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★ 数学の問題教えてください!! / bubu_half
cos10°＋cos130°＋cos250°の値を求めよ。

解説を詳しくお願いします。
No.15441 - 2011/10/13(Thu) 14:02:39
☆ Re: 数学の問題教えてください!! / X
和積の公式を使います。
cos10°+cos130°+cos250°
=2cos{(10°+130°)/2}cos{(10°-130°)/2}+cos250°
=2cos70°cos(-60°)+cos250°
=2cos70°cos60°+cos250°=cos70°+cos250°
=2cos{(70°+250°)/2}cos{(70°-250°)/2}
=2cos160°cos(-90°)
=0
No.15442 - 2011/10/13(Thu) 14:28:52
☆ Re: 数学の問題教えてください!! / ヨッシー
cos70°+cos250°まで来たら、
　cos70°+cos(180°＋70°)＝cos70°−cos70°＝０
でも、良いですね。
No.15446 - 2011/10/13(Thu) 16:07:15
☆ Re: 数学の問題教えてください!! / ＿
三点
(sin10°,cos10°)
(sin130°,cos130°)
(sin250°,cos250°)
は正三角形の三頂点(単位円上)となるので、この三角形の重心のy座標:(cos10°+cos130°+cos250°)/3 = 0だからcos10°+cos130°+cos250°=0

というのはどうですかね。
No.15453 - 2011/10/13(Thu) 21:16:30
☆ Re: 数学の問題教えてください!! / ヨッシー
スッと気付けばカッコイイですね。

ということは、
　sin10°＋sin130°＋sin250°　も　０　か。
No.15465 - 2011/10/14(Fri) 09:00:00
☆ Re: 数学の問題教えてください!! / angel
積和の公式として
　2sinαcosβ=sin(β+α)-sin(β-α)
がありますので、
　2sin60°(cos10°+cos130°+cos250°)
　=( sin(10°+60°)-sin(10°-60°)
　　+( sin(130°+60°)-sin(130°-60°)
　　+( sin(250°+60°)-sin(250°-60°)
　=(sin70°-sin(-50°))+(sin190°-sin70°)+(sin310°-sin190°)
　=0
ということで、結局 cos10°+cos130°+cos250°=0
角度が等差数列をなす三角比の和に使う、典型的な手ですね。
No.15497 - 2011/10/16(Sun) 17:04:41
★ (No Subject) / ゴンザレス
授業で指数法則の拡張（自然数→整数→実数）を習ったのですが、僕の理解が正しいかご教授ください。以下の２点です。

?@まず、中学校で習った「指数が自然数の指数法則」から、a^0=1、またa^(-n)=1/a^n　と定めることで、指数を整数にまで拡張できる。つまり、指数が整数の指数法則が成り立つように、a^0=1及びa^(-n)=1/a^nを定めた、という理解でよいのですか？

?A同じような質問ですが、このような疑問も持つのです。指数が整数の指数法則が成り立つために、a^0=1及びa^(-n)=1/a^n　を定めたのか、a^0=1及びa^(-n)=1/a^n　を定めたから指数が整数の指数法則が成り立ったのかこんがらがってきました。これらは同値関係？卵が先か、鳥が先か、みたいな話？どうも混乱しています。

私の解釈について、正しいのかどうなのか、よろしくお願いいたします。
No.15438 - 2011/10/13(Thu) 00:16:37
☆ Re: / ヨッシー
本当のところは、作った人に聞かないと分からないのでしょうけれども、
「指数が自然数の指数法則」が成り立つ延長で、指数が０や負の整数を
決めたとするのが自然でしょう。
指数が０や負の整数の定義がなくても、
　２^2×２^3＝２^5　や　(２^3)^4＝２^12
などというのは経験的に分かっていたはずですから。
No.15439 - 2011/10/13(Thu) 05:45:22
☆ Re: / ゴンザレス
ご返信ありがとうございます。
とりあえず?@のような私の理解で大丈夫でしょうか？
No.15455 - 2011/10/13(Thu) 22:29:34
☆ Re: / ヨッシー
それで良いと思います。
No.15464 - 2011/10/14(Fri) 08:57:29
★ (No Subject) / ワイン
YOKOHAMAの8文字を1列に並べるとき
Y,K,H,Mがこの順にある並べ方は何通りあるか｡

またOとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか｡


No.15433 - 2011/10/12(Wed) 22:10:12
☆ Re: / ヨッシー
すべての並べ方は、
　8!/(2!・2!) 通り
このうち、4! 通りに１つだけ、Y K H M の４文字がこの順になっている。
よって、
　8!/(2!・2!・4!)＝420(通り)

ＹＯＫＯＨＡＭＡ　において、子音字は子音字どうしで並べ替え、
母音字は母音字どうしで並べ替えると、
子音字の並べ方が　4!＝24(通り)
母音字の並べ方が　4Ｃ2＝６(通り)　合計　144通り
No.15434 - 2011/10/12(Wed) 22:33:59
☆ Re: (No Subject) / ワイン
ｽﾗｯｼｭ/← はどのようなことを表しているのでしょうか？
No.15449 - 2011/10/13(Thu) 19:10:58
☆ Re: (No Subject) / ワイン
何で144通りになるんですか？
No.15450 - 2011/10/13(Thu) 19:18:18
☆ Re: / ヨッシー
／ は、縦に数字を積めない場合に、分数を表すのに使います。
(分子)/(分母)　です。
1/2 は２分の１です。
÷　の記号に置き換えても同じことです。

子音字の並べ方が２４通りで、そのひとつひとつについて、
母音字の並べ方が６通りずつあるので、
　２４×６＝１４４
です。
No.15451 - 2011/10/13(Thu) 20:56:00
★ (No Subject) / かから
aabbcdの6文字から4文字を取り出すとき､その組合せ,および順列の個数を求めよ｡
お願いします！
No.15432 - 2011/10/12(Wed) 22:07:04
☆ Re: / ヨッシー
組み合わせ
　４種類　abcd の１通り
　ａが２個で３種類　3Ｃ2＝３(通り)
　ｂが２個で３種類　3Ｃ2＝３(通り)
　２種類　aabb の１通り
　合計　８通り
順列
　４種類　abcd の並べ方が４!＝２４(通り)
　ａが２個で３種類　３×４×３＝３６(通り)
　ｂが２個で３種類　同じく３６通り
　２種類　aabb の並べ方が　4Ｃ2＝6(通り)
　合計　１０２通り
No.15435 - 2011/10/12(Wed) 22:38:28
☆ Re: (No Subject) / かから
もうちょっと簡単な考え方はないでしょうか？
よくわかりません
すいません
No.15448 - 2011/10/13(Thu) 19:08:02
☆ Re: / ヨッシー
考え方はこれより簡単なのは、そうそうありませんが、
丁寧に書くことは出来ます。

組み合わせ。
　４種類の数字を取り出す方法　abcd　の１通り
　ａを２個と、他の文字を１個ずつ合計３種類の文字を取り出す方法
　　aabc, aabd, aacd の３通り
　ｂを２個と、他の文字を１個ずつ合計３種類の文字を取り出す方法
　　bbac, bbad, bbcd の３通り
　２種類の文字を取り出す方法　aabb　の１通り
　合わせて、１＋３＋３＋１＝８(通り)

順列
　組み合わせの時に挙げたそれぞれの取り出し方について、
並べ替えて別のものになるものを数え上げます。
　abcd を取り出したとき、これの並べ替えは、
　abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb
　bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca
　cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba
　dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba
の２４通り。
　aabc を取り出したとき、これの並べ替えは、
　aabc, aacb, abac, acab, abca, acba
　baac, caab, baca, caba, bcaa, cbaa
の１２通り
　aabd を取り出したとき、これの並べ替えは、
　aabd, aadb, abad, adab, abda, adba
　baad, daab, bada, daba, bdaa, dbaa
の１２通り
　aacd を取り出したとき、これの並べ替えは、
　aacd, aadc, acad, adac, acda, adca
　caad, daac, cada, daca, cdaa, dcaa
の１２通り
　bbac を取り出したとき、これの並べ替えは、
　bbac, bbca, babc, bcba, bacb, bcab
　abbc, cbba, abcb, cbab, acbb, cabb
の１２通り
　bbad を取り出したとき、これの並べ替えは、
　bbad, bbda, babd, bdba, badb, bdab
　abbd, dbba, abdb, dbab, adbb, dabb
の１２通り
　bbcd を取り出したとき、これの並べ替えは、
　bbcd, bbdc, bcbd, bdbc, bcdb, bdcb
　cbbd, dbbc, cbdb, dbcb, cdbb, dcbb
の１２通り
　aabb を取り出したとき、これの並べ替えは、
　aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa
の６通り
以上より
　２４＋１２＋１２＋１２＋１２＋１２＋１２＋６＝１０２(通り)

