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★ はじめまして、質問させていただきます！ / ネモザイル
一次方程式
・(7/2)x-29=(7/11)x+2.5
答え　x=11

・（3x+4/4)-(3x+13/8)=2
答え　x=7

解答を詳しく教えてくださるとありがたいです＞＜！
上記の問題は畑中敦子の数的処理基本編に載ってるのですが、解説がないので質問させていただきました。
No.17531 - 2012/04/30(Mon) 23:42:47
☆ Re: はじめまして、質問させていただきます！ / 七
(7/2)x-29=(7/11)x+2.5
両辺に22をかけて
77x−638＝14x＋55
移行して整理すると
63x＝693
両辺を63で割って
x＝11

(3x+4/4)-(3x+13/8)=2
(3x＋4)/4−(3x＋13)/8＝2 として回答します。
両辺に8をかけて
6x＋8−(3x＋13)＝16
左辺を計算して
3x−5＝16
−5を移項して
3x＝21
両辺を3で割って
x＝7
No.17532 - 2012/05/01(Tue) 06:57:22
☆ Re: はじめまして、質問させていただきます！ / ネモザイル
七さん解答ありがとうございました＾＾

わからないことあったらまた質問させていただきます！
本当にありがとうございました。
No.17535 - 2012/05/01(Tue) 18:44:19
★ (No Subject) / さい
点(1,2,1)を通り、3つの座標平面に同時に接する球面の方程式は？
No.17514 - 2012/04/29(Sun) 15:01:01
☆ Re: / ヨッシー
求める球の中心は、点(1,2,1) と同じ ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０ の領域にあります。
また、各座標平面に接することから、中心を(a,a,a) (ａ＞０) とすると、
半径もａとなります。
よって、球面の式は、
　(x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2＝a^2
となります。
これが、(1,2,1) を通ることから、代入して、ａを求めると、
ａ＝１，３ となり、いずれも ａ＞０ なので、
　(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2＝1
　(x-3)^2+(y-3)^2+(z-3)^2＝9
の２つが、求める球面の式となります。
No.17515 - 2012/04/29(Sun) 17:52:59
☆ Re: / さい
ありがとうございます
No.17523 - 2012/04/29(Sun) 19:01:48
★ (No Subject) / さい
球面x^2＋y^2＋z^2=3が直線x=y/2=z-1から切り取る線分の長さは？


お願いします
No.17513 - 2012/04/29(Sun) 14:58:40
☆ Re: / X
x^2＋y^2＋z^2=3 (A)
と
x=y/2=z-1 (B)
の２つの交点の座標を求めてその間の距離を計算すれば求められます。
ということで(A)(B)を連立して解き、交点の座標を求めることを考えます。
(B)=k
と置くと
x=k (C)
y=2k (D)
z=k+1 (E)
(C)(D)(E)を(A)に代入してkの方程式を導き出し、解くと…
No.17516 - 2012/04/29(Sun) 18:01:29
☆ Re: / ヨッシー
直線x=y/2=z-1 の方向ベクトルは、(1,2,1) であり、
球の中心(0,0,0)を通って、(1,2,1) に垂直な平面は、
　x+2y+z=0
となります。この平面と直線x=y/2=z-1 の交点は、
　(-1/6, -1/3, 5/6)
となります。この点と、(0,0,0) との距離は √30/6。
以上より、直線x=y/2=z-1 と(0,0,0) を含む平面でこの球を
切ったときの断面は図のようになります。

三平方の定理より、
　ＡＭ＝ＢＭ＝√78/6
であるので、求める長さは ＡＢ＝√78/3


　
No.17517 - 2012/04/29(Sun) 18:08:55
☆ Re: / さい
ありがとうございます。
No.17524 - 2012/04/29(Sun) 19:02:15
★ 裏技 / ますた
例）ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフに3本の接線が引けるような点の存在範囲を等式と不等式で示せ

変曲点によってグラフを区切り、区切られたそれぞれのグラフに引ける接線の本数によって領域を区分けし、あとは区分けされた各区間について、引ける接線の本数を足し合わせるという手法で解く解き方をご存知の方いらっしゃいますか？

