ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率 / 連の個数

100個の箱が横一列に並んでいます。
その箱へ40個の玉を無作為に入れます。
箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録していき、1と0からなる長さ100の数列Pを作ります。

次に一旦40個の玉は全て取り出し、新たに400万個の玉を100個の箱へ無作為に入れます。
先ほどと同様に、箱を左から順に見ていって、中に玉が入っていれば1を記録し、中に玉が入っていなければ0を記録して、1と0からなる長さ100の数列Qを作ります。

数列Pの連が60個である確率をp(60)、連が61個である確率をp(61)とします。
数列Qの連が60個である確率をq(60)、連が61個である確率をq(61)とします。

p(60)/p(61) と q(60)/q(61) はどちらが大きいのでしょうか？

連とは同じ数字の連続するブロックのことで、例えば
10000110
であれば連の個数は4です。

No.80956 - 2022/02/16(Wed) 22:10:13

☆ Re: 確率 / らすかる

ほぼ「勘」ですが、
p(60)/p(61)の方が大きくなりそうな気がします。
理由
Qの方は左端の箱と右端の箱の両方に玉が入っている確率がきわめて高いので
連が奇数になる確率が高く、偶数になる確率は低いと思います。
よってq(60)/q(61)はかなり小さい値になると予想されます。
それに対し、Pの方は左端の箱と右端の箱のどちらか一つだけに入る確率、
すなわち連が偶数個になる確率が約40%ありますので、p(60)/p(61)は
極端に小さな数にはならないと思います。

No.80971 - 2022/02/17(Thu) 23:51:27

☆ Re: 確率 / 連の個数

ありがとうございました。
とても参考になりました。

No.81099 - 2022/03/04(Fri) 12:28:12

★ 確率 / j

画像の問題について、P→Qの経路の総数を分母、P→Cn(n=1,2,3,4)→Qの経路の総数を分子にして確率を計算したのですが不正解でした。理由を教えていただけると助かります。

No.80948 - 2022/02/16(Wed) 19:57:22

☆ Re: 確率 / 高校三年生

C5が抜けてるからじゃないでしょうか？

No.80950 - 2022/02/16(Wed) 20:28:32

☆ Re: 確率 / j

すみません、それは私の表記ミスです

No.80953 - 2022/02/16(Wed) 21:03:44

☆ Re: 確率 / ヨッシー

>経路の総数を分子にして
だけでは、やり方があっているかどうかわかりません。
具体的にどうやったか書いてみて下さい。

No.80954 - 2022/02/16(Wed) 21:43:29

☆ Re: 確率 / j

以下C1のときで、C2~C5も同様です。

P→Qの経路の総数は10!/(6!4!)-2=208通りあり、これらは同様に確からしい。
P→C1→Qの経路の総数は4通りなので、求める確率は4/208=1/52

No.80955 - 2022/02/16(Wed) 22:07:03

☆ Re: 確率 / ヨッシー

それは、ＡさんがＣ1を通ってＱまで行く確率ですね。
つまり、Ｃ1 まで来たＡさんはＣ1からＱまで行くしかないのですが、
ＢさんがＱからＣ1 まで来てくれるかは別問題です。

No.80957 - 2022/02/16(Wed) 23:08:59

☆ Re: 確率 / j

すみません、(6)だとそうなのですが、これは(1)です。

No.80960 - 2022/02/17(Thu) 07:38:27

☆ Re: 確率 / ヨッシー

なるほど。失礼しました。
ＰからＣ1 まで行く確率は　(1/2)^5＝1/32　　　・・・(1)
ＰからＣ2 まで行く確率は　(1/2)^5×5＝5/32　　　・・・(2)
ＰからＣ3 まで行く確率は　(1/2)^5×10＝10/32　　　・・・(3)
ＰからＣ4 まで行く確率は　(1/2)^5×9＋(1/2)^4＝11/32　　　・・・(4)
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×3＋(1/2)^4＝5/32　　　・・・(5)

もし左下が欠けていなかったら
ＰからＣ4 まで行く確率は　(1/2)^5×10＝10/32
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×4＋(1/2)^4＝6/32

さらに、もしＱがもう１段下で、Ｃ5 の左下にＣ6 があるとすると、
ＰからＣ5 まで行く確率は　(1/2)^5×5＝5/32
ＰからＣ6 まで行く確率は　(1/2)^5＝1/32
で、ここまで来てやっと、対称な式になります。