詳しければ、わかりやすいとは限りませんが。
No.15452 - 2011/10/13(Thu) 21:15:12
★ (No Subject) / さ
6個の数字1,1,1,2,2,3を全部使って6桁の整数を作るとき
偶数はいくつできるか｡

教えて下さい｡
No.15431 - 2011/10/12(Wed) 22:04:39
☆ Re: / ヨッシー
こちらの記事を応用すれば出来ます。
No.15436 - 2011/10/12(Wed) 22:40:02
★ 二変数関数の最大最小の問題です / ぷるお
実数x,yがx^2+xy+y^2=1を満たしながら変わるとき、x^2-xy+y^2の最大値、最小値を求めよ

偏微分やラグランジェを使わずに高校数学でお願いしたいです！
まだ高校生なんで。
とにかく全然分かりません！
No.15428 - 2011/10/11(Tue) 23:52:57
☆ Re: 二変数関数の最大最小の問題です / らすかる
u=x+y, v=x-y, x^2-xy+y^2=k とおくと
x^2+xy+y^2=1 → (3/4)u^2+(1/4)v^2=1 … (1)
x^2-xy+y^2=k → (1/4)u^2+(3/4)v^2=k … (2)
(1)(2)からu^2を消去すると k=(2v^2+1)/3
(1)から |v|≦2 なので 1/3≦k≦3

(検算)
v=±2 のとき u=0 で、このとき x=-y=±1 となり x^2+xy+y^2=1, x^2-xy+y^2=3
v=0 のとき u=±2/√3 で、このとき x=y=±1/√3 となり x^2+xy+y^2=1, x^2-xy+y^2=1/3
No.15429 - 2011/10/12(Wed) 01:36:26
☆ Re: 二変数関数の最大最小の問題です / はにゃーん
u = x + y, v = xyでやってみました。
x^2+xy+y^2=1 → u^2 - v = 1 … (1)
x^2-xy+y^2=k → u^2 - 3v = k … (2)

ここでx, yはtの二次方程式
t^2 - ux + v = 0の解なのでその判別式
D = u^2 - 4v≧0　… (3)
という条件がつきます。

(1)(3)から -2/√3≦u≦2/√3　… (4)
（またはv≦1/3 …(4)'）
すなわちuv平面上のv = u^2 - 1　… (1)'の
(4)（または(4)'）の範囲において
v = (1/3)u^2 - 3k　…(2)'との共有点を持つような
最大と最小のkを見つければ良いです。

(2)'が(u, v) = (2/√3, 1/3)を通る時最小、
(u, v) = (0, -1)を通る時最大。

よって1/3≦k≦3
No.15430 - 2011/10/12(Wed) 11:01:10
☆ Re: 二変数関数の最大最小の問題です / ぷるお
ありがとうございます！！

たった今僕もx=rcosθ,y=rsinθの極方程式でしたら出ました
No.15437 - 2011/10/13(Thu) 00:05:26
★ よろしくお願いします / 受験生
n、a、bを0以上の整数とする。a、bを未知数とする方程式
a^2＋b^2=2^n［以下※とする］を考える。

(1)n≧2とする。a、bが方程式※を満たすならば、a、bはともに偶数であることを証明せよ。

(2)0以上の整数nに対して、方程式※を満たす0以上の整数の組(a、b)をすべて求めよ。

(自分の解答)
(1)対偶をかんがえて
(a、b)=(奇数、偶数)、(偶数、奇数)、(奇数、奇数)の場合に分けて対偶が真であることを証明。よって命題が成立。

(2)(a、b)=(2^n、2^n)、(2^n、0)、(0、2^n)
となったんですがどうでしょうか？
No.15425 - 2011/10/11(Tue) 22:51:55
☆ よろしくお願いします / 受験生
(2)の自分の答えは
n=2mのとき
(a、b)=(2^[n/2]、0)(0、[n/2])
n=2m＋1のとき
(a、b)=(2^[nｰ1]、2^[nｰ1])
ただし、mを0以上の整数とする。
でした?ｫ
No.15427 - 2011/10/11(Tue) 23:27:58
☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー
n=2m＋1のときは
(a、b)=(2^[(nｰ1)/2]、2^[(nｰ1)/2])
ですね。
No.15440 - 2011/10/13(Thu) 05:48:38
★ 解答お願いします。 / 国威志望
以下の問題を解いていただけないでしょうか？

