ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 漸化式の問題（３題） / Key(高２女子)

漸化式の問題ですが、３題それぞれ異なる型です。よろしくお願いします。特に問１は自信がありません。問３（２）は冬季課外で先生が、ｎ≧３として、場合分けして解いてくれたのですが、なぜ、ｎ≧２で駄目なのかいくら考えても解りません。

［問１］　次の漸化式によって与えられる数列｛an}の一般項
　　　　a(n)を求めよ。a(1)=1, a(n+1)=2*(n+1)*a(n)

［答案］
a(1)=1・・・?@
a(n+1)=2*(n+1)*a(n)・・・?A　とおく。

ｎ≧２のとき、漸化式において、n=1,2,3,,,,n-1 とすると?Aは、
a(2)=2*2*a(1)
a(3)=2*3*a(2)
a(4)=2*4*a(3)
　　　・
　　　・
　　　・
a(n)=2*n*a(n-1)

辺々を掛けて
a(2)a(3)a(4)...a(n)=2*(n-1)*n!*a(1)a(2)a(3)...a(n-1)
この両辺を、a(2)a(3)a(4)...a(n-1)で割ると、
a(n)=2*(n-1)*n!・・・?B

n=1のとき
　a(1)=2*(1-1)*1=0 で?Bは成り立たない。

以上より
n=1のとき a(n)=1
n≧2のとき a(n)=2*(n-1)*n!

［問２］　数列｛an｝の初項から第ｎ項までの和Snが、
　　　　S(n)=3n-2a(n) (n=1, 2, 3, ,,,) を満たしている。
　　　　一般項を求めよ。

［答案］S(n)=3n-2a(n) (n=1, 2, 3,,,,)・・・?@とおくと、
　n=1のとき
　　S(1)=a(1)であるから、
S(1)=3-2a(1)　
a(1)+2a(1)=3
∴a(1)=1

　?@より
　　S(n+1)=3(n+1)-2a(n+1)・・・?A
　?A－?@より
　　S(n+1)-S(n)=-2a(n+1)+2a(n)+3・・・?B
　 S(n+1)-S(n)=a(n+1)であるから、?Bは、
　　a(n+1)+2a(n+1)=2a(n)+3
3a(n+1)=2a(n)+3
a(n+1)=(2/3)a(n)+1・・・?C
　?Cのa(n+1),a(n)へそれぞれ xを代入し特性方程式を解くと、
　　x=(2/3)x+1
(1/3)x=1
∴x=3
　これを?Cの両辺からそれぞれ引いて
　　a(n+1)-3=(2/3)a(n)-2
=(2/3){a(n)-3}・・・?D
　ここで、f(n)=a(n)-3 とおくと、?Dは、
f(n+1)=(2/3)f(n)
よって
f(n)=f(1)(2/3)^(n-1)
a(n)-3=(1-3)(2/3)^(n-1)
∴a(n)={(-2)(2/3)^(n-1)} + 3・・・?E
?Eを?@へ代入して、
S(n)=3n-2[{(-2)(2/3)^(n-1)} + 3]
=3n+{4(2/3)^(n-1)}-6
={4(2/3)^(n-1)} + 3n - 6

［問３］　初項a(1)=3 の数列{an}がある。ｎ≧２に対して、初
　　　　項a(1)から第ｎ項a(n)までの和をS(n)としたとき、
S(n)={(n+1)^2}*a(n)が成り立つとする。このとき
　　　　次の問に答えよ。
(1) n≧2のとき、{a(n+1)}/{a(n)} をｎの式で表せ。
(2) n≧2のとき、数列{an}の一般項を求めよ。

［答案］
（１）　S(n)={(n+1)^2}*a(n)・・・?@とおくと、
S(n+1)=[{(n+1)+1}^2]*a(n+1)
={(n+2)^2}*a(n+1)・・・?A
n≧2のとき
　　　　　?A－?@より
S(n+1)-S(n)={(n+2)^2}*a(n+1)-{(n+1)^2}*a(n)
S(n+1)-S(n)=a(n+1)であるから
a(n+1)-{(n+2)^2}*a(n+1)={-(n+1)^2}*a(n)
-a(n+1)+{(n+2)^2}*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n)　
{(n^2)+4n+3}*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n)
(n+1)(n+3)*a(n+1)={(n+1)^2}*a(n)
n+1>0であるから
(n+3)*a(n+1)=(n+1)*a(n)
n+3>0, a(n)>0であるから
{a(n+1)}/{a(n)}=(n+1)/(n+3)・・・?B

