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確率 / 桜 高校2
こんばんは
よろしくおねがいいたします(^^)

3,4,5,6,7から3つの異なる数を取り出し、取り出した順にa,b,c,とする。
a,b,cを係数とする二次方程式ax^2+bx+c=0
が実数解をもつ確率をもとめよ

という問題がわかりませんでした
教えてください
よろしくお願いいたします

No.3635 - 2008/11/04(Tue) 18:26:14

Re: 確率 / ヨッシー
判別式 b^2−4ac ≧0 に照らし合わせて、数えるしかないでしょう。
ac は、最低でも、3×4=12 なので、4ac≧48 です。
よって、b は、7 しかあり得ません。
(中略)
全部の取り出し方は、7×6×5=210 です。
よって、求める確率は、1/105 です。

No.3637 - 2008/11/04(Tue) 19:40:56

Re: 確率 / 桜 高校2
ありがとうございました^^
さんこうになりました

No.3641 - 2008/11/04(Tue) 21:01:51
関数の問題 / みわ
初めましてよく自分で解き方がわかりません。
解答の方教えて下さい。よろしくお願いします。

関数log(1-x)に対してmaclausin展開を求めよ
 y=x3-3x
(xの三乗)

No.3631 - 2008/11/04(Tue) 17:44:22

Re: 関数の問題 / ヨッシー
マクローリン展開は、微分が出来れば、
公式通りです。

下の、y=x3−3x は、何ですか?

No.3633 - 2008/11/04(Tue) 17:57:43
積分 / あき
またごめんなさい(>_<)
http://t.upup.be/?7OZLxNSKxr
の問題で
http://l.upup.be/?nhP1CSOCpd
のようにといたのですが答えが合いませんでした…
計算間違いをしそうな考え方が悪いでしょうか?(>_<)
すみませんがご指摘いただきたいです(>_<)

No.3630 - 2008/11/04(Tue) 17:38:36

Re: 積分 / ヨッシー
まずは、カッコを外すところで、計算間違いがあります。
x^2 の項はもうひとつあります。

最後は、「これがp、q、rの恒等式になるので・・・」です。

No.3632 - 2008/11/04(Tue) 17:55:30

Re: 積分 / あき
お早いご回答本当にありがとうございます(>_<)
考え方は悪いですか?ストレートにとく以外になにかいいほうほうあるのでしょうか??

No.3634 - 2008/11/04(Tue) 18:03:59

Re: 積分 / あき
自分で分けてやってちょっとだけ工夫したら前よりは楽にとけました!お騒がせしました(^_^;)いつもありがとうございます!
No.3636 - 2008/11/04(Tue) 18:27:33
積分 / あき
こんにちは(^ ^)/
また宜しくお願いします!
http://j.upup.be/?YxNjSVhdkv
の問題で、私は
http://t.upup.be/?akbaoZ87Av
こんなかんじでといたのですが何回やっても答えが合わないので考え方が間違ってるのかと思ったのですが、ご指摘いただきたいです!

No.3624 - 2008/11/04(Tue) 11:21:24

Re: 積分 / ヨッシー
一番最後のところ。
「傾きが9」ですよ。

No.3626 - 2008/11/04(Tue) 11:50:22

Re: 積分 / あき
本当でした(>_<)
ありがとうございます!ただ直してやっても合いませんでした…いずれにしろF(−3)=0よりa=bがわかっているのでa=b=0になってしまうんです…(>_<)

No.3627 - 2008/11/04(Tue) 14:49:34

Re: 積分 / ヨッシー
a=b は良いですね。
で、F'(-3)=9a/2−3b=9 です。
a=b=0 じゃダメですよね?

No.3628 - 2008/11/04(Tue) 15:10:16

Re: 積分 / あき
そうですねそこを0にしてました(>_<)申し訳ないです(>_<)
ありがとうございました(>_<)

No.3629 - 2008/11/04(Tue) 17:31:57
自然数を求める計算 / ギンザエフ
756*X=Y^2をみたす最小の自然数X,Yを求めなさい

解き方を教えてくださいお願いします。

No.3618 - 2008/11/03(Mon) 23:34:30

Re: 自然数を求める計算 / ヨッシー
たとえば、12*X=Y^2 だとします。
12 に何を掛けたら、ある整数の2乗になるか、ということですが、
当然、12を掛ければ、 122 になりますが、最小ということになると
もう少し考えないといけません。
 12=2×2×3
で、これに何かを掛けて、
 (ある整数)×(同じ整数)
という形にしたいわけです。2が二つあることに注目して
 12X=(2×3)×(2×X)
という振り分けが出来たとすると、Xに入るのは?

同様に、756=2×2×3×3×3×7 なので、
 756X=(・・・)×(・・・)
に振り分けると・・・

No.3619 - 2008/11/03(Mon) 23:42:44

Re: 自然数を求める計算 / ギンザエフ
お返事ありがとうございます。
すみませんが、自分には理解できなかったので数字の得意な友達に聞いてみます。

No.3625 - 2008/11/04(Tue) 11:42:20
確率 / くろねこ
赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を確かめてから袋に戻す。このような試行を最大で3回まで繰り返す。ただし、赤玉を取り出したときは以後の試行を行わない。

黄玉が少なくとも1回取り出される確率は?


