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★ 微分の問題 / shun
２つの放物線C1:y=-x^2,C2:y=3(x-1)^2+aについて、
C1,C2の両方に接する直線が２本存在するためのaの条件を求めよ。

宜しくお願いします。
No.15277 - 2011/10/02(Sun) 17:38:47
☆ Re: 微分の問題 / ヨッシー
図の赤い位置（＝両放物線が１点で接している）よりも上だと、
共通接線は存在しません。
青のような位置(＝赤より下)だと、共通接線が２本存在します。

ｙ＝ｘ^2　と　ｙ＝３(ｘ−１)^2＋ａ をそれぞれ微分すると
　ｙ’＝２ｘ　と　ｙ’＝６(ｘ−１)
ですが、ｘ座標が同じで、微分係数が等しいｘ座標を求めると、
　２ｘ＝６（ｘ−１）
より　ｘ＝３／２。このとき
　ｘ^2＝９／４
　３(ｘ−１)^2＋ａ＝３／４＋ａ
この両者が等しいとき両放物線は１点で接するので
　ａ＝３／２
よって、ａ＜３／２
No.15278 - 2011/10/02(Sun) 18:47:08
☆ Re: 微分の問題 / angel
ヨッシーさん、ダウト。
C1: y = - x^2
とありますよ。
後、共通接線も2本です。
No.15280 - 2011/10/02(Sun) 18:56:39
☆ Re: 微分の問題 / のぼりん
こんばんは。 横から失礼します。 別法を示してみます。

Ｃ１ の ｘ＝ｕ における接線は、
　　　ｙ＝−２ｕ（ｘ−ｕ）−ｕ２＝−２ｕｘ＋ｕ２
Ｃ２ の ｘ＝ｖ における接線は、
　　　ｙ＝６（ｖ−１）（ｘ−ｖ）＋３（ｖ−１）２＋ａ＝６（ｖ−１）ｘ−３ｖ２＋３＋ａ
です。 二つの接線が一致することから、
　　　−２ｕ＝６（ｖ−１）　　…　?@
　　　ｕ２＝−３ｖ２＋３＋ａ　…　?A
です。 題意が成り立つためには、?@、?A の連立方程式が、異なる二つの実解の組 （ｕ，ｖ） を持つことが必要十分です。 ?@ を ?A に代入し、ｕ を消去すると、
　　　３２（ｖ−１）２＝−３ｖ２＋３＋ａ
　　　１２ｖ２−１８ｖ＋６−ａ＝０　…　?B
?B が異なる二つの実解を持つための同値条件として、
　　　Ｄ/４＝９２−１２（６−ａ）＝３（３＋４ａ）＞０
　　　ａ＞−３/４
と、答えが得られました。
No.15281 - 2011/10/02(Sun) 19:10:35
☆ Re: 微分の問題 / ヨッシー
あれ？マイナスが付いてましたか。
じゃ、私の記事は、サクッと無視してください。

失礼しました。
No.15282 - 2011/10/02(Sun) 19:13:13
★ 動直線通過領域の問題です / ぷるお
実数tに対してxy平面上の直線Ltをつぎのように定義する
Lt:y=(1/(t^2+1))(4tx+t^2-1)

(1)tが実数全体を動くとき、Ltの通りうる範囲を求めよ(図示せよ)
(2)tがt>=0のすべての範囲を動くとき、Ltの通りうる範囲を求めよ(図示せよ)

何からすればいいか分からなくて困っています
お願いします
No.15274 - 2011/10/02(Sun) 12:27:20
☆ Re: 動直線通過領域の問題です / X
Ltをtについての方程式とみて整理すると
(tの二次式)=0 (A)
の形になります。
そこで
(i)((A)のt^2の係数)≠0のとき
(ii)((A)のt^2の係数)=0のとき
に場合分けして、(A)が解を持つ場合を考えます。

(1)において(i)の場合は(A)の解の判別式に対する条件を
考えれば終了です。
(1)の(ii)の場合などはご自分でどうぞ。
No.15276 - 2011/10/02(Sun) 16:10:08
★ (No Subject) / faa
nを0以上の整数とし、ａn＝∫（0から１まで）x＾n・ｅ＾-ｘ
ｄｘとおく。
（１）∞
　　　?煤@１/n！＝ｅ　を示せ。
　　　n=0
（２）ｅが無理数であることを示せ

