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★ 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
(1) 00を示せ。
(2)定積分 I=∫［0→π］｜sinxーax｜(0<a<1) を
最小にするaの値を求めよ。

(1)は左辺の微分してとくと、x=0、πとなりどう示すか
分かりません。
(2)は(1)の形を使うと考ましたが、cosxとaの範囲が異なり
よく分かりませんでした。

模範解答よろしくお願いします。
No.16078 - 2011/12/04(Sun) 17:35:46
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
すみません、(1)は sinxーxcosx>0 です。
No.16079 - 2011/12/04(Sun) 17:38:16
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / X
(1)
条件が足りません。問題文は正確に全て記入して下さい。
No.16081 - 2011/12/04(Sun) 22:10:40
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
失礼します。
00を示せ。
という問題でした。
No.16082 - 2011/12/04(Sun) 22:16:50
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
何故か表示されないので、
申し訳ないですがひらがなで書きます。

xが0より大きくπより小さいとき、上に書いたものが
成り立つことを示せ。という問題でした。
No.16083 - 2011/12/04(Sun) 22:20:05
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ヨッシー
(1) 0＜x＜πのとき、sinx−xcosx＞0を示せ。
(2)定積分 I=∫［0→π］｜sinx−ax｜(0＜a＜1) を
最小にするaの値を求めよ。

と書いてあります。

表示されないのは、半角の"＜" に続いて、x があるため、
ページの書式を制御する文字と認識されるためです。
全角の"＜"を使うと防げます。
No.16085 - 2011/12/04(Sun) 22:46:57
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / X
(1)
問題となるのは導関数の符号の変化です。

f(x)=sinx-xcosx
と置くと
f'(x)=xsinx
よって0＜x＜πにおいてf'(x)＞0ゆえf(x)は単調増加。
∴f(x)＞lim[x→+0]f(x)=f(0)=0
ですので問題の不等式は成立します。
No.16086 - 2011/12/04(Sun) 23:47:26
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / X
(2)
誤りがありましたら修正をお願いします。

y=sinx (A)
とすると
y'=cosx
∴0≦x≦πにおいてy'≦1であることと
0＜a＜1 (B)
であることに注意すると曲線(A)と直線
y=ax (C)
は0≦x≦πにおいて交点を一つのみ持ちます。
そのx座標をtとすると
0＜t＜π (D)
sint-at=0 (E)
I=∫[0→t](sinx-ax)dx-∫[t→π](sinx-ax)dx
=2{-cost-(1/2)at^2}+(1/2)aπ^2 (F)
(F)より
dI/da=2(sint-at)(dt/da)+(1/2)(π^2-t^2)
(E)を代入して
dI/da=(1/2)(t^2)(π^2-t^2)
=-(1/2)(t^2)(t-π)(t+π)
よって(D)においてdI/da＞0なので
(B)においてIは単調増加。
このこととaの端点が存在しないことから
題意を満たすaの値は存在しません。
No.16087 - 2011/12/05(Mon) 00:20:04
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
解答ありがとうございます。
(1)は理解できました。
(2)は答えしかわからないのですが、
a={(2^1/2) / π} sin(π/2^1/2) となっていました。
No.16088 - 2011/12/05(Mon) 01:02:06
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / 豆
Xさんの途中より
I=-2cost-at^2+(π^2/2)a　
にa=sint/tを代入すると、
I=-2cost-tsint+(π^2/2)(sint/t)
tで微分して整理すると、
dI/dt=(sint-tcost)(1-π^2/(2t^2))
t=π/√2　のとき極小かつ最小
この時、a=√2sin(π/√2)/π　は0＜a＜1の範囲なのであてはまる
No.16089 - 2011/12/05(Mon) 10:34:05
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / X
>>豆さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ひゅるりさんへ
ごめんなさい。No.16087で
>>dI/da=2(sint-at)(dt/da)+(1/2)(π^2-t^2)
としていましたがこれは
dI/da=2(sint-at)(dt/da)+(1/2)(π^2-2t^2)
の誤りです。
ですがこの方針ではaとtの増減の対応関係を別に考える
必要があり計算が煩雑になります(この回答はIがaに対して
単調になる、と言う前提で方針を組み立てていました)。
その点で豆さんの回答の方が適切だと思います。
No.16092 - 2011/12/05(Mon) 12:22:12
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
X様、豆様丁寧な解説ありがとうございました。
お陰さまで理解できました。
No.16096 - 2011/12/05(Mon) 20:55:20
★ 極 / パラパラ
円x^2+y^2=1をCとする。aを-1/2
という問題で、極（極線）の知識を全面的に使って答えを出そうとしたところ
ｌはax-y=2aすなわち(1/2)a-(1/2a)y=1^2と変形できるので
Q(1/2,-1/(2a))となります。よってQの軌跡はｘ＝1/2上で、後は軌跡の限界を求めるだけで、

-1/2<a<0を変形して

-1/2<a<0
⇔-2<1/a<0
⇔0<-1/(2a)<1
となるのでQの軌跡はｘ＝１/2上の０＜ｙ＜１の部分・・答え

としたのですが実際の答えはｙ＞１の部分でした。どこがいけなかったのか分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします><
No.16076 - 2011/12/04(Sun) 17:15:45
☆ 再アップ / パラパラ
円x^2+y^2=1をCとする。
aを-1/2＜a＜0を満たす実数とし、点P(2,0)を通り、傾きaの直線をｌとする。（ｌ：ｙ＝a(x-2))さらにｌとCの交点をA.Bとし、Aは第一象限にあるものとする。A,BにおけるCの2つの接線の交点をQ（極）とする。aが上の範囲を動く時、Qの軌跡を求めよ

という問題で、極（極線）の知識を全面的に使って答えを出そうとしたところ
ｌはax-y=2aすなわち(1/2)a-(1/2a)y=1^2と変形できるので
Q(1/2,-1/(2a))となります。よってQの軌跡はｘ＝1/2上で、後は軌跡の限界を求めるだけで、