数列｛an｝は a1=1､a2=1､ an+2 = an+1 + an (n=1､2､3､…) をみたす。
この時に
?納k=1→n](ak)^2 = axay
を満たす2つの整数x､yが存在することを示せ。

(注:x､yは添え字です)

自分は数学的帰納法で示そうとしましたが、上手くいきませんでした。
また、一般項を用いて無理矢理やろうとしましたが、やはり出来ませんでした。


解説お願いします。
No.15424 - 2011/10/11(Tue) 22:09:45
☆ Re: 解答お願いします。 / ヨッシー
一般項を用いて、無理矢理のパターンです。

一般項は
　ａn＝(1/√5){φ^n−(−φ)^(-n)}
ただし、φ＝(1＋√5）/2
よって、
　ａn^2＝(1/5){φ^(2n)＋φ^(-2n)−２(-1)^n}
よって、
　Σａk^2＝(1/5){(φ^2＋φ^4＋・・・＋φ^(2n))＋(φ^(-2)＋φ^(-4)＋・・・＋φ^(-2n)）−２(−１＋１−・・・＋(-1)^n)}
　φ^2＋φ^4＋・・・＋φ^(2n)＝{φ^(2n+2)−φ^2}/(φ^2−1)
　φ^(-2)＋φ^(-4)＋・・・＋φ^(-2n)＝{φ^(-2n-2)−φ^(-2)}/{φ^(-2)−1}
　−２{−１＋１−・・・＋(-1)^n}＝(-1)^(n+1)＋１
φ^2−1＝φ、φ^(-2)−1＝-1/φ　より
　Σａk^2＝(1/5){φ^(2n+1)−φ＋φ^(-1)−φ^(-2n-1)＋(-1)^(n+1)＋１}
さらに、−φ＋φ^(-1)＝−１　より
　Σａk^2＝(1/5){φ^(2n+1)−φ^(-2n-1)＋(-1)^(n+1)}

一方、
　ａn・ａ(n+1)＝(1/5){φ^n−(−φ)^(-n)}{φ^(n+1)−(−φ)^(-n-1)}
　　　　＝(1/5){φ^(2n+1)−(-1)^(-n)φ−(-1)^(-n-1)φ^(-1)＋(−φ)^(-2n-1)}
　　　　＝(1/5){φ^(2n+1)−(-1)^(-n)(φ−φ^(-1))＋(-1)^(-2n-1)φ^(-2n-1)}
　　　　＝(1/5){φ^(2n+1)−(-1)^(-n)−φ^(-2n-1)}

(-1)^(n+1)＝−(-1)^(-n)　であるので、
　Σａk^2＝ａn・ａ(n+1)
が成り立ちます。
No.15426 - 2011/10/11(Tue) 23:17:31
☆ Re: 解答お願いします。 / angel
> 2つの整数x､yが存在することを示せ。

という問題だと考えると前に進めません。
ところが、具体的にx,yの候補を調べてみれば、
　Σ[k=1→n]a[k]^2 = a[n]a[n+1]
であることが分かります。
※ヨッシーさんの解説の最後にもあります。

ということで、
・Σ[k=1→n] a[k]^2 = a[n]a[n+1] であることを示せ
という問題だと考えて、帰納法で解けば良いです。
No.15471 - 2011/10/14(Fri) 23:12:13
☆ Re: 解答お願いします。 / 国威志望
返信遅れて申し訳ありません！

ヨッシーさん、angelさん解答ありがとうございます

自分は?納k=1→n]a[n]^2=a[n]a[n+1]さえ見抜けませんでした…

しっかりと具体的に実験をしておくべきだったという反省が得られました。


また、自分の些細な疑問に、こうやって真摯に応えていただけるという事実は何物にも替え難い収穫でした。

最後に、掲示板の充実のために、この問題が1980年代の三重大学の入試問題であったということを付記しておきます。

また、立ち寄らせていただきます。
ありがとうございました。
No.15490 - 2011/10/16(Sun) 11:48:36
★ 確率の問題 / こんぺいとう
Xが二項分布B(n,p)にしたがうとき、X/nはpの不偏推定量であることを示せ。

