ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高3 2次関数 / ktdg

xの2次方程式x^2+ax+b=0が -1<x<1の範囲に少なくとも一つの実数解をもつような実数a,bの条件を求め、点(a.b)の存在する範囲を図示せよ。

x^2+ax+b=f(x)とおく
(?@)-1<x<1においてf(x)が重解をもつとき
f(x)=(x+a/2)^2-a^2/4+bより、
条件は、D=a^2-4b=0 かつ -1<-a/2<1
(?A)f(x)が異なる2つの実数解をもち、そのうち1つが-1<x<1をみたすとき
条件は、f(1)f(-1)<0
(?B)f(x)が異なる2つの実数解をもち、2つとも -1<x<1をみたすとき
条件は、D=a^2-4b>0 かつ -1<-a/2<1 かつ f(1)>0 かつ f(-1)>0

a,bが満たすべき条件はこれであっていますか?

No.18570 - 2012/09/12(Wed) 00:11:09

☆ Re: 高3 2次関数 / IT

>(?A)f(x)が異なる2つの実数解をもち、そのうち1つが-1<x<1をみたすとき
>条件は、f(1)f(-1)<0
f(x)が異なる2つの実数解をもち、そのうち1つが-1<x<1をみたすとき　f(1)=0またはf(-1)＝0の可能性もあるのではないですか？
そうするとf(1)f(-1)＝0となってしまします。
例えば f(x)=(x+0.5)(x-1)　

No.18571 - 2012/09/12(Wed) 00:27:09

☆ Re: 高3 2次関数 / ktdg

f(1)f(-1)<0をf(1)f(-1)≦0にしなければならないということですか?

No.18578 - 2012/09/14(Fri) 00:29:19

☆ Re: 高3 2次関数 / IT

それだと不適な
f(-1)＝0かつf(1)＝0の場合のすべて　
f(-1)＝0かつf(1)＜0の場合のすべて
f(-1)＝0かつf(1)＞0の場合の一部
f(-1)＜0かつf(1)＝0の場合のすべて
f(-1)＞0かつf(1)＝0の場合の一部
X=-1が重解になる場合のすべて
X=1が重解になる場合のすべて

が含まれてしまいますのでダメですね。

例えばf(-1)＝0の場合、別図で緑のグラフ以外は不適
他のサイトに
「頂点が-1＜x＜1,y≦0の範囲にあってf(-1)＞0またはf(1)＞0」
または
「f(-1)f(1)＜0」という解答がありました。
うまくまとめてあって、すっきりしているのではないでしょうか。

No.18579 - 2012/09/14(Fri) 00:55:52

★ 曲線の上下関係 / ドぢＳ

a,bを正の数とする。２つの曲線C:y=x^3+bx^2 D:y=ax^2+abxによって囲まれる２つの部分の面積の和をＳとするとき
Ｓをaとbで表せという問題でx≧0における曲線CとDの上下関係が分かりません。
感覚的にDが上にくるとは思いますが確証がもてません。どうしたらわかるんでしょうか？また、
こういった問題に限らず上下関係を求めるにはどうしたらいいんでしょうか。
ほかの問題でもかなり詰まります。
どなたか教えて下さい。お願いします。

No.18555 - 2012/09/10(Mon) 18:49:12

☆ Re: 曲線の上下関係 / ドぢＳ

もう一度考えてみたら
f(x)=x^3+bx^2-(ax^2+abx)=0のグラフをかくとx<-bではf(x)<0
-b<x<0ではf(x)>0 0<x<aではf(x)<0 x>aではf(x)>0となっているので
これらから上下関係を判定できるような気がしたんですけどいけますか？

No.18556 - 2012/09/10(Mon) 18:59:55

☆ Re: 曲線の上下関係 / angel

> いけますか？
いけます。

> こういった問題に限らず上下関係を求めるにはどうしたらいいんでしょうか。
…それは流石にケースバイケースですね。
今回は C の式から D の式を引いた形が x(x-a)(x+b) になっていて、x(x-a)(x+b)=0 の解 x=-b,0,a の大小関係がすぐ分かるようになっているので、まあ楽ができる方でしょう。
問題によってはこの大小関係が分からないので、(a,b等の値によって) 場合分けしたり、といったことが必要になることもありますし。

No.18567 - 2012/09/11(Tue) 01:06:25

★ 証明問題で / Xex(3年)

x>1の時y=x^2はy=xよりも大きいことを示せ
こういう問題で「グラフより明らか」ではどうしてダメなのですか?