やり方を教えてくれたら嬉しいです
お願いします

No.3614 - 2008/11/03(Mon) 19:05:35

Re: 確率 / ヨッシー
 黄××
 青黄×
 青青黄
この3つが黄玉が少なくとも1回出る場合です。
×の部分は何でもいいです(確率1として計算します)
もちろん、黄××の、真ん中が赤でも構いません。

さて、確率を計算しますが、
 黄×× ・・・ 1/3
 青黄× ・・・ 1/9
 青青黄 ・・・ 1/27
より、13/27 です。ちなみに、黄玉の出ない場合は、
 赤×× ・・・実際は×の部分は試行はしませんが、確率は1と見なせます。
 青赤×
 青青青
 青青赤
で、1/3+1/9+1/27+1/27=14/27 となり、合計1になります。

No.3615 - 2008/11/03(Mon) 19:18:39

Re: 確率 / くろねこ
わかりました。
いつもたすかります。
ありがとうございました。

No.3616 - 2008/11/03(Mon) 20:11:27
数検2級の問題です / Kay(高1女子)
 次の問題ですが、2つの解法を考えました。まず、点と直線の距離を使うと、すぐに答えが出るのです。しかし、2番目の考え方では、違う答えになってしまうのです。
 どこがどう違うのか、教えてください。よろしくお願いします。

問 円 x^2+y^2=5・・・?@と直線 y=x+a・・・?A が接する
 とき、定数aの値を求めなさい。

2番目の考え方で、
  ?@、?Aは共有点を持つので、?Aを?@に代入すると、
  x^2+(x+a)^2=5 これを変形して、
x^2+x^2+2ax+a^2-5=0
2*x^2+2ax+a^2-5=0・・・?B
  ?Aが?@に接するときの?Aのy切片がaなので、このとき
  x=0 を?Bに代入、
  a^2=5
  ∴a=±√5

  

No.3611 - 2008/11/03(Mon) 15:39:20

Re: 数検2級の問題です / rtz
下4行の意味が不明です。

接しようが接しまいがy=x+5のy切片はaですし、
x=0を代入する意味も分かりません。(x=0では接しません)

通常は、
「接するので重解を持ち、判別式が云々」と解くはずです。

No.3612 - 2008/11/03(Mon) 15:53:34
(No Subject) / 川崎
関数f(x)=∫(0⇒1)|t^2-x^2|dtの0≦x≦2における最大値および最小値を求めよ。が解けません
どなたか教えて下さい。

No.3605 - 2008/11/03(Mon) 08:01:29

Re: / ヨッシー
積分区間が 0≦t≦1 なので、tはこの範囲の値に限定して良いです。
一方、xの値によって、|t2−x2| の絶対値の外し方が変わってきます。

まず、1<x≦2 では、常にt<x なので、
 |t2−x2|=x2−t2
です。
一方、0≦x≦1 のときは、
 0≦t≦x では、 |t2−x2|=x2−t2
 x<t≦1 では、  |t2−x2|=t2−x2
となります。

No.3606 - 2008/11/03(Mon) 08:39:18
(No Subject) / かなみ
いつもお世話になります。
宜しくお願いします。

2次方程式 x^2+x+1=0の解がα,βのとき、nを自然数として
S(n)=α^n+β^n
とおく。これについて、次の問いに答えよ。
(1)S(3)の値を求めよ。
(2)S(3n-1)+S(3n+1)/S(3n)の値を求めよ。
(3)S(n)の値を求めよ。

No.3603 - 2008/11/02(Sun) 23:54:01

Re: (No Subject) / hari
α^3 = β^3 = 1を満たすことに注意すれば

(1)は瞬殺
(2)はα^(3k) = β^(3k) = 1なのでS(3n-1)+S(3n+1)、S(3n)がわかります。
(3)S(n)はn = 3kで2、
解と係数の関係からS(3k-1)、S(3k+1)を求められます。

No.3604 - 2008/11/03(Mon) 01:12:42

Re: (No Subject) / かなみ
(3)のS(n)の値は
n=3k
n=3k-1
n=3k+1
のときで答えを出せばいいのですか?