よろしくおねがいします。
No.15272 - 2011/10/02(Sun) 08:41:42
☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています / のぼりん
こんにちは。

（１）　ａ０＝ｅ/０！・∫０１ ｅ−ｘｄｘ＝ｅ〔−ｅ−ｘ〕０１＝ｅ−１＝ｅ−１/０！
　　　ａｎ＝ｅ/ｎ！・∫０１ ｘｎｅ−ｘｄｘ＝ｅ/ｎ！・∫０１ ｘｎ（−ｅ−ｘ）’ｄｘ
　　　　＝ｅ/ｎ！〔−ｘｎｅ−ｘ〕０１＋ｅ/ｎ！・∫０１ ｎｘｎ−１ｅ−ｘｄｘ
　　　　＝ａｎ−１−１/ｎ！＝………
　　　　＝ａ０−１/ｎ！−１/（ｎ−１）！−…−１/１！
　　　　＝ｅ−??ｋ＝０ｎ １/ｋ！
　　　｜ａｎ｜≦ｅ/ｎ！・∫０１ １ｄｘ＝ｅ/ｎ！→０ （ｎ→∞）
だから、
　　　ｅ＝??ｎ＝０∞ １/ｎ！
です。

（２）　ｅ を有理数だと仮定します。 互いに素な正の整数 ｐ、ｑ により、ｅ＝ｐ/ｑ と書けます。 ｑ！（ｅ−??ｎ＝０ｑ １/ｎ！） は整数になりますが、
　　　０＜ｑ！（ｅ−??ｎ＝０ｑ １/ｎ！）＝ｑ！・??ｎ＝ｑ＋１∞ １/ｎ！
　　　　＜??ｎ＝１∞ １/２ｎ＝１
となり、矛盾です。
No.15273 - 2011/10/02(Sun) 09:25:07
☆ Re: 定積分 / faa
ありがとうございました。
No.15284 - 2011/10/02(Sun) 20:30:30
★ 回転体の体積 / jhg
曲線y=（logx+a)^1/2　とこの曲線に原点から引いた接線
およびｘ軸で囲まれた図形をx軸の回りに回転して立体の体積
をV（a)とする。このときV（a)を求めよ。

おねがいします
No.15269 - 2011/10/02(Sun) 01:07:07
☆ Re: 回転体の体積 / X
まず、原点を通る接線の方程式を求めましょう。

y=(logx+a)^(1/2) (A)
より
y'=1/{2x(logx+a)^(1/2)} (B)
∴(A)上の点(t,(logt+a)^(1/2))における接線の方程式は
y=x/{2t(logt+a)^(1/2)}-1/{2(logt+a)^(1/2)}+(logt+a)^(1/2)
これが原点を通るので
0=-1/{2(logt+a)^(1/2)}+(logt+a)^(1/2)
∴t=e^(1/2-a)
よって接線の方程式は
y=(1/√2)xe^(a-1/2)
接点の座標は(e^(1/2-a),1/√2)
(B)より(A)が単調増加の関数であることと、(A)の定義域が
e^(-a)≦x
であることに注意すると
V(a)=π∫[0→e^(1/2-a)]{{(1/√2)xe^(a-1/2)}^2}dx
-π∫[e^(-a)→e^(1/2-a)]{{(logx+a)^(1/2)}^2}dx
=…
No.15270 - 2011/10/02(Sun) 01:30:50
☆ Re: 回転体の体積 / jhg
分かりました、ありがとうございます。
No.15286 - 2011/10/02(Sun) 21:20:32
★ 線分と放射線との存在範囲の問題です / ぷるお
A(0,2)とB(2,-2)を結ぶ線分がy=x^2+ax+bとただ１つの共有点をもつような点(a,b)の存在範囲を図示せよ