No.18553 - 2012/09/10(Mon) 16:36:28

☆ Re: 証明問題で / ast

一つには「示せ」というのが, 「証明せよ」「論証せよ」という意味だから, ということもあります. が, 本当にそれで証明ができていると思うなら, それを貫いても構わないとおもいますよ.

ただ,「明らか」ということは絶対にありえません, グラフは不正確なものだからです. 少なくともどんなに頑張っても有限の範囲でしかグラフは書けませんから, その範囲外のことはグラフだけから保証することはできないですよね (増減表などで補えば保証できますが, 増減表を得るには追加の論証が結局必要になります).

要するに, グラフは概形としてしか提示できず, それが一体「何がどういう意味で何を正確に表しているのか」という理由・理屈を抜きにしてはグラフを何らの根拠にすることもできないわけです.

地図なんかでも角度が正確、距離が正確、面積が正確などといった具合にメルカトル図法やらモルワイデ図法やらいくつもあることを小学校あたりで習ったのではないかと思いますが, それと似たようなものです.

No.18554 - 2012/09/10(Mon) 18:22:15

☆ Re: 証明問題で / IT

グラフを描きそのグラフの概要が正しいことを示すためには
y=x^2とy=xが（1,1）をとおること、そこから右（x>1）でy=x^2がy=xがよりも常に上になることを何らかの方法で示す必要があり、単に「グラフより明らか」では、ダメだと思います。（特にこの問題単体で出題された場合はダメです。）

No.18558 - 2012/09/10(Mon) 19:59:26

★ 数学 / 桝田

問）　円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。

１）lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
２）lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。

解答）
１）l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP（３，６）

２）円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるから、lとQの距離をdとおくと、
d≦PQ(一定）が成り立つ。
PQ垂直lとなるkが存在すれば、dの最大値はPQであり、Lの最小値は2√(3^2-PQ^2)-----(2)
PQ垂直lのとき、2*[(k+2)/(2k-1)]=-1より k=-3/4

よって、PQ垂直ｌとなるｋが存在し、このとき
d^2=PQ^2=5であるから(2)の値はL=4

(2)の解説が分かりません。PQ垂直lのときdの最大値はPQとありますがむしろ最小値なんじゃないんですか？
何日考えてもこの部分が分かりません。どなたか教えて下さい。お願いします。

No.18541 - 2012/09/10(Mon) 00:23:41

☆ Re: 数学 / 桝田

<別解>
点（2、4）と直線：(k+2)x-(2k-1)y+9k-12＝0(kは定数)との距離が最大なら、lがCによって切り取られる線分の長さLは最小となる。
点（2、4）と直線：(k+2)x-(2k-1)y+9k-12＝0(kは定数)との距離aは、点と直線との距離の公式により、a＝｜3k-4｜/√（5k＾2+5）。
両辺＞0より平方すると、（9-5a＾2）k＾2-24k＋（16-5a＾2）＝0.
【9-5a＾2＝0の時は、k＝-9/24.
9-5a＾2≠0の時は、2次方程式から判別式≧0、つまり、0≦a≦√5.
以上から、aの最大値は√5（この時、k＝-3/4）】
このとき、ピタゴラスの定理より、求める線分の長さの最小値は2*2＝4.
とあるのですが、こちらの方が私としては分かり易いです。
ですが、【】の部分がよくわかりません。
(9-5a＾2）k＾2-24k＋（16-5a＾2）＝0をつくれたのはいいものの9-5a^2=0のときと9-5a^2≠0のときの発想に至れないと思います。
何に着目したらこういう発想ができるんでしょうか？
教えて下さい。お願いします。