No.3607 - 2008/11/03(Mon) 09:40:36

Re: / ヨッシー
この問題で、どこまでを求めているかですが、
(2) の結果は、実は、3n 以外でも成り立つので、
 {S(n-1)+S(n+1)}/S(n)=一定
となります。両辺に S(n) を掛けると、
こちらの、隣接3項漸化式になります。

No.3608 - 2008/11/03(Mon) 11:21:19

Re: / hari
そうですね。
(3)はn=3k, n=3k-1, n=3k+1で場合わけが必要です。

複素数を習っていたらわかりやすいんですけどねえ。

答え
(1)S(3) = 2
(2)(S(3n-1)+S(3n+1))/S(3n) = - 1
(3)S(3k) = 2, S(3k-1) = S(3k+1) = - 1

No.3621 - 2008/11/04(Tue) 00:36:33
数3の積分法の応用 / ryu
xy平面上の楕円板E:x^2/a^2+y^2/b^2≦1かつz=0(a>0,b>0)上に動点Pをとり、
線分L:z=2かつy=0かつ|x|≦a上に動点Qをとるとき、線分PQが通過してできる立体をHとする。
Hの体積Vを求めなさい。

こういう問題ではx軸に垂直な断面での面積を求めるように教わったので、x=hとすると、切り口は二等辺三角形なので、面積は2b√(a^2-h^2)/aとなるから、これを-aからaまで積分してπabという答えが出てきたんですが、πab(a+b)と答えに非常に近い感じで間違えてました。でもどうして自分の答えのa+b倍になるのかがさっぱりです。おしいともうのですが、どこを間違えているんでしょうか。教えてください。お願いします。


ちなみに、空間座標で線分を表すためにはz=2かつy=0かつ|x|≦aみたいにx、y、zのそれぞれひとつずつ条件が必要と聞きました。でもz=2かつ|x|≦aだけでもいいようなきがします。もしy=0がないとどういった図形になるんでしょうか??

No.3595 - 2008/11/01(Sat) 21:52:58

Re: 数3の積分法の応用 / 大々
おじゃまします。数3から離れて10年以上経つのでちょっとだけ不安ですが、書き込みます。

πab(a+b)は間違いなのではないでしょうか。

たとえば、a=2,b=2 のとき、16π となりますが、求める図形は底面が4×4の正方形で高さが2の直方体に収まるはずなので、体積は32以下になるはずです。

私の計算でも πab となりました。

線分については、y=0 がないと、yの値がいくつでもよくなるので、y方向に永遠にのびた細い帯になります。

No.3599 - 2008/11/02(Sun) 11:38:59

Re: 数3の積分法の応用 / ryu
レスありがとうです。
正解は2πab/3に訂正だそうです。それにしても2/3ずれてしまっています。大々さんはどうやって解きましたか?私と同じでしょうか?

No.3617 - 2008/11/03(Mon) 23:26:10

Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー
yz平面以外では、断面は三角形になりません。
たとえば、楕円板Eが、半径2の円とすると、
円上の点(0,2,0) と、線分の端(2,0,2) の中点は(1,1,1)です。
一方、平面x=1 において、円上の点(1, √3, 0)と、
線分上の点(1,0,2) の中点は(1,√3/2, 1)です。
同じx座標、z座標なのに、後者の方がy座標が小さいので、
断面は、三角形よりもっとふくらんだ形になります。

No.3620 - 2008/11/04(Tue) 00:16:55

Re: 数3の積分法の応用 / 大々
そうですね、切り口は三角形にはなりませんね。

z軸に垂直な平面で切ると、楕円+長方形になって計算できます。

2πab/3だと楕円錐の体積なので違うでしょう。ちなみに私の計算では2(π+2)ab/3になりました。こんどこそ。。

No.3622 - 2008/11/04(Tue) 02:40:41

Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー

大々さんの方法、(z軸方向の積分)でも出来ますし、
図のように、半楕円錐2つ(E−BDA、F−BDC)と、
四面体BDEFの合計と考えると、
半楕円錐2つで、楕円錐の体積と同じ、(2/3)πabとなり、
四面体BDEFは、菱形柱ABCD−EGFHから、4つの三角錐
(ABDE,CBDF,EFGB,EFHD)を引いたもので、
菱形柱ABCD−EGFHの1/3倍の 4ab/3 となり、
大々さんの答えと同じになります。

No.3623 - 2008/11/04(Tue) 05:46:24

Re: 数3の積分法の応用 / ryu
To 大々様 & ヨッシー様

返事が遅れてしまい大変失礼しました。解説ありがとうございました。ヨっシー様の解き方がようやく納得できました。断面を考えなくても解けるなんてすごいです。

もう見ていただけないかと思いますが、最後にひとつだけ質問です。

大々様はz軸に垂直な平面とおっしゃっていますが、x軸に垂直な平面以外の断面で考えるなんて、そんな事をしてもいいんですか?学校ではいつもx軸に垂直な平面での断面を考えるように言われたのですが?z軸に垂直な平面のばあいどういう計算になるのか教えていただけないでしょうか?
 