いらっしゃいましたら具体的な問題で質問したいのですが。
No.17512 - 2012/04/29(Sun) 14:25:15
☆ Re: 裏技 / ヨッシー
こちらのような問題でしょうか？
No.17522 - 2012/04/29(Sun) 18:59:45
☆ Re: 裏技 / ますた
はい。具体的にはそのような問題ですが、「変曲点によってグラフを区切り、区切られたそれぞれのグラフに引ける接線の本数によって領域を区分けし、あとは区分けされた各区間について、引ける接線の本数を足し合わせるという手法で解く解き方」をご存知な方いらっしゃいますでしょうか？
No.17525 - 2012/04/29(Sun) 21:48:22
☆ Re: 裏技 / ヨッシー
その下に書かれている解答が、そういう方法では？
No.17526 - 2012/04/29(Sun) 21:52:56
☆ Re: 裏技 / ますた
確かに！そのとおりでした。ただ境界上の線、変曲点の部分をどう扱うのかが知りたいです。

本題に入ります
ｙ＝xe^(-x)について丁度2本の接線が引けるような点の存在範囲を、「変曲点によってグラフを区切り、区切られたそれぞれのグラフに引ける接線の本数によって領域を区分けし、あとは区分けされた各区間について、引ける接線の本数を足し合わせるという手法で解く解き方」で求める方法について
境界上の線（変曲点における接線、漸近線）はやはり別個に考えなければならないのでしょうか？そうだとしたらどう考えれば早い（効率的）でしょうか？
No.17528 - 2012/04/29(Sun) 22:51:09
☆ Re: 裏技 / ヨッシー
図において、黄色が接線１本、青が接線２本、白が接線０本の
領域です。
青と黄色の境界上は１本、白と青または黄色との境界上は０本です。
No.17529 - 2012/04/30(Mon) 13:17:39
☆ Re: 裏技 / ヨッシー
両者を合わせると、図のような領域が接線２本の領域になります。
ｘ軸上の点は領域に含みますが、その他の境界上の点および、
(0,0), (4,0) は含みません。
No.17530 - 2012/04/30(Mon) 13:26:03
☆ Re: 裏技 / ますた
回答有難うございます
境界上の点や除外点などをどのように考えたのかその途中過程を教えてください。
No.17533 - 2012/05/01(Tue) 08:43:16
☆ Re: 裏技 / ヨッシー
上のグラフの右下がりの直線
　ｙ＝g(x)＝(4-x)/e^2
を、直線Ｌとします。
ここでは、直線Ｌは、接線ではないという見方をしています。
これは、決め事ですので、接線とみなす考え方もあります。

また漸近線（ｘ軸：ｙ＝０）上の点と、ｘ＞２ の部分との関係についてですが、
図の青の領域（境界上を含まない）上の点からは、その点から見て、
　左上に接点がある接線Ａ
　右下に接点がある接線Ｂ
の２本が引けます。その点がｘ軸上に来た時、
　ｘ＞４ の部分からは接線Ａは引けます。
　ｘ＝４ の点(4,0) からは、接線Ａは、直線Ｌと一致し、これは接線とみなしません。
　ｘ＜４ の部分からは、接線Ａは引けません。
また、接線Ｂは、ｘ軸上のどの位置からも引けません。
（理由）
y=f(x) の ｘ＞２ の部分は、全てｙ＞０ の領域にあるので、
ｘ軸上の点から、その点よりｘ座標が大きい位置で接する接線（要するに接線Ｂ）を
引こうとすると、右上がりに直線を引かないといけません。
ところが、ｘが十分大きい時、f(x) は０に近づきますが、直線の方は無限に大きくなるので、
ある位置で、f(x) より大きくなります。ｘ軸上では、f(x) より小さかったので、
直線と y=f(x) は交わることになり、接する状態は出来ません。
No.17541 - 2012/05/02(Wed) 13:33:27
★ 線形代数 / さい
平行な2直線x-1=(y+1)/2=(1-z)/3, x=(y-2)/2=(-z-2)/3によって定まる平面の方程式は？


