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三角関数 / ワンチョペ
tanα=t(t≠±1)とするとき、次の式?@、?Aをtで表せ。

?@sin2α=?

?A1+sin2α+cos2α分の1+sin2α−cos2α=?

が解りません。ぜひ教えてください。

No.1714 - 2008/07/23(Wed) 14:16:16

Re: 三角関数 / ヨッシー
まず、sin と tan 、cos と tan の関係式
 1+1/tan2α=1/sin2α
 1+tan2α=1/cos2α
より、
 sin2α=tan2α/(1+tan2α)
 cos2α=1//(1+tan2α)
よって、
 sin2α=2sinαcosα=±2tanα/(1+tan2α)
  =±2t/(1+t2)
ところで、
 sin2αtanα=(2sinαcosα)(sinα/cosα)=2sin2α≧0
より、sin2α と tanα が異符号になることはないので、
 sin2α=2t/(1+t2)

(2)は、
1+sin2α+cos(1/2α)+sin2α−cos2α
1+1/(sin2α+cos2α)+sin2α−cos2α
1/(1+sin2α+cos2α)+sin2α−cos2α
など、いろいろに読めますが、いずれにしても、(1) と同じ方法で
解けるでしょう。

No.1715 - 2008/07/23(Wed) 16:13:33
(No Subject) / 大学1回です。
もう1問お願いします。

問題
標的を射撃したときの横方向の誤差Xと縦方向の誤差Yは互いに独立で,ともに標準正規分布N(0,1)に従う。ただし,ここでX,Yは符号付きで考える。
(1)着弾点と目標との距離の2乗X^2+Y^2の密度関数を求めよ。

No.1713 - 2008/07/23(Wed) 08:53:51
(No Subject) / 大学1回です。
問題
指数分布に対して,P(X<h+t|X>t)=P(X<h)がすべての正数h,t>0に対し成り立つことを示せ。

よろしくお願いします。

No.1712 - 2008/07/23(Wed) 08:46:50
三角関数 / ゆき
sinx/2+3cosx-2=0 (0≦x≦π)
この方程式の解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.1707 - 2008/07/22(Tue) 23:55:28

Re: 三角関数 / 魑魅魍魎
sinx/2

sin(x/2)
それとも
(sinx)/2

のどちらでしょうか?

No.1708 - 2008/07/23(Wed) 00:19:46

Re: 三角関数 / ゆき
すみません。
sin(x/2)の方です。
よろしくお願いします。

No.1709 - 2008/07/23(Wed) 00:27:39

Re: 三角関数 / 魑魅魍魎
sin(x/2)+3cosx=2

cosx=1-2{sin(x/2)}^2
より

sin(x/2)+3-6{sin(x/2)}^2=2  ------(1)

sin(x/2)=Aとおくと

0≦x≦πより
0≦A≦1

(1)は
A+3-6A^2=2
6A^2-A-1=0
(3A+1)(2A-1)=0
A=-1/3 , A=1/2

0≦A≦1より

sin(x/2)=1/2

x/2=π/6
x/2=5π/6

(0≦x≦π)から
x=π/3

No.1710 - 2008/07/23(Wed) 00:47:55

Re: 三角関数 / ゆき
分かりました☆
ありがとうございました

No.1751 - 2008/07/25(Fri) 17:14:48
もう1問おねがいします / くま
(1)k=1,2,3…のとき、不等式
1/k+1<∫[k→k+1]1/xdx<1/k
が成り立つことを示せ。

(2)n=2,3,4…のとき、不等式
logn<1+1/2+1/3+…+1/n<1+logn
が成り立つことを示せ。

No.1704 - 2008/07/22(Tue) 20:33:59

Re: もう1問おねがいします / rtz
(1)
区分求積です。
y=1/xのグラフを描いて考えましょう。
積分の表す面積と、k〜k+1の幅が1であることを踏まえます。