No.3687 - 2008/11/06(Thu) 22:55:14

Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー
z軸(高さ)方向において、z座標h(0≦h≦2)において、
断面は、底面の楕円の (2-h)/2 倍の楕円と、
縦 b(2-h)、横 2a−a(2-h)=ah の長方形を合わせた形です。


その面積は、πab(2-h)2/4+ab(2h-h2)
これを、h=0からh=2まで積分して、
 ab∫0〜2{π(h2-4h+4)/4+(2h-h2)}dh
 =ab{π(8/3-8+8)/4+(4-8/3)}
 =2πab/3+4ab/3

No.3690 - 2008/11/06(Thu) 23:19:03

Re: 数3の積分法の応用 / 大々
この問題の場合、図形を縦に(xy平面に垂直)切ったときの切り口の形がどんな形になるのか想像しにくいです。

ところがz軸に垂直な平面で切ると(例えばz=1で切ると)ヨッシーさんの図の記号をお借りして、

Eと楕円ABCDでできる楕円錘をz=1で切ると長半径、短半径がa/2,b/2の楕円になります。

Fと楕円ABCDでできる楕円錘をz=1で切っても同じ形の楕円になります。

楕円錘の頂点をEとFの間で動かしたとき、切り口は常に長半径、短半径がa/2,b/2で、x軸方向に移動します。

なので切り口を合わせると、ちょうどリムジンのように先端と後ろが楕円で、その間を長方形がつないでいる形になります。

No.3700 - 2008/11/07(Fri) 11:07:05

Re: 数3の積分法の応用 / ryu
To 大々様 & ヨッシー様

まさか回答していただけるとは思いませんでした。どうもありがとうございます。

>z軸(高さ)方向において、z座標h(0≦h≦2)において、
断面は、底面の楕円の (2-h)/2 倍の楕円と、
縦 b(2-h)、横 2a−a(2-h)=ah の長方形を合わせた形です。

どうしてそういう図形になるのかがどうしてもわからないです。お二人はどうやってこういう図形を想像されているのですか?なにかイメージのヒントはないでしょうか?

No.3707 - 2008/11/08(Sat) 00:45:09

Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー
手がかりは No.3623 の立体です。
楕円からの線は、点Eや点Fに集中しますので、
その部分は、錐(=断面が相似な半楕円)になり、
△EFB、△EFDは、平面なので、切り口は直線になります。

AE,CFは、底面に垂直なので、断面では、半楕円の
一番外の位置は、変わりません。

No.3716 - 2008/11/08(Sat) 17:02:06
(No Subject) / 倉橋 春花
わたしは、算数が、苦手です。特に、説明が、苦手です。
。教えてくださどうしたら、得意に、なれますかい。
4年  倉橋 春花より

No.3591 - 2008/11/01(Sat) 19:32:14

Re: / 倉橋 春花
わたしは、算数が、苦手です。特に、説明が、苦手です。
教えて下さい。どうしたら、得意に、なれますか。
4年  倉橋 春花より

No.3592 - 2008/11/01(Sat) 19:41:36

Re: / ヨッシー
本をたくさん読むことです。
 算数力=計算力 だけではなく、
 算数力=国語力(文章の意味がわかること)です。
作文でも、日記でも良いので、文章を書くことも役に立ちます。
それも、人に見せるつもりで(本当に見てもらえれば、なおよろしい)。

がんばってください。

No.3609 - 2008/11/03(Mon) 14:12:53

Re: / にょろ
算数というか理科も含めるのですが
なんでだろう?と思うことだと思います。

花火は何であんなに綺麗な色なんだろう?
夕日が赤いのは何故?
なんで植物は光合成するの?

それを調べてみることです

算数で言えば
どうして三角形の面積は底辺×高さ÷2なのか

そうすれば好きになれると思います。
好きになれば得意になれます。
人に説明できるくらい得意になれば(上の三角形一つだけでも良いです)
自信がついてもっと好きになれます。


嫌いで得意でも面白くないですしね

No.3613 - 2008/11/03(Mon) 16:01:00
積分 / snu
昨日に続いて質問です。

問題 1
媒介変数tを用いて、
x=cosht y=sinht (0≦t≦log(2+√3))・・(1)
とあらわされる曲線(ここで、sinht=(e^t-e^-t)/2,cosht=(e^t+e^-t)/2)と2直線y=0,x=2で囲まれた図形の面積を求めよ。
ただし、式(1)のように媒介変数表示されていることを利用した置換積分を用いよ。

問題 2
∫secx dx=log ltan(x/2+π/4)l +C (Cは積分定数)
を証明せよ。ただし、logは自然定数とする。

お願いします。

No.3585 - 2008/11/01(Sat) 11:25:04

Re: 積分 / rtz
1.
dx/dt=yですから、求める面積は
∫[0〜2]|y|dx
=∫[0〜log(2+√3)]y2dt

2.
secx=1/cosx
=cosx/cos2x
=cosx/(1−sin2x)
=(1/2)[ {cosx/(1−sinx)} + {cosx/(1+sinx)} ]

No.3587 - 2008/11/01(Sat) 13:12:16

Re: 積分 / snu
問題 1の答えは、√3-1/2log(2+√3)ですか?
No.3590 - 2008/11/01(Sat) 17:58:31

Re: 積分 / rtz
式を表すときは意味が1通りに受け取れるように括弧を補ってください。
そのままでは、√3-[1/{2log(2+√3)}]なのか{(√3-1)/2}log(2+√3)なのか(√3-1)/{2log(2+√3)}なのか√3-(1/2)log(2+√3)なのか{√3-(1/2)}log(2+√3)なのかはっきりしません。

答え自体は正しいです。

No.3593 - 2008/11/01(Sat) 19:57:22

Re: 積分 / snu
すいません。分かりにくかったですね。√3-(1/2)log(2+√3)
です。

No.3594 - 2008/11/01(Sat) 21:12:25

Re: 積分 / snu
問題2ですが、積分をして
(1/2)log{(1+sinx)/(1-sinx)}+C
まで出したのですが、ここから、どのように変形すればよいのでしょうか?