-1/2
-1/2<a<0
⇔-2<1/a<0
⇔0<-1/(2a)<1
となるのでQの軌跡はｘ＝１/2上の０＜ｙ＜１の部分・・答え

としたのですが実際の答えはｙ＞１の部分でした。どこがいけなかったのか分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします><
No.16077 - 2011/12/04(Sun) 17:21:56
☆ Re: 極 / klmo
> -1/2> ⇔-2<1/a<0
ここが間違ってます。
aに具体的な数字、例えばa=−1/10とかを入れるとわかります。
a=−1/10を入れて、パラパラさんと同じ手順でやってみると、
−1/2<−1/10<0
⇔−2<−10<0
このようになります。
逆数にするときは、不等号の向きを変えなくてはならないんですね。（自分も初めて気がつきました。）
0は逆数にしても変わらないので
−1/2<a<0
⇔−2>1/a<0
⇔−2>1/a、1/a<0
⇔1<−1/(2a)、−1/(2a)>0
⇔1<−1/(2a)
となります。
No.16084 - 2011/12/04(Sun) 22:22:08
★ べき乗 / U.N.known
Xの3分の１乗って表せますか？
確か２分の1乗は√なので、、、つけられたら教えて下さい
No.16073 - 2011/12/04(Sun) 07:23:39
☆ Re: べき乗 / angel
Xの1/3乗とは、Xの3乗根のこと。
なぜなら、(X^1/3)^3 = X^(1/3・3) = X だから。
紙に書くときには√の記号の左肩に3を乗せますが、掲示板で表現するなら [3]√X のようにすれば分かりやすいと思います。
No.16074 - 2011/12/04(Sun) 08:19:36
☆ Re: べき乗 / らすかる
記号の書き方は↓こちらをご覧下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E5%8F%B7#.E5.86.AA.E6.A0.B9
No.16075 - 2011/12/04(Sun) 08:26:30
★ 不等式の定積分の問題について / すずき　高２
こんにちは。

数?V教科書の問題です。教科書ガイドの解答の一部に関して質問します。

●問題
次のことを証明せよ。
x≧１のとき　1/(x^2)≦1/(x^2-x+1)≦1/x


●質問
下の画像はガイドの模範解答です。下線をひいてある部分の『ｘ＞０』は何のために書いてあるのかご教授頂きたいです。

問題文の『ｘ＞１』で十分だと思ったのですが、テストに出た場合これを書かないと減点されますか？
No.16069 - 2011/12/03(Sat) 12:28:07
☆ Re: 不等式の定積分の問題について / ヨッシー
書かなくても良いでしょうし、この解答のように、ただ　ｘ＞０ だけが
書いてあるのも、どうかと思います。

・・・-3/4＞０　これと ｘ＞０ とから以下の式が導ける。
みたいに日本語をしっかり書いた方が良いでしょう。
No.16070 - 2011/12/03(Sat) 12:39:51
☆ Re: 不等式の定積分の問題について / すずき　高２
ヨッシーさんご回答有難うございます。

そうですか。
確認できて、モヤモヤが晴れたようです。
有難う御座いました。
またよろしくお願いします。
No.16072 - 2011/12/03(Sat) 14:43:26
★ 不等式証明です / 八重
nを自然数とするとき、つぎの各不等式を証明せよ

(1) (1/(n+1))<∫[n,n+1](1/x)dx<(1/2)((1/n)+1/(n+1))
(2) Σ[k=1,n](1/k)>logn+(1/2)

どのように証明すればいいのかが分かりません
模範解答をぜひお願いしたいです！
No.16064 - 2011/12/03(Sat) 10:01:18
☆ (1) / angel
(1)については、添付の図のようなグラフをイメージして、積分を図形的に考えること。
※最悪、このグラフだけ描いておけば、ある程度点になるでしょうし。

1/(n+1) というのは、緑斜線部の面積に相当し、
∫[n,n+1](1/x)dx というのは、曲線とx軸にn≦x≦n+1の範囲で挟まれた部分、つまり緑斜線部とオレンジ斜線部の面積の合計に相当し、
(1/2)(1/n+1/(n+1))というのは、台形の面積、つまり緑斜線部とオレンジ斜線部と紫斜線部の面積の合計に相当します。

ということで、図で見ると明らかなんですね。

証明を書く場合は、各直線・曲線の上下関係を明らかにしてあげればよいです。
つまり、

　n＜x＜n+1 において、
　　1/(n+1)＜1/x＜( (n,1/n)と(n+1,1/(n+1))を結ぶ直線の式 )
　※x=n,n+1ではイコールになりますが、そこは無視して良いです
　のため、
　　∫[n,n+1]1/(n+1)・dx＜∫[n,n+1]1/x・dx＜∫[n,n+1] (直線の式)dx
　で、
　　∫[n,n+1]1/(n+1)・dx=1/(n+1)
　　∫[n,n+1](直線の式)dx = (1/2)(1/n+1/(n+1))

ということを書けば終わり。
最初の不等式は、計算を頑張って証明してください。
No.16067 - 2011/12/03(Sat) 11:38:13
☆ (2) / angel
(2)は、想像していたかも知れませんが、(1)の結果を使います。
つまり、
　1/2・(1/k+1/(k+1))＞∫[k,k+1]1/x・dx
これです。( nをkに置き換えています )
** n≧2 の場合 **、k=1 から順に並べると、
　1/2・(1/1+1/2　　　　　　　　　　　)＞∫[1,2]1/x・dx
　1/2・(　　1/2+1/3　　　　　　　　　)＞∫[2,3]1/x・dx
　1/2・(　　　　1/3+1/4　　　　　　　)＞∫[3,4]1/x・dx
　…
　1/2・(　　　　　　　　　1/(n-1)+1/n)＞∫[n-1,n]1/x・dx
で、辺々足すと、
　1/2・(1/1+1/n)+(1/2+1/3+…+1/(n-1))＞∫[1,n]1/x・dx
です。
※1/2〜1/(n-1)は2回ずつ現れるため
左辺を少し変形すると、
　(左辺)=1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1)+1/n - 1/2・(1/1+1/n)
　※1/1,1/nだけ1回しかない分を、(2-1)回と考えてあげる
で、右辺はそのまま
　(右辺)=logn
この不等式の結果を使えば、(2)が説明できるという寸法です。
なお、この計算は n≧2 の時の話なので、n=1 の時は別途説明が必要です。
No.16068 - 2011/12/03(Sat) 11:50:46
★ (No Subject) / ぷりん
0の二乗って１なんでしょうか・・？
No.16062 - 2011/12/03(Sat) 01:28:42
☆ Re: / ヨッシー
０×０＝０　です。
No.16063 - 2011/12/03(Sat) 05:49:41
★ 回転体 / DIE
続けて失礼致します・・・。
添付問題一番最後の表面積のところです。