答えとその説明お願いします
No.17510 - 2012/04/29(Sun) 14:16:36
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
直線 x-1=(y+1)/2=(1-z)/3 上の点 (1,-1,1), (2,1,-2)
直線 x=(y-2)/2=(-z-2)/3　上の点 (0,2,-2)
の３点を通る平面として求めます。
No.17518 - 2012/04/29(Sun) 18:11:05
☆ Re: 線形代数 / X
x-1=(y+1)/2=(1-z)/3
は(1,2,-3)を方向ベクトルとし、点(1,-1,1)を通る直線。
一方
x=(y-2)/2=(-z-2)/3
は(1,2,-3)を方向ベクトルとし、点(0,2,-2)を通る直線。
よって
↑a=(1,2,-3)
↑b=(1,-1,1)
↑c=(0,2,-2)
とし、求める平面上の点をP(x,y)とすると、求める平面の
ベクトル方程式は
↑OP=k↑a+l(↑b-↑c)+↑c (k,lは実数)
これより
x=k+l (A)
y=-k-3k+2 (B)
z=-3k+3l-2 (C)
(A)(B)をk,lの連立方程式と見て解き、結果を(C)に代入します。
No.17519 - 2012/04/29(Sun) 18:13:48
☆ Re: 線形代数 / さい
ありがとうございます
No.17521 - 2012/04/29(Sun) 18:56:38
★ 文系早稲田の数学 / るしだ
以前にも同じ問題を質問したのですが
パソコンが故障していたため補足できませんでした。
なので再度分からない所を質問させてください。
f(x)＝Σ[k=1〜100]|kx‐1|＝|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋‥‥＋|100x‐1|を最小にするxの値を求めよ。
【前回頂いた回答】
a[k]=kx-1
と置くと
f(x)=Σ[k=1〜100]|a[k]|
(i)k=1,…,100に対し、a[k]＞0のとき
1/k＜x(k=1,…,100)
なので
1＜x・・・(A)
f(x)=Σ[k=1〜100]a[k]=…
(ii)k=1,…,100に対し、a[k]＜0のとき
x＜1/k(k=1,…,100)
なので
x＜1/100・・・(B)
このとき
f(x)=-Σ[k=1〜100]a[k]=…
(iii)
(i)(ii)以外、つまり1/100≦x≦1のとき
0＜xなのでa[k]はkに関して単調増加になる。
よって
k≦iのときa[k]≦0
i+1≦kのとき0≦a[k]
となるようなiを考えることができる。
【このとき
ix-1≦0
0≦(i+1)-1
これより
1/(i+1)≦x≦1/i
このとき
f(x)=-Σ[k=1〜i]a[k]+Σ[k=i+1〜100]a[k]
=…
となる。

後は(i)(ii)(iii)の結果を元に、境界となっている
x=1/k(k=1,…,100)
のときのf(x)の値、つまり
ｆ(1/k)(k=1,…,100)
の値の大小関係を考る。
これらのうち、最も小さい値に対するxの値が求める値
となる。】
疑問点?@
【ix-1≦0
0≦(i+1)-1
これより
1/(i+1)≦x≦1/i】これは一体どこから出てきた式でどういう意図をもって変形されたんでしょうか？
よくわかりません。
疑問点?A
【後は(i)(ii)(iii)の結果を元に、境界となっている
x=1/k(k=1,…,100)
のときのf(x)の値、つまり
ｆ(1/k)(k=1,…,100)
の値の大小関係を考る。
これらのうち、最も小さい値に対するxの値が求める値
となる】
どうしてx=1/kが境界だと分かるんでしょうか？
図を書いてもよくわかりません。(図の描き方が間違っているのかもしれません。)
この問題にかれこれ2ヶ月近くかけているのですがいまだによくわかりません。
このあたりでしっかり理解しておきたいので僭越ですが
誰か分かる方教えてください。よろしくお願いします。
No.17509 - 2012/04/27(Fri) 23:22:12
★ 数学苦手です / 新妻
三角形の成立条件について
△ABCの3辺をa,b,cとすると
三角形の成立条件は、(2辺の長さの和)＞(残りの1辺の長さ)なので
a＋b>c
a＋c>b
b＋c>aというのはわかるのですが、
正確には答によると、a＋b>cかつa＋c>bかつb＋c>a
とあります。
ここで疑問なのですがどうして「または」じゃダメなんでしょうか？
「すべて成り立たないといけないから「かつ」だ」というのもなんとなく分かるのですが
a＋b>cまたはa＋c>bまたはb＋c>aとしてもこの中のうちどれか１つでもあったら
例えばa＋b>cだけで三角形は成立することがわかりますよね？
どうして「または」じゃなく「かつ」なんでしょうか？
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17506 - 2012/04/27(Fri) 21:13:56
☆ Re: 数学苦手です / ヨッシー
a＋b>c だけ、あるいは a＋b>c かつ a＋c>b だけだと
a=10, b=1, c=1 でも、良いことになってしまいます。
やはり、b＋c>a も必要なのです。
No.17507 - 2012/04/27(Fri) 22:27:11
★ (No Subject) / はーい
y=xsin1/xってどんなグラフですか？
No.17505 - 2012/04/27(Fri) 20:01:38
☆ Re: / ヨッシー
こんな感じです。
ｙ軸対称です。
ｘ→０，ｘ→∞ で、どうなるかは考察してください。
No.17508 - 2012/04/27(Fri) 23:15:24
★ 式変形が! / Phiona
n≧hとする時,
Σ_{k=0}^{n-h} nC(n-k) (n-h)!/(n!h!)=Σ_{k=0}^{n-h} 1/(n-k-h)!k!
と変形できる事を示す問題なのですがなかなか上手くいきません。