という問題です。期待値の線形性を利用するのだと思うのですが、解けませんでした…

よろしくお願いします！
No.15423 - 2011/10/11(Tue) 20:40:33
★ 数?Tです。 / みなこ
直線x＋√3y−2＝0がx軸の正方向となす角は？



解説よろしくお願いします！
No.15419 - 2011/10/11(Tue) 14:32:33
☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー
まず、x＋√3y−2＝0 のグラフを描いて、それと平行で、
原点を通る直線も同時に描きます。

ｘ軸の正方向となす角は、下の図を参考にしてください。


No.15420 - 2011/10/11(Tue) 14:36:27
☆ Re: 数?Tです。 / みなこ
ありがとうございました！
No.15458 - 2011/10/13(Thu) 23:00:59
★ 通過領域の問題です / ぷるお
実数tに対してxy平面上の直線Ltをつぎのように定義する
Lt:y=(1/(t^2+1))(4tx+t^2-1)

(1)tが実数全体を動くとき、Ltの通りうる範囲を求めよ(図示せよ)
(2)tがt>=0のすべての範囲を動くとき、Ltの通りうる範囲を求めよ(図示せよ)

一応双曲線の判別式がでてきました
詳しい解説、お願いします！
No.15413 - 2011/10/11(Tue) 01:04:06
☆ Re: 通過領域の問題です / はにゃーん
途中の計算過程は省きます。
もっと楽な別解もあるかも。

(1)Ltをtの二次方程式f(t)=0としてみると
(i)y≠1のとき（tの二次式となるとき）
tは実数解を持たねばならないので判別式が0以上より
4x^2 - y^2 ≧ -1

(ii)y=1のとき（tの一次式となるとき）
2xt=1となり, x=0は不適でx≠0でtはすべての実数を取る。

まとめると、求める領域は4x^2 - y^2 ≧ -1 ただし(0, 1)を除く


(2)t＞0で少なくとも1つ解を持つ条件を考えます。
Y=f(t)が二次関数で上に凸か下に凸か一次関数かで場合分けします。

[1] y＞1のとき（下に凸のとき）
(i)正の負の解が１つづつのときf(0)＞0
(ii)２つの解が正の時、解をα,βとおくとD≧0かつαβ＞0かつα+β＞0

より「x＞0かつ4x^2 - y^2 ≧ -1」

[2]y＜1のとき（上に凸のとき）
(i)正の負の解が１つづつのときf(0)＞0
(ii)２つの解が正の時、D≧0かつαβ＞0かつα+β＞0
（分母を払う時、分母の正負に気をつけて）

より「-1＜y＜1」または「x＜0かつ4x^2 - y^2 ≧ -1」

[3]y = 1のとき
2tx = 1
t＞0のためには「x＞0」

求める領域は
「y＞1かつx＞0かつ4x^2 - y^2 ≧ -1」
「y＜1かつx＜0かつ4x^2 - y^2 ≧ -1」
「-1＜y＜1」
「y=1かつx＞0」
といった領域です。

（ところで双曲線の判別式とは初耳ですがなんでしょうか？）
No.15415 - 2011/10/11(Tue) 03:25:14
☆ Re: 通過領域の問題です / はにゃーん
(2)はt≧0でしたね。
適宜先の回答を読み替えてください。
No.15418 - 2011/10/11(Tue) 13:01:29
☆ Re: 通過領域の問題です / ぷるお
とても分かりやすいご説明ありがとうございます！！

すべて理解できました！！
No.15421 - 2011/10/11(Tue) 17:35:00
★ 空間ベクトルの内積です / ぷるお
a,b,cをすべてベクトルで表されてるとします

a,bを零でない空間ベクトル、s,tを負でない定数とし、
c=sa+tb
とおく。このとき、次のことを示せ

(1)s(c・a)+t(c・b)>=0
(2)c・a>=0,またはc・b>=0
(3)|c|>=|a|かつ|c|>=|b|ならば,s+t>=1

結構きちんとした証明をお願いしたです
No.15412 - 2011/10/11(Tue) 00:19:46
☆ Re: 空間ベクトルの内積です / X
(1)
(左辺)=c・(sa)+c・(tb)=c・(sa+tb)=c・c=|c|^2≧0=(右辺)