No.3596 - 2008/11/01(Sat) 22:21:48

Re: 積分 / rtz
せっかく問題に最終的な答えがあるのですから、
そちらを変形していってみては?

No.3597 - 2008/11/01(Sat) 22:34:54
領域作成 / Jez-z
平面上のx軸にA(1,0),B(-1,0),y軸上に定点C(0,1),D(0,-1)がある。この平面上の点Pから線分ABまでの距離の最大値をM(P),最小値をm(P)とする。
(1)M(P)≦PC または M(P)≦PD

(2)m(P)≦PC かつ  m(P)≦PD
をともに満たす点Pの存在範囲を図示せよ。

(自分は以下のように考えてみました)
条件(1)は
Pがx≧0、x<0の領域にあるときで場合分けして考えました。
具体的には垂直二等分線を境界と考えて領域を決定することができました。

条件(2)は
xが正領域にあるときは
0≦x≦1のとき、と1<xのときに場合に分けました。
∵前者の場合、m(P)はPから線分OA(Oは原点)に下ろした垂線PH.
後者の場合、m(P)=PAとなることに気付いたからです。

しかし、(1)かつ(2)を図示したら、解なしとなってしまい
行き詰ってしまいました。
一応、自分の考えはここですべてのべたつもりです。
適切なアドバイス等、お待ちしております。

No.3576 - 2008/10/31(Fri) 23:21:52

Re: 領域作成 / ヨッシー
良いところまで行っていますね。
m(P) で垂線に気付くのも大したものです。

下図の●をPだとすると、
 M(P)=PB<PD ・・・(1)
 m(P)<PC<PD ・・・(2)
とも満たしていますね。


ヒントは放物線です。

No.3579 - 2008/11/01(Sat) 05:12:17

Re: 領域作成 / Jez-z
上のヒントを参考に考えたのですが、「放物線」にたどりつけませんでした…

上の図の点Pが(1/5、1/3)だとすると、そのほかにも
点(1/2、1/2)を境界に領域が考えられますが・・・

また、別の視点で考えると、0≦x≦1の範囲で
例えば、直角三角形OAE(ただし、Eは直線x=1と直線y=1の交点)の周、および内部となるような領域が作成できそうですが・・・

No.3582 - 2008/11/01(Sat) 08:10:33

Re: 領域作成 / ヨッシー

図は、点Cからの距離と、線分ABからの距離が等しい点です。
これより下が、m(P)<PC となります。

また、△OAE の内部は、(2)は満たしますが、
(1) を満たさないので、解答の範囲には含まれません。

No.3584 - 2008/11/01(Sat) 10:36:28

Re: 領域作成 / Jez-z
ヨッシーさん、添付された図のおかげで大変よく理解できました。

あとは「同様に」y≦0の領域も考えればよいですよね。
ありがとうございました^^

No.3598 - 2008/11/02(Sun) 00:47:02
(No Subject) / 優香 高3
点Oを原点とするxyz空間に2点A(2,0,0),B(0,1,1)をとり、実数s(0≦s≦2)に対して2点P(s,1,0),Q(s,0,1)を考える。
また、点Qから直線BPにおろした垂線と直線BPとの交点をH、線分PQ上を動く点をRとする。
このとき、次の問いに答えよ。

(1)BH:HP=t:1-tとおくとき、OH→の成分を実数s,tを用いて表せ。
(2)OH→=(s^2/s^2+1)OP→+(1/s^2+1)OB→であることを示せ。
(3)PR:RQ=1-u:uとおくとき、AR→の成分を実数s,uを用いて表せ。
(4)点Rが線分AH上にあるとき、実数s,uの値を求めよ。

お願いします。

No.3573 - 2008/10/31(Fri) 22:13:40

Re: / ヨッシー
私のページに解答を載せました。
No.3577 - 2008/10/31(Fri) 23:43:52

Re: (No Subject) / 優香
ありがとうございます。
No.3578 - 2008/11/01(Sat) 00:23:42
積分 / snu
媒介変数tを用いて、
x=cosht y=sinht (0≦t≦log(2+√3))
とあらわされる曲線のグラフを描け。ここで、
sinht=e^t-e^t/2,cosht=e^t+e^t/2
である。

どうか、教えてください。お願いします。

No.3562 - 2008/10/31(Fri) 18:48:03

Re: 積分 / ヨッシー
双曲線関数の性質に、
 cosh2t−sinh2t=1
というのがあります。実際代入すれば、導けます。
これで、xとyの関係式が出せますね。
名前の通り、双曲線になります。
問題は、tの範囲により、グラフの範囲も決まると言うことですね。

No.3563 - 2008/10/31(Fri) 18:53:22

Re: 積分 / ヨッシー
ちなみに、
 sinht=(et-e-t)/2,cosht=(et+e-t)/2
です。

No.3564 - 2008/10/31(Fri) 18:55:47

Re: 積分 / snu
どうも、ありがとうこざいます。
がんばって、解いてみます!!