No.18542 - 2012/09/10(Mon) 00:26:53

☆ Re: 数学 / 桝田

<補足>2次の係数が正か負かによってグラフの形状が変わりますがそういうことは考える必要ないですよね。
なんかいろんな要素が混同していて【　】というのが思いつきにくくなっています・・・

No.18544 - 2012/09/10(Mon) 00:48:58

☆ Re: 数学 / 桝田

何度もすみません。
疑問に思ったんですが
9-5a＾2≠0の時は、2次方程式から判別式≧0としていますけど判別式≧0ということはkが実数解であるための条件ですよね？
kはあくまで定数のはずです。
定数には虚数のときもあれば実数のときもあるので一概に判別式≧０とするのは変な気がするのですがどうなんでしょうか。。。

No.18545 - 2012/09/10(Mon) 01:12:42

☆ Re: 数学 / ヨッシー

順々に見ていきます。
まず、No.18541 の質問

図の赤い線の長さがｄに当たりますが、ｄ＝ＰＱとなる場合が、
ｄの最大（Ｌの最小）となります。

No.18548 - 2012/09/10(Mon) 10:09:51

☆ Re: 数学 / ヨッシー

No. 18542
この場合の目標は、
　(9-5a＾2）k＾2-24k＋（16-5a＾2）＝0　・・・(i)
において、ｋが実数解を持つ時のａの最大値を求めることです。
ところが、(i) は、ｋの２次方程式とは限らないので、
k^2 の係数の 9-5a^2 が、０かどうかで場合分けします。
9-5a^2＝０のときは、(i) はｋの１次方程式となり、実数解は
必ず存在します。
9-5a^2≠０のときは、二次方程式なので、判別式を使います。

No. 18545
問題にｋは実数　とあるので、判別式≧０が必要となります。

No.18549 - 2012/09/10(Mon) 11:19:51

☆ Re: 数学 / 桝田

解答ありがとうございます。
補足になるのですが
先生曰く9-5a^2＞0,9-5a^2<0,9-5a^2=0,9-5a^2≠0の4つの場合分けが実際必要らしいんですが解答では前の２つは省かれてます。
なぜなんでしょうか？

No.18550 - 2012/09/10(Mon) 14:59:27

☆ Re: 数学 / ヨッシー

４つの場合分けは必要ありません。
9-5a^2＞0, 9-5a^2＜0, 9-5a^2＝0 の３つか
9-5a^2＝0, 9-5a^2≠0 の２つのどちらかです。

18544 の質問と通じるものがありますが、9-5a^2 の正負は
この問題では関係ないので、9-5a^2≠0 だけで十分です。

No.18551 - 2012/09/10(Mon) 15:24:45

☆ Re: 数学 / 桝田

回答ありがとうございます。
最後に補足させてください。
9-5a^2＞0, 9-5a^2＜0, と場合分けをする必要がないという基準はたとえこのように場合分けしたところで次にすべき具体的な方針が立たないから不要という理解でいいんでしょうか？
9-5a^2＝0, 9-5a^2≠0 と素直にすればいいんでしょうがなんかつっかかってしまいます。(物分り悪くてごめんなさい；)
なにか体系化できる方法はないのでしょうか。。。
なんども低レベルな質問をしてごめんなさい。。

No.18552 - 2012/09/10(Mon) 15:58:02

☆ Re: 数学 / ヨッシー

分ける必要がないから、ということでしょう。
x^2 の係数の正負は、グラフが上に凸か下に凸かの違いに
なって現れますが、この問題の場合は、そういう違いは
関係なく、聞いているのは実数解を持つかどうかなので、
x^2 の係数が０でなくて、判別式≧０で十分です。

