位は　5Ｐ2＝5×4＝20 個ごとに増え、十の位は
4 個ごとに増えます。

｛３×（６×５×４）＋３×（５×４）＋３×４＋１｝の
３，３，３，１ は、それぞれ千、百、十、一の位の数が、
最小の状態から３，３，３，１増えたことを表し、つまり
最小から４番目、４番目、４番目、２番目の数であることを
意味します。
千の位に来る数は、４番目に小さい４。
百の位に来る数は、４を除いた中で４番目に小さい５。
十の位は、４，５を除いた中で４番目に小さい６。
一の位は、４，５，６を除いた中で２番目に小さい２。
となります。
これをこのまま、４５６２と書いても良いですが、一応、
千の位、百の位・・・とわかるように、
　４×１０＾３＋５×１０＾２＋６×１０＋２
と書いてあります。
No.17635 - 2012/05/22(Tue) 23:21:50
☆ Re: 場合の数 / 魔女の宅急便
回答ありがとうございます

最小の数は明らかに1,2,3,4です。二番目は？1,2,3,5です。三番目は？1,2,3,6です。
四番目は？1,2,3,7です。五番目は？1,2,4,3です。
の最初の部分からよく分からないです・・。
１〜７で最小の数は１〜４ですが、二番目は？の二番目というのは何の二番目なのでしょうか？どういうレバーなのかまだ正直分かりません。
No.17639 - 2012/05/24(Thu) 20:23:50
☆ Re: 場合の数 / ast
> １〜７で最小の数は１〜４ですが
そうではなくて「1,2,3,4,5,6,7の7つの数字から異なる4つの数字を取ってできる4桁の数の最小が1234」ですね.

> どういうレバーなのか
レバーを引くごとに表示がだんだん大きな数になっていくデジタルカウンターだと思いますよ. 各桁の数値が1,2,3,4,5,6,7の7種類しかない4桁のデジタルカウンターです.
No.17640 - 2012/05/24(Thu) 20:42:51
☆ Re: 場合の数 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
よくある解法と説明は
１○○○　○○○は６×５×４通り
２○○○
３○○○　３×（６×５×４）

４１○○　○○は５×４通り
４２○○
４３○○　３×（５×４）

４５１○　○は４通り
４５２○
４５３○　３×４

４５６１　１
４５６２　１
と順に数え上げる方法です。
（ご存知と思いますが参考までに）
No.17641 - 2012/05/24(Thu) 21:08:03
☆ Re: 場合の数 / ハオ
ヨッシーさんastさん僕の拙い説明を汲んでくださり有難うございます。
分かりづらくて申し訳ないです、確かにこの問題に対してデジタルカウンターを持ち出すのは不適切な気がしてきました。

ITVISIONさんの仰る様な解き方が一番わかりやすく適切な気がします。
No.17642 - 2012/05/24(Thu) 21:32:28
★ 変数を固定 / 家３４
3点O(０,０,０）、A(3,0,0),B(1,2,1)がある
（１）ｚ軸上の点C(0,0,m)から直線AB上の点Hに降ろした垂線をCHとする。このとき点Hが線分AB上にあるようなｍの値の範囲をもとめよ→-6≦ｍ≦３
（２）点Hが線分AB上にあるとき垂線CHの長さの最大値とそのときのHの座標を求めよ。

（２）で（１）を使わない解法について
ベクトルAH=ｋベクトルAB＝ｋ（-2,2,1)
とすると

ベクトルCH=(３−２ｋ、２ｋ、ｋ−ｍ）より
CH^2=(m-k)^2+8k^2-12k+9
mを変数、ｋを定数（０≦ｋ≦１）とすると
ｍ＝−６のときCH^2は最大で
CH^2=９ｋ＾２＋４５
次にｋを変数として動かすと
ｋ＝１のときCH^2は最大で
その値は５４
よってCHの最大値は３√６
このときｋ＝１よりHはBと一致し
H(１，２，１）

となるはずなのですが
なぜか答えはｋ＝０のとき最大値３√５（このときH(3,0,0)
となっています。わたしの解答の一体どこか駄目なのか教えてください。よろしくお願いします。
No.17624 - 2012/05/20(Sun) 16:06:55
☆ Re: 変数を固定 / X
CH⊥AB (A)
であるという条件を使っていないので誤りです。

(A)より
↑CH・↑AB=0
これよりkとmの間の関係式が求められますので
CH^2
からk、又はmを消去することができます。
No.17625 - 2012/05/20(Sun) 20:02:26
☆ Re: 変数を固定 / 家３４
ー6≦ｍ≦３
を求める過程で すでにCH⊥AB
という条件は使っているのですが。。
No.17628 - 2012/05/21(Mon) 04:54:18
☆ Re: 変数を固定 / X
No.17625で
↑CH⊥↑AB (P)
から求められる
↑CH・↑AB=0 (A)'
という条件を使っていないと書きましたが、
要点は(P)から求められるkのmとの間に成り立つ関係式を
CH^2に直接使っていないことが誤りだということです。
単に
-6≦m≦3 (B)
0≦k≦1 (C)
を使うだけであるのであれば、mはkとは無関係に
値が変化することになりますので。