（２）?Bより　n≧3のとき
{a(n)}/{a(n-1)}=n/(n+2)
　　　同様に
{a(n-1)}/{a(n-2)}=(n-1)/(n+1)
{a(n-2)}/{a(n-3)}=(n-2)/n
　　　　　　　　・　　　　　・
　　　　　　　　・　　　　　・
　　　　　　　　・　　　　　・
a(3)/a(2) = 3/5
　　　辺々を掛け合わせると、分子、分母が打ち消し会うので、
a(n)/a(2)={(4＊3)/(n+2)(n+1)}*(3/8)
∴a(n)=9/{2(n+2)(n+1)}

n=2のとき
　　　　a(2)=3/8で成り立つ。

　　　　　

　　
　

No.9290 - 2010/01/01(Fri) 23:02:11

☆ Re: 漸化式の問題（３題） / フリーザ

問１ですが

方針はいいですが
最後でa(ｎ)＝2*(n-1)*n!は
a(n)=2^(n-1)*n!では？

あともう少しスマートな解法？としては最初の式で両辺をn!で割り少し変形すればa(n)/n!＝b(n)などとおけばb(n)が等比数列になります。

No.9291 - 2010/01/01(Fri) 23:49:44

☆ Re: 漸化式の問題（３題） / 七

> ｎ≧３として、場合分けして解いてくれたのですが、なぜ、ｎ≧２で駄目なのかいくら考えても解りません。
a(n－1)を使うからです。

No.9293 - 2010/01/02(Sat) 06:53:30

☆ Re: 漸化式の問題（３題） / Kei(高２女子)

フリーザさん、七さん
早速のご教示ありがとうございました。

ところで、またまたしつこくてすみませんが、「ｎ≧３として」のところは、a(n-1)を使う場合でも、ｎ≧２で駄目なのがよく分からないのです。
というのは、ｎ≧２ならば、ｎが最小の時ｎ＝２ですから、このとき、a(n-1)を用いるとして、n=2を代入すれば、a(2-1)=a(1)となります。a(n-1)でa(0)では第０項は存在しないので避けなければなりませんが、a(1)ならば初項なので大丈夫だと思うのですが、ｎ≧２ではなく、あえてｎ≧３とする理由を教えて下さい。よろしくお願いします。

No.9294 - 2010/01/02(Sat) 09:19:36

☆ Re: 漸化式の問題（３題） / フリーザ

{a(n+1)}/{a(n)}=(n+1)/(n+3)・・・?B
の式はn≧2でつかえます。
なので
a(n)}/{a(n-1)}=n/(n+2)の式は
n≧3で使えます。

No.9295 - 2010/01/02(Sat) 11:31:24

☆ Re: 漸化式の問題（３題） / Kay(高２女子)

フリーザさんへ
ありがとうございました。さっぱりしました！！

No.9297 - 2010/01/02(Sat) 13:32:29

★ (No Subject) / あやか

aを定数として、2次関数f（x）=x^2+4x-a^2+5aがある。
x>0を満たすすべてのxの値に対してf（x）>0となるようなaの値の範囲を求めよ。

解答には「放物線y=f（x）の軸は直線x=-2であるから、x≧-2の範囲でf（x）の値は増加する。したがって求める条件はf（0）≧0」とあるんですけど
ぶっちゃけ何を言ってるのか分かりません（＾＾；）
f（0）≧0がなんなのかも・・・（ちなみに答えは0≦a≦5です）

この高１の冬休みの間に少しでも苦手な数学を克服したいので、皆様お力の方お貸しくださいm（_ _）m
よろしくおねがいします＞＜；

No.9284 - 2009/12/30(Wed) 10:08:57

☆ Re: / あやか

> aを定数として、2次関数f（x）=x^2+4x-a^2+5aがある。
> x>0を満たすすべてのxの値に対してf（x）>0となるようなaの値の範囲を求めよ。
>
> 解答には「放物線y=f（x）の軸は直線x=-2であるから、x≧-2の範囲でf（x）の値は増加する。したがって求める条件はf（0）≧0」とあるんですけど
> ぶっちゃけ何を言ってるのか分かりません（＾＾；）
> f（0）≧0がなんなのかも・・・（ちなみに答えは0≦a≦5です）
>
> この高１の冬休みの間に少しでも苦手な数学を克服したいので、皆様お力の方お貸しくださいm（_ _）m
> よろしくおねがいします＞＜；