２次関数の最大値、最小値を問う問題なら、区別する必要が
あるかも知れません。

No.18569 - 2012/09/11(Tue) 08:48:10

★ 数学 / 桝田

すべてのｘ≧０に対してｘ＾３－３ｘ＾２≧ｋ（３ｘ＾２－１２ｘ－４）・・・(A)が成り立つ定数ｋの値を求めよ。
[自分の答案]
x^3-3x^2-k(3x^2-12x-4)≧0
左辺をf(x)とすると(A)はすべてのx≧0に対してf(x)≧0が成り立つと言い換えられる。
f(x)=x^3-3(1+k)x^2+12kx+4k
f'(x)=3x^2-6(1+k)x+12k
f'(x)=0よりx=2,2k
(i)2k<0つまりk<0のときf(0)=4kよりf(0)<0となるので(A)が成り立つことはグラフを描いても分かるようにありえない。
(ii)0<2k<2つまり0<k<1のとき
f(0)>0が成り立つので(A)が成り立つためにはx≧0の範囲におけるf(x)の最小値が０以上であれば良い。
最小値の候補としてf(0),f(2)が挙げられる。
(iii)2k>2 つまりk>1のとき
(ii)と同様に考えると、最小値の候補としてf(0)、f(2k)が挙げられる。

ここまで答案を書いてみて答をチラっとみたところ場合分けからして私の解答とは違っていました＾＾；
まず、私みたいに細かく場合分けはしておらず
k<0のとき⇒不適
k≧0のとき～
というふうに大きく考えてます。
そして、最小値mの候補としてm=[f(0)、f(2),f(2k)のうちの最小の値]としており
m≧0⇔f(0)≧0かつf(2)≧0かつf(2k)≧0としています。
ヒントのところにも「f(0)、f(2)、f(2k)のうちどれが最小値になるかを決める必要はない」とかいてあり、
私がやろうとしていたことがばっさり否定されていてショックです。
そもそも、解答のやり方がよくわかりません・・・
(かなり理解が難しい方法らしいので私にはおそらく理解できないと思われますのでこの解答の解法の解説は大丈夫です)

また、一応なんですが私の解答で(ii)の0<2k<2のところを0≦2k≦2とすることについてなのですが
極大値をとるx=2kが2k=0のときだとグラフからして(A)は成り立たないと思うし、
また、2k=2とすると極大値と極小値をとるxの値が一致(同じ)するんだから極大値、極小値とかなくなってしまうんじゃないか？と思い0<2k<2としたのですが0≦2k≦2としても
2k≧0は2k＞0または2k=0だし
2k≦2も2k<2または2k=2だし、２つを合わせた0≦2k≦2としても特に問題はないんでしょうか？
また、自分の答案の(i)2k<0つまりk<0の場合分けは不要らしいんですがどうしてなのかよくわかりません。
この点についても教えて下さい。よろしくお願いします。

No.18533 - 2012/09/09(Sun) 18:23:31

☆ Re: 数学 / 桝田

訂正「自分の答案の(i)2k<0つまりk<0の場合分けは不要らしいんですけど」→
「自分の答案の(i)(ii)(iii)の場合分けは不要らしいんですけど、これだと答には至らないんでしょうか？極値の大小の場合分けで進めていくのが一番の正攻法みたいですが。どうしてもkの値に応じて動く2kの位置で場合分けしてしまいます。(癖みたいです)」

No.18535 - 2012/09/09(Sun) 18:30:39

☆ Re: 数学 / X

私もこの問題を解く場合は枡田さんと同じ方針で考えます。
飽くまで模範解答は解答の一つにしか過ぎません。
枡田さんの方針が間違っているのではなくて、模範解答の
方針の方が計算が簡単になるというだけですので誤解の
ないようにして下さい。

No.18538 - 2012/09/09(Sun) 21:25:06

☆ Re: 数学 / 桝田

ありがとうございました

No.18543 - 2012/09/10(Mon) 00:27:44

★ 苦手数学 / よしりん

曲線Ｃ：y=x^3+axにおいて以下の条件が成り立つとき、定数aの値の範囲を求めよ。
(i)Ｃ上の異なる２点P,Qを通る直線lは点ＰでＣに接している
(ii)点Qにおける曲線Cの接線mと直線lは直行している