(2)
c・a＜0 (A)
かつ
c・b＜0 (B)
であると仮定するとs＞0,t＞0より
(A)×s+(B)×tが計算できて
s(c・a)+t(c・b)＜0
これは(1)の結果に矛盾します。
よって背理法により命題は成立します。
No.15416 - 2011/10/11(Tue) 03:32:52
☆ Re: 空間ベクトルの内積です / ヨッシー
(3)
対偶である、
　ｓ＋ｔ＜１　ならば　|ｃ|＜|ａ|　または　|ｃ|＜|ｂ|
を示します。
ｓ＝ｔ＝０ の時は、明らかに、
　|ｃ|＜|ａ|　または　|ｃ|＜|ｂ|
が成り立つので、ｓ＋ｔ＞０ とします。
ｋ＝1/(s+t)＞１ とし、
　ｄ＝ｋｃ
とします。ｄ で表される点は、線分ＡＢ（端点を含む）上に
あります。
位置ベクトルの始点を点Ｏとし、
　ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＤ＝ｄ
とします。
∠ＯＤＡ、∠ＯＤＢ の少なくとも一方は、90°以上なので、
余弦定理より、ＯＡ、ＯＢの少なくとも一方は、ＯＤより
大きくなります。
ＯＣ＝ｃ とすると、
　ＯＣ＝(1/k)ＯＤ
であり、ＯＣ＜ＯＤ であるので、
　|ｃ|＜|ａ|　または　|ｃ|＜|ｂ|
が成り立ちます。

もっと、いい方法があるかも知れません。
No.15417 - 2011/10/11(Tue) 10:35:20
☆ Re: 空間ベクトルの内積です / ぷるお
すごく奇抜なアプローチの解法ですね（笑）

けど、すごく分かりやすいです
ありがとうございます！！
No.15422 - 2011/10/11(Tue) 17:36:38
★ (No Subject) / あか
6個の数字1,1,1,2,3を全部使って6桁の整数を作るとき
(1)総数を求めよ

(２)偶数はいくつあるか


お願いします
No.15406 - 2011/10/10(Mon) 19:30:12
☆ Re: / ヨッシー
数字が５つしかありません。
No.15407 - 2011/10/10(Mon) 19:59:49
☆ Re: / はにゃーん
数字が5個しかないですが、たとえば五桁なら

全部違う文字の場合は5!通り
で111の並べかえの重複分3!で割って
5!/3!=20通り

偶数の場合、最後に2があればいいので、その他の4桁を並び替得る場合の数を数えると
4!/3!=4通り
となります。
No.15408 - 2011/10/10(Mon) 20:00:27
☆ Re: (No Subject) / あか
すいません間違いました
111223です
No.15411 - 2011/10/10(Mon) 20:29:39
★ (No Subject) / LaLa
縦が5,右が4の全部で20ﾏｽある横長の長方形があります

点Pから点Qまで最短距離で行く経路のうち次の経路は何通りあるか｡


×印の箇所を通らない経路

×印は右から3列目の前から２列目の中心に×印があります


解説お願いします
No.15405 - 2011/10/10(Mon) 19:27:40
☆ Re: / ヨッシー
点P、点Q はどこにありますか？
No.15409 - 2011/10/10(Mon) 20:00:35
★ 積分です / しずく
∫[π/6,π/2]√{1+(1/tanx)＾2}dx
∫[0,1/2]√{1+(−2x/(1−x^2))^2}dx
この二つの式までたてて計算に行き詰まってしまいました　
よろしくお願いします。
No.15398 - 2011/10/09(Sun) 22:36:33
☆ Re: 積分です / のぼりん
こんばんは。