この問題は高１　数学?Tの２次不等式の応用問題です

No.9285 - 2009/12/30(Wed) 10:10:18

☆ Re: / フリーザ

すべてのxの値に対してf（x）>0
⇔f(x)の最小値が０より大きい

例えば「クラスのみんなが５０点以上とらないと補習にします。ってときにクラス全員の点を調べるのはめんどうです。いつもビリのA君がいたらA君の点数が５０点をこえてるか確かめれば十分です。」

なので軸の位置を考慮すれば２次関数の最小値はx=0のときですので(厳密にはx=0は定義域ではないですがまずは概要を理解してください)f(x)の最小値f(0)≧0であればよい。

（注）上でも書いたようにx=0は定義域にはいらないことが最後の≧の＝を加えています。もしｘの定義域に0が含まれれば最後はf(0)≧0ではなくf(0)＞0となります。

No.9286 - 2009/12/30(Wed) 10:41:42

★ ベクトル / nami 高2

こんばんは
いつも分かりやすく教えていただいてありがとうございます

今日もまた教えて下さい☆

＜ベクトルの問題＞・三角形ABCにおいて、辺OAを1：3、辺OBを2：1に内分する点をそれぞれD,Eとし、また、二点AE,BDの交点をP,線分OPの延長が辺ABと交わる点をFとする。
OAベクトル＝aベクトル・OBベクトル＝bベクトルとするとき、OFベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表し、AF:FBもとめる。
という問題です。

私は、AP:PE=s:(1-s)・BP:PD=t:(1-t)として、計算し、
OPベクトル=1/10aベクトル+3/5ｂベクトル

OFベクトル＝ｋOP
→OFベクトル＝（1/10）k　aベクトル+（3/5）ｋｂベクトル

というところまでは分かったのですが、
そこから先が、回答を見ても理解できませんでした。

回答には、点Fは線分AB上のあるので
1/10ｋ+3/5ｋ＝1
ｋ＝10/7
OFベクトル＝1/7aベクトル+6/7bベクトル
よってAF:FB=6:1と書いていました。

＜疑問・不明点＞
・点Fは線分AB上のあるので
1/10ｋ+3/5ｋ＝1
というところはどうして＝1になるんでしょうか？
また、aベクトル・ｂベクトルはなぜ消えたのでしょうか？
OFベクトル＝はつけなくていいのでしょうか？
なぜですか？？？？？

よろしければ公式など、考え方、くわしくおしえてください。

また、s:(1-s)・t:(1-t)を使う問題は全部このような解き方
（1/10ｋ+3/5ｋ＝1）を使って解くのでしょうか？？

教えて下さい。
お願いします。

No.9280 - 2009/12/29(Tue) 23:46:39

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

△ＡＢＣではなく、△ＡＢＯですね。

ＡＦ：ＢＦ＝ｍ：ｎとすると、内分点の公式より
　ＯＦ＝{n/(m+n)}ａ＋{m/(m+n)}ｂ
となり、係数は、n/(m+n) と m/(m+n) です。
上の回答で、当然のごとく　s:(1-s) のようにおいて
　(1-s)ａ＋sｂ
としていますが、元は、
　{n/(m+n)}ａ＋{m/(m+n)}ｂ
であり、m/(m+n)＝ｓ　と置くことで、
　(1-s)ａ＋sｂ
のように、分数でない式に出来るのです。

ここで大切なことは、直線ＡＢ上の点Ｆについて
　ＯＦ＝ｐａ＋ｑｂ
と書けたとすると、係数の和　ｐ＋ｑは、１になるということです。
特に、ｐ＞０、ｑ＞０のとき、点Ｆは、線分ＡＢ上にあります。
また、ｐ＋ｑ＞１だと、点Ｆは、始点から見て直線の向こう側
０＜ｐ＋ｑ＜１　だと、点Ｆは、直線ＡＢより始点に近い側、
ｐ＋ｑ＜０だと、始点の反対側になります。