範囲は一応少しでたんですけど、計算式（途中も）だけでいいので、お願いします

b>=2,b<=-2a-6(a<=-4)
b<=2,b>=-2a-6(a>=-4)
ここまではでました
No.15265 - 2011/10/02(Sun) 00:29:21
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ヨッシー
問題を言い換えると
ＡＢを結ぶ直線　ｙ＝−２ｘ＋２　と　ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ　を
連立させた、
　ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２＝０
が、０≦ｘ≦２ の範囲に重解を持つ、つまり、
　(ｘ−α)^2＝０　　（０≦α≦２)
と書けるということです。展開して、係数比較すると
　ａ＋２＝−２α
　ｂ−２＝α^2
αを消去して
　(ａ＋２)^2＝４ｂ−８
ただし、　−４≦ａ＋２＝−２α≦０　より
　−６≦ａ≦−２
ということになります。

別の見方をすると、ｙ＝ｘ^2 の接線で、傾きが−２（ＡＢの傾き）
になるのは　ｙ’＝２ｘ よりｘ＝−１ の時ですから、
　ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ　の軸　ｘ＝−ａ/２ より、ｘ座標で
小さいところで、ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ とＡＢは接し、そのｘ座標−ａ/２−１　は、０以上２以下である。つまり、
　０≦−ａ/２−１≦２　より　−６≦ａ≦−２
しかも、ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２＝０ は重解を持つので、
　Ｄ＝(ａ＋２)^2−４ｂ＋８＝０
と、同じ結果になります。
No.15267 - 2011/10/02(Sun) 00:49:39
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ぷるお
丁寧な回答ありがとうございます！！

一応僕の答えは
b>=2,b<=-2a-6(a<=-4)
b<=2,b>=-2a-6(a>=-4)
(a+2)^2=4b-8 (-6<=a<=-2)
境界線を含まないのは
b=2(-4<=a<=-2),b=-2a-6(-6<=a<=-4)

になりました。こんな感じでしょうか？
No.15268 - 2011/10/02(Sun) 01:04:49
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ヨッシー
結局
　f(x)＝ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２
だけで考えればいいでしょう。y=f(x) のグラフが、０≦ｘ≦２ の
範囲で、ｘ軸と１点だけ共有点を持つと考え、
頂点で接する場合（これは上で示したとおり）と、
f(0)≦0 かつ　f(2)≧0　または
f(0)≧0 かつ　f(2)≦0
で導けます。

b≧2,b≦-2a-6　または　b≦2,b≧-2a-6　だけで
a の範囲は特に書かなくても良いでしょう。（書いても良いです）
No.15271 - 2011/10/02(Sun) 06:51:10
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / angel
ぷるおさん:
> 一応僕の答えは
> b≧2,b≦-2a-6(a≦-4)
> b≦2,b≧-2a-6(a≧-4)
> (a+2)^2=4b-8 (-6≦a≦-2)
> 境界線を含まないのは
> b=2(-4≦a≦-2),b=-2a-6(-6≦a≦-4)

ほぼ正解なのですが、惜しい。
図示した時に添付したような感じで描けていればO.K.
つまり、点A,Bの部分は範囲に含まれます。点Cの部分は含まず、ですが。

ヨッシーさん:
> 頂点で接する場合（これは上で示したとおり）と、
> f(0)≦0 かつ　f(2)≧0　または
> f(0)≧0 かつ　f(2)≦0
> で導けます。
それだと、f(0)=f(2)=0 を含んでしまう ( 添付図中の点Cに相当 ) ので不適切です。

ちょっとパターンが多くなるのでいやらしいのですが、確実にいくならしっかり場合わけする方が良いでしょう。
不等号の≦や≧については、＜＞と=の部分を分離して。

そうすると、
　(1) f(0)＜0 かつ f(2)＞0
　または、(2) f(0)＞0 かつ f(2)＜0
　または、(3) f(0)=0 かつ f(2)＜0
　または、(4) f(0)=0 かつ f(2)＞0 かつ -(a+2)/2≦0
　または、(5) f(0)＜0 かつ f(2)=0
　または、(6) f(0)＞0 かつ f(2)=0 かつ -(a+2)/2≧2
ですね。
※(1),(2) をまとめて f(0)・f(2)＜0 としても良いです