回答をいただきました図で考えますと、最大の球にしたいのならば、Dから三角形ABCの辺OR頂点で一番遠いところを探し、半径とすればよいと思いました。
しかし、回答では辺ACに垂線を下ろしそれを半径としています。
よくわかりません・・・
申し訳ないのですが、易しく教えていただけると助かります。
よろしくお願いします＞＜
No.16057 - 2011/12/02(Fri) 22:38:13
☆ Re: 回転体 / DIE
これが正答の、参考にした図です。
No.16058 - 2011/12/02(Fri) 22:38:43
☆ Re: 回転体 / ヨッシー
球が回転体を含むのではありません。
球が回転体に、完全に含まれていないといけないのです。
No.16060 - 2011/12/02(Fri) 23:46:10
☆ Re: 回転体 / DIE
成程です。
つまり、最大のもの、といいつつも含まれるには小さいものが自動的に答えになるのですね・・・
ありがとうございました！
No.16165 - 2011/12/15(Thu) 00:21:17
★ 不等式 / DIE
質問よろしくお願いします。

カキの部分がわかりません。
一応回答をいただきましたが、書いている部分の説明がさっぱりわからず。。。。
申し訳ありませんが、易しく教えて頂けないでしょうか。
お願いします。
No.16054 - 2011/12/02(Fri) 22:29:07
☆ Re: 不等式 / DIE
こちら正答です。
No.16055 - 2011/12/02(Fri) 22:29:34
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
α＋β＝9＋√5 であるので、
　ｙ＝|2x−9−√5|
のグラフを考えます。
　ｘ≧(9＋√5)/2 のとき、ｙ＝2x−9−√5
　ｘ＜(9＋√5)/2 のとき、ｙ＝−2x＋9＋√5
であるので、ｘ＝(9＋√5)/2 付近のグラフは図のようになります。

このグラフとｙ＝ｋとの関係を考えます。
図に描いたようなｋの値では、ｙ＝|2x−9−√5| において
ｙ＝ｋ の線より下の部分に、ｘが整数の点はありません。
ｋが、ｘ＝６であるＡ点を通る位置に来て、初めてｘ＝６
という整数をｙ＝ｋより下（線上も含む）に置くことになります。
Ａ点のｙ座標を求めると、
　２・６−９−√5＝3−√5
となります。
これが、最小のｋとなります。
No.16059 - 2011/12/02(Fri) 23:22:10
☆ Re: 不等式 / DIE
成程よくわかりました。
定石でしたね・・・
どうもありがとうございました。
No.16166 - 2011/12/15(Thu) 00:29:46
★ 確率 / DIE
添付の問題、（5）についてです。
表が一回、表が０回、ランダムに表が二回出る場合を考えましたが答えが合いません。
すみませんが、どうかご指摘いただけると幸いです。
よろしくお願いします。
No.16052 - 2011/12/02(Fri) 21:53:18
☆ Re: 確率 / DIE
こちらが自分の回答です。。。
No.16053 - 2011/12/02(Fri) 21:54:15
☆ Re: 確率 / ヨッシー
表が２回続かなければいいので、
　表裏表裏表裏表
でも良いのです。

表の次は裏だけ。裏の次は表でも裏でも良い。
というルールで、樹形図を描くと、図のようになります。

これを、（表の数、裏の数）のように、
上から（１，１）（１，２）（２，３）（３，５）のように表すとすると、
（ａ，ｂ） の次は （ｂ，ａ＋ｂ） となるので、
（３，５）の続きは、（５，８）（８，１３）（１３，２１）となり、
計３４通りの表裏の出方があります。

確率は　３４／１２８＝１７／６４　です。
No.16056 - 2011/12/02(Fri) 22:34:51
☆ Re: 確率 / angel
重複組み合わせ H はご存知でしょうか。
※nHm=(n+m-1)C(n-1)=(n+m-1)Cm
　n種から重複を許してm個を選ぶ(選ばない種があっても良い)場合の数
これを使って計算することもできます。

例えば7回中3回表の場合を考えます。
何回目が表かは分かりませんが、7回分の出目?を並べると、
　・□表△表△表□
　※□,△は裏が0回以上出る
のようになっているはずです。
ここで、「表が続けて2回以上出ない」という条件を考慮すると、
　・○表裏○表裏○表○
　※○は裏が0回以上出る
と、△の部分に必ず裏が1回入って、それで△,□を○に書き換えると、結局○4箇所に残り2回の裏がどう配置されるか、4H2通りと計算できます。
　※○表○裏表○裏表○ と考えても同様。
ちなみに、4H2=(4+2-1)C(4-1)=5C3=10通り
全部列挙すると、
　裏裏(表裏)(表裏)(表)
　裏(表裏)裏(表裏)(表)
　裏(表裏)(表裏)裏(表)
　裏(表裏)(表裏)(表)裏
　(表裏)裏裏(表裏)(表)
　(表裏)裏(表裏)裏(表)
　(表裏)裏(表裏)(表)裏
　(表裏)(表裏)裏裏(表)
　(表裏)(表裏)裏(表)裏
　(表裏)(表裏)(表)裏裏
　※○以外の部分(表裏のペア等が確定している部分)はカッコでまとめています

さて、これを一般形にすると、
・n回のうち表がk回、表は2回以上続けて出ない
　→ □が2箇所、△がk-1箇所、裏がn-k回
　→ ○がk+1箇所、裏の残りが n-2k+1回
　　※同時に、n-2k+1≧0 すなわち k≦(n+1)/2 と分かる
　→ (k+1)H(n-2k+1)=(k+1+n-2k+1-1)C(k+1-1)=(n-k+1)Ck通り
　　※これはk=0の時の1通りもカバーできる計算式
なので、今回の7回中表が0〜4回に当てはめると、
　(7-0+1)C0 + (7-1+1)C1 + (7-2+1)C2 + (7-3+1)C3 + (7-4+1)C4 = 34通り
と計算できます。( ?納k=0,4](7-k+1)Ck )
もし表・裏の確率が異なるかもしれないことを考慮すると、
　?納k=0,4]p^k・q^(7-k)・(7-k+1)Ck
　※pは表が出る確率、qは裏が出る確率、今回はp=q=1/2
という確率になります。
No.16065 - 2011/12/03(Sat) 10:25:39
★ 確率です / 聞かれて困った親爺
簡単なものだと思うのですがご教授ください
１０個の数字から４個を選び、その４個の数字から１個の数字が出る確率と、２こ、３個の出る確率。
式と答えを教えていただければありがたいです。
No.16044 - 2011/12/02(Fri) 00:35:44
☆ Re: 確率です / らすかる
「４個の数字から１個の数字が出る」とはどういう意味ですか？
No.16045 - 2011/12/02(Fri) 00:57:28
☆ Re: 確率です / 聞かれて困った親爺
恐れ入ります
１０個の数字からまず４個を選びます。
選ばれた４個の数字の中から再び１つが選ばれる確率だと思います。
No.16046 - 2011/12/02(Fri) 06:19:24
☆ Re: 確率です / らすかる
「再び１つが選ばれる」とはどういう意味ですか？
「１０個の数字から４個を選ぶ」という操作の後に行う操作が
何も決められていないのに、「選ばれる」わけがありません。
No.16047 - 2011/12/02(Fri) 06:25:12
☆ Re: 確率です / 聞かれて困った親爺
説明が稚拙ですみません
まず１０個の数字から４つを選びます。
次に選ばれた４つの数字から１つを選んだ時の確率
No.16049 - 2011/12/02(Fri) 07:47:10
☆ Re: 確率です / ヨッシー
具体的に書くと、何が不足しているかわかるでしょう。
　１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０
の１０個の数字があります。ここから４個を選びます。
　１，２，３，４
を選んだとします。そこから１つを選びます。
　１を選ぶ場合があります。
　２を選ぶ場合もあります。
　３を選ぶ場合もあります。
　４を選ぶ場合もあります。
で、何の確率ですか？