さて、Ｆ，Ｐ，Ｏは同一直線上の３点なので、
　ＯＦ＝ｋＯＰ
より
　ＯＦ＝(1/10)kａ＋(3/5)ｋｂ
が言えるわけですが、ここで、上の、点Ｆが直線ＡＢ上にある
ための条件＝係数の和が１
を使って、
　(1/10)k＋(3/5)ｋ＝１
となります。

なお、検算にはチェバの定理が便利です。

No.9282 - 2009/12/30(Wed) 06:06:01

☆ Re: ベクトル / nami 高2

ありがとうございました☆☆(^O^)/

No.9283 - 2009/12/30(Wed) 07:53:40

★ 円 / hiro

半径３センチの円０の円周上に３点APBがある。A、Bを接点として接線を引き、交わったところをPとする。角AQB＝４角APBのとき弧ABの長さを求めなさい。

よろしくお願いします。

No.9264 - 2009/12/28(Mon) 18:15:15

☆ Re: 円 / ヨッシー

点Ｑは、どういう点ですか？
点Ｐは、あくまでも円周上にありますか？

No.9265 - 2009/12/28(Mon) 21:33:10

☆ Re: 円 / hiro

点Qは円周上の点です。Pは円周上ではありません。四角形AQBPができるかと思います。

No.9279 - 2009/12/29(Tue) 17:38:12

☆ Re: 円 / ヨッシー

点Ｑが、四角形ＰＡＯＢの外部にある場合と、内部にある場合が
考えられます。
区別するために、後者を点Ｒとします。

図のように、∠ＡＰＢ＝ｘとおくと、
∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝90°　より
　∠ＡＯＢ＝180°－ｘ
円周角より
　∠ＡＱＢ＝90°－ｘ/２
円に内接する四角形の性質より
　∠ＡＲＢ＝180°－∠ＡＱＢ＝90°＋ｘ/２

∠ＡＱＢ＝４∠ＡＰＢ　のとき
　90°－ｘ/２＝４ｘ　より、　ｘ＝20°
∠ＡＲＢ＝４∠ＡＰＢ　のとき
　90°＋ｘ/２＝４ｘ　より、　ｘ＝(180/7)°

No.9281 - 2009/12/30(Wed) 05:46:15

★ 最大・最小 / りか

わからない問題があるので質問させて下さい。

＊次の問いに答えよ
(1)x+2y=1の時、x^2+y^2の最小値を求めよ
(2)x^2+2y^2=1の時、x^2+4yの最大値、最小値を求めよ
(3)x,yを実数とする時、x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の最小値を求めよ

という問題なのですが、(1)からどうやって解いたらいいのかわかりません･･･。ご指導よろしくお願いします。

No.9240 - 2009/12/27(Sun) 02:36:14

☆ Re: 最大・最小 / 七

> (1)x+2y=1の時、x^2+y^2の最小値を求めよ
x+2y=1よりx＝1－2y
x^2+y^2＝(1－2y)^2+y^2＝5y^2－4y＋1

> (2)x^2+2y^2=1の時、x^2+4yの最大値、最小値を求めよ
x^2+2y^2=1よりx^2＝－2y^2＋1
またx^2≧0だから2y^2≦1したがって－√2/2≦y≦√2/2
x^2+4y＝－2y^2＋4y＋1　(－√2/2≦y≦√2/2)
(1)(2)ともこのあと平方完成すればいいですね。

> (3)x,yを実数とする時、x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の最小値を求めよ
x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の式はこれで合っていますか？

No.9244 - 2009/12/27(Sun) 06:52:51

☆ Re: 最大・最小 / フリーザ

多変数関数は高校生にとってアプローチは主に２つです。
・変数が独立→一方を固定して１変数関数としてとらえ最大最小をだしてからもう一方の変数を動かす。
・変数が従属→１文字消去(消した式の変数を残した変数に遺伝させるのを忘れずに)or合成関数の微分

(３)のx,yたちは独立に動きまわります(xが決まってもyは決まらない！(１)は違うでしょ？)
よってまずはyは定数扱いしてxの関数として最小値をyであらわしその最小値をyの関数とみて最小値を求めることになります。