ちなみに、-(a+2)/2 というのは y=f(x) の軸の位置になりまして、これに関する条件は≦や≧でなくて、=を省いた＜や＞でも良いです。
=を省くと図中A,Bの部分で差が出るのですが、いずれにしても (a+2)^2=4b-8 (-6≦a≦-2) に含まれるので問題ないです。
No.15279 - 2011/10/02(Sun) 18:51:19
★ 整数列とその和の問題です / ぷるお
次の4つの条件を満たす整数nの集合をSとする

?@1<=n<=10^4
?Anは2n+1(mは整数)と表せる
?Bnは3k-1(kは整数)と表せる
?CnはL^2(Lは整数)と表せる

(1)Sの要素の個数を求めよ
(2)Sのすべての要素の和を求めよ

二つ、三つの相互関係の出しかたが良く分かりません
できればΣ計算での答えをお願いします
No.15256 - 2011/10/01(Sat) 13:48:13
☆ Re: 整数列とその和の問題です / らすかる
Lが3の倍数のとき、n=L^2は3k
Lが3の倍数でないとき、n=L^2は3k+1
よって?Bと?Cを同時に満たす整数は存在しないので
(1)は0個、(2)は0
No.15258 - 2011/10/01(Sat) 18:49:05
☆ Re: 整数列とその和の問題です / ぷるお
すいません。問題がこれしか書かれてなかったんで分かりづらいですね。４つの条件を同時に満たすのではなくて、多分?@〜?Cの条件は互いに独立していて、従属している部分があり、それらすべてのｎの要素をあわせたものを集合Ｓということだと思います。少し分かりづらいと思いますがよろしくお願いします
No.15262 - 2011/10/02(Sun) 00:18:24
☆ Re: 整数列とその和の問題です / らすかる
?@〜?Cのどれかを満たせばよいなら、
例えば2m+1と表せる整数は無限個ありますから、
(1)は無限個、(2)は無限大です。
No.15263 - 2011/10/02(Sun) 00:22:10
☆ Re: 整数列とその和の問題です / ヨッシー
問題文が、この通りであれば、やはり、?@〜?Cを同時に満たす
と考えるのが自然でしょう。
その上で、らすかるさんのご指摘からわかるように、?Bは
　?Bnは3k+1(kは整数)と表せる
である可能性はないのでしょうか？
No.15264 - 2011/10/02(Sun) 00:26:49
☆ Re: 整数列とその和の問題です / ぷるお
うーん、多分テキストの作りミスだと思います。
ヨッシーさんのいう通りだと思います。

すいません、一回塾に問いただしてみます。
答えのない問題をだしてすいません
No.15266 - 2011/10/02(Sun) 00:36:20
★ (No Subject) / shun
かなり初歩的な質問かもしれませんが、
順列で、例えば４枚の異なるカードを３枚並べるときは4P3=24通りと考えますが、
４枚の同じカードのうち３枚を並べるときも、4P3=２４通りとするのですか。それとも同じカードなので、１通りとみなして良いのですか。教えて下さい。宜しくお願いします。
No.15253 - 2011/10/01(Sat) 11:34:33
☆ Re: / ヨッシー
それだけの情報なら、１通りと見なすのが普通です。

ただし、例えば、●○○○○　の５個から３個取る(並べない)
取り方は、●○○　○○○　の２通りですが、起こり方は
同じではないため、確率は、１／２ずつではありません。
そういう場合は、同じものではあるが区別して数える必要が
ある場合があります。
No.15254 - 2011/10/01(Sat) 11:57:29
☆ Re: / shun
ほかの種類の色が入ってきたら、区別して数える必要があるということですか？
No.15255 - 2011/10/01(Sat) 12:48:31
☆ Re: / ヨッシー
当初の質問に戻って、「１通りとみなして良いのですか。」
については、「みなして良い」です。