Σ_{k=0}^{n-h} nC(n-k) (n-h)!/(n!h!)=Σ_{k=0}^{n-h} n!/(k!(n-k)!) (n-h)!/(h!n!)
=Σ_{k=0}^{n-h} 1/(k!(n-k)!) (n-h)!/h!
=Σ_{k=0}^{n-h} (n-h)!/(k!(n-k)!h!)
=Σ_{k=0}^{n-h} (n-h)(n-h-1)…2・1/((n-k)(n-k-1)…(n-h)(n-h-1)…2・1k!h!)
=Σ_{k=0}^{n-h} 1/((n-k)(n-k-1)…(n-h+1)k!h!)
からどうしても
Σ_{k=0}^{n-h} 1/(n-k-h)!k!に持っていけません。どうすればいいのでしょうか?
No.17503 - 2012/04/27(Fri) 12:47:58
☆ Re: 式変形が! / ヨッシー
右辺の最後の k! が、分子とも分母とも受け取れますが、
分子なら k!/(n-k-h)! と書くだろうと推測して、分母だとします。

n=4, h=2 とすると、
(左辺)＝Σ[k=0〜2]4Ｃ(4-k)・2!/(4!2!)＝(4Ｃ4＋4Ｃ3＋4Ｃ2)/4!＝(1+4+6)/24＝11/24
(右辺)＝Σ[k=0〜2]1/(2-k)!k!＝1/2+1/1+1/2＝２

となり一致しないので、式のどこかに誤りがあるのではないでしょうか？
No.17504 - 2012/04/27(Fri) 14:25:00
★ (No Subject) / はーい
y=1/xsin1/xってどんなグラフですか？
No.17501 - 2012/04/26(Thu) 23:24:51
☆ Re: / ヨッシー
f(x)=(1/x)sin(1/x) とします。
f(-x)＝f(x) なので、ｙ軸対称のグラフになります。

ｘ＞０ の部分は下の図のようになります。
-1≦sin(1/x)≦1 なので、
y=1/x と y=-1/x の間に存在します。
ｘ＞1/π の部分では、sin(1/x)＞0 なので、
ｙ＞０ の領域にあり、ｙ＝０ に収束します。
０＜ｘ＜1/π では、sin(1/x) の符号が入れ替わり、激しく振動します。
No.17502 - 2012/04/27(Fri) 09:44:07
★ 方針 / ばる０
3点ＡＢＣが作る平面π上にその平面上にないある点Ｄから垂線をおろしました。その垂線の足Ｈの座標を求めよ、という場合に最速の方法を教えてください。（ＡＢＣＤの座標は与えられているとします）

途中経過
ベクトルＣＨ・ベクトルＡＢ＝０
ベクトルＣＨ・ベクトルＡＣ＝０
からπへの法線ベクトルが分かる。

この後を教えてください
No.17498 - 2012/04/25(Wed) 21:53:08
☆ Re: 方針 / ヨッシー
ベクトルＣＨはベクトルＤＨの誤りだとして、
Ｈはまだわかっていませんので、
　法線ベクトルを(x,y,z)として、
といったふうになります。これと、ＡＢ、ＡＣとの
垂直から法線ベクトルを求めます。