No.9246 - 2009/12/27(Sun) 09:07:40

☆ Re: 最大・最小 / 名無し

(3)は
((x+y)^2-2)^2-2
と式変形できるので，最小値は-2
とやるのがスマートかと．

No.9251 - 2009/12/27(Sun) 12:07:40

☆ Re: 最大・最小 / 七

> (3)は
> ((x+y)^2-2)^2-2
> と式変形できるので，最小値は-2
> とやるのがスマートかと．

式変形が間違っています。

No.9253 - 2009/12/27(Sun) 12:13:29

☆ Re: 最大・最小 / 名無し

(x+y)^2の^2を余計に打ってしまった・・・・
と思いきやそこではなく，元の式の+4xを-4xに見間違えてましたね．
なんともお恥ずかしい事を．ご指摘有難うございます．

となると，やっぱり適当な変数を定数扱いするしかなさそうですね．

No.9254 - 2009/12/27(Sun) 12:42:48

☆ Re: 最大・最小 / 七

x^2+2xy+y^2+4x-4y+2はたとえば
(x＋y＋2)^2－8y－2　と変形でき
例えば　x＋y＋2＝0　を満たしつつ、yの値を大きくしていけばいくらでも小さくなり、最小値は存在しません。
ですから式が間違っているのではないかと考えたのです。

No.9255 - 2009/12/27(Sun) 13:09:12

☆ Re: 最大・最小 / りか

(1)
> x+2y=1よりx＝1－2y
> x^2+y^2＝(1－2y)^2+y^2＝5y^2－4y＋1

答えは最小値：9/25であっているでしょうか。

(2)
> x^2+2y^2=1よりx^2＝－2y^2＋1
> またx^2≧0だから2y^2≦1したがって－√2/2≦y≦√2/2
> x^2+4y＝－2y^2＋4y＋1　(－√2/2≦y≦√2/2)

平方完成して、-2(y-1)+3で、最大：2√2、最小：-2√2
でいいでしょうか？

(3)
> x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の式はこれで合っていますか？
合っていると思います。その場合はどのように解いたらいいでしょうか。

またよろしくお願いします。

No.9257 - 2009/12/27(Sun) 16:38:02

☆ Re: 最大・最小 / 七

(1)
x+2y=1よりx＝1－2y
x^2+y^2＝(1－2y)^2+y^2＝5y^2－4y＋1＝5(y－(2/5))^2＋(1/5)
y＝2/5このときx＝1/5で最小値1/5

(2)は答えはあっていますが
最大値、最小値をとるときのx、yの値も書いたほうがよりいいですね。

(3)
x^2+2xy+y^2+4x-4y+2の式はこれで合っているのなら
先ほど書いたように最小値はありません。
もしx^2+2xy+2y^2+4x-4y+2なら
(x＋y＋2)^2＋y^2－8y－2＝(x＋y＋2)^2＋(y－4)^2－18
と変形できますからx＋y＋2＝0、y－4＝0
つまりx＝－6、y＝4のとき最小値－18をとる。
などとできるんですが。
式の変形は間違っているかもしれません。

No.9258 - 2009/12/27(Sun) 17:03:17

☆ Re: 最大・最小 / フリーザ

(１)シュワルツの不等式
(x^2＋y^2)(1＾2＋2＾2)≧(x＋2y)^2=1
x^2＋y^2≧1/5
等号成立はx/y=1/2
x＋2ｙ＝１とからx=1/5,y＝2/5
よって最小値は1/5
(２)変数変換
x^2＋2y^2=1より
x=cost,y=sint/√2(0≦t＜２π)とおける
x^2＋4y
=(cost)^2＋2√2sint
・・・・・

No.9263 - 2009/12/27(Sun) 23:59:09

☆ Re: 最大・最小 / りか

> (1)
すみません。これは計算ミスをしていたようです・・・
再度計算してみたところ、答えが出せました。

> (2)
> 最大値、最小値をとるときのx、yの値も書いたほうがよりいいですね。
最大の時のy:(√2)/2 最小の時のy:-(√2)/2
で計算したのですが、xはどのように出したらいいのでしょうか。
x^2+2y^2=1に代入してみたのですがうまくいきません。

> (3)
> 先ほど書いたように最小値はありません
最小値はないのですね・・・。
数学の担任が作ったﾌﾟﾘﾝﾄからなので、
もしかしたら担任の打ち間違いかもしれません。
後日合ったら確認してみます。
丁寧な解説ありがとうございます。