No.80963 - 2022/02/17(Thu) 09:32:07

★ 既約分数の個数 / IT

エイドリアンさんが、No.80806 - 2022/02/08(Tue)で質問された問題です。
実験したところ、スッキリした式になりそうですが、いろいろ考えましたがうまい解法が見つかりません。
視点を変えると目から鱗のような問題かなと思いますので、少し表現を変えて再掲させてもらいます。
予測が正しければネットで見つかりそうですが見当たりません。何かヒントでも頂ければ嬉しいです。

（問題）らすかるさんの指摘で補正しました。
自然数nが与えられたとき
　既約分数p/q（p,q は互いに素な自然数)で、0＜p/q＜1かつn/q の小数部が0.5以上になるようなものの個数をnで表せ。

n=1,2,3,...,13 について計算したところ　n^2 個になります。

例えば、n=5 のとき
　q=2,3 と 5+1=6≦q≦5*2=10 が条件を満たします。
　それぞれのqについてp/qが既約分数となるpの個数は
　qと互いに素なq以下の自然数の個数ですから、
求める既約分数の個数は1+2+2+6+4+6+4=25=5^2 個となります。

任意の自然数nについてもn^2個になるでしょうか？

（元の質問）
https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=80806

No.80942 - 2022/02/16(Wed) 00:08:47

☆ Re: 既約分数の個数 / らすかる

とりあえずプログラムを作って調べたところ、n≦3000では成り立っていました。
よって確かに成り立つようなので少し考えてみたのですが、着眼点の見当がつかず…

# ところで、「既約分数p/q」ですとp=q+1やp=2q+1なども含んで無限個になって
# しまいますので、p＜qあるいはp/q＜1などと書いておいた方が良いと思います。

No.80943 - 2022/02/16(Wed) 03:00:47

☆ Re: 既約分数の個数 / IT

らすかるさん　回答ありがとうございます。
条件p/q＜1を書き洩らしていました。（原題では0≦p/q≦1)

(p,q)をプロットして、縦横斜めに見てみましたが、n^2個になる理由がなかなか見つかりません。

No.80944 - 2022/02/16(Wed) 07:04:38

☆ Re: 既約分数の個数 / IT

ネットで下記の公式を見つけました。これを使って解決しました。
（公式）自然数nについてΣ(k=1,n)[n/k]φ(k)=n(n+1)/2 （φ(k)はオイラーのトーシェント関数、[　]はガウス記号）
　φ(k)：自然数k に対して、1 から k までの自然数のうち k と互いに素なものの個数

（証明）
n×nの表{A(i,k)}(1≦i,k≦n)を考える。
kがiの約数のとき　A(i,k)=Φ(k),その他は0とします。

縦（列）の計、横（行）の計を考えると
Σ(i=1,n)A(i,k)=[n/k]Φ(k)
Σ(k=1,n)A(i,k)=i

{A(i,k)}全体の和はΣ(k=1,n)[n/k]Φ(k)=Σ(i=1,n)i=n(n+1)/2

No.80949 - 2022/02/16(Wed) 20:14:55

☆ Re: 既約分数の個数 / IT

1≦q≦nについて
　[2n/q]-2[n/q]は、
　　n/q の小数部が0.5以上のとき　＝1、それ以外のとき　＝0となります。
したがって、
　Σ(q=1,n){[2n/q]φ(q)-2[n/q]φ(q)}は、
　1≦q≦nのうちn/q の小数部が0.5以上となるqを分母とする１以下の既約分数の個数となります。

よって、元の問題の条件を満たす既約分数の個数は
Σ(q=1,n){[2n/q]φ(q)-2[n/q]φ(q)}+Σ(q=n+1,2n)φ(q)
=Σ(q=1,2n)[2n/q]φ(q)-2Σ(q=1,n)[n/q]φ(q)
(公式より)
=2n(2n+1)/2-2n(n+1)/2　
=n^2

No.80951 - 2022/02/16(Wed) 20:42:46

★ 確率論洋書 / ゆ

David Willamsの"Probability with Martigales‘‘という確率論の洋書ですが、どこまでが定義と仮定で、どこからが主張(証明が必要)なのかわかりません。教えてください！(以下原文ところどころ書き換えてます)

A1.5.
Let g0 be an algebra of subsets of S and let
λ:g0→[0,∞]
with λ(0) = O. Call an element L of g0 a λ-set if L 'splits every element of g0 properly':
λ(L∩G)+λ(L^c∩G)=λ(G), (任意の)G∈g0.
Then the class L0 of λ-sets is an algebra, and λ is finitely additive
on L0. Moreover, for disjoint L1,L2,...,Ln ∈L0 and G in g0,
(LnとGの共通部分の和が加算和で表されるというようなことが書かれています)