(2)
(1)を∫[k〜k+1]1/xdx<1/k<∫[k-1〜k]1/xdx
に直し、k=1〜nで足し合わせます。
ただし右辺は最初のみ1にします。

No.1706 - 2008/07/22(Tue) 22:04:43

Re: もう1問おねがいします / くま
グラフ書いてもいまいちよくわからないです><
No.1722 - 2008/07/23(Wed) 21:44:33

Re: もう1問おねがいします / ヨッシー

グラフにおいて、
 1/(k+1) は赤の面積
 ∫[k→k+1]1/xdx は黄色の面積
 1/k は青の面積
となっています。

No.1726 - 2008/07/24(Thu) 08:49:51

Re: もう1問おねがいします / くま
わかったです!
じゃあ答えは図より〜って感じで大丈夫ですか?

(2)はいまいちわからないです><

No.1729 - 2008/07/24(Thu) 15:54:05
おねがいします>< / くま
次の極限値を求めよ。ただし、nは正の整数である。

(1)lim[n→∞]1/n??(k/n)^3

(2)lim[n→∞]1/n(cosπ/2n+cos2π/2n+cos3π/
2n+…+cosnπ/2n)

No.1703 - 2008/07/22(Tue) 20:29:03

Re: おねがいします>< / rtz
(1)
?納k=1,n]k3を使います。

(2)
区分求積から、
∫[π/(2n)〜(n+1)π/(2n)]cosxdx<(1/n)?納k=1〜n]cos(kπ/2n)<∫[0〜π/2]cosxdx
です。

No.1705 - 2008/07/22(Tue) 21:59:32

Re: おねがいします>< / くま
てことは、
(1)は、
lim[n〜∞]1/n?納k=1〜n](k/n)^3
=lim[n〜∞]1/(n^4){(1/4)n^2(n+1)^2
=lim[n〜∞](n^2+2n+1)/4n^2
=1/4…(答)
でオッケーでしょうか?

(2)区分求積分の使い方がよくわかりません。。。

No.1721 - 2008/07/23(Wed) 21:35:35

Re: おねがいします>< / ヨッシー
とりあえず、こちらをご覧ください。
No.1723 - 2008/07/23(Wed) 22:16:00

Re: おねがいします>< / くま
どうもです。
ということは、
lim[n〜∞]1/n?納k=1〜n]coskπ/(2n)
=∫[0〜1]cos(xπ/2)

ってなるでオッケーでしょうか?
でもこの積分の解き方がわからないです。

No.1724 - 2008/07/23(Wed) 23:34:21

Re: おねがいします>< / ヨッシー
∫cos(xπ/2)dx=(2/π)sin(πx/2)
ですね。

No.1725 - 2008/07/24(Thu) 08:41:59

Re: おねがいします>< / くま

[(2/π)sin(πx/2)](1〜2)=2/π

できました!
ありがとうございます

No.1727 - 2008/07/24(Thu) 15:19:19

Re: おねがいします>< / ヨッシー
答えは良いですが、積分範囲は 0〜1 ですね。
落ち着いて!

No.1728 - 2008/07/24(Thu) 15:41:12

Re: おねがいします>< / くま
あ!タイプミスでした^^;
No.1734 - 2008/07/25(Fri) 00:04:54
(No Subject) / 大学4回 卒業あやういです
問題
離散時間フーリエ級数における以下の性質を証明せよ.ただし,周期N の関数x[n],y[n] のフー
リエ係数をak,bk とし,n0 とM は定数とする.
1. 線形性:Ax[n] + By[n] → Aak + Bbk
2. 時間シフト:x[n − n0] → ake−ik(2π/N)n0
3. 周波数シフト:eiM(2π/N)nx[n] → ak−M


連続ですいません。よろしくお願いします。

No.1699 - 2008/07/22(Tue) 15:25:52
(No Subject) / 大学4回 卒業あやういです
問題
オイラーの公式eix = cos x+i sin x を利用して以下の問題に答えよ.導出過程も記載すること.
裏面を使ってもよい.
1. cos x をe を用いて表せ.
2. sin x をe を用いて表せ.
3. e−ix をcos x とsin x を用いて表せ.
4. sin2 x + cos2 x = 1 を証明せよ.