答
f(x)=x^3+axとし、P,Qのx座標をそれぞれp,q、直線lをy=kx+nとおくと
f(x)-(kx+n)=(x-p)^2(x-q)
x^2の係数を比べてq=-2p
f'(x)=3p^2+aなのでP,Qでの接線の傾きはそれぞれ
f'(p)=3p^2+a
f'(q)=12p^2+a
したがってlとmが直交する条件は
f'(p)f'(q)=-1より
36p^4+15ap^2+a^2+1=0・・・?@
【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
p^2=tとおくと?@は36t^2+15at+a^2+1=0・・・?A
とtの２次方程式になる。
?@が0以外の実数解をもつ⇔?Aが正の解をもつ
したがって、?Aが少なくともひとつ正の解を持つための条件をもとめる。
解と係数の関係から(2解の積)=(a^2+1)/36>0なので少なくとも正の解が一つあるときは2つも正の解であるので
「?Aが正の解をもつ」のは「判別式≧0かつ2解の和>0」のときである。
よってaの値の範囲はa≦-4/3

とあるのですが
【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
がわかりません。
２次方程式の解の配置問題に帰着するときって
大抵の問題で「少なくともひとつ～であればよい」という表記を見かけますが、これってパターンとして覚えてしまってもいいんでしょうか？正直いってよくわかっていません。
また、後半で「判別式≧0」といっていますが、単純に「２解をもつ」といわれてるときは重解も含まれてるんですよね。
なので判別式≧0⇔判別式>0または判別式=0としているんでしょうか？
文系で数学には時間をあまり割けられないのでどなたか分かる方教えて下さい。お願いします。

No.18531 - 2012/09/09(Sun) 14:06:54

☆ Re: 苦手数学 / angel

> 【このpについての4次方程式が0でない実数解を少なくともひとつもつようなaの条件を求めればよい。】
> がわかりません。
> ２次方程式の解の配置問題に帰着するときって大抵の問題で「少なくともひとつ～であればよい」という表記を見かけますが、これってパターンとして覚えてしまってもいいんでしょうか？

まあ、パターンと言えばパターンです。

それはなぜかと言えば、
・36p^4+15ap^2+a^2+1=0 を満たす実数 p が存在する
・方程式 36p^4+15ap^2+a^2+1=0 が少なくとも一つの実数解を持つ
という2つの表現が、同一の内容を指すからです。
※今回は「0以外の実数解」というオマケつきですが、それは元々 q=-2p, p≠q ( 点P,Qが異なる ) という条件から p≠0 となるためです。

2次方程式にしろ何にしろ、方程式の本質は「変数(xとか)にある値を代入した時に、= が成立するかどうか」ですからね。で、解というのは「= が成立する時の、変数に代入した値 ( 2種類以上の変数がある場合は、値の組み合わせ )」のことです。
だからこそ、「～を満たすpが存在する」=「pの方程式～が解を持つ」となるわけで。
結構気付いていない人が多いのですが、因数分解やら解の公式を使って方程式を解く以前のお話として、把握してないといけません。

話を戻して、この解答の流れとしては、

　1. 問題の条件を満たす点P ( x座標はp ) が存在すると仮定する
　2. p の満たすべき条件が 36p^4+15ap^2+a^2+1=0 であることが分かる
　3. つまり、「36p^4+15ap^2+a^2+1=0 を満たすpが存在すること」=「36p^4+15ap^2+a^2+1=0 が少なくとも1つの実数解を持つこと」が条件だと分かる
　4. その方程式に関して解の存在条件を調べる

となっています。
で、大体の問題では、1. のように「～が存在すると仮定する ( その上で条件を調べる )」ってことから始めますので、まあ、パターンのようになるのです。

No.18564 - 2012/09/11(Tue) 00:48:29

★ 苦手数学 / よしりん

数学解答の意味がわかりません

関数f(x)=ax^3+bx^2-18x+11はx=-3のとき極大値、f(-1+t)+f(-1-t)の値はtの値にかかわらず一定である。
このとき、a,bを求めよ。また、極小値をもつときのxを求めよ。

解答には
｛f(-1+x)+f(-1-x)｝/2=kとすると
(-1+x,f(-1+x)),(-1-x,f(-1-x))の中点は、(-1,k)で定点なのでy=f(x)は(-1,k)を中心にして点対称な図形である。
とありますが、どういうことなのか分かりません。
文系なので数学にあまり時間をかけられないのもあり暗記してしまおうと思うのですが
理解がおろそかなのでそうもいきません。
誰か分かる方馬鹿な自分にも分かるように教えてくれませんか。
おねがいします。