以下Proof

No.80941 - 2022/02/15(Tue) 23:54:57

☆ Re: 確率論洋書 / ast

# 河岸を変えた理由が見切りをつけたという意図であるならば以下はお見捨てください.

「どこまで」というには (あまりに文単位で別れてるので) はっきりし過ぎのような気もしますが, 落ち着いて読めば
G₀ および λ に対する仮定 > Let G₀ be an algebra of subsets of S and let λ:G₀→[0,∞] with λ(∅) = 0.
λ-集合という言葉の定義 > Call an element L of G₀ a λ-set if L 'splits every element of G₀ properly': λ(L∩G)+λ(L^c∩G)=λ(G), ∀G∈G₀.
メインの結論 > Then the class L₀ of λ-sets is an algebra, and λ is finitely additive on L₀.
追加の結論 > Moreover, for disjoint L1,L2,...,Ln ∈L₀ and G in G₀, (LnとGの共通部分の和が加算有限和で表されるというようなことが書かれています).
の4文構成 (4つしか文がないこと自体はピリオド "." が 4 つしかないので間違いようがないはず) です.
厳密に言えば「主張」がどこかとも問われておいでなので「主張は「仮定と結論」の組だ」と答えるべきところかとは思いますが, 今の場合結論と書いた 3 文目がメインの主張だと考えても文章意図はそうはずさないでしょうから文単位で読むよう回答しておくことにします.
# 文章構造的な話に限れば「2文目は補足なので無くてもいい」ということになります.
# (もちろん意味をとるには要るので, 括弧書きにでもして「読み飛ばして大丈夫」という意図を出す感じの意味で, です).

数学的な文章としては "Let ... then~", Call, Moreover~ あたりの単語はすごく明確に意図を以て使われるので, これで文章構造が分からないというのでは相当しんどいのでは.
# 自分も外国語は万年赤点だった口なので偉そうに言えた義理ではないが, そういう実体験から言えば
# 現実問題として本当に読めないならば無理をしても成果 (例えば単位や卒論など) に結びつかないので,
# 指導教官に掛け合って日本語の本に(無理を通してでも)変えてもらうという選択肢を勧めるのが
# 実は最も真摯な回答であるという場合もあり得ます.

あと少し気になる点は, 字面だけ見れば小さな点に思えなくもないところなのかもしれないけれども, (プレーンテキストにしづらい文字の改変自体はまあよいとして)
> with λ(0) = O
と書き換えるのは λ が set-function (集合変数の数値函数) であることが理解できていない可能性も疑われますし,
> 加算和で表される
は (誤字なのはともかく) algebra と σ-algebra の違いが (閉じていないといけない演算が) 「有限和」か「可算和」かなので, そこも取り損ねている可能性があるかもしれない, といったような感じで「式や文字の単なる代替だから」で済ませて見逃したらまずい (数学的理解に関わる) 点が隠れている状況はもしかしたらあるかもしれないというあたりですね.

No.80945 - 2022/02/16(Wed) 08:51:13

☆ Re: 確率論洋書 / ゆ

ありがとうございます

No.80946 - 2022/02/16(Wed) 12:17:23

★ 大学数学・重積分 / タツヒコ

至急お願いします。発熱により頭が働きません。誰か助けてください。途中式(可能な限り細かく)と説明もお願いします。勉強になりますし、非常に助かります。

No.80933 - 2022/02/15(Tue) 21:16:47

☆ Re: 大学数学・重積分 / X

(1)
極座標に変換すると
D={(r,θ)|0≦r≦sinθ,0≦θ≦π}
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴(与式)=∫[θ:0→π]∫[r:0→sinθ]r√(rsinθ)drdθ
=∫[θ:0→π][(2/5)r^(5/2)][r:0→sinθ]√(sinθ)dθ
=(2/5)∫[θ:0→π]{(sinθ)^3}dθ
=(2/5)∫[θ:0→π]{1-(cosθ)^2}sinθdθ
=(2/5)[-cosθ+(1/3)(cosθ)^3][θ:0→π]
=(2/5)・2(1-1/3)
=8/15

(2)
球座標に変換すると
D={(r,θ,φ)|0≦r≦2}
でヤコビヤンをJとすると
J=(r^2)sinφ
∴(与式)=∫[θ:0→2π]∫[r:0→2]∫[φ:0→π]{(rcosφ)^2}(r^2)sinφdφdrdθ
=2π∫[r:0→2](r^3)dr∫[φ:0→π]{(cosφ)^2}sinφdφ
=2π・(1/4)・(2^4)・[-(1/3)(cosφ)^3][φ:0→π]
=8π・(2/3)
=16π/3