よろしくお願いします。

No.1698 - 2008/07/22(Tue) 15:24:39

(No Subject) / ヨッシー
eix=cosx+isinx
e-ix=cosx−isinx
から、1. と 2. と 3.は出来ますね。
また、これら2式を左辺どうし、右辺どうし掛けると・・・

No.1700 - 2008/07/22(Tue) 15:31:17

Re: / 大学4回 卒業あやういです
ありがとうございます。
3の問題は導出過程はないんですか?
そのまま公式を引用でいいんでしょうか?

No.1701 - 2008/07/22(Tue) 15:50:52

(No Subject) / ヨッシー
eix = cos x+i sin x の x に、-x を代入して、
だけで良いと思います。
でも、3. は、ホントにこういう問題でしょうか?
1. 2. で既出の式を、あえて 3. で聞くのは、考えにくいですが。

No.1702 - 2008/07/22(Tue) 17:10:21
(No Subject) / 大学1年です。
問1 X1,…,Xnを互いに独立,かつ同一分布に従う確率変数とし,共通の分布関数をF(x)とおく。その最大値X=max{X1,…,Xn}の分布関数を求めよ。
 (P(X<=x)=P(X1<=x,…,Xn<=x)である。)

問2 ある川での年間を通じての瞬間最大流量は平均1の指数分布に従い,年が異なれば最大流量は互いに独立とする。50年間での瞬間最大流量が8以下である確率を求めよ。

No.1695 - 2008/07/22(Tue) 00:21:11
(No Subject) / 大学1年です。
統計学のテストが迫っているのですが、特に証明問題が手に負えません。よろしくお願いします。

問 n個のデータX1,…,Xnの標本分散,標本不遍分散はそれぞれ以下で与えられることを示せ。

  ・ 1/2n^2?這煤iXi−Xj)^2  

  ・ 1/2n(n−1)?這煤iXi−Xj)^2

      (i=1→n)(j=1→n)

No.1694 - 2008/07/22(Tue) 00:11:15
不等式の証明 / ooooooo
問:(sina+sinb)/2<=sin(a+b/2)を証明せよ。ただし、文字は全て0とπの間の数とする。

を教えて下さい。できれば(sina+sinb+sinc)/3<=sin(a+b+c/3),(sina+sinb+sinc+sind)/4<=sin(a+b+c+d/4)も知りたいので、一般化した証明が分かると嬉しいです。

No.1688 - 2008/07/21(Mon) 12:43:27

Re: 不等式の証明 / キューダ
区間[0,π]においてsin(x)が上に凸であることを指摘すると、直ちに成立することが言えます。
丁寧に説明する場合には、関数を図示し、左辺が示す値、右辺が示す値を添えれば良いでしょう。

詳しくは、凸関数、関数の凸性、凸不等式などを検索してみてください。
文字数2,3,4個→n個という方向だけでなく、sin(x)→凸性を持つ全ての関数へと拡張できます。

No.1691 - 2008/07/21(Mon) 17:32:05

レスありがとうございました! / ooooooo
キューダ様、ご丁寧なレスありがとうございました。
アドバイスを参考に、もう少し熟考してみようと思います。
また機会がありましたら、お力を貸して頂けると嬉しいです。

No.1693 - 2008/07/21(Mon) 21:27:56
数A / みかげ
【問】x+y+z=9を満たす自然数x,y,zの解の組は何通りあるか。

【解説】x-1=X,y-1=Y,z-1=Zとおくと
   x=X+1,y=Y+1,z=Z+1となり、x+y+z=9より
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=9
よって   X+Y+Z=6
   X,Y,Zは0以上の整数となる。
   すなわち、6個の〇と2個の|を並べる並べ方の総数に   等しいから
   8!/(6!2!)=28(通り) 