式の数からいうと、ベクトルの外積を
使った方が、早く法線ベクトルが求められます。
同時に、平面πの式も出しておきます。

このあと、Ｄを通って、上で求めた法線ベクトルを、方向ベクトル
とする、直線の式を、媒介変数形式で求めて、平面πの式に
代入して、求めた交点が点Ｈとなります。

他にも、
　ＡＨ＝ｓＡＢ＋ｔＡＣ
と置いて、ＤＨとＡＢ、ＡＣとの垂直から
ｓ、ｔを求めるという方法もあります。
　
No.17499 - 2012/04/25(Wed) 23:57:49
★ 数学が苦手な文系です。この問題が分かりません。 / えいじ
x^2＋px＋p^2-3=0が0 解答では放物線の軸の位置で場合分けをしています。
その中で分からなかったのが解答では3つ目の場合となっているんですが
0<-p/2<1のときです。
このとき0<x<1内に少なくとも1つ解をもつ条件が
【f(-p/2)≦0】 かつ 【f(1)>0またはf(0)>0】とあるのですが、
これを【f(-p/2)≦0かつf(1)>0】または【f(-p/2)≦0かつf(0)>0】としても問題ないのでしょうか？
だとしても少しひっかかるところがあります。

【f(-p/2)≦0かつf(1)>0】・・・?@または【f(-p/2)≦0かつf(0)>0】・・・?Aとすると
?@のときにはf(0)>0かつf(1)>0となる場合があるし
?Aにも同様にf(0)>0かつf(1)>0となる場合がありますよね？
?@または?Aとしてしまうと最終的には?@と?Aのそれぞれの条件範囲を合わせるのですから、ダブルカウントしてしまう気がするんですがどうなんでしょうか？
頭の中のもやもやがずっと抜けません。
どなたか分かる方教えてください。お願いします。
No.17496 - 2012/04/24(Tue) 23:22:16
☆ Re: 数学が苦手な文系です。この問題が分かりません。 / ヨッシー
ダブルカウントしても良いのです。
例えば、
【f(-p/2)≦0かつf(1)>0】から　１＜ｐ＜３
【f(-p/2)≦0かつf(0)>0】から　２＜ｐ＜４
という結果が得られたら、答えは
　１＜ｐ＜４
です。２＜ｐ＜３ の部分がダブっていますが、問題ありません。
No.17497 - 2012/04/25(Wed) 06:22:44
★ (No Subject) / あｓｆ
2点(1,2,-3) (-4,1,5)を通る直線の方程式は？

答えとともにお願いします
No.17494 - 2012/04/24(Tue) 22:08:09
☆ Re: / ヨッシー
例えば、
点(6, 3, -11) を通って、、ベクトル(5, 1,-8) に平行な
直線の式は？
と言われたら、わかりますか？
No.17495 - 2012/04/24(Tue) 22:38:48
★ 完全平方式について教えてください / はなしろ
xの２次式(ａ^2-1)x^2+(a+1)x+1が完全平方式となるような
aの値を求めよ

いろいろ参考書で公式をみたんですけど上の様なものが見つからなかったのでお願いします。
No.17491 - 2012/04/24(Tue) 13:21:09
☆ Re: 完全平方式について教えてください / ヨッシー
(ａ^2-1)x^2+(a+1)x+1＝Ａ（ｘ−α)^2
の形に書けたとすると、
　(ａ^2-1)x^2+(a+1)x+1＝０
は、重解ｘ＝αを持ちますから、(ａ^2-1)x^2+(a+1)x+1 の判別式が
０になるａを見つけます。
　ａの値としては、ａ＝-1, 5/3 が求められますが、
ａ＝−１では二次式になりませんので、ａ＝５／３。
このとき、
　(与式)＝(4x/3＋1)^2
と書けます。
No.17492 - 2012/04/24(Tue) 17:56:35
☆ Re: 完全平方式について教えてください / はなしろ
一番目の上の式のA(x-a)^2どっから出てくるんですか？
No.17630 - 2012/05/22(Tue) 18:03:48
☆ Re: 完全平方式について教えてください / ヨッシー
どっからもなにも、こういう形の式を「完全平方式」というのであって・・・
No.17631 - 2012/05/22(Tue) 20:11:21
★ 数列教えてください / B
３つの数a,b,abがあって、条件a＜０＜bを満たす。
これら３つの数を適当に並べると等差数列になり、
このとき、b=a□

である。また、この条件のもと、３つの数を適当に並べると
等差数列になり、このとき、

(a.b)=( ), ( , )