No.80940 - 2022/02/15(Tue) 23:53:05

★ (No Subject) / HIro

文字化けしてしまったので修正します
アとイの順序は単に採点の都合です

関数f(x)=x^2-2に対して,g(x)=f(f(x))とおく
このとき、方程式g(x)=xの解は

ア( ), 　イ( ), 　ウ｛( )±√( )｝/( )

である。ただし、ア( )は,イ( )より小とする

No.80927 - 2022/02/15(Tue) 15:01:53

☆ Re: / らすかる

g(x)=x^4-4x^2+2なので
g(x)=xはx^4-4x^2+2=x
x^4-4x^2-x+2=0
h(x)=x^4-4x^2-x+2とおくと
h(-1)=1-4+1+2=0
h(2)=16-16-2+2=0
なのでh(x)は(x+1)と(x-2)で割り切れ
h(x)=(x+1)(x-2)(x^2+x-1)
と因数分解できることがわかります。
後は簡単ですね。

No.80929 - 2022/02/15(Tue) 15:09:25

☆ Re: / HIro

g(x)=xを忘れていました。解けないわけです(^^;)
素早い回答をありがとうございます！

No.80930 - 2022/02/15(Tue) 15:18:36

★ 四角形の決定条件 / ふぶ

小学4年です。
問題) 次の四角形は、どんな事がら(条件)を
あたえられると、形がきまりますか。
解答)
台形　4つの辺の長さと、1つの角。
　　　4つの辺の長さと、1つの対角線の
　　　長さ。
　　　となり合う2つの辺の長さと、3つの
　　　角。
平行四辺形　1つの角と、その角をはさむ2
辺の長さ。
　　　　　　2つの対角線の長さと、その対
　　　　　　角線のつくる角。
　　　　　　となりあう2つの辺の長さと、
1つの対角線の長さ。
ひし形　　　2つの対角線の長さ。
　　　　　　1辺の長さと、1つの角。
　　　　　　1つの辺の長さと、1つの対角
　　　　　　線の長さ。
正方形　　　1辺の長さ。
　　　　　　対角線の長さ。

何故この解答になるのか分かりません。
また、解答の1つだけでも正解になりますか。
詳しく解説されてる本を探しましたが、見つかりませんでした。

No.80921 - 2022/02/15(Tue) 13:32:02

☆ Re: 四角形の決定条件 / らすかる

質問の回答ではないのですが、少なくとも数学的には
> 台形　4つの辺の長さと、1つの角。
これは正しくありません。
（辺の長さ4つと一つの角度では台形の形が決まりません）

# 数学でなく算数なので何か他に条件があるのかも知れませんが、そのへんはよくわかりません。

No.80932 - 2022/02/15(Tue) 20:45:07

☆ Re: 四角形の決定条件 / IT

らすかるさん＞
> > 台形　4つの辺の長さと、1つの角。
> これは正しくありません。
> （辺の長さ4つと一つの角度では台形の形が決まりません）
台形ABCD の辺の長さ(AB,BC,CD,DA )とどこか１つの頂角が決まると台形の形が決まりそうですが。（私の勘違いかも）

台形に（四角形にさえ）にならない場合があるということでしょうか？

No.80936 - 2022/02/15(Tue) 22:18:37

☆ Re: 四角形の決定条件 / らすかる

AB,BC,CD,DAと一つの角ならば決まりますが、
「4つの辺の長さと一つの角」では決まりません。
（辺の長さの順番の入れ替えができますので）
例えば
AB=21、BC=4、CD=49、DA=39、∠B=60°の台形は面積903√3/4
AB=21、BC=49、CD=39、DA=4、∠B=60°の台形は面積1113√3/4で
異なりますが、どちらも4つの辺の長さは4と21と39と49、一つの角が60°です。

同じ意味で
「となり合う2つの辺の長さと、3つの角。」
も台形が決まらないですね。

# もしかして、算数では「4つの辺の長さ」とか「3つの角」と言っただけで
# 位置関係まで特定されるというニュアンスが含まれているのでしょうか。

No.80937 - 2022/02/15(Tue) 22:37:29

☆ Re: 四角形の決定条件 / IT

おっしゃる意味は分かりました。
「4つの辺の長さ」の表現とその解釈は微妙ですね。

小学算数の指導要領解説、中学数学の指導要領解説では、合同や図形の決定に関する記述では、だいたい「対応する・・・が等しいとき」などと明記してありますね。

No.80939 - 2022/02/15(Tue) 23:15:22

★ 対数 / Hiro

x,y,zは実数でxyz≠0とする

もし2^x=3^y=( )^zならば

3/x+2/y=1/zである

( )内の数字を答える問題です
対数をとって式変形してみましたがうまくいきません
よろしくお願いします

No.80920 - 2022/02/15(Tue) 12:25:21

☆ Re: 対数 / らすかる

()をAとします。
2^x=3^y=A^z=e^kとおくと
xlog2=ylog3=zlogA=k
∴x=k/log2, y=k/log3, z=k/logA
3/x+2/y=1/zに代入して
3log2/k+2log3/k=logA/k
よってlogA=3log2+2log3=log72なのでA=72