例えば、こちらの問題のような聞かれ方だと、
順列で考える必要はなく、違うパターンを並べ立てて何通りと
答えれば十分です。

これに、確率が絡んでくると、起こる確からしさが等しい事象を
持ってこないといけませんから、その場合は順列なり組み合わせなりで
数える方法がある、ということです。
No.15259 - 2011/10/01(Sat) 22:24:12
☆ Re: / shun
良く理解できました！ありがとうございます
No.15261 - 2011/10/01(Sat) 22:43:42
★ (No Subject) / さたなら
6個の数字0,1,2,3,4,5の中から､異なる数字を使って3桁の整数を作る。
(1)奇数はいくつ出来るか

(2)340より大きい数はいくつ出来るか

(3)小さい方から順に並べると43番目の数は何か。



お願いします
No.15235 - 2011/09/30(Fri) 22:42:52
☆ Re: / neo
奇数＝一の位の数が奇数だから
（あ）ab1
（い）ab3
（う）ab5
の３通り。

（あ）について
aは1,0以外の４通り。
bはa,1以外の４通り。
積の法則より４・４＝１６
（い）（う）も同様にして
１６×３＝４８個
No.15242 - 2011/10/01(Sat) 05:18:29
★ (No Subject) / jg
1から4までの番号が書かれた青玉4個と5から9までの番号が書かれた赤玉5個を1列に並べるとき､青玉が皆隣り合う場合は何通りあるか。

教えて下さい｡
No.15234 - 2011/09/30(Fri) 22:38:47
☆ Re: / ヨッシー
青玉４個を１つにした（例えば袋に入れたような）ものＡと赤玉５，６，７，８，９ の計６個を並べる並べ方は
　６！＝７２０（通り）
例えば、５６Ａ７８９　という並び方について、
Ａ の部分を１，２，３，４ の４個の青玉に展開した時、
その並べ方が、４！＝２４（通り） あるので、
　７２０×２４＝１７２８０（通り）
No.15246 - 2011/10/01(Sat) 08:39:34
★ (No Subject) / 、
5個の数字0,2,3,5,7を使ってできる。次のような数はいくつあるか｡ただし、同じ数字を2度以上使うことはできない。
(1)4桁の整数
(2)5桁の奇数


説明お願いします
No.15233 - 2011/09/30(Fri) 22:36:18
☆ Re: / neo
（１）
四桁の整数をabcdと表すことにする。
aは０以外の４通り
ｂはa以外の４通り
ｃはa,b以外の３通り
ｄはa,b,c以外の２通り
よって４・４・３・２＝９６通り
No.15243 - 2011/10/01(Sat) 05:20:58
★ (No Subject) / 1w
5個の数字1,2,3,5,7の中から異なる数字を使ってできる､次のような数はいくつあるか｡

(1)5桁の整数
(2)3桁の整数
(3)4桁の偶数


解説お願いします
No.15232 - 2011/09/30(Fri) 22:32:31
☆ Re: / neo
（１）５！通り
（２）５P3通り
（３）４桁の偶数をabc2と表す事とする
aは２以外の４通り
ｂはa、２以外の３通り
ｃはa,b,2以外の２通り
４・３・２＝２４通り
No.15244 - 2011/10/01(Sat) 05:25:49
★ (No Subject) / ぴーひゃら
2桁の自然数のうち､次のような数はいくつあるか｡

(1)各位の数字の積が偶数にる数

(2)各位の数字の積が3で割りきれて0でない数



教えて下さい｡
No.15231 - 2011/09/30(Fri) 22:27:32
☆ Re: / neo
（１）２文字の積が偶数ということはどちらか一方が偶数であればよい。
No.15241 - 2011/10/01(Sat) 05:12:45
★ (No Subject) / はひふへほ
下の図をPを出発点､Qを終点として一筆でかく方法は何通りあるか。

P―――――――――――Q

PとQの間に円が2つあります→〇〇


団子みたいなかんじです。


よろしくお願いします。
No.15230 - 2011/09/30(Fri) 22:25:11
☆ Re: / ヨッシー
こちらの問題６をご覧ください。
No.15245 - 2011/10/01(Sat) 08:34:23
★ (No Subject) / ははは
次の硬貨の一部または全部でちょうど支払うことのできり金額は何通りあるか。
(1)10円硬貨4枚､50円硬貨1枚､100円硬貨の6枚