まずは、元になる問題があるはずですので、それを、
一字一句漏らさず、書いてみてください。
No.16050 - 2011/12/02(Fri) 10:09:34
★ 行列 / 俺
恐らく簡単な質問なのですが、画像で?Eの後からどうやって?Fを導いているのですか？
No.16041 - 2011/12/01(Thu) 23:04:20
☆ Re: 行列 / X
途中まで。

(6)の両辺にA^nをかけると、そのすぐ下の式になるのは
よろしいですか？
その式から
A^(n+2)-αA^(n+1)=β{A^(n+1)-αA^n} (A)
ここで
A^(n+1)-αA^n=X[n]
と置くと(A)は
X[n+1]=βX[n]
というX[n]についての漸化式になります。
No.16042 - 2011/12/01(Thu) 23:21:56
☆ Re: 行列 / 俺
わかりました

早いお返事ありがとうございました
No.16043 - 2011/12/02(Fri) 00:19:09
★ 虚数について。 / 13
中学3年生が出来る限り理解できるように、虚数について説明してください。
ついでに2次方程式の範囲は全て修了しました。
No.16040 - 2011/12/01(Thu) 20:28:14
☆ Re: 虚数について。 / klmo
虚数の説明と言われても、、、
Newton（ニュートン）という雑誌の2008年 12月号で虚数についての特集があったので、読んでみるといいと思います。図書館なら、雑誌コーナーとかにあるかもしれないので、探してみてください。Amazonで売ってたかな、、、？
No.16061 - 2011/12/03(Sat) 01:14:09
☆ Re: 虚数について。 / angel
…どんなことが知りたいのでしょう？

取り敢えず2次方程式の延長でいくなら、i^2=-1 ( √(-1)=i ) となる数 i ( 虚数単位 ) を導入することで、実数解を持たない ( 判別式が負となる ) 2次方程式でも解を考えることができる、となります。
実際には a+bi (a,bは実数) の形で使うことになって、これを複素数と呼びます。

ということで、複素数というのは実数を拡張した数になっているのですが、自然数〜複素数の間にどういう拡張かがあったかを順に挙げていくと、

　自然数→整数：0、負の数の導入により、常に引き算が可能に
　整数→有理数：分数の導入により、常に(0以外での)割り算が可能に
　有理数→実数：無理数の導入により、？？が可能に
　　※ここは難しいので割愛
　実数→複素数：虚数iの導入により、n次方程式が常に解を持つように

という感じでしょうか。

なお、一つ注意が必要な点としては、自然数〜実数は1本の数直線上で表現することができ、「大小」関係を決められるのですが、複素数は2個1組の実数値で表現するため、図形的には平面上の点として扱い、大小関係がない、というところです。

さて、こんな複素数を使って何が嬉しいかというと、良く言われるのが電子工学の交流回路で役立つ、というところですね。
交流というのは、直流と違って電源の電圧が周期的に変動するものを指します。一般家庭で使う電気がコレです。
直流の場合のオームの法則
　Ｖ=ＲＩ ( Ｖが電圧、Ｒが抵抗、Ｉが電流 )
に相当するものとして、
　Ｖ=ＺＩ ( Ｖが電圧、Ｚがインピーダンス、Ｉが電流 )
があるのですが、これらＶ,Ｚ,Ｉの表現に複素数が役立ちます。
No.16071 - 2011/12/03(Sat) 12:54:56
☆ Re: 虚数について。 / 13
質問しておいて遅くてすいません_(._.)_
解答ありがとうございます。

>>klmo さん
ニュートンのその記事は、たまたま機会があり読みました。

>>angel
i^2=−1　の式・2乗してマイナスになるものというのは理解しているのですが、複素数と言うのと密接なかかわりがあるというのも分かるのですが、用語が中学数学の知識では理解できず、なんとか中学校時点で虚数と言うモノ自体の性質や具体的にどんな数なのかというのをしっかりと理解したく質問しました。
なので、もう少しレベルを落として、中学数学程度のレベルでも理解できるようにお願いします_(._.)_

具体的には、複素数について　と　虚数がi^2=−1というのは分かるが、その値は具体的になんなのか　というモノです。引き続きお願いします_(._.)_
No.16107 - 2011/12/06(Tue) 19:15:01
☆ Re: 虚数について。 / angel
> もう少しレベルを落として、中学数学程度のレベルでも理解できるようにお願いします
いや、実はね。高校生になったからもっと理解できるかというと、そんなことはなくて。
あくまで i というのは「2乗すると-1になる実数でない数」でしかないのですよ。

> (虚数iの)その値は具体的になんなのか　というモノです。
残念にも、というか。すごく気持ちは分かるのですが、その質問に答はでません。
なんとなく、自然界にある何かを測って、そうするとそれが整数なり実数なりになる、そんなイメージを持っているのかも知れませんが、実際はそうではないのです。
あくまで数というのは人間が作り出したもので、それが上手く適用できるように色々考えを工夫しているのが実際です。
※整数を考える時に出てきた「負の数」というのも、実際に何かを観測して負の数を発見したわけではなくて、負の数というのを作り出した上で、それが「何か基準を下回る状態」を表すのに使おう、という工夫をしているわけです。

まあだから、虚数単位 i ってのは imaginary number ( 想像上の数 ) の略だったりするんですけど、そもそも数って全部想像上の産物なのです。
…とはいえ、自然数〜実数までは、大小の概念があって、実際にモノを数えたり測ったりに使えるので、非常に身近に感じることができる数なのですが。