No.80923 - 2022/02/15(Tue) 13:47:12

☆ Re: 対数 / HIro

ありがとうございます！
答えがなかったので助かりました

No.80925 - 2022/02/15(Tue) 13:56:10

☆ Re: 対数 / IT

(別解)　対数を使わずに
A^z=2^xとおく
両辺を1/z乗する。3/x+2/y=1/z なので
A=2^(x(3/x+2/y))=(2^3)(2^(2x/y))=(2^3)(3^2) ∵2^x=3^y

No.80934 - 2022/02/15(Tue) 21:56:49

★ 整数 / タツタ・高校3年生

画像の命題は正しいでしょうか。正しければ証明も教えてください。

No.80911 - 2022/02/14(Mon) 11:04:41

☆ Re: 整数 / ヨッシー

(p, q は異なる素数) であれば正しいです。
ｑの倍数が１つだけでないとすると、この q 個の数の中に
q で割った余りが同じ数が２つ以上あるということです。
それらを、
　aq＋c, bq＋c　(a＜b, 0≦c＜q いずれも非負整数）
と書けます。また、これら２数は
　dp＋f, ep＋f　(d＜e, 0≦f＜p いずれも非負整数）
とも書けるので、大きい数から小さい数を引くと
　(b-a)q＝(e-d)p＜pq
b-a はpより小さいので、これに素数pを約数に持つことはない。
よって、q が p を約数に持つこととなり、
p, q が異なる素数であることと反する。

ｑの倍数が０個のときと、２個以上のときと分けたほうが
わかりやすいかも知れません。

No.80912 - 2022/02/14(Mon) 11:43:01

☆ Re: 整数 / タツタ・高校3年生

ありがとうございました。

No.80914 - 2022/02/14(Mon) 14:08:12

★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

続けざまに

申し訳ございません。

何卒宜しくお願い致します。

No.80907 - 2022/02/14(Mon) 07:01:53

☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　数列３独学１１日目　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

画像が汚すぎました

申し訳ございません

以下

No.80908 - 2022/02/14(Mon) 07:06:16

☆ Re: 漸化式と極限 / m

解答を持っているならどこに疑問があるかを書いてくれると答えやすいです．

[考察]
* 漸化式が解けそうにない．
* a[1], a[2], a[3] を計算すればなんとなく 1 に収束しそう．
* a[n+1] -1 = a[n]^2/n^2 について，a[n] が有界であることが示せれば右辺は 0 に収束することがいえる．

[略証]
1. 帰納法で自然数 n に対し 1≦ a[n] ≦ 2 を示す．
2. 0 ≦ a[n+1] - 1 ≦ 2^2/n^2 とはさみうちの原理より lim[n→∞] a[n] = 1

No.80915 - 2022/02/14(Mon) 15:43:50

申し訳ございません

＞解答を持っているならどこに疑問があるかを書いてくれると答えやすいです．

私は、正解かどうかの確かめはしますが、今まで解説を読んで学んだことはありません

どこの参考書、問題集も解説も全くあてにはなりません

信じられるのは自分だけです

No.80917 - 2022/02/14(Mon) 17:43:13

☆ Re: 漸化式と極限 / 高校三年生

あてにされないと判ってて、解答書くお節介な人が居ればいいね。(^-^)b

No.80918 - 2022/02/14(Mon) 18:37:12

☆ Re: 漸化式と極限 / けんけんぱ

とすると、何を質問しているのかが不明です。

No.80919 - 2022/02/14(Mon) 20:59:16

誤解を招いたようです

ここの板は優秀な回答者様が多く

この板での解説があてにならないと感じている訳ではありません

ここの回答者様は尊敬しています

下手な誤解を招き申し訳ありませんでした。

No.80938 - 2022/02/15(Tue) 22:39:51

ｍ先生

不快な思いをされたなら申し訳ございません。

私の答案ができました

何卒宜しくお願い致します。

No.80959 - 2022/02/17(Thu) 07:38:15

おはようございます

本日もよろしくお願いします

以下問題

No.80906 - 2022/02/14(Mon) 06:48:14

☆ Re: 漸化式と極限 / m

この漸化式は解けます．

両辺 log をれば
log(a[n+1]) = log2 + (1/2) log(a[n])
となる．

b[n] = log(a[n]) についての漸化式を作って解けばいいが，極限を求めるだけなら完全に解く必要はない．

b[n+1] - 2log2
= (1/2) (b[n] - 2log2)
= (1/2)^n (b[0] - 2log2)
= (1/2)^n (log10 - 2log2)
→ 0
よって
lim[n→∞] b[n] = 2log2
従って
lim[n→∞] a[n] = lim[n→∞] e^(b[n]) = 4