である。

数列は苦手で混乱して解けなくなりました。
　
よろしくお願いします。
No.17486 - 2012/04/23(Mon) 23:44:25
☆ Re: 数列教えてください / ヨッシー
前半は、「等比数列」ですよね？
これが、No.17457 の記事で書いた「根本的な誤り」です。

a,b,ab の中で、b のみ正で、他は負なので、
これらが等比数列になるのは、
　a,b,ab か ab,b,a
の並び順のときです。いずれにしても、
　b^2＝a・ab
が成り立ち、ｂ≠0 より 両辺ｂで割って
　ｂ＝ａ^2　　・・・答１
となります。

このとき、３数は、a,a^2,a^3 となり、a^2 のみ正なので、
等差数列に並べたとき、中央に来るのは、a か a^3 です。

a^3, a, a^2 または a^2, a, a^3 の場合
　2a＝a^3＋a^2
a で割って、
　a^2＋a−2＝０
これより ａ＝-2, 1

a, a^3, a^2 または a^2, a^3, a の場合
　2a^3＝a＋a^2
ａで割って、
　2a^2−a−1＝０
これより　ａ＝-1/2, 1

以上より
　(a,b)＝(-2,4) , (-1/2, 1/4)
No.17489 - 2012/04/24(Tue) 06:59:40
★ (No Subject) / I
２次方程式についてです。

ｘについての２次方程式
　　　　ｘ２乗＋２sx＋２s＋６＝０････(*)
を考える。
　方程式(*)が虚数解をもつような実数sの値の範囲は、次の?@〜?Cである。

?@　ｐ＜s＜ｑ　?A　ｐ≦s≦ｑ

?B　s＜ｐ，ｑ＜s　?Cs≦ｐ，ｑ≦s

ただし、ｐ＝

　　　　ｑ＝
である。

特に，(*)の虚数解の１つの虚部は√３であるときは，
　　　　　s＝　　　　または　　　s＝

である。

また、s＝ｐのとき、(*)は重解(重複解)□□＋√□をもち、
　　　s＝ｑのとき、(*)は重解□□−√□をもつ。

どのように計算してよいかわかりません。
解の公式を利用しようとしても、なかなか解けませんでした。　
　
No.17485 - 2012/04/23(Mon) 23:23:03
☆ Re: / ヨッシー
判別式を取って、
　s^2−2s−6＜０
これを解いて、
　1-√7＜s＜1＋√7

虚部が√3であるとき、
　s^2−2s−6＝-3
より、s=-1,3

解の公式より
　ｘ＝−ｓ±√(s^2−2s−6)
であり、これが重解となるとき、ｘ＝−ｓ(重解)
ｓ＝1−√7 のとき ｘ＝−１＋√７(重解)
ｓ＝1＋√7 のとき ｘ＝−１−√７(重解)
No.17490 - 2012/04/24(Tue) 07:11:52
★ どうしても式変形がわかりません / Aki
式変形での質問です。

lim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n x(1-x/k)^k dx
=lim_{n→∞}∫_0^n x(1-x/n)^n dx

とどうして変形できるのでしょうか?
No.17479 - 2012/04/23(Mon) 06:35:25
☆ Re: どうしても式変形がわかりません / rtz
lim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n x(1-x/k)^k dx
=lim_{m→∞}lim_{n→∞}∫_0^m x(1-x/n)^n dx …☆
はいいですよね(n→m、k→n)。

「m→∞、n→∞」を前提として、
☆の積分範囲として、0〜mを0〜nに変えて結果が変わるでしょうか、
という話ではないでしょうか。
No.17483 - 2012/04/23(Mon) 17:05:07
☆ Re: どうしても式変形がわかりません / Aki
> lim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n x(1-x/k)^k dx
> =lim_{m→∞}lim_{n→∞}∫_0^m x(1-x/n)^n dx …☆
> はいいですよね(n→m、k→n)。

はい、大丈夫です。

> 「m→∞、n→∞」を前提として、
> ☆の積分範囲として、0〜mを0〜nに変えて結果が変わるでしょうか、
> という話ではないでしょうか。

つまり, lim_{m→∞}lim_{n→∞}∫_0^m x(1-x/n)^n dx
と
lim_{m→∞}lim_{n→∞}∫_0^n x(1-x/n)^n dx
は等しいかという事ですね。

うーん、一見等しいようには感じますがどうしてかと問われると理由が分かりません。
どうして等しいといっていいのでしょうか?
No.17487 - 2012/04/24(Tue) 00:23:32
☆ Re: どうしても式変形がわかりません / rtz
非積分関数自体に文字の変化はありませんから、
積分の結果(±∞や、特定の値、収束しない)に影響を与えるのは、
0〜mの範囲の積分を、0〜nの範囲の積分に変えた点だけです。