(2)10円硬貨3枚､50円硬3枚､100円硬貨3枚



No.15229 - 2011/09/30(Fri) 22:03:04
☆ Re: / ヨッシー
(1)
10円から690円まで10円間隔で金額を作ることができるので、
６９通り。

(2)
10円から480円まで10円間隔の48通りの金額のうち
40,90,140,190,240,290,340,390,440 の9通りは作れないので
３９通り。
No.15250 - 2011/10/01(Sat) 09:06:38
★ (No Subject) / 125
1から999までの整数のうち､どの位の数字も0ではないものはいくつあるか｡

よろしくお願いします
No.15228 - 2011/09/30(Fri) 21:58:45
☆ Re: / neo
1〜９９９の中から以下のものを引いたものが答えです
*0
**0
*0*
*00
*は１〜９の９通り
９９９−（９＋９・９×２＋９）
No.15240 - 2011/10/01(Sat) 05:08:37
★ (No Subject) / dagkm
3個のｻｲｺﾛを同時に投げるとき､目の和が8の倍数になる場合は何通りあるか。
ただし、ｻｲｺﾛは区別しないものとする。


解説お願いします。
No.15227 - 2011/09/30(Fri) 21:56:54
☆ Re: / ヨッシー
８となる場合
　(1,1,6),(1,2,5),(1,3,4),(2,2,4),(2,3,3) の５通り
１６となる場合
　(4,6,6),(5,5,6) の２通り
合計７通り。
No.15251 - 2011/10/01(Sat) 09:09:03
★ (No Subject) / きー
大中小3個のｻｲｺﾛを投げるとき､次の場合は何通りあるか。

少なくとも2個が同じ目になる。


お願いします
No.15226 - 2011/09/30(Fri) 21:54:32
☆ Re: / neo
少なくとも2個が同じ目になる場合の数
＝全事象ー（３つとも全て異なる場合の数）
＝６＾３−６・５・４を計算したものが答えです
No.15239 - 2011/10/01(Sat) 05:04:10
★ (No Subject) / dmw
400から800の間にある奇数のうち､各位の数字がすべて異なるものはいくつあるか｡


お願いします
No.15225 - 2011/09/30(Fri) 21:52:08
☆ Re: / ヨッシー
一の位が１のとき、
　百の位は４，５，６，７の４通り
　　十の位は残り８通り　計３２通り
一の位が３のときも同様に　３２通り
一の位が９のときも同様に　３２通り

一の位が５のとき、
　百の位は４，６，７の３通り
　　十の位は残り８通り　計２４通り
一の位が７のときも同様に　２４通り

合計１４４個
No.15252 - 2011/10/01(Sat) 09:12:58
★ (No Subject) / い
600と720の正の公約数は全部で何個あるか｡ 600と720の正の公約数全体の和を求めよ｡ よろしくお願いします。
No.15224 - 2011/09/30(Fri) 21:50:17
☆ Re: / neo
まず６００と７００をそれぞれ素因数分解してください。
No.15238 - 2011/10/01(Sat) 05:01:19
☆ Re: (No Subject) / い
わかりました
その後はどうすればいんですか？
後､720じゃなくて700を素因数分解するんですか？
No.15257 - 2011/10/01(Sat) 17:28:28
☆ Re: / ヨッシー
それは、もちろん　６００と７２０です。
そういう瑣末事はともかく、こちらをまず、理解してください。

約数が、公約数になっただけであり、すべての公約数は最大公約数の
約数なので、最大公約数を見つけることからはじめましょう。
No.15260 - 2011/10/01(Sat) 22:31:09
★ (No Subject) / さーらん
次の数の個数とその約数全体の和を求めよ｡

(1)32 (2)200 (3)60


個数は求めれました

約数の全体の和の求め方を教えて下さい｡
No.15223 - 2011/09/30(Fri) 21:47:12
☆ Re: / neo
（１）だと３２＝２＾５
公式より約数の総和は
２＾０＋２＾１＋２＾２＋・・・＋２＾５
＝(2^6-1)/(2-1)=6３が答えです

（２）（３）も同様です
No.15237 - 2011/10/01(Sat) 05:00:25
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