[追記]
log は自然対数です．
また，log をとる前に正であることを確認しておくと丁寧です．

No.80916 - 2022/02/14(Mon) 15:44:17

★ 重積分 / タツヒコ

至急です。次の2問を解いて欲しいです。計算過程は絶対書いて欲しいです。勉強になるので解説もお願いしたいのですが、お手数をかけてしまうようであれば計算過程だけでもとても感謝です。

No.80902 - 2022/02/13(Sun) 19:59:54

☆ Re: 重積分 / 高校三年生

名前：やすはる日付：2022/2/9(水) 14:57
(1) ∬xy dx dy ここで、x>=0,y>=0,x^2+y^2<=r^2

という問題と、
(2)次の広義積分を計算
∬2x/(x+y)^2 dxdy ここで、D=[0.1]×(0.1]
という問題が、わかりません
途中式と合わせて教えて頂けると幸いです。

Re: 重積分・広義重積分
名前：通りすがり日付：2022/2/9(水) 19:53
(1)
極座標に座標変換すると
(与式)=∫[R:0→r]∫[θ:0→π/2](R^3)cosθsinθdθdR
={(1/4)r^4}(1/2){1-(-1)}
=(1/4)r^4

(2)
(与式)=lim[ε→+0]∫[x:0→1]∫[y:ε→1]{2x/(x+y)^2}dydx
=lim[ε→+0]∫[x:0→1]{2x/(x+ε)-2x/(x+1)}dx
=lim[ε→+0]∫[x:0→1]{-2ε/(x+ε)+2/(x+1)}dx
=lim[ε→+0]{2ε{logε-log(ε+1)}+2log2}
ここでロピタルの定理により
lim[ε→+0]2ε{logε-log(ε+1)}=lim[ε→+0]-2{logε-log(ε+1)}/(-1/ε)
=lim[ε→+0]-2{1/ε-1/(ε+1)}/(1/ε^2)
=lim[ε→+0]2{-ε+(ε^2)/(ε+1)}
=lim[ε→+0]2{-ε+ε-1+1/(ε+1)}
=0
∴(与式)=log4

Re: 重積分・広義重積分
名前：通りすがり日付：2022/2/9(水) 19:55
ごめんなさい。訂正します。
誤：
={(1/4)r^4}(1/2){1-(-1)}
=(1/4)r^4

正：
={(1/4)r^4}(1/4){1-(-1)}
=(1/8)r^4

No.80903 - 2022/02/13(Sun) 20:17:06

★ 微分 / サマンサタバサ

こちらのファイルについてなんですが、?Bと?Cを考えている時点で、αとβはy=xと求める放物線上にあり(ウ)を満たしている気がしているのですが、どうして?@及び?Aを考えないといけないのかいまいちしっくり来ません。どなたか説明していただけませんでしょうか。お願いします。

No.80889 - 2022/02/13(Sun) 11:01:48

☆ Re: 微分 / IT

> こちらのファイルについてなんですが、?Bと?Cを考えている時点で、αとβはy=xと求める放物線上にあり(ウ)を満たしている気がしているのですが、どうして?@及び?Aを考えないといけないのかいまいちしっくり来ません

　y=xは、y=x^2 の入力ミスですね？

〇1,〇2 を考えないとは、その答案から〇１、〇２の行を取り除いても良い。ということでしょうか？
取り除いてもα、βが(ウ)の異なる実数解であることをどこかで使えば良いとは思いますが,
a,b,c を決めるためには、その「解と係数の関係」が便利なのではないでしょうか？

なお、〇３、〇４を満たすだけだはダメです。
αが放物線y=x^2 と求める放物線が交わるｘの位置ではなくても
点(α,α^2)、(α,aα^2+bα+c)におけるそれぞれの接線が直交することはあり得ます。