で、中学生範囲では、虚数を使って表せる何か自然現象や何かはないと思います。高校範囲でも苦しいのでは…。
前の回答で挙げた「交流回路」なんかはその一例なのですが…。
No.16128 - 2011/12/09(Fri) 00:35:38
★ チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
天秤法の各頂点や交点に書く添え字（写真の〔〕内の数）からいっきに面積比が出せる面白い性質があるようです。
例えば
?僊PE：?傳CD=Bの添え字×Cの添え字×Dの添え字：Aの添え字×Pの添え字×Eの添え字
つまり?僊PE：?傳CD＝９・８・１５：６・２３・１４

という風に向かい合うように添え字の積を書けば面積比が出て、実際これは確かめたらちゃんと合ってました。
実際に?儕AB:?僊BC、?儕BC:?僊BC、?儕CA：?僊BC、?僊DE：?僊BC、?傳DF：?僊BC、?僂EF：?僊BC
は実験して確かに合いました。

しかし?僖EF:?僊BC＝６・９・８：１５・１４・１７
とはならず?僖EF:?僊BCの場合は使えないようです。

どういう時に使えてどういう時に使えないのか教えてください。

さらに?僊CF:?僥EPや三角形ADE：四角形ADFCや三角形DBE：５角形ADPFCなど三角形以外の面積比にも拡張できるのかどうかも教えてください。

知恵袋で質問しましたが正しいと思われる回答が出てこなかったので最後の頼みの綱として投稿させてもらいました。どうかよろしく御願いします。

天秤法についての参考URL
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1476403054
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1357193258

追記　すみません、写真のAE：ECは４：３の誤植でした。
No.16033 - 2011/11/30(Wed) 18:13:55
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
これらの添え字は、各辺ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦ上での
分割比なので、これらの線で出来た三角形の場合にのみ
成り立ちます。
No.16034 - 2011/11/30(Wed) 19:16:40
☆ (No Subject) / まるこ
回答本当にありがとうございます。

各辺（全ての辺？）ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦで出来た三角形の場合にのみ成り立つという事ですが
?僊DE＝?僊BC・(4/7)・（3/5)より?僊DE:?僊BC＝１２：３５
?僊DE:?僊BC＝６・９・８：６・１５・１４＝１２：３５
で一致するので各辺ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦ上にないAEを使った三角形でも成り立ってしまう（反例が見つかってしまう）のですが。
No.16035 - 2011/12/01(Thu) 00:02:12
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
これらの添え字は、
　ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ，ＣＤ，ＢＥ，ＡＦ
上での分割比なので、これらの線を２本以上含む三角形の場合にのみ
成り立ちます。

でどうでしょう？

結局、ＤＥＦだけ例外です。

もともと、これらの添え字は辺の比によって、決められたものなので、
面積比較される２つの三角形が、下の図のように、
辺の比が面積の比に反映されるような変形で移せる場合に
このやり方が使えます。

もう少し詳しく調べると、△ＤＥＦの場合は、
２倍大きな比になることが分かります。
No.16036 - 2011/12/01(Thu) 06:39:05
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
回答ありがとうございます。

そういうことだったんですね！理解力が乏しくてすみませんでした。。

しつこくて申し訳ないですが、四角形ADFE：?儕ECや?僖PE:五角形ADPFCや四角形ADFE：五角形ADPFCなど三角形以外にも拡張できないのでしょうか？

あと、△ＤＥＦの場合は、
２倍大きな比になる理由もどうやって調べたのか迷惑でなければ聞いてもいいですか？

よろしく御願いします
No.16037 - 2011/12/01(Thu) 11:22:26
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
四角形、五角形で成り立つとは、考えにくいですね。

△ＤＥＦについては、
16033の記事の図のように ＡＢＣＤＥＦＰ があり、
Ａ，Ｂ，Ｃにそれぞれ、ａ，ｂ，ｃ が添え字として書かれているとします。
このときＤ(a+b)，Ｅ(c+a)，Ｆ(b+c)，Ｐ(a+b+c) となります。
同時に、
ＡＤ：ＤＢ＝ｂ：ａ、ＡＥ：ＥＣ＝ｃ：ａ、ＢＦ：ＦＣ＝ｃ：ｂ
であるので、
　△ＡＤＥ＝{b/(a+b)}{c/(c+a)}△ＡＢＣ
　△ＢＤＦ＝{a/(a+b)}{c/(b+c)}△ＡＢＣ
　△ＣＥＦ＝{a/(c+a)}{b/(b+c)}△ＡＢＣ
なので、
　△ＤＥＦ＝△ＡＢＣ−△ＡＤＥ−△ＢＤＦ−△ＣＥＦ
に、これらを代入して、ゴリゴリ計算すると、
　△ＤＥＦ＝{2abc/(a+b)(b+c)(c+a)}△ＡＢＣ
になります。これは、添字の積から得られる
　abc/(a+b)(b+c)(c+a)
の２倍となります。
No.16038 - 2011/12/01(Thu) 14:23:45
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
回答本当にありがとうございます。

恐縮ですが、追加でもう２点質問させてください。

?@この添え字の掛け算を線分比に使った時の適用条件
?A「ベクトルで始点を合わせたとき、残りのアルファベットが係数と一致する」の適用条件

を教えてください

それぞれ画像の?@、?Aと対応しています

どうかよろしく御願いします
No.16039 - 2011/12/01(Thu) 20:26:28
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
?@同一直線上にある２つまたは３つの線分に適用
?Aの前半
　三角形の頂点から伸びる３本の半直線上のベクトルで、
　三角形の辺上の２つのベクトルと、三角形上を横切る直線上のベクトルの関係式に適用
?Aの後半
　同一直線上、同一方向の２つまたは３つのベクトルに適用（線分比と同じ）
ただし、いずれも、始点終点は、アルファベットでい示された点であること。
No.16048 - 2011/12/02(Fri) 06:59:21
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
回答ありがとうございます。?Aの前半は
２３ベクトルAP＝・・の場合か
１７ベクトルAF=・・・
の場合しか使えない（・・・はベクトル９AB,８AC,１５AD,１４AEのいずれかの組み合わせ）ということでいいんでしょうか？

よろしくお願いします。
No.16106 - 2011/12/06(Tue) 18:40:23
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
だれかおねがいします
No.16130 - 2011/12/09(Fri) 03:42:45
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
ベクトルの表記は省略します。