No.3565 - 2008/10/31(Fri) 18:57:23

Re: 積分 / snu
> 双曲線関数の性質に、
>  cosh2t−sinh2t=1
> というのがあります。実際代入すれば、導けます。
> これで、xとyの関係式が出せますね。


xとyの関係式を出すと

y=±√x^2-1とでてきますが,この関係式のグラフを描けばよいのですか?

No.3568 - 2008/10/31(Fri) 19:09:28

Re: 積分 / ヨッシー
そうなんですけど、
楕円とか、双曲線とか、放物線とかの、いわゆる二次曲線は、
まだですか?知っていれば、
 x2−y2=1
だけで、グラフが描けるのですが。

では、一次変換が済みなら、いっそ、45°回転してみても良いかもしれません。
 x2−y2=1
に、
 x=(x+y)/√2、y=(-x+y)/√2
を代入するのです。

No.3569 - 2008/10/31(Fri) 19:15:17

Re: 積分 / snu
グラフの形は分かりましたが
範囲は 1≦x≦2,0≦y≦√3であっているでしょうか?

No.3572 - 2008/10/31(Fri) 19:57:30

Re: 積分 / ヨッシー
合ってますね。
No.3574 - 2008/10/31(Fri) 22:49:35

Re: 積分 / にょろ
補足です。

sinx=(eix-e-ix)/2i
cosx=(eix+e-ix)/2
と言う式が成り立ちます。

式sinhとかと似てますよね
実はsinh,coshにも加法定理が存在します。
sinh(α+β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β
cosh(α+β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β

覚えていても損はないと思います。

No.3581 - 2008/11/01(Sat) 06:18:04

Re: 積分 / snu
ヨッシーさん、にょろさん、丁寧な解説ありがとうございました。
No.3583 - 2008/11/01(Sat) 08:52:39
微分 / あき
いつもごめんなさいまたお願いします(>_<)

http://k.upup.be/?7nG8SOxHOQ
の問題で前と似せて考えてみようと思い、区間の差が1 極値の差も1 を利用して
http://j.upup.be/?Hj592ikIHZ
http://q.upup.be/?P4q9ZeGds0
と考えて
http://l.upup.be/?lMavkWjyhC
と出してみたのですが答えは赤線の部分でt<(3−??3)/3
のときが間違ってるみたいでした…(>_<)
増減表を載せた通りMAXは変化なく3−??3/3 のときだと思うのですが…
この手の問題が苦手なことに気付き焦ってますお願いします!

No.3554 - 2008/10/31(Fri) 13:36:18

Re: 微分 / ヨッシー
とりあえず、解いてみます。
極大値は、x=(3-√3)/3 のとき、
 f((3-√3)/3)=2√3/9
です。
1)定義域が、極大点より左
 t<-√3/3 のとき、f(t+1) が最大値
2)定義域が、極大点を含む
 -√3/3≦t≦(3-√3)/3 のとき、極大値が最大値
3)(3-√3)/3<t≦1 のとき f(t) が最大値
4) t≧1 のとき f(t+1) が最大値
のようになります。

No.3556 - 2008/10/31(Fri) 15:01:40

Re: 微分 / あき
−??3/3 と 1 を場合わけに使っていますが、どこからでてきたのですか?
あとすみませんが問題の着眼点を教えて下さい(>_<)

No.3557 - 2008/10/31(Fri) 16:23:55

Re: 微分 / ヨッシー
前の問題のように、極大点を含んでいるのに、別に、もっと大きな
値の点がある、というようなことは、今回はありません。
ですから、幅1の区間を、ひたすら左右に動かすだけです。
極大値を含んでいれば、それが最大、含んでいなければ、
両端の小さくない方が最大です。

t<-√3/3 の -√3/3 は、t≦x≦t+1 が、極大よりも
左にある場合のギリギリの点です。
t+1 が極大値の (3-√3)/3 に来ますので、tは-√3/3です。
1を境にして、f(t) が最大値 と f(t+1) が最大値が切り替わります。
いずれも、グラフを見て、判断します。

No.3558 - 2008/10/31(Fri) 16:33:03

Re: 微分 / あき
図つきでありがとうございます!
わかりました、グラフをみるんてすね!
本当にお早い回答助かりました(>_<)
ありがとうございましたo(^-^)o

No.3559 - 2008/10/31(Fri) 17:39:37

Re: 微分 / あき
ごめんなさいまたちょっとわからなくなったのですが
答えは
http://p.upup.be/?5MFychYu0X
にやっていました、この考え方はどうしてこう考えられるのでしょうか?????