＃機種依存文字を使っておられるためか、文字化けしていることもあり、質問の趣旨を取り違えているかも知れません。

No.80891 - 2022/02/13(Sun) 12:18:20

☆ 始めに接点ありき / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

生意気ですが

どうぞ

No.80895 - 2022/02/13(Sun) 14:52:10

☆ Re: 微分 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

?@、?Aが異なる２つの実数解を共有する

この事実以前の内容は微分のお話しですが、それ以降は数学１の内容です

＞?@、?Aが異なる２つの実数解を共有する

これは数学１の内容ですが、３連比などで解決できます

No.80896 - 2022/02/13(Sun) 16:05:20

連比の発想は、中学受験の経験から来ているかもしれません

悪しからず

No.80897 - 2022/02/13(Sun) 16:19:34

★ 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

続けざまにご質問お許し下さい

何卒宜しくお願い致します。

以下、問題

No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

ご返答ありがとうございます

X様、らすかる様

No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05

の(1)をお願い致します。

No.80894 - 2022/02/13(Sun) 14:35:54

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 高校三年生

x=(5x+8)/(x+3)を解いて、x=4,-2なので、

(x【n+1】-4)/(x【n+1】+2)=(1/7)・(x【n】-4)/(x【n】+2)

よって、[a,b]=[-4,2]

No.80898 - 2022/02/13(Sun) 17:21:22

私の答案です

酷評ください。

No.80899 - 2022/02/13(Sun) 18:51:51

☆ Re: 漸化式の極限　数学３び始めて１０日が過ぎました / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

追伸

今気づきましたが、(1)は３つの分数関数を合成してもいいかもしれません

No.80900 - 2022/02/13(Sun) 19:04:26

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / X

方針は問題ないと思います。
但し、問題のy[n]への変換は
(x[n]-4)/(x[n]+2)
の場合と
(x[n]+2)/(x[n]-4)
の2つの場合が考えられるので
(a,b)=(2,-4),(-4,2)
となります。

No.80901 - 2022/02/13(Sun) 19:56:26

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / らすかる

> Xさん
a＜bという条件がありますので(-4,2)だけですね。

No.80904 - 2022/02/14(Mon) 02:13:33

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / X

＞＞らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞K・Aさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。

No.80905 - 2022/02/14(Mon) 06:44:56

☆ Re: 漸化式の極限　数学?Vを学び始めて１０日が過ぎました / 数学３独学１１日目/ 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

らすかるさん、 Xさん、高校三年生さん

ご回答ありがとうございました。

これからもよろしくお願いします。

No.80913 - 2022/02/14(Mon) 12:02:54

★ 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

おはようございます

お願い致します。

質問は(３)のみです

また、この数列は一般項は求まりますか

何卒宜しくお願い致します。

No.80881 - 2022/02/13(Sun) 07:44:39

☆ Re: 漸化式と極限 / らすかる

(3)
条件から
a[1]=1
a[2]=a[1]+(1/3)=1+1/3
a[3]=a[2]+(1/3)^2=1+1/3+(1/3)^2
a[4]=a[3]+(1/3)^3=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3
・・・
よって等比数列の公式により
a[n]=(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=(3/2){1-(1/3)^n}
となり、極限は3/2。

一般の数列と同じ解き方をするなら
a[n+1]-a[n]=(1/3)^n
a[n+1]=a[n]+(1/3)^n
a[n+1]+k(1/3)^(n+1)=a[n]+k(1/3)^n
とおくと
a[n+1]=a[n]+k(1/3)^n-k(1/3)^(n+1)
a[n+1]=a[n]+(1-1/3)k(1/3)^n
a[n+1]=a[n]+(2/3)k(1/3)^n
よって(2/3)k=1すなわちk=3/2となるので
a[n+1]-a[n]=(1/3)^n は
a[n+1]+(3/2)(1/3)^(n+1)=a[n]+(3/2)(1/3)^n
と変形できることがわかる。
b[n]=a[n]+(3/2)(1/3)^n とおくと
b[n+1]=b[n], b[1]=a[1]+(3/2)(1/3)^1=3/2 なので
b[n]=3/2
従って
a[n]=b[n]-(3/2)(1/3)^n
=3/2-(3/2)(1/3)^n
=(3/2){1-(1/3)^n}

No.80888 - 2022/02/13(Sun) 10:43:27

☆ Re: 漸化式と極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓：勤勉・温雅・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