前半に関しては、π/６≦ｘ≦π/２ の範囲で、
　　∫√（１＋１/ｔａｎ２ｘ）ｄｘ＝∫ｄｘ/ｓｉｎ ｘ
　　　＝∫ｓｉｎ ｘ/ｓｉｎ２ｘ・ｄｘ
　　　＝−∫（ｃｏｓ ｘ）’/（１−ｃｏｓ２ｘ）ｄｘ
　　　＝−１/２∫｛（ｃｏｓ ｘ）’/（１＋ｃｏｓ ｘ）＋（ｃｏｓ ｘ）’/（１−ｃｏｓ ｘ）｝ｄｘ
　　　＝−１/２・ｌｏｇ｛（１＋ｃｏｓ ｘ）/（１−ｃｏｓ ｘ）｝＋定数
　　　＝−１/２・ｌｏｇ｛（１＋ｃｏｓ ｘ）２/（１−ｃｏｓ２ｘ）｝＋定数
　　　＝ｌｏｇ｛ｓｉｎ ｘ/（１＋ｃｏｓ ｘ）｝＋定数
　　　＝ｌｏｇ〔２ｓｉｎ（ｘ/２）・ｃｏｓ（ｘ/２）/｛２ｃｏｓ２（ｘ/２）〕＋定数
　　　＝ｌｏｇ｛ｔａｎ（ｘ/２）｝＋定数
と計算を進められそうです。 なお、本件計算に関しては、最後の二行は蛇足かも知れません。

後半に関しては、０≦ｘ≦１/２ の範囲で、
　　∫√〔１＋｛−２ｘ／（１−ｘ２）｝２〕ｄｘ
　　　＝∫（１＋ｘ２）/（１−ｘ２）ｄｘ
　　　＝∫｛２/（１−ｘ２）−１｝ｄｘ
　　　＝∫｛１/（１−ｘ）＋１/（１＋ｘ）｝ｄｘ−ｘ
　　　＝ｌｏｇ｛（１＋ｘ）/（１−ｘ）｝−ｘ＋定数
となりそうです。
No.15399 - 2011/10/10(Mon) 01:46:16
☆ Re: 積分です / しずく
ありがとうございました！助かりました(＾＾)
No.15402 - 2011/10/10(Mon) 08:51:06
★ (No Subject) / のじ
xの２次関数をf(x)＝x^2-2ax+a+6とする。
(1)y=f(x)のグラフは、つねに定点( , )を通る。
(2)すべての実数xに対してf(x)>0となるとき、?(3)4<x<6を満たすすべての実数xに対してf(x)>0となるとき、a≦？である。

(1)は(1/2,25/4) (2) -2<a<3 (3)a≦22/7　となりました。
解答がないため、正解かどうか教えてください。
No.15395 - 2011/10/09(Sun) 19:27:20
☆ Re: / ヨッシー
全問正解です。
No.15397 - 2011/10/09(Sun) 20:13:45
★ (No Subject) / さくら
一辺の長さが６の正四面体が球Oに内接している
△BCAの外接円の半径は2√3
△BCDの面積は4√3

球Oの半径は??
答えを見ると球Oの半径は3√6/2となるのですが
やり方がわかりません！
教えてください
No.15390 - 2011/10/09(Sun) 09:49:54
☆ Re: / ヨッシー
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄとはそれぞれ何ですか？
正四面体の各頂点がＡＢＣＤだとすると、
△ＢＣＡの外接円の半径は、２√3 で正しいですが、
△ＢＣＤの面積は4√3にはなりません。

それはさておき、とりあえず球Ｏの半径を求めるには、
正四面体をＡＢＣＤをすると、点Ａから△ＢＣＤに垂線ＡＨを
おろします。
点Ｈは△ＢＣＤの重心であり外心であるので、
　ＨＢ＝ＨＣ＝ＨＤ＝2√3
です。
△ＡＢＨなどにおける三平方の定理で、ＡＨ＝2√6　が得られます。
球Ｏの中心はＡＨ上のどこかにあるのですが、その点をＯとし、
ＡＯ＝ＢＯ＝ｘ　とすると、下のような図が得られます。
△ＢＯＨにおける三平方の定理から、ｘが求められます。
No.15392 - 2011/10/09(Sun) 10:48:25
★ 図形 / おおい
?僊BCにおいて、∠CAB＝120°で、頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれa,b,cとすると√2a=b+2cである。

（１）b=(√?+?)cで、∠ABC＝？°である。
（２）?僊BCの面積が4√3+12の時、c=?で、?僊BCの外接円の半径は？である。

最初からつまづいてしまいました。
教えてください。
No.15388 - 2011/10/08(Sat) 23:54:06
☆ Re: 図形 / はにゃーん
(1) 余弦定理と√2a=b+2cからa（a^2）を消去します。
するとbとcの二次式になるので、cを定数と見てbを解の公式で解くと
b = (1 + √3)cとなります。
同時に(1 - √3)cという解が出ますが辺の長さは正なのでこの解は不適です。