No.18529 - 2012/09/09(Sun) 12:40:41

☆ Re: 苦手数学 / IT

>(-1+x,f(-1+x)),(-1-x,f(-1-x))の中点は、(-1,k)で定点なのでy=f(x)は(-1,k)を中心にして点対称な図形である・・・Ａ
の解説はどなたかにお任せすることにして。

この問題を解くためにはＡを気にせず、単純にf(-1+t)+f(-1-t)を計算する方法がわかりやすいかも知れません。

計算が楽になるよう少しの工夫はしたほうが良いです。
f(-1+t)+f(-1-t)=a{(-1+t)^3+(-1-t)^3}+b{(-1+t)^2+(-1-t)^2}-18{(-1+t)+(-1-t)}+11+11
（定数項は無視してもいいですし、説明の手間を省くため、そのまま計算してもいいです。）

No.18530 - 2012/09/09(Sun) 13:53:09

★ 三角関数 / ぱぴおか

0°≦x≦90°のとき2sinx+cosxの最大値と最小値を求めよ。
[自分の解答]
図を書いて、αを定めると、0°<α<30°
cosα=2/√5 sinα=1/√5とする。
このとき2sinx+cosx＝√5sin(x+α)
0°≦x≦90°と0°<α<30°より
0°<x+α<120°となるので
最大値はsin(x+α)=90°のときで√5
最小値は・・・
ここで詰まってしまいました。
一体どこで間違ってしまったんでしょうか。
また答ではcosについて合成しています。
最大値はあっていますが最小値が答によると1です。
どうしてsinで合成すると答がでないんでしょうか。
誰か教えて下さい。お願いします。

No.18518 - 2012/09/08(Sat) 22:03:27

☆ Re: 三角関数 / IT

0°≦x≦90°より
α≦x+α≦α+90°だと思いますが。

No.18520 - 2012/09/08(Sat) 22:49:26

☆ Re: 三角関数 / angel

> ここで詰まってしまいました。
> 一体どこで間違ってしまったんでしょうか。
いいえ、間違ってはいません。道を見失っているだけです。

例えば、ですが、
　(1) 30°≦θ≦90°+30°での sinθ の最小値を求めよ
　(2) 60°≦θ≦90°+60°での sinθ の最小値を求めよ
という問題があったとします。
答えは両方 1/2 ですね。これはθを範囲の端から端まで動かしてみると分かります。
(1)の場合は sin30°=1/2→sin90°=1→sin120°=√3/2≒0.866 なので、sin30°が最小
(2)の場合は sin60°=√3/2→sin90°=1→sin150°=1/2 なので、sin150°が最小
というように、θの変化につれて増減していき、両端のどちらかで最小となっています。

では、次の問題はどうでしょうか?

　α≦x+α≦90°+αでのsin(x+α)の最小値を求めよ

上の(1),(2)と同じ話になるのですが、よろしいでしょうか? そこが「見失った道」です。
今回のαは小さいので(1)と同じケース。つまり最小値は x+α=α の時、sinα となります。
※ちなみに、(1),(2)との境目はα=45°です。

No.18521 - 2012/09/08(Sat) 22:53:07

☆ Re: 三角関数 / ぱぴおか

0°≦x≦90°と0°<α<30°より
0°<x+α<120°・・・?@とするのと
0°≦x≦90°と0°<α<30°より
α≦x+α≦90°+α・・・?Aとするのはどう違うのでしょうか？
?Aなら最小値を確定できますが・・・