ご返答ありがとうございます

私は以下のように考えてみました

酷評ください。

No.80890 - 2022/02/13(Sun) 12:16:37

☆ Re: 漸化式と極限 / X

方針は大筋で問題ありません。
但し、抜けがありますね。
〇Aの式が何なのかの定義が抜けています。

No.80892 - 2022/02/13(Sun) 13:30:36

ご返答ありがとうございます

X様、らすかる様

No.80885 - 2022/02/13(Sun) 09:28:05

の(1)をお願い致します。

No.80893 - 2022/02/13(Sun) 14:34:22

★ 円順列の問題です / るい

k を 2 以上の自然数とする．2k+2 個の椅子が円形に並んでいる．k 人が，どの 2 人
も隣り合わないように，椅子に座る場合の数を求めよ．ただし，人は区別できないものとする．

解答はkが奇数の時（k +1）／2
kが偶数のとき（k +2）／2なのですが
考えるプロセスや発想や詳しい解説を知りたいです

No.80880 - 2022/02/13(Sun) 00:15:29

☆ Re: 円順列の問題です / けんけんぱ

ただし，人は区別できないものとする
とあります
これを踏まえて、k人とk個の椅子の配置の仕方は1通り。
残りの椅子２個の配置を考えます。
人と人の間はk個所あり、２個を同じ場所に配置する方法は1通り。
(k個所ありますが。回転させると同じになります。)
２個をk個所の別々の場所に配置することを考えます。

kが偶数のとき、時計の1から12の配置を例にとります。
1個を12に配置しておきます。残り1個は、1,2,3,4,5,6のいずれかで各1通り。
(配置位置が12と1、と、12と11は同じになります)
この考え方ですと、k/2通りと数えられます。よって、k/2+1通り

kが奇数のときは、質問者さん自身でお考えになられるとよいかと思います。

No.80882 - 2022/02/13(Sun) 08:06:53

★ 直角三角形の証明問題 / 如月伊都奏

中2です。
直角三角形の証明問題です。
下の問題の答えは解答があるので分かるのですが、その答え(赤字で書かれている部分)になる経緯がわかりません。
わかる方解説お願いします。

No.80867 - 2022/02/11(Fri) 11:05:43

☆ Re: 直角三角形の証明問題 / ヨッシー

直角三角形の合同の証明なので、
　斜辺と直角以外の１つの角が等しい
を言えばいいです。
斜辺が等しいことは、正方形なので、自明として、角については、

図の、●と■が等しいことをいえばいいです。
　●＋○＝90°　　正方形の角なので
　■＋○＝90°　　直角三角形の鋭角の和なので
このことから●と■が等しいことがわかります。

このことを、証明としての体裁を整えて書くと、上の解答のようになります。

No.80868 - 2022/02/11(Fri) 11:53:11

★ 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。

一番の問題を以下のように解いたのですが、解答として十分なものになっているでしょうか？
また、こうやった方がスムーズにできるというものがあるのであれば教えていただけるとありがたいです。

No.80854 - 2022/02/10(Thu) 16:05:59

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。

自分の回答です。

No.80855 - 2022/02/10(Thu) 16:06:29

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / X

解答に問題はありません。

No.80856 - 2022/02/10(Thu) 16:34:20

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。

返信ありがとうございました。
以後、類題はこの方針でやっていきたいと思います。

No.80858 - 2022/02/10(Thu) 17:36:16

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / IT

それで間違いではないと思いますが、下記のようにした方が少しスッキリするのでは？
・・・
1-x=((2a-1)i-2)y

ここで、左辺は実数なので、((2a-1)i-2)が実数でないとき、
　y=0 ∴x=1 となり点zの全体は,点z=1のみとなる。

したがって、点ｚの全体が直線となるとき、2a-1＝0すなわちa=1/2が必要。
このとき,元の方程式は1-x=-2y なので点ｚの全体は直線となる。

＃うずらさんの答案で気になる点は
y=cx+d の形にするために y=(1/A)x + B としておられることです。
直線の方程式は、y=cx+d の形だけではありません。
x=d も一般にはあり得ます。
また、これによって、(1/A)という割り算が出てくる。

この答案ではA≠0を示しておられるので良いとは思いますが

No.80865 - 2022/02/11(Fri) 08:42:11

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / IT

あるいは、
1-x+2y-(2a-1)yi=0 ,a,x,yは実数なので
1-x+2y=0 かつ　(2a-1)y=0
2a-1≠0のとき・・・
2a-1＝0のとき

の方が良いかも。

No.80866 - 2022/02/11(Fri) 09:52:37

☆ Re: 複素数の直線条件(高校数学) / うずら。

来ていると気づかずに返信が遅れてすいません
たしかに、ITさんのやり方の方は割り算がなく、軸に並行な直線まで直接調べられてるので良さそうですね
今後はそのやり方でやらせてもらいたいと思います
回答ありがとうございました！

No.80910 - 2022/02/14(Mon) 10:32:08