No.3560 - 2008/10/31(Fri) 18:10:01

Re: 微分 / ヨッシー
たとえば、t≦A≦t+1 は、
t≦A かつ A≦t+1 ですから、
A≦t+1 より、A−1≦t とすると、
t≦A かつ A−1≦t ですから、tを基準にして、
 A−1≦t≦A
になりますね。

No.3561 - 2008/10/31(Fri) 18:15:57

Re: 微分 / あき
すみません式変形じゃなくて全体の考え方を聞きたかったのですが(>_<)定義域に属する属さないの考え方です!
No.3566 - 2008/10/31(Fri) 18:58:28

Re: 微分 / ヨッシー
極大値を取るxの値が、1−(√3/3) であって、
定義域がt≦x≦t+1 なのですから、
この範囲内に、1−(√3/3) がある時が、定義域に極大値が
含まれる場合です。つまり、
 t≦x≦t+1  → t≦1−(√3/3)≦t+1
です。

No.3567 - 2008/10/31(Fri) 19:03:06

Re: 微分 / あき
ごめんなさい…式変形みたいなのはわかるのですがそもそもの定義域に属する属さないで考えられるわけがわからないということなんですがうまく伝えられていないかもしれません…この問題の着眼点はグラフをみることだとおっしゃってましたがこの方法も理解しなきゃと思ったので…
No.3571 - 2008/10/31(Fri) 19:54:08

Re: 微分 / ヨッシー
なぜ、極大値が、定義域に属するかどうかを調べる必要が
あるか? ということでしょうか?

No.3580 - 2008/11/01(Sat) 05:24:09

Re: 微分 / あき
はい、というかこの考えかた全体がわからないです…
http://i.upup.be/?36Ke8mQPBf
極大値が定義域に属する属さないで場合わけができる考え方です!

No.3588 - 2008/11/01(Sat) 14:02:45

Re: 微分 / ヨッシー
「場合わけができる」のではなく、「場合分けしないと正しく求められない」からです。

まず、こちらの後半を見て、定義域に極大点(最小の場合は極小点)が
入るときと入らないときで、答え方がどう違うか、また、
極値が入る場合を区別せずに、答えに至れるかを確認してください。

次に、8つ上の記事(No.3558)の動画を見て、最大値が、定義域の両端のいずれかにある時と、
定義域の内部にあるときがあるのを確認してください。

No.3589 - 2008/11/01(Sat) 15:56:54

Re: 微分 / あき
すみません分かってきたようなきがします、三次関数になったとき極大値は最大値とは限らないのでその判断が難しいと思って質問していましたすごくお騒がせしました。また似たようなことを質問するかもしれませんが宜しくお願いします!
No.3600 - 2008/11/02(Sun) 16:55:20

Re: 微分 / あき
すみません分かってきたようなきがします、三次関数になったとき極大値は最大値とは限らないのでその判断が難しいと思って質問していましたすごくお騒がせしました。また似たようなことを質問するかもしれませんが宜しくお願いします!
No.3601 - 2008/11/02(Sun) 16:55:22
微分 / あき
またまたすみません!
お願いします(>_<)

http://q.upup.be/?p45Q56kn7s
の問題でf(x)が二次式とわかるので=px^2+qx+rとおいてとき
http://m.upup.be/?tk6p9pRP2c
のようになったのですがなぜか答えが合わないのです…
計算が間違ってるようなかんじなんですが何回みても間違ってないように感じて…
どうかご指摘お願いします(>_<)

そして似たような問題で
http://r.upup.be/?YAR3t8CaIn
の(1)で二次式であることの証明を解答には長々書いてあったのですが証明みたいなのはちゃんと書かないといけないのでしょうか?

No.3550 - 2008/10/31(Fri) 10:19:07

Re: 微分 / あき
解答に書いてあったのは
http://l.upup.be/?t6bp1OHK9C
これです

No.3551 - 2008/10/31(Fri) 10:21:25

Re: 微分 / ヨッシー
p+r=0 ではなく p+q=0 になります。

確かに長々ですね。
f(x) を n次式とすると、f’(x) はn-1次式なので、
2f’(x)はn+1次式、となり、
2f’(x)+f(x) は式全体で、n+1次式になります。
一方、右辺は3次式なので、n+1=3 より、f(x)は2次式となります。
程度で良いと思います。

No.3552 - 2008/10/31(Fri) 10:32:44

Re: 微分 / あき
本当でしたqでした/( ̄口 ̄;)\
ありがとうございます!
証明は分かる程度に書けばいんですねわかりましたありがとうございました!

No.3553 - 2008/10/31(Fri) 13:25:03
おそらくベクトル? / Jez-z
一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがあり,辺AB,CG,EH上をそれぞれ点P,Q,Rが
 AP:PB=CQ:QG=HR:RE
をみたすように動くものとする.
(1) △PQRは正三角形であることを示せ.
(2) △PQRの面積の最小値を求めよ.