【疑問】よってX,Y,Zは0以上の整数となる。のが何故なのか分かりません

よろしくお願いします

No.1686 - 2008/07/21(Mon) 12:07:34

Re: 数A / らすかる
x-1=XとおいたのでXはxより1小さい数です。
xは自然数つまり1以上の整数ですから、Xは0以上の整数ですね。

No.1687 - 2008/07/21(Mon) 12:42:14
(No Subject) / 阿呆
1)4^log23

2)4^(2/3)÷24^(1/3)×18^(2/3)

をおしえてくださいいいいいいmmmm

No.1685 - 2008/07/21(Mon) 10:23:51

Re: / DANDY U
1) x=4^log[2]3  とおいて対数をとると
log[2]x=log[2]3・log[2]4
    =2*log[2]3=log[2](3^2)
∴ x=3^2=9

2)4^(2/3)÷24^(1/3)×18^(2/3)=16^(1/3)÷24^(1/3)×324^(1/3)
=(16÷24×324)^(1/3)=216^(1/3)=6

となります。

No.1689 - 2008/07/21(Mon) 13:11:05

Re: / 阿呆
okuremasitaga
あ り が と う 

No.1697 - 2008/07/22(Tue) 08:54:24
sincostan / K

sinx+siny=1、cosx+cosy=1/3のとき、tan(x+y)/2の値を求めよ。

解 3

tanの展開のしかたがよくわかりません。
解答までの過程と解説を、どなたかよろしくお願いします。

No.1679 - 2008/07/20(Sun) 20:53:12

Re: sincostan / rtz
>tanの展開
必要ありません。

2式を和→積に直せばすぐ出ます。

No.1681 - 2008/07/21(Mon) 01:10:48
「反転」の意味 / √
よろしくお願い致します。

「図形や絵が上下【反転】している」
の意味は、

「鏡像(線対称)」ということですか?
それとも
「180度、向きを変えた」ということですか?

昨日、IQサプリを見ていて、ふと疑問に思いました。

No.1677 - 2008/07/20(Sun) 18:38:19

Re: 「反転」の意味 / らすかる
「鏡像(線対称)」です。
No.1680 - 2008/07/20(Sun) 22:55:14

Re: 「反転」の意味 / √
らすかるさん
有り難うございました。

No.1683 - 2008/07/21(Mon) 08:15:35
(No Subject) / ぽにょ 高3
次の極限値を求めよ。
lim(1-1/n)^n (n→∞)

教えてください。お願いします。

No.1676 - 2008/07/20(Sun) 18:34:02

Re: / にょろ
(1-1/n)^n=((1+(-1/n))^-n)^-1
でどうでしょ?

No.1682 - 2008/07/21(Mon) 04:32:16

Re: / ぽにょ 高3
lim(1+x)^(1/x)=e のx=-1/nとした時ってことですかね?
つまり答えは、e^(-1)ですね。
おかげでとても分りました。ありがとうございます☆

No.1696 - 2008/07/22(Tue) 01:48:01
(No Subject) / きんに
101.32kPaの下で,4℃の水1molを100℃で蒸発させると体積は何倍になるか.ただし,4℃での水の密度を1.00g/立方センチメートルとする.        解答おねがいします
No.1672 - 2008/07/20(Sun) 15:37:29

Re: / 七
0℃=273K であれば
1mol の水が100℃で水蒸気になると
23.4・(273+100)/273 [l(リットル)] の体積になります。
一方4℃での水の密度が1.00g/cm3ですから1mol=18gの水の体積は
18 [cm3]です。

No.1674 - 2008/07/20(Sun) 18:11:19

Re: / 七
書き忘れていましたが
101.32kPaを1atm(気圧)としています。

No.1678 - 2008/07/20(Sun) 18:41:26

Re: / gion
>23.4・(273+100)/273 [l(リットル)] の体積になります。
間違いその1:23.4ではなく22.4
間違いその2:1atm,273KのH2Oは気体ではない.
間違いその3:そもそもH2Oは3原子分子だ.
これはひどい.