No.18522 - 2012/09/08(Sat) 23:04:05

☆ Re: 三角関数 / IT

0°≦x≦90°と0°＜α＜30°より
0°＜x+α＜120°・・・?@
は、論理的には間違いではないですが、x+αの変域を正確に表してはいません。

0°＜α≦x+α≦90°+α＜120°です。
実際に　x+α　が取りうる値の幅は90°しかありません。

「0°≦x≦90°と0°<α<30°より　0°<x+α<120°となるので
最大値は(x+α)=90°のときで√5・・」
という表現は不正確（不十分）です。

0°＜α＜30°より　60°＜90°－α＜90°なので
x＝90°－αとおくと　0°≦x≦90°
このときx+α＝90°となり　・・・最大値を取る。
などとすべきと思います。　

No.18523 - 2012/09/08(Sat) 23:15:58

★ 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!

nb[n+1]-(n+1)b[n]=(n-1/n+2)
を満たすとき、b[n]を求めよ。

両辺を(1/n(n+1))で割ってみたのですが、その後どうすれば良いかわからず…
よろしくお願いします！！！

No.18502 - 2012/09/08(Sat) 16:48:04

☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!

すみません。b[1]の値を書き忘れました！
b[1]=(-1/4)です。

No.18503 - 2012/09/08(Sat) 16:50:52

☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / ＿

問題文の式の右辺はなんとなく(n-1)/(n+2)のような気がするのでそう決めつけて考えます。

両辺をn(n+1)で割るとb[n+1]/(n+1) - b[n]/n = (n-1)/n(n+1)(n+2)で、b[n]/n=B[n]とでもしておきましょう。
B[n+1] - B[n] = (n-1)/n(n+1)(n+2)なので、この右辺の分母を見るといかにもn(n+1)と(n+1)(n+2)に分解せよと言っているみたいなのでそのようにして、
B[n+1] + {(n+1)-0.5}/(n+1)(n+2) = B[n] + (n-0.5)/n(n+1)
と変形できるので…(以下略)

No.18505 - 2012/09/08(Sat) 17:27:39

☆ Re: 高3です。数列の一般項を求める問題です。 / Excelsior!!

ありがとうございます！
後は頑張ってみます！！！

No.18508 - 2012/09/08(Sat) 17:54:30

★ (No Subject) / 高2

実数a,bに対して,3次方程式
X^3+ax^2+bx+1=0
ば1つの実数解と2つの虚数解α,βをもち,β=α^2を満たしている
(1)α,βおよびa,bの値をそれぞれ求めよ
(2)α^100+β^100の値を求めよ
解と係数の関係を使うとしたら最初に虚数解を別の文字で置き換え直した方がいいのでしょうか？

No.18501 - 2012/09/08(Sat) 15:54:37

☆ Re: / IT

>虚数解を別の文字で置き換え直した方がいいのでしょうか？
何のためにどのように置き換えるということでしょうか？

実数係数の方程式の場合、虚数解α,βは互いに共役複素数であることを使えば良いのではないでしょうか？

No.18504 - 2012/09/08(Sat) 16:54:27

☆ Re: / 高2

共役の複素数で考えようとしました
その場合はα,βを違う文字に置き換えた方がいいのですか？

No.18506 - 2012/09/08(Sat) 17:45:15

☆ Re: / IT

違う文字に置き換えるというよりも
β=α~ とすれば良いと思います（α~ はαの共役の複素数を表すことにします。上に横棒を付ける代わりです）
途中αα~＝｜α｜^2 などを使います。

No.18507 - 2012/09/08(Sat) 17:50:19

☆ Re: / 高2

わかりました
(2)はω使うんですか？

No.18509 - 2012/09/08(Sat) 18:03:49

☆ Re: / IT

ωを使っても良いですし
α^3＝β^3＝１、α＋β＋γ＝-a　（γは実数解）を使ってもできます。

α^3＝β^3＝１を示す
β=α~ を　β=α^2 　に代入
α~=α^2
αα~=α^3　
｜α｜^2=α^3
｜α｜^2=｜α｜^3
(｜α｜^2)（｜α｜－1)＝0
｜α｜＞0なので｜α｜＝１　よってα^3＝1
β^3=(α~)^3=(α^3)~＝1　　　

No.18514 - 2012/09/08(Sat) 19:23:54

☆ Re: / 高2

(1)の途中式よかったらお願いします。

No.18526 - 2012/09/09(Sun) 08:09:29