AP:PQ=(1-t):tとして考えました。具体的には
↑PQと↑PRを3つの一次ベクトルなベクトル
↑AE=↑a,↑AB=↑b,↑AD=↑cを用いて表し
それぞれの内積をとって計算するという方針です。

しかし、tの値がきれいにならず、計算ミスはないと思ったので、考え方の問題ではないかと思われたので質問させていただきました。
よろしくご指導いただきたく存じます。

No.3540 - 2008/10/30(Thu) 23:23:05

Re: おそらくベクトル? / ヨッシー
PQPR だけでなく QR も、 で表して、
 PQ=QR=RP
を言えばいいでしょう。実際には、
 PQ2=QR2=RP2
を言うことになります。

その際、PQ などは、tの2次式で表されますので、PQの
最小、すなわち△PQRの最小を求めることが出来ます。

No.3541 - 2008/10/30(Thu) 23:32:02

Re: おそらくベクトル? / rtz
(1)
これはベクトル云々よりは、長さで出した方が早いでしょう。
全辺√{t2+12+(1−t)2}ですね。

(2)
で、上で正三角形が言えましたから、
1辺が最小なら面積も最小ですね。

No.3542 - 2008/10/30(Thu) 23:32:20

Re: おそらくベクトル? / Jez-z
御二方ともありがとうございます。
理解できました!

No.3575 - 2008/10/31(Fri) 23:05:15
微分 / あき
いつもありがとうございますお世話になっています(^^)
http://k.upup.be/?6uiL79xMwE
の問題なのですが まず
http://t.upup.be/?Q2b8vjKGgI
こうなるのですがここから全てを場合分けするのは余りにも大変なので定義域に属するか属さないかで場合分けするものなのですか?
私はすごく頭がこんがらがっています(>_<)
どうかお助け下さい(>_<)

No.3538 - 2008/10/30(Thu) 22:26:22

Re: 微分 / ヨッシー

図のようにx=1に対して対称な位置に極値と、
極値と同じ値を持つ別の点が存在するので、
 0≦a<1/2・・・x=2 で最大、x=0 で最小
 1/2≦a<1 ・・・x=1-a で最大、x=1+a で最小
 a≧1 ・・・x=0で最大、x=2で最小
これだけの場合分けになります。

No.3539 - 2008/10/30(Thu) 23:16:55

Re: 微分 / あき
そうなんですか!
そんな方法があるとはつゆ知らずでした(>_<)
もらった解答には極値をとる値二つが定義域0から2にある場合とない場合の二つに分けてグラフを書いて調べるというものでした
この方法が私はぴんとこなくてこれは一般的なやり方というかよく使う方法なんでしょうか?そもそも二つとも定義域に入っているとは限らないし場合わけが少な過ぎる感じがするんですが…(>_<)

No.3545 - 2008/10/31(Fri) 01:54:44

Re: 微分 / ヨッシー
一般的には、極大値だけ定義域に含まれるとか、極小値だけとか、
色々あります。
ただし、この問題は、グラフが、x=1に対して対称であることと、
定義域も、x=1を中心にした範囲であるので、極大値と、
極小値は、定義域に、同時に含まれたり、外れたりします。

No.3547 - 2008/10/31(Fri) 05:54:11

Re: 微分 / あき
そうですよね一般的といっても色々ありますよね(^_^;)
なるほどです1+aと1−aもx=1に対称ですね!そこに注目するんですね、ありがとうございます!
問題を重ねて強くなりたいです。

No.3549 - 2008/10/31(Fri) 10:10:56
重複組み合わせ / マセマン
区別のない球5個を、A、B、C3つの箱に入れる。
どの箱にも少なくとも一個の球が入る方法は何通りあるか?
という問題でABCにそれぞれ、xyz個ずついれるとすると
x+y+z=5(x≧1、y≧1、z≧1)として
4C2より、六通りと答えはでたんですが、別解に
x=x゛+1、y=y゛+1、z=z゛+1とおけば、
x゛+y゛+z゛=2(x゛≧0、y゛≧0、z゛≧0)となり
4!/2!2!より六通りと考えることもできるとあるのですが
x゛とか、y゛とかなんのことなんでしょうか?いきなり
でてきて意味不明です。教えてください。おねがいしす。

No.3534 - 2008/10/30(Thu) 22:01:19

Re: 重複組み合わせ / ヨッシー
別に、何の文字でも良いのです。

最初に1個ずつを箱に入れておいて、残りの2個を
「入らない箱が出来ても良いので」3個の箱に分ける、
と考えたのが、4C2=4!/2!2! です。
5個の球を3個の箱に、最低1個入れる時の個数がx、y、zで、
2個の球を3個の箱に、入らない箱が出来ても良いので、
入れたときの個数が、x”、y”、z”です。
これに1ずつ足したものが x、y、z になります。

No.3535 - 2008/10/30(Thu) 22:07:31

Re: 重複組み合わせ / マセマン
詳しい説明ありがとうございました、よく理解できました。
No.3602 - 2008/11/02(Sun) 18:01:44
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