２３ＡＰ＝９ＡＢ＋８ＡＣ
と書いてありますが、最初の考え(線分の両端の添え字を掛ける）で行くと、
　６・２３ＡＰ＝６・９ＡＢ＋６・８ＡＣ
ですよね？この考えで行くと
　Ｌ＝Ｍ＋Ｎ　の
Ｌには　６・１７ＡＦ、６・２３ＡＰ、１７・２３ＰＦ
Ｍには　６・９ＡＢ，６・１５ＡＤ，９・１５ＤＢ
Ｎには　６・８ＡＣ、６・１４ＡＥ，８・１４ＥＣ
のいずれを入れても成り立ちます。
また、ＢＥ，ＢＡ，ＢＣ 方向や ＣＤ，ＣＡ，ＣＢ方向の
ベクトルについても成り立ちます。

基本は　内分の公式による
　ＡＦ＝(９ＡＢ＋８ＡＣ)/１７
を変形した
　１７ＡＦ＝９ＡＢ＋８ＡＣ
です。これに、Ａの添え字を掛けた
　６・１７ＡＦ＝６・９ＡＢ＋６・８ＡＣ
あとは、線分比の時と同じ考えで、
　６・１７ＡＦ＝６・２３ＡＰ＝１７・２３ＰＦ
　６・９ＡＢ＝６・１５ＡＤ＝９・１５ＤＢ
　６・８ＡＣ＝６・１４ＡＥ＝８・１４ＥＣ
にそれぞれ、置き換えることが出来ます。
No.16131 - 2011/12/09(Fri) 06:28:02
★ チェバの定理の形 / まるこ
?僊BCとその内部にPがあって
APの延長とBCの交点をF
BPの延長とACの交点をE
CPの延長とABの交点をDとして
AE:EC=3:2,CF:FB=4:9,BD:DA=3:2
AP:PF=13:6、BP:PE=15:4、CP:PD=10:9

?儕AB:?儕BC;?儕CA：?僊BC=６：９：４：１９
までは分かっています

?僖EF:?僊BCの面積比を教えてください
よろしく御願いします。
No.16029 - 2011/11/29(Tue) 20:42:50
☆ Re: チェバの定理の形 / ヨッシー
質問の内容に、直接影響しないですが、
　ＣＰ：ＰＤ＝１０：９
になります。

さて、質問の方ですが、
　△ＡＤＥ＝(2/5)(3/5)△ＡＢＣ＝(6/25)△ＡＢＣ
のように、△ＢＤＦ、△ＣＥＦ が△ＡＢＣの何倍かを出して、
残りが、△ＤＥＦとなります。
No.16030 - 2011/11/29(Tue) 22:45:31
☆ Re: チェバの定理の形 / まるこ
ありがとうございます。答えは７２：３２５で合ってますか？どなたか確認お願いします
No.16031 - 2011/11/29(Tue) 23:37:22
☆ Re: チェバの定理の形 / ヨッシー
合ってます。
No.16032 - 2011/11/29(Tue) 23:51:29
★ 数?V / ぶんぶん
すいません、解答解説おねがいします。
g(x)は0≦x≦1で連続な関数で、0≦g(x)≦1であるとき、g(c)=c となるcが存在することを証明せよ。
できるだけ分かりやすく教えてください。
贅沢いってすいません。よろしくお願いします。
No.16027 - 2011/11/29(Tue) 17:55:11
☆ Re: 数?V / X
f(x)=g(x)-x
と置くと、条件から
f(x)は0≦x≦1で連続 (A)
又
0≦g(x)≦1 (B)
により
f(0)=g(0)≧0 (C)
更に
f(1)=g(1)-1
と(B)により
f(1)≦0 (D)
(A)(C)(D)から中間値の定理により命題は成立します。
No.16028 - 2011/11/29(Tue) 19:25:28
★ 必要条件十分条件 / ウンディネ
自然数ｍ、ｎについて
p:mは2の倍数
ｔ：３ｍ＋２ｎは6の倍数
「ｐかつｔバー」ならば「n^2+αは3の倍数」が新であるような2桁の自然数αは全部で何個あるか？

という問題で解説の理解はできるのですがｍ、ｎが自然数という条件を無視しているのでそれで本当に漏れが無いのかの確信が持てません。（なぜこの解答でいいのかが分かりません）

ｐかつｔばーのときすなわち
ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でないとき、
３ｍは６の倍数であるから、２ｎは6の倍数ではない。
よってｎは３の倍数ではない。
このときｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）と表す事ができ
ｎ＾２＋α＝３（　）＋１＋α
が3の倍数となるような自然数αは３で割った余りが２となるものであり、そのうち2桁のものはα＝１１，１４，１７、・・、９８の30個。

解説は省略せずにすべて書きました。

解説を始めから順に見て行きます。
ｐかつｔばー
⇔ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でない
⇔ｍが２の倍数でかつ２ｎは6の倍数ではない。（ｎは3の倍数ではない）
まずここから疑問があります。ｍ、ｎ≧１を考慮すると
３ｍ＋２ｎ≧５ですよね。でもかといって5以上の全ての自然数というわけでもないですよね。３ｍ＋２ｎ＝１２など実現不可能ですし。

さらにｎ＝３ｌ±１もｌは整数、つまりｎが自然数という条件より広い整数という条件で設定しています。

これらが特に気になっています。

よろしく御願いします。
No.16023 - 2011/11/28(Mon) 20:41:57
☆ Re: 必要条件十分条件 / angel
この場合、「m,nが自然数」というのは問題の前提です。
なので、
> ｐかつｔばー
> ⇔ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でない
> ⇔ｍが２の倍数でかつ２ｎは6の倍数ではない。（ｎは3の倍数ではない）
これをより正確に言うと、
　m,nが自然数かつ ｐ かつ ｔバー
　⇔ m,nが自然数かつmが2の倍数かつ3m+2nが6の倍数でない
　⇔ m,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
のようになります。
毎回「m,nが自然数」と書くのもくどいので、これは省略していると思ってください。
そうすると、3m+2n=4 などは「m,nが自然数かつ…」の条件にもともとあてはまらないので、考える必要がありません。
No.16026 - 2011/11/29(Tue) 01:29:43
☆ Re: 必要条件十分条件 / ウンディネ
m,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
の後ｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）とおきますが、これはｎが自然数という条件よりも広くとってますよね。（ｎが負の場合も含めてしまっている）そしてｎ＾２＋αに代入して解答を進めています。ということは本来のｎ：自然数という条件より広く取ってしまった分、不適なケースがでてくるのではないでしょうか？（必要条件で考えたので最後に吟味が必要なのではないでしょうか？）
さらにm,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
という条件なので最後に出したｎそれぞれに対してｍが２の倍数でかつ自然数かどうかの吟味が必要なのではないでしょうか？