No.9268 - 2009/12/29(Tue) 00:16:00

☆ Re: 最大・最小 / 七

> > (2)
> > 最大値、最小値をとるときのx、yの値も書いたほうがよりいいですね。
> 最大の時のy:(√2)/2 最小の時のy:-(√2)/2
> で計算したのですが、xはどのように出したらいいのでしょうか。
> x^2+2y^2=1に代入してみたのですがうまくいきません。
どちらも代入すると
x^2+1=1
x＝0
だと思います。

No.9271 - 2009/12/29(Tue) 07:15:41

☆ Re: 最大・最小 / りか

> どちらも代入すると
> x^2+1=1
> x＝0
> だと思います。

どちらもx=0でいいのですか。ありがとうございました！

No.9276 - 2009/12/29(Tue) 14:47:46

★ 積分 / Bとん

積分区間０から１
関数がｘ・log（ｘ＾２＋１）のｘでの積分なんですが
やり方は部分積分でしょうか？

ｆ（ｘ）＝log（ｘ＾２＋１）
ｇ（ｘ）＝（１／２）ｘ＾２
としましたが
よくわかりません
ご指導願います

No.9237 - 2009/12/27(Sun) 00:58:51

☆ Re: 積分 / Kurdt（かーと）

t=x^2+1 と置いて置換積分するのが簡単ですね。

No.9238 - 2009/12/27(Sun) 02:09:50

☆ Re: 積分 / にょろ

とりあえず
ｘ＾２＋１=t
とおくと
dt/dx=2x
dt=2x dx
より
ｘ・log（ｘ＾２＋１）dx
=(1/2)t･log(t) dt

としてみてはどうでしょう。

（即興なので計算とか間違ってるかもしれませんけど）
ごり押しより簡単になってますよね～

No.9239 - 2009/12/27(Sun) 02:14:04

☆ Re: 積分 / Kurdt（かーと）

正しくは t=x^2+1 とおくと、
∫(1/2)logtdt
になるはずですね。

No.9241 - 2009/12/27(Sun) 02:36:49

☆ Re: 積分 / にょろ

あ･･･
本当だ…
x dx を t dtに変換してしまったorz
訂正ありがとうございます

No.9242 - 2009/12/27(Sun) 02:46:16

☆ Re: 積分 / Bとん

なるほど
ありがとうございました。
その後もすっきり解けました

No.9249 - 2009/12/27(Sun) 11:36:11

★ 線形計画法についてです。 / ハオ

a,bを実数とする。次の4つの不等式を同時に満たす点(x,y)全体からなる領域をDとする。
x+3y≧a, 3x+y≧b, x≧0, y≧0
領域Dにおけるx+yの最小値を求めよ。
という問題です。解答には2直線x+3y=a 3x+y=bの交点がどの象限にあるかで場合分けをする。と記してありそれは理解できるのですが、場合分けの仕方が分かりません。具体的には
第一象限にある時は即ち3a≧b,3b≧aの時
第二象限にある時は即ちa≧3b,a≧0の時
第三象限にある時は即ちa≦0,b≦0の時
第四象限にある時は即ちb≧3a,b≧0の時
と解答にはありますが何故即ち以降の範囲が導けるのでしょうか？教えて下さい。

No.9222 - 2009/12/25(Fri) 18:46:20

☆ Re: 線形計画法についてです。 / 七

交点の座標をa,bを用いて表してみれば分かります。

No.9224 - 2009/12/25(Fri) 22:53:50

☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ

返答有難う御座います。
交点の座標をa,bを用いて表してはみたのですが、
x座標(3b-a)/8 ,y座標(3a-b)/8が出てきて
第一象限の場合は上手くいきますが第二象限にある場合は
3b≦a,3a≧bまでしか値の範囲が絞りきれません。
どの様にすればa≧0が得られますか？

No.9225 - 2009/12/26(Sat) 12:06:11

☆ Re: 線形計画法についてです。 / 七

勘違いでなければ
第一象限にある時は
3a＞b,3b＞a　でないとおかしいと思うのです。
また第二象限にある場合は
さらに2つの場合に分ける必要があるように思います。

No.9227 - 2009/12/26(Sat) 15:34:08

☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ

う～ん、何故その様な考えに至るのか詳しくお願いします。
因みに上記の問題はZ会の関数発展講座の1題です。解答が間違っているはずはないと思うのですが・・・。

No.9228 - 2009/12/26(Sat) 16:06:57

☆ Re: 線形計画法についてです。 / rtz

第2象限の場合
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=717
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=718