ここで、どのみちmにしろnにしろm,n→∞にしてしまっているので、
結果に変化はないということです。

解説自体がこの後どうしてるのかは分かりませんが、
気になるようでしたら別の文字のままでもよろしいのでは。
No.17493 - 2012/04/24(Tue) 18:29:09
☆ Re: どうしても式変形がわかりません / Aki
お陰様で漸く解決できました。
No.17500 - 2012/04/26(Thu) 05:29:19
★ (No Subject) / kio
次の条件を満たす平面の方程式を求めよ。
（1）点（3，4，-2）を通り、平面x-4y+2z=5に平行な平面。
（2）点（1，2，4）を通り、直線x-1=（y+3)/2=(2-z)/3に垂直な平面。

理由も添えてお願いします
No.17478 - 2012/04/23(Mon) 00:10:56
☆ Re: / ヨッシー
例えば、
　点(3, 4, -2) を通って、ベクトル (1, 4, 3) に垂直な平面の式
は、書けますか？

(1)
平面x-4y+2z=5 の法線ベクトルはわかりますか？
(2)
直線x-1=（y+3)/2=(2-z)/3 の方向ベクトルはわかりますか？
No.17480 - 2012/04/23(Mon) 09:24:38
☆ Re: / kio
(1)法線ベクトル(1,-4,2)
(2)h方向ベクトルは(1,2,-3)

あってますか？
No.17481 - 2012/04/23(Mon) 09:34:50
☆ Re: / ヨッシー
それは合っています。

前半の
　点(3, 4, -2) を通って、ベクトル (1, 4, 3) に垂直な平面の式
は、どうでしょうか？

その先には、こういう質問が待っていますよ。
(1)
ある平面Ａの法線ベクトルを、法線ベクトルに持つ別の平面Ｂは、
平面Ａとどのような位置関係にありますか？
(2)
ある直線Ａの方向ベクトルを、法線ベクトルに持つ平面Ｂは、
直線Ａとどのような位置関係にありますか？
No.17482 - 2012/04/23(Mon) 15:56:17
★ (No Subject) / kio
次の直線の方向ベクトルを求めよ
(1)ｘ＝ｙ＝ｚ
(2)x=3, 3-y=(z+1)/3

お願いします
No.17476 - 2012/04/22(Sun) 22:37:14
☆ Re: / ヨッシー
点(a,b,c) を通り、ベクトル(s,t,u) を方向ベクトルとする直線は、
　(x-a)/s=(y-b)/t=(z-c)/u
と書ける。（ただし、stu≠0)
(1) は、この公式から、方向ベクトルが求められます。

(2) は、図のような直線です。
No.17477 - 2012/04/22(Sun) 23:13:32
★ 高3 数列 / ktdg
等差数列2,5,8,,,を{an} 、等比数列2,4,8,,,を{bn}とし、{an}の項のうち{bn}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cn}を作るとき、{cn}の一般項を求めよ。

自分の解答
条件より、an=3n−1、bn=2^n
よって、bn=2,4,8,16,32,64,128,256,,,,
このうち、anの項と一致するものは、2,8,32,128,,,
したがって、cn=2×4^(n−1)と予想される。
これを数学的帰納法で証明する。
n=1のとき、cn=2より成り立つ。ー(?@)
n=kのとき、ck=2×4^(k−1)=2^(2k−1)が成り立つと仮定する。
n=k+1のとき、c(k+1)=2×4^k=4×2^(2k−1)
よって、c(k+1)=4ckー(?A)
(?@)、(?A)より、cn=2×4^(n−1)

ちゃんと証明出来ているのか自信がありません。どなたかお願いします。
あと、数学的帰納法を使う時は「数学的帰納法で証明する」ということを書かなくてはいけないのでしょうか？
No.17465 - 2012/04/21(Sat) 20:12:44
☆ Re: 高3 数列 / ヨッシー
残念ながら、証明できていません。
cn=2×4^(n−1) で表される項が an=3n−1 の形になっている
かつ
bn の中で cn に含まれないものは an=3n−1 の形になっていないことを
言わないといけません。（少なくとも、前半は必須です）

方針は数学的帰納法で良いと思います。
「数学的帰納法により」といった記述は、あった方が良いです。
No.17471 - 2012/04/22(Sun) 07:23:52
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