(B)を使うのであれば(A)'を用いて
CH^2
からkを消去して考える必要があります。
No.17629 - 2012/05/21(Mon) 09:06:56
★ 逆行列であることの証明について / しょういち
しょういちと言います。この前、行列の授業で、逆行列の定義を勉強しました。
「ＡＸ＝ＸＡ＝Ｅを満たすＸがＡの逆行列である」
というものです。
ですが、先生は、ＡＸ＝ＥもしくはＸＡ＝Ｅのどちらかが言えたら、ＸはＡの逆行列だよと言ったのですが、なぜですか？なぜ一方だけでよいのですか？

直観的ではなく、簡単に証明ができるならお教え頂ければと思います。よろしくお願いします。
No.17621 - 2012/05/20(Sun) 00:26:30
☆ Re: 逆行列であることの証明について / ハオ
僕自身証明の仕方を恥ずかしながら、忘れてしまっていたので教科書を参照します。（線形代数学　木内博文著)
参照した教科書の名前を書いても、内容を丸々写すのは剽窃に値すると困るので掻い摘んで証明をします。
※それでも問題があるようでしたら削除します。

今、XA＝Eが言えたと仮定する。
1=det(E)=det(XA)=det(X)*det(A) (ただし、det(A)はAの行列式を表す)

これよりdet(A)≠0でありAは正則である。
よってA-1(Aインバース)の存在は保証され、XA=Eに右側からA-1をかけてX=A-1
AX=Eも同様に証明できる。
No.17627 - 2012/05/21(Mon) 00:45:47
★ 不等式　 / HCL
不等式
x^10≧10^x
を解け。但し、x>0とする。

xが整数なら帰納法でできそうなんですが、
xは実数なので、どうすればいいのか。
できれば解答をお願いします。
No.17614 - 2012/05/19(Sat) 14:59:18
☆ Re: 不等式　 / X
x^10=10^x
は超越方程式ですので、近似解しか求められません。
従って問題の不等式も近似解でしか求められません。
No.17615 - 2012/05/19(Sat) 19:32:24
☆ Re: 不等式　 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
x>0におけるx^10＝10^xのひとつの解　ｘ＝10は簡単に分りますが、もう一つの解はＸさんのおしゃるとおりのような気がします。
これをx＝αとすると　α≦ｘ≦10　が求める解です。

log(x)はx＞0で単調増加で連続なので
x^10、10^x　の対数について大小比較します
f(x)=10log(x) - xlog(10)
f'(x)=10/x -log(10)

x>0におけるf(x)の増減を調べる
f'(x)は　x = 10/log(10) のとき　0
　　　0＜ x ＜ 10/log(10) のとき　正
　　　x ＞ 10/log(10) のとき　負

よってf(x)は x = 10/log(10) のとき最大値をとる
f(10/log(10))=10log(10/log(10)）-（10/log(10)）log(10)
　　　　　=10log(10/log(10)） - 10
　　　　　=10（log(10/log(10)） - 1）＞ 0

f(1) < 0,f(10/log(10)) > 0,f(10)=0　なので　
f(x) = 0　（ただしx＞0）は、ちょうど２つの異なる解を持つ
２つの解をα、β（α＜β）とすると　β＝10であり
　0＜α＜ 10/log(10) ＜ β＝10

もう少し調べると １^10 ＜ 10^1　、2^10 ＞ 10^2　ですから　1＜α＜２です。
No.17616 - 2012/05/19(Sat) 20:30:56
☆ Re: 不等式　 / らすかる
x^10=10^x の解は
10logx=xlog10
logx/x=log10/10
t=log10/10 とおくと
logx/x=t
logx=tx
x=e^(tx)
x/e^(tx)=1
-tx*e^(-tx)=-t
-tx=W(-t)
x=W(-t)/(-t)=W(-log10/10)/(-log10/10)=-10W(-log10/10)/log10
W(-log10/10)は2価 W0(-log10/10) と W1(-log10/10) で
-10W0(-log10/10)/log10=10
-10W1(-log10/10)/log10=1.37128857423862353686…
であり、増減を調べることによってx^10≧10^xの解は
-10W1(-log10/10)/log10≦x≦10
(1.37128857423862353686…≦x≦10)
No.17617 - 2012/05/19(Sat) 21:27:32
☆ Re: 不等式　 / HCL
解けないんですね。
三角関数、指数対数関数、逆三角関数等を含む方程式を
超越方程式というと調べたら出てきました。

＞-tx*e^(-tx)=-t
＞-tx=W(-t)

W(-t)って何ですか？
No.17618 - 2012/05/19(Sat) 22:40:52
☆ Re: 不等式　 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ
> 解けないんですね。
「解ける」「解けない」の定義が難しいと思いますが

例えば、e≦x≦πなどと既知の定数や関数を使って表せる（これも曖昧な表現ですが）と「解ける」ってことになるのでしょうか？「解けない」ってことになるのでしょうか？（e、πは超越数です。）

ｘ^2　＝　２　も　有理数の範囲では解けませんが、√というものを考えるとｘ＝-√2、√2と「解ける」（？）んですよね・・・
No.17619 - 2012/05/19(Sat) 23:40:08
☆ Re: 不等式　 / らすかる
> W(-t)って何ですか？

W(　)はランベルトのW関数でf(x)=xe^xの逆関数です。
この関数を使えば「解けます」。
No.17620 - 2012/05/19(Sat) 23:52:30
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