それらの吟味をなぜしなくていいのかが分かりません。
どうかご教授ください。
No.16093 - 2011/12/05(Mon) 15:07:22
★ 高2　逆関数と合成関数 / れいひゃー
次の関数f(x)、g(x)について、(gof)(x)の定義域と値域を求めよ。

(1)f(x)＝2x+3　(1≦x≦3)、g(x)＝x^2　(0≦x≦10)

(2)f(x)＝√(x+4)、g(x)＝１/(x+1)


答えは
(1)定義域：1≦x≦3
値域：25≦x≦81

(2)定義域：x≧-4
値域：0＜y≦1


合成関数の作り方(?)は
(gof)(x)だから、g(x)のxのところにf(x)の関数を入れるというのは分かるのですが、
定義域と値域の求め方が分かりません。
どのようにして求めるのか教えて下さい
No.16019 - 2011/11/28(Mon) 13:13:49
☆ Re: 高2　逆関数と合成関数 / X
(1)
(gof)(x)の定義域について
1≦x≦3 (A)
0≦f(x)≦10 (B)
(A)(B)を連立して解きます。
求められた定義域を使って値域を計算します。

(2)
この場合は式の形から
f(x)の定義域はx≧-4
g(x)の定義域はx＜-1,-1＜x
後の方針は(1)の場合と同じです。
No.16020 - 2011/11/28(Mon) 17:50:19
☆ Re: 高2　逆関数と合成関数 / れいひゃー
回答有難うございます！


(1)はとても納得しました、ありがとうございます！

(2)なんですけど、
x≧-4とx＜-1,-1＜x　だったら

x≧-4(x≠1)

とかにはならないのでしょうか?
No.16022 - 2011/11/28(Mon) 19:33:50
☆ Re: 高2　逆関数と合成関数 / X
なりません。
れいひゃーさんの言ってることは(1)の場合であったら
1≦x≦3,0≦x≦10
だったら、定義域はその共通部分である
1≦x≦3
とならないか？
と言っているのと同じです。
No.16025 - 2011/11/28(Mon) 23:12:49
★ 確立と漸化式 / klmo
袋の中に赤玉4個と白玉6個が入っている。3個を同時に袋から取り出し、取り出された赤玉の個数を記録してから袋に戻す。この試行をn回繰り返した時、記録された赤玉の個数の合計が奇数である確率をPnとする。
P(n+1)をPnで表せ。

解答には、
取り出された赤玉の個数について、（n+1）回目までの合計が奇数であるのは次の2つの場合である。
1…n回目までの合計が奇数で、（n+1）回目の個数が偶数
2…n回目までの合計が偶数で、（n+1）回目の個数が奇数
各回の試行は独立であるから、どの回でも取り出される赤玉の個数が奇数の確率はP1=（4C1×6C2）/10C3+4C3/10C3=8/15、偶数の確率は1-P1=7/15
ゆえに、
P(n+1)=(7/15)Pn+(8/15)(1-Pn)ー☆
と書いてありました。

どうしていきなり☆が出るのか分かりません。
解説お願いします。
No.16011 - 2011/11/27(Sun) 21:57:27
☆ Re: 確立と漸化式 / ヨッシー
ｎ回までの合計が奇数である確率はＰn、ｎ＋１回目が偶数である確率は 7/15 であるので、上記の
1…n回目までの合計が奇数で、（n+1）回目の個数が偶数
の確率は、Ｐｎ×7/15
ｎ回までの合計が偶数である確率は１−Ｐn、ｎ＋１回目が奇数である確率は 8/15 であるので、上記の
2…n回目までの合計が偶数で、（n+1）回目の個数が奇数
の確率は、(1−Ｐｎ)×8/15
両者を合わせて、☆の式となります。
No.16012 - 2011/11/27(Sun) 22:29:32
☆ Re: 確立と漸化式 / klmo
素早い返信有難うございます。
明日テストなので助かりました。
No.16014 - 2011/11/27(Sun) 23:05:46
★ 確率の基礎知識 / なき
４Ｃ２と４Ｐ２の違いがよくわかりません

よろしくお願いします
No.16004 - 2011/11/27(Sun) 14:24:35
☆ Re: 確率の基礎知識 / なき
６人の生徒を（１）Ａ、Ｂ，Ｃの３つの組に二人ずつわける方法

（２）ただ二人ずつ三つの組にわける方法

（1）と（２）の違いがよくわかりません。

何故、（２）では（１）の答を３！で割るのですか？

追加してすいません

No.16006 - 2011/11/27(Sun) 16:40:21
☆ Re: 確率の基礎知識 / angel
> ４Ｃ２と４Ｐ２の違いがよくわかりません

違い…ね。
どこまで知っていて、どこが分からなくなっているか、もう少し自分の中で整理して貰ったほうが良いように思います。
取り敢えず、C,Pがどんなものかといえば、

　・CはCombination(組み合わせ)の頭文字、PはPermutation(順列)の頭文字
　・計算式は、
　　4P2=4×3, 4C2=4×3÷(2×1)
　　別の数字の例だと、
　　9P3=9×8×7, 9C3=9×8×7÷(3×2×1)
　・P,Cの関係式で言うと、
　　4C2=4P2÷2!
　　も一つ例を挙げると、9C3=9P3÷3!
　・P,Cそれぞれの性質としては、
　　4P4=4!, 9P9=9! (左右の数が同じなら、階乗 ! と同じ)
　　4P2=4!÷(4-2)!, 9P3=9!÷(9-3)!
　　9C3=9C(9-3) (9個中3個を選ぶは、9個中6個を残す、と同じこと)
　　nP0=nC0=1 ( nは任意の非負整数 )、ついでに 0!=1

と、ざっとこれくらいの話はありますけど。
No.16007 - 2011/11/27(Sun) 17:02:56
☆ Re: 確率の基礎知識 / angel
> ６人の生徒を（１）Ａ、Ｂ，Ｃの３つの組に二人ずつわける方法
>（２）ただ二人ずつ三つの組にわける方法
>（1）と（２）の違いがよくわかりません。

生徒を a,b,c,d,e,f としましょうか。
(1) は、例えば a,b/c,d/e,f と組に分かれる場合に、
　Aにa達(a,b)、Bにc達(c,d)、Cにe達(e,f)
　Aにa達、Bにe達、Cにc達
　Aにc達、Bにa達、Cにe達
　Aにc達、Bにe達、Cにa達
　Aにe達、Bにa達、Cにc達
　Aにe達、Bにc達、Cにa達
というケースをそれぞれ区別して、計6通りだと数えます。
※この6は、3!=6 として計算できます。