角Bに関する余弦定理を解きます。
(1)で使ったa^2 = b^2 + c^2 + bcでa^2を消去し、その後√2a = b + 2cを使うと計算しやすいでしょう。
結果cosB = 1/√2となりB = 45°となります。

(2)
三角形の面積の公式
S = (1/2)ac sinB = 4√3+12　を解いて c = 2

正弦定理
R = A/(2sinA) = √2 + √6
No.15389 - 2011/10/09(Sun) 04:02:15
☆ Re: 図形 / おおい
なるほど！余弦定理は使ってみたのですが、もう一歩足りなかったみたいです。
わかりやすく教えていただきありがとうございます。
No.15393 - 2011/10/09(Sun) 17:55:49
☆ Re: 図形 / おおい
再度すみません。（２）なんですが、c=4となりましたが、違いますか？
間違いでたらすみません。
No.15394 - 2011/10/09(Sun) 19:17:52
☆ Re: 図形 / ヨッシー
c=4 ですね。

　△ＡＢＣ＝(1/2)ｂｃsin∠ＣＡＢ＝(√3/4)ｂｃ＝4√3+12
より、
　ｂｃ＝16＋16√3
ｂ＝(1＋√3)ｃ　を代入して、
　ｃ^2＝１６
より
　ｃ＝４
です。
No.15396 - 2011/10/09(Sun) 20:09:11
☆ Re: 図形 / はにゃーん
計算間違いしておりました。混乱させてしまってすいません。
No.15400 - 2011/10/10(Mon) 03:09:51
★ (No Subject) / おれんじ
2/5m<n<1/2m・・・・?@

?@を満たす整数がすべて２桁の整数となるのは
9≦2/5mかつ1/2≦100のときである。と答えに書いてあるのですが
なぜ10≦2/5mかつ1/2≦99ではないのですか
No.15385 - 2011/10/08(Sat) 21:22:14
☆ Re: / X
nを挟んでいる不等号の下に等号がありませんので
10≦(2/5)mかつ(1/2)m≦99
では10と99が含まれなくなります。
No.15386 - 2011/10/08(Sat) 21:51:48
☆ Re: / らすかる
もし 10≦(2/5)mかつ(1/2)m≦99 だとすると、これと?@から
10≦(2/5)m＜n＜(1/2)m≦99
から
10＜n＜99
となり、10と99を含まなくなってしまいますね。

9≦(2/5)mかつ(1/2)m≦100 ならば、?@と合わせて
9≦(2/5)m＜n＜(1/2)m≦100
から
9＜n＜100
となり、2桁の整数をすべて網羅します。
No.15387 - 2011/10/08(Sat) 23:25:27
★ 行列です。 / ぷるお
A=(2,-1)について
(7,-3)

(1) A^2,A^3を求めよ
(2) A^nを求めよ
(3) A+A^2+...+A^nを求めよ

(2)を逆行列や漸化式、スペクトル分解でも無理でした。A^3=Eとなったのでそれをどうするか、それと(3)の解き方をお願いします。
No.15367 - 2011/10/08(Sat) 03:45:10
☆ Re: 行列です。 / はにゃーん
nで場合わけをすればすむ話ではありませんか？
No.15370 - 2011/10/08(Sat) 05:07:24
☆ Re: 行列です。 / ぷるお
n=1,2,3以上の時に分けるんですか？
つまり答えは一つの式では出ないんですか
No.15376 - 2011/10/08(Sat) 10:40:04
☆ Re: 行列です。 / mokomoko
A^3=E となったのであれば、n=3m, 3m+1, 3m+2 の3パターンに場合分けすれば上手くいきそうじゃないですかね。
No.15377 - 2011/10/08(Sat) 13:40:21
☆ Re: 行列です。 / ぷるお
そのやり方は多分出来ないです。
n≧３のときはすべて(a,0,0,b)の形になります。
No.15379 - 2011/10/08(Sat) 14:48:02
☆ Re: 行列です。 / mokomoko
それは計算間違いです。

A^4=A^3A=EA=A
A^5=A^3A^2=EA^2=A^2
A^6=A^3A^3=EE=E
となり、これが延々とループします。
No.15380 - 2011/10/08(Sat) 14:55:42
☆ Re: 行列です。 / ぷるお
すいません。僕が勘違いしてました。
その場合分けをしてみます
No.15381 - 2011/10/08(Sat) 15:30:50
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