要は、
原点が領域内に入るか入らないかで場合分けが必要ですね。

入ればx＝y＝0ですし、
入らなければx＝0,y＝a/3になるでしょうし。

No.9230 - 2009/12/26(Sat) 17:06:27

☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ

成程、場合分けする理由は良く分かりました。
では、何故交点が第二象限にある場合にa≧0が得られるのか教えて下さい。
また、第二象限で場合分けが必要という事でZ会の解答は間違っているという事でしょうか？
質問ばかりで申し訳ありません。

No.9231 - 2009/12/26(Sat) 17:38:35

☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ

↑
では、何故～（以下略)
の部分は文脈上おかしかったです。
訂正
次の疑問として何故～（以下略）

No.9232 - 2009/12/26(Sat) 17:43:02

☆ Re: 線形計画法についてです。 / 七

Z会の問題ですか。
バイトの学生が解答を作ったのかな？
交点が第一象限にないときは
x座標が0以下のときはa＞0かどうかつまり直線x+3y=aの切片が正であるかどうかが問題になりますが
交点が第二象限にあるときa＞0とは限りません。
同様にy座標が0以下のときはb＞0かどうかつまり直線3x+y=bの切片が正であるかどうかが問題になります。

要は交点が第二象限にあるとき、第三象限にあるとき、第四象限にあるときという分け方がおかしいのです。

No.9234 - 2009/12/26(Sat) 19:43:18

☆ Re: 線形計画法についてです。 / ハオ

う～ん、ちょっと僕の頭の中では処理しきれません、御免なさい。皆さんのお考えになる模範解答を書いて頂けませんか？因みにZ会の問題と言っても東大の過去問ですので解答を間違うはずはないと思うのですが。。。赤本にも載っていないので、お手上げ状態です。
議論が難しいので理解するのも苦労してしまいます。
本当にごめんなさい。

No.9235 - 2009/12/26(Sat) 19:50:40

☆ Re: 線形計画法についてです。 / rtz

そこまで書くのは面倒なので方針だけ。

場合分けは、
1.x,y≧0の範囲に直線がない(＝領域内に原点が入る)→無制限なら原点
2.x,y≧0の範囲をx+3y≧aのみが横切る→(x,y)＝(0,a/3)
3.x,y≧0の範囲を3x+y≧bのみが横切る→(x,y)＝(b/3,0)
4.両方横切る(＝交点が第1象限)→交点
です。

x,y≧0に直線があるとどういう風にx+y＝kに制限がかかるか考えればこうなるかと思います。

No.9236 - 2009/12/26(Sat) 21:15:33

☆ Re: 線形計画法についてです。 / 七

> rtzさん
両方が横切っても交点は第二象限や第四象限にできる場合があるのでは？

z会に「解答が間違っていると言われた」と問い合わせれば
すぐにおわびと訂正が得られると思います。

No.9243 - 2009/12/27(Sun) 06:39:19

☆ Re: 線形計画法についてです。 / rtz

＞七さん
あ、ホントですね。
2.や3.に組み込めば良さそうですが…。

どちらにしろ問い合せた方がよいでしょうね。

No.9248 - 2009/12/27(Sun) 11:34:46

★ ベクトル / はる

質問、お願いします。

　CB・AC=0 →CB・CA=0 (ベクトルの内積）
　これは、両辺にー1をかけて、－AC=CAとなったと考えてよ　いですか？

　　－（AB+CA)・(AB-CA)=0　（ベクトルの内積）
これは-{|AB|^2-|CA|^2}=0と考えて良いですか？

よろしくお願いします。

No.9221 - 2009/12/25(Fri) 18:30:20

☆ Re: ベクトル / 七

いいです。と答えてもいいのですが
質問の意図がいまいち分かりません。

No.9223 - 2009/12/25(Fri) 22:48:22

☆ Re: ベクトル / はる

ありがとうございます。きちんと確認したかったので。
すっきりしました。

No.9233 - 2009/12/26(Sat) 18:59:30

☆ Re: ベクトル / 七

わたしはモヤモヤが残りました。

No.9245 - 2009/12/27(Sun) 07:10:13

☆ Re: ベクトル / はる

モヤモヤさせて、すみません。
一応、頭では理解できているのですが、
”いいです”のように、きちんと言ってもらえれば、
納得できて、次へすすめるのです。先生に気軽に質問できれば、すぐに解決できるのは、わかっているのですが・・