ところが、(2)はこれらを区別しません。
つまり、あくまで誰と誰が一緒になるかだけを見ていて、そのグループにA,B,Cといった名前をつけないわけです。

結局、a〜f がどのように分かれるにせよ、(1),(2)ではこの6倍の違いがでるため、(2)は(1)の答を6で割ったものになるわけです。
No.16008 - 2011/11/27(Sun) 18:34:29
☆ Re: 確率の基礎知識 / なき
追加問題の区別の問題はわかりました

ありがとうございました

しかし，４Ｃ２と４Ｐ２の違いについてです。例えば男子四人 女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶとき，すべての場合の数を求める問題があったとします

何故、8Ｃ３にしてはいけないのですか？
No.16015 - 2011/11/27(Sun) 23:28:31
☆ Re: 確率の基礎知識 / らすかる
「男子四人 女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶ」だけなら
8C3で合ってますよ。
No.16016 - 2011/11/28(Mon) 00:09:19
☆ Re: 確率の基礎知識 / なく
すいませんで。８Ｃ３ではなく８Ｐ３の場合です
No.16017 - 2011/11/28(Mon) 00:44:23
☆ Re: 確率の基礎知識 / angel
> しかし，４Ｃ２と４Ｐ２の違いについてです。例えば男子四人 女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶとき，すべての場合の数を求める問題があったとします
> 何故、8Ｃ３にしてはいけないのですか？

その問題がどういう状況を考えさせるものかによります。
「選ぶ」なら C(ombination)、「並べる」ならP(ermutation) とはならないこともあります。

もしそのリレーの問題が、
・計8人から3人を選び、さらに走る順番まで考える
という内容であれば 8P3 になります。
これは、8人中3人を、1番走者・2番走者・アンカー(3番走者)という枠に並べるのと同じことだからです。

でも、走る順番まで考えなくて良い問題であれば、8C3 になります。これは問題に書いてあることを良く読んで、意図を把握するしかないです。
No.16018 - 2011/11/28(Mon) 01:11:29
☆ Re: 確率の基礎知識 / なき
大変よくわかりました！

本当にありがとうございました！
No.16021 - 2011/11/28(Mon) 18:59:27
★ 数列 / イド
数列 a1,a2,a3,…を次のように定める。
a1=1,a2=a3=2,a4=a5=a6=3,……
（１）与えられた自然数nに対して，ai=n となるようなiの範囲を求めよ。
（２）mを自然数とするとき，この数列の初項から第2m^2項までの総和を求めよ。

(1)は
(1/2)n(n-1)+1≦i≦(1/2)n(n+1)って感じになったんですけど、あってますか？　それに根拠がそのように書けばいいか分かりません
(2)は2m^2を代入してもなんかできません

模範解答をお願いしたいです
No.16002 - 2011/11/27(Sun) 12:23:53
☆ Re: 数列 / angel
(1)正解です。
根拠といっても、あまり書くことはないのですが ( 割と書きようがない )、解答としてはこんな感じでしょうか。

　a[i]≦n を満たす項数は、
　1+2+…+n = 1/2・n(n+1)
　※より厳密に書くなら Σ[k=1,n]k=1/2・n(n+1)
　であるため、a[i]=n となる最後の項は 1/2・n(n+1)項目
　また、連続した n項が a[i]=n となるため、a[i]=n となる最初の項は、
　1/2・n(n+1)-n+1=1/2・n(n-1)+1
　であり、求める i の範囲は 1/2・n(n-1)+1≦i≦1/2・n(n+1)

なお、a[i]≦n-1 の範囲を考えて、その次から…というように話を持っていく場合、n=1 を特別扱いする必要がありますので注意。
No.16009 - 2011/11/27(Sun) 18:49:14
☆ Re: 数列 / イド
解答ありがとうございます
一応(2)も解けたんですけど、これでいいでしょうか？

(1/2)n(n-1)+1≦2m^2≦(1/2)n(n+1)
より
(1/2)n(n-1)+1≦2m^2 (A)
2m^2≦(1/2)n(n+1) (B)
(A)より
n^2-n+2-4m^2≦0
∴{1-√(16m^2-7)}/2≦n≦{1+√(16m^2-7)}/2 (A)'
(B)より
n^2+n-4m^2≧0
∴n≦{-1-√(16m^2-1)}/2,{-1+√(16m^2-1)}/2≦n (B)'
(A)'(B)'より
{-1+√(16m^2-1)}/2≦n≦{1+√(16m^2-7)}/2 (C)
更に
{1+√(16m^2-7)}/2<(1+4m)/2=1/2+2m (D)
又
(16m^2-1)-(4m-1)^2=8m-2>0
∴{-1+√(16m^2-1)}/2>{-1+(4m-1)}/2=2m-1 (E)
(C)(D)(E)より
2m-1<n<2m+1/2
よって
n=2m
No.16010 - 2011/11/27(Sun) 19:38:20
☆ Re: 数列 / angel
> 一応(2)も解けたんですけど、これでいいでしょうか？
多分間違えてはいないのですが、コレやってたら解答書くの大変です、というのと、n=2m が分かった先まだまだ続きます、ということで。
もっとサラリと書いて問題ないです。

　n=2m に対して、
　　(1/2)n(n-1)+1=(1/2)・2m(2m-1)=2m^2-m＜2m^2
　　(1/2)n(n+1)=(1/2)・2m(2m+1)=2m^2+m＞2m^2
　よって、a[2m^2]=2m

どうやって n=2m の見当をつけたのか、問題を解く人にとっては重要事ですが、解答には載せる必要はないのです。
さて、この後何をするかというと、a[i]の値が 1〜2m-1 の間の合計と、2m の部分の合計を分けて考えることになります。

　a[i]≦2m-1 となる項数は 2m^2-m ← 上の計算の結果より
　この範囲の合計は、
　　1・1+2・2+…+(2m-1)(2m-1)=(1/6)(2m-1)(2m-1+1)(2(2m-1)+1)
　　= (1/3)m(2m-1)(4m-1)
　a[i]=2m となる項数は 2m^2-(2m-2-m)=m
　この範囲の合計は、
　　m・2m = 2m^2
　求める総和は、この2個の値の合計
　　(1/3)m(8m^2+1)
No.16013 - 2011/11/27(Sun) 23:02:40
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