No.1684 - 2008/07/21(Mon) 09:29:40

Re: / 七
>gion,間違いその1
そうでした。

No.1692 - 2008/07/21(Mon) 20:39:31
(No Subject) / ayu
m,nが整数のとき、mnが偶数ならばm,nの少なくとも一方は偶数であることを証明せよ。

教えてください。

No.1670 - 2008/07/20(Sun) 12:48:45

Re: / DANDY U
背理法

「m,nの少なくとも一方は偶数である」の否定は「m,nともに奇数」

「m,nともに奇数」とすれば、・・・mnは・・・・

No.1671 - 2008/07/20(Sun) 14:42:39
ベクトル / アシメ 高3
2点(1,1,3)(3,5,5)を通る直線をlとし,原点に最も近いl上の点をAとする。

(1)点Aの座標を求めよ。
(2)B(x,y,z)をl上の点とする。x=1のとき△AOBの面積を求めよ。

全くわかりません。
よろしくお願いします。

No.1667 - 2008/07/20(Sun) 01:19:05

Re: ベクトル / 七
(1)
l上の任意の点P(x,y,z)とすると,tを実数として
(x,y,z)=(1,1,3)+t(2,4,2)
=(1+2t,1+4t,3+2t)
と表すことが出来る。
OP2=(1+2t)2+(1+4t)2+(3+2t)2
=24t2+24t+11
=24(t+1/2)2+5
だから t=−1/2 のとき OP2は最小値5をとる。
OP≧0 だからこのとき OPも最小になり,その値は√5
t=−1/2だから A(0,−1,2)
(2)
x=1のときt=0だから
B(1,1,3)
OB=√11
→OA・→OB=5
△AOB=(1/2)√(5・11−25)=(1/2)√30
計算は間違っているかも知れません。

No.1675 - 2008/07/20(Sun) 18:33:46

Re: ベクトル / アシメ
ありがとうございます。

OP2とはどういうことなのでしょうか?

No.1690 - 2008/07/21(Mon) 14:59:12

Re: ベクトル / 七
>OP2とはどういうことなのでしょうか
直線上の任意の点Pと原点Oとの距離の2乗です。

No.1711 - 2008/07/23(Wed) 06:02:13
模試の勉強で・・・ / 高1
二次関数の問題で二次関数f(x)=x^2+2ax+bがありy=f(x)のグラフは点(1,8)を通る。ただしa、bは実数の定数でa>0 ?@bをaをもちいて表せ ?Ay=f(x)のグラフの頂点が直線y=x+1上にあるときaの値を求めよ ?B?Aのとき負の定数pについてp≦x≦0における関数f(x)の最大値と最小値の差が-2pとなるpの値を求めよ 。という問題があるのですが、先生がくれたプリントで答えが分かりません。出来れば、解答のチェックをしてほしいのですが。
(1)b=7-2a(2)a=(-3+√33)/2(3)(-√33+5-√22+√6)/2となったのですがどうでしょうか。 

No.1665 - 2008/07/19(Sat) 22:18:58

Re: 模試の勉強で・・・ / rtz
まず最初に、
書き込む際は適宜改行しましょう。
このままだと非常に見づらいです。

(1)は問題ありませんが、
(2)が間違っていますので、自動的に(3)も間違いです。

(2)はもっと簡単な数字になります、検算してみてください。
また、(3)は2つ答えがあります。

No.1666 - 2008/07/20(Sun) 00:40:07

Re: 模試の勉強で・・・ / 高1
ありがとうございます。改行忘れてしましました。すいません。
(2)a=2 (3) p=-2 , -3-√5 ですか?

No.1669 - 2008/07/20(Sun) 09:41:15

Re: 模試の勉強で・・・ / rtz
こちらの計算とも一致しました。
No.1673 - 2008/07/20(Sun) 16:28:39
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