No.9260 - 2009/12/27(Sun) 17:24:30

☆ Re: ベクトル / 七

たちえば一つ目が
　CB・AC=0 →CB・CA=0 (ベクトルの内積）
であるのは他の考え方もあるが、両辺に－1をかけて、－AC=CAとなったと考えてもよいか？

という問いならば
それでもかまいません。とあっさり回答できたのですが
どういう意図の質問だったのかが分からないので本当に理解して次に進んでおられるのかどうかが分からないのです。

No.9262 - 2009/12/27(Sun) 19:01:20

☆ Re: ベクトル / はる

七さん、何回もすみません。私が書きたかったのは、一つ目は七さんの書いてくださった質問と同じです。

二つ目は、因数分解のような、計算の仕方でよいのか、
聞きたかったのです。書き方が下手ですみません。

No.9267 - 2009/12/28(Mon) 22:48:18

★ (No Subject) / akikan

整数問題です。

３辺の長さが自然数である三角形の各辺の長さをa,b,cとおく。a≦b≦cとし、
nを自然数の定数とするとき、c=nであるような三角形は何個あるか。

No.9219 - 2009/12/25(Fri) 09:35:25

☆ Re: / にょろ

三角形の条件は
c<a+b
です。

a[n]をc=nのときの三角形として
a[n]=(a+b=n-1の三角形の個数)+a[n-1]
とでもしてれば解けますね

No.9220 - 2009/12/25(Fri) 15:06:41

☆ Re: / らすかる

a≦b≦n となる自然数の組(a,b)の個数は
n個の○を並べて間または右端に仕切りを2本重複を許して入れる
場合の数なので、nH2通り
a+b≦n となる自然数の組(a,b)の個数は
n個の○を並べて間または右端に仕切りを2本重複を許さず入れる
場合の数なので、nC2通り
このうちa=bであるものは[n/2]個だから、
a+b≦n かつ a≦b≦n であるものは
(nC2-[n/2])/2+[n/2]=(nC2+[n/2])/2個
よって三角形が出来る自然数の組(a,b)の個数は
nH2-(nC2+[n/2])/2個

No.9252 - 2009/12/27(Sun) 12:08:23

☆ Re: / akikan

よくわからないです…

No.9287 - 2009/12/30(Wed) 23:21:50

☆ Re: / らすかる

わからない箇所はどこですか？

No.9288 - 2009/12/31(Thu) 01:26:36

★ 高３三角関数の問題です / まさこ

sinθ=1/2かつcosθ=√3/2のとき、sin(θ/2)およびcos(θ/12)の値のとき方を教えてください

No.9208 - 2009/12/24(Thu) 15:51:52

☆ Re: 高３三角関数の問題です / ヨッシー

θの範囲がないので、一般の角とします。
半角の公式
　sin^2(θ/2)＝(1-cosθ)/2
より、
　sin^2(θ/2)＝(2-√3)/4
　sin(θ/2)＝±√(2-√3)/2＝±(√3－1)/2√2
ちなみに、0≦θ＜2π に限るなら、
　sin(θ/2)＝(√3－1)/2√2
です。
ついでに　cos(θ/2)＝±(√3＋1)/2√2 も出しておきます。

さらに半角の公式で、sin(θ/4)，cos(θ/4) を出します。
（４つの解が得られます）

３倍角の公式
　cos3θ＝4cos^3θ－3cosθ
を使って、
　cos(θ/4)＝4cos^3(θ/12)－3cos(θ/12)
を、４種類の cos(θ/4) をそれぞれ当てはめて、cos(θ/12) に
関する３次方程式を解きます。
それぞれから、３個、計１２個の値が得られます。

同様に、0≦θ＜2π に限るなら、値は１つに絞られます。

実際に、きれいに解けるかはわかりません。

No.9211 - 2009/12/24(Thu) 21:47:54

☆ Re: 高３三角関数の問題です / まさこ

有難うございます
頑張ります

No.9214 - 2009/12/24(Thu) 22:31:01

☆ Re: 高３三角関数の問題です / らすかる

0≦θ＜2π とすると θ=30°ですから θ/12=2.5°ですが、
cos2.5°は具体的に表せません。

No.9216 - 2009/12/24(Thu) 22:53:15